备战2018年中考数学(人教版)《一元二次方程的根与系数的关系》专题复习含答案
2018-2019学年最新人教版九年级数学上册：一元二次方程的根与系数的关系及答案-精品试题
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系预习要点：1．一元二次方程的两个根x 1、x 2和系数a 、b 、c 的关系：。
2．（2016•黄冈）若方程3x 2−4x −4=0的两个实数根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2=（ ）A ．−4B ．3C ．−43D ．433．（2016•永丰县一模）已知x 1、x 2是一元二次方程x 2−4x+1=0的两个根，则x 1•x 2等于（ ） A ．−4B ．−1C ．1D ．44．（2016•凉山州）已知x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6−2x 的两根，则x 1−x 1x 2+x 2的值是（ ） A ．−43B ．83C ．−83D ．435．（2016•玉林）关于x 的一元二次方程：x 2−4x −m 2=0有两个实数根x 1、x 2，则m 2（1x 1 +1x 2 ）=（ ） A ．m 44B ．−m 44C ．4D ．−46．（2016•烟台）若x 1，x 2是一元二次方程x 2−2x −1=0的两个根，则x 12−x 1+x 2的值为（ ） A ．−1B ．0C ．2D ．37．（2016•南京）设x 1、x 2是方程x 2−4x+m=0的两个根，且x 1+x 2−x 1x 2=1，则x 1+x 2=，m=．8．（2016•宜宾）已知一元二次方程x 2+3x −4=0的两根为x 1、x 2，则x 12+x 1x 2+x 22=．9．（2016•德州）方程2x 2−3x −1=0的两根为x 1，x 2，则x 12+x 22= ．同步小题12道一．选择题1．（2016•黄冈模拟）一元二次方程x 2−3x+2=0 的两根分别是x 1、x 2，则x 1+x 2的值是（ ） A ．3B ．2C ．−3D ．−22．（2016•江西）设α、β是一元二次方程x 2+2x −1=0的两个根，则αβ的值是（ ） A ．2B ．1C ．−2D ．−13．（2016•金华）一元二次方程x 2−3x −2=0的两根为x 1，x 2，则下列结论正确的是（ ） A ．x 1=−1，x 2=2B ．x 1=1，x 2=−2 C ．x 1+x 2=3D ．x 1x 2=24．（2016•威海）已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2+ax −2b=0的两实数根，且x 1+x 2=−2，x 1•x 2=1，则b a 的值是（ ） A ．14B ．−14C ．4D ．−15．（2016•枣庄）已知关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为−2，则另一个根为（ ） A ．5B ．−1C ．2D ．−56．（2016•宁津县二模）已知a 、b 是一元二次方程x 2−3x −2=0的两根，那么1a +1b 的值为（ ） A ．23B ．32C ．−23D ．−32二．填空题7．（2016•黄石）关于x 的一元二次方程x 2+2x −2m+1=0的两实数根之积为负，则实数m 的取值范围是．8．（2016•亭湖区一模）一元二次方程x 2+mx+2m=0的两个实根分别为x 1，x 2，若x 1+x 2=1，则x 1x 2=．9．（2016•南京一模）已知方程x 2−6x+m=0有一个根是2，则另一个根是 ，m=．10．（2016•眉山）设m 、n 是一元二次方程x 2+2x −7=0的两个根，则m 2+3m+n= ．三．解答题11．（2016•潍坊）关于x 的方程3x 2+mx −8=0有一个根是23 ，求另一个根及m 的值．12．（2016•绥化）关于x 的一元二次方程x 2+2x+2m=0有两个不相等的实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若x 1，x 2是一元二次方程x 2+2x+2m=0的两个根，且x 12+x 22=8，求m 的值．21.2.4一元二次方程的根与系数的关系预习要点：1．x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=ca2．【分析】由方程的各系数结合根与系数的关系可得出“x 1+x 2=43 ，x 1•x 2=−43 ”，由此即可得出结论．【解答】解：∵方程3x 2−4x −4=0的两个实数根分别为x 1，x 2，∴x 1+x 2=−b a =43 ，x 1•x 2=ca=−43 ． 故选D3．【分析】直接根据根与系数的关系求解． 【解答】解：根据题意得x 1•x 2=1． 故选C4．【分析】由x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6−2x 的两根，结合根与系数的关系可得出x 1+x 2=−23 ，x 1•x 2=−2，将其代入x 1−x 1x 2+x 2中即可算出结果．【解答】解：∵x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6−2x 的两根，∴x 1+x 2=−b a =−23 ，x 1•x 2=ca=−2，∴x 1−x 1x 2+x 2=−23 −（−2）=43 ．故选D5．【分析】根据所给一元二次方程，写出韦达定理，代入所求式子化简．【解答】解：∵x 2−4x −m 2=0有两个实数根x 1、x 2，∴⎩⎨⎧ x 1+x 2＝4 x 1x 2＝−m2，∴则m 2（1x 1 +1x 2 ）=m 2•x 1+x 2x 1x 2 =m 2•4−m 2=−4．6．【分析】由根与系数的关系得出“x 1+x 2=2，x 1•x 2=−1”，将代数式x 12−x 1+x 2变形为x 12−2x 1−1+x 1+1+x 2，套入数据即可得出结论．【解答】解：∵x 1，x 2是一元二次方程x 2−2x −1=0的两个根，∴x 1+x 2=−b a =2，x 1•x 2=ca=−1．x 12−x 1+x 2=x 12−2x 1−1+x 1+1+x 2=1+x 1+x 2=1+2=3． 故选D7．