高三数学教案：直线与圆锥曲线的位置
高考数学复习教案：直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系【考试大纲要求】1．掌握直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题以及它们的综合应用解决这些问题经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题.2．会运用“设而不求”解决相交弦长问题及中点弦问题.3．会利用圆锥曲线的焦半径公式解决焦点弦的问题掌握求焦半径以及利用焦半径解题的方法.4．会用弦长公式|AB |=21k +|x 2－x 1|求弦的长；5．会利用“设点代点、设而不求”的方法求弦所在直线的方程（如中点弦、相交弦等）、弦的中点的轨迹等．【高考命题走向】近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题压轴题的位置，且选择、填空也有涉及，有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长等。
分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法，对称的方法及韦达定理等．预测2010年高考：1．会出现1道关于直线与圆锥曲线的位置关系的解答题；2．与直线、圆锥曲线相结合的综合型考题，等轴双曲线基本不出题，坐标轴平移或平移化简方程一般不出解答题，大多是以选择题形式出现．【基础知识归纳】1．点00(,)M x y 与圆锥曲线C ：f(x ，y)=0的位置关系（如表1）． 2．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点．直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究．因为方程组解的个数与交点的个数是一样的．直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可归纳为：(1)0∆>⇔相交；(2)0∆=⇔相切； (3)0∆<⇔相离.注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．曲线条件结论 椭 圆22221x y a b += 点在曲线上 22221x y a b +>点在曲线外22221x y a b +< 点在曲线内双 曲 线22221x y a b -= 点在曲线上22221x y a b -< 点在曲线外22221x y a b -> 点在曲线内抛 物 线2002y px = 点在曲线上2002y px > 点在曲线外2002y px <点在曲线内（ 表1）3．直线与圆锥曲线相交的弦长公式设直线l :y=kx+n ，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)， 且由⎩⎨⎧+==n kx y y x F 0),(，消去yax 2+bx+c=0（a≠0），Δ=b 2 －4ac .则弦长公式为：d=221221)()(y y x x -+-=2212))(1(x x k -+=22)1(ak Δ+=Δ||)1(2a k +. 焦点弦长：||PF e d=（点P 是圆锥曲线上的任意一点，F 是焦点，d 是P 到相应于焦点F 的准线的距离，e 是离心率）.【典型例题解析】题型1：向量与点的轨迹问题【例1】（06·江苏）已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足⋅+⋅|||| ＝0，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为 （ ） A ．x y 82= B ．x y 82-= C ．x y 42= D ．x y 42-= 【答案】B.【解析】设(,)P x y ，0,0x y >>，(2,0),(2,0)M N -，4MN =, 则(2,),(2,)MP x y NP x y =+=-, 0=⋅+NP MN MP MN ， 则224(2)4(2)0x y x ++-=， 化简整理得x y 82-=题型2 ：直线与圆锥曲线相结合问题【例2】（06·辽宁）直线2y k =与曲线2222918k x y k x += (,k R ∈且0)k ≠的公共点的个数为 （ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 【答案】D【解析】将2y k =代入2222918k x y k x +=，22229418k x k k x +=29||1840x x ⇒-+=，显然该关于||x 的方程有两正解，即x 有四解，所以交点有4个．【例３】（06·四川）直线3y x =-与抛物线24y x =交于,A B 两点，过,A B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,P Q ，则梯形APQB 的面积为 （ ） A ．56 B ．64 C ．48 D ．72 【答案】C【解析】直线3y x =-与抛物线24y x =交于,A B 两点，过,A B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,P Q ，联立方程组得243y xy x ⎧=⎨=-⎩，消元得21090x x -+=，解得12x y =⎧⎨=-⎩，和96x y =⎧⎨=⎩，∴ |AP|=10，|BQ|=2，|PQ|=8， 梯形APQB 的面积为48，选Ｃ. 【例4】（07·全国） 若直线1x ya b+=与圆221x y +=有公共点，则 （ ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b +≤ D ．2211a b+≥1【答案】D【解析】将2211x ya b x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩联立消y 得2222222()20a b x ab x a b a +-+-=,由22110a b∆≥⇒+≥1. 题型3：圆锥曲线中的最值问题【例5】（06·全国）设P 是椭圆()22211x y a a+=>短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求PQ 的最大值.【解析】依题意可设P (0,1),Q (x,y ),则 |PQ|=x 2+(y －1)2 ,又因为Q 在椭圆上,所以,x 2=a 2(1－y 2) ,|PQ |2=a 2(1－y 2)+y 2－2y +1=(1－a 2)y 2－2y +1+a 2=(1－a 2)(y －11－a 2 )2－11－a2+1+a 2 .因为|y |≤1,a >1,若a ≥2, 则|11－a 2|≤1.题型4：变量取值范围问题【例6】（07年·江苏）已知椭圆C 1的方程为1422=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点。
直线与圆锥曲线的位置关系教案
课题：直线与圆锥曲线的位置关系授课者：滦县第十中学陈智勇高考要求1掌握直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题以及它们的综合应用解决这些问题经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题2会运用“设而不求”解决相交弦长问题及中点弦问题3会利用圆锥曲线的焦半径公式解决焦点弦的问题掌握求焦半径以及利用焦半径解题的方法4会用弦长公式|AB|=21k|x2－x1|求弦的长；5会利用“设点代点、设而不求”的方法求弦所在直线的方程（如中点弦、相交弦等）、弦的中点的轨迹等一、复习目标（一）知识目标1、掌握用坐标法判断直线与圆锥曲线的位置关系，进一步体会曲线方程的解与曲线上点的坐标之间的关系；2、领会中点坐标公式和弦长公式及韦达定理在解题中的灵活应用；3、理解“点差法”在解决直线与圆锥曲线位置关系中的解题技巧；（二）能力目标1、通过多媒体课件的演示，培养学生发现运动规律、认识规律的能力.2、培养学生运用方程思想、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力．（三）情感目标1、通过课件的演示获得培养学生探索数学的兴趣.2、通过师生、生生的合作学习，树立竞争意识与合作精神，感受学习交流带来的成功感，激发提出问题和解决问题的勇气，树立自信心。
二、教学重点与难点重点：直线与圆锥曲线的位置关系的判定及方程思想、分类讨论思想、数形结合思想运用；难点：等价转换、“点差法”设而不求在解题中的灵活应用。
三、方法指导：1、在研究直线与圆锥曲线的交点个数问题时，不要仅由判别式进行判断，一定要注意二次项的系数对交点个数的影响。
2、涉及弦长问题时，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题，利用点差法较为简便。
3、要注意判别式和韦达定理在解题中的作用。
应用判别式，可以确定直线和圆锥曲线的位置关系，确定曲线中的参数取值范围，求几何极值等。
应用韦达定理，可以解先相交时的弦长问题，弦的中点问题或最值问题。
4、 要重视方程思想、等价转换思想、分类讨论、数形结合等数学思想的运用。
高中数学精讲教案-直线与圆锥曲线的位置关系
y — 3= k x + 2 , 立方程2y = 8x ，消去 x 得 ky 2— 8y +24 + 16k = 0.(*)1由相切得 △= 64 — 4k(24 + 16k) = 0,解得k =寸或k =— 2(舍去)，代入(*)解得y = 8,把y = 8 4 代入y 2= 8x ,得x = 8,即切点B 的坐标为(8,8)，又焦点F 为(2,0)，故直线BF 的斜率为-.4•已知F 为抛物线y 2= x 的焦点，点A , B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，OA OB = 2(其 中O 为坐标原点)，则△ ABO 与厶AFO 面积之和的最小值是 ( )A . 2C 诞 C. 8 答案 B解析 设AB 所在直线方程为 x = my + t. x = my + t , 由2 y = x，设 A(y 1, y 1), 故 y 2 + y 2 = m ,消去 x ,得 y 2— my — t = 0. B(y 2, y 2)(不妨令 y 1>0, y 2<0),y 1y 2=— t.D.〔10而 OA OB = y 1y 2 + y 1 y 2= 2. 解得 y 1y 2=— 2 或 y 1y 2 = 1(舍去). 所以一 t =— 2,即 t = 2. 所以直线AB 过定点M(2,0).1而 S A ABO = S ^AMO + S A BMO = ^|OM ||y 1 一 y 2|= y 1 — y 2, 1 1 1 1S AFO = 2|OF|X y 1= 2x 时1 = 01,1 9 9 _故 S A ABO + S A AFO = y 1 — y 2 + 屛1 = §y 1 — y 2.由 §y 1 — y 2 = §y 1 + ( — y 2)》x -y 2 = 2 .''8x 2=3, 得ABO + S ^AFO 的最小值为3,故选B.5.在平面直角坐标系 xOy 中，P 为双曲线x 2— y 2= 1右支上的一个动点•若点 P 到直线x—y +1= 0的距离大于c 恒成立，则实数 c 的最大值为 __________答案子解析 直线x — y + 1 = 0与双曲线x 2— y 2= 1的一条渐近线 的距离为，又P 为双曲线c 恒成立，则 X 天, 6•设F 为抛物线 为线段AB 的中点•若答案 ±x — y = 0平行，这两条平行线之间 即实数 x 2— y 2= 1右支上的一个动点，点c 的最大值为今.=4x 的焦点，过点P( — 1,0)的直线 P 到直线x — y + 1= 0的距离大于C : y 2 |FQ|= 2,则直线丨的斜率等于l 交抛物线C 于A , B 两点，点Q解析 设直线AB 方程为x = my — 1(m ^ 0), A (X 1, y 1), B(x 2, y 2)，联立直线和抛物线方程，整理得，y 2— 4my + 4= 0,由根与系数关系得 y 1 + y = 4m , y 1y 2= 4.故 Q(2m 2— 1,2m).由 |FQ |= 2知，2m 2 + 2m 2 — 1 — 1 2 = 2，解得 m 2= 1或m 2 = 0(舍去)，故直线 丨 与抛物线相切，为满足题意的极限情况).x 2 y 2yf 2厂2+ 2 = 1(a>b>0)的离心率为 c ，点(2 ,2)在a b2 的斜率等于±1(此时直线AB 7•已知椭圆 C : C 上. (1) 求C 的方程； (2) 直线丨不过原点O 且不平行于坐标轴，丨与C 有两个交点 A ,B ，线段AB 的中点为M.证X y解得b l = 3.因此C 2的方程为g + ~3 = 1. 显然，丨不是直线y = 0.设丨的方程为 x = my + ,3,点 A(x i , y i ), B (X 2, y 2),x = my + 3, 由 xj y_得(m 2+ 2)y 2 + 2 3my - 3= 0,又 y i , y 2是方程的根,6+ 3 = 1，'2V3mmy i + y 2=- 2 i 2,①m + 2因此—3 yiy2=.②由 x i = my i + .3 ,X 2= my 2 + .3,得x i X 2= m 2y i y 2 + \?3m y i + y因为 AP = ( 2 — x i , 2 — y i ), BP = (.2 — X 2, 2 — y 2). 由题意知AP BP = 0 ,所以 X i X 2 — .2(x i + X 2)+ y i y 2— J2(y i + y 2)+ 4= 0.⑤ 将①，②，③，④代入⑤式整理，得 2m 2— 2・.：：：6m + 4.; 6 — ii = 0,解得m =牛6 — i 或m =—严+ i.因此直线丨的方程为x — ^6 — i y — 3= 0或x +6— i2 2 2 ^2 y —= 0.ii .如图，已知两条抛物线E i : y 2= 2p i x(p i >0)和E 2: y 2 = 2p 2x(p 2>0)，过原点O 的两条直线I i 和12, l i 与E i , E 2分别交于 A i , A 2两点，12与E i , E 2分别交于B i , B 2两点.(i)证明：A i B i II A 2B 2;⑵过O 作直线1(异于I i , I 2)与E i , E 2分别交于C i , C 2两点•记△ A i B i C i 与厶A 2B 2C 2的面积 分别为S ix i + X 2= m y i + y 2 + 2,36— 6m 2 m 2+ 2m 2 + 2'题容易岀错的地方有两一是在用参数表示直线MN的方程时计算错误；二是在得到了直线系。
