福建龙岩市2020年高三数学(理)5月质量检测卷附答案解析
【新结构】(龙岩三模)福建省龙岩市2024届高中毕业班五月教学质量检测数学试题+答案解析
【新结构】(龙岩三模)福建省龙岩市2024届高中毕业班五月教学质量检测数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若全集，集合，，则()A. B. C. D.2.若复数z满足，则复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知向量，，若在上的投影向量为，则()A.2B.3C.4D.55.已知球的体积为，且该球的表面积与底面半径为2的圆锥的侧面积相等，则该圆锥的体积为()A. B. C. D.6.声音的等级单位：与声音强度单位：满足喷气式飞机起飞时，声音的等级约为若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍，则一般说话时声音的等级约为()A.120dBB.100dBC.80dBD.60dB7.已知曲线与曲线相交于A，B两点，直线AB交x轴于点P，则点P的横坐标的取值范围为()A. B.C. D.8.已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在上有且仅有1个零点，则的最大值为()A.11B.9C.7D.5二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数，则()A.在单调递增B.是的零点C.的极小值为0D.是奇函数10.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则()A.B.若，，则C.若，则面积的最大值为D.若，则11.已知抛物线与圆交于A，B两点，且过焦点F的直线l与抛物线C交于M，N两点，点P是抛物线C上异于顶点的任意一点，点Q是抛物线C的准线与坐标轴的交点，则()A.若，则直线l的斜率为B.的最小值为18C.为钝角D.点P与点F的横坐标相同时，最小三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
(详解版)福州市2020届高三理科数学5月调研卷(理数)参考答案
A.①②③
B.②③④
C.①②
D.③④
【答案】C
【解析】①根据题图中的数据，可得 2012-2018 年，中国雪场滑雪人数逐年增加，所以①
正确；
理科数学详解（第 2 页共 15 页）
②2013-2015 年，中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加，所以②正确； ③中国雪场 2015 比 2014 年增加的滑雪人数和 2018 年比 2017 年增加的滑雪人数均为 220 万人，但 2015 年的同比增长率比 2014 年提高了 7%，2018 年的同比增长率比 2017 年降低 了 3.3%，所以③错误； ④2016-2018 年，中国雪场滑雪人数增长率为 1970 1510 100% 30.5% ，所以④错误.
A B
且 x 时， f (x) ； x 时， f (x) 0 ， M
O
作出 f (x) 的大致图象，如图. 设 g(x) a(x 1) ，g(x)
2
3
x
恒过 定点 M (1, 0) ，设 A(2, 4 ), B(3, 9 ) ， 结合图 象可 知需考虑 AM ， BM 斜率 .因为
2π )
的周期为
2π
，图象向右平移
1
个周期后得到的函数为
g
(
x)
，
3
3
2
则
g(x)
2 sin[3( x
π )
2π ]
2 sin(3x
π )
，由 3x
π
kπ
π
k
Z
，得
33
3
3
2
x kπ 5π k Z ,取 k 1，得 x 11π ，故选 D.
3 18
18
福建省福州市2020届高三5月调研卷理科数学试题(解析版)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |9x 2﹣3＜1}，B ＝{y |y ＜2}，则（∁R A ）∩B ＝（ ）A ．[23，2)B ．∅C ．(−∞，−23]∪[23，2)D ．(−23，23) 2．复数z 满足（1﹣2i ）z ＝4+3i （i 为虚数单位），则复数z 的模等于（ ）A ．√55B ．√5C ．2√5D ．4√53．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 2﹣a 1＝2，S 5﹣S 4＝9，则a 50＝（ ）A ．99B ．101C ．2500D ．9×2454．一个正棱锥被平行于底面的平面所截，若截得的截面面积与底面面积的比为1：2，则此正棱锥的高被分成的两段之比为（ ）A ．1：√2B ．1：4C ．1：（√2+1）D ．1：（√2−1）5．（2x ﹣1）5＝a 0+a 1（x ﹣1）+a 2（x ﹣1）2+…+a 5（x ﹣1）5，则a 3＝（ ）A ．﹣40B ．40C ．80D ．﹣806．随着2022年北京冬奥会的临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放．如图是2012﹣2018年中国雪场滑雪人数（单位：万人）与同比增长情况统计图．则下面结论中正确的是（ ）①2012﹣2018年，中国雪场滑雪人数逐年增加；②2013﹣2015年，中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加；③中国雪场2015年比2014年增加的滑雪人数和2018年比2017年增加的滑雪人数均为220万人，因此这两年的同比增长率均有提高；④2016﹣2018年，中国雪场滑雪人数的增长率约为23.4%．A ．①②③B ．②③④C ．①②D ．③④7．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0，2，4，8，12…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．如图是求大衍数列前n 项和的程序框图．执行该程序框图，输入m ＝10，则输出的S ＝（ ）A ．100B ．140C ．190D ．250 8．若a =414，b ＝log 512，c =log 1319，则（ ）A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．a ＜c ＜bD ．c ＜a ＜b9．将函数f(x)=2sin(3x +2π3)的图象向右平移12个周期后得到函数g （x ）的图象，则g （x ）图象的一条对称轴可以是（ ）A ．x =π18B ．x =π6C ．x =7π18D ．x =11π18 10．设双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F ，直线4x ﹣3y +20＝0过点F 且在第二象限与C 的交点为P ，O 为原点，若|OP |＝|OF |，则C 的离心率为（ ）A ．5B ．√5C ．53D ．54 11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n =S n n +2(n −1)（n ∈N *），则nS n −2n 2的最小值为（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．23D ．312．若关于x 的不等式ae x （x +1）﹣x 2＜0解集中恰有两个正整数解，a 的取值范围为（ ）A ．[43e 2，12e ) B ．[94e 3，12e ) C ．[94e 3，12e ] D ．[94e 3，43e 2) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置.13．已知向量a →与b →的夹角为60°，|a →|＝2，|b →|＝3，则|3a →−2b →|＝ ．14．椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2√3，点E 在C 上，EF 1⊥EF 2，直线EF 1的斜率为b c （c 为半焦距），则C 的方程为 ．15．已知点P （x ，y ）满足{x +y ≤4y ≥x x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2+y 2＝14相交于A 、B 两点，则AB 的最小值为 ．16．已知三棱锥A ﹣BCD 的棱长均为6，其内有n 个小球，球O 1与三棱锥A ﹣BCD 的四个面都相切，球O 2与三棱锥A ﹣BCD 的三个面和球O 1都相切，如此类推，…，球O n 与三棱锥A ﹣BCD 的三个面和球O n ﹣1都相切（n ≥2，且n ∈N *），则球O 1的体积等于 ，球O n 的表面积等于 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17．（12分）如图，已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a sin A +（c ﹣a ）sin C ＝b sin B ，点D 是AC 的中点，DE ⊥AC ，交AB 于点E ，且BC ＝2，DE =√62．（1）求B ；（2）求△ABC 的面积．18．（12分）如图，在五面体ABCDEF 中，AB ∥CD ∥EF ，AB ⊥BC ，CD ＝2CE ＝2EF ＝8，∠BCE＝120°，DF=4√2．（1）证明：EF⊥平面BCE；（2）若BC＝8，AB＝EF，求二面角E﹣AD﹣F的余弦值．19．（12分）已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y＝x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小值．20．（12分）已知函数f（x）＝1+x﹣2sin x（x＞0）．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明：f（x）＞e﹣2x．21．（12分）某医药开发公司实验室有n（n∈N*）瓶溶液，其中m（m∈N）瓶中有细菌R，现需要把含有细菌R的溶液检验出来，有如下两种方案：方案一：逐瓶检验，则需检验n次；方案二：混合检验，将n瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌R，则n瓶溶液全部不含有细菌R；若检验结果含有细菌R，就要对这n瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为n+1．（1）假设n＝5，m＝2，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R的概率；（2）现对n 瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌R 的概率均为P （0≤p ≤1）．若采用方案一．需检验的总次数为ξ；若采用方案二．需检验的总次数为η⋅（i ）若ξ与η的期望相等．试求P 关于n 的函数解析式P ＝f （n ）；（ii ）若P =1−e −14，且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望．求n 的最大值．参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10，ln 5≈1.61，ln 7＝1.95．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =m +2t ，y =√2t（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2=41+sin 2θ． （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设P 为曲线C 上的点，PQ ⊥l ，垂足为Q ，若|PQ |的最小值为2，求m 的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1．证明：（1）a +b +c ≤12+1b 2+12； （2）12+a +12+b +12+c ≤1．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |9x 2﹣3＜1}，B ＝{y |y ＜2}，则（∁R A ）∩B ＝（ ）A ．[23，2)B ．∅C ．(−∞，−23]∪[23，2)D ．(−23，23) 【分析】根据题意，求出集合A ，进而可得∁R A ，由交集的定义分析可得答案．【解答】解：根据题意，集合A ＝{x |9x 2﹣3＜1}＝（−23，23），则∁R A ＝（﹣∞，−23]∪[23，+∞），又由B ＝{y |y ＜2}，则（∁R A ）∩B ＝（﹣∞，−23]∪[23，2）， 故选：C ．【点评】本题考查集合的运算，涉及集合交并补的定义，属于基础题．2．复数z 满足（1﹣2i ）z ＝4+3i （i 为虚数单位），则复数z 的模等于（ ）A ．√55B ．√5C ．2√5D ．4√5 【分析】由复数的模的性质可得：|z |=|4+3i||1−2i|，进而得出结论． 【解答】解：∵（1﹣2i ）z ＝4+3i （i 为虚数单位），则|z |=|4+3i||1−2i|=√22√1+(−2)=√5． 故选：B ．【点评】本本题考查了复数运算法则及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 2﹣a 1＝2，S 5﹣S 4＝9，则a 50＝（ ）A ．99B ．101C ．2500D ．9×245【分析】依题意得，公差d ＝a 2﹣a 1，a 5＝S 5﹣S 4，可得a 50＝a 5+45d ，即可得出．【解答】解：依题意得，公差d ＝a 2﹣a 1＝2，a 5＝S 5﹣S 4＝9，∴a 50＝a 5+45d ＝99，故选：A ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．一个正棱锥被平行于底面的平面所截，若截得的截面面积与底面面积的比为1：2，则此正棱锥的高被分成的两段之比为（）A．1：√2B．1：4C．1：（√2+1）D．1：（√2−1）【分析】设出截前后的棱锥的高，由于截面与底面相似，所以截面面积与底面面积的比，是相似比的平方，求出正棱锥的高被分成的两段之比．【解答】解：设截后棱锥的高为h，原棱锥的高为H，由于截面与底面相似，一个正棱锥被平行于底面的平面所截，若截得的截面面积与底面面积的比为1：2，ℎH=√12=√22，则此正棱锥的高被分成的两段之比：ℎH−ℎ=√2−1故选：D．【点评】本题考查棱锥的结构特征，考查计算能力，是基础题．5．（2x﹣1）5＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a5（x﹣1）5，则a3＝（）A．﹣40B．40C．80D．﹣80【分析】由题意，利用二项展开式的通项公式，求得a3的值．【解答】解：∵（2x﹣1）5＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a5（x﹣1）5，令x﹣1＝t，则x＝t+1，∴（2t+1）5＝a0+a1t+a2t2+…+a5t5．（2t+1）5展开式的通项为：T r+1＝C5r（2t）5﹣r1r，令5﹣r＝3，求得r＝2，所以，T3＝C52（2t）3＝80x3，即a3＝80，故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．6．随着2022年北京冬奥会的临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放．如图是2012﹣2018年中国雪场滑雪人数（单位：万人）与同比增长情况统计图．