【分析】根据根与系数的关系找出x 1+x 2=−b a =4，x 1x 2=ca =m ，将其代入等式x 1+x 2−x 1x 2=1中得出关于m 的一元一次方程，解方程即可得出m 的值，从而此题得解． 【解答】解：∵x 1、x 2是方程x 2−4x+m=0的两个根，∴x 1+x 2=−b a =4，x 1x 2=ca=m ．∵x 1+x 2−x 1x 2=4−m=1，∴m=3． 答案：4；3．8．【分析】根据根与系数的关系得到x 1+x 2=−3，x 1x 2=−4，再利用完全平方公式变形得到x 12+x 1x 2+x 22=（x 1+x 2）2−x 1x 2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据题意得x 1+x 2=−3，x 1x 2=−4，所以x 12+x 1x 2+x 22=（x 1+x 2）2−x 1x 2=（−3）2−（−4）=13． 答案：13．9．【分析】根据根与系数的关系得出“x 1+x 2=−b a =32 ，x 1•x 2=c a =−12 ”，再利用完全平方公式将x 12+x 22转化成(x 1+x 2)2−2x 1•x 2，代入数据即可得出结论．【解答】解：∵方程2x 2−3x −1=0的两根为x 1，x 2，∴x 1+x 2=−b a =32 ，x 1•x 2=c a =−12 ，∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1•x 2=(32 )2−2×（−12 ）=134 ．答案：134 ．同步小题12道1．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求则可．设x 1，x 2是关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）的两个实数根，则x 1+x 2=−b a ，x 1x 2=ca ．【解答】解：这里a=1，b=−3，则x 1+x 2=−ba =3， 故选A2．【分析】根据α、β是一元二次方程x 2+2x −1=0的两个根，由根与系数的关系可以求得αβ的值，本题得以解决．【解答】解：∵α、β是一元二次方程x 2+2x −1=0的两个根，∴αβ=−11 ＝−1，故选D3．【分析】根据根与系数的关系找出“x 1+x 2=−b a =3，x 1•x 2=ca =−2”，再结合四个选项即可得出结论．【解答】解：∵方程x 2−3x −2=0的两根为x 1，x 2，∴x 1+x 2=−b a =3，x 1•x 2=ca =−2，∴C 选项正确． 故选C4．【分析】根据根与系数的关系和已知x 1+x 2和x 1•x 2的值，可求a 、b 的值，再代入求值即可．【解答】解：∵x 1，x 2是关于x 的方程x 2+ax −2b=0的两实数根，∴x 1+x 2=−a=−2，x 1•x 2=−2b=1，解得a=2，b=−12 ，∴b a =（−12 ）2=14 ．故选：A5．【分析】根据关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为−2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．【解答】解：∵关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为−2，设另一个根为m ，∴−2+m=−31 ，解得，m=−1， 故选B6．【分析】根据1a +1b ＝b ab +a ab ＝a+bab ，由一元二次方程的根与系数之间的关系求得两根之积与两根之和，代入数值计算即可【解答】解：∵方程x 2−3x −2=0的两根为a ，b ，∴a+b=3，ab=−2，∴1a +1b ＝b ab +aab＝a+b ab =−32 ． 故选：D7．【分析】设x 1、x 2为方程x 2+2x −2m+1=0的两个实数根．由方程有实数根以及两根之积为负可得出关于m 的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【解答】解：设x 1、x 2为方程x 2+2x −2m+1=0的两个实数根，由已知得：⎩⎨⎧ △≥0 x 1•x 2＜0 ，即⎩⎨⎧ 8m≥0 −2m+1＜0 解得：m ＞12 ．答案：m ＞12 ．8．【分析】根据根与系数的关系得到x 1+x 2=−m=1，x 1x 2=2m ，先求出m 的值，然后计算x 1x 2的值．【解答】解：根据题意得x 1+x 2=−m=1，x 1x 2=2m ，所以m=−1，所以x 1x 2=−2． 答案：−2．9．【分析】利用根与系数的关系先求出另一根，再利用根与系数的关系即可求出m 的值． 【解答】解：设另一根为a ，由根与系数的关系可得2+a=6，解得a=4，可得m=2×4=8． 答案：810．【分析】根据根与系数的关系可知m+n=−2，又知m 是方程的根，所以可得m 2+2m −7=0，最后可将m 2+3m+n 变成m 2+2m+m+n ，最终可得答案．【解答】解：∵设m 、n 是一元二次方程x 2+2x −7=0的两个根，∴m+n=−2，∵m 是原方程的根，∴m 2+2m −7=0，即m 2+2m=7，∴m 2+3m+n=m 2+2m+m+n=7−2=5， 答案：5．11．【分析】由于x=23 是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出m 的值，然后由根与系数的关系来求方程的另一根． 【解答】解：设方程的另一根为t ． 依题意得：3×（23 ）2+23 m −8=0， 解得m=10． 又23 t=−83 ， 所以t=−4．综上所述，另一个根是−4，m 的值为10．12．【分析】（1）根据方程根的个数结合根的判别式，可得出关于m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）根据方程的解析式结合根与系数的关系找出x 1+x 2=−2，x 1•x 2=2m ，再结合完全平方公式可得出x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1•x 2，代入数据即可得出关于关于m 的一元一次方程，解方程即可求出m 的值，经验值m=−1符合题意，此题得解． 解：（1）∵一元二次方程x 2+2x+2m=0有两个不相等的实数根， ∴△=22−4×1×2m=4−8m ＞0， 解得：m ＜12 ．∴m 的取值范围为m ＜12 ．（2）∵x 1，x 2是一元二次方程x 2+2x+2m=0的两个根， ∴x 1+x 2=−2，x 1•x 2=2m ，∴x12+x22=(x1+x2)2−2x1•x2=4−4m=8，解得：m=−1．当m=−1时，△=4−8m=12＞0．∴m的值为−1．。
