2013年高中毕业年级第二次联合考试数学文
2013年湖北七州市第二次联考数学文
试卷类型：B秘密★启用前2013年湖北七市（州）高三年级联合考试数学（文史类）本试题共4页。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
本科目考试时间：2013年4月18日下午15:00—17：00★祝考试顺利★注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己姓名、准考证号填写在试题卷和答卡。
用2B 铅笔将答题 卡上试卷类型B 后的方框涂黑。
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑C 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3. 非选择题的作答：用签字笔氪接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草 稿纸上无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1. 已知集合A={1，2，3} , B A= {3}, B A={1，2，3，4，5}，则集合B 的子集 的个数为A. 6B. 7C. 8D. 92. 命题“02,2≥+-∈∃x x R x ”的否定是A 02,2>+-∈∃x x R xB 02,2<+-∈∃x x R xC 02,2≥+-∈∀x x R xD 02,2<+-∈∀x x R x3. 已知a ，β表示两个不同的平面，l 为a 内的一条直线，则“a//β是“l//β”的A .充分不必要条件B .必要不充分条件 C. 充要条件D .既不充分也不必要条件4. 函数f(x) =2x-sinx 的零点个数为 A. 1B. 2C. 3D. 45. 不等式abb a x x 1622+<+对任意a ，b ∈ (0，+∞)恒成立，则实数x 的取值范围是A. ( -2, 0)B. ( -∞, -2) U (0，+∞)C. ( -4，2)D. ( -∞，-4) U (2，+∞)6. 如右图所示，程序框图输出的所有实数对 (x ，y)所对应的点都在函数A. y =x + 1的图象上B. y=2x 的图象上C. y=2x的图象上 D. y=2x-1的图象上7在区间[0, π]上随机取一个数x,则事件“sinx ≥cosx ”发生的概率为A41 B. 21 C 43D, 1 8. 定义：函数f(x)的定义域为D,如果对于任意的x 1∈D ，存在唯一的x 2∈D ，使得c x f x f =)()(21 (其中c 为常数）成立，则称函数f(x)在D 上的几何均值为c 则 下列函数在其定义域上的“几何均值”可以为2的是A. y = x 2+ 1B. y = sinx + 3C. y=e x (e 为自然对数的底）D. y= |lnx|9. 已知拋物线x 2=4py (p >0)与双曲线)0(12222>>=+b a by a x 有相同的焦点F ，点A是两曲线的一个交点，且AF 丄y 轴，则双曲线的离心率为A,215+ B. 12+ C. 13+ D. 212+10.设x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数z =ax+by (a>0, b>0)的最大值为8，点P 为曲线)0(312<-=x x y 上动点，则点P 到点（a ，b)的最小距离为 A.13137 B. O C. 26137 D. 1二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置$书写不清，模棱两可均不得分.11.若53sin =θ，θ为第二象限角，则tan2θ=______ 12.设复数iia z ++=1其中a 为实数，若z 的实部为2，则z 的虚部为_____.13.已知正方形ABCD 的边长为1,则｜BD AB -2｜=_______.14. 某行业从2013年开始实施绩效工资改革，为了解该行业职工工资收入情况，调查了 lOOO 名该行业的职工，并由所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，由图可知中位数为:_____现要从这1000人中再用分层抽样的方法抽出1OO 人作进一步调查，则月收入在[3500，4000)(元）内应抽出______人.15.某三棱锥P-ABC 的正视图为如图所示边长为2的正三角形，俯视图为等腰直角三角 形，则三棱锥的表面积是______.16挪威数学家阿贝尔，曾经根据阶梯形图形的两种不同分割(如下图)，利用它们的面积关系发现了一个重要的恒等式一阿贝尔公式：a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+…+a n b n =a 1(b 1-b 2)+L 2(b 2-b 3)+L 3(b 3-b 4)+…+L n-1(b n-1-b n )+L n b n则其中：(I)L 3= ；(Ⅱ)L n = ．17.若直线x=my-1与圆C:x 2 +y 2 + mx + ny + p = O 交于 A, B 两点，且A ，B 两点关于直线y = x 对称，则实数P 的取值范围为_______.三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18 (本小题满分12分)已知向量m =(3sin2x+2，cosx)，n =(1，2cosx)，设函数f(x)=m ·n ．(I)求f(x)的最小正周期与单调递增区间；(Ⅱ)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若A=3，b=f(65π),ΔABC 的面积为23，求a 的值19.(本小题满分12分）如图，在四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已 知平面AA 1C 1C 丄平面ABCD ，且AB=BC ＝CA=3， AD = CD =1(I)求证：BD 丄AA 1;(II)若四边形ACC 1A 1是菱形，且AC A 1∠=600，求四棱柱 ABCD-A 1B 1C 1D 1 的体积.20.(本小题满分13分）数列{a n }是公比为21的等比数列，且1-a 2是a 1与1+a 3的等比中项，前n 项和为S n ；数列{b n }是等差数列，b 1=8，其前n 项和T n 满足T n =n λ·b n+1(λ为常数，且λ≠1)． (I)求数列{a n }的通项公式及λ的值；(Ⅱ)比较11T +21T +31T +…+n T 1与了21S n 的大小．21.(本小题满分14分）在矩形ABCD 中，|AB|=23，|AD|=2，E 、F 、G 、H 分别为矩形四条边的中点，以HF 、GE 所在直线分别为x ，y 轴建立直角坐标系(如图所示)．若R 、R ′分别在线段0F 、CF 上，且|OF ||OR |=|OF ||CR'|=n1. (Ⅰ)求证：直线ER 与GR ′的交点P 在椭圆Ω：32x +2y =1上；(Ⅱ)若M 、N 为椭圆Ω上的两点，且直线GM 与直线GN 的斜率之积为32，求证：直线MN 过定点22. (本小题满分14分）已知函数f (x ）=ax 3 + x 2 - ax (R a ∈且a 0≠a ).(I) 若函数f(x)在{-∞，-1)和（31，+∞)上是增函数¥在（31,1-)上 是减函数，求A 的值；(II)讨论函数x ax x f x g ln 3)()(-=的单调递减区间； (III)如果存在)1,(--∞∈a ，使函数h(x)=f(x)+ )(x f ' ,x ],1[b -∈ (b> -1)，在x = -1处取得最小值，试求b 的最大值.2013年七市联考数学试题(文史类)（B 卷）参考答案一、选择题：CDAAC DCCBA 二、填空题：11.724-； 12.1-； 13.10 14. 3400 ， 25； 15.36+；16.（Ⅰ） 123a a a ++ ；（Ⅱ）123n a a a a ++++ 17.23-<p（注：填空题中有两个空的，第一个空2分，第二个空3分）18. 解：（Ⅰ）2()3sin 222cos 3sin 2cos 23f x m n x x x x →→=⋅=++=++ 2sin(2)36x π=++………………………3分∴()f x 的最小正周期22T ππ==…………………… 4分 由222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈∴()f x 的单调递增区间为,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦……………………6分 （Ⅱ）511()2sin 32sin 232sin 326666b f πππππ⎛⎫==+=-+=-+= ⎪⎝⎭ ……8分 13sin 122ABC S bc A c ∆==⇒= …………………10分在ABC ∆中，由余弦定理得22212cos 1421232a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯= 3a ∴= …………………… 12分 19.解：（Ⅰ）在四边形ABCD 中，因为BA BC =，DA DC =，所以BD AC ⊥ ………2分又平面11AA C C ⊥平面ABCD ，且平面11AA C C 平面ABCD AC =BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面11AA C C ………………4分 又因为1AA ⊂平面11AA C C ，所以1BD AA ⊥． ……………………6分 （Ⅱ）过点1A 作AC E A ⊥1于点E ， ∵平面⊥C C AA 11平面ABCD∴⊥E A 1平面ABCD ，即E A 1为四棱柱的一条高 ……8分 又∵四边形11A ACC 是菱形,且601=∠AC A ， ∴ 四棱柱1111D C B A ABCD -的高为133sin 602h A E ==︒= …………9分 又∵四棱柱1111D C B A ABCD -的底面面积11133()32222ABCD S AC BD ==⨯+=, …………………10分 ∴ 四棱柱1111D C B A ABCD -的体积为333322V =⨯=…………………12分 20、解：（Ⅰ）由题意)1()1(3122+=-a a a ，即)141()211(1121+=-a a a 解得211=a ，∴n n a )21(= …………………2分 又⎩⎨⎧==32212b T b T λλ，即⎩⎨⎧+=++=)28(216)8(8d d d λλ …………………4分解得⎪⎩⎪⎨⎧==821d λ 或⎩⎨⎧==01d λ（舍）∴21=λ …………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知n n S )21(1-=…………………7分∴41)21(21211≥-=+n n S ① …………………9分 又n n T n 442+=，)111(41)1(411+-=+=n n n n T n…………………11分 ∴41)111(41)1113121211(4111121<+-=+-++-+-=+++n n n T T T n ②…12分 由①②可知n n S T T T 2111121<+++ …………………13分 21、解：（Ⅰ）∵1OR CR OFCFn'==，∴3(,0)R n ，1(3,)n R n -' …………1分又(0,1)G 则直线GR '的方程为113y x n=-+ ① …………2分 1ACD BA1D1B1C第19题图又(0,1)E - 则直线ER 的方程为13ny x =- ② …………3分 由①②得222231(,)11n n P n n -++…………4分222222222223()14(1)1()131(1)n n n n n n n -+-++==++ ……5分 ∴直线ER 与GR '的交点P 在椭圆22:13x y Ω+=上……6分（Ⅱ）① 当直线MN 的斜率不存在时，设:(33)MN x t t =-<<则22(,1),(,1)33t t M t N t --- ∴31=⋅GN GM k k ,不合题意 …………8分② 当直线MN 的斜率存在时，设:MN y kx b =+ 1122(,),(,)M x y N x y联立方程2213y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得 222(13)6330k x kbx b +++-=则2212(31)0k b ∆=-+> ，22212213133316k b x x k kb x x +-=⋅+-=+，……10分 又()()()321111212212122211=-++-+=-⋅-=⋅x x b x x b k x x k x y x y k k GNGM即221212(32)3(1)()3(1)0k x x k b x x b -+-++-=将22212213133316k b x x k kb x x +-=⋅+-=+，代入上式得3b =- …………13分∴直线过定点(0,3)T - …………14分22.解：（Ⅰ）2'()32f x ax x a =+- …………………1分函数()f x 在()1,-∞-和⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,31上是增函数，在⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,1上是减函数，∴11,3-为()f x 的两个极值点，∴'(1)01'()03f f -=⎧⎪⎨=⎪⎩即3202033a a a a --=⎧⎪⎨+-=⎪⎩ …………………3分 解得：1a = …………………4分（Ⅱ）23()ln g x ax x a x a=+--，()g x 的定义域为()0,+∞， 222132()()3232'()21a x x a x ax a a g x ax ax ax ax-++-=+-== …………………5分 当0a >时，由'()0g x <解得1(0,)x a∈，()g x 的单调减区间为1(0,)a …………7分当0a <时，由'()0g x <解得3(,)2x a ∈-+∞，()g x 的单调减区间为3(,)2a-+∞……9分（Ⅲ）32()(31)(2)h x ax a x a x a =+++--，据题意知()(1)h x h ≥-在区间[]1,b -上恒成立，即2(1)(21)(13)0x ax a x a ⎡⎤++++-≥⎣⎦① …………………10分当1x =-时，不等式①成立；当1x b -<≤时，不等式①可化为2(21)(13)0ax a x a +++-≥② ………………11分令2()(21)(13)x ax a x a ϕ=+++-，由于二次函数()x ϕ的图象是开口向下的抛物线，故它在闭区间上的最小值必在端点处取得，又(1)40a ϕ-=->，所以不等式②恒成立的充要条件是()0b ϕ≥，即2(21)(13)0ab a b a +++-≥ …………………12分即22311b b b a+-≤-+，因为这个关于a 的不等式在区间(],1-∞-上有解，所以 2max 231117117()1122b b b b a +----+≤-=⇒≤≤+ …………………13分又1b >-，故11712b -+-<≤，max 1172b -+∴= …………………14分注：解答题中，若有不同解法，只要思路清晰，解法正确，请酌情给分。
2013年长春市高中毕业班第二次调研测试文科数学
简答与提示：
1.C ， ，则 .故选C.
2.D ，虚部为 .故选D.
3.B由 ，可得 ，即 ，所以 ，则 ， ，故选B.
4.B初始值 ，第1次循环后 ，第2次循环后 ，第3次循环后 ，此时 ，因此不进入第4次循环，输出 .故选B.
2013年长春市高中毕业班第二次调研测试
数学试题卷(文科)
数
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第II卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
1.答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写淸楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.
则 .
三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分)
17.(本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查利用数列性质与递推公式求取数列通项公式以及错位相减求和的应用.对考生的运算求解能力有较高要求.
【试题解析】解：(1)对于数列 有
①
②
① ②得 即 ，
时， 得 ，
则 ；(4分)
对于数列 有： ，可得 .(6分)
14.已知函数f(x)= (1+ tanx)cos2x的定义域为（0, )，则函数f(x)的值域为_____
15.向平面区域{(x,y)|x2+y2≤1}内随机投入一点，则该点落在区域 内的概率等于______.
