25.3 解直角三角形及其应用(3)
中考一模备考---锐角三角比
第二十五章 锐角三角比（P59-P82）1． 内容目录第一节：锐角的三角比（Ⅱ）25.1 锐角的三角比的意义； 25.2 求锐角的三角比的值。
第二节：解直角三角形（Ⅲ）25.3 解直角三角形； 25.4 解直角三角形的应用。
2．中考考纲要求（1）理解锐角三角比的概念。
（2）会求特殊锐角（30°、45°、60°）的三角比的值。
（3）会用计算器求锐角的三角比的值；能根据锐角三角比的值，利用计算器求锐角的大小。
（4）会解直角三角形。
（5）理解仰角、俯角、坡度、坡角等概念，并能解决有关的实际问题。
3．重点和难点 重点是应用锐角三角比的意义及运用解直角三角形的方法进行有关几何计算。
难点是解直角三角形的应用。
4．知识结构框架图表5. 知识点1、 锐角的三角比（1） 定义：在直角三角形ABC 中，A 为一锐角，则∠A 的正弦=A a sin A=c∠的对边，即斜边∠A 的余弦=A b cos A=c∠的邻边，即斜边,∠A 的正切=A a tanA=A b∠的对边，即∠的邻边∠A 的余切=A a =A b∠的邻边，即cotA ∠的对边注：三角函数值是一个比值．定义的前提是有一个角为直角，故如果题目中无直角条件时，应设法构造一个直角。
若A ∠为一锐角，则sinA,cosA,tanA,cotA 的取值范分别是：0sinA<1,0<cosA<1,tanA>0,cotA>0<。
同一个锐角的正切和余切值互为倒数，即：1tanA cotA=1tanA=cot A或2、 特殊锐角的三角比的值（1） 特殊锐角（30°，45°，60°）的三角比的值（2） 同角，互余的两角多的三角比之间的关系：倒数关系：1tanA=cot A平方关系：22sin A+cos A=1 积商关系：sin cos tanA=,cot cos sin A A A AA=余角和余函数的关系：如果090A B ∠+∠=，那么sinA=cosB, tanA=cotB （正弦和余弦，正切和余切被称为余函数关系）。
解直角三角形及其应用
第25课时┃ 解直角三角形及其应用
方法模型 (1)若求边，一般用未知边比已知边，去寻找已知角 的某个三角函数值； (2)若求角，一般用已知边比已知边(斜边放在分母 上)，去寻找未知角的某个三角函数值．
第25课时┃ 解直角三角形及其应用
热考2 解有关高度(宽度)的问题 例 2 如图 25－2，在一次户外研学活动中，老师带领学生去测 一条东西流向的河流的宽度(把河两岸看做平行线，河宽即两岸之 间的垂线段的长度)．某同学在河南岸 A 处观测到河对岸水边有一 棵树 P，测得 P 在 A 北偏东 60°方向上，沿河岸向东前行 20 米到 达 B 处，测得 P 在 B 北偏东 45°方向上．求河宽(结果保留一位 小数 2≈1.414， 3≈1.732)．
如果某人沿坡度 i＝1∶3 的斜坡前进 10 m，那 么他所在的位置比原来的位置升高了___1_0____m.
图 25－3
第25课时┃ 解直角三角形及其应用
解：方案一： (1)示意图如图①所示：
选用工具：测角仪、皮尺． (2)①用测角仪测出∠ACE的角度； ②用皮尺测量DB的长；
③AE＝DBtan∠ACE；
④AB＝AE＋1.5.
第25课时┃ 解直角三角形及其应用
方案二 (1)示意图如图②所示．
选用工具：长为2 m的标杆、皮尺． (2)①把2 m的标杆EF按如图所示的方式放置；
答：河宽约为27.3米．
第25课时┃ 解直角三角形及其应用
如图 25－3，为了测量某电线杆(底部可到达)的
高度，准备了如下的测量工具：①平面镜；②皮尺；③长为 2 m 的标杆；④高为 1.5 m 的测角仪(测量仰角、俯角的仪器)．请
根据你所设计的测量方案，回答下列问题： (1)画出你的测量方案示意图，并根据你的测量方案写出你所 选用的测量工具； (2)结合你的示意图，写出求电线杆高度的思路．
24.3.3解直角三角形及其应用(3)
24.3.3解直角三角形及其应用（3）【教学目标】1、知识目标：会将实际问题中的数量关系，转化为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识解决实际问题；2、方法过程：渗透数学来源于实践又反作用于实践的观点，培养用数学意识。
3、情感价值：选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数学、学好数学的欲望。
发展学生的数学应用意识和解决问题的能力【重难点】1、重点：将实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识解决实际问题2、难点：方法过程：渗透数学来源于实践又反作用于实践的观点，培养用数学意识【教学过程】一、课前引入敬亭山,风景秀丽。
如果已知山上的电视塔塔身的高度为40米,如何利用测角仪得到山的高度?工具:卷尺、测角仪二、合作探究:1、如图所示,河对岸有古塔AB,170㎝高的小敏在C处测得塔顶A的仰角为α,向塔走s米到达D,在D处测得塔顶A的仰角为β,求塔高?2、如图,海中有一小岛P,在距小岛P的162海里范围内有暗礁,一轮船自西向东航行,它在A处时测得小岛P位于北偏东60°,且A、P之间的距离为32海里,若轮船继续向正东方向航行,轮船有无碰礁的危险?请通过计算加以明。
如果有危险,轮船自A处开始至少沿东偏南多少度方向航行,才能安全通过这一海域?3、某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象,已知废墟一侧地面上两探测点A﹑B相距3米,探测线与地面的夹角分别是30°和60°,试确定生命所在点C的深度.(结果精确到0.1米)【当堂检测】1.如图.灯柱AB被一钢缆CD固定,CD与地面夹角为45°,且DB=5米,现再在C 点上方加固另一根钢缆ED,ED与地面成60°夹角,则应在C点上方多少米高处加固?2.如图.两建筑物AB和CD的水平距离为30米,从A点测得D点的俯角为30°,测得C点的俯角为60°,则建筑物CD的高为多少米?【课堂小结】1、我的收获：2、我的困惑。
25.3解直角三角形及应用(第一课时)
如果知道了五个元素中的两个元素（至少有一个是边）， 就可以求出其余的三个元素。
定义：在直角三角形中，除直角外， 由已知元素求出未知元素的过程，叫 做解直角三角形。
例1在Rt ABC中，C 90 , B 426' , c 287.4 解这个直角三角形。
解：A 90 42 6 47 54.
