高二下学期数学练习题整理
2021-2022学年北京市第二中学高二下学期数学期末练习试题(解析版)
2021-2022学年北京市第二中学高二下学期数学期末练习试题一、单选题1．已知离心率为2的双曲线()222210,0x y a b a b -=>>与椭圆22184x y +=有公共焦点，则双曲线的方程为（ ） A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．2213y x -=D ．2213x y -=【答案】C【分析】由双曲线与椭圆共焦点可得双曲线的2c =，双曲线离心率2ce a==，得1a =，3b =，即可求出双曲线的方程.【详解】双曲线()222210,0x y a b a b -=>>与椭圆22184x y +=有公共焦点由椭圆22184x y +=可得284=4c =-2c ∴=双曲线离心率2ce a==， 2221413a b c a ∴==-=-=，∴双曲线的方程为：2213y x -=故选：C【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线焦点以及双曲线离心率的表示方法，属于基础题. 2．函数 ()y f x =的导函数()y f x ='的图象如图所示，给出下列命题：①3-是函数()y f x =的极值点； ②1-是函数()y f x =的最小值点； ③()y f x =在区间()3,1-上单调递增； ④()y f x =在0x =处切线的斜率小于零．以上正确命题的序号是（ ） A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④【答案】C【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．【详解】根据导函数图象可知：当(),3x ∈-∞-时，()0f x '<，在()3,1x ∈-时，()0f x '≥， ∴函数()y f x =在(),3-∞-上单调递减，在()3,1-上单调递增，故③正确；则3-是函数()y f x =的极小值点，故①正确； 在()3,1-上单调递增，∴1-不是函数()y f x =的最小值点，故②不正确；函数()y f x =在0x =处的导数大于0， ∴切线的斜率大于零，故④不正确．故选：C ．3．已知x y ≠，数列x ，1a ，2a ，y 与x ，1b ，2b ，3b ，y 都是等差数列，则2121a ab b --的值是（ ） A ．43B ．34C ．54D ．45【答案】A【分析】根据等差数列的通项公式，分别表示出()213y x a a =+-，()214y x b b =+-，整理即可得答案.【详解】数列x ，1a ，2a ，y 和x ，1b ，2b ，3b ，y 各自都成等差数列，()213y x a a ∴=+-，()214y x b b =+-，()()212134a a b b ∴-=-，212143a ab b -∴=-． 故选:A ．4．已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是A ．2B ．3C ．115D ．3716【答案】A【详解】直线l 2：x ＝－1为抛物线y 2＝4x 的准线．由抛物线的定义知，P 到l 2的距离等于P 到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题转化为在抛物线y 2＝4x 上找一个点P ，使得P 到点F(1,0)和直线l 2的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，即d min ＝4065-+＝2．5．若直线2y x b =+是曲线2lnx y a =的切线，且0a >，则实数b 的最小值是 A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-【答案】D【分析】求出函数y ＝2alnx 的导数，设切点为（m ，n ），由条件得到22am=，2m+b ＝2alnm ，即有b ＝2alna ﹣2a （a ＞0），再对b 求导，求出单调区间，极值即为最值，即可得到实数b 的最小值．【详解】y ＝2alnx 的导数为2ay x'=，由于直线y ＝2x+b 是曲线y ＝2alnx 的切线，设切点为（m ，n ），则22am=， ∴m ＝a ，又2m+b ＝2alnm ，∴b ＝2alna ﹣2a （a ＞0），b '＝2（lna+1）﹣2＝2lna ， 当a ＞1时，b '＞0，函数b 递增，当0＜a ＜1时，b '＜0，函数b 递减， ∴a ＝1为极小值点，也为最小值点，∴b 的最小值为2ln1﹣2＝﹣2． 故选D ．【点睛】本题考查利用导数求曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求最值，属于基础题．6．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 在C 上，直线PF 交y 轴于点Q ，若3PF FQ =，则点P 到准线l 的距离为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C【分析】求出焦点F 的坐标，过点P 作y 轴的垂线，垂足为N ，由OF PN ∥可得||||1||||4OF FQ PN QP ==，求出||PN ，结合抛物线的定义，即可得解． 【详解】解：由抛物线2:4C y x =，可知(1,0)F ，准线l 的方程为1x =-， 过点P 作y 轴的垂线，垂足为N ， 因为OF PN ∥，所以||||1||||4OF FQ PN QP ==， 所以||4||4PN FO ==，所以点P 到准线l 的距离为415+=． 故选：C ．7．某班制定了数学学习方案：星期一和星期日分别解决4个数学问题，且从星期二开始，每天所解决问题的个数与前一天相比，要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”，则在一周中每天所解决问题个数的不同方案共有 A ．141种 B ．140种 C ．51种 D ．50种【答案】A【详解】分析：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，都是0、1、2、3天，共四种情况，利用组合知识可得结论．详解：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，所以后面六天中解决问题个数“多一个”或“少一个”的天数可能是0、1、2、3天，共四种情况，所以共有01122336656463C C C C C C C +++=141种．故选A ．点睛：本题考查组合知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定中间“多一个”或“少一个”的天数必须相同是关键．8．若曲线()e x mf x x=+在(,0)-∞上存在垂直y 轴的切线，则实数m 取值范围为 A ．24,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．240,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(,4]-∞D ．(0,4]【答案】B【详解】试题分析：()2'e 0xmf x x=-= 在(,0)-∞上有解2e x m x ⇒=在(,0)-∞上有解，设()()()22e '2e (0)x xg x x g x x x x =⇒=+< ，令'()02g x x =⇒=- ，当2x <- 时，'()0g x > ，当20x -<< 时，()()()24'002e g x g x g m <⇒<≤-=⇒∈240,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦，故选B.【解析】函数的导数及其应用.【方法点晴】本题考查函数的导数及其应用，考查了转化化归思想、分类讨论思想和函数与方程思想，计算量比较大，属于较难题型.解题时首先将命题转化为2e x m x =在(,0)-∞上有解，再设()2e x g x x =，然后利用导数工具求得()()2402e g x g m <≤-=⇒∈240,e ⎛⎤⎥⎝⎦，解此类题型时，应注意积累命题转化技巧，即培养转化化归思想.9．已知1F ､2F 分别是双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，双曲线C 的右支上一点Q 满足1||OQ OF =，直线1F Q 与该双曲线的左支交于P 点，且P 恰好为线段1F Q 的中点，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．12y x =±B ．2y x =±C ．y =±D ．y =±【答案】C【分析】根据给定条件导出12QF QF ⊥，再利用双曲线定义结合勾股定理计算作答. 【详解】依题意，令12||||||OQ OF OF c ===，则有12QF QF ⊥，令2||2QF t =，由双曲线定义得1||22QF a t =+，而点P 是QF 1中点且在双曲线左支上，则12||||,||3PQ PF a t PF a t ==+=+，在2Rt PQF 中，22222||||||PQ QF PF +=，即222()(2)(3)a t t a t ++=+，解得2t a =，则2||4QF a =，1||6QF a =，在12Rt FQF 中，2221212||||||QF QF F F +=，即22236164a a c +=，2213c a =，于是得2212b a =，ba=所以双曲线C 的渐近线方程为y =±. 故选：C10．设{}2n a n +为等比数列，且11a =，20a =，现有如下四个命题：①123,,a a a 成等差数列； ②5a 不是质数；③{}2n a n +的前n 项和为122n +-；④数列{}n a 存在相同的项. 其中所有真命题的序号是 A ．①④ B ．①②③ C ．①③ D ．①③④【答案】D【分析】首先根据{}2n a n +为等比数列，且11a =，20a =，得到22n n a n =-，再依次判断即可得到答案.【详解】设等比数列{}2n a n +的公比为q ，则2202211q +==+，所以22nn a n +=， 对①，因为22n n a n =-，所以31a =-，则1322a a a +=，所以123,,a a a 成等差数列，故①为真命题.对②，525257a =-=，而7为质数，所以5a 是质数，故②为假命题.对③，{}2n a n +的前n 项和为()212121222222nn n +--==+++-，故③为真命题.对④，因为20a =，424240a =-=，故④为真命题.故选：D 二、填空题11．数列{}n a 中，13.n n a a +=前99项的和9952S =，则36999a a a a ++++=___________.【答案】36【分析】易得数列{}n a 是等比数列，数列36999,,,,a a a a 是等比数列，根据等比数列的前n 项和公式求得1a ，再根据等比数列前n 项和公式即可得解. 【详解】解：因为13n n a a +=，9952S =，所以数列{}n a 是以3为公比的等比数列， 所以数列36999,,,,a a a a 是以3a 为首项，33为公比的等比数列又()99199135213a S -==-，所以()99113104a -=-，是以()()()333993136999313913910436132626a a a a a a ⎡⎤--⨯-⎢⎥⎣⎦++++====---. 故答案为：36. 三、双空题12．已知()727012712x a a x a x a x -=++++，则0a =_________，127a a a +++=______________.【答案】 1 2-【分析】令0x =即可求0a 的值，令1x =结合0a 的值，即可求127a a a +++的值.【详解】令0x =可得：()70120a -⨯=，所以01a =， 令1x =可得：()07712121a a a a -⨯=++++，即27111a a a ++++=-，所以1272a a a +++=-，故答案为：1；2-.13．设等差数列{}n a 前n 项和为n S ．若210a =，540S =，则5a =________，n S 的最大值为________． 【答案】 4 42【分析】根据等差数列的前n 项和公式，可求得38a =，从而可求得数列的公差，得到数列的通项公式和前n 项和公式，可求得所需求的值. 【详解】∵数列{}n a 是等差数列，∵540S =，∴()1535524022a a a ⨯+⨯==，38a ∴=， 又210a ∴=，2d ∴=-，2(2)10(2)(2)142n a a n d n n ∴=+-⨯=+-⨯-=-， 514254a ∴=-⨯=，()122(12142)(262)13169(13)13()22224n n n a a n n n n S n n n n n ++--====-=-+=--+, ∴当6n =或7时，n S 有最大值42.故答案为：（1）4；（2）42.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，和根据二次函数的求得前n 项和的最大值，运用是需注意数列的项数应是自然数，属于基础题.14．如图，椭圆E 的左右焦点为1F ，2F ，以2F 为圆心的圆过原点，且与椭圆E 在第一象限交于点P ，若过P ､1F 的直线l 与圆2F 相切，则直线l 的斜率k =______；椭圆E 的离心率e =______.【答案】3331-【解析】根据直角三角形的性质求得12PF F ∠，由此求得k ，结合椭圆的定义求得离心率.【详解】连接2PF ，由于l 是圆2F 的切线，所以12PF PF ⊥. 在12Rt PF F 中，212PF OF OF c ===， 所以21212PF F F =，所以126PF F π∠=，所以直线l 的斜率63tan 3πk ==.2211223PF F P F F c =-=，根据椭圆的定义可知1212222312331F F c c c e a a PF PF c c ======-+++. 故答案为：33；31-【点睛】本小题主要考查椭圆的定义、椭圆的离心率，属于中档题.15．已知函数()()1ln 0f x ax x a x=+>.（1）当1a =时，()f x 的极小值为______；（2）若()f x ax ≥，在()0,∞+上恒成立，则实数a 的取值范围为______. 【答案】 1 20,e ⎛⎤⎥⎝⎦【分析】（1）代入a 的值，求出函数的导数，判断导函数的正负，求出函数的单调区间，求出函数的极小值即可； （2）问题转化为21(1ln )a x x -≤在(0,)+∞恒成立，e x ≥时显然成立，0e x <<时，问题转化为min 21[](1ln )a x x ≤-，只需求出2()(1ln )g x x x =-的最大值即可，求出函数()g x 的最大值，从而求出a 的范围即可．【详解】（1）1a =时，1()ln f x x x x=+，(0)x >，21()ln 1f x x x '=+-，令23112()ln 1,()0g x x g x x x x'=+-=+>， 故()'f x 在(0,)+∞递增，而()01f '=，故(0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 递减，(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 递增， 故()f x 极小值(1)1f ==；（2）若()f x ax ≥在(0,)+∞上恒成立， 即21(1ln )a x x -≤在(0,)+∞恒成立， ①1ln 0x -≤即e x ≥时，0a >，(1ln )0x -≤，210x >， 故21(1ln )a x x -≤在(0,)+∞恒成立， ②1ln 0x ->即0e x <<时，问题转化为21(1ln )a x x ≤-在(0,)+∞恒成立， 即min 21[](1ln )a x x ≤-，只需求出2()(1ln )g x x x =-的最大值即可，(0e)x <<，()(12ln )g x x x '=-，令()0g x '>，解得：0x <<()0g x '<e x <<，故()g x 在递增，在e)递减，故max e ()2g x g ==，故12e e 2a ≤=， 综上，(0a ∈，2]e, 故答案为：1， 2(0,]e．四、解答题16．在①212log log 1n n a a +=+，②12n n n a a +=+，③22112n n n n a a a a ++-=（0na >）这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答，已知{}n n b a -为等差数列，{}n b 的前n 项和为n S ，且12a =，12b =，314b =，__________，是否存在正整数k ，使得2021k S >？若存在，求k 的最小值：若不存在，说明理由． 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分． 【答案】选择见解析；存在；k 的最小值为10．【分析】选①：得212log log 1n n a a +-=，所以2{log }n a 等差数列，即可求得n a 通项公式，再求得{}n b ，然后求和n S ，最后由不等式估算k 的最小值；选②：用累加法求得n a 通项公式，下同选①；选③：由22112n n n n a a a a ++-=整理得()()1120n n n n a a a a ++-+=，即可求得n a 通项公式，下同选①．【详解】选①：由21log log 1n n a a +=+得212log log 1n n a a +-=，所以2{log }n a 是首项为21log 1a =，公差为1的等差数列， 所以()2log 111n a n n =+-⨯=，故2n n a =． 又12b =，314b =，12a =，38a =， 所以110b a -=，336b a -=， 所以等差数列{}n n b a -的公差3311()()331b a b a d ---==-所以()()11131n n b a b a n d n -=-+-=-，所以()231nn b n =+-，2123133(2222)3(123)3222nn n n n S n n +-=+++++++++-=-+．由2021n S >得10n ≥，即存在正整数k ，使得2021k S >．且k 的最小值为10． 选②：由12nn n a a +=+得1212a a -=，3222a a -=， 3432a a ，…，()1122n n n a a n ---=≥，相加得1123112(12)22222212n n n n a a ----=++++==--，又12a =，所以()22nn a n =≥，显然12a =也满足()22nn a n =≥，故2n n a =．下同选①． 选③：由22112n n n n a a a a ++-=整理得()()1120n n n n a a a a ++-+=，又0n a >，所以12n n a a +=，即12n na a +=， 所以{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，所以2n n a =． 下同选①．【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．17．某省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“312++”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：从2021年夏季高考开始，高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为,,,,A B C D E 五个等级，确定各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%，2%，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到[]86,100、[]71,85、[]56,70、[]41,55、[]30,40五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分.具体转换分数区间如下表：而等比例转换法是通过公式计算：2211Y Y T TY Y T T --=-- 其中1Y ，2Y 分别表示原始分区间的最低分和最高分，1T 、2T 分别表示等级分区间的最低分和最高分，Y 表示原始分，T 表示转换分，当原始分为1Y ，2Y 时，等级分分别为1T 、2T假设小南的化学考试成绩信息如下表：设小南转换后的等级成绩为T ，根据公式得：847585756971TT --=--，所以76.677T =≈（四舍五入取整），小南最终化学成绩为77分.已知某年级学生有100人选了化学，以半期考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩，其中化学成绩获得A 等级的学生原始成绩统计如下表：（1）从化学成绩获得A 等级的学生中任取2名，求恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率；（2）从化学成绩获得A 等级的学生中任取5名，设5名学生中等级成绩不小于96分人数为ξ，求ξ的分布列和期望. 【答案】（1）1235P =（2）见解析 【分析】（1）根据成绩换算公式，计算出等级成绩不低于96分时的原始成绩，进而得到等级成绩不低于96分的人数，根据古典概型的概率即可得到所求；（2）列出随机变量ξ的所有可能的取值，分别求出对应的概率，列出分布列，计算期望即可．【详解】（1）设化学成绩获得A 等级的学生原始成绩为x ，等级成绩为y ，由转换公式得：951008586x y x y --=--，即：()148514330861010x x y --=+=， 所以143309610x -≥，得：92.1x ≥， 显然原始成绩满足92.1x ≥的同学有3人，获得A 等级的考生有15人.恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率为113122151235C C P C ==. （2）由题意可得：等级成绩不小于96分人数为3人，获得A 等级的考生有15人，0531251524(0)91C C P C ξ===，1431251545(1)91C C P C ξ=== 2331251520(2)91C C P C ξ===，323125152(3)91C C P C ξ=== 则分布列为ξ 01 2 3 P2491 4591 2091291则期望为：45202231919191E ξ=+⋅+⋅= 【点睛】本题考查古典概型、计数原理、统计表的应用、超几何分布，考查数据处理能力和运算求解能力，属于中档题．18．如图，抛物线关于y 轴对称，它的顶点在坐标原点，点()2,1P 、()11,A x y 、()22,B x y 均在抛物线上.(1)求抛物线的方程；(2)若APB ∠的平分线垂直于y 轴，证明直线AB 的斜率为定值. 