2014-2015年重庆市沙坪坝中学高二(上)期中数学试卷及参考答案(文科)
高中数学必修五测试题 高二文科数学(必修五)
2014—2015学年度第一学期期中考试高二文科数学试题（A ）（必修五）一、选择题（每题5分，共10小题）1．设a 、b 、c 、d∈R,且a ＞b,c ＞d,则下列结论正确的是（ ） A ．a+c ＞b+dB ．a-c ＞b-dC ．ac ＞bdD ．a d ＞b c211两数的等比中项是（ ） A ．2B ．-2C ．±2D ．以上均不是3．若三角形三边长的比为5∶7∶8，则它的最大角和最小角的和是（ ） A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°4．数列{a n }中，2n a 2n 29n 3=-++，则此数列最大项的值是（ ）A ．103B ．11088C ．11038D ．1085．若△ABC 的周长等于20，面积是BC 边的长是 （ ） A ．5B ．6C ．7D ．86．在数列{a n }中，a 1=1,a n a n-1=a n-1+（-1）n（n≥2,n∈N *）,则35a a 的值是（ ） A ．1516B ．158C ．34 D ．387．在△ABC 中，角A ，B 均为锐角，且cosA ＞sinB ，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形8．在等差数列{a n }中，2（a 1+a 4+a 7）+3（a 9+a 11）=24,则此数列的前13项之和等于（ ） A ．13B ．26C ．52D ．1569．数列222222235721,,,,122334(1)n n n +⋅⋅⋅⨯⨯⨯+的前n 项的和是 （ ）A ． 211n-B ．211n+C ．211(1)n ++ D ．211(1)n -+ 10．已知不等式（x + y ）（1x + ay）≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题（每题5分，共5小题） 11．数列{a n }的通项公式a n =1n n ++,则103-是此数列的第 项．12． 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sin B ＝________．13． 已知点（x,y ）满足x 0y 0x y 1≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩,则u=y-x 的取值范围是_______．14．如图，在四边形ABCD 中，已知AD⊥CD，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC 的长为______． 15．在△ABC 中，给出下列结论：①若a 2>b 2+c 2,则△ABC 为钝角三角形; ②若a 2=b 2+c 2+bc,则角A 为60°; ③若a 2+b 2>c 2,则△ABC 为锐角三角形； ④若A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c=1∶2∶3． 其中正确结论的序号为 ． 三、解答题（共6小题，共75分）16．（12分）已知不等式ax 2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}． （1）求a,b ．（2）解不等式ax 2-（ac+b ）x+bc<0．17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A＝3a cos B．（1）求角B的大小；（2）若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n=2a n-2n．（1）求a3，a4; （2）证明：{a n+1-2a n}是等比数列；（3）求{a n}的通项公式．19．（12分）设函数()cosfθθθ=+，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x,y），且0≤θ≤π．（1）若点P的坐标为12⎛⎝⎭，求f（θ）的值;（2）若点P（x,y）为平面区域Ω:1,1,1x yxy+≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f（θ）的最小值和最大值．20．（13分）某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到15-0.1x 万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10．假设不计其他成本，即销售每套丛书的 利润＝售价-供货价格，问：（1）每套丛书定价为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？ （2）每套丛书定价为多少元时，单套丛书的利润最大？21．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中每一行的第一个数1247,,,,a a a a ⋅⋅⋅构成等差数列{}n b ,n S 是{}n b 的前n 项和，且1151,15b a S ===（1）若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知916a =，求50a 的值； （2）设122111n n n nT S S S ++=++⋅⋅⋅+，求n T ．参考答案1．设a 、b 、c 、d∈R,且a ＞b,c ＞d,则下列结论正确的是（ ） （A ）a+c ＞b+d （B ）a-c ＞b-d （C ）ac ＞bd （D ）a d ＞b c1．【解析】选A ．由不等式的可加性可知a+c ＞b+d, 而当a=2,b=1,c=-2,d=-3时，B 不一定成立， C ，D 中a 、b 、c 、d 符号不定，不一定成立． 2．11两数的等比中项是（ ）A ．2B ．-2C ．±2D ．以上均不是2．【解析】设等比中项为x ，则x 2=1）1）=4．所以x=±2．故应选C ．答案:C3．若三角形三边长的比为5∶7∶8，则它的最大角和最小角的和是（ ） （A ）90° （B ）120° （C ）135° （D ）150°3．【解析】选B ．设三边长为5x,7x,8x ，最大的角为C ，最小的角为A ．由余弦定理得：()()()2225x 8x 7x 1cosB ,25x 8x2+-==⨯⨯所以B=60°,所以A+C=180°-60°=120°．4．数列{a n }中，2n a 2n 29n 3=-++，则此数列最大项的值是（ ）（A ）103 （B ）11088 （C ）11038（D ）108 4．【解析】选D ．根据题意结合二次函数的性质可得：22n 229a 2n 29n 32(n n)322929292(n )3.48=-++=--+⨯=--++∴n=7时，a n =108为最大值．5．若△ABC 的周长等于20，面积是103,A=60°,则BC 边的长是 （ ） A ．5B ．6C ．7D ．85．解析：由1sin 2ABC S bc A ∆=得1103sin 602bc =︒，则bc=40．又a+b+c=20,所以b+c=20-a ．由余弦定理得()2222222cos 3a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-, 所以()2220120a a =--,解得a=7．答案：C6．在数列{a n }中，a 1=1,a n a n-1=a n-1+（-1）n（n≥2,n∈N *）,则35a a 的值是（ ） （A ）1516 （B ）158 （C ）34 （D ）386．【解析】选C ．当n=2时，a 2·a 1=a 1+（-1）2，∴a 2=2； 当n=3时，a 3a 2=a 2+（-1）3，∴a 3=12； 当n=4时，a 4a 3=a 3+（-1）4，∴a 4=3；当n=5时，()5354455a 23a a a 1a .3a 4=+-∴=∴=，， 7．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 7．解析：cos sin()sin ,,22A AB A B ππ=->-都是锐角，则,,222A B A B C πππ->+<>，选C ．答案：C8．在等差数列{a n }中，2（a 1+a 4+a 7）+3（a 9+a 11）=24,则此数列的前13项之和等于（ ） （A ）13 （B ）26 （C ）52 （D ）1568．【解析】选B ．∵2（a 1+a 4+a 7）+3（a 9+a 11）=6a 4+6a 10=24,∴a 4+a 10=4．()()1134101313a a 13a a S 26.22++∴===9．数列222222235721,,,,122334(1)n n n +⋅⋅⋅⨯⨯⨯+的前n 项的和是 （ ）A ． 211n -B ． 211n +C ． 211(1)n ++D ． 211(1)n -+9．解析：因为22222111,(1)(1)n n a n n n n +==-++所以数列的前n项和2222222221111111111.1223(1)1(1)(1)n S n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-=-+++ 答案：D10．已知不等式（x + y ）（1x + ay ）≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．810．解析：不等式（x +y ）（1ax y+）≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则1y axa x y+++≥1a +≥24（舍去），所以正实数a 的最小值为4，选B ． 答案：B11．数列{a n }的通项公式a n是此数列的第 项．解析：因为a n ，所以n=9． 答案:91 4，则sin B＝________12．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，b＝2，cos C＝．12．15 4[解析] 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝1＋4－2×1×2×14＝4，解得c＝2，所以b＝c，B＝C，所以sin B＝sin C＝1－cos2C＝154．13．已知点（x,y）满足x0y0x+y1≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩,则u=y-x的取值范围是_______．13．【解析】作出可行域如图,作出y-x=0,由A（1,0）,B （0,1）,故过B时u最大，u max=1,过A点时u最小，u min=-1．答案：[-1,1]14．如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长为______．14．【解析】在△ABD中，设BD＝x，则BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，即142＝x2＋102－2·10x·cos60°，整理得x2－10x－96＝0，解之得x1＝16，x2＝－6（舍去）．由正弦定理得BC BDsin CDB sin BCD ∠∠＝,∴BC＝16sin135︒·sin30°＝．答案：15．在△ABC中，给出下列结论：①若a2>b2+c2,则△ABC为钝角三角形;②若a2=b2+c2+bc,则角A为60°;③若a2+b2>c2,则△ABC为锐角三角形；④若A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c=1∶2∶3．其中正确结论的序号为．解析：在①中，cos A=2222b c abc+-<0,所以A为钝角，所以△ABC为钝角三角形，故①正确;在②中，b2+c2-a2=-bc,所以cos A=2222b c abc+-=-2bcbc=-12,所以A=120°,故②不正确；在③中，cos C=2222a b cab+->0,故C为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形，故③不正确;在④中A∶B∶C=1∶2∶3，故A=30°,B=60°,C=90°,所以确．答案:①16．已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}．（1）求a,b．（2）解不等式ax2-（ac+b）x+bc<0．【解】（1）因为不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根，且b>1．由根与系数的关系得31,21,b a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩解得1,2.a b =⎧⎨=⎩ （2）解不等式ax 2-（ac+b ）x+bc<0,即x 2-（2+c ）x+2c<0,即（x-2）（x-c ）<0,所以①当c>2时，不等式（x-2）（x-c ）<0的解集为{x|2<x<c};②当c<2时，不等式（x-2）（x-c ）<0的解集为{x|c<x<2};③当c=2时，不等式（x-2）（x-c ）<0的解集为∅．17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B ．（1）求角B 的大小；（2）若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．17．解：（1）由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝b sin B，得 sin B ＝3cos B ，所以tan B ＝3，所以B ＝π3． （2）由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C，得c ＝2a ． 由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得9＝a 2＋c 2－ac ，将c ＝2a 代入得， a ＝3，c ＝23．18．（12分）设数列{a n }的前n 项和为S n =2a n -2n．（1）求a 3,a 4;（2）证明：{a n+1-2a n }是等比数列；（3）求{a n }的通项公式．（1）解:因为a 1=S 1,2a 1=S 1+2,所以a 1=2,S 1=2,由2a n =S n +2n 知：2a n+1=S n+1+2n+1=a n+1+S n +2n+1,得a n+1=S n+2n+1, ①所以a 2=S 1+22=2+22=6，S 2=8，a 3=S 2+23=8+23=16,S 3=24,a 4=S 3+24=40．（2）证明:由题设和①式得：a n+1-2a n =（S n +2n+1）-（S n +2n ）=2n+1-2n =2n ,所以{a n+1-2a n }是首项为a 2-2a 1=2,公比为2的等比数列．（3）解:a n =（a n -2a n-1）+2（a n-1-2a n-2）+…+2n-2（a 2-2a 1）+2n-1a 1=（n+1）·2n-1．19． （12分）设函数()3sin cos f θθθ=+，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P （x,y ），且0≤θ≤π．（1）若点P 的坐标为13,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，求f （θ）的值;（2）若点P （x,y ）为平面区域Ω: 1,1,1x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f （θ）的最小值和最大值．解：（1）由点P 的坐标和三角函数的定义可得3sin ,21cos ,2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以31()3sin cos 3 2.2f θθθ=+=⨯+= （2）作出平面区域（即三角形区域ABC ）如图，其中A （1,0）,B （1,1）,C （0,1），则0≤θ≤2π．又()cos 2sin .6f πθθθθ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭． 故当62ππθ+=,即3πθ=时, max ()2f θ=; 当66ππθ+=,即θ=0时, min ()1f θ=．20．某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到15-0．1x 万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10．假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价-供货价格，问：（1）每套丛书定价为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？（2）每套丛书定价为多少元时，单套丛书的利润最大？20． 【解析】（1）每套丛书定价为100元时，销售量为15-0．1×100=5（万套），此时每套供货价格为30+105=32（元），故书商所获得的总利润为5×（100-32） =340（万元）． （2）每套丛书售价定为x 元时，由150.1x 0x 0-⎧⎨⎩＞＞，得0＜x ＜150． 依题意，单套丛书利润 P=x-（30+10150.1x -）=x-100150x--30, ∴P=-[（150-x ）+100150x -]+120, ∵0＜x ＜150,∴150-x ＞0,由（150-x ）+100150x-≥)150x -=2×10=20, 当且仅当150-x ＝100150x-，即x=140时等号成立，此时P max =-20+120=100．答：（1）当每套丛书售价定为100元时，书商能获得总利润为340万元；（2）每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润取得最大值100元．21．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中每一行的第一个数1247,,,,a a a a ⋅⋅⋅构成等差数列{}n b ,n S 是{}n b 的前n 项和，且1151,15b a S ===（ I ）若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知916a =，求50a 的值；（Ⅱ）设122111n n n n T S S S ++=++⋅⋅⋅+，求n T ． 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）{}n b 为等差数列，设公差为155,1,15,51015,1d b S S d d ==∴=+== 1(1)1.n b n n ∴=+-⨯= …………………………………………………………………………2分 设从第3行起，每行的公比都是q ，且0q >，2294,416,2,a b q q q ===……………………4分 1+2+3+…+9=45，故50a 是数阵中第10行第5个数，而445010102160.a b q ==⨯=……………………………………………………………………7分 （Ⅱ）12n S =++…(1),2n n n ++=…………………………………………………………8分 1211n n n T S S ++∴=++…21n S + 22(1)(2)(2)(3)n n n n =++++++…22(21)n n ++ 11112(1223n n n n =-+-+++++…11)221n n +-+ 1122().121(1)(21)n n n n n =-=++++友情提示：本资料代表个人观点，如有帮助请下载，谢谢您的浏览！。
2014-2015学年重庆市复旦中学高二(上)数学期中试卷带解析答案(文科)
