备战2018年中考数学(人教版)《一元二次方程的根与系数的关系》专题复习含答案
2018-2019学年最新人教版九年级数学上册：一元二次方程的根与系数的关系及答案-精品试题
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系预习要点：1．一元二次方程的两个根x 1、x 2和系数a 、b 、c 的关系：。
2．（2016•黄冈）若方程3x 2−4x −4=0的两个实数根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2=（ ）A ．−4B ．3C ．−43D ．433．（2016•永丰县一模）已知x 1、x 2是一元二次方程x 2−4x+1=0的两个根，则x 1•x 2等于（ ） A ．−4B ．−1C ．1D ．44．（2016•凉山州）已知x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6−2x 的两根，则x 1−x 1x 2+x 2的值是（ ） A ．−43B ．83C ．−83D ．435．（2016•玉林）关于x 的一元二次方程：x 2−4x −m 2=0有两个实数根x 1、x 2，则m 2（1x 1 +1x 2 ）=（ ） A ．m 44B ．−m 44C ．4D ．−46．（2016•烟台）若x 1，x 2是一元二次方程x 2−2x −1=0的两个根，则x 12−x 1+x 2的值为（ ） A ．−1B ．0C ．2D ．37．（2016•南京）设x 1、x 2是方程x 2−4x+m=0的两个根，且x 1+x 2−x 1x 2=1，则x 1+x 2=，m=．8．（2016•宜宾）已知一元二次方程x 2+3x −4=0的两根为x 1、x 2，则x 12+x 1x 2+x 22=．9．（2016•德州）方程2x 2−3x −1=0的两根为x 1，x 2，则x 12+x 22= ．同步小题12道一．选择题1．（2016•黄冈模拟）一元二次方程x 2−3x+2=0 的两根分别是x 1、x 2，则x 1+x 2的值是（ ） A ．3B ．2C ．−3D ．−22．（2016•江西）设α、β是一元二次方程x 2+2x −1=0的两个根，则αβ的值是（ ） A ．2B ．1C ．−2D ．−13．（2016•金华）一元二次方程x 2−3x −2=0的两根为x 1，x 2，则下列结论正确的是（ ） A ．x 1=−1，x 2=2B ．x 1=1，x 2=−2 C ．x 1+x 2=3D ．x 1x 2=24．（2016•威海）已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2+ax −2b=0的两实数根，且x 1+x 2=−2，x 1•x 2=1，则b a 的值是（ ） A ．14B ．−14C ．4D ．−15．（2016•枣庄）已知关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为−2，则另一个根为（ ） A ．5B ．−1C ．2D ．−56．（2016•宁津县二模）已知a 、b 是一元二次方程x 2−3x −2=0的两根，那么1a +1b 的值为（ ） A ．23B ．32C ．−23D ．−32二．填空题7．（2016•黄石）关于x 的一元二次方程x 2+2x −2m+1=0的两实数根之积为负，则实数m 的取值范围是．8．（2016•亭湖区一模）一元二次方程x 2+mx+2m=0的两个实根分别为x 1，x 2，若x 1+x 2=1，则x 1x 2=．9．（2016•南京一模）已知方程x 2−6x+m=0有一个根是2，则另一个根是 ，m=．10．（2016•眉山）设m 、n 是一元二次方程x 2+2x −7=0的两个根，则m 2+3m+n= ．三．解答题11．（2016•潍坊）关于x 的方程3x 2+mx −8=0有一个根是23 ，求另一个根及m 的值．12．（2016•绥化）关于x 的一元二次方程x 2+2x+2m=0有两个不相等的实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若x 1，x 2是一元二次方程x 2+2x+2m=0的两个根，且x 12+x 22=8，求m 的值．21.2.4一元二次方程的根与系数的关系预习要点：1．x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=ca2．【分析】由方程的各系数结合根与系数的关系可得出“x 1+x 2=43 ，x 1•x 2=−43 ”，由此即可得出结论．【解答】解：∵方程3x 2−4x −4=0的两个实数根分别为x 1，x 2，∴x 1+x 2=−b a =43 ，x 1•x 2=ca=−43 ． 故选D3．【分析】直接根据根与系数的关系求解． 【解答】解：根据题意得x 1•x 2=1． 故选C4．【分析】由x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6−2x 的两根，结合根与系数的关系可得出x 1+x 2=−23 ，x 1•x 2=−2，将其代入x 1−x 1x 2+x 2中即可算出结果．【解答】解：∵x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6−2x 的两根，∴x 1+x 2=−b a =−23 ，x 1•x 2=ca=−2，∴x 1−x 1x 2+x 2=−23 −（−2）=43 ．故选D5．【分析】根据所给一元二次方程，写出韦达定理，代入所求式子化简．【解答】解：∵x 2−4x −m 2=0有两个实数根x 1、x 2，∴⎩⎨⎧ x 1+x 2＝4 x 1x 2＝−m2，∴则m 2（1x 1 +1x 2 ）=m 2•x 1+x 2x 1x 2 =m 2•4−m 2=−4．6．【分析】由根与系数的关系得出“x 1+x 2=2，x 1•x 2=−1”，将代数式x 12−x 1+x 2变形为x 12−2x 1−1+x 1+1+x 2，套入数据即可得出结论．【解答】解：∵x 1，x 2是一元二次方程x 2−2x −1=0的两个根，∴x 1+x 2=−b a =2，x 1•x 2=ca=−1．x 12−x 1+x 2=x 12−2x 1−1+x 1+1+x 2=1+x 1+x 2=1+2=3． 故选D7．【分析】根据根与系数的关系找出x 1+x 2=−b a =4，x 1x 2=ca =m ，将其代入等式x 1+x 2−x 1x 2=1中得出关于m 的一元一次方程，解方程即可得出m 的值，从而此题得解． 【解答】解：∵x 1、x 2是方程x 2−4x+m=0的两个根，∴x 1+x 2=−b a =4，x 1x 2=ca=m ．∵x 1+x 2−x 1x 2=4−m=1，∴m=3． 答案：4；3．8．【分析】根据根与系数的关系得到x 1+x 2=−3，x 1x 2=−4，再利用完全平方公式变形得到x 12+x 1x 2+x 22=（x 1+x 2）2−x 1x 2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据题意得x 1+x 2=−3，x 1x 2=−4，所以x 12+x 1x 2+x 22=（x 1+x 2）2−x 1x 2=（−3）2−（−4）=13． 答案：13．9．【分析】根据根与系数的关系得出“x 1+x 2=−b a =32 ，x 1•x 2=c a =−12 ”，再利用完全平方公式将x 12+x 22转化成(x 1+x 2)2−2x 1•x 2，代入数据即可得出结论．【解答】解：∵方程2x 2−3x −1=0的两根为x 1，x 2，∴x 1+x 2=−b a =32 ，x 1•x 2=c a =−12 ，∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1•x 2=(32 )2−2×（−12 ）=134 ．答案：134 ．同步小题12道1．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求则可．设x 1，x 2是关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）的两个实数根，则x 1+x 2=−b a ，x 1x 2=ca ．【解答】解：这里a=1，b=−3，则x 1+x 2=−ba =3， 故选A2．【分析】根据α、β是一元二次方程x 2+2x −1=0的两个根，由根与系数的关系可以求得αβ的值，本题得以解决．【解答】解：∵α、β是一元二次方程x 2+2x −1=0的两个根，∴αβ=−11 ＝−1，故选D3．【分析】根据根与系数的关系找出“x 1+x 2=−b a =3，x 1•x 2=ca =−2”，再结合四个选项即可得出结论．【解答】解：∵方程x 2−3x −2=0的两根为x 1，x 2，∴x 1+x 2=−b a =3，x 1•x 2=ca =−2，∴C 选项正确． 故选C4．【分析】根据根与系数的关系和已知x 1+x 2和x 1•x 2的值，可求a 、b 的值，再代入求值即可．【解答】解：∵x 1，x 2是关于x 的方程x 2+ax −2b=0的两实数根，∴x 1+x 2=−a=−2，x 1•x 2=−2b=1，解得a=2，b=−12 ，∴b a =（−12 ）2=14 ．故选：A5．【分析】根据关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为−2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．【解答】解：∵关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为−2，设另一个根为m ，∴−2+m=−31 ，解得，m=−1， 故选B6．【分析】根据1a +1b ＝b ab +a ab ＝a+bab ，由一元二次方程的根与系数之间的关系求得两根之积与两根之和，代入数值计算即可【解答】解：∵方程x 2−3x −2=0的两根为a ，b ，∴a+b=3，ab=−2，∴1a +1b ＝b ab +aab＝a+b ab =−32 ． 故选：D7．【分析】设x 1、x 2为方程x 2+2x −2m+1=0的两个实数根．由方程有实数根以及两根之积为负可得出关于m 的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【解答】解：设x 1、x 2为方程x 2+2x −2m+1=0的两个实数根，由已知得：⎩⎨⎧ △≥0 x 1•x 2＜0 ，即⎩⎨⎧ 8m≥0 −2m+1＜0 解得：m ＞12 ．答案：m ＞12 ．8．【分析】根据根与系数的关系得到x 1+x 2=−m=1，x 1x 2=2m ，先求出m 的值，然后计算x 1x 2的值．【解答】解：根据题意得x 1+x 2=−m=1，x 1x 2=2m ，所以m=−1，所以x 1x 2=−2． 答案：−2．9．【分析】利用根与系数的关系先求出另一根，再利用根与系数的关系即可求出m 的值． 【解答】解：设另一根为a ，由根与系数的关系可得2+a=6，解得a=4，可得m=2×4=8． 答案：810．【分析】根据根与系数的关系可知m+n=−2，又知m 是方程的根，所以可得m 2+2m −7=0，最后可将m 2+3m+n 变成m 2+2m+m+n ，最终可得答案．【解答】解：∵设m 、n 是一元二次方程x 2+2x −7=0的两个根，∴m+n=−2，∵m 是原方程的根，∴m 2+2m −7=0，即m 2+2m=7，∴m 2+3m+n=m 2+2m+m+n=7−2=5， 答案：5．11．【分析】由于x=23 是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出m 的值，然后由根与系数的关系来求方程的另一根． 【解答】解：设方程的另一根为t ． 依题意得：3×（23 ）2+23 m −8=0， 解得m=10． 又23 t=−83 ， 所以t=−4．综上所述，另一个根是−4，m 的值为10．12．【分析】（1）根据方程根的个数结合根的判别式，可得出关于m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）根据方程的解析式结合根与系数的关系找出x 1+x 2=−2，x 1•x 2=2m ，再结合完全平方公式可得出x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1•x 2，代入数据即可得出关于关于m 的一元一次方程，解方程即可求出m 的值，经验值m=−1符合题意，此题得解． 解：（1）∵一元二次方程x 2+2x+2m=0有两个不相等的实数根， ∴△=22−4×1×2m=4−8m ＞0， 解得：m ＜12 ．∴m 的取值范围为m ＜12 ．（2）∵x 1，x 2是一元二次方程x 2+2x+2m=0的两个根， ∴x 1+x 2=−2，x 1•x 2=2m ，∴x12+x22=(x1+x2)2−2x1•x2=4−4m=8，解得：m=−1．当m=−1时，△=4−8m=12＞0．∴m的值为−1．。