中考数学专项练习一元二次方程系数与根的关系(含解析)
中考数学专项练习一元二次方程系数与根的关系（含解析）一、单选题1.若、是一元二次方程的两根，则的值是（）A.-2B.2C.3D.12.一元二次方程x2+3x﹣a=0的一个根为﹣1，则另一个根为（）A.﹣2B.2C.4D.﹣33.已知方程x2-5x+2=0的两个解分别为m，n，则m+n-mn的值是（）A.-7B.-3C.7D.34.若关于x一元二次方程x2﹣x﹣m+2=0的两根x1 ，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣1，则m的值为（）A.3B.-3C.2D.-25.下列方程中：①x2-2x-1=0，②2x2-7x+2=0，③x2-x+1=0两根互为倒数有（）A.0个B.1个C.2个D.3个6.设x1 ，x2是一元二次方程-2x-3=0的两根，则=（）A.6B.8C.1D.127.一元二次方程x2＋x－2＝0的两根之积是()A.－1B.－2C.1D.28.方程x2+2x-4=0的两根为x1 ，x2 ，则x1+x2的值为（）A.2B.－2C.D.－9.若矩形的长和宽是方程x2﹣7x+12=0的两根，则矩形的对角线之和为（）A.5B.7C.8D.1010.假如a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣4=0的两个根，那么a3b﹣2a2b 的值为（）A.-8B.8C.-16D.1611.假如是一元二次方程的两个实数根，那么的值是（）A.B.C.D.二、填空题12.设x1、x2是方程x2-4x+3=0的两根，则x1+x2=________.13.定义新运算“*”，规则：a*b= ，如1*2=2，* ．若x2+x﹣1=0的两根为x1 ，x2 ，则x1*x2=________．14.若x1、x2是方程2x2﹣3x﹣4=0的两个根，则x1•x2+x1+x2的值为________．15.若a、b是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则的值是_____ ___．16.写出一个以2和3为两根且二项系数为1的一元二次方程，你写的是________．17.若方程x2﹣3x+1=0的两根分别为x1和x2 ，则代数式x1+x2﹣x 1x2=________．18.若一个一元二次方程的两个根分别是1、3，请写出一个符合题意的一元二次方程________．三、运算题19.已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值.20.已知一元二次方程x2﹣6x+4=0的两根分别是a，b，求（1）a2+b2（2）a2﹣b2的值．四、解答题21.已知关于x的方程x2+x+a﹣1=0有一个根是1，求a的值及方程的另一个根．22.阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1 ，x2 ，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=﹣，x1•x2=．请依照该材料解题：已知x1 ，x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，求+和x12x2+x1x22的值．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】【分析】∵一元二次方程的两根分别是、，∴==3．故选C．2.【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+3x﹣a=0的两个根，则x1+x2=﹣3，又﹣x2=﹣1，解得：x1=﹣2．即方程的另一个根是﹣2．故选：A．【分析】依照一元二次方程根与系数的关系x1+x2=﹣求另一个根即可．3.【答案】D【考点】根与系数的关系【解析】【分析】利用根与系数的关系求出m+n与mn的值，代入所求式子中运算即可求出值．【解答】∵x2-5x+2=0的两个解分别为m，n，∴m+n=5，mn=2，则m+n-mn=5-2=3．故选D【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练把握根与系数的关系是解本题的关键．4.【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：依照题意得x1+x2=1，x1x2=﹣m+2，∵（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣1，∴x1x2﹣（x1+x2）+1=﹣1，∴﹣m+2﹣1+1=﹣1，∴m=3．故选A．【分析】依照根与系数的关系得到x1+x2=1，x1x2=﹣m+2，再变形等式（x 1﹣1）（x2﹣1）=﹣1得到x1x2﹣（x1+x2）+1=﹣1，则有﹣m+2﹣1+1=﹣1，然后解此一元一次方程即可．5.【答案】B【考点】一元二次方程的根与系数的关系【解析】【解答】两根互为倒数则说明两根之积为1且△≥0，即，则a=c，∴只有②是正确的，③没有实数根．故答案为：B【分析】由两根互为倒数则说明两根之积为1且△≥0，可得出答案。
初中数学专题复习一元二次方程根与系数的关系(1)(含答案)