直线与圆锥曲线的位置关系教案
直线与圆锥曲线的位置关系教案一、教学目标1. 理解直线与圆锥曲线的位置关系，掌握相关概念和性质。
2. 能够运用直线与圆锥曲线的位置关系解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学解决问题的能力。
二、教学内容1. 直线与圆锥曲线的基本概念和性质。
2. 直线与圆锥曲线的相切、相离和相交情况。
3. 直线与圆锥曲线的交点个数与判别式。
4. 直线与圆锥曲线的应用问题。
三、教学方法1. 采用讲解、案例分析、练习相结合的教学方法。
2. 通过图形演示和实际例子，引导学生直观理解直线与圆锥曲线的位置关系。
3. 鼓励学生进行自主学习和合作学习，提高解决问题的能力。
四、教学准备1. 教学课件和教学素材。
2. 直尺、圆规等绘图工具。
3. 练习题和答案。
五、教学过程1. 引入：通过简单的例子，引导学生思考直线与圆锥曲线的位置关系。
2. 讲解：讲解直线与圆锥曲线的基本概念和性质，解释相切、相离和相交情况的定义。
3. 案例分析：分析具体的直线与圆锥曲线的位置关系案例，引导学生通过判别式判断交点个数。
4. 练习：让学生进行相关的练习题，巩固所学知识。
6. 作业布置：布置相关的练习题，巩固所学知识。
六、教学拓展1. 探讨直线与圆锥曲线的位置关系在实际问题中的应用，如光学、工程等领域。
2. 介绍直线与圆锥曲线位置关系在现代数学中的研究进展和应用。
七、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，直线与圆锥曲线的位置关系及其应用。
2. 强调重点概念和性质，提醒学生注意在实际问题中的应用。
八、作业布置1. 完成课后练习题，巩固所学知识。
2. 选择一道与直线与圆锥曲线位置关系相关的综合应用题，进行练习。
九、课后反思1. 学生对本节课内容的掌握程度，哪些方面需要加强。
2. 教学方法的适用性，是否达到预期教学效果。
十、教学评价1. 学生作业、练习题和课堂表现的评价。
2. 对学生掌握直线与圆锥曲线位置关系知识的程度的评价。
3. 教学反馈，了解学生对教学内容的满意度和建议。
高中数学_直线与圆锥曲线的位置关系教学设计学情分析教材分析课后反思
菏泽第一中学《直线与圆锥曲线的位置关系》教学设计设计人：直线与圆锥曲线的位置关系教学设计设计人：【教材分析】圆锥曲线是解析几何的核心内容，在整章的复习中，主要以课本知识系统为线索，全面、深刻地复习基础知识、基本技能和其中蕴涵的基本的数学思想方法．本章内容主要突出了解析几何中的数形结合思想，方程思想，函数思想，对应和运动变化思想等数学思想及定义法，待定系数法，参数法等常用的基本方法．其中，直线与圆锥曲线的位置关系是考查的重点内容之一，主要涉及的问题有直线与圆锥曲线的位置关系的判断，求相交弦长，焦点弦长及中点弦等问题，主要考查数形结合，等价转化，函数与方程等数学思想．【学情分析】《直线与圆锥曲线的位置关系》．学生在高二解析几何的学习中已经基本掌握了圆锥曲线的定义、方程、性质以及直线与圆的位置关系等，具备了一定的知识基础和分析问题、解决问题的能力．通过对方程组解的讨论，巩固用代数的方法来研究直线与圆锥曲线公共点的问题，掌握直线与圆锥曲线之间的位置关系的判断，进一步领会用代数方法研究几何问题的数学本质．同时，借助几何画板，运用运动变化的观念，让学生在直接观察、运动变化的过程中实现自主探究，数形结合，以形助数．【教学目标】1.知识与技能：了解直线与圆锥曲线的位置关系，能利用对方程组解的的讨论来研究直线与圆锥曲线的位置关系2.过程与方法：在探究过程中,运用数形结合和方程的思想,以运动的观点观察问题，思考问题，分析问题,进一步提高学生解决问题的能力3.情感、态度与价值观：让学生欣赏圆锥曲线曲线之美，体会数形结合和方程的思想在解决几何问题中的价值，体验探索的乐趣，增强学习数学的乐趣。
【教学重点】重点：用代数的方法（对方程组解的讨论）来研究直线与圆锥曲线的公共点问题，对直线与圆锥曲线仅有一个公共点时位置关系的应用探究。
难点：对直线与圆锥曲线仅有一个公共点时位置关系的应用探究，直线与圆锥曲线的综合应用。
【教学程序与设计环节】——与以前所学知识类比，引起认知上的冲突——通过对一个讨论题组的研究，巩固研究问题的基本方法——在讨论和探索中，进一步巩固基本的研究方法，发现容易出错之处并引起重视——师生交流共同小结，归纳一般方法及易错点，解决课前提出的疑问——巩固本节课的知识及方法【教学过程与操作设计】【情景一】 问题1：直线与圆位置关系有相离，相切，相交三种．如果把圆换成椭圆、双曲线、抛物线，又有怎样的位置关系呢？如何判定？【设计意图】与直线和圆的位置关系进行类比，引起学生认知上的冲突．【情景二】讨论题组1题型一：直线与圆锥曲线的公共点问题1.直线y=kx-k+1与椭圆 14922=+y x 的位置关系为( ) (A) 相交 (B) 相切 (C) 相离 (D) 不确定2.已知双曲线方程x 2-y 2=1，过P (0，1)点的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为( )(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 13.直线2+=kx y 与抛物线x y 82=有且只有一个公共点，则k 的值为4（A ） 1 (B) 1或3 （C ）0 (D) 1或04.已知双曲线141222=-y x 的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围问题2：浏览之后想一想，你打算用什么方法来解决这几个问题呢？【设计意图】复习巩固直线与圆锥曲线位置关系判断的两种方法，几何法和代数法，注意利用数形结合。
高中数学选修2-1精品教案 直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系课前预习学案一、预习目标1．掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法，能够把研究直线与圆锥曲线的位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题；2. 会利用直线与圆锥曲线的方程所组成的方程组消去一个变量，将交点问题问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数关系及判别式解决问题．二、预习内容1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法：；2、弦的中点或中点弦的问题，除利用韦达定理外，也可以运用“差分法”（也叫“点差法”）．3、弦长公式 ；4、焦点弦长： ；1．直线y x b =+与抛物线22y x =，当b ∈ 时，有且只有一个公共点；当b ∈ 时，有两个不同的公共点；当b ∈ 时，无公共点． 2．若直线1y kx =+和椭圆22125x y m+=恒有公共点，则实数m 的取值范围为 ． 3．抛物线2y ax =与直线y kx b =+(0)k ≠交于,A B 两点，且此两点的横坐标分别为1x ，2x ，直线与x 轴的交点的横坐标是3x ，则恒有（ ）()A 312x x x =+()B 121323x x x x x x =+()C 3120x x x ++=()D 1213230x x x x x x ++=4．椭圆122=+ny mx 与直线1=+y x 交于,M N 两点，MN 的中点为P ，且OP 的斜率为22，则nm 的值为（ ） ()A 22 ()B 322 ()C 229 ()D 2732 5．已知双曲线22:14y C x -= ，过点(1,1)P 作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有（ ）()A 1 条 ()B 2条 ()C 3条 ()D 4条6．设直线21y x =-交曲线C 于1122(,),(,)A x y B x y 两点，（1）若12||2x x -=||AB = ．（2）12||2y y -=||AB = ．7．斜率为1的直线经过抛物线24y x =的焦点，与抛物线相交于,A B 两点，则||AB = ． 8．过双曲线2212y x -=的右焦点作直线l ，交双曲线于,A B 两点，若||4AB =，则这样的直线l 有（ ）()A 1条 ()B 2条 ()C 3条 ()D 4条9．已知椭圆2224x y +=，则以(1,1)为中点的弦的长度是（ ） ()A 32 ()B 23 ()C 303 ()D 36210．中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的左焦点为F ，离心率为13e =，过F 作直线l 交椭圆于,A B 两点，已知线段AB 的中点到椭圆左准线的距离是6，则||AB = ．三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内预习学案一、学习目标1、使学生掌握点、直线与圆锥曲线的位置及其判定，重点掌握直线与圆锥曲线相交的有关问题．2、通过对点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生综合运用直线、圆锥曲线的各方面知识的能力．3、通过点与圆锥曲线的位置及其判定，渗透归纳、推理、判断等方面的能力．二、学习过程1．点P(x0，y0)和圆锥曲线C ：f(x ，y)=0有哪几种位置关系？它们的条件是什么？2．直线l ：Ax+By+C=0和圆锥曲线C ：f(x ，y)=0有哪几种位置关系？3．点M(x0，y0)与圆锥曲线C ：f(x ，y)=0的位置关系的焦点为F1、F2，y2=2px(p ＞0)的焦点为F ，一定点为P(x0，y0)，M 点到抛物线的准线的距离为d ，则有：4．直线l ∶Ax ＋Bx ＋C=0与圆锥曲线C ∶f(x ，y)＝0的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．5．例题例1．过点(1,6)--的直线l 与抛物线24y x =交于,A B 两点，若9(,0)2P ，||||AP BP =，求l 的斜率．例2．直线:1l y kx =+与双曲线22:21C x y -=的右支交于不同的两点,A B ， （I ）求实数k 的取值范围；（II ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．例3．已知直线l 和圆M ：2220x y x ++=相切于点T ，且与双曲线22:1C x y -=相交于,A B 两点，若T 是AB 的中点，求直线l 的方程．例4．如图，过抛物线22(0)y px p =>上一定点000(,)(0)P x y y >，作两条直线分别交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y ，（1）求该抛物线上纵坐标为2p 的点到其焦点F 的距离；（2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求120y y y +的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数． 例5．椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点)0)(0,(>c c F 的准线l 与x 轴相交于点A ，||2||FA OF =，过点A 的直线与椭圆相交于,P Q 两点．（I ）求椭圆的方程及离心率；（II ）若,0.=OQ OP 求直线PQ 的方程；（III ）设)1(>=λλAQ AP ，过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明FQ FM λ-=．课后练习与提高1．以点(1,1)-为中点的抛物线28y x =的弦所在的直线方程为（ ） ()A 430x y --= ()B 430x y ++= ()C 430x y +-= ()D 430x y ++=2．斜率为3的直线交椭圆221259x y +=于,A B 两点，则线段AB 的中点M 的坐标满足方程（ ）()A 325y x = ()B 325y x =- ()C 253y x = ()D 253y x =- 3．过点(0,1)与抛物线22(0)y px p =>只有一个公共点的直线的条数是（ ）()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 34．过双曲线22221x y a b-=的右焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是左焦点，若0190PFQ ∠=，则双曲线的离心率是（ ） ()A 2 ()B 12()C 22()D 325．过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于,P Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是,p q ，则11p q+等于（ ） ()A 2a ()B 12a ()C 4a ()D 4a6．直线y x m =+与椭圆2214x y +=交于A 、B 两点，则||AB 的最大值是（ ）()A 2 ()B 5 ()C 5 ()D 5 7．已知双曲线2290x y kx y -+--=与直线1y kx =+的两个交点关于y 轴对称，则这两个交点的坐标为 ．8.与直线042=+-y x 的平行的抛物线2x y =的切线方程是 ．9.已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是(,0)F m -（m 是大于0的常数）． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设Q 是椭圆上的一点，且过点,F Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若||2||MQ QF =u u u u r u u u r ，求直线l 的斜率．10．一个正三角形的三个顶点都在双曲线221x ay -=的右支上，其中一个顶点是双曲线的右顶点，求实数a 的取值范围．11．已知直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于,A B 两点．是否存在实数k ，使,A B 两点关于直线20x y -=对称？若存在，求出k 值，若不存在，说明理由．