中考数学专项练习一元二次方程系数与根的关系(含解析)
中考数学专项练习一元二次方程系数与根的关系（含解析）一、单选题1.若、是一元二次方程的两根，则的值是（）A.-2B.2C.3D.12.一元二次方程x2+3x﹣a=0的一个根为﹣1，则另一个根为（）A.﹣2B.2C.4D.﹣33.已知方程x2-5x+2=0的两个解分别为m，n，则m+n-mn的值是（）A.-7B.-3C.7D.34.若关于x一元二次方程x2﹣x﹣m+2=0的两根x1 ，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣1，则m的值为（）A.3B.-3C.2D.-25.下列方程中：①x2-2x-1=0，②2x2-7x+2=0，③x2-x+1=0两根互为倒数有（）A.0个B.1个C.2个D.3个6.设x1 ，x2是一元二次方程-2x-3=0的两根，则=（）A.6B.8C.1D.127.一元二次方程x2＋x－2＝0的两根之积是()A.－1B.－2C.1D.28.方程x2+2x-4=0的两根为x1 ，x2 ，则x1+x2的值为（）A.2B.－2C.D.－9.若矩形的长和宽是方程x2﹣7x+12=0的两根，则矩形的对角线之和为（）A.5B.7C.8D.1010.假如a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣4=0的两个根，那么a3b﹣2a2b 的值为（）A.-8B.8C.-16D.1611.假如是一元二次方程的两个实数根，那么的值是（）A.B.C.D.二、填空题12.设x1、x2是方程x2-4x+3=0的两根，则x1+x2=________.13.定义新运算“*”，规则：a*b= ，如1*2=2，* ．若x2+x﹣1=0的两根为x1 ，x2 ，则x1*x2=________．14.若x1、x2是方程2x2﹣3x﹣4=0的两个根，则x1•x2+x1+x2的值为________．15.若a、b是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则的值是_____ ___．16.写出一个以2和3为两根且二项系数为1的一元二次方程，你写的是________．17.若方程x2﹣3x+1=0的两根分别为x1和x2 ，则代数式x1+x2﹣x 1x2=________．18.若一个一元二次方程的两个根分别是1、3，请写出一个符合题意的一元二次方程________．三、运算题19.已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值.20.已知一元二次方程x2﹣6x+4=0的两根分别是a，b，求（1）a2+b2（2）a2﹣b2的值．四、解答题21.已知关于x的方程x2+x+a﹣1=0有一个根是1，求a的值及方程的另一个根．22.阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1 ，x2 ，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=﹣，x1•x2=．请依照该材料解题：已知x1 ，x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，求+和x12x2+x1x22的值．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】【分析】∵一元二次方程的两根分别是、，∴==3．故选C．2.【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+3x﹣a=0的两个根，则x1+x2=﹣3，又﹣x2=﹣1，解得：x1=﹣2．即方程的另一个根是﹣2．故选：A．【分析】依照一元二次方程根与系数的关系x1+x2=﹣求另一个根即可．3.【答案】D【考点】根与系数的关系【解析】【分析】利用根与系数的关系求出m+n与mn的值，代入所求式子中运算即可求出值．【解答】∵x2-5x+2=0的两个解分别为m，n，∴m+n=5，mn=2，则m+n-mn=5-2=3．故选D【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练把握根与系数的关系是解本题的关键．4.【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：依照题意得x1+x2=1，x1x2=﹣m+2，∵（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣1，∴x1x2﹣（x1+x2）+1=﹣1，∴﹣m+2﹣1+1=﹣1，∴m=3．故选A．【分析】依照根与系数的关系得到x1+x2=1，x1x2=﹣m+2，再变形等式（x 1﹣1）（x2﹣1）=﹣1得到x1x2﹣（x1+x2）+1=﹣1，则有﹣m+2﹣1+1=﹣1，然后解此一元一次方程即可．5.【答案】B【考点】一元二次方程的根与系数的关系【解析】【解答】两根互为倒数则说明两根之积为1且△≥0，即，则a=c，∴只有②是正确的，③没有实数根．故答案为：B【分析】由两根互为倒数则说明两根之积为1且△≥0，可得出答案。
初中数学专题复习一元二次方程根与系数的关系(1)(含答案)
第12课一元二次方程根与系数的关系（一）目的：复习a x2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△的意义与应用，•了解一元二次方程根与系数的关系．中考基础知识1．因为a x2+bx+c=0（a≠0）的根为=b2-4ac的值控制；当△>0时⇔方程_______；当△=0时⇔方程________；当△<0时⇔方程_______；当△≥0时⇔方程________．2．判别式△的应用（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）已知方程根的情况，求方程中某一待定系数的取值范围．（3）求证方程根的情况．3．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的二根，则x1+x2=________，x1x2=________．备考例题指导例1．不解方程，判别下列方程根的情况：（1）x2-2x-5=0；（2）x2+x=-14；（3）3（x2+1）-5x=0；（4）2m x2+2（m+n）x+n=0（m、n为不为0的实数）．解：（1）∵△=（-2）2-4×1×（-5）=4+20=24>0，∴方程有两个不相等的实数根．注意必须说明是实数根．（2）∵△=12-4×1×14=1-1=0，∴方程有两个相等的实数根．（3）3x2+3-5x=0，3x2-5x+3=0，∵△=（-5）2-4×3×3=25-36=-11<0，∴方程无实数根．不能说成无解．（4）△=4（m+n）2-4×2m×n=4（m2+2mn+n2）-8mn=4（m2+n2），∵m、n≠0，∴△>0．∴方程有两个不相等的实数根．例2．k取何值时，一元二次方程（k-1）x2-（2k+1）x+k+1=0（1）有两个相异实数；（2）无实根．解：△=[-（2k+1）]2-4（k-1）（k+1）=4k2+4k+1-4k2+4=4k+5．（1）取△>0得4k+5>0，k>-54．且k≠1 （最易遗漏，一定小心．）∴k>-54且k≠1．（2）取△<0，得4k+5<0，∴k<-54．例3．（2005，宁波）已知关于x的方程x2-2（m+1）x+m2=0．（1）当m取何值时，方程有两个实数根；（2）当m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．解：（1）△=4（m+1）2-4m2=8m+4，当△≥0时，方程有两个实数根即8m+4≥0，m≥-12．（2）选取m=0，则原方程为：x2-2x=0．解得：x=0 或x=2．备考巩固练习1．（1）（2004，海南）已知关于x的方程x2-（2m-1）x+m2=0有两个不相等的实数，•那么m的最大整数值是（）（A）-1 （B）-1 （C）0 （D）1（2）（2005，杭州）若t是一元二次方程a x2+bx+c=0（a≠0）的根，则判别式△=b2-4ac 和完全平方式M=（2at+b）2的关系是（）（A）△=M （B）△>M （C）△<M （D）大小关系不能确定（3）（2005，兰州）已知关于x的一元二次方程x2-2（R+r）x+d2=0没有实数根，其中R、r分别为⊙O1、⊙O2的半径，d为两圆的圆心距，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（）（A）外离（B）相交（C）外切（D）内切2．（2002，江苏盐城）已知关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数根，求k•的取值范围．3．抛物线y=9x2-（b+6）x+b+1顶点在x轴上，求b的值．4．（2002，苏州）已知关于x的方程：x2-（m-2）x-24m=0．（1）求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根；（2）若这个方程的两个实根为x1，x2满足│x2│=│x1│+2，求m的值及相应的x1，x2的值．5．（2000，山东）如果m是实数，且不等式（m+1）x>m+1的解集是x<1，那么关于x的一元二次方程mx2-（m+1）x+14m=0的根的情况如何？6．（2003，北京）已知，关于x的方程x2-2mx+3m=0的两个实数根是x1，x2，且（x1-x2）2=16，如果关于x的另一个方程x2-2mx+6m-9=0的两个实数根都在x和x2之间，求m的值．17．（2005，绵阳）已知关于x的方程kx2-2（k+1）x+k-1=0有两个不相等的实数根，（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．答案:1．（1）C （2）A （3）A2．由△≥0得，4-4k≥0，∴k≤1，且k≠03．由△=0，[-（b+6）]2-4×9（b+1）=0，b2-24b=0 ∴b=0 或b=244．（1）△=[-（m-2）]2+m2=（m-2）2+m2∴无论m取何实数总有△>0．∴方程总有两个相异实根（2）分类讨论：由x1x2=24m≤0，∴两根异号①x1≥0，x2≤0，则由│x2│=│x1│+2得-x2=x1+2⇒x1+x2=-2，∴m-2=-2，∴m=0 x1=0，x2=-2②若x1≤0，x2≥0，则由│x2│=│x1│+2得x2=-x1+2⇒x1+x2=2，m-2=2，∴m=4这时x1x25．由题知m+1<0，∴m<-1⇒2m<-2，2m+1<-1而△=m2+2m+1-m2=2m+1 ∴△<0∴已知方程无实根6．解：∵x1，x2是方程x2-2mx+3m=0①的两个实数根∴x1+x2=2m，x1x2=3m ∵（x1-x2）2=16解之得m1=-1 m2=4（1）当m=-1时，方程①为x2+2x-3=0∴x1=-3 x2=1方程x2-2mx+6m-9=0 ②为x2+2x-15=0∴x′1=-5 x′2=3∵-5，3不在-3和1之间∴m=-1不合题意，舍去．（2）当m=4时，方程①为x2-8x+12=0，∴x1=2，x2=6，方程②为x2-8x+15=0，∴x′1=3 x′2=5∵2<3<5<6，即x1<x′1<x′2<x2，∴方程②的两根都在方程①的两根之间，∴m=4，•综合（1）（2）得m=47．（1）k>1 且k≠0 （2）不存在。
2018年人教版初三上册数学(一元二次方程根与系数关系)专题教案
变式训练
1、已知关于 的方程 。
（1）求证：方程必有两个不相等的实数根。
（2） 取何值时，方程有两个正根。
（3） 取何值时，方程有两异号根，且负根绝对值较大。
（4） 取何值时，方程至少有一根为零？
题型四：已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值．
(1)验根，不解方程，利用韦达定理可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根．
(2)由已知方程的一个根，求出另一个根及未知系数．
(3)不解方程，可以利用韦达定理求关于 的对称式的值，如
等等．说明：如果把含 的代数式中 互换，代数式不变，那么，我们就称这类代数式为关于 的对称式．
(4)已知方程的两根，求作这个一元二次方程．
3．已知a，b是方程x21=0的两根，求a22a 的值．
二.选择题
1.下列方程中，两实数根之和等于2的方程是（）
A.