则下面结论中正确的是（）①2012﹣2018年，中国雪场滑雪人数逐年增加；②2013﹣2015年，中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加；③中国雪场2015年比2014年增加的滑雪人数和2018年比2017年增加的滑雪人数均为220万人，因此这两年的同比增长率均有提高；④2016﹣2018年，中国雪场滑雪人数的增长率约为23.4%．A ．①②③B ．②③④C ．①②D ．③④【分析】根据折现统计图，结合数据即可判断．【解答】解：根据同比增长情况统计图可知，2012﹣2018年，中国雪场滑雪人数逐年增加，2013﹣2015年，中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加；中国雪场2015年比2014年增加的滑雪人数和2018年比2017年增加的滑雪人数均为220万人，因此这两年的同比增长率均有提高是错误的，2016﹣2018年，中国雪场滑雪人数的增长率约1970−15101510≈30.5%，故结论中正确的是①②故选：C ．【点评】本题考查表的应用，考查数据分析能力以及运算求解能力．7．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0，2，4，8，12…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．如图是求大衍数列前n 项和的程序框图．执行该程序框图，输入m ＝10，则输出的S ＝（ ）A．100B．140C．190D．250【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得n＝1，S＝0，m＝10满足条件n是奇数，a＝0，S＝0不满足条件n≥m，n＝2，不满足条件n是奇数，a＝2，S＝2不满足条件n≥m，n＝3，满足条件n是奇数，a＝4，S＝6不满足条件n≥m，n＝4，不满足条件n是奇数，a＝8，S＝14不满足条件n≥m，n＝5，满足条件n是奇数，a＝12，S＝26不满足条件n≥m，n＝6，满足条件n是奇数，a＝18，S＝44不满足条件n≥m，n＝7，满足条件n是奇数，a＝24，S＝68不满足条件n≥m，n＝8，不满足条件n是奇数，a＝32，S＝100不满足条件n≥m，n＝9，满足条件n是奇数，a＝40，S＝140不满足条件n≥m，n＝10，不满足条件n是奇数，a＝50，S＝190满足条件n≥m，退出循环，输出S的值为190．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8．若a =414，b ＝log 512，c =log 1319，则（ ）A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．a ＜c ＜bD ．c ＜a ＜b 【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．【解答】解：∵414=212=√2＜32，∴0＜a ＜32， ∵log 512＞log 5√125=32，而log 512＜log 525＝2，∴32＜b ＜2，∵c ＝log 1319=log 39＝2，∴a ＜b ＜c ，故选：B ．【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．9．将函数f(x)=2sin(3x +2π3)的图象向右平移12个周期后得到函数g （x ）的图象，则g （x ）图象的一条对称轴可以是（ ）A ．x =π18B ．x =π6C ．x =7π18D ．x =11π18【分析】求出函数f （x ）的最小正周期，根据图象平移得出函数g （x ）的解析式，再求g （x ）图象的一条对称轴．【解答】解：函数f(x)=2sin(3x +2π3)的最小正周期为T =2π3，f （x ）的图象向右平移12个周期后，得y ＝f （x −π3）＝2sin[3（x −π3）+2π3]＝2sin （3x −π3）的图象，所以函数g （x ）＝2sin （3x −π3）；令3x −π3=π2+k π，k ∈Z ，解得x =5π18+kπ3，k ∈Z ；令k ＝1，得x =11π18，所以g （x ）图象的一条对称轴是x =11π18．故选：D ．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．10．设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F ，直线4x ﹣3y +20＝0过点F 且在第二象限与C 的交点为P ，O 为原点，若|OP |＝|OF |，则C 的离心率为（ ） A ．5B ．√5C ．53D ．54【分析】由题设知△PFN 是以FN 为斜边的直角三角形，c ＝5，在Rt △PFN 中，tan ∠PFN =43，FN ＝10．可得2a ＝2，a ＝1，由此能求出双曲线的离心率． 【解答】解：如图，设双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为N ．∵|OP |＝|OF |＝|ON |＝c ，则△PFN 是以FN 为斜边的直角三角形， ∵直线4x ﹣3y +20＝0过点F ，∴c ＝5，在Rt △PFN 中，PF ⊥PN ，∵k PF =43，∴tan ∠PFN =43，FN ＝10． ∴PN ＝8，PF ＝6，则2a ＝2，a ＝1， 则C 的离心率为e =ca =5，故选：A ．【点评】本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n =Sn n +2(n −1)（n ∈N *），则nS n −2n 2的最小值为（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．23D ．3【分析】由 a n =S nn +2(n −1)=S n ﹣S n ﹣1 （n ≥2）⇒{S n n }是以S 11=a 11=1为首项，公差为2的等差数列，求得S n n，再求nS n −2n 2的最小值．【解答】解：∵S n 为数列{a n }的前n 项和，a n =Snn +2(n −1)=S n ﹣S n ﹣1 （n ≥2），∴n（S n ﹣S n ﹣1）＝S n +2（n ﹣1）n ，即：（n ﹣1）S n ﹣nS n ﹣1＝2（n ﹣1）n ，n ∈N *且n ≥2，∴S n n−S n−1n−1=2，n ≥2．所以数列{S n n}是以S 11=a 11=1为首项，公差为2的等差数列，所以S n n=1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，∴S n ＝n （2n ﹣1），nS n −2n 2=n 2（2n ﹣1）﹣2n 2＝2n 3﹣3n 2，令nS n −2n 2=b n ，即b n ＝2n 3﹣3n 2．∵b n +1﹣b n ＝2（n +1）3﹣3（n +1）2﹣2n 3+3n 2＝6n 2﹣1＞0， 所以b n 在n ∈N *时单调递增，故（b n ）min ＝b 1＝﹣1， 即nS n −2n 2的最小值为﹣1． 故选：B ．【点评】本题主要考查数列的综合应用，属于中档题．12．若关于x 的不等式ae x （x +1）﹣x 2＜0解集中恰有两个正整数解，a 的取值范围为（ ）A ．[43e 2，12e) B ．[94e 3，12e ) C ．[94e3，12e ] D ．[94e 3，43e2) 【分析】原不等式变形可得a(x +1)＜x 2e x ，设直线y ＝a （x +1），函数f(x)=x 2e x，则有且仅有两个正整数使得直线y ＝a （x +1）的图象在函数f(x)=x 2ex 图象的下方，作出函数f（x ）及直线的图象，由图象观察，可得到关于a 的不等式组，解出即可得到答案． 