2014-2015学年重庆市复旦中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）直线x﹣2y+7=0的斜率是（）A．2 B．﹣2 C．D．2．（5分）棱长都是1的三棱锥的表面积为（）A．B．C．D．3．（5分）垂直于同一平面的两条直线一定（）A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能4．（5分）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④5．（5分）已知ab＜0，bc＜0，则直线ax+by=c通过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限6．（5分）若直线l1：y=k（x﹣4）与直线l2关于点（2，1）对称，则直线l2恒过定点（）A．（0，4） B．（0，2） C．（﹣2，4）D．（4，﹣2）7．（5分）下面四个说法中，正确的个数为（）（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合（2）两条直线可以确定一个平面（3）若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内．A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2）．若直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．B．C．k≥2或D．k≤29．（5分）如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论中恒成立的个数为（）（1）EP⊥AC；（2）EP∥BD；（3）EP∥面SBD；（4）EP⊥面SAC．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．（5分）点A、B、C、D在同一球面上，AB=BC=，AC=2，若四面体ABCD 的体积的最大值为，则这个球的表面积为（）A．B．8πC．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上.11．（5分）已知直线y=（3a﹣1）x﹣1，为使这条直线经过第一、三、四象限，则实数a的取值范围是．12．（5分）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为．13．（5分）直线l1：a1x+b1y+1=0直线l2：a2x+b2y+1=0交于一点（2，3），则经过A（a1，b1），B（a2，b2）两点的直线方程为．14．（5分）已知直线l过点P（2，1）且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B 两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为．15．（5分）如图，二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB⊂α．B∈l，AB与l所成的角为30°．则AB与平面β所成的角的正弦值是．三.解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（13分）求直线3x﹣2y+24=0的斜率及它在x、y轴上的截距．17．（13分）一直线过点P（﹣5，﹣4）且与两坐标轴围成的三角形面积是5，求此直线的方程．18．（13分）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．19．（12分）如图：一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个半径为x 的内接圆柱．（1）试用x表示圆柱的体积；（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大值是多少．20．（12分）已知点A（1，1），B（2，2），C（4，0），D（，），点P在线段CD垂直平分线上，求：（1）线段CD垂直平分线方程；（2）|PA|2+|PB|2取得最小值时P点的坐标．21．（12分）如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求证；AE∥平面BFD；（Ⅲ）求三棱锥C﹣BGF的体积．2014-2015学年重庆市复旦中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）直线x﹣2y+7=0的斜率是（）A．2 B．﹣2 C．D．【解答】解：因为直线x﹣2y+7=0的截距式方程为：y=x+，所以直线的斜率为：．故选：C．2．（5分）棱长都是1的三棱锥的表面积为（）A．B．C．D．【解答】解：因为四个面是全等的正三角形，则．故选：A．3．（5分）垂直于同一平面的两条直线一定（）A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能【解答】解：设直线a、b都与平面α垂直，可以用反证法证明a、b必定是平行直线假设a、b不平行，过直线b与平面α的交点作直线d，使d∥a∴直线d与直线b是相交直线，设它们确定平面β，且β∩α=c∵b⊥α，c⊂α，∴b⊥c．同理可得a⊥c，又∵d∥a，∴d⊥c这样经过一点作出两条直线b、d都与直线c垂直，这是不可能的∴假设不成立，故原命题是真命题故选：A．4．（5分）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④【解答】解：正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，圆锥和正四棱锥的，正视图和侧视图相同，所以，正确答案为D．故选：D．5．（5分）已知ab＜0，bc＜0，则直线ax+by=c通过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限【解答】解：直线ax+by=c 即y=﹣x+，∵ab＜0，bc＜0，∴斜率k=﹣＞0，直线在y轴上的截距＜0，故直线第一、三、四象限，故选：C．6．（5分）若直线l1：y=k（x﹣4）与直线l2关于点（2，1）对称，则直线l2恒过定点（）A．（0，4） B．（0，2） C．（﹣2，4）D．（4，﹣2）【解答】解：由于直线l1：y=k（x﹣4）恒过定点（4，0），其关于点（2，1）对称的点为（0，2），又由于直线l1：y=k（x﹣4）与直线l2关于点（2，1）对称，∴直线l2恒过定点（0，2）．故选：B．7．（5分）下面四个说法中，正确的个数为（）（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合（2）两条直线可以确定一个平面（3）若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故（1）不正确；两条异面直线不能确定一个平面，故（2）不正确；若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l，故（3）正确；空间中，相交于同一点的三直线不一定在同一平面内，故（4）不正确，综上所述只有一个说法是正确的，故选：A．8．（5分）已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2）．若直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．B．C．k≥2或D．k≤2【解答】解：直线PA的斜率k==2，直线PB的斜率k′==，结合图象可得直线l的斜率k的取值范围是k≥2或k≤．故选：C．9．（5分）如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论中恒成立的个数为（）（1）EP⊥AC；（2）EP∥BD；（3）EP∥面SBD；（4）EP⊥面SAC．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．（1）由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC．∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=N，∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正确．（2）由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，不可能EP∥BD，因此不正确；（3）由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此正确．（4）由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP ∩EM=E相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确．综上可知：只有（1）（3）正确．即四个结论中恒成立的个数是2．故选：B．10．（5分）点A、B、C、D在同一球面上，AB=BC=，AC=2，若四面体ABCD 的体积的最大值为，则这个球的表面积为（）A．B．8πC．D．【解答】解：根据题意知，△ABC是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，不变，高最大时体积最大，若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S△ABC所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为S×DQ=，△ABC即×1×DQ=，∴DQ=2，如图．设球心为O，半径为R，则在直角△AQO中，OA2=AQ2+OQ2，即R2=12+（2﹣R）2，∴R=则这个球的表面积为：S=4π（）2=；故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上.11．（5分）已知直线y=（3a﹣1）x﹣1，为使这条直线经过第一、三、四象限，则实数a的取值范围是．【解答】解：因为直线y=（3a﹣1）x﹣1过定点（0，﹣1），若直线y=（3a﹣1）x﹣1经过第一、三、四象限，则其斜率大于0，即3a﹣1＞0，所以a＞．故答案为a．12．（5分）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为6a2π．【解答】解：长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，长方体的对角线的长就是外接球的直径，所以球的直径为：，所以球的半径为：，所以球的表面积是：=6a2π故答案为：6a2π13．（5分）直线l1：a1x+b1y+1=0直线l2：a2x+b2y+1=0交于一点（2，3），则经过A（a1，b1），B（a2，b2）两点的直线方程为2x+3y+1=0．【解答】解：∵直线l1：a1x+b1y+1=0直线l2：a2x+b2y+1=0交于一点（2，3），∴2a1+3b1+1=0，2a2+3b2+1=0．∴A（a1，b1），B（a2，b2）两点都在直线2x+3y+1=0上，由于两点确定一条直线，因此经过A（a1，b1），B（a2，b2）两点的直线方程即为2x+3y+1=0．故答案为：2x+3y+1=0．14．（5分）已知直线l过点P（2，1）且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B 两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为4．【解答】解：设A（a，0）、B（0，b ），a＞0，b＞0，AB方程为，点P（2，1）代入得=1≥2，∴ab≥8 （当且仅当a=4，b=2时，等号成立），故三角形OAB 面积S=ab≥4，故答案为4．15．（5分）如图，二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB⊂α．B∈l，AB与l所成的角为30°．则AB与平面β所成的角的正弦值是．【解答】解：过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线．垂足为D连接AD，有三垂线定理可知AD⊥l，故∠ADC为二面角α﹣l﹣β的平面角，为60°又由已知，∠ABD=30°连接CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角设AD=2，则AC=，CD=1AB==4∴sin∠ABC=；故答案为．三.解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（13分）求直线3x﹣2y+24=0的斜率及它在x、y轴上的截距．【解答】解：∵直线3x﹣2y+24=0化成斜截式，得y=x+12∴直线的斜率k=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）∵对直线3x﹣2y+24=0令y=0，得x=﹣8∴直线交x轴于点（﹣8，0），可得直线在x轴上截距是﹣8，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∵对直线3x﹣2y+24=0令x=0，得y=12∴直线交y轴于点（0，12），可得直线在y轴上的截距为12．﹣﹣﹣﹣﹣（13分）17．（13分）一直线过点P（﹣5，﹣4）且与两坐标轴围成的三角形面积是5，求此直线的方程．【解答】解：设直线方程为，则，解得或．∴直线方程为2x﹣5y﹣10=0或8x﹣5y+20=0．18．（13分）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．【解答】证明：（1）∵E，F分别是AB，BD的中点．∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∵EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，∴直线EF∥面ACD；（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD又EF∩CF=F，∴BD⊥面EFC，∵BD⊂面BCD，∴面EFC⊥面BCD19．（12分）如图：一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个半径为x 的内接圆柱．（1）试用x表示圆柱的体积；（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大值是多少．【解答】解：（1）∵圆锥的底面半径为2，高为6，∴内接圆柱的底面半径为x时，它的上底面截圆锥得小圆锥的高为3x因此，内接圆柱的高h=6﹣3x；∴圆柱的体积V=πx2（6﹣3x）（0＜x＜2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）由（1）得，圆柱的侧面积为S侧=2πx（6﹣3x）=6π（2x﹣x2）（0＜x＜2）令t=2x﹣x2，当x=1时t max=1．可得当x=1时，（S侧）max=6π∴当圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，侧面积有最大值为6π．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）20．（12分）已知点A（1，1），B（2，2），C（4，0），D（，），点P在线段CD垂直平分线上，求：（1）线段CD垂直平分线方程；（2）|PA|2+|PB|2取得最小值时P点的坐标．【解答】解：（1）由C（4，0），D（，），得线段CD的中点M，，∴线段CD的垂直平分线的斜率为，∴线段CD垂直平分线方程为：，即x﹣2y=0；（2）设P（2t，t），则）|PA|2+|PB|2=（2t﹣1）2+（t﹣1）2+（2t﹣2）2+（t﹣2）2=10t2﹣18t+10．当t=时，|PA|2+|PB|2取得最小值，即P．21．（12分）如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求证；AE∥平面BFD；（Ⅲ）求三棱锥C﹣BGF的体积．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC．又∵BF⊥平面ACE，则AE⊥BF∴AE⊥平面BCE．（4分）（Ⅱ）证明：依题意可知：G是AC中点，∵BF⊥平面ACE，则CE⊥BF，而BC=BE，∴F是EC中点．（6分）在△AEC中，FG∥AE，∴AE∥平面BFD．（8分）（Ⅲ）解：∵AE∥平面BFD，∴AE∥FG，而AE⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCF，（10分）∵G是AC中点，∴F是CE中点，且，∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE．∴Rt△BCE中，．∴，（12分）∴（14分）。
2014-2015学年重庆一中高二(上)期中数学试卷(文科)
2014-2015学年重庆一中高二（上）期中数学试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.直线x-y+1=0的倾斜角是（）A.30°B.45C.60D.135°2.如果命题“p∨q”为真命题，则（）A.p，q中至少有一个为真命题B.p，q均为假命题C.p，q均为真命题D.p，q中至多有一个为真命题3.全称命题“∀x∈R，x2+2x+3≥0”的否定是（）A.∀x∈R，x2+2x+3＜0B.∀x∉R，x2+2x+3≥0C.∃x∈R，x2+2x+3≤0D.∃x∈R，x2+2x+3＜04.已知直线m，n，l，若m∥n，n∩l=P，则m与l的位置关系是（）A.异面直线B.相交直线C.平行直线D.相交直线或异面直线5.设x∈R，则“x＞”是“2x2+x-1＞0”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知圆锥的母线长为4，侧面展开图的中心角为，那么它的体积为（）A. B. C. D.4π7.以直线x-2y=0和x+2y-4=0的交点为圆心，且过点（2，0）的圆的方程为（）A.（x-2）2+（y-1）2=1B.（x+2）2+（y+1）2=1C.（x-2）2+（y-1）2=2D.（x+2）2+（y+1）2=28.对于直线m、n和平面α，下面命题中的真命题是（）A.如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB.如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交C.如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD.如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n9.已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于O、A、B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p=（）A.1B.C.2D.310.过双曲线，＞的右焦点F2向其一条渐近线作垂线l，垂足为P，l与另一条渐近线交于Q点，若，则双曲线的离心率为（）A.2B.3C.4D.6二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是______ ．12.已知球的体积为，则球的大圆面积是______ ．13.设M为圆（x-5）2+（y-3）2=9上的点，则M点到直线3x+4y-2=0的最短距离为______ ．14.一长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1，，3，则这个球的表面积为______ ．15.已知双曲线=1的右焦点为F，P是双曲线右支上任意一点，定点M（6，2），则3|PM|+|PF|的最小值是______ ．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.如图直三棱柱ABC-A1B1C1，CA=CB，E、F、M分别是棱CC1、AB、BB1中点．（1）求证：平面AEB1∥平面CFM；（2）求证：CF⊥BA1．17.已知命题p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：m2-15m＜0，若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求m的取值范围．18.如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A．（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．19.如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆焦点F作弦AB．当直线AB斜率为0时，弦AB长4．（1）求椭圆的方程；（2）若|AB|=．求直线AB的方程．20.已知四棱锥G-ABCD，四边形ABCD是长为2a的正方形，DA⊥平面ABG，且GA=GB，BH⊥平面CAG，垂足为H，且H在直线CG上．（1）求证：平面AGD⊥平面BGC；（2）求三棱锥D-ACG的体积；（3）求三棱锥D-ACG的内切球半径．21.已知椭圆的两焦点为，，，，离心率．（1）求此椭圆的方程；（2）设直线l：y=x+m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值；（3）以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．。
重庆市高二上学期期中数学试题(解析版)
