离散数学定义定理(下)
离散数学4.1-2
离散数学
5
函数的概念
续:
从A到B的不同的函数仅有22=4个.分别如下: f1={<a,1>,<b,1>};f2={<a,1>,<b,2>}; f3={<a,2>,<b,1>};f4={<a,2>,<b,2>}.
常将从A到B的一切函数构成的集合记为BA:BA={f|f: A→B}
离散数学
6
函数的概念
gοf(a1)=g(f(a1)) ο
离散数学
18
逆函数和复合函数
定理 设f和g分别是A到B和从B到C的函数,则: 如f,g是满射,则gοf也是从A到C满射; 如f,g是入射,则gοf也是从A到C入射; 如f,g是双射,则gοf也是从A到C双射. 证明: 对任意c∈C 由于g是满射,所以存在b∈B c∈C, b∈B, 证明:1) 对任意c∈C,由于g是满射,所以存在b∈B, 使得g(b) g(b)= 对于b∈B 又因f是满射,所以存在a∈A b∈B, a∈A, 使得g(b)=c.对于b∈B,又因f是满射,所以存在a∈A, 使得f(a) f(a)= 从而有g(b)=g(f(a))= (a)= 使得f(a)=b.从而有g(b)=g(f(a))=gοf(a)=c. 即存在a∈A,使得:gοf(a)=c,所以fοg是满射. 即存在a∈A,使得: (a)= 所以f 是满射. a∈A
离散数学
11
函数的概念
续: 证明:1) 证f是入射.任取S1,S2∈P(An),S1≠S2, 则存在元素aj(1≤j≤n),使得aj∈S1,ajS2或相反 aj∈S2,ajS1. 从而f(S1)=b1b2b3…bn中必有bj=1,f(S2)=c1c2c3…cn必有 cj=0或相反f(S1)=b1b2b3…bn中必有bj=0,f(S2)= c1c2c3…cn必有cj=1. 所以f(S1)≠f(S2),即f是单射.
离散数学
3、：N×NN，N是自然数集 (0∈N)，(<x,y>)=|x2-y2|
解: 取<1,1>,<2,2>∈ N×N (<1,1>)=|12－12|=0 (<2,2>)=|22－22|=0 故不是单射. 又取2∈N, 因不存在自然数x,y∈N 满足: |x2－y2|=2 故不是满射. ∴ 既不是单射也不是满射.
2019/3/2
离散数学
9
§3.2 映射的运算
• 逆映射的概念
定义3.2.1 设：AB，定义关系RBA为： R={<y,x> | y∈B , x∈A,且(x)=y}；如果R是B 到A的映射，则称R为的逆映射。记为– 1。
• 例如：设：N E，N 是自然数集合，E是 自然数中所有偶数的集合，(n) = 2n，n∈N。 则的逆映射-1为： -1 ：E N，-1(m)=m/2，m∈E。
§3.1 基本概念
定义3.1.1： 设A，B是两个集合，是A到B的二 元关系，若对A中每个元素a，有唯一的 b∈B， 使得<a,b>∈ ，则称为A到B的映射，记为： : AB 或 A B
• 所谓从A到B的映射就是A中的每个人都向B中 的人射了一箭，并且都射中了B中的一个人。 既没有人偷懒不射，也没有人一箭双雕。 • 这时，B中的人，有的可能身中数箭，有的可 能一箭未中。当然也可能刚好每人中了一箭。
• 充分性：设是双射，考虑的逆关系，易知，对于B 中的每个元素y，都对应着A中唯一的一个在下以y 为映象的元素x，因此， 的逆关系是B到A的映射。
2019/3/2 离散数学 4
满射、单射和双射的例子
• 设：N N，N 是自然数集，(n)= 2n， n∈N。则是 单射，但不是满射。
离散数学重要公式定理汇总
关系的性质
一. 自反性
定义:设R是集合A中的关系，如果对于任意x∈A都 有<x,x>∈R (xRx)，则称R是A中自反关系。 即 R是A中自反的关系x(xAxRx) 例如： 在实数集合中,“”是自反关系，因
离散数学重要公式定理汇总
大一上
Formula
基本的等价公式
⑴ 对合律 PP ⑵ 幂等律 P∨PP P∧PP ⑶ 结合律 P∨(Q∨R)(P∨Q)∨R P∧(Q∧R)(P∧Q)∧R ⑷交换律 P∨QQ∨P P∧QQ∧P ⑸分配律 P∨(Q∧R)(P∨Q)∧(P∨R) P∧(Q∨R)(P∧Q)∨(P∧R) ⑹ 吸收律 P∨(P∧Q)P P∧(P∨Q)P ⑺德．摩根定律 (P∨Q)P∧Q (P∧Q)P∨Q
2013-12-16 7
Formula
• 蕴含的性质
*若AB且A为重言式，则B必为重言式 *若AB且BC，则AC (传递性) *若AB且AC，则A(B ∧ C) *若AB且C B，则(A∨C) B 证明见书P22
2013-12-16
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conjunction
一、全功能真值表
2013-12-16 10
normal form
主析取范式定义 析取范式 A1∨A2∨...∨An, , 其中每个Ai (i=1,2..n) 都是小项，称之为主析取范式。 思考：主析取范式与析取范式的区别是什么？ 主析取范式的写法 方法Ⅰ：列真值表 ⑴列出给定公式的真值表。 ⑵找出真值表中每个“T”对应的真值指派再对 应的小项。 ⑶用“∨”联结上述小项，即可。
离散数学定义列表