C、已知两锐角 D、已知一锐角和任意一边 2、在Rt △ABC中，∠C=90°,由下列条件解直角三角形。 （1）已知a=2,b=3 (2)已知b=1,c=2 (3)已知b=4, ∠B=6°
(4) ∠A=50°,c=2
3、在△ABC中，∠C=90°,sinB=4/5,AB=20,求AC、 BC的值
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' '
a 由 cos B , 得 c
a c cos B 287.4 0.7420 213.3
b 由sinB= , 得 c
b c sin B 287.4 0.6704 192.7
1、下列条件不能解直角三角形的是（ A、已知两直角边
）
B、已知斜边 和一直角边
☞
B
a C
（一）已知两边解直角三角形
1.在Rt△ABC中，∠C=90°
c
b a tanA= ⑴已知a, b, 则c=______,由___________求出 a2 b2 b 900 -∠A ∠A, ∠B=___________。
A
a sinA= ⑵已知a, c ,则b=______,由___________求出 C a c 0 -∠A 90 ∠A, ∠B=___________。
2 AB=9× =3，∠PAB=90°-60°=30°， 6 ∠PBC=90°-45°=45°，∠PCB=90°． ∴PC=BC． 在Rt△APC中，
解直角三角形及其应用
o
F
A
E
B
例2：计算6tan45 -2cos60
o
o
一般地，当ɑ，β为任意角时，sin(ɑ+β)与 sin(ɑ-β)的值可以用下面的公式求得： sin(ɑ+β)=sinɑ cosβ+cosɑ sinβ sin(ɑ-β)=sinɑ cosβ-cosɑ sinβ 例如： o o o o o o sin90 =sin(60 +30 )=sin60 cos30 +cos60 sin o 30 = 3 3 1 1 =1
A F H B C
A F H B E G
C
D
2 3
5 3
10 5
5 5
2 2 2 2
类似的可以求得sin15 的值是
o
例3：某市在创建文明城市活动中，对道路进 行美化。如图，道路两旁分别有两个高度相同 的路灯AB和CD，两个路灯之间的距离BD长为 24米，小明在点E(B,E,D,G在一条直线上）处 o 测得路灯AB顶部A点的仰角为45 ,然后沿BE方 向前进8米到达点G处，测得路灯CD顶端的C 点仰角为30。已知小明的两个观测点F,H距离 地面的高度EF,GH均为1.6米，求路灯AB的高 度。(精确到0.1米，参考数据 2≈1.41， 3≈ 1.73）
1、由直角三角形中已知的边和角，计算出未 知的边和角的过程，叫做解直角三角形。
解直角三角形需要除直角之外的两个元素，且至少有一个元素是边。
2、锐角三角函数：我们把正弦、余弦、正切 统称为“锐角三角函数”。
3、正弦=对边/斜边 余弦=邻边/斜边 正切=对边/邻边 （特殊三角函数值的记忆）
例1：如图，在Rt∆ABC中，∠C=90 ， o ∠A=30 ,E为AB上一点且AE:EB=4:1,EF⊥AC 于点F,连接FB，则tan∠CFB=
数学：2513解直角三角形及其应用课件沪科版九年级上
根据上述条件求出 P 物体B到平面镜PQ 的距离。
Q C
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15
h是坡面的铅直高度，
h
m是对应的水平宽度。
α m
（2）坡角是坡面与水平面的夹角
（3）坡度与坡角的关系：i=tanα
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7
6、在离地面高度为6米处引 拉线固定电线杆，拉线和地 面成60°角，则拉线长为
（B ） A、6 3 m
C、 2 3 m
B、4 3 m D、3m
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8
7、一个小球由地面沿坡度 i=1：2的坡面上前进了10米， 此时小球距离地面的高度为
（ B ）。 A、 5米 B、2 5 米 C、4 5 米 D、10 米
3
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9
8、如图，某生产车间的人字
形屋架为等腰三角形，夸度 AB=12米，∠A=30°，则 中柱CD= 2√3米 ， 上弦AC= 4√3米 。C
A
D
B
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10
9、130班课外活动小组为了测
量学校旗杆的高度（如图）他
在同一水平线上，小勇测得树
底B的俯角为60°，并发现B点距墙脚D之间恰 Nhomakorabea铺设六块
边长为0·5米的正方形地砖，
因此测算出B点到墙脚D之间
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5
考点1 解直角三角形的依据 （1）三边之间的关系 （2）边角之间的关系 （3）锐角之间的关系
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6
考点2 坡度（坡比）、坡角
（1）坡度也叫坡比，即i=h：m，
米。编辑ppt
3
4、如图，一艘轮船向下东方向航
行，上午9时测得它在灯塔P的南
偏西30°方向，距离灯塔120海里
的M处，上午11时到达这座灯塔
解直角三角形及其应用--知识讲解
解直角三角形及其应用—知识讲解【学习目标】1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.要点二、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC 两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，角锐角、对边 (如∠A ，a)∠B=90°－∠A ，，斜边、锐角(如c ，∠A)∠B=90°－∠A ，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： (1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h 和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA ，PB ，PC 的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA ，OB ，OC ，OD 的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】 类型一、解直角三角形1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，根据下列条件，解这个直角三角形．(1)∠B=60°，a ＝4； (2)a ＝1，3b =． 【答案与解析】(1)∠A ＝90°－∠B ＝90°－60°＝30°．由tan bB a =知，tan 4tan6043b a B ==⨯=°． 由cos a B c =知，48cos cos 60a c B ===°． (2)由tan 3bB a==得∠B ＝60°，∴ ∠A ＝90°-60°＝30°．∵ 222a b c +=，∴ 2242c a b =+==．【总结升华】解直角三角形的两种类型是：(1)已知两边；(2)已知一锐角和一边．解题关键是正确选择边角关系．常用口诀：有弦(斜边)用弦(正弦、余弦)，无弦(斜边)用切(正切)． (1)首先用两锐角互余求锐角∠A ，再利用∠B 的正切、余弦求b 、c 的值；(2)首先用正切求出∠B 的值，再求∠A 的值，然后由正弦或余弦或勾股定理求c 的值． 举一反三：【高清课程名称：解直角三角形及其应用 高清ID 号：395952 关联的位置名称（播放点名称）：例1（1）-（3）】【变式】（1）已知∠C=90°，a=23，b=2 ，求∠A 、∠B 和c ；（2）已知sinA=23, c=6 ，求a 和b ； 【答案】（1）c=4；∠A=60°、∠B=30°； （2）a=4；b=252．（2016•包头）如图，已知四边形ABCD 中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC 的延长线与AD 的延长线交于点E ． （1）若∠A=60°，求BC 的长； （2）若sinA=，求AD 的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）【思路点拨】（1）要求BC 的长，只要求出BE 和CE 的长即可，由题意可以得到BE 和CE 的长，本题得以解决； （2）要求AD 的长，只要求出AE 和DE 的长即可，根据题意可以得到AE 、DE 的长，本题得以解决． 