【答案】(1)24x y = (2)证明见解析【分析】（1）根据题意设抛物线的方程为2x ay =，将点P 的坐标代入抛物线的方程，求出a 的值，即可得出抛物线的方程；（2）分析可知直线AP 的斜率存在且不为零，利用斜率公式求出AP k 、BP k 的值，由已知可得0AP BP k k +=，求出12x x +的值，再利用斜率公式可求得AB k 的值.【详解】(1)解：根据题意设抛物线的方程为2x ay =，将点P 的坐标代入抛物线方程可得4a =，所以，抛物线的方程为24x y =.(2)证明：由题意可知直线AP 、BP 的倾斜角互补，若AP x ⊥轴，此时直线AP 与抛物线24x y =只有一个交点，不合乎题意. 所以，直线AP 的斜率存在，若直线AP y ⊥轴，则A 、B 重合，不合乎题意， 所以，直线AP 的斜率不为零，2111111124224APx y x k x x --+===--，同理224BP x k +=， 由已知12404AP BP x x k k +++==，可得124x x +=-， 因此，221212121212414ABx x y y x x kx x x x --+====---. 故直线AB 的斜率为定值1-.19．已知函数()(1)ln 1.f x x x x =---(1)求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程； (2)证明：函数()f x 有且仅有两个零点12,x x ，且12 1.x x = 【答案】(1)10x y ++= (2)见解析【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）求导，再根据导数得符号求出函数的单调区间，再根据零点的存在性定理即可得证，注意可先假设α是函数的一个零点，再证明10f α⎛⎫= ⎪⎝⎭.【详解】(1)解：由函数()(1)ln 1f x x x x =---， 得()0,x ∈+∞，12f ，()11ln 1ln x f x x x x x-'=+-=-， 则()11f '=-，所以函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为()21y x +=--， 即10x y ++=；(2)解：()1ln f x x x '=-，()0,x ∈+∞，因为函数1ln ,y x y x ==-在()0,x ∈+∞上递增，所以函数1ln y x x=-在()0,x ∈+∞上递增，又()()1ln 41110,2ln 2022f f -''=-<=-=>， 所以存在唯一的实数()01,2x ∈，使得()00f x '=， 当00x x <<时，()0f x '<，当0x x >时，()0f x '>， 所以函数()f x 在()00,x 上递减，在()0,x +∞上递增， 故()()0120f x f <=-<，又()22e e 30f =->，所以函数()f x 在()0,x +∞上存在唯一的零点α， 则()(1)ln 10f αααα=---=， 由01x α<<，得011x α<<，又()1ln 11111()(1)ln 10f αααααααα---=---==， 所以函数()f x 在()00,x 上存在唯一的零点1α，即函数()f x 有且仅有两个零点12,x x ，且12 1.x x = 20．已知函数()(1)e 1xf x x =-+，2()(R).2ax g x a =∈(1)若1a =，求函数()g x 在点(3,(3))g 处的切线方程； (2)当(,1]x ∈-∞时，()()f x g x ≤恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)6290x y --= (2)[)2,+∞【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得出答案；（2）令()()()()(]21e 1,,12x ax h x g x f x x x =-=---∈-∞，要使当(,1]x ∈-∞时，()()f x g x ≤恒成立，只要当(,1]x ∈-∞时，()0f x '≥恒成立即可，从a 的角度分类讨论求出函数的单调区间及最值，从而可得出答案.【详解】(1)解：若1a =，2()2x g x =，则()932g =，则()g x x '=，故(3)3g '=，所以函数()g x 在点(3,(3))g 处的切线方程为()9332y x -=-， 即6290x y --=；(2)解：令()()()()(]21e 1,,12x ax h x g x f x x x =-=---∈-∞，则()()()e e 1e x x xh x ax x x a '⎡⎤=-+-=-⎣⎦， 当0a ≤时，有e 0x a -<，当0x <时，()0h x '>，当01x <≤时，()0h x '<， 所以函数()h x 在(),0∞-上递增，在(]0,1上递减， 所以()()max 00h x h ==， 所以当0a ≤时，()0h x ≤恒成立， 所以0a ≤不符合题意；当0a >时，令()0h x '=，则0x =或ln a ， ①若e a ≥，则ln 1a ≥，当0x <时，()0h x '<，当01x <<时，()0h x '>， 所以函数()h x 在(),0∞-上递减，在()0,1上递增， 所以()()00h x h ≥=，所以当(,1]x ∈-∞时，()()f x g x ≤恒成立， 所以e a ≥符合题意；②若1e a <<时，则0ln 1a <<，当0x <或ln 1a x <<时，()0h x '<，当0ln x a <<时，()0h x '>， 所以函数()h x 在(),0∞-和()ln ,1a 上递减，在()0,ln a 上递增， 因为()0h x ≥恒成立，所以()()00011021eh a h a ⎧=≥⎪⎪=-≥⎨⎪<<⎪⎩，解得2e a ≤<；③若1a =，则ln 0a =， 则()0h x '≤，所以函数()h x 在(],1-∞上递减， 又()00h =，所以当10x ≥>时，()0h x <， 所以1a =不符合题意； ④若01a <<时，则ln 0a <，当ln x a <或01x <<时，()0h x '<，当ln 0a x <<时，()0h x '>， 所以函数()h x 在(),ln a -∞和()0,1上递减，在()ln ,0a 上递增， 又()00h =，所以当10x ≥>时，()0h x <， 所以01a <<不符题意，综上所述，a 的取值范围是[)2,+∞.【点睛】本题考查了导数的几何意义和利用导数求含参函数的单调区间及最值，考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想及数据分析能力.21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>1F ，2F ，A为C 的上顶点，且12AF F △的周长为4+ (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l ：()0y kx m m =+≠与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，当k 为何值，22OM ON +恒为定值，并求此时MON △面积的最大值．【答案】(1)2214x y +=(2)12k =±，MON △面积的最大值为1【分析】（1）由椭圆的定义可知12AF F △的周长为224a c +=+求解；（2）联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理可得()()()2222222641641241m k k OM ON k -+++=++，若22OM ON +恒为定值，则与2m 无关，即可求得k 值；将k代回可得MN ，设点O 到直线l 的距离d ，则12MON S d MN =⨯⨯△，利用均值不等式即可求解.【详解】(1)设椭圆C 的半焦距为c ．因为12AF F △的周长为4+所以224a c +=+① 因为椭圆Cc a =②由①②解得2a =，c =则1b ．所以椭圆C 的方程为2214x y +=．(2)设()11,M x y ，()22,N x y ，联立2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，消元得()222418440k x kmx m +++-=， 当()()2222Δ64164110k m k m =-+->，即22410k m -+>时，则122841km x x k -+=+，21224441m x x k -⋅=+， 则22222212121144x x OM ON x x +=+-++-()()2222221222324624622441k m m k x x k -++=++=++()()()22222641641241m k k k -++=++， 当22OM ON +为定值时，即与2m 无关，故2410k -=，得12k =±， 此时MN ==又点O 到直线l的距离d =所以2212122MONm m S d MN m +-=⨯⨯==△，当且仅当m =1m =±时，等号成立， 经检验，此时Δ0>成立， 所以MON △面积的最大值为1．。
高二下学期期末数学试题及答案
第1页（共4页） 第2页（共4页）密 封 线 内 不 要 答 题XXX 学年下学期期末考试高二数学试卷一、选择题（每题2分，共30分）1、sin450cos150-cos450sin150的值是 （ ） A.-23 B.21 C.-21 D.23 2、若cos α=-21,sin β=23,且α和β在第二象限，则sin(α+β)的值（ ）A.213-B.23C.-23D.213、x y 212-=的准线方程( )A. 21=yB. 81=xC. 41=xD. 161=x 4、由1,2,3可以组成多少个没有重复数字的三位数 （ ）A. 6个 B . 3个 C. 2个 D. 1个5、(nx )6-的展开式中第三项的系数等于6,那么n 的值（ ）A ． 2B ．3C ． 4D ．56、从放有7个黑球,5个白球的袋中,同时取出3个,那么3个球是同色的概率( ) A. 221 B. 447 C. 449 D. 221或447 7、x y 2=与抛物线2x y =的交点有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8、化简x y x x y x cos )cos(sin )sin(+++的结果是（ ）A ．)2cos(y x + B ．y cos C ．)2sin(y x + D ．y sin 9、已知△ABC 的三边分别为a=7, b=10, c=6,则△ABC 为( ) A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 10、函数y x y 的图象可由函数)6sin(2π+==的图象x sin 2 而得到( ) A. 向右平移6π个单位 B. 向左平移6π个单位 C. 向右平移3π个单位 D. 向左平移3π个单位11、椭圆155322=+y x 的焦点坐标为 （ ） A.)0,8(),0,8(- B.)8,0(),8,0(- C.)0,2(),0,2(- D.)2,0(),2,0(- 12、 61⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中常数项是 （ ） A.C 36 B.C 46 C.C 06 D.C 56专业 班级 考场 座号第3页（共4页） 第4页（共4页）13、100件产品中,有10件一等品,20件二等品,任取一件是二等品的概率（ ） A. 51 B. 101 C. 301 D. 50114、下列点在1234+-=x x y 的曲线上的是（ ）A ．（1，0）B ．（—1，—6）C ．（—5，1）D ．（2，1）15、从8名男生和1名女生中选4人组成一个小组,必须要有女生参加的选法种数为（ ） A. 70 B. 56 C. 336 D. 126 二、填空题（每题2分，共30分） 1、长轴和短轴之和为18,焦距为6,且焦点在x 轴上的椭圆标准方程 2、双曲线1361622=-y x 的渐近线方程 3、过点M(-1,-2)的抛物线标准方程4、用1克,2克,4克的砝码在天平上能称出 种不同的物体的质量.5、长轴在y 轴，离心率为36，且过点(3,0)的椭圆的标准方程是 。
高中高二数学下学期期末复习试卷(含解析)-人教版高二全册数学试题
2014-2015学年某某省某某市东海县石榴高中高二（下）期末数学复习试卷一、填空题：1．已知集合P={﹣4，﹣2，0，2，4}，Q={x|﹣1＜x＜3}，则P∩Q=．2．若复数z1=3+4i，z2=1+2i（i是虚数单位），则z1﹣z2=．3．命题：∀x∈R，sinx＜2的否定是．4．复数z=（1+3i）i（i是虚数单位），则z的实部是．5．已知函数y=f（x），x∈[0，2π]的导函数y=f′（x）的图象，如图所示，则y=f（x）的单调增区间为．6．已知则满足的x值为．7．函数在[2，4]上是增函数的充要条件是m的取值X围为．8．已知函数f（x）=x3+2x2﹣ax+1在区间（﹣1，1）上恰有一个极值点，则实数a的取值X 围是．9．设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为35，则a+b的最小值为．10．曲线在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为．11．在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象只有一个交点，则a的值为．12．已知实数a，b，c满足a+b+c=9，ab+bc+ca=24，则b的取值X围是．13．设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是．14．观察下面的数阵，第20行第20个数是．12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 25…二、解答题（共6小题，满分0分）15.给定两个命题：p：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根，如果p和q中至少有一个为真命题，某某数a的取值X围．16.已知复数z1满足（z1﹣2）（1+i）=1﹣i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1•z2是实数，求z2．17.已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值5，其导函数y=f′（x）的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示，求：（Ⅰ）x0的值；（Ⅱ）a，b，c的值．18.因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中．为了治污，根据环保部门的建议，现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂．已知每投放a（1≤a≤4，且a∈R）个单位的药剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为y=a•f（x），其中f（x）=．若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效治污的作用．（Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？（Ⅱ）若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）．19.试比较n n+1与（n+1）n（n∈N*）的大小，分别取n=1，2，3，4，5加以试验，根据试验结果猜测一个一般性结论．20.对于定义在区间D上的函数f（x）和g（x），如果对于任意x∈D，都有|f（x）﹣g（x）|≤1成立，那么称函数f（x）在区间D上可被函数g（x）替代．（1）若，试判断在区间[[1，e]]上f（x）能否被g（x）替代？（2）记f（x）=x，g（x）=lnx，证明f（x）在上不能被g（x）替代；（3）设，若f（x）在区间[1，e]上能被g（x）替代，某某数a的X围．2014-2015学年某某省某某市东海县石榴高中高二（下）期末数学复习试卷参考答案与试题解析一、填空题：1．已知集合P={﹣4，﹣2，0，2，4}，Q={x|﹣1＜x＜3}，则P∩Q={0，2} ．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：通过理解集合的表示法化简集合P和集合Q，两集合的交集是集合P和Q中的共同的数．解答：解：∵P={﹣4，﹣2，0，2，4}，Q={x|﹣1＜x＜3}，∴P∩Q={0，2}故答案为：{0，2}点评：本题考查集合的表示法、集合交集的求法．2．若复数z1=3+4i，z2=1+2i（i是虚数单位），则z1﹣z2= 2+2i ．考点：复数代数形式的加减运算．专题：计算题．分析：根据复数减法的运算法则，当且仅当实部与虚部分别相减可求．解答：解：Z1﹣Z2=（3+4i）﹣（1+2i）=2+2i故答案为：2+2i点评：本题主要考查了复数减法的基本运算，运算法则：当且仅当实部与虚部分别相减，属于基础试题．3．命题：∀x∈R，sinx＜2的否定是“∃x∈R，sinx≥2”．考点：命题的否定．分析：根据命题“∀x∈R，sinx＜2”是全称命题，其否定为特称命题，即“∃x∈R，sinx≥2”．从而得到本题答案．解答：解：∵命题“∀x∈R，sinx＜2”是全称命题．∴命题的否定是存在x值，使sinx＜2不成立，即“∃x∈R，sinx≥2”．故答案为：“∃x∈R，sinx≥2”．点评：本题给出全称命题，求该命题的否定形式．着重考查了含有量词的命题的否定、全称命题和特称命题等知识点，属于基础题．4．复数z=（1+3i）i（i是虚数单位），则z的实部是﹣3 ．考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，化简=（1+3i）i，依据使不得定义求得z的实部．解答：解：复数z=（1+3i）i=﹣3+i，故实部为﹣3，故答案为﹣3．点评：本题考查两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，以及复数为实数的条件．5．已知函数y=f（x），x∈[0，2π]的导函数y=f′（x）的图象，如图所示，则y=f（x）的单调增区间为[0，π]．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：数形结合．分析：根据据f′（x）≥0，函数f（x）单调递增；f′（x）≤0时，f（x）单调递减；从图中找到f′（x）≥0的区间即可．解答：解：据f′（x）≥0，函数f（x）单调递增；f′（x）≤0时，f（x）单调递减由图得到x∈[0，π]时，f′（x）≥0故y=f （x）的单调增区间为[0，π]故答案为[0，π]点评：本题考查函数的单调性与导函数符号的关系：f′（x）≥0时，函数f（x）单调递增；f′（x）≤0时，f（x）单调递减6．已知则满足的x值为 3 ．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．分析：分x≤1和x＞1两段讨论，x≤1时，得，x＞1时，得，分别求解．解答：解：x≤1时，f（x）=，x=2，不合题意，舍去；x＞1时，，=3综上所示，x=3故答案为：3点评：本题考查分段函数求值问题，属基本题．7．函数在[2，4]上是增函数的充要条件是m的取值X围为．考点：利用导数研究函数的单调性；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：先求导函数，要使函数在[2，4]上是增函数，则﹣x2+mx+2≥0在[2，4]上恒成立，故可建立不等式，解之即可求得m的取值X围．解答：解：求导函数要使函数在[2，4]上是增函数，则﹣x2+mx+2≥0在[2，4]上恒成立，构建函数g（x）=﹣x2+mx+2，因为函数图象恒过点（0，2），所以﹣x2+mx+2≥0在[2，4]上恒成立，只需m根据函数的单调递增，解得，即所求m的X围为故答案为：点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，解题的关键是求导函数，将问题转化为﹣x2+mx+2≥0在[2，4]上恒成立．8．已知函数f（x）=x3+2x2﹣ax+1在区间（﹣1，1）上恰有一个极值点，则实数a的取值X 围是﹣1≤a＜7 ．考点：函数在某点取得极值的条件．专题：计算题．分析：首先利用函数的导数与极值的关系求出a的值，由于函数f（x）=x3+2x2﹣ax+1在区间（﹣1，1）上恰有一个极值点，所以f′（﹣1）f′（1）＜0，进而验证a=﹣1与a=7时是否符合题意，即可求答案．解答：解：由题意，f′（x）=3x2+4x﹣a，当f′（﹣1）f′（1）＜0时，函数f（x）=x3+2x2﹣ax+1在区间（﹣1，1）上恰有一个极值点，解得﹣1＜a＜7，当a=﹣1时，f′（x）=3x2+4x+1=0，在（﹣1，1）上恰有一根x=﹣，当a=7时，f′（x）=3x2+4x﹣7=0在（﹣1，1）上无实根，则a的取值X围是﹣1≤a＜7，故答案为﹣1≤a＜7．点评：考查利用导数研究函数的极值问题，体现了数形结合和转化的思想方法．9．设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为35，则a+b的最小值为8 ．考点：简单线性规划．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为35，求出a，b的关系式，再利用基本不等式求出a+b的最小值．解答：解：满足约束条件的区域是一个四边形，如图4个顶点是（0，0），（0，1），（，0），（2，3），由图易得目标函数在（2，3）取最大值35，即35=2ab+3∴ab=16，∴a+b≥2 =8，在a=b=8时是等号成立，∴a+b的最小值为8．故答案为：8点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．10．曲线在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为e2．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：先利用复合函数求导法则求已知函数的导函数，再利用导数的几何意义求切线斜率，进而利用直线的点斜式写出切线方程，最后求直线与坐标轴的交点，计算直角三角形的面积即可解答：解：y′=，y′|x=4=e2∴曲线在点（4，e2）处的切线方程为y﹣e2=e2（x﹣4）即y=e2x﹣e2令x=0，得y=﹣e2，令y=0，得x=2∴此切线与坐标轴所围三角形的面积为×2×e2=e2故答案为e2点评：本题主要考查了导数的几何意义，求曲线在某点出的切线方程的方法，利用导数求切线方程是解决本题的关键11．在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象只有一个交点，则a的值为．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：由已知直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象特点分析一个交点时，两个图象的位置，确定a．