1[1].5 点、直线与直线的相对位置

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电大中专工程图学基础考试考核试题

1基础结构施工图主要是表示建筑物在相对标高正负0.000以下基础结构的图样。

A正确B错误正确正确答案：A学生答案：A2建筑工程图是表达建筑工程设计的重要技术资料，是施工的依据。

A正确B错误正确正确答案：A学生答案：A3办公类建筑包含（）A居住类建筑B科研类建筑C体育类建筑D行政和企业办公房屋错误正确答案：D学生答案：A4建筑按照其重要性、规模的大小、使用的要求的不同，分成（）、（）、（）、（）、（）、（）等多个级别。

A特级、1级、2级、3级、4级、5级B1级、2级、3级、4级、5级、6级正确正确答案：A学生答案：A5图纸的内边框是图框线，图框线的绘制用（）。

A细实线B中粗实线C粗实线D加粗的粗实线错误正确答案：C学生答案：A6建筑模数是建筑设计中选定的（）。

它是（）、（）、（）以及有关（）相互间协调的基础。

A标准尺寸、建筑物、建筑构配件、建筑制品、设备尺寸B建筑物、建筑构配件、设备尺寸、标准尺寸、建筑制品正确正确答案：A学生答案：A7因为尺上的实际长度只有10mm即1cm，所以用这种比例尺画出的图形尺寸是实物一百分之一，它们之间的比例关系是1：100。

B错误正确正确答案：A学生答案：A8已知A点的三面投影a、a’、a’’，其中a反映A到（）投影面的距离。

AH面和V面BH面和W面CV面和W面D所有面错误正确答案：C学生答案：A9投影线互相平行的投影方法称为（）。

A中心投影法B平行投影法C正投影法D斜投影法错误正确答案：B学生答案：A10轴测投影的轴间角均为120°，作图时轴向缩短系数均取1，则为（）。

A正等测B正二测C水平斜二测D正面斜二测正确正确答案：A学生答案：A11在正投影图的展开图中，A点的水平投影a和正a’的连线必定（）于相应的投影轴。

A平行B倾斜C垂直D投影错误正确答案：C学生答案：A12若用一个平行于某一投影面的平面切割某一立体，移去立体的一部分，对剩余部分所作的投影称为（）。

第四讲-几何元素相对位置(一)-点、直线和平面的从属关系

2021/4/9
8
4.3、平面上的主直线
问题：在一般位置平面
上能否找到与投影面平行的直线？
P
如果用一组水平面截P平面，得到一组交线，这组交线有何特性？
主直线：平面上与投影面平行的直线。
平面2021P/4/9与投影面的交线成为P在该投影面上的迹线。9
例：求平面上的水平线。 c’
a’Βιβλιοθήκη d’b’c db p
a
2021/4/9
10
4.4、平面上的点
面上取点的方法：
首先面上取线
先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。
例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。
① a
b
k●
c
②
bd
●k c
a
a
k● b c
利用平面的积聚性求解
b
d
a
●k
c 通过在面内作辅助线求解
b
B
投影分割成与空间相同的
C
比例。即：
A
AC/CB=ac/cb= ac / cb a c
b H
◆若点的投影有一个不在直
线的同名投影上，则该点必不 2在021/4此/9 直线上。
定比定理 3
例1：判断点C是否在线段AB上。
①
b
c
a
c
b
a
2021/4/9
点C在直线AB上
② a c●
ac
点C不在直线AB上
6
例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。
解法一
m a
根据定理一
b n c
解法二

空间向量的坐标表示与几何应用

空间向量的坐标表示与几何应用在三维空间中，空间向量是研究物体运动和位置的重要工具。

为了准确地描述和计算空间向量，我们需要用坐标来表示它们。

本文将详细介绍空间向量的坐标表示方法，并探讨其在几何应用中的重要性。

一、坐标表示方法1. 直角坐标系直角坐标系是最常用的表示空间向量的方法。

在直角坐标系中，我们以三个相互垂直的坐标轴为基准，分别表示x、y、z三个方向。

一个空间向量可以通过三个坐标值(x,y,z)来表示，分别表示它在x轴、y 轴和z轴上的投影长度。

例如，对于一个空间向量v，在直角坐标系中，我们可以表示为v=(x,y,z)。

2. 球坐标系球坐标系是另一种表示空间向量的方法，它是通过一个原点、一个偏离原点的距离、一个与z轴的夹角和一个与x轴的投影角来确定一个空间向量的位置。

在球坐标系中，一个空间向量的坐标通常表示为(r,θ,φ)，其中r表示向量到原点的距离，θ表示向量与z轴的夹角，φ表示向量在x-y平面上的投影与x轴的夹角。

二、坐标表示的几何应用1. 向量的加法与减法通过坐标表示，我们可以方便地对空间向量进行加法与减法运算。

只需将对应坐标相加或相减即可得到结果。

例如，对于向量v=(x1,y1,z1)和向量w=(x2,y2,z2)，它们的和可以表示为v+w=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)。