B.
C.
D.
2.如果一元二次方程 的两个根为 ，那么 与 的值分别为（）
A. 3，2B.
C. D.
3.如果方程 的两个实数根分别为 ，那么 的值是（）
A. 3B. C. D.
4.如果 是方程 的两个根，那么 的值等于（）
A. B.3C. D.
课程主题：一元二次方程根与系数关系
教学内容
1、同步学校知识理解
2、上次课作业分析与讲解
1、一元二次方程 的求根公式为 。
2、一元二次方程 根的判别式为：
（1）当b2-4>0时，一元二次方程20（a≠0）有两个不相等实数根即x1= ，x2= ．
（2）当-40时，一元二次方程20（a≠0）有两个相等实数根即x12= ．
中考复习——一元二次方程的根与系数的关系(解析版)
中考复习——一元二次方程的根与系数的关系一、选择题1、已知x1，x2是一元二次方程x2-2x=0的两根，则x1+x2的值是（）．A. 0B. 2C. -2D. 4答案：B解答：∵x1，x2是一元二次方程x2-2x=0的两根，∴x1+x2=2．选B.2、若x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，则x1·x2的值是（）．A. 2B. -2C. 4D. -3答案：D解答：∵x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，∴x1·x2=-3．3、关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0的两个实数根的平方和为12，则m的值为（）．A. m=-2B. m=3C. m=3或m=-2D. m=3或m=2答案：A解答：设x1，x2是x2+2mx+m2+m=0的两个实数根，∴Δ=-4m≥0，∴m≤0，∴x1+x2=-2m，x1·x2=m2+m，∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1·x2=4m2-2m2-2m=2m2-2m=12，∴m=3或m=-2；∴m=-2．选A.4、一元二次方程x2-3x-2=0的两根为x1，x2，则下列结论正确的是（）．A. x1=-1，x2=2B. x1=1，x2=-2C. x1+x2=3D. x1x2=2解答：∵方程x2-3x-2=0的两根为x1，x2，∴x1+x2=-ba=3，x1·x2=ca=-2，∴C选项正确．5、α，β是关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的两实根，且1α+1β=-23，则m等于（）．A. –2B. –3C. 2D. 3答案：B解答：α，β是关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的两实根，∴α+β=2，αβ=m，∵1α+1β=αβαβ+=2m=-23，∴m=-3．选B.6、已知m，n是关于x的一元二次方程x2-2tx+t2-2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（）．A. 7B. 11C. 12D. 16答案：D解答：∵m，n是关于x的一元二次方程x2-2tx+t2-2t+4=0的两实数根，∴m+n=2t，mn=t2-2t+4，∴（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4=t2+2t+8=（t+1）2+7．∵方程有两个实数根，∴Δ=（-2t）2-4（t2-2t+4）=8t-16≥0，∴t≥2，∴（t+1）2+7≥（2+1）2+7=16．选D.7、若一元二次方程ax2=b，（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m-4，则ba=（）．A. -4B. 1C. 2D. 4解答：系数化为1时，由于一元二次方程的两个根互为相反数，所以和为0，即可求得m的值为1，两根分别为2，-2，所以ba=x2=4．8、若x1，x2是一元二次方程x2+x-3=0的两个实数根，则x23-4x12+17的值为（）．A. -2B. 6C. -4D. 4答案：A解答：∵x1,x2是一元二次方程x2+x-3=0的两个实数根，∴x12+x1-3=0，x22+x2-3=0，∴x22=-x2+3，x12=-x1+3，∴x23-4x12+17=x2·（-x2+3）-4（-x1+3）+17=-x22+3x2-4（-x1+3）+17=-（-x2+3）+3x2-4（-x1+3）+17=4x2-3+4x1-12+17=4（x1+x2）+2，根据根与系数的关系可得：x1+x2=-1，∴原式=4（x1+x2）+2=-4+2=-2．选A.9、方程x2-（m+6）x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，则m的值是（）．A. -2或3B. 3C. -2D. -3或2答案：C解答：∵x1+x2=m+6，x1x2=m2，x1+x2=x1x2，∴m+6=m2，解得m=3或m=-2，∵方程x2-（m+6）+m2=0有两个相等的实数根，∴Δ=b2-4ac=（m+6）2-4m2=-3m2+12m+36=0，解得m=6或m=-2，∴m=-2．10、已知a，b，c是△ABC三边的长，b＞a=c，且方程ax2+c=0的两根的差的绝对，则△ABC中最大角的度数是（）．A. 150°B. 120°C. 90°D. 60°答案：B解答：设x1、x2是ax2+c=0的两根，则x1+x2，x1x2=ca=1，∵x1-x2，∴|x1-x2，解以上方程组：（x1+x2）2-4x1x2=2，解得：b，∵b＞a=c，∴等腰三角形以b为底，∴∠A=∠C=30°，∴∠B=120°．二、填空题11、若关于x的一元二次方程x2-（a+5）x+8a=0的两个实数根分别为2和b，则ab=______．答案：4解答：∵关于x的一元二次方程x2-（a+5）x+8a=0的两个实数根分别为2和b，∴由韦达定理，得2528b ab a+=+⎧⎨=⎩，解得，14 ab=⎧⎨=⎩．∴ab=1×4=4．12、若关于x的方程x2+（k-2）x+k2=0的两根互为倒数，则k=______．答案：-1解答：设方程的两根为x 1，x 2，则x 1x 2=k 2，∵x 1与x 2互为倒数， ∴k 2=1，解得k =1或k =-1； ∵方程有两个实数根，Δ＞0，∴当k =1时，Δ＜0，舍去，故k 的值为-1． 13、已知一元二次方程x 2+2x -8=0的两根为x 1、x 2，则21x x +2x 1x 2+12xx =______． 答案：-372解答：∵x 1、x 2是方程x 2+2x -8=0的两根， ∴x 1+x 2=-2，x 1x 2=-8． ∴21x x +2x 1x 2+12x x ={}{}222112x x x x ++2x 1x 2=()21212122x x x x x x +-+2x 1x 2=()()22288--⨯--+2×（-8）=4168+--16 =-52-16 =-372． 14、已知关于x 的方程x 2+6x +k =0的两个根分别是x 1、x 2，且11x +21x =3，则k 的值为______． 答案：-2解答：∵关于x 的方程x 2+6x +k =0的两个根分别是x 1、x 2， ∴x 1+x 2=-6，x 1x 2=k ，∵11x +21x =1212x x x x +=3，∴6k-=3， ∴k =-2．15、若关于x 的方程x 2+2mx +m 2+3m -2=0有两个实数根x 1、x 2，则x 1（x 2+x 1）+x 22的最小值为______． 答案：54解答：关于x 的方程x 2+2mx +m 2+3m -2=0有两个实数根x 1、x 2，Δ=4m 2-4（m 2+3m -2）≥0，解得m ≤23由韦达定理可知x 1+x 2=-2m ，x 1·x 2=m 2+3m -2． x 1（x 2+x 1）+x 22 =x 1x 2+x 12+x 22 =（x 1+x 2）2-x 1x 2 =（-2m ）2-m 2-3m +2 =3m 2-3m +2=3（m -12）2+54． ∵m ≤23，∴当m =12时，取得最小值为54．16、对于任意实数a 、b ，定义：a ◆b =a 2+ab +b 2．若方程（x ◆2）-5=0的两根记为m 、n ，则m 2+n 2=______． 答案：6解答：∵（x ◆2）-5=x 2+2x +4-5， ∴m 、n 为方程x 2+2x -1=0的两个根， ∴m +n =-2，mn =-1， ∴m 2+n 2=（m +n ）2-2mn =6． 故答案为：6．17、阅读材料：设一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1+x 2=-b a ，x 1·x 2=c a． 根据该材料填空：已知x 1，x 2是方程x 2+6x +3=0的两实数根，则21x x +12x x 的值为______． 答案：10解答：由题意知，x 1+x 2=-6，x 1x 2=3，所以21x x +12x x =222112·x x x x +=()21212122·x x x x x x +-⋅=()26233--⨯=10．三、解答题18、已知关于x 的方程x 2+2x +a -2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围． （2）当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根． 答案：（1）a 的取值范围是a ＜3． （2）a 的值是-1，该方程的另一根为-3．解答：（1）∵b 2-4ac =（2）2-4×1×（a -2）=12-4a ＞0， 解得：a ＜3．∴a 的取值范围是a ＜3．（2）设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系得：111212x x a +=-⎧⎨⋅=-⎩，解得：113a x =-⎧⎨=-⎩， 则a 的值是-1，该方程的另一根为-3．19、已知关于x 的方程x 2-4x +k +1=0有两实数根． （1）求k 的取值范围．（2）设方程两实数根分别为x 1、x 2，且13x +23x =x 1x 2-4，求实数k 的值． 答案：（1）k ≤3． （2）k =-3．解答：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2-4x +k +1=0有两个实数根， ∴Δ=（-4）2-4×1×（k +1）≥0， 解得：k ≤3，故k 的取值范围为：k ≤3．（2）由根与系数的关系可得x 1+x 2=4，x 1x 2=k +1， 由13x +23x =x 1x 2-4可得()12123x x x x +=x 1x 2-4， 代入x 1+x 2和x 1x 2的值，可得：121k +=k +1-4， 解得：k 1=-3，k 2=5（舍去）， 经检验，k =-3是原方程的根， 故k =-3．20、已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m +1）x +m -2=0． （1）求证：无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程有两个实数根x 1，x 2，且x 1+x 2+3x 1x 2=1，求m 的值． 答案：（1）证明见解答． （2）8．解答：（1）依题意可得Δ=（2m +1）2-4（m -2）， =4m 2+9＞0．故无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）由根与系数的关系可得：()1212212x x m x x m ⎧+=-+⎨=-⎩， 由x 1+x 2+3x 1x 2=1，得-（2m +1）+3（m -2）=1， 解得m =8．21、已知关于x 的方程x 2+2x +a -2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围． （2）若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一根． 答案：（1）a 的取值范围是a ＜3． （2）a 的值是-1，该方程的另一根为-3．解答：（1）∵b 2-4ac =22-4×1×（a -2）=12-4a ＞0， 解得：a ＜3．∴a 的取值范围是a ＜3．（2）设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系得：11121?2x x a +=-⎧⎨=-⎩，解得：113a x =-⎧⎨=-⎩，则a的值是-1，该方程的另一根为-3．22、已知x 1，x 2是一元二次方程x 2-2x +k +2=0的两个实数根． （1）求k 的取值范围． （2）是否存在实数k ，使得等式11x +21x =k -2成立？如果存在，请求出k 的值；如果不存在，请说明理由． 答案：（1）k ≤-1． （2）存在，k 值为．解答：（1）∵一元二次方程x 2-2x +k +2=0有两个实数根， ∴Δ=（-2）2-4×1×（k +2）≥0， 解得：k ≤-1．（2）∵x 1，x 2是一元二次方程x 2-2x +k +2=0的两个实数根， ∴x 1+x 2=2，x 1x 2=k +2， ∵11x +21x =k -2， ∴1212x x x x +=22k +=k -2， ∴k 2-6=0，解得：k 1，k 2， 又∵k ≤-1， ∴k，∴存在这样的k 值，使得等式11x +21x =k -2成立，k 值为． 23、已知关于x 的一元二次方程x 2-4x -m 2=0． （1）求证：该方程有两个不等的实根．（2）若该方程的两个实数根x 1、x 2满足x 1+2x 2=9，求m 的值． 答案：（1）证明见解答．（2）m=解答：（1）∵在方程x2-4x-m2=0中，Δ=（-4）2-4×1×（-m2）=16+4m2＞0，∴该方程有两个不等的实根．（2）∵该方程的两个实数根分别为x1、x2，∴x1+x2=4①，x1·x2=-m2②．∵x1+2x2=9③，∴联立①③解之，得：x1=-1，x2=5，∴x1·x2=-5=-m2，解得：m=24、关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|=x1·x2，求k的值．答案：（1）k＞34．（2）k=2．解答：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ=（2k+1）2-4（k2+1）=4k2+4k+1-4k2-4=4k-3＞0，解得：k＞34．（2）∵k＞3 4∴x1+x2=-（2k+1）＜0，又∵x1·x2=k2+1＞0∴x1＜0，x2＜0∴|x1|+|x2|=-x1-x2=-（x1+x2）=2k+1，∵|x1|+|x2|=x1·x2，∴2k+1=k2+1，∴k1=0，k2=2，又∵k＞34，∴k=2．。
