差分形式的阻滞增长模型
数学建模讲座机理分析方法及例子1
不稳定，轨道{xn}趋向稳定点
■ 当3<a<1+61/2时， xn 绕着两个数 x3*，x4*振动,
例 a =3.2
x2k-1 →0.799455
x2k →o.513045
这两个数满足
x f 2 ( x), x f ( x)
也称为周期2点,对应轨道称周期2轨道.(原来周期
n = 0,1,2,…
● 数值迭代（ a 逐渐增加，迭代会有何结果）
1．倍周期分叉现象
■ 当0<a <1时，由于0<xn<axn+1
xn →0
物种逐渐灭亡
■ 当1<a<3时，任何(0,1)中初始值的轨道趋于
x*=1-1/a 其中x*是方程f(x)=x的解，为映射f 的不动点
（周期1点)例：a =1.5时 xn → 1/3.
~总和生育率
f
(t )
(t) r2 r1
h(r , t )k
(r,
t)
p(r , t )dr
人口发展方程和生育率
f
(t)
(t) r2 r1
h(r , t )k
(r,t)
p(r,
t)dr
(t) ~总和生育率——控制生育的多少
h(r, t ) ~生育模式——控制生育的早晚和疏密
p(r,t)
p0
约35年增加一倍，与1700－1961年世界人 统口计结果一致
与近年统计结果有误差，由a >1,xn趋向无穷， 模型在人口长期预测方面必定是失效的.
● Logistic模型
.
生存资源是重要的因素，修改模型为：
xn+1 － xn= r xn－ b xn2 － b xn2为竞争(约束)项，r、b 称生命系数,则
第七章 差分方程模型
1. 使 α 尽量小，如 α=0 尽量小， 需求曲线变为水平 以行政手段控制价格不变 2. 使 β 尽量小，如 β =0 尽量小， 供应曲线变为竖直 靠经济实力控制数量不变
0
x0
x
模型的推广 生产者管理水平提高
• 生产者根据当前时段和前一时 段的价格决定下一时段的产量。 段的价格决定下一时段的产量。
αβ < 1 放宽了
7.2 减肥计划 减肥计划——节食与运动 节食与运动 背 景
• 体重指数 体重指数BMI=w(kg)/l2(m2). 18.5<BMI<25 ~ 正常； 超重; 肥胖. 正常； BMI>25 ~ 超重 BMI>30 ~ 肥胖 • 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持 多数减肥食品达不到减肥目标， • 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体 通过控制饮食和适当的运动， 的前提下， 的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标
t t +1 t
∆2 yt = ∆(∆yt ) = ∆yt+1 −∆yt = yt+2 −2yt+1 + yt
为的二阶差分。类似地，可以定义 阶差分。 为的二阶差分。类似地，可以定义yt的n阶差分。 二阶差分 阶差分 差分方程， 由t、yt及yt的差分给出的方程称 为yt差分方程，其中含的最 、 高阶差分的阶数称为该差分方程的阶 高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。差分方程也可以写成 不显含差分的形式。例如， 不显含差分的形式。例如，二阶差分方程 ∆2 yt + ∆yt + yt = 0 也可改写成 yt+2 − yt+1 + yt = 0
基本模型
w(k) ~ 第k周(末)体重 周 末 体重 c(k) ~第k周吸收热量 第 周吸收热量
3.4 离散阻滞增长模型及其应用
S 型曲线说明一阶差分 xk xk 1 xk 随着 k 或 xk (k 0,1, ,17) 的增加而逐渐增大然后逐渐减小. 计算 xk 并填入表 3.2 的第 3 列，由计算结果可 发现 xk 确实随着 k 或 xk 的增加而先递增、然后递减.
3.4.2 酵母培养物的增长 （二）问题分析
xk x0 1 r , k 0,1, 2,
k
(3.2.3)
如果 r>0，种群数量将按指数规律随时间无限增长.
3.4.1 离散阻滞增长模型
由于受有限的资源环境的制约，种群数量不可能 无限增长，种群数量的增长率也不可能一直保持不 变，而是会随着种群数量的增加而逐渐减小. 有限的 资源环境对种群数量增长的制约作用即“阻滞作用” . 假设由于受有限的资源环境的制约，用前差公式 计算的增长率随着种群数量的增加而线性递减，即 xk 1 xk xk (3.4.3) r 1 , k 0,1, 2, xk N 模型假设(3.4.3)式即导出离散阻滞增长模型.