解答：解：由已知直线y=2a是平行于x轴的直线，函数y=|x﹣a|﹣1的图象是折线，所以直线y=2a过折线顶点时满足题意，所以2a=﹣1，解得a=﹣；故答案为：．点评：本题考查了函数的图象；考查利用数形结合求参数．12．已知实数a，b，c满足a+b+c=9，ab+bc+ca=24，则b的取值X围是[1，5]．考点：函数最值的应用．专题：计算题；综合题．分析：根据a+b+c=9，ab+bc+ca=24，得到a+c=9﹣b，并代入ab+bc+ca=24，得到ac=24﹣（a+c）b，然后利用基本不等式ac，即可求得b的取值X围．解答：解：∵a+b+c=9，∴a+c=9﹣b，∵ab+ac+bc=（a+c）b+ac=24，得ac=24﹣（a+c）b；又∵ac，∴24﹣（a+c）b，即24﹣（9﹣b）b，整理得b2﹣6b+5≤0，∴1≤b≤5；故答案为[1，5]．点评：此题考查了利用基本不等式求最值的问题，注意基本不等式成立的条件为一正、二定、三等，以及消元思想的应用，属中档题．13．设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．考点：利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质．专题：导数的概念及应用．分析：构造函数h（x）=f（x）g（x），利用已知可判断出其奇偶性和单调性，进而即可得出不等式的解集．解答：解：令h（x）=f（x）g（x），则h（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=﹣f（x）g（x）=﹣h（x），因此函数h（x）在R上是奇函数．①∵当x＜0时，h′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，∴h（x）在x＜0时单调递增，故函数h（x）在R上单调递增．∵h（﹣3）=f（﹣3）g（﹣3）=0，∴h（x）=f（x）g（x）＜0=h（﹣3），∴x＜﹣3．②当x＞0时，函数h（x）在R上是奇函数，可知：h（x）在（0，+∞）上单调递增，且h （3）=﹣h（﹣3）=0，∴h（x）＜0，的解集为（0，3）．∴不等式f（x）g（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．故答案为（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．点评：恰当构造函数，熟练掌握函数的奇偶性单调性是解题的关键．14．观察下面的数阵，第20行第20个数是381 ．12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 25…考点：归纳推理．专题：综合题；推理和证明．分析：观察这个数列知，第n行的最后一个数是n2，第19行的最后一个数是192=361，由此可求出第20行第20个数．解答：解：观察这个数列知，第n行的最后一个数是n2，第19行的最后一个数是192=361，∴第20行第20个数是361+20=381．故答案为：381．点评：本题给出三角形数阵，求第20行第20个数，着重考查了递归数列和归纳推理等知识点，属于基础题．二、解答题（共6小题，满分0分）15.给定两个命题：p：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根，如果p和q中至少有一个为真命题，某某数a的取值X围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：根据二次函数恒成立的充要条件，我们可以求出命题p为真时，实数a的取值X围，根据二次函数有实根的充要条件，我们可以求出命题q为真时，实数a的取值X围，则命题p，q中一个为真，分类讨论后，即可得到实数a的取值X围．解答：解：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立⇔a=0或⇔0≤a＜4；关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根⇔△=1﹣4a≥0⇔a≤；p和q中至少有一个为真命题如果p真q假，则有0≤a＜4，且a＞，∴＜a＜4；如果p假q真，则有a＜0，或a≥4，且a≤∴a＜0；如果p真q真，则有0≤a＜4，且a≤，∴0≤a≤；所以实数a的取值X围为（﹣∞，4）点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，复合命题的真假，函数恒成立问题，其中判断出命题p与命题q为真时，实数a的取值X围，是解答本题的关键．16.已知复数z1满足（z1﹣2）（1+i）=1﹣i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1•z2是实数，求z2．考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：利用复数的除法运算法则求出z1，设出复数z2；利用复数的乘法运算法则求出z1•z2；利用当虚部为0时复数为实数，求出z2．解答：解：∴z1=2﹣i设z2=a+2i（a∈R）∴z1•z2=（2﹣i）（a+2i）=（2a+2）+（4﹣a）i∵z1•z2是实数∴4﹣a=0解得a=4所以z2=4+2i点评：本题考查复数的除法、乘法运算法则、考查复数为实数的充要条件是虚部为0．17.已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值5，其导函数y=f′（x）的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示，求：（Ⅰ）x0的值；（Ⅱ）a，b，c的值．考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题．分析：（1）观察图象满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极大值，求出x0的值；（2）根据图象可得f'（1）=0，f'（2）=0，f（1）=5，建立三个方程，联立方程组求解即可．解答：解：（Ⅰ）由图象可知，在（﹣∝，1）上f'（x）＞0，在（1，2）上f'（x）＜0．在（2，+∝）上f'（x）＞0．故f（x）在（﹣∝，1），（2，+∝）上递增，在（1，2）上递减．因此f（x）在x=1处取得极大值，所以x0=1．（Ⅱ）f'（x）=3ax2+2bx+c，由f'（1）=0，f'（2）=0，f（1）=5，得解得a=2，b=﹣9，c=12．点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及观察图形的能力，属于基础题．18.因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中．为了治污，根据环保部门的建议，现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂．已知每投放a（1≤a≤4，且a∈R）个单位的药剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为y=a•f（x），其中f（x）=．若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效治污的作用．（Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？（Ⅱ）若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）．考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）通过a=4可知y=，分别令每段对应函数值大于等于4，计算即得结论；（Ⅱ）通过化简、利用基本不等式可知y=2•（5﹣x）+a[﹣1]=（14﹣x）+﹣a﹣4≥﹣a﹣4，再令﹣a﹣4≥4，计算即得结论．解答：解：（Ⅰ）∵a=4，∴y=，当0≤x≤4时，由﹣4≥4，解得x≥0，∴此时0≤x≤4；当4＜x≤10时，由20﹣2x≥4，解得x≤8，∴此时4＜x≤8；综上所述，0≤x≤8，即若一次投放4个单位的制剂，则有效治污时间可达8天；（Ⅱ）当6≤x≤10时，y=2•（5﹣x）+a[﹣1]=10﹣x+﹣a=（14﹣x）+﹣a﹣4，∵14﹣x∈[4，8]，而1≤a≤4，∴∈[4，8]，∴y=（14﹣x）+﹣a﹣4≥2﹣a﹣4=﹣a﹣4，当且仅当14﹣x=即x=14﹣4时，y有最小值为﹣a﹣4，令﹣a﹣4≥4，解得24﹣16≤a≤4，∴a的最小值为24﹣16≈1.6．点评：本题考查函数模型的选择与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．19.试比较n n+1与（n+1）n（n∈N*）的大小，分别取n=1，2，3，4，5加以试验，根据试验结果猜测一个一般性结论．考点：数学归纳法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：本题考查的知识点是归纳推理与数学归纳法，我们可以列出n n+1与（n+1）n（n∈N*）的前若干项，然后分别比较其大小，然后由归纳推理猜想出一个一般性的结论，然后利用数学归纳法进行证明．解答：解：当n=1时，n n+1=1，（n+1）n=2，此时，n n+1＜（n+1）n，当n=2时，n n+1=8，（n+1）n=9，此时，n n+1＜（n+1）n，当n=3时，n n+1=81，（n+1）n=64，此时，n n+1＞（n+1）n，当n=4时，n n+1=1024，（n+1）n=625，此时，n n+1＞（n+1）n，根据上述结论，我们猜想：当n≥3时，n n+1＞（n+1）n（n∈N*）恒成立．证明：①当n=3时，n n+1=34=81＞（n+1）n=43=64即n n+1＞（n+1）n成立．②假设当n=k时，k k+1＞（k+1）k成立，即：＞1则当n=k+1时，=（k+1）（）k+1＞（k+1）（）k+1=＞1即（k+1）k+2＞（k+2）k+1成立，即当n=k+1时也成立，∴当n≥3时，n n+1＞（n+1）n（n∈N*）恒成立．点评：本题考查了数学归纳法的应用，证明步骤的应用，归纳推理，考查计算能力，属于中档题．20.对于定义在区间D上的函数f（x）和g（x），如果对于任意x∈D，都有|f（x）﹣g（x）|≤1成立，那么称函数f（x）在区间D上可被函数g（x）替代．（1）若，试判断在区间[[1，e]]上f（x）能否被g（x）替代？（2）记f（x）=x，g（x）=lnx，证明f（x）在上不能被g（x）替代；（3）设，若f（x）在区间[1，e]上能被g（x）替代，某某数a的X围．考点：函数恒成立问题；函数单调性的性质．专题：证明题；综合题；压轴题．分析：（1）构造函数，通过研究h（x）的导数得出其单调性，从而得出其在区间[[1，e]上的值域，可以证出f（x）能被g（x）替代；（2）构造函数k（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣lnx，可得在区间上函数k（x）为减函数，在区间（1，m）上为增函数，因此函数k（x）在区间的最小值为k（1）=1，最大值是k（m）大于1，所以不满足对于任意x∈D，都有|f（x）﹣g（x）|≤1成立，故f（x）在上不能被g（x）替代；（3）根据题意得出不等式，去掉绝对值，再根据x﹣lnx的正负转化为或，通过讨论右边函数的最值，得出实数a的X围解答：解：（1）∵，令，∵，∴h（x）在[1，e]上单调增，∴．∴|f（x）﹣g（x）|≤1，即在区间[[1，e]]上f（x）能被g（x）替代．（2）记k（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣lnx，可得当时，k′（x）＜0，在区间上函数k（x）为减函数，当1＜x＜m时，k′（x）＞0，在区间（1，m）上函数k（x）为增函数∴函数k（x）在区间的最小值为k（1）=1，最大值是k（m）＞1，所以不满足对于任意x∈D，都有|f（x）﹣g（x）|≤1成立，故f（x）在上不能被g（x）替代；（3）∵f（x）在区间[1，e]上能被g（x）替代，即|f（x）﹣g（x）|≤1对于x∈[1，e]恒成立．∴．，由（2）知，当x∈[1，e]时，x﹣lnx＞0恒成立，∴有，令，∵=，由（1）的结果可知，∴F'（x）恒大于零，∴．②，令，∵=，∵，∴G'（x）恒大于零，∴，即实数a的X围为点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，通过分类讨论解决了不等式恒成立的问题，属于难题．。
新疆高二下学期第一次月考数学试题(解析版)
高二下学期第一次月考数学试题一、单选题1．某物体的运动路程s （单位：m ）与时间t （单位：s ）的关系可用函数表示，则该()21s t t t =++物体在s 时的瞬时速度为（ ） 1t =A ．0m/s B ．1m/s C ．2m/s D ．3m/s【答案】D【分析】根据瞬时速度的概念即可利用平均速度取极限求解. 【详解】该物体在时间段上的平均速度为[]1,1t +∆，当无限趋近于0时，无限趋()()()()()22111111113t t s t s s t t t t+∆++∆+-+++∆-∆===+∆∆∆∆Δt 3t +∆近于3，即该物体在s 时的瞬时速度为3m/s ． 1t =故选：D2．曲线在点（1，－2）处的切线的倾斜角为（ ） 43y x x =-A ．B ．C ．D ．6π4π3π23π【答案】B【分析】根据导数的几何意义求解．【详解】因为，所以，故所求切线的倾斜角为．343y x '=-11x y ='=4π故选：B ．3．函数的单调递增区间为（ ）21=ln 22y x x -+A ． B ．C ．D ．()1,1-()0,1[)1,+∞()0,∞+【答案】C【分析】先对函数求导，然后令导函数大于0解出不等式，并结合函数的定义域，即可得到本题答案.【详解】因为，所以，21=ln 22y x x -+211x y x x x -'=-=令，得或，0y >'A A A A 1x <-1x >又函数的定义域为，所以函数的单调递增区间为， {}0x x >[1,)+∞故选：C4．若函数在区间上单调递增，则实数k 的取值范围是（ ）()331f x x kx =-+()1,+∞A ． B ． C ． D ．(),1-∞(],1-∞[)1,-+∞[)1,+∞【答案】B【分析】利用函数在区间上的导函数为非负数，列不等式，解不等式即可求得的取值()f x (1,)+∞k 范围.【详解】由题意得，在区间上恒成立， 22()333()0f x x k x k '=-=-≥(1,)+∞即在区间上恒成立，2k x ≤(1,)+∞又函数在上单调递增，得， 2y x =(1,)+∞21x >所以，即实数的取值范围是. 1k ≤k (,1]-∞故选：B5．已知函数的导函数图象如下图所示，则原函数的图象是（ ）()y f x =()y f x '=()y f x =A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据函数的单调性与导数的关系以及导数的变化可得结果.【详解】由图可知，当时，，则函数在上为增函数， 11x -<<()0f x ¢>()f x ()1,1-当时，单调递增，故函数在上的增长速度越来越快，10x -<<()f x '()f x ()1,0-当时，单调递减，故函数在上的增长速度越来越慢. 01x <<()f x '()f x ()0,1B 选项中的图象满足题意. 故选：B.6．函数在区间上的最大值为（ ） ()cos sin f x x x x =-[]π,0-A ．1 B ．C ．D ．π323π2【答案】B【分析】求出函数的导数，判断函数的单调性，即可求得答案. 【详解】由题意得， ()cos sin cos sin f x x x x x x x '=--=-当时，，，[]π,0x ∈-sin 0x ≤()0f x '≤所以在区间单调递减，故函数最大值为， ()f x []π,0-()ππf -=故选：B7．“一笔画”游戏是指要求经过所有路线且节点可以多次经过，但连接节点间的路线不能重复画的游戏，下图是某一局“一笔画”游戏的图形，其中为节点，若研究发现本局游戏只能以为起,,A B C A 点为终点或者以为起点为终点完成，那么完成该图“一笔画”的方法数为（ ）C C AA ．种B ．种C ．种D ．种6122430【答案】C【分析】采用分步乘法可计算得到以为起点，为终点的方法数，再利用分类加法计数原理求得A C 结果.【详解】以为起点时，三条路线依次连接即可到达点，共有种选择；自连接到A B 326⨯=B C 时，在右侧可顺时针连接或逆时针连接，共有种选择，C 2以为起点，为终点时，共有种方法；∴A C 6212⨯=同理可知：以为起点，为终点时，共有种方法；C A 12完成该图“一笔画”的方法数为种.∴121224+=故选：C.8．过去的一年，我国载人航天事业突飞猛进，其中航天员选拔是载人航天事业发展中的重要一环.已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项.若这五项测试每天进行一项，连续5天完成.且前庭功能和失重飞行须安排在相邻两天测试，超重耐力和失重飞行不能安排在相邻两天测试，则选拔测试的安排方案有（ ） A ．24种 B ．36种C ．48种D ．60种【答案】B【分析】根据特殊元素“失重飞行”进行位置分类方法计算，结合排列组合等计数方法，即可求得总的测试的安排方案种数.【详解】①若失重飞行安排在第一天则前庭功能安排第二天，则后面三天安排其他三项测试有种安排方法，33A 6=此情况跟失重飞行安排在第五天则前庭功能安排第四天安排方案种数相同；②若失重飞行安排在第二天，则前庭功能有种选择，超重耐力在第四、第五天有种选择，剩12C 12C 下两种测试全排列，则有种安排方法，22A 112222C C A 8=此情况与失重飞行安排在第四天方安排方案种数相同；③若失重飞行安排在第三天，则前庭功能有种选择，超重耐力在第一、第五天有种选择，剩12C 12C 下两种测试全排列，则有种安排方法；22A 112222C C A 8=故选拔测试的安排方案有种. 6282836⨯+⨯+=故选：B.二、多选题9．某高一学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门课程中选三门作为选科科目，则下列说法正确的有（ ）A ．若不选择政治，选法总数为种25C B ．若物理和化学至少选一门，选法总数为1225C C C ．若物理和历史不能同时选，选法总数为种3164C C -D ．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为种 121244(C C C )-【答案】AC【分析】根据组合数性质判断A ；若物理和化学至少选一门，分物理和化学选一门和物理和化学都选，求出选法数，判断B ；物理和历史不能同时选，即六门课程中任意选3门减去物理和历史同时选的选法数，判断C ；物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，分三种情况考虑，求得选法数，判断D.【详解】对于A, 若不选择政治，选法总数为种,正确；3255C C =对于B ，若物理和化学选一门，选法总数为， 1224C C 若物理和化学都选，则选法数有种，2124C C 故物理和化学至少选一门，选法总数为种，而，B 错误；12212424C C C C 16+=1225C C 20=对于C, 若物理和历史不能同时选，即六门课程中任意选3门有种选法，36C 减去物理和历史同时选的选法数，故选法总数为种，C 正确；14C 3164C C -对于D,当物理和化学中只选物理时，有种选法； 23C 当物理和化学中只选化学时，有种选法； 24C 当物理和化学中都选时，有种选法，13C 故物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为种，而，D 错误，221343C +C +C =12121244C C C 8-=故选：AC 10．下列等式正确的是（ ）A ．B ．()111A A m m n n n +++=()()!2!1n n n n =--C ．D ．A C !mm n nn =11A A m m n n n m+=-【答案】ABD【分析】利用排列数公式、组合数公式，逐项计算判断作答.【详解】对于A ，，A 正确；()11!(1)!(1)()![(1)(1)]!1A A mm n n n n n n n m n m +++=+⋅=-+-++=对于B ，，B 正确； ()()!(1)!(1)(2)!2!1(1)1n n n n n n n n n n n ⋅--⋅-===----对于C ，，而与不一定相等，则与不一定相等，C 不正确；A C !m m nnm =!m !n A !m n m A !m n n 对于D ，，D 正确. 111!!A A (1)!()!m m n n n n n m n m n m n m +⋅==-----=故选：ABD11．如图是函数的导函数的图像，则下列判断正确的是（ ）()y f x =()f x 'A ．在区间上，单调递增 ()2,1-()f xB ．在区间上，单调递增 ()1,2()f xC ．在区间上，单调递增 ()4,5()f xD ．在区间上，单调递增 ()3,2--()f x 【答案】BC【分析】当，则单调递增，当，则单调递减，据此可得答案. ()0f x ¢>()f x ()0f x '<()f x 【详解】由题图知当时，，()()1245,，,x x ∈∈()0f x ¢>所以在区间上，单调递增，BC 正确； ()()1245,，，()f x 当时，，当时，，所以在区间上，单调递减.()2,1x ∈--()0f x '<()1,1x ∈-()0f x ¢>()2,1--()f x 在上递增，A 错误；()1,1-当时，，所以在区间上，单调递减，D 错误； ()3,2x ∈--()0f x '<()3,2--()f x 故选：BC12．已知函数，则（ ） 321()()3f x x ax x a =+-∈R A ．当时，函数的极大值为0a =()f x 23-B ．若函数图象的对称中心为，则 ()f x (1,(1))f 1a =-C ．若函数在上单调递增，则或 ()f x R 1a ≥1a ≤-D ．函数必有3个零点 ()f x 【答案】BD【分析】根据函数极大值的定义，结合函数的导数的性质、函数零点的定义逐一判断即可.【详解】A 项：当时，，则，所以在单调递增，在0a =31()3f x x x =-2()1f x x '=-()f x (,1)-∞-单调递减，在单调递增，所以极大值为，故错误； (1,1)-(1,)+∞()f x 12(1)133f -=-+=B 项：因为函数图象的对称中心为，()f x (1,(1))f所以有，故正确；()()()()21121101f x f x f a x a ++-=⇒+=⇒=-C 项：恒成立，显然必有两根，则2()210f x x ax =+-≥'()0f x '=()121212,,10x x x x x x <⋅=-<()f x 在递减，故错误；()12,x x D 项：必有2相异根，且非零，()2221111001010333f x x ax x x x ax x ax ⎛⎫=+-=⇒=+-=+-= ⎪⎝⎭或，故必有3个零点，故正确． ()f x 故选择：BD三、填空题13．已知函数，则在处的切线方程为___________.()e sin 2xf x x =-()f x ()()0,0f 【答案】10x y +-=【分析】由导数的几何意义求切线的斜率，利用点斜式求切线方程.