三角函数的周期性1课时课件3

x 以说 y cos 的周期为2π? 3
例 2 求下列函数的周期：
(1)y=3cosx，x∈R (2)y=sin2x，x∈R
1 ( 3)y 2 sin ( x )，x R 2 6
一般地，函数 y A si n ( x ), x R及 函 数y A cos(x ), x R , 其A、、中 为 常 2 数，且 A 0, 0的 周 期 T
3、 函数y=Asin(ωx+Ψ),x∈R及函数 y=Acos(ωx+Ψ),x∈R(其中A,ω,Ψ为常数，且 A≠0,ω>0)的周期T=2π /ω .
对周期函数的理解
1 对D内任意的x,都有f(x+T)=f(x)成立.其中x+T也必须在D 内.因此判断一函数不是周期函数,只需举一个反例就可以了. 判断函数
0X 2 x
X+2π
自变量x增加2π时函数值不断重复地出现的
o 4π 8π
4
x
y x o 6π 12π
三角函数的周期性
x -2 0
y=sinx(x∈R)
2
y
4
问题 能不能从正弦、余弦函数周期性归纳出 一般函数的规律性？
周期函数的定义
对于函数f(x)，如果存在一个非零常 数 Ｔ ，使得当 x 取定义域( D )内的每 一个值时，都有 f(x)＝f( x + T )，那 么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数 T 叫做这个函数的周期．
y x o 2π 4π 6π 8π 10π 12π
对于一个周期函数f(x),如果在它的所 有正周期中存在一个最小的正数，那么这 个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．
正弦函数、余弦函数都是周期函数， 2kπ (k∈Z且k≠0)是它们的周期，最小正 周期是2π .
y=sinx (x∈[ 0 , 4π] ) 是周期函数吗？
在x∈[2kπ- 2, 2kπ+ ]2上 都是增函数 , 在 π 3π x∈[2kπ+ ，2 2kπ+ ]上 2 都是减函数.
(kπ,0) x = kπ+ π
2
对称中心
对称轴
（1）三角函数图象的 周期性
[问题]
今天星期几？ 7天后星期几？
14天后呢？
100天后呢？
三角函数的周期性
y -2
y
y=sinx(x∈R)
练 习：
课本P40 1，2
X
小结：
1、 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常 数Ｔ，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x) ＝f(x+T)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数 T叫做这个函数的周期． 2、由周期函数的定义知：f(x+T)=f(x)的两端作用 的是相同的对应法则f.
正弦、余弦函数图 象的性质
观察正余弦函数的图像
y
1
3 5 2
2 3
2


2
O

2

1
3 2
2
5 2
3
x
正弦函数的图像
y
1
3 5 2
2 3
2


2
O

2

余弦函数的图像
1
3 2
2
5
3
x
问题：它们的图像有什么特征？
一、y=sinx 与 y=cosx 的性质
函 数 y= sinx 性质
(k∈z)
y= cosx x∈ R [-1,1]
(k∈z)
定义域 值域
x∈ R [-1,1] x= 2kπ+ 2 时 ymax=1 x=2kπ- π 时 ymin=-1 2 周期为T=2π 奇 π
π
最值及相应的 x 的集合
周期性 奇偶性 单调性
π
x= 2kπ时 ymax=1 x= 2kπ+ π时 ymin=-1 周期为T=2π 偶 在x∈[2kπ- π ， 2kπ ] 上都是增函数 , 在x∈[2kπ， 2kπ+π] 上都是减函数 。 π (kπ+ 2 ,0) x = kπ
y
x o
4π
f(x)=1是周期函数吗？
x -2 0 2 y 4
(1)观察等式 sin( ) sin 是否成立？ 4 2 4 如果成立，能不能说 是y=sinx的周期？ 2
(2) T (T≠0)是f(x) 的周期，nT (n∈N+)
是f(x) 的周期？
x x (3)由诱导公式 cos( 2) cos ，是否可 3 3
y cos x( x 0)是周期函数吗?
不是
2 一个函数是周期函数,但它并不一定有最小正周期.
例如: f(x)=a (a为常数) 3 设T是 f ( x), x R 函数的周期, 那么 kT (k Z , k 0) 也是函数的周期.只要求T是不为0 的倍数. 的常数,不要误认为 T 一定是