【解答】解：由不等式ae x （x +1）﹣x 2＜0可得a(x +1)＜x 2e x，设直线y ＝a （x +1），函数f(x)=x 2e x， 依题意，有且仅有两个正整数使得直线y ＝a （x +1）的图象在函数f(x)=x 2e x 图象的下方，而f ′(x)=2xe x −x 2e x e 2x=x(2−x)e x ，易知函数f （x ）在（﹣∞，0），（2，+∞）单调递减，在（0，2）单调递增，且y ＝a （x +1）恒过定点（﹣1，0），作出函数f （x ）的图象及直线y ＝a （x +1）的图象如下，由图可知，{a(2+1)＜4e 2a(3+1)≥9e 3，解得94e 3≤a ＜43e 2． 故选：D ．【点评】本题考查利用导数研究不等式的整数解个数问题，考查转化思想及数形结合思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置. 13．已知向量a →与b →的夹角为60°，|a →|＝2，|b →|＝3，则|3a →−2b →|＝ 6 ．【分析】根据题意，由向量数量积的计算公式可得a →•b →=2×3×cos60°＝3，又由|3a →−2b →|2＝9a →2﹣12a →•b →+4b →2，代入数据计算变形即可得答案．【解答】解：根据题意，向量a →与b →的夹角为60°，且|a →|=2，|b →|=3， 则a →•b →=2×3×cos60°＝3，则|3a →−2b →|2＝9a →2﹣12a →•b →+4b →2＝36， 则|3a →−2b →|＝6； 故答案为：6【点评】本题考查向量的数量积的计算，关键是掌握向量数量积的计算公式． 14．椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2√3，点E 在C 上，EF 1⊥EF 2，直线EF 1的斜率为b c（c 为半焦距），则C 的方程为 x 26+y 23=1 ．【分析】由题意可得可得c 的值，再由EF 1⊥EF 2，直线EF 1的斜率为b c可得E 为椭圆的短轴的顶点，可得b ＝c ，再由a ，b ，c 之间的关系求出a 的值，进而求出椭圆的方程．【解答】解：由题意可得2c ＝2√3，所以c =√3，因为EF 1⊥EF 2，直线EF 1的斜率为bc（c 为半焦距），所以bc=1，所以b ＝c =√3，a 2＝b 2+c 2＝6， 所以椭圆的方程为：x 26+y 23=1，故答案为：x 26+y 23=1．【点评】本题考查椭圆的性质，属于中档题．15．已知点P （x ，y ）满足{x +y ≤4y ≥x x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2+y 2＝14相交于A 、B 两点，则AB 的最小值为 4 ．【分析】通过约束条件画出可行域，确定P 的位置使得到圆心的距离最大，然后求出弦长的最小值．【解答】解：点P （x ，y ）满足{x +y ≤4y ≥x x ≥1，P 表示的可行域如图阴影部分：原点到直线x +y ＝4的距离为OD ，所以当P 在可行域的Q 点时，Q 到圆心O 的距离最大，当AB ⊥OQ 时，AB 最小．Q 的坐标由{x +y =4x =1确定，Q （1，3），OQ =2+32=√10，所以AB ＝2√(√14)2−(√10)2=4． 故答案为：4．【点评】本题考查简单的线性规划，正确画出可行域判断P 的位置，是解题的关键． 16．已知三棱锥A ﹣BCD 的棱长均为6，其内有n 个小球，球O 1与三棱锥A ﹣BCD 的四个面都相切，球O 2与三棱锥A ﹣BCD 的三个面和球O 1都相切，如此类推，…，球O n 与三棱锥A ﹣BCD 的三个面和球O n ﹣1都相切（n ≥2，且n ∈N *），则球O 1的体积等于 √6π ，球O n 的表面积等于6π4n−1．【分析】利用平面几何知识，数形结合推出这些球的半径满足数列{r n }是以r 1=√62为首项，公比为12的等比数列，代入计算即可【解答】解：如图，设球O 1半径为r 1，…，球O n 的半径为r n ，E 为CD 中点，球O 1与平面ACD 、BCD 切于F 、G ，球O 2与平面ACD 切于H ， 作截面ABE ，设正四面体A ﹣BCD 的棱长为 由平面几何知识可得1√36a =√63a−r √32a ，解得r 1=√612a ， 同时√63a−2r 1−r 2√63a−r 1=r 2r 1，解得r 2=√624a ，把a ＝6代入的r 1=√62，r 2=√64，由平面几何知识可得数列{r n }是以r 1=√62为首项，公比为12的等比数列，所以r n =√62(12)n−1，故球O 1的体积=43πr 13=43π（√62）3=√6π；球O n 的表面积＝4πr n 2＝4π×[√62(12)n−1]2=6π4n−1， 故答案为√6π；6π4【点评】本题考查了正四面体，球体积性质及其表面积，考查信息提取能力，逻辑推理能力，空间想象能力，计算能力，属于中档偏难题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17．（12分）如图，已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a sin A+（c﹣a）sin C＝b sin B，点D是AC的中点，DE⊥AC，交AB于点E，且BC＝2，DE=√62．（1）求B；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）通过正弦定理实现边角转化，再应用余弦定理，可求出B．（2）根据已知条件可以确定AE＝CE，并求出它们的表达式，在△BCE中，运用外角与内角的关系、正弦定理，可求出A，BE的大小，最后求出面积．【解答】解：（1）∵a sin A+（c﹣a）sin C＝b sin B，由asinA =bsinB=csinC，得：a2+c2﹣ab＝b2，由余弦定理得：cos B=a2+c2−b22ac=12，∵0＜B＜π，∴B＝60°：（2）连接CE，如下图：D是AC的中点，DE⊥AC，∴AE＝CE，∴CE＝AE=DEsinA=√62sinA，在△BCE中，由正弦定理得CEsinB=BCsin∠BEC=BCsin2A，∴√62sinAsin60°=22sinAcosA，∴cos A =√22， ∵0＜A ＜180°， ∴A ＝45°， ∴∠ACB ＝75°，∴∠BCE ＝∠ACB ﹣∠ACE ＝30°，∠BEC ＝90°， ∴CE ＝AE =√3，AB ＝AE +BE =√3+1， ∴S △ABC =12AB ⋅CE =3+√32， 【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．（12分）如图，在五面体ABCDEF 中，AB ∥CD ∥EF ，AB ⊥BC ，CD ＝2CE ＝2EF ＝8，∠BCE ＝120°，DF =4√2． （1）证明：EF ⊥平面BCE ；（2）若BC ＝8，AB ＝EF ，求二面角E ﹣AD ﹣F 的余弦值．【分析】（1）推导出EF ⊥BC ．取CD 中点为G ，连接FG ，推导出四边形CEFG 为平行四边形，从而CE ∥GF ，且CE ＝GF ＝4．DG ⊥GF ，CD ⊥CE ，EF ⊥CE ．由此能证明EF ⊥平面BCE ．（2）推导出CD ⊥平面BCE ．以点C 为坐标原点，分别以CB →、CD →的方向为x 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C ﹣xyz ．利用向量法能求出二面角E ﹣AD ﹣F 的余弦值．【解答】解：（1）证明：因为AB ∥EF ，AB ⊥BC ，所以EF ⊥BC ． 取CD 中点为G ，连接FG ，所以CG =DG =12CD =4， 因为CD ∥EF ，EF ＝4，所以CG ∥EF 且CG ＝EF ，所以四边形CEFG 为平行四边形，所以CE ∥GF ，且CE ＝GF ＝4． 因为DF =4√2，DG 2+GF 2＝DF 2，所以DG ⊥GF ，所以CD ⊥CE ， 因为CD ∥EF ，所以EF ⊥CE ．