【详解】因为，()e sin 2xf x x =-所以，，()00e sin 01f =-=()e 2cos 2xf x x =-'所以，()00e 2cos 01f =-=-'切线方程为， 即. ()10y x -=--10x y +-=故答案为：.10x y +-=14．函数有极值，则实数的取值范围是______．()322f x x x ax a =-++a 【答案】1(,3-∞【分析】求出函数的导数，再利用存在变号零点求出a 的范围作答.()f x '()f x '【详解】函数定义域为R ，求导得：，()322f x x x ax a =-++2()32f x x x a '=-+因为函数有极值，则函数在R 上存在变号零点，即有两个不等实根， ()f x ()f x '()0f x '=即有方程有两个不等实根，于是得，解得，2320x x a -+=4120a ∆=->13a <所以实数的取值范围是.a 1(,)3-∞故答案为：1(,)3-∞15．某公司新开发了4件不同的新产品，需放到三个不同的机构A ，B ，C 进行测试，每件产品只能放到一个机构里，则所有测试的情况有________种（结果用具体数字表示）． 【答案】81【分析】利用分步乘法原理求解即可【详解】由题意可知，每一个新产品都有3种放法，所以由分步乘法原理可得 4件不同的新产品共有种放法， 333381⨯⨯⨯=故答案为：8116．已知，则_________.233A C 0!4m -+=m =【答案】2或3【分析】利用排列数公式，组合数公式进行计算即得．【详解】，233A C 0!4m -+= ，又，3A 6m∴=323216⨯=⨯⨯=所以或. 2m =3m =故答案为：2或3.四、解答题17．求下列函数的导数． (1)； ln(21)y x =+(2)； sin cos xy x=(3)． 1()23()()y x x x =+++【答案】(1) 221y x '=+(2) 21cos y x'=(3) 231211y x x =++'【分析】利用导数的运算法则求解. 【详解】（1）解：因为， ln(21)y x =+所以； 221y x '=+（2）因为， sin cos xy x=所以； ()2222cos sin 1cos cos x xy xx +'==（3）因为， 1()23()()y x x x =+++，326116x x x =+++所以.231211y x x =++'18．已知函数．()322f x x ax b =-+(1)若函数在处取得极小值－4，求实数a ，b 的值； ()f x 1x =(2)讨论的单调性．()f x 【答案】(1) 33a b =⎧⎨=-⎩(2)答案不唯一，具体见解析【分析】（1）根据求导和极值点处导数值为0即可求解；（2）求导，分类讨论的取值即可求解. a 【详解】（1），则 ()262f x x ax '=-()()1014f f ⎧=⎪⎨=-'⎪⎩即解得，经验证满足题意，62024a a b -=⎧⎨-+=-⎩33a b =⎧⎨=-⎩（2）()()26223f x x ax x x a '=-=-令解得或 ()0f x '=0x =3a x =1°当时，在上单调递增0a =()f x ()∞∞－，＋2°当时，在，上单调递增，上单调递减a<0()f x ,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()0∞，＋,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭3°当时，在，（上单调递增，上单调递减0a >()f x ()0∞－，,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭19．已知函数.()e 2x f x ax a =++(1)若为的一个极值点，求实数a 的值并此函数的极值； 0x =()f x (2)若恰有两个零点，求实数a 的取值范围. ()f x 【答案】(1)，极小值为，无极大值12a =-12(2) ,⎛-∞ ⎝【分析】（1）由求得，结合函数的单调性求得的极值. ()00f '=a ()f x （2）由分离常数，利用构造函数法，结合导数求得的取值范围. ()0f x =a a 【详解】（1），依题意，()e 2x f x a '=+()10120,2f a a =+==-'此时，所以在区间递减；()e 1xf x '=-()f x ()()(),0,0,f x f x '-∞<在区间递增. ()()()0,,0,f x f x '+∞>所以的极小值为，无极大值. ()f x ()110122f =-=（2）依题意①有两个解，()e 20x f x ax a =++=，所以不是①的解，121e 02f -⎛⎫-=> ⎪⎝⎭12x =-当时，由①得，12x ≠-e 21xa x =-+构造函数，()e 1212x g x x x ⎛⎫=-≠- ⎪+⎝⎭，()()()()22e 212e 21e 2121x xx x x g x x x +--'=-=-⋅++所以在区间递增；()()111,,,,0,222g x g x ⎛⎫⎛⎫'-∞--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间递减.()()1,,0,2g x g x ⎛⎫'+∞< ⎪⎝⎭当时，；当时，，12x <-()0g x >12x >-()0g x <与的图象有两个交点， 121e 22g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭y a =()y g x =则需a <综上所述，的取值范围是. a ,⎛-∞ ⎝【点睛】根据极值点求参数，要注意的是由求得参数后，要根据函数的单调区间进行验()00f x '=证，因为导数为零的点，不一定是极值点.利用导数研究函数的零点，可以考虑分离常数法，通过分离常数，然后利用构造函数法，结合导数来求得参数的取值范围.20．已知一条铁路有8个车站，假设列车往返运行且每个车站均停靠上下客，记从车站上车到A B 车站下车为1种车票（）．A B ≠(1)该铁路的客运车票有多少种？(2)为满足客运需要，在该铁路上新增了个车站，客运车票增加了54种，求的值．n n 【答案】(1)56(2)3【分析】根据条件利用排列公示建立方程就可以解决.【详解】（1）铁路的客运车票有.288756A =⨯=（2）在新增了个车站后，共有个车站，因为客运车票增加了54种，则， n 8n +285654n A +-=所以，解得.28(8)(7)110n A n n +=++=3n =21．现有如下定义：除最高数位上的数字外，其余每一个数字均比其左边的数字大的正整数叫“幸福数”（如346和157都是三位“幸福数”）.(1)求三位“幸福数”的个数；(2)如果把所有的三位“幸福数”按照从小到大的顺序排列，求第80个三位“幸福数”.【答案】(1)个84(2)589【分析】（1）由幸福数的定义结合组合公式求解即可；（2）分类讨论最高位数字，由组合公式结合分类加法计数原理得出第80个三位“幸福数”.【详解】（1）根据题意，可知三位“幸福数”中不能有0，故只需在数字1，2，3，…，9中任取3个，将其从小到大排列，即可得到一个三位“幸福数”，每种取法对应1个“幸福数”，则三位“幸福数”共有个.39C 84=（2）对于所有的三位“幸福数”，1在最高数位上的有个， 28C 28=2在最高数位上的有个，27C 21=3在最高数位上的有个，2615C =4在最高数位上的有个，25C 10=5在最高数位上的有个.24C 6=因为，28211510680++++=所以第80个三位“幸福数”是最高数位为5的最大的三位“幸福数”，为589.22．为响应国家提出的“大众创业万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业，生产某小型电子产品.经过市场调研，生产该小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产x 万件，需另投入流动成本万元.已知在年产量不足4万件时，，在年产量不小()W x ()3123W x x x =+于4万件时，.每件产品售价6元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售()64727W x x x=+-完.(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成()P x x 本-流动成本.）(2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1)； ()3142,0436425,4x x x P x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩(2)当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元.【分析】（1）分以及，分别求解得出表达式，写成分段函数即可；04x <<4x ≥()P x （2）当时，求导得出.然后根据基本不等式求出时，的最值，04x <<()max 10()23P x P ==4x ≥()P x 比较即可得出答案.【详解】（1）由题意，当时，；当时，04x <<()33116224233x x x x x P x ⎛⎫=--+=-+- ⎪⎝⎭4x ≥. ()64646272725P x x x x x x ⎛⎫=--+-=-- ⎪⎝⎭所以. ()3142,0436425,4x x x P x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩（2）当时，，令，解得.04x <<()24P x x '=-+()0P x '=2x =易得在上单调递增，在上单调递减，所以当时，()P x ()0,2()2,404x <<. ()max 10()23P x P ==当时，， 4x ≥()6425259P x x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭当且仅当，即时取等号. 64x x=8x =综上，当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元.。
日照实验高中高二下学期期末复习数学练习二(选修2-2和2-3)
日照实验高中高二下学期期末复习数学练习二（选修2-2和2-3）1.已知i i Z+=+-21，则复数Z=A 、i 31+-B 、i 31-C 、i +3D 、i -32.大熊猫活到十岁的概率是0.8，活到十五岁的概率是0.6，若现有一只大熊猫已经十岁了，则他活到十五岁的概率是 A ．0.8 B ．0.75 C ．0.6 D ．0.483.若5250125(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-+⋅⋅⋅+-，则0a ＝BA.1B.32C.－1D.－324.已知随机变量ξ服从正态分布()22N ，a ，且Ｐ（ξ＜4）＝0.8，则Ｐ（0＜ξ＜2）＝Ａ.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.25.有A 、B 两个口袋，A 袋装有4个白球，2个黑球；B 袋装有3个白球，4个黑球，从A 袋、B 袋各取2个球交换之后，则A 袋中装有4个白球的概率为（A ）352（B ）10532（C ）1052（D ）2186.设函数,)21()(10x x f -=则导函数)(x f '的展开式中2x 项的系数为 A ．1440 B.－1440 C.2880 D.－28807.已知函数f(x)＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，函数g(x)＝x 2－aln x 在(1,2)上为增函数，则a 的值等于 A ．1 B ．2 C ．0 D. 2则根据表中的数据,计算随机变量2K 的值，并参考有关公式，你认为性别与是否喜爱打篮球之间有关系的把握有 A ．97.5% B.99% C . 99.5％ D.99.9%9.已知函数f(x)在R 上满足f(x)＝2f(2－x)－x 2＋8x －8，则曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是 A ．y ＝2x －1 B ．y ＝x C ．y ＝3x －2 D ．y ＝－2x ＋310.某人制定了一项旅游计划，从7个旅游城市中选择5个进行游览。
高二下学期期末复习数学练习十
高二下学期期末复习数学练习十1.设 i 是虚数单位，复数ai i1+2-为纯虚数，则实数a 为（ ）（A ）2 (B) -2 (C) 1-2(D)122.若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则（ ） （A ）1,1a b == (B) 1,1a b =-= (C) 1,1a b ==- (D) 1,1a b =-=-3.已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为31812343y x x =-+-，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（ ）（A ）13万件 (B)11万件 (C) 9万件 (D)7万件4.43(1)(1x --的展开式2x 的系数是（ ）(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)35.甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.3，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为（ ）A ．0.95B ．0.8C ．0.65D ．0.156.设直线x=t 与函数2()f x x = ()ln g x x = 的图像分别交于点M,N,则当M N 达到最小时t 的值为（ ）A.1B.122D.27.若()()141422104232211x a x a x a a x x x ++++=--+ ，则=++++13531a a a a （ ） （A ）1； （B ）0； （C ）-1； （D ）()82-．8.某种产品的合格率是10095，合格品中一级品率是10020，则这种产品的一级品率为（ ）A.10015 B.10019 C.10020 D.100219.数学组有实习老师共5名，现将他们分配到高二年级的1、2、3三个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有（ ）A ．30种B ．90种C ．180种D ．270种10.跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人从格外跳到第8个格子的方法种数为（ ）A ．8种B ．13种C ．21种D ．34种 11.不等式21x -<3的解集为_____________ 12.函数32()31f x x x =-+在x =_____处取得极小值13.小明通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书，则小明周末不在家看书的概率为 ． 14.一袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现2次停止，用X 表示取球的次数，则==)3(X P ___________. 15.设32()1f x x ax bx =+++的导数(1)2,(2),f a f b ''==-其中常数,a b R ∈. （Ⅰ）求曲线().y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程； （Ⅱ）设()().xg x f x e -'=求函数()g x 的极值16.（安徽理）某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是A 类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A 类试题和一道B 类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B 类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束。
高二下学期数学重难点练习题
高二下学期数学重难点练习题在高二下学期的数学学习中，我们面临了很多重难点的知识点和题目。
为了帮助大家更好地掌握这些难点，下面给大家提供一些重难点练习题。
希望通过这些题目的训练，能够提高大家的数学解题能力。
练习1：函数的运算已知函数f(x) = 2x + 1，g(x) = 3x - 2，求以下函数的表达式：a) h(x) = f(x) + g(x)b) h(x) = f(x) - g(x)c) h(x) = f(g(x))d) h(x) = g(f(x))练习2：复合函数已知函数f(x) = 2x + 1，g(x) = x^2，求以下函数的表达式：a) h(x) = f(g(x))b) h(x) = g(f(x))c) h(x) = g(g(x))d) h(x) = f(f(x))练习3：指数和对数计算以下式子的值：a) 2^3 + 3^2b) log2(8) + log3(81)c) log4(16) - log2(8)练习4：三角函数计算以下式子的值：a) sin(30°) + cos(45°)b) tan(60°) - cot(45°)c) sec(30°) × csc(60°)练习5：平面几何与空间几何已知平面直角坐标系中点A(1, 2)和B(4, 5)，求AB的斜率。
已知直线L1过点A(1, 2)且斜率为2，直线L2经过点B(4, 5)，求L1和L2的夹角。
已知空间直角坐标系中点A(1,2,3)和点B(4,5,6)，求线段AB的长度。
练习6：概率与统计某班共有60人，其中男生40人，女生20人。
随机从班级中抽取一人，问抽到男生的概率是多少？某地某天气台提供了一个天气预报，说明下雨的概率为0.3，那么不下雨的概率是多少？练习7：数列与数学归纳法求以下数列的前n项和：a) 1, 3, 5, 7, 9, ...b) 2, 4, 8, 16, 32, ...c) 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...练习8：三角函数与平面几何的综合运用在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD的顶点坐标分别为A(0,0)，B(2, 0)，C(2, 2)，D(0, 2)。
高中高二数学下学期期末试题 理(含解析)-人教版高二全册数学试题
2016-2017学年某某省某某市普通高中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）.1．若复数a+bi（a，b∈R）与2﹣3i互为共轭复数，则a﹣b=（）A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣72．设随机变量ξ～N（l，25），若P（ξ≤0）=P（ξ≥a﹣2），则a=（）A．4 B．6 C．8 D．103．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（）A．24 B．48 C．60 D．724．在二项式（x+a）10的展开式中，x8的系数为45，则a=（）A．±1 B．±2 C．± D．±35．计算（e x+1）dx=（）A．2e B．e+1 C．e D．e﹣16．甲、乙二人参加一项抽奖活动，每人抽奖中奖的概率均为0.6，两人都中奖的概率为0.4，则已知甲中奖的前提下乙也中奖的概率为（）A．B．C．D．7．由抛物线y=x2与直线y=x+4所围成的封闭图形的面积为（）A．15 B．16 C．17 D．188．已知x，y的取值如表，画散点图分析可知，y与x线性相关，且求得回归直线方程为=x+1，则m的值为（）x 0 1 2 3 4y 1.2 m 2.9 4.1 4.7A．1.8 B．2.1 C．2.3 D．2.59．在Rt△ABC中，两直角边分别为a，b，斜边为c，则由勾股定理知c2=b2+a2，则在四面体P﹣ABC中，PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，类比勾股定理，类似的结论为（）A．S△PBC2=S△PAB2+S△PAC2B．S△ABC2=S△PAB2+S△PAC2C．S△ABC2=S△PAB2+S△PAC2+S△PBC2D．S△PBC2=S△PAB2+S△PAC2+S△ABC210．已知（3﹣2x）2017=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a2017（x﹣1）2017，则a1+2a2+3a3+…+2017a2017=（）A．1 B．﹣1 C．4034 D．﹣403411．已知函数f（x）=x2﹣cos（π+x）+l，f′（x）为f（x）的导函数，则y=f′（x）的函数图象大致为（）A．B．C．D．12．已知f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＞﹣（x+1）f′（x），则不等式f（x+l）＞（x﹣2）f（x2﹣5）的解集是（）A．（﹣2，3）B．（2，+∞）C．（，3）D．（，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知离散型随机变量ξ～B（5，），则D（ξ）=．14．（）dx=．15．已知函数f（x）=x2+f′（2）（lnx﹣x），则f′（﹣）=．16．已知曲线C： +y2=1与直线l：（t为参数）相交于A、B两点，则线段|AB|的长度为．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．记数列{a n}的前n和为S n，且满足以下规律：a1=12﹣22，a2=32﹣42，…，a n=（2n﹣1）2﹣（2n）2S1=12﹣22=﹣1×（2×1+1），S2=l2﹣22+32﹣42=﹣2×（2×2+1），S3=l2﹣22+32﹣42+52﹣62=﹣3×（2×3+1），…以此归纳出S n的表达式，并用数学归纳法证明．18．已知函数f（x）= [（x﹣5）2+121nx]，（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数y=f（x）的极值．19．某市调研考试后，某校对甲、乙两个高三理科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个高三理科班全部100人中随机抽取1人为优秀的概率为．优秀非优秀合计甲班10乙班30合计（Ⅰ）请完成上面的列联表；（Ⅱ）根据列联表的数据，若按99%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？P（K20.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001≥k）k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考数据：（K2=，其中n=a+b+c+d）20．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）=4．