【初高中衔接】第6讲 一元二次方程根与系数的关系(含答案)
【第6讲】 一元二次方程根与系数的关系【基础知识回顾】知识点1 一元二次方程的根的判断式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+= (1) 当240b ac ->时，右端是正数，方程有两个不相等的实数根：x =(2) 当240b ac -=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：1,22bx a =-(3) 当240b ac -<时，右端是负数．因此，方程没有实数根．由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac ∆=- 知识点2 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：x x ==所以：12bx x a +=+=-，221222()422(2)4b b b ac cx x a a a a a-+---⋅=⋅===韦达定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么： 1212,b c x x x x a a +=-=【合作探究】探究一 ∆与根个数之间的关系【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：(1)22310x x -+= (2)24912y y +=(3)25(3)60x x +-=归纳总结：【练习1-1】已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根；(4) 方程无实数根．【练习1-2】已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．探究二 一元二次方程的根与系数的关系 【例2-1】若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2) 1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --；(4)12||x x -．归纳总结：【练习2】若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根． （1）求| x 1－x 2|的值； （2）求221211x x +的值；（3）x 13＋x 23．【例2-2】已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．【例2-2】关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．探究三 一元二次方程的根的范围【例3-1】若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．【例3-2】一元二次方程有两个实根，一个比3大，一个比3小，求的取值范围。
人教版九年级上册数学一元二次方程的根与系数的关系(含答案)
一元二次方程的根与系数的关系一、基础练习。
1．若x1，x2是一元二次方程x2－5x＋6＝0的两个根，则x1＋x2的值是()A．1 B．5 C．－5 D．62．设方程x2－4x－1＝0的两个根为x1与x2，则x1x2的值是()A．－4 B．－1 C．1 D．03．两个实数根的和为2的一元二次方程可能是()A．x2＋2x－3＝0 B．2x2－2x＋3＝0C．x2＋2x＋3＝0 D．x2－2x－3＝04．小强同学在解一元二次方程x2－3x＋c＝0时，正确解得x1＝1，x2＝2，则c的值为______．5．已知一元二次方程x2－6x－5＝0的两根为a，b，则1a＋1b的值是________．6．求下列方程两根的和与两根的积：(1)4x2－x＝4; (2)3x2－2x＝x＋2.7．已知一元二次方程x2－2x＋m＝0.(1)若方程有两个实数根，求m的范围；(2)若方程的两个实数根为x1，x2，且x1＋3x2＝3，求m的值．二、提高训练。
8．点(α，β)在反比例函数y＝kx的图象上，其中α，β是方程x2－2x－8＝0的两根，则k＝__________9．已知x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0的两实数根，则x2x1＋x1x2的值为________．10．已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根x1，x2.(1)求k的取值范围；(2)若|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值．一元二次方程的根与系数的关系（答案）1．B 2.B 3.D 4.25．－656．解：(1)原方程化为一般形式为3x 2－x －3＝0.所以x 1＋x 2＝－－13＝13，x 1x 2＝－33＝－1. (2)原方程化为一般形式为3x 2－3x －3＝0，即x 2－x －1＝0.所以x 1＋x 2＝－－11＝1，x 1x 2＝－11＝－1. 7．解：(1)∵方程x 2－2x ＋m ＝0有两个实数根， ∴Δ＝(－2)2－4m ≥0.解得m ≤1.(2)由两根关系可知，x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝m .解方程组121223 3.x x x x ⎧⎨⎩＋＝，＋＝解得123,21.2x x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝ ∴m ＝x 1·x 2＝34. 8．－89．1010．解：(1)由方程有两个实数根，可得Δ＝b 2－4ac ＝4(k －1)2－4k 2＝4k 2－8k ＋4－4k 2＝－8k ＋4≥0.解得k ≤12. (2)依据题意，可得x 1＋x 2＝2(k －1)．由(1)可知k ≤12， ∴2(k －1)＜0，x 1＋x 2＜0.∴|x 1＋x 2|＝－x 1－x 2＝x 1·x 2－1.∴－2(k －1)＝k 2－1.解得k 1＝1(舍去)，k 2＝－3.∴k 的值是－3.。
《一元二次方程的根与系数的关系》资料习题配答案
一元二次方程根与系数的关系习题6、已知关于x 的方程07)3(102=-++-m x m x ，若有一个根为0，则m =7，这时方程的另一个根是1；若两根之和为－35 ，则m =9-，这时方程的 两个根为15821=-=x x ，. 07)3(10)1(2=-++-m x m x 设方程解： ，则：、设原方程两根为b a )2(，则：另一根为1x 107103-=+=+m ab m b a ，10301+=+m x ① 53-原方程两根之和为 10701-=•m x ② 53103-=+=+m b a 由②，得：7=m 9-=∴m 代入将7=m ①，得： 08352=-+∴x x 原方程可化为：11=x 0)1)(85(=-+∴x x0171时，方程一根为，==∴x m 158=-=∴x x 或 7、如果5)1(222+++-m x m x 是一个完全平方式，则m =2； 05)1(222=+++-m x m x 解：令 0204)12(422=--++∴m m m是完全平方式5)1(222+++-m x m x 0168=-∴m有两个相等实根方程05)1(222=+++-∴m x m x 2=∴m0)5(4)]1(2[22=+-+-=∆∴m m8、方程6)4(22-=-x mx x 没有实数根，则最小的整数m =2; 6)4(22-=-x mx x 解：将方程 08848<+-∴m068)12(2=+--x x m 化简，得： 611>∴m 原方程没有实数根 2为最小整数m ∴0)12(2464<--=∆∴m9、已知方程)4()3)(1(2-=--m x m x x 两根的和与两根的积相等，则m =2;)4()3)(1(2-=--m x m x x 解：将方程 m m 3227=-∴ 06)27(22=+--m x m x 化简，得： 2=∴m，则：，设方程两根为21x x 048)]27([22>---=∆=m m m 时，当m x x m x x 32272121=-=+， 2=∴m 积相等方程两根的和与两根的10、设关于x 的方程062=+-k x x 的两根是m 和n ，且2023=+n m ，则k 值为16-; 是方程的两根、解：n m 代入将8=m ①，得：6=+n m ① 2-=nk mn = ② 代入，将28-==n m ③，得： 2023=+n m ③ 16)2(8-=-⨯=k①×2-③，得： 043616>-=∆-=k k 时，当8-=-m 16-=∴k8=∴m11、若方程01)12(22=++--m x m x 有实数根，则m 的取值范围是43-≤m ; 原方程有实数根解： 34≥-∴m0)1(4)]12([22≥+---=∆∴m m 43-≤∴m 04414422≥--+-∴m m m 根。
专题：一元二次方程根与系数的关系(含答案)-
一元二次方程根与系数的关系(一) 姓名◆课前预习1．如果一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=____，x 1x 2=____． 2．如果方程x 2+px+q=0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=_____，x 1x 2=________；以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是__________． ◆互动课堂【例1】写出下列方程的两根和与积(1)2x 3x-5=0- (2)22x +3x 8=0- (3)52x 7x 10-+=【例2】设方程4x 2－7x －3=0的两根为x 1，x 2，不解方程，求下列各式的值： （1）x 12+x 22； （2）（x 1－3）（x 2－3）；（3）21121x x x x x +++； （4）│x 1－x 2│．【例3】已知方程25x +kx 6=0-的一个根为2，求k 的值及另一个根 【例4】已知关于x 的一元二次方程x 2－（2k+1）x+4k －3=0。
（1）求证：无论x 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）当Rt △ABC 的斜边长b 和c 恰好是这个方程的两个根时，求△ABC 的周长．【例5】已知关于x 的一元二次方程22x +3x m+1=0-的两实根的倒数和为3, 求m 的值. ◆跟进课堂1．如果方程x 2+px+q=01，那么p=_____，q=_____． 2．已知一元二次方程x 2－5x －6=0x 1，x 2，则x 12+x 22=_______．3．已知x 1、x 2是关于x 的一元二次方程a 2x 2－（2a －3）x+1=0的两个实数根，如果1211x x +=－2，那么a 的值是_______．4．已知关于x 的方程x 2－3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为______． 5．已知方程x 2+3x －1=0的两个根为α、β，那么aβαβ+=_______．6．设方程x 2+x －1=0的两个实数根分别为x 1，x 2，则1211x x +的值为（ ）．A ．1B ．－1 CD 7．对于方程x 2+bx －2=0，以下观点正确的是（ ）．A ．方程有无实数根，要根据b 的取值而定B ．无论b 取何值，方程必有一正根，一负根C ．当b>0时，方程两根为正；b<0时，方程两根为负D ．∵－2<0，∴方程两根肯定为负 8．已知一个直角三角形两条直角边的长恰好是方程x 2－8x+7=0的两个根，•则这个直角三角形的斜边长是（ ）． A ．5 B ．3 C ．D ．99．已知α、β满足α+β=5，且αβ=6，则以α、β为两根的一元二次方程是（ ）．A ．x 2+5x+6=0B ．x 2－5x+6=0C ．x 2－5x －6=0D ．x 2+5x －6=0 10．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两异号实数根的条件是（ ）． A ．b a>0 B ．b a <0 C ．c a >0 D ．c a <0◆课外作业1．设x 1，x 2是方程x 2－4x+2=0的两实数根，则x 1+x 2=____，x 1·x 2=_____．2．关于x 的一元二次方程x 2+bx+c=0的两根为x 1=1，x 2=2，则x 2+bx+c •分解因式的结果为_______． 3．如果一个矩形的长和宽是一元二次方程x 2－10x+20=0的两个根，•那么这个矩形的周长是______．4.已知x 1，x 2是方程x 2－x －3=0的两个根，那么x 12+x 22的值是（ ） A ．1 B ．5 C ．7 D ．4945．已知关于x 的一元二次方程x 2－mx+2m －1=0的两个实数根的平方和为7，那么m •的值是（ ） A ．5 B ．－1 C ．5或－1 D ．－5或16．下列说法中正确的是（ ）A ．方程x 2+2x －7=0的两实数根之和是2B ．方程2x 2－3x －5=0的两实数根之积为52C ．方程x 2－2x －7=0的两实数根的平方和为18D ．方程2x 2+3x －5=0的两实数根的倒数和为357．若ab≠1，且有5a 2+2002a+9=0及9b 2+2002b+5=0，则ab的值是（ ） A ．95B ．59C ．－20025D ．－200298．设x 1，x 2是方程2x 2+4x －3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： （1）（x 1+1）（x 2+1）； （2）x 12x 2+x 1x 22； （3）2112x x x x +； （4）（x 1－x 2）2．9．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m －3）x+m 2=0的两个不相等的实数根α，β，满足11αβ+=1，求m 的值．10．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2+mx+n=0的两根，x 1+1，x 2+1是关于x 的方程x 2+nx+m=0的两根，求m ，n 的值．11．已知关于x 的方程x 2－2kx+k －14=0的一个根大于1，另一个根小于1，求实数k •的取值范围．12．已知x 1，x 2是一元二次方程2x 2－2x+m+1=0的两个实数根． （1）求实数m 的取值范围．（2）如果x 1，x 2满足不等式7+4x 1x 2>x 12+x 22，且m 为整数，求m 的值．13.已知关于x 的一元二次方程x 2－（m+2）x+14m 2－2=0．（1）当m为何值时，这个方程有两个相等的实数根．（2）如果这个方程的两个实数根x1，x2满足x12+x22=18，求m的值．答案:1．－ 1 2．37 3．124．2 5．－116．A 7．B 8．C 9．B 10．D11．（1）－52（2）3 （3）－143（4）10 12．m=－313．m=－1，n=－3 14．k>3 415．（1）m≤－12（2）m=－2或m=•－1。