【答案与解析】解：（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA=，∴∠E=30°，BE=tan60°•6=6，又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=，∠E=30°，∴CE==8，∴BC=BE ﹣CE=6﹣8；（2））∵∠ABE=90°，AB=6，sinA==，∴设BE=4x ，则AE=5x ，得AB=3x ， ∴3x=6，得x=2，∴BE=8，AE=10， ∴tanE====，解得，DE=，∴AD=AE ﹣DE=10﹣=，即AD 的长是．【总结升华】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数进行解答．类型二、解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用3．如图所示，BC 是半圆⊙O 的直径，D 是AC 的中点，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E ，(1)求证：△ABE ∽△DBC ； (2)已知BC ＝52，CD ＝52，求sin ∠AEB 的值； (3)在(2)的条件下，求弦AB 的长．【答案与解析】(1)∵ AD CD =，∴ ∠1＝∠2，又BC 是⊙O 的直径，∴ ∠BAC ＝∠BDC ＝90°． ∴ △ABE ∽△DBC ．(2)由△ABE ∽△DBC ，∴ ∠AEB ＝∠DCB ． 在Rt △BDC 中，BC ＝52，CD ＝52， ∴ BD ＝225BC CD -=， ∴ sin ∠AEB ＝sin ∠DCB ＝525552BD BC ==． (3)在Rt △BDC 中，BD ＝5，又∠1＝∠2＝∠3，∠ADE ＝∠BDA ，∴ △AED ∽△BAD ． ∴AD DE DB AD=，∴ 2AD DE DB =．又∵52CD AD==，∴ CD2＝(BD－BE)·BD，即25(5)52BE⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭，∴354BE=．在Rt△ABE中，AB＝BEsin∠AEB＝32355452⨯=．【总结升华】本题综合了三角函数、相似三角形、勾股定理、圆等方面知识，尤其涉及三角函数问题，都是通过找出或构造直角三角形来解决问题． (1)根据圆周角定理易证△ABE∽△DBC．(2)利用(1)的结论，将∠AEB转化为Rt△BCD中的DCB∠．(3)在Rt△ABE中求AB．举一反三：【高清课程名称：解直角三角形及其应用高清ID号：395952关联的位置名称（播放点名称）：例2】【变式】如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为多少?【答案与解析】解：作DE⊥AB于E，如图，∵∠C=90°，AC=BC=6，∴△ACB为等腰直角三角形，AB=AC=6，∴∠A=45°，在Rt△ADE中，设AE=x，则DE=x，AD=x，在Rt△BED中，tan∠DBE==，∴BE=5x，∴x+5x=6，解得x=，∴AD=×=2．类型三、解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用4．某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD 的坡度为1:3i =（i ＝1:3是指铅直高度DE 与水平宽度CE 的比)，CD 的长为10 m ，天桥另一斜面AB 的坡角∠ABC ＝45°．(1)写出过街天桥斜面AB 的坡度； (2)求DE 的长；(3)若决定对该过街天桥进行改建，使AB 斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF ，试计算此改建需占路面的宽度FB 的长(结果精确到.0.01 m)． 【答案与解析】(1)作AG ⊥BC 于G ，DE ⊥BC 于E ，在Rt △AGB 中，∠ABG ＝45°，AG ＝BG ． ∴ AB 的坡度1AGi BG'==． (2)在Rt △DEC 中，∵ 3tan 3DE C EC ∠==，∴ ∠C ＝30°．又∵ CD ＝10 m ．∴ 15m 2DE CD ==． (3)由(1)知AG ＝BG ＝5 m ，在Rt △AFG 中，∠AFG ＝30°，tan AG AFG FG ∠=，即3535FB =+，解得535 3.66(m)FB =-=． 答：改建后需占路面的宽度FB 的长约为3.66 m ．【总结升华】（1）解梯形问题常作出它的两条高，构造直角三角形求解．（2）坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，它等于坡角的正切值．5．腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C ，利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为30°，底部B 点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D ，利用三角板测得A 点的俯角为60°(如图所示)．若已知CD 为10米，请求出雕塑AB 的高度．(结果精确到0.1米，参考数据3＝1.73)．【答案与解析】过点C 作CE ⊥AB 于E ．∵ ∠D ＝90°－60°＝30°，∠ACD ＝90°－30°＝60°， ∴ ∠CAD ＝180°－30°－60°＝90°．∵ CD ＝10，∴ AC ＝12CD ＝5． 在Rt △ACE 中，AE ＝AC ·sin ∠ACE ＝5×sin 30°＝52， CE ＝AC ·cos ∠ACE ＝5×cos 30°＝532， 在Rt △BCE 中，∵ ∠BCE ＝45°， ∴ 5553(31)222AB AE BE =+=+=+≈6.8(米)． ∴ 雕塑AB 的高度约为6.8米．【总结升华】此题将实际问题抽象成数学问题是解题关键，从实际操作（用三角形板测得仰角、俯角）过程中，提供作辅助线的方法，同时对仰角、俯角等概念不能模糊．。
《25.3+解直角三角形及其应用》2010年测试卷
《25.3 解直角三角形及其应用》2010年测试卷一、选择题（共9小题，每小题4分，满分36分）2．（4分）计算的值是（）．C D．3．（4分）在△ABC中，若|sinA﹣|+（cosB﹣）2=0，则∠C=（）．＜sinα≤＜cosα≤C≤tanα≤D．≤cotα≤5．（4分）在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则sinB的值是（）．C D．27．（4分）（2001•贵阳）如图，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i=2：3，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是（）8．（4分）（2007•淄博）王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地（）．m ．m9．（4分）（2007•舟山）如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为45°，则该高楼的高度大约为（）二、填空题（共9小题，每小题4分，满分36分）10．（4分）某人沿着坡度i=1：的山坡走了50米，则他离地面_________米高．11．（4分）等腰三角形的周长是2+，腰长为1，则其底边上的高为_________．12．（4分）若4cos2α=1，则锐角α=_________．13．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=_________．（三边分别对应a，b，c）14．（4分）（2002•泸州）如图，某宾馆在重新装修后，准备在大厅的楼梯上铺上某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯道宽2米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要_________元．15．（4分）（2009•黄浦区二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，D是边BC的中点，则tan∠CAD=_________．16．（4分）（2007•济宁）计算：﹣tan45°的值是_________．17．（4分）（2007•黄冈）计算：2sin60°=_________．18．（4分）化简=_________．三、解答题（共9小题，满分78分）19．