动量定理、动量守恒在电磁感应中导轨与导体棒的应用—解析版

ABRv0B导轨与导体棒问题一、单棒问题【典例1】如图所示，AB杆受一冲量作用后以初速度v0=4m/s沿水平面内的固定轨道运动，经一段时间后而停止．AB的质量为m=5g，导轨宽为L=，电阻为R=2Ω，其余的电阻不计，磁感强度B=，棒和导轨间的动摩擦因数为μ=，测得杆从运动到停止的过程中通过导线的电量q=10﹣2C，求：上述过程中（g取10m/s2）（1）AB杆运动的距离；（2）AB 杆运动的时间；（3）当杆速度为2m/s时，其加速度为多大？【答案】（1）；（2）；（3）12m/s2．（2）根据动量定理有：﹣（F安t+μmgt）=0﹣mv0而F安t=BLt=BLq，得：BLq+μmgt=mv0，解得：t=（3）当杆速度为2m/s时，由感应电动势为：E=BLv安培力为：F=BIL，而I=然后根据牛顿第二定律：F+μmg=ma代入得：解得加速度：a=12m/s2，25.（20分）如图(a)，超级高铁(Hyperloop)是一种以“真空管道运输”为理论核心设计的交通工具，它具有超高速、低能耗、无噪声、零污染等特点。

如图(b)，已知管道中固定着两根平行金属导轨MN、PQ，两导轨间距为r；运输车的质量为m，横截面是半径为r的圆。

运输车上固定着间距为D、与导轨垂直的两根导体棒1和2，每根导体棒的电阻为R，每段长度为D的导轨的电阻也为R。

其他电阻忽略不计，重力加速度为g。

(1)如图(c)，当管道中的导轨平面与水平面成θ=30°时，运输车恰好能无动力地匀速下滑。

求运输车与导轨间的动摩擦因数μ；(2)在水平导轨上进行实验，不考虑摩擦及空气阻力。

①当运输车由静止离站时，在导体棒2后间距为D处接通固定在导轨上电动势为E的直流电源，此时导体棒1、2均处于磁感应强度为B，垂直导轨平向下的匀强磁场中，如图(d)。

求刚接通电源时运输车的加速度的大小；（电源内阻不计，不考虑电磁感应现象）②当运输车进站时，管道内依次分布磁感应强度为B，宽度为D的匀强磁场，且相邻的匀强磁场的方向相反。

求运输车以速度vo从如图(e)通过距离D后的速度v。

【典例3】如图所示,水平放置的光滑平行金属导轨上有一质量为m的金属棒ab.导轨的一端连接电阻R，其他电阻均不计,磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面向下,金属棒ab在一水平恒力F作用下由静止开始向右运动．则 ( )A．随着ab运动速度的增大，其加速度也增大B．外力F对ab做的功等于电路中产生的电能C ．当ab 做匀速运动时，外力F 做功的功率等于电路中的电功率D ．无论ab 做何种运动，它克服安培力做的功一定等于电路中产生的电能【答案】CD【典例4】 一个闭合回路由两部分组成，如图所示，右侧是电阻为r 的圆形导线,置于竖直方向均匀变化的磁场B 1中，左侧是光滑的倾角为θ的平行导轨，宽度为d ，其电阻不计．磁感应强度为B 2的匀强磁场垂直导轨平面向上,且只分布在左侧,一个质量为m 、电阻为R 的导体棒此时恰好能静止在导轨上,分析下述判断正确的是 ( )A ．圆形导线中的磁场，可以方向向上且均匀增强，也可以方向向下且均匀减弱B ．导体棒ab 受到的安培力大小为mg sin θC ．回路中的感应电流为mg sin θB 2dD ．圆形导线中的电热功率为m 2g 2sin 2θB 2 2d 2(r ＋R ) 【答案】ABC【解析】根据左手定则，导体棒上的电流从b 到a ，根据电磁感应定律可得A 项正确；根据共点力平衡知识，导体棒ab 受到的安培力大小等于重力沿导轨向下的分力，即mg sin θ，B 项正确；根据mg sin θ＝B 2Id ，解得I ＝mg sin θB 2d ，C 项正确；圆形导线的电热功率P =I 2r =(mg sin θB 2d )2r =m 2g 2sin 2 θB 22d 2r ,D 项错误.【典例4】如图甲所示，两根足够长平行金属导轨MN 、PQ 相距为L ，导轨平面与水平面夹角为α，金属棒ab 垂直于MN 、PQ 放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为m 。