2. 向量的数量积与夹角坐标表示还可以用于计算向量的数量积和夹角。

向量的数量积可以通过坐标之间的乘积运算得到。

例如，对于向量v=(x1,y1,z1)和向量w=(x2,y2,z2)，它们的数量积可以表示为v·w=x1x2+y1y2+z1z2。

夹角可以通过向量的数量积公式求解：cosθ = (v·w) / (|v| |w|)其中，|v|和|w|分别表示向量v和w的模长。

3. 点与直线的相对位置通过点和直线的坐标表示，我们可以判断一个点与直线的相对位置关系。

以直线的方程和点的坐标为基础，我们可以计算点到直线的距离，从而判断点在直线上方、下方还是与直线相交。

《机械制图与CAD》教学大纲

《机械制图与CAD》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程目标（一）总体目标本课程是智能制造专业必修的一门技术基础课，同时又是一门培养学生空间思维和设计创造能力的近机类公共基础课程。

工程图样是表达和交流技术思想的重要工具，是工程技术部门的一项重要技术文件。

本课程研究绘制和阅读工程图样的基本原理和基本方法，培养学生的制图能力、空间思维能力、构形设计能力以及认真细致踏实的工程师素质。

通过课程的学习，达到对学生四种能力——即工程设计表达能力、空间思维能力、设计创新能力、工程实践能力，一种素质——即包括培养发散思维习惯、工程综合素质、质量与标准意识、设计审美意识、工作责任心的培养。

为培养研究和应用型人才奠定坚实的基础。

在整个教学过程中，注意对学生自学能力、自信心的培养；注重思维方法的训练，使学生在学习知识的同时，掌握思维方法提高解决问题的能力；对日常作业严格要求，养成对工程问题一丝不苟的作风。

（二）课程目标课程目标1：学习和掌握用投影法表达空间几何形体和图解几何问题的基本原理和方法。

课程目标2：培养绘制和阅读投影图的基本能力，能够清晰完整的标注尺寸。

课程目标3：培养绘制、阅读零件图和装配图的基本能力。

（三）课程目标与毕业要求、课程内容的对应关系表1：课程目标与课程内容、毕业要求的对应关系表课程目标1 学习和掌握用投影法表达空间几何形体和图解几何问题的基本原理和方法第一章绪论第二章点、直线、平面的投影第三章立体第四章制图基本知识与技能毕业要求3设计/开发解决方案：能够设计针对智能制造系统的分析、设计、集成问题的解决方案，设计满足特定需求的智能工厂和制造流程，并能够在设计环节中体现创新意识，考虑社会、健康、安全、法律、文化以及环境等因素。

课程目标2 培养绘制和阅读投影图的基本能力，能够清晰完整的标注尺寸第二章点、直线、平面的投影第三章立体第四章制图基本知识与技能第五章组合体的视图毕业要求1工程知识：能够将数学、自然科学、工程基础和专业知识用于解决智能制造系统分析、设计、集成的复杂工程问题。

工程制图第三章-点、直线、平面投影

1-5点、直线与直线的相对位置

c'
e'
X c'
b' a
O
e e
b
19
c
例过点E 作线段AB、CD 的公垂线EF。
b′ e′ c′ X e b a′ d′ O f′
a d
f c
20
例已知菱形对角线AC的两面投影及b’,求该菱形的投影 , 空间分析：空间分析：
中点N 等分对角线 AC⊥BD 对边平行且相等
21
之间的距离。例: 求作直线AB 与CD 之间的距离。分析： 1.过分析： 1.过AB 上任一点K，作KF ⊥ AB 及CD; 是一般位置线，求出实长， 2.KF是一般位置线，求出实长，即为所求距离。距离。
空间两直线平行，空间两直线平行，同名投影必相互则其各同名投影则其各同名投影必相互平行，反之亦然。平行，反之亦然。由于AB //CD，则必定ab//cd， a’b’//c’d’ ， a〃b〃//c〃d〃。〃〃〃〃
d′ ′
6
例：判断图中两条直线是否平行。判断图中两条直线是否平行。
第五节点、直线与直线的相对位置
一、直线上的点直线上的点具有两个特性：直线上的点具有两个特性：
1 从属性若点在直线上，则若点在直线上，点的各个投影必在直线的各同面投影上。投影上。利用这一特性可以在直线上找点，线上找点，或判断已知点是否在直线上。直线上。 2 定比性属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。割线段之比等于其投影之比。即 A C: C B = a c : c b= a′c′ : c′b′ = C: b= a″c″ : c″ b″
10
相交。例：过C点作水平线与AB相交。点作水平线CD与相交