（8分）计算（1+tan60°﹣sin60°）（1﹣tan60°+cos30°）20．（8分）在Rt△ABC中，a=50，c=50，解这个三角形．21．（8分）在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，∠B的平分线BD=16，求AB．22．（9分）（2007•双柏县）如图，在某建筑物AC上，挂着“多彩贵州”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测的仰角为30°，再往条幅方向前行20米到达点E处，看到条幅顶端B，测的仰角为60°，求宣传条幅BC 的长．（小明的身高不计，结果精确到0.1米）23．（9分）（2009•河南模拟）一艘轮船自西向东航行，在A处测得北偏东60°方向有一座小岛C，继续向东航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的北偏东45°方向上之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C最近？（结果保留根号）24．（9分）（2007•晋江市质检）如图所示，一辆吊车的吊臂以63°的倾角倾斜于水平面，如果这辆吊车支点A距地面的高度AB为2m，且点A到铅垂线ED的距离为AC=15m，求吊臂的最高点E到地面的高度ED的长（精确到0.1 m）．25．（9分）（2007•怀化）九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD=3m，标杆与旗杆的水平距离BD=15m，人的眼睛与地面的高度EF=1.6m，人与标杆CD的水平距离DF=2m，求旗杆AB的高度．26．（9分）（2007•贵阳）如图，一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达A点时，从地面C处的雷达站测得AC 的距离是6km，仰角是43度．1s后，火箭到达B点，此时测得BC的距离是6.13km，仰角为45.54°，解答下列问题：（1）火箭到达B点时距离发射点有多远？（精确到0.01km）（2）火箭从A点到B点的平均速度是多少？（精确到0.1km/s）27．（9分）（2007•江苏）某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶．已知看台高为1.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长为l米的不锈钢架杆AD和BC（杆子的底端分别为D，C），且∠DAB=66.5°．（1）求点D与点C的高度差DH；（2）求所用不锈钢材料的总长度l．（即AD+AB+BC，结果精确到0.1米）（参考数据：sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30）《25.3 解直角三角形及其应用》2010年测试卷参考答案与试题解析一、选择题（共9小题，每小题4分，满分36分）2．（4分）计算的值是（）．C D．3．（4分）在△ABC中，若|sinA﹣|+（cosB﹣）2=0，则∠C=（）|+sinA=，，．＜sinα≤＜cosα≤C≤tanα≤D．≤cotα≤，∴，，，∴α≤，=∴，，∴，5．（4分）在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则sinB的值是（）．C D．，sinB===2C==，AE=5×．7．（4分）（2001•贵阳）如图，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i=2：3，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是（）8．（4分）（2007•淄博）王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地（）．m ．m=50AC=．9．（4分）（2007•舟山）如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为45°，则该高楼的高度大约为（）DB==BC=（二、填空题（共9小题，每小题4分，满分36分）10．（4分）某人沿着坡度i=1：的山坡走了50米，则他离地面25米高．：11．（4分）等腰三角形的周长是2+，腰长为1，则其底边上的高为．2+BC=AD==，故答案为12．（4分）若4cos2α=1，则锐角α=60°．±，13．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=．（三边分别对应a，b，c）cosA=．14．（4分）（2002•泸州）如图，某宾馆在重新装修后，准备在大厅的楼梯上铺上某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯道宽2米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要504元．15．（4分）（2009•黄浦区二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，D是边BC的中点，则tan∠CAD=．aCD=CAD==16．（4分）（2007•济宁）计算：﹣tan45°的值是0．，﹣，，；，，，，．17．（4分）（2007•黄冈）计算：2sin60°=．×=，，；，，，，．18．（4分）化简=．﹣三、解答题（共9小题，满分78分）19．（8分）计算（1+tan60°﹣sin60°）（1﹣tan60°+cos30°）﹣）20．（8分）在Rt△ABC中，a=50，c=50，解这个三角形．==5021．（8分）在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，∠B的平分线BD=16，求AB．cosA=CBD=8AB==16AB=16．22．（9分）（2007•双柏县）如图，在某建筑物AC上，挂着“多彩贵州”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测的仰角为30°，再往条幅方向前行20米到达点E处，看到条幅顶端B，测的仰角为60°，求宣传条幅BC 的长．（小明的身高不计，结果精确到0.1米）×23．（9分）（2009•河南模拟）一艘轮船自西向东航行，在A处测得北偏东60°方向有一座小岛C，继续向东航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的北偏东45°方向上之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C最近？（结果保留根号）∴AD=∴∴BD=24．（9分）（2007•晋江市质检）如图所示，一辆吊车的吊臂以63°的倾角倾斜于水平面，如果这辆吊车支点A距地面的高度AB为2m，且点A到铅垂线ED的距离为AC=15m，求吊臂的最高点E到地面的高度ED的长（精确到0.1 m）．25．（9分）（2007•怀化）九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD=3m，标杆与旗杆的水平距离BD=15m，人的眼睛与地面的高度EF=1.6m，人与标杆CD的水平距离DF=2m，求旗杆AB的高度．，得出∴∴26．（9分）（2007•贵阳）如图，一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达A点时，从地面C处的雷达站测得AC 的距离是6km，仰角是43度．1s后，火箭到达B点，此时测得BC的距离是6.13km，仰角为45.54°，解答下列问题：（1）火箭到达B点时距离发射点有多远？（精确到0.01km）（2）火箭从A点到B点的平均速度是多少？（精确到0.1km/s）中，27．（9分）（2007•江苏）某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶．已知看台高为1.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长为l米的不锈钢架杆AD和BC（杆子的底端分别为D，C），且∠DAB=66.5°．（1）求点D与点C的高度差DH；（2）求所用不锈钢材料的总长度l．（即AD+AB+BC，结果精确到0.1米）（参考数据：sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30）×=1.2 AB=。
九年级数学-解直角三角形及其应用