导轨处于匀强磁场中，磁场的方向垂直于导轨平面斜向上，磁感应强度大小为B 。

金属导轨的上端与开关S 、定值电阻R 1和电阻箱R 2相连。

不计一切摩擦，不计导轨、金属棒的电阻，重力加速度为g 。

现在闭合开关S ，将金属棒由静止释放。

(1) 判断金属棒ab 中电流的方向；(2) 若电阻箱R 2接入电路的阻值为0，当金属棒下降高度为h 时，速度为v ，求此过程中定值电阻上产生的焦耳热Q ；(3) 当B ＝ T ，L ＝ m ，α＝37°时，金属棒能达到的最大速度v m 随电阻箱R 2阻值的变化关系，如图乙所示。

取g ＝10 m/s 2，sin 37°＝，cos 37°＝。

求R 1的阻值和金属棒的质量m 。

【答案】 (1)b →a (2)mgh －12mv 2 (3) Ω kg (3)金属棒达到最大速度v m 时，切割磁感线产生的感应电动势：E ＝BLv m 由闭合电路的欧姆定律得：I ＝ER 1＋R 2从b 端向a 端看，金属棒受力如图所示金属棒达到最大速度时，满足：mg sin α－BIL ＝0由以上三式得v m ＝mg sin αB 2L 2(R 2＋R 1)由图乙可知：斜率k ＝60－302m·s －1·Ω－1＝15 m·s －1·Ω－1，纵轴截距v ＝30 m/s所以mg sin αB 2L 2R 1＝v ，mg sin αB 2L 2＝k 解得R 1＝ Ω，m ＝ kg24．如图所示，相距L = m 、电阻不计的两平行光滑金属导轨水平放置，一端与阻值R = Ω的电阻相连，导轨处于磁感应强度B = T 的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向里。

质量m = kg 、电阻r = Ω的金属棒置于导轨上，并与导轨垂直。

t =0时起棒在水平外力F 作用下以初速度v 0=2 m/s 、加速度a =1 m/s 2沿导轨向右匀加速运动。

求：（1）t =2 s 时回路中的电流；（2）t =2 s 时外力F 大小；（3）前2 s 内通过棒的电荷量。

【答案】（1）4 A （2） N （3）6 C【解析】（1）t =2 s 时，棒的速度为：v 1=v 0+at =2+1×2=4 m/s此时由于棒运动切割产生的电动势为：E =BLv 1=××4 V= V由闭合电路欧姆定律可知，回路中的感应电流：（2）对棒，根据牛顿第二定律得：F ?BIL =ma解得F =BIL +ma =×4×+×1= N（3）t =2 s根据闭合电路欧姆定律得EI =【名师点睛】（1）棒向右匀加速运动，由速度时间公式求出t =1 s 时的速度，由E=BLv 求出感应电动势，由闭合电路欧姆定律求解回路中的电流。

（2）根据牛顿第二定律和安培力公式求解外力F 的大小。

（3）由位移时间公式求出第2 s 内棒通过的位移大小，由法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电荷量公式求解电荷量。

2．如图所示，两根足够长平行金属导轨MN 、PQ 固定在倾角θ＝37°的绝缘斜面上，顶部接有一阻值R ＝3 Ω的定值电阻，下端开口，轨道间距L ＝1 m ．整个装置处于磁感应强度B ＝2 T 的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向上．质量m ＝1 kg 的金属棒ab 置于导轨上，ab 在导轨之间的电阻r ＝1 Ω，电路中其余电阻不计．金属棒ab 由静止释放后沿导轨运动时始终垂直于导轨，且与导轨接触良好．不计空气阻力影响．已知金属棒ab 与导轨间动摩擦因数μ＝，sin 37°＝，cos 37°＝，取g ＝10 m/s 2.(1)求金属棒ab 沿导轨向下运动的最大速度v m ；(2)求金属棒ab 沿导轨向下运动过程中，电阻R 上的最大电功率P R ；(3)若从金属棒ab 开始运动至达到最大速度过程中，电阻R 上产生的焦耳热总共为 J ，求流过电阻R 的总电荷量q .解析：(1)金属棒由静止释放后，沿斜面做变加速运动，加速度不断减小，当加速度为零时有最大速度v m .由牛顿第二定律得mg sin θ－μmg cos θ－F 安＝0F 安＝BIL ，I ＝BLv m R ＋r，解得v m ＝ m/s (2)金属棒以最大速度v m 匀速运动时，电阻R 上的电功率最大，此时P R ＝I 2R ，解得P R ＝3 W(3)设金属棒从开始运动至达到最大速度过程中，沿导轨下滑距离为x ，由能量守恒定律得mgx sin θ＝μmgx cos θ＋Q R ＋Q r ＋12mv 2m 根据焦耳定律Q R Q r ＝R r，解得x ＝ m 根据q ＝I Δt ，I ＝E R ＋r E ＝ΔΦΔt ＝BLx Δt，解得q ＝ C 答案：(1)2 m/s (2)3 W (3) C26．CD 、EF 是水平放置的电阻可忽略的光滑平行金属导轨，两导轨距离水平地面高度为H ，导轨间距为L ，在水平导轨区域存在方向垂直导轨平面向上的有界匀强磁场（磁场区域为CPQE ），磁感应强度大小为B ，如图所示。