A.定义1.简单命题/原子命题、复合命题2.定义1.1：否定式、否定联结词3.定义1.2：合取式、合取联结词4.定义1.3：析取式、析取联结词定义1.4：蕴含式、前件、后件、蕴含联结词；规定19.4、20.45.定义1.5：等价式、等价联结词；规定6.联结词的定义（真值表）表1.1、优先级7.命题常项、命题变项（不是命题）、合式公式8.定义1.6：原子命题公式、公式、子公式9.定义1.7：公式层次10.定义1.8：赋值/解释、成真赋值、成假赋值11.定义1..9：真值表12.定义1..10：重言式/永真式、矛盾式/永假式、可满足式13.哑元************************重点：命题逻辑等值演算***************15.等值演算、置换规则4.116.定义2.2：文字、简单析取式、简单合取式17.定义2.3：析取范式、合取范式、范式18.定义2.4：极小项、极大项定义2.5：主析取范式、主合取范式********************************一阶逻辑**********************19.个体词、个体常项、个体变项、个体域/论域、全总个体域20.谓词、谓词常项、谓词变项、n元谓词、0元谓词量词、全称量词、存在量词全称蕴含、存在合取P71 5.3********************************集合代数**********************21.定义6.1：子集、包含22.定义6.2：相等23.定义6.3：真子集定义6.4：空集P139 124.n元集、m元子集、（单元集）25.定义6.5：幂集公式：26.定义6.6：全集27.定义6.7:并集、交集、相对补集、不交28.定义6.8：对称差集29.定义6.9：绝对补集30.定义6.10：广义并31.定义6.11：广义交幂等律、结合律、交换律、分配律、同一律、零律、排中律、矛盾律、吸收律、德摩根律、双重否定律eg6.8,P108 36****************************重点：二元关系***********************32.定义7.1：有序对/序偶33.定义7.2：笛卡尔积性质P11134.定义7.3：二元关系/关系P139 735.定义7.4：从A到B的二元关系、A上的二元关系、空关系36.定义7.5：A上的全域关系（E）、恒等关系（I）、小于等于关系（L）、整除关系（D）、包含关系（R）37.关系矩阵（x行，y列）、关系图38.定义7.6：定义域、值域、域39.定义7.7：逆关系40.定义7.8：右复合（左复合）41.定义7.9：R在A上的限制、A在R下的像42.定义7.10：关系的n次幂定义7.11：自反、反自反定义7.12：对称、反对称定义7.13：传递43.定义7.15：等价关系（性质）P142 32(4)、4144.定义7.16：等价类45.定义7.17：商集46.定义7.18：划分、划分块 P134 eg7.1847.定义7.19：偏序关系（性质）48.定义7.20：小于、可比49.定义7.21：全序关系/线序关系50.定义7.22：偏序集P13551.定义7.23：偏序集中顶点的覆盖关系（为画哈斯图）P143 43（2）***************************函数*******************************53.定义8.1：函数54.定义8.2：函数相等55.定义8.3：从A到B的函数P171 6（8）（9）56.定义8.4：从A到B的函数的集合B A57.定义8.5：A1在ƒ下的像、函数的像、完全原像定义8.6：满射、单射、双射/一一映射P173 2558.定义8.7: 常函数、恒等函数、单调递增、单调递减、严格单调递减、特征函数、自然映射59.反函数（双射）*************************代数系统*****************************60.定义9.2：一元运算定义9.3：可交换/交换律定义9.4：可结合/结合律定义9.5：幂等律、幂等元61.定义9.6：可分配/分配律62.定义9.7：吸收律63.定义9.8：左单位元（右单位元）、单位元/幺元64.定义9.9：左零元（右零元）65.定义9.10:左逆元（右逆元）、逆元、可逆66.定义9.11：消去律、左消去律（右消去律）注意P183 eg9.667.定义9.12：代数系统/代数、特异元素/代数常数68.定义9.13：具有相同的构成成分/同类型69.定义9.14：子代数系统/子代数、平凡的子代数、真子代数（函数对子集封闭）70.定义9.15：积代数、因子代数************************************群与环***************************************半群与群都是具有一个二元运算的代数系统71.定义 10.1：半群（）、幺半群/独异点（）、群（）72.有理数加群、整数加群、实数加群、复数加群、四元群、子代数、语言73.定义 10.2：有限群、无限群、平凡群、交换群/Abel群74.定义 10.3：n次幂75.定义 10.4：（元素的）阶/周期、k阶元、无限阶元***********************************格与布尔代数**********************************格与布尔代数是具有两个二元运算的代数系统定义11.1：格（偏序集定义的）P22176.幂集格、子群格77.定义11.2：对偶命题、格的对偶原理78.定义11.3：格（代数系统定义的）79.定义11.4：子格80.定义11.5：分配格81.定义11.6：全上界、全下界82.定义11.7：有界格83.定义11.8：补元84.定义11.9：有补元定义11.10：布尔格/布尔代数（有补分配格）85.定义11.11：布尔代数（代数系统定义）86.定义11.12：原子**********************************14.图的基本概念********************************87.无序积A&B88.定义14.1：无向图、顶点集、顶点/结点、边集、无向边/边89.定义14.2：有向图、无向边/边90.（P294）图、阶、n阶图；零图、平凡图；空图；标定图、非标定图；基图；端点、关联、关联次数、环、相邻；始点、终点、孤立点；邻域、闭邻域、关联集、后继元集、先驱元集91.定义14.3：平行边、重数、多重图、简单图92.定义14.4：度数/度、出度、入度、最大度、最小度、悬挂顶点、悬挂边、偶度（奇度）顶点93.度数列、可图化的、可简单图化的，出度列、入度列94.定义14.6：n阶无向完全图/n阶完全图、n阶有向完全图、n阶竞赛图95.定义14.7：k-正则图96.定义14.8：母图、真子图、生成子图、导出的子图97.定义14.10：删除边e、删除E’、删除顶点v、删除V‘、边的收缩、新加边删点边不留，删边点还在98.