测量误差的基本知识
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第五章 测量误差的基本知识
容 = 3m 有时对精度要求较严，也可采用容 = 2m作为容许误 差。
在测量工作中，如某个误差超过了容许误差，则相应 观测值应舍去重测。
3.相对误差
绝对误差值与观测值之比，称为相对误差。在某 些测量工作中，有时用中误差还不能完全反映测量精度， 例如测量某两段距离，一段长200m，另一段长100m， 它们的测量中误差均为±0.2m，为此用观测值的中误差 与观测值之比，并将其分子化为1，即用1/K表示，称为 相对误差。
180°00ˊ00"
0
0
179°59ˊ57"
-3
9
180°00ˊ01"
+1
1
24
130
m2
2 3.6 10
两组观测值的误差绝对值相等 m1 < m2，第一组的观测成果的精度高于第二组观测成
果的精度
2.容许误差
容许误差又称极限误差。根据误差理论及实践证明， 在大量同精度观测的一组误差中，绝对值大于两倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性约为5%；大于三倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性仅有3‰，且认为是不大可 能出现的。因此一般取三倍中误差作为偶然误差的极限误 差。
全微分
dZ Kdx
得中误差式 mZ K 2mx2 Kmx
例：量得 1:1000 地形图上两点间长度l =168.5mm0.2mm,
计算该两点实地距离S及其中误差ms： 解：列函数式 S 1000 l
求全微分 dS 1000dl
mS 1000ml 1000 0.2 200mm 0.2m
测量误差＝观测值－真值
观测误差来源于仪器误差、人的感官能力和外界环境 （如温度、湿度、风力、大折光等）的影响，这三方面的 客观条件统称观测条件。
在测量工作中，如某个误差超过了容许误差，则相应 观测值应舍去重测。
3.相对误差
绝对误差值与观测值之比，称为相对误差。在某 些测量工作中，有时用中误差还不能完全反映测量精度， 例如测量某两段距离，一段长200m，另一段长100m， 它们的测量中误差均为±0.2m，为此用观测值的中误差 与观测值之比，并将其分子化为1，即用1/K表示，称为 相对误差。
180°00ˊ00"
0
0
179°59ˊ57"
-3
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180°00ˊ01"
+1
1
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130
m2
2 3.6 10
两组观测值的误差绝对值相等 m1 < m2，第一组的观测成果的精度高于第二组观测成
果的精度
2.容许误差
容许误差又称极限误差。根据误差理论及实践证明， 在大量同精度观测的一组误差中，绝对值大于两倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性约为5%；大于三倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性仅有3‰，且认为是不大可 能出现的。因此一般取三倍中误差作为偶然误差的极限误 差。
全微分
dZ Kdx
得中误差式 mZ K 2mx2 Kmx
例：量得 1:1000 地形图上两点间长度l =168.5mm0.2mm,
计算该两点实地距离S及其中误差ms： 解：列函数式 S 1000 l
求全微分 dS 1000dl
mS 1000ml 1000 0.2 200mm 0.2m
测量误差＝观测值－真值
观测误差来源于仪器误差、人的感官能力和外界环境 （如温度、湿度、风力、大折光等）的影响，这三方面的 客观条件统称观测条件。
测量误差的基本知识
名称：测量误差的基本知识一、基本概念1．真值：一个物理量的真实数值称为真值。
真值是难以准确测量的。
2．约写真值：足够接近真值的量，它与真值的差异可以忽略不计，称这个量为约定真值。
3．标称值：测量器具上标注的数值称为标称值。
4．示值：在测量过程中，测量仪器、仪表的指示值简称示值。
5．影响量：影响测量仪器示值的任何量称为影响量。
