高二下期数学期末练习题1

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浙江宁波市2024年高二下学期期末考试数学试题+答案 (1)

宁波市2023学年第二学期期末考试高二数学试题卷本试卷共4页，19小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项:1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、学校、准考证号填涂在答题卡上。

将条形码横贴在答题卡的“贴条形码区”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁，不要折叠、不要弄破。

选择题部分(共58分)一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合U ={1，2，3，4，5}，A ={1，2，4}，B ={1，5}，则∁U A ∩B =()A.⌀B.{1}C.{5}D.{1，5}2.已知复数z =1+2i ，则1z 的虚部为()A.25B.25iC.-25i D.-253.已知角α的终边过点-4，3 ，则sin α+cos αsin α=()A.-12B.-13C.14D.734.已知a ，b 为单位向量，则“a ⊥b ”是“a -2b =2a +b”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.对于直线m ，n 和平面α，β，下列说法错误的是()A.若m ⎳α，n ⎳α，m ，n 共面，则m ⎳nB.若m ⊂α，n ⎳α，m ，n 共面，则m ⎳nC.若m ⊥β，且α⎳β，则m ⊥αD.若m ⊥α，且m ⎳β，则α⊥β6.若ln x -ln y >y 2-x 2，则()A.ex -y>1 B.e x -y<1 C.ln x -y >0 D.ln x -y <07.袋子中有n 个大小质地完全相同的球，其中4个为红球，其余均为黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，已知摸出的2个球都是红球的概率为16，则两次摸到的球颜色不相同的概率为()\A.518B.49C.59D.13188.颐和园的十七孔桥，初建于清乾隆年间；永定河上的卢沟桥，始建于宋代；四川达州的大风高拱桥，修建于清同治7年.这些桥梁屹立百年而不倒，观察它们的桥梁结构，有一个共同的特点，那就是拱形结构，这是悬链线在建筑领域的应用.悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特.胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为cosh x =e x +e -x 2，相应的双曲正弦函数的表达式为sinh x =e x -e -x2.若关于x 的不等式4m cosh 2x -4sinh 2x -1>0对任意的x >0恒成立，则实数m 的取值范围为()A.2，+∞B.[2，+∞)C.14，+∞ D.14，+∞ 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。

期末测试高二数学题

期末测试高二数学题高二数学要怎么学好?在平时要养成良好的解题习惯。

让自己的精力高度集中，使大脑兴奋，思维敏捷，能够进入最佳状态，在考试中能运用自如。

今天小编在这给大家整理了高二数学题大全，接下来随着小编一起来看看吧!高二数学题(一)一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1.命题“a=0，则ab=0”的逆否命题是()A.若ab=0，则a=0B.若a≠0，则ab≠0C.若ab=0，则a≠0D.若ab≠0，则a≠02.椭圆+=1的长轴长是()A.2B.3C.4D.63.已知函数f(x)=x2+sinx，则f′(0)=()A.0B.﹣1C.1D.34.“a>1”是“a2<1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.双曲线=1的渐近线方程是()A.y=±2xB.y=±4xC.y=±xD.y=±x6.已知y=f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是()A.f(x)在(﹣3，﹣1)上先增后减B.x=﹣2是函数f(x)极小值点C.f(x)在(﹣1，1)上是增函数D.x=1是函数f(x)的极大值点7.已知双曲线的离心率e=，点(0，5)为其一个焦点，则该双曲线的标准方程为()A.﹣=1B.﹣=1C.﹣=1D.﹣=18.函数f(x)=xlnx的单调递减区间为()A.(﹣∞，)B.(0，)C.(﹣∞，e)D.(e，+∞)9.若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为()A.(﹣∞，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，+∞)10.已知命题p：?x∈(0，+∞)，2x>3x，命题q：?x0∈(0，+∞)，x>x，则下列命题中的真命题是()A.p∧qB.p∨(￢q)C.(￢p)∧(￢q)D.(￢p)∧q11.f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0，且g(﹣3)=0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是()A.(﹣∞，﹣3)∪(0，3)B.(﹣∞，﹣3)∪(3，+∞)C.(﹣3，0)∪(3，+∞)D.(﹣3，0)∪(0，3)12.过点M(2，﹣1)作斜率为的直线与椭圆+=1(a>b>0)相交于A，B两个不同点，若M是AB的中点，则该椭圆的离心率e=()A.B.C.D.二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分.、共16分.13.抛物线x2=4y的焦点坐标为.14.已知命题p：?x0∈R，3=5，则￢p为.15.已知曲线f(x)=xex在点P(x0，f(x0))处的切线与直线y=x+1平行，则点P的坐标为.16.已知f(x)=ax3+3x2﹣1存在的零点x0，且x0<0，则实数a的取值范围是.三、解答题：本大题共7小题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知命题p：函数y=kx是增函数，q：方程+y2=1表示焦点在x轴上的椭圆，若p∧(￢q)为真命题，求实数k的取值范围.18.已知函数f(x)=2x3﹣6x2+m在[﹣2，2]上的值为3，求f(x)在[﹣2，2]上的最小值.19.已知点P(1，﹣2)在抛物线C：y2=2px(p>0)上.(1)求抛物线C的方程及其准线方程;(2)若过抛物线C焦点F的直线l与抛物线C相交于A，B两个不同点，求|AB|的最小值.20.已知函数f(x)=x﹣﹣2alnx(a∈R).(1)若函数f(x)在x=处取得极值，求实数a的值;(2)求证：当a≤1时，不等式f(x)≥0在[1，+∞)恒成立.21.已知函数f(x)=x﹣﹣2alnx(a∈R).(1)若函数f(x)在x=处取得极值，求实数a的值;(2)若不等式f(x)≥0在[1，+∞)恒成立，求实数a的取值范围.22.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率e=，点P(﹣，1)在该椭圆上.(1)求椭圆C的方程;(2)若点A，B是椭圆C上关于直线y=kx+1对称的两点，求实数k的取值范围.23.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率e=，原点到直线+=1的距离为.(1)求椭圆C的方程;(2)若点A，B是椭圆C上关于直线y=kx+1对称的两点，求实数k的取值范围.高二数学题(二)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的)1、若函数，则等于()A.4B.3C.2D.12、设全集，，，则是()A.(-2,1)B.(1,2)C.(-2,1]D.[1,2)3、命题“存在R，0”的否定是.(()())A、不存在R,>0B、存在R,0C、对任意的R,0D、对任意的R,>04、下列函数中，在定义域内是减函数的是()A.B.C.D.5、函数的图象在处的切线在轴上的截距为()A、10B、5C、-1D、-376、设，则“”是“”的()A、充分必要条件B、必要不充分条件C、充分不必要条件D、既不充分也不必要条件7、已知定义在上的函数是偶函数，对，都有，当时，的值为()A.2B.-2C.4D.-48、函数在定义域内的零点的个数为()A.0B.1C.2D.39、函数错误!未找到引用源。

高二数学选修2-1期末综合测试卷

高二数学选修2-1期末综合测试卷高二数学选修2-1期末综合试题（卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.命题“若a<b，则a+c<b+c”的逆否命题是（）A。

若a+c≥b+c，则a≥bB。

若a+c>b+c，则a>bC。

若a+c≤b+c，则a≤bD。

若a+c<b+c，则a≥b2.以下四组向量中，互相平行的有（）组。

1) a=(1,2,1)。

b=(1,-2,3)；2) a=(8,4,-6)。

b=(4,2,-3)；3) a=(0,1,-1)。

b=(0,-3,3)；4) a=(-3,2,0)。

b=(4,-3,3)A。

一B。

二C。

三D。

四3.若平面α的法向量为n1=(3,2,1)，平面β的法向量为n2=(2,0,-1)，则平面α与β夹角的余弦是（）A。

7/10B。

-7/10C。

7/14D。

-7/144.“α=kπ+π。

k∈Z”是“sin2α=”的（）A。

充分不必要条件B。

必要不充分条件C。

充要条件D。

既不充分又不必要条件5.“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的（）条件A。

充要B。

充分非必要C。

必要非充分D。

既非充分又非必要6.在正方体ABCD-A' B' C' D'中，E是棱A'B'的中点，则A'B与D'E所成角的余弦值为（）A。

5/10B。

5/√10C。

10/√22D。

√2/27.顶点在原点，且过点(-4,4)的抛物线的标准方程是（）A。

y=-4xB。

x=4yC。

y=-4x或x=4yD。

y=4x或x=-4y8.设椭圆(2/m)^2+(2/n)^2=1(m>0,n>0)的右焦点与抛物线y=8x的焦点相同，离心率为e，则此椭圆的方程为（）A。

x^2/4+y^2/16=1B。

x^2/16+y^2/4=1C。

x^2/9+y^2/25=1D。

成才之路高二数学人教B选修22练习：1 曲边梯形面积与定积分含解析

第一章 1.4 第1课时一、选择题1．设f (x )是连续函数，且为偶函数，在对称区间[－a ，a ]上的积分⎠⎛－a af (x )d x ，由定积分的几何意义得⎠⎛－a af (x )d x 的值为( )A ．0B ．2⎠⎛－af (x )d xC. ⎠⎛－af (x )d xD ．⎠⎛0a f (x )d x[答案] B[解析] 偶函数图象关于y 轴对称，对称区间上面积相等．2．求由曲线y ＝e x ，直线x ＝2，y ＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为( )A ．[0，e 2]B ．[0,2]C ．[1,2]D ．[0,1][答案] B[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝e xy ＝1可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝1.所以积分区间为[0,2]．故选B.3.⎠⎛011d x 的值为( )A ．0B ．1 C.12 D ．2[答案] B[解析] 由定积分的几何意义可得⎠⎛011d x 是由x ＝0，x ＝1，y ＝0和y ＝1围成的矩形的面积．4．计算f (x )＝x 2在[0,1]上的定积分时，有下列说法：①在0到1之间插入n －1个分点，将区间[0,1]n 等分，过每个分点作x 轴的垂线，将曲边三角形分成n 个小曲边梯形(或三角形)，这n 个小曲边梯形的面积和等于原曲边形面积的和；②当n 很大时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值可以用f ⎝⎛⎭⎫i －1n 近似代替； ③当n 很大时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值可以用f ⎝⎛⎭⎫i n 近似代替； ④当n 很大时，用f ⎝⎛⎭⎫i －1n 与f ⎝⎛⎭⎫i n 代替f (x )在⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值，得到的积分和不相等，因而求得的积分值也不相等．其中正确结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C [解析] 用f ⎝⎛⎭⎪⎫i －1n 与f ⎝⎛⎭⎫i n 近似代替f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值得到的积分和是不相等的，但当n →∞时其积分和的极限值相等，都等于f (x )在[0,1]上的定积分．故选C.5．下列积分值等于1的积分是( ) A.⎠⎛01x d xB ．⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d xD ．⎠⎛0112d x[答案] C[解析] ⎠⎛011d x 的几何意义是由直线x ＝0，x ＝1, y ＝0和y ＝1围成平面图形的面积，其值为1.故选C.6．设f (x )在[a ，b ]上连续，将[a ，b ]n 等分，在每个小区间上任取ξi ，则⎠⎛ab f (x )d x 是( )A.lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi ) B ．lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi)·b －an C.lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi )·ξi D ．lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi )·(ξi ＋1－ξi ) [答案] B[解析] 由定积分的定义可知B 正确．7．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为( )A.33 B ．32C.34D ．1[答案] A8．下列命题不正确的是( )A ．若f (x )是连续的奇函数，则⎠⎛－aaf (x )d x ＝0 B ．若f (x )是连续的偶函数，则⎠⎛－a af (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x C ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则⎠⎛ab f (x )d x >0D ．若f (x )在[a ，b ]上连续且⎠⎛ab f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b ]上恒正[答案] D[解析] 对于A ：因为f (x )是奇函数，所以图象关于原点对称，所以x 轴上方的面积和x 轴下方的面积相等，故积分是0，所以A 正确，对于B ：因为f (x )是偶函数，所以图象关于y 轴对称，故图象都在x 轴下方或上方且面积相等，故B 正确，C 显然正确．D 选项中f (x )也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f (x )>0的曲线围成的面积比f (x )<0的曲线围成的面积大．故选D.二、填空题9.lim n →＋∞ ⎝⎛⎭⎫1n ＋2n ＋…＋n ＋1n ·1n 写成定积分是________． [答案] ⎠⎛01x d x10．已知⎠⎛02f (x )d x ＝3，则⎠⎛02[f (x )＋6]d x ＝________.[答案] 1511．定积分⎠⎛243d x 的几何意义是________．[答案] 由直线x ＝2，x ＝4，y ＝0和y ＝3所围成的矩形的面积三、解答题12．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)．[解析] 由曲线所围成的区域图形可知：(1)sin x d x ；(2)⎠⎛-4212x 2d x ；(3)－⎠⎛49(－x 12 )d x .一、选择题1．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值，可以用________近似代替．( )A ．f ⎝⎛⎭⎫1n B ．f ⎝⎛⎭⎫2n C ．f ⎝⎛⎭⎫i n D ．f (0)[答案] C2．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值等于( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点函数值f (ξi )(ξ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均不正确 [答案] C3．设连续函数f (x )>0，则当a 0， ∴曲边梯形在x 轴上方， ∴⎠⎛ab f (x )d x >0.故选A.4．已知t >0，若⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，则t ＝( )A ．1B ．－2C ．－2或4D ．4[答案] D[解析] 作出函数f (x )＝2x －2的图象与x 轴交于点A (1,0)，与y 轴交于点B (0，－2)，易求得S △OAB ＝1，∵⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，且⎠⎛01(2x －2)d x ＝－1，∴t >1，∴S △AEF ＝12|AE ||EF |＝12×(t －1)(2t －2)＝(t －1)2＝9，∴t ＝4，故选D.二、填空题5．正弦曲线y ＝sin x 在[0,2π]上的一段曲线与x 轴所围成平面图形的面积用定积分可表示为________．[答案] ⎠⎛2π0|sin x |d x6．已知⎠⎛a b f (x )d x ＝6，则⎠⎛ab 6f (x )d x 等于________．[答案] 367．已知⎠⎛a b [f (x )＋g (x )]d x ＝18，⎠⎛a b g (x )d x ＝10，则⎠⎛ab f (x )d x 等于________．[答案] 8 三、解答题8．利用定积分的几何意义求： (1)⎠⎛-22 4－x 2d x ；(2)⎠⎛011－x 2d x .[解析] (1)被积函数的曲线是圆心在原点，半径为2的半圆周，由定积分的几何意义知此积分计算的是半圆的面积，∴有⎠⎛-224－x 2d x ＝π·222＝2π. (2)∵被积函数为y ＝1－x 2，其表示的曲线为以原点为圆心，1为半径的四分之一圆，由定积分的几何意义可知所求的定积分即为四分之一圆的面积．∴⎠⎛011－x 2d x ＝14π·12＝14π.9．求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0及曲线y ＝x 3围成的曲边梯形的面积．(提示：此处用到了求和公式13＋23＋…＋n 3＝(1＋2＋…＋n )2＝[n (n ＋1)2]2)[解析] 将[0,2]平均分成n 等份，每份2n ，第i 个小曲边梯形的面积S 1＝2n ·(2i n )3，S ＝lim n →＋∞ 2n [(2n )3＋(4n )3＋…＋(2n n )3]＝lim n →＋∞ 16n 4(13＋23＋…＋n 3)＝lim n →＋∞ 4(n ＋1)2n 2＝4.。

高二文科数学期末复习卷(必修二+选修1-1前两章)

高二数学期末考试模拟测试卷一、选择题1．已知不重合的两直线1l 与2l 对应的斜率分别为1k 与2k ，则“21k k =”是“1l ∥2l ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不是充分也不是必要条件210，则实数m 的值是（） A ．16- B ．4 C ．16 D ．813．如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（）A．π D4．已知实数0,0,0><>c b a ，则直线0=-+c by ax 通过（） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限5．若M N 、为两个定点且||6MN =，动点P 满足PM PN 0⋅=u u u r u u u r，则P 点的轨迹是（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线6．“1x >”是“210x ->”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7表示双曲线，则实数k 的取值范围是（） A ．1k D ．1k <或3k >8．已知A(1，0)，B(2，a)，C(a ，1)，若A ，B ，C 三点共线，则实数a 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．D ．9．已知21,F F 为双曲线222=-y x 的左，右焦点，点P 在该双曲线上，且212PF PF =，则21cos PF F ∠=( )A.41 B. 53 C. 43 D. 54 10．设曲线C 的方程为(x-2)2+(y+1)2=9，直线l 的方程为x-3y+2=0，则曲线C 上到直线l 的距离为71010的点的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 11．在正方体中，M 是棱的中点，点O 为底面ABCD 的中心，P 为棱A 1B 1上任一点，则异面直线OP 与AM 所成的角的大小为( ) A ．B ．C ．D ．12．已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 为切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为( )． A ．4 B ．3 C ．2 D.2 二、填空题 13．命题“4,2>++∈∀x x R x ”的否定是 .14．若原点在直线上的射影为(2,1)A -，则的方程为____________________. 15．抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 .16．已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的弦交椭圆于A ，B 两点，且2F ∆AB 是等腰直角三角形，则椭圆的离心率是．三、解答题17．命题p : 关于x 的不等式2240x ax ++>，对一切x R ∈恒成立; 命题q : 函数()(32)x f x a =-在R 上是增函数.若p 或q 为真， p 且q 为假，求实数a 的取值范围.18．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，有三个点的坐标分别是(4,0),(0,6),(1,2)A B C -. （1）证明：A ，B ，C 三点不共线；（2）求过A ，B 的中点且与直线20x y +-=平行的直线方程；（3）求过C 且与AB 所在的直线垂直的直线方程. 19．（本小题满分14分）已知圆心C 在x 轴上的圆过点(2,2)A 和(4,0)B . （1）求圆C 的方程；（2）求过点(4,6)M 且与圆C 相切的直线方程；（3）已知线段PQ 的端点Q 的坐标为(3,5)，端点P 在圆C 上运动，求线段PQ 的中点N 的轨迹. 20．（本小题满分14分）如图6，已知点C 是圆心为O 半径为1的半圆弧上从点A 数起的第一个三等分点，AB 是直径，1CD =，直线CD ⊥平面ABC .（1）证明：AC BD ⊥；（2）在DB 上是否存在一点M ，使得OM ∥平面DAC ，若存在，请确定点M 的位置，并证明之；若不存在，请说明理由；（3）求点C 到平面ABD 的距离. 21．（本小题满分14分）已知椭圆C 的两个焦点的坐标分别为E (1,0)-，F (1,0)，并且经过点（22，23），M 、N 为椭圆C 上关于x 轴对称的不同两点. （1）求椭圆C 的标准方程；u u u u r u u u r（3）若12(,0),(,0)A x B x 为x 轴上两点，且122x x =，试判断直线,MA NB 的交点P 是否在椭圆C 上，并证明你的结论.22．如图，在三棱锥ABC S -中，⊥SA 底面ABC ，ο90=∠ABC ，且AB SA =，点M 是SB 的中点，SC AN ⊥且交SC 于点N . （1）求证：⊥SC 平面AMN ；（2）当1AB BC ==时，求三棱锥SAN M -的体积.SCB AMN23．已知椭圆C ：2222x y a b＋＝1(a>b>0)，点A 、B 分别是椭圆C 的左顶点和上顶点，直线AB 与圆G ：x 2＋y 2＝24c (c 是椭圆的半焦距)相离，P 是直线AB 上一动点，过点P 作圆G 的两切线，切点分别为M 、N.(1)若椭圆C 经过两点421,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、33,13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，求椭圆C 的方程； (2)当c 为定值时，求证：直线MN 经过一定点E ，并求OP uuu r ·OE uuu r的值(O 是坐标原点)；(3)若存在点P 使得△PMN 为正三角形，试求椭圆离心率的取值范围．.参考答案1．A 【解析】试题分析：前提是两条不重合的直线，所以当12k k =时，有12//l l ，但当12//l l 时，却得不到12k k =，因为当两条直线平行但斜率不存在时，谈不上斜率的问题，如直线1x =与直线2x =平行，却得不出直线的斜率，故“12k k =”是“12//l l ”的充分不必要条件，选A.考点：1.充分必要条件；2.两直线平行的条件. 2．C 【解析】，可得229,(0)a b m m ==>，而210c =，所以由222c a b =+可得2952516m m +==⇒=，故选C.考点：双曲线的定义及其标准方程. 3．C 【解析】1的圆柱，所以C.考点：1.三视图；2.空间几何体的结构特征；3.空间几何体的侧面积. 4．C 【解析】试题分析：由0ax by c +-=得因为0,0,0a b c ><>，所以直线0ax by c +-=通过一、三、四象限，选C. 考点：确定直线位置的几何要素.5．A 【解析】试题分析：当P 与点M N 、•不重合时，由PM PN 0⋅=u u u r u u u r可知PM PN ⊥，即90MPN ∠=︒，而点M N 、•为定点，所以动点P 的轨迹是以MN 为直径的圆（除点M N 、•外），而当P 与点M N 、•重合时，显然满足PM PN 0⋅=u u u r u u u r，综上可知，动点P 的轨迹是圆，选A.考点：动点的轨迹问题. 6．A 【解析】试题分析：由210x ->可以解得1x <-或1x >，所以“1x >”是“210x ->”的充分不本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