一、单选题1．是两个单位向量，则下列四个结论中正确的是（ ）,a bA ．B ．C ．D ．a b = 1a b ⋅= //a b 22a b = 【答案】D【分析】由单位向量、共线向量、相等向量、向量数量积和模长定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A ，模长相等，但方向未必相同，A 错误；,a b对于B ，，B 错误； []cos ,cos ,1,1a b a b a b a b ⋅=⋅<>=<>∈- 对于C ，模长相等，但未必同向或反向，C 错误；,a b对于D ，，，D 正确.1a b == 221a b ∴== 故选：D.2．将直线l 沿x 轴正方向平移2个单位，再沿y 轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则的斜率是（ ） l A ．B ．4C ．1D ．32-12【答案】A【分析】设直线l 上任意一点，再根据题意可得也在直线上，进而根据()00,P x y ()2002,3P x y +-两点间的斜率公式与直线的斜率相等列式求解即可.【详解】设直线l 上任意一点，将直线l 沿x 轴正方向平移2个单位，则P 点移动后为()00,P x y ，再沿y 轴负方向平移3个单位，则点移动后为． ()1002,P x y +1P()2002,3P x y +-∵都在直线l 上，∴直线l 的斜率．2,P P 00003322k y y x x --=-+-=故选：A ．3．经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为（ ） ()2,3A π4A ．B ．C ．D ．1y x =+1y x =-=1y x --1y x =-+【答案】A【分析】根据倾斜角求出斜率，写出点斜式方程，化为斜截式可得答案. 【详解】斜率， πtan14k ==点斜式方程为， 32y x -=-斜截式方程为.1y x =+故选：A4．已知圆与圆相交于，两点，且直线的方程为，则1C 2C ()2,3A (),1B m 12C C 0x y n +-=m n +=（ ） A ．3 B ．5C ．7D ．9【答案】A【分析】先推出直线是线段的垂直平分线，再根据垂直和平分列式可求出. 12C C AB ,m n 【详解】因为，， 11||||C A C B =22||||C A C B =所以直线是线段的垂直平分线，12C C AB 所以，解得，3112231022mm n -⎧=⎪⎪-⎨++⎪+-=⎪⎩03m n =⎧⎨=⎩所以. 3m n +=故选：A5．若函数在闭区间上有最大值为3，最小值为2，则实数m 的范围是()223x x x f =-+[]0,m （ ） A ． B ．C ．D ．(],2-∞[]0,2[]1,2[)1,+∞【答案】C【分析】根据二次函数的单调性，结合函数的最值进行求解即可. 【详解】，()()222312f x x x x =-+=-+当时，当时，函数单调递减，所以有 01m <≤[]0,x m ∈；()()()()2max min 03,2321f x f f x f m m m m ====-+=⇒=当时，，对称轴为，1m >()()()023,12f f f ===1x =因为函数在闭区间上有最大值为3，最小值为2，()223x x x f =-+[]0,m 所以有，12m <≤综上所述：实数m 的范围是， []1,2故选：C6．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，求此曲线围成的图形的面积为（ ）22:22C x y x y +=+A ． B ． C ． D ．88π+84π+168π+816π+【答案】B【分析】分类讨论将曲线中的绝对值去掉可得四段关系式，从而作出曲线的图象，根据图像即可C 计算出其面积.【详解】由可得，22:22C x y x y +=+当时，，即，表示圆心为，半径0,0x y ≥≥2222x y x y +=+22(1)(1)2x y -+-=(1,1)r =圆；当时，，即，表示圆心为，半径0,0x y ≥<2222x y x y +=-22(1)(1)2x y -++=(1,1)-r =圆；当时，，即，表示圆心为，半径0,0x y <≥2222x y x y +=-+22(1)(1)2x y ++-=(1,1)-r =圆；当时，，即，表示圆心为，半径0,0x y <<2222x y x y +=--22(1)(1)2x y +++=(1,1)--r =圆；所以曲线的图象如下图所示：22:22C x y x y +=+因此曲线围成的图形的面积为；(222π84πS =+⨯=+故选：B7．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，()2223x y ++≤若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区()4,0A -10x y +-=域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】计算出点在直线的对称点的坐标，计算出点到圆的圆心A 10x y +-=B B ()2223x y ++=的距离，利用圆的几何性质可求得“将军饮马”的最短总路程. 【详解】设点关于直线的对称点为，A 10x y +-=(),B m n线段的中点在直线，即，即，① AB 4,22m n -⎛⎫⎪⎝⎭10x y +-=41022m n -+-=60m n +-=直线的斜率为，则，② 10x y +-=1-14AB nk m ==+联立①②可得，，即点，1m =5n =()1,5B圆的圆心为，半径为，()2223x y ++=()0,2C -r =设将军在河边的饮水处为点，则，设线段交圆于点， M AM BM =BC C P则AM MP BM MP BC r +=+≥-==因此，“将军饮马”的最短总路程为. BC r -=故选：A.8．在一个半圆中有两个互切的内切半圆，由三个半圆弧围成“曲线三角形”，作两个内切半圆的公切线把“曲线三角形”分隔成两块，且被分隔的这两块中的内切圆是同样大小的，如图，若，则阴影部分与最大半圆的面积比为（ ）2AC CB =A ．B ．C ．D ．108120814989【答案】B【分析】设，则，，建立直角坐标系，根据已知条件求出各点坐标，由圆2BC r =4AC r =6AB r =O 与圆内切，解得，由圆O 与圆内切，解得，分别求出阴影部分与最大半圆的3O 23a r =4O 23b r =面积，即可求出答案.【详解】设，则，，以C 为坐标原点，2BC r =4AC r =6AB r =建立如图所示的坐标系，则C （0，0），，，． ()12,0O r -(),0O r -()2,0O r 设，，则()3,O a t -()4,O b v ()()22222r a r a t +--=（圆，外切与勾股定理结合），得． 1O 3O t =(3,O a -由圆O 与圆，解得． 3O 3r a =-23a r =同理（圆，外切与勾股定理结合）， ()()222r b r bv +--=2O 4O 得O 与圆，v =4O 3r b =-解得．设阴影部分的面积为，最大半圆的面积为， 23b r =1S 2S ， ()()222221111210ππ3π2π2π22239r rS r r r ⎛⎫=⋅-⋅--⋅=⎪⎝⎭所以．2210π209981π2r S S r ==12故选：B.二、多选题9．下列结论中正确的有（ ）A ．直线倾斜角的范围是π0,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．若两条相交直线所成的角为，其方向向量的夹角为，则或 αθαθ=παθ=-C ．若两条直线相互垂直，则其斜率之积为 1-D ．每条直线有且只有一个倾斜角与之相对应 【答案】BD【分析】根据直线的倾斜角、直线的夹角、方向向量的夹角、直线垂直等知识确定正确答案. 【详解】直线倾斜角的取值范围是，A 选项错误.[)0,πB 选项，根据直线的夹角和方向向量的夹角的知识可知，或，B 选项正确. αθ=παθ=-C 选项，两条直线相互垂直，可能一条斜率为，另一条斜率不存在，所以C 选项错误. 0D 选项，每条直线有且只有一个倾斜角与之相对应，这个结论是正确的，D 选项正确. 故选：BD10．已知圆上至多有一点到直线的距离为2，则实数可能的22260x y x y a +--+=3450x y ++=a 取值为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．10【答案】BC【解析】确定圆心不过已知直线，且求得圆心到已知直线的距离为，根据圆4d =上至多有一点到直线的距离为2，得到圆的半径22260x y x y a +--+=3450x y ++=，由此求出的范围后可判断各选项． 2r ≤a 【详解】圆标准方程是， 22(1)(3)10x y a -+-=-圆心为，半径为）， (1,3)C r =10a <圆心到已知直线的距离为，4d 圆上至多有一点到直线的距离为2， 22260x y x y a +--+=3450x y ++=则有圆的半径 2r =≤解得．只有B 、C 满足． 610a ≤<故选：BC ．【点睛】方法点睛：本题考查考查直线与圆的关系，解题方法如下： （1）先求得圆心到直线的距离；（2）根据题意，确定出圆的半径的取值范围； （3）解不等式求得结果.11．已知是定义在R 上的奇函数，其图象关于点对称，当时，()f x ()2,0[]0,2x ∈，若方程的所有根的和为6，则实数k 可能的取值是（ ）()f x =()()20f x k x --=A B ．C D ． 【答案】AB【分析】根据函数的奇偶性和对称性推出周期，求出在一个的解析式，将方程()f x ()f x [2,0)-的所有根的和为6转化为函数的图象与直线有且仅有个交()()20f x k x --=()y f x =(2)y k x =-3点，作出函数的图象，利用直线与圆的位置关系列式，求出的范围，从而可得答案. k 【详解】因为为奇函数，所以，()f x ()()f x f x -=-因为的图象关于点对称，所以，即， ()f x (2,0)(4)()0f x f x -+=()(4)f x f x =--又，(4)[(4)]f x f x -=---(4)f x =--所以，所以的周期为，()[(4)](4)f x f x f x =---=-()f x 4当时，由，得，其图象是圆心为，半径[0,2]x ∈()y f x ==22(1)1x y -+=(0)y ≤(1,0)为的半圆，1当时， [2,0)x ∈-()()[y f x f x ==--=-=所以，其图象是圆心为，半径为的半圆， 22(1)1(0)x y y ++=≥(1,0)-1因为方程的所有根的和为6，()()20f x k x --=所以函数与直线的交点的横坐标之和为， ()y f x =(2)y k x =-6因为点是它们的一个交点，所以其它交点的横坐标之和为，(2,0)4而函数的图象与直线都关于点对称，它们的关于点对称的两个交点的()y f x =(2)y k x =-(2,0)(2,0)横坐标之和为，所以函数的图象与直线有且仅有个交点， 4()y f x =(2)y k x =-3作出两个函数的图象，如图：当时，只需直线与圆，解得 0k >(2)y k x =-22(7)1x y -+=1>k >当时，只需直线与圆，解得 0k <(2)y k x =-22(5)1x y -+=1=k =所以的取值范围是. k ⎧⎪⎨⎪⎩⎫⋃+∞⎪⎪⎭故选：AB12．如图，经过坐标原点且互相垂直的两条直线和与圆相交于O AC BD 2242200x y x y +-+-=四点，为弦的中点，则下列说法正确的是（ ）,,,A C B D M ABA ．线段长度的最大值为 BO 10B ．弦长度的最小值为 AC C ．点的轨迹是一个圆；MD ．四边形面积的取值范围为. ABCD 45⎡⎤⎣⎦【答案】BCD【分析】根据方程写出已知圆的圆心和半径，由长度表示圆上点到原点的距离即可判断A ；由BO 圆的性质判断B ；若分别是的中点，圆心到直线和的距离,,,M H G F ,,,AB BC CD AD ()2,1-AC BD且，易证为矩形且其中心对角线长度恒定，即可确定的轨迹判12,d d ⎡∈⎣22125d d +=MHGF M 断C ；根据得到四边形面积关于的表达式，结合二次函数性质求范12ABCD S AC BD =ABCD 12,d d 围判断D.【详解】由题设圆的方程为， 22(2)(1)25x y -++=设圆心为，则，半径，E ()2,1E -=5r由三角形两边之和大于第三边可知，且 EB EO BO +≥5,EB EO ==所以当长度最大时圆心与共线且在它们中间，此时错误；BO ,B O 5A BO r =+=由圆的性质知当即圆心与直线距离最大时长度的最小， OE AC ⊥AC AC此时圆心与直线，故正确； AC 2B AC ==若分别是的中点，则且,,,M H G F ,,,AB BC CD AD MF HG BD ∥∥且，,2BD MF HG MH FG AC ==∥∥2AC MH FG ==又，易知：为矩形，而，AC BD ⊥MHGF 22222||||||4BD AC FH MF MH +=+=若圆心到直线的距离且， ()2,1-,AC BD 12,d d ⎡∈⎣22125d d +=所以，则，故222212||||2255044BD AC d d +++=⨯=22||454BD AC +=FH =所以在以交点为圆心的圆上，C 正确；M FH =,HF MG由上分析：，而， AC =12ABCD S AC BD =所以，ABCD S ==令，则，[]222150,5t d d ==-∈ABCDS ==当，即； 52t =12d d ==()max 45ABCD S =当或5，即时，0=t 120,d d =120d d ==()min ABCD S =所以，D 正确； 45ABCD S ⎡⎤∈⎣⎦故选：BCD【点睛】难点在于CD 选项，选项C ：证明分别是的中点所形成的四边,,,M H G F ,,,AB BC CD AD 形为矩形且对角线长度及中心恒定，判断轨迹形状；选项D ：利用得到四边形面AC BD ⊥ABCD 积关于的表达式，结合二次函数性质求范围.12,d d三、填空题13．已知向量，满足：，，，则__________.a b1a = 4b = a b -=r r += a b【分析】将两边平方求出，再根据可求a b -=r r 52a b ⋅= ||a b +==出结果.【详解】由，得，得，a b -=r r ()212a b-=22||2||12a a b b -⋅+=得，得，121612a b -⋅+=52a b ⋅=||a b +== ==14．已知函数，则________．2,0()(2),0x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩()2log 3f =【答案】34【解析】根据分段函数，和，利用 转化为2,0()(2),0x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩2log 30>()()2f x f x =-求解.()()2223log 3log 32log 4f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭【详解】因为，，2,0()(2),0x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩2log 30>所以，()()2223log 3log 32log 4f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭又，所以． 223log log 104<=()23log 42233log 3log 244f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭故答案为：. 34【点睛】本题主要考查分段函数的求值，还考查了转化问题求解的能力，属于基础题. 15．若是圆上任意一点，则的取值范围是______.(),P x y 22:1O x y +=3483412x y x y -++-+（用区间表示） 【答案】[]10,30【分析】将所给表达式化为，求出圆心到直线的距离，确12348341255()55x y x y d d ⎛-+-+⎫+=+⎪⎝⎭定圆上的点到两条直线距离的范围，进而求出.12105()30d d ≤+≤【详解】令3483412x y x y ω=-++-+， ()1234834125555x y x y d d ⎛⎫-+-+=+=+ ⎪⎝⎭其中、分别表示圆：上任意一点到1d 2d O 221x y +=(),P x y 直线：和：距离；1l 3480x y -+=2l 34120x y -+=因为圆心到直线：和：距离O 1l 3480x y -+=2l 34120x y -+=分别为、， 185h ==2125h ==所以且， 1881155d -≤≤+212121155d -≤≤+即且， 131355d ≤≤271755d ≤≤所以，12105()30d d ≤+≤即的取值范围是.3483412x y x y -++-+[]10,30故答案为：.[]10,3016．如图，在平面直角坐标系中，过外一点P 引它的两条切线，切点分别为M ，N ，若xOy T e，则称P 为的环绕点.若的半径为1，圆心为，以60180MPN ≤∠<T e T e ()0,t ()0m m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎭>⎝为半径的所有圆构成图形H ，若在图形H 上存在的环绕点，则t 的取值范围为T e __________.【答案】24t -<≤【分析】根据环绕点的定义求出环绕点构成的图形，再求出图形H .按照、、分类讨0t >0=t 0t <论，结合图象，根据直线与圆的位置关系列式可求出结果.【详解】连，因为，所以， ,,TM TN TP 60180MPN ≤∠< 1ππ,262TPM TPN MPN ⎡⎫∠=∠=∠∈⎪⎢⎣⎭所以，又，所以， ||π1sin sin ||62TM TPM TP ∠=≥=||1TM =1||2TP <≤所以圆的环绕点构成的图形是圆心为，半径分别为和的圆所围成的扇环（包括大圆上的T T 12点，不包括小圆上的点.以为半径的圆与轴相切，设切点为， ()0E m m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝>⎭x A因为圆心在射线上，所以以()0E m m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝>⎭(0)y x =>()0E m m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝>⎭为半径的圆与直线相切，设切点为，y =B所以以为半径的所有圆构成图形为的内部（包括射线()0E m m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝>⎭AOB ∠，不包括原点），,OA OB O 如图：当时，由图可知，若在图形H 上存在的环绕点，只需圆心到直线的距离小于等0t >T e T y =于半径，解得； 22≤04t <≤当时，由图可知，在图形H 上恒存在的环绕点；0=t T e 当时，由图可知，若在图形H 上存在的环绕点，只需圆心到轴的距离小于半径，即0t <T e T x 2，则.2t -<2t >-综上所述：的取值范围为.t 24t -<≤故答案为：.24t -<≤【点睛】关键点点睛：根据环绕点的定义求出环绕点构成的图形，推出动圆形成的图形是本题解H题的关键.四、解答题17．已知两直线，.1:60l x my ++=()2:2320l m x y m -++=(1)若，不重合，且垂直于同一条直线，求m 的值.1l 2l (2)从①直线l 过坐标原点，②直线l 在y 轴上的截距为2，③直线l 与坐标轴形成的三角形的面积为1这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并作答.若，直线l 与垂直，且1m =2l __________，求直线l 的方程.【答案】(1)1-(2)答案见解析【分析】（1）先推出，再根据两直线平行的条件列式可求出结果；12l l //（2）先根据两直线垂直求出直线的斜率，若选①，根据点斜式可得结果；若选②，根据斜截式l 可得结果；若选③，设直线的斜截式，得到直线在轴上的截距，然后根据面积列式可求出结l ,x y 果.【详解】（1）若，不重合，且垂直于同一条直线，则，1l 2l 12//l l 则由，得，得或m =-1，12210A B A B -=()320m m --=3m =当m =3时，两直线重合，不合题意，当m =-1时，符合题意，所以.1m =-（2）若，直线的斜率为， 1m =2l 13由直线l 与垂直，可得直线l 的斜率为.2l 3-若选①，直线l 过坐标原点，故直线l 方程为，即；3y x =-30x y +=若选②，直线l 在y 轴上的截距为2，则直线l 的方程为，即；32y x =-+320x y +-=若选③，设直线l 方程为，则直线l 在x ，y 轴上截距分别为，b ， 3y x b =-+13b 由直线l 与坐标轴形成的三角形的面积为1，可得，解得， 211123b ⨯=b =即直线l 方程为，即.3y x =-30x y +=18．