中考数学专题(平面直角坐标系中点与直线的位置关系)

平面直角坐标系中点与线的位置关系教学目标1、知识与能力目标：了解点与线的位置关系，即点在线上；点不在线上。

平面直角坐标系中，能够利用点的坐标与解析式的关系判断点和线的位置关系。

提高学生在动态问题中分析和解决问题的能力。

2、过程与方法目标：在问题的研究过程中，使学生掌握点与线位置关系的判断方法；即点在直线或曲线上，则该点的坐标满足直线或曲线的解析式，若点不在线上，则不满足。

3、情感态度价值观：在灵活多变的运动变化问题的探讨过程中。

培养学生学习数学的兴趣和不断深入探索的精神。

教学重难点：重点：使学生掌握点与线位置关系的判断方法。

难点：运用这种方法解决某些综合问题。

教学器材：幻灯片、几何画板教学过程：一、发现问题，总结方法大家知道,点是用来表示物体位置的。

但是在平面上我们要表示一个物体的位置却很难。

需要借助多个参照点，才能说清楚该点的相对位置关系。

但是在建立了平面直角坐标系之后，点就被赋予了代数的意义，一个点和一个有序数对建立了一一对应的关系。

确定一个点的位置只需要说坐标就可以了（125.3,43.9）。

对于一个函数，我们把符合函数的变量的取值看作是有序数对，那么这个函数在坐标系中又可以用图像来表示。

特别的，对于我们学习的三类函数（一次函数，反比例函数，二次函数）的图像都是线，那么对于平面直角坐标系中的两种基本图形——点与线的有什么样的位置关系呢？那么，今天我们就来研究一下这个问题。

1、首先请同学们思考，点与直线有什么样的位置关系呢？（点在线上；点不在线上）（9）若正比例函数的图象经过点（－1，2），则这个图象必经过点（）（A ）(1，2) （B ）(－1，－2) （C ）(2，－1) （D ）(1，－2)．①如何判断点在该直线上，将点的坐标代入解析式，若满足解析式则该点在直线上，若不满足则不在该直线上。

②点(1，2)不在该直线上，那么该点在直线的哪部分，如何判断？(过该点向x 轴作垂线，若该点的纵坐标大于交点的纵坐标，说明该点在直线上方，否则在下方。

直线与点及两直线的相对位置

影长为一直角边，两端点与这个投影
面的距离差为另一直角边形成的直角实长
三角形。其斜边是线段的实长，斜边
与投影长的夹角就是该直线与这个投
β
影面的倾角。
Z
X
b'
V
Z
实
a'
长
a'' γ
0 a
b''
YW
a'
bα
A
a''
W
b'
βγ
实长 YH
X
Bo
α
0
在正面投影上求线段实长与倾角β
a B
b''
在水平投影上求线段实长与倾角α
b H
c k a
b d
a
d
ck
b
判别方法：若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。
过C点作水平线CD与AB相交。
b
c●
k
d
a
a
d
k c●
b
先作正面投影
3.3.3 两直线交叉 AB与CD两直线相交吗
a c
1(2
)
3 ●
●
●4
c a
2
●
●
●
1
3(4 )
d
投影特性：
2.求作AB、CD交叉线的公垂线。空间分析：
正平线
a'b' n'
d'
V 投影
D S
c' s'
b n
c
s
C N B
A
1）因为AB为正垂线，
a
d

第01讲直线的方程(九大题型)(课件)高考数学一轮复习(新教材新高考)

故答案为： −∞, −
2
5
∪ 2, +∞ ．
题型突破·考法探究
题型四：直线的方程
【典例4-1】已知为等腰直角三角形，C为直角顶点，AC中点为(0,2)，斜边上中线CE所
在直线方程为3 + − 7 = 0，且点C的纵坐标大于点E的纵坐标，则AB所在直线的方程
为
．
【答案】 − 3 + 1 = 0