16.如果一个棱柱的底面是正多边形，并且侧棱与底面垂直,这样的棱柱叫做正棱柱.已知一个正六棱柱的各个顶点都在半径为3的球面上，则该正六棱柱的体积的最大值为____
2013广州二模数学试题(文科试题含答案)
数学（文科）试题A 第 1 页 共 16 页试卷类型：B2013年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）2013.4本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。
用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“x ∃∈R ，2450x x ++≤”的否定是A ．x ∃∈R ，2450x x ++>B ．x ∃∈R ，2450x x ++≤ C ．x ∀∈R ，2450x x ++> D ．x ∀∈R ，2450x x ++≤2．如果函数()()ln 2f x x a =-+的定义域为(),1-∞，则实数a 的值为A ．2-B ．1-C ．1D ．23．对于任意向量a 、b 、c ，下列命题中正确的是A ．= a b a bB ．+=+a b a bC ．()()= a b c a b cD ．2= a a a4．若直线()1y k x =+与圆()2211x y ++=相交于A 、B 两点，则AB 的值为A ．2B ．1C ．12D ．与k 有关的数值数学（文科）试题A 第 2 页 共 16 页5．若1i -（i 是虚数单位）是关于x 的方程220x px q ++=（p q ∈R 、）的一个解，则p q += A ．3- B ．1- C ．1 D ．36．执行如图1所示的程序框图，输出的S 值为A ．225B ．196C ．169D ．144（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成 “←”或“﹕=”）7．若函数cos y x ω=()*ω∈N 的一个对称中心是06π⎛⎫⎪⎝⎭，，则ω的最小值为 A ．2 B ．3 C ．6 D ．98．一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示．若一个平行于 圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为1﹕7的上、下两 部分，则截面的面积为A ．14π B ．π C ．94π D ．4π9．已知01a <<，01x y <<≤，且log log 1a a x y = ，那么xy 的取值范围是 A ．(20a ⎤⎦， B ．(]0a ， C ．10a ⎛⎤ ⎥⎝⎦，D ．210a ⎛⎤ ⎥⎝⎦，10．某校高三（1）班50个学生选择选修模块课程，他们在A 、B 、C 三个模块中进行选择，且至少需要选择1个模块，具体模块选择的情况如下表：模块 模块选择的学生人数模块 模块选择的学生人数A 28 A 与B 11 B 26 A 与C 12 C26B 与C13则三个模块都选择的学生人数是A ．7B ．6C ．5D ．4图1 S S i =+ 0,1S i ==结束 开始 否 是 输出S 27?i > 2i i =+ 46图2数学（文科）试题A 第 3 页 共 16 页二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．如图3，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M （图中白色部分）．若在此三角形内随机取一点P ，则点P 落在区域M 内的概率为 ． 12．已知α为锐角，且3c o s 45απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则 sin α= ． 13．数列}{n a 的项是由1或2构成，且首项为1，在第k 个1和第1k +个1之间有21k -个2，即数列}{n a 为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列}{n a 的前n 项和为n S ，则20S = ；2013S = ． （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）在△ABC 中，D 是边AC 的中点，点E 在线段BD 上，且满足13BE BD =，延长AE 交BC 于点F ， 则BFFC的值为 ． 15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知点1,2A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，点P 是曲线2sin 4cos ρθθ=上任一点，设点P 到直线 cos 10ρθ+=的距离为d ，则PA d +的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位（每班学生50人），每班按随机抽样抽取了8名学生的视力数据．其中高三（1）班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：（1）用上述样本数据估计高三（1）班学生视力的平均值；（2）已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、4.8．若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于．．．0.2的概率．视力数据 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 人数2 2 2 1 1图3M数学（文科）试题A 第 4 页 共 16 页某单位有A 、B 、C 三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点O ，使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为80AB =m ，70BC =m ，50CA =m ．假定A 、B 、C 、O 四点在同一平面上． （1）求BAC ∠的大小；（2）求点O 到直线BC 的距离． 18．（本小题满分14分）如图4， 在三棱锥P ABC -中，90PAB PAC ACB ∠=∠=∠=．（1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ；（2）若1PA =，=2AB ，当三棱锥P ABC -的体积最大时， 求BC 的长．PABC图4数学（文科）试题A 第 5 页 共 16 页在等差数列{}n a 中，125a a +=，37a =，记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在正整数m 、n ，且1m n <<，使得1S 、m S 、n S 成等比数列？若存在，求出所有符合条件的m 、n 的值；若不存在，请说明理由．数学（文科）试题A 第 6 页 共 16 页已知函数2()2ln f x x a x =-()0a a ∈≠R 且．（1）若()f x 在定义域上为增函数，求实数a 的取值范围； （2）求函数()f x 在区间[1,2]上的最小值．数学（文科）试题A 第 7 页 共 16 页经过点()0,1F 且与直线1y =-相切的动圆的圆心轨迹为M ．点A 、D 在轨迹M 上，且关于y 轴对称，过线段AD （两端点除外）上的任意一点作直线l ，使直线l 与轨迹M 在点D 处的切线平行，设直线l 与轨迹M 交于点B 、C ． （1）求轨迹M 的方程；（2）证明：BAD CAD ∠=∠； （3）若点D 到直线AB 的距离等于22AD ，且△ABC 的面积为20，求直线BC 的方程．数学（文科）试题A 第 8 页 共 16 页2013年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．题号 1 23 4 56 7 8 9 10答案 C D D A C B B C A B二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题第一个空2分，第二个空3分．11．14π-12．210 13．36；3981 14．1415．2三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题主要考查随机抽样、平均数、古典概型等基础知识，考查数据处理能力，本小题满分12分） 解：（1）高三文科（1）班抽取的8名学生视力的平均值为4.42 4.62 4.82 4.95.14.78⨯+⨯+⨯++=．据此估计高三文科（1）班学生视力的平均值约为4.7．………………………………………………3分 （2）因为高三文科六个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、4.7、4.8，所以任意抽取两个文科班学生视力的平均值数对有()4.34.4，，()4.34.5，，()4.34.6，，()4.34.7，，()4.34.8，，()4.44.5，，()4.44.6，，()4.44.7，，()4.44.8，，()4.54.6，，()4.54.7，，()4.54.8，， ()4.64.7，，()4.64.8，，()4.74.8，，共15种情形．…………………………………………………7分 其中抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的有()4.34.5，，()4.34.6，，()4.34.7，，()4.34.8，，()4.44.6，，()4.44.7，，()4.44.8，，()4.54.7，，()4.54.8，，()4.64.8，，共10种． ……………………10分 所以抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率为102=153． ………………12分数学（文科）试题A 第 9 页 共 16 页17．（本小题主要考查解三角形等基础知识，考查正弦定理与余弦定理的应用，本小题满分12分） 解：（1）在△ABC 中，因为80AB =m ，70BC =m ，50CA =m ，由余弦定理得222cos 2AB AC BC BAC AB AC+-∠=⨯⨯ ………………………………………………………2分2228050701280502+-==⨯⨯． ……………………………………………………3分因为BAC ∠为△ABC 的内角，所以3BAC π∠=．……………………………………………………4分 （2）方法1：因为发射点O 到A 、B 、C 三个工作点的距离相等，所以点O 为△ABC 外接圆的圆心．……………………………………………………………………5分 设外接圆的半径为R ，在△ABC 中，由正弦定理得2sin BCR A=， ……………………………………………………………7分 因为70BC =，由（1）知3A π=，所以3sin 2A =． 所以7014032332R ==，即7033R =．…………………8分 过点O 作边BC 的垂线，垂足为D ，…………………………9分在△OBD 中，7033OB R ==，703522BC BD ===， 所以2222703353OD OB BD ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭………………………………………………………11分 3533=． 所以点O 到直线BC 的距离为3533m ．……………………………………………………………12分 方法2：因为发射点O 到A 、B 、C 三个工作点的距离相等， 所以点O 为△ABC 外接圆的圆心．……………………5分 连结OB ，OC ，过点O 作边BC 的垂线，垂足为D ， …………………6分 由（1）知3BAC π∠=， 所以3BOC 2π∠=． ABCODABCOD数学（文科）试题A 第 10 页 共 16 页所以3BOD π∠=．…………………………………………………………………………………………9分 在Rt △BOD 中，703522BC BD ===， 所以35353tan tan 603BD OD BOD ===∠ ．…………………………………………………………11分 所以点O 到直线BC 的距离为3533m ．……………………………………………………………12分18．（本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和几何体的体积计算等基础知识，考查空间想象能力等，本小题满分14分）（1）证明：因为90PAB PAC ∠=∠=，所以PA AB ⊥，PA AC ⊥．………………………………1分因为AB AC A = ，所以PA ⊥平面ABC ．…………………………………………………………2分 因为BC ⊂平面ABC ，所以BC PA ⊥．………………………………………………………………3分因为90ACB ∠=，所以BC CA ⊥．……………………………………………………………………4分因为PA CA A = ，所以BC ⊥平面PAC ．…………………………………………………………5分 因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAC ．………………………………………………6分 （2）方法1：由已知及（1）所证可知，PA ⊥平面ABC ，BC CA ⊥， 所以PA 是三棱锥P ABC -的高．……………………………7分 因为1PA =，=2AB ，设BC x =()02x <<，……………8分 所以2222224AC AB BC x x =-=-=-．…………9分因为13P ABC ABC V S PA -=⨯△ 2146x x =-………………………………………………………………………………10分()22146x x =- ()224162x x +-≤⨯…………………………………………………………………………11分 13=．…………………………………………………………………………………………12分 当且仅当224x x =-，即2x =时等号成立．………………………………………………………13分所以当三棱锥P ABC -的体积最大时，2=BC ．…………………………………………………14分PABC数学（文科）试题A 第 11 页 共 16 页方法2：由已知及（1）所证可知，PA ⊥平面ABC ，所以PA 是三棱锥P ABC -的高．………………………………………………………………………7分因为90ACB ∠=，设ABC θ∠=02πθ⎛⎫<<⎪⎝⎭，……………………………………………………8分 则cos 2cos BC AB θθ==，sin 2sin AC AB θθ==．……………………………………………9分所以112cos 2sin sin 222ABC S BC AC θθθ=⨯⨯=⨯⨯=△．………………………………………10分 所以13P ABC ABC V S PA -=⨯△1sin 23θ=． ………………………………………………………………………………11分因为02πθ<<，所以当4πθ=，P ABC V -有最大值13． …………………………………………………………………12分 此时2cos24BC π==．………………………………………………………………………………13分所以当三棱锥P ABC -的体积最大时，2=BC ．…………………………………………………14分19．（本小题主要考查等差数列、裂项法求和等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为1235,7.a a a +=⎧⎨=⎩即1125,27.a d a d +=⎧⎨+=⎩………………………………………………………………………2分 解得11,3.a d =⎧⎨=⎩………………………………………………………………………………………………3分 所以()()1113132n a a n d n n =+-=+-=-．所以数列{}n a 的通项公式为32n a n =-*()n ∈N ． …………………………………………………4分（2）因为()()111111323133231n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ……………………………………………5分 所以数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和数学（文科）试题A 第 12 页 共 16 页1223341111111n n n n n S a a a a a a a a a a -+=+++++1111111111111113434737103353233231n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11133131nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭．……………………………………………………………………………7分 假设存在正整数m 、n ，且1m n <<，使得1S 、m S 、n S 成等比数列，则21m n S S S =．……………………………………………………………………………………………8分即2131431m n m n ⎛⎫=⨯ ⎪++⎝⎭．………………………………………………………………………………9分 所以224361m n m m =-++．因为0n >，所以23610m m -++>． 即23610m m --<． 因为1m >，所以231133m <<+<． 因为*m ∈N ，所以2m =．……………………………………………………………………………12分此时22416361m n m m ==-++．…………………………………………………………………………13分 所以存在满足题意的正整数m 、n ，且只有一组解，即2m =，16n =． ………………………14分 20．（本小题主要考查函数的单调性和最值等基础知识，考查数形结合思想、分类讨论思想和运算求解能力等，本小题满分14分）解：（1）因为函数2()2ln f x x a x =-，所以函数()f x 的定义域为(0,)+∞．……………………………………………………………………1分 且2()2af x x x'=-．………………………………………………………………………………………2分 若()f x 在定义域上是增函数，数学（文科）试题A 第 13 页 共 16 页则2()20af x x x'=-≥在(0,)+∞上恒成立．…………………………………………………………3分 即2a x ≤在(0,)+∞上恒成立，所以0a ≤． …………………………………………………………4分 由已知0a ≠，所以实数a 的取值范围为(),0-∞．……………………………………………………………………5分 （2）①若0a <，由（1）知，函数2()2ln f x x a x =-在区间[1,2]上为增函数．所以函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为(1)1f =．…………………………………………………6分②若0a >，由于()()2222()x a x ax a f x x x+--'==， 所以函数()f x 在区间()0,a 上为减函数，在区间(),a +∞上为增函数．………………………7分（ⅰ）若1a ≤，即01a <≤时，()[1,2],a ⊂+∞，函数2()2ln f x x a x =-在区间[1,2]上为增函数，所以函数()f x 在[1,2]的最小值为(1)1f =．…………………………………………………………9分 （ⅱ）若12a <≤，即14a <≤时，函数2()2ln f x x a x =-在区间()1,a 为减函数，在(),2a 上为增函数，所以函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为()ln f a a a a =-．……………………………………11分（ⅲ）若2a >，即4a >时，()[1,2]0,a ⊂，函数()f x 在区间[1,2]上为减函数，所以函数()f x 在[1,2]的最小值为(2)42ln 2f a =-． ……………………………………………13分 综上所述，当1a ≤且0a ≠时，函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为(1)1f =． 当14a <≤时，函数()f x 在区间[1,2]的最小值为()ln fa a a a =-．当4a >时，函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为(2)42ln 2f a =-．………………14分数学（文科）试题A 第 14 页 共 16 页21．（本小题主要考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）解：（1）方法1：设动圆圆心为(),x y ，依题意得，()2211x y y +-=+．…………………………1分整理，得24x y =．所以轨迹M 的方程为24x y =．…………………………………………………2分 方法2：设动圆圆心为P ，依题意得点P 到定点()0,1F 的距离和点P 到定直线1y =-的距离相等， 根据抛物线的定义可知，动点P 的轨迹是抛物线．……………………………………………………1分 且其中定点()0,1F 为焦点，定直线1y =-为准线．所以动圆圆心P 的轨迹M 的方程为24x y =．………………………………………………………2分 （2）由（1）得24x y =，即214y x =，则12y x '=． 设点2001,4D x x ⎛⎫⎪⎝⎭，由导数的几何意义知，直线l 的斜率为012BC k x =．…………………………3分由题意知点2001,4A x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭．设点2111,4C x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4B x x ⎛⎫⎪⎝⎭，则2212120121114442BCx x x x k x x x -+===-，即1202x x x +=．………………………………………………4分因为2210101011444ACx x x x k x x --==+，2220202011444AB x x x x k x x --==+．……………………………5分 由于()120102020444AC ABx x x x x x x k k +---+=+==，即AC AB k k =-．………………………6分所以BAD CAD ∠=∠．…………………………………………………………………………………7分 （3）方法1：由点D 到AB 的距离等于22AD ，可知BAD ∠45= ．………………………………8分 不妨设点C 在AD 上方（如图），即21x x <，直线AB 的方程为：()20014y x x x -=-+． 由()20021,44.y x x x x y ⎧-=-+⎪⎨⎪=⎩A B CDOxylE数学（文科）试题A 第 15 页 共 16 页解得点B 的坐标为()20014,44x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．……………………………………………………………10分 所以()()00024222AB x x x =---=-．由（2）知CAD BAD ∠=∠45=，同理可得0222AC x =+．………………………………11分 所以△ABC 的面积2000122222244202S x x x =⨯-⨯+=-=， 解得03x =±．……………………………………………………………………………………………12分 当03x =时，点B 的坐标为11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，32BC k =， 直线BC 的方程为()13142y x -=+，即6470x y -+=．…………………………………………13分 当03x =-时，点B 的坐标为497,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，32BC k =-， 直线BC 的方程为()493742y x -=-+，即6470x y +-=． ……………………………………14分 方法2：由点D 到AB 的距离等于22AD ，可知BAD ∠45= ．…………………………………8分 由（2）知CAD BAD ∠=∠45= ，所以CAB ∠90=，即AC AB ⊥．由（2）知104AC x x k -=，204AB x x k -=． 所以1020144AC ABx x x xk k --=⨯=-．即()()102016x x x x --=-． ① 由（2）知1202x x x +=． ②不妨设点C 在AD 上方（如图），即21x x <，由①、②解得10204,4.x x x x =+⎧⎨=-⎩…………………………10分因为()2222202001122244AB x x x x x ⎛⎫=++-=- ⎪⎝⎭，同理0222AC x =+． ………………………………………………………………………………11分 以下同方法1．数学（文科）试题A 第 16 页共 16 页。
2013年高考全国Ⅱ文科数学试题及答案(word解析版)6645.docx