已知函数的部分图象如图所示. ()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭(1)求函数的解析式；()f x (2)试判断函数在区间上的单调性. ()f x 2π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【答案】(1) ()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)在上递增，在上递减 ()f x π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由图形可直接得出A ，利用公式即可得出，再把代入2||T πω=ω(,2)3π即可求得；()()2sin 2f x x ϕ=+ϕ（2）令，结合，即可求解. πππ2π22π262k x k -+≤-≤+2π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【详解】（1）由题意可知，，2A =，得，解得. 39π412T =πT =2ω=，即，，， π2π2sin 233f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ππ2π32k ϕ+=+k ∈Z π2ϕ<所以，故. π6ϕ=-()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）令，解得，； πππ2π22π262k x k -+≤-≤+ππππ63k x k -+≤≤+k ∈Z 结合，得出在上递增，在上递减. 2π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦19．如图，一艘海警船在O 处发现了位于北偏东，距离为6海里的海面上A 处有两艘走私船，60︒于是派遣巡逻艇追缉走私船，已知巡逻艇航速是走私船航速的2倍，且它们都是沿直线航行，但走私船可能向任意方向逃窜.(1)求走私船所有可能被截获的点P 在什么曲线上；(2)开始追缉时发现两艘走私船向相反方向逃窜，速度为20海里/小时，其中一艘的航向为东偏南，于是同时派遣了两艘巡逻艇分别追缉两艘走私船，两艘走私船被截获的地点分别为M ，N ，30︒求M ，N 之间的距离.【答案】(1)点P 在圆心为，的圆上；()44r =(2)【分析】（1）根据巡逻艇航速是走私船航速的2倍，结合两点间距离公式进行求解即可；（2）根据点到直线距离公式，结合勾股定理进行求解即可.【详解】（1）∵巡逻艇航速是走私船航速的2倍， ∴，2OP AP =设，(),P x y ()A=化简得：，(()22416x y -+-=即点P 在圆心为，的圆上；()44r=（2）令直线的斜率为k ，，且直线过点， AM k =AM ()A 可求得直线的方程为，AM 3y x -=-，60y +-=P 在圆心，的圆上， ()44r =圆心到直线的距离为 AM d =∴，∴.MN ==MN =20．如图，已知长方形中，为的中点.将沿折ABCD AB =AD =M DC ADM △AM 起，使得平面平面.ADM ⊥ABCM （1）求证：；AD BM ⊥（2）若点是线段上的一动点，问点在何位置时，二面角E DB E E AM D --【答案】（1）（见解析2）见解析 【详解】试题分析：（1）先利用平面几何知识得到线线垂直，再利用面面垂直的性质得到线面垂直，进而得到线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用向量共线得到有关点的坐标，再利用空间向量进行求解.试题解析：（1）证明：长方形中，，为的中点， ABCD AB =AD =M DC ，.2AM BM ∴==BM AM ∴⊥平面平面，平面平面，平面 ADM ⊥ABCM ADM ⋂ABCM AM =BM ⊂ABCM 平面BM ∴⊥ADM 平面ADMAD ⊂ .AD BM ∴⊥（2）建立如图所示的直角坐标系设，则平面的一个法向量，DE DB λ= AMD ()0,1,0n = ,， ME MD DB λ=+=()1,2,1λλλ--()2,0,0AM =-设平面的一个法向量,则AME (),,m x y z = ()20{210x y z λλ=+-=取，得，，所以， 1y =0x =1y =21z λλ=-20,1,1m λλ⎛⎫= ⎪-⎝⎭因为， ．得或 cos ,m n 〈〉= m n m n ⋅= 13λ=1λ=-经检验得满足题意，所以为的三等分点. 13λ=E BD 21．已知圆.22:68160C x y x y +--+=(1)直线l 在x 轴和y 轴上的截距相等且与圆C 相切，求l 的方程；(2)已知圆心在原点的圆O 与圆C 外切，过点作直线，与圆O 交于异于点P 的点A ，()2,0P PA PB B ，若，则直线是否恒过定点？若过定点，则求出该定点，若不过，说明理由；2PA PB k k ⋅=-AB （其中，分别为直线，的斜率）.PA k PB k PA PB【答案】(1)或或7240x y -=70x y +--=70x y +-+=(2)过定点， 2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）①若直线l 过原点，设直线l 的方程为，根据圆心到直线的距离等于半径列式y kx =求出；若直线l 不过原点，设出直线方程的截距式，根据圆心到直线的距离等于半径列式可求出k 直线方程；（2）根据两圆外切求出圆的方程，设直线，代入圆的方程，求出的坐标，将O ():2PA y k x =-A 的坐标中的换成得的坐标，求出直线的斜率，得直线的方程，根据方程可得直线A k 2k-B AB AB 所过定点.【详解】（1）圆化为标准形式为，22:68160C x y x y +--+=()()22349x y -+-=∴圆C 的圆心为，半径为3，()3,4因为直线l 在x 轴和y 轴上的截距相等，①若直线l 过原点，则设直线l 的方程为，即，y kx =0kx y -=因为直线l 与圆C 相切，所以，即，解得， 3d r =247k =724k =故直线l 的方程为.7240x y -=②若直线l 不过原点，切线l 在x 轴和y 轴上的截距相等，则假设直线l 的方程为，即， 1x y a a+=0x y a +-=因为直线l 与圆C 相切，∴，3d r =∴7a -=7a =+7a =-∴直线l 的方程为或，70x y +--=70x y +-+=综上所述直线l 的方程为或或.7240x y -=70x y +--=70x y +-+=（2）∵圆心在原点的圆O 与圆C 外切，设圆的半径为，O r 则，故圆O 的半径，圆O 的方程为，53OC r ==+2r =224x y +=设点,，(,)A A A x y (,)B B B x y 设直线，():2PA y k x =-联立直线和圆方程得，消去得， 22(2)4y k x x y =-⎧⎨+=⎩y ()222214440k x k x k +-+-=由韦达定理有，解得，则， 2241A P k x x k +=+22221A k x k -=+241A k y k -=+∵， ，∴， 2PA PB k k ⋅=-PA k k =2PB k k=-将中的k 换成化简可得， 22221A k x k -=+2k -22284B k x k -+=+将中的k 换成化简可得， 241A k y k -=+2k -284B k y k =+所以， 2222224814222814A B AB A B k k y y k k k k k x x k k ---++==--+--++232k k =-直线，化简得， 22224322:121k k k AB y x k k k ⎛⎫--⎛⎫-=- ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭23223k y x k ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭所以直线过定点. AB 2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭22．已知，，为的三个顶点，圆Q 为的内切圆，点P 在圆()2,2A --()2,6B -()4,2C -ABC A ABC A Q 上运动.(1)求圆Q 的标准方程；(2)求以，，为直径的圆的面积之和的最大值、最小值；PA PB PC (3)若，，求的最大值. ()1,0M -3,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭sin MPN ∠【答案】(1)224x y +=(2)最大值为，最小值为22π18π(3)1011【分析】（1）先判断出为直角三角形，利用面积关系求出内切圆的半径，结合图形求出圆心ABC A 坐标，然后可得圆Q 的标准方程；（2）设，利用两点间的距离公式和圆的面积公式将圆的面积之和表示为的函数，根据(),P x y y 可求出结果； 22y -≤≤（3）根据对称性，只研究P 点在x 轴上方，即的情况，此时先求出的最大值，然0y ≥tan MPN ∠后根据同角公式可出的最大值.sin MPN ∠【详解】（1）因为，，，所以为直角三角形，如图： 8AB =6AC =10BC =ABC A设的内切圆的半径为，ABC A r 由得， 1||||2ABC S AB AC =⋅!1(||||||)2r AB AC BC =++||||||||||AB AC r AB AC BC ⋅=++8628610⨯==++由图可知，圆心为，所以圆.()0,0Q 22:4Q x y +=（2）设，，(),P x y 224x y +=，()()2222222448PA x y x y x y =+++=++++4412x y =++，()()222222641240PB x y x y x y =++-=++-+41244x y =-+， ()()22222428420PC x y x y x y =-++=+-++8424x y =-++222||||||πππ222PA PB PC S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()222π4PA PB PC =++()π44124124484244x y x y x y =+++-+-++， ()π4804y =-+因为，所以，22y -≤≤18π22πS ≤≤所以以，，为直径的圆的面积之和的最大值、最小值分别为，. PA PB PC 22π18π（3）设，则，(),P x y 224x y +=根据对称性，只研究P 点在x 轴上方，即的情况，0y≥当垂直x 轴时，，PN (P-tanMPN ∠===当垂直x 轴时，，PM (P -tan MPN ∠==当和都不垂直轴时，，， PN PM x 32PN yk x =-1PM y k x =+()tan tan πMPN PNM PMN ∠=-∠-∠()tan PNM PMN =-∠+∠ tan tan 1tan tan PNM PMN PNM PMN∠+∠=--∠⋅∠ 1PN PM PN PMk k k k -+=-+⋅ 31211312PN PM PN PM y y x x k k y y k k x x -+--==++⨯+-22521322y x y x =+--5213422y x =--， ()5555y y x x ==---因为为点与的斜率， 5y x -(,)P x y ()5,0E 如图：由图可知，当直线与圆相切时，取得最小值， PE Q 5y x -设直线：，即， PE (5)y k x =-(0)k <50kx y k --=(0)k <，结合，得2=0k<k ==所以， min 5y x⎛⎫= ⎪-⎝⎭()max tan MPN ∠，>>()max tan MPN∠=由于，所以当取最大值时，取最大值，取最大值， 090MPN ≤∠< tan MPN ∠MPN ∠sin MPN ∠所以. ()max 10sin 11MPN ∠====。
2014-2015学年重庆市南开中学高二(上)数学期中试卷带解析答案(文科)
2014-2015学年重庆市南开中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是（）A．∃x∈R，cosx≤0 B．∀x∈R，cosx≤0 C．∃x∈R，cosx＞0 D．∀x ∈R，cosx＜02．（5分）直线x+y=5和圆O：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交不过圆心D．相交过圆心3．（5分）已知双曲线方程为，则此双曲线的右焦点坐标为（）A．（1，0） B．（5，0） C．（7，0） D．（，0）4．（5分）已知椭圆的方程为2x2+3y2=6，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）从点P（3，3）向在圆C：（x+2）2+（y+2）2=1引切线，则切线长为（）A．5 B．6 C．4 D．76．（5分）双曲线kx2﹣y2=1的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，则此双曲线的离心率是（）A．B．C．D．7．（5分）若函数f（x）在R上可导，且f（x）=x2+2f′（2）x+m，（m∈R），则（）A．f（0）＜f（5）B．f（0）=f（5）C．f（0）＞f（5）D．无法确定8．（5分）已知椭圆（0＜b＜2）与y轴交于A、B两点，点F为该椭圆的一个焦点，则△ABF面积的最大值为（）A．1 B．2 C．4 D．89．（5分）过点C（4，0）的直线与双曲线﹣=1的右支交于A、B两点，则直线AB的斜率k的取值范围是（）A．|k|≥1 B．|k|＞C．|k|≤D．|k|＜110．（5分）在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一个交点为D，若，则直线CD的斜率为（）A．.B．.C．D．.二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是．12．（5分）设曲线f（x）=在点（1，﹣2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=．13．（5分）已知双曲线方程是x2﹣=1，过定点P（2，1）作直线交双曲线于P1、P2两点，并使P（2，1）为P1P2的中点，则此直线方程是．14．（5分）从圆x2+y2=1上任意一点P向y轴作垂线段PP′，交y轴于P′，则线段PP′的中点M的轨迹方程是．15．（5分）如果实数x，y满足等式（x﹣2）2+y2=1，那么的取值范围是．三、解答题（共75分）16．（12分）已知集合A是不等式x2﹣8x﹣20＜0的解集，集合B是不等式：（x ﹣1﹣a）（x﹣1+a）≥0（a＞0）的解集．p：x∈A，q：x∈B．（1）若a=2时，求A∩B；（2）若p是￢q的充分不必要条件，求a的范围．17．（12分）已知函数y=x2﹣4x+3与x轴交于M、N两点，与y轴交于点P，圆心为C的圆恰好经过M、N、P三点．（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线x﹣y+n=0交于A、B两点，且线段|AB|=4，求n的值．18．（12分）设函数f（x）=﹣9x﹣1（a＞0），直线l是曲线y=f（x）的一条切线，当l斜率最小时，直线l与直线10x+y=6平行．（1）求a的值；（2）求f（x）在x=3处的切线方程．19．（12分）已知椭圆E：（a＞）的离心率e=．（1）求椭圆E的方程；（2）斜率k=1的直线交椭圆于A、B，交y轴于T（0，t），当弦|AB|=，求t 的值．20．（13分）已知函数f（x）=（a＞0）．（1）若a=1，求f（x）在x∈（0，+∞）时的最大值；（2）若直线y=﹣x+2a是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值．21．（14分）已知抛物线y2=4x内一定点E（m，0），（m＞0），过点E作斜率分别为k1，k2的两条直线，交抛物线于A、B和C、D，且M，N分别是线段AB、CD的中点．（1）若m=1，k1=时，求弦|AB|的长度；（2）若k1+k2=1，判断直线MN是否过定点？并说明理由．2014-2015学年重庆市南开中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是（）A．∃x∈R，cosx≤0 B．∀x∈R，cosx≤0 C．∃x∈R，cosx＞0 D．∀x ∈R，cosx＜0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是：∃x∈R，cosx≤0．故选：A．2．（5分）直线x+y=5和圆O：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交不过圆心D．相交过圆心【解答】解：将圆O的方程化为标准方程得：x2+（y﹣2）2=4，可得：圆心O（0，2），半径r=2，∵圆心O到直线x+y=5的距离d==＞2=r，∴直线与圆O的位置关系是相离．故选：A．3．（5分）已知双曲线方程为，则此双曲线的右焦点坐标为（）A．（1，0） B．（5，0） C．（7，0） D．（，0）【解答】解：因为双曲线方程为，所以a2=4，b2=3．且焦点在x轴上∴=．故双曲线的右焦点坐标为：（，0）．故选：D．4．（5分）已知椭圆的方程为2x2+3y2=6，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵椭圆的方程化为，∴a2=3，b2=2，∴c2=a2﹣b2=3﹣2=1，∴此椭圆的离心率为e===．故选：B．5．（5分）从点P（3，3）向在圆C：（x+2）2+（y+2）2=1引切线，则切线长为（）A．5 B．6 C．4 D．7【解答】解：由题意可得圆心C（﹣2，﹣2），圆的半径r=1，∴|PC|==5，∴切线长为=7故选：D．6．（5分）双曲线kx2﹣y2=1的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，则此双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：设双曲线kx2﹣y2=1为，它的一条渐近线方程为直线2x+y+1=0的斜率为﹣2∵直线与直线2x+y+1=0垂直∴即a=2∴故选：A．7．（5分）若函数f（x）在R上可导，且f（x）=x2+2f′（2）x+m，（m∈R），则（）A．f（0）＜f（5）B．f（0）=f（5）C．f（0）＞f（5）D．无法确定【解答】解：∵f（x）=x2+2f′（2）x+m，∴f′（x）=2x+2f′（2），∴f′（2）=2×2+2f′（2），∴f′（2）=﹣4．∴f（x）=x2﹣8x+m，其对称轴方程为：x=4，∴f（0）=m，f（5）=25﹣40+m=﹣15+m，∴f（0）＞f（5）．故选：C．8．（5分）已知椭圆（0＜b＜2）与y轴交于A、B两点，点F为该椭圆的一个焦点，则△ABF面积的最大值为（）A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：∵已知椭圆（0＜b＜2）∴a=2，c=则△ABF面积S=AB×OF=2b×c=b当且仅当b=取等号．则△ABF面积的最大值为2故选：B．9．（5分）过点C（4，0）的直线与双曲线﹣=1的右支交于A、B两点，则直线AB的斜率k的取值范围是（）A．|k|≥1 B．|k|＞C．|k|≤D．|k|＜1【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），直线AB的方程为y=k（x﹣4），由消去y，得（3﹣k2）x2+8k2x﹣16k2﹣12=0．∴x1+x2=﹣，x1x2=．∵直线AB与双曲线的右支有两个不同的交点，∴，化简此不等式组可得k2＞3，即|k|＞．故选：B．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一个交点为D，若，则直线CD的斜率为（）A．.B．.C．D．.【解答】解：Rt△OF1B中，|OF1|=c，|OB|=b∴|BF1|==a，得cos∠F1BO=∵∴2•（）2﹣1=，解之得=设D（m，n），得，∴k BD•k CD=∵D（m，n）在椭圆上，∴，得n2=b2（1﹣）由此可得k BD•k CD==﹣=﹣又∵=﹣=﹣=﹣=﹣∴k CD==，即直线CD的斜率等于故选：B．二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是4．【解答】解：由y2=2px=8x，知p=4，而焦点到准线的距离就是p．故答案为：4．12．（5分）设曲线f（x）=在点（1，﹣2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=﹣1．【解答】解：f（x）=，可得f′（x）=x2﹣2，当x=1时，f′（1）=1﹣2=﹣1，∵曲线在点P（1，﹣2）处的切线与直线ax+y+1=0互相垂直，∴﹣1•（﹣a）=﹣1∴a=﹣1．故答案为：﹣113．（5分）已知双曲线方程是x2﹣=1，过定点P（2，1）作直线交双曲线于P1、P2两点，并使P（2，1）为P1P2的中点，则此直线方程是4x﹣y﹣7=0．【解答】解：设y=kx﹣2k+1．代入x2﹣=1，消y并化简，得（2﹣k2）x2+2k （2k﹣1）x﹣4k2+4k﹣3=0．设直线与双曲线的交点P1（x1，y1），P2（x2，y2）．当2﹣k2≠0即k2≠2时，有x1+x2=又点P（2，1）是弦P1P2的中点，∴=4，解得k=4．当k=4时△=4k2（2k﹣1）2﹣4（2﹣k2）（﹣4k2+4k﹣3）=56×5＞0，当k2=2即k=±时，与渐近线的斜率相等，即k=±的直线l与双曲线不可能有两个交点，综上所述，所求直线方程为y=4x﹣7．故答案为：4x﹣y﹣7=0．14．（5分）从圆x2+y2=1上任意一点P向y轴作垂线段PP′，交y轴于P′，则线段PP′的中点M的轨迹方程是4x2+y2=1．【解答】解：由题意可得已知圆的方程为x2+y2=1．