第26讲 解直角三角形及其应用知识导航1．在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求其他所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 2．直角三角形边角之间的关系：Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有：(1)a 2＋b 2＝c 2；(2)∠A ＋∠B ＝90°；(3)sin A ＝cos B ＝a c ，cos A ＝sin B ＝bc ，tan A ＝a b ，tan B ＝b a． 3．解直角三角形实际应用时常用的概念：(1)仰角、俯角；(2)方向角；(3)坡角、坡度．【板块一】解直角三角形及实际应用方法技巧1．灵活运用边角关系求边与角；2．若所求解的直角三角形“不可直接解”，应注意设元，借助方程来解决； 3．如果图形中没有直角时，要添加垂线将其转化为直角三角形求解． ▶题型一 可直接解直角三角形【例1】在△ABC 中，∠C ＝90°，根据下列条件解直角三角形： (1)c ＝2，∠A ＝30°； (2)a ＝b ＝9； (3)∠A ＝2∠B ，c －b ＝4．【解析】(1)∵∠A ＝30°，∠B ＝60°．∴a ＝c sin ∠A ＝2×12＝1．b ＝c cos ∠A ＝2(2)由勾股定理得c＝tan ∠A ＝ab．∴∠A ＝30°．∴∠B ＝90°－∠A ＝60°．(3)∵∠A ＝2∠B ，∠A ＋∠B ＝90，∴∠A ＝60°，∠B ＝30°．∴c ＝20，c －b ＝4．∴b ＝4，c ＝8．∴a＝【点评】在已知条件中，如有针边，用正弦或余孩，无针边时用正切，求边时，要灵活运用三角函教和勾股定理．▶题型二 “不可直接解直角三角形”——设元、借助方程求解【例 2】如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，∠A ＝90°，∠B ＝120°，ADAB ＝6，点E 是边AB 上一动点，且∠DEC ＝120°，求AE 的长．【解析】过点C 作CH ⊥AB 交AB 的延长线于点H ，则CH ＝AD∵∠ABC ＝120°，∴∠CBH ＝60°，∴BH ＝tan CH CBH ∠＝1，BC ＝cos CH CBH ∠＝2，又AB ＝6,∴CD ＝AH ＝7．易证△BCE ∽△ED C ．∴BE EC ＝CEDC，∴CE 2＝BE ·DC ，设BE ＝x ．∴CE 2＝7x ．在Rt △CEH 中，CE 2＝EH 2＋CH 2＝(x ＋1)2＋2＝7x ，∴解得x ＝1或4．当x ＝1时，AE ＝5；当x ＝4时，AE ＝2．∴AE 的长为5或2． ▶题型三 “化斜为直“解斜三角形【例3】在△ABC 中，AB ＝8，∠ABC ＝30°，AC ＝5，求BC 的长．EDCBAHABCDE【解析】当△ABC是钝角三角形时，如图1，作AH⊥BC于点H．在Rt△ABH中．AH＝AB·sin∠ABC＝4．∴BH＝Rt△AHC中．HC＝3．∴BC＝3．当△ABC是纯角三角形时，如图2，同上可求得BC＝3．综上所述，BC＝3或3．【点评】1．解斜三角形时，要结合已知条件恰当地引垂线，构造可解的直角三角形；2．已如三角形的两边及某中一边的对角(为锐角)，注意分类讨论．▶题型四方位角、俯角、仰角、坡角等的应用【例4】如图，一般渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，岛礁P正东方向上的避风港继续航行1．5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁Ｐ正东方向上的避风港Ｍ在北偏东60°方向，为了在合风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行多少小时即可到达？(结果保留根号)【解析】过点P作PQ⊥AB交AB的延长线于点Q．过点M作MN⊥AB交AB的延长线于点N，在直角△AQP 中．∠P AQ＝45°，则AQ＝PQ＝60×1．5＋BQ＝90＋BQ，所以BQ＝PQ－90．在直角△BPQ中，∠BPQ＝30°，则BQ＝PQ·tan30PQ，所以PQ－90PQ，所以PQ＝45(3，所以MN＝PQ＝45(3，在直角△BMN中．∠MBN＝30°，所以BM＝2MN＝90(3，所以t＝(90375＝小时)．【占评】1．将实际问题转化为数学模型，再将数学模型转化为解直角三角形问题；2．当图中无直角三角形时，通过作垂线，可把问题转化为解直角三角形．【例5】某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处调得真立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿同一副面的斜坡AB行走13米至放顶B处，然后两沿水平方向行走6米至大树脚底店D处，涂料面AB的城度(或坡比)＝1：2：4，那么大树CD的高度约为多少？(结果保留小数点后一位，参考数据：sin36°≈0．59，cos36°≈0．81，tan36°≈0．73)图2图1H HCABAB C避风港北PA BMNMBAPQ北避风港EDCBA ABCDEF【解析】过点B作BF⊥AE于点F，则FE＝BD＝6米，∴DE＝BF，∵鞋面AB的放度i＝1：2：4，∴AE ＝2．4BF．设BF＝x米，则AF＝2．4x米，在RT△ABF中，由勾股定理得x2＋(2．4x)2＝132，解得x＝5，∴DE＝BF＝5米，AF＝12米．∴AE＝AF＋FE＝18米，在Rt△ACE中，CE＝AE·tan36°＝18×0．73＝13．14米．CD＝CE－DE＝13．14－5≈8．1米．针对练习11．如图，一般海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A的平分线AD＝4，∠DAC＝30°，解Rt△AB C．解：∵AD平分∠CAB，∠DAC＝30°，∴∠BAD＝30°，∠CAB＝60°，∵∠C＝90°，∴∠B＝30°，∴∠B＝∠BAD，∴BD＝AD＝4，∴在Rt△ACD中，CD＝12AD＝2，∴AC＝AD cos30°＝AB＝2AC ＝BC＝BD＋CD＝6．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，tan∠ACB＝2，点D在△ABC内部，且AD＝CD，∠ADC＝90°，连接BD，若△BCD的面积为10，求AD的长．解：过点D作DH⊥BC于点H，过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DG⊥AM于点G，设CM＝a，∵AB＝AC，∴BC＝2CM＝2a，∵tan∠ACB＝AMCM＝2，∴AM＝2a，AC＝a，S△BDC＝12BC·DH＝BAPDCBADCBA12·2a ·DH ＝10，∴DH ＝10a ，易证四边形DHMG 为矩形，△ADC ≌△CDH ，∴DG ＝DH ＝MG ＝10a，∴AG ＝CH ＝a ＋10a ，∴AG ＝CH ＝a ＋10a ，∴AM ＝AG ＋MG ，即2a ＝a ＋10a ＋10a，∴a 2＝20，在Rt △ADC中，AD 2＋CD 2＝AC 2，又AD ＝CD ，∴2AD 2＝5a 2＝100，AD ＝4．如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC 为78m ，从甲的顶部A 处测得乙的顶部D 处的俯角为48°，测得底部C 处的俯角为58°，求甲、乙两座建筑物的高度AB 和D C ．(结果取整数)(参考数据：tan 48°≈1．11，tan 58≈1．60)解：过点D 作DE ⊥AB ，垂足为点E ，则∠AED ＝∠BED ＝90°，由题意可知BC ＝78m ，∠ADE ＝48°，∠ACB ＝58°，∠ABC ＝90°，∠DCB ＝90°，可得四边形BCDE 为矩形，∴ED ＝BC ＝78m ，DC ＝E B ．在Rt △ABC 中，tan ∠ACB ＝ABBC ，∴AB ＝BC ·tan 58≈78×1．60≈125(m )． 在Rt △AED 中，tan ∠ADE ＝AEED，∴AE ＝ED ·tan 48°≈78×1．11≈87(m )．∴EB ＝AB －AE ＝125－87＝38(m )，∴DC ＝EB ＝38m答：甲建筑物的高度约为125m ，乙建筑物的高度约为38m ．5．为了测量竖直旗杆的高度，某综合实践小组在地面D 处竖直放置标杆CD ，并在地面上水平放置一个平面镜E ，使得点B ，E ，D 在同一水平线上，如图所示。
解直角三角形及其应用
l
α为坡角
h
α
l
铅
α =tan
垂 线
仰角 俯角
水平线
视线
（3）方位角
北
A
30°
西
O
东
45°
B
南
二、题型探究：
问题导入1： 直接考查解直角三角形知识 例 1 如图 X3－1，在△ABC 中，∠A＝30°，∠B＝45°，
AC＝2 3，求 AB 的长．
图 X3－1