点、直线与圆锥曲线的位置关系一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握点、直线与圆锥曲线的位置及其判定，重点掌握直线与圆锥曲线相交的有关问题．(二)能力训练点通过对点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生综合运用直线、圆锥曲线的各方面知识的能力．(三)学科渗透点通过点与圆锥曲线的位置及其判定，渗透归纳、推理、判断等方面的能力．二、教材分析1．重点：直线与圆锥曲线的相交的有关问题．(解决办法：先引导学生归纳出直线与圆锥曲线的位置关系，再加以应用．) 2．难点：圆锥曲线上存在关于直线对称的两点，求参数的取值范围．(解决办法：利用判别式法和内点法进行讲解．)3．疑点：直线与圆锥曲线位置关系的判定方法中△=0不是相切的充要条件．(解决办法：用图形向学生讲清楚这一点．)三、活动设计四、教学过程(一)问题提出1．点P(x0，y0)和圆锥曲线C：f(x，y)=0有哪几种位置关系？它们的条件是什么？引导学生回答，点P与圆锥曲线C的位置关系有：点P在曲线C上、点P在曲线C内部(含焦点区域)、点P在曲线的外部(不含焦点的区域)．那么这三种位置关系的条件是什么呢？这是我们要分析的问题之一．2．直线l：Ax+By+C=0和圆锥曲线C：f(x，y)=0有哪几种位置关系？引导学生类比直线与圆的位置关系回答．直线l与圆锥曲线C的位置关系可分为：相交、相切、相离．那么这三种位置关系的条件是什么呢？这是我们要分析的问题之二．(二)讲授新课1．点M(x0，y0)与圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系的焦点为F1、F2，y2=2px(p＞0)的焦点为F，一定点为P(x0，y0)，M点到抛物线的准线的距离为d，则有：(由教师引导学生完成，填好小黑板)上述结论可以利用定比分点公式，建立两点间的关系进行证明．2．直线l∶Ax＋Bx＋C=0与圆锥曲线C∶f(x，y)＝0的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．3．应用求m的取值范围．解法一：考虑到直线与椭圆总有公共点，由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件可求．由一名同学演板．解答为：由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上，知：0＜m＜5．又∵直线与椭圆总有公共点，即(10k)2-4x(m+5k2)×5(1-m)≥0，亦即5k2≥1-m对一切实数k成立．∴1-m≤0，即m≥1．故m的取值范围为m∈(1，5)．解法二：由于直线过定点(0，1)，而直线与椭圆总有公共点，所以定点(0，1)必在椭圆内部或边界上，由点与椭圆的位置关系的充要条件易求．另解：由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上知：0＜m＜5．又∵直线与椭圆总有公共点．∴直线所经过的定点(0，1)必在椭圆内部或边界上．故m的取值范围为m∈(1，5)，小结：解法一由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路易得，但计算量大；解法二由点与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路灵活，且简捷．称，求m的取值范围．解法一：利用判别式法．并整理得：∵直线l′与椭圆C相交于两点，解法二：利用内点法．设两对称点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P1P2的中点为M(x0，y0)，∴y1+y2=3(x1+x2)．(1)小结：本例中的判别式法和内点法，是解决圆锥曲线上存在两点关于直线的对称的一般方法，类似可解抛物线、双曲线中的对称问题．练习1：(1)直线过点A(0，1)且与抛物线y2=x只有一个公共点，这样的直线有几条？(2)过点P(2，0)的直线l与双曲线x2-y2=1只有一个公共点，这样的直线有几条？由学生练习后口答：(1)3条，两条切线和一条平行于x轴的直线；(2)2条，注意到平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，故这样的直线也只有2条．练习2：求曲线C∶x2+4y2=4关于直线y=x-3对称的曲线C′的方程．由教师引导方法，学生演板完成．解答为：设(x′，y′)是曲线C上任意一点，且设它关于直线y=x-3的对称点为(x，y)．又(x′，y′)为曲线C上的点，∴(y+3)2+4(x-3)2=4．∴曲线C的方程为：4(x-3)2+(y+3)2=4．(三)小结本课主要研究了点、直线与圆锥曲线的三种位置关系及重要条件．五、布置作业的值．2．k取何值时，直线y＝kx与双曲线4x2-y2=16相交、相切、相离？3．已知抛物线x=y2+2y上存在关于直线y=x+m对称的相异两点，求m的取值范围．作业答案：k=-41．由弦长公式易求得：当4-k2≠0时，△=4(4-k2)×(-6)(1)当△＞0，即-2＜k＜2时，直线与双曲线有两个交点(2)当△＜0，即k＜-2或k＞2时，直线与双曲线无交点(3)当△=0，即k=±2时，为渐近线，与双曲线不相切故当-2＜k＜2时，直线与双曲线相交当k≤-2或k≥2时，直线与双曲线相离六、板书设计11。
【公开课教案】《直线与圆锥曲线的位置关系1》教案
直线与圆锥曲线的位置关系1一、教学目标1、熟练的掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法，会求直线与圆锥曲线相交时的弦长、定值、范围等问题。
2、体会方程的数学思想、转化的数学思想及点差法、判别式法等数学思想方法应用。
二、知识要点分析1、直线与圆锥曲线的位置关系的判断，（直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离）设直线L 的方程是：0=++C By Ax ，圆锥曲线的方程是0),(=y x f ，则由⎩⎨⎧==++0)y ,x (f 0C By Ax 消去）或消去y x (,得：02=++c bx ax )0(≠a …………（*） 设方程（*）的判别式ac b 42-=∆ 交点个数问题①当a ＝0或a ≠0，∆＝0时，曲线和直线只有一个交点； ②当a ≠0，∆＞0时，曲线和直线有两个交点； ③当a ≠0，∆＜0时，曲线和直线没有交点。
2、直线L 与圆锥曲线相交时的弦长。
设直线L 与圆锥曲线交于),(),,(2211y x Q y x P ，直线L 的斜率为k ，则2122122124)(1||1||x x x x k x x k PQ -+⋅+=-+==||11212y y k -+=2122124)(11y y y y k-+⋅+3、设A （11y ,x ），B （x 2，y 2）是椭圆12222=+b y a x 上不同的两点，且21x x ≠，0x x 21≠+，M （x 0，y 0）为AB 的中点，则两式相减可得2221212121ab x x y y x x y y -=++⋅--，22OMAB ab k k -=⋅。
这种方法叫点差法，最后需要检验直线与曲线是否相交。
【典型例题】例1、已知抛物线的方程为x y 42=，直线l 过定点P (－2,1)，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线x y 42=只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？【尝试解答】 直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)，即y ＝kx ＋2k ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2k ＋1，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(4k 2＋2k －4)x ＋(2k ＋1)2＝0，(*)当k ＝0时，方程(*)为－4x ＋1＝0，即x ＝14，此时直线l 和抛物线只有一个交点，当k ≠0时，Δ＝(4k 2＋2k －4)2－4k 2(2k ＋1)2＝－32k 2－16k ＋16，由Δ＝0，即－32k 2－16k ＋16＝0，得 2k 2＋k －1＝0， 解得k ＝－1或k ＝12，∴当k ＝－1或k ＝12时，方程(*)有两个相等的实根，当－1＜k ＜12且k ≠0时，方程(*)有两个不等的实根，当k ＜－1或k ＞12时，方程(*)没有实根．综上知 ，当k ＝0或k ＝－1，或k ＝12时，直线与抛物线只有一个公共点，当－1＜k ＜12且k ≠0时，直线与抛物线有两个公共点，当k ＜－1或k ＞12时，直线与抛物线没有公共点．,例2、过椭圆2222=+y x 的一个焦点的直线交椭圆于A 、B 两点，求△AOB 的面积的最大值(O 为原点)．解：不妨设AB 过焦点(0,1)， 当AB 斜率不存在时显然不合题意．设AB 的方程为y －1＝kx ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，2x 2＋y 2＝2得(2＋k 2)x 2＋2kx －1＝0，所以x 1＋x 2＝－2k 2＋k 2，x 1x 2＝－12＋k 2， 所以|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝221＋k 22＋k 2.又设点O 到直线AB 的距离为d ，则d ＝11＋k 2， 所以S △AOB ＝12|AB |·d＝2·1＋k 22＋k 2＝2·1＋k 21＋k 2＋1＝21＋k 2＋11＋k 2≤22，所以S △AOB 的最大值为22.例3. 已知双曲线方程2x 2－y 2＝2.(1) 求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在直线方程；(2) 过点B(1,1)能否作直线l ，使l 与所给双曲线交于Q 1、Q 2两点，且点B 是弦Q 1Q 2的中点？这样的直线l 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．解：(1)即设)1,2(A 的中点弦两端点为),(),,(222111y x P y x P ，则有关系2,42121=+=+y y x x ．又据对称性知21x x ≠，所以2121x x y y --是中点弦21P P 所在直线的斜率，由1P 、2P 在双曲线上，则有关系22,2222222121=-=-y x y x ．两式相减是：0))(())((221212121=-+--+y y y y x x x x∴0)(2)(422121=---⋅y y x x ∴42121=--xx y y所求中点弦所在直线为)2(41-=-x y ，即074=--y x ．(2)可假定直线l 存在，而求出l 的方程为)1(21-=-x y ，即012=--y x方法同(1)，联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=--=-0122222y x y x ，消去y ,得03422=+-x x然而方程的判别式08324)4(2<-=⋅⋅--=∆，无实根，因此直线l 与双曲线无交点，这一矛盾说明了满足条件的直线l 不存在．四．课堂巩固1．直线y x b =+与抛物线22y x =，当b ∈ 时，有且只有一个公共点；当b ∈ 时，有两个不同的公共点；当b ∈ 时，无公共点．2．若直线1y kx =+和椭圆22125x y m+=恒有公共点，则实数m 的取值范围为 ．3．抛物线2y ax =与直线y kx b =+(0)k ≠交于,A B 两点，且此两点的横坐标分别为1x ，2x ，直线与x 轴的交点的横坐标是3x ，则恒有 （ ）()A 312x x x =+ ()B 121323x x x x x x =+ ()C 3120x x x ++= ()D 1213230x x x x x x ++=4．椭圆122=+ny mx 与直线1=+y x 交于,M N 两点，MN 的中点为P ，且OP 的斜率为22，则nm的值为 （）()A 22()B 322()C 229()D 2732 5．已知双曲线22:14y C x -= ，过点(1,1)P 作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有 （ ）()A 1 条()B 2条 ()C 3条()D 4条。
教案直线和圆锥曲线的位置关系
课题：直线和圆锥曲线的位置关系【教学目标】1． 知识目标：能从“数”和“形”角度判断直线和圆锥曲线的位置关系。
2． 能力目标：培养学生提出问题和解决问题的能力；培养学生的自主探索精神和创新能力。
3． 情感目标：通过课堂中和谐、民主的师生关系，让学生在平等、尊重、信任、理解和宽容的氛围中受到激励和鼓舞，培养学生严谨的科学态度。
【教学重点、难点与关键】1． 重点：利用“代数”或“几何”的方法解决直线和圆锥曲线的位置关系。
2． 难点：在开放式教学中让学生自己发现问题，提出问题。
3． 关键点：帮助学生寻找“数”、“形”之间的联系。
【教学方法与手段】教学方法：开放式、探究式教学。
教学手段：利用教学软件几何画板辅助教学。
【教学过程及说明】：一、引例：已知椭圆C ：12422=+y x ，直线l ：y =ax +b ①请你具体给出a ，b 的一组值，使直线l 和椭圆C 相交。
②直线l 和椭圆C 相交时，a ，b 应满足什么关系？③若a ＋b ＝1，试判定直线l 和椭圆C 的位置关系。
分析： ②：联立方程：22142y ax b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得：（1+2a 2）x 2＋4ab x+2b 2-4=0 （*） 则△＝（4ab ）2-4(1+2a 2)(2b 2-4)>0,整理得：b 2-4a 2<2③：思路一：（1－a ）2－4a 2＝－3a 2-2a +1=-3(a +21433）＋<2恒成立。
所以直线和椭圆相交。
思路二：直线y=a x+（1－a ）过定点（1，1），而点（1，1）在椭圆内部，所以直线和椭圆相交。
引例设计说明：问题①是个开放题，结果不唯一。
学生可以分别从形与数这两个角度考虑这个问题，给出一组符合题意的a ，b 的值。
问题②是在问题①基础上的提升，探求直线和椭圆相交时的一般情况。
切入本节课的主题。
也为后面比较直线和双曲线位置关系的代数处理的异同点，做个铺垫。
最新高三数学第一轮复习教案(新人教A)直线与圆锥曲线的位置关系1
x2 y2 1,
由已知得 36 20 ( x 6)( x 4) y 2 0,
则 2x2+9x-18=0,x= 3 或 x=-6. 2
3
5
由于 y>0,只能 x= ,于是 y= 3 .