上海市七宝 2021-2022学年高二下学期期末考试数学试卷

七宝中学2021学年第二学期高二年级期末考试数学试卷出卷人卜照泽审卷人尹赵本场考试时间120分钟，满分150分.一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第16题每题4分，712题每题5分）1. 在5(1的展开式中，2x 的系数为 .(用数字作答)2. 将5个人排成一排，若甲和乙须排在在一起，则有种不同的排法.(用数字作答)3. 某校有高一、高二、高三三个年级，其人数之比为2:2:1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为10的样本，现从所抽取样本中选两人做问卷调查，至少有一个是高一学生的概率为 .4. 已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m ，n 的比值mn= .5. 抗击疫情期间，小志参与了社区志愿者工作.现在要对服务时长排名前20％的志愿者进行表彰.该社区的志愿者服务时长（单位：小时）如下：186.0 102.0 22.0 64.0 36.0 68.0 106.0 126.0 110.0 210.0 124.0 226.0 154.0 230.0 58.0 162.0 70.0 162.0 166.0 16.0 根据以上数据，该社区志愿者服务时长的第80百分位数是 .（精确到0.1） 6．某学校从4名男生和2名女生中任选3人作为参加两会的志愿者，设随机变量X 表示所选3人中女生的人数，则()1P X ≤＝．7. 某新能源汽车销售公司统计了某款汽车行驶里程x (单位：万千米)对应维修保养费用y (单位：万元)的四组数据，这四组数据如下表：若用最小二乘法求得回归直线方程为ˆ0.58yx b =+，则估计该款汽车行驶里程为6万千米时的维修保养费是 .8. 新冠肺炎疫情发生后，我国加紧研发新型冠状病毒疫苗，某医药研究所成立疫苗研发项目，组建甲、乙两个疫苗研发小组，且两个小组独立开展研发工作.已知甲小组研发成功的概率为23，乙小组研发成功的概率为12.在疫苗研发成功的情况下，是由甲小组研发成功的概率为 .9.小强对重力加速度做n 次实验，若以每次实验的平均值作为重力加速度的估值，已知估值的误差290,n N n ⎛⎫⎪⎝∆⎭～，为使误差n ∆在()0.5.0.5−内的概率不小于0.6827 ，小强至少需要做次实验.（参考数据：若()2,X N μσ～，()0.6827P X μσμσ−≤≤+=） 10. 设随机变量X ，Y 满足：31Y X =−，()2,XB p ，若()519P X ≥=，则[]D Y = . 11. 设随机事件A 、B ，己知()0.4P A =，()0.3P B A =，()0.2P B A =，则()P B = . 12.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为1p 、2p 、3p ，且3210p p p >>>．记该棋手连胜两盘且在第二盘与甲、乙、丙比赛的概率分别为p 甲、p 乙、p 丙，则p 甲、p 乙、p 丙的大小关系为 .二、选择题：（本大题共4小题，每题5分，满分20分）13. 在进行n 次重复试验中，事件A 发生的频率为mn，当n 很大时，事件A 发生的概率()P A 与mn的关系是 ( )A ．()P A mn≈ B ．()m P A n < C ．()m P A n > D ．()m P A n =14．若二项式1()2n x −展开式中所有项的系数之和为n a ，所有项的系数绝对值之和为n b ，二项式系数之和为n c ，则下列结论不成立的是（）A ．n n n a b c <15. 由于疫情各地教师通过网络直播､微课推送等多种方式来指导学生线上学习.为了调查学生对网络课程的热爱程度，研究人员随机调查了相同数量的男､女学生，发现有80%的男生喜欢网络课程，有40%的女生不喜欢网络课程，且有99%的把握但没有99.9%的把握认为是否喜欢网络课程与性别有关，则被调查的男､女学生总数量可能为（）附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d −=++++，其中n a b c d =+++.A ．130 16．信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1n i i i P X i p i n p ===>==∑，定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==−∑.命题1：若1(1,2,,)i p i n n==，则()H X 随着n 的增大而增大；命题2：若2n m =，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +−==+=，则()()H X H Y ≤.则以下结论正确的是（） A ．命题1正确，命题2错误 B ．命题1错误，命题2正确 C ．两个命题都错误 D ．两个命题都正确三、解答题（本大题共5题，满分76分）17. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）求满足下列方程组的正整数的解： (1)32228n n P P =；(2)112311n n n nn n n n C C C C +−−+++−=+.18．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知()(31),,1N n f x x n n =−∈≥.(1)若()f x 的二项展开式中只有第7项的二项式系数最大，求展开式中2x 的系数； (2)若2023n =，且()2023220230122023(31)f x x a a x a x a x =−=++++，求012023a a a +++.19．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）为了调查某校学生体质健康达标情况，现采用随机抽样的方法从该校抽取了m 名学生进行体育测试．根据体育测试得到了这m 名学生的各项平均成绩(满分100分)，按照以下区间分为7组：[)30,40，[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，并得到频率分布直方图(如)．已知测试平均成绩在区间[)30,60内的有20人．(1)求m 的值及中位数n ；(2)若该校学生测试平均成绩小于n ，则学校应适当增加体育活动时间．根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加体育活动时间？20. （本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．设每场比赛双方获胜的概率都为12．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．(1)求甲连胜四场的概率；(2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率．21. （本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）2022年冬奥会刚刚结束，比赛涉及到的各项运动让人们津津乐道．高山滑雪（Alpine Skiing）是以滑雪板、雪鞋、固定器和滑雪杖为主要用具，从山上向山下，沿着旗门设定的赛道滑下的雪上竞速运动项目．冬季奥运会高山滑雪设男子项目、女子项目、混合项目．其中，男子项目设滑降、回转、大回转、超级大回转、全能5个小项，其中回转和大回转属技术项目．现有90名运动员参加该项目的比赛，组委会根据报名人数制定如下比赛规则：根据第一轮比赛的成绩，排名在前30位的运动员进入胜者组，直接进入第二轮比赛，排名在后60位的运动员进入败者组进行一场加赛，加赛排名在前10位的运动员从败者组复活，进入第二轮比赛．现已知每位参赛运动员水平相当．（1）求每位运动员进入胜者组的概率，及每位败者组运动员复活的概率；（2）从所有参赛的运动员中随机抽取5人，设这5人中进入胜者组的人数为X，求X的分布列和数学期望；（3）从败者组中选取10人，其中最有可能有多少人能复活？试用你所学过的数学和统计学理论进行分析．。

高二数学立体几何(1)

平面的基本性质，两直线的位置关系一、选择题（本题每小题5分，共50分）1．若直线上有两个点在平面外，则（）A ．直线上至少有一个点在平面内B ．直线上有无穷多个点在平面内C ．直线上所有点都在平面外D ．直线上至多有一个点在平面内 2．在空间中，下列命题正确的是（） A ．对边相等的四边形一定是平面图形B ．四边相等的四边形一定是平面图形C ．有一组对边平行且相等的四边形是平面图形D ．有一组对角相等的四边形是平面图形 3．在空间四点中，无三点共线是四点共面的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4．用一个平面去截正方体，则截面形状不可能是（）A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形 5．如图:正四面体S －ABC 中，如果E ，F 分别是SC ，AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（） A ．90° B ．45°C ．60°D ．30°6．一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，那么它与另一条直线的位置关系是（）A ．相交B ．异面C ．平行D ．相交或异面7．异面直线a 、b 成60°，直线c ⊥a ，则直线b 与c 所成的角的范围为（）A ．[30°，90°]B ．[60°，90°]C ．[30°，60°]D ．[60°，120°]8．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，① BM 与ED 平行； ② CN 与BE 是异面直线；③ CN 与BM 成60角； ④ DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（）A ．①②③B ．②④C .③④D ．②③④9．梯形ABCD 中AB//CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是（） A ．平行 B ．平行或异面 C ．平行或相交 D ．异面或相交 10．在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、AD 上的点，且AE ：EB ＝AF ：FDN D C ME A B F＝1 ：4，又H 、G 分别为BC 、CD 的中点，则（） A ．BD//平面EFGH 且EFGH 是矩形 B ．EF//平面BCD 且EFGH 是梯形C ．HG//平面ABD 且EFGH 是菱形 D ．HE//平面ADC 且EFGH 是平行四边形二．填空题（本题每小题6分，共24分）11．若直线a, b 与直线c 相交成等角，则a, b 的位置关系是．12．在四面体ABCD 中，若AC 与BD 成60°角，且AC ＝BD ＝a ，则连接AB 、BC 、CD 、DA 的中点的四边形面积为．13．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝3，AA 1＝4，则异面直线AB 1与 A 1D 所成的角的余弦值为．14．把边长为a 的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使A 、C 的距离等于a ，如图所示，则异面直线AC 和BD 的距离为．三、解答题（共76分）15．（12分）已知△ABC 三边所在直线分别与平面α交于P 、Q 、R 三点，求证：P 、Q 、R 三点共线 .16．（12分）在空间四边形ABCD 中，M 、N 、P 、Q 分别是四边上的点，且满足PDCPQD AQ NB CN MB AM ====k .求证：M 、N 、P 、Q 共面.17．（12分）已知：平面,//,,,a c c A a b b a 且平面βαβα⊂=⋂⊂=⋂求证：b 、c 是异面直线18．（12分）如图，已知空间四边形ABCD 中，AB =CD =3，E 、F 分别是BC 、AD 上的点，并且BE ∶EC =AF ∶FD =1∶2，EF =7，求AB 和CD 所成角的大小.19．（14分）四面体A-BCD 的棱长均为a ，E 、F 分别为楞AD 、BC 的中点，求异面直线AF 与CE 所成的角的余弦值．20．（14分）在棱长为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、F分别是BC、A′D′的中点.（2）求直线A′C与DE所成的角；直线和平面的位置关系一、选择题（本题每小题5分，共50分）1．下列命题：① 一条直线在平面内的射影是一条直线；② 在平面内射影是直线的图形一定是直线；③ 在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等；④ 两斜线与平面所成的角相等，则这两斜线互相平行.其中真命题的个数是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．下列命题中正确的是（）A ．若平面M 外的两条直线在平面M 内的射影为一条直线及此直线外的一个点，则这两条直线互为异面直线B ．若平面M 外的两条直线在平面M 内的射影为两条平行直线，则这两条直线相交C ．若平面M 外的两条直线在平面M 内的射影为两条平行直线，则这两条直线平行D ．若平面M 外的两条直线在平面M 内的射影为两条互相垂直的直线，则这两条直线垂直3．相交成60°的两条直线与一个平面α所成的角都是45°，那么这两条直线在平面α内的射影所成的角是（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°4．已知A 、B 两点在平面α的同侧，AC ⊥α于C ，BD ⊥α于D ，并且AD ∩BC ＝E ，EF ⊥α于F ，AC ＝a ，BD=b ，那么EF 的长等于（）A ．b a ab +B ．ab b a +C ．b a 2+D ．2ba +5．P A 、PB 、PC 是从P 点引出的三条射线，每两条夹角都是60°，那么直线PC 与平面P AB 所成角的余弦值是（）A ．21B ．22C ．36 D ．33 6．Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠C ＝30°，D 是BC 的中点，AC ＝2，DE ⊥平面ABC ，且DE ＝1，则点E 到斜边AC 的距离是（）A ．25 B ．211 C ．27 D ．419 7．如图，PA ⊥矩形ABCD ，下列结论中不正确的是（） A ．PB ⊥BC B ．PD ⊥CD C ．PD ⊥BD D ．PA ⊥BD8．如果α∥β，AB 和AC 是夹在平面α与β之间的两条线段，AB ⊥AC ，且AB ＝2，直线AB 与平面α所成的角为30°，那么线段AC 的长的取值范围是（）A． B ．[1,)+∞ C． D．)+∞9．若a , b 表示两条直线，α表示平面，下面命题中正确的是（） A ．若a ⊥α, a ⊥b ，则b //α B ．若a //α, a ⊥b ，则b ⊥αC ．若a ⊥α,b ⊂α，则a ⊥bD ．若a //α, b //α，则a //b10．如果直角三角形的斜边与平面α平行，两条直角边所在直线与平面α所成的角分别为 21θθ和，则（） A ．1sin sin 2212≥+θθ B ．1sin sin 2212≤+θθC ．1sin sin 2212>+θθD ．1sin sin 2212<+θθ二、填空题（本题每小题6分，共24分）11．已知△ABC ，点P 是平面ABC 外一点，点O 是点P 在平面ABC 上的射影，（1）若点P 到△ABC 的三个顶点的距离相等，那么O 点一定是△ABC 的；（2）若点P 到△ABC 的三边所在直线的距离相等且O 点在△ABC 内，那么O 点一定是△ABC 的．12．已知△ABC 中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°，△ABC 所在平面外一点P 到此三角形三个顶点的距离都是14，则点P 到平面ABC 的距离是 13．如图所示，矩形ABEF 与矩形EFDC 相交于EF ，且BE ⊥CE ，AB ＝CD ＝4，BE ＝3，CE ＝2， ∠EAC ＝α，∠ACD ＝β，则cos α∶cos β＝．14．AB ∥CD ，它们都在平面α内，且相距28．EF ∥α，且相距15． EF ∥AB ，且相距17．则EF 和CD 间的距离为．三、解答题（共76分） 15．（12分）如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角.16．（12分）A 是△BCD 所在平面外的点，∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2. （1）求证：AB ⊥CD ；（2）求AB 与平面BCD 所成角的余弦值.17．（12分）如图，已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，P A ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PC 的中点．（1）求证：EF ∥平面P AD ；（2）求证：EF ⊥CD ；（3）若∠PDA ＝45︒，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小．18．（12分）在ABC ∆中，︒=∠75BAC ，线段VA ⊥平面ABC ，点A 在平面VBC 上的射影为H.求证：H 不可能是VBC ∆的垂心.19．（14分）AB 是⊙O 的直径，C 为圆上一点，AB ＝2，AC ＝1， P 为⊙O 所在平面外一点，且PA ⊥⊙O ， PB 与平面所成角为45 （1）证明：BC ⊥平面PAC ；（2）求点A 到平面PBC 的距离．20．（14分）如图所示，在斜边为AB的Rt△ABC中，过A作P A⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N.（2）求证：PB⊥面AMN.（3）若P A=A B=4，设∠BPC=θ，试用tanθ表示△AMN的面积，当tanθ取何值时，△AMN的面积最大？最大面积是多少？平面和平面的位置关系一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列命题中正确的是（） A ．垂直于同一平面的两平面平行 B ．垂直于同一直线的两平面平行 C ．与一直线成等角的两平面平行 D ．Rt ∠ABC 在平面α的射影仍是一个直角，则∠ABC 所在平面与平面α平行 2．ABCD 是一个四面体，在四个面中最多有几个是直角三角形（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题： ①若m ⊂α、n ∥β,则m ∥n ； ②若m ∥α、n ∥β,则α∥β； ③若α∩β＝n ，m ∥n ，则m ∥α，m ∥β；④若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β．其中真命题的个数是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4．已知二面角α－AB －β的平面角为θ，α内一点C 到β的距离为3，到棱AB 的距离为4，则tan θ等于（）A ．34B ．35CD5．下列命题：① 若直线a //平面α，平面α⊥平面β，则α⊥β; ② 平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则α⊥γ；③ 直线a ⊥平面α，平面α⊥平面β，则a //β； ④ 平面α// 平面β，直线a ⊂平面α，则a //β．其中正确命题的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．二面角α－AB －β的平面角为锐角，C 是α内的一点（它不在棱AB 上），点D 是C 在平面β内的射影，点E 是AB 上满足∠CEB 为锐角的任意一点，那么（） A ．∠CEB>∠DEB B ．∠CEB<∠DEB C ．∠CEB=∠DEB D ．无法确定7．如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足：l βγ=⋂，//l α，,m m αγ⊂⊥，那么必有（） A ．,l m αγ⊥⊥ B ．,//m αγβ⊥ C ．//,m l m β⊥ D ．//,αβαβ⊥ 8．已知：矩形ADEF ⊥矩形BCEF ，记∠DBE ＝α， ∠DCE ＝β，∠BDC ＝θ，则（） A ．sin α＝sin βsin θ B ．sin β＝sin αcos θ C ．cos α＝cos βcos θ D ．cos β＝cos αcos θ9．若有平面α与β，且l P P l ∉α∈β⊥α=βα,,, ，则下列命题中的假命题为（）A ．过点P 且垂直于α的直线平行于βB ．过点P 且垂直于l 的平面垂直于βC ．过点P 且垂直于β的直线在α内D ．过点P 且垂直于l 的直线在α内10．空间三条射线PA ，PB ，PC 满足∠APC=∠APB=60°，∠BPC=90°，则二面角B-PA-C的度数（）A ．等于90°B ．是小于120°的钝角C ．是大于等于120°小于等于135°的钝角D ．是大于135°小于等于150°的钝角二、填空题：本大题满分24分，每小题6分，各题只要求直接写出结果. 11．如图所示，E 、F 、G 是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1相应棱的中点，则（1）面EFG 与面ABCD 所成的角为；（2）面EFG 与面ADD 1A 1所成的角为． 12．斜线PA 、PB 于平面α分别成40°和60°，则∠APB 的取值范围为13．在直角△ABC 中，两直角边AC ＝b ，BC ＝a ，CD ⊥AB 于D ，把这个Rt △ABC 沿CD 折成直二面角A －CD －B 后， cos ∠ACB ＝．14．如图，两个矩形ABCD 和ABEF 中，AD ＝AF ＝1， DC ＝EF ＝，则AB 与CF 所成角θ的大小范围是．三、解答题：本大题满分76分. 15．（本小题满分12分）.//,,//,,,:αββαb b a a b a 且且是异面直线已知⊂⊂ 求证：βα//．16．（本小题满分12分）正方体ABCD-A ′B ′C ′D ′棱长为1．（1）证明：面A ′BD ∥面B ′CD ′；（2）求点B ′到面A ′BD 的距离．（14分）17．（本小题满分12分）如图，平面α∥平面β，点A 、C ∈α，B 、D ∈β，点E 、F 分别在线段AB 、CD 上，且FDCFEB AE =，求证：EF ∥β.18．（本小题满分12分）如图，四面体ABCD 中，△ABC 与△DBC 都是边长为4的正三角形.（1）求证：BC ⊥AD ；（2）若点D 到平面ABC 的距离不小于3，求二面角A —BC —D 的平面角的取值范围；（3）求四面体ABCD 的体积的最大值.19．（本小题满分14分）在长方体1111D C B A ABCD -中，11==AD AA ，底边AB 上有且只有一点M 使得平面⊥DM D 1平面MC D 1. （1）求异面直线C C 1与M D 1的距离；（2）求二面角D C D M --1的大小.20．（本小题满分14分）如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是BB 1、CD 的中点. （1）证明AD ⊥D 1F; （2）求AE 与D 1F 所成的角; （3）证明面AED ⊥面A 1FD 1;（4）111112ED A F V ED A F AA --=的体积，求三棱锥设．空间角和距离一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线m 与平面α间距离为d ，那么到m 与α距离都等于2d 的点的集合是（）A ．一个平面B ．一条直线C ．两条直线D ．空集2．异面直线a 、b 所成的角为θ，a 、b 与平面α都平行，b ⊥平面β，则直线a 与平面β所成的角（） A ．与θ相等 B ．与θ互余 C ．与θ互补 D ．与θ不能相等．3．在正方体ABCD —A 'B 'C 'D '中，BC '与截面BB 'D 'D 所成的角为（）A ．3π B ．4π C ．6πD ．arctan24．在正方形SG 1G 2G 3中，E ，F 分别是G 1G 2及G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现在沿SE ，SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1，G 2，G 3三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S －EFG 中必有（） A ．SG ⊥△EFG 所在平面 B ．SD ⊥△EFG 所在平面C ．GF ⊥△SEF 所在平面D ．GD ⊥△SEF 所在平面5．有一山坡，它的倾斜角为30°，山坡上有一条小路与斜坡底线成45°角，某人沿这条小路向上走了200米，则他升高了（） A ．1002米B ．502米C ．256米D ．506米6．已知三棱锥D －ABC 的三个侧面与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小为（）A ．arccos 33B ．arccos 31 C ．2π D ．32π7．正四面体A —BCD 中E 、F 分别是棱BC 和AD 之中点，则EF 和AB 所成的角（）A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．30︒8．把∠A =60°，边长为a 的菱形ABCD 沿对角线BD 折成60°的二面角，则AC 与BD 的距离为（）A ．43a B ．43 a C ．23 a D ．46a 9．若正三棱锥的侧面均为直角三角形，侧面与底面所成的角为α，则下列各等式中成立的是（）A ．0＜α＜6π B ．6π＜α＜4π C ．4π＜α＜3π D ．3π＜α＜2π10．已知A （1，1，1），B （－1，0 ，4），C （2 ，－2，3），则〈AB ，CA 〉的大小为（）A ．6πB ．65πC ．3πD ．32π二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．从平面α外一点P 引斜线段PA 和PB ，它们与α分别成45︒和30︒角，则∠APB 的最大值是______最小值是_______12．∆ABC 中∠ACB=90︒，PA ⊥平面ABC ，PA=2，AC=2 3 ，则平面PBC 与平面PAC ，平面ABC 所成的二角的大小分别是______、_________． 13．在三棱锥Ｐ－ＡＢＣ中，90=∠ABC ，30=∠BAC ，ＢＣ＝５，又ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ＝ＡＣ，则点Ｐ到平面ＡＢＣ的距离是．14．球的半径为8，经过球面上一点作一个平面，使它与经过这点的半径成45°角，则这个平面截球的截面面积为．三、解答题（共计76分）15．（本小题满分12分）已知SA ⊥平面ABC ，SA=AB ，AB ⊥BC ，SB=BC ，E 是SC 的中点，DE ⊥SC 交AC 于D ．（1）求证：SC ⊥面BDE ；（2）求二面角E —BD —C 的大小． 16．（本小题满分12分）如图，点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，1BB PM ⊥交1AA 于点M ， 1BB PN ⊥交1CC 于点N ．(1) 求证：MN CC ⊥1； (2) 在任意DEF ∆中有余弦定理：DFE EF DF EF DF DE ∠⋅-+=cos 2222．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明． 17．（本小题满分12分）如图，四棱锥S —ABCD 的底面是边长为1的正方形， SD 垂直于底面ABCD ，SB=3．（1）求证BC ⊥SC ；（2）求面ASD 与面BSC 所成二面角的大小；（3）设棱SA 的中点为M ，求异面直线DM 与SB 所成角的大小．1AB=a,(如图一)将△ADC 18．（本小题满分12分）在直角梯形ABCD中，∠D=∠BAD=90︒,AD=DC=2沿AC折起，使D到D'．记面AC D'为α,面ABC为β．面BC D'为γ．（1）若二面角α-AC-β为直二面角（如图二），求二面角β-BC-γ的大小;（2）若二面角α-AC-β为60︒（如图三），求三棱锥D'-ABC的体积．19．（本小题满分14分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点．（1）求证AM//平面BDE；（2）求二面角A-DF-B的大小；（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60︒．20．（本题满分14分）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直．点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若a BN CM ==)20(<<a ．（1）求MN 的长；（2）当a 为何值时，MN 的长最小；（3）当MN 长最小时，求面MNA 与面MNB 所成的二面角α的大小．二面角二面角问题因其需要充分运用立体几何第一章的线线、线面、面面关系，具有综合性强，灵活性大的特点，因此，一直成为高考、会考的热点。