2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国II ）数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2013年全国Ⅱ，文1，5分】已知集合{|31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---，则M N =（ ）（A ）{2,1,0,1}-- （B ）{3,2,1,0}--- （C ）{2,1,0}-- （D ）{3,2,1}--- 【答案】C【解析】因为{31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---，所以M N {2,1,0}=--，故选C ． （2）【2013年全国Ⅱ，文2，5分】21i=+（ ） （A） （B ）2 （C（D ）1 【答案】C【解析】22(1i)2(1i)1i 1i (1i)(1i)2--===-+-+，所以21i =+C ． （3）【2013年全国Ⅱ，文3，5分】设,x y 满足约束条件10103x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是（ ）（A ）7- （B ）6- （C ）5- （D ）3- 【答案】B【解析】由23z x y =-得32y x z =-，即233z y x =-．作出可行域如图，平移直线233zy x =-，由图象可知当直线233z y x =-经过点B 时，直线233zy x =-的截距最大，此时z 取得最小值，由103x y x -+=⎧⎨=⎩得34x y =⎧⎨=⎩，即(3,4)B ，代入直线23z x y =-得32346z =⨯-⨯=-，故选B ．（4）【2013年全国Ⅱ，文4，5分】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则 ABC ∆的面积为（ ）（A）2 （B1 （C）2 （D1【答案】B【解析】因为,64B C ππ==，所以712A π=．由正弦定理得sin sin 64b c ππ=，解得c =117sin 2sin 2212bc A π=⨯⨯．因为711sin sin())123422πππ=+，所以11sin )1222bc A =+=+，故选B ． （5）【2013年全国Ⅱ，文5，5分】设椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=，则C 的离心率为（ ）（A（B ）13（C ）12 （D【答案】D【解析】因为21212,30PF F F PF F ⊥∠=，所以2122tan30,PF c PF ===．又122PF PF a+==，所以c a ==，故选D ． （6）【2013年全国Ⅱ，文6，5分】已知2sin 23α=，则2cos ()4πα+=（ ）（A ）16 （B ）13（C ）12 （D ）23【答案】A【解析】因为21cos2()1cos(2)1sin 242cos ()4222ππααπαα++++-+===，所以2211sin 213cos ()4226παα--+===，故选A ．（7）【2013年全国Ⅱ，文7，5分】执行右面的程序框图，如果输入的4N =，那么输出的S =（ ）（A ）1111234+++ （B ）1111232432+++⨯⨯⨯ （C ）111112345++++ （D ）111112324325432++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【答案】B【解析】第一次循环，1,1,2T S k ===；第二次循环，11,1,322T S k ==+=；第三次循环，111,1,423223T S k ==++=⨯⨯，第四次循环，1111,1,5234223234T S k ==+++=⨯⨯⨯⨯⨯，此时满足条件输出1111223234S =+++⨯⨯⨯，故选B ． （8）【2013年全国Ⅱ，文8，5分】设3log 2a =，5log 2b =，2log 3c =，则（ ）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 【答案】D【解析】因为321log 21log 3=<，521log 21log 5=<，又2log 31>，所以c 最大．又221log 3log 5<<，所以2211log 3log 5>，即a b >，所以c a b >>，故选D ． （9）【2013年全国Ⅱ，文9，5分】一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是()1,0,1，()1,1,0，()0,1,1，()0,0,0，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】A【解析】在空间直角坐标系中，先画出四面体O ABC -的直观图，以zOx 平面为投影面，则得到正视图(坐标系中红色部分)，故选A ．（10）【2013年全国Ⅱ，文10，5分】设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若||3||AF BF =，则l 的方程为（ ） （A ）1y x =-或1y x =-+（B）1)y x =-或1)y x =-（C ）1)y x =-或1)y x =-（D）1)y x =-或1)y x =- 【答案】C【解析】抛物线24y x =的焦点坐标为10（,），准线方程为1x =-，设11A x y （，），22B x y （，），则因为3AF BF =， 所以12131x x +=+（），所以1232x x =+，因为123y y =，129x x =，所以13x =，213x =，当13x =时，2112y =，所以此时1y ==±，若1y =1(,3A B ，此时AB k =，此时直线方程为1)y x =-．若1y =-，则1(3,()3A B -，此时AB k =，此时直线方程为1)y x =-．所以l 的方程是1)y x =-或1)y x =-，故选C ．（11）【2013年全国Ⅱ，文11，5分】已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ）（A ）0x R ∃∈，0()0f x = （B ）函数()y f x =的图象是中心对称图形 （C ）若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减（D ）若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x = 【答案】C【解析】若0c =则有(0)0f =，所以A 正确．由32()f x x ax bx c =+++得32()f x c x ax bx -=++，因为函数32y x ax bx =++的对称中心为0,0（），所以32()f x x ax bx c =+++的对称中心为(0,)c ，所以B 正确．由三次函数的图象可知，若0x 是()f x 的极小值点，则极大值点在0x 的左侧，所以函数在区间0,x -∞（）单调递减是错误的，D 正确，故选C ．（12）【2013年全国Ⅱ，文12，5分】若存在正数x 使2()1x x a -<成立，则a 的取值范围是（ ） （A ）(,)-∞+∞ （B ）(2,)-+∞ （C ）(0,)+∞ （D ）(1,)-+∞【答案】D【解析】解法一：因为20x >，所以由2()1x x a -<得122x x x a --<=，在坐标系中，作出函数 (),()2xf x x ag x -=-=的图象，当0x >时，()21x g x -=<，所以如果存在0x >，使2()1x x a -<，则有1a -<，即1a >-，故选D ． 解法二：由题意可得，()102xa x x ⎛⎫>-> ⎪⎝⎭．令()12xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，该函数在(0)∞，＋上为增函数，可知()f x 的值域为()1∞－，＋，故1a >-时，存在正数x 使原不等式成立，故选D ．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上 （13）【2013年全国Ⅱ，文13，5分】从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是______．【答案】15【解析】从5个正整中任意取出两个不同的数，有2510C =种，若取出的两数之和等于5，则有(1,4),(2,3)，共有2个，所以取出的两数之和等于5的概率为21105=．（14）【2013年全国Ⅱ，文14，5分】已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=__ ____． 【答案】2【解析】在正方形中，12AE AD DC =+，BD BA AD AD DC =+=-，所以2222111()()222222AE BD AD DC AD DC AD DC ⋅=+⋅-=-=-⨯=．（15）【2013年全国Ⅱ，文15，5分】已知正四棱锥O ABCD -则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为_______．【答案】24π【解析】设正四棱锥的高为h ，则213h ⨯，解得高h =．=所以OA =2424ππ=． （16）【2013年全国Ⅱ，文16，5分】函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+的图象重合，则ϕ=_______．【答案】56π【解析】函数cos(2)y x ϕ=+，向右平移2π个单位，得到sin(2)3y x π=+，即sin(2)3y x π=+向左平移2π个单位得到函数cos(2)y x ϕ=+，sin(2)3y x π=+向左平移2π个单位，得sin[2()]sin(2)233y x x ππππ=++=++sin(2)cos(2)323x x πππ=-+=++5cos(2)6x π=+，即56πϕ=． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）【2013年全国Ⅱ，文17，12分】已知等差数列{}n a 的公差不为零，125a =，且11113,,a a a 成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式； （2）求14732+n a a a a -++⋅⋅⋅+．解：（1）设{}n a 的公差为d ．由题意，211113a a a =，即2111()1012()a d a a d ＋＝＋．于是1225(0)d a d ＋＝．又125a ＝，所以0d ＝ (舍去)，2d =-．故227n a n =-+．（2）令14732n n S a a a a -=+++⋯+．由（1）知32631n a n -=-+，故32{}n a -是首项为25，公差为6-的等差数列．从而()()2132656328n n S a a n n n -=+=-+=-+．（18）【2013年全国Ⅱ，文18，12分】如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点．（1）证明：1//BC 平面11A CD ；（2）设12AA AC CB ===，AB =1C A DE -的体积．解：（1）连结1AC 交1A C 于点F ，则F 为1AC 中点．又D 是AB 中点，连结DF ，则1//BC DF ．因为DF ⊂平面1ACD ，1BC ⊄平面1ACD ，所以1//BC 平面1ACD ． （2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AA CD ⊥．由已知AC CB =，D 为AB 的中点，所以CD AB ⊥．又1AA AB A =，于是CD ⊥平面11ABB A ．由12AA AC CB ===，AB =90ACB ∠=︒，CD =，1A D =DE =，13A E =，故22211A D DE A E +=，即1D E A D ⊥． 所以111132C A DE V -⨯==．（19）【2013年全国Ⅱ，文19，12分】经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X (单位：t ，100150X ≤≤)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润 （1）将T 表示为X 的函数；（2）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率．解：（1）当[)10,30X ∈时，()50030013080039000T X X X =--=-，当[]130,5X ∈时，50013065000T =⨯=． 所以80039000,10013065000,130150X X T X -≤<⎧=⎨≤≤⎩．1（2）由（1）知利润T 不少于57000元当且仅当120150X ≤≤．由直方图知需求量[]120,150X ∈的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7．（20）【2013年全国Ⅱ，文20，12分】在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x轴上截得线段长为在y 轴上截得线段长为（1）求圆心P 的轨迹方程；（2）若P 点到直线y x =的距离为2，求圆P 的方程． 解：（1）设()P x y ，，圆P 的半径为r ．由题设222y r +=，223x r +=．从而2223y x +=+．故P 点的轨迹方程为221y x -=． （2）设00()P x y ，2=．又P 点在双曲线221y x -=上，从而得002210||11x y y x -=⎧⎨-=⎩ 由00220011x y y x -=⎧⎨-=⎩得0001x y =⎧⎨=-⎩，此时，圆P 的半径r =3．由00220011x y y x -=-⎧⎨-=⎩得001x y =⎧⎨=⎩，此时，圆P的半径r =． 故圆P 的方程为()2213x y +-=或()2213x y ++=．（21）【2013年全国Ⅱ，文21，12分】已知函数2()x f x x e -=．（1）求()f x 的极小值和极大值；（2）当曲线()y f x =的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围．解：（1）()f x 的定义域为()-∞+∞，，()()2x f x e x x -'=--．① 当)0(x ∈-∞，或2()x ∈+∞，时，()0f x '＜；当)2(0x ∈,时，()0f x '＞．所以()f x 在()0-∞,，(2)+∞，单调递减，在(0)2,单调递增．故当0x =时，()f x取得极小值，极小值为()00f =；当2x =时，()f x 取得极大值，极大值为()224f e -=．（2）设切点为()()t f t ，，则l 的方程为()()()y f t x t f t ='-+．所以l 在x 轴上的截距为()()223'()22f t t t t t f t t m t t -=+=-++--=．由已知和①得()02()t ∈-∞+∞，，．令()()20h x x x x+=≠， 则当0()x ∈+∞，时，()h x的取值范围为⎡⎤+∞⎣⎦；当2()x ∈-∞-，时，()h x 的取值范围是()3-∞-，． 所以当()02()t ∈-∞+∞，，时，()m t 的取值范围是0()223,⎡⎤+-+∞⎦∞⎣，． 综上，l 在x 轴上的截距的取值范围是0()223,⎡⎤+-+∞⎦∞⎣，． 请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个 题目计分，做答时请写清题号． （22）【2013年全国Ⅱ，文22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，CD 为ABC ∆外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且··BC AE DC AF =，B ， E ，F ，C 四点共圆．（1）证明：CA 是ABC ∆外接圆的直径；（2）若DB BE EA ==，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值．解：（1）因为CD 为ABC ∆外接圆的切线，所以DCB A ∠=∠，由题设知BC DCFA EA=，故CDB AEF ∆∆∽， 所以DBC EFA ∠=∠．因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以CFE DBC ∠=∠，故90EFA CFE ∠=∠=︒． 所以90CBA ∠=︒，因此CA 是ABC ∆外接圆的直径．（2）连结CE ，因为90CBE ∠=︒，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由D B B E =，有C E D C =又22·2BC DB BA DB ==，所以222246CA DB BC DB =+=．而22·3DC DB DA DB ==，故过B ，E ，F ， C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值为12．（23）【2013年全国Ⅱ，文23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知动点P Q 、都在曲线2cos :2sin x tC y t=⎧⎨=⎩（t 为参数）上，对应参数分别为=t α与=2t α（02απ<<），M 为PQ 的中点． （1）求M 的轨迹的参数方程；（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 解：（1）依题意有2cos (n )2si P αα，，2cos2(2)2sin Q αα，，因此cos cos ()2sin sin2M αααα++，．M 的轨迹的参数方程为cos cos 2sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩(α为参数，02απ<<)．（2）M 点到坐标原点的距离)02d απ=<<．当απ=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点．（24）【2013年全国Ⅱ，文24，10分】（选修4-5：不等式选讲）设a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，证明：（1）13ab bc ac ++≤；（2）2221a b c b c a++≥．解：（1）由222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥，得222a b c ab bc ca ++≥++．由题设得()21a b c ++=，即2222221a b c a b b c c a +++++=．()31ab bc ca ∴++≤，即13a b b c c a ++≤． （2）因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥，故()222(2)a b c a a b c c a b c b +≥++++++，即222a b c a b c b c a ≥++++．所以2221a b c b c a++≥．。
2013年云南省第二次高中毕业生复习统一检测文科数学
2013年云南省第二次高中毕业生复习统一检测文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的标准差(n s x x =++-其中x 为样本平均数 柱体体积公式VSh =其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高球的表面积，体积公式24R S π=，334R V π=其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,2S =，集合{}T a =，∅表示空集，如果ST S =，那么a 的值是A ．∅B ．1C ．2D ．1或22．抛物线218y x =的焦点坐标为 A ．(0,2) B ．1(0,)32C ．(2,0)D ．1(,0)323．一个由正数组成的等比数列，它的前4项和是前2项和的5倍，则此数列的公比为A ．1B ．2C ．3D ．44．已知平面向量(1,2)a =，(,1)b x =，如果向量2a b +与2a b -平行，那么a 与b 的数量积a b⋅等于A ．2-B ．1-C ．32D ．525．如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是半径为1的半径，俯视图是半径为1的圆，则该几何体的体积等于A ．4πB ．43πC ．23π D ．3π6．曲线(1)(2)3lny x x x x =---在点(1,0)处的切线方程为正视图 侧视图俯视图A ．440x y --=B ．440x y +-=C ．330x y --=D ．330x y +-= 7．已知i 是虚数单位，如果复数z 满足||1z z i +=+，那么z ＝A ．iB ．i -C ．1i +D ．1i -8．已知直线l 经过点(2,3)M ，当l 截圆22(2)(3)9x y -++=所得弦长最长时，直线l 的方程为A ．240x y -+=B ．34180x y +-=C ．30y +=D ．20x -=9．从分别写有1，2，3，4，5的五张卡片中任取两张，假设每张卡片被取到的概率相等，且每张卡片上只有一个数字，则取到的两张卡片上的数字之和为偶数的概率为A ．45B ．1625C ．1325D ．2510．已知()f x 是定义域为实数集R 的偶函数，10x ∀≥，20x ∀≥，若12x x ≠，则1212()()0f x f x x x -<-．如果13()34f =，184(log )3f x >，那么x 的取值范围为A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,12,2⎛⎤+∞⎥⎝⎦D ．110,,282⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭11．某学校高一年级、高二年级、高三年级共有学生3500人，其中高三年级学生数是高一年级学生数的两倍，高二年级学生比高一年级学生多300人，现按年级用分层抽样的方法从高一年级、高二年级、高三年级抽取一个学生样本．如果在这个样本中，有高三年级学生32人，那么为得到这个样本，在从高二年级抽取学生时，高二年级每个学生被取到的概率为A ．120B ．130 C ．150D ．110012．在三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，底面△ABC 是正三角形，M 、N 分别是侧棱PB 、PC 的中点．若平面AMN ⊥平面PBC ，则侧棱PB 与平面ABC 所成角的正切值是A ．2B ．2C ．2DABCPMN第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．如果执行下列程序框图，那么输出的S ＝ ． 14．已知△ABC 的面积等于S ，在△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积不小于7S的概率等于 ． 15．已知1F 、2F 是双曲线2221x y a-=的两个焦点，点P 在双曲线上，120PF PF ⋅=，如果此双曲线的离心率等于2，那么点P 到x 轴的距离等于 ．16．已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，若2221b c a bc +-=，12c b =则tan B 的值等于 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知21()2cos 2f x x x =-+． （1）写出()f x 的最小正周期T ；（2）求由()y f x =的图像关于直线x m =对称，并且56m <<，求m 的值．18．（本小题满分12分）某投资公司年初用98万元购置了一套生产设备并即刻生产产品，已知与生产产品相关的配套费用第一年需要支出12万元，第二年需要支出16万元，第三年需要支出20万元，……，每年都比上一年增加支出4万元，而每年的生产收入都为50万元．假设这套生产设备投入使用n 年，*n N ∈，生产成本等于生产设备配置费与这n 年生产产品相关的各种配套费用的和，生产总利润()f n 等于这n 年的生产收与生产成本的差．请你根据这些信息解决下列问题：（1）若()0f n ≥，求n 的值；（2）若干年后，该投资公司对这套生产设备有两个处理方案：方案一：当年平均生产利润取得最大值时，以26万元的价格出售该套设备； 方案二：当生产总利润()f n 取得最大值时，以8万元的价格出售该套设备． 你认为哪个方案更合算？请说明理由．19．（本小题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c =，M 是线段11B D 的中点．（1）求证：BM ∥平面1D AC ；（2）求平面1D AC 把长方体1111ABCD A B C D -分成的两部分的体积比．20．（本小题满分12分）已知1F 、2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在直线2a x b=上，线段1PF 的垂直一部分线经过点2F ．直线y kx m =+与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且椭圆E 上存在点M ，使OA OB OM λ+=，其中O 是坐标原点，λ是实数．（1）求λ的取值范围；（2）当λ=ABO 的面积．21．（本小题满分12分）已知常数a 、b 、c 都是实数，函数32()116f x ax bx cx =++-的导函数为()f x '，()0f x '≥的解集为{}|23x x -≤≤． （1）若()f x 的极大值等于65，求()f x 的极小值；（2）设不等式()60f x ax '+≥的解集为集合T ，当x T ∈时，函数()()16F x f x ma =-+只有一个零点，求实数m 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】 如图，四边形ABCD 的外接圆为O ，EA 是O 的切线，CB 的延长线与EAABCA 1DB 1C 1D 1M相交于点E ，AB AD =．求证：2AB BE CD =⋅ 23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】 已知曲线C 的参数方程为35cos ,5sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），P 是曲线C 与y 轴正半轴的交点．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点P 与曲线C 只有一个公共点的直线l 的极坐标方程． 24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】 已知13x ≥-，关于x 的不等式|3||210|152|13|0x x x a --+++-+≥的解集不是空集，求实数a 的取值范围．2013年云南省第二次高中毕业生复习统一检测文科数学参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力13．420 14．67 15．516．12三、解答题17．解：（1）T π=；（2）116m π= 18．解：（1）3,4,,17n =；（2）略 19．解：（1）略；（2）分为1∶5或5∶120．解：（1）(2,2)λ∈-；（2）AOBS=21．解：（1）()f x 的极小值为(2)60f -=-；（2）{}2734,222m ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭22．解：略23．解：3cos 4sin 160ρθρθ-+= 24．解：[]22,4a ∈--。
2013年高考全国Ⅱ文科数学试题及答案(word解析版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国II ）数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2013年全国Ⅱ，文1，5分】已知集合{|31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---，则M N = （ ）（A ）{2,1,0,1}-- （B ）{3,2,1,0}--- （C ）{2,1,0}-- （D ）{3,2,1}--- 【答案】C【解析】因为{31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---，所以M N {2,1,0}=--，故选C ． （2）【2013年全国Ⅱ，文2，5分】21i=+（ ） （A） （B ）2 （C（D ）1 【答案】C【解析】22(1i)2(1i)1i 1i (1i)(1i)2--===-+-+，所以21i=+C ． （3）【2013年全国Ⅱ，文3，5分】设,x y 满足约束条件10103x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是（ ）（A ）7- （B ）6- （C ）5- （D ）3- 【答案】B【解析】由23z x y =-得32y x z =-，即233z y x =-．作出可行域如图，平移直线233zy x =-，由图象可知当直线233z y x =-经过点B 时，直线233zy x =-的截距最大，此时z 取得最小值，由103x y x -+=⎧⎨=⎩得34x y =⎧⎨=⎩，即(3,4)B ，代入直线23z x y =-得32346z =⨯-⨯=-，故选B ．（4）【2013年全国Ⅱ，文4，5分】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则ABC ∆的面积为（ ）（A）2 （B1 （C）2 （D1【答案】B【解析】因为,64B C ππ==，所以712A π=．由正弦定理得sin sin 64b c =，解得c =．所以三角形的面积为117sin 22212bc A π=⨯⨯．因为7231s i n s i n (()1232222πππ=++，所以13s i n ()312b c A =++，故选B ． （5）【2013年全国Ⅱ，文5，5分】设椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=，则C 的离心率为（ ）（A（B ）13（C ）12 （D【答案】D【解析】因为21212,30PF F F PF F ⊥∠=，所以212tan 30,PF c PF ===．又122PF PF a +==，所以c a ==，故选D ．（6）【2013年全国Ⅱ，文6，5分】已知2sin 23α=，则2cos ()4πα+=（ ）（A ）16 （B ）13（C ）12 （D ）23【答案】A【解析】因为21cos2()1cos(2)1sin 242cos ()4222ππααπαα++++-+===，所以2211sin 213cos ()4226παα--+===，故选A ．（7）【2013年全国Ⅱ，文7，5分】执行右面的程序框图，如果输入的4N =，那么输出的S =（ ）（A ）1111234+++ （B ）1111232432+++⨯⨯⨯ （C ）111112345++++ （D ）111112324325432++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【答案】B【解析】第一次循环，1,1,2T S k ===；第二次循环，11,1,322T S k ==+=；第三次循环，111,1,423223T S k ==++=⨯⨯，第四次循环，1111,1,5234223234T S k ==+++=⨯⨯⨯⨯⨯，此时满足条件输出1111223234S =+++⨯⨯⨯，故选B ． （8）【2013年全国Ⅱ，文8，5分】设3log 2a =，5log 2b =，2log 3c =，则（ ）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 【答案】D【解析】因为321lo g 21lo g 3=<，521log 21log 5=<，又2log 31>，所以c 最大．又221log 3log 5<<，所以2211log 3log 5>，即a b >，所以c a b >>，故选D ． （9）【2013年全国Ⅱ，文9，5分】一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是()1,0,1，()1,1,0，()0,1,1，()0,0,0，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】A【解析】在空间直角坐标系中，先画出四面体O ABC -的直观图，以zOx 平面为投影面，则得到正视图(坐标系中红色部分)，故选A ．