2
2
所以点 P 的坐标是 ( 3 , 5 3 ). 22
(2) 直线 AP 的方程是 x- 3 y+6=0 ，设点 M 的坐标是 (m,0) ，则 M 到直线 AP 的距离是
(
)
A.(1, 5 )
B.(1, 5 )∪ ( 5 ， +∞)
C.( 5 ， +∞ )
D.［ 5 ,+∞］
解析：双曲线的渐近线的斜率
k= b ，要使双曲线 a
x2 y2 a 2 - b2 =1 和直线 y=2x 有交点，只要满
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足 b >2 即可，∴ a
c2 a2
>2.
a
∴ e2 1 >2.∴ e> 5 .
1
,
3
3
3
∴ - ≤tanα≤ .
3
3
∴α的取值范围是［ 0, ］∪［ 5 ,π］ .
6
6
讲评：考查直线与椭圆相交所得弦长的范围，对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用
.
本题由于 l 的方程由 tanα给出，所以可以认定α≠ ,否则涉及弦长计算时， 还应讨论α =
2
2
时的情况 .
【例 2】 讨论直线 l:y=kx+1 与双曲线 C： x 2-y 2=1 的公共点的个数 .
其弦长 |P1P2|= (x1 x2 )2 ( y1 y2 ) 2 = 1 k 2 |x1-x 2|.其中 k 为直线 l 的斜率 .
直线与圆锥曲线的位置关系教案
直线与圆锥曲线的位置关系教案教学目标：1. 理解直线与圆锥曲线的位置关系；2. 学会运用直线与圆锥曲线的性质解决问题；3. 提高推理能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 直线与圆锥曲线的位置关系的判定；2. 直线与圆锥曲线的性质及应用。
教学难点：1. 直线与圆锥曲线的位置关系的判定；2. 直线与圆锥曲线的性质的灵活运用。
教学准备：1. 教材或教学资源；2. 投影仪或白板；3. 粉笔或教学板书。
教学过程：第一章：直线与圆锥曲线的位置关系简介1.1 引入通过展示一些实际问题，引导学生思考直线与圆锥曲线的位置关系，例如：在平面直角坐标系中，给定一个圆锥曲线（如椭圆、双曲线、抛物线），如何判断一条给定的直线与该圆锥曲线的位置关系（相交、切线、平行、远离）？1.2 讲解讲解直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法，包括：（1）相交：直线与圆锥曲线有两个不同的交点；（2）切线：直线与圆锥曲线有一个交点，且该交点为切点；（3）平行：直线与圆锥曲线没有交点；（4）远离：直线与圆锥曲线相离，没有交点。
1.3 练习给出一些练习题，让学生运用所学知识判断直线与圆锥曲线的位置关系，并解释原因。
1.4 小结总结本章内容，强调直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法及应用。
第二章：直线与圆锥曲线的性质2.1 引入通过展示一些实际问题，引导学生思考直线与圆锥曲线的性质，例如：在平面直角坐标系中，给定一条直线和一个圆锥曲线（如椭圆、双曲线、抛物线），如何描述它们的交点、切点等特征？2.2 讲解讲解直线与圆锥曲线的性质，包括：（1）交点的坐标：根据直线和圆锥曲线的方程，求出它们的交点坐标；（2）切点的坐标：根据直线和圆锥曲线的方程，求出它们的切点坐标；（3）斜率：直线与圆锥曲线相交时，交点的切线斜率与直线的斜率的关系；（4）距离：直线与圆锥曲线的距离公式。
2.3 练习给出一些练习题，让学生运用所学知识描述直线与圆锥曲线的交点、切点等特征，并计算相关距离和斜率。
直线与圆锥曲线的位置关系教案
直线与圆锥曲线的位置关系教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解直线与圆锥曲线的位置关系；（2）学会运用直线与圆锥曲线的性质解决相关问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、推理等方法，探索直线与圆锥曲线的位置关系；（2）培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生的团队合作精神，提高学生的表达沟通能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）直线与圆锥曲线的位置关系；（2）运用直线与圆锥曲线的性质解决相关问题。
2. 教学难点：（1）直线与圆锥曲线的位置关系的判断；（2）灵活运用直线与圆锥曲线的性质解决实际问题。
三、教学过程1. 导入：（1）复习相关知识点，如直线、圆锥曲线的定义及性质；（2）提出问题，引导学生思考直线与圆锥曲线的位置关系。
2. 探究：（1）分组讨论，让学生观察直线与圆锥曲线的位置关系，总结规律；（2）每组派代表分享探究成果，师生共同总结直线与圆锥曲线的位置关系。
3. 讲解：（1）讲解直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法；（2）举例说明如何运用直线与圆锥曲线的性质解决实际问题。
4. 练习：（1）布置课堂练习题，让学生巩固所学知识；（2）挑选部分练习题进行讲解，解答学生疑问。
5. 总结：（1）回顾本节课所学内容，让学生梳理知识体系；（2）强调直线与圆锥曲线位置关系在实际问题中的应用。
四、课后作业1. 完成课堂练习题；2. 选取一个实际问题，运用直线与圆锥曲线的性质进行解答；3. 预习下一节课内容。
五、教学反思1. 反思教学效果：（1）学生对直线与圆锥曲线的位置关系的掌握程度；（2）学生运用直线与圆锥曲线的性质解决实际问题的能力。
2. 改进措施：（1）针对学生掌握不足的地方，进行有针对性的讲解和练习；（2）提供更多实际问题，让学生锻炼运用所学知识解决问题的能力。
六、教学评价1. 学生自评：（1）评价自己在课堂学习中的表现，如参与度、理解程度等；（2）反思自己在课后作业中的表现，如完成情况、解决问题能力等。
高中数学教案 第8讲 直线与圆锥曲线
第8讲直线与圆锥曲线1.理解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.3.掌握直线与圆锥曲线相交的综合问题.1.直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与圆锥曲线的位置关系有□1相交、□2相切、□3相离；相交有两个交点(特殊情况除外)，相切有一个交点，相离无交点.(2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C ＝0代入圆锥曲线C的方程.消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx ＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).①当a≠0时，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有Δ＞0时，直线l与曲线C□4相交；Δ＝0时，直线l与曲线C□5相切；Δ＜0时，直线l与曲线C□6相离.②当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的□7渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的□8对称轴平行或重合.2.圆锥曲线的弦长公式设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝□91＋k2|x1－x2|＝□10（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]或|AB|＝□111＋1k2|y1－y2|＝□12（1＋1k2）[（y1＋y2）2－4y1y2]，k为直线斜率且k≠0.常用结论与椭圆有关的结论(1)通径的长度为2b2a；(2)过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则k P A·k PB＝－b2a2；(3)若点P(x0，y0)在椭圆上，过点P的切线方程为x0xa2＋y0yb2＝1.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)椭圆通径是所有的焦点弦中最短的弦.()(2)直线y＝x与椭圆x22＋y2＝1一定相交.()(3)“直线l与双曲线C相切”的充要条件是“直线l与双曲线C只有一个公共点”.()(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.()答案：(1)√(2)√(3)×(4)×2.回源教材(1)直线y＝kx＋1与椭圆x216＋y24＝1的位置关系为()A.相离B.相交C.相切D.无法确定解析：B由于直线y＝kx＋1过定点(0，1)，而(0，1)在x216＋y24＝1内，故直线与椭圆相交.(2)过抛物线y＝14x2的焦点F作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|＝.解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，题中的抛物线x2＝4y的焦点坐标是F(0，1)，直线AB的方程为y＝33x＋1，即x＝3(y－1).x2＝4y，x＝3（y－1）消去x得3(y－1)2＝4y，即3y2－10y＋3＝0，y1＋y2＝103，|AB|＝|AF|＋|BF|＝(y1＋1)＋(y2＋1)＝y1＋y2＋2＝16 3 .答案：16 3(3)已知点M(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C 交于A，B两点.若∠AMB＝90°，则k＝.解析：因为抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1，0)，所以直线AB的方程为y＝k (x －1)2＝4x ，＝k （x －1），可得k 2x 2－2(2＋k 2)x ＋k 2＝0，k ≠0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋2k 2k 2＝4k 2＋2，x 1x 2＝1，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝4k ，y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－4.因为M (－1，1)，所以MA →＝(x 1＋1，y 1－1)，MB →＝(x 2＋1，y 2－1)，因为∠AMB ＝90°，所以MA →·MB →＝0，所以(x 1＋1)(x 2＋1)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，整理可得，x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋2＝0，所以1＋2＋4k 2－4－4k＋2＝0，得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2.答案：2直线与圆锥曲线位置关系的判断例1已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不同的公共点；(2)有且只有一个公共点.解：将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，2x ＋m ，①＋y 22＝1，②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ＞0，即－32＜m ＜32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有两个不同的公共点.(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点.反思感悟在判断直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去x (或y )，得到关于y (或x )的方程，如果是直线与圆或椭圆，则所得方程一定为一元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，只有二次方程才有判别式，另外还应注意斜率不存在的情形.训练1(1)若直线mx ＋ny ＝9和圆x 2＋y 2＝9没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 216＝1的交点有()A.1个B.至多1个C.2个D.0个解析：C 因为直线mx ＋ny ＝9和圆x 2＋y 2＝9没有交点，所以9m 2＋n 2＞3，即m 2＋n 2＜9，所以m 29＋n 216≤m 29＋n 29＜1，即点(m ，n )在椭圆x 29＋y 216＝1内，所以过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 216＝1的交点有2个.(2)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，经过双曲线C 的右焦点F ，且倾斜角为60°的直线l 与双曲线右支有两个交点，则双曲线离心率的取值范围为.解析：∵直线l 的斜率k l ＝tan 60°＝3，双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，则ba ＜3，∴e ＝c a＝1＋b 2a2＜2，故1＜e ＜2.答案：(1，2)弦长问题例2过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点作倾斜角为60°的直线，直线与椭圆交于A ，B两点，则|AB|＝.解析：∵椭圆方程为x22＋y2＝1，∴焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0).∵直线AB过左焦点F1，倾斜角为60°，∴直线AB的方程为y＝3(x＋1)，将直线AB方程与椭圆方程联立消去y，得7x2＋12x＋4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得x1＋x2＝－127，x1x2＝47，∴|x1－x2|＝（x1＋x2）2－4x1x2＝427，因此|AB|＝1＋（3）2·|x1－x2|＝82 7.答案：82 7反思感悟求解弦长的4种方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解.(2)联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解.(3)联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到(x1－x2)2，(y1－y2)2，代入两点间的距离公式.(4)当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长.