2019-2020学年河南省信阳市第一职业高级中学高二数学理下学期期末试卷含解析

2019-2020学年河南省信阳市第一职业高级中学高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 电子钟一天显示的时间是从到，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四数字之和为的概率为、、、、参考答案：C2. 设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)e x的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)的图象是( )．参考答案：D3. 设函数，若是函数f(x)的极大值点，则实数a的取值范围是（）A．B．(－∞,1) C. [1,+∞) D．参考答案：A，因为在处取极大值，故且在的左侧附近为正，在的右侧附近为负.当时，，此时，当时，，当时，故在处取极大值.当时，应为的较小的正根，故，故；当时，有一个正根和负根，因对应的二次函数开口向下，故正跟为即可，故时，总存在使得为的极大值点.综上，的取值范围为，故选A.4. 设函数则a等于（）A.-1B.1C.-2 D.2参考答案：C略5. 一位同学对三元一次方程组（其中实系数不全为零）的解的情况进行研究后得到下列结论：结论1：当，且时，方程组有无穷多解；结论2：当，且都不为零时，方程组有无穷多解；结论3：当，且时，方程组无解．但是上述结论均不正确．下面给出的方程组可以作为结论1、2和3的反例依次为（）（1）；（2）；（3）（A）（1）（2）（3）（B）（1）（3）（2）（C）（2）（1）（3）（D）（3）（2）（1）参考答案：B6. 对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）30，则必有（）A．f（0）＋f（2）<2f（1） B. f（0）＋f（2）￡2f（1）C. f（0）＋f（2）32f（1）D. f（0）＋f（2）>2f（1）参考答案：C7. 设函数在定义域内可导,的图象如左图所示,则导函数可能为参考答案：D略8. 下列命题中正确的有（）个．①若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行．②空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．③四面体的四个面中，最多有四个直角三角形．④若两个平面垂直，则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线．A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑；立体几何．【分析】结合空间直线与直线位置关系，平行角定理，棱锥的几何特征，面面垂直的几何特征，逐一分析四个结论的真假，可得答案．【解答】解：①若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线相交，平行，或异面，故错误．②空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，由平行角定理可得正确．③四面体的四个面中，最多有四个直角三角形，如下图中四面体故正确．④若两个平面垂直，则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内垂直于两面交线的直线，这样的直线有无数条，故正确．故正确的命题个数是3个，故选：C．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查空间直线与直线位置关系，平行角定理，棱锥的几何特征，面面垂直的几何特征等知识点，难度中档．9. 函数的图像与函数()的图像的交点为,则( )A. 2B. 4C. 6D. 8参考答案：D:试题分析：的图象由奇函数的图象向右平移一个单位得到，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点的个数为偶数，且每一对对称点的横坐标之和为2，由此画图可得出正确答案，故选D考点：三角函数的周期性及其性质10. 已知命题P：“对任意”.命题q：“存在”.若“”是真命题，则实数取值范围是（）A. B. 或 C. 或D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，边长为a的正△ABC的中线A ks5u F与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，现给出下列四个命题：①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；②恒有平面A′GF⊥平面BCED；③三棱锥A′—FED的体积有最大值；④异面直线A′E与BD不可能互相垂直；其中正确命题的序号是．参考答案：①②③12. 在点（1,1）处的切线方程参考答案：13. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且c＝2a，则cos B的值为____________.参考答案：略14. 设集合数列单调递增，集合函数在区间上单调递增，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的最小值为．参考答案：略15. 某商场开展促销抽奖活动，摇出的中奖号码是8，2，5，3，7，1，参加抽奖的每位顾客从0～9这10个号码中任意抽出六个组成一组，若顾客抽出的六个号码中至少有5个与摇出的号码相同（不计顺序）即可得奖，则中奖的概率是_______．参考答案：16. 函数y=（x2﹣3）e x的单调减区间为．参考答案：（﹣3，1）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递减区间即可．【解答】解：y′=（x+3）（x﹣1）e x，令y′＜0，解得：﹣3＜x＜1，故函数在（﹣3，1）递减，故答案为：（﹣3，1）．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．17. 如图平面直角坐标系xOy中，椭圆，A1，A2分别是椭圆的左、右两个顶点，圆A1的半径为2，过点A2作圆A1的切线，切点为P，在x轴的上方交椭圆于点Q．则= ．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】数形结合；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】连结A2P，可得△OPA2是边长为a的正三角形，由此算出PA1、PO的方程，联解求出点P的横坐标m=﹣1．由A2P与圆A1相切得到A2P⊥PA1，从而得到直线A2P的方程，将PA2的方程与椭圆方程联解算出Q点横坐标s=．由=，把前面算出的横坐标代入即可求得的值．【解答】解：连结PO、PA1，可得△POA1是边长为2的等边三角形，∴∠PA1O=∠POA1=60°，可得直线PA1的斜率k1=tan60°=，直线PO的斜率k2=tan120°=﹣，因此直线PA1的方程为y=（x+2），直线PO的方程为y=﹣x，设P（m，n），联解PO、PA1的方程可得m=﹣1．∵圆A1与直线PA2相切于P点，∴PA2⊥PA1，可得∠PA2O=90°﹣∠PA1O=30°，直线PA2的斜率k=tan150°=﹣，因此直线PA2的方程为y=﹣（x﹣2），代入椭圆，消去y，得x2﹣x+=0，解之得x=2或x=．∵直线PA2交椭圆于A2（2，0）与Q点，∴设Q（s，t），可得s=．由此可得====．故答案为：．【点评】本题给出与椭圆相关的直线与圆相切的问题，求线段的比值．着重考查了直线的基本量与基本形式、直线与圆的位置关系、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

【解析版】数学高二下期末阶段练习(课后培优)(1)

一、选择题1．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(A 、ω、ϕ均为正的常数)的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（）A ．()()()220f f f -<<B ．()()()220f f f <-<C ．()()()202f f f -<<D ．()()()022f f f <-<2．已知向量a 、b 、c 满足a b c +=，且::1:1:2a b c =a 、b 夹角为（） A ．4π B ．34π C ．2π D ．23π 3．将函数sin()cos()22y x x ϕϕ=++的图象沿x 轴向右平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的取值不可能是（）A ．54π-B ．4π-C ．4π D ．34π 4．非零向量a b ，满足：a b a -=，()0a a b ⋅-=，则a b -与b 夹角的大小为 A ．135° B ．120° C ．60° D ．45°5．已知P （14，1），Q （54，－1）分别是函数()()cos f x x ωϕ=＋0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图象上相邻的最高点和最低点，则ωϕ-=（） A ．54π-B ．54πC ．－34π D ．34π 6．已知a R ∈，则“cos 02πα⎛⎫+> ⎪⎝⎭”是“α是第三象限角”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7．函数()sin()A f x x ωϕ=+(0,)2πωϕ><的部分图象如图所示，则()f π=（）A ．4B ．23C ．2D ．38．已知函数()(0,0)y sin x ωθθπω=+<为偶函数，其图象与直线1y =的某两个交点横坐标为1x 、2x ，若21x x -的最小值为π，则（） A ．2,2πωθ==B ．1,22==πωθ C ．1,24==πωθ D ．2,4==πωθ9．将函数y =2sin （ωx +π6）（ω>0）的图象向右移2π3个单位后，所得图象关于y 轴对称，则ω的最小值为 A ．2 B ．1 C ．12 D ．1410．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0a c b c -⋅-=，则c 的最大值是( ) A ．1B ．2C ．D ．11．已知角6πα-的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，终边过点()5,12P -，则7cos 12πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( ) A ．17226-B ．7226-C ．226D ．22612．已知4sin 5α，并且α是第二象限的角，那么tan()απ+的值等于 A ．43-B ．34-C ．34D ．4313．已知f (x )=A sin(ωx+θ)(ω>0),若两个不等的实数x 1,x 2∈()2A x f x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,且|x 1-x 2|min =π,则f (x )的最小正周期是( ) A ．3πB ．2πC ．πD ．π214．已知tan 3a =，则21cos sin 22a a +=（） A ．25-B ．3C ．3-D ．2515．设0002012tan15cos 22,,21tan 15a b c ===+，则有（） A ．c a b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．a c b <<二、填空题16．已知24sin 225θ=，02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_______________.17．已知向量a ，b 满足1a =，且()2a a b b -==，则向量a 与b 的夹角是__________．18．已知角θ的终边上的一点P 的坐标为()3,4，则cos 21sin 2θθ=+________________．19．函数()211sinsin (0)222x f x x ωωω=+->，若函数()f x 在区间x ∈(),2ππ内没有零点，则实数ω的取值范围是_____20．三棱锥V-ABC 的底面ABC 与侧面VAB 都是边长为a 的正三角形，则棱VC 的长度的取值范围是_________.21．在矩形ABCD 中， 3AB =， 1AD =，若M ， N 分别在边BC ， CD 上运动（包括端点，且满足BM CN BCCD=，则AM AN ⋅的取值范围是__________．22．设(1,3,2)a =-，(2,+1,1)b m n =-，且a //b ，则实数m n -=_____．23．为得到函数2y sin x =的图象,要将函数24y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移至少__________个单位. 24．已知已知sin π3()25α+=，α∈π(0,)2，则sin(π＋α)等于__________25．已知向量()()121a b m =-=，，，，若向量a b +与a 垂直，则m =______．三、解答题26．已知点(2,0)A -,(1,9)B ,(,)C m n ，O 是原点. （1）若点,,A B C 三点共线，求m 与n 满足的关系式；（2）若AOC ∆的面积等于3，且AC BC ⊥,求向量OC . 27．已知4a =，3b =，()()23261a b a b -⋅+=. （1）求向量a 与b 的夹角θ；（2）若()1c ta t b =+-，且0b c ⋅=，求实数t 的值及c . 28．已知函数()2sin 22cos 6f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）求函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域. 29．已知圆．（1）求过点(3,0)Q 的圆C 的切线l 的方程；（2）如图，(1,0),A M 定点为圆C 上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足2,0,AM AP NP AM =⋅=求N 点的轨迹．30．如图所示,函数()2cos (,0.0)2y x x R πωθωθ=+∈>≤≤的图象与y 轴交于点()0,3,且该函数的最小正周期为π.(1)求θ和ω的值； (2)已知点πA ,02⎛⎫⎪⎝⎭,点P 是该函数图象上一点,点00(,)Q x y 是PA 的中点,当003,,22y x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦时，求0x 的值.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．C3．C4．A5．B6．B7．A8．A9．B10．C11．B12．A13．A14．D15．A二、填空题16．【解析】【分析】由三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式求得再由两角差的余弦函数的公式即可求解【详解】由即则又由所以又由【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式以及正弦的倍角公式和两角差的余弦公式的17．【解析】【分析】先根据条件得再根据向量夹角公式求结果【详解】因为且所以因此【点睛】求平面向量夹角方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是几何方法从图形判断角的大小18．【解析】分析：由角的终边上的一点的坐标为求出的值利用将的值代入即可得结果详解：角的终边上的一点的坐标为那么故答案为点睛：本题主要考查三角函数的定义及二倍角的正弦公式与余弦公式属于中档题给值求值问题求19．【解析】分析：先化简函数f(x)再求得再根据函数在区间内没有零点得到不等式组最后解不等式组即得w的范围详解：由题得f(x)=因为所以当或时f(x)在内无零点由前一式得即由k=0得K取其它整数时无解同20．【解析】分析：设的中点为连接由余弦定理可得利用三角函数的有界性可得结果详解：设的中点为连接则是二面角的平面角可得在三角形中由余弦定理可得即的取值范围是为故答案为点睛：本题主要考查空间两点的距离余弦定21．19【解析】设则也即是化简得到其中故填点睛：向量数量积的计算有3个基本的思路：（1）基底法：如果题设中有一组不共线的向量它们的模长和夹角已知则其余的向量可以用基底向量去表示数量积也就可以通过基底向量22．8【解析】由题意得23．【解析】函数的解析式：则要将函数的图象向右平移至少个单位点睛：由y＝sinx的图象利用图象变换作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0ω＞0)(x∈R)的图象要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序24．【解析】由题意得25．【解析】利用平面向量的加法公式可得：由平面向量垂直的充要条件可得：解方程可得：三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．B 解析：B 【解析】依题意得，函数f （x ）的周期为π， ∵ω＞0，∴ω=2ππ=2．又∵当x=23π 时，函数f （x ）取得最小值， ∴2×23π +φ=2kπ+32π ，k ∈Z ，可解得：φ=2kπ+6π，k ∈Z ， ∴f （x ）=Asin （2x+2kπ+6π）=Asin （2x+6π）． ∴f （﹣2）=Asin （﹣4+6π）=Asin （6π﹣4+2π）＞0． f （2）=Asin （4+6π）＜0， f （0）=Asin 6π=Asin 56π＞0，又∵32π＞6π﹣4+2π＞56π＞2π，而f （x ）=Asinx 在区间（2π，32π）是单调递减的，∴f （2）＜f （﹣2）＜f （0）．故选：B ．2．C解析：C 【解析】【分析】对等式a b c +=两边平方，利用平面向量数量积的运算律和定义得出0a b ⋅=，由此可求出a 、b 的夹角. 【详解】等式a b c +=两边平方得2222a a b b c +⋅+=，即2222cos a b b c a θ+⋅+=，又::1:1:a b c =0a b ⋅=，a b ∴⊥，因此，a 、b 夹角为2π，故选：C. 【点睛】本题考查平面向量夹角的计算，同时也考查平面向量数量积的运算律以及平面向量数量积的定义，考查计算能力，属于中等题.3．C解析：C 【解析】试题分析：()1sin()cos()sin 2222y x x x ϕϕϕ=++=+将其向右平移8π个单位后得到：11sin 2sin 22824y x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若为偶函数必有：()42k k Z ππϕπ-=+∈，解得：()34k k Z πϕπ=+∈，当0k =时，D 正确，1k =-时，B 正确，当2k =-时，A 正确，综上，C 错误. 考点：1.函数的图像变换；2.函数的奇偶性.4．A解析：A 【解析】【分析】先化简()0a a b ⋅-=得2=a a b ⋅，再化简a b a -=得2b a =，最后求a b -与b 的夹角. 【详解】因为()0a a b ⋅-=，所以220=a a b a a b -⋅=∴⋅，，因为a b a -=，所以2222a a a b b =-⋅+，整理可得22b a b =⋅，所以有2b a =，设a b -与b 的夹角为θ，则()2cos a b b a b b a b ba bθ-⋅⋅-===-222222||a a =-，又0180θ︒≤≤︒，所以135θ=︒，故选A ．【点睛】本题主要考查数量积的运算和向量夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．B解析：B 【解析】【分析】由点P,Q 两点可以求出函数的周期，进而求出ω，再将点P 或点Q 的坐标代入，求得ϕ，即求出ωϕ-．【详解】因为512244πω⎛⎫-=⎪⎝⎭，所以ωπ=，把1,14P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的坐标代入方程()cos y x πϕ=+，得 ()24k k Z ϕππ=-+∈，因为2πϕ<，所以5,44ππϕωϕ=--=，故选B ．【点睛】本题主要考查利用三角函数的性质求其解析式．6．B解析：B 【解析】【分析】先化简“cos 02πα⎛⎫+> ⎪⎝⎭”，再利用充要条件的定义判断. 【详解】因为cos 02πα⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以-sin 0,sin 0,ααα>∴<∴是第三、四象限和y 轴负半轴上的角.α是第三、四象限和y 轴负半轴上的角不能推出α是第三象限角，α是第三象限角一定能推出α是第三、四象限和y 轴负半轴上的角，所以“cos 02πα⎛⎫+>⎪⎝⎭”是“α是第三象限角”的必要非充分条件. 故答案为：B. 【点睛】(1)本题主要考查充要条件的判断和诱导公式，考查三角函数的值的符号，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 判定充要条件常用的方法有定义法、集合法、转化法.7．A解析：A 【解析】试题分析：根据题意，由于函数()sin()A f x x ωϕ=+(0,)2πωϕ><，那么根据图像可知周期为2π，w=4，然后当x=6π,y=2，代入解析式中得到22sin(4)6πϕ=⨯+，6πϕ=-，则可知()f π=4，故答案为A.考点：三角函数图像点评：主要是考查了根据图像求解析式，然后得到函数值的求解，属于基础题．8．A解析：A 【解析】分析：首先根据12x x -的最小值是函数的最小正周期，求得ω的值，根据函数是偶函数，求得θ的值，从而求得正确的选项.详解：由已知函数sin()(0)y x ωθθπ=+<<为偶函数，可得2πθ=，因为函数sin()(0)y x ωθθπ=+<<的最大值为1，所以21x x -的最小值为函数的一个周期，所以其周期为T π=，即2=ππω，所以=2ω，故选A.点睛：该题考查的是有关三角函数的有关问题，涉及到的知识点有函数的最小正周期的求法，偶函数的定义，诱导公式的应用，正确使用公式是解题的关键，属于简单题目.9．B解析：B 【解析】将函数y =2sin （ωx +π6）（ω>0）的图象向右移2π3个单位后，可得y =2sin （ωx –2π3ω+π6）的图象，再根据所得图象关于y 轴对称，∴–2π3ω+π6=kπ+π2，k ∈Z ，即ω=–31–22k ，∴当k =–1时，ω取得最小值为1，故选B ． 10．C解析：C 【解析】【分析】【详解】试题分析：由于垂直，不妨设，，，则，，表示到原点的距离，表示圆心，为半径的圆，因此的最大值，故答案为C ．考点：平面向量数量积的运算．11．B解析：B【解析】分析：利用三角函数的定义求得66cos sin ππαα⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结果，进而利用两角和的余弦函数公式即可计算得解．详解：由三角函数的定义可得512,613613cos sin ππαα⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则773cos cos cos 12661264ππππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭33=cos cos sin sin 6464ππππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭512=1313⎛⎛⎫--= ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 点睛：本题考查任意角的三角函数的定义，两角和与差的余弦函数公式，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．12．A解析：A 【解析】【分析】由诱导公式可得()tan tan παα+=，由角的正弦值和角所在的象限，求出角的余弦值，然后，正弦值除以余弦值得正切值．即可得到答案【详解】 ∵4sin 5α=，并且α是第二象限的角，，35cos α∴-＝， ∴tanα＝43-，则么()4tan tan 3παα+==-. 故选A ．【点睛】本题考查给值求值问题．掌握同角三角函数的基本关系式和诱导公式，并会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．13．A解析：A 【解析】【分析】由题意可得123ππω⨯=，求得ω的值，可得()f x 的最小正周期是2πω的值【详解】由题意可得()1sin 2x ωθ+=的解为两个不等的实数1x ，2x且123ππω⨯=，求得23ω= 故()f x 的最小正周期是23ππω=故选A 【点睛】本题主要考查了的是三角函数的周期性及其图象，解题的关键根据正弦函数的图象求出ω的值，属于基础题14．D解析：D 【解析】【分析】根据正弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，化为齐次式，即可求解，得到答案．【详解】由题意，可得222221cos sin cos cos sin 2cos sin cos 2cos sin a a a a a a a a a a++=+=+221tan 1321tan 135a a ++===++，故选D ．【点睛】本题主要考查了正弦的倍角公式，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15．A解析：A 【解析】【分析】利用两角差的正弦公式化简a ，分子分母同乘以2cos 15结合二倍角的正弦公式化简b ，利用降幂公式化简c ，从而可得结果. 【详解】()sin 302sin28a =︒-︒=︒ ，222sin15cos15sin 30cos 15cos 15b ==+sin28a >=sin25sin28,c a b a c ==︒<︒=∴>>，故选A.【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式，两角差的正弦公式，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.二、填空题16．【解析】【分析】由三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式求得再由两角差的余弦函数的公式即可求解【详解】由即则又由所以又由【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式以及正弦的倍角公式和两角差的余弦公式的解析：75【解析】【分析】由三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，求得249(cos sin )25θθ+=，再由两角差的余弦函数的公式，即可求解．【详解】由24sin 225θ=，即242sin cos 25θθ=，则2222449(cos sin )cos 2sin cos sin 12525θθθθθθ+=++=+=，又由02πθ<<，所以cos 0,sin 0θθ>>，7cos()cos sin 45πθθθ-=+=．【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式，以及正弦的倍角公式和两角差的余弦公式的化简、求值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．17．【解析】【分析】先根据条件得再根据向量夹角公式求结果【详解】因为且所以因此【点睛】求平面向量夹角方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是几何方法从图形判断角的大小解析：120︒【解析】【分析】先根据条件得a b ⋅，再根据向量夹角公式求结果. 【详解】因为1a =，且()2a a b ⋅-=，所以2-2,121,a a b a b ⋅=∴⋅=-=- 因此112πcos ,,1223a b a b a b a b⋅-===-∴=⨯⋅. 【点睛】求平面向量夹角方法：一是夹角公式cos a b a bθ⋅=⋅；二是坐标公式cos θ=；三是几何方法，从图形判断角的大小.18．【解析】分析：由角的终边上的一点的坐标为求出的值利用将的值代入即可得结果详解：角的终边上的一点的坐标为那么故答案为点睛：本题主要考查三角函数的定义及二倍角的正弦公式与余弦公式属于中档题给值求值问题求解析：17-【解析】分析：由角θ的终边上的一点P 的坐标为()3,4，求出,cos sin θθ的值，利用2cos 212sin 1212cos sin sin θθθθθ-=++，将,cos sin θθ的值代入即可得结果. 详解：角θ的终边上的一点P 的坐标为()3,4，43,cos 55y x sin r r θθ∴====，那么216712cos 212sin 1252543491212cos 7125525sin sin θθθθθ-⨯--====-+++⨯⨯，故答案为17-. 点睛：本题主要考查三角函数的定义及二倍角的正弦公式与余弦公式，属于中档题.给值求值问题，求值时要注意：(1)观察角，分析角与角之间的差异以及角与角之间的和、差、倍的关系，巧用诱导公式或拆分技巧；(2)观察名，尽可能使三角函数统一名称；(3)观察结构，以便合理利用公式，整体化简求值.19．【解析】分析：先化简函数f(x)再求得再根据函数在区间内没有零点得到不等式组最后解不等式组即得w 的范围详解：由题得f(x)=因为所以当或时f(x)在内无零点由前一式得即由k=0得K 取其它整数时无解同解析：][1150,,848⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦【解析】分析：先化简函数f(x) )24wx π=-,再求得(,2),444wx w w πππππ-∈--再根据函数()f x 在区间x ∈ (),2ππ内没有零点得到不等式组，最后解不等式组即得w 的范围. 详解：由题得f(x)=1cos 1111sin sin cos )222224wx wx wx wx wx π-+-=-=-, 因为x ∈ (),2ππ，所以(,2),444wx w w πππππ-∈--当(,2)(2,2),44w w k k k z πππππππ--⊆+∈或(,2)(2,2),44w w k k k z πππππππ--⊆-∈时，f(x)在(),2ππ内无零点，由前一式得24,224k w w k πππππππ⎧≤-⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩即152,48k w k +≤≤+由k=0得1548w ≤≤， K 取其它整数时无解，同理，由后一式，解得1(0,]8w ∈，综上，w 的取值范围是][1150,,848⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦. 点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力数形结合的思想方法.(2)解答本题的关键有两点，其一是分析得到当(,2)(2,2),44w w k k k z πππππππ--⊆+∈或(,2)(2,2),44w w k k k z πππππππ--⊆-∈时，f(x)在(),2ππ内无零点，其二是进一步转化得到不等式组解不等式组. 20．【解析】分析：设的中点为连接由余弦定理可得利用三角函数的有界性可得结果详解：设的中点为连接则是二面角的平面角可得在三角形中由余弦定理可得即的取值范围是为故答案为点睛：本题主要考查空间两点的距离余弦定解析：)【解析】分析：设AB 的中点为D ，连接,,VD CD VC ，由余弦定理可得22233cos 22VC a a VDC =-∠，利用三角函数的有界性可得结果. 详解：设AB 的中点为D ，连接,,VD CD VC，则VD VC ==VDC ∠是二面角V AB C --的平面角，可得0,1cos 1VDC VDC π<∠<-<∠<，在三角形VDC 中由余弦定理可得，2222cos VC VDC ⎫⎫=+-∠⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2233cos 22a a VDC =-∠22030VC a VC <<⇒<<，即VC的取值范围是()，为故答案为().点睛：本题主要考查空间两点的距离、余弦定理的应用，意在考查空间想象能力、数形结合思想的应用，属于中档题.21．19【解析】设则也即是化简得到其中故填点睛：向量数量积的计算有3个基本的思路：（1）基底法：如果题设中有一组不共线的向量它们的模长和夹角已知则其余的向量可以用基底向量去表示数量积也就可以通过基底向量解析：[1,9] 【解析】设,BM BC CN CD λλ==，则()()··AM AN AB BM AD DN =++，也即是()()··1AM AN AB BC AD DC λλ⎡⎤=++-⎣⎦，化简得到·98AM AN λ=-，其中[]0,1λ∈，故[]·1,9AM AN ∈，填[]1,9．点睛：向量数量积的计算有3个基本的思路：（1）基底法：如果题设中有一组不共线的向量，它们的模长和夹角已知，则其余的向量可以用基底向量去表示，数量积也就可以通过基底向量间的运算去考虑；（2）坐标法：建立合适的坐标系，把数量积的计算归结为坐标的运算；（2）靠边靠角转化：如果已知某些边和角，那么我们在计算数量积时尽量往这些已知的边和角去转化．22．8【解析】由题意得解析：8 【解析】由题意得2115,3,8132m n m n m n +-==∴==--=- 23．【解析】函数的解析式：则要将函数的图象向右平移至少个单位点睛：由y ＝sinx 的图象利用图象变换作函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0ω＞0)(x ∈R)的图象要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序解析：8π 【解析】函数的解析式：sin 2sin 248y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 则要将函数24y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移至少8π个单位. 点睛：由y ＝sin x 的图象，利用图象变换作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)(x ∈R)的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x 轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是ϕω个单位．24．【解析】由题意得解析：4-5【解析】由题意得3π44cos ,(0,)sin ,sin(π)sin 5255ααααα=∈∴=+=-=- 25．【解析】利用平面向量的加法公式可得：由平面向量垂直的充要条件可得：解方程可得：解析：7【解析】利用平面向量的加法公式可得：()1,3a b m +=-+，由平面向量垂直的充要条件可得：()()()()1,31,2160a b a m m +⋅=-+⋅-=--++=，解方程可得：7m =.三、解答题 26．（1）360n m --=（2）()4,3OC =或()5,3OC =- 【解析】【分析】(1)由题意结合三点共线的充分必要条件确定m ,n 满足的关系式即可； (2)由题意首先求得n 的值，然后求解m 的值即可确定向量的坐标. 【详解】（1）()3,9AB =，()2,AC m n =+，由点A ，B ，C 三点共线，知AB ∥AC ，所以()3920n m -+=，即360n m --=；（2）由△AOC 的面积是3，得1232n ⨯⨯=，3n =±，由AC BC ⊥，得0AC BC ⋅=，所以()()2,1,90m n m n +⋅--=，即22920m n m n ++--=, 当3n =时，2200m m +-=，解得4m =或5m =-，当3n =-时，2340m m ++=，方程没有实数根，所以()4,3OC =或()5,3OC =-．【点睛】本题主要考查三点共线的充分必要条件，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.27．（1）23πθ=；（2）35t =，c =63. 【解析】【分析】（1）由向量的数量积，代值计算即可；（2）由数量积为0，代入计算即可. 【详解】（1）因为()()23261a b a b -⋅+= 故2244361a a b cos b θ-⋅-=解得：12cos θ=-因为[]0,θπ∈，所以23πθ=. （2）0b c ⋅= 则()()10b ta t b ⋅+-=()210ta b t b ⋅+-=化简得：159t = 解得：35t = 此时3255c a b =+ 23255a b ⎫+⎪⎭ 224122525a b a b ++⋅【点睛】本题考查向量数量积的运算，属基础题.28．（1）()π5ππ,π1212k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）512⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】化简()f x 解析式.（1）根据三角函数单调区间的求法，求得函数()f x 的单调增区间；（2）根据三角函数值域的求法，求得函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【详解】依题意()()ππsin 2cos cos 2sin 1cos 266f x x x x =--+33sin 2cos 2122x x =--π3sin 213x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.（1）由πππ2π22π232k x k -+≤-≤+，解得π5πππ1212k x k -≤≤+，所以()f x 的单调增区间为()π5ππ,π1212k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. （2）由于π02x ≤≤，所以ππ2π2333x -≤-≤，所以π53sin 21,3132x ⎛⎫⎡⎤--∈-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为5,312⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数单调区间的求法，考查三角函数值域的求法，考查运算求解能力，属于基础题.29．（1），（2）【解析】【分析】【详解】（1）由题意知所求的切线斜率存在，设其方程为，即；由得，解得，从而所求的切线方程为，．（2）∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM|．又∴动点N 的轨迹是以点C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆．且椭圆长轴长为焦距2c=2．∴点N 的轨迹是方程为30．(1)πθ6=.ω2=.(2)023x π=，或034x π=. 【解析】试题分析：(1)由三角函数图象与y 轴交于点(3可得3cos 2θ=，则6πθ=.由最小正周期公式可得2ω=.(2)由题意结合中点坐标公式可得点P 的坐标为0232x π⎛-⎝.代入三角函数式可得053cos 46x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，结合角的范围求解三角方程可得023x π=，或034x π=. 试题解析：(1)将0,3x y ==()2cos y x ωθ=+中，得3cos θ=，因为02πθ≤≤，所以6πθ=.由已知T π=，且0ω>，得222T ππωπ===. (2)因为点()00,0,,2A Q x y π⎛⎫⎪⎝⎭是PA 的中点， 03y =P 的坐标为0232x π⎛- ⎝.又因为点P 在2cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上，且02x ππ≤≤，所以053cos 462x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且075194666x πππ≤-≤，从而得0511466x ππ-=，或0513466x ππ-=，即023x π=，或034x π=.。

