数学(理)一轮教学案：第八章第1讲 空间几何体的三视图、表面积和体积 Word版含解析

第八章立体几何第1讲空间几何体的三视图、表面积和体积考纲展示命题探究考点一三视图与直观图1多面体的图形与结构特征2旋转体的图形与结构特征光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图(或主视图)；光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图(或左视图)；光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图．几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图．三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．4三视图的长度特征“长对正、宽相等、高平齐”，即正视图和俯视图长对正，侧视图和俯视图宽相等，正视图和侧视图高平齐．5用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．6用斜二测画法画空间几何体的直观图空间几何体的直观图要比平面图形的直观图多画一个z轴，z轴是与空间几何体的高平行的．注意点画三视图时注意的问题(1)画三视图时，能看见的线和棱用实线表示，不能看见的线和棱用虚线表示．(2)一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同.1．思维辨析(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．()(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.()(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．()(5)底面是正方形的四棱柱为正四棱柱．()(6)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)×2．如图，直观图所表示的平面图形是()A．正三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形答案 D解析由直观图中，A′C′∥y′轴，B′C′∥x′轴，还原后如图AC∥y轴，BC∥x轴．所以△ABC是直角三角形．故选D.3．如图是正方体截去阴影部分所得的几何体，则该几何体的侧视图是()答案 C解析此几何体侧视图是从左边向右边看，故C符合题意．[考法综述]柱、锥、台、球的定义和相关性质是立体几何初步的基础，尤其是它们的结构特征，主要是培养学生的空间想象能力和应用图形语言交流的能力，通过三视图可以画出其三视图或由直观图识别三视图，并进行相关的计算．命题法空间几何体的结构特征、三视图及直观图典例(1)给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；④若四棱柱有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；⑤存在每个面都是直角三角形的四面体；⑥棱台的侧棱延长后交于一点．其中正确命题的序号是()A．①②③④B．②③④⑤C．③④⑤⑥D．①②③④⑤⑥(2)如图，多面体ABCD－EFG的底面ABCD为正方形，FC＝GD ＝2EA，其俯视图如下，则其正视图和侧视图正确的是()[解析](1)①错误，因为棱柱的侧面不一定是全等的平行四边形；②错误，必须用平行于底面的平面去截棱锥，才能得到棱台；③正确，根据面面垂直的判定定理判断；④正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；⑤正确，如图所示，正方体AC1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形；⑥正确，由棱台的概念可知，因此，正确命题的序号是③④⑤⑥.(2)正视图中两条投影落在长方形内，侧视图中被遮挡的线条用“虚线”．[答案](1)C(2)D【解题法】三视图问题的解题策略(1)由三视图还原直观图的方法①还原后的几何体一般为较熟悉的柱、锥、台、球的组合体．②注意图中实、虚线，实际是原几何体中的可视线与被遮挡线．③想象原形，并画出草图后进行三视图还原，把握三视图和几何体之间的关系，与所给三视图比较，通过调整准确画出原几何体．(2)已知三视图中的某两个，求余下一个的三视图的方法先根据已知的三视图中的某两个，还原、推测直观图的可能形式，找余下一个三视图的可能形式．作为选择题，也可将选项依次代入，再看看给出的三视图是否符合．1.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝()A．1 B．2C．4 D．8答案 B解析由三视图可知，此组合体是由半个圆柱与半个球体组合而成的，其表面积为πr2＋2πr2＋4r2＋2πr2＝20π＋16，所以r＝2，故选B.2．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.18B.17C.16D.15答案 D解析 如图，不妨设正方体的棱长为1，则截去部分为三棱锥A －A 1B 1D 1，其体积为16，又正方体的体积为1，则剩余部分的体积为56，故所求比值为15.故选D.3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )A．6 2 B．6C．4 2 D．4答案 B解析如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4.取B1B的中点G，即三棱锥G－CC1D1为满足要求的几何体，其中最长棱为D1G，D1G＝(42)2＋22＝6.4．在空间直角坐标系O－xyz中，已知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(1,1，2)．若S1，S2，S3分别是三棱锥D－ABC在xOy，yOz，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则()A．S1＝S2＝S3B．S2＝S1且S2≠S3C．S3＝S1且S3≠S2D．