第12课一元二次方程根与系数的关系（一）目的：复习a x2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△的意义与应用，•了解一元二次方程根与系数的关系．中考基础知识1．因为a x2+bx+c=0（a≠0）的根为=b2-4ac的值控制；当△>0时⇔方程_______；当△=0时⇔方程________；当△<0时⇔方程_______；当△≥0时⇔方程________．2．判别式△的应用（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）已知方程根的情况，求方程中某一待定系数的取值范围．（3）求证方程根的情况．3．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的二根，则x1+x2=________，x1x2=________．备考例题指导例1．不解方程，判别下列方程根的情况：（1）x2-2x-5=0；（2）x2+x=-14；（3）3（x2+1）-5x=0；（4）2m x2+2（m+n）x+n=0（m、n为不为0的实数）．解：（1）∵△=（-2）2-4×1×（-5）=4+20=24>0，∴方程有两个不相等的实数根．注意必须说明是实数根．（2）∵△=12-4×1×14=1-1=0，∴方程有两个相等的实数根．（3）3x2+3-5x=0，3x2-5x+3=0，∵△=（-5）2-4×3×3=25-36=-11<0，∴方程无实数根．不能说成无解．（4）△=4（m+n）2-4×2m×n=4（m2+2mn+n2）-8mn=4（m2+n2），∵m、n≠0，∴△>0．∴方程有两个不相等的实数根．例2．k取何值时，一元二次方程（k-1）x2-（2k+1）x+k+1=0（1）有两个相异实数；（2）无实根．解：△=[-（2k+1）]2-4（k-1）（k+1）=4k2+4k+1-4k2+4=4k+5．（1）取△>0得4k+5>0，k>-54．且k≠1 （最易遗漏，一定小心．）∴k>-54且k≠1．（2）取△<0，得4k+5<0，∴k<-54．例3．（2005，宁波）已知关于x的方程x2-2（m+1）x+m2=0．（1）当m取何值时，方程有两个实数根；（2）当m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．解：（1）△=4（m+1）2-4m2=8m+4，当△≥0时，方程有两个实数根即8m+4≥0，m≥-12．（2）选取m=0，则原方程为：x2-2x=0．解得：x=0 或x=2．备考巩固练习1．（1）（2004，海南）已知关于x的方程x2-（2m-1）x+m2=0有两个不相等的实数，•那么m的最大整数值是（）（A）-1 （B）-1 （C）0 （D）1（2）（2005，杭州）若t是一元二次方程a x2+bx+c=0（a≠0）的根，则判别式△=b2-4ac 和完全平方式M=（2at+b）2的关系是（）（A）△=M （B）△>M （C）△<M （D）大小关系不能确定（3）（2005，兰州）已知关于x的一元二次方程x2-2（R+r）x+d2=0没有实数根，其中R、r分别为⊙O1、⊙O2的半径，d为两圆的圆心距，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（）（A）外离（B）相交（C）外切（D）内切2．（2002，江苏盐城）已知关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数根，求k•的取值范围．3．抛物线y=9x2-（b+6）x+b+1顶点在x轴上，求b的值．4．（2002，苏州）已知关于x的方程：x2-（m-2）x-24m=0．（1）求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根；（2）若这个方程的两个实根为x1，x2满足│x2│=│x1│+2，求m的值及相应的x1，x2的值．5．（2000，山东）如果m是实数，且不等式（m+1）x>m+1的解集是x<1，那么关于x的一元二次方程mx2-（m+1）x+14m=0的根的情况如何？6．（2003，北京）已知，关于x的方程x2-2mx+3m=0的两个实数根是x1，x2，且（x1-x2）2=16，如果关于x的另一个方程x2-2mx+6m-9=0的两个实数根都在x和x2之间，求m的值．17．（2005，绵阳）已知关于x的方程kx2-2（k+1）x+k-1=0有两个不相等的实数根，（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．答案:1．（1）C （2）A （3）A2．由△≥0得，4-4k≥0，∴k≤1，且k≠03．由△=0，[-（b+6）]2-4×9（b+1）=0，b2-24b=0 ∴b=0 或b=244．（1）△=[-（m-2）]2+m2=（m-2）2+m2∴无论m取何实数总有△>0．∴方程总有两个相异实根（2）分类讨论：由x1x2=24m≤0，∴两根异号①x1≥0，x2≤0，则由│x2│=│x1│+2得-x2=x1+2⇒x1+x2=-2，∴m-2=-2，∴m=0 x1=0，x2=-2②若x1≤0，x2≥0，则由│x2│=│x1│+2得x2=-x1+2⇒x1+x2=2，m-2=2，∴m=4这时x1x25．由题知m+1<0，∴m<-1⇒2m<-2，2m+1<-1而△=m2+2m+1-m2=2m+1 ∴△<0∴已知方程无实根6．解：∵x1，x2是方程x2-2mx+3m=0①的两个实数根∴x1+x2=2m，x1x2=3m ∵（x1-x2）2=16解之得m1=-1 m2=4（1）当m=-1时，方程①为x2+2x-3=0∴x1=-3 x2=1方程x2-2mx+6m-9=0 ②为x2+2x-15=0∴x′1=-5 x′2=3∵-5，3不在-3和1之间∴m=-1不合题意，舍去．（2）当m=4时，方程①为x2-8x+12=0，∴x1=2，x2=6，方程②为x2-8x+15=0，∴x′1=3 x′2=5∵2<3<5<6，即x1<x′1<x′2<x2，∴方程②的两根都在方程①的两根之间，∴m=4，•综合（1）（2）得m=47．（1）k>1 且k≠0 （2）不存在。
2018年人教版初三上册数学(一元二次方程根与系数关系)专题教案
变式训练
1、已知关于 的方程 。
（1）求证：方程必有两个不相等的实数根。
（2） 取何值时，方程有两个正根。
（3） 取何值时，方程有两异号根，且负根绝对值较大。
（4） 取何值时，方程至少有一根为零？
题型四：已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值．
(1)验根，不解方程，利用韦达定理可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根．
(2)由已知方程的一个根，求出另一个根及未知系数．
(3)不解方程，可以利用韦达定理求关于 的对称式的值，如
等等．说明：如果把含 的代数式中 互换，代数式不变，那么，我们就称这类代数式为关于 的对称式．
(4)已知方程的两根，求作这个一元二次方程．
3．已知a，b是方程x21=0的两根，求a22a 的值．
二.选择题
1.下列方程中，两实数根之和等于2的方程是（）
A.
B.
C.
D.