（10）【2013年全国Ⅱ，文10，5分】设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若||3||AF BF =，则l 的方程为（ ） （A ）1y x =-或1y x =-+ （B）1)y x =-或1)y x =- （C）1)y x -或1)y x =- （D）1)y x =-或1)y x =-【答案】C【解析】抛物线24y x =的焦点坐标为10（,），准线方程为1x =-，设11A x y （，），22B x y （，），则因为3AF BF =，所以12131x x +=+（），所以1232x x =+，因为123y y =，129x x =，所以13x =，213x =，当13x =时，2112y =，所以此时1y ==±，若1y =1(,3A B ，此时AB k =线方程为1)y x -．若1y =-，则1(3,),()3A B -，此时AB k =，此时直线方程为1)y x =-．所以l 的方程是1)y x -或1)y x =-，故选C ．（11）【2013年全国Ⅱ，文11，5分】已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ）（A ）0x R ∃∈，0()0f x = （B ）函数()y f x =的图象是中心对称图形 （C ）若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减（D ）若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x = 【答案】C【解析】若0c =则有(0)0f =，所以A 正确．由32()f x x ax bx c =+++得32()f x c x ax bx -=++，因为函数32y x ax bx =++的对称中心为0,0（），所以32()f x x ax bx c =+++的对称中心为(0,)c ，所以B 正确．由三次函数的图象可知，若0x 是()f x 的极小值点，则极大值点在0x 的左侧，所以函数在区间0,x -∞（）单调递减是错误的，D 正确，故选C ．（12）【2013年全国Ⅱ，文12，5分】若存在正数x 使2()1x x a -<成立，则a 的取值范围是（ ） （A ）(,)-∞+∞ （B ）(2,)-+∞ （C ）(0,)+∞ （D ）(1,)-+∞【答案】D【解析】解法一：因为20x >，所以由2()1x x a -<得122x x x a --<=，在坐标系中，作出函数 (),()2xf x x ag x -=-=的图象，当0x >时，()21x g x -=<，所以如果存在0x >，使2()1x x a -<，则有1a -<，即1a >-，故选D ．解法二：由题意可得，()102xa x x ⎛⎫>-> ⎪⎝⎭．令()12xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，该函数在(0)∞，＋上为增函数，可知()f x 的值域为()1∞－，＋，故1a >-时，存在正数x 使原不等式成立，故选D ．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上 （13）【2013年全国Ⅱ，文13，5分】从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是______．【答案】15【解析】从5个正整中任意取出两个不同的数，有2510C =种，若取出的两数之和等于5，则有(1,4),(2,3)，共有2个，所以取出的两数之和等于5的概率为21105=．（14）【2013年全国Ⅱ，文14，5分】已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=__ ____． 【答案】2【解析】在正方形中，12AE AD DC =+ ，BD BA AD AD DC =+=-，所以2222111()()222222AE BD AD DC AD DC AD DC ⋅=+⋅-=-=-⨯= ．（15）【2013年全国Ⅱ，文15，5分】已知正四棱锥O ABCD -则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为_______．【答案】24π【解析】设正四棱锥的高为h ，则213h ⨯=，解得高h =．所以OA =2424ππ=． （16）【2013年全国Ⅱ，文16，5分】函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+的图象重合，则ϕ=_______．【答案】56π【解析】函数cos(2)y x ϕ=+，向右平移2π个单位，得到sin(2)3y x π=+，即sin(2)3y x π=+向左平移2π个单位得到函数cos(2)y x ϕ=+，sin(2)3y x π=+向左平移2π个单位，得sin[2()]sin(2)233y x x ππππ=++=++sin(2)cos(2)323x x πππ=-+=++5cos(2)6x π=+，即56πϕ=． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）【2013年全国Ⅱ，文17，12分】已知等差数列{}n a 的公差不为零，125a =，且11113,,a a a 成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式； （2）求14732+n a a a a -++⋅⋅⋅+．解：（1）设{}n a 的公差为d ．由题意，211113a a a =，即2111()1012()a d a a d ＋＝＋．于是1225(0)d a d ＋＝．又125a ＝，所以0d ＝ (舍去)，2d =-．故227n a n =-+．（2）令14732n n S a a a a -=+++⋯+．由（1）知32631n a n -=-+，故32{}n a -是首项为25，公差为6-的等差数列．从而()()2132656328n n S a a n n n -=+=-+=-+．（18）【2013年全国Ⅱ，文18，12分】如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点．（1）证明：1//BC 平面11A CD ；（2）设12AA AC CB ===，AB =1C A DE -的体积．解：（1）连结1AC 交1A C 于点F ，则F 为1AC 中点．又D 是AB 中点，连结DF ，则1//BC DF ．因为DF ⊂平面1A CD ，1BC ⊄平面1A CD ，所以1//BC 平面1A CD ．（2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AA CD ⊥．由已知AC CB =，D 为AB 的中点，所以CD AB ⊥．又1AA AB A = ，于是CD ⊥平面11ABB A ．由12AA AC CB ===，AB =得90ACB ∠=︒，CD1A D =DE =13A E =，故22211A D DE A E +=，即1D E A D ⊥．所以111132C A DE V -⨯=．（19）【2013年全国Ⅱ，文19，12分】经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X (单位：t ，100150X ≤≤)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润 （1）将T 表示为X 的函数；（2）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率．1解：（1）当[)100,130X ∈时，()50030013080039000T X X X =--=-，当[]130,150X ∈时，50013065000T =⨯=． 所以80039000,10013065000,130150X X T X -≤<⎧=⎨≤≤⎩．（2）由（1）知利润T 不少于57000元当且仅当120150X ≤≤．由直方图知需求量[]120,150X ∈的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7．（20）【2013年全国Ⅱ，文20，12分】在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x轴上截得线段长为在y 轴上截得线段长为．（1）求圆心P 的轨迹方程；（2）若P 点到直线y x =P 的方程． 解：（1）设()P x y ，，圆P 的半径为r ．由题设222y r +=，223x r +=．从而2223y x +=+．故P 点的轨迹方程为221y x -=． （2）设00()P x y ，=．又P 点在双曲线221y x -=上，从而得002210||11x y y x -=⎧⎨-=⎩ 由00220011x y y x -=⎧⎨-=⎩得0001x y =⎧⎨=-⎩，此时，圆P 的半径r =3．由00220011x y y x -=-⎧⎨-=⎩得001x y =⎧⎨=⎩，此时，圆P的半径r =．故圆P 的方程为()2213x y +-=或()2213x y ++=．（21）【2013年全国Ⅱ，文21，12分】已知函数2()x f x x e -=．（1）求()f x 的极小值和极大值；（2）当曲线()y f x =的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围．解：（1）()f x 的定义域为()-∞+∞，，()()2x f x e x x -'=--．① 当)0(x ∈-∞，或2()x ∈+∞，时，()0f x '＜； 当)2(0x ∈,时，()0f x '＞．所以()f x 在()0-∞,，(2)+∞，单调递减，在(0)2,单调递增．故当0x =时，()f x取得极小值，极小值为()00f =；当2x =时，()f x 取得极大值，极大值为()224f e -=．（2）设切点为()()t f t ，，则l 的方程为()()()y f t x t f t ='-+．所以l 在x 轴上的截距为()()223'()22f t t t t t f t t m t t -=+=-++--=．由已知和①得()02()t ∈-∞+∞ ，，．令()()20h x x x x+=≠， 则当0()x ∈+∞，时，()h x的取值范围为⎡⎤+∞⎣⎦；当2()x ∈-∞-，时，()h x 的取值范围是()3-∞-，． 所以当()02()t ∈-∞+∞ ，，时，()m t的取值范围是0()3,⎡⎤-+∞⎦∞⎣ ，． 综上，l 在x轴上的截距的取值范围是0()3,⎡⎤-+∞⎦∞⎣ ，．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请写清题号． （22）【2013年全国Ⅱ，文22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，CD 为ABC ∆外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且··BC AE DC AF =，B ， E ，F ，C 四点共圆．（1）证明：CA 是ABC ∆外接圆的直径；（2）若DB BE EA ==，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值．解：（1）因为CD 为ABC ∆外接圆的切线，所以DCB A ∠=∠，由题设知BC DCFA EA=，故CDB AEF ∆∆∽， 所以DBC EFA ∠=∠．因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以CFE DBC ∠=∠，故90EFA CFE ∠=∠=︒． 所以90CBA ∠=︒，因此CA 是ABC ∆外接圆的直径．（2）连结CE ，因为90CBE ∠=︒，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由D B B E =，有CE DC =又22·2BC DB BA DB ==，所以222246CA DB BC DB =+=．而22·3DC DB DA DB ==，故过B ，E ，F ， C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值为12．（23）【2013年全国Ⅱ，文23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知动点P Q 、都在曲线2cos :2sin x tC y t=⎧⎨=⎩（t 为参数）上，对应参数分别为=t α与=2t α（02απ<<），M 为PQ 的中点． （1）求M 的轨迹的参数方程；（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．解：（1）依题意有2cos (n )2si P αα，，2cos2(2)2sin Q αα，，因此cos cos ()2sin sin2M αααα++，． M 的轨迹的参数方程为cos cos 2sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩(α为参数，02απ<<)．（2）M 点到坐标原点的距离)02d απ<<．当απ=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点．（24）【2013年全国Ⅱ，文24，10分】（选修4-5：不等式选讲）设a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，证明：（1）13ab bc ac ++≤；（2）2221a b cb c a ++≥．解：（1）由222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥，得222a b c ab bc ca ++≥++．由题设得()21a b c ++=，即2222221a b c a b b c c a +++++=．()31ab bc ca ∴++≤，即13a b b c c a ++≤．（2）因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥，故()222(2)a b ca abc c a b c b +≥++++++，即222a b c a b c b c a ≥++++．所以2221a b cb c a++≥．。
湖北省孝感市2013届高三第二次统一考试数学文-含答案
孝感市2012-2013学年度高中三年级第二次统一考试数学试卷(文科)本试卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，请考生务必将自己的姓名、准考证号填写(涂)在试题卷和答题卡上．2．考生答题时,选择题请用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．3. 考试结束,请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1.已知集合}02|{},034|{2>-=<+-=x xx N x x x M ，则N M =（ ） A ．}31|{<<x x B ．}21|{<<x x C ．}3|{<x x D ．}32|{<<x x2.已知复数ii z +=12013，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3. “1=a ”是“函数a x x f -=)(在区间),1[+∞上为增函数”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 4.在等比数列{}n a 中，若4a ，8a 是方程0342=+-x x 的两根，则6a 的值是（ ）D ．3± 5.函数),2||,0(),sin()(R x x A x f ∈<>+=πϕωϕω的部分图象如图所示，则)(x f 的解析式为（ ）A ．)48sin(4)(ππ--=x x fB ．)48sin(4)(ππ+-=x x fC ．)48sin(4)(ππ-=x x f D ．)48sin(4)(ππ+=x x f6.已知直线m 、n 、l 不重合，平面α、β不重合，下列命题正确的是（ ）A ．若ββ⊂⊂n m ,，α//m ，α//n ，则βα//B ．若ββ⊂⊂n m ,，n l m l ⊥⊥,，则β⊥lC ．若βαβα⊂⊂⊥n m ,,，则n m ⊥D ．若n m m //,α⊥，则α⊥n7.若方程xx 2)1ln(=+的根在区间))(1,(Z k k k ∈+上，则k 的值为（ ） A ．1- B ．1 C ．1-或2 D ．1-或18.已知函数c bx ax x x f +++=232131)(在1x 处取得极大值,在2x 处取得极小值,满足)0,1(1-∈x ，)1,0(2∈x ，则242+++a b a 的取值范围是（ ）A ．)2,0(B ．)3,1(C ．]3,0[D ．]3,1[9.已知点P 是双曲线116922=-y x 的右支上一动点，M ，N 分别是圆4)5(22=++y x 和1)5(22=+-y x 的动点，则PN PM -的最大值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．910.定义函数()D x x f y ∈=,，若存在常数C ，对任意的D x ∈1，存在唯一的D x ∈2，使得()()C x f x f =21，则称函数()x f 在D 上的几何平均数为C .已知()[]4,2,∈=x x x f ，则函数()x x f =在[]4,2上的几何平均数为（ ）A ．2B ．2C ．22D ．4二、填空题：（本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．）11.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如下图所示，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x +y 的值为 .12.如上图，矩形ORTM 内放置5个大小相同的正方形，其中A ，B ，C ，D 都在矩形的边上，若向甲 乙 9 8 7 65 x 0 8 1 1 y6 2 9 1 1 6 （第11题图） TDME FROCAB（第12题图）量y x +=，则=+22y x .13.一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图和侧视图均是腰长为6的等腰直角三角形，则它的体积为 .14.右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 . 15．若0,0>>b a ,且点）（b a ,在过点)1,1(-、)3,2(-的直线上，则2242b a ab S --=的最大值是 .16.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图，其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以)(n f 表示第n 个图的蜂巢总数，则)(n f 的表达式为 .17.欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为4cm 的圆面，中间有边长为1cm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴不出边界），则油滴整体（油滴是直径为0.2cm 的球）正好落入孔中的概率是 .(不作近似计算)三、解答题：(本大题共5小题，满分65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 18.（本题满分12分）已知ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为a ，b ，c ，向量),(a b c a -+=，),(b c a -=,且⊥． (Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)若向量)1,0(-=,)2cos2,(cos 2BA =,+的取值范围．… （第16题图）正视图侧视图 俯视图 （第13题图）（第14题图）19.（本题满分12分）已知数列{}n a 中，当2≥n 时，总有nn n a a 221+=-成立，且41=a ．(Ⅰ)证明：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)求数列{}n a 的前n 项和n S ．20.（本小题满分13分）已知正方体1111ABCD A B C D -， O 是底ABCD 对角线的交点． 求证：(Ⅰ)1C O ∥面11AB D ；(Ⅱ)1AC ⊥面11AB D ．21.（本题满分14分）设F 是椭圆22221,(0)x y a b a b +=>>的左焦点，直线l 方程为ca x 2-=，直线l与x 轴交于P 点，M 、N 分别为椭圆的左右顶点，已知22=MN ，且MF PM 2=．(Ⅰ)求椭圆的标准方程； (Ⅱ)过点P 且斜率为66的直线交椭圆于A 、B 两点，求三角形ABF 面积．22.（本小题满分14分）已知函数x a x g b x x x f ln )(,)(23=++-=． (Ⅰ)若)(x f 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈1,21x 上的最大值为83，求实数b 的值；(Ⅱ)若对任意[]e x ,1∈，都有x a x x g )2()(2++-≥恒成立，求实数a 的取值范围； (III)在(Ⅰ)的条件下，设()()⎩⎨⎧≥<=1,1,)(x x g x x f x F ，对任意给定的正实数a ，曲线)(x F y = 上是否存在两点Q P ,，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．A（第20题图）D 1C 1B 1A1ODCB孝感市2012-2013学年度高中三年级第二次统一考试数学(文科)参考答案一、选择题（每小题5分，共50分）1. D2. A3. C4.C5.B6. D7. D8. B9. D 10. C 二、填空题（每小题5分，共35分）11.8 12. 13 13.72 14.7500 15.21-2 16.1332+-n n 17.π36164 三、解答题（共5大题，共65分）（非参考答案的正确解答酌情给分） 18．解：(Ⅰ)由题意得0),)(,(222=-+-=--+=⋅ab b c a b c a a b c a ，即ab b a c -+=222. ……………3分由余弦定理得212cos 222=-+=ab c b a C , 3,0ππ=∴<<C C . ……………6分（Ⅱ）∵ )cos ,(cos )12cos2,(cos 2B A BA =-=+， ……………7分)32(cos cos cos cos 2222A A B A -+=+=+π1)62sin(21+--=πA . ……9分∵ 320π<<A ，∴67626πππ<-<-A ，∴1)62sin(21≤-<-πA .∴ 4521<+≤，故2522<+≤. ……………12分 19．解：（Ⅰ） 当2≥n 时， nn n a a 221+=-，即12211=---n n n n a a ， 又221=a .∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2是以2为首项，1为公差的等差数列. ……………4分 ∴11)1(22+=⨯-+=n n a n n，故n n n a 2)1(+=. ……………6分 （Ⅱ）∵n n n a 2)1(+=，nn n n n S 2)1(22322121⨯++⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=∴-，1322)1(223222+⨯++⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=n n n n n S ，两式相减得：11113222)1(21)21(442)1()222(4++-+⨯-=⨯+---+=⨯+-+⋅⋅⋅+++=-n n n n n n n n n S∴ 12+⋅=n n n S ……………12分20．证明：（Ⅰ）连结11C A ，设11111O D B C A = ，连结1AO ，1111D C B A ABCD - 是正方体, 11ACC A ∴是平行四边形,AC ∴//11C A , 又1O ,O 分别是11C A ,AC 的中点，AO ∴//11C O , 11O AOC ∴是平行四边形,11//AO O C ∴ ……………4分111D AB AO 平面⊂ ，111D AB O C 平面⊄111//D AB O C 平面∴． ……………6分（Ⅱ）11111D C B A CC 平面⊥ ,111D B CC ⊥∴,又1111D B C A ⊥，C C A D B 1111平面⊥∴,111D B C A ⊥∴, ……………10分 同理可证11AB C A ⊥, ……………11分又1111B AB D B = ,111D AB C A 平面⊥∴ , ……………13分(其它解答酌情给分)21．解：（Ⅰ）∵222===a MN ，∴2=a ，又∵MF PM 2=，∴22=e ，∴1=c ，1222=-=c a b ， ∴椭圆的标准方程为1222=+y x ……………6分 (Ⅱ)由题知：)0,1(-F ，)0,2(-P ，AB l ：)2(66+=x y ，),(11y x A ，),(22y x B ， 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+)2(661222x y y x 消y 得：01222=-+x x ， ……………9分 ∴ 2144)(61121221=-++=x x x x AB ． 点F 到直线AB 的距离：71=d ， ……………12分∴427121421=⨯⨯=∆ABF S ，即三角形ABF 面积为42． ……………14分22．解：（Ⅰ）由b x x x f ++-=23)(，得)23(23)(2--=+-='x x x x x f ，令0)(='x f ，得0=x 或32． 当x 变化时，)(x f '及)(x f 的变化如下表：由b f +=-8)2(，b f +=27)3(，)3()2(f f >-∴，即最大值为8383)21(=+=-b f ，0=∴b ． ……………4分（Ⅱ）由x a x x g )2()(2++-≥，得x x a x x 2)ln (2-≤-．x x e x ≤≤∴∈1ln ],,1[ ，且等号不能同时取，x x <∴ln ，即0ln >-x x x x x x a ln 22--≤∴恒成立，即min 2)ln 2(x x xx a --≤． ……………6分 令]),1[(,ln 2)(2e x x x x x x t ∈--=，求导得，2)ln ()ln 22)(1()(x x x x x x t --+-='， 当],1[e x ∈时，0ln 22,1ln 0,01>-+≤≤≥-x x x x ，从而0)(≥'x t ，)(x t ∴在],1[e 上为增函数，1)1()(min -==∴t x t ，1-≤∴a ． ……………8分（Ⅲ）由条件，⎩⎨⎧+-=,ln ,)(23x a x x x F 11≥<x x ，假设曲线)(x F y =上存在两点P ，Q 满足题意，则P ，Q 只能在y 轴两侧， 不妨设)0))((,(>t t F t P ，则),(23t t t Q +-，且1≠t ．POQ ∆ 是以O 为直角顶点的直角三角形，0=⋅∴OQ OP ， 0))((232=++-∴t t t F t )(*⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，是否存在P ，Q 等价于方程)(*在0>t 且1≠t 时是否有解． ……………10分 ①若10<<t 时，方程)(*为()()232320t t t t t -+-++=，化简得4210t t -+=，此方程无解； ②若1>t 时，方程)(*为()232ln 0t a t t t -+⋅+=，即()11ln t t a=+， 设()()()1ln 1h t t t t =+>，则()1ln 1h t t t '=++，显然，当1t >时，()0h t '>， 即()h t 在()1,+∞上为增函数，()h t ∴的值域为()()1,h +∞，即()0,+∞，∴当0a >时，方程()*总有解．∴对任意给定的正实数a ，曲线)(x F y = 上总存在两点P ，Q ，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上． ……………14分。
2013年高三二联数学文科答案
0 < a < 1 .综上可知， 0 < a < 1 ，选 D.
2
2
（8）C ∵| F1F2 |2 =|PF1 |2 +|PF2 |2 −2 | PF1 | ⋅ | PF2 | cos 60°
=(|PF1|+|PF2|)2 − 3 | PF1 | ⋅ | PF2|,
∴3 | PF1 | ⋅ | PF2|=4a2 − 4c2 =4b2.
E − DAB, E − DBC, E − DCA, 从而VABCD = VE−DBA + VE−DBC + VE−DCA ,所以
1 × 3 a2 × 34
a2 − (
3 a)2 3
= 1× 3
3 4
a2
(h1
+
h2
+
h3
)
=
1 3
×
3 a2 × 4
6 3
,其中
h1,h2, h3 分别为点 E 到平面 DAB, DBC, DCA 的距离，故 a = 1.又正四面体的中心与
∵
S△F1PF2
=
1 2
|
PF1
|
⋅
|
PF2
|
sin
∠F1PF2
=
3 4 | PF1 | ⋅ | PF2|=
3, ∴ PF1 ⋅ PF2 = 4,
∴b2 =3,∴ 2b=2 3 .