定义14.11：通路、始点、终点、长度、回路、简单通路、简单回路、初级通路/路径、初级回路/圈、奇圈、偶圈、复杂通路、复杂回路99.定义14.12:连通、连通图、非连通图100.定义14.13：连通分支、连通分支数101.定义14.14：短程线、距离102.定义14.15：点割集、割点103.定义14.16：边割集/割集、割边/桥104.定义14.21：弱连通图/连通图、单向连通图、强连通图105.定义14.22：二部图/二分图/偶图，完全二部图定义14.23：无向图关联次数、关联矩阵定义14.24：有向图关联矩阵定义14.25：邻接矩阵定义14.26可达矩阵**********************************15.欧拉图与哈密顿图****************************106.定义15.1：欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图107.定义15.2：哈密顿通路、哈密顿回路、哈密顿图、半哈密度图**********************************16.树*****************************************108.定义16.1：无向树/树、森林、平凡树、树叶、分支点109.定义16.2：生成树、树枝、弦、余树110.定义16.:5：权、最小生成树111.避圈法（Kruskal算法）B.定理1.定理2.1：简单析取式是重言式的充要条件；简单合取式是矛盾式的充要条件2.定理2.2：析取范式（矛盾式）、合取范式（重言式）3.定理2.3：范式存在定理4.定理2.4：极小项和极大项关系5.定理2.5：主析、主合存在并唯一6.定理6.1：子集是一切集合的子集推论：空集是唯一的7.定理7.1：逆关系性质8.定理7.2：复合结合律、逆9.定理7.3：关系与恒等关系复合10.定理7.4：复合分配律注意交11.定理7.5：限制和像的分配律注意像的交12.定理7.6：有穷集上只有又穷多个不同的二元关系13.定理7.7：关系的幂性质14.定理7.8：有穷集A上的关系R的幂序列R0，R1，R2等是一个呈现周期性变化的序列15.定理7.9：五大性质16.定理7.14：等价关系的性质17.定理8.1：函数的复合（关系的右复合）推论1：函数复合结合律推论2：ƒ：A→B，g：B→C，则ƒ。
离散数学部分概念和公式总结
离散数学部分概念和公式总结命题：称能判断真假的陈述句为命题。
命题公式：若在复合命题中，p、q、r等不仅可以代表命题常项，还可以代表命题变项，这样的复合命题形式称为命题公式。
命题的赋值：设A为一命题公式，p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。
给p ,p ,…,p 指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。
若指定的一组值使A的值为真，则称成真赋值。
真值表：含n（n≥1）个命题变项的命题公式，共有2^n组赋值。
将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表，称为A的真值表。
命题公式的类型：（1）若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。
（2）若A在它的赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。
（3）若A至少存在一组赋值是成真赋值，则A是可满足式。
主析取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。
主合取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项，则称该析取范式为A的主析取范式。
命题的等值式：设A、B为两命题公式，若等价式A↔B是重言式，则称A与B是等值的，记作A<=>B。
约束变元和自由变元：在合式公式∀x A和∃x A中，称x为指导变项，称A为相应量词的辖域，x称为约束变元，x的出现称为约束出现，A中其他出现称为自由出现（自由变元）。
一阶逻辑等值式：设A，B是一阶逻辑中任意的两公式，若A↔B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A<=>B，称A<=>B为等值式。
前束范式：设A为一谓词公式，若A具有如下形式Q1x1Q2x2Q k…x k B，称A为前束范式。
集合的基本运算：并、交、差、相对补和对称差运算。
笛卡尔积：设A和B为集合，用A中元素为第一元素，用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记为A×B。
二元关系：如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对，则称集合R是一个二元关系。
离散数学的概念总结
图论基本概念重要定义：有向图：每条边都是有向边的图。
无向图：每条边都是无向边的图。
混合图：既有有向边又有无向边的图。
自回路：一条边的两端重合。
重数：两顶点间若有几条边，称这些边为平行边，两顶点a,b间平行边的条数成为（a,b）的重数。
多重图：含有平行边的图。
简单图：不含平行边和自回路的图。
注意！一条无向边可以用一对方向相反的有向边代替，因此一个无向图可以用这种方法转化为一个有向图。
定向图：如果对无向图G的每条无向边指定一个方向由此得到的有向图D。
称为的G定向图. 底图：如果把一个有向图的每一条有向边的方向都去掉，得无向图G称为的D底图。
逆图：把一个有向图D的每条边都反向由此得到的图称为D的逆图。
赋权图：每条边都赋上了值。
出度：与顶点相连的边数称为该定点的度数，以该定点为始边的边数为出度。
入度：以该定点为终边的边数为入度。
特殊！度数为零的定点称为孤立点。
度数为一的点为悬挂点。