2.如果一元二次方程 的两个根为 ，那么 与 的值分别为（）
A. 3，2B.
C. D.
3.如果方程 的两个实数根分别为 ，那么 的值是（）
A. 3B. C. D.
4.如果 是方程 的两个根，那么 的值等于（）
A. B.3C. D.
课程主题：一元二次方程根与系数关系
教学内容
1、同步学校知识理解
2、上次课作业分析与讲解
1、一元二次方程 的求根公式为 。
2、一元二次方程 根的判别式为：
（1）当b2-4>0时，一元二次方程20（a≠0）有两个不相等实数根即x1= ，x2= ．
（2）当-40时，一元二次方程20（a≠0）有两个相等实数根即x12= ．
中考复习——一元二次方程的根与系数的关系(解析版)
中考复习——一元二次方程的根与系数的关系一、选择题1、已知x1，x2是一元二次方程x2-2x=0的两根，则x1+x2的值是（）．A. 0B. 2C. -2D. 4答案：B解答：∵x1，x2是一元二次方程x2-2x=0的两根，∴x1+x2=2．选B.2、若x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，则x1·x2的值是（）．A. 2B. -2C. 4D. -3答案：D解答：∵x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，∴x1·x2=-3．3、关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0的两个实数根的平方和为12，则m的值为（）．A. m=-2B. m=3C. m=3或m=-2D. m=3或m=2答案：A解答：设x1，x2是x2+2mx+m2+m=0的两个实数根，∴Δ=-4m≥0，∴m≤0，∴x1+x2=-2m，x1·x2=m2+m，∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1·x2=4m2-2m2-2m=2m2-2m=12，∴m=3或m=-2；∴m=-2．选A.4、一元二次方程x2-3x-2=0的两根为x1，x2，则下列结论正确的是（）．A. x1=-1，x2=2B. x1=1，x2=-2C. x1+x2=3D. x1x2=2解答：∵方程x2-3x-2=0的两根为x1，x2，∴x1+x2=-ba=3，x1·x2=ca=-2，∴C选项正确．5、α，β是关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的两实根，且1α+1β=-23，则m等于（）．A. –2B. –3C. 2D. 3答案：B解答：α，β是关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的两实根，∴α+β=2，αβ=m，∵1α+1β=αβαβ+=2m=-23，∴m=-3．选B.6、已知m，n是关于x的一元二次方程x2-2tx+t2-2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（）．A. 7B. 11C. 12D. 16答案：D解答：∵m，n是关于x的一元二次方程x2-2tx+t2-2t+4=0的两实数根，∴m+n=2t，mn=t2-2t+4，∴（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4=t2+2t+8=（t+1）2+7．∵方程有两个实数根，∴Δ=（-2t）2-4（t2-2t+4）=8t-16≥0，∴t≥2，∴（t+1）2+7≥（2+1）2+7=16．选D.7、若一元二次方程ax2=b，（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m-4，则ba=（）．A. -4B. 1C. 2D. 4解答：系数化为1时，由于一元二次方程的两个根互为相反数，所以和为0，即可求得m的值为1，两根分别为2，-2，所以ba=x2=4．8、若x1，x2是一元二次方程x2+x-3=0的两个实数根，则x23-4x12+17的值为（）．A. -2B. 6C. -4D. 4答案：A解答：∵x1,x2是一元二次方程x2+x-3=0的两个实数根，∴x12+x1-3=0，x22+x2-3=0，∴x22=-x2+3，x12=-x1+3，∴x23-4x12+17=x2·（-x2+3）-4（-x1+3）+17=-x22+3x2-4（-x1+3）+17=-（-x2+3）+3x2-4（-x1+3）+17=4x2-3+4x1-12+17=4（x1+x2）+2，根据根与系数的关系可得：x1+x2=-1，∴原式=4（x1+x2）+2=-4+2=-2．选A.9、方程x2-（m+6）x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，则m的值是（）．A. -2或3B. 3C. -2D. -3或2答案：C解答：∵x1+x2=m+6，x1x2=m2，x1+x2=x1x2，∴m+6=m2，解得m=3或m=-2，∵方程x2-（m+6）+m2=0有两个相等的实数根，∴Δ=b2-4ac=（m+6）2-4m2=-3m2+12m+36=0，解得m=6或m=-2，∴m=-2．10、已知a，b，c是△ABC三边的长，b＞a=c，且方程ax2+c=0的两根的差的绝对，则△ABC中最大角的度数是（）．A. 150°B. 120°C. 90°D. 60°答案：B解答：设x1、x2是ax2+c=0的两根，则x1+x2，x1x2=ca=1，∵x1-x2，∴|x1-x2，解以上方程组：（x1+x2）2-4x1x2=2，解得：b，∵b＞a=c，∴等腰三角形以b为底，∴∠A=∠C=30°，∴∠B=120°．二、填空题11、若关于x的一元二次方程x2-（a+5）x+8a=0的两个实数根分别为2和b，则ab=______．答案：4解答：∵关于x的一元二次方程x2-（a+5）x+8a=0的两个实数根分别为2和b，∴由韦达定理，得2528b ab a+=+⎧⎨=⎩，解得，14 ab=⎧⎨=⎩．∴ab=1×4=4．12、若关于x的方程x2+（k-2）x+k2=0的两根互为倒数，则k=______．答案：-1解答：设方程的两根为x 1，x 2，则x 1x 2=k 2，∵x 1与x 2互为倒数， ∴k 2=1，解得k =1或k =-1； ∵方程有两个实数根，Δ＞0，∴当k =1时，Δ＜0，舍去，故k 的值为-1． 13、已知一元二次方程x 2+2x -8=0的两根为x 1、x 2，则21x x +2x 1x 2+12xx =______． 答案：-372解答：∵x 1、x 2是方程x 2+2x -8=0的两根， ∴x 1+x 2=-2，x 1x 2=-8． ∴21x x +2x 1x 2+12x x ={}{}222112x x x x ++2x 1x 2=()21212122x x x x x x +-+2x 1x 2=()()22288--⨯--+2×（-8）=4168+--16 =-52-16 =-372． 14、已知关于x 的方程x 2+6x +k =0的两个根分别是x 1、x 2，且11x +21x =3，则k 的值为______． 答案：-2解答：∵关于x 的方程x 2+6x +k =0的两个根分别是x 1、x 2， ∴x 1+x 2=-6，x 1x 2=k ，∵11x +21x =1212x x x x +=3，∴6k-=3， ∴k =-2．15、若关于x 的方程x 2+2mx +m 2+3m -2=0有两个实数根x 1、x 2，则x 1（x 2+x 1）+x 22的最小值为______． 答案：54解答：关于x 的方程x 2+2mx +m 2+3m -2=0有两个实数根x 1、x 2，Δ=4m 2-4（m 2+3m -2）≥0，解得m ≤23由韦达定理可知x 1+x 2=-2m ，x 1·x 2=m 2+3m -2． x 1（x 2+x 1）+x 22 =x 1x 2+x 12+x 22 =（x 1+x 2）2-x 1x 2 =（-2m ）2-m 2-3m +2 =3m 2-3m +2=3（m -12）2+54． ∵m ≤23，∴当m =12时，取得最小值为54．