西城区2023-2024学年第一学期期末高二数学试题及答案

北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷高二数学 2024.1本试卷共5页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.直线3410x y -+=不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.抛物线26x y =的焦点到其准线的距离等于（） A.32B.3C.6D.8 3.在空间直角坐标系O xyz -中，点()4,2,8A -到平面xOz 的距离与其到平面yOz 的距离的比值等于（） A.14 B.12C.2D.4 4.在312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为（） A.3 B.6 C.9 D.125.在正四面体ABCD 中，棱AB 与底面BCD 所成角的正弦值为（）C.136.已知直线,a b 和平面α，且b α⊂，则“直线a ∥直线b ”是“直线a ∥平面α”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.设,A B 为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左､右顶点，M 为双曲线E 上一点，且AMB 为等腰三角形，顶角为120，则双曲线E 的一条渐近线方程是（）A.y x =B.2y x =C.y =D.y =8.在正方体的8个顶点中任选3个，则这3个顶点恰好不在同一个表面正方形中的选法有（）A.12种B.24种C.32种D.36种9.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,4,AB BC CC E ===为棱11B C 的中点，P 为四边形11BCC B 内（含边界）的一个动点.且DP BE ⊥，则动点P 的轨迹长度为（）A.5B.C.10.在直角坐标系xOy 内，圆22:(2)(2)1C x y -+-=，若直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是（）A.⎡⎣B.44⎡--⎣C.22⎡--+⎣D.2⎡-+⎣第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.过点()2,3A -且与直线30x y ++=平行的直线方程为__________.12.在4(21)x +的展开式中，所有项的系数和等于__________.（用数字作答）13.两个顶点朝下竖直放置的圆锥形容器盛有体积相同的同种液体（示意图如图所示），液体表面圆的半径分别为3，6，则窄口容器与宽口容器的液体高度的比值等于__________.14.若方程22124x y m m+=+-m 的取值范围是__________；若此方程表示的曲线为椭圆，则实数m 的取值范围是__________.15.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2,AB E =为棱1BB 的中点，F 为棱1CC （含端点）上的一个动点.给出下列四个结论：①存在符合条件的点F ，使得1B F ∥平面1A ED ；①不存在符合条件的点F ，使得BF DE ⊥；①异面直线1A D 与1EC 所成角的余弦值为5； ①三棱锥1F A DE -的体积的取值范围是2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 其中所有正确结论的序号是__________.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动.（1）共有多少种不同的选择方法？（2）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？17.（本小题15分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,3,4BA BC BC AB AA ⊥===.（1）证明：直线1AB ⊥平面1A BC ；（2）求二面角1B CA A --的余弦值.18.（本小题15分）已知C 经过点()1,3A 和()5,1B ，且圆心C 在直线10x y -+=上.（1）求C 的方程；（2）设动直线l 与C 相切于点M ，点()8,0N .若点P 在直线l 上，且PM PN =，求动点P的轨迹方程.19.（本小题15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为)，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆22(1)25x y -+=的圆心为,M P 为此圆上一点.（1）求椭圆C 的离心率；（2）记线段MP 与椭圆C 的交点为Q ，求PQ 的取值范围.20.（本小题15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面,PAB AB ∥,DC E 为棱PB 的中点，平面DCE 与棱PA 相交于点F ，且22PA AB AD CD ====，再从下列两个条件中选择一个作为已知. 条件①：PB BD =；条件①：PA BC ⊥.（1）求证：AB ∥EF ；（2）求点P 到平面DCEF 的距离；（3）已知点M 在棱PC 上，直线BM 与平面DCEF 所成角的正弦值为23，求PM PC的值.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>左､右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与椭圆C 相交于,A B 两点.已知椭圆C 的离心率为21,2ABF 的周长为8. （1）求椭圆C 的方程；（2）判断x 轴上是否存在一点M ，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB ，使得1MF 为AMB 的一条内角平分线？若存在，求点M 的坐标；若不存在，说明理由.北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷高二数学参考答案 2024.1一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1.D2.B3.B4.D5.B6.D7.A8.C9.B 10.A二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.10x y ++= 12.81 13.414.()(),24,∞∞−−⋃+；()()2,11,4−⋃ 15.①②④注：第14题第一问3分，第二问2分；第15题全部选对得5分，有两个选对且无错选得3分，有一个选对且无错选得2分，其他得0分.三､解答题：本大题共6小题，共85分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 16.（本小题10分）解：（1）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动，选择方法数为310C 120=种.（2）从10名志愿者中选2男1女，选择方法数共有2164C C 60=种，故从10名志愿者中选2男1女，且分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作的选派方法数为213643C C A 360=种.17.（本小题15分）解：（1）在直三棱柱111ABC A B C −中，因为1AA ⊥.平面,ABC BC ⊂平面ABC ，所以1AA BC ⊥.又因为1,BA BC BA AA A ⊥⋂=，所以BC ⊥平面11AA B B ，所以1BC AB ⊥.由14AB AA ==，得四边形11AA B B 为正方形.所以11AB A B ⊥.又因为1BC A B B ⋂=，所以1AB ⊥平面1A BC .（2）因为1BB ⊥平面,ABC BA BC ⊥，所以1,,BA BC BB 两两互相垂直，故以B 为原点，1,,BA BC BB 的方向分别为x 轴､y .轴､z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则()()()()114,0,0,0,3,0,4,0,4,0,0,4A C A B .所以()()14,3,0,0,0,4AC AA =−=.设平面1A AC 的法向量为(),,m x y z =，则10,0,m AC m AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即430,40.x y z −+=⎧⎨=⎩ 令3x =，则4,0y z ==.于是()3,4,0m =.由（1）可知：()14,0,4AB =−是平面1A BC 的一个法向量.因为11112cos ,1042||AB mAB m AB m ⋅−===−⨯，由图可知二面角1B CA A −−的平面角为锐角，所以二面角1B CA A −−的余弦值为10. 18.（本小题15分）解：（1）由题意，设C 的圆心(),1C a a +，半径为r ，则222222(1)(31),(5)(11).a a r a a r ⎧−+−−=⎨−+−−=⎩ 解得：5,5.a r =⎧⎨=⎩所以C 的方程为22(5)(6)25x y −+−=.（2）由平面几何，知PMC 为直角三角形，且PM MC ⊥，所以222||||||PM MC PC +=.由PM PN =，得222||||||PN MC PC +=.设(),P x y ，则2222(8)25(5)(6)x y x y −++=−+−.即36140x y −−=，经检验符合题意.所以动点P 的轨迹方程为36140x y −−=.19.（本小题15分）解：（1）由题意，得222212,c ab a b c ===+，所以3,2a b ==，所以椭圆C 的离心率c e a ==. （2）由题意，得5PQ MP MQ MQ =−=−.设()11,Q x y ，则2211194x y +=.所以MQ ===. 因为[]13,3x ∈−，所以当195x =时，min ||MQ =；当13x =−时，max ||4MQ =.所以PQ 的取值范围为1,5⎡−⎢⎣⎦. 20.（本小题15分）解：选择条件①：（1）因为AB ∥,DC AB ⊄平面,DCEF DC ⊂平面DCEF ，所以AB ∥平面DCEF .又因为AB ⊂平面PAB ，平面PAB ⋂平面DCEF EF =，所以AB ∥EF .（2）因为AD ⊥平面PAB ，所以,AD PA AD AB ⊥⊥.又因为,22PB BD PA AB AD CD ====，所以PAB DAB ≅.因此90PAB DAB ∠∠==，即,,AB AD AP 两两垂直.如图，以A 为原点，,,AB AD AP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，所以()()()()0,2,0,1,2,0,0,0,2,2,0,0D C P B .由（1），得AB ∥EF ，且E 为棱PB 的中点，所以点F 为棱PA 的中点.()()1,0,1,0,0,1E F ，故()()()0,0,1,0,2,1,1,0,0FP DF CD ==−=−.设平面DCEF 的一个法向量为(),,n x y z =，则20,0,DF n y z CD n x ⎧⋅=−+=⎪⎨⋅=−=⎪⎩ 取1y =，则0,2x z ==，即()0,1,2n =.所以点P 到平面DCEF 的距离255FP n d n ⋅==. （3）设[],0,1PM PCλλ=∈，则()()1,2,2,2,2PM PC λλλλλ==−=−.所以()2,2,22BM BP PM λλλ=+=−−.设直线BM 与平面DCEF 所成角为θ，所以||sin |cos ,|||||BM n BMn BM n θ⋅=<>== 23=. 化简，得29610λλ−+=，解得13λ=，即13PM PC =. 选择条件②：（1）与上述解法相同，略.（2）因为AD ⊥平面PAB ，所以,AD PA AD AB ⊥⊥，又因为,PA BC BC ⊥与AD 相交，所以PA ⊥平面ABCD . 所以PA AB ⊥.即,,AB AD AP 两两垂直.以下与上述解法相同，略.21.（本小题15分）解：（1）由题意，得22248,1,2,a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩ 解得2,1.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）假设x 轴上存在一点()0,0M x 符合题意.由题意，设直线()()()()1122:10,,,,AB y k x k A x y B x y =+≠.联立方程()221,1,43y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()22223484120k x k x k +++−=. 所以221212228412,3434k k x x x x k k−+=−=++. 由题意，知直线AM 的斜率存在，且为()11101010AM k x y k x x x x +−==−−，同理，直线BM 的斜率为()22202010BM k x y k x x x x +−==−−. 所以()()12102011AM BM k x k x k k x x x x +++=+−− ()()()()12120120102022k x x x x x x x x x x x x ⎡⎤++−+−⎣⎦=−−. 因为1MF 为AMB 的一条内角平分线，所以0AM BM k k +=.所以()()1212010220k x x x x x x x x ⎡⎤++−+−=⎣⎦.因为上式要对任意非零的实数k 都成立，所以2220022241288220343434k k k x x k k k−⨯−+⨯−=+++，解得04x =−.故x 轴上存在一点()4,0M −，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB ，使得1MF 为AMB 的一条内角平分线.。