3.4.1 离散阻滞增长模型
离散阻滞增长模型就是一阶非线性差分方程 xk (3.4.1) xk rxk 1 , k 0,1, 2, N xk 即 (3.4.2) xk 1 xk rxk 1 , k 0,1, 2, N 分别记 x 和 y 是同一时段的种群数量和用前差公 式计算的增长率，则在 x~y 直角坐标平面内直线方程 (3.4.4) y r (1 x N ) 的纵截距为 r，横截距为 N（见图 3.6）.
图 3.7
1 0
1 0
0 50 100 2<r<2.449,0<x 0<N,x k呈 2周 期 轨 道
阻滞增长模型
马尔萨斯模型
模型假设
模型内容
阻滞增长模型它是对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的,它考虑到了这一因素,即在分析人口增长到一定数量后增长率下降的主要原因,自然资源、环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用,并且随着人口的增加,阻滞作用会越来越大。
阻滞作用体现在对人口增长率r的影响上,使得r 随着人口数x的增加而下降。
若将r表示为x 的函数r(x) ,则它应是减函数于是有
对r(x)的一个最简单的假定是,设r(x) 为x的线性函数,即
r(x)=r-sx(r>0,s>0)这里r 称固有增长率,表示人口很少时的增长率. 为了确定系数s 的意义,引人自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数据Xm ,称人口容量但x=Xm 时人口不再增长,即此时增长率为0。
所以。
差分方程方法与应用(应用举例)
问 题
公寓原来价多少？每月等额付款如何算出来？
假 设
贷款期限内利率不变
银行利息按复利计算
记 号
A（元）：贷款额（本金） n（月）：货款期限 r ：月利率 B(元) :月均还款额
Ck：第k个月还款后的欠款
模 型
Ck (1 r )Ck 1 B
C0 A
Cn 0
求 解
(1 r ) n r B A n (1 r ) 1
f与g的交点P0(x0,y0) ~ 平衡点 一旦xk=x0，则yk=y0,
x
xk+1,xk+2,…=x0, yk+1,yk+2, …=y0
P P P P P P P P0 1 2 3 1 2 3 0
P0是稳定平衡点
y y2 y0 y3 y1 0 f g P4 P0 y
P3
P2
曲线斜率
K f Kg
P1 x1 x
g
P4
y0 0
P2
K f Kg
x2 x0 x3
方程模型
在P0点附近用直线近似曲线
yk f ( xk ) xk 1 h( yk )
yk y0 ( xk x0 ) ( 0) xk 1 x0 ( yk y0 ) ( 0)
5 减肥计划——节食与运动
6 按年龄分组的种群增长
7 差分基础知识
1蛛网模型
xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格
消费者的需求关系
生产者的供应关系
y y0 0
需求函数
yk f ( xk )
减函数
供应函数 xk 1 h( yk ) 增函数
yk g ( xk 1 )
北京科技大学数学模型M07差分模型市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
(2) 2 b 3
(3) b 3
x* 11/b 1/2
y
yx
y
yx
b/4
b/4
y f (x)
0 x0
x 1
1
/
2
x*
x 2
1
x
x（k 振荡地） x*
第七章 差分方程模型
y f (x)
0 x0 x1 1/2 x* x2 1
x（k 不） x*
16
x
k b=1.7 b=2.6 b=3.3
0 0.2023 0.2023 0.2023
w(k 1) w(k) c(k 1) ( t)w(k)
w w C ( t)w
C ( t)w
• 不运动 C 8000 0.025 75 15000 (千卡)
• 运动(内容同前) C 8000 0.028 75 16800 (千卡)
第七章 差分方程模型
12
7.3 差分形式旳阻滞增长模型
连续形式旳阻滞增长模型 (Logistic模型)
x(t) ~某种群 t 时刻旳数量(人口)
x(t) rx(1 x ) N
t, xN, x=N是稳定平衡点(与r大小无关)
离散
yk ~某种群第k代旳数量(人口)
形式
yk 1
yk
ryk (1
yk N
), k
1,2,
若yk=N, 则yk+1,yk+2,…=N y*=N 是平衡点
0.20001,...,
x2 100
0.2572
差之厘毫，失之千里
第七章 差分方程模型
22
补充知识：认识混沌
线性迭代要么收敛于它旳不动点，要么趋于无穷大。 不收敛旳非线性迭代可能会趋于无穷大，也可能趋 于一种周期解，但也有可能在一种有限区域内杂乱 无章地游荡，此类由拟定性运动造成旳貌似随机旳 现象称为混沌现象.