16、对于任意实数a 、b ，定义：a ◆b =a 2+ab +b 2．若方程（x ◆2）-5=0的两根记为m 、n ，则m 2+n 2=______． 答案：6解答：∵（x ◆2）-5=x 2+2x +4-5， ∴m 、n 为方程x 2+2x -1=0的两个根， ∴m +n =-2，mn =-1， ∴m 2+n 2=（m +n ）2-2mn =6． 故答案为：6．17、阅读材料：设一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1+x 2=-b a ，x 1·x 2=c a． 根据该材料填空：已知x 1，x 2是方程x 2+6x +3=0的两实数根，则21x x +12x x 的值为______． 答案：10解答：由题意知，x 1+x 2=-6，x 1x 2=3，所以21x x +12x x =222112·x x x x +=()21212122·x x x x x x +-⋅=()26233--⨯=10．三、解答题18、已知关于x 的方程x 2+2x +a -2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围． （2）当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根． 答案：（1）a 的取值范围是a ＜3． （2）a 的值是-1，该方程的另一根为-3．解答：（1）∵b 2-4ac =（2）2-4×1×（a -2）=12-4a ＞0， 解得：a ＜3．∴a 的取值范围是a ＜3．（2）设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系得：111212x x a +=-⎧⎨⋅=-⎩，解得：113a x =-⎧⎨=-⎩， 则a 的值是-1，该方程的另一根为-3．19、已知关于x 的方程x 2-4x +k +1=0有两实数根． （1）求k 的取值范围．（2）设方程两实数根分别为x 1、x 2，且13x +23x =x 1x 2-4，求实数k 的值． 答案：（1）k ≤3． （2）k =-3．解答：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2-4x +k +1=0有两个实数根， ∴Δ=（-4）2-4×1×（k +1）≥0， 解得：k ≤3，故k 的取值范围为：k ≤3．（2）由根与系数的关系可得x 1+x 2=4，x 1x 2=k +1， 由13x +23x =x 1x 2-4可得()12123x x x x +=x 1x 2-4， 代入x 1+x 2和x 1x 2的值，可得：121k +=k +1-4， 解得：k 1=-3，k 2=5（舍去）， 经检验，k =-3是原方程的根， 故k =-3．20、已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m +1）x +m -2=0． （1）求证：无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程有两个实数根x 1，x 2，且x 1+x 2+3x 1x 2=1，求m 的值． 答案：（1）证明见解答． （2）8．解答：（1）依题意可得Δ=（2m +1）2-4（m -2）， =4m 2+9＞0．故无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）由根与系数的关系可得：()1212212x x m x x m ⎧+=-+⎨=-⎩， 由x 1+x 2+3x 1x 2=1，得-（2m +1）+3（m -2）=1， 解得m =8．21、已知关于x 的方程x 2+2x +a -2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围． （2）若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一根． 答案：（1）a 的取值范围是a ＜3． （2）a 的值是-1，该方程的另一根为-3．解答：（1）∵b 2-4ac =22-4×1×（a -2）=12-4a ＞0， 解得：a ＜3．∴a 的取值范围是a ＜3．（2）设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系得：11121?2x x a +=-⎧⎨=-⎩，解得：113a x =-⎧⎨=-⎩，则a的值是-1，该方程的另一根为-3．22、已知x 1，x 2是一元二次方程x 2-2x +k +2=0的两个实数根． （1）求k 的取值范围． （2）是否存在实数k ，使得等式11x +21x =k -2成立？如果存在，请求出k 的值；如果不存在，请说明理由． 答案：（1）k ≤-1． （2）存在，k 值为．解答：（1）∵一元二次方程x 2-2x +k +2=0有两个实数根， ∴Δ=（-2）2-4×1×（k +2）≥0， 解得：k ≤-1．（2）∵x 1，x 2是一元二次方程x 2-2x +k +2=0的两个实数根， ∴x 1+x 2=2，x 1x 2=k +2， ∵11x +21x =k -2， ∴1212x x x x +=22k +=k -2， ∴k 2-6=0，解得：k 1，k 2， 又∵k ≤-1， ∴k，∴存在这样的k 值，使得等式11x +21x =k -2成立，k 值为． 23、已知关于x 的一元二次方程x 2-4x -m 2=0． （1）求证：该方程有两个不等的实根．（2）若该方程的两个实数根x 1、x 2满足x 1+2x 2=9，求m 的值． 答案：（1）证明见解答．（2）m=解答：（1）∵在方程x2-4x-m2=0中，Δ=（-4）2-4×1×（-m2）=16+4m2＞0，∴该方程有两个不等的实根．（2）∵该方程的两个实数根分别为x1、x2，∴x1+x2=4①，x1·x2=-m2②．∵x1+2x2=9③，∴联立①③解之，得：x1=-1，x2=5，∴x1·x2=-5=-m2，解得：m=24、关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|=x1·x2，求k的值．答案：（1）k＞34．（2）k=2．解答：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ=（2k+1）2-4（k2+1）=4k2+4k+1-4k2-4=4k-3＞0，解得：k＞34．（2）∵k＞3 4∴x1+x2=-（2k+1）＜0，又∵x1·x2=k2+1＞0∴x1＜0，x2＜0∴|x1|+|x2|=-x1-x2=-（x1+x2）=2k+1，∵|x1|+|x2|=x1·x2，∴2k+1=k2+1，∴k1=0，k2=2，又∵k＞34，∴k=2．。
【初高中衔接】第6讲 一元二次方程根与系数的关系(含答案)