导轨左端与一弯曲的光滑轨道平滑连接，弯曲的光滑轨道的上端接有一电阻R 。

将一阻值也为R 的导体棒从弯曲轨道上距离水平金属导轨高度h 处由静止释放，导体棒最终通过磁场区域落在水平地面上距离水平导轨最右端水平距离x 处。

已知导体棒质量为m ，导体棒与导轨始终接触良好，重力加速度为g 。

求：（1）电阻R 中的最大电流和整个电路中产生的焦耳热。

（2）磁场区域的长度d 。

【答案】（1（2）222mR d B L =【解析】（1）由题意可知，导体棒刚进入磁场的瞬间速度最大，产生的感应电动势最大，感应电流最大 由机械能守恒定律有：2112mgh mv =解得：1v =由法拉第电磁感应定律得：1E BLv =由闭合电路欧姆定律得：2E I R =联立解得：2BL ghI = 由平抛运动规律可得：221,2x v t H gt ==解得：22gv x H = 由能量守恒定律可知整个电路中产生的焦耳热为：【名师点睛】对于电磁感应问题两条研究思路：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解。

【典例9】如图所示，水平放置的足够长平行导轨MN 、PQ 的间距为L=，电源的电动势E=10V ，内阻r=Ω，金属杆EF 的质量为m=1kg ，其有效电阻为R=Ω，其与导轨间的动摩擦因素为μ=，整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B=1T ，现在闭合开关，求：（1）闭合开关瞬间，金属杆的加速度；（2）金属杆所能达到的最大速度；（3）当其速度为v=20m/s 时杆的加速度为多大？（g=10m/s 2，不计其它阻力）．【答案】（1）1m/s 2；（2）50m/s ；（3）s 2．【解析】（1）根据闭合电路欧姆定律，有：I=安培力：F A =BIL=1×20×=2N根据牛顿第二定律，有：a= 【典例10】如图所示，长平行导轨PQ 、MN 光滑，相距5.0=l m ，处在同一水平面中，磁感应强度B =的匀强磁场竖直向下穿过导轨面．横跨在导轨上的直导线ab 的质量m =、电阻R =Ω，导轨电阻不计．导轨间通过开关S 将电动势E =、内电阻r =Ω的电池接在M 、P 两端，试计算分析：（1）在开关S 刚闭合的初始时刻，导线ab 的加速度多大？随后ab 的加速度、速度如何变化？（2）在闭合开关S 后，怎样才能使ab 以恒定的速度υ =s 沿导轨向右运动？试描述这时电路中的能量转化情况（通过具体的数据计算说明）．【答案】见解析设最终达到的最大速度为υm ，根据上述分析可知：0m E Bl υ-= 所以 1.50.80.5m E Bl υ==⨯m/s=s ． （2）如果ab 以恒定速度7.5υ=m/s 向右沿导轨运动，则ab 中感应电动势 5.75.08.0'⨯⨯==Blv E V=3V由于'E ＞E ，这时闭合电路中电流方向为逆时针方向，大小为：2.08.05.13''+-=+-=r R E E I A= 直导线ab 中的电流由b 到a ，根据左手定则，磁场对ab 有水平向左的安培力作用，大小为5.15.08.0''⨯⨯==BlI F N=所以要使ab 以恒定速度5.7=v m/s 向右运动，必须有水平向右的恒力6.0=F N 作用于ab ．上述物理过程的能量转化情况，可以概括为下列三点：①作用于ab 的恒力（F ）的功率：5.76.0⨯==Fv P W=②电阻（R +r ）产生焦耳热的功率：)2.08.0(5.1)(22'+⨯=+=r R I P W= ③逆时针方向的电流'I ，从电池的正极流入，负极流出，电池处于“充电”状态，吸收能量，以化学能的形式储存起来．