例2： 如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选 择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°；在A、C之间 选择一点B(A、B、C三点在同一直线上)，用测角仪测得塔 顶D的仰角为75°，且A、B间的距离为40 m.求塔高CD(结 果用根号表示)．
考点聚焦
归Hale Waihona Puke 探究回归教材三、综合运用
A
D
4
B
CQ E
总结：本节课你学到了那些知识？
作业：完成练习册P130-131(2，3，4， 5)
中考探究：
D A
B
C
专题复习 解直角三角形及应用
一、知识点回顾：
1.两锐角之间的关系:
∠A+∠B=900
解 2.三边之间的关系:
直 a2+b2=c2
角 三 角
Ａ
sinA＝
a c
形
3.边角之间
cosA＝
b c
的关系
tanA＝
a b
Ｂ
c a
bＣ
在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念
（1）仰角和俯角
视线
h
（2）坡度 i ＝
市北资优九年级分册 第25章 25.3 解直角三角形+黄启胜
第二节解直角三角形 25.3解直角三角形 思考：直角三角形ABC 的三条边和两个锐角∠A 、∠B 这五个元素之间有哪些关系？直角三角形的边与角之间的关系(1)两锐角互余：∠A ＋∠B ＝90；(2)三边满足勾股定理：a 2＋b 2＝c 2；(3)边与角关系sin A ＝cos B ＝a c ，cos A ＝sin B ＝b c ，tan A ＝cot B ＝a b ；cot A ＝tan B ＝b a．我们已掌握直角三角形的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．为什么两个已知元素中至少有一条边？由直角三角形全等的判定定理可知，如果给定的直角三角形的一条边和一个锐角，或者给定它的两条边，那么这个直角三角形的形状和大小就完全确定，解直角三角形与确定一个直角三角形所需要的条件是一致的．由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．例1 在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝85，角平分线AD ＝16153，解这个直角三角形．解：在Rt △△ACD 中，∵cos ∠CAD ＝AC AD ＝851615＝3， ∴∠CAD ＝30°．又AD 平分∠CAD ，∴∠CAB ＝60°，∠B ＝30°．在Rt △ACBA 中，∵cos ∠CAB ＝AC AD， ∴AB ＝8512＝165． ∵tan ∠CAB ＝CB AC， ∴CB ＝815．例2 在△ABC 中，已知D 为AB 中点，∠ACB ＝135°，AC ⊥CD ，求sin A 的值．A B CD图25.3.1解：过点D 作DE ∥BC ，交AC 于E ． ∵AD ＝DB ，∴AE ＝CE ．∵∠ACB ＝135°，∠ACD ＝90°，∴∠DCB ＝∠CDE ＝45°．∴∠CED ＝45°，CD ＝CE ．设CD ＝a ，则AC ＝2a ．在Rt △ACD 中，AD ＝22AC CD ＋＝5a ，∴sin A ＝CD AD ＝5a a＝55．例3 在正方形ABCD 中，N 是DC 的中点，M 是AD 上异于D 的点，且∠NMB ＝∠MBC ，求tan ∠ABM 的值．解：如图25.3.3，延长BC 、MN 交于T ，过T 作TO ⊥BM ，设正方形的边长为1．∵AD ∥BC ，∴∠AMB ＝∠OBT ．∵在Rt △ABM 中，cos ∠AMB ＝AM MB， 在Rt △QBT 中，cos ∠OBT ＝OB BT， ∴AM MB ＝OB BT， 又OB ＝12BM ， ∴MB 2＝2AM •BT ．设AM ＝x ，则MB ＝22AM AB ＋＝221x ＋，BT ＝BC ＋CT ＝1＋(1－x )＝2－x ，∴x 2＋1＝2(2—x )x ：．解得x ＝13或x ＝1(舍)． ∴tan ∠ABM ＝13．B A CD图25.3.2 EAD B图25.3.3 M O NC T练习25.3(1) 1．如图，在等腰△ABC 中，底边BC 的中点是点D ，底角的正切值是13，将该等腰三角形绕其腰AC 上的中点M 旋转，使旋转后的D 与点A 重合，得到△A ′B ′C ′，如果旋转后的成边B ′C ′与BC 交子点N ．求∠ANB 的正切值．2．若等腰三角形两腰上的高的和等于底边上的高，求底角的余切值．3．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∠BCD ＝120°，AD ＝2，AB ＝1＋3，求CD 的长度．4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 是BC 上的中线，参cos ∠BAD 与sin ∠BAD 的值．例4 在△ABC 中，BC 菇15，AB ︰AC ＝7︰8，cos C ＝12，求BC 边上的高．分析：由于三角形的高有可能在三角形的内部或外部，因此需要分类讨论．解：如图25.3.4，过点A 作AH ⊥BC ，设AB ＝7k ，AC ＝8k ．①当∠ABC 为锐角时．在Rt △ACH 中，∵cos C ＝12， ∴sin C ＝AH AC＝32， ∴AH ＝43k ．∴cos C ＝HC AC， ∴HC ＝4k ．在Rt △ABH 中，BH ＝22AB AH －＝k ．又BC ＝BH ＋HC ，∴5k ＝15，即k ＝3，∴AH ＝123． CB AD(第1题) MA CDB(第3题) C B A H图25.3.4 CB A H②当∠ABC 为钝角时． 在Rt △ACH 中，∵cos C ＝12， ∴sin C ＝AH AC ＝32， ∴AH ＝43k∵cos C ＝HC AC， ∴HC ＝4k ． 在Rt △ABH 中，BH ＝22AB AH －＝k ．又BC ＝CH －HB ，3k ＝15，即k ＝5，∴AH ＝203综上所述，AH ＝123或AH ＝203．例5 如图25.3.5，在△ABC 中，∠B ＝120°，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，AC ＝7，∠EDC ＝60°，AE ＝BC ，sin A ＝3314，求S 四边形DEBC ．解：延长AB ，过点C 作CH ⊥AB ，交AB 适长线于点H ．在Rt △ACH 中，∵sin A ＝3314， ∴设CH ＝33k ．，AC ＝14k ，则AH ＝22AC CH -＝13k ．∵AC ＝14k ＝7，∴k ＝12，则CH ＝332，AH ＝132．在Rt △BCH 中，sin ∠CBH ＝sin60°＝CH CB， ∴CB ＝3，即AE ＝3．又∠ADE ＝180°—∠EDC ＝120°＝∠B ，∴△ADE ∽△ABC ．∴2949ADE ACB S AE S AC ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△，4049DEBC ACB S S =四边形△． ∵AB ＝AH －BH ＝132－22BC CH -＝132－2794-＝5， ∴S △ACB ＝1534， S 四边形DEBC ＝150349． E D图25.3.5 CBA H练习25.3(2) 1．在△ABC 中，BC ＝6，AC ＝63，∠A ＝30°，求AB 的长．2．在△ABC 中，∠C ＝45°，D 是AC 边上的一点，且∠ADB ＝60°，当AD 与CD 满足什么条件时，能使△ABD ∽△ACB ？3．三角形的两埠长分别为4、5，第三边上的高为3，求这个三角形的面积．4．在△ABC 中，cos A ＝0.8，∠B ＝45°，三角形一边上的高是3，求BC 的长．练习25.3(1)1．342．15 3．CD ＝2 提示：延长BC 、AD 交于点E ．4．cos ∠BAD ＝310，sin ∠MD ＝10， 提示：过点D 作DE ⊥AB 于点E练习25.3(2)1．AB ＝12或62．AD ＝2DC 提示：若相似，则∠ABC ＝∠ADB ＝60°，∠ABD ＝∠C ＝45°．过点A 作AE ⊥BD ，AF ⊥BC ，则AC ＝2AF ＝32AB ，AB ＝2AE ＝32AD ，∴AC ＝32AD 3．()3472+或()3472-4．32，187或152第二节解直角三角形25.3解直角三角形练习25.3(1)1．在△ABC 中，∠A ＝30°，∠C —∠B ＝60°，若BC ＝a ，求AB 的长．2．已知在△ABC 中，AB ＝23，AC ＝2，BC 边上的高为3，求BC 的长．3．如图，在△ABC 中，高CH 是边AB 的一半，且∠B ＝75°，求∠A 的度数．BACH (第3题)。
第25讲 解直角三角形及其应用-讲义
第25讲 │ 考点随堂练
5．在△ABC中，∠C＝90°，已知：c＝8 3，∠A＝60°， 求∠B、a、b.