2024年高二数学下学期期末押题试卷1(新高考)含参考答案

2023-2024学年高二数学下学期期末押题试卷02本套试卷根据九省联考题型命制，题型为8+3+3+5模式考试时间：120分钟满分：150分测试范围：新高考全部内容一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|1}A x x a =< ，{|12}B x x =<<，若A B A = ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,)+∞B ．(1，2]C ．(2,)+∞D ．[2，)+∞2．已知复数(12)(1)2i z i +−=−+，则||(z = )AB ．2C D ．33．若点(1,1)P −在角α的终边上，则sin()(4πα+= )A ．1−B ．C ．0D ．14．在直三棱柱111ABC A B C −中，各棱长均为2，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A ．283πB C ．163π D 5．设两个单位向量a ，b 的夹角为θ，若a在b 上的投影向量为13b ，则cos (θ= )A ．13−B ．13C ．D ．36．推动小流域综合治理提质增效，推进生态清洁小流域建设是助力乡村振兴和建设美丽中国的重要途径之一．某乡村落实该举措后因地制宜，发展旅游业，预计2023年平均每户将增加4000元收入，以后每年度平均每户较上一年增长的收入是在前一年每户增长收入的基础上以10%的增速增长的，则该乡村每年度平均每户较上一年增加的收入开始超过12000元的年份大约是( )（参考数据：3 1.10ln ≈，10 2.30ln ≈，11 2.40)ln ≈A ．2033年B ．2034年C ．2035年D ．2036年7．已知1F ，2F 分别为双曲线22126x y −=的左，右焦点，直线l 过点2F ，且与双曲线右支交于A ，B 两点，O 为坐标原点，△12AF F ，△12BF F 的内切圆的圆心分别为1O ，2O ，则△12OO O 面积的取值范围是( )A ．B ．C．)+∞ D． 8．已知01a b <<<，e 为自然对数的底数，则下列不等式不成立的是( ) A ．a b ae be D ．b a a b <二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．下列说法错误的是( )A ．事件A 的概率P （A ）必满足0P <（A ）1<B ．事件A 的概率P （A ）0.999=，则事件A 是必然事件C ．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效，现有患胃溃疡的病人服用此药，则估计此药有明显的疗效的可能性为76%D ．某奖券的中奖率为50%，则某人购买此券10张，一定有5张中奖10．圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球．如图，圆锥PO 的内切球和外接球的球心重合，且圆锥PO 的底面直径为2a ，则( )A ．设内切球的半径为1r ，外接球的半径为2r ，则212r r =B ．设内切球的表面积1S ，外接球的表面积为2S ，则124S S =C ．设圆锥的体积为1V ，内切球的体积为2V ，则1294V V = D ．设S ，T 是圆锥底面圆上的两点，且ST a =，则平面PST 截内切球所得截面的面积为215a π11．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列{}n a ，正方形数构成数列{}n b ，则下列说法正确的是( )A ．312123122221n n b b b b a a a a n ⋅…=+B ．1849既是三角形数，又是正方形数C ．12311113320n b b b b +++…+<D ．*m N ∀∈，2m ，总存在p ，*q N ∈，使得m p q b a a =+成立三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知甲组样本数据(1i x i =，2，…，6)，如下表所示：= ． 13．从1，2，3，4，7，9六个数中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，可得到个不同的对数值．14．已知抛物线2:2(0)C y px p =>与圆22:5O x y +=交于A ，B 两点，且||4AB =，直线l 过C 的焦点F ，且与C 交于M ，N 两点，则||2||MF NF +的最小值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数()sin()cos()sin cos ,(0,||)222f x x x πππωϕωϕωϕ=+−+><的最小正周期为π，且()f x 图象关于直线6x π=对称．（1）求()f x 的解析式；（2）设函数2()()2sin g x f x x =+，求()g x 的单调增区间．16．华容道是古老的中国民间益智游戏，以其变化多端、百玩不厌的特点与魔方、独立钻石一起被国外智力专家并称为“智力游戏界的三个不可思议”．据《资治通鉴》注释中说“从此道可至华容也”．通过移动各个棋子，帮助曹操从初始位置移到棋盘最下方中部，从出口逃走．不允许跨越棋子，还要设法用最少的步数把曹操移到出口．2021年12月23日，在厦门莲坂外图书城四楼佳希魔方，厦门市新翔小学六年级学生胡宇帆现场挑战“最快时间解44×数字华容道”世界纪录，并以4.877秒打破了“最快时间解44×数字华容道”世界纪录，成为了该项目新的世界纪录保持者．（1）小明一周训练成绩如表所示，现用ˆˆy bxa =+作为经验回归方程类型，求出该回归方程；第x （天) 1 2 3 4 5 6 7 用时y （秒)105844939352315（2）小明和小华比赛破解华容道，首局比赛小明获得胜利的概率是0.6，在后面的比赛中，若小明前一局胜利，则他赢下后一局的概率是0.7，若小明前一局失利，则他赢下后一局比赛的概率为0.5，比赛实行“五局三胜”，求小明最终赢下比赛的概率是多少．参考公式：对于一组数据1(u ，1)v ，2(u ，2)v ，，(n u ，)n v ，其回归直线ˆˆˆv u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1ˆi β==，ˆˆv u αβ=− 参考数据：721140ii x ==∑，71994i i i x y ==∑17．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为平行四边形，且112BD CD ==，BD CD ⊥．DE ⊥平面ABCD ，且12DEBF ==，//DE BF ．点H ，G 分别为线段DC ，EF 上的动点，满足(02)DH EG λλ==<<．（1）证明：直线//GH 平面BCF ；（2）是否存在λ，使得直线GH 与平面AEF 所成角的正弦值为14？请说明理由．18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点为(0,2)D ，直线:l y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，且直线DA 与DB 的斜率之积为13−，（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线//l l ′，直线l ′与椭圆C 交于M ，N 两点，且直线DM 与DN 的斜率之和为1，求l ′与l 之间距离的取值范围．19．已知函数2cos ()x xf x x −=，(0,)x ∈+∞．（1）证明：函数()f x 在(0,)+∞上有且只有一个零点；（2）当(0,)x π∈时，求函数()f x 的最小值；（3）设()i i g x k x b =+，1i =，2，若对任意的[2x π∈，)+∞，12()()()g x f x g x 恒成立，且不等式两端等号均能取到，求12k k +的最大值．2023-2024学年高二数学下学期期末押题试卷02本套试卷根据九省联考题型命制，题型为8+3+3+5模式考试时间：120分钟满分：150分测试范围：新高考全部内容一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|1}A x x a =< ，{|12}B x x =<<，若A B A = ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,)+∞B ．(1，2]C ．(2,)+∞D ．[2，)+∞【分析】由题知B A ⊆，再根据集合关系求解即可．【解答】解：因为A B A = ，所以B A ⊆，因为{|1}A x x a =< ，{|12}B x x =<<，则2a ，所以实数a 的取值范围是[2，)+∞．故选：D ．【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题． 2．已知复数(12)(1)2i z i +−=−+，则||(z = )AB ．2C D ．3【分析】利用复数的除法运算法则求出复数，再利用复数模的公式，即可求解．【解答】解：2(2)(12)5111112(12)(12)5i i i iz i i i i −+−+−=+=+=+=+++−，则||z = 故选：A ．【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题． 3．若点(1,1)P −在角α的终边上，则sin()(4πα+= )A ．1−B ．C ．0D ．1【分析】由任意角的三角函数求出sin α，cos α，再由两角和的正弦公式代入即可得出答案．【解答】解：因为点(1,1)P −在角α的终边上，则sin α=，cos α==所以sin()sin coscos sin0444πππααα+=+==．故选：C ．【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，两角和的正弦公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．4．在直三棱柱111ABC A B C −中，各棱长均为2，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A ．283πB ．27C ．163π D 【分析】作出图形，找到球心，解三角形求出半径，再根据球的表面积公式，即可求解．【解答】解：如图，设上下底面中心分别为E ，F ，取EF 的中点O ，连接BO ，BF ，则三棱柱111ABC A B C −外接球的半径R OB =，根据题意易知23BF =1OF =， 222247133R OB BF OF ∴==+=+=，∴三棱柱111ABC A B C −外接球的表面积为22843R ππ=．故选：A ．【点评】本题考查正三棱柱的外接球问题，属基础题．5．设两个单位向量a ，b 的夹角为θ，若a在b 上的投影向量为13b ，则cos (θ= )A ．13−B ．13C ． D【分析】根据投影向量的定义可得13||||a b b b b b ⋅⋅=，结合向量的数量积运算求解即可．【解答】解： a在b 上的投影向量为13b ，∴13||||a b b b b b ⋅⋅=， ∴211||33a b b ⋅== ， ∴1||||cos 3a b θ=，1cos 3θ∴=．故选：B ．【点评】本题主要考查了向量的数量积运算，考查了投影向量的定义，属于基础题．6．推动小流域综合治理提质增效，推进生态清洁小流域建设是助力乡村振兴和建设美丽中国的重要途径之一．某乡村落实该举措后因地制宜，发展旅游业，预计2023年平均每户将增加4000元收入，以后每年度平均每户较上一年增长的收入是在前一年每户增长收入的基础上以10%的增速增长的，则该乡村每年度平均每户较上一年增加的收入开始超过12000元的年份大约是( )（参考数据：3 1.10ln ≈，10 2.30ln ≈，11 2.40)ln ≈A ．2033年B ．2034年C ．2035年D ．2036年【分析】设经过n 年之后，每年度平均每户收入增加y 元，且4000(110%)12000n y =⋅+>，解不等式可得答案．【解答】解：设经过n 年之后，每年度平均每户收入增加y 元，由题得4000(110%)12000n y =⋅+>，即1.13n >，则 1.13nln ln >，33111.11110ln ln n ln ln ln >=≈−，又*n N ∈，则12n =．所以所求年份大约是2035年．故选：C ．【点评】本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．7．已知1F ，2F 分别为双曲线22126x y −=的左，右焦点，直线l 过点2F ，且与双曲线右支交于A ，B 两点，O 为坐标原点，△12AF F ，△12BF F 的内切圆的圆心分别为1O ，2O ，则△12OO O 面积的取值范围是( )A． B．C．)+∞ D．【分析】先根据切线长定理判定两个内切圆的横坐标值，再设△12AF F 的内切圆半径为1r ，根据图形性质计算得△12OO O面积的解析式12112)OO O S r r =+ ，再利用函数单调性即可求得△12OO O 面积的取值范围．【解答】解：设圆1O 与1AF ，2AF ，12F F 分别切于点M ，N ，P ，由双曲线定义知，12||||2AF AF a −=，∴12||||||||2AM MF AN NF a +−−=||||AM AN = ，11||||MF F P =，22||||NF F P =，∴12||||F P F P −12||||2F P F P c +=∴12|||F P F P c a ==−，即点P 为双曲线的右顶点，1O P x ⊥ 轴，1O2O12O F 平分21AF F ∠，22O F 平分21BF F ∠，∴1222O F O π∠=，设△12AF F 、△12BF F 的内切圆半径分别为1r ，2r ，12O O x ⊥ 轴，∴2122||2r r PF ⋅==，||OP =∴12121112()||)2OO O S r r OP r r =+⋅=+ ，设直线AB 倾斜角为α，又AB 为双曲线右支上两点，又渐近线方程为y=，∴由题意得2(,)33ππα∈，∴121(,)63O F Fππ∠∈，∴121tan O F F∠，即1(3r∈，又12112)OO OS rr=+在单调递减，在单调递增，当1r=时，122OO OS=，此时取得最小值，当1r=12OO OS=，当1r=时，12OO OS=，∴12OO OS∈．故选：B．【点评】本题考查了双曲线的性质，属于中档题．8．已知01a b<<<，e为自然对数的底数，则下列不等式不成立的是()A．a bae be<B．b aae be<C．alna blnb>D．b aa b<【分析】采用逐一验证的方法，通过构造函数()xf x xe=，()xeh xx=，()t x xlnx=，()lnxg xx=，根据这些函数在(0,1)上的单调性可得结果．【解答】解：因为01a b<<<，e为自然对数的底数，对于A，设()xf x xe=，01x<<，则()()0xf x x e′=+>，()f x在(0,1)上单调递增，故f（a）f<（b），即a bae be<，故A正确；对于B，设()xeh xx=，01x<<，则2(1)()0xe xh xx−′=<在(0,1)上恒成立，故()h x在(0,1)上单调递减，故h（a）h>（b），即a be ea b>，故b aae be<，故B正确；对于C，设()t x xlnx=，01x<<，则()1t x lnx′=+，当1(0,)xe∈时，()0t x′<，当1(xe∈，1)时，()0t x′>，故()t x在1(0,)e上单调递减，在1(e，1)上单调递增，故t（a）与t（b）得大小关系不确定，故C错误；对于D，设()lnxg xx=，01x<<，则21()0lnxg xx−′=>，故函数()g x在(0,1)上单调递增，所以g （a ）g <（b ），即lna lnba b<，化为blna alnb <，即b a lna lnb <，即b a a b <，故D 正确．故选：C ．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，依题意合理构造函数，并判断出所构造的函数的单调性是解决问题的关键，考查逻辑推理能力与数学运算能力，属于中档题．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．下列说法错误的是( )A ．事件A 的概率P （A ）必满足0P <（A ）1<B ．事件A 的概率P （A ）0.999=，则事件A 是必然事件C ．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效，现有患胃溃疡的病人服用此药，则估计此药有明显的疗效的可能性为76%D ．某奖券的中奖率为50%，则某人购买此券10张，一定有5张中奖【分析】根据概率的定义和性质逐个判断各个选项即可．【解答】解：对于A ，由概率的基本性质可知，0P （A ）1 ，故A 错误；对于B ，事件A 的概率P （A ）0.999=，则事件A 是随机事件，故B 错误；对于C ，由题意可知，估计此药有明显的疗效的可能性为380100%76%500×=，故C 正确；对于D ，某奖券的中奖率为50%，则某人购买此券10张，可能有5张中奖，故D 错误．故选：ABD ．【点评】本题主要考查了概率的定义和性质，属于基础题．10．圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球．如图，圆锥PO 的内切球和外接球的球心重合，且圆锥PO 的底面直径为2a ，则( )A ．设内切球的半径为1r ，外接球的半径为2r ，则212r r =B ．设内切球的表面积1S ，外接球的表面积为2S ，则124S S =C ．设圆锥的体积为1V ，内切球的体积为2V ，则1294V V = D ．设S ，T 是圆锥底面圆上的两点，且ST a =，则平面PST 截内切球所得截面的面积为215a π【分析】作出圆锥的轴截面，依题意可得PAB ∆为等边三角形，设球心为G （即为PAB ∆的重心），即可求出PAB ∆的外接圆和内切圆的半径，即可为圆锥的外接球、内切球的半径，即可判断A 、B ，由圆锥及球的体积公式判断C ， ST 所对的圆心角为3π（在圆O 上），设ST 的中点为D ，即可求出OD ，不妨设D 为OB 上的点，连接PD ，过点G 作GE PD ⊥交PD 于点E ，利用三角形相似求出GE ，即可求出截面圆的半径，从而判断D ．【解答】解：作出圆锥的轴截面如下：因为圆锥PO 的内切球和外接球的球心重合，所以PAB ∆为等边三角形，又2PB a =，所以OP ，设球心为G （即为PAB ∆的重心），所以23PGPO ==，13OG PO ==，即内切球的半径为1r OG ==，外接球的半径为2r PG ==，所以212r r =，故A 正确；设内切球的表面积1S ，外接球的表面积为2S ，则214S S =，故B 错误；设圆锥的体积为1V，则23113V a a π==，内切球的体积2V，则3324)3V a π==，所以1294V V =，故C 正确；设S 、T 是圆锥底面圆上的两点，且ST a =，则ST 所对的圆心角为3π（在圆O 上），设ST 的中点为D，则sin3OD a π==，不妨设D 为OB 上的点，连接PD ，则PD ，过点G 作GE PD ⊥交PD 于点E ，则PEG POD ∆∆∽，所以GE PG OD PD ==，解得GE =，所以平面PST截内切球截面圆的半径r 所以截面圆的面积为2215a r ππ=，故D 正确．故选：ACD ．【点评】本题考查圆锥的内切球与外接球问题，属中档题．11．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列{}n a ，正方形数构成数列{}n b ，则下列说法正确的是( )A ．312123122221n n b b b b a a a a n ⋅…=+B ．1849既是三角形数，又是正方形数C ．12311113320n b b b b +++…+<D ．*m N ∀∈，2m ，总存在p ，*q N ∈，使得mp q b a a =+成立【分析】利用累加法分别求出n a ，n b ，进而分别利用裂项求和法、放缩法，逐个分析各个选项即可．【解答】解：三角形数构成数列{}:1n a ，3，6，10，…，易发现212a a −=，323a a −=，434a a −=，…，1(2)n n a a n n −−= ，累加得，1(1)(2)2342n n n a a n −+−=+++…+=，(1)(2)2n n n a n +∴= ，显然11a =满足上式， (1)2n n n a +∴=，正方形数构成数列{}:1n b ，4，9，16，…，易发现213b b −=，325b b −=，437b b −=，…，121(2)n n b b n n −−=− ，累加得1(22)(1)2n n n b b +−−=， 2(2)n b n n ∴= ，显然11b =满足上式，2n b n ∴=，对于A ，22(1)1n n b n na n n n ==++， 3121231231222223411n n b b b b n a a a a n n ⋅⋅⋅…⋅=×××…×=++，故A 正确；对于B ，令(1)18492nn n a +==，得(1)3698n n +=， 606136603698×=< ，616238443698×=>，(1)3698n n ∴+=无正整数解，即1849不是三角形数，令21849nb n ==，43n ∴=，即1849是正方形数，故B 错误；对于C ，22114112()412121n b n n n n ==<=−−−+， ∴2212311111115111111511332331()2()2()434577921214521202120nb b b b nn n n n +++…++++…+<+−+−+…+−+−−<−+++，故C 正确；对于D ，取m p q ==，且*m N ∈，令2(1)(1)22m m m m m +−=+，有1mm m b a a −=+，故*m N ∀∈，2m ，总存在p ，*q N ∈，使得mp q b a a =+成立，故D 正确．故选：ACD ．【点评】本题主要考查了数列的应用，考查了归纳推理，考查了转化思想和运算求解能力，属于中档题．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知甲组样本数据(1i x i =，2，…，6)，如下表所示：1x2x3x4x5x6x2 3 3 4 6 6若乙组样本数据23i i y x =−，则乙组样本数据的平均数y = 5 ，乙组样本数据的方差2s =乙．【分析】根据题意，求出乙组数据，结合平均数和方差定义计算，即可得答案．【解答】解：根据题意，乙组样本数据如下表所示：1y2y3y4y5y6y1 3 3 5 9 9则乙组样本数据的平均数1(133599)56y =×+++++=，乙组样本数据的方差()()()()()()222222212815353555959563s =−+−+−+−+−+−=乙．故答案为：5；283．【点评】本题考查样本数据平均数、方差的计算，注意平均数和方差的计算公式，属于基础题． 13．从1，2，3，4，7，9六个数中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，可得到 17 个不同的对数值．【分析】分所取得两个数中是否含有1分为两类，再利用排列的计算公式、对数的运算法则和性质即可得出．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①当取得两个数中有一个是1时，则1只能作真数，此时log 10a =，2a =或3或4或7或9． ②所取的两个数不含有1时，即从2，3，4，7，9中任取两个，分别作为底数与真数可有2520A =个对数，其中3924log log =，2439log log =，4923log log =，2349log log =，综上可知：共可以得到201417+−=个不同的对数值．故答案为：17．【点评】本题考查计数原理的应用，熟练掌握对数的运算法则和性质、排列的计算公式是解题的关键．14．已知抛物线2:2(0)C y px p =>与圆22:5O x y +=交于A ，B 两点，且||4AB =，直线l 过C 的焦点F ，且与C 交于M ，N 两点，则||2||MF NF +的最小值为 3+【分析】由已知可求得抛物线方程，设直线:1l x my =+，与抛物线联立方程组可求得111||||MF NF +=，进而根据基本不等式求||2||MF NF +最小值即可．【解答】解：由抛物线2:2(0)C y px p =>与圆22:5O x y +=交于A ，B 两点，且||4AB =，得到第一象限交点(1,2)在抛物线2:2(0)C y px p =>上，所以222p =，解得2p =，所以2:4C y x =，则(1,0)F ，设直线:1l x my =+，与24y x =联立得2440y my −−=，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，所以124y y m +=，124y y =−，所以212|||4(1)MN y y m −=+，由抛物线的定义，21212221221212122()41111441()||||111144()316x x m y y m y y MF NF x x x x x x m m y y ++++++=+====+++++++++，所以112||||||2||(||2||)()33||||||||NF MF MF NF MF NF MF NF MF NF +=++=+++，当且仅当||1MF =，||1NF =+故答案为：3+【点评】本题考查求抛物线的方程，考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，属中档题．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数()sin()cos()sin cos ,(0,||)222f x x x πππωϕωϕωϕ=+−+><的最小正周期为π，且()f x 图象关于直线6x π=对称．（1）求()f x 的解析式；（2）设函数2()()2sin g x f x x =+，求()g x 的单调增区间．【分析】（1）利用诱导公式及两角和的正弦公式化简，再根据正弦函数的周期性及对称性即可得解；（2）先利用降幂公式及辅助角公式化简，再根据正弦函数的单调性即可得解．【解答】解：（1）已知()sin()cos()sin cos cos sin sin cos sin()22f x x x x x x ππωϕωϕωϕωϕωϕ=+−+=+=+，因为函数的最小正周期为π，所以2ππω=，故2ω=，又因()f x 图象关于直线6x π=对称，所以262k ππϕπ×++，k Z ∈，则,6k k Z πϕπ=+∈，又||2πϕ<，所以6πϕ=，所以()sin(2)6f x x π=+；（2）由（1）得2()sin(2)6g x x sin x π=++11cos 22cos 2222xx x −++⋅12cos 21sin(2)126x x x π−+=−+，令222262k x k πππππ−+−+ ，得,63k x k k Z ππππ−++∈，所以函数()g x 的单调递增区间为[,],63k k k Z ππππ−++∈．【点评】本题考查了三角函数的性质，重点考查了三角恒等变换，属中档题．16．华容道是古老的中国民间益智游戏，以其变化多端、百玩不厌的特点与魔方、独立钻石一起被国外智力专家并称为“智力游戏界的三个不可思议”．据《资治通鉴》注释中说“从此道可至华容也”．通过移动各个棋子，帮助曹操从初始位置移到棋盘最下方中部，从出口逃走．不允许跨越棋子，还要设法用最少的步数把曹操移到出口．2021年12月23日，在厦门莲坂外图书城四楼佳希魔方，厦门市新翔小学六年级学生胡宇帆现场挑战“最快时间解44×数字华容道”世界纪录，并以4.877秒打破了“最快时间解44×数字华容道”世界纪录，成为了该项目新的世界纪录保持者．（1）小明一周训练成绩如表所示，现用ˆˆy bxa =+作为经验回归方程类型，求出该回归方程；第x （天) 1 2 3 4 5 6 7 用时y （秒)105844939352315（2）小明和小华比赛破解华容道，首局比赛小明获得胜利的概率是0.6，在后面的比赛中，若小明前一局胜利，则他赢下后一局的概率是0.7，若小明前一局失利，则他赢下后一局比赛的概率为0.5，比赛实行“五局三胜”，求小明最终赢下比赛的概率是多少．参考公式：对于一组数据1(u ，1)v ，2(u ，2)v ，，(n u ，)n v ，其回归直线ˆˆˆv u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()ˆ()nii i nii uu v v uu β==−−=−∑∑，ˆˆv u αβ=− 参考数据：721140ii x ==∑，71994i i i x y ==∑【分析】（1）先求出,x y ，套公式求出ˆb和ˆa ，得到回归方程；（2）记小明获胜时比赛的局数为X ，则X 的可能取值为3，4，5，分别求出其对应的概率，利用概率的加法公式即可求解．【解答】解：（1）由题意，根据表格中的数据，可得11(1234567)4,(105844939352315)5077x y =++++++==++++++=，可得71722179941400ˆ14.5287i ii ii x yxybxx ==−−===−−∑∑，所以ˆˆ108a y bx =−=，因此y 关于x 的回归方程为：14.5108y x =−+；（2）记小明获胜时比赛的局数为X ，则X 的可能取值为3，4，5， (3)0.60.70.70.294P X ==××=，(4)0.40.50.70.70.60.30.50.70.60.70.30.50.224P X ==×××+×××+×××=，(5)0.60.70.30.50.50.60.30.50.30.50.60.30.50.50.70.40.50.50.70.70.40.50.30.50.70.40.50.70.30.50.1675P X ==××××+××××+××××+××××+××××+××××=，0.2940.2240.16750.6855P =++=小明获胜．【点评】本题考查了线性回归方程的计算以及互斥事件的概率加法计算，属于中档题． 17．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为平行四边形，且112BD CD ==，BD CD ⊥．DE ⊥平面ABCD ，且12DEBF ==，//DE BF ．点H ，G 分别为线段DC ，EF 上的动点，满足(02)DH EG λλ==<<．（1）证明：直线//GH 平面BCF ；（2）是否存在λ，使得直线GH 与平面AEF 所成角的正弦值为14？请说明理由．【分析】（1）法()i 过点G 作BD 的垂线，由题意可得//QH 平面BCF ，且//GQ 平面BCF ，进而可证得平面//GQH 平面BCF ，再证得线面的平行；法()ii 由题意建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，由向量的数量积为0，可得向量垂直，再证得线面的平行；（2）由空间向量求出直线与平面的法向量的夹角的余弦值，进而可得线面所成的角的正弦值，由题意可得λ的值．【解答】（1）证明：法()i 过点G 作BD 的垂线，交BD 于点Q ，则//GQ BF ，连接QH ，则12DQ λ=，且由DH λ=，所以2DH DQ =，//QH BC ，又因为QH ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，所以//QH 平面BCF ，且//GQ 平面BCF ，又GQ QH Q = ，所以平面//GQH 平面BCF ，又因为HG HQG ⊂，所以//HG 平面BCF ；法()ii 因为112BDCD ==，12DE BF ==，如图，以D 为原点，分别以DC ，DB ，DE 方向为x ，y ，z 轴建立坐标系，由题意可得(2C ，0，0)，(0B ，1，0)，(2A −，1，0)，E，F ， (2,1,0)BC =−，BF =，(2,AE =−，EF = ，设平面BCF 的法向量为1111(,,)n x y z =，则1100n BC n BF ⋅= ⋅=，即111200x y −= = ，取11x =，解得1(1,2,0)n =，因为2DC EF ==，EG DH λ==，所以,22DH DC EG EF λλ== ，2EG EF λ=，解得(H λ，0，0)，(0,)2G λ+，(,,)2GH λλ=−−，所以10n GH ⋅=，且GH ⊂/平面BCF ，所以//GH 平面BCF ；（2）设平面AEF 的法向量为2222(,,)n x y z =，则由2200n AE n EF ⋅= ⋅=，即22222200x y y −= +=，令21z =−，解得2n =1)−，所以2n GH ⋅=++=，||GH=，||n =，所以2cos n <，GH >=，设直线GH 与平面AEF 所成的角为θ，则2sin |cos n θ=<，||GH >= ，解得1λ=．【点评】本题考查线面平行的证法及空间向量的方法求线面所成角的正弦值，属于中档题．18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点为(0,2)D ，直线:l y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，且直线DA 与DB 的斜率之积为13−，（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线//l l ′，直线l ′与椭圆C 交于M ，N 两点，且直线DM 与DN 的斜率之和为1，求l ′与l 之间距离的取值范围．【分析】（1）联立方程组，根据13DA DB k k =−，利用韦达定理可求a ，从而得解；（2）设直线:l y kx m =+，(2)m ≠±，联立方程组，根据1DM DN k k +=，利用韦达定理可得42m k =−，由两平行直线间的距离公式，并利用导数求最值．【解答】解：（1）设1(A x ，1)kx ，2(B x ，2)kx ，由题意，可知2b =，则椭圆222:14x y C a +=，联立方程组22214y kxx y a=+= ，整理可得：2222(4)40a k x a +−=，显然△0>，且120x x +=，2122244a x x a k −=+，因为13DA DB k k =−，即12122213kx kx x x −−⋅=−，化简得21212(31)6()120k x x k x x +−++=，所以22224(31)1204a k a k −+⋅+=+，解得212a =，所以椭圆22:1124x y C +=；（2）由直线//l l ′，设直线:l y kx m =+，(2)m ≠±，设3(M x ，3)kx m +，4(B x ，4)kx m +，联立方程组221124y kx m x y =+ +=，整理可得：222(13)63120k x kmx m +++−=，则△222222364(31)(4)12(124)0k m k m k m −+−=−+>，可得22124m k + ，① 且342631kmx x k −+=+，234231231m x x k −=+，又因为1DM DN k k +=，即3434221kx m kx m x x +−+−+=，化简得3434(21)(2)()0k x x m x x −+−+=，则2223126(21)(2)03131m kmk m k k −−−+−=++，化简得(2)(42)0m k m −−−=，因为2m ≠±，所以42m k =−，结合①可知04k <<，l ′与l之间距离d = 设22441()1k k g k k −+=+，则222(21)(2)()(1)k k g k k −+′=+，当12k =时，()0g k ′=，则当1(0,)2k ∈，()0g k ′<，则()g x 单调递减，当1(,4)2k ∈，()0g k ′>，则()g x 单调递增，所以1()()02min g x g ==，又(0)1g =，(4)g =所以49()17g x <，所以d ∈．【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的综合应用，平行线间的距离公式的应用，用导函数的性质可得函数值域的求法，属于中档题． 19．已知函数2cos ()x xf x x−=，(0,)x ∈+∞．（1）证明：函数()f x 在(0,)+∞上有且只有一个零点；（2）当(0,)x π∈时，求函数()f x 的最小值；（3）设()i i g x k x b =+，1i =，2，若对任意的[2x π∈，)+∞，12()()()g x f x g x 恒成立，且不等式两端等号均能取到，求12k k +的最大值．【分析】（1）设()cos h x x x =−，求导分析单调性，可得存在唯一0(6x π∈，)π，使得0()0h x =，进而可得答案．（2）求导得3sin 2cos ()x x x xf x x −−′=，分析()f x ′的符号，进而可得()f x 的单调性，即可得出答案．（3）分析当2b π<−时，0b 时，当2b π=−时，20b π−< 时，12k k +的最大值，即可得出答案．【解答】解：（1）证明：设()cos h x x x =−，则()sin 1h x x ′=−−，因为1sin 1x − ，所以()0h x ′ 恒成立，所以()h x 在(0,)+∞上单调递减，又因为()066h ππ−>，()10h ππ=−−<，所以存在唯一0(6x π∈，)π，使得0()0h x =，所以()f x 在(0,)+∞上有且只有一个零点，（2）3sin 2cos ()x x x xf x x −−′=，设()sin 2cos m x x x x x =−−，()1sin cos 1cos (tan )m x x x x x x x ′=+−=+−， ()cos cos sin m x x x x x ′′=−+，当(0,)x π∈上，sin 0x x >，()0m x ′′>，()m x ′单调递增，又(0)10m ′=>，所以()m x 在(0,)π上的单调递增，因为()02m π=，所以当(0,)2x π∈时，()0m x <，()f x 单调递减，当(2x π∈，)π时，()0m x >，()f x 单调递增，所以()f x 在(0,)π上有最小值2()2f ππ=−．（3）由（1）可知，[2x π∈，)+∞时，()0f x <，由（2）可知2x π=为()f x 的极小值点，且[x π∈，)+∞时，222cos 112x x x x x πππ−−−−−>− ，所以[2x π∈，)+∞时，()f x 在2x π=取到最小值2π−，2b π<−时，10k >，存在1(x m ∈，)+∞使得1()0g x >与1()()f x g x 矛盾，0b 时，20k <，存在2(x m ∈，)+∞使得22()g x π<−与2()()f x g x 矛盾，当2b π=−时，令10k =，则12()g x π=−，满足题，此时1k 取得最大值，再过点2(0,)π−作函数()f x 的切线，设切点为(P t ，())f t ，则2()()f t b f t t +′=，解得32t π=，所以切线方程为2829x y ππ=−，当2b π=−时，2k 的最大值为289π−，又因为3(2x π∈，)+∞时，33sin 2cos 22cos ()x x x x x x f x x x −−−′=，设322cos ()x xx x ϕ−=， 4442sin 3cos 233()0x x x x x x xx x x x ϕ−++−++−′=<=<，所以()x ϕ单调递减，即3222cos 8()9x x f x x π−′，所以20π−< 时，12k k +取得最大值289π，接下来证明当[2x π∈，)+∞时，22cos 829x x x x ππ−− ，先证：32282()cos 09x x q x x x ππ=−+− ，[2x π∈，3]2π恒成立， 2284()1sin 3x xq x x ππ′=−++， 2164()cos 3x q x x ππ′′=−+，216()sin 3q x x π′′′=−，当[2x π∈，3]2π时，()q x ′′′单调递增， 216()1023q ππ′′′=−+<，2316()1023q ππ′′′=+>，216()03q ππ′′′=>，所以存在唯一的1(2x π∈，)π使得()0q x ′′′=，且(2x π∈，1)x 时，()0q x ′′′<，()q x ′′单调递减，1(x x ∈，3)2π时，()0q x ′′′>，()q x ′′单调递增，因为2()023q π′=>，1()03q π′=−<，3()02q π′=，所以存在唯一的3(2x π∈，)π使得()0q x ′=，且(2x π∈，3)x 时，()0q x ′>，()q x 单调递增， 3(x x ∈，3)2π时，()0q x ′<，()q x 单调递减，又因为()29q ππ=，3()02q π=，所以当[2x π∈，3]2π时，32282()cos 09x x q x x x ππ=−+− ，当3[2x π∈，)+∞时，228442()1sin (1)1sin 0333x x x x q xx x πππ′=−++=−++ ，所以()0q x ，综上所述，[2x π∈，)+∞时，22cos 829x x x x ππ−− ，当3(2x π∈，)+∞，332sin 2cos 22cos 8()9x x x x x x f x x x π−−−′= ，所以当20b π−< 时，2k 的最大值为289π，即12k k +的最大值为289π．【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于难题．。