Logistic人口阻滞增长模型
Logistic 人口阻滞增长模型一、模型的准备阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。
阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上，使得r 随着人口数量x 的增加而下降。
若将r 表示为x 的函数)(x r 。
则它应是减函数。
于是有：0)0(,)(x x x x r dtdx== （1）对)(x r 的一个最简单的假定是，设)(x r 为x 的线性函数，即 )0,0()(>>-=s r sxr x r （2）设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量m x ，当m x x =时人口不再增长，即增长率0)(=m x r ，代入（2）式得mx rs =，于是（2）式为)1()(mx x r x r -= （3）将（3）代入方程（1）得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()1(x x x x rx dtdxm （4）解方程（4）可得：rtm me x xx t x --+=)1(1)(0（5）二、模型的建立我国从1954年到2005年全国总人口的数据如表1总人口 100.1 101.654 103.008 104.357 105.851 107.5 109.3 111.026 112.704年份 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 总人口 114.333 115.823 117.171 118.517 119.850 121.121 122.389 123.626 124.761 年份 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 总人口 125.786 126.743 127.627 128.453 129.227 129.988 130.7561、将1954年看成初始时刻即0=t ，则1955为1=t ，以次类推，以2005年为51=t 作为终时刻。
广东工业大学应用数学学院《数学建模》教学大纲
《数学建模》公共选修课程教学大纲Mathematics Modeling课程代码： 课程归属：科学类开课校区：大学城开课学期：下学期容纳学生数：160 不适用专业：数学、文科类总学时数：24 总学分数：1.5编写年月：2006年6月修订年月：2007年7月执笔：陈学松一、课程的目的数学建模课是培养学生在实际问题中的数学应用意识、训练学生把科技、社会等领域中的实际问题按照既定的目标归结为数学形式，以便于用数学方法求解得出更深刻的规律和属性，提高学生数学建模素质的一门数学应用类课程。
通过本课程的学习，使学生较为系统的获得利用数学工具建立数学模型的基本知识、基本技能与常用技巧，培养学生的抽象概括问题的能力，用数学方法和思想进行综合应用与分析问题的能力，并着力导引实践—理论—实践的认识过程，培养学生辩证唯物主义的世界观。
二、课程教学内容及学时分配第一章建立数学模型（2学时）1.1从现实对象到数学模型1.2数学建模示例：如何预报人口的增长1.3数学建模的基本方法和步骤1.4数学建模方法的特点和分类1.5数学建模能力的培养第二章初等数学模型（2学时）2.2录像机计数器；2.4汽车刹车距离2.6核军备竞赛；2.10量纲分析与无量纲化第三章简单优化模型（4学时）3.3森林救火；3.4最优价格3.6消费者的选择；3.7冰山运输第五章微分方程模型（4学时）5.1传染病模型；5.2经济增长模型5.6人口预测；5.7烟雾的扩散与消失第六章稳定性模型（2学时）6.1捕鱼业的持续收获；6.2军备竞赛6.3种群的相互竞争；6.6稳定性理论第七章差分方程模型（2学时）7.1市场经济中的蛛网模型；7.2减肥计划7.3差分形式的阻滞增长模型；7.5差分方程简介第八章离散模型（2学时）8.1层次分析模型；8.2循环比赛的名次8.3社会经济系统的冲量过程；8.4效益的合理配第九章概率模型（2学时）9.1传送系统的效率；9.2报童的诀窍9.3随机存储策略；9.6航空公司的预定票策略第十章统计回归模型（2学时）10.1牙膏的销售量；10.2软件开发人员的薪金10.3 酶促反应；10.5教学评估三、课程教学的基本要求本课程是一门理论与实践联系的很密切的专业基础课程，操作性较强。