设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），∵M是线段PP′的中点，∴由中点坐标公式得2x=x0，y=y0，∵P（x0，y0）在圆x2+y2=1上，∴（2x）2+y2=1①即4x2+y2=1．∴点M的轨迹是一个椭圆．故答案为：4x2+y2=1．15．（5分）如果实数x，y满足等式（x﹣2）2+y2=1，那么的取值范围是[，+∞）．【解答】解：设k=，则y=kx﹣（k+3）表示经过点P（1，﹣3）的直线，k 为直线的斜率，∴求的取值范围就等价于求同时经过点P（1，﹣3）和圆上的点的直线中斜率的最大最小值，从图中可知，当过P的直线与圆相切时斜率取最大最小值，此时对应的直线斜率分别为k PB和k PA，其中k PB不存在，由圆心C（2，0）到直线y=kx﹣（k+3）的距离=r=1，解得：k=，则的取值范围是[，+∞）．故答案为：[，+∞）三、解答题（共75分）16．（12分）已知集合A是不等式x2﹣8x﹣20＜0的解集，集合B是不等式：（x ﹣1﹣a）（x﹣1+a）≥0（a＞0）的解集．p：x∈A，q：x∈B．（1）若a=2时，求A∩B；（2）若p是￢q的充分不必要条件，求a的范围．【解答】解：（1）由已知条件得：A=（﹣2，10），B=（﹣∞，1﹣a]∪[1+a，+∞）；当a=2时，B=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）则：A∩B=（﹣2，﹣1]∪[3，10）；（2）由题意：p：﹣2＜x＜10，￢q：1﹣a＜x＜1+a；因为p是￢q的充分不必要条件，则，解得：a≥9；∴a的范围为[9，+∞）．17．（12分）已知函数y=x2﹣4x+3与x轴交于M、N两点，与y轴交于点P，圆心为C的圆恰好经过M、N、P三点．（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线x﹣y+n=0交于A、B两点，且线段|AB|=4，求n的值．【解答】解：（1）由题意与坐标轴交点为M（3，0），N（1，0），P（0，3），设圆的方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2代入点，得，解得a=2，b=2，r=，∴圆的方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=5．（2）由题意|AB|=4：设圆心到直线距离为d，则，即：，解得：．18．（12分）设函数f（x）=﹣9x﹣1（a＞0），直线l是曲线y=f（x）的一条切线，当l斜率最小时，直线l与直线10x+y=6平行．（1）求a的值；（2）求f（x）在x=3处的切线方程．【解答】解：（1）函数f（x）=﹣9x﹣1，可得f′（x）=x2+2ax﹣9=（x+a）2﹣9﹣a2∴斜率的最小值为﹣9﹣a2，直线l与直线10x+y=6平行．∴﹣9﹣a2=﹣10．得：a=1．（2）则，f′（x）=x2+2x﹣9则f（3）=﹣10，f′（3）=6，切点坐标为：（3，﹣10），切线为：y+10=6（x﹣3）．即：y=6x﹣28．19．（12分）已知椭圆E：（a＞）的离心率e=．（1）求椭圆E的方程；（2）斜率k=1的直线交椭圆于A、B，交y轴于T（0，t），当弦|AB|=，求t 的值．【解答】解：（1）由e==得：a=2 则椭圆方程为；（2）设直线为y=x+t，代入椭圆方程得：，化简得：7x2+8tx+4t2﹣12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴，∴|AB|=，解得t2=1，则t=±120．（13分）已知函数f（x）=（a＞0）．（1）若a=1，求f（x）在x∈（0，+∞）时的最大值；（2）若直线y=﹣x+2a是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值．【解答】解：（1）当a=1时，≤，当x=1时取“=”；（2）设切点（x0，y0），则，则，得∴…①又由切线，则f（x0）=﹣x0+2a则：…②由将①代入②得若则：得，解得a=2若则：得，解得a=即a=2或a=21．（14分）已知抛物线y2=4x内一定点E（m，0），（m＞0），过点E作斜率分别为k1，k2的两条直线，交抛物线于A、B和C、D，且M，N分别是线段AB、CD的中点．（1）若m=1，k1=时，求弦|AB|的长度；（2）若k1+k2=1，判断直线MN是否过定点？并说明理由．【解答】解：（1）当m=1，则E（1，0）为抛物线焦点，即AB为抛物线的一条焦点弦，+x2+p=x1+x2+2设AB：，则|AB|=x联立：得：3x2﹣10x+3=0∴则|AB|=x1+x2+2=（2）设AB：y=k1（x﹣m）联立：得：，则M为（）同理：N为（）若k1+k2=1，则M为（）N为（），k MN=直线MN为：化为：y=k1k2（x﹣m）+2，显然直线恒过点（m，2）。
【精品】2014-2015年重庆市沙坪坝区南开中学高二上学期期中物理试卷带答案
2014-2015学年重庆市沙坪坝区南开中学高二（上）期中物理试卷一、选择题（每题5分，共60分）1．（5分）关于电场和磁场，下列说法中正确的是（）A．电荷在某处不受电场力的作用，则该处电场强度不一定为零B．一小段通电导线在某处不受磁场力作用，在该处磁感应强度一定为零C．电场强度的大小等于把一个检验电荷放在该点时受到的电场力与检验电荷本身电荷量的比值D．磁感应强度的大小等于把一小段通电导线放在该点时受到的磁场力与该小段导线长度和电流乘积的比值2．（5分）高二的一位同学在我校实验室做实验，他先让一绝缘滑块带上正电，并让它以一定的初速度开始在水平绝缘板上自南向北滑动，忽略磁偏角，关于这个滑块运动过程在受到的来自于磁场的洛伦兹力，下面说法正确的是（）A．方向水平向西B．方向为向西偏下C．由于受到洛伦兹力，滑块对绝缘平板的压力变小D．滑块不受洛伦兹力3．（5分）在如图所示的电路中，电源电压不变，闭合电键S后，灯L1、L2都发光，一段时间后，其中的一盏灯突然变亮，而电压表V1的示数变大，电压表V2的示数变小，则产生这一现象的原因是（）A．灯L1断路B．灯L2断路C．灯L1短路D．灯L2短路4．（5分）目前世界上正在研究的一种新型发电机，如图所示表示它的发电原理，将一束等离子体（即高温下电离的气体，含有大量带正电和带负电的离子．而从整体上来说呈电中性）喷入磁场．由于等离子体在磁场力的作用下运动方向发生偏转，磁场中的两块金属板A和B上就会聚集电荷，从而在两板间产生电压，离子重力忽略不计，在图示磁极配置的情况下，下列表述正确的是（）A．金属板A的电势较高B．通过电阻R的电流方向是b→R→aC．等离子体在A、B的运动时，磁场力对等离子体做正功D．等离子体在A、B间运动时，磁场能转化为电能5．（5分）如图所示，两根平行放置的长直导线a和b载有大小相同、方向相反的电流，a受到的磁场力大小为F1，当加入一与导线所在平面垂直的匀强磁场后，a受到的磁场力大小变为F 2，则此时b受到的磁场力大小变为（）A．F2B．F1•F2C．F1+F2D．2F1+F26．（5分）如图所示，长为L的通电直导体棒放在光滑水平绝缘轨道上，劲度系数为k的水平轻弹簧一端固定，另一端拴在棒的中点，且与棒垂直，整个装置处于方向竖直向上，磁感应强度为B的匀强磁场中，弹簧伸长为x，棒处于静止状态，则（）①导体棒中的电流方向从b流向a②导体棒中的电流大小为③若只将磁场方向在竖直面内缓慢顺时针转过一小角度，x变大④若只将磁场方向在竖直面内缓慢逆时针转过一小角度，x变大．A．②B．②③C．②④D．①③7．（5分）如图为用直流电动机提升重物的装置，重物的质量为100N，电源电动势为22V，不计电源内阻及各处摩擦，当电动机以0.9m/s的恒定速度向上提升重物时，电路中的电流为5.0A，可以判断（）①电动机消耗的总功率为30W②电动机的输出功率为90W③电动机线圈的电阻为0.8Ω④电动机线圈的电阻为4.4ΩA．①④B．②④C．②③D．②④8．（5分）如图所示，a、b两端电压恒定，电阻R1=6kΩ，用内阻也是6kΩ的电压表测电阻R1两端电压为12V，测R2两端电压为3V，则不接电压表时，a、b 间总电压为（）A．21V B．18V C．15V D．14V9．（5分）如图，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界线，现有质量为m、电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入，要使粒子不能从边界NN′射出，粒子入射速率v的最大可能是（）A． B． C． D．10．（5分）有四个电源，电动势均为8V，内阻分别为1Ω、2Ω、4Ω、8Ω，现要对R=2Ω的电阻供电，则选择内阻为多大的电源才能使A上获得的功率最大（）A．1ΩB．2ΩC．4ΩD．8Ω11．（5分）在如图所示的电路中，电源的电动势E恒定，内阻r=1Ω，定值电阻R3=5Ω，电表均为理想的，开关S1闭合，当开关S2断开与闭合时，ab段电路消耗的电功率相同．则下列说法正确的（）A．电阻R1、R2可能分别为3Ω、6ΩB．电阻R1、R2可能分别为4Ω、6ΩC．开关S断开时电压表示数可能小于S闭合时的示数D．开关S断开到闭合，电压表的示数变化量大小与电流表的示数变化量大小之比一定等于6Ω12．（5分）如图所示，两根长直导线竖直插入光滑绝缘水平桌面上的M、N两小孔中，O为M、N连线中点，连线上a、b两点关于O点对称。
重庆一中2014-2015学年高二上学期期中考试 数学理试题
俯视图侧视图正视图重庆一中2014-2015学年高二上学期期中考试数学理试题2014.11.数学试题共4页。
满分150 分。
考试时间120 分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线0122:=+-yxl的倾斜角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°2.下列四条直线中, 哪一条是双曲线1422=-yx的渐近线?( )A.xy21-= B.xy41-=C.xy2= D.xy4=3.如图1,一个几何体的三视图是由两个矩形和一个圆所组成,则该几何体的表面积是( )A.π7B.π8C.π10 D.12+π(图1)4.设x、y、z是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③x、y是平面，z是直线；④x、y、z均为平面。
其中能使“yxzyzx//⇒⊥⊥且”为真命题的是( )A.③④B.①③C.②③D.①②5.直线l不经过坐标原点O, 且与椭圆1222=+yx交于A、B两点，M是线段AB的中点．那么,直线AB与直线OM的斜率之积为( )A.1-B.1C.21- D.26.已知命题:p直线2+=xy与双曲线122=-yx有且仅有一个交点；命题:q若直线l垂直于直线m,且,//α平面m则α⊥l. 下列命题中为真命题的是( )A.()()p q⌝∨⌝ B.()p q⌝∨ C.()()p q⌝∧⌝D.p q∧7.下列有关命题的说法错误．．的是( )侧视图B CA.对于命题p ：x R ∃∈，使得210x x ++<. 则⌝p ：x R ∀∈， 均有210x x ++≥.B.“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件.C.命题“若12=x , 则1=x ”的否命题为：“若12≠x ,则1≠x ”.D.命题“若5≠+y x ，则32≠≠y x 或”是假命题.8.(原创)如下图2, 在平行四边形ABCD 中, AD=2AB=2, ∠BAC=90°. 将△ACD沿AC 折起, 使得BD=5. 在三棱锥D-ABC 的四个面中,下列关于垂直关系的叙述错误．．的是( ) A.面ABD ⊥面BCD B.面ABD ⊥面ACD C.面ABC ⊥面ACD D.面ABC ⊥面BCD (图2)(图3)9.(原创)如上图3, 四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是边长为1的正方形, 面PA B ⊥面ABCD. 在面PAB 内的有一个动点M, 记M 到面PAD 的距离为d . 若1||22=-d MC , 则动点M 在面PAB 内的轨迹是( ) A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分10.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12e =,右焦点为F （c, 0），方程20ax bx c +-=的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1, x 2)的位置( )A.必在圆222x y +=内B.必在圆222x y +=上C.必在圆222x y +=外D.以上三种情形都有可能二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案写在答题卡相应位置上.11.过点P(3,1)向圆012222=+--+y x y x 作一条切线, 切点为A, 则切线段PA 的长为 .12.椭圆1002x +362y =1上一点P 到它的右准线的距离是10,那么P 点到左焦点的距离是 .13.一个几何体的三视图如图4, 则这个几何体的体积为 .A1B 1C 1E FGA B14.半径为5的球内包含有一个圆台, 圆台的上、下两个底面都是 球的截面圆, 半径分别为3和4. 则该圆台体积的最大值为 .15.(原创)设A 为椭圆12222=+by a x (0>>b a )上一点, 点A 关于原点的对称点为B, F 为椭圆的右焦点, 且AF ⊥BF. 若∠ABF ∈[12π,4π], (图4)则该椭圆离心率的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16.(本小题13分)已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>实轴长为2。
重庆市巴蜀中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学(文)试题Word版含答案
的单调区间。
17、已知数列 an 为等差数列，前 n 项和为 Sn ，且满足 a2 5 ， S5 3a3 14 。 （ 1）求数列 an 的通项公式 an ； （ 2）数列 bn 为等比数列，且 b1 a1 ， b2 a4 ，求 bn 前 n 项和为 Tn 。
8、若有直线 m 、 n 和平面 、 ，下列四个命题中，正确的是（
）
A、若 m // , n // ，则 m // n
B、若 m , n , m // , n // ，则 //
C、若
, m ，则 m
D、若
, m , m ，则 m //
9 、已知定义在 R 上的函数满足 f (1) 5 ，且 f ( x) 的导函数 f (x) 2x 3 ，则不等式
足 MF x 轴，且 S AFM 8 ，则抛物线 C 的方程为（
）
A、 y 2 2x
B、 y2 4x
C、 y 2 8x
D、 y 2 16x
7、已知函数 f (x) 2x3 6x2 m（ m 为常数） 在 2,2 上有最大值 1，那么此函数在 2,2
上的最小值是（
A、 39
）
B、 31
C、 7
D、以上都不对
2、已知集合 A 1,2 , B 1 ,则“ x A ”是“ x B ”的（ ）
A、充分不必要条件 C、充要条件
B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件
3、已知函数 f ( x) ln x ax 在点 1, f (1) 处的切线平行于 x 轴，则 a （
）
A、 1
B、 2
2014-2015年重庆市石柱中学高二上学期期中数学试卷及答案（文科）
第1页（共18页）页）2014-2015学年重庆市石柱中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分 1．（5分）抛物线y 2=4x 的焦点坐标为（的焦点坐标为（ ） A ．（0，1） B ．（1，0） C ．（0，2） D ．（2，0）2．（5分）两圆x 2+y 2=9和x 2+y 2﹣8x +6y +9=0的位置关系是（的位置关系是（ ） A ．相离．相离 B ．相交．相交 C ．内切．内切 D ．外切3．（5分）已知圆锥的母线长l=5cm ，高h=4cm ，则该圆锥的体积是（ ）cm 3．A ．12πB ．8πC ．13πD ．16π4．（5分）方程2x 2﹣5x +2=0的两个根可分别作为（的两个根可分别作为（ ） A ．一椭圆和一双曲线的离心率．一椭圆和一双曲线的离心率B ．两抛物线的离心率C ．一椭圆和一抛物线的离心率．一椭圆和一抛物线的离心率D ．两椭圆的离心率 5．（5分）圆：x 2+y 2﹣2x ﹣2y +1=0上的点到直线x ﹣y=2的距离最大值是（的距离最大值是（） A ．2 B ． C ． D ．6．（5分）设有直线m 、n 和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（，下列四个命题中，正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β C ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥β D ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α7．（5分）一个几何体的及长度数据如图，则该几何体的表面积与体积分别为（ ）A ．B ．C ．D ．8．（5分）如果AC ＜0，且BC ＜0，那么直线Ax +By +C=0不通过（不通过（ ） A ．第一象限．第一象限 B ．第二象限．第二象限 C ．第三象限．第三象限 D ．第四象限9．（5分）设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=2y ﹣3x 的最大值为（值为（ ） A ．﹣3 B ．2C ．4D ．510．（5分）有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示．如果记3的对面的数字为m ，4的对面的数字为n ，那么m +n 的值为（的值为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5二、填空题：（共25分，每题5分）11．（5分）已知两条直线l 1：3x +2ay ﹣1=0，l 2：ax ﹣y +2=0，若l 1⊥l 2，则a= ． 12．（5分）若经过点P （﹣1，0）的直线与圆x 2+y 2+4x ﹣2y +3=0相切，则此直线在y 轴上的截距是轴上的截距是． 13．（5分）双曲线mx 2+y 2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m= ． 14．（5分）若点P （2，﹣1）为圆（x ﹣1）2+y 2=25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是的方程是． 15．（5分）设关于x 、y 的不等式组表示的平面区域内存在点P （x 0，y 0），满足x 0﹣2y 0=2，求得m 的取值范围是的取值范围是 ．三．解答题（共75分，16--18题每题13分；19-21题每题12分）16．（13分）求过点M （5，2），N （3，2）且圆心在直线y=2x ﹣3上的圆的方程． 17．（13分）如图的三个图中，是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图以及它的正视图和侧视图（单位：cm ）．（1）按照给出的尺寸，求该多面体的表面积；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积．18．（13分）已知两圆x2+y2﹣10x﹣10y=0，x2+y2+6x﹣2y﹣40=0，求（1）它们的公共弦所在直线的方程；（2）公共弦长．19．（12分）一束光线从点F1（﹣1，0）出发，经直线l：x+2y+6=0上一点M反射后，恰好穿过点F2（1，0）．（1）求点F1关于直线l的对称点Fʹ1的坐标；（2）求以F1、F2为焦点且过点M的椭圆C的方程．20．（12分）如图：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90°．E为的中点，D点在AB上且DE=（Ⅰ）求证：CD⊥平面A1ABB1；（Ⅱ）求三棱锥A1﹣CDE中A1到平面CDE的距离．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，经过点且斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．2014-2015学年重庆市石柱中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分1．（5分）抛物线y2=4x的焦点坐标为（的焦点坐标为（ ）A．（0，1） B．（1，0） C．（0，2） D．（2，0）【解答】解：抛物线y2=4x的焦点在x轴上，且p=2∴=1∴抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）故选：B．2．（5分）两圆x2+y2=9和x2+y2﹣8x+6y+9=0的位置关系是（的位置关系是（）A．相离．相离 B．相交．相交 C．内切．内切 D．外切【解答】解：把x2+y2﹣8x+6y+9=0化为（x﹣4）2+（y+3）2=16，又x2+y2=9， 所以两圆心的坐标分别为：（4，﹣3）和（0，0），两半径分别为R=4和r=3， 则两圆心之间的距离d==5，因为4﹣3＜5＜4+3即R﹣r＜d＜R+r，所以两圆的位置关系是相交．