全国统一高考数学练习卷及含答案 (1)

普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1、已知,2||,1||==b a 且)(b a -与a 垂直，则a 与b 的夹角是（）A60B30C135D452、若直线l 上的一个点在平面α内，另一个点在平面α外，则直线l 与平面α的位置关系（）A．l ⊂αB．l ⊄αC．l ∥αD．以上都不正确3、两个平面若有三个公共点，则这两个平面()A．相交B．重合C．相交或重合D．以上都不对4、等差数列}{n a 的前n 项和n n S n +=22，那么它的通项公式是（）A、12-=n a n B、12+=n a n C、14-=n a n D、14+=n a n 5、曲线||x y =与1+=kx y 的交点情况是（）A、最多有两个交点B、有两个交点C、仅有一个交点D、没有交点6、已知集合},2|||{},23|{>=<<-=x x P x x M 则=⋂P M （）A、}2223|{<<-<<-x x x 或B、RC、}23|{-<-x x D、}22|{<<x x 7、甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率是90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为（）（A）60%（B）30%（C）10%（D）50%8.如图，在正方形ABCD 中，E、F、G、H 是各边中点，O 是正方形中心，在A、E、B、F、C、G、D、H、O 这九个点中，以其中三个点为顶点作三角形，在这些三角形中，互不全等的三角形共有（）A．6个B．7个C．8个D．9个9.如图，正四面体ABCD 中，E 为AB 中点，F 为CD 的中点，则异面直线EF 与SA 所成的角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°10.如图，正三棱柱111C B A ABC -中，AB＝1AA ，则1AC 与平面C C BB 11所成的角的正弦值为（）A．22B．515C．46D．3611.抛物线)2(2)2(2+-=-m y x 的焦点在x 轴上，则实数m 的值为（）A．0B．23C．2D．312.已知椭圆22221a y x =+（a＞0）与A（2，1），B（4，3）为端点的线段没有公共点，则a 的取值范围是（）A．2230<<a B．2230<<a 或282>aC．223<a 或282>a D．282223<<a 二、填空题（共4小题，每小题5分；共计20分）1.方程log2|x|=x2－2的实根的个数为______.2.1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家.C60是由60个C 原子组成的分子，它结构为简单多面体形状.这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出3条棱，各面的形状分为五边形或六边形两种,则C60分子中形状为五边形的面有______个，形状为六边形的面有______个.3.在底面半径为6的圆柱内，有两个半径也为6的球面，两球的球心距为13，若作一个平面与两个球都相切，且与圆柱面相交成一椭圆，则椭圆的长轴长为______.4.定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x+1)=－f(x)，且在［－1，0］上是增函数，给出下列关于f(x)的判断：①f(x)是周期函数；②f(x)关于直线x=1对称；③f(x)在［0，1］上是增函数；④f(x)在［1，2］上是减函数；⑤f(2)=f(0),其中正确判断的序号为______(写出所有正确判断的序号).三、大题：(满分70分)1.如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，4C 3π，(2,)D π，弧 AB ， BC ， CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,2π，(1,)π，曲线1M 是弧 AB ，曲线2M 是弧 BC ，曲线3M 是弧CD .（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标.2.设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=.（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-.3.在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.4.设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（Ⅰ）用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率.5、如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90º（Ⅰ）证明：AB⊥PC（Ⅱ）若4PC =，且平面PAC ⊥平面PBC ，求三棱锥P ABC -体积。

(完整word版)高二数学期末考试试题及其答案

禄劝一中高中2018-2019学年高二（上）期末数学模拟试卷、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共60分.1. （5分）已知集合 M={1, 2, 3}, N={2, 3, 4},则下列式子正确的是（ A. M?NB. N?MC. MAN={2, 3} D. M U N={1 , 4}C.向左平移单位B.向右平移单位 ……冗、,D.向右平移亏单位7 .下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量 x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据：根据上表提供的数据，若求出y关于x 的线性回归方程为 ? 0.7x 0.35 ,那么表中t 的值为B. 3.158 .已知 f (x) = (x — m) (x — n) +2,并且 m, n, a, 3的大小关系可能是（2.已知向量 a=(-b l)f 正⑵ -3),则 2%-b 等于（） A. (4, - 5) B. (—4, 5) C. (0, T) D. (0, 1) 3.在区间（1, 7）上任取一个数，这个数在区间 5, 8）上的概率为4.要得到函数B-i7Ty=sin （4x-F-）的图象，只需将函数y=sin4x 的图象 5.已知两条直线m, n,两个平面鹏 8给出下面四个命题:①m H n, m± a? n± a ② a// & m? a, n?仅 m // n @ aJ & m " n, m± ? n± 3 其中正确命题的序号是 A.①③B.②④C.①④D.②③ 6.执行如图所以的程序框图，如果输入 a=5 ,那么输出 n=（A. 2B. 3C. 4D. 5A.向左平移，单位x 3 4 5 6y 2.5 t 4 4.5A. 3 a 、 D. 4.53是方程f （x ） =0的两根，则实数A. a< mvnv 3 B- m< a< 3< n C. m< a< n< 3 D. a< mv 3< n 9 .已知某锥体的三视图（单位： cm ）如图所示，则该锥体的体积为（）10 .在等月ABC 中，/BAC=90°, AB=AC=2,同=2而I,菽=3凝，则前■刘的值为（）Dy11 .已知一个三角形的三边长分别是 5, 5, 6, 一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小,13.若直线 2X + (m+1) y+4=0 与直线 mX+3y+4=0 平行，则 m=y<l15 .若变量x 、y 满足约束条件 y+y>口 ,则z=x-2y 的最大值为bkx 3,x 016 .已知函数f X 1k，若方程f f X 2 0恰有三个实数根，则实数k 的-,x 02取值范围是三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 .在△ ABC 中，a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边，2bsinB= (2a+c) sinA+ (2c+a) sinC. (I) 求B 的大小；(n) 若 b=" A=T\求^ ABC 的面积.r . ..-18 .已知：a 、b 、c是同一平面上的三个向量，其中a=(l, 2).A. 2cm 3B. 4cm 3C. 6cm 3D . 8cm 3B.则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 2的概率是（B. 1-C. 1 -12.已知函数f （x ）= ,X 1 , X 2 , X 3, X 4, X 5 是方程 f (x) =m 的五个不等的实数根，则 X 1+X 2+X 3+X 4+X 5的取值范围是（A. (0,同 B .（一兀，兀） C. (lg ，兀 1) D. ( 为 10)二、填空题（每题 5分，，茜分20分）14.已知sinOL IcosCl①若|C 1=2 j5,且c // a,求C的坐标.… .. 5②右|b |=——,且a +2 b与2 a -b垂直，求a,与b的夹角219.设S n是等差数列｛a n｝的前n项和，已知S3=6, a4=4.(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2) 若bn=3 — 3 %,求证：—+---+ , , •+ ——<—.b L b2 L 420为了了解某省各景点在大众中的熟知度，随机对15〜65岁的人群抽样了n人，回答问题15 25 35 45 55 e5 学龄(1)分别求出a,b,x,y的值;(2)从第2, 3, 4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2, 3, 4组每组各抽取多少人？(3)在(2)抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率.21.在三柱ABC-A i B i C i中，△ ABC是边长为2的正三角形，侧面BB i C i C是矩形，D、E分别是线段BB i、AC i的中点.(i)求证：DE//平面A i B i C i；(2)若平面ABC，平面BB i C i C, BB i=4 ,求三棱锥A- DCE的体积.22.已知圆C: x2+y2+2x- 3=0.(i)求圆的圆心C的坐标和半径长；(2)直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A (xi, yi)、B (X2, y2)两点, 求证：1 :工为定值;町K2(3)斜率为i的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使^ CDE的面积最大.禄劝一中高中2018-2019学年高二（上）期末数学模拟试卷参考答案选择题（每小题分，共分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 CBCBCBABAACD、填空题（每小题 5分，共12分）,、M A TV - n 2n 兀兀 n 解：A =——，，C =兀- =———4 q 3 3 2••,|b=V3, B =-^-JbsinC V5 ^/218.解：①设 c (x, y) • •• c // a 且|C |二2 J52x y 0•• 2 2 x 2 y 2 202 c =(2,4)或 c =(-2, -4).13.-3 14. — 15. 3 16.1,17 (I)解：:2bsinB= (2a+c) sinA+ (2c+a) sinC,由正弦定理得, 2b 2= (2a+c) a+ (2c+a) c, 化简彳导,a 2+c 2B=2TT...sinC=sin (2L 』)=、3 「 JT由正弦定理得,SliTT-COS-^-COS-SLIT^ bI sinC sinBcsinBsin号X 炳乂配yXsin-TT 3^/3b 2+ac=0.・•.△ABC 的面积②「( a+2b ) ± (2a-b)，( a+2b) (2a-b) =0,-r -to- -► —*■• -2a 2+3a b-2 b 2=0• •.2|a |2+3| a | b||cos -2|b |2=02X 5+3X v -'5 X — cos -2X - =0, cos = -1 2 4打九 2k Tt, 长［0,兀］「. 0 =Tt.9 CL— 2520解：（1）由频率表中第 4组数据可知，第 4组总人数为 —再结合频率分布直方图可知n ----------- 1000.025 10a 100 0.01 10 0.5 519.解：（1）设公差为 d,则解得=1-a n =n. (2)证明：b n =3—3 、=3n+1— 3n=2?3n,0.36 (1分)•｝是等比数列.，q1b 100 0.03 10 0.9 2乙x 180.9, y — 0,220 15(2)因为第2, 3, 4组回答正确的人数共有 54人，所以利用分层抽样在 54人中抽取6人,每组分别抽取的人数为:(3)设第2组2人为：A 1, A 2；第3组3人为：B 1, B 2, B 3；第4组1人为：C 1 .则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：(A1,A 2), (A 1,B 1), (A 1,B 2), (A 1,B 3), (A 1C1),(A 2,B 1), (A 2, B 2), (A 2,B 3), (A2,C I ), (B I ,B2), (B I ,B3), (B 1,C 1), (B 2,B 3), (B2,C I ), (B 3,C I )共15个基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件, ……，一，…— …31，所抽取的人中恰好没有第 3组人的概率是：P - -155贝U 由EF 是△ AA 1C 1的中位线得 EF // AA 1, 又 DB 1//AA 1, DB 1卷AA 1 所以 EF // DB 1, EF = DB 1所以DE //平面A 1B 1C 1(n)解：因为E 是 AC 1 的中点，所以 V A DCE =V D ACE =2过A 作AH ，BC 于H 因为平面平面 ABC ，平面BB 1C 1C,所以AHL 平面BB 1C 1C,所以 V A DCE =V D —ACE =「5二「7 (4)第2组:18 54 2人;第3组:27 54 3人;第4组:9 54…(8分)21. (1)证明：取棱A i C i 的中点F,连接EF 、B 1F…(10分)…(12分)故四边形DEFB 1是平行四边形，从而 DE// B1FEF122.解：（1）圆 C: x 2+y 2+2x-3=0,配方得（x+1） 2+y 2=4,则圆心C 的坐标为（-1,0）,圆的半径长为 2;（2）设直线l 的方程为y=kx,联立方程组工卜了 +2x3=。

(必考题)数学高二下期末经典测试题(含答案解析)(1)