一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)专题训练(有答案)--
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b cx x x x a a+=-=说明：（1）定理成立的条件0∆≥（2）注意公式重12bx x a+=-的负号与b 的符号的区别已知x1，x2是方程2x 2-x-5=0的两个根考点：根与系数的关系．专题：应用题．分析：利用根与系数的关系，分别求得x1+x2，x1/x2的值，整体代入所求的代数式即可．解：∵x1，x2是方程2x 2-x-5=0的两个根 ∴x1+x2=-b/a=12，x1×x2=c/a=-5/2本题考查了一元二次方程根与系数的关系．要掌握根与系数的关系式：x1+x2=-b/a ，x1×x2=c/a ．（1）计算对称式的值例一 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2) 1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．（2）定性判断字母系数的取值范围例二 一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k 的取值范围。
例三 已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．例四 已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．一元二次方程根与系数的关系练习题A 组1．一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．2k >B ．2,1k k <≠且C ．2k <D ．2,1k k >≠且2．若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为( )A ．2B ．2-C ．12 D ．923．已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，则m 等于( )A ．3-B ．5C ．53-或D ．53-或4．若t 是一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根，则判别式24b ac ∆=-和完全平方式2(2)M at b =+的关系是()A ．M ∆=B ．M ∆>C ．M ∆<D ．大小关系不能确定5．若实数a b ≠，且,a b 满足22850,850a a b b -+=-+=，则代数式1111b a a b --+--的值为( )A ．20-B ．2C ．220-或D ．220或6．如果方程2()()()0b c x c a x a b -+-+-=的两根相等，则,,a b c 之间的关系是 ______ 7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _______ ．8．若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，则k 的值是 _____ ．9．设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，则p = _____ ，q = _____ ．10．已知实数,,a b c 满足26,9a b c ab =-=-，则a = _____ ，b = _____ ，c = _____ ． 11．对于二次三项式21036x x -+，小明得出如下结论：无论x 取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？请您说明理由．12．若0n >，关于x 的方程21(2)04x m n x mn --+=有两个相等的的正实数根，求m n的值．13．已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=． (1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值．14．已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=的两根是一个矩形两边的长．(1) k 取何值时，方程存在两个正实数根？(2) k 的值．B 组1．已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x ． (1) 求k 的取值范围；(2) 是否存在实数k ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请您说明理由．2．已知关于x 的方程230x x m +-=的两个实数根的平方和等于11．求证：关于x 的方程22(3)640k x kmx m m -+-+-=有实数根．3．若12,x x 是关于x 的方程22(21)10x k x k -+++=的两个实数根，且12,x x 都大于1．(1) 求实数k的取值范围；(2) 若121 2xx，求k的值．。
一元二次方程根与系数关系(附答案)
一元二次方程根与系数的关系（附答案）一．选择题（共6小题）1．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（）A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定2．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1 D．m＜﹣13．关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定4．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是（）A．2 B．4 C．5 D．65．若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α+β的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣2 D．6．已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，则常数c的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．3二．填空题（共1小题）7．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p，q，且p2﹣pq+q2=18，则的值为．三．解答题（共8小题）8．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2，求该矩形的对角线L 的长．9．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．（1）若该方程的一个根为1，求a的值；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．10．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣2（x﹣m）=0（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程一个根为3，求m的值．11．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0．（1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值范围；（3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a的值．12．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根．（1）是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=﹣成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值；（3）若k=﹣2，λ=，试求λ的值．13．已知关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1+x2=x1x2+2，求k的值．14．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x1、x2是方程的两根，且x12+x22=22+x1x2，求实数m的值．15．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1、x2．（1）求m的取值范围；（2）若x12+x22=6x1x2，求m的值．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（）A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【解答】解：∵△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．2．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1 D．m＜﹣1【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，∴△=22﹣4×1×（﹣m）=4+4m≥0，解得：m≥﹣1．故选：A．3．关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定【解答】解：∵a=1，b=3，c=﹣1，∴△=b2﹣4ac=32﹣4×1×（﹣1）=13＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．4．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是（）A．2 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，∴x1+x2=2，x1x2=﹣，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=22﹣2×（﹣）=5．故选：C．5．若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α+β的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣2 D．【解答】解：∵α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，∴α+β=5．故选：B．6．已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，则常数c的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．3【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣4）2﹣4×1×（c+1）=12﹣4c=0，解得：c=3．故选：D．二．填空题（共1小题）7．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p，q，且p2﹣pq+q2=18，则的值为﹣5．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p、q，∴p+q=3，pq=a，∵p2﹣pq+q2=（p+q）2﹣3pq=18，即9﹣3a=18，∴a=﹣3，∴pq=﹣3，∴+====﹣5．故答案为：﹣5．三．解答题（共8小题）8．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2，求该矩形的对角线L 的长．【解答】解：（1）∵方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0有两个不相等的实数根，∴△=[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2+1）=4k﹣3＞0，∴k＞．（2）当k=2时，原方程为x2﹣5x+5=0，设方程的两个为m、n，∴m+n=5，mn=5，∴==．9．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．（1）若该方程的一个根为1，求a的值；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【解答】（1）解：将x=1代入原方程，得：1+a+a﹣2=0，解得：a=．（2）证明：△=a2﹣4（a﹣2）=（a﹣2）2+4．∵（a﹣2）2≥0，∴（a﹣2）2+4＞0，即△＞0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．10．