无向完全图：在阶无向图中如果任何两点都有一条边关连则称此图是无向完全图。
Kn完全有向图：在阶有向图中如果任意两点都有方向相反的有向边相连则称此图为完全有向图。
竟赛图：阶图中如果其底图是无向完全图，则程此有向完全图是竟塞图。
注意！n阶有向完全图的边数为n的平方；无向完全图的边数为n(n-1)/2。
下面介召图两种操作：①删边：删去图中的某一条边但仍保留边的端点。
②删点：删去图中某一点以及与这点相连的所有边。
子图：删去一条边或一点剩下的图。
生成子图：只删边不删点。
主子图：图中删去一点所得的子图称的主子图。
补图：设为阶间单无向图，在中添加一些边后，可使成为阶完全图；由这些添加边和的个顶点构成的图称为的补图。
重要定理：定理5.1.1 设图G是具有n个顶点m条边的有向图，其中点集V={v,v, (v)deg+(vi)=deg-(vi)=m定理5.1.2 设图G是具有n个顶点m条边的无向图，其中点集V={v,v,v, (v)deg(vi)=2m推论在无向图中，度数为积数的顶点个数为偶数。
离散数学推理的三要素
离散数学推理的三要素1.推理的形式结构（1）定义3.1：设A1，A2，A3...AK和B都是命题公式，若对于A1，A2，A3...AK和B中出现的命题变项的任意一组赋值，或者A1，A2，A3...AK为假，或者当A1，A2，A3...AK为真是，B也为真，则称由前提A1，A2，A3...AK推出结论B的推理是有效的或正确的，并称B是有效的结论。
由上面的推论可知，推理正确的并不能保证结论B一定成立，因为前提可能就不成立。
这与我们通常理解的推理是不同的。
通常只能认为在正确的前提下推出正确的结论才是正确的推理，而在这里，如果前提不正确，不论结论正确与否，都说推理正确。
（2）定理3.1：命题公式A1，A2……AK推导B的推理正确当且仅当A1，A2……AK>B为重言式。
要把推理的形式写成：前提：A1，A2……AK结论：B2自然推理系统P本节由前提A1，A2……，AK推B的正确推理的证明给出严格的形式描述。
“证明”是一个描述推理过程的命题公式序列，其中的每个公式或者是已知前提，或者是由前面的公式应用推理规则得到的结论（中间结论或推理中的结论）。
（1）定义3.2：一个形式系统I由下面4个部分组成：非空的字母表A（I）；A（I）中符号构造的合式公式集E（I）E（I）中一些特殊的公式组成的公理集Ax（I）推理规则R（I）将I记为四元组<A（I）,E（I）,Ax（I）,R（I）>.其中<A（I）,E （I）>是I的形式语言系统，而<Ax（I），R（I）>为I的形式演算系统。
形式系统一般分为两类：一类是自然推理系统，它的特点是从任意给定的前提出发，应用系统中的推理规则进行推理演算，最后得到的命题公式是推理的结论（它是有效的结论，尔肯那个是重言式，也可能不是重言式）。
另一类是公理推理系统，他只能从若干条给定的公里出发，应用系统中的推理规则进行推理演算，得到的结论是系统中的重言式，成为系统中的定理。
离散数学知识点
离散数学知识点摘要：离散数学是计算机科学和数学的一个分支，它专注于非连续结构的研究。
本文旨在概述离散数学的核心知识点，包括集合论、逻辑、关系、函数、图论、组合数学和递归等。
1. 集合论- 集合的基本概念：集合是离散数学的基础，它是一组明确的、无重复的对象的集合。
- 集合运算：包括并集、交集、差集、补集等。
- 幂集：一个集合所有子集的集合。
- 笛卡尔积：两个集合所有可能的有序对的集合。
2. 逻辑- 命题逻辑：研究命题（声明的真值）和它们之间的关系，如合取、析取、否定等。
- 谓词逻辑：使用量词（如全称量词和存在量词）来表达更复杂的逻辑关系。
- 逻辑推理：包括直接证明、间接证明和归谬法等。
3. 关系- 关系的定义：一个集合到另一个集合的有序对的集合。
- 关系的类型：自反性、对称性和传递性等。
- 关系的闭包：在给定关系下，集合的最小闭包。
4. 函数- 函数的定义：一个集合到另一个集合的映射，每个元素有唯一的像。
- 函数的类型：单射、满射和双射。
- 复合函数：两个函数可以组合成一个新的函数。
5. 图论- 图的基本概念：由顶点（节点）和边组成的结构。
- 图的类型：无向图、有向图、连通图、树等。
- 图的算法：如最短路径、最小生成树、图的着色等。
6. 组合数学- 排列和组合：从n个不同元素中取出r个元素的不同排列和组合的数量。
- 二项式定理：描述了二项式的幂展开的系数。
- 生成函数：一种编码序列的方法，用于解决复杂的计数问题。
7. 递归- 递归定义：一个对象通过引用比自己更小的版本来定义。
- 递归函数：在计算机程序中，一个函数调用自身来解决问题。
结论：离散数学为理解和设计计算机系统提供了基础工具和理论。
它的知识点广泛应用于算法设计、数据结构、编程语言理论和数据库等领域。
掌握离散数学对于任何希望在计算机科学领域取得进展的人来说都是至关重要的。
本文提供了一个简洁的离散数学知识点概述，每个部分都直接针对一个主题，避免了不必要的背景信息和解释。
离散数学——精选推荐
离散数学第一章命题逻辑定义1。
设P为一命题，P的否定是一个新的命题，记作¬P。
若P为T，¬P为F；若P为F，¬P为T。
联结词“¬”表示命题的否定。
否定联结词有时亦可记作“¯”。
（P3）定义2。
两个命题P和Q的合取是一个复合命题，记作P∧Q。
当且仅当P,Q同时为T时，P∧Q为T，在其他情况下，P∧Q的真值都是F。
（P4）定义3。
两个命题P和Q的析取是一个复合命题，记作P∨Q。
当且仅当P，Q同时为F时，P∨Q的真值为F，否则P∨Q的真值为T。
（P5）定义4。
给定两个命题P和Q，其条件命题是一个复合命题，记作P→Q，读作“如果P，那么Q”或者“若P则Q”。
当且仅当P的真值为T，Q的真值为F时，P→Q的真值为F，否则P→Q的真值为T。
我们称P为前件，Q为后件。
（P6）定义5。
给定两个命题P和Q，其复合命题P⇆Q的真值为F。
（P7）定义6。
命题演算的合式公式（wff），规定为：（1）单个命题变元本身是一个合式公式。