阻滞增长模型实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 理解阻滞增长模型的基本原理和数学表达式。
2. 通过实验验证阻滞增长模型在不同参数设置下的动态变化。
3. 探讨阻滞增长模型在实际问题中的应用，如人口增长、生物种群数量变化等。
二、实验原理阻滞增长模型，也称为逻辑斯蒂增长模型，是一种描述系统增长受资源限制和内在增长速度影响的理论模型。
该模型的基本假设是，系统的增长速度随着系统规模的增加而逐渐降低，最终趋于稳定。
数学表达式如下：\[ \frac{dx}{dt} = r \cdot x \cdot (1 - \frac{x}{K}) \]其中：- \( x \) 为系统规模或数量；- \( t \) 为时间；- \( r \) 为固有增长率，表示系统在没有限制时的增长速度；- \( K \) 为环境容纳量，即系统可以达到的最大规模。
三、实验材料与工具1. 实验材料：计算机、绘图软件（如MATLAB、Python等）。
2. 实验工具：阻滞增长模型数学模型、实验数据。
四、实验步骤1. 参数设置：根据实验目的，设置不同的初始条件（如初始规模 \( x_0 \)）和参数值（如 \( r \)、\( K \)）。
2. 模型构建：使用计算机软件建立阻滞增长模型，输入参数和初始条件。
3. 模型运行：运行模型，观察并记录系统规模随时间的变化情况。
4. 数据分析：对实验数据进行处理和分析，绘制系统规模随时间变化的曲线图。
5. 结果讨论：根据实验结果，讨论阻滞增长模型在不同参数设置下的动态变化特点。
五、实验结果与分析1. 实验结果：通过实验，我们得到了不同参数设置下系统规模随时间的变化曲线。
结果表明，随着时间推移，系统规模逐渐增长，但增长速度逐渐降低，最终趋于稳定。
2. 结果分析：- 当 \( r \) 值较大时，系统规模增长速度较快，但最终仍会趋于稳定。
- 当 \( K \) 值较大时，系统规模增长速度较慢，但最终仍会达到稳定状态。
- 初始条件 \( x_0 \) 也会对系统规模的增长速度和最终稳定状态产生影响。
最新数学建模实验报告4酵母培养物离散阻滞增长模型
一．实验题目：已知从测量酵母培养物增长的实验收集的数据如表：时刻/h 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 生物量/g 513.3 559.7 594.8 629.4 640.8 651.1 655.9 659.6 661.8二．实验要求1、作图分析酵母培养物的增长数据、增长率、与相对增长率.2、建立酵母培养物的增长模型.3、利用线性拟合估计模型参数，并进行模型检验，展示模型拟合与预测效果图.4、利用非线性拟合估计模型参数，并进行模型检验，展示模型拟合与预测效果图.5、请分析两个模型的区别，作出模型的评价.三．实验内容(1)对于此问，可直接根据数据作图先求相对增长率随时间的变化，程序如下：k=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18];x=[9.6,18.3,29.0,47.2,71.1,119.1,174.6,257.3,350.7,441.0,513.3,559.7,594.8,629.4,640.8,651. 1,655.9,659.6,661.8];n=1;for n=1:18dx(n)=x(n+1)-x(n);endr=dx./x(1:18);plot(0:17,r,'kv')xlabel('时间k（小时）'),ylabel('增长率(%)')title('增长率与时间')模拟效果图如下：时间 k(小时)增长率 (%)增长率与时间再求增长量随时间的变化，程序如下：k=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18];x=[9.6,18.3,29.0,47.2,71.1,119.1,174.6,257.3,350.7,441.0,513.3,559.7,594.8,629.4,640.8,651.1,655.9,659.6,661.8]; n=1;for n=1:18dx(n)=x(n+1)-x(n); endplot(0:17,dx,'ko')xlabel('时间k （小时） '),ylabel('增长量 (克)')title('增长量与时间')模拟效果图如下：24681012141618时间 k(小时)增长量 (克)增长量与时间（2）建立酵母培养物的模型k---时刻（小时）；x(k)---酵母培养物在第k 小时的生物量（克）；r(k)---用前差公式计算的生物量在第k 小时的增长率； r---生物量的固有增长率；N---生物量的最大容量。