S3＝S2且S3≠S1答案 D解析 三棱锥D －ABC 如图所示． S 1＝S △ABC ＝12×2×2＝2， S 2＝12×2×2＝2， S 3＝12×2×2＝2， ∴S 2＝S 3且S 1≠S 3，故选D.5.一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )答案 B解析 俯视图为在水平投射面上的正投影，结合几何体可知选B.6．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( ) A ．圆柱B ．圆锥C ．四面体D ．三棱柱答案 A解析 因为圆锥、四面体、三棱柱的正视图均可以是三角形，而圆柱无论从哪个方向看均不可能是三角形，所以选A.7．已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为( )A.34a 2B.38a 2C.68a 2D.616a 2答案 D解析 如图①、②所示的平面图形和直观图．由②可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ， 在图②中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′， 则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a .∴S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2.8．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是( )A ．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B ．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C ．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D ．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上答案 B解析因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等，所以它的顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等，故A，C正确，且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等，故D正确，B不正确，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立，故选B.9．给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3答案 A解析①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图1所示；③不一定是．当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图2所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．10．已知一三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为( )答案 C解析 由已知条件得直观图如图所示，正视图是直角三角形，中间的线是看不见的线P A 形成的投影，应为虚线．故选C.11．如图，三棱锥V －ABC 的底面为正三角形，侧面VAC 与底面垂直且VA ＝VC ，已知其正视图的面积为23，则其侧视图的面积为( )A.32B.33C.34D.36答案 B解析 设三棱锥V －ABC 的底面边长为a ，侧面VAC 边AC 上的高为h ，则ah ＝43，其侧视图是由底面三角形ABC 边AC 上的高与侧面三角形VAC 边AC 上的高组成的直角三角形，其面积为12×32×43＝33，故选B.考点二 表面积1 多面体的侧面积和表面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面积的和．2 旋转体的侧面积和表面积(1)若圆柱的底面半径为r ，母线长为l ，则 S 侧＝2πrl ，S 表＝2πr (r ＋l )．(2)若圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则 S 侧＝πrl ，S 表＝πr (r ＋l )．(3)若圆台的上、下底面半径分别为r ′，r ，则 S 侧＝π(r ＋r ′)l ，S 表＝π(r 2＋r ′2＋r ′l ＋rl )． (4)若球的半径为R ，则它的表面积S ＝4πR 2. 注意点 侧面积与表面积的区别与联系(1)几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和．(2)对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行，要特别留意根据几何体侧面展开图的平面图形的特点来求解相关问题．(3)组合体的表面积应注意重合部分的处理.1．思维辨析(1)圆柱的侧面展开图是矩形．( ) (2)三棱锥的侧面展开图是一个三角形．( ) (3)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)√2．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是( )A ．32B ．16＋16 2C ．48D ．16＋32 2答案 B解析 由三视图知，四棱锥是底面边长为4，高为2的正四棱锥，∴四棱锥的表面积是16＋4×12×4×22＝16＋162，故选B.3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．答案38解析由三视图可知该几何体为一个长方体从中间挖掉了一个圆柱，长方体表面积为2×(4×3＋3×1＋4×1)＝38，圆柱的侧面积为2π，上下两个底面积和为2π，所以该几何体的表面积为38＋2π－2π＝38.[考法综述]高考对空间几何体的表面积的考查，主要借助于三视图和不规则图形，而不是单纯应用公式，因此在掌握柱、锥、台、球的表面积公式及其推导过程的基础上，还要掌握一些组合体表面积的处理方法．