（2）如果A是合式公式，那么¬A是合式公式。
（3）如果A和B是合式公式，那么（A∧B），（A∨B），（A→B）和（A⇆B）都是合式公式。
（4）当且仅当能够有限次地应用（1），（2），（3）所得到的包含命题变元，联结词和括号的符号串是合式公式。
（P9）定义7。
在命题公式中，对于分量指派真值得各种可能组合，就确定了这个命题公式的各种真值情况，把它汇列成表，就是命题公式的真值表。
（P12）定义8。
给定两个命题公式A和B，设P1，P2，…，P n为所有出现于A和B中的原子变元，若给P1，P2，…，P n任一组真值指派，A和B的真值都相同，则称A和B是等价的或逻辑相等。
记作A⇔B。
（P15）定义9。
如果X是合式公式的A的一部分，且X本身也是一个合式公式，则称X为公式A 的字公式。
（P16）定理1。
设X是合式公式A的字公式，若X⇔Y，如果将A中的X用Y来置换，所得到公式B 与公式A等价，即A⇔B。
离散数学定义
命题逻辑▪(论域)定义：论域是一个数学系统，记为D。
它由三部分组成：•(1)一个非空对象集合S，每个对象也称为个体；•(2) 一个关于D的函数集合F；•(3)一个关于D的关系集合R。
▪（逻辑连接词）定义•设n>0,称为{0,1}n到{0,1}的函数为n元函数，真值函数也称为联结词。
•若n =0，则称为0元函数。
▪（命题合式公式）定义：•(1).常元0和1是合式公式；•(2).命题变元是合式公式；•(3).若Q,R是合式公式，则(⌝Q)、(Q∧R) 、(Q∨R) 、(Q→R) 、(Q↔R) 、(Q⊕R)是合式公式；•(4).只有有限次应用(1)—(3)构成的公式是合式公式。
▪（生成公式）定义1.5 设S是联结词的集合。
由S生成的公式定义如下：•⑴若c是S中的0元联结词，则c是由S生成的公式。
•⑵原子公式是由S生成的公式。
•⑶若n≥1，F是S中的n元联结词，A1,…,A n是由S生成的公式，则FA1…A n 是由S生成的公式。
▪（复杂度）公式A的复杂度表示为FC(A)•常元复杂度为0。
•命题变元复杂度为0，如果P是命题变元，则FC (P)=0。
•如果公式A=⌝B，则FC (A)=FC(B)+1。
•如果公式A=B1∧ B2，或A=B1∨ B2，或A=B1→B2，或A=B1↔ B2，或A=B1⊕ B2，或则FC (A)=max{FC(B1), FC(B2)}+1。
▪命题合式公式语义•论域：研究对象的集合。
•解释：用论域的对象对应变元。
•结构：论域和解释称为结构。
•语义：符号指称的对象。
公式所指称对象。
合式公式的语义是其对应的逻辑真值。
▪（合式公式语义）设S是联结词的集合是{⌝，∧，∨，⊕，→，↔}。
由S生成的合式公式Q在真值赋值v下的真值指派v(Q)定义如下：•⑴v(0)=0, v(1)=1。
•⑵若Q是命题变元p，则v(A)= pv。
•⑶若Q1,Q2是合式公式▪若Q= ⌝Q1，则v(Q)= ⌝v(Q1)▪若Q=Q1 ∧ Q2，则v(Q)=v(Q1)∧ v(Q2)▪若Q=Q1∨Q2，则v(Q)=v(Q1)∨v(Q2)▪若Q=Q1→ Q2，则v(Q)=v(Q1)→ v(Q2)▪若Q=Q1 ↔ Q2，则v(Q)=v(Q1)↔ v(Q2)▪若Q=Q1⊕ Q2，则v(Q)=v(Q1)⊕ v(Q2)▪（真值赋值）由S生成的公式Q在真值赋值v下的真值v(Q)定义如下：•⑴若Q是S中的0元联结词c，则v(Q)=c。
离散数学2
本节小结：要熟练掌握这五个联结词在自然语言中所表示的含义以及它们的真值表的定义。
P Q P∧Q P∨Q P→Q P↔QF F F F T TF T F T T FT F F T F FT T T T T T1-5. 重言(永真)蕴涵式有些重言(永真)式，如(P∧(P→Q))→Q，公式中间是“→”联结词，是很重要的，称之为重言蕴涵式。
1.定义：如果公式A→B是重言式，则称A重言(永真)蕴涵B，记作A⇒B。
上式可以写成(P∧(P→Q))⇒Q注意符号“⇒”不是联结词，它是表示公式间的“永真蕴涵”关系，也可以看成是“推导”关系。
即A⇒B可以理解成由A可推出B，即由A为真，可以推出B也为真。
2.重言(永真)蕴涵式A⇒B的证明方法方法1.列真值表。
(即列A→B的真值表)这里就不再举例了。
下面讨论另外两种方法。
A B A→B F F T F T T T F F T T T先看一看A→B的真值表，如果A→B为永真式，则真值表的第三组指派不会出现。
于是有下面两种证明方法(解释法）。
方法2.假设前件为真，推出后件也为真。
例如求证：P ∧(P→Q)⇒Q证明:设前件P ∧(P→Q) 为真，则P、(P→Q)均真，所以Q为T。
∴P ∧(P→Q) ⇒Q方法3.假设后件为假，推出前件也为假。
例如求证：P ∧(P→Q)⇒Q证明:假设后件Q为F。
1.如P为F，则前件P ∧(P→Q)为F2.如P为T，则(P→Q)为F，所以前件P ∧(P→Q)为假。
∴P ∧(P→Q)⇒Q蕴涵式的直观意义设P：天下雨。
Q：马路湿。
则P∧（P→Q）⇒Q表示：如果天下雨，则马路湿；现在天下雨，所以，马路一定是湿的。
（Q∧（P→Q）⇒P？⌝Q∧（P→Q）⇒⌝P？）论证以下推理的正确性。
⏹P：x是偶数Q：x2是偶数⏹如果x是偶数，则x2是偶数；x是偶数，所以x2是偶数。
⏹如果x是偶数，则x2是偶数；x2是偶数，所以x是偶数。
⏹如果x是偶数，则x2是偶数；x不是偶数，所以x2不是偶数。
第三章 离散数学
数学归纳法还有另一种形式，为了证明一个命题对于所有的自 然数n都是真的，我们只要证明： ⑴ (归纳基础)当n＝n0时，p(n0)真(可用任意方法证明） ⑵若n0≤n＜k时，p(n)真，则n=k时，这个命题也真， 即p(k)真。