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣2（x﹣m）=0（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程一个根为3，求m的值．【解答】（1）证明：原方程可化为x2﹣（2m+2）x+m2+2m=0，∵a=1，b=﹣（2m+2），c=m2+2m，∴△=b2﹣4ac=[﹣（2m+2）]2﹣4（m2+2m）=4＞0，∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）解：将x=3代入原方程，得：（3﹣m）2﹣2（3﹣m）=0，解得：m1=3，m2=1．∴m的值为3或1．11．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0．（1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值范围；（3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a的值．【解答】解：（1）把a=﹣11代入方程，得x2﹣x﹣12=0，（x+3）（x﹣4）=0，x+3=0或x﹣4=0，∴x1=﹣3，x2=4；（2）∵方程有两个实数根，∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a﹣1）≥0，解得；（3）∵是方程的两个实数根，，∴．∵[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，∴，把代入，得：[2+a﹣1][2+a﹣1]=9，即（1+a）2=9，解得a=﹣4，a=2（舍去），所以a的值为﹣412．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根．（1）是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=﹣成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值；（3）若k=﹣2，λ=，试求λ的值．【解答】解：（1）∵x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根，∴x1+x2=1，x1x2=，∴（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=2x12﹣4x1x2﹣x1x2+2x22=2（x1+x2）2﹣9x1x2=2×12﹣9×=2﹣，若2﹣=﹣成立，解上述方程得，k=，∵△=16k2﹣4×4k（k+1）=﹣16k＞0，∴k＜0，∵k=，∴矛盾，∴不存在这样k的值；（2）原式=﹣2=﹣2=﹣4=﹣，∴k+1=1或﹣1，或2，或﹣2，或4，或﹣4解得k=0或﹣2，1，﹣3，3，﹣5．∵k＜0．∴k=﹣2，﹣3或﹣5；（3）∵k=﹣2，λ=，x1+x2=1，∴λx2+x2=1，x2=，x1=，∵x1x2==，∴=，∴λ=3±3．13．已知关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1+x2=x1x2+2，求k的值．【解答】解：（1）∵关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根，∴，解得：k≤且k≠﹣1．（2）∵关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根x1，x2．∴x1+x2=，x1x2=．∵x1+x2=x1x2+2，即=+2，解得：k=﹣4，经检验，k=﹣4是原分式方程的解，∴k=﹣4．14．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x1、x2是方程的两根，且x12+x22=22+x1x2，求实数m的值．【解答】解：（1）△=[﹣2（m+1）]2﹣4（m2﹣3）=8m+16，当方程有两个不相等的实数根时，则有△＞0，即8m+16＞0，解得m＞﹣2；（2）根据一元二次方程根与系数之间的关系，得x1+x2=2（m+1），x1x2=m2﹣3，∵x12+x22=22+x1x2=（x1+x2）2﹣2x1x2，∴[2（m+1）]﹣2（m2﹣3）=6+（m2﹣3），化简，得m2+8m﹣9=0，解得m=1或m=﹣9（不合题意，舍去），∴实数m的值为1．15．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1、x2．（1）求m的取值范围；（2）若x12+x22=6x1x2，求m的值．【解答】解：（1）∵方程有两个实数根，∴△≥0，即（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0，解得m≤2；（2）由根与系数的关系可得x1+x2=2，x1x2=m﹣1，∵x12+x22=6x1x2，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=6x1x2，即（x1+x2）2=8x1x2，∴4=8（m﹣1），解得m=1.5．。
初中数学专题复习一元二次方程根与系数的关系(2)(含答案)
第13课 一元二次方程根与系数的关系（二）目的：复习x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a，并应用． 中考基础知识1．对于ax 2+bx+c=0（a ≠0）若其二根为x 1x 2，且△≥0，则x 1+x 2=________，x 1x 2=______．2．对1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩来讲，其中5个可变量x 1、x 2、a 、b 、c ，有两个方程，知其中的三个可求另外的两个，但一定要注意使用条件△≥0．换句话说，在使用△时必须考虑a ≠0，在使用x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a时，必考虑△≥0条件．3．已知方程的二根为m ，n ，还原方程的公式为：x 2-（m+n ）x+_____=0，即要写出一个一元二次方程必须求出两根之和x 1+x 2与两根之积x 1x 2．备考例题指导例1．已知方程x 2+（k-2）x+4=0的两实根为a 、b ，且a=4b ，求实数k 的值．分析：由题意得2,4,4.a b k ab a b +=-⎧⎪=⎨⎪=⎩三个方程三个未知数即可求k ，但要注意检验是否△≥0．例2．已知方程2x 2-kx-2k+1=0的两实根的平方和是294，求实数k 的值． 分析：∵x 1+x 2=2k ， x 1x 2=122k -， ① 而x 12+x 22=294． ② 把②配方将①代入可得关于k 的一元二次方程，从而求出k ，但要注意检验是否△≥0． 例3．（2005，江西）设关于x 的一元二次方程x 2-4x-2（k-1）=0有两个实数根x 1，x 2，•问是否存在x 1+x 2<x 1·x 2的情况？解析：不存在．由一元二次方程根与系数的关系，得x 1+x 2=4，x 1·x 2=-2（k-1）．假设存在x 1+x 2<x 1·x 2，即有4<-2（k-1）， k<-1．因为方程有实根，由根的判别式△=（-4）2-4[-2（k-1）]≥0，得k ≥-1． ∴k 值不存在，即不存在x 1+x 2<x 1·x 2的情况．例4．已知一元二次方程2x 2+3x-5=0，不解方程，求以该方程的两根的倒数为根的一元二次方程．分析：要求新方程需求y 1+y 2，y 1y 2的值，根据题意得y 1=11x ，y=21x ． ∴y 1+y 2=11x +21x =1212x x x x ， y 1y 2=121x x ，而x 1+x 2=-32，x 1x 2=-52，可求． 备考巩固练习1．填空题（1）已知3x 2-2x-1=0的二根为x 1，x 2，则x 1+x 2=______，x 1x 2=______，•11x +21x =•_______，•x 12+x 22=_______，x 1-x 2=________．（2）已知一元二次方程3x 2-kx-1=•0•的一根为3,则该方程的另一根为_____，•k=_______．（3）已知一元二次方程的两根为_______．2．（2002，成都）已知x 1，x 2是一元二次方程4k x 2-4kx+k+1=0的两个实数根．（1）是否存在实数k ，使（2x 1-x 2）（x 1-2x 2）=-32成立？若存在，求出k 值；若不存在，•请说明理由．（2）求使12x x +21x x -2的值为整数的实数k 的整数值．3．（2005，南通）已知关于x的方程x2-kx+k2+n=0有两个不相等的实数根x1，x2，且（2x1+x2）-8（2x1+x2）+15=0（1）求证：n<0；（2）试用k的代数式表示x1；（3）当n=-3时，求k的值．4．（2002，北京）在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边c=5，两直角边的长分别为a、b是关于x的一元二次方程x2-mx+2m-2=0的两个根，求Rt△ABC中较小锐角的正弦值．5．（2005，徐州）已知α、β是关于x 的一元二次方程（m-1）x 2-x+1=0的两个实数根，• 且满足（α+1）（β+1）=m+1，求实数m 的值．6．（2003，黑龙江）关于x 的方程kx 2+（k+1）x+4k =0，有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．答案:1．（1）x 1+x 2=23，x 1x 2=-13，11x +21x =1212x x x x +=-2 x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1x 2=49+23=109∵（x 1-x 2）2=（x 1+x 2）2-4x 1x 2=49+43=169∴x 1-x 2=±43 （2）2233133k x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴x 2=-19，k=263 （3）∵，（（=1∴这个方程为：x 2-4x+1=02．（1）12121212221121221143(2)(2)232422x x k x x k x x x x x x x x x x +=⎧⎪+⎪=⎪⎪⎨--=-⎪⎪⎪⇒--+=-⎪⎩ ①②代入③得2（x 1+x 2）2-9x 1x 2=-32，2-9(1)4k k +=-32 ∵k ≠0， ∴72=9(1)4k k +，k=95 而当k=95时，△<0，∴不存在 （2）12x x +21x x -2=221212x x x x +-=2121212()2x x x x x x +--2=11214k k k k +-+-2=4221k k k --+-221k k ++=41k -+ ∵值为整数，k 为整数 ∴k+1=±1，±2，±4∴k=0，-2，1，-3，3，-5∴由△≥0即16k 2-16k （k+1）≥0得k<0∴k+1<1 ∴k+1=-1，-2，-4 ∴k=-2，-3，-53．（1）证明：∵关于x 的方程x 2-kx+k 2+n=0有两个不相等的实数根，∴△=k 2-4（k 2+n ）=-3k 2-4n>0∴n<-34k 2 又-k 2≤0 ∴n<0 （2）x 1=3-k 或x 1=5-k（3）当x 1=3-k 时，k=1，当x 1=5-k 时，k 不存在，所求的k 的值为1． 4．22a b m ab m +=⎧⇒⎨=-⎩ a 2+2ab+b 2=m 2∵c 2=a 2+b 2=25∴25+2（2m-2）=m 2，m 2-4m-21=0（m-7）（m+3）=0 ∴m 1=7，m 2=-3∵a>0，b>0 ∴a+b>0 m=7∴712a b ab +=⎧⎨=⎩ ∴34a b =⎧⎨=⎩ 或43a b =⎧⎨=⎩∴较小角的正弦值为355．∵一元二次方程（m-1）x-x+1=0有两个实数根αβ， ∴210(1)4(1)0m m -≠⎧⎨∆=---≥⎩ 解之得m ≤54且m ≠1， 而α+β=11m -，αβ=11m -, 又（α+1）（β+1）=（α+β）+αβ+1=m+1∴11m -+11m -=m 解之得m 1=-1，m 2=2，经检验，m 1=-1，m 2=2都是原方程的根． ∵m ≤54， ∴m 2=2不合题意，舍去，∴m 的值为-1注：如果没有求出m 的取值范围，但在求出m 值后代入原方程检验，舍去m=2也正确．6．解：（1）由题意知，k ≠0，且△=（k+1）2-4k ·4k >0 ∴k>-12且k ≠0 （2）不存在，设方程的两根是x 1，x 2， ∵x 1x 2=14≠0 ∴ 11x +21x =1212x x x x +=0 ∴x 1+x 2=0∵x 1+x 2=-1k k+ ∴k+1=0 k=-1 由（1）知k<-12，所以满足条件的实数k 不存在．。
届中考复习一元二次方程的根与系数的关系专题练习含答案