训练2已知椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，AB为过椭圆右焦点的一条弦，且AB长度的最小值为2.(1)求椭圆M的方程；(2)若斜率为1的直线l与椭圆M交于C，D两点，点P(2，0)，直线PC的斜率为12，求线段CD的长度.解：(1)因为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22＝ca＝1－（ba）2，过椭圆右焦点的弦长的最小值为2b2a＝2，所以a＝2，c＝2，b＝2，所以椭圆M的方程为x24＋y22＝1.(2)设直线PC的方程为y＝12(x－2)，联立直线PC与椭圆M的方程得12（x－2），＋y22＝1，化简整理得3x2－4x－4＝0，则x P＋x C＝43，因为点P(2，0)，所以C点坐标为(－23，－43)，所以可得直线l的方程为y＋43＝x＋23，即y＝x－23.联立直线l与椭圆M的方程，消去y得3x2－83x－289＝0，解得x1＝－23，x2＝149，所以|CD|＝1＋12×|x1－x2|＝2×209＝2029.中点弦利用中点弦确定直线或曲线方程例3(2023·全国乙卷)设A，B为双曲线x2－y29＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是()A.(1，1)B.(－1，2)C.(1，3)D.(－1，－4)解析：D法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，由点A，B在双曲线上，21－y219＝1，22－y229＝1，两式作差，得x21－x22＝y21－y22 9，即(x1－x2)(x1＋x2)＝（y1－y2）（y1＋y2）9，化简得（y 1－y 2）（y 1＋y 2）（x 1－x 2）（x 1＋x 2）＝9，即y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 22x 1＋x 22＝k AB ·y 0x 0＝9，因此k AB ＝9·x0y 0.由双曲线方程可得渐近线方程为y ＝±3x ，如图.对于A ，因为k AB ＝9×11＝9＞3，所以直线AB 与双曲线无交点，不符合题意；对于B ，因为k AB ＝9×－12＝－92＜－3，所以直线AB 与双曲线无交点，不符合题意；对于C ，k AB ＝9×13＝3，此时直线AB 与渐近线y ＝3x 平行，与双曲线不可能有两个交点，不符合题意；对于D ，因为k AB ＝9×－1－4＝94＜3，所以直线AB 与双曲线有两个交点，满足题意.法二：选项中的点均位于双曲线两支之间，故A ，B 分别在双曲线的两支上且不关于原点对称，设线段AB 的中点坐标为(x 0，y 0)，则|k AB |＝9|x0y 0|＜3，即|y 0|＞3|x 0|，结合选项可知选D.反思感悟用“点差法”解决有关中点弦问题的一般步骤对称问题例4已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，长轴长为4.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知直线l 过定点E (14，0)，若椭圆C 上存在两点A ，B 关于直线l 对称，求直线l 斜率k 的取值范围.解：(1)因为椭圆的离心率为e ＝c a ＝12，长轴长为2a ＝4，解得a ＝2，c ＝1，则b 2＝3，所以椭圆C 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)易知直线的斜率存在，设直线方程为y ＝k (x －14)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点的坐标为(x 0，y 0)x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得3(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝－4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)，即3kx 0＝4y 0.又y 0＝k (x 0－14)，解得x 0＝1，y 0＝3k4.因为线段AB 的中点在椭圆内部，所以x 204＋y 203＜1，即14＋（3k 4）23＜1，解得－2＜k ＜2.所以直线l 斜率k 的取值范围是(－2，2).反思感悟训练3(2024·衡水模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为22，短轴顶点分别为M，N，四边形MF1NF2的面积为32.(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线l交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为(－2，1)，求直线l的方程.解：(1)因为离心率e＝ca＝22，所以a＝2c，因为a2＝b2＋c2，所以b＝c.因为四边形MF1NF2的面积为32，所以2bc＝32，所以b＝c＝4，a＝42，故椭圆C的标准方程为x232＋y216＝1.(2)由题意得，直线l的斜率存在.设A(x1，y1)，B(x2，y2)x2132＋y2116＝1，x2232＋y2216＝1，两式相减得x21－x2232＋y21－y2216＝0，所以y1－y2x1－x2＝－12·x1＋x2y1＋y2.因为AB的中点坐标为(－2，1)在椭圆内部，所以y1－y2x1－x2＝1，所以直线l的斜率为1，故直线l的方程为y－1＝x＋2，即x－y＋3＝0.限时规范训练(六十四)A级基础落实练1.直线y＝kx－k与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为()A.相交B.相切C.相离D.不确定解析：A直线y＝kx－k可化为y＝k(x－1)，所以直线恒过点(1，0).又129＋024＜1，即(1，0)在椭圆的内部，所以直线y＝kx－k与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为相交.2.直线y＝x＋2与椭圆x2m＋y23＝1有两个公共点，则m的取值范围是()A.(1，＋∞)B.(1，3)∪(3，＋∞)C.(3，＋∞)D.(0，3)∪(3，＋∞)解析：Bx＋2，＋y23＝1，得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.由Δ＞0且m≠3及m＞0，得m＞1且m≠3.3.已知椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，过M的右焦点F(3，0)作直线交椭圆于A，B两点，若AB的中点坐标为(2，1)，则椭圆M的方程为()A.x2 9＋y26＝1 B.x24＋y2＝1C.x2 12＋y23＝1 D.x218＋y29＝1解析：D直线AB的斜率k＝1－02－3＝－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程可得x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1，两式相减，整理得2a2－1b2＝0，又c＝3，a2＝b2＋c2，联立解得a2＝18，b2＝9.所以椭圆M的方程为x218＋y29＝1.4.过椭圆x212＋y24＝1上的点A(3，－1)作椭圆的切线l，则过A点且与直线l垂直的直线方程为()A.x－y－3＝0B.x＋y－2＝0C.2x＋3y－3＝0D.3x－y－10＝0解析：B过椭圆x212＋y24＝1上的点A(3，－1)的切线l的方程为3x12＋（－y）4＝1.即x－y－4＝0，切线l的斜率为1，与直线l垂直的直线的斜率为－1，过A点且与直线l垂直的直线方程为y＋1＝－(x－3)，即x＋y－2＝0.5.(2023·新课标Ⅱ卷)已知椭圆C：x23＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m＝()A.2 3B.2 3C.－23D.－23解析：C由题意，F1(－2，0)，F2(2，0)，△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，所以点F1到直线AB的距离是点F2到直线AB的距离的2倍，即|－2＋m|2＝2×|2＋m|2，解得m＝－23或m＝－32(此时直线与椭圆C不相交，舍去)，故选C.6.(多选)已知直线l：x＝ty＋4与抛物线C：y2＝4x交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别记为k1，k2，则()A.y 1y 2为定值B.k 1k 2为定值C.y 1＋y 2为定值D.k 1＋k 2＋t 为定值解析：ABD＝ty ＋4，2＝4x ，得y 2－4ty －16＝0，1＋y 2＝4t ，1y 2＝－16.对于A ，y 1y 2＝－16为定值，故A 正确；对于B ，k 1k 2＝y 1y 2x 1x 2＝y 1y 2y 21y 2216＝16y 1y 2＝－1为定值，故B 正确；对于C ，y 1＋y 2＝4t ，不为定值，故C 错误；对于D ，k 1＋k 2＋t ＝y 1x 1＋y 2x 2＋t ＝x 2y 1＋x 1y 2x 1x 2＋t ＝（ty 2＋4）y 1＋（ty 1＋4）y 2y 21y 2216＋t ＝2ty 1y 2＋4（y 1＋y 2）y 21y 2216＋t ＝－32t ＋16t16＋t ＝－t ＋t ＝0为定值，故D 正确.7.设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是.解析：可求得Q (－2，0)，当直线l 的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.当k ＝0时，直线l 与抛物线恒有一个交点；当k ≠0时，结合Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0，解得－1≤k ＜0或0＜k ≤1.综上，直线l 的斜率的取值范围为[－1，1].答案：[－1，1]8.已知椭圆x 22＋y 2＝1与直线y ＝x ＋m 交于A ，B 两点，且|AB |＝423，则实数m 的值为.解析：y 2＝1，x ＋m ，消去y 并整理，得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝2m 2－23.由题意，得2（x 1＋x 2）2－8x 1x 2＝423，解得m ＝±1.答案：±19.(2024·保定模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过F 作斜率为5的直线l 与C 交于M ，N 两点，若线段MN 中点的纵坐标为10，则F 到C 的准线的距离为.解析：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，两式相减得y 21－y 22＝2px 1－2px 2，即(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝2p (x 1－x 2)，因为M ，N 两点在斜率为5的直线l 上，所以y 1－y 2x 1－x 2＝5，所以由(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝2p (x 1－x 2)得5(y 1＋y 2)＝2p ，因为线段MN 中点的纵坐标为10，所以y 1＋y 2＝210，则5×210＝2p ，p ＝52，所以F 到C 的准线的距离为5 2.答案：5210.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2，0)，右顶点为(3，0).(1)求该双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 的左支有两个不同的交点A ，B ，求k 的取值范围.解：(1)由题意设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0).由已知得a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1.故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由题意知－3k 2≠0，＝（－62k ）2－4×（1－3k 2）×（－9）＞0，A ＋x B ＝62k1－3k 2＜0，A x B ＝－91－3k2＞0，∴33＜k ＜1.∴k 的取值范围是(33，1).11.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与双曲线y 26－x 22＝1的渐近线相同，且经过点(2，3).(1)求双曲线C 的方程；(2)已知双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 经过F 2，倾斜角为34π，l 与双曲线C 交于A ，B 两点，求△F 1AB 的面积.解：(1)设所求双曲线C 的方程为y 26－x 22λ(λ≠0)，代入点(2，3)得326－222＝λ，即λ＝－12，∴双曲线C 的方程为y 26－x 22＝－12，即x 2－y 23＝1.(2)由(1)知，F 1(－2，0)，F 2(2，0)，由题意得直线AB 的方程为y ＝－(x －2)，即x ＋y －2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)＋y －2＝0，2－y 23＝1，得2x 2＋4x －7＝0，满足Δ＞0且x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－72，由弦长公式得|AB |＝1＋k 2×|x 1－x 2|＝1＋（－1）2×（－2）2－4×（－72）＝2×32＝6，点F 1(－2，0)到直线AB ：x ＋y －2＝0的距离d ＝|－2＋0－2|2＝2 2.所以S △F 1AB ＝12|AB |·d ＝12×6×22＝6 2.B 级能力提升练12.(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)设O 为坐标原点，直线y ＝－3(x －1)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则()A.p ＝2B.|MN |＝83C.以MN 为直径的圆与l 相切D.△OMN 为等腰三角形解析：AC对于A ，因为直线y ＝－3(x －1)经过抛物线C 的焦点，且直线与x 轴的交点为(1，0)，所以抛物线C 的焦点坐标为(1，0)，所以p2＝1，即p ＝2，所以A 选项正确；对于B ，法一：不妨设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，x 1＜x 2，＝－3（x －1），2＝4x ，1＝13，1＝233，2＝3，2＝－23，所以M (13，233)，N (3，－23)，所以由两点间距离公式可得|MN |＝（3－13）2＋（－23－233）2＝163，故B 选项错误；法二：不妨设M (x1，y 1)，N (x 2，y 2)，x 1＜x 2，＝－3（x －1），2＝4x ，消去y 并整理得3x 2－10x ＋3＝0，解得x 1＝13，x 2＝3.