差分方程在经济学中的简单应用
差分方程在经济学中的简单应用差分方程在经济学中的简单应用差分方程是经济学中非常重要的一种数学工具，它可以对经济学问题进行建模和分析，并可以预测经济变量的未来变化趋势。
差分方程通常是由一系列当前值和先前值的差异构成，这个差异可以表示某种经济现象的变化。
在经济学中，差分方程被广泛应用于经济增长、制度变革、经济周期、货币政策等方面的研究。
下面我们将具体探讨差分方程在经济学中的简单应用。
一、经济增长模型经济增长是经济学研究的核心之一，直接关系到一个国家或地区的繁荣和稳定。
经济增长模型是一种基于时间序列数据构建的模型，旨在揭示这些变量之间的关系以及它们如何影响经济增长。
在经济增长模型中，差分方程被广泛应用，用于描述经济增长的基本原理。
例如，关于劳动力增长的差分方程模型可以如下表示：$\frac{dL}{dt}=AL^{\alpha}$其中，$L$ 表示劳动力数量， $t$ 表示时间，$A$ 表示全要素生产率， $\alpha$ 表示用于表示劳动力增长对生产的正向影响的参数。
通过上述方程，我们可以分析劳动力增长的规律，了解全要素生产率对经济增长的影响。
二、社会制度变革模型社会制度是某个国家或地区经济发展的基础，对经济生产和分配方式、社会关系等方面的影响很大。
社会制度变革模型是一种基于时间序列数据构建的模型，旨在描述制度变革的过程和效果。
在这种模型中，差分方程被广泛应用于分析和预测制度变革的影响。
例如，关于收入分配比例的差分方程模型可以如下表示：$y_t = ay_{t-1}+ (1-a)y^*$其中，$y_t$ 表示当前年的收入分配比例， $y_{t-1}$ 表示过去一年的收入分配比例， $y^*$ 表示平衡收入分配比例， $a$ 表示权重参数。
通过上述方程，我们可以预测收入分配比例的未来变化趋势，了解制度变革对经济发展的影响。
三、经济周期模型经济周期是指经济发展的波动，包括经济复苏、繁荣、衰退和萎缩等阶段。
阻滞增长模型matlab代码
阻滞增长模型matlab代码摘要：1.阻滞增长模型的概念和原理2.阻滞增长模型的数学表达式3.如何使用MATLAB 实现阻滞增长模型4.阻滞增长模型的应用案例5.阻滞增长模型的优缺点正文：阻滞增长模型是一种常用的人口增长模型，它假设人口增长率与人口数量之间存在一定的关系，并假设人口数量在达到一个特定的阈值之后将不再增长。
这种模型主要用于描述生物种群数量随着环境的变化而变化的过程。
阻滞增长模型的数学表达式通常是一个微分方程。
在MATLAB 中，可以使用ode45 函数来求解这个方程。
下面是一个示例代码，假设人口增长率为r，人口数量为p，阈值为k：```matlabfunction dpdt = populationgrowth(t, p, r, k)% 求解人口增长微分方程dpdt = r * p * (1 - p / k);end```阻滞增长模型的应用案例非常广泛，比如在生态学、环境科学、经济学等领域都有应用。
例如，在生态学中，阻滞增长模型可以用来描述某种生物种群数量随着环境变化而变化的过程；在环境科学中，阻滞增长模型可以用来预测城市人口增长的速度；在经济学中，阻滞增长模型可以用来描述某个市场的增长速度。
阻滞增长模型的优缺点如下：优点：- 阻滞增长模型假设人口增长率与人口数量之间存在一定的关系，这种假设比较符合实际情况。
- 阻滞增长模型可以用来描述生物种群数量随着环境的变化而变化的过程，因此在生态学等领域有广泛的应用。
- 阻滞增长模型的数学表达式比较简单，求解起来比较容易。
缺点：- 阻滞增长模型的假设比较简单，可能无法描述实际情况中的复杂关系。
- 阻滞增长模型的数学表达式只能描述人口增长率与人口数量之间的关系，无法描述人口增长率与其他变量之间的关系。
差分形式的阻滞增长模型
一般地,我们记(2)式为
xk1 f (xk )
(3)
xk2 f (xk1) f [ f (xk )] : f2 (xk ) (4)
所谓2倍周期收敛的点就是(4)式的平衡点:即满足
x f2 (x)
(5)
xk1 bxk (1 xk )
(2)
x f2 (x)
(5)
x1* f (x2* ), x2* f (x1* )
事情至此好像结束了.当然,我们还可以进一步判断稳定 的平衡点是否为全局稳定的.但是,数值计算表明,对于 有些b值,平衡点不稳定,但是xk好象在某几个值附近循 环摆动.