（9）C 由题意知， A = 1, T = 7π − π = π ,∴T = π,∴ω = 2π = 2, 又
4 12 3 4
sin
A ≠ 0 ，所以 cos
B = − 1 ，因为 0 < B < π ，所以 B =
2013年高三二模数学(文)北京市丰台区试题Word版带答案
同理，b2n+2-b2n=22n+1-22n-1=2×4n-2×4n-1=3×2×4n-1,即b2n+2=b2n+3×2×4n-1，因为“3×2×4n-1”数列 的公差3的整数倍，所以说明b2n与b2n+2 同时属于A或同时不属于A，
18.本小题13分）已知函数 .
（Ⅰ）若直线 与曲线 相切，切点是P(2,0)，求直线 的方程；
（Ⅱ）讨论 的单调性.
19.（本小题14分）已知椭圆C： ，其短轴的端点分别为A,B(如图),直线AM,BM分别与椭圆C交于E,F两点，其中点M (m, )满足 ，且 .
（Ⅰ）求椭圆C的离心率e；
（Ⅱ）用m表示点E,F的坐标；
所以S50= =3321;………………………8分
（Ⅲ）据集合B中元素2，8，32，128 A，猜测数列 的通项公式为dn=22n-1.…9分
dn=b2n， 只需证明数列{bn}中，b2n-1∈A，b2n A（ ）……………………11分
证明如下：
b2n+1-b2n-1=22n-22n-2=4n-4n-1=3×4n-1,即b2n+1=b2n-1+3×4n-1，
15.本小题13分）已知 的三个内角分别为A,B,C,且
（Ⅰ）求A的度数；
（Ⅱ）若 求 的面积S.
解:（Ⅰ）
,……………………….2分
,……………………….4分
°.…………………….6分
（Ⅱ）在 中, ,
2013年高三二模数学(文科)试卷与答案
CBAPN（第8题图）2013年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试试卷数学（文科）（时间 120分钟 满分150分）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.)150tan(︒- 的值为A.33 B. 33- C.3 D. 3- 2.已知i 是虚数单位，则复数ii-+131的模为 A.1 B.2 C.5 D.53.下列函数中，在定义域上既是减函数又是奇函数的是A. x y lg =B.xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21 C. ||x x y = D.3x y -=4.已知一组具有线性相关关系的数据),(,),(),,(2211n n y x y x y x ，其样本点的中心为)3,2(，若其回归直线的斜率的估计值为2.1-，则该回归直线的方程为A.22.1+-=x yB.32.1+=x yC. 4.52.1+-=x yD. 6.02.1+=x y5.若0>ω ，函数6cos(πω+=x y 的图像向右平移32π个单位后与原图像重合，则ω的最小值为 A.34 B. 23C. 3D. 46.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)0,(c F ，若F 与椭圆上的点的最大距离、最小距离分别为m M 、，则该椭圆上到点F 的距离为2mM +的点的坐标是 A.),(2a b c ± B. ),(2ab c ±- C.),0(b ± D.不存在7．定义n n a a a a a a ,,,),,,min(2121 是中的最小值，执行程序框图（如右图），则输出的结果是 A.51 B. 41 C. 31 D. 32 8.如右下图，在ABC ∆中，21=,P 是BN 上的一点，若m 92+=,则实数m 的值为 A.3 B. 1 C.31D. 91 9.设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥,1434,,0y x x y x 则21++x y 的取值范围是 A. ]617,21[ B. ]43,21[ C. ]617,43[ D. ),21[+∞ 10.已知正方形321P P AP 的边长为2，点B 、C 分别为边3221,P P P P 的中点，沿AB 、BC 、CA 折叠成一个三棱锥P-ABC （使321,,P P P 重合于点P ），则三棱锥P-ABC 的外接球的表面积为 A.π38 B.36π C.12π D.6π11.在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为015822=+-+x y x ，若直线2-=kx y 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的最大值为 A. 0 B.34 C. 23D. 3 12.已知函数3)(x ax x f -= ，对区间（0，1）上的任意21,x x ，且21x x <，都有1212)()(x x x f x f ->-成立，则实数a 的取值范围为A. （0，1）B. [4.+∞)C. (0,4]D.(1,4]A BEDCFC第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.在ABC ∆中，若23,45,60=︒=∠︒=∠BC B A ,则AC 的长度为14.已知母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角为34π，则该圆锥的体积为 15．双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线的倾斜角为,32π离心率为e ，则b e a 222+的最小值是16.将函数])1,0[(2∈+-=x x x y 的图像绕点M(1,0)顺时针旋转θ角（20πθ<<）得到曲线C,若曲线C 仍是一个函数的图像，则θ的最大值为三、解答题：本大题共6小题，共70分。
2013届高三下学期第二次联考数学(文)
INPUT n S=0 i =0 WHILE i<n S=S+2^i +1 i =i +1 WEND PRINT S END高三最后一卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）. 本试卷共4页. 满分150分. 考试时间120分钟. 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．考生作答时，将答案答在答题卡上。
请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 在草稿纸、试题卷上答题无效.3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损. 考试结束后，将答题卡交回. 参考公式：样本数据1x ，2x ， ，n x 的标准差 锥体体积公式：s =13V Sh = 其中S 为底面面积，h 为高 其中x 为样本平均数 球的表面积、体积公式 柱体体积公式 24S R =π，343V R =πV Sh = 其中R 为球的半径其中S 为底面面积，h 为高第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数x x y +-=2的定义域为A ．}2|{≤x xB ．}0|{≥x xC ．}20|{≥≤x x x 或D ．}20|{≤≤x x 2．若复数)1(5-=+i i bi a (其中i R b a ,,∈是虚数单位)，则b a +=A ．－2B ．－1C ．0D ．23．某中学高三（1）班有学生55人，现按座位号的编号采用系统抽样的方法选取5名同学参加一项活动，已知座位号为5号、16号、27号、49号的同学均被选出，则被选出的5名同学中还有一名的座位号是A ．36B ．37C ．38D ．394．若角310π的终边上有一点P (a ，－2)，则实数a 的值为A ．32B ．32-C ．332 D ．332- 5．已知平面向量a 、b 均为单位向量，且a 与b 的夹角为1200，则|2a ＋b |=A ．3B ．7C ．3D ．76．某算法程序如图所示，执行该程序，若输入4，则输出的S 为 A ．36 B ．19 C ．16 D ．107．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图都是半径为2的圆，则这个几何体的A 1ABB 1C 1CD D 1·P ·E ·FQ · 体积是A ．8π B ．16π C ．38π D ．316π 8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若a ，b ，c 成等比数列，A =600，则cBb sin = A ．43 B ．23 C ．22 D ．219．下列命题中，假命题．．．的是 A．2cos 3sin ,000=+∈∃x x R xB ．0),,0[>-+∞∈∀x e x xC ．1lg ),,0(00-=+∞∈∃x xD ．0232),0,(2>---∞∈∀x x x 10．以双曲线222=-x y 的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是 A ．2)2(22=±+y x B ．2)2(22=+±y x C ．4)2(22=±+y x D ．4)2(22=+±y x11．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，动点E 、F 在BC 1上，动点P 、Q 分别在AD 1、CD 上，若21=EF ，y DQ x AP ==,，则四面体P －EFQ 的体积 A ．与x 、y 都有关 B ．与x 有关、与y 无关C ．与x 、y 都无关D ．与x 无关、与y 有关12．设函数)(x f 的定义域为D ，如果D y D x ∈∃∈∀,，使C y f x f =+2)()((C 为常数)成立，则称函数)(x f 在D 上的均值为C . 给出下列四个函 数：①3x y =；②x y )21(=；③x y ln =；④1sin 2+=x y ，则满足在其定义域上均值为1的函数的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置. 13．015tan = ．14．记等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若54,10953==+S a a ，则直线0241=++a y a x a 的斜率为= ．甲班乙班9 0 1 5 5 81 2 4 6 7 8 9 3 4 6 8 8 7 8 6 5 5 2 1 1 8 7 6 2 2 2 15．如图，曲线AC 的方程为)20,30(14922≤≤≤≤==+y x y x ，为估计椭圆14922==+y x 的面积，现采用随机模拟方式产生)2,0(),3,0(∈∈y x 的200个点),(y x ，经统计，落在图中阴影部分的点共157个，则可估计椭圆14922==+y x 的面积是 ．（精确到0.01）16．若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合X ={,,}a b c ，对于下面给出的四个集合τ：①{{}{}{}}a c a b c τ=∅，，，，，； ②{{}{}{}{}}b c b c a b c τ=∅，，，，，，，； ③{{}{}{}}a a b a c τ=∅，，，，，； ④{{}{}{}{}}a c b c c a b c τ=∅，，，，，，，，． 其中是集合X 上的拓扑的集合τ的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且)(232*N n a S n n ∈-=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若)1(log 3+=n n S b ，求数列}{2n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）某电视台2012年举办了“中华好声音”大型歌手选秀活动，过程分为初赛、复赛和决赛，经初赛进入复赛的40名选手被平均分成甲、乙两个班。
浙江省金丽衢十二校2013届高三第二次联合考试数学试卷(文科)--含答案
浙江省金丽衢十二校2013届高三第二次联合考试数学试卷(文科)本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间120分钟. 试卷总分为150分.请考生将所有试题的答案涂、写在答题纸上.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1．在复平面内，复数ii4332-+-（i 是虚数单位）所对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 设集合}032|{2<--=x x x M ,{}22<=x x N ， 则N C M R ⋂等于 A ．[]1,1-B ．)0,1(-C ．[)3,1D ．)1,0(3. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是A.1B.2C.8D.16 4. “2πϕ=”是“函数()x x f cos =与函数()()ϕ+=x x g sin 的图像重合”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．设m 、n 为空间的两条不同的直线，α、β为空间的两个不同的平面，给出下列命题：①若m ∥α，m ∥β，则α∥β；②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β； ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；④若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ． 上述命题中，所有真命题的序号是A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④6. 从集合｛1，2，3，4｝中随机取一个元素a ，从集合｛1，2, 3｝中随机取一个元素b ，则b a >的概率是A.125 B. 21 C. 127 D. 32 7. 对数函数x y a log =（10≠>a a 且）与二次函数()x x a y --=21在同一坐标系内的图象可能是8. 已知ABC ∆的三个顶点C B A ,,及所在平面内一点P 满足PA PB PC AB ++=，则 点P 与ABC ∆的关系A ．P 在ABC ∆内部B ．P 在ABC ∆外部C ．P 在边AB 上D ．P 在边AC 上9. 在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为228150x y x +-+=,若直线2y kx =-上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的取值范围是 A. 403k ≤≤ B. <0k 或4>3kC.3443k ≤≤ D. 0k ≤或4>3k 10. 已知函数31,0()9,0x x f x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩，若关于x 的方程()a x x f =+22有六个不同的实根，则常数a 的取值范围是A ．(]2,8B ．(]2,9C ．(]8,9D ．()9,8第Ⅱ卷二、填空题：本大题共7小题,每小题4分,共28分.把答案填在答题卷的相应位置.11. 统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如图所示，规定不低于60分为及格，则及格人数是 ▲ 名.12. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是 ▲13. 已知O 为坐标原点, A(1,1), C(2,3) 且=2, 则OB 的坐标是__▲___14. 已知()⎪⎩⎪⎨⎧<⎪⎭⎫ ⎝⎛≥=0,310,3x x x f x x ，则不等式()9<x f 的解集是 ▲15．若实数x 、y 满足20,,,x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩且2z x y =+的最小值为3，则实数b 的值为_▲_16. 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“黄金搭档”．已知1F 、2F 是一对“黄金搭档”的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当 6021=∠PF F 时，这一对“黄金搭档”中双曲线的离心率是 ▲17.已知实数0,0<<b a ,且1=ab ,那么ba b a ++22的最大值为 ▲三.解答题：本大题共5小题,满分72分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18. （本题满分14分）已知函数()21)cos sin 3(cos +-=x x x x f ωωω的周期为π2. （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c ，且满足a c A b 32cos 2-=，求)(B f 的值．19. （本题满分14分）设正项等比数列{}n a 的首项211=a ，前n 项和为n S ，且2a -，3a ，1a 成等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项；（Ⅱ）求数列{}n nS 的前n 项和n T20. （本题满分14分） 如图，在四边形ABCD 中，4==AD AB ，7==CD BC ，点E 为线段AD 上的一点.现将DCE ∆沿线段EC 翻折到PAC ，使得平面PAC ⊥平面ABCE ，连接PA ，PB .(Ⅰ)证明：⊥BD 平面PAC ；(Ⅱ)若︒=∠60BAD ，且点E 为线段AD 的中点，求直线PE与平面ABCE 所成角的正弦值.21．（本题满分15分）已知函数2()(33)xf x x x e =-+⋅定义域为[]t ,2-（2t >-）．（Ⅰ）试确定t 的取值范围,使得函数)(x f 在[]t ,2-上为单调函数；（Ⅱ）当14t <<时，求满足()()201320-='t ex f x 的0x 的个数．22．（本题满分15分）如图，过抛物线2:4C y x =上一点()2,1-P 作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点1122(,),(,)A x y B x y（Ⅰ）求12y y +的值；（Ⅱ）若120,0y y ≥≥，求PAB ∆面积的最大值.金丽衢十二校2012学年第二次联合考试数学试卷(文科)参考答案二、填空题(4×7=28分)11.800 12.3 13.()7,4 14.()2,2- 15.4916.3 17.-1 三、解答题(共72分) 18．解：（Ⅰ）()2122cos 12sin 2321cos cos sin 32++-=+-=x x x x x x f ωωωωω x x ωω2cos 212sin 23-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62s i n πωx 21=∴ω ——7分 （Ⅱ）解法（一）a c A b 32cos 2-=a c bc a c b b 3222222-=-+⋅⇒ 整理得ac b c a 3222=-+，故232cos 222=-+=ac b c a B6,0ππ=∴<<B B00sin )6sin()(==-=∴πB B f ——14分解法（二）a c A b 32cos 2-=A C A B sin 3sin 2cos sin 2-=⇒A B A A B sin 3)sin(2cos sin 2-+=⇒0sin 3cos sin 2=-⇒A B A 0)3cos 2(sin =-⇒B A0sin ,0≠∴<<A A π 23c o s=∴B 又6,0ππ=∴<<B B00sin )6sin()(==-=∴πB B f ——14分19解：（Ⅰ）设设正项等比数列{}n a 的公比为q （0>q ），由题有FH O P EDCBA 3212a a a =-，且211=a ∴21112q a q a a =-，即有0122=-+q q ，解得1-=q （舍去）或21=q ， ∴nn a 21=； （Ⅱ）因为}{n a 是首项211=a 、公比21=q 的等比数列，故 .2,211211)211(21n n n n n n n nS S -=-=--= 则数列}{n nS 的前n 项和 ),22221()21(2n n n n T +++-+++= ).2212221()21(212132++-+++-+++=n n n nn n T 前两式相减，得122)212121()21(212+++++-+++=n n n nn T 12211)211(214)1(++---+=n n n n n ，即.22212)1(1-+++=-n n nn n n T 20解：(Ⅰ)连接AC ，BD 交于点O ,在四边形ABCD 中，∵4==AD AB ，7==CD BC∴ADC ABC ∆≅∆，∴BAC DAC ∠=∠,∴BD AC ⊥ 又∵平面PAC ⊥平面A B C E ，且平面PAC 平面A B C E=AC ∴⊥BD 平面PAC ………… 6分 (Ⅱ)如图，过点P 作AC 的垂线，垂足为H ，连接EH ，EC并取AO 中点F ，连接EF ，∵平面PAC ⊥平面ABCE ，且平面PAC 平面ABCE =AC ，AC PH ⊥∴⊥PH 平面ABCE ，∴PEH ∠即为直线PE 与平面ABCE 的所成角， 由(Ⅰ)可知，BD AC ⊥，且32=AO ，3=CO ，又2=PE ，7=PC ，设x CH =，则有27x PH -=，3222-=-=x PH PE EH又∵F 为AO 的中点，在EFH Rt ∆中，x FH -=32，1=EF由勾股定理得，31)32(22-=+-x x ，解得334=x ， ∴332=EH ，335=PH ∴直线PE 与平面ABCE 的所成角的正弦值即33sin ==∠PE EH PEH . 21（1）解：因为2()(33)(23)(1)xxxf x x x e x e x x e '=-+⋅+-⋅=-⋅ 由()010f x x x '>⇒><或；由()001f x x '<⇒<<，所以()f x 在(,0),(1,)-∞+∞上递增，在(0,1)上递减， 欲)(x f 在[]t ,2-上为单调函数，则20t -<≤．—————7分 （3）因为02000()x f x x x e '=-，所以020()2(1)3x f x t e '=-即为22002(1)3x x t -=-， 令222()(1)3g x x x t =---，从而问题转化为求方程222()(1)3g x x x t =---=0在(2,)t -上的解的个数， ————————10分因为222(2)6(1)(2)(4)33g t t t -=--=-+-，221()(1)(1)(2)(1)33g t t t t t t =---=+-， 所以当14t <<时，(2)0()0g g t ->>且，但由于22(0)(1)03g t =--<，所以()0g x =在(2,)t -上有两解． 即，满足20()2(1)3x f x t e '=-的0x 的个数为2． ————————14分 22.解：（Ⅰ）因为11(,)A x y ，22(,)B x y 在抛物线:C 24y x =上，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222121,4,,4y y B y y A ，PA k =112211124(2)44214y y y y y ++==---， 同理242PB k y =-，依题有PA PB k k =-，因为124422y y =---，所以124y y +=．……6分（Ⅱ）由⑴知212221144ABy y k y y -==-，设AB 的方程为221111,044y y y y x x y y -=--+-=即， P 到AB的距离为d =，221214y AB y y ==-=-，…10分∴112PAB S y ∆=-=2111141224y y y --- 2111(2)1624y y =---， ……12分 令12y t -=，由124y y +=，120,0y y ≥≥，可知22t -≤≤．31164PAB S t t ∆=-， 因为31164PAB S t t ∆=-为偶函数，只考虑02t ≤≤的情况， 记33()1616f t t t t t =-=-，2()1630f t t '=->，故()f t 在[]02，是单调增函数，故()f t 的最大值为(2)24f =，故PAB S ∆的最大值为6．…………15分。