（Ⅰ）求曲线C的参数方程；（Ⅱ）若曲线C与x轴的正半轴及y轴的正半轴分别交于点A、B，在曲线C上任取一点P，求点P到直线AB的距离的最大值．21．某某市区某“好一多”鲜牛奶店每天以每盒3元的价格从牛奶厂购进若干盒鲜牛奶，然后以每盒5元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的牛奶作垃圾回收处理．（1）若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：盒，n∈N*）的函数解析式．（2）牛奶店老板记录了 100天鲜牛奶的日需求量（单位：盒），整理得下表：曰需48 49 50 51 52 53 54求量频数10 20 16 16 15 13 10以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（ⅰ）若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望；（ⅱ）若牛奶店计划一天购进50盒或51盒鲜牛奶，从统计学角度分析，你认为应购进50盒还是51盒？请说明理由．22．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：x＞0，x＜（x+l）ln（x+1），（Ⅲ）比较：（）100，e的大小关系，（e为自然对数的底数）．2016-2017学年某某省某某市普通高中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）.1．若复数a+bi（a，b∈R）与2﹣3i互为共轭复数，则a﹣b=（）A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7【考点】A2：复数的基本概念．【分析】直接由题意求得a，b的值，则答案可求．【解答】解：∵a+bi（a，b∈R）与2﹣3i互为共轭复数，∴a=2，b=3，则a﹣b=﹣1．故选：B．2．设随机变量ξ～N（l，25），若P（ξ≤0）=P（ξ≥a﹣2），则a=（）A．4 B．6 C．8 D．10【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据正态分布的对称性即可得出a﹣2=2．【解答】解：∵随机变量ξ～N（l，25），∴P（ξ≤0）=P（ξ≥2），∴a﹣2=2，即a=4．故选A．3．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（）A．24 B．48 C．60 D．72【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2步进行分析：①、在2、4之中任选1个，安排在个位，②、将剩下的4个数字安排在其他四个数位，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、要求五位数为偶数，需要在2、4之中任选1个，安排在个位，有2种情况，②、将剩下的4个数字安排在其他四个数位，有A44=24种情况，则有2×24=48个五位偶数，故选：B．4．在二项式（x+a）10的展开式中，x8的系数为45，则a=（）A．±1 B．±2 C．± D．±3【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】在二项式（x+a）10的展开式中，令x的幂指数等于8，求得r的值，可得x8的系数，再根据x8的系数为45，求得a的值．【解答】解：二项式（x+a）10的展开式的通项公式为 T r+1=•x10﹣r•a r，令10﹣r=8，求得r=2，可得x8的系数为•a2=45，∴a=±1，故选：A．5．计算（e x+1）dx=（）A．2e B．e+1 C．e D．e﹣1【考点】67：定积分．【分析】由题意首先求得原函数，然后利用微积分基本定理即可求得定积分的值．【解答】解：由微积分基本定理可得．故选：C．6．甲、乙二人参加一项抽奖活动，每人抽奖中奖的概率均为0.6，两人都中奖的概率为0.4，则已知甲中奖的前提下乙也中奖的概率为（）A．B．C．D．【考点】CM：条件概率与独立事件．【分析】由题意利用条件概率的计算公式，求得甲中奖的前提下乙也中奖的概率．【解答】解：每人抽奖中奖的概率均为0.6，两人都中奖的概率为0.4，设甲中奖概率为P（A），乙中奖的概率为P（B），两人都中奖的概率为P（AB），则P（A）=0.6，P（B）=0.6，两人都中奖的概率为P（AB）=0.4，则已知甲中奖的前提下乙也中奖的概率为P（B/A）===，故选：D．7．由抛物线y=x2与直线y=x+4所围成的封闭图形的面积为（）A．15 B．16 C．17 D．18【考点】67：定积分．【分析】本题考查定积分的实际应用，首先求得交点坐标，然后结合题意结合定积分的几何意义计算定积分的数值即可求得封闭图形的面积．【解答】解：联立直线与曲线的方程：可得交点坐标为（﹣2，2），（4，8），结合定积分与几何图形面积的关系可得阴影部分的面积为：．故选：D．8．已知x，y的取值如表，画散点图分析可知，y与x线性相关，且求得回归直线方程为=x+1，则m的值为（）x 0 1 2 3 4y 1.2 m 2.9 4.1 4.7A．1.8 B．2.1 C．2.3 D．2.5【考点】BK：线性回归方程．【分析】根据表中数据计算、，代入回归直线方程中求出m的值．【解答】解：根据表中数据，计算=×（0+1+2+3+4）=2，=×（1.2+m+2.9+4.1+4.7）=，代入回归直线方程=x+1中，得=2+1，解得m=2.1．故选：B．9．在Rt△ABC中，两直角边分别为a，b，斜边为c，则由勾股定理知c2=b2+a2，则在四面体P﹣ABC中，PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，类比勾股定理，类似的结论为（）A．S△PBC2=S△PAB2+S△PAC2B．S△ABC2=S△PAB2+S△PAC2C．S△ABC2=S△PAB2+S△PAC2+S△PBC2D．S△PBC2=S△PAB2+S△PAC2+S△ABC2【考点】F3：类比推理．【分析】由题意结合平面与空间类比的关系即可得出题中的结论．【解答】解：平面与空间的对应关系为：边对应着面，边长对应着面积，结合题意类比可得．故选：C．10．已知（3﹣2x）2017=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a2017（x﹣1）2017，则a1+2a2+3a3+…+2017a2017=（）A．1 B．﹣1 C．4034 D．﹣4034【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】在所给的等式中，两边同时对x求导，再令x=2，可得a1+2a2+3a3+…+2017a2017 的值．【解答】解：在（3﹣2x）2017=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a2017（x﹣1）2017中，两边同时对x求导，可得﹣2×2017（3﹣2x）2016=a1+2a2（x﹣1）+…+2017a2017（x﹣1）2016，再令x=2，可得a1+2a2+3a3+…+2017a2017=﹣4034，故选：D．11．已知函数f（x）=x2﹣cos（π+x）+l，f′（x）为f（x）的导函数，则y=f′（x）的函数图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】求出f′（x）的解析式，判断奇偶性，再根据f″（x）的单调性得出f′（x）的增长快慢变化情况，得出答案．【解答】解：f′（x）=x+sin（x+π）=x﹣sinx，∴f′（﹣x）=﹣x+sinx=﹣f′（x），∴f′（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D；∵f″（x）=1﹣cosx在（0，π）上是增函数，∴f′（x）在（0，π）上的增加速度逐渐增大，排除C，故选A．12．已知f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＞﹣（x+1）f′（x），则不等式f（x+l）＞（x﹣2）f（x2﹣5）的解集是（）A．（﹣2，3）B．（2，+∞）C．（，3）D．（，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】根据函数的单调性得到x+1＞x2﹣5＞0，解不等式即可．【解答】解：∵f（x）＞﹣（x+1）f′（x），∴[（x+1）•f（x）]′＞0，故函数y=（x+1）•f（x）在（0，+∞）上是增函数，由不等式f（x+1）＞（x﹣2）f（x2﹣5）得：（x+2）f（x+1）＞（x+2）（x﹣2）f（x2﹣5），即（x+2）f（x+1）＞（x2﹣4）f（x2﹣5），∴x+1＞x2﹣5＞0，解得：﹣2＜x＜3，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知离散型随机变量ξ～B（5，），则D（ξ）=．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】利用二项分布的性质求解即可．【解答】解：∵离散型随机变量ξ～B（5，），Dξ=5×=，故答案为：．14．（）dx=．【考点】67：定积分．【分析】本题考查定积分的几何意义，首先确定被积函数表示的几何图形，然后结合图形的形状和圆的面积公式即可求得定积分的数值．【解答】解：函数即：（x﹣1）2+y2=1（x≥1，y≥0），表示以（1，0）为圆心，1为半径的圆在x轴上方横坐标从1到2的部分，即四分之一圆，结合定积分的几何意义可得．故答案为．15．已知函数f（x）=x2+f′（2）（lnx﹣x），则f′（﹣）= ﹣9 ．【考点】63：导数的运算．【分析】由题意首先求得f'（2）的值，然后结合导函数的解析式即可求得最终结果．【解答】解：由函数的解析式可得：∴f′（x）=2x+f′（2）（﹣1），∴f′（2）=4+f′（2）（﹣1），解得f′（2）=，则∴．故答案为：﹣9．16．已知曲线C： +y2=1与直线l：（t为参数）相交于A、B两点，则线段|AB|的长度为．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】由曲线C的直角坐标方程，代入直线的参数方程，运用韦达定理，可得|AB|=|t1﹣t2|，化简整理即可得到所求值；【解答】解：把代入+y2=1可得：，整理得：8t2+4t﹣3=0，，|AB|=|t1﹣t2|==．故答案为：．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．记数列{a n}的前n和为S n，且满足以下规律：a1=12﹣22，a2=32﹣42，…，a n=（2n﹣1）2﹣（2n）2S1=12﹣22=﹣1×（2×1+1），S2=l2﹣22+32﹣42=﹣2×（2×2+1），S3=l2﹣22+32﹣42+52﹣62=﹣3×（2×3+1），…以此归纳出S n的表达式，并用数学归纳法证明．【考点】RG：数学归纳法．【分析】归纳S n的表达式，再根据数学归纳法的证题步骤进行证明．【解答】解：记数列{a n}的前n和为S n，且满足以下规律：a1=12﹣22，a2=32﹣42，…，a n=（2n﹣1）2﹣（2n）2S1=12﹣22=﹣1×（2×1+1），S2=l2﹣22+32﹣42=﹣2×（2×2+1），S3=l2﹣22+32﹣42+52﹣62=﹣3×（2×3+1），…S n=l2﹣22+32﹣42+52﹣62+…+（2n﹣1）2﹣（2n）2=﹣n×（2n+1），证明如下：①当n=1时，显然成立，②假设当n=k时，等式成立，即S k=l2﹣22+32﹣42+52﹣62+…+（2k﹣1）2﹣（2k）2=﹣k×（2k+1），那么当n=k+1时，即S k+1=l2﹣22+32﹣42+52﹣62+…+（2k﹣1）2﹣（2k）2+（2k+1）2﹣（2k+2）2=﹣k×（2k+1）+（2k+1）2﹣（2k+2）2=﹣（2k2+5k+3）=﹣（k+1）（2k+3）即n=k+1时，等式也成立．故由①和②，可知等式成立．18．已知函数f（x）= [（x﹣5）2+121nx]，（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数y=f（x）的极值．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出f （x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线的方程；（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，再由极值的定义，可得所求极值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）= [（x﹣5）2+121nx]的导数为f′（x）=x﹣5+=，可得y=f （x）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，切点为（1，8），即有切线的方程为y﹣8=2（x﹣1），即为2x﹣y+6=0；（Ⅱ）由f′（x）=x﹣5+=，结合x＞0，由f′（x）＞0，可得x＞3或0＜x＜2，f（x）递增；由f′（x）＜0，可得2＜x＜3，f（x）递减．则f（x）在x=2处取得极大值，且为；f（x）在x=3处取得极小值，且为2+6ln3．19．某市调研考试后，某校对甲、乙两个高三理科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个高三理科班全部100人中随机抽取1人为优秀的概率为．优秀非优秀合计甲班10乙班30合计（Ⅰ）请完成上面的列联表；（Ⅱ）根据列联表的数据，若按99%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？P（K20.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001≥k）k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考数据：（K2=，其中n=a+b+c+d）【考点】BL：独立性检验．【分析】（Ⅰ）首先由题意求得优秀的人数，据此结合列联表的特征写出列联表即可；（Ⅱ）结合（1）中的列联表结合题意计算K2的值即可确定喜欢数学是否与性别有关．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：所有优秀的人数为：人，据此完成列联表如下所示：优秀非优秀合计甲班10 30 40乙班30 30 60合计40 60 100（Ⅱ）由列联表中的结论可得：，则若按99%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”．20．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）=4．（Ⅰ）求曲线C的参数方程；（Ⅱ）若曲线C与x轴的正半轴及y轴的正半轴分别交于点A、B，在曲线C上任取一点P，求点P到直线AB的距离的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，求了曲线C的直角坐标方程为，由此能求出曲线C的参数方程；（Ⅱ）求得直线AB的方程，设P点坐标，根据点到直线的距离公式及正弦函数的性质，即可求得点P到直线AB的距离的最大值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）=4，即ρ2（sin2θ+cos2θ+3sin2θ）=4，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，得到曲线C的直角坐标方程为x2+4y2=4，即；∴曲线C的参数方程为（α为参数）；（Ⅱ）∵曲线与x轴的正半轴及y轴的正半轴分别交于点A，B，∴由已知可得A（2，0），B（0，1），直线AB的方程：x+2y﹣2=0，设P（2cosφ，sinφ），0＜φ＜2π，则P 到直线AB的距离d==丨sin（φ+）﹣1丨，∴当φ+=π，即φ=时d取最大值，最大值为（+1）．点P到直线AB的距离的最大值（+1）．21．某某市区某“好一多”鲜牛奶店每天以每盒3元的价格从牛奶厂购进若干盒鲜牛奶，然后以每盒5元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的牛奶作垃圾回收处理．（1）若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：盒，n∈N*）的函数解析式．（2）牛奶店老板记录了 100天鲜牛奶的日需求量（单位：盒），整理得下表：48 49 50 51 52 53 54曰需求量频数10 20 16 16 15 13 10以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（ⅰ）若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望；（ⅱ）若牛奶店计划一天购进50盒或51盒鲜牛奶，从统计学角度分析，你认为应购进50盒还是51盒？请说明理由．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）根据利润公式得出函数解析式；（2）（i）求出利润的可能取值及其对应的概率，得出分布列和数学期望；（ii）求出n=51时对应的数学期望，根据利润的数学期望大小得出结论．【解答】解：（1）当n≤50时，y=5n﹣50×3=5n﹣150，当n＞50时，y=50×（5﹣3）=100，∴y=．（2）（i）由（1）可知n=48时，X=90，当n=49时，X=95，当n≥50时，X=100．∴X的可能取值有90，95，100．∴P（X=90）==，P（X=95）==，P（X=100）==，∴X的分布列为：X 90 95 100P∴E（X）==98．（ii）由（i）知当n=50时，E（X）=98，当n=51时，y=，∴当n=48时，X=87，当n=49时，X=92，当n=50时，X=97，当n≥51时，X=102，∴P（X=87）=，P（X=92）=，P（X=97）==，P（X=102）=．∴E（X）=87+++=97.7．∵98＞97.7，∴每天应购进50盒比较合理．22．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：x＞0，x＜（x+l）ln（x+1），（Ⅲ）比较：（）100，e的大小关系，（e为自然对数的底数）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的X围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题等价于ln（x+1）＞，令t=x+1，则x=t﹣1，由x＞0得t＞1，问题等价于：lnt＞，根据函数的单调性证明即可；（Ⅲ）根据＜1，令x=，得到（1+）ln（x+1）＞1，判断大小即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），因为f′（x）=，当a≤0时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，由f'（x）＜0得0＜x＜a，由f'（x）＞0得x＞a，所以函数f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．（Ⅱ）证明：①因为x＞0，x＜（x+l）ln（x+1）等价于ln（x+1）＞，令t=x+1，则x=t﹣1，由x＞0得t＞1，所以不等式ln（x+1）＞（x＞0）等价于：lnt＞，即：lnt﹣＞0（t＞1），由（Ⅰ）得：函数g（t）=lnt﹣在（1，+∞）上单调递增，所以g（t）＞g（1）=0，即：ln（x+1）＞；②因为x＞0，不等式 x＜（x+l）ln（x+1）等价于ln（x+1）＜x，令h（x）=ln（x+1）﹣x，则h′（x）=﹣1=，所以h'（x）＜0，所以函数h（x）=ln（x+1）﹣x在（0，+∞）上为减函数，所以h（x）＜h（0）=0，即ln（x+1）＜x．由①②得：x＞0时，x＜（x+l）ln（x+1）；（Ⅲ）由（Ⅱ）得：x＞0时，＜1，所以令x=，得100×ln（+1）＜1，即ln（）100＜1，所以（）100＜e；又因为＞（x＞0），所以（1+）ln（x+1）＞1，令x=得：100×ln＞1，所以ln（）100＞1，从而得（）100＞e．所以（）100＜（）100．。
高二数学下学期午间练28 试题
高二数学午间练〔28〕班级：姓名：学号：1.袋中有形状、大小都一样的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球.从中一次随机摸出2只球,那么这2只球颜色不同的概率为.2. 袋中一共有15个除了颜色外完全一样的球,其中有10个白球,5个红球.从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为.z=(x-1)+yi(x,y∈R),假设|z|≤1,那么y≥x的概率为.4. 阅读如下图的程序框图,运行相应的程序,那么输出的结果为.5. 执行如下图的程序框图.假如输入n=3,那么输出的S= .励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
厚积薄发，一鸣惊人。
关于努力学习的语录。
自古以来就有许多文人留下如头悬梁锥刺股的经典的，而近代又有哪些经典的高中励志赠言出现呢?小编筛选了高中励志赠言句经典语录，看看是否有些帮助吧。
好男儿踌躇满志，你将如愿;真巾帼灿烂扬眉，我要成功。
含泪播种的人一定能含笑收获。
贵在坚持、难在坚持、成在坚持。
功崇惟志，业广为勤。
耕耘今天，收获明天。
成功，要靠辛勤与汗水，也要靠技巧与方法。
常说口里顺，常做手不笨。
不要自卑，你不比别人笨。
不要自满，别人不比你笨。
高三某班，青春无限，超越梦想，勇于争先。
敢闯敢拼，**协力，争创佳绩。
丰富学校体育内涵，共建时代校园文化。
奋勇冲击，永争第一。
奋斗冲刺，誓要蟾宫折桂;全心拼搏，定能金榜题名。
放心去飞，勇敢去追，追一切我们为完成的梦。
翻手为云，覆手为雨。
二人同心，其利断金。
短暂辛苦，终身幸福。
东隅已逝，桑榆非晚。
登高山，以知天之高;临深溪，以明地之厚。
大智若愚，大巧若拙。
聪明出于勤奋，天才在于积累。
把握机遇，心想事成。
奥运精神，永驻我心。
“想”要壮志凌云，“干”要脚踏实地。
**燃烧希望，励志赢来成功。
楚汉名城，喜迎城运盛会，三湘四水，欢聚体坛精英。
乘风破浪会有时，直挂云帆济沧海。
不学习，如何养活你的众多女人。
不为失败找理由，要为成功想办法。
不勤于始，将悔于终。
高二下学期数学测试题2