当直线不经过原点时，设直线方程为：2 + = 1，
2
3
把点(2,3)代入2 + = 1，解得 = 4．
∴直线方程为 + 2 = 8．
综上可得直线方程为：3 − 2 = 0或 + 2 − 8 = 0，
故答案是：3 − 2 = 0或 + 2 − 8 = 0．
【方法技巧】
题型二：三点共线问题
【典例2-1】若点 3,1 、 −2, 、 8,11 在同一直线上，则实数k的值为
【答案】−9
【解析】因为三点 3,1 、 −2, 、 8,11 在同一直线上，
∴的斜率和的斜率相等，
−1
即−2−3 =
11−1
，
8−3
∴ = −9．
故答案为：−9．
．
是
．
【答案】
1
−3, −
2
3−0
2−0
1
【解析】设(3,0)，则 = 2−3 = −3， = −1−3 = − 2，
∵点(, )是线段上的任意一点，
∴

1
]，
的取值范围是[−3，−
−3
2
1
故答案为：[−3，− 2]

的取值范围

「直线与点的位置关系」

§2—４直线与点以及两直线的相对位置一、直线上的点直线上的点有以下特性：(1) 点在直线上，则点的投影必在该直线的同面投影上。

反之,如果点的投影均在直线的同面投影上,则点必在该直线上，否则点不在该直线上。

如图1—19所示,点K 的投影ｋ、k '、k ''均在直线AB 的H 、Ｖ、W 投影上，所以点K 在直线AB 上。

如图2—２0所示,点Ｃ的Ｖ面投影c '虽然在b a ''上，但是点Ｃ的H 面投影c 不在a ｂ上，所以点Ｃ不在直线AB 上。

（2）直线上的点分割直线之比,在投影后保持不变。

如图2—１９所示,点K 在直线ＡB 上,则ＡB:ak:k ｂ=b k k a b k k a ''''''''=''='':。

由上述可知，点是束在直线上，在一般情况下根据两面投影即可判定。

但当直线为某一投影面平行线，而已知的两个投影为该直线所不平行的投影面的投影时,则不能直接总协定。

如图2—21a 所示，AB 为侧平线，而图中却只给出其正面投影b a ''及水平投影ab 。

此时,虽然点K 和点S 的正面投影k '、s ''及水平投影k 、s 均落在b a ''和ab 上,但仍不能总判定出点K 和点Ｓ是否在ＡB 上。

其判别方法如下：[方法一] 定比法如图2—２1b 所示，自a 任引直线 a 1B =b a ''，连ａ1B ,在a 1B 上量取0ak =k a '',b S B S ''=10,过0k 作1bB 的平行线,发现该线不过k,则点K 不在直线AB 上。

过0S 作1bB 的平行线，发现该线过s,则点A 在直线AB 上。

[方法二] 补投影法即补出已知投影面平行线在所平行的投影面上的投影及已知点的投影。

机械制图习题集(第6版)答案

《机械制图》（第六版）习题集答案第3页图线、比例、制图工具的用法、尺寸注法、斜度和锥度●要掌握和理解比例、斜度、锥度的定义；各种图线的画法要规范。

第4页椭圆画法、曲线板用法、平面图形的尺寸注法、圆弧连接1、已知正六边形和正五边形的外接圆，试用几何作图方法作出正六边形，用试分法作出正五边形，它们的底边都是水平线。

●注意多边形的底边都是水平线；要规范画对称轴线。

●正五边形的画法：①求作水平半径ON的中点M；②以M为圆心，MA为半径作弧，交水平中心线于H。

③AH为五边形的边长，等分圆周得顶点B、C、D、E④连接五个顶点即为所求正五边形。

2、用四心圆法画椭圆（已知椭圆长、短轴分别为70mm、45mm）。

●参教P23四心圆法画椭圆的方法做题。

注意椭圆的对称轴线要规范画。

3~4、在平面图形上按1：1度量后，标注尺寸（取整数）。

5、参照左下方所示图形的尺寸，按1：1在指定位置处画全图形。

第6页点的投影1、按立体图作诸点的两面投影。

●根据点的两面投影的投影规律做题。

2、已知点A在V面之前36，点B在H面之上，点D在H面上，点E在投影轴上，补全诸的两面投影。

●根据点的两面投影的投影规律、空间点的直角坐标与其三个投影的关系及两点的相对位置做题。

3、按立体图作诸点的两面投影。

●根据点的三面投影的投影规律做题。

4、作出诸点的三面投影：点A（25，15，20）；点B距离投影面W、V、H分别为20、10、15；点C在A之左，A之前15，A之上12；点D在A之下8，与投影面V、H等距离，与投影面W的距离是与H面距离的3.5倍。