2013届高三数学第二次模拟考试 文(西城二模)(含解析)
北京市西城区2013年高三二模试卷高三数学（文科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数 i (1i)⋅-= （A ）1i + （B ）1i -+ （C ）1i - （D ）1i --【答案】 A解析2i (1i)1i i i ⋅-=-=+，选A.2．已知向量(=a ，)=λb ．若a 与b 共线，则实数=λ （A ）1- （B ）1 （C ）3- （D ）3【答案】 A解析因为a 与b 共线，所以0=，解得1λ=-，选A.3．给定函数：①2y x =；②2xy =；③cos y x =；④3y x =-，其中奇函数是（A ）① （B ）② （C ）③ （D ）④【答案】 D解析①2y x =为偶函数.；②2xy =非奇非偶.③cos y x =为偶函数.④3y x =-为奇函数，选D.4．若双曲线221y x k+=的离心率是2，则实数k = （A ）3 （B ）3- （C ）13（D ）13-【答案】 B解析双曲线的方程为221y x k-=-，即221,a b k ==-，所以2221c a b k =+=-.又2e =，所以22214c e k a==-=，解得3k =-，选B.5．如图所示的程序框图表示求算式“235917⨯⨯⨯⨯” 之值，则判断框内可以填入（A ）10k ≤ （B ）16k ≤ （C ）22k ≤ （D ）34k ≤ 【答案】 C解析第一次循环，满足条件，2,3S k ==;第二次循环，满足条件，23,5S k =⨯=;第三次循环，满足条件，235,9S k =⨯⨯=;第四次循环，满足条件，2359,17S k =⨯⨯⨯=; 第五次循环，满足条件，235917,33S k =⨯⨯⨯⨯=，此时不满足条件输出.所以条件应满足1733k <<，即当22k ≤，满足，所以选C.6．对于直线m ，n 和平面α，β，使m ⊥α成立的一个充分条件是 （A ）m n ⊥，n ∥α（B ）m ∥β，⊥βα （C ）m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α（D ）m n ⊥，n ⊥β，⊥βα【答案】C解析对于A ，”m⊥n，n∥α”，如正方体中AB⊥BC，BC∥平面A′B′C′D′，但AB 与平面A′B′C′D′不垂直，故推不出m⊥α，故A 不正确； 对于B ，“m∥β，β⊥α”，如正方体中A′C′∥面ABCD ，面ABCD⊥面BCC′B′，但A′C′与平面BCC′B′不垂直．推不出m⊥α，故不正确； 对于C ，根据m⊥β，n⊥β，得m∥n，又n⊥α，根据线面垂直的判定，可得m⊥α，可知该命题正确；对于D ，“m⊥n，n⊥β，β⊥α”，如正方体中AD′⊥AB，AB⊥面BCC′B′，面ABCD⊥面BCC′B′，但AD′与面BCC′B′不垂直，故推不出m⊥α，故不正确．故选C ．7．已知函数||()e ||x f x x =+．若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 （A ）(0,1) （B ）(1,)+∞ （C ）(1,0)- （D ）(,1)-∞-【答案】 B解析由()f x k =得||()e ||x f x x k =+=，即||e ||x k x =-.令||e ,||x y y k x ==-，分别作出函数||e ,||x y y k x ==-的图象，如图，由图象可知要使两个函数的交点有2个，则有1k >，即实数k 的取值范围是(1,)+∞，选B.8．已知集合{1,2,3,4,5}的非空子集A 具有性质P ：当a A ∈时，必有6a A -∈．则具有性质P 的集合A 的个数是 （A ）8 （B ）7（C ）6（D ）5【答案】 B解析有条件可知有1，必有5；有2必有4；3可单独在一起.满足题意的子集有{3}、{ 1，5}、{ 2，4}、{3，1，5}、{3，2，4}、{3，1，5，2，4}、{1，5，2，4}，共7个.选B.第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知直线1:310l x y -+=，2:210l x my +-=．若1l ∥2l ，则实数m =______． 【答案】 6-解析因为直线1l ∥2l ，所以21131m -=≠-，解得6m =-. 10．右图是甲，乙两组各6名同学身高（单位：cm ）数据的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为x 甲和x 乙， 则x 甲______x 乙． （填入：“>”，“=”，或“<”） 【答案】>解析由茎叶图，甲班平均身高为1160(57101279)16031636++++--=+=，乙班平均身高为1160(12341210)16021626+++++-=+=，所以x 甲>x 乙.11．在△ABC 中，2BC =，AC =，3B π=，则AB =______；△ABC 的面积是______．【答案】3，解析由余弦定理得2222cos3AC AB BC AB BC π=+-⋅，即2742AB AB =+-，所以2230AB AB --=，解得3AB =或1AB =-，舍去.所以△ABC 的面积是11sin 3223222S AB BC π=⋅⋅=⨯⨯⨯=. 12．设a ，b 随机取自集合{1,2,3}，则直线30ax by ++=与圆221x y +=有公共点的概率是______． 【答案】59解析直线30ax by ++=与圆221x y +=有公共点，即 圆心到直线的距离小于或等于半径，1≤，即229a b +≥.当1a =时，28b ≥，此时3b =，有1组.当2a =时，25b ≥，此时3b =，有1组.当3a =时，20b ≥，此时1,2,3b =，有3组.所以共有5组.所有满足a ，b 的组合有339⨯=组.所以满足条件的概率为59. 13．已知命题:p 函数(1)1y c x =-+在R 上单调递增；命题:q 不等式20x x c -+≤的解集是∅．若p 且q 为真命题，则实数c 的取值范围是______． 【答案】 1c >或(1,)+∞解析要使函数(1)1y c x =-+在R 上单调递增，则10c ->，解得1c >.所以:p 1c >.因为不等式20x x c -+≤的解集是∅，所以判别式140c ∆=-<，解得14c >，即:q 14c >.因为p 且q 为真命题，所以,p q 同为真，即14c >且1c >，解得1c >.所以实数c 的取值范围是1c >.14．在直角坐标系xOy 中，已知两定点(1,0)A ，(1,1)B ．动点(,)P x y 满足01,0 2.OP OA OP OB ⎧≤⋅≤⎪⎨≤⋅≤⎪⎩则点P 构成的区域的面积是______；点(,)Q x y x y +-构成的区域的面积是______． 【答案】 2，4解析由01,0 2.OP OA OP OB ⎧≤⋅≤⎪⎨≤⋅≤⎪⎩得0102x x y ≤≤⎧⎨≤+≤⎩，做出对应的平面区域（阴影部分）为平行四边形.所以平行四边形的面积为212⨯=.设(,)Q s t ，则s x yt x y=+⎧⎨=-⎩，解得22s t x s t y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，由0102x x y ≤≤⎧⎨≤+≤⎩，得0202s t s ≤+≤⎧⎨≤≤⎩.做出对应的平面区域（阴影部分）如图为平行四边形OMFE.则平行四边形的面积为224⨯=.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，28a =，3448a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设4log n n b a =．证明：{}n b 为等差数列，并求{}n b 的前n 项和n S ．16．（本小题满分13分）如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且,)62ππ∈(α．将角α的终边按逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B ．记),(),,(2211y x B y x A ．（Ⅰ）若311=x ，求2x ； （Ⅱ）分别过,A B 作x 轴的垂线，垂足依次为,C D ．记△AOC 的面积为1S ，△BOD 的面积为2S ．若122S S =，求角α的值．17．（本小题满分14分）如图1，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，面ABCD 为正方形，E 为侧棱PD 上一点，F 为AB 上一点．该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．（Ⅰ）求四面体PBFC 的体积； （Ⅱ）证明：AE ∥平面PFC ；（Ⅲ）证明：平面PFC ⊥平面PCD ．18．（本小题满分13分）已知函数322()2(2)13f x x x a x =-+-+，其中0a >． （Ⅰ）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在区间[2,3]上的最小值． 19．（本小题满分14分）如图，椭圆22:1(01)y C x m m+=<<的左顶点为A ，M 是椭圆C 上异于点A 的任意一点，点P 与点A 关于点M 对称．（Ⅰ）若点P 的坐标为9(5，求m 的值；（Ⅱ）若椭圆C 上存在点M ，使得OP OM ⊥，求m20．（本小题满分13分）已知集合1212{(,,,)|,,,n n n S x x x x x x =是正整数1,2,3,,n 的一个排列}(2)n ≥，函数1,0,()1,0.x g x x >⎧=⎨-<⎩ 对于12(,,)n n a a a S ∈…，定义：121()()(),{2,3,,}i i i i i b g a a g a a g a a i n -=-+-++-∈，10b =，称i b 为i a 的满意指数．排列12,,,n b b b 为排列12,,,n a a a 的生成列．（Ⅰ）当6n =时，写出排列3,5,1,4,6,2的生成列； （Ⅱ）证明：若12,,,n a a a 和12,,,n a a a '''为n S 中两个不同排列，则它们的生成列也不同；（Ⅲ）对于n S 中的排列12,,,n a a a ，进行如下操作：将排列12,,,n a a a 从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：新的排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2．北京市西城区2013年高三二模试卷高三数学（文科）参考答案及评分标准2013.5 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1． A ； 2．A ； 3．D ； 4．B ； 5．C ； 6．C ； 7．B ； 8．B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．6-； 10．>； 11．3，2； 12．59； 13．(1,)+∞； 14．2，4． 注：11、14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意 0q >． ………………1分 因为 28a =，3448a a +=， 两式相除得 260q q +-=， ………………3分解得 2q =， 舍去 3q =-． ………………4分所以 214a a q==． ………………6分 所以数列{}n a 的通项公式为 1112n n n a a q -+=⋅=． ………………7分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 41log 2n n n b a +==． ………………9分 因为 1211222n n n n b b +++-=-=，所以数列{}n b 是首项为1，公差为12d =的等差数列． ………………11分所以 21(1)324n n n n nS nb d -+=+=． ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由三角函数定义，得 1cos x =α，2cos()3x π=+α．2分因为 ,)62ππ∈(α，1cos 3=α，所以 sin 3==α． ………………3分所以 21cos()cos 32x π=+==αα-α． ………………5分 （Ⅱ）解：依题意得 1sin y =α，2sin()3y π=+α． 所以 111111cos sin sin 2224S x y ==⋅=ααα， ………………7分 2221112||[cos()]sin()sin(2)223343S x y πππ==-+⋅+=-+ααα．……………9分依题意得 2sin 22sin(2)3π=-+αα， 整理得 cos20=α． ………………11分因为 62ππ<<α， 所以 23π<<πα， 所以 22π=α， 即 4π=α． ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由左视图可得 F 为AB 的中点，所以 △BFC 的面积为 12121=⋅⋅=S ．………………1分 因为⊥PA 平面ABCD ， ………………2分 所以四面体PBFC 的体积为 PA S V BFC BFC P ⋅=∆-31………………3分 322131=⋅⋅=． ………………4分（Ⅱ）证明：取PC 中点Q ，连结EQ ，FQ ． ………………5分由正（主）视图可得 E 为PD 的中点，所以EQ ∥CD ，CD EQ 21=． ………6分 又因为AF ∥CD ，CD AF 21=， 所以AF ∥EQ ，EQ AF =． 所以四边形AFQE 为平行四边形，所以AE ∥FQ ． ………………8分 因为 ⊄AE 平面PFC ，⊂FQ 平面PFC ，所以 直线AE ∥平面PFC ． ………………9分 （Ⅲ）证明：因为 ⊥PA 平面ABCD ，所以 CD PA ⊥．因为面ABCD 为正方形，所以 CD AD ⊥．所以 ⊥CD 平面PAD ． ………………11分 因为 ⊂AE 平面PAD ，所以 AE CD ⊥． 因为 AD PA =，E 为PD 中点，所以 PD AE ⊥．所以 ⊥AE 平面PCD ． ………………12分 因为 AE ∥FQ ，所以⊥FQ 平面PCD ． ………………13分 因为 ⊂FQ 平面PFC ， 所以 平面PFC ⊥平面PCD . ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()f x 的定义域为R ， 且 2()242f x x x a '=-+-． ………………2分当2a =时，1(1)3f =-，(1)2f '=-， 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 12(1)3y x +=--， 即 6350x y +-=． ………………4分（Ⅱ）解：方程()0f x '=的判别式80a =>∆， ………………5分令 ()0f x '=，得 11x =，或21x =． ………………6分 ()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调增区间为(,1-∞，(1)++∞；单调减区间为(1)22-+． ………………9分① 当02a <≤时，22x ≤，此时()f x 在区间(2,3)上单调递增， 所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是7(2)23f a =-． ………………10分 ② 当28a <<时，1223x x <<<，此时()f x 在区间2(2,)x 上单调递减，在区间2(,3)x 上单调递增，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是 25()3f x a =-． ………………12分 ③ 当8a ≥时，1223x x <<≤，此时()f x 在区间(2,3)上单调递减， 所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是(3)73f a =-． ………………13分 综上，当02a <≤时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是723a -；当28a <<时，()f x在区间[2,3]上的最小值是533a --；当8a ≥时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是73a -．19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，M 是线段AP 的中点，因为(1,0)A -，9(,55P ，所以 点M的坐标为2(,55． ………………2分由点M 在椭圆C 上，所以41212525m+=， ………………4分 解得 47m =． ……………6分（Ⅱ）解：设00(,)M x y ，则 2201y x m+=，且011x -<<． ① ………………7分 因为 M 是线段AP 的中点，所以 00(21,2)P x y +． ………………8分 因为 OP OM ⊥，所以 2000(21)20x x y ++=．② ………………9分由 ①，② 消去0y ，整理得 20020222x x m x +=-． ………………11分 所以001116242(2)82m x x =+≤-++-+， ………………13分 当且仅当02x =- 所以 m的取值范围是1(0,2-． ………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当6n =时，排列3,5,1,4,6,2的生成列为0,1,2,1,4,3-． ………………3分（Ⅱ）证明：设12,,,n a a a 的生成列是12,,,n b b b ；12,,,n a a a '''的生成列是与12,,,n b b b '''．从右往左数，设排列12,,,n a a a 与12,,,na a a '''第一个不同的项为k a 与k a '，即：n n a a '=，11n n a a --'=，，11k ka a ++'=，k k a a '≠． 显然 n nb b '=，11n n b b --'=，，11k kb b ++'=，下面证明：k k b b '≠．………………5分 由满意指数的定义知，i a 的满意指数为排列12,,,n a a a 中前1i -项中比i a 小的项的个数减去比i a 大的项的个数．由于排列12,,,n a a a 的前k 项各不相同，设这k 项中有l 项比k a 小，则有1k l --项比k a 大，从而(1)21k b l k l l k =---=-+．同理，设排列12,,,na a a '''中有l '项比k a '小，则有1k l '--项比k a '大，从而21kb l k ''=-+． 因为 12,,,k a a a 与12,,,ka a a '''是k 个不同数的两个不同排列，且k k a a '≠， 所以 l l '≠， 从而 k kb b '≠． 所以排列12,,,n a a a 和12,,,na a a '''的生成列也不同． ………………8分 （Ⅲ）证明：设排列12,,,n a a a 的生成列为12,,,n b b b ，且k a 为12,,,n a a a 中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以 1210,0,,0,1k k b b b b -≥≥≥≤-． ………………9分依题意进行操作，排列12,,,n a a a 变为排列1211,,,,,,k k k n a a a a a a -+，设该排列的生成列为12,,,nb b b '''． ………………10分 所以 1212()()nn b b b b b b '''+++-+++121121[()()()][()()()]k k k k k k k k g a a g a a g a a g a a g a a g a a --=-+-++---+-++- 1212[()()()]k k k k g a a g a a g a a -=--+-++-22k b =-≥．所以，新排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2．………………13分。
湖北省部分重点中学2013届高三第二次联考(文科)数学试题及答案
湖北省部分重点中学2013届高三第二次联考数学试卷（文史类）参考答案一、选择题：1.D2.C3.A4.C5.D6.C7.C8.A9.B 10.D二、填空题：11.4 12.9 13.48 14.3π 15.1(1,0),(2- 16.2 17.○1,○3,○4 三、解答题：18. 解：(1)f(x)=32sin ωx-12cos ωx+m+12=sin(wx-π6)+m+12T=(π3-π12)×4=π ∴ω=2，代入(π12,1)得m=12 ∴f(x)=sin(2x-π6)+1 (2)g(x)=sin(4x-π6)+1 令z=4x-6π,y=sinz+1的单调递增区间是2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦. 由242262k x k πππππ-+≤-≤+,得12262k k x ππππ-+≤≤+,k ∈Z. 设A=0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,B=|,12262k k x x k Z ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭, 易知A ∩B=|0,6122x x x πππ⎧⎫≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭5或 ∴g(x)在[0,π2]内单调增区间为[0,π6],[5π12,π2]. 19.解：（1）连结EC 1,在面A 1B 1C 1D 1内过E 作直线MN ⊥EC 1.MN 即为所求的直线。