Q SRP SRQ PSQRPSQPR2010-2011学年度高二（下）学期期末数学考试试题一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题4分）1、已知)1,5,1(),5,2,3(-=-=b a，求=∙b a （ ）A 、2B 、4C 、5D 、7 2、已知2427-=n n A A ，那么n 为（ ）A 、5B 、6C 、7D 、83、=+612512C C ( )A 、513CB 、613C C 、1113CD 、712C4、在一段时间内，甲去某地的概率是41，乙去此地的概率是51，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有一人去的概率是（ ）A 、203 B 、52 C 、209 D 、515．如图，点S R Q P ,,,分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS 是异面直线的图是 （ ）A ．B 、C ．D ．6．球的表面积与它和内接正方体的表面积之比为 （ ） A ．3πB ．4πC ．2πD ．π7．从5位同学中选派4位同学在周五、周六、周日参加公益活动，每人一天，要求周五有2人参加，周六、周日各有一人参加，则不同的选派方法共有（ ） A ．40种 B ．60种 C ．100种 D ．1208．将编号为1、2、3、4的四个小球任意地放入A 、B 、C 、D 四个小盒中，每个盒中放球的个数不受限制，恰好有一个盒子是空的的概率为（ ）167.A 169.B 41.C 43.D9. 将9个人平均分成3组，其中甲、乙两人分在同一组的概率是（ ）A .41 B.121 C.241 D. 3110、在8(1)(1)x x -+的展开式中5x 的系数是（A ）-14 （B ）14 （C ）-28 （D ）2811、设有不同的直线b a ,和不同的平面γβα,,，给出下列三个命题： （1）若αα//,//b a 则b a // （2）若βαα//,//a 则βα//（3）若γβγ⊥⊥,a 则βα// 其中正确的个数是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．312、如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1和CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为（ ）A 、2V B 、3V C 、4V D 、5V二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13、 6名学生和1名教师站成一排合影留念，要求教师站在中间，甲和乙相邻，则站法数为14、一个水平放置的平面图形，其斜二测直观图是一个等腰梯形，其底角为45 ，腰和上底均为1. 如图，则平面图形的实际面积为 15、已知二面角AB αβ--的平面角是锐角θ，α内一点C 到β的距离为 3，点C 到棱A B 的距离为4，那么tan θ的值等于16. 长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的体积为_______________. 三，解答题，（要求有解答过程）17、（8分）在空间四边形ABCD 中，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，求证：)(21C D B A N M +=18、（10分）已知ABC ∆中90ACB ∠= ，SA ⊥面ABC ，A D SC ⊥， 求证：AD ⊥面SBC ．SDCBAQPC'B'A'CBA19、（10分）黎平三中的甲，乙两教师到县委参加建党90周年知识竞答，共有30个不同的题目，其中选择题18个，判断题12个. 甲，乙两教师依次各抽一题.(1)甲抽到选择题，乙抽到判断题的不同方法有多少种？(2)甲，乙二两教师中至少有一人抽到选择题的不同方法有多少种？20、（8分）设A、B、C、D是不共面的四点，E、F、G、H分别是AC、BC、DB、DA 的中点，若122,43,A B C D==四边形EFGE 的面积为123，求异面直线AB、CD所成的角.G HEFADCB21、（10分）如图，四面体S－ABC中，∠BAC＝︒90，∠SAB＝∠SAC＝︒60，当SA＝2时，(1) 求SA在平面ABC中的射影长；(2) 求SA与平面ABC所成的角。
高二下学期期末复习数学练习四
高二下学期期末复习数学练习四1.若i 是虚数单位，设()()11 2ia b i a b R i+=++∈-，，则复数Z a bi =+在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2.在n xx )1(3+的展开式中，只有第13项的二项式系数最大，那么x 的指数是整数的项共有A ． 3项B ． 4项C ． 5项D ．6项 3.给出下列命题：①直线l 的方向向量为a=(1,-1,2)，直线m 的方向向量为12b=(2,1,-)则l m ⊥ ②直线l 的方向向量为a=(0,1,-1)，平面α的法向量为n=(1,-1,-1)，l ⊂α≠则l ⊥α. ③平面,αβ的法向量分别为12n =(0,1,3),n =(1,0,2)，则 //αβ.④平面α经过三点A(1,0，－1)，B(0,1,0)，C(－1,2,0)，向量n=(1,u,t)是平面α的法向量，则u ＋t ＝1.其中真命题的序号是（ ）A ．②③B ．①④C ．③④D ．①②4.某种种子每粒发芽的概率都是0.9，现播种了1，000粒种子，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为（ ）A ．100B ．180C ．200D ．205.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了下表：则根据表中的数据,计算随机变量K 的值，并参考有关公式，你认为性别与是否喜爱打篮球之间有关系的把握有（ ）A ．0B ． 95％C .99％D ．100%6.曲线1+=x xy 在点)0,0(处的切线方程为（ ） A ．x y -= B ．x y 21= C ．x y = D ．x y 2=7.曲线xy 2=与直线1-=x y 及4=x 所围成的封闭图形的面积为（ ）A .2ln 2-B . 2ln 24-C . 2ln 28-D . 2ln 28.某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有 5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为（ ）A ．110B ．120C ．140D ．11209.正三棱柱111ABC A B C -的棱长都为2，,,E F G 为111,,AB AA AC 的中点，则1B F 与面GEF 成角的正弦值是（ ）A ．53 B ．65 C ．1033 D ．1063 10.将“日、照、市”填入如图所示的44⨯小方格内，每格内只填入一个汉字，且任意两个汉字既不同行也不同列，则不同的填写方法有（ ）A.288B.144C.576D.9611.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中，选手若能连续．．正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于 . 12.若函数x x x f ln 8)(2-=在其定义域内的一个子区间)1,1(+-k k 内是单调函数，则实数k 的取值范围是________ ____13.已知经过计算和验证有下列正确的不等式：，<，，根据以上不等式的规律，请写出对正实数mn ，成立的条件不等式__________．14. 已知S 是△ABC 所在平面外一点，D 是SC 的中点，若BD ＝xAB yAC zAS ++，则x ＋y ＋z ＝ ．15.用总长14.8m 的钢条做一个长方体容器的框架，如果所做容器的底面的一边长比另一边长多0.5m ，那么高是多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．A B C A 1B 1C 1GF E16.编号为1，2，3，4，5的五位学生随意入座编号为1，2，3，4，5的五个座位，每位学生坐一个座位。
等差数列课时练习高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
高中数学 高二 人教A 版（2019） 选择性必修 第二册第四章 数列 4.2 等差数列 课时练习一、单选题1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2k S =，28k S =，则4k S =（ ） A ．28B ．32C ．16D ．242．已知{}n a 为等差数列，公差2d =，24618a a a ++=，则57a a +=（ ） A ．8B ．12C ．16D ．203．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足(3),2n n n a S +=且315,S =则8S =（ ） A ．60B ．70C ．80D ．904．在数列{}n a 中，若10a =，12n n a a n +-=，则23111na a a +++的值为（ ） A ．1n n- B ．1n n+ C ．11n n -+ D ．1n n + 5．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，598S =，数列{}2n n S 是公差为7的等差数列，则{}n a 的最小项为（ ） A ．2-B ．1516-C ．1-D ．146．在等差数列{}n a 中，234+=a a ，568a a +=，则4a =（ ）A ．4B ．72C ．3D ．27．在等差数列{an }中，a 1＋a 9＝10，则a 5＝（ ） A ．5 B ．6 C ．8D ．98．已知等差数列{}n a 与等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且1n n S nT n =+，那么87a b的值为（ ） A ．1312B ．1413C ．1514D ．16159．已知数列{}n a 满足()213nn n a a ++-=，11a =，22a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则30S =（ ）A ．351B ．353C ．531D ．53310．两个数1与5的等差中项是（ ）A ．1B ．3C ．2D ．11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3241,8a a a =+=，则9S ＝（ ） A ．60B ．62C ．63D ．8112．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12345a a a a a ++=+，560S =，则5a =（ ） A ．16 B ．20 C ．24D ．26二、填空题13．已知等差数列{}n a 中，34a =，710a =，则数列{}n a 的前9项和9S =____________． 14．已知数列{}n a 中，213a a =，记{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()2*11322,N n n n S S S n n n +-++=+≥∈．若对任意*N n ∈，都有1n n a a +<，则首项1a 的取值范围是______．15．已知数列{}n a 满足12a =，()11nn n a a ++=-，则数列{}n a 的通项公式为______．16．数列{}n a 满足12n n a a +=+，且11a =，则它的通项公式n a =______．17．已知数列{}n a 的首项121a =，且满足()()21252341615n n n a n a n n +-=-+-+，则{}n a 中最小的一项是第___________项.三、解答题18．已知数列{}12,n n n a T a a a =，且13111,,310(2)n T T n T ⎧⎫==⎨⎬+⎩⎭为等差数列．(1)求n a 的通项公式；(2)若对任意正整数n ，都有12n T T T m +++<，求m 的取值范围．19．设{}n a 是等差数列，2d =，且312,,4a a a +成等比数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）记{}n a 的前n 项和为n S ，求n S 的最小值.20．在数列{}n a 中，11a =，对*n N ∀∈，1(1)(1)n n na n a n n +-+=+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 21．已知在等差数列{}n a 中，4820a a +=，712a =．求4a ．22．设等差数列{}n a 的首项为1，数列{}n b 满足：11b =，22b =，且111n n n n n n a b b a b b +++-=-（n *∈N ）．(1)求等差数列{}n a 的通项公式；(2)求数列()111n n a b +⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和n S ．23．对于数列{}n a ，定义{}n a 为数列{}n a 的差分数列，其中1,*n n n a a a n +=-∈N ．如果对任意的*n ∈N ，都有1n n a a +>，则称数列{}n a 为差分增数列． （1）已知数列1,2,4,,16,24x 为差分增数列，求实数x 的取值范围；（2）已知数列{}n a 为差分增数列，且121a a ==，*n a ∈N ．若2021k a =，求非零自然数k的最大值；（3）已知项数为2k 的数列{}3log n a （1,2,3,,2n k =）是差分增数列，且所有项的和等于k ，证明：13k k a a +<．答案：1．B【分析】由等差数列{}n a 前n 项和的性质，可得k S ，2k k S S -，32k k S S -，43k k S S -成等差数列，结合题干数据，可得解【解析】由等差数列{}n a 前n 项和的性质， 可得k S ，2k k S S -，32k k S S -，43k k S S -成等差数列， ∴()2322k k k k k S S S S S -=+-，解得318k S =. ∴ 2，6，10，418k S -成等差数列， 可得4210618k S ⨯=+-，解得432k S =. 故选：B 2．D【解析】利用等差数列的性质求解. 【解析】24618a a a ++=，4318a ∴=， 解得46a =， 64210a a d ∴=+=， 576220a a a ∴+==.故选：D 3．C【分析】根据递推公式，结合前n 项和与通项的关系可得21n a n =+，再求解8S 即可 【解析】由题意23n n S na n =+，故当1n =时，1123a a =+，即13a =.当2n =时，()222326a a +=+恒成立，当3n =时，3323930S a =+=，解得37a =.当3n ≥时，()()112131n n S n a n --=-+-，故()1213n n n a na n a -=--+，即()()1213n n n a n a --=--，()()1131131212221n n n a a a n n n n n n n --⎛⎫=-=-- ⎪-------⎝⎭，故1331122n n a a n n n n --=-----，故当3n ≥时，311na n n ⎧⎫-⎨⎬--⎩⎭为常数列，故33321122n a a n n -=-=--，故3211n a n n =+--，即()()321213n a n n n =+-=+≥，又12315a a a ++=，故215375a =--=，故当1,2n =时21n a n =+也成立，故()*21N n a n n =+∈.故()()32122n n n S n n ++==+，故881080S =⨯=故选：C 4．A【分析】利用累加法求得通项公式n a ，【解析】由已知212a a -=，324a a -=，436a a -=，12(1)n n a a n --=-，2n ≥， ∴2n ≥时，()()()()()()()12132112120242112n n n n n a a a a a a a a n n n -⎡⎤--+⎣⎦=+-+-+-=++++-==-， ∴231111111223(1)n a a a n n+++=+++⨯⨯-1111111112231n n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：A ．【注意】本题考查累加法求数列通项公式，考查裂项相消法求数列的和．已知1()n n a a f n +-=，可用累加法求通项公式，已知1()n na f n a +=可用累乘法求通项公式． 5．C【分析】根据给定条件，求出数列{}2nn S 的通项公式，进而求出数列{}n a 的通项公式，再探讨其最小项作答.【解析】依题意，559232368S =⨯=，因数列{}2n n S 是公差为7的等差数列，则55227(5)71n n S S n n =+-=+，因此712n n n S +=，当2n ≥时，117176137222n n n n n nn n na S S --+--=-=-=，而114a S ==不满足上式，当2n ≥时，11167137720222n n n n n n n n a a +++----=-=，即当3n ≥时，1n n a a +>， 于是当3n ≥时，数列{}n a 是递增的，而214a =-，31a =-，则min 3()1n a a ==-，所以{}n a 的最小项为1-. 故选：C 6．C【分析】已知两式相加，利用等差数列的性质求解．【解析】因为()()()()235626354412a a a a a a a a a +++=+++==，所以43a =. 故选：C ． 7．A【分析】直接利用等差数列的性质求解即可【解析】因为a 5是a 1和a 9的等差中项，所以2a 5＝a 1＋a 9，即2a 5＝10，a 5＝5. 故选： A 8．C【分析】设等差数列{}n a 、{}n b 的公差分别为1d 、2d ,由题意利用等差数列的性质求出它们的首项、公差之间的关系,可得结论.【解析】设等差数列{}{},n n a b 的公差分别为1d 和2.d11111,12n n S S a n T n T b =∴==+,即1112a b =2112122223S a d T b d +∴==+,即11232b d d =- ∴ 311312333334S a d T b d +∴==+,即21143d d b =- ∴ 由∴∴解得1211,.d d b d == 11811712111771526614d d a a d b b d d d ++∴===++ 故选：C 9．B【分析】根据题意讨论n 的奇偶，当n 为奇数时，可得23n n a a +-=，按等差数列理解处理，当n 为偶数时，可得23n n a a ++=，按并项求和理解出来，则30S 按奇偶分组求和分别理解处理．【解析】依题意，()213nn n a a ++-=， 显然，当n 为奇数时有23n n a a +-=，即有313a a -=，533a a -=，…，21213n n a a +--=， 令21n n b a -=，故13n n b b +-=，所以数列{}n b 是首项为1，公差为3的等差数列， 故32n b n =-；当n 为偶数时有23n n a a ++=，即423a a +=，643a a +=，…，2223n n a a ++=， 于是，()()3013292430S a a a a a a =+++++++()()()12152462830b b b a a a a a =+++++++++⎡⎤⎣⎦14315273330233532+=⨯++⨯=+=，故选：B ． 10．B【解析】由等差中项的定义可得结果.【解析】设两个数1与5的等差中项是a ，则2156a =+=，解得3a =， 故选：B【注意】本题主要考查了等差中项的定义，属于基础题. 11．C【分析】利用等差数列的通项公式和前n 项和公式直接求解. 【解析】设等差数列的公差为d ,由题可得1111238a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩,即111258a d a d +=⎧⎨+=⎩,解得112a d =-⎧⎨=⎩, 所以数列{}n a 的通项公式12(1)23n a n n =-+-=-, 所以1999()632a a S +==. 故选:C. 12．A【分析】利用等差数列通项和求和公式化简已知等式可求得1,a d ，由514a a d =+可得结果. 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，12345a a a a a ++=+，113327a d a d ∴+=+，解得：14a d =，5154530602S a d d ⨯∴=+==，解得：2d =，18a ∴=， 51416a a d ∴=+=. 故选：A. 13．63【分析】根据给定条件，利用等差数列前n 项和公式及等差数列性质计算作答. 【解析】等差数列{}n a 中，34a =，710a =， 所以193799()9()6322a a a a S ++===. 故答案为：63 14．137,156⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据给定的递推公式，分段求出数列{}n a 的表达式，再利用给定不等关系列出不等式组求解作答.【解析】*2,N n n ≥∈，21132n n n S S S n +-++=+，有2213(1)2n n n S S S n ++++=++，于是得2163n n n a a a n ++++=+，有3216(1)3n n n a a a n +++++=++，因此36n n a a +-=， 数列31331{},{},{}n n n a a a -+分别是以234,,a a a 为首项，6为公差的等差数列，而32114S S S ++=，213a a =，即有32121114a a a a a a +++++=，解得31149a a =-， 又43215a a a ++=，则有411115(149)361a a a a =---=+，于是得*N n ∈，3113131136(1),1496(1),616(1)n n n a a n a a n a a n -+=+-=-+-=++-， 因对任意*N n ∈，都有1n n a a +<，则12a a <，3133132n n n n a a a a -++<<<，从而得1111111133149149616136a a a aa a a a <⎧⎪<-⎪⎨-<+⎪⎪+<+⎩，解得1137156a <<，所以首项1a 的取值范围是137(,)156.故答案为：137(,)156【注意】思路注意：给出n S 与n a 的递推关系，求n a ，常用思路是：一是利用1n n n S S a +-=转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a . 15．()()111n n a n +=-+.【分析】先由1(1)nn n a a ++=-，得()1121n n n a a ++++=-，进一步得到()221nn n a a +-=-⋅-，再分奇偶项来求通项公式即可． 【解析】因为()11nn n a a ++=-， 所以()1121n n n a a ++++=-，得()221nn n a a +-=-⋅-．所以当n 为奇数时，22n n a a +-=， 当n 为偶数时，22n n a a +-=-．