四川省泸县第二中学高二数学下学期期中试题理

四川省泸县第二中学高二数学下学期期中试题理
2018年春期四川省泸县二中高二年级半期考试
数学（理科）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数（）
A． B． C． D．
2．点M的直角坐标为化为极坐标为（）
A． B． C． D．
3．化极坐标方程为直角坐标方程为（）
A．x2+y2=0或y=1 B．x=1 C．x2+y2=0或x=1 D．y=1
4.函数f(x)＝ln(5＋4x－x2)的单调递减区间是( )
A. B. C. D.
5.点()在圆的内部，则的取值范围( )
A．－1<<1 B． 0<<1 C．–1<< D．－<<1
6．f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0,6)内解的个数至少是( )
A．5 B．4 C．3 D．2
7.直线与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，且，则（）
8.若直线过点与双曲线只有一个公共点，则这样的直线有（）
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
9.若不论为何值，直线与曲线总有公共点，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
10．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面均相切，已知这个球的体积是，那么这个三棱柱的体积是( )
A. B. C. D.
11．定义在上的函数的导函数无零点，且对任意都有，若函数在上与函数具有相同的单调性，则的取值范围是（）
A． B． C. D．
12.函数，其中为自然对数的底数，若存在实数使成立，则实数的值为（）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（90分）
二.填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）
13.函数在处的切线方程为____________.
14.已知函数在与时都取得极值，若对，不等式
恒成立，则c的取值范围为______。

15.一个长、宽、高分别为、、密封且透明的长方体容器中装有部分液体，如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是．
16.已知函数，对于任意都有恒成立，则的取值范围是 .
三.解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）17．（本小题满分12分）
已知函数f(x)＝e x(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4．(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)讨论f(x)的单调性．
18．（本小题满分12分）
剑门关华侨城2018首届新春灯会在剑门关高铁站广场举行.在高铁站广场上有一排成直线型的4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是，出现绿灯的概率是，现将这4盏灯依次记为，，，.并令，设，当这些装饰灯闪烁一次时.
（Ⅰ）求的概率.
（Ⅱ）求的概率分布列及的数学期望.
19.（本题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是梯形，.，，，侧面底面.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若与底面所成的角为，求二面角的余弦值.
20.（本题满分12分）
设抛物线的焦点为，准线为.已知以为圆心，半径为4的圆与交于、两点，是该圆与抛物线的一个交点，.
(Ⅰ)求的值；
（Ⅱ）已知点的纵坐标为且在上，、是上异于点的另两点，且满足直线和直线的斜率之和为，试问直线是否经过一定点，若是，求出定点的坐标，否则，请说明理由.
21.已知函数，.
(Ⅰ)当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；
（Ⅱ）当时，证明：.
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。

22.选修4-4：极坐标与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，其中为参数，.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标为，直线的极坐标方程为.
(Ⅰ)求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；
（Ⅱ）若是曲线上的动点，为线段的中点.求点到直线的距离的最大值.
23.选修4-5：不等式选讲已知函数.
(Ⅰ)解不等式；
（Ⅱ）若、，，，证明：.
2018年春期四川省泸县二中高二年级半期考试
数学（理科）答案
1-6 CCADDB 7-12 ACBDAD
13.; 14. 15. 16.
17..解：(1)f′(x)＝e x(ax＋a＋b)－2x－4，
由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8．
从而a＝4，b＝4．
由(1)知，f(x)＝4e x(x＋1)－x2－4x，
f′(x)＝4e x(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)·．
令f′(x)＝0得，x＝－ln 2或x＝－2．
当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)＜0．故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．
18.解：解：（Ⅰ）由题意得.
（Ⅱ）
ξ的可能取值为0,1,2,3,4，
而，
∴ξ的概率分布列为
ξ0 1 2 3 4 P
=……=.
∴
19.证明：（Ⅰ）因为，.
所以，是等腰直角三角形，
故.
因为，，
所以，
，即.
因为侧面底面，交线为，
所以平面，所以平面平面；
（Ⅱ）过点作交的延长线于点，
因为侧面底面，
所以是与底面所成的角，即，
过点在平面内作，
因为侧面底面，
所以底面.
如图建立空间直角坐标系.
设，，，，
则，，
设是平面法向量
则
取
设是平面法向量
则，
取，
.
所以二面角的余弦值为.
方法二：（Ⅱ）过点作交的延长线于点.
因为侧面底面.
所以是与底面所成的角，即.
设，则，
在中，，，
所以，，
取中点，因为，所以.
过点作交于点，连接，
则是二面角的平面角.
在中，，，
由余弦定理得：.
可求得，.
在中，由余弦定理得.
在中，可求得，
所以，
所以二面角的余弦值为.
20.解：（1）设，，则
由得
因为在上，所以. 因此点的轨迹方程为（2）由题意知设，则
，
由得
又由（1）知，故
所以，即.
又过点存在唯一直线垂直于，
所以过点且垂直于的直线过的左焦点.
21.解：（1）由，得.
整理，得恒成立，即.
令.则.
∴函数在上单调递减，在上单调递增.
∴函数的最小值为.
∴，即.
∴的取值范围是.
（2）∵为数列的前项和，为数列的前项和. ∴只需证明即可.
由（1），当时，有，即.
令，即得.
∴.
现证明，
即.
现证明.
构造函数，
则.
∴函数在上是增函数，即.
∴当时，有，即成立.
令，则式成立.
综上，得.
对数列，，分别求前项和，得
.
22.解：（1）∵直线的极坐标方程为，即.
由，，可得直线的直角坐标方程为.
将曲线的参数方程消去参数，得曲线的普通方程为. （2）设.
点的极坐标化为直角坐标为.
则.
∴点到直线的距离.
当，即时，等号成立.
∴点到直线的距离的最大值为.
23.解：23.解：（1）由得：，
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得；
综上，不等式的解集为.
（2）证明：，
因为，，即，，
所以，
所以，即，所以原不等式成立.。