因为BC ∩CE ＝C ，所以EF ⊥平面BCE ． （2）解：由（1）知，EF ⊥平面BCE ， 因为CD ∥EF ，所以CD ⊥平面BCE ．故以点C 为坐标原点，分别以CB →、CD →的方向为x 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C ﹣xyz ．所以A(8，0，4)，B(8，0，0)，E(−2，2√3，0)，F(−2，2√3，4)，D(0，0，8)， 所以AD →=(−8，0，4)，AE →=(−10，2√3，−4)， 设平面ADE 的法向量为n →=(x 1，y 1，z 1)，则{AD →⋅n →=0AE →⋅n →=0，所以{−8x 1+4z 1=0−10x 1+2√3y 1−4z 1=0，取x 1＝1，则n →=(1，3√3，2)，设平面ADF 的法向量为m →=(x 2，y 2，z 2)，因为AF →=(−10，2√3，0)，所以{AD →⋅n →=0AF →⋅n →=0，所以{−8x 2+4z 2=0−10x 2+2√3y 2=0，取x 2＝1，则m →=(1，5√33，2)，所以cos ＜n →，m →＞=1+3√3×5√33+4√1+(3√3)2+4×√1+(5√33)+4=√154，所以二面角E ﹣AD ﹣F 的余弦值为√154．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、逻辑推理能力，是中档题． 19．（12分）已知抛物线C 的顶点为O （0，0），焦点F （0，1） （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）过F 作直线交抛物线于A 、B 两点．若直线OA 、OB 分别交直线l ：y ＝x ﹣2于M 、N 两点，求|MN |的最小值．【分析】（I ）由抛物线的几何性质及题设条件焦点F （0，1）可直接求得p ，确定出抛物线的开口方向，写出它的标准方程；（II ）由题意，可A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线AB 的方程为y ＝kx +1，将直线方程与（I ）中所求得方程联立，再结合弦长公式用所引入的参数表示出|MN |，根据所得的形式作出判断，即可求得最小值．【解答】解：（I ）由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py （p ＞0）则p2=1，解得p ＝2，故抛物线C 的方程为x 2＝4y（II ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线AB 的方程为y ＝kx +1， 由{y =kx +1x 2=4y消去y ，整理得x 2﹣4kx ﹣4＝0， 所以x 1+x 2＝4k ，x 1x 2＝﹣4，从而有|x 1﹣x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√k 2+1， 由{y =y 1x 1xy =x −2解得点M 的横坐标为x M =2x 1x 1−y 1=2x 1x 1−124=84−x 1， 同理可得点N 的横坐标为x N =84−x 2，所以|MN |=√2|x M ﹣x N |=√2|84−x 1−84−x 2|＝8√2|x 1−x 2x 1x 2−4(x 1+x 2)+16|=8√2√k 2+1|4k−3|，令4k ﹣3＝t ，t ≠0，则k =t+34， 当t ＞0时，|MN |＝2√2√25t 2+6t+1＞2√2， 当t ＜0时，|MN |＝2√2√25t 2+6t+1=2√2√(5t +35)2+1625≥8√25．综上所述，当t=−253，即k=−43时，|MN|的最小值是8√25．【点评】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，本题考查了数形结合的思想及转化的思想，将问题恰当的化归可以大大降低题目的难度，如本题最后求最值时引入变量t，就起到了简化计算的作用．20．（12分）已知函数f（x）＝1+x﹣2sin x（x＞0）．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明：f（x）＞e﹣2x．【分析】（1）求出导函数，判断导函数的符号，然后求解函数的单调区间即可．（2）要证当x＞0时，f（x）＞e﹣2x，即证当x＞0时，g（x）＝（1+x﹣2sin x）e2x＞1，构造函数g'（x）＝（3+2x﹣4sin x﹣2cos x）e2x，令h（x）＝x﹣sin x，利用函数的导数，判断函数的单调性，转化求解即可．【解答】解：（1）f'（x）＝1﹣2cos x，由f'（x）＞0得cosx＜12，解得π3+2kπ＜x＜5π3+2kπ（k∈N），由f'（x）＜0得cosx＞12，解得0＜x＜π3或5π3+2kπ＜x＜7π3+2kπ（k∈N），所以f（x）的单调递增区间为(π3+2kπ，5π3+2kπ)（k∈N）；f（x）的单调递减区间为(0，π3)和(5π3+2kπ，7π3+2kπ)（k∈N）．（2）要证当x＞0时，f（x）＞e﹣2x，即证当x＞0时，g（x）＝（1+x﹣2sin x）e2x＞1，g'（x）＝2（1+x﹣2sin x）e2x+（1﹣2cos x）e2x＝（3+2x﹣4sin x﹣2cos x）e2x，令h（x）＝x﹣sin x，则h'（x）＝1﹣cos x≥0，h（x）在（0，+∞）上单调递增，故h（x）＞h（0）＝0，即x＞sin x，所以3+2x﹣4sin x﹣2cos x＞3+2sin x﹣4sin x﹣2cos x＝3﹣2（sin x+cos x）=3−2√2sin(x+π4 )＞0，所以g'（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上单调递增，故g（x）＞g（0）＝1，故当x＞0时，f（x）＞e﹣2x．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性的判断与求解，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．21．（12分）某医药开发公司实验室有n （n ∈N *）瓶溶液，其中m （m ∈N ）瓶中有细菌R ，现需要把含有细菌R 的溶液检验出来，有如下两种方案：方案一：逐瓶检验，则需检验n 次；方案二：混合检验，将n 瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌R ，则n 瓶溶液全部不含有细菌R ；若检验结果含有细菌R ，就要对这n 瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为n +1．（1）假设n ＝5，m ＝2，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R 的概率；（2）现对n 瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌R 的概率均为P （0≤p ≤1）．若采用方案一．需检验的总次数为ξ；若采用方案二．需检验的总次数为η⋅（i ）若ξ与η的期望相等．试求P 关于n 的函数解析式P ＝f （n ）；（ii ）若P =1−e −14，且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望．求n 的最大值．参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10，ln 5≈1.61，ln 7＝1.95．【分析】（1）记“恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R ”事件为A ，“第三次含有细菌R 且前2次中有一次含有细菌R ”为事件B ，“前3次均不含有细菌R ”为事件B ，且A ＝B ∪C ，且B ，C 互斥，利用互斥事件概率计算公式能求出结果．