（2）由条件可知，过MN 与F 的截面与下底面的交线为FG ，由于上下底面平行，易证MN ∥FG ，因为E 点在A 1C 1上，|MN|≠|FG|,故可知截面NMFG 为等腰梯形.且有MN=4 2 cm,FG=5 2 cm,MF=101 cm,由平面几何知识可求得其面积为S=12(42+52)×101-12=92012(cm 2)。
20. 解：数列{a n }为等差数列∴a 1+a 3=2a 2=0,代入得：f(x+1)+f(x-1)=0,解得x=1或3∴a 1,a 2,a 3依次为-2，0，2或2,0,-2a n =2n-4或a n =-2n+4{log 3b n }均为等差数列,且{log 3b n }的前10项和为45∴{b n }为等比数列且log 3b 5+log 3b 6=9,b 5b 6=39 ∴b 6=35,公比q=3,故b n =b 5·3n-5=3n-1综上：a n =2n-4或a n =-2n+4 , b n =3n-1(2)由（1）结合条件知a n =2n-4,当n=1时，|a 1+b 1|=1当n ≥2时，|a n +b n |=a n +b n此时，S n =(a 1+b 1)+(a 2+b 2)+…+（a n +b n )-2(a 1+b 1)=n 2-3n+312n -+2=n 2-3n+332n + 综上：221(1)3333323(2)2n n n n S n n n n n =⎧+⎪==-+⎨+-+≥⎪⎩(n ∈N *) 21.解：连结QN ，则|QN|=|PQ|(1)当r>2时，点N 在圆内，此时|QN|+|QM|=|PQ|+|QM|=|PM|=r，且r>|MN|,故Q 的轨迹为以M,N 为焦点的椭圆。
河北省邯郸市2013届高三第二次大联考数学文(附答案)(扫描版)
答案一、选择题：1-5 BADAC 6-10 BCBAC 11-12 D C 二、填空题：13. 6 14. 4 15. -3 16. (-4，0) 三、解答题：17．解原式可化为：----3分则的最小值是，最小正周期是； ----5分，则，，，， -----7分，由正弦定理，得， 由余弦定理，得，即，由解得． -----10分18．解（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为,1442=+a a 136=a ，所以有13,2a d ==，所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1)3n+22⨯=2n +2n ------5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以b n =211n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅=111(-)4n n+1⋅，所以nT =111111(1-+++-)4223n n+1⋅- =4111-141<⎪⎭⎫ ⎝⎛+n ，---------10分又811=≥T T n 单调递增，故4181n <≤T ---------12分19. 解法一：（Ⅰ）∵DE ⊥平面DBC ，AB D E ∥， ∴AB ⊥平面DBC ，∵D F ⊂平面DBC ，∴A B D F ⊥. 又∵BD CD B =2C ==，F 为CD 的中点， ∴D B F C ⊥. ∵BC ⊂平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，AB BC=B ，∴D F ⊥平面ABC -------4分 （Ⅱ）：设DE x =，则0x >.∵DE ⊥平面DBC ，∴DE B C ⊥ 又∵D F BC ⊥，D E ⊂平面DEF D F ⊂平面DEF ，DE DF D = ， ∴BC ⊥平面DE F ，∵BC ⊂平面ABC ，∴平面DEF ⊥平面EBC . 连EF ，过D 作D H EF ⊥，垂足为H ，则DH ⊥平面EBC .线段D H 的长即为点D 到平面EBC 的距离.----------8分在Rt DEF ∆中，,DE x DF ==∴EF DH ===-----------12分 解法二：, 2..111.233231333E BCD BCD BCE D BCE BCE E BCD D BCE DE x BD BC CD DE BCD V DE S x xBE CE S D BCE d dV d S V V x d x -∆∆-∆--====⊥∴==⋅⋅⨯=====⋅====∈ 设平面另设到平面的距离为则由得解得20.解（Ⅰ）22,=85=85=31=50x x s s 甲乙乙甲，，，，2s 甲<2s 乙∴派甲合适。
甘肃省河西五市部分普通高中2013届高三数学第二次联合考试试题 文(含解析)
2013年甘肃省河西五市部分普通高中高三第二次联考考试数学试卷（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第（22）—（24）题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，只收回答题卡和答题纸。
注意事项：1、答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2、选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案的标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写无效。
4、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5、做选做考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每題给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．设复数z=2+bi (b ∈R)且z =22，则复数z 的虚部为 ( ) A. 2 B.±2i C.±2 D. ±222．已知集合A={y ︱y=3x},B={x ︱x 2＞1},，则A ∩C R B = （ ） A.[-1,1] B.(0,1) C.[0,1] D. (]1,03．下列命题是真命题的是 ( ) A ．a b >是22ac bc >的充要条件 B.1a >，1b >是1ab >的充分条件 C ．x ∀∈R ，x2＞2xD.0x ∃∈R ，0xe ＜ 04．阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的S 的值是 （ ）A ．102B ．21C ．81D ．39=-=+)22cos(31)4cos(.5x ，x ππ则若 ( ) A.-97 B.-91 C.98 D.976．设等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 1=-15, a 3+a 5= -18,则当S n 取最小值时n 等于 ( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．67.已知一个几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 ( )A.32-8π B.34-8π C.34-4π D.32-4π 8． 如果实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥++≤022011y x y x y 那么z =2x+y 的范围为 ( )A ．)(93-，B ．][9,3-C ．][91-，D ． [)9,3-9.一个三棱柱的侧棱垂直于底面，且所有棱长都为a,则此三棱柱的外接球的表面积为（ ）A ．2a π B.215a π C.2311a π D.237a π 10．f (x) =3sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ) (ω＞0，φ＜）2π的最小正周期为π，且f (-x)=f(x ) 则下列关于g (x )= sin(ωx+φ)的图象说法正确的是 （ ）A ．关于点（），06π对称 B.关于直线x=12π对称 C. 在x ∈[0,6π ]上，函数值域为[0，1] D. 函数在x ∈[34-ππ， ]上单调递增11．若P 点是以A （-3，0）、B （3，0）为焦点，实轴长为52的双曲线与圆x 2+y 2=9的一个交点，则PB PA += （ ） A ．132 B.134 C.143 D.14412．已知：⎪⎩⎪⎨⎧<++≥+-=)0()0(1)(22x c bx x x x x f , 若3)2(),1()3(-=--=-f f f ，则x x f =)(的零点个数有 （ ）A.1个B.4个C.2个D.3个第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选做题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知平面向量 a ，b 满足：2)(,6,1=-⋅==a b a b a ，则b a 与的夹角为 14．设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,且a=2,b=4,cosC=43,则sinB= 15.若向面积为16的△ABC 内任投一点P ，则△PBC 面积小于4的概率为 ； 16．给出下列命题：①抛物线x=241-y 的准线方程是x=1； ②若x ∈R ，则 21222+++x x 的最小值是2 ；③ 函数f(x)=1)2lg(-+x x 的定义域为-(2，)∞+ ；④ 圆C 1：16)2()3(22=-++y x 与圆C 2：1)1()1(22=++-y x 的位置关系是外切。
云南省2013年高中毕业生第二次复习统一检测文科数学试题
2013年云南省第二次高中毕业生复习统一检测文科数学质量分析报告一、抽样统计分析1．抽样全卷基本情况样本数满分值平均分难度标准差及格人数及格率最高分86315066.160.4426.217820.631362．抽样分数段分数段0～4950～5960～6970～7980～89抽样总数人数24810412510999863合计685分数段90～99100～109110～119120～129130～139140～150人数755241820合计1783．各小题抽样情况（1）选择题题号满分值正确选项A人数A比例%B人数B比例%C人数C比例%D人数D比例%未（多）选人数未（多）选比例%15C9 1.0425 2.981193.9712 1.3960.7 25A54062.5710011.59789.0413916.1160.7 35B677.7668479.2646 5.3360 6.9560.7 45D657.53657.5311713.5660770.349 1.04 55C20 2.328810.271783.0831 3.5970.81 65B849.7364574.74738.4655 6.3760.7 75A47254.69718.2317920.7413215.39 1.04 85D10512.1713916.11799.1553361.7670.81 95D17 1.9710 1.1616819.4766076.4880.93 105B16619.2422826.4229033.617119.8180.93115C69810011.5965575.932 3.7170.81 125A17119.8137243.1111713.5619222.2511 1.27题 号满分值平均分难度区分度标准差满分人数满分率15 4.70.940.26 1.1881193.97 25 3.130.630.53 2.4254062.57 35 3.960.790.34 2.0368479.26 45 3.520.70.56 2.2860770.34 55 4.150.830.42 1.8871783.08 65 3.740.750.52 2.1764574.74 75 2.730.550.57 2.4947254.69 85 3.090.620.63 2.4353361.76 95 3.820.760.38 2.1366076.48 105 1.320.260.34 2.2122826.42 115 3.790.760.39 2.1565575.9 1250.990.20.19 1.9917119.81题号满分值平均分难度区分度标准差及格人数及格率满分人数满分率最高分选择题6038.950.650.8812.7151359.4425 2.960（2）填空题题号满分值平均分难度区分度标准差及格人数及格率满分人数满分率最高分135 2.70.540.4 2.4946754.11466545 145 1.930.390.51 2.4333338.5933338.595 1550.810.160.52 1.8414016.2214016.225 1650.980.20.42 1.9816919.5816919.585填空题20 6.420.320.73 5.512214.1436 4.1720（3）解答题题号满分值平均分难度区分度标准差及格人数及格率满分人数满分率最高分1712 5.620.470.78 4.0822526.0716819.4712 1812 2.580.220.63 2.91819.3923 2.6712 1912 6.80.570.65 4.0428833.3726831.0512 20120.710.060.46 1.1910.12009 2112 1.80.150.53 1.6713 1.510010选考10 3.280.330.61 3.1416819.4710412.0510解答题7020.790.30.912.3627.180057（4）第II卷题号满分值平均分难度区分度标准差及格人数及格率满分人数满分率最高分第II卷9027.210.30.9316.19748.570077选考题数据统计题号满分值选择人数平均分难度标准差及格人数及格率%221050 4.040.40 3.541122.002310513 4.150.427.1814227.682410208 2.380.24 2.05157.21二、各题质量分析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．第1题：已知集合，集合，表示空集，那么（A）（B）（C）（D）本题考查集合的概念和运算.解:∵，，∴.故选C．第2题：抛物线的焦点坐标为（A）（B）（C）（D）本题考查抛物线的标准方程.解: ∵,∴.∴的焦点坐标为.故选A.答题分析：解答本题首先要把抛物线的方程化为标准方程，这样才能得出正确答案.这也是考生容易出错的地方.第3题：一个由正数组成的等比数列，它的前项和是前项和的倍，则此数列的公比为（A）（B）（C）（D）本题考查等比数列的概念及其相关运算.解:设此数列的公比为，根据题意得，且，解得. 故选B.答题分析：考生容易忽视条件“一个由正数组成的等比数列”，如果改为填空题，考生容易得出错误答案.第4题：已知平面向量，，如果向量与平行，那么与的数量积等于（A） （B）（C） （D）本题考查向量的概念及其与运算，考查向量平行，考查两个向量的数量积.解:∵，，∴,.∵ 与平行，∴,解得.∴.∴.故选D.第5题：如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是半径为的半圆，俯视图是半径为的圆，则该几何体的体积等于正视图俯视图侧视图（A）（B）（C）（D）本题以半球为载体，考查由三视图还原几何体的能力.解: 由三视图知几何体是半球，体积为.∴故选C．第6题：曲线在点处的切线方程为（A）（B）（C）（D）本题考查导函数的求法，考查曲线上一点处的切线方程的求法.解:∵，∴当时，.∴曲线在点处的切线方程为.∴故选B.答题分析：1.题中涉及三项乘积的导数的求法，一些考生不能把它转化为两项乘积的导数来求解.2.也可以把三项的乘积展开后再求导数，即.第7题：已知是虚数单位，如果复数满足，那么（A）（B）（C）（D）本题考查复数，考查复数的基本运算，考查方程的思想方法.解:设，、都是实数，则，∵，∴，解方程得.∴.∴故选A.答题分析：本题解题方法是利用复数相等条件来列等式，求出未知数．复数不能比较大小，但复数可以相等．本题体现了这一思想．第8题：已知直线经过点，当截圆所得弦长最长时，直线的方程为（A）（B）（C）（D）本题考查直线和圆的基本知识.解: ∵截圆所得弦长最长，∴直线经过圆的圆心.由已知得直线经过点和圆心.∴直线的方程为.∴故选D.第9题：从分别写有，，，，的五张卡片中任取两张，假设每张卡片被取到的概率相等，且每张卡片上只有一个数字，则取到的两张卡片上的数字之和为偶数的概率为（A）（B）（C）（D）本题考查概率的古典概型，考查用枚举法求概率.解:从分别写有，，，，的五张卡片中任取两张，总的情况为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共种情况．两张卡片上的数字之和为偶数的有：，，，，，，，共种情况.∴从分别写有，，，，的五张卡片中任取两张，这两张卡片上的数字之和为偶数的概率.故选D.第10题：已知是定义域为实数集的偶函数，，，若，则．如果，，那么的取值范围为（A）（B）（C）（D）本题综合考查函数的奇偶性、单调性.解:∵，，，则,∴定义在实数集上的偶函数在上是减函数.∵, ∴, 即.∴或解得或.∴.故选B．.答题分析：1.本题首先要看出函数在上是减函数.2.根据函数的单调性“去”：∵, ∴, 即，但这个不等式并不等价于，原因是函数在上是减函数，但在上却是增函数.事实上，∵是定义域为实数集的偶函数，∴上式可化为，即，接下来分类讨论去绝对值即可.第11题：某学校高一年级、高二年级、高三年级共有学生人，其中高三年级学生数是高一年级学生数的两倍，高二年级学生比高一年级学生多人，现按年级用分层抽样的方法从高一年级、高二年级、高三年级抽取一个学生样本. 如果在这个样本中，有高三年级学生人，那么为得到这个样本，在从高二年级抽取学生时，高二年级每个学生被取到的概率为（A）（B）（C）（D）本题考查统计中分层抽样的计算.解:设高三学生数为，则高一学生数为，高二学生数为，∴有，解得,高三学生数为.∵在这个样本中，高三年级学生有人，∴每个学生被抽到的概率为故选C．答题分析：本题不是求高二年级这一层将抽到多少学生，这是与以往不同的地方.我们所学习的三种抽样方法都是等概率抽样，即每个个体被抽到的概率都相等，据此便可解答本题.第12题：在三棱锥中，，底面是正三角形，、分别是侧棱、的中点. 若平面平面，则侧棱与平面所成角的正切值是（A）（B）（C）（D）本题考查空间线面的位置关系，考查线面角的求法.解:设的中点为，的中点为，连接，，．∵,∴在平面内的射影是等边的中心.∴是侧棱与平面所成的角.由已知得，设的中点为，则.∵平面平面，∴平面.∵，分别是侧棱，的中点，∴是的中点.∵，∴.设等边的边长为，侧棱长为，则.∵,∴.∴故选A.答题分析：1.本题的关键在于对空间线面位置关系进行正确而有效的转化，只要哪一步思维卡壳，就很难做下去了.2.首先要找到侧棱与平面所成角.接下来要用面面垂直推出线面垂直，进而推出线线垂直.然后再逆用等腰三角形的性质，得出.从而找到底面正三角形边长和侧棱长之间的等量关系.最后才是计算的正切值.3.本题的难点在于：首先要找出所求的线面角，其次如何根据条件找到底面边长和侧棱长的等量关系.二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．第13题：如果执行下列程序框图，那么输出的．开始k =1？是否输出S结束本题考查程序框图，考查等差数列前项和的求法.解:根据程序框图的意义，得．第14题：已知的面积等于，在的边上任取一点，则的面积不小于的概率等于．本题考查几何概型的计算.解:设底边上的高为，在的边上，且， .则有， 同理有．∵的面积不小于，∴点只能在线段上.∴的面积不小于的概率等于.答题分析：１．几何概型是将概率问题转化为几何图形问题．本题是将面积概率问题转化为线段长问题，由于线段上有无数个点，在线段上任取一点，都有．由于总面积相当于线段长，相当于线段长，所以得的面积不小于的概率等于.解题时应注意体会几何概型事件的无限性与古典概型事件的有限性．２．有的考生填写的是，可能是把“不小于”看成了“小于”.这提示我们，读题要慢，审题要细，只有这样才能减少失分.第15题：设、为双曲线的两个焦点，点在此双曲线上，，如果此双曲线的离心率等于，那么点到轴的距离等于．本题考查双曲线，考查双曲线的焦点三角形，离心率等知识和方法.解法一: ∵的离心率等于，∴.∴.∵,∴.∴.∵点在双曲线上，∴.∴.∴.∴.设点到轴的距离等于，则.∴.解法二（方程思想）:∵，∴，.∵的离心率等于，∴，，.∴，双曲线方程为.设，则 ①由得 ②解得，从而点到轴的距离等于.第16题：已知、、分别为三个内角、、的对边，若，，则的值等于．本题考查解三角形，涉及正余弦定理、三角变换.解:根据余弦定理得：.∵是三角形的内角，∴.在中，.∴.根据正弦定理和已知得：.∴.∴.答题分析：1.解答本题的一个关键是要从看出这是关于角的余弦定理，可得出.2.因为，这个式子展开后，得，解之即可.三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题：（本小题满分12分）已知．（Ⅰ）写出的最小正周期；（Ⅱ）若的图象关于直线对称，并且，求的值．本题考查三角函数的化简计算，考查三角函数的周期性和对称性.解:（Ⅰ）∵,∴的最小正周期.（Ⅱ）∵的图象关于直线对称，∴，.∴，.∵,∴.第18题：（本小题满分12分）某投资公司年初用万元购置了一套生产设备并即刻生产产品，已知与生产产品相关的各种配套费用第一年需要支出万元，第二年需要支出万元，第三年需要支出万元，……，每年都比上一年增加支出万元，而每年的生产收入都为万元．假设这套生产设备投入使用年，，生产成本等于生产设备购置费与这年生产产品相关的各种配套费用的和，生产总利润等于这年的生产收入与生产成本的差. 请你根据这些信息解决下列问题：（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若干年后，该投资公司对这套生产设备有两个处理方案：方案一：当年平均生产利润取得最大值时，以万元的价格出售该套设备；方案二：当生产总利润取得最大值时，以万元的价格出售该套设备．你认为哪个方案更合算？请说明理由．本题考查考生的阅读和建模能力，综合考查考生运用函数、数列、均值不等式等知识和方法解决实际问题能力.解:（Ⅰ）由题意知该公司这年需要支出与生产产品相关的各种配套费用是以为首项，为公差的等差数列的前项和．∴.由得，解得.∵，∴，，，……，.∴的解集为.（Ⅱ）(1) 由已知得年平均生产利润为.∵,“”成立，即,∴当时，年平均生产利润取得最大值，若执行方案一，总收益为（万元）.(2) ∵，，∴当时，生产总利润取得最大值，若执行方案二，总收益为（万元）.∴无论执行方案一还是方案二，总收益都为万元.∵，∴从投资收益的角度看，方案一比方案二更合算.注：第（Ⅱ）问答案不唯一，只要言之有理即可.答题分析：1.