又12a =，()11nn n a a ++=-，所以23a =-，所以1a ，3a ，5a ，…，21k a -，…构成以2为首项，2为公差的等差数列， 2a ，4a ，6a ，…，2k a ，…构成以3-为首项，2-为公差的等差数列．所以当n 是奇数时，121212n a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎭=⎝+； 当n 是偶数时，()32112n n a n ⎛⎫=---=-+ ⎪⎝⎭．故数列{}n a 的通项公式为()()111n n a n +=-+．故答案为：()()111n n a n +=-+.16．23n -+##32n -【分析】根据给定条件，结合等差数列定义求出公差，再求出通项作答. 【解析】因数列{}n a 满足12n n a a +=+，即12n n a a +-=-， 因此数列{}n a 是首项为1，公差为2-的等差数列， 所以数列{}n a 的通项公式为1(1)(2)23n a n n =+-⨯-=-+.故答案为：23n -+ 17．5【分析】利用配凑法将题目所给递推公式转化为112325n n a a n n +=+--，即证得25n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为首项为7-，公差为1的等差数列，由此求得25na n -的表达式，进而求得n a 的表达式，并根据二次函数的对称轴求得当5n =时n a 有最小值．【解析】由已知得112325n n a a n n +=+--，1725a =--，所以数列25n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为首项为7-，公差为1的等差数列，7(1)825na n n n =-+-=--，则(25)(8)n a n n =--， 其对称轴10.55.252n ==，所以{}n a 的最小的一项是第5项. 故答案为：5.【注意】关键点注意：利用配凑法将题目所给递推公式转化成等差数列是解题的关键． 18．(1),N 2n na n n +=∈+； (2)[1,)+∞.【分析】（1）利用等差数列的基本量的运算可得11(2)2n n n T +=+，再利用n a 与n T 的关系即得；（2）利用裂项相消法可得1211222n T T T n ⎛⎫+++=- ⎪+⎝⎭，进而即得.（1）由题可知13111,235T T ==，∴等差数列1(2)n n T ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的公差211312d -==-， ∴()11111(2)22n n n n T +=+-=+，∴2(1)(2)n T n n =++，当2n ≥时，12n n n T n a T n -==+， 又∴1113a T ==，∴,N 2n na n n +=∈+； （2）由（1）可知2112(1)(2)12n T n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，∴12111111112222123341222n T T T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．由题可知m 1≥， ∴m 的取值范围是[1,)+∞. 19．（1）210n a n =-；（2）20-.【分析】（1）由312,,4a a a +成等比数列，可得2312(+4)a a a =，而公差2d =，从而可求出1a ，进而可求出等差数据列{}n a 的通项公式； （2）由（1）可得2821092n n S n n n -+-=⨯=-，从而可求出其最小值 【解析】（1）因为132+4a a a ，，成等比数列，所以2312(+4)a a a =，即1112()4(6)a a a ++=，解得18a =-，所以82(1)210n a n n =-+-=-（2）由（1）知210n a n =-，所以2282109819()224n n S n n n n -+-=⨯=-=--； 因为N n +∈所以当4n =或者5n =时，n S 取到最小值20-【注意】此题考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等差数列的前n 项和公式的应用，考查等比数列，考查计算能力，属于基础题20．（1）2n a n =；（2）1nn + . 【解析】（1）先由11(1)(1)11n n n n a a na n a n n n n ++-+=+⇒-=+，进而说明数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项、公差均为1的等差数列，求出na n，即可求得n a ； （2）先由（1）中求得的n a 求出n b ，再利用裂项相消法即可求得其前n 项和n S ． 【解析】（1）1(1)(1)n n na n a n n +-+=+， ∴111n n a a n n +-=+，又111a=， ∴数列{)na n是首项、公差均为1的等差数列． ∴()111na n n n=+-⨯=，所以2n a n =； （2）由（1）得2n a n =，111(1)1n b n n n n ∴===-++， 111111(1)()()1223111n nS n n n n ∴=-+-+⋯+-=-=+++．【点评】本题主要考查等差数列的定义、通项公式及裂项相消法在数列求和中的应用，属于中档题． 21．46a =【分析】设等差数列的公差为d ，由等差数列通项公式性质知4862+=a a a ，求得610a =，进而求得公差d ，即可得解.【解析】设等差数列的公差为d ，则在等差数列{}n a 中， 486220a a a +==，610a ∴= 7612102d a a ∴==-=- 4723166a a d ∴=--==22．(1)21n a n =- (2)()21n nS n =+【分析】(1)根据题意将1n =代入递推公式中，求出2a ，进而得出等差数列的公差，利用定义法求出等差数列的通项公式；(2)由(1)可知n a 的通项公式，代入递推公式，变形可得11n n b b n n +=+，即n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列，求出n b ，利用裂项相消求和法即可求出n S . (1)因为()*111n n n n n n a b b a b b n N +++-=-∈所以当1n =时，12121223a b b a b b a -=-⇒=，则212a a -= 所以等差数列{}n a 的公差为2， 由等差数列的通项公式可得：21n a n =- (2)由（1）可知121n a n +=+，代入111n n n n n n a b b a b b +++-=-中可得：()()11121211n n n n n n b b n b b n b b n n +++--=+-⇒=+，故数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列，又111b =，故1n n b b n n=⇒=， 则：()()11111112121n n a b n n n n +⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭所以()1111111112122232121n nS n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 23．（1）810x <<；（2）65；（3）证明见解析．【分析】（1）利用差分增数列的定义可得关于x 的不等式组，即可求解；（2）根据∴1n a +>∴n a ，121a a ==，*n a N ∈，可得∴2a >∴10a =，∴21a ，∴32a ，⋯，∴1k a k -，*k N ∈，从而可得(2)(1)202112k k --+，即可求解；（3）利用反证法推出矛盾，即可得证．【解析】（1）数列1，2，4，x ，16，24的差分数列为1，2，4x -，16x -，8， 由题意可得4162282432xx x +>⎧⎪+>⎨⎪+>⎩，解得810x <<，故实数x 的取值范围是(8,10)． （2）由题意，△10a =，△n a N ∈，因为数列{}n a 为差分增数列，所以对任意的N*n ∈，都有△1n a +>△n a ， 所以△2a >△10a =，△21a ，同理，△32a ，⋯，△1k a k -，*k N ∈， 所以当2k 时，1k a a =+△1a +△2a +⋯+△1(2)(1)112(2)12k k k a k ---+++⋯+-=+， 所以(2)(1)202112k k --+，解得65k ，所以非零自然数k 的最大值为65． （3）证明：假设13k k a a +，由题意知0(1n a n >=，2，3，⋯，2)k ，因为项数为2k 的数列3{log }n a 所有项的和等于k ， 所以31323332log log log log k a a a a k +++⋯+=， 即31232log k a a a a k ⋯=，所以12323kk a a a a ⋯=，因为数列{}3log (1n a n =，2，3，⋯，2)k 是差分增数列， 所以3133231log log log log n n n n a a a a +++-<-，所以121n n n n a a a a +++<，因此322412321k k a a a a a a a a -<<<⋯<， 所以对任意的1m k -，*m ∈N ，都有1212m k mm k ma a a a ++--<，即1221m k m m k m a a a a +-+-<， 所以1222132213k k k k k a a a a a a a a --+>>>⋯>，所以12323k k a a a a ⋯>与12323kk a a a a ⋯=矛盾，故假设不成立，所以13k k a a +<．【注意】关键注意：对于数列的新定义的题，解题的关键是理解清楚题意，熟练掌握数列中常见的解题方法.。
高二第二学期数学练习册答案
高二第二学期数学练习册答案【练习一：函数的性质与图像】1. 判断下列函数的奇偶性：- f(x) = x^2 是偶函数。
- g(x) = x^3 是奇函数。
- h(x) = |x| 是偶函数。
2. 画出函数 y = |x| 的图像，并标出其增减性。
- 图像为V形，x轴下方对称，x=0处为最小值0。
3. 判断下列函数的单调性：- y = x^2 在 (-∞, 0) 单调递减，在(0, +∞) 单调递增。
- y = sin(x) 在(2kπ + π/2, 2kπ + 3π/2) (k为整数) 单调递减。
4. 求下列函数的极值：- y = x^3 在 x = 0 处取得极小值，为0。
- y = x^2 - 4x + 4 在 x = 2 处取得最小值，为0。
【练习二：导数与微分】1. 求下列函数的导数：- f(x) = x^3 的导数为 f'(x) = 3x^2。
- g(x) = sin(x) 的导数为 g'(x) = cos(x)。
2. 利用导数求曲线 y = x^2 在 x = 1 处的切线方程。
- 切点为 (1, 1)，导数为 2，切线方程为 y - 1 = 2(x - 1)。
3. 判断下列函数的凹凸性：- y = x^4 在整个定义域内是凹函数。
4. 利用导数求函数 y = x^3 - 3x^2 + 2x 的极值。
- 导数为 y' = 3x^2 - 6x + 2，令 y' = 0 得 x = 1，此时 y = 0 为极小值。
【练习三：积分】1. 计算不定积分：- ∫x^2 dx = (1/3)x^3 + C。
2. 计算定积分：- ∫[0,1] x^2 dx = 1/3。
3. 利用定积分求面积：- 曲线 y = x^2 与 x 轴，以及直线 x = 1 和 x = 2 所围成的面积为∫[1,2] x^2 dx = (1/3)(2^3 - 1^3) = 7/3。
4. 利用定积分求体积：- 旋转体 y = x^2 绕 x 轴从 x = 0 到 x = 1 旋转所形成的体积为π∫[0,1] x^4 dx = π(1/5)。
高二下学期数学练习题整理
导数及其应用1． 已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k =________．2． 设函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g (x )＝x 2－3x ＋2(其中x ∈R ，a ，b 为常数)．已知曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线l ，则a ，b 的值分别为________．3． 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中所有不正确的序号是________．①当x ＝32时，函数f (x )取得极小值； ②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时，函数f (x )取得极小值； ④当x ＝1时，函数f (x )取得极大值． 4． 设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围为_______． 5．已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝_______. 6．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是______． 7．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．8．已知函数f (x )＝x 2e，g (x )＝2a ln x ．(1)求F (x )＝f (x )－g (x )的单调区间，若F (x )有最值，请求出最值；(2)是否存在正常数a ，使f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线？若存在，求出a 的值，以及公共点坐标和公切线方程；9．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎨⎧10.8－130x 2 0<x ≤10，108x －1 0003x 2x >10.(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？计数原理1、若n N且n<20,则（27—n）（28—n） （34—n）= ( )A 、827n A -B 、n n A --2734C 、734n A -D 、834n A -2、已知=++++2252423n C C C C 363，则n=______3、化简=+++-2132n n n n C C C _________4、三个女生和五个男生排成一排，（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？ （2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？ （3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？ （4）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？（5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？5、A 、B 、C 、D 、E 五人并排站在一排，其中A 、B 、C 顺序一定，那么不同的排法种数是________。
高二下学期数学期中复习训练题(理科)
高二下学期数学期中复习训练题（理科）一．选择题（共30分）1．下列命题中是假命题的是（D ）A.π0,,2x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭x x sin > B ． ,x ∃∈R 0lg 0=x C ．,x ∀∈R 03>x D ． ,x ∃∈R 2cos sin 00=+x x 2. 若“01x <<”是“()[(2)]0x a x a --+≤”的充分而不必要条件，则实数a 的取值范围是（ A ）A ．[1,0]-B ． (1,0)-C ．(,0][1,)-∞+∞ D ． (,1)(0,)-∞-+∞3. 方程322670x x -+=在(0,2)内根的个数有（ C ） A. 3个 B. 2个C. 1个D. 0个4. 函数y ＝x2－2sin x 的图象大致是(C)5. 椭圆22a x +22by =1(a >b >0)上一点A 关于原点的对称点为B , F 为其右焦点, 若AF ⊥BF , 设∠ABF =α, 且α∈[12π,4π], 则该椭圆离心率的取值范围为 ( B ) A ．[22,1 ) B ．[22,36] C ．[36, 1) D ．[22,23] 6．已知ln ()ln 1xf x x x=-+，()f x 在0x x =处取得最大值，以下各式中正确的序号为B ①00()f x x < ②00()f x x = ③00()f x x > ④01()2f x < ⑤01()2f x >A ． ①④ B. ②⑤ C. ②④ D. ③⑤ 二．填空题（共30分）7. 已知椭圆1422=+y m x 的离心率为22，则此椭圆的长轴长为 4 或 48.=-+⎰-dx x x x )4sin (2222π2 .9. 过双曲线12222=-by a x ()0,0a b >>上任意一点P ，引与实轴平行的直线，交两渐近线于M 、N 两点，则PM NP ⋅的值是2a -10. 对正整数n ,设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ,则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是 122n +- 。
专题07 随机变量及其分布【专项训练】高二数学下学期期末专项复习(新人教A版2019)
专题07 随机变量及其分布【专项训练】一、单选题1．若随机变量~(,)B n p ξ，且()2E ξ=，8()5D ξ=，则p =（ ） A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】A 【详解】解：因为随机变量~(,)B n p ξ，且()2E ξ=，8()5D ξ=， 所以28(1)5np np p =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得1015n p =⎧⎪⎨=⎪⎩，故选：A2．学校从高一､高二､高三中各选派10名同学参加“建党100周年党史宣讲”系列报告会，其中三个年级参会同学中女生人数分别为5､6､7，学习后学校随机选取一名同学汇报学习心得，结果选出一名女同学，则该名女同学来自高三年级的概率为（ ） A ．718B ．730C ．915D ．13【答案】A 【详解】设事件A 为“30人中抽出一名女同学”，事件B 为“30人中抽出一名高三同学”， 则56718()3030P A ++==，7()30P AB =， 所以()()7()18P AB P B A P A ==，故选：A.3．已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E (X )＝（ ） A ．1 B ．1.5 C ．2.5D ．1.7【详解】()10.420.530.1 1.7E X=⨯+⨯+⨯=.故选：D.4．某次市教学质量检测，甲､乙､丙三科考试成绩服从正态分布，相应的正态曲线如图所示，则下列说法中正确的是（）A．三科总体的标准差相同B．甲､乙､丙三科的总体的平均数不相同C．丙科总体的平均数最小D．甲科总体的标准差最小【答案】D【详解】解：由图象知甲､乙､丙三科的平均分一样，但标准差不同，σ甲<σ乙<σ丙.故选：D．5．已知P(B|A)=13，P(A)=25，则P(AB)等于（）A．56B．910C．215D．115【答案】C 【详解】由题意，知()()(122315 )5P AB P B A P A==⨯=故选：C6．随机变量X所有可能取值是－2，0，3，5，且P(X＝－2)＝14，P(X＝3)＝12，P(X＝5)＝112，则P(X＝0)的值为（）A．0 B．14C．16D．18【详解】由各个变量概率和为1可得：P (X ＝－2)＋P (X ＝0)＋P (X ＝3)＋P (X ＝5)＝1， 所以111(0)14212P X +=++=，解得1(0)6P X == 故选：C7．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球且不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量X ，则X 的可能取值为（ ）A ．1，2，3，…，6B ．1，2，3，…，7C ．0，1，2，…，5D ．1，2，…，5 【答案】B 【详解】由于取到白球时停止，所以最少取球次数为1，即第一次就取到了白球； 最多次数是7次，即把所有的黑球取完之后再取到白球. 所以取球次数可以是1，2，3，…，7. 故选：B8．若离散型随机变量2~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()E X 和()D X 分别为（ ） A ．83，169 B ．83，89C ．89，83D ．169，83【答案】B 【详解】因为离散型随机变量2~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以()28433E X =⨯=， ()22841339D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭.9．设随机变量()24,N ζδ，若()10.4P a ζ>+=，则()7P a ζ>-=（ ）A ．0.4B ．0.5C ．0.6D ．0.7【答案】C随机变量2~(4,8)N ζ，对称轴为：4μ= 因为(1)0.40.5P a ζ>+=<，所以14a +>， 根据对称性可得(1)(7)0.4P a P a ζζ>+=<-=， 则(7)0.6P a ζ>-=. 故选：C.10．设()()221122,,,X N Y N μσμσ~~，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（ ）A ．()()21P Y P Y μμ≥≥≥B ．()()21P X P X σσ≤≤≤C ．函数()()F t P X t =>在R 上单调递增D ．()()111122222222P X P Y μσμσμσμσ-<<+=-<<+ 【答案】D 【详解】由正态分布密度曲线的性质得：X ，Y 的正态分布密度曲线分别关于直线12,x x μμ==对称， 对于A ：由图象得12μμ<，所以()()21P Y P Y μμ≥<≥，故A 不正确；对于B ：由图象得X 的正态分布密度曲线较Y 的正态分布密度曲线“廋高”，所以12σσ<，所以()()21>P X P X σσ≤≤，故B 不正确；对于C ：由图象得：当1>t μ时，函数()()F t P X t =>在()t +∞，上单调递减，故C 不正确； 对于D ：根据3σ原则：()111168.3%P X μσμσ-<<+=，()11112295.4%P X μσμσ-<<+=，()11113399.7%P X μσμσ-<<+=，无论σ 取何值时，有()()111122222222P X P Y μσμσμσμσ-<<+=-<<+，故D 正确，故选：D.