故选：B．3．（5分）已知圆锥的母线长l=5cm，高h=4cm，则该圆锥的体积是（ ）cm 3．A．12π B．8π C．13π D．16π【解答】解：∵圆锥的高是4cm，母线长是5cm，∴圆锥的底面半径为3cm，∴圆锥的体积V=×π×32×4=12πcm3．故选：A．4．（5分）方程2x2﹣5x+2=0的两个根可分别作为（的两个根可分别作为（）A．一椭圆和一双曲线的离心率．一椭圆和一双曲线的离心率 B．两抛物线的离心率C．一椭圆和一抛物线的离心率．一椭圆和一抛物线的离心率 D．两椭圆的离心率【解答】解：解方程2x2﹣5x+2=0可得，其两根为2与，而椭圆的离心率为大于0小于1的常数，双曲线的离心率大于1，抛物线的离心率等于1，分析选项可得，A符合；故选：A．5．（5分）圆：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0上的点到直线x﹣y=2的距离最大值是（）的距离最大值是（ A．2 B． C． D．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0可化为标准形式：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1， ∴圆心为（1，1），半径为1圆心（1，1）到直线x﹣y=2的距离，则所求距离最大为，故选：B．6．（5分）设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（，下列四个命题中，正确的是（ ） A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β C．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β D．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α【解答】解：A不对，由面面平行的判定定理知，m与n可能相交，也可能是异面直线；B不对，由面面平行的判定定理知少相交条件；C不对，由面面垂直的性质定理知，m必须垂直交线；故选：D．7．（5分）一个几何体的及长度数据如图，则该几何体的表面积与体积分别为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：由已知的三视图我们易得， 该几何体是以侧视图为底面的一个棱柱由于其底面为梯形，由已知易得梯形的下底长为2 则S 底面积==则该几何体的表面积S=2×+（1+1+2+）×1=7+该几何体的体积V= 故选：C ．8．（5分）如果AC ＜0，且BC ＜0，那么直线Ax +By +C=0不通过（不通过（ ） A ．第一象限．第一象限 B ．第二象限．第二象限 C ．第三象限．第三象限 D ．第四象限【解答】解：∵直线Ax +By +C=0可化为，又AC ＜0，BC ＜0 ∴AB ＞0，∴，∴直线过一、二、四象限，不过第三象限． 故选：C ．9．（5分）设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=2y ﹣3x 的最大值为（值为（ ） A ．﹣3 B ．2C ．4D ．5【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=2y﹣3x可得表示直线z=2y﹣3x在直线上的截距，截距越大，z越大结合图形可知，当z=2x﹣3y经过点A时，z最大由可得A（0，2），此时z=4故选：C．10．（5分）有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示．如果记3的对面的数字为m，4的对面的数）的值为（字为n，那么m+n的值为（A．8 B．7 C．6 D．5【解答】解：经观察分析知，题图（1）、（2）中顶点A、B是同一条斜对交线的两个端点，结合题图（3）得3的对面为6，4的对面为2，∴m+n=8．故选：A．二、填空题：（共25分，每题5分）11．（5分）已知两条直线l1：3x+2ay﹣1=0，l2：ax﹣y+2=0，若l1⊥l2，则a= 0 ． 【解答】解：当a=0时，l1：3x﹣1=0，l2：﹣y+2=0，l1⊥l2．当a≠0时，，k2=a，若l1⊥l2．则，上式显然不成立．∴若l 1⊥l 2，则a=0．12．（5分）若经过点P （﹣1，0）的直线与圆x 2+y 2+4x ﹣2y +3=0相切，则此直线在y 轴上的截距是轴上的截距是 1 ．【解答】解：把P 代入到圆方程中，左右两边相等，所以P 在圆上，由圆心坐标为C （﹣2，1），得到，所以此直线的斜率为1，方程为y=x +1，令x=0得到y 轴上的截距是1． 故答案为：113．（5分）双曲线mx 2+y 2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m= ．【解答】解：双曲线mx 2+y 2=1的标准方程为的标准方程为 y 2﹣=1，虚轴的长是，虚轴的长是2，实轴长轴长 2．由题意知，2=4，∴m=﹣，故答案为﹣．14．（5分）若点P （2，﹣1）为圆（x ﹣1）2+y 2=25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是的方程是 x ﹣y ﹣3=0 ．【解答】解：圆（x ﹣1）2+y 2=25的圆心C （1，0），点P （2，﹣1）为）为 弦AB 的中点，PC 的斜率为的斜率为=﹣1，∴直线AB 的斜率为1，点斜式写出直线AB 的方程的方程 y +1=1×（x ﹣2），即，即 x ﹣y ﹣3=0，故答案为：x ﹣y ﹣3=0．15．（5分）设关于x 、y 的不等式组表示的平面区域内存在点P （x 0，y 0），满足x 0﹣2y 0=2，求得m 的取值范围是的取值范围是 （﹣∞，﹣） ． 【解答】解：由题意作出其平面区域，则由图可知，点（﹣m，m）在直线x=2y+2的下方，故﹣m﹣2m＞2，解得，m＜﹣；故答案为：（﹣∞，﹣）．三．解答题（共75分，16--18题每题13分；19-21题每题12分） 16．（13分）求过点M（5，2），N（3，2）且圆心在直线y=2x﹣3上的圆的方程．【解答】解：设圆心为（x，y），而圆心在线段MN的垂直平分线x=4上又圆心在直线y=2x﹣3上，所以联立得，解得圆心为（4，5），∴（x﹣4）2+（y﹣5）2=1017．（13分）如图的三个图中，是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图以及它的正视图和侧视图（单位：cm）．（1）按照给出的尺寸，求该多面体的表面积；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积．【解答】解：（1）多面体看成一个长方体截去一个小三棱锥，所求多面体的表面积S=S长方体﹣S正三棱锥侧+S△EFG= =122+2（cm2）．（2）所求多面体体积V=V长方体﹣V正三棱锥==（cm3）．18．（13分）已知两圆x2+y2﹣10x﹣10y=0，x2+y2+6x﹣2y﹣40=0，求（1）它们的公共弦所在直线的方程；（2）公共弦长．【解答】解：（1）x2+y2﹣10x﹣10y=0，①；x2+y2+6x﹣2y﹣40=0②；②﹣①得：2x+y﹣5=0为公共弦所在直线的方程；（2）弦心距为：=，弦长的一半为，公共弦长为：19．（12分）一束光线从点F1（﹣1，0）出发，经直线l：x+2y+6=0上一点M反射后，恰好穿过点F2（1，0）．（1）求点F1关于直线l的对称点Fʹ1的坐标；（2）求以F1、F2为焦点且过点M的椭圆C的方程．【解答】解：（1）设F'1（x 0，y 0），则，且，解得x 0=﹣3，y 0=﹣4，故点F'1的坐标为（﹣3，﹣4）． （2）由对称性知，）由对称性知，||MF 1|=|MF'1|，根据椭圆定义， 可得2a=|MF'1|+|MF 2|=|F'1F 2|=，即．又由题意可得c=1，∴，∴椭圆C 的方程为．20．（12分）如图：直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC=BC=AA 1=2，∠ACB=90°．E 为的中点，D 点在AB 上且DE=（Ⅰ）求证：CD ⊥平面A 1ABB 1；（Ⅱ）求三棱锥A 1﹣CDE 中A 1到平面CDE 的距离．【解答】解：（1）在Rt △DBE 中，BE=1，DE=，∴BD===AB ，∴D 为AB 中点，而AC=BC ， ∴CD ⊥AB又∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1为直三棱柱， ∴CD ⊥AA 1又AA 1∩AB=A 且 AA 1、AB ⊂平面A 1ABB 1 ∴CD ⊥平面A 1ABB 1（2）解：∵A 1ABB 1为矩形，∴△A 1AD ，△DBE ，△EB 1A 1都是直角三角形， ∴=﹣﹣S△DEB ﹣=2×2﹣××2﹣××1﹣×2×1=∴V A1=V C﹣A1DE=×S A1DE×CD=××=1﹣CDE∴三棱锥A1﹣CDE的体积为1．S △CDE=|CD||DE|=××=故距离为21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，经过点且斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为，代入椭圆方程得．整理得①直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q，等价于①的判别式△=，解得或．即k的取值范围为．（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，由方程①，． ②又． ③而．所以与共线等价于，将②③代入上式，解得．由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数k．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；xyB CAO2.如图，如图，在直线在直线l 上依次摆放着七个正方形上依次摆放着七个正方形（如图所示）（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls4s 3s 2s13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．的长．EABCD4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为点坐标为 (1，0)。
【精品】2014年重庆市南开中学高二上学期期中数学试卷带解析答案
2013-2014学年重庆市南开中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）双曲线的焦距为（ ）A ．4B ．8C ．D ．2．（5分）若抛物线y 2=2px 的焦点为（2，0），则p 的值为（ ） A ．﹣2 B ．2C ．4D ．﹣43．（5分）已知圆：（x ﹣1）2+y 2=2，则过点（2，1）作该圆的切线方程为（ ） A ．x ﹣y ﹣1=0 B ．2x +y ﹣5=0 C ．x=2 D ．x +y ﹣3=04．（5分）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（5分）已知双曲线x 2﹣y 2=2，过定点P （2，0）作直线l 与双曲线有且只有一个交点，则这样的直线l 的条数为（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 6．（5分）如果椭圆上一点P 到左准线的距离为，则点P 到右焦点的距离为（ ） A ．10 B ．6 C ．12 D ．147．（5分）方程表示椭圆，则双曲线的焦点坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．8．（5分）已知抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，P ，Q 为抛物线上两点，若△PQF 为边长为2的正三角形，则p 的值是（ ）A．B．C．D．9．（5分）过双曲线的右焦点F2向其一条渐近线作垂线l，垂足为P，l与另一条渐近线交于Q点，若，则双曲线的离心率为（）A．2 B．3 C．4 D．610．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，过AB的中点M作准线的垂线与抛物线交于点P，若，则弦长|AB|等于（）A．2 B．4 C．6 D．8二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．（5分）已知椭圆方程为，则椭圆的右准线方程为．12．（5分）已知圆，圆，则圆C1与圆C2相交的弦长为．13．（5分）已知点M（3，2），F为抛物线y2=2x的焦点，点P在该抛物线上移动，则|PM|+|PF|的最小值是．14．（5分）已知椭圆的中心为坐标原点，斜率为1且过椭圆右焦点F（2，0）的直线交椭圆于A，B两点，与共线，则该椭圆的长半轴长为．15．（5分）已知椭圆，圆x2+y2=4．直线y=2x与椭圆交于点A，过A 作椭圆的切线交圆于M，N两点（M在N的左侧），则|MF1|•|NF2|=．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（13分）已知圆与圆外切（2）若a＞0，求经过点P（﹣1，4）且与圆C1相切的直线l的方程．17．（13分）已知双曲线，双曲线C2与双曲线C1有相同的渐近线且经过点（1）求双曲线C2的标准方程；（2）若直线y=x﹣1与双曲线C2的两渐近线相交于A，B，求的值．18．（13分）已知抛物线C的顶点是椭圆的中心，焦点F与该椭圆的右焦点F重合，抛物线C与椭圆的交点为P，延长PF交抛物线C交于Q，（1）求抛物线C的方程；（2）求|PQ|的值．19．（12分）已知点P为椭圆上一动点，椭圆C左，右顶点分别为A，B，左焦点为F，若|PF|最大值与最小值分别为4和2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知直线l过点A且倾斜角为30°，点M为椭圆C长轴上一动点，且点M的最到直线l的距离等于|MB|，若连接PM并延长与椭圆C交于点Q，求S△APQ大值．20．（12分）已知直线y=﹣4上有一动点Q，过点Q作垂直于x轴的直线l1，动点P在直线l1上，若点P满足OP⊥OQ（O为坐标原点），记点P的轨迹为C （1）求曲线C的方程（2）过点A（﹣4，0）作直线l2与曲线C交于M，N两点，若与y轴交于点R，且，求直线l2的方程．21．（12分）在平面直角坐标系中，定义以原点为圆心，以为半径的圆O为椭圆的“准圆”．已知椭圆的离心率为，直线l：2x﹣y+5=0与椭圆C的“准圆”相切．（2）P为椭圆C的右准线上一点，过点P作椭圆C的“准圆”的切线段PQ，点F 为椭圆C的右焦点，求证：|PQ|=|PF|（3）过点的直线与椭圆C交于A，B两点，为Q椭圆C的左顶点，是否存在直线l使得△QAB为直角三角形？2013-2014学年重庆市南开中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）双曲线的焦距为（）A．4 B．8 C．D．【解答】解：由双曲线，可得=4，故其焦距2c=8．故选：B．2．（5分）若抛物线y2=2px的焦点为（2，0），则p的值为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4【解答】解：∵由已知可知抛物线焦点为（2，0），又可知抛物线y2=2px的焦点坐标为（，0），∴=2，解得p=4故选：C．3．（5分）已知圆：（x﹣1）2+y2=2，则过点（2，1）作该圆的切线方程为（）A．x﹣y﹣1=0 B．2x+y﹣5=0 C．x=2 D．x+y﹣3=0【解答】解：由题意可得：（2﹣1）2+12=2，故可得点（2，1）在圆（x﹣1）2+y2=2上，由斜率公式可得点（2，1）与圆心（1，0）连线的斜率k==1，故切线的斜率为﹣1，可得方程为y﹣1=﹣（x﹣2），化为一般式可得：x+y﹣3=0故选：D．4．（5分）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，则2a+2c=2×2b，即a+c=2b⇒（a+c）2=4b2=4（a2﹣c2），所以3a2﹣5c2=2ac，同除a2，整理得5e2+2e﹣3=0，∴或e=﹣1（舍去），故选：B．5．（5分）已知双曲线x2﹣y2=2，过定点P（2，0）作直线l与双曲线有且只有一个交点，则这样的直线l的条数为（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【解答】解：如图所示．由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2），联立，化为（1﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣2=0，①当1﹣k2=0时，解得k=±1，得到直线l：y=±（x﹣2），分别与渐近线y=±x 平行，因此与双曲线只有一个交点，满足题意；②当1﹣k2≠0时，由△=16k4﹣4（1﹣k2）（﹣4k2﹣2）=0，解得．得到直线l：，此时直线l分别与双曲线的左支相切，而与右支由一个交点，故此时有两个交点，不满足条件．综上可知：过定点P（2，0）作直线l与双曲线有且只有一个交点的这样的直线l只有2条．故选：B．6．（5分）如果椭圆上一点P到左准线的距离为，则点P到右焦点的距离为（）A．10 B．6 C．12 D．14【解答】解：根据椭圆的第二定义可知P到焦点的距离与到准线的距离之比为离心率，依题意可知a=10，b=6，∴c==8，∴离心率e==，设P到左、右焦点的距离分别为d和d′，则有=，解得d=6，再由椭圆的第一定义可得d+d′=2a=20，解得d′=14故选：D．7．（5分）方程表示椭圆，则双曲线的焦点坐标为（）A．B．C．D．【解答】解：∵方程表示椭圆，∴，解之得3＜k＜5且k≠4，因此，双曲线化成，可得c===，∴双曲线的焦点坐标为（，0）．故选：B．8．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，P，Q为抛物线上两点，若△PQF为边长为2的正三角形，则p的值是（）A．B．C．D．【解答】解：y2=2px的焦点F（，0），（p＞0）∵正三角形PQF的一个顶点位于抛物线的焦点F，另外两个顶点在抛物线上，∴正三角形PQF关于x轴对称，∴P（x0，1），由P（x0，1）在抛物线上可得1=2px0，∴x0=，∴焦点F到直线AB的距离|﹣|=，解得p=故选：A．9．（5分）过双曲线的右焦点F2向其一条渐近线作垂线l，垂足为P，l与另一条渐近线交于Q点，若，则双曲线的离心率为（）A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：如图所示，∵PF2⊥OP，∴PF2的斜率为．∴直线PF2的直线方程为．联立解得．∴P．联立，解得．∴Q．∴=，=．∵，∴c2=4a2．∴=2．故选：A．10．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，过AB的中点M作准线的垂线与抛物线交于点P，若，则弦长|AB|等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：∵抛物线方程为y2=4x，∴2p=4，p=2，可得抛物线的焦点为F（1，0），准线为l：x=﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=k（x﹣1），由消去y，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，∴x1+x2=，x1x2=1，∵过AB的中点M作准线的垂线与抛物线交于点P，∴设P的坐标为（x0，y0），可得y0=（y1+y2），∵y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），∴y1+y2=k（x1+x2）﹣2k=k•﹣2k=，得到y0==，所以x0==，可得P（，）．∵，∴=，解之得k2=2，因此x1+x2==4，根据抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p=4+2=6．故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．（5分）已知椭圆方程为，则椭圆的右准线方程为x=6．【解答】解：由题意可得a2=6，b2=5，∴c==1，∴右准线的方程为：x==6，故答案为：x=612．（5分）已知圆，圆，则圆C1与圆C2相交的弦长为．【解答】解：圆，即（x﹣1）2+y2=2，表示以C1（1，0）为圆心，半径等于的圆．圆，即（x﹣2）2+y2=4，表示以C2（2，0）为圆心半径等于2的圆．把两个圆的方程相减，可得公共线所在的直线方程为x=，再把x=代入圆，求得y=±，故圆C1与圆C2相交的弦长为，故答案为．13．（5分）已知点M（3，2），F为抛物线y2=2x的焦点，点P在该抛物线上移动，则|PM|+|PF|的最小值是．【解答】解：设点M在准线上的射影为D，由抛物线的定义可知|PF|=|PD|∴要求|PM|+|PF|的最小值，即求|PM|+|PD|的最小值，只有当D，P，M三点共线时|PM|+|PD|最小，且最小值为3﹣（﹣）=（准线方程为x=﹣）故答案为：14．