一、选择题1．函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωφωφ=+>><的部分图象如图所示,若将()f x 图象向左平移4π个单位后得到()g x 图象,则()g x 的解析式为( )A ．2()2sin(2)3g x x π=+ B ．5()2sin(2)6g x x π=- C ．()2sin(2)6g x x π=+D ．()2sin(2)3g x x π=-2．已知A （1，0，0），B （0，﹣1，1），OA OB λ+与OB （O 为坐标原点）的夹角为30°，则λ的值为（） A ．66B ．66±C ．62D ．62±3．已知sin cos 1sin cos 2αααα-=+，则cos2α的值为（）A ．45-B ．35C ．35D ．45 4．在边长为3的等边ABC ∆中，点M 满足BM 2MA =，则CM CA ⋅=( ) A 3B ．3C ．6 D ．1525．非零向量a b ，满足：a b a -=，()0a a b ⋅-=，则a b -与b 夹角的大小为 A ．135° B ．120° C ．60° D ．45°6．函数()sin()A f x x ωϕ=+(0,)2πωϕ><的部分图象如图所示，则()f π=（）A ．4B ．23C ．2D ．37．设奇函数()()()()sin 3cos 0f x x x ωφωφω=+-+>在[]1,1x ∈-内有9个零点，则ω的取值范围为( )A ．[)4,5ππB ．[]4,5ππC ．11,54ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,54ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦8．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ=+>>≤⎛⎫⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()y f x =的表达式是（）A ．()2sin 12f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()22sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭9．已知函数()sin 3cos f x x x =+，将函数()f x 的图象向左平移()0m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 10．若()2sin sinsin777n n S n N πππ︒=+++∈，则在中，正数的个数是（） A ．16B ．72C ．86D ．10011．已知函数2()3cos cos f x x x x =+，则（） A ．()f x 的图象关于直线6x π=对称B ．()f x 的最大值为2C ．()f x 的最小值为1-D ．()f x 的图象关于点(,0)12π-对称12．已知向量(2,0)OB =，向量(2,2)OC =，向量(2cos ,2sin )CA αα=，则向量OA 与向量OB 的夹角的取值范围是（）．A ．π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π5π,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．π5π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 13．已知f (x )=A sin(ωx+θ)(ω>0),若两个不等的实数x 1,x 2∈()2A x f x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,且|x 1-x 2|min =π,则f (x )的最小正周期是( ) A ．3πB ．2πC ．πD ．π214．若向量a ，b 满足2a b ==，a 与b 的夹角为60，则a b +等于（） A ．223+B ．23C ．4D ．1215．已知tan 24πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,则sin 2α=（）A ．310B ．35 C ．65-D ．125-二、填空题16．已知θ为钝角，1sin()43πθ+=，则cos2θ=______. 17．已知1tan 43πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则2sin sin()cos()απαπα--+的值为__________. 18．实数x ，y 满足223412x y +=，则23x y +的最大值______． 19．如图在ABC 中，AC BC =，2C π∠=，点O 是ABC 外一点，4OA =,2OB =则平面四边形OACB 面积的最大值是___________．20．已知角α的终边上一点)3,1A-，则()sin tan 2παπα⎛⎫-++= ⎪⎝⎭__________．21．已知ABC ∆中角,,A B C 满足2sin sin sin B A C =且2sin cos cos 1242C Cπ+=,则sin A =__________.22．仔细阅读下面三个函数性质：（1）对任意实数x ∈R ，存在常数(0)p p ≠，使得1()2f x p f x p ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭．（2）对任意实数x ∈R ，存在常数(0)M M >，使得|()|f x M ≤．（3）对任意实数x ∈R ，存在常数，使得()()0f a x f a x -++=．请写出能同时满足以上三个性质的函数（不能为常函数）的解析式__________．（写出一个即可）23．将函数e x y =的图像上所有点的横坐标变为原来的一半，再向右平移2个单位，所得函数的解析式为__________． 24．已知1tan 43πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()()2cos sin cos 2παπαπα⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭的值为__________． 25．若()1sin 3πα-=，且2παπ≤≤，则cos α的值为__________．三、解答题26．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22222230a c b ac +-+=. （1）求cos B 的值；（2）求sin 24B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 27．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求C ；（2）若c =，ABC 的面积为ABC 的周长.28．在已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02A πωϕ>><<）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭. (1)求()f x 的解析式； (2)当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域． 29．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭在一个周期内的图像经过点,412π⎛⎫ ⎪⎝⎭和点5,412π⎛⎫- ⎪⎝⎭，且()f x 的图像有一条对称轴为12x π=. （1）求()f x 的解析式及最小正周期；（2）求()f x 的单调递增区间.30．已知定义在R 上的函数()()()sin 0,0f x A x x A ωϕ=+>>的图象如图所示（1）求函数()f x 的解析式；（2）写出函数()f x 的单调递增区间（3）设不相等的实数，()12,0,x x π∈，且()()122f x f x ==-，求12x x +的值.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．C 2．C 3．A 4．D 5．A 6．A 7．A 8．D 9．A 10．C11．A12．D13．A14．B15．B二、填空题16．【解析】【分析】将改写成的形式利用二倍角公式计算的值代入相关数值【详解】因为所以；因为且为钝角所以是第二象限角则故【点睛】（1）常见的二倍角公式：；（2）常用的角的配凑：；17．【解析】【分析】先根据已知求出最后化简代入的值得解【详解】由题得由题得=故答案为【点睛】本题主要考查差角的正切和同角的商数关系平方关系意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力18．【解析】分析：根据题意设则有进而分析可得由三角函数的性质分析可得答案详解：根据题意实数xy满足即设则又由则即的最大值5；故答案为：5点睛：本题考查三角函数的化简求值关键是用三角函数表示xy19．【解析】分析：利用余弦定理设设AC=BC=m则由余弦定理把m表示出来利用四边形OACB面积为S=转化为三角形函数问题求解最值详解：△ABC为等腰直角三角形∵OA=2OB=4不妨设AC=BC=m则由余20．【解析】分析：先根据三角函数定义得再根据诱导公式化简求值详解：因为角的终边上一点所以因此点睛：本题考查三角函数定义以及诱导公式考查基本求解能力21．【解析】分析：先化简得到再化简得到详解：因为所以1-所以因为所以所以A+B=所以因为sinA>0所以故答案为点睛：本题主要考查三角化简和诱导公式意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力22．【解析】分析：由（1）得周期由（2）得最值（有界）由（3）得对称中心因此可选三角函数详解：由题目约束条件可得到的不同解析式由（1）得周期由（2）得最值（有界）由（3）得对称中心因此可选三角函数点睛：23．【解析】分析：根据图像平移规律确定函数解析式详解：点睛：三角函数的图象变换提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也常出现在题目中所以也必须熟练掌握无论是哪种变形切记每一个变换总是对字母而言24．【解析】分析：由可得化简即可求得其值详解：由即答案为点睛：本题考查三角函数的化简求值考查了诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用是基础题25．【解析】由题意得三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．C 解析：C 【解析】【分析】根据函数的图象求出函数()f x 的解析式，再根据图象的平移变换得到()g x 的解析式即可. 【详解】由图象可知，A =2,541264T πππ=-=, 2T ππω∴==,2ω∴=,又当512x π=时，52sin(2)212πφ⨯+=，即5sin()16πφ+=， 2πφ<， 3πφ∴=-，故()sin()f x x π=-223，将()f x 图象向左平移4π个单位后得到()g x ， ∴ ()2sin[2()]2sin(2)436g x x x πππ=+-=+，故选：C 【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，图象的变换，属于中档题.2．C解析：C 【解析】【分析】运用向量的坐标运算及夹角公式直接求解即可．【详解】解：(1,0,0)(0,,)(1,,)OA OB λλλλλ+=+-=-，∴2||12,||2OA OB OB λλ+=+=，()2OA OB OB λλ+=，∴cos302λ︒=， ∴4λ=，则0λ>，∴2λ=．故选：C ．【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题．3．A解析：A 【解析】 ∵sin cos 1sin cos 2αααα-=+，∴tan α11tan α3tan α12-==+，.∴cos2α=222222cos sin 1tan 4cos sin 1tan 5αααααα--==-++ 故选A4．D解析：D 【解析】【分析】结合题意线性表示向量CM ，然后计算出结果【详解】依题意得：121211215)333333333232CM CA CB CA CA CB CA CA CA ⋅=+⋅=⋅+⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯=（，故选D ．【点睛】本题考查了向量之间的线性表示，然后求向量点乘的结果，较为简单5．A解析：A 【解析】【分析】先化简()0a a b ⋅-=得2=a a b ⋅，再化简a b a -=得2b a =，最后求a b -与b 的夹角. 【详解】因为()0a a b ⋅-=，所以220=a a b a a b -⋅=∴⋅，，因为a b a -=，所以2222a a a b b =-⋅+，整理可得22b a b =⋅，所以有2b a =，设a b -与b 的夹角为θ，则()2cos a b b a b b a b ba bθ-⋅⋅-===-222222||a a =-，又0180θ︒≤≤︒，所以135θ=︒，故选A ．【点睛】本题主要考查数量积的运算和向量夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．A解析：A【解析】试题分析：根据题意，由于函数()sin()A f x x ωϕ=+(0,)2πωϕ><，那么根据图像可知周期为2π，w=4，然后当x=6π,y=2，代入解析式中得到22sin(4)6πϕ=⨯+，6πϕ=-，则可知()f π=4，故答案为A.考点：三角函数图像点评：主要是考查了根据图像求解析式，然后得到函数值的求解，属于基础题．7．A解析：A 【解析】f （x ）=sin （ωx+φ（ωx+φ）=2[12sin （ωx+φ（ωx+φ）] =2[cos3πsin （ωx+φ）﹣sin 3πcos （ωx+φ）]=2sin （ωx+φ﹣3π） ∵函数f （x ）为奇函数，∴f （0）=2sin （φ﹣3π）=0，∴φ=3π+kπ，k ∈Z ∴f （x ）=2sin （ωx+kπ），f （x ）=0即sin （ωx+kπ）=0，ωx+kπ=mπ，m ∈Z ，解得，x=()m k πω-，设n=m ﹣k ，则n ∈Z ，∵A ∈[﹣1，1]，∴﹣1≤x≤1,[]1,1n πω∈-，∴n ωωππ-≤≤, ∵A ∈[﹣1，1]中有9个元素,4545.ωπωππ∴≤<⇒≤< 故答案为A.点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e 为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题．研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.同时在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、分类讨论思想的应用．8．D解析：D 【解析】【分析】根据函数的最值求得A ，根据函数的周期求得ω，根据函数图像上一点的坐标求得ϕ，由此求得函数的解析式.由题图可知2A =，且11522122T πππ=-=即T π=，所以222T ππωπ===，将点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入函数()()2sin 2x x f ϕ=+，得()5262k k ππϕπ+=+∈Z ，即()23k k πϕπ=-∈Z ，因为2πϕ≤，所以3πϕ=-，所以函数()f x 的表达式为()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．故选D.【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像求三角函数的解析式，属于基础题.9．A解析：A 【解析】【分析】利用函数的平移变换得π2sin 3y x m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根所图象关于y 轴对称，得到角的终边落在y 轴上，即π2π3πm k +=+，k Z ∈，即可得答案. 【详解】()sin 2s πin 3f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向左平移m 个单位长度后，得到函数π2sin 3y x m ⎛⎫=++⎪⎝⎭的图象，又所得到的图象关于y 轴对称，所以π2π3πm k +=+，k Z ∈，即ππ6m k =+，k Z ∈，又0m >，所以当0k =时，m 的最小值为π6. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函图象的变换、偶函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.10．C【解析】【分析】【详解】令7πα=，则7n n πα=，当1≤n≤14时，画出角序列n α终边如图，其终边两两关于x 轴对称，故有均为正数，而，由周期性可知，当14k-13≤n≤14k 时，Sn>0，而，其中k=1,2,…,7，所以在中有14个为0，其余都是正数，即正数共有100－14＝86个，故选C.11．A解析：A 【解析】【分析】利用三角函数恒等变换的公式，化简求得函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解．【详解】由题意，函数23111()3cos cos 2cos 2sin(2)2262f x x x x x x x π=+=++=++，当6x π=时，113()sin(2)sin 6662222f ππππ=⨯++=+=，所以6x π=函数()f x 的对称轴，故A 正确；由sin(2)[1,1]6x π+∈-，所以函数()f x 的最大值为32，最小值为12-，所以B 、C 不正确；又由12x π=时，131()sin(2)612622f πππ=⨯++=+，所以(,0)12π-不是函数()f x 的对称中心，故D 不正确，故选A ．【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的公式的应用，以及函数sin()y A wx b ϕ=++的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12．D解析：D 【解析】不妨设(0,0)O∵(2,2)OC =，(2cos ,2sin )CA αα=． ∴(2,2)C 、(22,22sin )A cos αα++． ∴点A 在以(2,2)为圆心半径为2的圆上． ∴OA 与OB 的夹角为直线OA 的倾斜角．设:OA l y kx = ∴22121k d r k -=≤=+．即2410k k -+≤，则[23,23]k ∈-+．又∵π23tan12-=，523tanπ12+=． ∴OA 、OB 夹角[23,23]θ∈-+．故选D ．13．A解析：A 【解析】【分析】由题意可得123ππω⨯=，求得ω的值，可得()f x 的最小正周期是2πω的值【详解】由题意可得()1sin 2x ωθ+=的解为两个不等的实数1x ，2x 且123ππω⨯=，求得23ω= 故()f x 的最小正周期是23ππω=故选A 【点睛】本题主要考查了的是三角函数的周期性及其图象，解题的关键根据正弦函数的图象求出ω的值，属于基础题14．B解析：B 【解析】【分析】将a b +平方后再开方去计算模长，注意使用数量积公式. 【详解】因为2222cos 6044412a b a a b b +=+︒+=++=，所以23a b +=，故选：B. 【点睛】本题考查向量的模长计算，难度一般.对于计算xa yb +这种形式的模长，可通过先平方再开方的方法去计算模长.15．B解析：B 【解析】【分析】根据tan 24πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭求得tan 3α=，2222sin cos 2tan sin 2sin cos tan 1ααααααα==++即可求解. 【详解】由题：tan 24πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， tan 121tan αα+=--，解得tan 3α=，2222sin cos 2tan 63sin 2sin cos tan 1105ααααααα====++. 故选：B 【点睛】此题考查三角恒等变换，涉及二倍角公式与同角三角函数的关系，合理构造齐次式可以降低解题难度.二、填空题16．【解析】【分析】将改写成的形式利用二倍角公式计算的值代入相关数值【详解】因为所以；因为且为钝角所以是第二象限角则故【点睛】（1）常见的二倍角公式：；（2）常用的角的配凑：；解析：9-【解析】【分析】将2θ改写成2()42ππθ+-的形式，利用二倍角公式计算cos2θ的值，代入相关数值.【详解】因为cos2cos[2()]sin[2()]424πππθθθ=+-=+，所以cos 22sin()cos()44ππθθθ=++；因为1sin()043πθ+=>且θ为钝角，所以()4πθ+是第二象限角，则cos()43πθ+==-，故cos 22sin()cos()449ππθθθ=++=-. 【点睛】（1）常见的二倍角公式：sin 22sin cos ααα=，2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ；（2）常用的角的配凑：()ααββ=-+，()ααββ=+-；2()()ααβαβ=++- ，2()()βαβαβ=+--.17．【解析】【分析】先根据已知求出最后化简代入的值得解【详解】由题得由题得=故答案为【点睛】本题主要考查差角的正切和同角的商数关系平方关系意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力解析：35【解析】【分析】先根据已知求出tan α，最后化简2sin sin()cos()απαπα--+,代入tan α的值得解. 【详解】由题得tan 111,tan 1+tan 32ααα-=-∴=.由题得22222sin +sin cos sin sin()cos()=sin +sin cos =sin +cos ααααπαπαααααα--+ =2211tan tan 3421tan 1514ααα++==++. 故答案为35【点睛】本题主要考查差角的正切和同角的商数关系平方关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18．【解析】分析：根据题意设则有进而分析可得由三角函数的性质分析可得答案详解：根据题意实数xy 满足即设则又由则即的最大值5；故答案为：5点睛：本题考查三角函数的化简求值关键是用三角函数表示xy解析：【解析】分析：根据题意，设2cos x θ=，y θ=，则有24cos 3sin x θθ+=+，进而分析可得()25sin x θα+=+，由三角函数的性质分析可得答案．详解：根据题意，实数x ，y 满足223412x y +=，即22143x y +=，设2cos x θ=，y θ=，则()24cos 3sin 5sin x θθθα=+=+，3tan 4α⎛⎫= ⎪⎝⎭，又由()15sin 1θα-≤+≤，则525x -≤≤，即2x +的最大值5；故答案为：5．点睛：本题考查三角函数的化简求值，关键是用三角函数表示x 、y ．19．【解析】分析：利用余弦定理设设AC=BC=m 则由余弦定理把m 表示出来利用四边形OACB 面积为S=转化为三角形函数问题求解最值详解：△ABC 为等腰直角三角形∵OA=2OB=4不妨设AC=BC=m 则由余解析：5+ 【解析】分析：利用余弦定理，设AOB α∠=,设AC=BC=m ，则AB =．由余弦定理把m 表示出来，利用四边形OACB 面积为S=24sin 4sin 2OACB ABC m S S αα∆∆=+=+．转化为三角形函数问题求解最值．详解：△ABC 为等腰直角三角形．∵OA=2OB=4，不妨设AC=BC=m ，则AB =．由余弦定理，42+22﹣2m 2=16cos α，∴2108cos m α∴=-．108cos 4sin 4sin 4sin 4cos 52OACB ABC S S ααααα∆∆-∴=+=+=-+)554πα=-+≤.当34απ=时取到最大值5+.故答案为5+点睛：（1）本题主要考查余弦定理和三角形的面积的求法，考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是设AOB α∠=，再建立三角函数的模型.20．【解析】分析：先根据三角函数定义得再根据诱导公式化简求值详解：因为角的终边上一点所以因此点睛：本题考查三角函数定义以及诱导公式考查基本求解能力【解析】分析：先根据三角函数定义得cos ,tan αα，再根据诱导公式化简求值.详解：因为角α的终边上一点)1A -，，所以cos tanαα===, 因此()sin tan 2παπα⎛⎫-++⎪⎝⎭cos tanαα=+== 点睛：本题考查三角函数定义以及诱导公式，考查基本求解能力.21．【解析】分析：先化简得到再化简得到详解：因为所以1-所以因为所以所以A+B=所以因为sinA>0所以故答案为点睛：本题主要考查三角化简和诱导公式意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力解析：12【解析】分析：先化简2sincos cos 1242C C π+=得到2C π=，再化简2sin sin sin B A C =得到sin A =详解：因为2sincos cos 1242C C π+=，所以1-2cos 1222C C +=,所以cos(cos 0,cos 0(cos =222222C C C C -=∴=舍）或，因为0C π<<,所以2C π=,所以A+B=2π.2sin sin sin B A C =因为，所以22cos sin ,sin sin 10,sin A A A A A =∴+-=∴=因为sinA>0,所以1sin 2A =.. 点睛：本题主要考查三角化简和诱导公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.22．【解析】分析：由（1）得周期由（2）得最值（有界）由（3）得对称中心因此可选三角函数详解：由题目约束条件可得到的不同解析式由（1）得周期由（2）得最值（有界）由（3）得对称中心因此可选三角函数点睛：解析：4()sin π3f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【解析】分析：由（1）得周期，由（2）得最值（有界），由（3）得对称中心，因此可选三角函数. 详解：由题目约束条件可得到()f x 的不同解析式．由（1）得周期，由（2）得最值（有界），由（3）得对称中心，因此可选三角函数()4sin π3f x ⎛⎫=⎪⎝⎭. 点睛：正余弦函数是周期有界函数，既有对称轴也有对称中心，是一类有特色得函数.23．【解析】分析：根据图像平移规律确定函数解析式详解：点睛：三角函数的图象变换提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也常出现在题目中所以也必须熟练掌握无论是哪种变形切记每一个变换总是对字母而言解析：24e x y -=【解析】分析：根据图像平移规律确定函数解析式. 详解：222(2)24e ee e xxx x y y y --=→=→==横坐标变为一半右移个单位点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言.24．【解析】分析：由可得化简即可求得其值详解：由即答案为点睛：本题考查三角函数的化简求值考查了诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用是基础题解析：65【解析】分析：由1tan 43πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得tan 2α=，化简()()2cos sin cos 2παπαπα⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭，即可求得其值.详解：tan tantan 114tan ,tan 2,4tan 13tan tan 4παπαααπαα--⎛⎫-===∴= ⎪+⎝⎭+ 由()()22cos sin cos sin sin cos 2παπαπαααα⎛⎫+--+=+⎪⎝⎭22222sin sin cos tan tan 6.sin cos tan 15αααααααα++===++ 即答案为65. 点睛：本题考查三角函数的化简求值，考查了诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．25．【解析】由题意得解析：3-【解析】由题意得()1sin sin ,[,],cos 32ππαααπα-==∈∴==三、解答题 26．（1）34-（2）16【解析】试题分析：（1）利用余弦定理表示出cosB ，将已知等式代入即可求出cosB 的值；（2）由cosB 可求出sin 2,cos 2B B 的值，然后利用两角和的余弦公式可得结果. 试题解析：（1）由22222230a c b ac +-+=，得22232a cb ac +-=-，根据余弦定理得222332cos 224aca cb Bac ac -+-===-；（2）由3cos 4B =-，得sin B = ∴sin22sin cos BB B ==21cos22cos 18B B =-=，∴1sin 2sin2cos cos2sin 44428816B B B πππ⎫⎛⎫+=+=-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 27．（1）3C π=（2）7+【解析】【分析】（1）利用正弦定理，将2cos (cos cos )C a B b A c +=，转化为2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，再利用两角和与差的三角的三角函数得到sin (2cos 1)0C C -=求解.（2）根据ABC 的面积为1sin 2ab C =12ab =，再利用余弦定理得()23a b ab =+-，求得+a b 即可. 【详解】（1）因为2cos (cos cos )C a B b A c +=，所以2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，所以()2cos sin sin C A B C +=，所以sin (2cos 1)0C C -=，所以1cos 2C =，又因为()0,C π∈，所以3C π=.（2）因为ABC 的面积为所以1sin 2ab C = 所以12ab =.由余弦定理得：若2222cos c a b ab C =+-，()23a b ab =+- 所以7a b +=所以ABC 的周长7【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理和两角和与差的三角函数的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.28．（1）()2sin(2)6f x x π=+ （2）[-1，2] 【解析】试题分析：根据正弦型函数图象特点，先分析出函数的振幅和周期，最低点为2,23M π⎛⎫- ⎪⎝⎭,得2A =,周期T π=，则2==2T πω，又函数图象过2,23M π⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入得42sin 23πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，故1126k k Z πϕπ=-+∈，，又0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而确定6πϕ=，得到()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求其单调增区间． (2)分析72,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数图象，可知当262x ππ+=,即6x π=时,()f x 取得最大值2；当7266x ππ+=,即2x π=时,()f x 取得最小值1-,故()f x 的值域为[]1,2-．试题解析：（1）依题意,由最低点为2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭,得2A =,又周期T π=,∴2ω=．由点2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭在图象上,得42sin 23πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭, ∴4232k ππϕπ+=-+，k Z ∈,1126k k Z πϕπ∴=-+∈，． ∵0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴6πϕ=,∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由222262k x k πππππ-≤+≤+,k Z ∈，得36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，．∴函数()f x 的单调增区间是(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． (2),122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,∴72,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦．当262x ππ+=,即6x π=时,()f x 取得最大值2；当7266x ππ+=,即2x π=时,()f x 取得最小值1-,故()f x 的值域为[]1,2-．点睛：本题考查了三角函数的图象和性质，重点对求函数解析式，单调性，最值进行考查，属于中档题．解决正弦型函数解析式的问题，一定要熟练掌握求函数周期，半周期的方法及特殊值的应用，特别是求函数的初相时，要注意特殊点的应用及初相的条件，求函数值域要结合正弦函数图象，不要只求两个端点的函数值．29．（1）()4sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，23π；（2）22,()43123k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z .【解析】【分析】（1）由函数的图象经过点412，π⎛⎫ ⎪⎝⎭且f （x ）的图象有一条对称轴为直线12x π=，可得最大值A ，且能得周期并求得ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得函数的解析式．（2）利用正弦函数的单调性求得f （x ）的单调递增区间．【详解】（1）函数f （x ）＝A sin （ωx +ϕ）（A ＞0，ω＞0，2πϕ＜）在一个周期内的图象经过点412，π⎛⎫ ⎪⎝⎭，5412π⎛⎫- ⎪⎝⎭，，且f （x ）的图象有一条对称轴为直线12x π=，故最大值A ＝4，且5212123T πππ=-=, ∴2T 3π=， ∴ω2Tπ=＝3．所以()4sin(3)f x x ϕ=+.因为()f x 的图象经过点,412π⎛⎫⎪⎝⎭，所以44sin 312πϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，所以24k ϕπ=+π，k Z ∈. 因为||2ϕπ<，所以4πϕ=，所以()4sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （2）因为()4sin 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以232242k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，所以2243123k k x ππππ-+≤≤+，k Z ∈，即()f x 的单调递增区间为22,()43123k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z . 【点睛】本题主要考查由函数y ＝A sin （ωx +ϕ）的性质求解析式，通常由函数的最大值求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，考查了正弦型函数的单调性问题，属于基础题．30．（1）()=4sin 23f x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（3）76π；【解析】【分析】（1）根据函数的最值可得A ，周期可得ω，代入最高点的坐标可得ϕ，从而可得解析式；（2）利用正弦函数的递增区间可解得；（3）利用()2f x =-在(0,)x π∈内的解就是1x 和2x ，即可得到结果.【详解】（1）由函数()f x 的图象可得4A =，又因为函数的周期72()1212T πππ=-=，所以22πωπ==，因为函数的图象经过点(,4)12P π，即4sin(2)412πϕ⨯+=，所以2,62k k Z ππϕπ+=+∈，即2,3k k Z πϕπ=+∈，所以()4sin(22)4sin(2)33f x x k x πππ=++=+. （2）由222,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，可得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，可得函数()f x 的单调递增区间为：5[,],1212k k k Z ππππ-+∈，（3）因为(0,)x π∈，所以72(,)333x πππ+∈，又因为()2f x =-可得1sin(2)32x π+=-，所以7236x ππ+=或11236x ππ+=，解得512x π=或34x π=，、因为12x x ≠且()12,0,x x π∈，12()()2f x f x ==-，所以1253147124126x x ππππ+=+==. 【点睛】本题考查了由图象求解析式，考查了正弦函数的递增区间，考查了由函数值求角，属于中档题.。

高二数学期末复习一(不等式2)