电池吸收能量的功率：'' 1.5 1.5P I E ==⨯W=由上看出，'''P P P +=，符合能量转化和守恒定律（沿水平面匀速运动机械能不变）．3．如图所示，一对足够长的平行光滑金属导轨固定在水平面上，两导轨间距为L ，左端接一电源，其电动势为E 、内阻为r ，有一质量为m 、长度也为L 的金属棒置于导轨上，且与导轨垂直，金属棒的电阻为R ，导轨电阻可忽略不计，整个装置处于磁感应强度为B ，方向竖直向下的匀强磁场中．(1)若闭合开关S 的同时对金属棒施加水平向右恒力F ，求棒即将运动时的加速度和运动过程中的最大速度；(2)若开关S 开始是断开的，现对静止的金属棒施加水平向右的恒力F ，一段时间后再闭合开关S ；要使开关S 闭合瞬间棒的加速度大小为F m ，则F 需作用多长时间．解析：(1)闭合开关S 的瞬间回路电流I ＝ER ＋r金属棒所受安培力水平向右，其大小F A ＝ILB由牛顿第二定律得a ＝F A ＋Fm整理可得a ＝E?R ＋r ?m LB ＋Fm金属棒向右运动的过程中，切割磁感线产生与电源正负极相反的感应电动势，回路中电流减小，安培力减小，金属棒做加速度逐渐减小的加速运动，匀速运动时速度最大，此时由平衡条件得F A ′＝F由安培力公式得F A ′＝I ′LB由闭合电路欧姆定律得I ′＝BLv m －ER ＋r联立求得v m ＝F ?R ＋r ?B 2L 2＋EBL(2)设闭合开关S 时金属棒的速度为v ， 此时电流I ″＝BLv －ER ＋r由牛顿第二定律得a ″＝F －F A ″m所以加速度a ″＝F m －BLv －E?R ＋r ?mLB若加速度大小为F m ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪F m －BLv －E ?R ＋r ?m LB ＝Fm 解得速度v 1＝E BL ，v 2＝E BL ＋2F ?R ＋r ?B 2L 2未闭合开关S 前金属棒的加速度一直为a 0＝Fm解得恒力F 作用时间t 1＝v 1a 0＝mE FBL 或t 2＝v 2a 0＝mE FBL ＋2m ?R ＋r ?B 2L 2答案：(1)E?R ＋r ?m LB ＋F m F ?R ＋r ?B 2L 2＋EBL(2)mE FBL 或mE FBL ＋2m ?R ＋r ?B 2L 2【典例8】如图所示，在水平面内有一个半径为a 的金属圆盘，处在竖直向下磁感应强度为B的匀强磁场中，金属圆盘绕中心O顺时针匀速转动，圆盘的边缘和中心分别通过电刷与右侧电路相连，圆盘的边缘和中心之间的等效电阻为r，外电阻为R，电容器的电容为C，单刀双掷开关S与触头1闭合，电路稳定时理想电压表读数为U，右侧光滑平行水平导轨足够长，处在竖直向下磁感强度也为B的匀强磁场中，两导轨电阻不计，间距为L，导轨上垂直放置质量为m，电阻也为R的导体棒，导体棒与导轨始终垂直且接触良好，求：（1）金属圆盘匀速转动的角度ω；（2）开关S与触头2闭合后，导体棒运动稳定时的速度v．【答案】（1）；（2）．（2）根据动量定理得：F△t=mv﹣0，而F△t=BIL△t=BL△q，电荷的变化量△q=C△U，电压的变化量△U=U﹣U′=U﹣BLv则mv=BLC（U﹣BLv）解得：v=【典例11】光滑U型金属框架宽为L，足够长，其上放一质量为m的金属棒ab，左端连接有一电容为C的电容器，现给棒一个初速v0，使棒始终垂直框架并沿框架运动，如图所示。