6．测量误差：表示测量数值与被测量真值之间的差异称为测量误差。
二、误差的来源1．仪器误差由于仪器本身及附件的电气和机械性能不完善而引入的误差2．使用误差由于仪器的安装、布置、调节不当所造成的误差。
3．影响误差由于受外界温度、湿度、电磁场、机械振动等影响超出仪器技术条件而造成的误差。
4．人身误差由于测量者的分辨能力、工作习惯及责任心等原因引起的误差。
5．方法和理论误差由于采用测量方法或仪表选择不当所造成的误差称为方法误差。
测量时，依据的理论不严格或用近似公式、近似值（例如π，√2，√3等）计算等造成的误差称理论误差。
三、测量误差的表示方法1．绝对误差指测量结果与被测量的真值之差，（因通常真值不能确定，实际上用的是约定真值，一般指被测量的算术平均值或标准值）表示为Δx=x-x0x—测量结果，x0—约定真值，Δx —绝对误差（Δx有大小和符号，其单位与测量结果的单位相同）另：与Δx的绝对值相等但符号相反的量称为修正值。
（用C表示）C=–Δx= x0–x通过检定（校准），由上级标准仪器给出受检仪器的修正值。
因此，将测得值与已知的修正值相加，即可算出被测量的约定真值：x0=x+c我厂仪器分内检和外检两种，检定结果若合格（兰色标签），所得修正值都在公司许可的误差内（这样才能判为合格），对使用者测量不会产生影响，故不再给出修正值，使用者可认为所用仪器的测量结果是准确的。
对于“准用”的仪器，请参照“准用证”旁的准用说明，对测量结果予以修正。
2．相对误差指测量结果的绝对误差：Δx与真值x0之比δx=Δx/x0×100%3．引用误差指计量器具的示值的绝对误差与器具的特定值x lim（如计量的上限值，量程）之比即：δx lim=Δx/x lim×100%一般x lim常指满度值，因此，也称满度相对误差，它是指仪器仪表度盘上最大的绝对误差与量程值（满度值）之比的百分数。
测量误差的基本知识
测量误差的基本知识§5.1 测量误差的概念测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为：一．系统误差(system error)1．定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。
2．特点：具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。
二．偶然误差(accident error)1．定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。
但具有一定的统计规律。
2．特点：（1） 具有一定的范围。
（2） 绝对值小的误差出现概率大。
（3） 绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。
（4） 数学期限望等于零。
即：0][lim =∆∞→nn 误差概率分布曲线呈正态分布，偶然误差要通过的一定的数学方法（测量平差）来处理。
（偶然误差分布频率直方图）此外，在测量工作中还要注意避免粗差(gross error)（即：错误）的出现。
§5.2 衡量精度的指标测量上常见的精度指标有：中误差、相对误差、极限误差。
一． 中误差 方差nD n ][lim ∆∆=∞→ ∆——某量的真误差，[]——求和符号。
规律：标准差σ估值（中误差m ）绝对值愈小，观测精度愈高。
在测量中，n 为有限值，计算中误差m 的方法，有：1．用真误差（true error ）来确定中误差——适用于观测量真值已知时。
真误差Δ——观测值与其真值之差，有：L L i i ~-=∆ 标准差nn ][lim ∆∆=∞→σ 中误差（标准差估值）n m ][∆∆±= ， n 为观测值个数。
（举例题）2．用改正数来确定中误差（白塞尔公式）——适用于观测量真值未知时。
1][-±=n VV m V ——最或是值与观测值之差。
一般为算术平均值与观测值之差，即有：i i L L V -=（举例题）二． 相对误差1．相对中误差=XXX D m/1=2．往返测较差率K=XXX D D D D /12/)(=+-返往返往三． 极限误差（容许误差） 常以两倍或三倍中误差作为偶然误差的容许值。
测量误差的基本知识
2m 3m
p
0.955
p
0.997
容 2 m
容 3 m