高二数学期末复习一（不等式2）一、选择题1.若a 、b 、c 为实数；则下列命题正确的是( )A.若a ＞b ；则ac 2＞bc 2B.若a ＜b ＜0；则a 2＞ab ＞b 2C.若a ＜b ＜0；则a 1＜b 1D.若a ＜b ＜0；则a b ＞ba 2.若a 1|b |；③a 2.正确的不等式有( ) 个个个个3.若a ＞b ＞1；P =b a lg lg ⋅；Q =21(lg a +lg b )；R =lg(2ba +)；则( ) A.R ＜P ＜QB.P ＜Q ＜RC.Q ＜P ＜RD.P ＜R ＜Q4.角x ；y 满足－2π＜x ＜y ＜2π；则x －y 的取值范围是( ) A.(－π；0) B.(－π；π) C.(－2π；0) D.(－2π；2π)5.下列命题中；真命题有( )①若a +b ＞0且ab ＞0；则a ＞0且b ＞0 ②若a ＞b 且ab ＞0；则a ＞b ＞0 ③若b a ＞dc ⇒ad ＞bc ④a ＞b 是2c a ＞2cb成立的必要条件 A.①③ B.②③ C.②④ D.①④6.两次购买同一种物品；可以有两种不同的策略.第一种是不考虑物品价格的升降；每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降；每次购买这种物品所花的钱数一定.若两次购买这种物品时价格不相同；则两种策略中比较经济的情况为( )A.第一种策略经济B.第二种策略经济C.两种策略同样经济D.不能判断7.函数f (x )=x +x4+3在(－∞；－2]上( ) A.无最大值；有最小值7 B.无最大值；有最小值－1 C.有最大值7；有最小值－1 D.有最大值－1；无最小值8.一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h 速度匀速直达灾区；已知两地公路线长 400 km ；为了安全起见；两辆汽车的间距不得小于(20v )2km ；那么这批物资全部到达灾区；最少需要( )9.已知h ＞0；设甲:两实数a 、b 满足|a －b |＜2h ；乙:两实数a 、b 满足|a －1|＜h 且|b －1|＜h ；则( )A.甲是乙的充分但不必要条件B.甲是乙的必要但不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件；也不是乙的必要条件10.若x ＞0；y ＞0且y x +≤a ·(x +y )成立；则a 的最小值是( ) A.22B.2 2二、填空题11.设0＜x ＜1；则a =2x ；b =1+x ；c =x -11中最大的一个是__________. 12.已知不等式:①a 2+3＞2a (a ∈R )；②aa 1+≥2；③a 5+b 5＞a 3b 2+a 2b 3；④a 2+b 2≥2(a －b －1)(a ；b ∈R ).其中正确的不等式的序号是__________.13. b g 糖水中有a g 糖(b >a >0)；若再添上m g 糖(m >0)；则糖水就变甜了.试根据这个事实；提炼一个不等式:__________.14.已知三个不等式:①ab ＞0；②－a c ＜－bd；③bc ＜ad .以其中两个作为条件；余下一个作为结论；则可以组成__________个正确的命题.三、解答题15设x 、y 、z ∈R ；比较5x 2+y 2+z 2与2xy +4x +2z －2的大小. 16.比较下列两个数的大小:(1)2－1与2－3； (2)2－3与6－5；(3)从以上两小题的结论中；你能否得出更一般的结论？并加以证明.17求证:ab b a +≥b a +(a ＞0；b ＞0). 18某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)；高度恒定；它的后墙利用旧墙不花钱；正面用铁栅；每米长造价40元；两侧墙砌砖；每米造价45元；顶部每平方米造价20元；试算:仓库底面积S 的最大允许值是多少？此时铁栅长为多少？19.设f (x )=x 2－x +B ；实数a 满足|x －a |＜1；求证:|f (x )－f (a )|＜2(|a |+1).20 经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内；某公路段汽车的车流量y (千辆/小时)与汽车的平均速度v (km/h)之间的函数关系为y =160039202++v v v(v >0). (1)在该时段内；当汽车的平均速度v 为多少时；车流量最大?最大车流量为多少?(精确到千辆/小时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时；则汽车的平均速度应在什么范围内?21.已知a >b >0；求证:a b a 8)(2-<2b a +－ab <b b a 8)(2-不等式(一)(A 卷)一、选择题1.若a 、b 、c 为实数；则下列命题正确的是( )A.若a ＞b ；则ac 2＞bc 2B.若a ＜b ＜0；则a 2＞ab ＞b 2C.若a ＜b ＜0；则a 1＜b 1 D.若a ＜b ＜0；则a b ＞ba 解析:A.因为c 2≥0；所以只有c ≠0时才正确.c =0时；ac 2=bc 2；所以A 是假命题.变式:若ac 2＞bc 2；则a ＞b ；命题是真命题.B.a ＜b ；a ＜0⇒a 2＞ab ；a ＜b ；b ＜0⇒ab ＞b 2；B 是真命题.C.由性质定理a ＜b ＜0⇒a 1＞b 1；C 是假命题. D.例如－3＜－2＜0；32＜23；D 是假命题.答案:B 2.若a 1|b |；③a 2.正确的不等式有( ) 个个个个分析:本题主要考查不等式的性质及均值不等式的适用条件. 解:由a 1<b1<0可知b <a <0；③不正确；②不正确. ∴a +b <0；ab >0.∴a +b <ab ；①正确. 由a b >0； b a >0；而a ≠b ；∴a b +ba>2；④正确. 答案:B3.若a ＞b ＞1；P =b a lg lg ⋅；Q =21(lg a +lg b )；R =lg(2ba +)；则( ) A.R ＜P ＜Q B.P ＜Q ＜R C.Q ＜P ＜RD.P ＜R ＜Q分析:本题主要考查均值不等式与对数函数的单调性. 解:a ＞b ＞1⇒lg a ＞0；lg b ＞0.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=>+==⋅>+=Q b a ab b a R P b a b a Q )lg (lg 21lg )2lg(lg lg )lg (lg 21⇒ R ＞Q ＞P . 答案:B4.角x ；y 满足－2π＜x ＜y ＜2π；则x －y 的取值范围是( ) A.(－π；0) B.(－π；π) C.(－2π；0) D.(－2π；2π)分析:本题主要考查负数在不等式中的变化；不等式的性质.解:由x ＜y ；得x －y ＜0.又－π＜x －y ＜π；∴－π＜x －y ＜0. 答案:A5.下列命题中；真命题有( )①若a +b ＞0且ab ＞0；则a ＞0且b ＞0 ②若a ＞b 且ab ＞0；则a ＞b ＞0 ③若b a ＞dc ⇒ad ＞bc ④a ＞b 是2c a ＞2cb成立的必要条件 A.①③ B.②③ C.②④ D.①④ 分析:本题主要考查不等式的性质；用排除法. 解:∵ab ＞0；∴a 、b 同号.又a +b ＞0； ∴a ＞0且b ＞0.①正确；排除B 、C. 由③b a －dc ＞0；得bd bc ad -＞0；不能保证ad ＞bc .③不正确.故应选D. 答案:D6.两次购买同一种物品；可以有两种不同的策略.第一种是不考虑物品价格的升降；每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降；每次购买这种物品所花的钱数一定.若两次购买这种物品时价格不相同；则两种策略中比较经济的情况为( )A.第一种策略经济B.第二种策略经济C.两种策略同样经济D.不能判断分析:本题主要考查不等式的应用.本题关键是比较两种不同的购买方式的平均价格的大小. 解:(1)按第一种策略购物；设第一次购物时价格为p 1；购n (kg)；第二次购物时价格为p 2；仍购n (kg).按这种策略购物时两次购物的平均价格为n n p n p 221+=221p p +. (2)若按第二种策略购物；第一次花m 元钱；能购1p m (kg)物品；第二次仍花m 元钱；能购2p m (kg)物品；两次购物的平均价格为212p mp m m +=21112p p +.比较两次购物的平均价格221p p +－21112p p +=221p p +－21212p p p p +=)(24)(2121221p p p p p p +-+=)(2)(21221p p p p +->0(∵p 1≠p 2)；∴第一种策略的平均价格高于第二种策略的平均价格. 因而；用第二种策略比较经济. 答案:B 7.函数f (x )=x +x4+3在(－∞；－2]上( ) A.无最大值；有最小值7 B.无最大值；有最小值－1 C.有最大值7；有最小值－1 D.有最大值－1；无最小值解析:f (x )=x +x 4+3=－(－x +x-4)+3≤－4+3=－1. 故选D.答案:D8.一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h 速度匀速直达灾区；已知两地公路线长 400 km ；为了安全起见；两辆汽车的间距不得小于(20v )2km ；那么这批物资全部到达灾区；最少需要( )A.5 hB.10 hC.15 hD.20 h解析:时间t =［400+25(20v )2］÷v =v 400+40025v≥225=10.答案:B9.已知h ＞0；设甲:两实数a 、b 满足|a －b |＜2h ；乙:两实数a 、b 满足|a －1|＜h 且|b －1|＜h ；则( )A.甲是乙的充分但不必要条件B.甲是乙的必要但不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件；也不是乙的必要条件分析:本题主要考查含绝对值不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |；充要条件. 解:|a －b |=|(a －1)－(b －1)|≤|a －1|+|b －1|＜2h .故应选B. 答案:B10.若x ＞0；y ＞0且y x +≤a ·(x +y )成立；则a 的最小值是( ) A.22B.2 2分析:本题主要考查222b a +≥(2b a +)2；参数隔离法.解:由2)()(22y x +≥(2y x +)2；∴2y x +≥2y x +；即a ≥22；a min =22.故应选A.答案:A二、填空题11.设0＜x ＜1；则a =2x ；b =1+x ；c =x-11中最大的一个是__________. 解析:∵b －c =(1+x )－x-11=x x ---1112=－xx -12＜0；∴b ＜c .又b =1+x ＞2x =a ；∴c 最大. 答案:c12.已知不等式:①a 2+3＞2a (a ∈R )；②aa 1+≥2；③a 5+b 5＞a 3b 2+a 2b 3；④a 2+b 2≥2(a －b －1) (a ；b ∈R ).其中正确的不等式的序号是__________. 分析:本题考查比较法；综合法证明不等式；凑平方. 解:①a 2+3－2a =(a －1)2+2＞0. ②a 为负值不正确.③a 5+b 5－a 3b 2－a 2b 3=a 3(a 2－b 2)－b 3(a 2－b 2)=(a 3－b 3)(a 2－b 2)=(a +b )(a －b )2(a 2+ab +b 2)；其值大于零不一定成立.当a ≠b 且均为负值或一负值一零值时；其值为负值；当a =b 时其值为零.不正确.④a 2+b 2－2a +2b +2=(a －1)2+(b +1)2≥0. 答案:①④13. b g 糖水中有a g 糖(b >a >0)；若再添上m g 糖(m >0)；则糖水就变甜了.试根据这个事实；提炼一个不等式:__________.分析:本题主要考查应用数学知识解决实际问题的能力.加糖以后；糖水变甜了；说明浓度变大了.解:加糖以前；糖水的浓度为b a ；而加入m g 糖以后；糖水浓度为mb m a ++；糖水变甜了；说明浓度变大了；即m b m a ++>b a. 答案: m b m a ++> ba14.已知三个不等式:①ab ＞0；②－a c ＜－bd；③bc ＜ad .以其中两个作为条件；余下一个作为结论；则可以组成__________个正确的命题.分析:本题考查综合运用不等式的性质；证明不等式.解:由②；abadbc -＞0；又ab ＞0⇒bc －ad ＞0；即bc ＞ad ；说明由①②③.同理可证明其他情况. 答案:0三、解答题15设x 、y 、z ∈R ；比较5x 2+y 2+z 2与2xy +4x +2z －2的大小. 分析:本题考查不等式的性质与比较法.解:(5x 2+y 2+z 2)－(2xy +4x +2z －2)=(x －y )2+(2x －1)2+(z －1)2≥0. ∴5x 2+y 2+z 2≥2xy +4x +2z －2 (当且仅当x =y =21且z =1时等号成立). 16.比较下列两个数的大小: (1)2－1与2－3； (2)2－3与6－5；(3)从以上两小题的结论中；你能否得出更一般的结论？并加以证明. 解法一:(变形后利用平方求差) (1)(2+3)2－(2+1)2=26－4＞0.故2+3＞2+1；即2－1＞2－3.(2)(2+5)2－(6+3)2=45－218=220－218＞0. 故2+5＞6+3；即2－3＞6－5.(3)一般结论:若n 是正整数；则有1+n －n ＞3+n －2+n .证明过程与(1)(2)类似；从略. 解法二:(利用分子有理化)(1)∵2－1=121+；2－3=321+；而121+＞321+；故2－1＞2－3.(2)∵2－3=321+； 6－5=561+；而321+＞561+；故2－3＞6－5. (3)同解法一.注:本题的结论可推广到对一切n ∈R +都成立.17求证:ab b a +≥b a +(a ＞0；b ＞0). 思路一:从结论入手；探求、分析上一步成立的充分条件.证法一:(分析法)要证a b b a +≥b a +；只要证a a +b b ≥a b +b a ；即证3a +3b ≥ab (b a +).需证(b a +)(a －ab +b )≥ab (b a +)；即a －ab +b ≥ab ；也就是要证a +b ≥2ab 成立.a +b ≥2ab 显然成立；∴原不等式成立. 思路二:从条件入手；利用已知不等式；逐次推理. 证法二:(综合法)∵a 、b 为正实数；∴a +b ≥2ab .又ba +b ≥2a ； ① a +ab ≥2b ；②①+②得b a +b +a +ab ≥2a +2b ；即abb a+≥b a +成立. 证法三:(作差比较法) (a b b a +)－(b a +) =(b a －b )+(ab －a )=b b a -+a a b -=abb a b a ))((--=abb a b a 2))((-+.∵a 、b 为正实数；∴b a +＞0；ab ＞0；(a －b )2≥0.于是有abb a b a 2))((-+≥0.∴ab ba +≥b a +.18某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)；高度恒定；它的后墙利用旧墙不花钱；正面用铁栅；每米长造价40元；两侧墙砌砖；每米造价45元；顶部每平方米造价20元；试算:仓库底面积S 的最大允许值是多少？此时铁栅长为多少？分析:本题考查不等式在实际中的应用.解:设铁栅长x m ；一堵墙长y m ；则有S =xy . 由题意得40x +2×45y +20xy =3200.应用二元均值不等式；得3200≥229040y x ⋅+20xy =120xy +20xy =120S +20S . ∴S +6S ≤160.∴(S －10)(S +16)≤0.由于S +16＞0；∴S －10≤0；即S ≤100.因此S 的最大允许值是100 m 2；当且仅当40x =90y ；而xy =100；解得x =15；即铁栅的长应为15 m.19.设f (x )=x 2－x +B ；实数a 满足|x －a |＜1；求证:|f (x )－f (a )|＜2(|a |+1). 分析:本题考查绝对值不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |的应用.证明:∵f (x )－f (a )=x 2－x +B －a 2+a －B =x 2－a 2－(x －a )=(x －a )(x +a －1)；又∵|x －a |＜1；∴|f (x )－f (a )|=|x －a |·|x +a －1|＜|x +a －1|=|x －a +2a －1|≤|x －a |+|2a －1|＜1+|2a |+1=2(|a |+1). ∴|f (x )－f (a )|＜2(|a |+1).20 经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内；某公路段汽车的车流量y (千辆/小时)与汽车的平均速度v (km/h)之间的函数关系为y =160039202++v v v(v >0). (1)在该时段内；当汽车的平均速度v 为多少时；车流量最大?最大车流量为多少?(精确到千辆/小时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时；则汽车的平均速度应在什么范围内? 分析:本题主要考查函数、不等式等基本知识；考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力.解:(1)依题意；y =)1600(3920vv ++≤160023920+=83920；当且仅当v =v 1600；即v =40时；上式等号成立. 所以y max =83920≈11.1(千辆/小时).(2)由条件得160039202++v v v>10；整理得v 2－89v +1600<0；即(v －25)(v －64)<0. 解得25<v <64.答:当v =40 km/h 时；车流量最大；最大车流量约为千辆/小时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时；则汽车的平均速度应大于25 km/h 且小于64 km/h.21已知a >b >0；求证:a b a 8)(2-<2b a +－ab <b b a 8)(2-.分析:本题主要考查利用分析法证明不等式. 证明:要证原不等式；只需证 a b a 4)(2-<a +b －2ab <b b a 4)(2- ⇔(a b a 2-)2<(a －b )2<(b b a 2-)2⇔a b a 2-<a －b <bba 2-⇔a b a 2+<1<b ba 2+⇔1+a b <2<b a +1 ⇔ a b <1<ba ⇔a b <1<ba . (*)由题设知不等式(*)成立；以上过程可逆；原不等式成立.。

2020年山东省淄博市淄矿集团公司第一中学高二数学理期末试卷含解析

2020年山东省淄博市淄矿集团公司第一中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，猜想的表达式为（）A. B. C. D.参考答案：B2. 若集合，则A∪B= （）A. B.C. D.参考答案：B【分析】利用并集定义直接求解．【详解】∵集合，∴．本题正确选项：【点睛】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3. 在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据，整理、分析数据得出“吸烟与患肺癌有关”的结论，并有99%的把握认为这个结论是成立的，下列说法中正确的是（）A．吸烟人患肺癌的概率为99%B．认为“吸烟与患肺癌有关”犯错误的概率不超过1%C．吸烟的人一定会患肺癌D．100个吸烟人大约有99个人患有肺癌参考答案：B【考点】BN：独立性检验的基本思想．【分析】“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的，表示有99%的把握认为这个结论成立，与多少个人患肺癌没有关系，得到结论．【解答】解：∵“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的，表示有99%的把握认为这个结论成立，与多少个人患肺癌没有关系，只有B选项正确，故选：B．4. F（n）是一个关于自然数n的命题，若F（k）（k∈N+）真，则F（k+1）真，现已知F （7）不真，则有：①F（8）不真；②F（8）真；③F（6）不真；④F（6）真；⑤F （5）不真；⑥F（5）真．其中真命题是（）A．③⑤B．①②C．④⑥D．③④参考答案：D略5. 在同一坐标系中，将曲线变为曲线的伸缩变换是（）参考答案：C6. 已知为实数，且，则“”是“”的（）充分不必要条件 B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件参考答案：B略7. 下面几种推理过程是演绎推理的是（）A．在数列中，由此归纳数列的通项公式；B．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质；C．两条直线平行，同旁内角互补，如果和是两条平行直线的同旁内角，则D．某校高二共10个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人。

2020年四川省绵阳市科学城第一中学高二数学理下学期期末试卷含解析

2020年四川省绵阳市科学城第一中学高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 不等式表示的平面区域在直线的( )A.左上方B.左下方C.右上方D.右下方参考答案：C2. 双曲线两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为 -（）A. B. C. 2 D.参考答案：A3. 阅读下列程序：输入x；if x＜0， then y ＝；else if x ＞0， then y ＝；else y＝0；输出y．如果输入x＝－2，则输出结果y 为( )A．－5 B．－－5 C． 3＋ D． 3－参考答案：D4. 焦点为直线－2－4＝0与坐标轴的交点的抛物线的标准方程是（）（A） =16 (B) =－8 或 =16(C) = 8 (D) =8 或 =－16参考答案：B5. 设R，则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B6. 若函数有两个零点，则的取值范围（）A． B． C． D．参考答案：A7. 已知定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）单调递增，若不等式f（﹣4t）＞f（2mt2+m）对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）B．（﹣，0）C．（﹣∞，0）∪（，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）参考答案：A8. 已知集合A＝{3m＋2n|m＞n且m，n∈N}，若将集合A中的数按从小到大排成数列{a n}，则有a1＝31＋2×0＝3，a2＝32＋2×0＝9，a3＝32＋2×1＝11，a4＝33＝27，…，依此类推，将数列依次排成如图所示的三角形数阵，则第六行第三个数为( )a1a2a3a4a5a6…A．247 B．735C．733 D．731参考答案：C该三角形数阵中，每一行所排的数成等差数列，因此前5行已经排了15个数，∴第六行第三个数是数列中的第18项，∵a1=31+2×0=3，a2=32+2×0=9，a3=32+2×1=11，a4=33=27，…∴a18=36+2×2=733，故选C．9. 已知全集，集合，集合，则下图中阴部分所表示的集合是：A． B．C． D．参考答案：A略10. 有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x0是函数f （x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（x0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点．以上推理中( )A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确参考答案：A考点：演绎推理的基本方法．专题：计算题；推理和证明．分析：在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论．解答：解：大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，且满足当x＞x0时和当x＜x0时的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，∴大前提错误，故选A．点评：本题考查的知识点是演绎推理的基本方法，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知数据a1，a2，…，a n的方差为4，则数据2a1，2a2，…，2a n的方差为．参考答案：16【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据数据x1，x2，…，x n的平均数与方差，即可求出数据ax1+b，ax2+b，…，ax n+b的平均数和方差．【解答】解：设数据x1，x2，…，x n的平均数为，方差为s2；则数据ax1+b，ax2+b，…，ax n+b的平均数是a+b，方差为a2s2；当a=2时，数据2a1，2a2，…，2a n的方差为22×4=16．故答案为：16．12. 某处有水龙头3个，调查表明每个水龙头被打开的可能性是0.1，随机变量X表示同时被打开的水龙头的个数，则_______（用数字作答）.参考答案：0.027【分析】根据二项分布概率计算公式计算出的值.【详解】由于每个龙头被打开的概率为，根据二项分布概率计算公式有.【点睛】本小题主要考查二项分布的概率计算，考查运算求解能力，属于基础题.13. 设，则。

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期末练习题1一．选择题1. 某科技小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选时的不同选法有16种，则小组中的女生数目为A.2B.3C.4D.52. 设A ，B 是两个独立事件，“A 和B 同时不发生”的概率为，91“A 发生且B 不发生”的概率与“B 发生且A 不发生”的概率相等，则事件A 发生的概率为181.A 92.B C.31323. i 是虚数单位，若12(,)1i a bi a b i+=+∈+R ，则a b +的值是A.12-B.2-C.2D.12x )=x 2+bx +c/5. 函数()32f x ax bx cx d =+++的图象（如右图），则函数2233c y ax bx =++的单调递增区间是A.(],2-∞-B. [)3,+∞C. []2,3-D. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭6. 有一名同学在书写英文单词“error 错这个单词的概率为 A.120119 B.109 C.2019 D.217. 已知直线b ax x y kx y ++=+=3 1与曲线切于点（1，3），则b 的值为 A ．3B ．－3C ．5D ．－58. =-+-+-++++=-732107722107,)21(a a a a a x a x a x a a x 那么已知A. 1B.27C. 37D.-19、已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤（）A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ，0.84AxDCx B10、调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，得到下面的数据表：你认为婴儿的性别与出生时间有关系的把握为（）Ａ．80% Ｂ．90% Ｃ．95% Ｄ．99%二、填空题11、袋中有红.黄.白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取3次，则球的颜色全不同的概率是_____________。

12、若在5(1)ax +的展开式中3x 的系数为80-，则_______a =13、设函数f (x )＝x 3－3x （x ∈R ）, 若关于x 的方程f (x )＝a 有3个不同的实根，则实数a 的取值范围是________.14、已知0t >，若()021d 6tx x -=⎰，则t =_________15、某篮球队12名队员年龄各不相同，欲将他们分成两个队比赛，使得一个队5人中年龄最小的比另一队5人中年龄最大的还大，另2人在场下休息，那么共有分队方法的种数为___________. 三.解答题16、已知(1+x )n 的展开式中，第2，3，4项的系数顺次成等差数列，求展开式中含x 2项的系数。

17、设32()f x ax bx cx =++的极小值为8-,其导函数'()y f x =的图像经过点2(2,0),(,0)3-,如图所示, (1)求()f x 的解析式；(2)若对[3,3]x ∈-都有2()14f x m m≥-恒成立，求实数m 的取值范围．19、某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的.(1)求3个景区都有部门选择的概率；(2)求恰有2个景区有部门选择的概率.18、某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利y（元），与该周每天销售这种服装件数x 之间的一组数据关系见表：已知721280iix==∑，72145309iiy==∑，713487i iix y==∑．（1）求x y，；（2）画出散点图；（3）判断纯利y与每天销售件数x之间是否线性相关，如果线性相关，求出回归方程．20、某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审.假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是12.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令ξ表示该公司的资助总额. (1) 写出ξ的分布列； (2) 求数学期望E ξ.21、已知函数)0(21)(,ln )(2≠+==a bx axx g x x f（1）若2-=a时，函数)()()(x g x f x h -=在其定义域内是增函数，求b 的取值范围；（2）在（1）的结论下，设函数]2ln ,0[,)(2∈+=x be e x x x ϕ ，求函数)(x ϕ的最值期末练习题1参考答案（仅供参考） 1 2 3 4 5 6 7 8 A DC AD C A C6. 201115533-=-A A二.简答题答案: 9.9227633333==∙∙=AP10. －2 11. （－2,2）12. 313. 66212=C三.解答题答案:14. 由题意，C 1n ，C 2n ，C 3n 成等差数列，即2·C 2n =C 1n + C 3n ，………………3分整理得：n 2－9n+14=0，解得 n=2或7。

……………………………………6分由题意，n=2不合题意，舍去。

∴n=7 ………………………………8分∴(1+x )7展开式的通项T r+1=C r 7(x )r= C r 7·x 2r令2r =2，∴r=4。

………10分∴含x 2项的系数为C 47=35。

……………………………………12分15. （1）2'()32f x ax bx c =++ ，且'()y f x =的图像经过点2(2,0),(,0)3-,22223324233b b a ac c a a ⎧-+=-⎪=⎧⎪∴⇒⎨⎨=-⎩⎪-⨯=⎪⎩， 32()24f x ax ax ax ∴=+-，由图像可知函数()y f x =在(,2)-∞-上单调递减，在2(2,)3-上单调递增，在2(,)3+∞上单调递减，∴32()(2)(2)2(2)4(2)8f x f a a a =-=-+---=-极小值，解得1a =- ∴32()24f x x x x =--+ （2）要使对[3,3]x ∈-都有2()14f x m m ≥-恒成立，只需2m in ()14f x m m ≥-即可．由（1）可知函数()y f x =在[3,2)--上单调递减，在2(2,)3-上单调递增，在2(,3]3上单调递减，且(2)8f -=-，32(3)32343338f =--⨯+⨯=-<-，min ()(3)33f x f ∴==-23314311m m m -≥-⇒≤≤故所求的实数m 的取值范围为{|311}m m ≤≤． 16. （1）2()f x x a '=+，由(2)04f a '==-得由4(2)43f b =-=得则31()443f x x x =-+，2()4022f x x x x '=->><-令得或()22f x ∴-∞-+∞的增区间为（，），（，）；（2）由4284(4),(2),(2),(3)1333f f f f -=--==-=则2281033m m ≤++28()3f x 的最大值为，要使3211033x ax b m m ++≤++对[4,3]x ∈-恒成立，只要2m ax 10()3f x m m ≤++就可以了，即2281033m m ≤++得3-≤m 或2≥m ，所以实数m 的取值范围是3-≤m 或2≥m 。

17. 某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为34.由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等.(1)3个景区都有部门选择可能出现的结果数为!324⋅C （从4个部门中任选2个作为1组，另外2个部门各作为1组，共3组，共有624=C 种分法，每组选择不同的景区，共有3！种选法），记“3个景区都有部门选择”为事件A 1，那么事件A 1的概率为 P （A 1）=.943!3424=⋅C (2)解法一：分别记“恰有2个景区有部门选择”和“4个部门都选择同一个景区”为事件A 2和A 3，则事件A 3的概率为P （A 3）=271334=，事件A 2的概率为P （A 2）=1－P （A 1）－P （A 3）=.2714271941=-- 解法二：恰有2个景区有部门选择可能的结果为).!2(32414C C +⋅（先从3个景区任意选定2个，共有323=C 种选法，再让4个部门来选择这2个景区，分两种情况：第一种情况，从4个部门中任取1个作为1组，另外3个部门作为1组，共2组，每组选择2个不同的景区，共有!214⋅C 种不同选法.第二种情况，从4个部门中任选2个部门到1个景区，另外2个部门在另1个景区，共有24C 种不同选法）.所以P （A 2）=.27143)!2(342424=+⋅C C18. （1）ξ的所有取值为0,5,10,15,20,25,30 1(0)64P ξ==3(5)32P ξ==15(10)64P ξ==5(15)16P ξ==15(20)64P ξ== 3(25)32P ξ== 1(30)64P ξ== （2）315515315101520253015326416643264E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.。