届中考复习一元二次方程的根与系数的关系专题练习含答案文件管理序列号：[K8UY-K9IO69-O6M243-OL889-F88688]北京市朝阳区普通中学2018届初三中考数学复习一元二次方程的根与系数的关系专题复习练习题1．设α，β是一元二次方程x 2＋2x －1＝0的两个实数根，则αβ的值是( )A ．2B ．1C ．－2D ．－12．若方程3x 2－4x －4＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝( )A ．－4B ．3C ．－D.3．下列一元二次方程两实数根和为－4的是( )A ．x 2＋2x －4＝0B ．x 2－4x ＋4＝0C ．x 2＋4x ＋10＝0D ．x 2＋4x －5＝04.如果关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根分别为x 1＝2，x 2＝1，那么p ，q 的值分别是( )A ．－3，2B ．3，－2C ．2，－3D ．2，35．已知一元二次方程x 2－3x －1＝0的两个根分别是x 1，x 2，则x 12x 2＋x 1x 22的值为( )A ．－3B ．3C ．－6D ．66.已知α，β是一元二次方程x 2－5x －2＝0的两个实数根，则α2＋αβ＋β2的值为( )A ．－1B ．9C ．23D ．277.已知一元二次方程的两根之和是3，两根之积是－2，则这个方程是( )A ．x 2＋3x －2＝0B ．x 2＋3x ＋2＝0C ．x 2－3x －2＝0D ．x 2－3x ＋2＝08.已知m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋a ＝0的两个解，若(m －1)(n －1)＝－6，则a 的值为( )A ．－10B ．4C ．－4D ．109.菱形ABCD 的边长是5，两条对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋m 2＋3＝0的根，则m 的值为( )A ．－3B ．5C ．5或－3D ．－5或310.如果ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝________， x 1x 2＝________．11.一元二次方程2x 2＋7x ＝8的两根之积为________．12.设m ，n 分别为一元二次方程x 2＋2x －2018＝0的两个实数根，则m 2＋3m ＋n ＝________.13.已知x 1，x 2是方程x 2＋6x ＋3＝0的两实数根，则＋的值为________．14.已知方程x 2＋4x －2m ＝0的一个根α比另一个根β小4，则α＝______，β＝______，m ＝______．15.关于x 的一元二次方程x 2＋2x －2m ＋1＝0的两实数根之积为负，则实数m 的取值范围是________．16.在解某个方程时，甲看错了一次项的系数，得出的两个根为－9，－1；乙看错了常数项，得出的两根为8，2.则这个方程为________________．17.已知关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m －1＝0有两个实数根x 1，x 2. (1)求m 的取值范围；(2)当x 12＋x 22＝6x 1x 2时，求m 的值．18.关于x 的方程kx 2＋(k ＋2)x ＋＝0有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0.若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．19.不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积． (1)x 2＋2x ＋1＝0;(2)3x 2－2x －1＝0；(3)2x 2＋3＝7x 2＋x;(4)5x －5＝6x 2－4.20.已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2. (1)求k 的取值范围；(2)若|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值．21.已知x 1，x 2是一元二次方程(a －6)x 2＋2ax ＋a ＝0的两个实数根．(1)是否存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；(2)求使(x 1＋1)(x 2＋1)为负整数的实数a 的整数值． 答案： 1---9DDDAADCCA 10.－a/bc/a 11.－4 12.2016 13.10 14.10－400 15.m>1/2 16.x 2－10x ＋9＝017.解：(1)∵原方程有两个实数根，∴Δ＝(－2)2－4(m －1)≥0，整理得：4－4m ＋4≥0，解得：m≤2 (2)∵x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝m －1，x 12＋x 22＝6x 1x 2，∴(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝6x 1·x 2，即4＝8(m －1)，解得：m ＝.∵m ＝＜2，∴m 的值为18.解：(1)由题意可得Δ＝(k ＋2)2－4k×＞0，∴4k ＋4＞0，∴k ＞－1且k≠0 (2)∵＋＝0，∴＝0，∴x 1＋x 2＝0，∴－＝0，∴k ＝－2，又∵k＞－1且k≠0，∴不存在实数k 使两个实数根的倒数和等于0 19.解：(1)x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝1 (2)x 1＋x 2＝，x 1·x 2＝－ (3)x 1＋x 2＝－，x 1·x 2＝－ (4)x 1＋x 2＝，x 1·x 2＝20.解：(1)由Δ≥0得k≤ (2)当x 1＋x 2≥0时，2(k －1)＝k 2－1，∴k 1＝k 2＝1(舍去)；当x 1＋x 2＜0时，2(k －1)＝－(k 2－1)，∴k 1＝1(舍去)，k 2＝－3，∴k ＝－321.解：(1)存在．理由如下：根据题意，得Δ＝(2a)2－4a(a －6)＝24a≥0，解得a≥0，∵a －6≠0，∴a ≠6.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝.∵－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2.∴x 1＋x 2＋4＝x 1x 2.即－＋4＝，解得a ＝24.经检验，a ＝24是方程－＋4＝的解．∴a＝24(2)∵原式＝x 1＋x 2＋x 1x 2＋1＝－＋＋1＝为负整数．∴6－a ＝－1，－2，－3，－6，解得a ＝7，8，9，12。
初中数学专题复习一元二次方程的根与系数的关系(A)及参考答案
一元二次方程的根与系数的关系(A)一、 填空：1.一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）: 如果方程ax 2+bx+c=0(a ≠0,Δ≥0)有两个实数根x 1和x 2,那么x 1+x 2=______,x 1x 2=_____.2.韦达定理只能在一元二次方程有实数根的条件下使用，因此等式 x 1+x 2 = -a b ，x 1x 2= ac成立的条件是：a________,Δ________.3.根据乘法公式填空:(1)x 12+x 22=(x 1+x 2)2－______；(2)(x 1－x 2)2=(x 1+x 2)2－_______；（3）221212222121222221)(2___)(___11x x x x x x x x x x -+=+=+；(4). 丨x 1-x 2丨=a ∆. 4.设方程3x 2-9x-1=0的两个根是x 1和x 2,则下列各式的值是:(1)x 1+x 2 =_____；(2)x 1x 2 =____； (3)x 1x 22+x 12x 2=_____；(4)(x 1－3)(x 2－3) =_____；（5）x 12+x 22=____； （6）(x 1－x 2)2=____；(7)2111x x +=____; (8) + =_____；(9)丨x 1－x 2丨=_____。
5. 已知方程2x 2-mx+n=0的两个根是－3和4, 那么由韦达定理得：－3+4=____,－3×4=____, 所以m=____,n=____.6.已知方程x 2-13x+m=0的两根满足 x 1-4x 2+2=0,那么由韦达定理得⎩⎨⎧=+-=+024___2121x x x x ，解这个方程组，得x 1=____,x 2=____,所以m=___.7. 方程5x 2+kx －10=0的一根x 1=－5, 另一根是x 2, 那么⎩⎨⎧=-=+-___5___522x x ,所以另一个根是____,k=____.8. 若方程4x 2-12x+n=0的两个根之比是2∶3，设两根为2k 和3k ，则⎩⎨⎧=⨯=+__32__32k k k k ，所以n=____.9．若方程x 2-ax －2a=0的两个根之和是4a －3,则由韦达定理得4a －3=____，a=____,两个根之积是____.10.已知方程x 2－6x+m-3=0的两个根互为倒数，则x 1x 2=______=1, 所以m=_______,此时Δ=_____. 二、判断正误：（1）方程2x 2+3x+8=0没有实数根。
中考数学狙击重难点系列专题11----一元二次方程根与系数的关系(含答案)
一元二次方程根与系数的关系1. 已知a≥2，m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，则（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是（）A. 6B. 3C. ﹣3D. 02. 已知α，β是方程x2+2014x+1=0的两个根，则（1+2016α+α2）（1+2016β+β2）的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（）A. B. 3 C. 6 D. 94. 已知方程x2+5x+1=0的两个实数根分别为x1、x2，则x12+x22=________．5. ( 1分) 若关于的方程有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则的取值范围是________.6. ( 1分) 如果、是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式=________7. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k=0（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a=6，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的三边长？8.已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k=0（1）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边a=3，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长9. 如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1•x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：（1）若p=﹣4，q=3，求方程x2+px+q=0的两根．（2）已知实数a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，求+ 的值；（3）已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．10. 关于x的方程有两个不相等的实数根，（1）求m的取值范围；（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．11. 已知关于x的一元二次方程：x2﹣2（m+1）x+m2+5=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若原方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2，求m的值．12. 已知关于x的方程x2﹣（2k﹣3）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．（1）求k的取值范围；（2）试说明x1＜0，x2＜0；（3）若抛物线y=x2﹣（2k﹣3）x+k2+1与x轴交于A、B两点，点A、点B到原点的距离分别为OA、OB，且OA+OB=2OA•OB﹣3，求k的值．13. 已知二次函数图象的顶点坐标为（0，1），且过点（﹣1，），直线y=kx+2与y轴相交于点P，与二次函数图象交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）．（注：在解题过程中，你也可以阅读后面的材料）附：阅读材料任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比．即：设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则：x1+x2=﹣，x1•x2=能灵活运用这种关系，有时可以使解题更为简单．例：不解方程，求方程x2﹣3x=15两根的和与积．解：原方程变为：x2﹣3x﹣15=0∵一元二次方程的根与系数有关系：x1+x2=﹣，x1•x2=∴原方程两根之和=﹣=3，两根之积= =﹣15．（1）求该二次函数的解析式．（2）对（1）中的二次函数，当自变量x取值范围在﹣1＜x＜3时，请写出其函数值y的取值范围；（不必说明理由）（3）求证：在此二次函数图象下方的y轴上，必存在定点G，使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上，并求△GAB面积的最小值．14. 如图，抛物线y=ax2+bx﹣2经过点A（1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C．附：阅读材料法国弗朗索瓦•韦达最早发现一元二次方程中根与系数的关系为：两根之和等于一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积等于常数项羽二次项系数之比，人们称之为韦达定理．即：设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，则：x1+x2=﹣，x1•x2= 能灵活运用韦达定理，有时可以使解题更为简单．（1）求抛物线的解析式；（2）以点A为圆心，作于直线BC相切的⊙A，求⊙A的面积；（3）将直线BC向下平移n个单位后与抛物线交于点M、N，且线段MN=2CB，求直线MN的解析式及平移距离．15. 对于函数y=x n+x m，我们定义y'=nx n﹣1+mx m﹣1（m、n为常数）．例如y=x4+x2，则y'=4x3+2x．已知：y= x3+（m﹣1）x2+m2x．（1）若方程y′=0有两个相等实数根，则m的值为________；（2）若方程y′=m﹣有两个正数根，则m的取值范围为________．16. 如图，抛物线y= x2+ x﹣（k＞0）与x轴交于点A、B，点A在点B的右边，与y轴交于点C （1）如图1，若∠ACB=90°①求k的值________；②点P为x轴上方抛物线上一点，且点P到直线BC的距离为，则点P的坐标为________（请直接写出结果）（2）如图2，当k=2时，过原点O的任一直线y=mx（m≠0）交抛物线于点E、F（点E在点F的左边）①若OF=2OE，求直线y=mx的解析式；②求+ 的值．