由抛物线的定义得，|MN |＝x 1＋x 2＋p ＝103＋2＝163，故B 选项错误；法三：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，＝－3（x －1），2＝4x ，消去y 并整理得3x 2－10x ＋3＝0，则Δ＝64＞0，x 1＋x 2＝103，x 1x 2＝1，所以由弦长公式得|MN |＝1＋3×（103）2－4×1＝163，故B 选项错误；法四：易知直线＝－3(x －1)的倾斜角为2π3，所以|MN |＝2×2sin 22π3＝163，故B 选项错误；对于C ，法一：由以上分析易知，l 的方程为x ＝－1，以MN 为直径的圆的圆心坐标为(53，－233)，半径r ＝12|MN |＝83＝53＋1，所以以MN 为直径的圆与l 相切，故C 选项正确；法二：由二级结论——以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切，易知C 选项正确；对于D，由B中法一知M(13，233)，N(3，－23)，所以由两点间距离公式可得|OM|＝133，|ON|＝21，又|MN|＝163，故D选项错误.综上，选AC.13.(多选)(2024·金华调研)在平面直角坐标系xOy中，动点P与两个定点F1(－3，0)和F2(3，0)的连线的斜率之积等于13，记点P的轨迹为曲线E，直线l：y ＝k(x－2)与E交于A，B两点，则()A.E的方程为x23－y2＝1(x≠±3)B.E的离心率为3C.E的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1相切D.满足|AB|＝23的直线l有两条解析：ACD设点P(x，y)，由已知得yx＋3·yx－3＝13，整理得x23－y2＝1，所以点P的轨迹曲线E的方程为x23－y2＝1(x≠±3)，故A正确；又离心率e＝23＝233，故B不正确；圆(x－2)2＋y2＝1的圆心(2，0)到曲线E的渐近线y＝±33x的距离d＝212＋（±3）2＝1，又圆(x－2)2＋y2＝1的半径为1，故C正确；直线l与曲线E的方程联立得k （x －2），y 2＝1（x ≠±3），整理得(1－3k 2)x 2＋12k 2x －12k 2－3＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Δ＝144k 4－4(1－3k 2)(－12k 2－3)＝12(k 2＋1)＞0，且1－3k 2≠0，有x 1＋x 2＝－12k 21－3k 2，x 1x 2＝－12k 2－31－3k 2，所以|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋k 2·231＋k 2|1－3k 2|＝23（1＋k 2）|1－3k 2|，要满足|AB |＝23，则需23（1＋k 2）|1－3k 2|＝23，解得k ＝0或k ＝1或k ＝－1，当k ＝0时，不妨令A (3，0)，B (－3，0)，而曲线E 上x ≠±3，所以满足条件的直线l 有两条，故D 正确.14.(2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1(－17，0)，F 2(17，0)，点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝2.记M 的轨迹为C .(1)求C 的方程；(2)设点T 在直线x ＝12上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.解：(1)因为|MF 1|－|MF 2|＝2＜|F 1F 2|＝217，所以点M 的轨迹C 是以F 1，F 2分别为左、右焦点的双曲线的右支.设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，半焦距为c ，则2a ＝2，c ＝17，得a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝16，所以点M 的轨迹C 的方程为x 2－y 216＝1(x ≥1).(2)设T (12，t )，由题意可知直线AB ，PQ 的斜率均存在且不为零，设直线AB 的方程为y －t ＝k 1(x －12)(k 1≠0)，直线PQ 的方程为y －t ＝k 2(x －12)(k 2≠0)，－t ＝k 1（x －12），2－y 216＝1，得(16－k 21)x 2－2k 1(t －k 12)x －(t －k 12)2－16＝0.设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )(x A ＞12，x B ＞12)，由题意知16－k 21≠0，则x A x B ＝－（t －k12）2－1616－k 21，x A ＋x B ＝2k 1（t －k12）16－k 21，所以|TA |＝1＋k 21|x A －12|＝1＋k 21(x A －12)，|TB |＝1＋k 21|x B －12|＝1＋k 21(x B －12)，则|TA |·|TB |＝(1＋k 21)(x A －12)(x B －12)＝(1＋k 21)[x A x B －12(x A ＋x B )＋14]＝(1＋k 21)[－（t －k 12）2－1616－k 21－12·2k 1（t －k12）16－k 21＋14]＝（1＋k21）（t2＋12）k21－16同理得|TP|·|TQ|＝（1＋k22）（t2＋12）k22－16.因为|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，所以（1＋k21）（t2＋12）k21－16＝（1＋k22）（t2＋12）k22－16，所以k22－16＋k21k22－16k21＝k21－16＋k21k22－16k22，即k21＝k22，又k1≠k2，所以k1＝－k2，即k1＋k2＝0.故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.。
精品教案：直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系【知识网络】1．直线与圆锥曲线之间的位置关系及其判定方法． 2．一元二次方程根的判别式及韦达定理的应用． 3．中点问题，弦长问题的求解． 4．进一步应用数形结合思想． 【典型例题】[例1]（1）过点（2，4）作直线与抛物线x y 82=有且只有一个公共点，这样的直线有（ ）Ａ．一条 Ｂ．两条 Ｃ．三条 Ｄ．四条（2）直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆1522=+my x 恒有公共点，则m 的取值范围是（ ） Ａ．[)()+∞,55,1 Ｂ．（０，５） Ｃ．[)+∞,1 Ｄ．（１，５）（3）以圆锥曲线过焦点的弦为直径的圆与对应的准线无交点，则此圆锥曲线是( ) A 不能确定 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线（4）斜率为２的直线与圆锥曲线交于),(),,(2211y x B y x A 两点，若弦长52=AB ，则=-21y y ． （5）双曲线122=-y x 的左焦点为Ｆ，点Ｐ为左支下半支上的动点（异于顶点），则直线ＰＦ的斜率的范围是 ．[例2] 在椭圆141622=+y x 内，求通过点Ｍ（１，１）且被这点平分的弦ＡＢ所在直线的方程．[例3] 中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，它的离心率为23，与直线x+y －1=0相交于两点Ｍ、Ｎ，且ＯＭ⊥ＯＮ．求椭圆的方程．[例4] 如图，在△ABC 中，∠C =90°，BC =2AC ，A 、B 、C 都是椭圆上的点，其中A 是椭圆的左顶点，直线BC 经过椭圆中心（即原点O ）．（1）求证：无论 AC 的长取何正实数，椭圆的离心率恒为定值，并求出该 定值； （2）若PQ 是椭圆的一条弦，PQ ∥AB ，求证∠PCQ 的平分线垂直于AO ．【课内练习】1．平面内有一线段ＡＢ，其长为33，动点Ｐ满足3=-PB PA ，Ｏ为ＡＢ的中点，则OP 的最小值为 （ ） Ａ．23Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３ 2．已知方程0,,0(022>≠≠=++=+c b a ab c by ax ab by ax 其中和，它们所表示的曲线可能是（ ）Ａ Ｂ Ｃ Ｄ3．设A 为双曲线191622=-y x 右支上一点，F 为该双曲线的右焦点，连AF 交双曲线于B ，过B 作直线BC 垂直于双曲线的右准线，垂足为C ，则直线AC 必过定点( )A ．（0,1041） B ．（0,518） C ．（4，0） D ．（0,522） 4．若直线1-=kx y 与椭圆1422=+ay x 有且只有一公共点，那么 （ ） Ａ．(]⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈∈21,21,1,0k a Ｂ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈∈21,21,1,0k aＣ．(]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈∈21,21,1,0k a Ｄ．()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈∈21,21,1,0k a 5．过原点的直线l ，如果它与双曲线14322=-x y 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 ． 6．直线y=x －3与抛物线y 2=4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，则梯形APQB 的面积是 ．7．若曲线y 2=|x |＋1与直线y=kx ＋b 没有公共点，则k,b 应满足的条件是 ．8．已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设AM ＝λ.（1）证明：λ＝1－e 2； （2）若43=λ，△PF 1F 2的周长为6；写出椭圆C 的方程． ．9．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为)0,3(。
直线与圆锥曲线的位置关系教案
个性化辅导教案教师姓名学生姓名上课时间学科数学年级教材版本北师大阶段第（）阶段观察期：□维护期：□课题名称直线与圆锥曲线的位置关系课时计划第（）次课共（）次课教学目标把握直线与圆锥曲线的位置关系,会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹教学重点难点重点：直线与圆锥曲线的位置关系难点：圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立解决圆锥曲线综合问题知识要点教学过程：基础梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即⎩⎨⎧Ax＋By＋C＝0，F(x，y)＝0，消去y后得ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C无公共点．(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行．2．圆锥曲线的弦长(1)圆锥曲线的弦长直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．(2)圆锥曲线的弦长的计算2b 2＋4＝27. ⎦⎥⎤－12，12＝3；由已知，得|m|1＋k2＝32，即＝34(＝－6km3k2＋1，＝3(m－1)3k2＋1.)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤36k m(3k2＋1)2－12(m－1)3k2＋1＝12(k＋1)(3k＋1－m)(3k2＋1)2＝3(k＋1)(9k＋1)(3k2＋1)2＝＋12k9k4＋6k2＋1.＋12＋1k2＋≤＋122×3＋6＝＝1k2，即±33时等号成立．此时＝3，综上所述＝12××32＝32.解 (1)∵a 2＝2，b 2＝1，∴c ＝1，F (－1,0)， ∵圆过点O ，F ，∴圆心M 在直线x ＝－12上．设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，t ，则圆半径r ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－(－2)＝32， 由|OM |＝r ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋t 2＝32，解得t ＝±2，∴所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ±2)2＝94.(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入x 22＋y 2＝1， 整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.∵直线AB 过椭圆的左焦点F 且不垂直于x 轴， ∴方程有两个不等实根． 如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点N (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 0＝12(x 1＋x 2)＝－2k 22k 2＋1， y 0＝k (x 0＋1)＝k2k 2＋1，∴AB 的垂直平分线NG 的方程为y －y 0＝－1k (x －x 0)．令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k 22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2，∵k ≠0，∴－12＜x G ＜0，∴点G 横坐标的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．考向四 定值(定点)问题【例4】►椭圆有两顶点A (－1,0)、B (1,0)，过其焦点F (0,1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，并与x 轴交于点P .直线AC 与直线BD 交于点Q . (1)当|CD |＝322时，求直线l 的方程．(2)当点P 异于A 、B 两点时，求证：O P →·O Q →为定值．[审题视点] (1)设出直线方程与椭圆方程联立．