命题法根据几何体的特征或三视图求表面积典例某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．180 B．200C．220 D．240[解析]由三视图知该几何体是如图所示的四棱柱ABCD－A1B1C1D1.[答案] D【解题法】几何体的表面积的求法(1)已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开成平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋4 答案 D解析 由所给三视图可知，该几何体是圆柱从底面圆直径处垂直切了一半，故该几何体的表面积为12×2π×1×2＋2×12×π×12＋2×2＝3π＋4，故选D.2．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A．1＋ 3 B．2＋ 3C．1＋2 2 D．2 2答案 B解析在长、宽、高分别为2、1、1的长方体中，该四面体是如图所示的三棱锥P－ABC，表面积为12×1×2×2＋34×(2)2×2＝2＋ 3.3.已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A．36π B．64πC．144π D．256π答案 C解析 如图，设点C 到平面OAB 的距离为h ，球O 的半径为R ，因为∠AOB ＝90°，所以S △OAB ＝12R 2，要使V O －ABC ＝13·S △OAB ·h 最大，则OA ，OB ，OC 应两两垂直，且(V O －ABC )max ＝13×12R 2×R ＝16R 3＝36，此时R ＝6，所以球O 的表面积为S 球＝4πR 2＝144π.故选C.4．某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为( 材料利用率＝新工件的体积原工件的体积)( )A.89πB.169πC.4(2－1)3πD.12(2－1)3π答案 A解析 解法一：由圆锥的对称性可知，要使其内接长方体最大，则底面为正方形，令此长方体底面对角线长为2x ，高为h ，则由三角形相似可得，x 1＝2－h2，所以h ＝2－2x ，x ∈(0,1)，长方体体积为V 长方体＝(2x )2h ＝2x 2(2－2x )≤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋x ＋2－2x 33＝1627，当且仅当x ＝2－2x ，即x ＝23时取等号，V 圆锥＝13π×12×2＝2π3，故材料利用率为16272π3＝89π，选A.解法二：由圆锥的对称性可知，要使其内接长方体最大，则底面为正方形，令此长方体底面对角线长为2x ，高为h ，则由三角形相似可得，x 1＝2－h2，所以h ＝2－2x ，x ∈(0,1)，长方体体积为V 长方体＝(2x )2h ＝2x 2(2－2x )＝－4x 3＋4x 2，令V ′长方体＝－12x 2＋8x ＝0，得x ＝23，故当x ＝23时，(V 长方体)max ＝1627，V 圆锥＝13π×12×2＝2π3，故材料利用率为16272π3＝89π，选A. 5.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A ．21＋ 3B ．18＋ 3C ．21D ．18答案 A解析 由三视图知，该多面体是由正方体割去两个角所成的图形，如图所示，则S ＝S 正方体－2S 三棱锥侧＋2S 三棱锥底＝24－2×3×12×1×1＋2×34×(2)2＝21＋ 3.6．某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )A ．90 cm 2B ．129 cm 2C ．132 cm 2D ．138 cm 2答案 D解析 由题干中的三视图可得原几何体如图所示．故该几何体的表面积S ＝2×4×6＋2×3×4＋3×6＋3×3＋3×4＋3×5＋2×12×3×4＝138(cm 2)．故选D.7．正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4 B ．16π C ．9π D.27π4答案 A解析 由图知，R 2＝(4－R )2＋2，∴R 2＝16－8R ＋R 2＋2，∴R ＝94，∴S 表＝4πR 2＝4π×8116＝814π，选A.8．一个几何体的三视图如图所示，则几何体的表面积是( )A ．6＋8 3B ．12＋7 3C ．12＋8 3D ．18＋2 3答案 C解析 该空间几何体是一个三棱柱．底面等腰三角形的高是1，两腰长为2，所以其底边长是23，两个底面三角形的面积之和是23，侧面积是(2＋2＋23)×3＝12＋63，故其表面积是12＋8 3.故选C.考点三体积空间几何体的体积公式注意点求几何体体积的注意事项(1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法将几何体转化成已知体积公式的几何体进行解决．(2)求与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及数据的准确性.1．思维辨析(1)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算．( ) (2)锥体的体积等于底面积与高之积．( ) (3)球的体积之比等于半径比的平方．( )(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．( )(5)长方体既有外接球又有内切球．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)×2．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )A ．8－2π3 B ．8－π3 C ．8－2π D.2π3答案 A解析 由几何体的三视图可知该几何体为一个组合体，即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是V ＝23－13×π×12×2＝8－2π3.3．