例2. 证明每一整数n≥2可以写成素数的乘积。 证明： ⑴ (归纳基础) n=2时，因为2是素数，所以 结论成立。 ⑵ (归纳步骤) 对于任意的n∈N且n＞2 设n＜k时，结论成立(即n＝2，3，...，k－1时， n能写成素数的乘积) n=k时：①若k是素数，结论成立。 ②若k不是素数，那么n＝k＝i·j，(2≤i，j＜k) 于是根据归纳假设，i，j均能写成素数的乘积。 即i=q1q2...qt，j=p1p2...pr，其中qm,pS均为素(m=1,2,...t;s=1,2,...r) ∴n=q1q2....qtp1p2....pr，即n也能写成素数的乘积。 因此，对任意的n∈N，n≥2，结论成立。
(二)不可数集
不是所有的无限集都是可数的 定理3-23：集合R1＝{x |0＜x＜1}是不可数集。 定义3-12：如果有从R1(0,1)到集合A的双射函数，那么＃A＝ §1。 例4：[0，1]的基数为§1。 解：定义A＝{1/2,1/3,1/4,....,1/n,....} 做f:(0,1) f(1/2)=0 [0,1] f(1/3)=1 f(1/n)=1/(n-2)
有g·f(a')=g(f(a'))=g(b ')=a '=IA(a ') 所以g·f=IA，即g是f的左逆函数。
⑵设f是满函数，要证f有右逆函数，即构造一个g:B 使f·g=IB，则g为f的右逆函数。
证明：因为f是A
A
B的满射，所以对∀ b∈B， ∃a∈A使得f(a)=b。
(完整word版)离散数学知识汇总
离散数学笔记第一章命题逻辑合取析取定义 1. 1.3否定：当某个命题为真时，其否定为假，当某个命题为假时，其否定为真定义 1. 1.4条件联结词，表示“如果……那么……”形式的语句定义 1. 1.5双条件联结词，表示“当且仅当”形式的语句定义 1.2.1合式公式(1)单个命题变元、命题常元为合式公式，称为原子公式。
(2)若某个字符串A 是合式公式，则⌝A、(A)也是合式公式。
(3)若A、B 是合式公式，则A ∧B、A∨B、A→B、A↔B 是合式公式。
(4)有限次使用(2)~(3)形成的字符串均为合式公式。
1.3等值式1.4析取范式与合取范式将一个普通公式转换为范式的基本步骤1.6推理定义 1.6.1 设 A 与 C 是两个命题公式， 若 A → C 为永真式、 重言式，则称 C 是 A 的有 效结论，或称 A 可以逻辑推出 C ，记为 A => C 。
（用等值演算或真值表）第二章 谓词逻辑2.1、基本概念∀：全称量词 ∃：存在量词一般情况下， 如果个体变元的取值范围不做任何限制即为全总个体域时， 带 “全称量词”的谓词公式形如"∀x(H(x)→B(x))，即量词的后面为条件式，带“存在量词”的谓词公式形如∃x(H(x)∨WL(x))，即量词的后面为合取式 例题R(x)表示对象 x 是兔子，T(x)表示对象 x 是乌龟， H(x,y)表示 x 比 y 跑得快，L(x,y)表示x 与 y 一样快，则兔子比乌龟跑得快表示为： ∀x ∀y(R(x)∧T(y)→H(x,y))有的兔子比所有的乌龟跑得快表示为：∃x ∀y(R(x)∧T(y)→H(x,y))2.2、谓词公式及其解释定义 2.2.1、 非逻辑符号： 个体常元(如 a,b,c)、 函数常元(如表示22y x 的 f(x,y))、 谓词常元(如表示人类的 H(x))。
定义 2.2.2、逻辑符号：个体变元、量词(∀∃)、联结词(﹁∨∧→↔)、逗号、括号。
离散数学基本定理
离散数学基本定理离散数学是研究离散结构、离散关系和离散计算的数学分支。
它涉及到许多基本概念和定理，其中最基本的是离散数学基本定理。
离散数学基本定理是离散数学中的核心定理之一，它表明任何有限集合都可以用它的元素进行排序，并且每个元素都可以被赋予一个唯一的序号。
这个定理是离散数学中的基石，因为它为许多其他概念和定理提供了基础。
离散数学基本定理可以用数学符号表示为：对于任何有限集合A，存在一个从A 到自然数集N的函数f，使得对于A中的任意两个元素x和y，如果x<y，则f(x)<f(y)。
这个定理的证明通常基于数学归纳法。
首先，对于只有一个元素的集合，这个定理显然成立。
然后，假设对于某个n个元素的集合A，存在一个从A到自然数集N的函数f满足条件。
现在考虑一个有n+1个元素的集合B。
根据归纳假设，对于B的前n个元素，存在一个从B的前n个元素到自然数集N的函数g满足条件。
然后，对于B的第n+1个元素x，定义f(x)=max{g(y)+1}，其中y是B 的前n个元素。
这样定义的函数f满足条件，因为对于B中的任意两个元素y 和z，如果y<z，则g(y)<g(z)，因此f(y)<f(z)。
离散数学基本定理在许多领域都有应用，例如算法设计、数据结构、图论、组合数学等。
例如，在算法设计中，这个定理可以用来对输入数据进行排序，以便进行后续的处理。
在数据结构中，这个定理可以用来实现各种数据结构，如数组、链表、树等。
在图论中，这个定理可以用来确定图的顶点的排列方式。
在组合数学中，这个定理可以用来证明一些组合恒等式和不等式。
总之，离散数学基本定理是离散数学中的基石，它为许多其他概念和定理提供了基础。
它的应用广泛，在算法设计、数据结构、图论、组合数学等领域都有应用。
离散数学第讲4
(1) ∵ R是自反的 ∴ IA R=> IA R ∪R-1 => IA s(R)
∴ s(R) 是自反的。
∵ R是自反的 ∴ IA R=> IA R ∪R2 ∪R3 ∪… => IA t(R)
∴ t(R) 是自反的。
OBVIOUS:若关系R是自反或对称的，则关于R的
闭包运算依旧是自反或对称的。 但若关系R是传递的，则关于R的闭包运算不
一定是传递的。如： A={1,2,3}, R={<1,3>}, 而 r(R)={<1,1>,
<2,2>, <3,3>, <1,3>}是传递关系, s(R )={<1,3>,<3,1>}都不是传递关系。
7.6 等价关系与划分
定义7.15 设R是非空集合A上的关系。若R是自反的、对称的和传递的，
则称R是A上的等价关系。
问：哪些是A的划分？
7.7 偏序关系
定义7.19 设R是非空集合A上的关系。若R是自反的、反对称的和
传递的，则称R是A上的偏序关系，记作≤。若<x,y> ∈ ≤
，则记作x ≤ y,读作“x小于等于y”.
常见偏序关系：
意即：依据这个 序，x排在y的前
面或x 就是y.