二、多选题11．近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布()2,30N μ和()2280,40N ，则下列选项正确的是（ ）附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈．A ．若红玫瑰日销售量范围在(30,280)μ-的概率是0.6826，则红玫瑰日销售量的平均数约为250B ．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中C ．白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中D ．白玫瑰日销售量范围在()280,320的概率约为0.3413 【答案】ABD 【详解】对于A ，因为红玫瑰日销售量范围在(30,280)μ-的概率是0.6826， 故30280μ+≈即250μ≈，故A 正确.对于B ，因为3040<，故红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中，故B 对，C 错. 白玫瑰日销售量范围在()280,320的概率约为0.68260.34132=，故D 正确. 故选：ABD.12．已知三个正态分布密度函数()()()222,1,2,3i i x i f x x R i μσ--=∈=的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．123σσσ==B ．123σσσ=<C ．123μμμ=>D ．123μμμ<=【答案】BD 【详解】正态密度曲线关于直线x μ=对称，且μ越大图象越靠近右边，σ越小图象越瘦长. 因此，123μμμ<=，123σσσ=<.13．甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为12和13，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是（ ）A ．目标恰好被命中一次的概率为1123+ B ．目标恰好被命中两次的概率为1123⨯C ．目标被命中的概率为12112323⨯+⨯D ．目标被命中的概率为12123-⨯【答案】BD 【详解】甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为12和13，甲、乙两人各射击一次， 在A 中，目标恰好被命中一次的概率为1112123232⨯+⨯=，故A 错误； 在B 中，由相互独立事件概率乘法公式得：目标恰好被命中两次的概率为111236⨯=，故B 正确； 在CD 中，目标被命中的概率为112111233⎛⎫⎛⎫--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误，D 正确． 故选：BD ．14．袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X ，则（ ） A ．2~4,3XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．8(2)81P X ==C ．X 的期望8()3E X =D ．X 的方差8()9D X =【答案】ACD 【详解】从袋子中有放回地随机取球4次，则每次取球互不影响， 并且每次取到的黑球概率相等，又取到黑球记1分， 取4次球的总分数，即为取到黑球的个数，所以随机变量X 服从二项分布2~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故A 正确；2X =，记其概率为22242124(2)3381P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；因为2~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以X 的期望28()433E X =⨯=，故C 正确； 因为2~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以X 的方差218()4339D X =⨯⨯=，故D 正确． 故选：ACD ． 15．已知()2~,X N μσ，22()2()x f x μσ--=，x ∈R ，则（ ）A ．曲线()y f x =与x 轴围成的几何图形的面积小于1B ．函数()f x 图象关于直线=x μ对称C ．()2()()P X P X P X μσμμσμσ>-=<<++≥+D ．函数()()F x P X x =>在R 上单调递增 【答案】BC 【详解】选项A. 曲线()y f x =与x 轴围成的几何图形的面积等于1， 所以A 不正确.选项B. 222()x f x σμ-+=,222()x f x σμ--=所以()()f x f x μμ+=-，所以函数()f x 图象关于直线x μ=对称，所以选项B 正确.选项C. 因为()()P X P X μμσμμσ>>-=<>+所以()()()P X P X P X μσμσμσμσ>-=-<<++≥+2()()P X P X μμσμσ=<<++≥+ 所以选项C 正确.选项D. 由正态分布曲线可知，当x 越大时，其概率越小.即函数()()F x P X x =>随x 的增大而减小，是减函数，所以选项D 不正确. 故选：BC三、解答题16．设离散型随机变量X 的分布列为求：（1）21X +的分布列； （2）求(14)P X <≤的值. 【详解】由分布列的性质知：0.20.10.10.31m ++++=，解得0.3m = （1）由题意可知(211)(0)0.2P X P X +====，(213)(1)0.1P X P X +====，(215)(2)0.1P X P X +==== (217)(3)0.3P X P X +====，(219)(4)0.3P X P X +====所以21X +的分布列为：（2）(14)(2)(3)(4)0.10.30.30.7P X P X P X P X <≤==+=+==++=17．为降低雾霾等恶劣气候对居民的影响，某公司研发了一种新型防雾霾产品．每一台新产品在进入市场前都必须进行两种不同的检测，只有两种检测都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该新型防雾霾产品第一种检测不合格的概率为16，第二种检测不合格的概率为110，两种检测是否合格相互独立．（1）求每台新型防雾霾产品不能销售的概率；（2）如果产品可以销售，则每台产品可获利40元；如果产品不能销售，则每台产品亏损80元（即获利80-元）．现有该新型防雾霾产品3台，随机变量X 表示这3台产品的获利，求X 的分布列及数学期望． 【详解】（1）设事件A 表示“每台新型防雾霾产品不能销售” 事件A 表示“每台新型防雾霾产品能销售” 所以()113116104P A ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 所以()()114P A P A =-= （2）根据（1）可知，“每台新型防雾霾产品能销售”的概率为34 “每台新型防雾霾产品不能销售”的概率为14X 所有的可能取值为：240-，120-，0，120则()30311240464P X C ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭ ()2131391204464P X C ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1223132704464P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()333327120464P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭所以X 的分布列为所以()()1927240120120646464EX =-⨯+-⨯+⨯ 则30EX =18．为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动，甲､乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛，规定：每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局，首先获得5分者获胜，比赛结束.假设每局比赛甲获胜的概率都是35. （1）求比赛结束时恰好打了6局的概率；（2）若甲以3：1的比分领先时，记X 表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X 的分布列及期望. 【详解】解：（1）比赛结束时恰好打了6局，甲获胜的概率为44153234865553125P C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，恰好打了6局，乙获胜的概率为14125322965553125P C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以比赛结束时恰好打了6局的概率为1248696582312531253125P P P =+=+=. （2）X 的可能取值为2，3，4，5，()2392525P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， ()12233363555125P X C ==⨯⨯⨯=，()2413323212445555625P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()331344323232965555555625P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以X 的分布列如下：故()936124961966234525125625625625E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.。
高二下学期数学月考试题.doc
高二下学期数学月考试题一、选择题1、设α表示平面，b a ,表示直线，给出下列四个命题：①αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥b a b a //；②b a b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα；③αα//b b a a ⇒⎭⎬⎫⊥⊥；④αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥b b a a // 其中正确的命题是（ ）A ．①②B ．①②③C ．②③④D ．①②④2、若()n n nx a x a x a a x ++++=+ 22101中123a a =，则自然数n 的值是（ ） A ．13 B ．14 C ．15 D ．163、正三棱锥的相邻两个侧面所成的角是α，则α的取值范围是（ ）A ．()π,0B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3,0π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2,3ππ D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,3 4、已知甲地在地球的北半球，乙地在赤道上，由于地球自转，经一昼夜，甲地转过的路程是乙地转过路程的23倍，则甲地在（ ） A ．北纬︒30圈上 B ．北纬︒45圈上 C ．北纬︒60圈上 D ．不能确定甲地纬度5、三棱锥的一条棱长是x ，其余各棱长都是1，则体积V （x ）取得最大值时，x 的值为（ ）A ．1B ．22C ．25D ．26 6、从正方体的6个面中任取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（ ）A ．8种B ．12种C ．16种D ．7、6名同学排成一排，其中甲乙两人必须排在一起的不同排法种数为（ ）A ．7B ．360种C ．240种D ．18、甲、乙、丙三人值日，从周一至周六，每人值班两天，若甲不值周一，乙不值周六，则可排出的不同值日表共有＿＿＿＿＿种9、一名教师和4名获奖同学排成一排合影留念，则老师不坐两端的排法有＿＿＿＿＿种。
10、由1、2、3、5四个数组成的无重复数字的四位数中，能被5整除的有( )个A.6B.12C.18D.2411.四种学生报名参加跑步、跳高，乒乓球比赛，每人限报一项，则报名方法种数为( )A.43B.34C.A 43D.C 4312、已知异面直线a 、b 所成的角为50°，P 为空间一点，则过点P 且与a 、b 所成的角都是30°的直线有且仅有( )A.1条B.2条C.3条D.4条二、填空题13、已知∠ACB=90º，S 为平面ABC 外一点，且∠SCA=∠SCB=60º，则直线SC 和平面ABC 所成的角为 .14、点A 是二面角α-l -β内一点，AB ⊥α于B ，AC ⊥β于C ，设AB=3，AC=2，∠BAC=60︒，则点A 到棱l 的距离是 .15、某排共有9个座位，若3人坐在座位上，每人左、右都有空位，那么有________种不同的坐法?16、已知l m ,是直线，βα,是平面，给出下列命题：①若l 垂直于α内的两条相交直线，则α⊥l ；②若l 平行于α，则l 平行于α内的所有直线；③若α⊂m ，β⊂l ，且m l ⊥，则βα⊥④若β⊂l ，且α⊥l ，则βα⊥⑤若α⊂m ，β⊂l ，且βα//，则l m //其中正确命题的序号是＿＿＿＿＿三、解答题17、5个男同学，4个女同学站成一排（1） 4个女同学必须排在一起，有多少种排法？（2） 任何两个女同学彼此不相邻，有多少种排法？（3） 甲乙相邻但都不与丙相邻，有多少种排法？18、已知Rt ⊿ABC 中，∠C=90º，C ∈α，AB ∥平面α，AB=8，AC 、BC 与平面α所成角分别为30º、60º，求AB 到平面α的距离。
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导数及其应用
1． 已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k =________．
2． 设函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g (x )＝x 2－3x ＋2(其中x ∈R ，a ，b 为常数)．已知曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点
(2,0)处有相同的切线l ，则a ，b 的值分别为________．
3． 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中所有
不正确的序号是________．
①当x ＝3
2
时，函数f (x )取得极小值； ②f (x )有两个极值点；
③当x ＝2时，函数f (x )取得极小值； ④当x ＝1时，函数f (x )取得极大值． 4． 设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围为_______． 5．已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝_______. 6．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是______． 7．函数y ＝1
2x 2－ln x 的单调递减区间为________．
8．已知函数f (x )＝x 2
e
，g (x )＝2a ln x ．
(1)求F (x )＝f (x )－g (x )的单调区间，若F (x )有最值，请求出最值；
(2)是否存在正常数a ，使f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线？若存在，求出a 的值，以及公共点坐标和公切线方程；
9．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年
内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝
⎩⎨⎧
10.8－1
30
x 2 (0<x ≤10)，
108x －1 000
3x 2
(x >10).
(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；
(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？
计数原理
1、若n ∈N 且n<20,则（27—n ）（28—n ） （34—n ）= ( ) A 、8
27n A - B 、n
n A --2734 C 、7
34n A - D 、8
34n A -
2、已知=++++2
252423n C C C C 363，则n=______
3、化简=+++-2132
n n n n
C C C _________
4、三个女生和五个男生排成一排，
（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？ （2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？ （3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？ （4）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？
（5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？
5、A 、B 、C 、D 、E 五人并排站在一排，其中A 、B 、C 顺序一定，那么不同的排法种数是________。
6、有2红3黄4白共9个球，同色球不加以区分，将这九个球排成一排，共有____种方法。
7、10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有_________不同分配方案。
1、
10()x 的展开式中64
x y 项的系数是 。
2、
8)1(x
x -
展开式中5x 的系数为 。
3、
843)1
()2(x x x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 .
4、
72)2)(1(-+x x 的展开式中3
x 项的系数是 。
5、
()()8
11x x -+的展开式中5x 的系数是 。
6、若2004200422102004
...)
21(x a x a x a a x ++++=-)(R x ∈，
则_______)()()()(20040302010=++++++++a a a a a a a a 。
(用数字作答)
7、
4234
01234(2x a a x a x a x a x =++++，则2312420)()(a a a a a +-++的值为 .
随机变量及其分布
1．已知随机变量X 的分布列为P (X =k )=
3
1
,k =1,2,3,则D (3X +5)等于 . 2．已知X ～B (n ，p )，E （X ） =8，D （X ） =1.6，则n 与p 的值分别是 .
3.从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回地抽取3次，每次抽取1只，设抽得次品数为X ，则E (5X +1）=_________．
4.某年级的一次信息技术成绩近似服从于正态分布N （70,100），如果规定低于60分为不及格，不低于90分为优秀，那么成绩不及格的学生约占多少？成绩优秀的学生约占多少？（参考数据：()0.6826,(22)0.9544P P μσξμσμσξμσ-<<+=-<<+=）
5、某班甲、乙、丙三名同学参加省数学竞赛选拔考试，成绩合格可获得参加竞赛的资格．其中甲同学表示成绩合格就去参加，但乙、丙同学约定：两人成绩都合格才一同参加，否则都不参加．设每人成绩合格的概率为2
3
，求（1）三人至少有一人成绩合格的概率；
（2）去参加竞赛的人数X 的分布列和数学期望．
6、袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球，从A 中摸出一个红球的概率是1
3，从B 中摸出一个红球的概
率为p ．
(1) 从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止． (i)求恰好摸5次停止的概率；
(ii)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为X ，求随机变量X 的分布率及数学期望E X ． (2) 若A 、B 两个袋子中的球数之比为1:2，将A 、B 中的球装在一起后，从中摸出一个红 球的概率是
2
5
，求p 的值．
统计案例分析
1、线性回归方程：a bx y +=∧1
22
1
n
i i i n
i i x y nx y b x nx a y bx ==⎧
-⎪
⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑
2、相关系数（判定两个变量线性相关性）：
⑴r >0时，变量y x ,正相关；r <0时，变量y x ,负相关；
（2）||r 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；||r 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
3．回归分析中归效果的判定：
①2
R 得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；②2
R 越接近于1，，则回归效果越好。
4．独立性检验（分类变量关系）：随机变量2
K 越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。
K 2
=
部分对照表（考试时会给出用到的一部分数据）：
y 1 y 2 总计 x 1 a b a+b
x 2
c
d
c+d
总计 a+c b+d a+b+c+d P
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2K k =
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
1、右表中是生产某种产品x （1）画出数据的散点图；（2（3）估计生产7
2、已知x 与y A.（2，2）点 B.（1.5，0）点 C.（1，2）点 D.（1.5，4）点
3、每一吨铸铁成本c y (元)与铸件废品率x %建立的回归方程568c y x =+，下列说法正确的是（ ） Ａ．废品率每增加1%，成本每吨增加64元Ｂ．废品率每增加1%，成本每吨增加8% Ｃ．废品率每增加1%，成本每吨增加8元Ｄ．如果废品率增加1%，则每吨成本为56元
4、调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，得到下面的数据表：
你认为婴儿的性别与出生时间有关系的把握为（ ） Ａ．80%
Ｂ．90%
Ｃ．95%
Ｄ．99%。