三、误差的传播定律
设函数
Z F ( x1 , x2 ,, xn )
xi 为独立变量
xi li i Z f (l1 1 , l2 2 ,ln n )
按泰罗级数展开：
F F F Z f (l1 , l2 ln ) ( x1 x2 xn ) x1 x2 xn
，所
四、等精度直接观测平差
当观测值的真值未知时： 设对某量观测n次,为： 则该量的算术平均值为： 则该量的改正数：
l1 , l2 , , ln
l1 l2 ln [l ] x n n
i i X
vi li x
v l nx 0
2 2 2
mz
2 2 k1 m1
2 2 k2 m2
2 2 kn mn
函数名称
函数式
中误差传播公式
mz Am mz m1 m2
2 2 2 2 2 2 2
倍数函数 Z AX 和差函数 Z X 1 X 2
Z X1 X 2 X n
mz m1 m2 mn
第五章
测量误差的基本知识
内容介绍
•
测量误差的概念 衡量精度的标准
•
•
误差传播定律及应用
一、测量误差的概念
观测误差：观测值与真值之差
i Li X
误差(error)产生的原因： 1、仪器的原因 2、观测者的原因 3、外界环境的原因
等精度观测:
测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为： 粗差、系统误差和偶然误差。 (一)系统误差(system error) 1．定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列 观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规 律变化，这种误差称为系统误差 2．特点： 具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般 的改正或用一定的观测方法加以消除。 例如：钢尺尺长误差、 钢尺温度误差、水准仪 视准轴误差。
测量误差的基本知识
m乙 =
=
= 4.3
n
6
12
二、相对误差
l 绝对误差 :真误差、中误差 l 相对误差: 在某些测量工作中，绝对误差不能完全
反映出观测的质量。 相对误差K—— 等于误差的绝对值与相应观测值的
比值。常用分子为1的分式表示，即：
相对误差
=
误差的绝对值 观测值
=1 T
13
l 相对中误差：当误差的绝对值为中误差m 的绝对值时， K称为～，即 k=1/m 。
3
1．系统误差
l 系统误差：在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列 观测，若误差的大小和符号保持不变，或按照一定的规律变 化，这种误差称为～ 。
l 系统误差产生的原因 ： 仪器工具上的某些缺陷；观测者的 某些习惯的影响；外界环境的影响。
l 系统误差的特点： 具有累积性
4
系统误差消减方法 ❖1、在观测方法和观测程序上采取一定的措施;
中误差、相对误差、极限误差和容许误差
10
一、中误差
在测量实践中观测次数不可能无限多，实际应用中，以 有限次观测个数n计算出标准差的估值定义为中误差m，作 为衡量精度的一种标准：
m = ±sˆ = ± [ ]
n
在测量工作中，普遍采用中误差来评定测量成果的精度。
11
l 有甲、乙两组各自用相同的条件观测了六个三角 形的内角，得三角形的闭合差（即三角形内角和 的真误差）分别为：
例：经纬仪的LL不垂直于VV对测角的影响
5
2．偶然误差 l 偶然误差：在相同的观测条件下，对某一未知量 进行一系列观测，如果观测误差的大小和符号没有 明显的规律性，即从表面上看，误差的大小和符号 均呈现偶然性，这种误差称为 ～。 l 产生偶然误差的原因： 主要是由于仪器或人的感 觉器官能力的限制，如观测者的估读误差、照准误 差等，以及环境中不能控制的因素(如不断变化着的 温度、风力等外界环境)所造成。
测量误差的基本知识
§5.5误差传播定律的应用
一、水准测量的误差分析
每站的高差为：h = a - b ；m读≈ ±3mm
一站的高差中误差：m站 =
≈ ±4mm
线路n站，则总高差：
取3倍中误差为限差，则普通水准路线的容许误 差为 ：
二、水平角观测的误差分析
用DJ6经纬仪进行测回法观测水平角，那么用盘 左盘右观测同一方向的中误差为±6 ″，
1、倍数函数：Z=kx 中误差：mz=kmx