设恒等关系、空关系、小于等于关系、大于等于关
系、整除关系、包含关系。
全域关系呢 ？？？
定义7.20 设R是非空集合A上的偏序关系，定义 (1) x,y ∈ A, x<y x≤ y ∧ x≠y。 (2) x,y ∈ A, x与y可比 x≤ y ∨ y ≤ x。
例如A={1，2，3}，≤是A上的整除关系， 则有：
离散数学定义定理(下)
定义4.1.1 设A，B为任意集合，一个从A n到B的映射，称为集合A上的一个n元运算。
如果B A，则称该n元运算时封闭的。
定义4.1.2 一个非空集合A，连同若干个定义在该集合上的运算f1，f2，…，f k所组成的系统，称为一个代数系统，记作：<A, f1，f2，…，f k>。
定义4.1.3 设A为任意非空集合，*是集合A上的二元运算。
（1）封闭性：对任意a，b∈A，若有a*b∈A，则称运算*关于集合是封闭的。
（2）结合律：对任意a，b，c∈A，若有a*（b*c）=（a*b）*c，则称运算*在集合A是可结合的，或称运算*在A上满足结合律。
（3）交换律：对任意a，b∈A，若有a*b=b*a，称为运算*在A上市可交换的，或称*运算在A上满足交换律。
（4）幂等率：若对a∈A，有a*a=a，则称运算*在Ａ上市幂等的，或称运算×在Ａ上满足幂等率。
（５）分配律：若对a，b，c∈A有：a (b*c)=(a b)*(a c) 和（b*c）a=（b a）*（c a）成立，则称运算对*时可分配的，或称运算*满足分配律。
（6）吸收率：若和*满足交换律而且有：a，b∈A，并有a (b*c)=a 和a* (b c)=a，则称和*运算时可吸收的，或称和*运算满足吸收率。
定义4.1.4 设*为集合Ａ上的二元运算，若存在（或），使得对于x ∈A，都有（或），则称（或）是A中关于*运算的左（或右）幺元（或单位元）。
如果A中一个元素e，它既是左幺元，又是右幺元，则成e是A中关于运算* 的遥远。
显然对于任一x∈A，e*x=x*e=x。
定义4.1.5 设*式定义在集合A上的二元运算，如果有一个元素，对于任意元素都有，则称为A中关于运算*的左零元；如果有一个元素，对于任意元素都有，则称为Ａ中关于运算*的右零元。
如果A中的一个元素，他既是左零元，又是右零元，则称为A上关于运算*的零元。
定理4.1.1 设*是集合A上的二元运算，且在A中有关于运算*的左幺元和右幺元，则，且A中幺元是惟一的。
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定义4.1.1 设A，B为任意集合，一个从A n到B的映射，称为集合A上的一个n元运算。
如果B A，则称该n元运算时封闭的。
定义4.1.2 一个非空集合A，连同若干个定义在该集合上的运算f1，f2，…，f k所组成的系统，称为一个代数系统，记作：<A, f1，f2，…，f k>。
定义4.1.3 设A为任意非空集合，*是集合A上的二元运算。
（1）封闭性：对任意a，b∈A，若有a*b∈A，则称运算*关于集合是封闭的。
（2）结合律：对任意a，b，c∈A，若有a*（b*c）=（a*b）*c，则称运算*在集合A是可结合的，或称运算*在A上满足结合律。
（3）交换律：对任意a，b∈A，若有a*b=b*a，称为运算*在A上市可交换的，或称*运算在A上满足交换律。
（4）幂等率：若对a∈A，有a*a=a，则称运算*在Ａ上市幂等的，或称运算×在Ａ上满足幂等率。
（５）分配律：若对a，b，c∈A有：a (b*c)=(a b)*(a c) 和（b*c）a=（b a）*（c a）成立，则称运算对*时可分配的，或称运算*满足分配律。
（6）吸收率：若和*满足交换律而且有：a，b∈A，并有a (b*c)=a 和a* (b c)=a，则称和*运算时可吸收的，或称和*运算满足吸收率。
定义4.1.4 设*为集合Ａ上的二元运算，若存在（或），使得对于x ∈A，都有（或），则称（或）是A中关于*运算的左（或右）幺元（或单位元）。
如果A中一个元素e，它既是左幺元，又是右幺元，则成e是A中关于运算* 的遥远。
显然对于任一x∈A，e*x=x*e=x。
定义4.1.5 设*式定义在集合A上的二元运算，如果有一个元素，对于任意元素都有，则称为A中关于运算*的左零元；如果有一个元素，对于任意元素都有，则称为Ａ中关于运算*的右零元。
如果A中的一个元素，他既是左零元，又是右零元，则称为A上关于运算*的零元。
定理4.1.1 设*是集合A上的二元运算，且在A中有关于运算*的左幺元和右幺元，则，且A中幺元是惟一的。
定理4.1.2 设*是定义在集合A上的二元关系，在A中有关于运算*的左零元和右零元那么，且A中零元是惟一的。
定理4.1.3 设有代数系统<A，*>中，A的元素个数多于1，若其存在关于运算*的单位元e与零元O，则。
定义4.1.6 设代数系统<A，*>中，e是关于*的单位元，若对A中某个元素a，存在A的一个元素b，使得b*a=e，则称b为a 的一个左逆元；若a*b=e，则称b为a的一个右逆元。
若一个元素b，既是a 的左逆元，又是a的右逆元，则称b是a的一个逆元，记作。
定理4.1.4 设代数系统<A，*>，这里*是定义在A上的二元运算，A 中存在幺元e，且每一个元素都有左逆元，如果*是可结合运算，那么这个代数系统中，任何一个元素的左逆元必定也是该元素的右逆元，且每个元素的逆元是惟一的。
定义4.1.7 如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元数也相同，且代数常数的个数也相同，则称这两个代数系统具有相同的构成成分，也称它们是同类型的代数系统。
同类型的代数系统仅仅是构成成分相同，不一定具有相同运算性质。
定义4.1.8 设是代数系统，，且B对都是封闭的，B和S还含有相同的代数常数，则称是V的子代数系统，简称子代数。
定义4.2.1 设*是集合S上的二元运算，若运算*时封闭的，并且*是可结合的，则称代数系统<S，*》为半群。
这个定义包括两点，及对于任意，（1），（2）(a*b)*c=a*(b*c)定理4.2.1 设<S，*>是一个半群，，且*在B上封闭，那么<B，*>也是一个半群，通常称<B，*>是半群<S，*>的子半群。