由于文字叙述较长，很多考生对题意不甚了了，所建立的函数模型也是错误百出，从而导致本题的得分是很低的.2.第（Ⅰ）问中，很多考生在求的时候，都把等差数列的前项和错误理解为第项了，即.3.第（Ⅱ）问中，一些考生不理解“年平均生产利润取得最大值”、“生产总利润取得最大值”的含义，从而无法建立模型.4. 第（Ⅱ）问中，所建立的模型是对的，并且也求出了分别等于7和11，但之后就不知道应该选择哪一个量作为标准，来判断哪个方案更好.第19题：（本小题满分12分）如图，在长方体中，，，，是线段的中点．D1C1B1A1ABCDM（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求平面把长方体分成的两部分的体积比．本题考查空间线面位置关系，考查线面平行，考查三棱锥体积的求法.（Ⅰ）证明：设的中点为，连接，.根据题意得, ，且.D1C1A1ABCODM是平行四边形.，（Ⅱ）解：∵，，∴空间几何体的体积.∴或，即平面把长方体分成的两部分的体积比为或.答题分析：1. 第（Ⅰ）问有一点难度，需要作辅助线，这几乎是用几何法证明线面平行、线面垂直的必经之路了，对此考生要有意识.2.第（Ⅱ）问的解决比较简单，并且不依赖于第（Ⅰ）问，有的考生第（Ⅰ）问没有做出来，但第（Ⅱ）问做出来了，这是一种好的现象，说明考生能够把会做的做对了.第20题：（本小题满分12分）已知、分别是椭圆: 的左、右焦点，点在直线上，线段的垂直平分线经过点．直线与椭圆交于不同的两点、，且椭圆上存在点，使，其中是坐标原点，是实数．（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）当取何值时，的面积最大？最大面积等于多少？本题综合考查直线和椭圆的相关问题，综合考查考生的运算求解能力.解:（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，根据题意得解方程组得∴椭圆的方程为．由，得．根据已知得关于的方程有两个不相等的实数根.∴，化简得：．设、，则．（1）当时，点、关于原点对称，，满足题意；（2）当时，点、关于原点不对称，.由，得即∵在椭圆上，∴，化简得：．∵，∴．∵，∴，即且．综合（1）、（2）两种情况，得实数的取值范围是．（Ⅱ）当时，，此时，、、三点在一条直线上，不构成.∴为使的面积最大，.∵∴.∵原点到直线的距离，∴的面积．∵，，∴.∴．∵，∴．“” 成立，即．∴当时，的面积最大，最大面积为．答题分析：1.由于题目较长，一些考生不能识别有效信息，未能救出椭圆的方程求.2. 第（Ⅰ）问，求的取值范围.其主要步骤与方法为：由，得关于、的不等式……①.由根与系数的关系、，在椭圆上，可以得到关于、、的等式……②．把等式②代入①，可以达到消元的目的，但问题是这里一共有三个变量，就是消了，那还有关于和的不等式，如何求出的取值范围呢？这将会成为难点.事实上，在把等式②代入①的过程中，和一起被消掉，得到了关于的不等式.解之即可.3.第（Ⅱ）问要把的面积函数先求出来.用弦长公式求底，用点到直线的距离公式求高，得到的面积，函数中有两个自变量和，如何求函数的最大值呢？这又成为难点.这里很难想到把②代入面积函数中，因为②中含有三个变量，即使代入消掉一个后，面积函数依然有两个自变量.但这里很巧合的是：代入消掉后，事实上，也自动地消除了，于是得到了面积和自变量的函数关系，再由第（Ⅰ）中所得到的的取值范围，利用均值不等式，即可求出面积的最大值了.4.解析几何的难点在于运算的繁杂，本题较好地体现了解解析几何题设题要求.对此，考生要有足够的心理准备.5.解答本题给我们的启示：不能死抱一些“结论”，比如两个未知数需要两个方程才能解出来等等.事实上，当那方程比较特殊的时候，即便是有多个未知数，也是可以把所有未知数都解出来的.很多时候的巧，会给我们山重水复疑无路，柳暗花明又一村的惊喜！第21题：（本小题满分12分）已知常数、、都是实数，函数的导函数为，的解集为．（Ⅰ）若的极大值等于，求的极小值；（Ⅱ）设不等式的解集为集合，当时，函数只有一个零点，求实数的取值范围．本题通过导数综合考查函数的单调性、极值、零点、比较大小等知识.解:（Ⅰ）∵，∴.∵不等式的解集为，∴不等式的解集为.∴即∴，.∴当或时，，即为单调递减函数；当时，，即为单调递增函数.∴当时，取得极大值，当时，取得极小值.由已知得，解得.∴.∴的极小值.（Ⅱ）∵，，，∴，解得，即.∵，∴.∴当或时，，即为单调递减函数；当时，，即为单调递增函数.∴当时，为单调递减函数；当时，为单调递增函数.∵，，，∴.∴在上只有一个零点或.由得；由，即，得.∴实数的取值范围为或.∴当或时，函数在上只有一个零点.答题分析：1.第（Ⅰ）的解答还是要破费周折的.首先要求出导函数.然后根据的解集为，通过解混合组,得到进而得到.接下来通过研究函数的单调性，由的极大值等于，可解得，这样就可以求出的极小值.2.第（Ⅱ）问先由不等式的解集为集合，可以解得.然后研究的单调性，值得注意的是，换句话说方程两边对求导数，、应看作是常数.单调性弄清楚后，还要比较、的大小.然后根据只有一个零点，列出或，最后解之即可.值得注意的是，很多考生漏了.第22题：（本小题满分10分）选修：几何证明选讲如图，四边形的外接圆为⊙，是⊙的切线，的延长线与相交于点，．AEBCD.O求证：．本题考查平面几何中的三角形相似以及圆的相关知识，考查推理论证能力证明:连结．∵是⊙的切线，AEBCD.O∴．∵，∴．∴．∵⊙是四边形的外接圆，∴．∴∽．∴，即.∵，∴．答题分析：作辅助线往往是解答平面几何证明的关键，本题也不例外.第23题：（本小题满分10分）选修：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为是参数，是曲线与轴正半轴的交点．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点与曲线只有一个公共点的直线的极坐标方程．本题考查圆的参数方程和普通方程，考查直线的直角坐标方程和极坐标方程的互化.解:把曲线的参数方程是参数化为普通方程得.∴曲线是圆心为，半径等于的圆.∵是曲线与轴正半轴的交点，∴.根据已知得直线是圆经过点的切线.∵,∴直线的斜率.∴直线的方程为.∴直线的极坐标方程为.第24题：（本小题满分10分）选修：不等式选讲已知，关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围．本题考查绝对值不等式，考查绝对值函数最大值的求法，考查绝对值不等式恒成立问题.解:设，则∴当时，；当时，；当时，.∴的最大值为.∵关于的不等式的解集不是空集的充要条件是的解集不是空集，而的解集不是空集的充要条件是的最大值，即.解，得.∴实数的取值范围为.答题分析：1.本题解法是采用分离变量的方法进行的，分离之后，可以求出的最大值.2.一些考生对不等式的解集不是空集理解有误，有的甚至求成了的最小值.实际上的解集不是空集，所以的最大值，即，解之即可.三、教学建议1．回归基础 ：掌握基本知识、基本方法和基本题型.在最后的复习阶段，考生要回归课本，理清数学的知识主线，构建思想方法体系，熟记数学概念、公理、定理、性质、法则、公式．考生应该把课本上的基本知识、基本方法和基本题型系统全面地再梳理一遍，并针对盲区和易错点及时查缺补漏．2.高度重视运算能力.近年来的高考数学试题，对运算能力的要求都有所加强，在云南省第二次统一测试中也得到了较好地反映，比如第20题解析几何中的复杂运算，第21题函数中的代数变形，第18题概率大题中的繁杂数字计算等．因此要高度重视运算能力的培养．然而由于运算能力的培养并非一日之功，因此要坚持长期训练培养，在平时的学习中，凡是复杂计算，都必须认真演算完毕，而不能是懂算理算法后就停止了，平时不训练有素，考场上肯定是快不起来的，考试也一定是要吃大亏的.3．整理反思已做过的题.临近高考，一味地做新题、难题将得不偿失．事实上，学生已经做过很多试题了（试卷已经有厚厚的一打），但是否真正掌握吃透了呢？你应该拿出你以前做过的习题来进行归纳总结：拿到一道题必须立即判断其题型、考点 ( 知识背景 ) ，常用解法及特殊解法，解法的具体步骤，解法的关键步，解法的易错步，此题的常见变式及其解决办法等，以上几点如果你在一两分钟内无法回答出来，则说明你还未真正掌握此类问题．在高三最后的冲刺阶段，这样的整理和反思训练远比埋头做题来得重要．具体可如下实施：(1)应把过去做过的题目分类梳理、整理．做这项工作时最好按照知识点的板块进行，同时兼顾按题型划分．(2)做好分类后，找出自己在基础知识方面的薄弱环节，同时应做专项练习，提高熟练程度．(3)最基础的定理、公式要熟记．此时的复习应做到回归课本，但回归课本不是简单地拿着书本翻阅，而是带着自己在梳理知识中遇到的问题去有重点地看课本．(4)找出自己做错的地方，认真反思错误原因，并记忆错误原因，争取做到在高考中不犯同样的错误．错误有很多种，有知识不足的问题，有概念不清的问题、有题型模式认识不清的问题、也有分类不清的问题，当然还有做题马虎的问题等等．考生要在前进中反思，在反思中前进．4.关注考试心理和考试技巧.数学难题、怪题千千万万，高考考场上遇到一些新题是再正常不过的，考场上需要保持一个平和的心态.比如本次省统测，选做题每题都只有一个问，这跟往常所见的很不一样，此时不能因为这种“新颖”就把自己给搞紧张了.要树立一个心态：考场上见到什么都是可能的！再比如，第9题，求递推数列的通项公式，由于一下子没能把等比数列或等差数列给配凑出来，会不会自己就紧张到连取特殊值排除验证的方法都抛到九霄云外了呢？5．答题时一般来说应该是先易后难，从前往后．有的考生喜欢先做大题，再做选择、填空题．我们认为这是不妥当的．通常试题的难易分布是按每一类题型从前向后，由易到难的．因此，解题顺序也宜按试卷题号从小到大，从前至后依次解答．当然，中间有难题出现时，可以先跳过去，总之，总的原则是要先把容易得到的分数拿到手，先易后难，先选择、填空题，后解答题．6．字迹清晰，合理规划．这对任何一科考试都很重要，尤其是对“精确度”较高的数学，若字迹不清、较难辨认，极易造成阅卷教师的误判．例如写得较快时，数字1和7极易混淆等等．若不清晰就可能使本来正确的失了分．另外，答题卡上书写的位置和大小要计划好，尽量让卷面安排做到合理整洁，特别地，要在指定区域作答．总之，对于解答题，书写要规范，布局要合理，论述既要简明，又不能跳跃过大.只有这样才能避免“自己做对了”，但阅卷却被扣了分这种现象.。
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2013年高中毕业年级第二次联合考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，考试时间120分钟，满分150分。
考生应首先阅读答题卷上的文字信息，然后在答题卷上作答，在试题卷上作答无效。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列四个命题中的真命题为A ．0x ∃∈Z ，1<04x <3B ．0x ∃∈Z ，05x ＋1＝0C ．x ∀∈R ，2x －1＝0D ．x ∀∈R ，2x ＋x ＋2>0 2．若向量a 、b 满足｜a ｜＝｜b ｜＝1，且（a ＋b ）·b ＝32，则向量a 、b 的夹角为A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°3．若复数12a ii＋3－（a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为A ．－2B ．4C ．－6D ．6 4．已知集合A ＝{2，3}，B ＝{x ｜mx －6＝0}，若B ⊆A ，则实数m ＝A ．3B ．2C ．2或3D ．0或2或3 5．设a 、b 是实数，且a ＋b ＝3，则22a b＋的最小值是A ．6B ．42C ．26D ．8 6．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝3x ＋ax ＋b 相切于点A （1，3），则a －b ＝ A ．－4 B ．－1 C ．3 D ．－27．设α、β是两个不同的平面，a 、b 是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中真命题是A ．若a ∥α,b ∥α,则a ∥bB ．若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥βC ．若a ⊥α，b ⊥β，a ⊥b ，则α⊥βD ．若a 、b 在平面α内的射影互相垂直，则a ⊥b8．已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ，且48S S ＝13，则816S S ＝A ．18 B ．13 C ．19D ．3109．右图是一个空间几何体的三视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么这个几何体的体积为A ．1B ．12C ．13D ．1610．将函数y ＝sin （6x ＋4π）的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移8π个单位，得到的函数的一个对称中心是A ．（2π，0）B ．（4π，0）C ．（9π，0）D ．（16π，0）11．已知双曲线的方程为2221x ab2y －＝（a>0,b>0），双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为 53c （c 为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率为A ．52B ．32C ．355D ．2312．设a ，b ，c 分别是函数f (x )＝1()2x －2log x ,g (x )＝122log xx －，h (x )＝1()2x －12log x的零点，则a ，b ，c 的大小关系是A ．b<c<aB ．a<b<cC ．b<a<cD ．c<b<a第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．阅读右图所示的程序框图，若运行该程序后输出的y 值为18，则输入的实数x 值为_______。
14．已知α∈（0，2π），sin α＝35,计算1cos 2α＋tan2α的值为___________________．15．若不等式组,,230,x x x y ⎧⎪⎨⎪⎩y ≤y ≥－－－≤表示的平面区域为M ，2x ﹢2y ≤1所表示的平面区域为N ，现随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为_______________． 16．已知抛物线2y ＝4x ，过焦点F 的弦与抛物线交于A 、B 两点，过A 、B 分别作y 轴垂线，垂足分别为C 、D ，则｜AC ｜＋｜BD ｜的最小值为___________．三、解答题（共70分） 17．（本小题满分12分）某中学共有1000名学生参加了该地区高三第一次质量检测的数学考试，数学成绩如下表所示： 数学成绩分组[0，30）[30，60） [60，90） [90，120）[120，150] 人数6090300x160（Ⅰ）为了了解同学们前段复习的得失，以便制定下阶段的复习计划，学校将采用分层抽样的方法抽取100名同学进行问卷调查，甲同学在本次测试中数学成绩为95分，求他被抽中的概率；（Ⅱ）已知本次数学成绩的优秀线为110分，试根据所提供数据估计该中学达到优秀线的人数；（Ⅲ）作出频率分布直方图，并估计该学校本次考试的数学平均分．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）18．（本小题满分12分）某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上,在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，∠BAC ＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚2秒．在A地测得该仪器至最高点H时的仰角17为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH．（声音的传播速度为340米／秒）19．（本小题满分12分）如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形所在平面ABCD垂直，已知BC＝2AD＝4，∠ABC＝60°，BF⊥AC．（Ⅰ）求证：AC⊥面ABF；（Ⅱ）求异面直线BE与AF所成的角；（Ⅲ）求该几何体的表面积．20．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝px－lnx－1．（Ⅰ）当p>0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：x≥1，ln x≤x－1；（Ⅲ）已知数列{n a }，{n b }，若n a ＝2n ，n b ＝ln （n a ＋1）－ln n a ，n S 为数列{n b }的前n 项和，求证：n S <1．21．（本小题满分12分）已知圆C ：22(3)16x y ＋＋＝，点A （3，0），Q 是圆上一动点，AQ 的垂直平分线交CQ 于点M ，设点M 的轨迹为E ． （Ⅰ）求轨迹E 的方程；（Ⅱ）过点P （1，0）的直线l 交轨迹E 于两个不同的点A 、B ，△AOB （O 是坐标原点）的面积S ＝45，求直线AB 的方程．22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，C 、F 为⊙O 上的点，CA 是∠BAF 的角平分线，过点C 作CD ⊥AF 交 AF 的延长线于D 点，CM ⊥AB ，垂足为点M ． （Ⅰ）求证：DC 是⊙O 的切线； （Ⅱ）求证：AM ·MB ＝DF ·DA ．文科数学 参考答案一、选择题DCDDB ACDCA BA 二、填空题 13.34； 14.7； 15.12π； 16.2.三、解答题17.解：⑴分层抽样中，每个个体被抽到的概率均为样本容量总体中个体总数，…………2分故甲同学被抽到的概率110p =.……………… 3分 ⑵由题意1000(6090300160)390x =-+++=，………………………… 4分故估计该中学达到优秀线的人数12011016039029012090m -=+⨯=-，… 6分⑶频率分布直方图.…………………………3分 该学校本次考试数学平均分60159045300753901051601351000x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=90=.…………………………11分估计该学校本次考试的数学平均分为90分. ………12分18.解：由题意，设||AC x =，则2||3404017B C x x =-⨯=-,在△A B C 内，由余弦定理：222||||||2||||cos BC BA C A BA C A BAC =+-⋅⋅∠,…4分即 22(40)10000100x x x -=+-，解之得420.x = ………………7分在△AC H 中，||420,30,90AC C AH AC H =∠=∠=,所以||||tan 140 3.C H AC C AH =∠= …………………………11分答：该仪器的垂直弹射高度1403C H =米. ………………………… 12分19.⑴证明：因为面AD EF ⊥面A B C D ,AF ⊥交线A D , AF ⊂面AD EF ,所以AF ⊥面A B C D . ……2分 故 AF AC ⊥,又 B F A C ⊥,AF BF F ⋂=.所以A C ⊥面A B F , ……4分⑵解：注意到//D E A F ,所以D E 与B E 所成的角即为异面直线B E 与A F 所成的角, ……6分 连接BD ，由⑴知D E BD ⊥.在R t B D E 中，2,23,tan 3,60B D D E BD BED BED D E==∴∠==∠=,异面直线B E 与A F 所成的角为60 . ……8分⑶解：由⑴知AF ⊥面A B C D ，所以AF AB ⊥，又cos 602AB BC == ,所以△A B F 的面积11||||22S A F A B =⋅=. ……9分同理△C D E 的面积22S =，等腰梯形BC EF 的上底长为2，下底长为4，两腰长均为22，则它的高为7，所以其面积31(24)7372S =⨯+⨯=.……10分等腰梯形A B C D 的上底长为2，下底长为4，两腰长均为2, 则它的高为3，所以其面积41(24)3332S =⨯+⨯=.…… 11分故该几何体的表面积1234433378S S S S S =++++=++.…12分20.⑴解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1()f x p x'=-, ……1分当()0f x '>时1x p>，所以函数()f x 在1(,)p+∞上为增函数,当()0f x '<时10x p<<，所以函数()f x 在1(0,)p上为减函数,故函数()f x 的增区间为1(,)p+∞，减区间为1(0,)p.……6分⑵证明：由⑴得，当1p =时()f x 在[1,)+∞上是增函数, 所以()(1)0f x f ≥=，即ln 1x x ≤-.……8分⑶证明：由⑵得1ln(1)ln lnln(12)2nnn n n n na b a a a --+=+-==+≤ , …… 10分1212222121n n n n S b b b ----=+++≤+++=-< .即1n S <成立. ………………………………………………12分21.⑴解：由题意||||||||||423M C M A M C M Q C Q +=+==>, 所以轨迹E 是以,A C 为焦点，长轴长为4的椭圆. …… 2分即轨迹E 的方程为2214xy +=.………………………………4分⑵解：记1122(,),(,)A x y B x y ,由题意，直线AB 的斜率不可能为0，故可设:1AB x my =+,由2244,1,x y x my ⎧+=⎨=+⎩ 消x 得：22(4)230m y m y ++-=,所以2222122222222122222412(4)2412(4)2,2(4)2(4)42412(4)2412(4)3,2(4)2(4)4m m m m m m my y m m m m m m m m m y y m m m ⎧-+++--++-+=+=⎪+++⎪⎨-+++--++⎪⋅=⋅=-⎪+++⎩……………………………………………………………………………… 7分 2212121221123||||()4 .224m S O P y y y y y y m +=-=+-=+……9分由45S =，解得21m =，即1m =±.………………………………10分故直线AB 的方程为1x y =±+，即1010x y x y +-=--=或为所求. ……12分22. ⑴证明：连接O C ,,OA OC OCA OAC =∴∠=∠ , 又,DAC OAC DAC OCA ∠=∠∴∠=∠.//,AD OC CD AD ∴⊥又，O C C D ∴⊥，即D C 是⊙O 的切线. …… 5分 ⑵证明：因为CA 是∠BAF 的角平分线,90CDA CMA ∠=∠= ，所以C D C M =.由⑴知2DC DF DA =⋅，又2CMAM MB =⋅.所以AM ·MB =DF ·DA . ………………………………10分。