2、和差函数 ：Z=x1±x2±…±xn 中误差：mz m12 m22 ... mn2
3、线形函数 ： Z=k1x1±k2x2±…±knxn 中误差：mz (k1)2 m12 (k2 )2 m22 ... (k n)2 mn2
加权平均值的中误差： M0 = = ±3.2mm
一、一般函数的中误差
设Z=f(x1,x2,…,xn)，其中x1,x2,…,xn属于独立自 变量（如直接观测值），他们的中误差分别为 m1,m2,…,mn则函数Z的中误差为 ：
mz
(
f x1
)
2
m12
f (
x2
) 2 m22
f ... (
xn
) 2 mn2
二、特殊函数的中误差
小结
• 正确列出函数式； • 检查观测值是否独立； • 求偏微分并代入观测值确定系数； • 套用公式求出中误差。
思考题：一个边长为l的正方形，若测量一 边中误差为ml＝±1cm，求周长的中误差？ 若四边都测量，且测量精度相同，均为ml， 则周长中误差是多少？
§5.4等精度直接观测值
1.算术平均值原理 假设对某量X 进行了n次等精度的独立观测，得
5.偶然误差的特性
第6章 测量误差基本知识
水准仪：
经纬仪：
⑵采用对称观测的方法 大小相等、符号相反的系统误差，相互抵消 水准测量：前、后视距大致相等 角度测量：盘左、盘右取平均值
⑶测定系统误差的大小，对观测值加以改正 钢尺量距：尺长改正、温度改正、倾斜改正
3）偶然误差 偶然误差：在一定观测条件下的一系列观测值中，其误差大小、 正负号不定，但符合一定统计规律的测量误差。 也称随机误差 偶然误差反映观测结果的精密度。 精密度：在一定观测条件下，一组观测值与其数学期望值接近 或离散的程度，也称内部符合精度。 如：对中误差、瞄准误差、估读误差等
设Z为独立变量 x1，x2， … ，xn的函数，即
Z=f x1，x2， xn
2
2
mZ =
f
x1
m12
f x2
m22
f xn
2
mn2
例1：
在1:500的地形图上量得A、B两点间的距离d=234.5mm，中误差 md=±0.2mm。求A、B两点间的实地水平距离D及其中误差mD。
h值越小，曲线两侧坡度越缓， 小误差出现的概率小，精度越低
2.中误差
与精度指数成反比
m n
式中：[△△]——偶然误差平方和 n——偶然误差个数
3.极限误差 由偶然误差的特性“误差绝对值不会超过一定限值”（有界性）
这个限值就是极限误差。
P m 0.683 68.3%
31.7%
P 2m 0.954 95.4% 4.6%
K
D往 D返
D
=
=
1
=1
1
2
D往 +D返
D平均
D平均 D
M
5.相对中误差
观测值中误差与相应观测值之比。
《测量学》第五章测量误差基本知识
系统误差的来源与消除方法
总结词
系统误差的来源主要包括测量设备误差、环境因素误差和测量方法误差。消除系统误差的方法包括校准设备、改 进测量方法和采用适当的修正公式。
详细描述
系统误差的来源多种多样，其中最常见的是测量设备误差，如仪器的刻度不准确、零点漂移等。此外，环境因素 如温度、湿度和气压的变化也可能导致系统误差。为了消除这些误差，可以采用定期校准设备、选择适当的测量 方法和采用修正公式等方法。
相对测量法
通过比较被测量与标准量之间 的差异来得到被测量的值，并 评估误差。
组合测量法
将被测量与其他已知量进行组 合，通过测量组合量来得到被
测量的值，并评估误差。
测量结果的表示与处理
测量结果的表示
测量结果应包括被测量的值、单位、 测量不确定度以及置信区间等。
异常值的处理
在数据处理过程中，如果发现异常值， 应进行识别、判断和处理，以确保测 量结果的准确性和可靠性。
测量学第五章 测量误差 基本知识
contents
目录
• 测量误差概述 • 系统误差 • 随机误差 • 粗大误差 • 测量误差的估计与处理
测量误差概述
01
测量误差的定义
测量误差
在测量过程中，由于受到测量仪器、 环境条件、操作者技能等因素的影响 ，使得测量结果与被测量的真实值之 间存在一定的差异。
不确定度的评定方法
不确定度的传递
不确定度的评定方法包括A类评定和B类评 定，其中A类评定基于统计分析，B类评定 基于经验和信息。
在多个量之间存在函数关系时，需要将各 个量的不确定度传递到最终的测量结果中 ，以确保最终结果的准确性和可靠性。
THANKS.