（2）（i ）E （ξ）＝n ，η的可能取值为1，n +1，P （η＝1）＝（1﹣p ）n ，P （η＝n +1）＝1﹣（1﹣p ）n ，E （η）＝（1﹣p ）n +（n +1）[（1﹣p ）n ]＝n +1﹣n （1﹣p ）n ，由E （ξ）＝E （η），能求出结果．（ii ）P ＝1−e −14，从而E （η）＝n +1﹣n •e −14，进而（n +1）﹣n ⋅e −14＜n ，lnn −n 4＞0，设f （x ）＝lnx −x 4，x ＞0，f ′(x)=1x −14=4−x 4x ，利用导数性质能求出n 的最大值．【解答】解：（1）记“恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R ”事件为A ， “第三次含有细菌R 且前2次中有一次含有细菌R ”为事件B ，“前3次均不含有细菌R ”为事件B ，且A ＝B ∪C ，且B ，C 互斥，∴P （A ）＝P （B ）+P （C ）=A 21A 21A 31A 53+A 33A 53=310． （2）（i ）E （ξ）＝n ，η的可能取值为1，n +1，P （η＝1）＝（1﹣p ）n ，P （η＝n +1）＝1﹣（1﹣p ）n ，∴E （η）＝（1﹣p ）n +（n +1）[（1﹣p ）n ]＝n +1﹣n （1﹣p ）n ，由E （ξ）＝E （η），得n ＝n +1﹣n （1﹣p ）n ，∴P ＝1﹣（1n）1n ，n ∈N *． （ii ）P ＝1−e −14，∴E （η）＝n +1﹣n •e −14，∴（n +1）﹣n ⋅e −14＜n ，∴lnn −n 4＞0， 设f （x ）＝lnx −x 4，x ＞0，f ′(x)=1x −14=4−x 4x ，当x ∈（0，4）时，f ′（x ）＞0，f （x ）在（0，4）上单调递增，当x ∈（4，+∞）时，f ′（x ）＜0，f （x ）在（4，+∞）上单调递减，又f （8）＝ln 8﹣2＞0，f （9）＝ln 9−94＜0，∴n 的最大值为8．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查互斥事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =m +2t ，y =√2t（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2=41+sin 2θ． （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设P 为曲线C 上的点，PQ ⊥l ，垂足为Q ，若|PQ |的最小值为2，求m 的值．【分析】（Ⅰ）消去参数t 可得直线l 的普通方程，（Ⅱ）利用曲线C 的参数方程设点P ，根据点到直线距离公式求出|PQ |，再根据三角函数性质求出最小值，利用已知列方程可解得m ．【解答】解（Ⅰ）因为曲线C 的极坐标方程为ρ2=41+sin 2θ，即ρ2+ρ2sin 2θ＝4， 将ρ2＝x 2+y 2，ρsin θ＝y 代入上式并化简得x 24+y 22=1， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 24+y 22=1，直线l 的普通方程为x −√2y −m ＝0．（Ⅱ）设P （2cos θ，√2sin θ），由点到直线的距离公式得|PQ |=|2cosθ−2sinθ−m|√3=|2√2cos(θ+π4)−m|√3， 由题意知m ≠0，当m ＞0时，|PQ |min =√2−m|3=2，得m ＝2√3+2√2， 当m ＜0时，||PQ |min =√2−m|3，得m ＝﹣2√3−2√2； 所以m ＝2√3+2√2或m ＝﹣2√3−2√2．【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1．证明：（1）a +b +c ≤1a 2+1b 2+1c 2； （2）12+a +12+b +12+c ≤1．【分析】（1）作差后通分，应用二元基本不等式的性质证明；（2）作差后通分，应用三元基本不等式的性质证明．【解答】证明：（1）由条件abc ＝1，得1a +1b +1c −(a +b +c)=1a +1b +1c −(1bc +1ca +1ab ) =a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2−a 2bc−b 2ca−c 2ab a 2b 2c 2，由二元基本不等式可得a 2b 2+c 2a 2≥2a 2bc ，a 2b 2+b 2c 2≥2b 2ac ，b 2c 2+c 2a 2≥2c 2ab ， （等号成立当且仅当a ＝b ＝c ＝1），将上述三个不等式相加，得a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2−a 2bc−b 2ca−c 2ab a 2b 2c 2≥0， ∴a +b +c ≤1a 2+1b2+1c 2； （2）由条件abc ＝1，得1−(12+a +12+b +12+c )=ab+bc+ca+abc−4(2+a)(2+b)(2+c)=ab+bc+ca−3(2+a)(2+b)(2+c)，由三元基本不等式得ab +bc +ca ≥3√ab ⋅bc ⋅ca 3=3（等号成立当且仅当a ＝b ＝c ＝1），从而得证12+a +12+b+12+c≤1．【点评】本题考查不等式的证明，训练了作差法及基本不等式性质的应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．。
2020年福建省龙岩市高考数学模拟试卷(一)(5月份)(有答案解析)
2020年福建省龙岩市高考数学模拟试卷（一）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.集合A={x|x≥1}，B={x|2x-3＞0}，则A∪B=（）A. [0，+∞）B. [1，+∞）C. （1.5，+∞）D. [0，1.5）2.在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.双曲线=1的渐近线方程为（）A. y=±xB. y=±xC. y=±xD. y=±2x4.在等差数列{a n}中，a1+a5+a7+a9+a13=100，a6-a2=12，则a1=（）A. 1B. 2C. 3D. 45.如图是某学校研究性课题《如何促进同学们进行垃圾分类》问题的统计图（每个受访者都只能在问卷的个活动中选择一个），则下列结论错误的是（）A. 回答该问卷的总人数不可能是个B. 回答该问卷的受访者中，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多C. 回答该问卷的受访者中，选择“学校团委会宣传”的人数最少D. 回答该问卷的受访者中，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少个6.若a＞1，则“a x＞a y”是“log a x＞log a y”的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗实线和粗虚线画出了某几何体的三视图，图中的曲线为半圆弧或圆，则该几何体的体积是（）A.B.C.D. 25π8.函数f（x）=sin2x+sin x cosx+，则下列结论正确的是（）A. f（x）的最大值为1B. f（x）的最小正周期为2πC. y=f（x）的图象关于直线x=对称D. y=f（x）的图象关于点（，0）对称9.若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为，AB=1，则直线AB1与CD1所成的角为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°10.函数f（x）=，若f（2x-2）≥f（x2-x+2），则实数x的取值范围是（）A. [-2，-1]B. [1，+∞）C. RD. （-∞，-2]∪[1，+∞）11.