利用根与系数的关系和弦长公式可求出斜率从而求解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路很明确：即定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积等，其不受变化的量所影响的一个值即为定值，化解这类问题的关键是引进参数表示直线方程、数量积等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量，解题过程中要注意讨论直线斜率的存在情况，计算要准确．规范解答17——怎样求解析几何中的探索性问题【问题研究】 解析几何中探索性问题的结论往往不明确，需要根据已知条件通过推理论证或是计算对结论作出明确的肯定或是否定，因此解决起来具有较大的难度．【解决方案】 明确这类问题的解题思想：即假设其结论成立、存在等，在这个假设下进行推理论证，如果得到了一个合情合理的推理结果，就肯定假设，对问题作出正面回答，如果得到一个矛盾的结果，就否定假设，对问题作出反面回答．【示例】►如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M 、N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e .直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D . (1)设e ＝12，求|BC |与|AD |的比值；(2)当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．第(1)问，设C 1的方程，C 2的方程同样由C 1的系数a ，b 来表示，再分别求点A 、B 的坐标，进而可求|BC |∶|AD |；第(2)问利用k BO ＝k AN ，得t 与e 、a 的关系式，再由|t |＜a ，求e 的范围．[解答示范] (1)因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1，C 2：b 2y 2a 4＋x 2a 2＝1，(a ＞b ＞0)．，a b a 2－t 2)⎭⎪⎫，b a a 2－t 2＝12时，＝32a ＝2|y B |2|y |＝b a 2＝34.b a a 2－t 2t ＝a b a 2－t 2t －a ，解得＝－ab a 2－b 2＝－1－e e 2·，所以1－e e 2＜，解得22＜≤22时，不存在直线；当22＜。
直线与圆锥曲线的位置关系一教案 新课标 人教版
直线与圆锥曲线的位置关系一教案一、要点·疑点·考点1.直线和圆锥曲线的位置关系及判断、运用设直线l的方程为：Ax+By+C=0圆锥曲线方程为：f(x，y)=0由(,)0f x yAx By C=⎧⎨++=⎩消元（x或y）若消去y后得ax2+bx+c=0，若f(x，y)=0表示椭圆，则a≠0，为此有(1)若a=0，当圆锥曲线为双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合.当圆锥曲线是抛物线时直线l与抛物线对称轴平行或重合.(2)若a≠0，设Δ=b2-4ac①Δ＞0时，直线与圆锥曲线相交于不同两点②Δ=0时，直线与圆锥曲线相切于一点③Δ＜0时，直线与圆锥曲线没有公共点2.能运用数形结合的方法，迅速判断某些直线和圆锥曲线的位置关系二、课前热身1.直线y=kx-k+1与椭圆22194x y+=的位置关系为 ( A )(A) 相交 (B) 相切 (C) 相离 (D) 不确定2.已知双曲线方程2214yx-=，过P(1，1)点的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为 ( A )(A)4 (B)3 (C)2 (D)13.过点(0，1)与抛物线y2=2px(p＞0)只有一个公共点的直线条数是（ D ）(A)0 (B)1 (C)2 (D)34.双曲线x2－y2=1的左焦点为F，点P为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF的斜率的变化范围是：（ B ）A、(－∞，0) B、(－∞，0)∪(1，+∞)C 、 (1，+∞)D 、(－∞，－1)∪(1，+∞)5.若直线y =kx +1与曲线x则k 的取值范围是( B ) A ．―2<k<2 B ．―2<k<―1 C ．1<k<2 D ．k<―2或k>2三、能力·思维·方法1. 直线y-ax-1=0与双曲线3x 2-y 2=1交于A 、B 两点.(1)当a 为何值时，A 、B 在双曲线的同一支上?(2)当a 为何值时，以AB 为直径的圆过坐标原点?【解】（1）设1122(,),(,)A x y B x y ,联立方程组2222221221(3)2203148(3)0203(y ax y a x ax x y a a x x a a A B =+⎧---=⎨-=⎩⎧∆-->⎪⎨⋅=>⎪-⎩⇒∈⋃消得＝由时，、在同一支上（2）依题意，1212,0OA OB x x y y ⊥∴⋅+⋅= 212121212(1)(1)()12y y ax ax a x x a x x =++=⋅+++=-Q222023a a ∴-=⇒=±- 2.已知双曲线1222=-y x 与点P （1，2），过点P 作直线L 与双曲线交于A 、B 两点，P 为AB 的中点。
直线与圆锥曲线的位置关系教案
直线与圆锥曲线的位置关系教案第一章：直线与圆锥曲线的基本概念1.1 直线的基本概念直线的定义直线的性质直线的方程1.2 圆锥曲线的基本概念圆锥曲线的定义圆锥曲线的性质圆锥曲线的方程第二章：直线与圆锥曲线的交点2.1 直线与圆的交点直线与圆的位置关系直线与圆的交点个数直线与圆的交点坐标求解方法2.2 直线与椭圆的交点直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的交点个数直线与椭圆的交点坐标求解方法2.3 直线与双曲线的交点直线与双曲线的position 关系直线与双曲线的交点个数直线与双曲线的交点坐标求解方法第三章：直线与圆锥曲线的切点3.1 直线与圆的切点直线与圆的位置关系直线与圆的切点性质直线与圆的切点坐标求解方法3.2 直线与椭圆的切点直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的切点性质直线与椭圆的切点坐标求解方法3.3 直线与双曲线的切点直线与双曲线的position 关系直线与双曲线的切点性质直线与双曲线的切点坐标求解方法第四章：直线与圆锥曲线的距离4.1 直线与圆的距离直线与圆的位置关系直线与圆的距离公式直线与圆的距离求解方法4.2 直线与椭圆的距离直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的距离公式直线与椭圆的距离求解方法4.3 直线与双曲线的距离直线与双曲线的position 关系直线与双曲线的距离公式直线与双曲线的距离求解方法第五章：直线与圆锥曲线的应用5.1 直线与圆的相切问题直线与圆相切的条件直线与圆相切的应用实例直线与圆相切的解题方法5.2 直线与椭圆的相切问题直线与椭圆相切的条件直线与椭圆相切的应用实例直线与椭圆相切的解题方法5.3 直线与双曲线的相切问题直线与双曲线相切的条件直线与双曲线相切的应用实例直线与双曲线相切的解题方法第六章：直线与圆锥曲线的对称性6.1 直线与圆的对称性直线与圆的对称性质直线与圆的对称变换直线与圆的对称问题实例与解法6.2 直线与椭圆的对称性直线与椭圆的对称性质直线与椭圆的对称变换直线与椭圆的对称问题实例与解法6.3 直线与双曲线的对称性直线与双曲线的对称性质直线与双曲线的对称变换直线与双曲线的对称问题实例与解法第七章：直线与圆锥曲线的相交弦7.1 直线与圆的相交弦直线与圆的相交弦性质直线与圆的相交弦公式直线与圆的相交弦问题实例与解法7.2 直线与椭圆的相交弦直线与椭圆的相交弦性质直线与椭圆的相交弦公式直线与椭圆的相交弦问题实例与解法7.3 直线与双曲线的相交弦直线与双曲线的相交弦性质直线与双曲线的相交弦公式直线与双曲线的相交弦问题实例与解法第八章：直线与圆锥曲线的焦点8.1 直线与圆的焦点直线与圆的焦点性质直线与圆的焦点问题实例与解法直线与圆的焦点应用8.2 直线与椭圆的焦点直线与椭圆的焦点性质直线与椭圆的焦点问题实例与解法直线与椭圆的焦点应用8.3 直线与双曲线的焦点直线与双曲线的焦点性质直线与双曲线的焦点问题实例与解法直线与双曲线的焦点应用第九章：直线与圆锥曲线的综合问题9.1 直线与圆的综合问题直线与圆的位置关系的综合应用直线与圆的交点、切点、距离的综合问题实例与解法直线与圆的对称性、相交弦、焦点的综合应用9.2 直线与椭圆的综合问题直线与椭圆的位置关系的综合应用直线与椭圆的交点、切点、距离的综合问题实例与解法直线与椭圆的对称性、相交弦、焦点的综合应用9.3 直线与双曲线的综合问题直线与双曲线的position 关系的综合应用直线与双曲线的交点、切点、距离的综合问题实例与解法直线与双曲线的对称性、相交弦、焦点的综合应用第十章：直线与圆锥曲线的拓展与提升10.1 直线与圆锥曲线的拓展问题直线与圆锥曲线的特殊位置关系问题直线与圆锥曲线的创新性问题实例与解法直线与圆锥曲线的综合应用提升10.2 直线与圆锥曲线的解题策略与方法直线与圆锥曲线的分类讨论方法直线与圆锥曲线的数形结合方法直线与圆锥曲线的构造法与方程法10.3 直线与圆锥曲线的教学反思与评价直线与圆锥曲线教学的重点与难点直线与圆锥曲线教学的方法与技巧直线与圆锥曲线教学的评价与反思重点和难点解析1. 第一章：直线与圆锥曲线的基本概念重点关注直线和圆锥曲线的定义、性质和方程。
人教版高中数学教案-直线与圆锥曲线的位置关系
直線與圓錐曲線的位置關係 課前預習學案 一、預習目標1．掌握直線與圓錐曲線的位置關係的判定方法，能夠把研究直線與圓錐曲線的位置關系的問題轉化為研究方程組的解的問題；2. 會利用直線與圓錐曲線的方程所組成的方程組消去一個變數，將交點問題問題轉化為一元二次方程根的問題，結合根與係數關係及判別式解決問題． 二、預習內容1．直線與圓錐曲線的位置關係的判定方法：； 2、弦的中點或中點弦的問題，除利用韋達定理外，也可以運用“差分法”（也叫“點差法”）．3、弦長公式 ；4、焦點弦長： ；1．直線y x b =+與抛物線22y x =，當b ∈ 時，有且只有一個公共點；當b ∈ 時，有兩個不同的公共點；當b ∈ 時，無公共點．2．若直線1y kx =+和橢圓22125x y m+=恒有公共點，則實數m 的取值範圍為 ． 3．抛物線2y ax =與直線y kx b =+(0)k ≠交於,A B 兩點，且此兩點的橫坐標分別為1x ，2x ，直線與x 軸的交點的橫坐標是3x ，則恒有（ ）()A 312x x x =+()B 121323x x x x x x =+()C 3120x x x ++=()D 1213230x x x x x x ++=4．橢圓122=+ny mx 與直線1=+y x 交於,M N 兩點，MN 的中點為P ，且OP 的斜率為22，則nm的值為（ ） ()A 22()B 322 ()C 229 ()D 2732 5．已知雙曲線22:14y C x -= ，過點(1,1)P 作直線l ，使l 與C 有且只有一個公共點，則滿足上述條件的直線l 共有（ ）()A 1 條 ()B 2條 ()C 3條 ()D 4條6．設直線21y x =-交曲線C 於1122(,),(,)A x y B x y 兩點，（1）若12||2x x -=，則||AB = ．（2）12||2y y -=，則||AB = ． 7．斜率為1的直線經過抛物線24y x =的焦點，與抛物線相交於,A B 兩點，則||AB = ．8．過雙曲線2212y x -=的右焦點作直線l ，交雙曲線於,A B 兩點，若||4AB =，則這樣的直線l 有（ ）()A 1條 ()B 2條 ()C 3條 ()D 4條9．已知橢圓2224x y +=，則以(1,1)為中點的弦的長度是（ ）()A 32 ()B 23 ()C 303 ()D 36210．中心在原點，焦點在x 軸上的橢圓的左焦點為F ，離心率為13e =，過F 作直線l 交橢圓於,A B 兩點，已知線段AB 的中點到橢圓左準線的距離是6，則||AB = ． 三、提出疑惑同學們，通過你的自主學習，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中 疑惑點 疑惑內容課內預習學案 一、學習目標1、使學生掌握點、直線與圓錐曲線的位置及其判定，重點掌握直線與圓錐曲線相交的有關問題．2、通過對點、直線與圓錐曲線的位置關係的研究，培養學生綜合運用直線、圓錐曲線的各方面知識的能力．3、通過點與圓錐曲線的位置及其判定，滲透歸納、推理、判斷等方面的能力．二、學習過程1．點P(x0，y0)和圓錐曲線C：f(x，y)=0有哪幾種位置關係？它們的條件是什麼？2．直線l：Ax+By+C=0和圓錐曲線C：f(x，y)=0有哪幾種位置關係？3．點M(x0，y0)與圓錐曲線C：f(x，y)=0的位置關係的焦點為F1、F2，y2=2px(p＞0)的焦點為F，一定點為P(x0，y0)，M點到抛物線的準線的距離為d，則有：4．直線l∶Ax＋Bx＋C=0與圓錐曲線C∶f(x，y)＝0的位置關係：直線與圓錐曲線的位置關係可分為：相交、相切、相離．對於抛物線來說，平行於對稱軸的直線與抛物線相交於一點，但並不是相切；對於雙曲線來說，平行於漸近線的直線與雙曲線只有一個交點，但並不相切．這三種位置關係的判定條件可引導學生歸納為：注意：直線與抛物線、雙曲線有一個公共點是直線與抛物線、雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件． 5．例題例1．過點(1,6)--的直線l 與抛物線24y x =交於,A B 兩點，若9(,0)2P ，||||AP BP =，求l 的斜率．例2．直線:1l y kx =+與雙曲線22:21C x y -=的右支交於不同的兩點,A B ， （I ）求實數k 的取值範圍；（II ）是否存在實數k ，使得以線段AB 為直徑的圓經過雙曲線C 的右焦點F ？若存在，求出k 的值；若不存在，說明理由．例3．已知直線l 和圓M ：2220x y x ++=相切於點T ，且與雙曲線22:1C x y -=相交於,A B 兩點，若T 是AB 的中點，求直線l 的方程．例4．如圖，過抛物線22(0)y px p =>上一定點000(,)(0)P x y y >，作兩條直線分別交抛物線於1122(,),(,)A x y B x y ，（1）求該抛物線上縱坐標為2p的點到其焦點F 的距離；（2）當PA 與PB 的斜率存在且傾斜角互補時，求12y y y +的值，並證明直線AB 的斜率是非零常數． 例5．橢圓的中心是原點O ，它的短軸長為22，相應於焦點)0)(0,(>c c F 的準線l 與x 軸相交於點A ，||2||FA OF =，過點A 的直線與橢圓相交於,P Q 兩點．（I ）求橢圓的方程及離心率；（II ）若,0.=OQ OP 求直線PQ 的方程；（III ）設)1(>=λλAQ AP ，過點P 且平行於準線l 的直線與橢圓相交於另一點M ，證明FQ FM λ-=． 課後練習與提高1．以點(1,1)-為中點的抛物線28y x =的弦所在的直線方程為（ ）()A 430x y --= ()B 430x y ++= ()C 430x y +-= ()D 430x y ++=2．