解： ∠B＝90°－60°＝30°，sinA＝ac， 则sin60°＝8a3，所以a＝sin60°×8 3＝12，
根据勾股定理b＝ c2－a2＝ 8 32－122＝4 3.
第25讲 │ 考点随堂练
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边为
a、b、c，则下列关系式正确的是( C )
A．c＝asinA
B．c＝acosA
C．c＝sinaA
D．c＝coasA
[解析] 因为sinA＝ac，所以c＝sinaA.
第25讲 │ 考点随堂练
3．[2010·新疆]如图25－1(1)是一张Rt△ABC纸片，如果用两张 相同的这种纸片恰好能拼成一个正三角形，如图(2)，那么在 Rt△ABC中，sinB的值是( B )
图25－7
第25讲 │ 考点随堂练
解： 由题意可知，在Rt△ABC中，AB＝500米， ∠ACB＝90°－60°＝30°，
(1)
(2)
图25－1
A.12
B.
3 2
C．1
D.32
[解析] 根据题意，两张相同的这种纸片恰好能拼成一个正三
角形，可知∠B＝60°，则sinB＝
3 2.
第25讲 │ 考点随堂练
4．在直角三角形ABC中，
S△ABC＝96,
∠C＝90°，
sinA＝
3 5
，
求△ABC的三边长．
解： ∵Rt△ABC的面积为96, 则12AC·BC＝96. ∵sinA＝35，∴可设BC＝3x，AB＝5x, 则AC＝4x, ∴12×3x·4x＝96，x＝4, 即AC＝16，BC＝12，AB＝20.
25.3 解直角三角形 课件(华师大版九年级上册) (3)
AE 5 3
在RtADE中，AD 14，
ED AD 2 AE 2 14 2 (5 3 ) 2 11
14
5 B
E
6 D 12
c b 20 34.9. sin B sin 35
议一议
• 在直角三角形中， （1）已知a,b，怎样求∠A的度数？ (2) 已知a,c，怎样求∠A的度数？ （3）已知b,c，怎样求∠A的度数？
A c
b
你能总结一下已知两边解直角三角形的 方法吗？与同伴交流。
（1）利用勾股定理求第三边。
m (D) 米 tan
A
m
C
B
3. (2011∙ 滨州中考 ) 边长为 6cm 的等边三角形中，其一
边上高的长度为________cm.
【解析】一边上的高=6×sin60°= 3 3 【答案】 3 3
4.（2010·重庆中考）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C
＝ 90°， AC ＝ 3 ．点 D 为 BC 边上一点，且 BD ＝ 2AD ， ∠ADC＝60°求△ABC的周长（结果保留根号）
3．解：如图设BC=x， 在Rt△ADF中，AD=180，∠DAF=30°， ∴DF=90，AF=90 3 ． ∵∠BAC=∠ABC=45°， ∴AC=BC=x． ∴BE=BC-EC=x-90． 在Rt△BDE中，∠BDE=60°， 3 3 ∴DE= BE= （ 3 3 x-90）． FC=AC-AF=x-90 3 ． ∵DE=FC， 3 ∴ （ x-90）=x-90 ．
（3）根∠A=60°,∠B=30°,
§2解直角三角形及其应用(第三课时)PPT课件(沪科版)
由题意图示可知∠DAF=30°
A
设DF= x , AD=2x 则在Rt△ADF中，根据勾股定理
60°
B
DF
在Rt△ABF中，
30°
解得x=6
10.4 > 8没有触礁危险
2. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面的铅直高 度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求：
（1）坡角a和β;
lh α
在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算 出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”，把 h1,h2,…,hn相加，于是得到山高h.
以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲” 的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在 今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．
（2）坝顶宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m）
解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90°Biblioteka tan AF i 1：1.5
BF
33.7
i=1:1.5 Bα
AD 6m FE
i=1:3
β
C
在Rt△CDE中，∠CED=90° tan DE i 1: 3 CE
18.4
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
l
h
α
l
h
α
与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡是“曲” 的，怎样解决这样的问题呢？
我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把山坡“化 整为零”地划分为一些小段，图表示其中一部分小段，划分小 段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这 段坡长l1，测出相应的仰角a1，这样就可以算出这段山坡的高度 h1=l1sina1.