《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院．该作品简介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝桠不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上，甲、乙、丙、丁四人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作，四人每人模仿一个动作．若他们采用抽签的方式宋人扑枣图轴来决定谁模仿哪个动作，则甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”的概率是（）A. B. C. D. ．12.若直线y=a分别与直线y=2x-3，曲线y=e x-x（x≥0）交于点A，B，则|AB|的最小值为（）A. 6-3ln3B. 3-ln3C. eD. 0.5e二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.向量，满足•=-1，•（2-）=3，则||=______．14.若x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是______．15.若数列{a n}满足a1=1，a n+1-a n-1=2n，则a n=______．16.F为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，直线y=kx（k＞0）与C相交于M，N两点（其中M在第一象限），若|FM|≤|FN|，|MN|=2，则C的离心率的最大值是______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A cos C+c sin A cos B=．（1）求sin A；（2）若a=3，b=4，求c．18.如图1，菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，M是AD的中点，以BM为折痕，将△ABM折起，使点A到达点A1的位置，且平面A1BM⊥平面BCDM，如图2，（1）求证：A1M⊥BD；（2）若K为A1C的中点，求四面体MA1BK的体积．19.某手机厂商在销售200万台某型号手机时开展“手机碎屏险”活动、活动规则如下：用户购买该型号手机时可选购“手机碎屏险”，保费为x元，若在购机后一年内发生碎屏可免费更换一次屏幕．该手机厂商将在这200万台该型号手机全部销售完毕一年后，在购买碎屏险且购机后一年内未发生碎屏的用户中随机抽取1000名，每名用户赠送1000元的红包，为了合理确定保费x的值，该手机厂商进行了问卷调查，统计后得到下表（其中y表示保费为x元时愿意购买该“手机碎屏险”的用户比例）；（1）根据上面的数据求出y关于x的回归直线方程；（2）通过大数据分析，在使用该型号手机的用户中，购机后一年内发生碎屏的比例为0.2%．已知更换一次该型号手机屏幕的费用为2000元，若该手机厂商要求在这次活动中因销售该“手机碎屏险”产生的利润不少于70万元，能否把保费x定为5元？x1020304050y0.790.590.380.230.01参考公式：回归方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估计分别为=，=，参考数据：中x的5个值从左到右分别记为x1，x2，x3，x4，x5，相应的y值分别记为y1，y2，y3，y4，y5，经计算有（x i-）（y i-）=-19.2，其中=，=．20.离心率为的椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点与抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点F重合，且点F到E的准线的距离为2．（1）求C的方程；（2）若直线l与C交于M，N两点，与E交于A，B两点，且•=-4（O为原点），求△MNF面积的最大值．21.函数f（x）=-a（x-ln x），（1）若a=e，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．22.在直角坐标系x0y中，曲线C1的参数方程为（（φ为参数，且0.5π≤φ≤1.5π，a＞0），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2=，（1）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）若C1与C的交点为A，B，且|AB|=，求a．23.函数f（x）=|x+1|-|x-a|（a＞0）．（1）当a=2时，求不等式f（x）＞2的解集；（2）若不等式f（x）≥2a的解集为空集，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵集合A={x|x≥1}，B={x|2x-3＞0}={x|x＞}，∴A∪B={x|x≥1}=[1，+∞）．故选：B．先分别求出集合A和B，由此能求出A∪B．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：解：∵=，∴复数对应的点的坐标为（），位于第一象限．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：C解析：解：双曲线=1，可得a=，b=，所以双曲线=1的渐近线方程为：y=．故选：C．直接利用双曲线方程，求解渐近线方程即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，是基本知识的考查．4.答案：B解析：解：∵a1+a5+a7+a9+a13=100，∴5a7=100，∴a7=20，∵a6-a2=12，∴4d=12，∴d=3，∴a7=a1+6d=20，∴a1=2，故选：B．先根据等差数列的性质可得a7=20，再根据a6-a2=12求出公差，即可求出首项．本题考查等差数列的定义和性质，考查了运算求解能力，属于基础题．5.答案：D解析：【分析】本题考查了对图表数据的分析处理能力及简单的合情推理，属中档题．先对图表数据分析处理，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．【解答】解：对于选项A，若回答该问卷的总人数不可能是100个，则选择③④⑤的同学人数不为整数，故A正确，对于选项B，由统计图可知，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多，故B正确，对于选项C，由统计图可知，选择“学校团委会宣传”的人数最少，故C正确，对于选项D，由统计图可知，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8%，故D错误，故选：D．6.答案：A解析：解：若a＞1，则“a x＞a y”整理得：x＞y成立，若a＞1，则“log a x＞log a y”，整理得：x＞y＞0，所以：由x＞y＞0，整理得x＞y，但x＞y，不一定x＞y＞0，所以：a＞1，则“a x＞a y”是“log a x＞log a y”的必要不充分条件．故选：A．直接利用指数不等式和对数不等式的应用和四种条件的应用求出结果．本题考查的知识要点：指数不等式和对数不等式的解法的应用，四种条件的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．7.答案：C解析：解：由三视图可知几何体下部为半球，上部为大圆柱中挖去一个小圆柱．由三视图可知半球的半径为2，大圆柱的底面半径为2，高为3，小圆柱的底面半径为1，高为3，故几何体的体积为+π×22×3-π×12×3=．故选：C．由三视图可知几何体下部为半球，上部为大圆柱中挖去一个小圆柱．本题考查了常见几何体的三视图与体积计算，属于中档题．