●根据点的投影规律、空间点的直角坐标与其三个投影的关系及两点的相对位置做题。

各点坐标为：A（25，15，20）B（20，10，15）C（35，30，32）D（42，12，12）5、按照立体图作诸点的三面投影，并表明可见性。

●根据点的三面投影的投影规律做题，利用坐标差进行可见性的判断。

（由不为0的坐标差决定，坐标值大者为可见；小者为不可见。

点、直线及直线的相对位置

Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点，用其可帮助判断两直线 Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。的空间位置。
12
例判断两直线的相对位置
c
b
1
a
d
X a
d
1
cb
1d 1c 13
判断两直线重影点的可见性
a
X
c 1 (3)4
2
d
b
B
C 13
2 4D O
A
c
3
b
a
4
1(2)
d
判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。
第五节点、直线与直线的相对位置
一、直线上的点
直线上的点具有两个特性： V
b
1 从属性若点在直线上，则点
c
B
的各个投影必在直线的各同面投 a
影上。利用这一特性可以在直线
C
上找点，或判断已知点是否在直线上。
A
b
2 定比性属于线段上的点分割
ac
H
线段之比等于其投影之比。即
A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b
2.KF是一般位置线，求出实长，即为所求
距离。
距离
22
例: 已知ABCD为正方形，完成其投影。
Z差
Z差
23
10
例：过C点作水平线CD与AB相交。
b
c●
k
d
a
a
d
k c●
b
先作正面投影
11
⒊ 两直线交叉
a c’
1(2)
3 ●
●
●4