三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，P A ＝3，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥P －ABC 的体积等于________．答案3解析 由题意得，V P －ABC ＝13·S △ABC ·P A ＝13×34×22×3＝ 3.[考法综述] 高考中几何体体积的计算是几何体相关问题中出题频率较高的，考查形式大致有两类：①由三视图求相关几何体的体积；②根据几何体的特征求常规几何体、组合体或旋转体的体积．命题法 求空间几何体的体积典例 (1)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.8π3 B ．3π C.10π3D ．6π(2)已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )A.26B.36C.23D.22[解析] (1)由三视图可知，此几何体为如图所示是底面半径为1，高为4的圆柱被截去了圆柱的14，所以其体积V ＝πr 2·h ·34＝π·12·4·34＝3π，故选B.(2)因为△ABC 是边长为1的正三角形，且球半径为1，所以四面体O －ABC 为正四面体，所以△ABC 的外接圆的半径为33，所以点O 到面ABC 的距离为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝63，所以三棱锥S －ABC 的高为263，所以三棱锥S －ABC 的体积为13×12×1×32×263＝26，选A.[答案] (1)B (2)A【解题法】 几何体体积的求法和与球有关的切接问题处理方法(1)简单几何体体积的求解方法求简单几何体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式进行计算．求几何体体积的常用方法有割补法和等积变换法．①割补法：求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体、锥体等，分别求出柱体、锥体等的体积，从而得出几何体的体积．②等积变换法：以三棱锥为例，利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等积变换．注意：a.求体积时，可选择容易计算的方式来求解；b．利用“等积性”可求“点到面的距离”．(2)与球有关的切、接问题的处理方法①求球的表面积或体积的关键是求出球的半径．反之，若已知球的表面积或体积，那么就可以得到球的半径．求球半径常用的方法有两个：a．根据球心到内接多面体各顶点的距离相等确定球心，然后求出半径；b．依据已知的线线或线面之间的关系推理出球心位置，然后求出半径．②处理与几何体外接球有关的问题时，一般需依据球和几何体的对称性，确定球心与几何体的特殊点间的关系．解决与棱柱有关的问题时需注意运用棱柱的体对角线即为外接球直径这一知识．1．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛答案 B解析 设圆锥底面的半径为R 尺，由14×2πR ＝8得R ＝16π，从而米堆的体积V ＝14×13πR 2×5＝3203π(立方尺)，因此堆放的米约有3203×1.62π≈22(斛)．故选B.2．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A ．8 cm 3B ．12 cm 3 C.323 cm 3D.403 cm 3答案 C解析 该几何体是由棱长为2的正方体和底面边长为2，高为2的正四棱锥组合而成的几何体．故其体积为V ＝2×2×2＋13×2×2×2＝323 cm 3.3.在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2π3B.4π3C.5π3 D ．2π答案 C解析 如图，过点D 作BC 的垂线，垂足为H .则由旋转体的定义可知，该梯形绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为一个圆柱挖去一个圆锥．其中圆柱的底面半径R ＝AB ＝1，高h 1＝BC ＝2，其体积V 1＝πR 2h 1＝π×12×2＝2π；圆锥的底面半径r ＝DH ＝1，高h 2＝1，其体积V 2＝13πr 2h 2＝13π×12×1＝π3.故所求几何体的体积为V ＝V 1－V 2＝2π－π3＝5π3.故选C. 4．如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A.1727B.59C.1027D.13答案 C解析 由三视图知该零件是两个圆柱的组合体．一个圆柱的底面半径为2 cm ，高为4 cm ；另一个圆柱的底面半径为3 cm ，高为2 cm.则零件的体积V 1＝π×22×4＋π×32×2＝34π(cm 3)．而毛坯的体积V ＝π×32×6＝54π (cm 3)，因此切削掉部分的体积V 2＝V －V 1＝54π－34π＝20π(cm 3)，所以V 2V ＝20π54π＝1027.故选C.5．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．8－2πB ．8－πC ．8－π2 D ．8－π4答案 B解析 由三视图知，原几何体是棱长为2的正方体挖去两个底面半径为1，高为2的四分之一圆柱，故几何体的体积为8－2×π×2×14＝8－π.故选B.6．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258C.15750D.355113答案 B解析 由题意可知：L ＝2πr ，即r ＝L 2π，圆锥体积V ＝13Sh ＝13πr 2h ＝13π·⎝ ⎛⎭⎪⎫L 2π2h ＝112πL 2h ≈275L 2h ，故112π≈275，π≈258，故选B. 7．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( )A.32π3 B ．4π C ．2π D.4π3 答案 D解析 依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径R，则2R＝12＋12＋(2)2＝2，解得R＝1，所以V＝4π3R3＝4π3.8．