17. 已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两个实数根．（1）若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值；（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1、x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．答案解析部分一、单选题1.【答案】A【解析】【解答】解：∵m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，∴m，n是关于x的方程x2﹣2ax+2=0的两个根，∴m+n=2a，mn=2，∴（m﹣1）2+（n﹣1）2=m2﹣2m+1+n2﹣2n+1=（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）+2=4a2﹣4﹣4a+2=4（a﹣）2﹣3，∵a≥2，∴当a=2时，（m﹣1）2+（n﹣1）2有最小值，∴（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值=4（a﹣）2+3=4（2﹣）2﹣3=6，故选A．【分析】根据已知条件得到m，n是关于x的方程x2﹣2ax+2=0的两个根，根据根与系数的关系得到m+n=2a，mn=2，于是得到4（a﹣）2﹣3，当a=2时，（m﹣1）2+（n﹣1）2有最小值，代入即可得到结论．本题考查了根与系数的关系，二次函数的最值，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．2.【答案】D【解析】【解答】解：∵α，β是方程x2+2014x+1=0的两个根，∴α+β=﹣=﹣2014，α•β==1，（1+2016α+α2）（1+2016β+β2）=（αβ+2016α+α2）（αβ+2016β+β2）=α（β+2016+α）•β（α+2016+β）=αβ•（2016﹣2014）（2016﹣2014）=4．故选D．【分析】由根与系数的关系找出“α+β=﹣=﹣2014，α•β==1”，利用整体替换的方法将代数式（1+2016α+α2）（1+2016β+β2）中的1换成αβ，提取公因数代入数据即可得出结论．3.【答案】B【解析】【分析】设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2﹣8x+7=0的两个根，∴a+b=4，ab=3.5；根据勾股定理可得：c2=a2+b2=（a+b）2﹣2ab=16﹣7=9，∴c=3.故选B．二、填空题4.【答案】23【解析】【解答】解：∵方程x2+5x+1=0的两个实数根分别为x1、x2，∴x1+x2=﹣5，x1•x2=1，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=（﹣5）2﹣2×1=23．故答案为：23．【分析】由根与系数的关系可得x1+x2=﹣5、x1•x2=1，将其代入x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2中，即可求出结论．5.【答案】3＜m≤4【解析】【解答】解：∵关于x的方程（x-2）（x2-4x+m）=0有三个根，∴①x-2=0，解得x1=2；②x2-4x+m=0，∴△=16-4m≥0，即m≤4，∴x2=2+x3=2-又∵这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，且最长边为x2，∴x1+x3＞x2；解得3＜m≤4，∴m的取值范围是3＜m≤4．故答案为：3＜m≤4【分析】利用积为0的因数特点，可得出x-2=0或x2-4x+m=0，进而求出三个根，利用三角形构成条件，利用两根之和关系式，求出m的范围.6.【答案】2026【解析】【解答】解：如果m 、n 是两个不相等的实数，且满足m 2− m = 3 ，n 2 − n = 3 ，则、是关于的一元二次方程的两根，∴，，＝＝＝2×1-（-3）+2021=2026【分析】根据题意可得出m 、n 是关于x 的一元二次方程x 2− x = 3 的两根，再利用根与系数的关系求出m+n和mn的值及n 2 =n+ 3，分别代入可解答。
人教版2018年 九年级数学上册 一元二次方程根与系数关系解答题 专项复习(含答案)
2018年九年级数学上册一元二次方程根与系数关系解答题专项复习1.化简求值：（）÷，其中x的值为x2+2x﹣3=0的解．2.已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+2=0的两实数根x、x2满足x1x2=x1+x2﹣2．1（1）求a的值；（2）求出该一元二次方程的两实数根．3.关于x的方程为．(1)证明：方程有两个不相等的实数根．(2)是否存在实数m,使方程的两个实数根互为相反数？若存在,求出m的值及两个实数根；若不存在,请说明理由．4.已知关于x的一元二次方程．（1）判断这个一元二次方程的根的情况；（2）若等腰三角形的一边长为3，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．5.已知关于x的方程(a+c)x2+2bx-(c-a)=0 的两根之和为-1，两根之差为1,其中a,b,c是△ABC的三边长.(1)求方程的根；(2)试判断△ABC的形状.6.设a，b，c是△ABC的三条边，关于x的方程x2+x+c－a=0有两个相等的实数根，•方程3cx+2b=2a的根为x=0．（1）试判断△ABC的形状．（2）若a，b为方程x2+mx－3m=0的两个根，求m的值．7.已知关于x的一元二次方程(k﹣2)x2+2x+1=0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果k为正整数，且该方程的两个实根都是整数，求k的值．8.关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x和x2.1(1)求k的取值范围；(2)如果x1+x2-x1x2＜-1且k为整数，求k的值.9.关于x的方程有实根.(1)若方程只有一个实根，求出这个根；(2)若方程有两个不相等的实根x1，x2，且，求k的值.10.设x,x2是关于x的方程的两个实数根．试问：是否存在实数k使得成1立,请说明理由．11.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，且BC=8，当△ABC为等腰三角形时，求m 的值．12.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0，有两个不相等的实数根．(1)求实数m的最大整数值；(2)在(1)的条下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x12+x22﹣x1x2的值．13.关于x的方程k2x2+2(k-1)x+1=0。
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一元二次方程的根与系数的关系
1．设α，β是一元二次方程x 2＋2x －1＝0的两个实数根，则αβ的值是( )
A ．2
B ．1
C ．－2
D ．－1
2．若方程3x 2－4x －4＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝( )
A ．－4
B ．3
C ．－43 D.4
3
3．下列一元二次方程两实数根和为－4的是( )
A ．x 2＋2x －4＝0
B ．x 2－4x ＋4＝0
C ．x 2＋4x ＋10＝0
D ．x 2＋4x －5＝0
4. 如果关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根分别为x 1＝2，x 2＝1，那么p ，q 的值分别是( )
A ．－3，2
B ．3，－2
C ．2，－3
D ．2，3
5．已知一元二次方程x 2－3x －1＝0的两个根分别是x 1，x 2，则x 12x 2＋x 1x 22的值为( )
A ．－3
B ．3
C ．－6
D ．6
6. 已知α，β是一元二次方程x 2－5x －2＝0的两个实数根，则α2＋αβ＋β2的值为( )
A ．－1
B ．9
C ．23
D ．27
7. 已知一元二次方程的两根之和是3，两根之积是－2，则这个方程是( )
A ．x 2＋3x －2＝0
B ．x 2＋3x ＋2＝0
C ．x 2－3x －2＝0
D ．x 2－3x ＋2＝0
8. 已知m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋a ＝0的两个解，若(m －1)(n －1)＝－6，则a 的值为( )
A ．－10
B ．4
C ．－4
D ．10
9. 菱形ABCD 的边长是5，两条对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋m 2＋3＝0的根，则m 的值为( )
A ．－3
B ．5
C ．5或－3
D ．－5或3
10. 如果ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝________， x 1x 2＝________．
11. 一元二次方程2x 2＋7x ＝8的两根之积为________．
12. 设m ，n 分别为一元二次方程x 2＋2x －2 018＝0的两个实数根，则m 2＋3m ＋n ＝________.
13. 已知x 1，x 2是方程x 2
＋6x ＋3＝0的两实数根，则x 2x 1＋x 1
x 2
的值为________．
14. 已知方程x 2＋4x －2m ＝0的一个根α比另一个根β小4，则α＝______，β＝______，m ＝______．
15. 关于x 的一元二次方程x 2＋2x －2m ＋1＝0的两实数根之积为负，则实数m 的取值范围是________．
16. 在解某个方程时，甲看错了一次项的系数，得出的两个根为－9，－1；乙看错了常数项，得出的两根为8，2.则这个方程为________________． 17. 已知关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m －1＝0有两个实数根x 1，x 2. (1) 求m 的取值范围；
(2) 当x 12＋x 22＝6x 1x 2时，求m 的值．
18. 关于x 的方程kx 2
＋(k ＋2)x ＋k
4
＝0有两个不相等的实数根．
(1) 求k的取值范围；
(2) 是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0.若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
19. 不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积．
(1) x2＋2x＋1＝0;
(2) 3x2－2x－1＝0；
(3) 2x2＋3＝7x2＋x;
(4) 5x－5＝6x2－4.
20. 已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根x1，x2.
(1) 求k的取值范围；
(2) 若|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值．
21. 已知x1，x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．
(1) 是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；
(2) 求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．
答案：
1---9 DDDAA DCCA 10. －a/b c/a 11. －4 12. 2016 13. 10
14. 10 －4 0 0 15. m>1/2 16. x 2－10x ＋9＝0
17. 解：(1)∵原方程有两个实数根，∴Δ＝(－2)2－4(m －1)≥0，整理得：4－4m ＋4≥0，解得：m≤2 (2)∵x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝m －1，x 12＋x 22＝6x 1x 2，∴(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝6x 1·x 2，即4＝8(m －1)，解得：m ＝32.∵m ＝32＜2，∴m 的值为3
2
18. 解：(1)由题意可得Δ＝(k ＋2)2
－4k×k
4
＞0，∴4k ＋4＞0，∴k ＞－1且k≠0
(2)∵1x 1＋1x 2＝0，∴x 1＋x 2x 1x 2＝0，∴x 1＋x 2＝0，∴－k ＋2k ＝0，∴k ＝－2，又∵k＞－1
且k≠0，∴不存在实数k 使两个实数根的倒数和等于0 19. 解：(1)x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝1 (2)x 1＋x 2＝23，x 1·x 2＝－13
(3)x 1＋x 2＝－15，x 1·x 2＝－3
5
(4)x 1＋x 2＝56，x 1·x 2＝1
6
20. 解：(1)由Δ≥0得k≤1
2 (2)当x 1＋x 2≥0时，2(k －1)＝k 2－1，∴k 1＝k 2＝1(舍
去)；当x 1＋x 2＜0时，2(k －1)＝－(k 2－1)，∴k 1＝1(舍去)，k 2＝－3，∴k ＝－3
21. 解：(1)存在．理由如下：根据题意，得Δ＝(2a)2－4a(a －6)＝24a≥0，解得a≥0，∵a －6≠0，∴a ≠6.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－2a a －6，x 1x 2＝a
a －6.∵－x 1
＋x 1x 2＝4＋x 2.∴x 1＋x 2＋4＝x 1x 2.即－2a a －6＋4＝a
a －6，解得a ＝24.经检验，a ＝24是
方程－2a a －6＋4＝a
a －6
的解．∴a＝24
(2)∵原式＝x 1＋x 2＋x 1x 2＋1＝－2a a －6＋a a －6＋1＝66－a 为负整数．∴6－a ＝－1，
－2，－3，－6，解得a ＝7，8，9，12。