斜率為3的直線交橢圓221259x y +=於,A B 兩點，則線段AB 的中點M 的座標滿足方程（ ）()A 325y x =()B 325y x =- ()C 253y x = ()D 253y x =- 3．過點(0,1)與抛物線22(0)y px p =>只有一個公共點的直線的條數是（ ）()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 34．過雙曲線22221x y a b -=的右焦點2F 作垂直於實軸的弦PQ ，1F 是左焦點，若0190PFQ ∠=，則雙曲線的離心率是（ ） ()A 2 ()B 12 ()C 22 ()D 325．過抛物線2(0)y ax a =>的焦點F 作一直線交抛物線於,P Q 兩點，若線段PF 與FQ 的長分別是,p q ，則11p q+等於（ ） ()A 2a ()B 12a ()C 4a ()D 4a6．直線y x m =+與橢圓2214x y +=交於A 、B 兩點，則||AB 的最大值是（ ） ()A 2 ()B 55 ()C 105 ()D 81057．已知雙曲線2290x y kx y -+--=與直線1y kx =+的兩個交點關於y 軸對稱，則這兩個交點的座標為 ．8.與直線042=+-y x 的平行的抛物線2x y =的切線方程是 ．9.已知橢圓的中心在原點，離心率為12，一個焦點是(,0)F m -（m 是大於0的常數）． （Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設Q 是橢圓上的一點，且過點,F Q 的直線l 與y 軸交於點M ，若||2||MQ QF =，求直線l 的斜率．10．一個正三角形的三個頂點都在雙曲線221x ay -=的右支上，其中一個頂點是雙曲線的右頂點，求實數a 的取值範圍．11．已知直線1y kx =+與雙曲線2231x y -=相交於,A B 兩點．是否存在實數k ，使,A B兩點關於直線20x y -=對稱？若存在，求出k 值，若不存在，說明理由．點、直線與圓錐曲線的位置關係一、教學目標(一)知識教學點使學生掌握點、直線與圓錐曲線的位置及其判定，重點掌握直線與圓錐曲線相交的有關問題．(二)能力訓練點通過對點、直線與圓錐曲線的位置關係的研究，培養學生綜合運用直線、圓錐曲線的各方面知識的能力．(三)學科滲透點通過點與圓錐曲線的位置及其判定，滲透歸納、推理、判斷等方面的能力．二、教材分析1．重點：直線與圓錐曲線的相交的有關問題．(解決辦法：先引導學生歸納出直線與圓錐曲線的位置關係，再加以應用．)2．難點：圓錐曲線上存在關於直線對稱的兩點，求參數的取值範圍．(解決辦法：利用判別式法和內點法進行講解．)3．疑點：直線與圓錐曲線位置關係的判定方法中△=0不是相切的充要條件．(解決辦法：用圖形向學生講清楚這一點．)三、活動設計四、教學過程(一)問題提出1．點P(x0，y0)和圓錐曲線C：f(x，y)=0有哪幾種位置關係？它們的條件是什麼？引導學生回答，點P與圓錐曲線C的位置關係有：點P在曲線C上、點P在曲線C 內部(含焦點區域)、點P在曲線的外部(不含焦點的區域)．那麼這三種位置關係的條件是什麼呢？這是我們要分析的問題之一．2．直線l：Ax+By+C=0和圓錐曲線C：f(x，y)=0有哪幾種位置關係？引導學生類比直線與圓的位置關係回答．直線l與圓錐曲線C的位置關係可分為：相交、相切、相離．那麼這三種位置關係的條件是什麼呢？這是我們要分析的問題之二．(二)講授新課1．點M(x0，y0)與圓錐曲線C：f(x，y)=0的位置關係的焦點為F1、F2，y2=2px(p＞0)的焦點為F，一定點為P(x0，y0)，M點到抛物線的準線的距離為d，則有：(由教師引導學生完成，填好小黑板)上述結論可以利用定比分點公式，建立兩點間的關係進行證明．2．直線l∶Ax＋Bx＋C=0與圓錐曲線C∶f(x，y)＝0的位置關係：直線與圓錐曲線的位置關係可分為：相交、相切、相離．對於抛物線來說，平行於對稱軸的直線與抛物線相交於一點，但並不是相切；對於雙曲線來說，平行於漸近線的直線與雙曲線只有一個交點，但並不相切．這三種位置關係的判定條件可引導學生歸納為：注意：直線與抛物線、雙曲線有一個公共點是直線與抛物線、雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件．3．應用求m的取值範圍．解法一：考慮到直線與橢圓總有公共點，由直線與圓錐曲線的位置關係的充要條件可求．由一名同學演板．解答為：由橢圓方程及橢圓的焦點在x軸上，知：0＜m＜5．又∵直線與橢圓總有公共點，即(10k)2-4x(m+5k2)×5(1-m)≥0，亦即5k2≥1-m對一切實數k成立．∴1-m≤0，即m≥1．故m的取值範圍為m∈(1，5)．解法二：由於直線過定點(0，1)，而直線與橢圓總有公共點，所以定點(0，1)必在橢圓內部或邊界上，由點與橢圓的位置關係的充要條件易求．另解：由橢圓方程及橢圓的焦點在x軸上知：0＜m＜5．又∵直線與橢圓總有公共點．∴直線所經過的定點(0，1)必在橢圓內部或邊界上．故m的取值範圍為m∈(1，5)，小結：解法一由直線與圓錐曲線的位置關係的充要條件求，思路易得，但計算量大；解法二由點與圓錐曲線的位置關係的充要條件求，思路靈活，且簡捷．稱，求m的取值範圍．解法一：利用判別式法．並整理得：∵直線l′與橢圓C相交於兩點，解法二：利用內點法．設兩對稱點為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P1P2的中點為M(x0，y0)，∴y1+y2=3(x1+x2)．(1)小結：本例中的判別式法和內點法，是解決圓錐曲線上存在兩點關於直線的對稱的一般方法，類似可解抛物線、雙曲線中的對稱問題．練習1：(1)直線過點A(0，1)且與抛物線y2=x只有一個公共點，這樣的直線有幾條？(2)過點P(2，0)的直線l與雙曲線x2-y2=1只有一個公共點，這樣的直線有幾條？由學生練習後口答：(1)3條，兩條切線和一條平行於x軸的直線；(2)2條，注意到平行於漸近線的直線與雙曲線只有一個交點，故這樣的直線也只有2條．2=4關於直線y=x-3對稱的曲線C′的方程．練習2：求曲線C∶x2+4y由教師引導方法，學生演板完成．解答為：設(x′，y′)是曲線C上任意一點，且設它關於直線y=x-3的對稱點為(x，y)．又(x′，y′)為曲線C上的點，∴(y+3)2+4(x-3)2=4．∴曲線C的方程為：4(x-3)2+(y+3)2=4．(三)小結本課主要研究了點、直線與圓錐曲線的三種位置關係及重要條件．五、佈置作業的值．2．k取何值時，直線y＝kx與雙曲線4x2-y2=16相交、相切、相離？3．已知抛物線x=y2+2y上存在關於直線y=x+m對稱的相異兩點，求m的取值範圍．作業答案：1．由弦長公式易求得：k=-4當4-k2=0，k=±2，y=±2x為雙曲線的漸近線，直線與雙曲線相離當4-k2≠0時，△=4(4-k2)×(-6)(1)當△＞0，即-2＜k＜2時，直線與雙曲線有兩個交點(2)當△＜0，即k＜-2或k＞2時，直線與雙曲線無交點(3)當△=0，即k=±2時，為漸近線，與雙曲線不相切故當-2＜k＜2時，直線與雙曲線相交當k≤-2或k≥2時，直線與雙曲線相離六、板書設計。
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第四节：直线与圆锥曲线的位置关系
一、基本知识概要：
1.直线与圆锥曲线的位置关系：相交、相切、相离。
从代数的角度看是直线方程和圆锥曲线的方程组成的方程组，无解时必相离；有两组解必相交；一组解时，若化为x 或y 的方程二次项系数非零，判别式⊿=0时必相切，若二次项系数为零，有一组解仍是相交。
2. 弦：直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。
焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦；
通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦也叫通径。
3.①当直线的斜率存在时，弦长公式： 212
1x x k l -+=
=w 或当k 存在且不为零时
212
11y y k
l -+
=，（其中（11,y x ），（22,y x ）是交点坐标）。
②抛物线px y 22=的焦点弦长公式|AB|=α
2
21sin
2p p x x =
++，其中α为过焦点的直
线的倾斜角。
4.重点难点:直线与圆锥曲线相交、相切条件下某些关系的确立及其一些字母范围的确定。
5.思维方式: 方程思想、数形结合的思想、设而不求与整体代入的技巧。
6.特别注意:直线与圆锥曲线当只有一个交点时要除去两种情况，些直线才是曲线的切线。
一是直线与抛物线的对称轴平行；二是直线与双曲线的渐近线平行。
二、例题：
【例1】直线y=x+3与曲线
14
||9
2
=-
x x y
（ ）
A 。
没有交点
B 。
只有一个交点
C 。
有两个交点
D 。
有三个交点 〖解〗：当x>0时，双曲线
14
9
2
2
=-
x
y
的渐近线为：x y 2
3±
=，而直线y=x+3的斜率
为1，1<3/2，因此直线与双曲线的下支有一交点，又y=x+3过椭圆14
9
2
2
=+
x
y
的顶点，
k=1>0因此直线与椭圆左半部分有一交点，共计3个交点，选D [思维点拔]注意先确定曲线再判断。
【例2】已知直线)22tan(:+=x y l 交椭圆9922=+y x 于A 、B 两点，若α为l 的倾斜角，且AB 的长不小于短轴的长，求α的取值范围。
解
：
将
l
的方程
与椭圆方
程联立，消去
y
，得
09t a n 72tan 236)tan 91(2
2
2
2
=-+⋅++αααx x
α
αααα2
2
2
2
122
tan 916tan 6)
tan 91(tan 1tan 1++=
+∆
⋅
+=
-+=
∴x x AB
由3
3tan 3
3,3
1tan ,22≤≤-
∴≤
≥αα得AB ，
α∴ 的取值范围是⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎢⎣⎡πππ,656,0
[思维点拔]对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用民。
本题由于l 的方程由αtan 给出，所以可以认定2
πα≠，否则涉及弦长计算时，还要讨论2
π
α=时的情况。
【例3】已知抛物线x y -=2与直线)1(+=x k y 相交于A 、B 两点
（1） 求证：OB OA ⊥
（2） 当OAB ∆的面积等于10时，求k 的值。
（1） 证明：图见教材P127页，由方程组⎩
⎨⎧+=-=)1(2x k y x y 消去x 后，整理得
02
=-+k y ky 。
设),(),,(2211y x B y x A ，由韦达定理得121-=y y B A , 在
抛物线x y -=2上，212
221222121,,x x y y x y x y ⋅=⋅-=-=∴ OB OA y y x x y y x y x y k k OB OA ⊥∴-=⋅=
⋅⋅=⋅=
⋅,112
12
1212
21
1
（2） 解：设直线与x 轴交于N ，又显然∴≠,0k 令），
（－，即则01N 1,0-==x y
21212
12
12
1y y ON y ON y ON S S S OBN OAN OAB -=
+
=
+=∆∆∆
4)1(214)(12
12
212
21+=
-+⋅
⋅=
∴∆k
y y y y S OAB 6
1,412
110,102
±=+=
∴=
∆k k
S OAB 解得
[思维点拔]本题考查了两直线垂直的充要条件，三角形的面积公式，函数与方程的思想，以及分析问题、解决问题的能力。
【例4】在抛物线y 2=4x 上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k 的取值范围。
〖解〗设B 、C 关于直线y=kx+3对称，直线BC 方程为x=-ky+m 代入y 2=4x 得： y 2+4ky-4m=0， 设B （x 1，y 1）、C （x 2，y 2），BC 中点M （x 0，y 0），则 y 0=（y 1+y 2）/2=-2k 。
x 0=2k 2
+m ，
∵点M （x 0，y 0）在直线上。
∴-2k （2k 2
+m ）+3，∴m=-k
k k 3
223
++又BC 与抛物线交于
不同两点，∴⊿=16k 2
+16m>0把m 代入化简得
03
23
<++k
k k 即
0)
3)(1(2
<+-+k
k k
k ，
解得-1<k<0
[思维点拔]对称问题要充分利用对称的性质特点。
【例5】已知椭圆的一个焦点F 1（0，-22），对应的准线方程为y=-4
29，且离心率e
满足：2/3，e ，4/3成等比数列。
（1） 求椭圆方程；
（2） 是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被直线x=-2
1平
分。
若存在，求l 的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。
〖解〗依题意e=
3
22
（1）∵
c
a
2
-c=
4
29-22=
4
2，又e=
3
22∴a =3，c=22，b=1，又F 1（0，-22），
对应的准线方程为y=-
4
29。
∴椭圆中心在原点，所求方程为：
9
2
2
y
x
+
=1
（2）假设存在直线l ，依题意l 交椭圆所得弦MN 被x=-2
1平分，∴直线l 的斜率存在。
设直线l ：m kx y +=由 m kx y +=
9
2
2
y
x
+
=1消去y ，整理得
92)9(2
22
-+++m
kmx x k
=0
∵直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ∴⊿=4k 2m 2-4(k 2+9)(m 2-9)>0
即m 2-k 2
-9<0 ① 设M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2） ∴
2
19
2
2
2
1-
=+-=+k
km x x ，∴k
k
m 29
2
+=
②
把②代入①可解得：33-<>k k 或
∴直线l 倾斜角⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫
⎝⎛∈32,22,3ππππα
[思维点拔] 倾斜角的范围，实际上是求斜率的范围。
三、课堂小结：
1、 解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，对消元后的一元二次方程，必须讨论二次项
的系数和判别式，有时借助于图形的几何性质更为方便。
2、 涉及弦的中点问题，除利用韦达定理外，也可以运用点差法，但必须是有交点为前提，
否则不宜用此法。
3、求圆锥曲线的弦长，可利用弦长公式 212
1x x k l -+=
=[]
2122124)()1(x x x x k -+⋅+或当k 存在且不为零时
212
11y y k
l -+
=，（其中（11,y x ），（22,y x ）是交点坐标。
再结合韦达定理解决，焦点弦长也可利用焦半径公式处理，可以使运算简化。
四、作业布置：教材P127闯关训练。