点与直线的位置关系

点与直线的位置关系点与直线的位置关系是几何学中重要的基础知识之一，它描述了一个点在直线上的具体位置，以及直线与点的相对关系。

在这篇文章中，我将详细介绍点与直线的位置关系，包括在直线上的点和在直线外的点。

一、在直线上的点在直线上的点是指一个点与一条直线有着重合的位置。

在数学上，我们可以通过表示点的坐标和直线的方程来确定点在直线上的位置。

例如，对于直线方程y = mx + c，其中m和c分别是直线的斜率和截距，一个点(x, y)在直线上当且仅当它满足该直线方程。

具体而言，我们可以将点的坐标带入直线方程中，如果等式成立，则该点在直线上。

二、在直线外的点在直线外的点是指一个点与一条直线没有交集或者没有重叠的位置。

在数学上，我们可以通过直线方程来确定点在直线外的位置。

如果一个点(x, y)不满足直线方程y = mx + c，那么它就在直线外。

此时，可以通过绘制直线的图形来直观地判断点在直线外的位置。

三、点与直线的相对位置关系除了在直线上或直线外的两种基本位置，还存在一些特殊的相对位置关系。

具体而言，我们可以将点与直线的相对位置关系分为以下几种情况：1. 点在线段上：当一个点在直线上，同时该点也在直线的两个端点之间，我们称该点在线段上。

2. 点在线段的延长线上：当一个点在直线上，但该点在直线的两个端点之外，我们称该点在线段的延长线上。

3. 点在直线的左侧或右侧：当一个点在直线的左侧或右侧，我们称该点在直线的相应侧面。

4. 点在直线的上方或下方：当一个点在直线的上方或下方，我们称该点在直线的相应方向。

这些相对位置关系可以通过坐标系和直线方程来计算和确定。

综上所述，点与直线的位置关系是几何学中重要的概念，它描述了一个点在直线上的具体位置，以及直线与点的相对关系。

在数学中，我们可以利用点的坐标和直线的方程来确定点在直线上的位置，同时也可以通过直线方程来判断点在直线外的位置。

此外，还存在一些特殊的相对位置关系，如点在线段上、点在线段的延长线上、点在直线的左侧或右侧、点在直线的上方或下方等。

空间几何中的点与直线的位置关系

空间几何中的点与直线的位置关系空间几何是数学中的一个重要分支，研究着点、线、面等在三维空间中的位置关系。

其中，点与直线的位置关系是空间几何中的基础概念之一。

在本文中，我们将探讨点与直线之间的不同位置关系，并通过具体的例子进行说明。

一、点在直线上首先，我们来讨论点在直线上的情况。

如果一个点位于一条直线上，那么我们说这个点与直线相交或者在直线上。

在数学中，我们用符号“∈”来表示一个点在一条直线上的关系。

例如，点A ∈直线l，表示点A在直线l上。

二、点在直线的延长线上除了点在直线上，还可能出现点在直线的延长线上的情况。

延长线是指直线上的无限延伸部分。

如果一个点位于直线的延长线上，我们称该点与直线相交于延长线上。

同样地，我们用符号“∈”来表示一个点在直线的延长线上的关系。

三、点在直线的背后或前方如果一个点既不在直线上，也不在直线的延长线上，那么该点就可能位于直线的背后或前方。

直线的背后是指直线在我们所观察的空间中的反面，而直线的前方是指直线在我们所观察的空间中的正面。

可以通过在直线上选择两个不同的点，然后观察与这两个点不在线上的其他点的位置关系，来判断点是在直线的背后还是前方。

四、点与直线的相对位置除了以上讨论的点在直线上、延长线上、背后或前方的情况外，还可以存在点与直线的相对位置关系。

这包括点与直线的垂直关系和平行关系。

1.点与直线的垂直关系如果一条直线与另一条直线相交成垂直的关系，那么我们可以称这两条直线是相互垂直的。

同样地，如果一个点与直线相交成垂直的关系，我们也可以称这个点与直线是相互垂直的。

在数学中，我们用符号“⊥”来表示垂直关系。

例如，点A ⊥直线l，表示点A与直线l相垂直。

2.点与直线的平行关系如果两条直线之间不存在交点，并且它们的方向也不会相交，那么我们可以称这两条直线是平行的。

同样地，如果一个点与直线不存在交点，并且它的方向也与直线不相交，我们也可以称这个点与直线是平行的。

在数学中，我们用符号“∥”来表示平行关系。

平面中的直线和点的位置关系

平面中的直线和点的位置关系直线和点是几何学中最基本的两个要素，其位置关系的确定对于几何学的研究至关重要。

在平面几何中，我们可以通过不同的方法来描述直线和点之间的位置关系。

本文将介绍常见的几何关系以及如何通过方程来表示它们。

一、直线与点的相对位置1. 直线上的点：当一个点在直线上时，我们可以说该点在直线上。

我们可以通过直线的方程来确定点是否在直线上。

例如，对于直线的一般方程Ax + By + C = 0，如果点（x，y）满足这个方程，那么该点就在直线上。

2. 直线上方的点和直线下方的点：如果给定一条直线L和点P，我们可以通过求解直线和点的距离来确定点P相对于直线L的位置。

具体来说，如果点P到直线L的距离为正数，那么点P在直线L的上方；如果点P到直线L的距离为负数，那么点P在直线L的下方。

3. 直线左侧的点和直线右侧的点：对于直线的一般方程Ax + By +C = 0，我们可以通过将x和y的值代入方程中来确定点相对于直线的位置。

如果代入后方程的值为正数，那么点在直线的左侧；如果为负数，那么点在直线的右侧。

二、直线与点的特殊位置关系1. 直线上的两点：如果两个点在同一条直线上，我们可以说这两个点共线。

共线的条件可以通过计算斜率来判断，如果两个点的斜率相等，那么它们在同一条直线上。

2. 直线与点的交点：当一条直线与一个点相交时，我们可以称该点为直线的交点。

交点的位置可以通过求解直线和点的方程组来确定。

如果方程组有解，则点是直线的交点；如果方程组无解，则点不在直线上。

三、直线和点的进一步研究除了以上所述的基本关系之外，几何学中还涉及到直线和点的更复杂的位置关系，如直线的平行、垂直关系以及点到直线的距离等。

这些关系在实际问题求解中具有重要的应用价值。

总结：几何学中，平面中直线和点的位置关系是基础且重要的研究内容。

通过方程和几何方法，我们可以准确地描述直线与点之间的位置关系。

这些位置关系对于几何学的研究以及实际问题的求解具有重要的意义。

画法几何与土木建筑制图第3章点、直线的投影及两直线的相对位置

A点到W面的距离为x坐标，即；Aa''= a'aZ=aay=aXO=x A点到V面的距离为y坐标，即；Aa'= aax= a''az =ayO=y A点到H面的距离为z坐标，即；Aa= a'ax= a''ay =azO=z
V
a'
X
ax
Z
az
A
a''
O
a
ay
Y
(a)立体图
a' X aX
a
Z
aZ
a''
YW O aYW aYH YH
V
a'
b' W
a'
b' Z
a''(b''
X
A
O B)
X
a b
Y
立体图
a
投影特性: a''b'' 积聚为一点
ab ∥a'b'∥OX
ab= a'b'=AB
O
b
YH 投影图
a''(b'')
YW
2. 投影面平行线投影特性
V
a'
X
Z
b' W
B
αγ
A
a b
正平线
a' α
b''
X
a''
b' Z γ
O
Y
立体图
a
正平线投影特性:
b'
X
Z
a'
a''