【第6讲】 一元二次方程根与系数的关系【基础知识回顾】知识点1 一元二次方程的根的判断式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+= (1) 当240b ac ->时，右端是正数，方程有两个不相等的实数根：x =(2) 当240b ac -=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：1,22bx a =-(3) 当240b ac -<时，右端是负数．因此，方程没有实数根．由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac ∆=- 知识点2 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：x x ==所以：12bx x a +=+=-，221222()422(2)4b b b ac cx x a a a a a-+---⋅=⋅===韦达定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么： 1212,b c x x x x a a +=-=【合作探究】探究一 ∆与根个数之间的关系【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：(1)22310x x -+= (2)24912y y +=(3)25(3)60x x +-=归纳总结：【练习1-1】已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根；(4) 方程无实数根．【练习1-2】已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．探究二 一元二次方程的根与系数的关系 【例2-1】若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2) 1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --；(4)12||x x -．归纳总结：【练习2】若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根． （1）求| x 1－x 2|的值； （2）求221211x x +的值；（3）x 13＋x 23．【例2-2】已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．【例2-2】关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．探究三 一元二次方程的根的范围【例3-1】若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．【例3-2】一元二次方程有两个实根，一个比3大，一个比3小，求的取值范围。
人教版九年级上册数学一元二次方程的根与系数的关系(含答案)
一元二次方程的根与系数的关系一、基础练习。
1．若x1，x2是一元二次方程x2－5x＋6＝0的两个根，则x1＋x2的值是()A．1 B．5 C．－5 D．62．设方程x2－4x－1＝0的两个根为x1与x2，则x1x2的值是()A．－4 B．－1 C．1 D．03．两个实数根的和为2的一元二次方程可能是()A．x2＋2x－3＝0 B．2x2－2x＋3＝0C．x2＋2x＋3＝0 D．x2－2x－3＝04．小强同学在解一元二次方程x2－3x＋c＝0时，正确解得x1＝1，x2＝2，则c的值为______．5．已知一元二次方程x2－6x－5＝0的两根为a，b，则1a＋1b的值是________．6．求下列方程两根的和与两根的积：(1)4x2－x＝4; (2)3x2－2x＝x＋2.7．已知一元二次方程x2－2x＋m＝0.(1)若方程有两个实数根，求m的范围；(2)若方程的两个实数根为x1，x2，且x1＋3x2＝3，求m的值．二、提高训练。
8．点(α，β)在反比例函数y＝kx的图象上，其中α，β是方程x2－2x－8＝0的两根，则k＝__________9．已知x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0的两实数根，则x2x1＋x1x2的值为________．10．已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根x1，x2.(1)求k的取值范围；(2)若|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值．一元二次方程的根与系数的关系（答案）1．B 2.B 3.D 4.25．－656．解：(1)原方程化为一般形式为3x 2－x －3＝0.所以x 1＋x 2＝－－13＝13，x 1x 2＝－33＝－1. (2)原方程化为一般形式为3x 2－3x －3＝0，即x 2－x －1＝0.所以x 1＋x 2＝－－11＝1，x 1x 2＝－11＝－1. 7．解：(1)∵方程x 2－2x ＋m ＝0有两个实数根， ∴Δ＝(－2)2－4m ≥0.解得m ≤1.(2)由两根关系可知，x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝m .解方程组121223 3.x x x x ⎧⎨⎩＋＝，＋＝解得123,21.2x x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝ ∴m ＝x 1·x 2＝34. 8．－89．1010．解：(1)由方程有两个实数根，可得Δ＝b 2－4ac ＝4(k －1)2－4k 2＝4k 2－8k ＋4－4k 2＝－8k ＋4≥0.解得k ≤12. (2)依据题意，可得x 1＋x 2＝2(k －1)．由(1)可知k ≤12， ∴2(k －1)＜0，x 1＋x 2＜0.∴|x 1＋x 2|＝－x 1－x 2＝x 1·x 2－1.∴－2(k －1)＝k 2－1.解得k 1＝1(舍去)，k 2＝－3.∴k 的值是－3.。
《一元二次方程的根与系数的关系》资料习题配答案
一元二次方程根与系数的关系习题6、已知关于x 的方程07)3(102=-++-m x m x ，若有一个根为0，则m =7，这时方程的另一个根是1；若两根之和为－35 ，则m =9-，这时方程的 两个根为15821=-=x x ，. 07)3(10)1(2=-++-m x m x 设方程解： ，则：、设原方程两根为b a )2(，则：另一根为1x 107103-=+=+m ab m b a ，10301+=+m x ① 53-原方程两根之和为 10701-=•m x ② 53103-=+=+m b a 由②，得：7=m 9-=∴m 代入将7=m ①，得： 08352=-+∴x x 原方程可化为：11=x 0)1)(85(=-+∴x x0171时，方程一根为，==∴x m 158=-=∴x x 或 7、如果5)1(222+++-m x m x 是一个完全平方式，则m =2； 05)1(222=+++-m x m x 解：令 0204)12(422=--++∴m m m是完全平方式5)1(222+++-m x m x 0168=-∴m有两个相等实根方程05)1(222=+++-∴m x m x 2=∴m0)5(4)]1(2[22=+-+-=∆∴m m8、方程6)4(22-=-x mx x 没有实数根，则最小的整数m =2; 6)4(22-=-x mx x 解：将方程 08848<+-∴m068)12(2=+--x x m 化简，得： 611>∴m 原方程没有实数根 2为最小整数m ∴0)12(2464<--=∆∴m9、已知方程)4()3)(1(2-=--m x m x x 两根的和与两根的积相等，则m =2;)4()3)(1(2-=--m x m x x 解：将方程 m m 3227=-∴ 06)27(22=+--m x m x 化简，得： 2=∴m，则：，设方程两根为21x x 048)]27([22>---=∆=m m m 时，当m x x m x x 32272121=-=+， 2=∴m 积相等方程两根的和与两根的10、设关于x 的方程062=+-k x x 的两根是m 和n ，且2023=+n m ，则k 值为16-; 是方程的两根、解：n m 代入将8=m ①，得：6=+n m ① 2-=nk mn = ② 代入，将28-==n m ③，得： 2023=+n m ③ 16)2(8-=-⨯=k①×2-③，得： 043616>-=∆-=k k 时，当8-=-m 16-=∴k8=∴m11、若方程01)12(22=++--m x m x 有实数根，则m 的取值范围是43-≤m ; 原方程有实数根解： 34≥-∴m0)1(4)]12([22≥+---=∆∴m m 43-≤∴m 04414422≥--+-∴m m m 根。