（5分）已知椭圆的中心为坐标原点，斜率为1且过椭圆右焦点F（2，0）的直线交椭圆于A，B两点，与共线，则该椭圆的长半轴长为．【解答】解：设椭圆方程为（a＞b＞0）∵直线AB的斜率为1且过椭圆右焦点F（2，0），∴直线AB的方程为y=x﹣2，代入椭圆方程消去y，化简得（a2+b2）x2﹣4a2x+4a2﹣a2b2=0．令A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1•x2=．∵=（x 1+x2，y1+y2），与共线，∴3（y1+y2）+（x1+x2）=0，结合y1=x1﹣2且y2=x2﹣2，化简得3（x1+x2﹣4）+（x1+x2）=0，解之得x1+x2=3．即=3，解之得a2=3b2．又∵a2﹣b2=c2=4，∴a2﹣a2=4，解之得a=，即该椭圆的长半轴长为．故答案为：15．（5分）已知椭圆，圆x2+y2=4．直线y=2x与椭圆交于点A，过A 作椭圆的切线交圆于M，N两点（M在N的左侧），则|MF1|•|NF2|=3．【解答】解：由，解得x2=，y2=．直线y=2x与椭圆交于点A，设A为第一象限的交点，如图所示则A（，），设椭圆经过A点的切线为：y﹣=k（x﹣），与椭圆联解，消去y得（3+4k2）x2﹣8（k2+2k）x+（k+2）2﹣12=0．由△=64×（k2+2k）2﹣4（3+4k2）[（k+2）2﹣12]=0，解得k=﹣．∴切线方程为y﹣=﹣（x﹣），即y=﹣x+由消去y，得x2﹣x﹣=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），可得x1+x2=，x1x2=﹣．∴结合x1＜x2，得x2﹣x1==．∵F1（﹣1，0），F2（1，0），∴（|MF1|•|NF2|）2=[（x1+1）2+y12]•[（x2﹣1）2+y22]=[（x12+y12）+2x1+1][（x22+y22）﹣2x1+1]=（5+2x1）（5﹣2x2）=25﹣10（x2﹣x1）﹣4x1x2=25﹣10×+4×=9．因此|MF1|•|NF2|=3．故答案为：3三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（13分）已知圆与圆外切（1）求实数a的值；（2）若a＞0，求经过点P（﹣1，4）且与圆C1相切的直线l的方程．【解答】解：（1）圆，可化为x2+（y﹣a）2=1，圆心为（0，a），半径为1；圆的圆心为（3，﹣2），半径为4∵两圆外切，∴∴a=2或a=﹣6；（2）由题意，a=2，圆C 1的方程为x2+（y﹣2）2=1，圆心为（0，2），半径为1，则斜率不存在时，x=﹣1，满足题意；斜率存在时，设方程为y﹣4=k（x+1），即kx﹣y+k+4=0∴圆心到直线的距离为d==1，∴k=﹣∴直线方程为3x+4y﹣13=0综上，所求直线方程为：x=﹣1或3x+4y﹣13=0．17．（13分）已知双曲线，双曲线C2与双曲线C1有相同的渐近线且经过点（1）求双曲线C2的标准方程；（2）若直线y=x﹣1与双曲线C2的两渐近线相交于A，B，求的值．【解答】解：（1）设与有共同渐近线的双曲线方程为，把点代入可得3﹣1=λ，即λ=2，∴双曲线C2的标准方程为，即；（2）可得双曲线C2的两渐近线为：y=±x=±2x联立可解得，同理联立可解得，故可得点A、B分别为（1，2）（，），故=1×=18．（13分）已知抛物线C的顶点是椭圆的中心，焦点F与该椭圆的右焦点F重合，抛物线C与椭圆的交点为P，延长PF交抛物线C交于Q，（1）求抛物线C的方程；（2）求|PQ|的值．【解答】解：（1）由椭圆的方程可得a2=4，b2=3，∴c==1，故椭圆的右焦点为F（1，0），即抛物线C的焦点为（1，0），故可得=1，解得p=2，故2p=4，∴抛物线C的方程为：y2=4x；（2）联立，解得，或，由对称性不妨取P（，），则可得PF的斜率为k=﹣，故直线PF的方程为：y﹣0=﹣（x﹣1），即y=﹣（x﹣1），联立，解得，或，可知Q（，﹣），故|PQ|==19．（12分）已知点P为椭圆上一动点，椭圆C左，右顶点分别为A，B，左焦点为F，若|PF|最大值与最小值分别为4和2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知直线l过点A且倾斜角为30°，点M为椭圆C长轴上一动点，且点M 到直线l的距离等于|MB|，若连接PM并延长与椭圆C交于点Q，求S的最△APQ大值．【解答】解：（1）设c是此椭圆的半焦距，∵|PF|最大值与最小值分别为4和2，∴，解得a=3，c=1，∴b2=a2﹣c2=8．∴椭圆C的标准方程是．（2）如图所示，由（1）可知A（﹣3，0），B（3，0）．又．∴直线l的方程为，化为．设M（m，0），（﹣3≤m≤3），则点M到直线l的距离d==，又|BM|=3﹣m，d=|MB|，∴，解得m=1．∴M（1，0）．设直线PQ的方程为：my=x﹣1，P（x1，y1），Q（x2，y2）．联立，化为（8m2+9）y2+16my﹣64=0，显然△＞0．∴，．∴|PQ|===．点A到直线l的距离d=．∴S===．△APQ令，g（t）=S（m）=．，因此g（t）在[1，+∞）上单调递减，∴S（m）=g（t）≤g（1）==．当且仅当m=0即PQ⊥x轴时取等号．的最大值为．∴当PQ⊥x轴时，S△APQ20．（12分）已知直线y=﹣4上有一动点Q，过点Q作垂直于x轴的直线l1，动点P在直线l1上，若点P满足OP⊥OQ（O为坐标原点），记点P的轨迹为C （1）求曲线C的方程（2）过点A（﹣4，0）作直线l2与曲线C交于M，N两点，若与y轴交于点R，且，求直线l2的方程．【解答】解：（1）设点P的坐标为（x，y），则点Q的坐标为（x，﹣4）．∵OP⊥OQ，∴k OP•k OQ=﹣1．当x≠0时，得•=﹣1，化简得x2=4y．当x=0时，P、O、Q三点共线，不符合题意，故x≠0．综上所述，曲线C的方程为x2=4y（x≠0）；（2）设直线l2的方程为y=k（x+4），（k＞0）由消去x，得y2﹣（）y+16=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=4k2+8k，y1y2=16k2．设直线l2的倾斜角为α，则|AM|=，|AN|=，|AR|==∵，∴，化简得=，即=，解之得k=1，因此，直线l2的方程为y=x+4．21．（12分）在平面直角坐标系中，定义以原点为圆心，以为半径的圆O为椭圆的“准圆”．已知椭圆的离心率为，直线l：2x﹣y+5=0与椭圆C的“准圆”相切．（1）求椭圆C的方程；（2）P为椭圆C的右准线上一点，过点P作椭圆C的“准圆”的切线段PQ，点F 为椭圆C的右焦点，求证：|PQ|=|PF|（3）过点的直线与椭圆C交于A，B两点，为Q椭圆C的左顶点，是否存在直线l使得△QAB为直角三角形？【解答】解：（1）∵直线l：2x﹣y+5=0与椭圆C的“准圆”相切，∴==，化为a2+b2=5，联立，解得a2=3，b2=2，c=1．∴椭圆C的方程为；（2）如图所示，∵椭圆C的准线方程为x==3，可设P（3，t）．∵椭圆C的焦点F（1，0），∴|PF|2=（3﹣1）2+（t﹣0）2=4+t2．∵PQ与椭圆C的准圆x2+y2=5相切于点Q，∴|PQ|2=|OP|2﹣r2=32+t2﹣5=4+t2，∴|PQ|2=|PF|2，∴|PQ|=|PF|．（3）假设存在直线l使得△QAB为直角三角形，可能∠AQB=90°，∠QAB=90°，或∠QBA=90°设A（x1，y1），B（x2，y2）．设直线l的方程为：my=x+，联立化为（75+50m2）y2﹣120my﹣78=0．∴y1+y2=，．①由===+=++=0，化为=，无解，此时不存在直线l满足条件．②令=====0，∵＞0，∴此时存在两个A 点满足条件；同理存在两个B 点满足条件．综上可知：存在四条直线l 满足条件．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
高二上册数学期中试卷及答案精选
高二上册数学期中试卷及答案精选学生的时代只有课本、作业、同学和试卷，单纯却美好。
下面小编整理了高二上册数学期中试卷及答案精选，欢迎阅读参考。
高二上册数学期中试卷及答案精选(一)一、单项选择(注释)1、在△ABC中，已知60°，如果△ABC 两组解，则x的取值范围是 ( )A.(1，2)B. (3，+∞)C.( 2，+∞)D.( 1，+∞)2、已知函数，若则实数的取值范围是 ( )A.(1，+∞)B. (1，-∞)C. (+∞，2)D.(-∞，2)3、设函数则不等式的解集是( )A.(1，2) (3，+∞)B.(1，2) (2，+∞)C. (1，2) (3，-∞)D.(1，2) (2，-∞)4、已知正数满足 , ,则的取值范围是______ .5、已知实数满足则的最大值是( )A.4B.5C. 7D.46、设f(x)= 则不等式f(x)>2的解集为( )A.(1，2) (3，+∞)B.( ，+∞)C.(1，2) ( ，+∞)D.(1，2)7、下列不等式(1)m-3>m-5;(2)5-m>3-m;(3)5m>3m ;(4)5+m>5-m其中正确的有( )(A)1个 (B)2个(C)3个 (D)4个8、已知等差数列的前项和为，，，取得最小值时的值为( )A. B. C. D.9、设等差数列的前项和为 ,若 ,则等于( )A.18B.36C.45D.6010、S={1,2,…,2003}，A是S的三元子集，满足：A中的所有元素可以组成等差数列.那么，这样的三元子集A的个数是( )A. B.C. D.11、设等差数列满足： ,则 ( )A.14B.21C.28D.3512、在中，，，分别是，，的对边，已知，，成等比数列，且，则的值为( )A. 4B.2C. 1D.5评卷人得分二、填空题(注释)13、已知 ,若恒成立,则实数的取值范围_________14、已知不等式(x+y) 对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为__________15、在△ 中，若，则△ 的形状是16、在△ABC中，已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC=________.评卷人得分三、解答题(注释)17、设数列满足下列关系：为常数)， ;数列满足关系： .(1)求证：(2)证明数列是等差数列.18、已知集合A={x|x2<4}，B={x|1< }.(1)求集合A∩B;(2)若不等式2x2+ax+b<0的解集为B，求a、b的值.19、已知数列的各项均为正整数,且 ,设集合 .性质1 若对于 ,存在唯一一组 ( )使成立,则称数列为完备数列,当k取最大值时称数列为k阶完备数列.性质2 若记 ,且对于任意 , ,都有成立,则称数列为完整数列,当k取最大值时称数列为k阶完整数列.性质3 若数列同时具有性质1及性质2,则称此数列为完美数列,当取最大值时称为阶完美数列;(Ⅰ)若数列的通项公式为 ,求集合 ,并指出分别为几阶完备数列,几阶完整数列,几阶完美数列;(Ⅱ)若数列的通项公式为 ,求证:数列为阶完备数列,并求出集合中所有元素的和 .(Ⅲ)若数列为阶完美数列,试写出集合 ,并求数列通项公式.20、已知数列为等差数列,公差 ,其中恰为等比数列,若 , , ,⑴求等比数列的公比⑵试求数列的前n项和21、已知是各项均为正数的等比数列,且 ,;(1)求的通项公式;(2)设 ,求数列的前项和 .22、在数列中, .(1)证明数列是等比数列;(2)设是数列的前项和,求使的最小值.参考答案一、单项选择1、【答案】C2、【答案】C【解析】由题知在上是增函数，由题得，解得，故选择C。
重庆市2015届高三上学期期中考试卷数学文科(有答案)
重庆市高三上学期期中考试卷数学文科本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（每题5分，共10个，每题只有一个正确选项） 1．若集合A={1,2,3},B={20}x x -≤，则A B 等于（ ） A ．{1} B.{1,2} C.{1,2,3} D.∅ 2. 不等式102x x +≤-的解集是（ ） A ．(1,2]- B.(,1](2,)-∞-+∞ C.[1,2)- D.[2,1]- 3．命题2:",230"p x R x x ∀∈-+≤的否定是（ ） Ａ．2,230x R x x ∀∈-+≥ Ｂ．2000,230x R x x ∃∈-+>Ｃ．2,230x R x x ∀∈-+< Ｄ．2000,230x R x x ∃∈-+<4．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α//，m α//，则l m // C ．若l α//，m α⊂，则l m // D ．若l α⊥，l m //，则m α⊥ 5．若复数21iz i=-,则z 的实部为( ) A.2- B.1- C.1 D.2 6．向量a ,b 有|a|=1,|b|=3,a 、b 的夹角为600，则a ·(a +b )=（ ） A ．1 B.12 C.2 D.527．已知()f x 是R 上的奇函数，且(2)()f x f x +=-，当(0,2)x ∈，2()2f x x =，则(11)f 等于（ ）A 5- B.4- C.3- D.2-8．一个空间几何体的三视图及部分数据如图，则这个几何体的体积是 ( ) A ．3 B ．52 C ．32D ．29.()f x 在(1,1)-上既是奇函数，又为减函数. 若2(1)(1)0f t f t -+->，则t 的取值范围是( )A ．12t t ><-或B ．1t <<C ．21t -<<D ．1t t <>或 10.数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项的和为（ ）A ．1830 B.1845 C.3660 D.3690第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填在答题卡相应的位置上) 11．若函数1)1(2-=+x x f ，则)2(f ＝_____ _____12.. 用长为36m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为3:1，该长方体的最大体积是________3m ． 13.已知函数)(sin )(ϕω+=x A x f )2,0,0(πϕω<>>A 的一段图像如右图所示．则)(x f 的解析式是 。
重庆一中2014-2015学年高二上学期期中考试数学文Word版含答案
秘密★启用前2014年重庆一中高2016级高二上期半期考试数学试题卷（文科）2014.11本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题（本大题共10个小题；每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.）1. 直线的倾斜角为（）A．B．C．D．2. 如果命题“”为真命题，则（）A．中至少有一个为真命题B．均为假命题C．均为真命题D．中至多有一个为真命题3. 全称命题“”的否定是( )A. B.C. D.4.已知直线，若，则与的位置关系是( )A.异面直线B.相交直线C.平行直线D.相交直线或异面直线5.（原创题）设，则“”是“”的()A.充分而不必要条件B．必要而不充分条件C.充分必要条件D．既不充分也不必要条件6. 已知圆锥的母线长为4，侧面展开图的中心角为，那么它的体积为（）A．B． C. D.7. 以直线和的交点为圆心，且过点的圆的方程为（）A．B．C．D．8. 对于直线和平面，下列命题中正确的是( )A.如果是异面直线，那么;B.如果是异面直线，那么与相交;C. 如果共面，那么D. 如果共面，那么;9. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于、两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，的面积为，则（）A．B．1 C．2 D．310. 过双曲线的右焦点向其一条渐近线作垂线，垂足为，若与另一条渐近线交于点，且，则双曲线的离心率为（ ）A ． B. C. D. 二、填空题.(共5小题,每小题5分,共25分)11. 已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的侧面积是________.12. 已知球的体积为，则球的大圆面积是_______.13．设是圆上的点，则到直线的最短距离是 .14. 一长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为，则这个球的表面积为_________． 15．（原创题）已知双曲线的右焦点为是双曲线右支上任意一点，定点，则的最小值是_________.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答题卷相应的位置上．16.（本题满分13分）如图直三棱柱, ,,分别是棱、、中点. （1）求证：平面； （2）求证：17. （本题满分13分）已知命题：方程表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：，若为假命题，为真命题，求m 的取值范围.18.（本题满分13分） 如图直线：与抛物线C ：相切于点A.(1)求实数的值; (2)求以点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程.FA 1C19.（本题满分12分）（原创题）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过椭圆焦点F 作弦AB.当直线AB 斜率为0时，弦AB 长4. (1)求椭圆的方程; (2)若.求直线AB 的方程.20. （本题满分12分）（原创题）已知四棱锥，四边形ABCD 是长为的正方形，，,. （1）求证：;（2）求三棱锥的体积; （3）求三棱锥的内切球半径.21.（本题满分12分）已知椭圆的两个焦点为，离心率. （1）求椭圆的方程；（2）设直线，若与椭圆交于两点，且等于椭圆的短轴长，求的值；（3）以此椭圆的上顶点为直角顶点作椭圆的内接等腰三角形，这样的三角形是否存在？若存在，有几个；若不存在，说明理由.2014年重庆一中高2016级高二上期半期考试数 学 答 案（文科）2014.11一、选择题。
重庆市示范性高中2014-2015学年高二数学上学期期中试题
重庆市示范性高中2014-2015学年高二数学上学期期中试题总分：150分 时间：120分钟须知事项：1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号、顺序号填写在答题卷规定的位置上。
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卷上作答，在试题卷上作答无效。
一、选择题〔共10小题，每一小题5分，共50分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
〕1.假设直线22(252)(4)50m m x m y m -+--+=的倾斜角为45︒,如此实数m 的值为【 】. A.1 B.2 C.3 D.2或32.如果直线220ax y ++=与直线320x y --=平行，如此系数a =〔 〕 A ．3- B ．6- C ．32- D ．233.圆221:230C x y x ++-=和圆222:430C x y y +-+=的位置关系为( ). A.相离 B.相交 C.外切 D.内含4.过点(3,0)P 直线l 与圆224x y x +=的位置关系是( ).A.相交B.相切C.相离D.相交或相离 5.过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是 ( ) A.x+2y-5=0 B.2x+y-4=0 C.x+3y-7=0D.x-2y+3=06.m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面.如下命题中不正确的答案是〔 〕 A.假设m ∥α，α∩β＝n ，如此m ∥n B.假设m ∥n ，m ⊥α，如此n ⊥α C.假设m ⊥α，m ⊥β，如此α∥β D.假设m ⊥α，m ⊂β，如此α⊥β[7.过点()4,4引圆()()22134x y -+-=的切线，如此切线长是 〔 〕A ．2B D8．如下四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是( )．A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④9．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，E ，F ，G 分别是DD 1，AB ，CC 1的中点，如此异面直线A 1E 与GF 所成角余弦值是( )．A ．515B ．22C ．510D ．0 10．某几何体的三视图如下列图，该几何体的 体积是〔 〕 〔A 〕8 〔B 〕83〔C 〕4 (D)43二、填空题〔共5小题，每一小题5分，共25分〕11．直线0534=+-y x 与直线0568=+-y x 的距离为__________．12.假设圆B : x 2＋y 2＋b ＝0与圆C : x 2＋y 2－6x ＋8y ＋16＝0没有公共点，如此b 的取值范(第9题)EPDCBA围是________________．13.假设点P(-4,-2,3)关于坐标平面xOy 与y 轴的对称点的坐标分别是(a,b,c),(e,f,d),如此c+e=__________．14.圆C:22(3)9x y +-=,过原点作圆C 的弦OP ，如此OP 的中点Q 的轨迹方程为 _． 15.两条不同直线m 、l ，两个不同平面α、β，给出如下命题： ①假设l 垂直于α内的两条相交直线，如此l ⊥α； ②假设l ∥α，如此l 平行于α内的所有直线； ③假设m ⊂α，l ⊂β且l ⊥m ，如此α⊥β； ④假设l ⊂β，α⊥l ，如此α⊥β；⑤假设m ⊂α，l ⊂β且α∥β，如此m ∥l ； 其中正确命题的序号是．〔把你认为正确命题的序号都填上〕三、解答题〔共6小题，共75分，解答过程应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应的位置上。