四川大学机械制图课件第1章投影法和点、直线、平面的投影

1. 实形性
A
C
D
B
E
a
c
b
d
H
e
当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形。
2. 积聚性
A
C
D
B
E
c
a（b）
e
d
H
当线段或平面垂直于投影面时，其投影积聚为点或线段。
3. 类似性
C A
D B
E
a
b
c
d
e H
当线段或平面倾斜于投影面时，其投影变短或变小。
1.1 点的投影
1.1.1 点在两投影面体系中的投影 1.1.2 点在三投影面体系中的投影 1.1.3 两点的相对位置和重影点
第1章投影法和点、直线、平面的投影
1.1 投影法的基本知识 1.2 点的投影 1.3 直线的投影 1.4 求线段实长及对投影面的倾角 1.5 两直线的相对位置 1.6 平面的投影
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1.1 投影法的基本知识
1.1.1 投影法概念 1.1.2 投影法的分类 1.1.3 正投影法的基本性质
1.1.1 投影法的概念
例1 把一般位置直线AB变为H1投影面平行线
a
b
XV H
a
b
a1
b1
2. 将投影面平行线变为投影面垂直线
V
a1
b a
X
B
A
b
a
a1
b1
XV
H
a
b
H
a
b
3. 将一般位置直线变为投影面垂直线
b a
a2 b2 B
A b
a H
b1
V1
a1
X1
将一般位置直线变为投影面垂直线