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一元二次方程的根与系数的关系
1．设α，β是一元二次方程x 2＋2x －1＝0的两个实数根，则αβ的值是( )
A ．2
B ．1
C ．－2
D ．－1
2．若方程3x 2－4x －4＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝( )
A ．－4
B ．3
C ．－43 D.4
3
3．下列一元二次方程两实数根和为－4的是( )
A ．x 2＋2x －4＝0
B ．x 2－4x ＋4＝0
C ．x 2＋4x ＋10＝0
D ．x 2＋4x －5＝0
4. 如果关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根分别为x 1＝2，x 2＝1，那么p ，q 的值分别是( )
A ．－3，2
B ．3，－2
C ．2，－3
D ．2，3
5．已知一元二次方程x 2－3x －1＝0的两个根分别是x 1，x 2，则x 12x 2＋x 1x 22的值为( )
A ．－3
B ．3
C ．－6
D ．6
6. 已知α，β是一元二次方程x 2－5x －2＝0的两个实数根，则α2＋αβ＋β2的值为( )
A ．－1
B ．9
C ．23
D ．27
7. 已知一元二次方程的两根之和是3，两根之积是－2，则这个方程是( )
A ．x 2＋3x －2＝0
B ．x 2＋3x ＋2＝0
C ．x 2－3x －2＝0
D ．x 2－3x ＋2＝0
8. 已知m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋a ＝0的两个解，若(m －1)(n －1)＝－6，则a 的值为( )
A ．－10
B ．4
C ．－4
D ．10
9. 菱形ABCD 的边长是5，两条对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋m 2＋3＝0的根，则m 的值为( )
A ．－3
B ．5
C ．5或－3
D ．－5或3
10. 如果ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝________， x 1x 2＝________．
11. 一元二次方程2x 2＋7x ＝8的两根之积为________．
12. 设m ，n 分别为一元二次方程x 2＋2x －2 018＝0的两个实数根，则m 2＋3m ＋n ＝________.
13. 已知x 1，x 2是方程x 2
＋6x ＋3＝0的两实数根，则x 2x 1＋x 1
x 2
的值为________．
14. 已知方程x 2＋4x －2m ＝0的一个根α比另一个根β小4，则α＝______，β＝______，m ＝______．
15. 关于x 的一元二次方程x 2＋2x －2m ＋1＝0的两实数根之积为负，则实数m 的取值范围是________．
16. 在解某个方程时，甲看错了一次项的系数，得出的两个根为－9，－1；乙看错了常数项，得出的两根为8，2.则这个方程为________________． 17. 已知关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m －1＝0有两个实数根x 1，x 2. (1) 求m 的取值范围；
(2) 当x 12＋x 22＝6x 1x 2时，求m 的值．
18. 关于x 的方程kx 2
＋(k ＋2)x ＋k
4
＝0有两个不相等的实数根．
(1) 求k的取值范围；
(2) 是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0.若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
19. 不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积．
(1) x2＋2x＋1＝0;
(2) 3x2－2x－1＝0；
(3) 2x2＋3＝7x2＋x;
(4) 5x－5＝6x2－4.
20. 已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根x1，x2.
(1) 求k的取值范围；
(2) 若|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值．
21. 已知x1，x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．
(1) 是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；
(2) 求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．
答案：
1---9 DDDAA DCCA 10. －a/b c/a 11. －4 12. 2016 13. 10
14. 10 －4 0 0 15. m>1/2 16. x 2－10x ＋9＝0
17. 解：(1)∵原方程有两个实数根，∴Δ＝(－2)2－4(m －1)≥0，整理得：4－4m ＋4≥0，解得：m≤2 (2)∵x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝m －1，x 12＋x 22＝6x 1x 2，∴(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝6x 1·x 2，即4＝8(m －1)，解得：m ＝32.∵m ＝32＜2，∴m 的值为3
2
18. 解：(1)由题意可得Δ＝(k ＋2)2
－4k×k
4
＞0，∴4k ＋4＞0，∴k ＞－1且k≠0
(2)∵1x 1＋1x 2＝0，∴x 1＋x 2x 1x 2＝0，∴x 1＋x 2＝0，∴－k ＋2k ＝0，∴k ＝－2，又∵k＞－1
且k≠0，∴不存在实数k 使两个实数根的倒数和等于0 19. 解：(1)x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝1 (2)x 1＋x 2＝23，x 1·x 2＝－13
(3)x 1＋x 2＝－15，x 1·x 2＝－3
5
(4)x 1＋x 2＝56，x 1·x 2＝1
6
20. 解：(1)由Δ≥0得k≤1
2 (2)当x 1＋x 2≥0时，2(k －1)＝k 2－1，∴k 1＝k 2＝1(舍
去)；当x 1＋x 2＜0时，2(k －1)＝－(k 2－1)，∴k 1＝1(舍去)，k 2＝－3，∴k ＝－3
21. 解：(1)存在．理由如下：根据题意，得Δ＝(2a)2－4a(a －6)＝24a≥0，解得a≥0，∵a －6≠0，∴a ≠6.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－2a a －6，x 1x 2＝a
a －6.∵－x 1
＋x 1x 2＝4＋x 2.∴x 1＋x 2＋4＝x 1x 2.即－2a a －6＋4＝a
a －6，解得a ＝24.经检验，a ＝24是
方程－2a a －6＋4＝a
a －6
的解．∴a＝24
(2)∵原式＝x 1＋x 2＋x 1x 2＋1＝－2a a －6＋a a －6＋1＝66－a 为负整数．∴6－a ＝－1，
－2，－3，－6，解得a ＝7，8，9，12。