一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于()A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析由三视图可得原石材为如下图所示的直三棱柱A1B1C1－ABC，且AB＝8，BC＝6，BB1＝12，AC＝82＋62＝10.若要得到半径最大的球，则此球与平面A1B1BA，BCC1B1，ACC1A1相切，故此时球的半径与△ABC内切圆的半径相等，故半径r＝6＋8－102＝2.故选B.9.一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.答案 8π3解析 由三视图可得该几何体是由两个圆锥和一个圆柱构成的组合体，圆柱的底面圆的半径为1 m ，高为2 m ，圆锥的底面圆的半径和高都是1 m ，且圆锥的底面分别与圆柱的两个底面重合，故该组合体的体积为2π＋2×13π＝8π3(m 3)．10．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．答案7解析 底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱的总体积为13π×52×4＋π×22×8＝196π3.设新的圆锥和圆柱的底面半径为r ，则13π×r 2×4＋π×r 2×8＝28π3r 2＝196π3，解得r ＝7.11．三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D －ABE 的体积为V 1，P －ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________.答案 14解析 由题意知，V D －ABE ＝V A －BDE ＝V 1， V P －ABC ＝V A －PBC ＝V 2.因为D ，E 分别为PB ，PC 中点，所以S △BDE S △PBC ＝14.设点A 到平面PBC 的距离为d ， 则V 1V 2＝13S △BDE·d13S △PBC ·d ＝S △BDE S △PBC ＝14.12．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1、S 2，体积分别为V 1、V 2，若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________．答案 32解析 设甲、乙两个圆柱底面半径和高分别为r 1，h 1，r 2，h 2，则2πr 1h 1＝2πr 2h 2，h 1h 2＝r 2r 1.又S 1S 2＝πr 21πr 22＝94，所以r 1r 2＝32，则V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝r 21r 22·h 1h 2＝r 1r 2＝32. 13．已知三棱锥P －ABC 的各顶点均在一个半径为R 的球面上，球心O 在AB 上，PO ⊥平面ABC ，ACBC ＝3，则三棱锥与球的体积之比为________．答案3∶8π解析 如图，依题意，AB ＝2R ，又ACBC ＝3，∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＝30°，因此AC ＝3R ，BC ＝R ，V P －ABC ＝13PO ·S △ABC ＝13×R ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×3R ×R ＝36R 3.而V 球＝4π3R 3，因此V P －ABC ∶V 球＝36R 3∶4π3R 3＝3∶8π.在如图所示的空间直角坐标系O －xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )A ．①和②B ．③和①C ．④和③D ．④和② [错解][错因分析] (1)不能由点的坐标确定点在空间直角坐标系中的位置．(2)不能借助于正方体，由空间几何体的直观图得到它的三视图．(3)受思维定势的影响，直观感觉正视图为三角形，而无法作出选择．[正解]在空间直角坐标系中构建棱长为2的正方体，设A(0，0,2)，B(2,2,0)，C(1,2,1)，D(2,2，2)，则ABCD即为满足条件的四面体，得出正视图和俯视图分别为④和②，故选D.[答案] D[心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：45分钟基础组1.[2016·衡水中学猜题]一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱答案 D解析∵圆柱的三视图中有两个矩形和一个圆，∴这个几何体不可以是圆柱．2．[2016·衡水中学一轮检测]如图所示，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的正视图是()答案 B解析通过观察图形，三棱锥的正视图应为高为4，底面边长为3的直角三角形．3．[2016·冀州中学模拟]某几何体的三视图如图(其中侧视图中的圆弧是半圆)，则该几何体的表面积为()A．92＋14π B．82＋14πC．92＋24π D．82＋24π答案 A解析易知该几何体是长方体与半个圆柱的组合体．其表面积S ＝4×5＋2×4×5＋2×4×4＋π×22＋π×2×5＝92＋14π，故选A.4．[2016·衡水二中周测]一个空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为()A．48 B．48＋817C．32＋817 D．80答案 B解析观察三视图可知，该几何体为四棱柱，底面为梯形，两底边长分别为2,4，高为4，底面梯形的腰长为42＋12＝17，棱柱的高为 4.该几何体的表面积为12×(2＋4)×4×2＋2×17×4＋2×4＋4×4＝48＋817.故选B.5．[2016·枣强中学仿真]若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()答案 D解析A的正视图，俯视图不对，故A错．B的正视图，侧视图不对，故B错．C的侧视图，俯视图不对，故C错，故选D.6．[2016·衡水二中月考]已知正三角形ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是()。