点和直线的知识点

点和直线是几何学中最基本的概念之一，它们在数学和物理学中都起着重要的作用。

在这篇文章中，我们将逐步思考点和直线的一些关键知识点。

1.点的定义和性质点是几何学中最基本的对象，它不具有大小和形状。

点只有位置，可以用坐标表示。

在二维坐标系中，一个点可以用(x, y)的形式表示。

点有以下几个重要的性质：•点与点之间没有距离，它们之间只有相对位置的概念。

•两个点可以确定一条直线。

2.直线的定义和性质直线是由无数个点组成的，它是一条无限延伸的路径。

直线可以用两个点来确定，也可以用一条方程来表示。

直线有以下几个重要的性质：•直线上的任意两点可以确定一条唯一的直线。

•直线可以无限延伸，没有起点和终点。

•直线上的任意两点之间的距离是恒定的。

3.直线的方程直线的方程是通过点和斜率来表示的。

在二维坐标系中，直线的方程可以写成y = mx + c的形式，其中m是斜率，c是截距。

斜率表示直线的倾斜程度，截距表示直线与y轴的交点。

通过方程，我们可以知道直线上的任意点的坐标。

4.点和直线的关系点和直线之间有着紧密的联系。

一个点可以在直线上，也可以不在直线上。

通过点和直线之间的关系，我们可以判断点是否在直线上。

我们可以通过直线的方程将点的坐标代入，如果等式成立，说明点在直线上。

如果不成立，说明点不在直线上。

5.点和直线的应用点和直线的概念在实际生活中有着广泛的应用。

在建筑和工程领域，点和直线的概念被用来表示建筑物的结构和设计。

在物理学中，直线的概念被用来描述物体的运动轨迹和光的传播路径。

在计算机图形学中，点和直线的概念被用来表示图像和动画。

总结起来，点和直线是几何学中最基本的概念之一。

通过了解它们的定义和性质，我们可以更好地理解它们在数学和物理学中的应用。

点和直线的知识点是数学和物理学学习的基础，也是理解更复杂概念的关键。

希望本文能够帮助读者深入理解点和直线的概念，并将其应用于实际问题中。

点与直线的关系

点与直线的关系在数学中，点与直线是两个基本概念，它们之间有着紧密的关系。

本文将探讨点与直线的定义、性质以及它们之间的关联。

一、点的定义与性质点是几何学中最简单的基本概念之一，在平面几何中被定义为没有长度、宽度和高度的位置。

点通常用大写字母表示，如A、B、C等。

与点相关的性质有：1. 唯一性：给定平面上的任意两个点，它们在空间中的位置是唯一确定的，不存在重复的点。

2. 位置：点不占据空间，只是表示一个位置，在几何图形中常常被用于标明其它几何对象的相对位置。

3. 无序性：在给定的几何图形中，点的顺序并不重要，因此它们可以交换位置而不改变图形的本质。

二、直线的定义与性质直线是另一个几何学的基本概念，它是由无数个点连成的一条无限延伸的路径。

直线通常用小写字母加上一个箭头表示，如AB→。

与直线相关的性质有：1. 无宽度：直线不占据空间，它是一个无限细长的路径，不具备宽度。

2. 无限延伸：直线可以无限地延伸，没有起点和终点。

3. 无曲度：直线上的任意两个点之间的路径是直的，不弯曲也不呈现曲线形状。

三、点与直线之间的关系在几何学中，点和直线之间有着紧密的联系。

以下是一些常见的点与直线的关系：1. 相交：当一条直线与另一条直线或线段相遇时，我们可以说它们相交于某个点。

这个点既属于第一条直线，也属于第二条直线。

2. 平行：当两条直线在平面上没有任何交点时，称它们为平行线。

平行线永远保持相同的间距，永不相交。

3. 垂直：当两条直线相交时，如果它们的交角为90度，则称这两条直线相互垂直。

垂直的直线形成了直角，是一种特殊的相交关系。

4. 切线：当一条直线刚好与一个曲线相切于一个点时，称这条直线为曲线的切线。

切线与曲线在切点处相切，切点同时也是切线上的一个点。

总结：点与直线是几何学中最基本的概念之一。

点表示位置，没有具体的大小和形状；直线是由无数个点连成的路径，具有无限延伸性。

点与直线之间有着丰富的关系，包括相交、平行、垂直和切线等。

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1、垂直相交的两直线的投影
a A B C c
b
X
a b
a c
c
H
b
AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac
2、交叉垂直的两直线的投影 A B N X m a a b
n
C a
c
n
n b H m
b
M m
AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac
例题8
过点A 作EF 线段的垂线AB。 b f
b c
cb
ac
a
b c
X
c
H
b
a
例题4 已知线段AB的投影，试定出属于线段AB的点C的投影，使 BC 的实长等于已知长度L。 b L AB c a X b BC a c ab zA-zB
1.5.2 两直线的相对位置
一、平行两直线二、相交两直线三、交叉两直线四、交叉两直线的可见性例题5
例题6
例题7 五、垂直两直线的投影
一、平行两直线
b c
a X B C d D X a
b
d c
A
a
b b
d
b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
c
a
c
1、两平行直线在同一投影面上的投影仍平行。反之，若两直线在同一投影面上的投影相互平行，则该两直线平行。 2、平行两线段之比等于其投影之比。
二、相交两直线
d k a X c K D b B a k
1.5 点、直线与直线的相对位置
b
c
C a A 直线上的点具有两个特性： a
B
1.5.1 直线的点
X
O c b c
1 从属性若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。
2 定比性
属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即
A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b
e
a
O
X
e b a
f
例题9
过点E 作线段AB、CD 的公垂线EF。 b e f
c X e
b
a
d O
a d
f
c
例题10 作三角形ABC，ABC为直角，使BC在MN上，且 BCAB =23。
a b c bc=BC
n
ab
m X m
AB
c
b
n
|yA-yB|
a
利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已知点是否在侧平线上。例题2 例题3 例题4
例题2 已知线段AB的投影图，试将AB分成1：2两段，求分点C的 AB。 b
c
a X b c
a
例题3
已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。
V
b c a B A a C O X
d b
X
c
c b k
C Ac a
b
k
d
a
d 两相交直线在同一投影面上的投影仍相交，且交点属于两直线。反之，若两直线在同一投影面上的投影相交，且交点属于两直线，则该两直线相交。
三、交叉两直线
d
1(2) a X c 2 b 1(2)
d
b
B
D X O b d
a c b
X
O b
A c a 1(2) 3 4 d
例题5
判断两直线的相对位置
c b z c b a o d YW
a X
d
a
d b
YH
c
例题6
判断两直线的相对位置
c 1 b
a
X a
d d 1
c
1d 1c
b
例题7 判断两直线重影点的可见性
c b 1 3(4)
2
a X 4 c a 1(2)
d
b d
3
五、直角投影定理
一、垂直相交的两直线的投影定理一：垂直相交的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。定理二：相交两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。
二、交叉垂直的两直线的投影定理三：相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。定理四：两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。例题8 例题9 例题10
A
a 2 C
1 1
2
a 1
d
c
c
凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。
四、判断两直线重影点的可见性
c
b 1 (3)4 2 d C 2 B 判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。
a
1 3
4 D