【初中数学】重庆市沙坪坝区2014-2015学年度(上)期初2015级半期测试六校联考数学试卷 人教版
2014-2015学年度（上）期初2015级半期测试六校联考数学试卷（满分：150分 考试时间：120分钟）一．选择题（共12题，每题4分，共48分）1. 下列实数中是无理数的是（ ）A. -1B. 0C. πD.31 2. 下列计算正确的是（ ）A. 2x-x=xB. a 622=a a ∙ C. (a-b)2=a 2-b 2D. (a+b)(a-b)=a 2+b 23. 在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )4．如图，AB/∥CD ，∠∠C ＝800，∠CAD ＝600，则∠BAD 的度数等于（ ）A ． 50B ．60C ．70D ．4005．如果分式2133x x -+的值为0，则x 的值是( )A ．1B ．0C ．﹣1D ．±16. 餐桌边的一疏一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易。
舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计，中国每年浪费食物总量折合成粮食约500亿千克，这个数据用科学技术法表示为（ ）千克。
A. 8105⨯B. 9105⨯C. 10105⨯D. 11105⨯ 7．不等式组的解集是（ ）A . x≤1B . x ＞﹣7C .17 x -D . ﹣7＜x≤18. 如图，已知在△ABC ，P 为AB 上一点，连结CP ，不能判断△ABC ～△ACP 的是（ ）A ．∠ACP ＝∠B B ．∠APC ＝∠ACB C ． AC AP ＝AB ACD ． AC AB ＝CP BC9．由二次函数26(2)1y x =-+，可知（ ）.A ．图象的开口向下B ．图象的对称轴为直线2x =-C ．函数的最小值为1D ．当2x <时，y 随x 的增大而增大10．2014年3月14日赵传保利巡演重庆站,在重庆大剧院演出．小王从家出发乘坐出租车前往观看，演出结束后，小王搭乘邻居小周的车回到家．己知小王出发时的速度比回家时的速度快，其中x 表示小王从家出发后所用时间，y 表示小王离家的距离．下面能反映y 与x 的函数关系的大致图象是()11． 同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，……则第⑥个图形中平行四边形的个数为（ ）A 41B 42C 43D 2912．如图，双曲线)0(>=x xky 经过直角三角形OAB 斜边OB 的 中点D ，与直角边AB 相交于点C ．过D 作DE ⊥OA 交OA 于点E ， 若△OBC 的面积为3，则k 的值是 （ ）．A ．1B ．2C ．31D ．3二、填空题：（本题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡．．．（卷．）中对应的横线上。
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2014-2015学年重庆市沙坪坝中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分，）1．（5分）如图三视图所表示的几何体是（）A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥2．（5分）若直线x+ay+2=0和直线2x+3y+1=0互相垂直，则a的值为（）A．B．C．D．3．（5分）以M（﹣4，3）为圆心的圆与直线2x+y﹣5=0相离，那么圆M的半径r的取值范围是（）A．0＜r＜2 B．0＜r＜C．0＜r＜2D．0＜r＜104．（5分）长方体的一个顶点处的三条棱长分别是，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是（）A．12πB．18πC．36πD．6π5．（5分）经过直线l1：2x﹣y﹣3=0，l2：x+y=0的交点且平行于直线3x+y﹣1=0的直线方程为（）A．3x+y﹣2=0 B．3x﹣y+4=0 C．3x+y﹣4=0 D．x﹣3y﹣4=06．（5分）设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则下列哪个条件能推出m⊥β（）A．α⊥β，α∩β=l，m⊥l B．n⊥α，n⊥β，m⊥αC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ7．（5分）两圆x2+y2=9和x2+y2﹣8x+6y+9=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．内切D．外切8．（5分）一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则它的侧视图的面积为（）A．B．C．D．9．（5分）已知一个圆锥的母线长为2，它的侧面展开图为半圆，则这个圆锥的体积为（）A．B．C．D．10．（5分）在正四面体P﹣ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（）A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC二、填空题题（本题共5小题，每小题5分，共25分．）11．（5分）两平行直线x+3y﹣4=0与2x+6y﹣9=0的距离是．12．（5分）一个圆台的两底面的面积分别为π，16π，侧面积为25π，则这个圆台的高为．13．（5分）设P为圆x2+y2=1上的动点，则点P到直线3x﹣4y﹣10=0的距离的最小值为．14．（5分）已知直线l在x轴、y轴上的截距分别是a和b（a＞0，b＞0），且经过点M（1，4），则a+b的最小值为．15．（5分）下列五个正方体图形中，l是正方形的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是（写出所有符合要求的图形序号）．三、解答题（本题共6小题，其中16-19每题12分，20题13分，21题14分，共75分．）16．（12分）已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1=0．求：（Ⅰ）直线l的方程；（Ⅱ）直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．17．（12分）如图是一个几何体的三视图，已知侧视图是一个等边三角形，根据图中尺寸（单位：cm），求该几何体的表面积和体积．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A垂直于底面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点，（1）求证：AC1∥平面CDB1；（2）求证：AC⊥BC1．19．（12分）一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长30km的圆形区域．已知港口位于台风正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？20．（13分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：平面BCE⊥平面CDE．21．（14分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0（a＞0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．2014-2015学年重庆市沙坪坝中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分，）1．（5分）如图三视图所表示的几何体是（）A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥【解答】解：由正视图和侧视图知是一个锥体，再由俯视图知，这个几何体是六棱锥，故选：D．2．（5分）若直线x+ay+2=0和直线2x+3y+1=0互相垂直，则a的值为（）A．B．C．D．【解答】解：由直线x+ay+2=0，得到斜率为﹣，由直线2x+3y+1=0，得到斜率为﹣，因为两直线互相垂直，所以﹣×（﹣）=﹣1，解得：a=﹣．故选：A．3．（5分）以M（﹣4，3）为圆心的圆与直线2x+y﹣5=0相离，那么圆M的半径r的取值范围是（）A．0＜r＜2 B．0＜r＜C．0＜r＜2D．0＜r＜10【解答】解：∵以M（﹣4，3）为圆心的圆与直线2x+y﹣5=0相离，M（﹣4，3）到直线2x+y﹣5=0的距离d==2，∴0＜r＜2．故选：C．4．（5分）长方体的一个顶点处的三条棱长分别是，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是（）A．12πB．18πC．36πD．6π【解答】解：长方体的体对角线的长是：=球的半径是：这个球的表面积：4=12π故选：A．5．（5分）经过直线l1：2x﹣y﹣3=0，l2：x+y=0的交点且平行于直线3x+y﹣1=0的直线方程为（）A．3x+y﹣2=0 B．3x﹣y+4=0 C．3x+y﹣4=0 D．x﹣3y﹣4=0【解答】解：联立，解得，即两直线交点为（1，﹣1），由题意可设所求直线为：3x+y+c=0，代入点（1，﹣1），可解得c=﹣2故所求直线为：3x+y﹣2=0，故选：A．6．（5分）设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则下列哪个条件能推出m⊥β（）A．α⊥β，α∩β=l，m⊥l B．n⊥α，n⊥β，m⊥αC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ【解答】解：α⊥β，α∩β=l，m⊥l，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m⊂α，故不正确；n⊥α，n⊥β，⇒α∥β，而m⊥α，则m⊥β，故正确；α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；故选：B．7．（5分）两圆x2+y2=9和x2+y2﹣8x+6y+9=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．内切D．外切【解答】解：把x2+y2﹣8x+6y+9=0化为（x﹣4）2+（y+3）2=16，又x2+y2=9，所以两圆心的坐标分别为：（4，﹣3）和（0，0），两半径分别为R=4和r=3，则两圆心之间的距离d==5，因为4﹣3＜5＜4+3即R﹣r＜d＜R+r，所以两圆的位置关系是相交．故选：B．8．（5分）一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则它的侧视图的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知三棱锥的后侧面垂直于底面，后侧面是正三角形，边长为2，底面是正三角形，边长为2，所以三棱锥的高为：，侧视图是直角三角形，直角边长为：，，所以侧视图的面积为：．故选：C．9．（5分）已知一个圆锥的母线长为2，它的侧面展开图为半圆，则这个圆锥的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：一个圆锥的母线长为2，它的侧面展开图为半圆，圆的弧长为：2π，即圆锥的底面周长为：2π，设圆锥的底面半径是r，则得到2πr=2π，解得：r=1，这个圆锥的底面半径是1，∴圆锥的高为．所以圆锥的体积为：=故选：D．10．（5分）在正四面体P﹣ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（）A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC【解答】解：由DF∥BC可得BC∥平面PDF，故A正确．若PO⊥平面ABC，垂足为O，则O在AE上，则DF⊥PO，又DF⊥AE故DF⊥平面PAE，故B正确．由DF⊥平面PAE可得，平面PAE⊥平面ABC，故D正确．故选：C．二、填空题题（本题共5小题，每小题5分，共25分．）11．（5分）两平行直线x+3y﹣4=0与2x+6y﹣9=0的距离是．【解答】解：由直线x+3y﹣4=0取一点A，令y=0得到x=4，即A（4，0），则两平行直线的距离等于A到直线2x+6y﹣9=0的距离d===．故答案为：12．（5分）一个圆台的两底面的面积分别为π，16π，侧面积为25π，则这个圆台的高为5．【解答】解：圆台的两底面的面积分别为π，16π，所以S1=π，S2=16π，∴r=1，R=4，S=25π=π（r+R）L，∴L=5，∴h=．故答案为：4．13．（5分）设P为圆x2+y2=1上的动点，则点P到直线3x﹣4y﹣10=0的距离的最小值为1．【解答】解：圆心（0，0）到直线3x﹣4y﹣10=0的距离d==2．再由d﹣r=2﹣1=1，知最小距离为1．故答案为：114．（5分）已知直线l在x轴、y轴上的截距分别是a和b（a＞0，b＞0），且经过点M（1，4），则a+b的最小值为9．【解答】解：∵直线l在x轴、y轴上的截距分别是a和b（a＞0，b＞0），∴可设直线l的方程为，∵直线l经过点M（1，4），∴．∴a+b=（a+b）•=．又a＞0，b＞0，∴a+b=（当且仅当2a=b时取“=”）．∴a+b的最小值为9．故答案为：9．15．（5分）下列五个正方体图形中，l是正方形的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是①④⑤（写出所有符合要求的图形序号）．【解答】解：如图，设正方体为ABCD﹣A1B1C1D1．在题图①中，连结AB1，则AB1⊥MN，又AB1是l在面ABB1A1内的射影，∴l⊥MN．同理，l⊥MP．∴l⊥平面MNP．故①符合．在题图②中，延长MP交C1D1的延长线于E，连结NE，若l⊥面MNP，则l ⊥NE．又C1D是l在平面CDD1C内的射影，CD1⊥C1D，∴l⊥CD1．∴l⊥平面CDD1C1，矛盾．∴②不符合．在题图③中，平面MNP与题图①中的平面MNP不是同一平面，它们又过同一点，∴题图③不符合．在题图④中，l⊥MP，l⊥MN，∴l⊥平面MNP．延长PM交AB于F，取CD的中点G，则GN∥MP，∴G∈平面MNP．连结FG交BC于H，则H∈平面MNP，可证H是BC的中点．∴题图④与题图⑤中的平面MNP实为同一平面．∴⑤也符合．答案：①④⑤三、解答题（本题共6小题，其中16-19每题12分，20题13分，21题14分，共75分．）16．（12分）已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1=0．求：（Ⅰ）直线l的方程；（Ⅱ）直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．【解答】解：（Ⅰ）由解得由于点P的坐标是（﹣2，2）．则所求直线l与x﹣2y﹣1=0垂直，可设直线l的方程为2x+y+m=0．把点P的坐标代入得2×（﹣2）+2+m=0，即m=2．所求直线l的方程为2x+y+2=0．（Ⅱ）由直线l的方程知它在x轴．y轴上的截距分别是﹣1．﹣2，所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积．17．（12分）如图是一个几何体的三视图，已知侧视图是一个等边三角形，根据图中尺寸（单位：cm），求该几何体的表面积和体积．【解答】解：该几何体是正三棱柱，由正视图知正三棱柱的高为3cm，底面三角形的高为cm．则底面边长为2，故S底面面积=•22= S侧面面积=（2+2+2）•3=18故这个几何体的表面积S=2•S底面面积+S侧面面积=2+18（cm2）三棱柱的体积是V=2×=3（cm3）18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A垂直于底面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点，（1）求证：AC1∥平面CDB1；（2）求证：AC⊥BC1．【解答】解：（1）设CB1与C1B的交点为E，连接DE，（1分）∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1，（3分）∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，（5分）∴AC1∥平面CDB1（6分）（2）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，∴AC2+BC2=AB2∴AC⊥BC，①（7分）又侧棱垂直于底面ABC，∴CC1⊥AC②（8分）又BC∩CC1=C③由①②③得∴AC⊥面BCC1（10分）又BC1⊂平面BCC1，∴AC⊥BC1；（12分）19．（12分）一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长30km的圆形区域．已知港口位于台风正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？【解答】解：我们以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系．这样，受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2+y2=302①轮船航线所在直线l的方程为，即4x+7y﹣280=0②如果圆O与直线l有公共点，则轮船受影响，需要改变航向；如果O与直线l无公共点，则轮船不受影响，无需改变航向．由于圆心O（0，0）到直线l的距离，所以直线l与圆O无公共点．这说明轮船将不受台风影响，不用改变航向．20．（13分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：平面BCE⊥平面CDE．【解答】解（1）证明：取CE的中点G，连FG、BG．∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF=DE．∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，∴GF∥AB．又AB=DE，∴GF=AB．∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG．∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE．（2）∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD．∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF．又CD∩DE=D，故AF⊥平面CDE．∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE．∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE．21．（14分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0（a＞0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切，且半径为5，所以，即|4m﹣29|=25．因为m为整数，故m=1．故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=25．…（4分）（Ⅱ）把直线ax﹣y+5=0，即y=ax+5，代入圆的方程，消去y，整理，得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1=0，由于直线ax﹣y+5=0交圆于A，B两点，故△=4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，即12a2﹣5a＞0，由于a＞0，解得a＞，所以实数a的取值范围是（）．（Ⅲ）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为，l的方程为，即x+ay+2﹣4a=0由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，所以1+0+2﹣4a=0，解得．由于，故存在实数使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB．…（14分）。