数据修约
根据测量不确定度对数据进行修约， 以确保数据的完整性和一致性。
测量学测量误差的基本知识
偶然误差的特性：
在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会 超过一定的限度； 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会 要多； 绝对值相等的正误差与负误差出现的机会相等； 同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均 值，随着观测次数的增加而趋近于零
二、衡量精度的标准
中误差 相对误差
1.中误差
设在等精度条件下对某未知量进行了n次观 测，其观测值为L1,L2, ……,Ln，真误差 相应为Δ1,Δ2, ……,Δn，则观测精度可 用下式来表示
其中[ΔΔ]= Δ12+Δ22+ ……+Δn2，m 称为观测值的中误差，亦称均方误差。
2.相对误差
相对误差就是绝对误差的绝对值与相应测量 结果之比，通常以分子为1的分式来表示。
三、容许误差的确定
ห้องสมุดไป่ตู้
常以三倍中误差作为偶然误差的极限值(称 为极限误差)。 在实际工作中，常以两倍中误差为误差的 容许值，称为容许误差。 如果观测值中出 现了超过2m的误差，就可以认为该观测值 不可靠。
测量误差的基本知识
一、误差的分类
粗差 系统误差 偶然误差
1.粗差
粗差是一种大量级的观测误差，是由于观 测者疏忽大意，操作不当；或受外界干扰 等原因造成的，例如读错、记错、测错等。 粗差实际上是一种错误，在观测成果中是 不允许存在的。
2.系统误差
在相同的观测条件下，对某量进行一系列 的观测，若误差出现的符号和数值大小均 相同，或按一定的规律变化，这种误差称 为系统误差。 系统误差具有累积性，对测量结果影响甚 大，但它的符号和大小有一定的规律，可 以设法消除与减弱其影响。
第六章测量误差的基本知识
例5：证明算术平均值中误差 M m n
证： x
L
n
1 n
L1
1 n
L2
1 n
Ln
M
1 n
2
m2 1
1 n
2
m2 2
1 n
2
m2 n
在等精度观测条件下 m1 m2 mn，则有：
M n 1 m2 m
9
m乙
n
62 52 32 5.2
9
m甲＞m乙，说明乙组观测精度高于甲组。
例2：在相同观测条件下,某距离连续测量五次,结果分别为： 123.457、123.450、123.453、123.449、123.451m。试求该 距离的最或是值并对其精度进行评定。
解：
次序
1
观测值Li 123.457
Vi=χ－Li -5
2
123.450
+2
3
123.453
-1
4
123.449
+3
5
123.451
+1
χ=123.452 ［V］= 0
m VV 40 3.16mm
n 1
5 1
m
3.16
1
K
x
123.452103
39000
VV 25 4 1 9 1 ［VV］= 40
m2 Z
A2 1
m2 1
A2 2
测量误差的基本知识.