定义4.2.2 若半群<S，*>中存在一个幺元则称<S，*>为独异点（或含幺半群）。
定理4.2.2 设<S，*>是独异点，对于，且a，b均有逆元，则：（1），（2）若a*b有逆元，则。
定义4.3.1 设<G，*>是一个代数系统，其中G是非空集合，*是G 上一个二元运算，（1）如果*是封闭的；（2）运算*时可结合的；（3）存在幺元e；（4）对于每一个元素，存在它的逆元；则称<G，*>是一个群。
定义4.3.2 设<G，*>是一个群，如果G是有限群，那么称<G，*>为有限群，G中元素的个数统称称为该有限群的阶数，记为。
定义4.3.3 若群G中，只含有一个元素，即G=|e|，|G|=1，则称G 为平凡群。
，G关于*运算，构成一个群，这个群称为Klein四元群。
定义4.3.4 设<G，*>是一个群，若运算*在G上满足交换律，则称G为交换群或Abel群（阿贝尔群）。
定义4.3.5 设<G，*>是群，若，使得成立的最小正整数k称为a 的阶，记作|a|。
定理4.3.1 设<G，*>为群，有：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）若G为Abel群，。
定理4.3.3 对|G|>1的群不可能有零元。
定理4.3.4 设<G,*>是一个群，对于。
必存在惟一的，使a*x=b。
定义4.3.7 设<G，*>为群，若在G中存在一个元素a，使得G中存在一个元素a，使得G中的任意元素都由a的幂组成，则称该群为循环群，元素a称为循环群G的生成元。
定义4.3.8 设<G，*>是一个群，S是G的非空子集，如果<S，*>也构成群，则称<S，*>是<G，*>的一个子群，记作S≤G。
子群判别定理：定理4.3.5 设<G，*>是群，H是G的非空子集，则H≤G iff。
（1）a，b∈H，有a*b∈H；（2）a∈H，有a-1∈H。
定理4.3.6 设<G，*>是群，H是G的非空子集，iff a，b∈H，则a*b-1∈H。
定理4.3.7设<G，*>是群，H是G的有穷非空子集，则H是G的子群iff a，b∈H，有a*b∈H。
设<G，*>是群，C={a|a∈G，且对x∈G有a*x=x*a}，C又称CentG.定义4.4.1 设<A,☆,*>是一个代数系统，如果满足（1）<A，☆>是阿贝尔群；（2）<A，*>是半群；（3）运算*对于运算☆是可分配的；则称<A,☆,*>是环。
定理4.4.1 设<A,+,·>是一个环，则对任意a，b∈A有（1）；（2）；（3）；（4）；（5）其中是加法幺元，-a是a的加法逆元，a+（-b）记为a-b，注意上面各式中不能只理解是实数上的加法与乘法。
定义4.4.2 设<R，+，·>是环，对a，b∈R，a≠0，b≠0，但a·b=0；则称a是R中的一个左零因子，b是R中一个右零因子；若一个元素既是左零因子，又是右零因子，则称它是一个零因子。
定义4.4.3 设R是一个环，对于任意的a，b∈R，若a·b=0，则a=0或b=0，就称R是一个无零因子环。
（整数环、有理环、实数环、复数环都是无零因子环。
）定理4.4.2 设<R，+，·>是环，R是无零因子环的充分必要条件，是在R中乘法适合消去律，即对任意a，b，c∈R，a≠0，若有a·b=a·c （或b·a=c·a），则有b=c。
定义4.4.4 设<A，+，·>是环。
如果<A，·>是可交换的，则称<A，+，·>是可交换环。
如果<A，·>含幺元，则称<A，+，·>是含幺元。
定义4.4.5 设<A，+，·>是一个代数系统，如果满足：（1）<A，+>是阿贝尔群；（2）<A，·>是可交换独异点，且无零因子，即对任意a，b∈A，a ≠，b≠必有a·b≠；（3）运算对于运算+是可分配的。
则称<A，+，·>是整环。
定义4.4.6 设<R，+，·>是一个环，且|R|≥2，（1）R有幺元；（2）每个非零元有逆元；则称这个环是除环。
如果一个除环是可交换的，称为域。
当<R，+，·>为域时，<R，+>及<R，·>是阿贝尔群，其中R*=R-|0|。
定义4.5.1 设<A,≤>是一个偏序集，如果A中任意两个元素都有最小上界和最大下界，则称<A，≤>为格。
定义4.5.2 设<s，≤>是一个格，P是由格中元素及≤，=，≥，∧，∨等符合所表示的命题，如果将P中的分别换成≥，≤，∨，∧得到的命题P*，称P*为P的对偶命题，简称对偶。
格的对偶原理：如果命题P对一切格L为真，则P的对偶命题业对一切格为真。
定义4.5.3 设<A，≤>是一个格，如果在A上定义两个二元运算∨和∧，使得对任意a，b∈A，a∨b等于a和b的最小上界，a∧b等于a 和b的最大下界。
称<A，∨，∧>为由格<A，≤>所诱导的代数系统。
二元运算∨和∧分别称为并运算和交运算。
定理4.5.1 在格<A,≤>中，对任意a，b∈A，都有：a≤a∨b，b≤a∨b，a∧b≤a，a∧b≤b。
定理4.5.2 设<A，≤>是格，a，b∈A，（1）a≤b，且a≤c=>a≤b∧c；（2）a≥b且a≥c =>b∨c。
定理4.5.3 在格<A，≤>中，对于a，b，c，d∈A，如果a≤b，c≤d，则a∨c≤b∨d，a∧c≤b∧d。
定理4.5.4 设<A，≤>是一个格，由<A，≤>所诱导的代数系统为<A，∨，∧>，则对于任意a，b，c，d∈A，有：（1）；（交换律）（2）；结合律（3）a∨a=a；a∧a=a（幂等律）（4）a∨(a∧b)=a；a∧(a∨b)=a；（吸收律）定理4.5.5 设<A，∧，∨>是一个代数系统，其中∨和∧都是二元运算，且满足交换性，结合性和吸收性，则A上存在偏序关系≤，使<A，≤>是一个格。
定义4.5.4 设<L，∧，∨>是代数系统，其中∧和∨是二元运算，若∧和∨运算满足交换律，结合律，吸收律，则称<L，∧，∨>是一个格。
定理4.5.6 设<L，∧，∨>是格，则（1）a，b，c∈L有a≤b=>a∧c≤b∧c，且a∨c≤b∨c；（2）a，b，c，d∈L有a≤b且c≤d=>a∧c≤b∧d，且a∨c≤b∨c；定理4.5.5 设<L，∧，∨>是格，S是L的非空子集，若S关于运算∧和∨是封闭的，则称<S，∧，∨>是格L的子格。