我们只需要用计算器多迭代计 算几次即可.
倍周期收敛
当b<3时,平衡点x*是稳定的. 我们称之为单周期收敛.
当b>3时,平衡点x*是不稳定的.如果序列xk存在两个 收敛的子列我们就称之为2倍周期收敛.
lim bn bn1
n bn1 bn 4.669201609.
Feigenbaum 常数.
3
3.3
3.6
当b b时 ， 就 不 再 存 在 任 何2n 倍 周 期 收 敛 ， 系 统 由 倍 分 途 径 进 入 “混 沌 ” 状 态.(chaos )
混沌现象的一个显著特征是对初值依赖的极度敏感. 如:当b=3.7时,对两个初值x0=0.2,x01=0.20001,迭代100 次后我们发现前者的新值为0.4814,而后者的新值为 0.2572,迭代200次后分别为0.7535,0.7022相差很大.这 就是所谓的“蝴蝶效应”.
当b 1 6时,平 衡 点x1*,2是 不 稳 定 的.这 时 我 们 可 以 考 虑4倍 周 期 收 敛
离散阻滞增长模型及其应用
xk关 于 k的 散 点 图 700
600
500
生 物 量 x k（ 克 ）
400
300
200
100
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
时 间 k（ 小 时 ）
图3.8
3.4.2 酵母培养物的增长
2. 问题分析
记第 k 小时的酵母生物量为 xk 克 (k 0,1,,18) .
观察 xk 关于 k 的散点图，可发现 xk 关于 k 的散点
参数 r 称为“固有增长率”. 既然 r 是直线方程(3.4.4)式的纵截距，所以 r 在 理论上是当种群数量 x=0 时的增长率；实际上，r 是 当种群数量 x 很小时的增长率. 参数 N 称为“最大容量”. 既然 N 是直线方程(3.4.4)式的横截距，所以 N 在 理论上是当增长率 y=0 时的种群数量；实际上，N 是 有限的资源和环境所能容纳的种群的最大数量. 当种 群数量 x>N 时，就有增长率 y<0，种群数量将会减少.
15
时 间 k（ 小 时 ）
0 0
图3.9
200 400 600 生 物 量 xk（ 克 ）
3.4.2 酵母培养物的增长
2. 问题分析
下面考虑酵母生物量的增长率，更详细的考察离
散阻滞增长模型的模型假设. 我们用前差公式计算生物量的增长率
rk
xk 1 xk
xk
,
k
0,1,,17
(3.4.7)
并将计算结果填入表 3.2 的第 4 列，可以发现 rk 大致
(3.2.1)
xk x0 1 r k , k 0,1, 2,
(3.2.3)
差分方程2
0.4118
0.4118 0.4118 0.4118 0.4118
0.6154
0.6154 0.6154 0.6154 0.6154
0.8236
0.4794 0.8236 0.4794 0.8236
0.8469
0.4474 0.8530 0.4327 0.8469
0.8127
0.5405 0.8817 0.3703 0.8278
与基本模型
x(k 1) Lx(k ) 比较
T
3）=1时 x(k 1) x(k ) cx*
x 1, s1 , s1 s2 , s1 s2 sn1
*
~ 各年龄组种群 数量不变
稳态分析
3）=1时 Lx x
* *
x 1, s1 , s1s2 , s1s2 sn1
差分方程模型
7.4 差分形式的阻滞增长模型 7.5 按年龄分组的种群增长
7.4 差分形式的阻滞增长模型
连续形式的阻滞增长模型 (Logistic模型)
x x(t) ~某种群 t 时刻的数量(人口) x(t ) rx(1 ) N t, xN, x=N是稳定平衡点(与r大小无关)
离散 形式
( x* ) 1 f f ( x* ) 1
xk 1 bxk (1 xk )
平衡点 稳定性
的平衡点及其稳定性
1 x 1 b
*
x f ( x) bx(1 x)
b r 1
另一平衡点为 x=0
( x* ) b(1 2 x* ) 2 b f
f ( x* ) 1
0
x0
x1
1/2
0 x0
x1 1 / 2