1）相同测量程序；2）相同测量条
件；3）相同观测人员；4）相同测量设
备；5）相同地点。
4
一、测量误差的几个名词术语
5、等精度测量：在同一条件下进行的一系列重 复测量。
6、误差公理：一切测量都具有误差，误差自始 至终存在于所有科学试验的过程之中。
研究测量误差的目的：寻找产生误差的原因， 认识误差的规律、性质，进而找出减少误差 的途径与方法以求获得尽可能接近真值的测 量结果。
7
1、 按误差的表示形式分
【例】要测稍小于80℃的温度，现在0.5级 的0～300℃和1.0级的0～100℃的两个温 度计，试问采用哪个温度计较好？
解：精度等级A=△x/（xmax－xmin）×100 ％
∴ε=△x/x= A×（xmax－xmin）/x
用0.5级时：ε1=300×0.5％/80=1.875％
从上述计算结果不难得出被测电源 电动势和内阻置信区间（K取3）内的测 量值分别为：
Ex Eˆ kˆEˆ 1.5150 0.0009V
Rx Rˆ kˆRˆ 0.37 0.03
44
4、 最小二乘法原理及其应用
2）在曲线拟合和回归分析中的应用 [例] 已知某一热敏电容传感器的温度
和电容值的实测数据如下表所示，试用 最小二乘法原理求其特性表达式。
I
A
用
【例】右图为电源电动 r 势E和电源内阻r的测 U
V
R
量电路，根据电路理 论，测量方程为已知
E
等精度重复测量的重
复测量的数据如下所
示，试求出E和r的估
计值和标准差。
37
4、 最小二乘法原理及其应用
i
Ii/mA
Ui/V
1
3.293
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Survey
中
国
矿
业
大
学
测量学
第五章
测量误差的基本知识
二、 非线性函数
Z=f(x１，x２…xn）
式中，x１，x２…xn为独立观测值，其相应的中
误差分别为m１、m２…mn。
真误差关系式可用全微分近似表示有：
dZ
Survey
f x1
dx 1
f x2
dx 2
中
f xn
国
误 差 的 内 容 1. 钢尺尺长不准，对量得距离的影响 2. 量距时，尺子不在一条直线上，对量得距离的影响 3. 水准仪水准管轴不平行于视准轴的误差 误差的性质 系统误差 系统误差 系统误差 偶然误差 偶然误差 系统误差
4. 读数时的误差
5. 瞄准误差 6. 竖盘指标差 7.
Survey
竖盘指标差的变化误差
Survey
中
国
矿
业
大
学
测量学
第五章
测量误差的基本知识
阐述观测值中误差与函数中误差之间数学 关系的定律，称为误差传播定律。
一、 线性函数 1、倍数函数
Z=Kx
式中x为直接观测值，其中误差为mx；Ｋ为常数；Z为 观测值x的函数。 若对x作n次同精度观测，其真误差列为 Δ xi(i=1,2,„n)，对应的函数的误差列为Δ zi(i=1,2„n)
M
1 n
m
[ vv ] n ( n 1 )
M=0.0035(m)
4 用DJ6级经纬仪观测某个水平角4个测回(四次)，其观测值 分别为：68°32′18″、68°31′54″、68°31′42″、 68°32′06″，试求观测一测回的中误差、算术平均值及其 中误差。 参考答案：15″， 68°32′00″，7.5 ″
返回习题
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矿
业
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第五章
测量误差的基本知识
§5-2 衡量精度的指标
测量成果中都不可避免地含有误差，在测 量工作中，使用“精度”来判断观测成果质量 好坏的。所谓精度，就是指误差分布的密集或 离散程度。误差分布密集，误差就小，精度就 高；反之，误差分布离散，误差就大，精度就 低。通常把观测条件相同的各次观测，称为等 精度观测。 测量上衡量精度的标准采用：
2 2 2
m
[ ] n
Survey
中
国
矿
业
大
学
测量学
第五章
测量误差的基本知识
3、用改正数计算中误差
设对某个量进行n次观测，则它的最或是值X（算术平均值） 为最可靠值。
x
l1 l 2 l n n
[l ] n
改正数：最或是值与观测值之差，用v表示，即：
v=x-l
dx n
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第五章
测量误差的基本知识
中误差：
m ( x m1 ) ( x m 2 ) ( x m n )
2 z 2 2
1 2 n
f
f
f
2
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§5-4 算术平均值及其中误差
观测值的真误差为：
Δ１＝l１－Ｘ, Δ２＝l２－Ｘ, …………, Δn＝ln－Ｘ，
x=（l１＋l２＋…＋ln）/n＝[l]/n
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实际工作中采用观测值的改正数vi来计算 中误差。 各观测值的改正数： v i＝x －l i (i=1,2, „„,n) 将上式两边求和，有: ［v］= nx -［l］ 因x=[l]/n，所以 ［v］=0 此式可作为改正数计算正确性的检查。
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则观测值与函数间的真误差关系式为 Δzi=KΔxi (i=1,2,…n) 中误差：
[ z z ] n
K
2 [ x x ] n
mＺ2＝Ｋ2mx2或mＺ＝Ｋmx
上式表明：对于倍数函数，函数的中误差等于观 测值中误差的K倍。
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在相同的观测条件下，对某量进行了一系列观测， 如果误差出现的大小和符号从表面上看没有表现出 任何规误差、对中误差等。 偶然误差，就其个别值而言，在观测前不能预知其 出现的大小和符号。但相同的观测条件下对某量进 行多次观测，大量的偶然误差会呈现一定的规律。 真误差：观测值L与真值X之差，即： Δ =［L］-X L：观测值，X：真值，Δ ：真误差(偶然误差)
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极限误差： 简称限差，根据偶然误差的第一
个特性，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值 不会超过一定的限值。 理论研究和实验表明，大于两倍中误差的偶然误 差的个数，约占总数的5%左右，大于三倍中误差的 偶然误差的个数，只占总数的0.3%。
测量上常取三倍中误差作为极限误差Δ限，也称
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偶然误差
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2何谓中误差、相对误差和极限误差(限差)?