解直角三角形及其应用
一.教学内容：解直角三角形及其应用【教学目标】知识与技能：1.掌握利用直角三角形的边角关系，求解直角三角形。
2.会利用解直角三角形解决实际问题。
过程与方法：经历利用解直角三角形解决实际问题的过程，体验用所学的知识解决实际问题。
情感、态度与价值观：进一步积累数学活动的经验，并在学习活动中学会与人合作交流。
二.重点、难点：1.教学重点：（1）掌握直角三角形中的边角关系。
（2）灵活地运用三角函数关系式解直角三角形。
（3）理解坡角、坡度、仰角、俯角、方位角等意义，能根据实际问题构建直角三角形的数学模型。
2.教学难点：运用解直角三角形的方法解决实际问题，关键是能将实际问题转化为数学问题——解直角三角形。
三.主要内容：（一）解直角三角形1.定义：在直角三角形中，由除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
2.直角三角形的边角关系：如图，（3）边角之间的关系：3.解直角三角形的四种基本类型：如下图：已知直角三角形的两个基本元素（至少有一个是边），利用以上关系就可以求出其余的未知元素，其中恰当地选用边角关系是关键。
应注意以下原则：（1）有“斜”选“弦”，无“斜”选“切”。
（2）尽量使未知元素在分子的位置上，以便利用乘法运算求未知元素。
（3）尽量使用原始数据：以减少误差的积累，也可避免由于中间数据有错而产生新的误差。
4.几个常用概念：（1）仰角：在测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫仰角。
（2）俯角：在测量时，从上向下看，视线与水平线的夹角叫俯角。
（3）坡度：（坡比）（如图）坡面的铅直高度（h）和水平长度（l）的比，叫做坡面的坡度。
（4）坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α。
坡度越大，坡角越大，坡面越陡。
（5）方向角（如图）OA：北偏东30°OB：东南方（南偏东45°）OC：南偏西70°OD：北偏西60°东西与南北方向线互相垂直。
5.运用解直角三角形的方法解决实际问题：基本思路：要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的边角关系。
25.4(3)解直角三角形的应用(共18张)
i1＝1∶3
i2=1∶2.5
第12页，共18页。
如图一段路基(lùjī)的横断面是梯形，高为4.2 米，上底的宽是12.51米，路基(lùjī)的坡面与地面 的倾角分别是32°和28°．求路基(lùjī)下底的 宽．（精确到0.1米）
1. 认清图形中的有关线段;
想一想
2. 分析辅助线的作法;
3. 坡角在解题中的作用;
第11页，共18页。
例3
一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽6米， 斜坡CD长为60米，斜坡AB的坡度i1＝1∶3， 斜坡CD的坡度i2=1∶2.5.求：
（1）斜坡CD的坡角与坝底AD的宽度；(长度 精确到0.1米）
（2若堤坝长150米。问建造这个堤坝需用(xū yònɡ) 多少土石方精确到1立方米？
第18页，共18页。
BF 4.2 7.90(米) tan 28
因此 AB＝AE＋EF＋BF
≈6.72＋12.51＋7.90 ≈27.13（米）．
图 19.4.6
答： 路基下底的宽约为27.13米． 第14页，共18页。
如图,沿水库拦水坝的背水坡将坝面 加宽两米,坡度由原来的1:2改成 1:2.5,已知原背水坡长BD=13.4米,
第1页，共18页。
修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸 上都要注明斜坡的倾斜程度.
坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l） 的比叫做坡面坡度（或坡比）. 记作i , 即 i=h .
l
坡度通常写成1∶m的形式，如 i=1∶6.坡面与 水平面的夹角叫做坡 角，记作a，有 i＝ h 大，坡面就越陡.
第5页，共18页。
练习1、一传送带和地面所成斜坡的坡度为 1∶2，它把物体(wùtǐ)从地面送到离地面9米高 的地方，求物体(wùtǐ)所经过的路程（精确到 0.1米）
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0° Sinαຫໍສະໝຸດ 30°45°60°
90°
Cosα
tanα
㈤锐角α的三角函数值 的符号及变化规律 (1)锐角α的三角函数值都是正值 (2)若0≤α≤90° 则Sinα，tgα随α的增大而增大，Cosα，随α的增大而减小。 ㈥解直角三角形 (1)直角三角形中的元素：除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角。 (2)解直 角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未 知的元素 的过程叫做解直角三角形。
巩固提高 复习题B组：第1题、第2题、第3题、第4题 拓展应用 如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的 B处，经16 小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40 海里／时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边 界)均受到影响. (1)问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由. (2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?(供选用数据： ≈1.7 ) 2 ≈1.4，
㈦解直角三角形的应用 解直角三角形的应用，主要是测量两点间的距离，测量物体的高度等，常 用到下面几个概念： (1)仰角、俯角视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角， 在水平线下方的叫做俯角 (2)坡度：坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度，常用字母i表示， 即i＝ h L (3)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角， 用字母α 表示则tanα ＝i＝ h L (4)方向角： 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角。 (5)方位角：从某点的指北方向线，按顺时针方向转到目标方向线所成的角。
sin A 商的关系：tanA＝ cos A
互为余角的函数之间的关系： sin(90°－A)＝cosA，cos(90°－A)＝sinA ㈢直角三角形中的边角关系 三边之间的关系：a2＋b2＝c2 锐角之间的关系 ：∠A＋∠B＝90° 边角之间的关系 ：sinA＝cosB，cosA＝sinB
㈣一些特殊角的三角函数值：
例题讲解 【例1】 如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的 方向前进50m至B处.测得仰角为60°.那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计， 结果精确到1 m)
【例2】 如图，水库大坝的截面是梯形ABCD，坝顶AD＝6 m，坡长CD＝8 m.坡底 BC＝30 m，∠ADC＝135°. (1)求∠ABC的大小： (2)如果坝长100 m.那么建筑这个大坝共需多少土石料?(结果精确到0.01 m3)
a sinA＝ c
(2)角A的余弦：锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，
b 即cosA＝ c
(3)角A的正切：锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA， 即tanA＝
a b
㈡三角函数的关系：
平方关系：sinA2＋cosA2＝1
倒数关系：tanA· tan（90°－A）＝1
第25章 解直角三角形
25.3 解直角三角形及其应用（3）
情景导入 前面学习过特殊角的三角函数值、利用三角函数测量高度， 并解决实际问题。本节课将通过几个问题巩固说学的知识点。 温故知新 ㈠三角函数定义： 如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则锐角A 的各三角函数的定义如下： (1)角A的正弦：锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即
3
小结: 本章的重点是直角三角形中锐角三角函数的定义，特殊锐角与其三角函数值之间 的对应关系，及互余两角的三角函数关系，运用这些知识解直角三角形的实际应 用，既是重点也是难点。 解直角三角形在实际应用中的解题步骤如下： (1)审题：要弄清仰角，俯角，坡度，坡角，水平距离，垂直距离，水平等概念的 意义，要审清题意。 (2)画图并构造要求解的直角三角形，对于非直角三角形的图形可添加适当的辅助 线把它们分割成一些直角三角形和矩形(包括正方形)。 (3)选择合适的边角关系式，使运算尽可能简便，不易出错。 (4)按照题中已知数的精确度进行近似计算，并按照题目要求的精确度确定答案及 注明单位 布置作业 复习题B组：第4题、第5题、第6题、第7题