3对某线段丈量了5次，观测结果为：49.535m、49.547m、 49.527m、49.537m、49.529m。试计算其算术平均值和算术 平均值的中误差。
答：平均值X平=49.535m，v1=0,v2=-12,v3=8,v4=-2,v5=6
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2、 和、差函数
Z = x ±y
推导出下列真误差关系式: Δ zi=Δ xi ± Δ yi (i=1,2,„n) 求上述关系式的平方和并除以n,得
[ z z ] n [ x x ] n [ y y ] n [ x y ] n
2
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二、测量误差的分类 测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为： 系统误差和偶然误差。 在相同的观测条件下，对某量进行了n次观测，如 果误差出现的大小和符号均相同或按一定的规律变 化，这种误差称为系统误差。 系统误差具有明显的规律性和累积性。可以采 取措施将其消除。 例如：钢尺尺长误差；水准仪视准轴与水准管轴 不平行产生的i角误差；经纬仪的视准轴误差等。
允许误差，即：Δ限=3m
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§5-3 误差传播定律
在实际工作中，某些未知量不可能或不便于 直接进行观测，而需要由另一些直接观测量根据 一定的函数关系计算出来，这些未知量即为观测 值的函数。例如，在水准测量中，两点间的高差 h=a-b，则h是直接观测值a和b的函数；在三角高 程测量的计算公式中，如果觇标高v等于仪器高i， 则h=ltanδ ，这时，高差h就是观测值l和δ 的函 数，等等。
式中： v为观测值的改正数；l为观测值； x为观测值的最或是值
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改正数求中误差的白塞尔公式：
m
[ vv ] n 1
上式求得的为一次观测值的中误差。
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二、相对误差
相对误差能更客观地反映实际测量精度。
中误差、相对误差、极限误差
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一、 中误差及其计算
1、中误差（m） 在相同的观测条件下，对同一未知量进行n次观 测，所得各个真误差平方的平均值，再取其平方根 用表示，即：
m
1 2 n n
2
2
2
[ ] n
式中［Δ Δ ］为真误差Δ 的平方和，n为观测次数
m称为观测值中误差或一次观测值中误差
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中误差并不等于每个观测值的真误差，它仅 是一组真误差的代表值，代表了这一组测量中任 一个观测值的精度。 2、用真误差计算中误差
1 2 n n
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计算观测值的中误差：
算术平均值的中误差为M，则按线性函数中误 差传播定律公式，得：
M
1 n
m
[ vv ] n ( n 1 )
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复习思考题： 1 偶然误差与系统误差有什么区别 ? 偶然误差有哪些特性 ? 根据下列的误差内容，试判断其属于何种误差 ?
c A
a
B
8 已知四边形各内角的测 量中误差为±15″，若限差取中误差的 2倍，求该四边形闭合差的限差。