8.答案：C解析：解：函数f（x）=sin2x+sin x cosx+，=，=，所以：①函数的最小正周期为π，②函数的最大值为2，最小值为0，③当x=时，f（）=1，函数的图象关于（）对称，④当x=，整理得：f（）=2．所以：函数的图象关于对称．故选：C．首先把函数的关系式转换为正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．9.答案：C解析：解：∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为，AB=1，∴AA1=，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B1（1，1，），C（0，1，0），D1（0，0，），=（0，1，），=（0，-1，），设直线AB1与CD1所成的角为θ，则cosθ===，∴θ=60°，∴直线AB1与CD1所成的角为60°．故选：C．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB1与CD1所成的角．本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查空间想象能力，是中档题．10.答案：D解析：解：函数f（x）=，画出函数f（x）的图象知，f（x）关于x=1对称，且在[1，+∞）上是单调减函数；∵f（2x-2）≥f（x2-x+2），且x2-x+2=+＞1恒成立，∴|2x-2-1|≤x2-x+2-1，即|2x-3|≤x2-x+1，当x≥时，不等式化为：2x-3≤x2-x+1，即x2-3x+4≥0，解得x∈R，即x≥；当x＜时，不等式化为：3-2x≤x2-x+1，即x2+x-2≥0，解得x≤-2或x≥1，即x≤-2或1≤x ＜；综上，f（2x-2）≥f（x2-x+2）时，实数x的取值范围是（-∞，-2]∪[1，+∞）．故选：D．判断函数单调性和对称性，根据对称性和单调性得出2x-2和x2-x+2距离对称轴的远近关系，列不等式求出解集．本题考查了函数对称性判断与应用，绝对值不等式的解法，属于中档题．11.答案：B解析：解：依题意，基本事件的总数为=24，设事件A表示甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”，①若甲模仿“扶”，则A包含1=6个基本事件；②若甲模仿“捡”或“顶”则A包含2×=8个基本事件，综上A包含6+8=14个基本事件，所以P（A）==，故选：B．依题意，基本事件的总数为=24，设事件A表示甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”，则事件A包含1+2×=14个基本事件，故P（A）可求．本题考查了古典概型的概率计算，属于基础题．12.答案：B解析：解：作出两个曲线的图象如图，设A（x1，a），B=（x2，a），则x1＞x2，则2x1-3=e-x2，即x1=（e-x2+3），则|AB|=x1-x2=（e-x2+3）-x2=（-3x2+e+3），设f（x）=（e x-3x+3），x≥0，函数的导数f′（x）=（-3+e x），由f′（x）＞0得x＞ln3，f（x）为增函数，由f′（x）＜0得0≤x＜ln3，f（x）为减函数，即当x=ln3时，f（x）取得最小值，最小值为f（ln3）=（3+3-3ln3）=3-ln3，故选：B．设A（x1，a），B=（x2，a），建立方程关系用x1表示x2，则|AB|=x1-x2，构造函数求函数的导数，研究函数的最值即可．本题主要考查函数与方程的应用，设出坐标，利用两点间的距离公式，构造函数，求函数的导数，利用导数求函数的最值是解决本题的关键．13.答案：1解析：解：向量，满足•=-1，•（2-）=3，可得2-=3，，即||=1．故答案为：1．直接利用向量的数量积，化简求解即可．本题考查向量的数量积的应用．考查转化思想以及计算能力．14.答案：11解析：解：由x，y满足约束条件，作出可行域如图，联立，解得B（1，5），化目标函数z=x+2y，由图可知，当直线z=x+2y过B时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为：11．故答案为：11．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合的得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.答案：2n+n-2解析：解：数列{a n}满足a1=1，a n+1-a n-1=2n，可得a2-a1=21+1，a3-a2=22+1，a4-a3=23+1，…a n-a n-1=2n-1+1，累加可得a n=2+22+23+…+2n+n=+n=2n+n-2．故答案为：2n+n-2．利用数列的递推关系式以及数列求和，转化求解即可．本题考查数列的求和，递推关系式的应用，考查计算能力．16.答案：解析：【分析】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．由题意画出图形，可得四边形MFNF′为矩形，且|FN|=|MF′|，由已知结合椭圆定义得关于a，c的不等式，则答案可求．【解答】解：如图，设椭圆右焦点为F′，由|MN|=2=2c，可知|MN|=|FF′|，则四边形MFNF′为矩形，且|FN|=|MF′|，则|MF|+|MF′|=2a，|MF|2+|MF′|2=4c2，解得|MF|=a+，|MF′|=a-，由|FM|≤|FN|，得，整理得：，即0,∴C的离心率的最大值是．故答案为：．17.答案：（本题满分为12分）解：（1）∵b sin A cos C+c sin A cos B=，∴由正弦定理可得：sin B sin A cos C+sin C sin A cos B=sin A，…2分∵sin A≠0，∴sin B cos C+sin C cos B=，…3分∴sin（B+C）=，…5分∴sin A=sin（B+C）=…6分（2）∵△ABC为锐角三角形，A为锐角，sin A=，∴cos A=，…8分∵a=3，b=4，由余弦定理可得：（3）2=42+c2-2×，…10分∴c2-2c-2=0，又∵c＞0，∴c=…12分解析：（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，诱导公式，三角形内角和定理结合sin A≠0，可求sin A的值．（2）利用同角三角函数基本关系式可求cos A的值，根据余弦定理可得c2-2c-2=0，即可解得c的值．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，诱导公式，三角形内角和定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.答案：（1）证明：在图1中，∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，M是AD的中点，∴AD⊥BM，故在图2中，BM⊥A1M，∵平面A1BM⊥平面BCDM，平面A1BM∩平面BCDM=BM，∴A1M⊥平面BCDM，又BD⊂平面BCDM，∴A1M⊥BD．（2）解：在图1中，∵ABCD是菱形，AD⊥BM，AD∥BC，∴BM⊥BC，且BM=，在图2中，连接CM，则V=S△BCM•A1M==，∵K是A1C的中点，∴V=V=V=V=．解析：（1）在图1中证明BM⊥AD，在图2中根据面面垂直的性质即可得出A1M⊥平面BCDM，故而结论出来；（2）计算V，则V=V=V=V．本题考查了面面垂直的性质，线面垂直的判定，考查棱锥的体积计算，属于中档题．19.答案：解：（1）由已知得，，，∴，．∴y关于x的回归方程为y=-0.0192x+0.976；（2）能把保费x定为5元．理由如下：若保费x定为5元，则估计y=-0.0192×5+0.976=0.88．估计该手机厂商在这次活动中因销售该“手机碎屏险”产生的利润为2000000×0.88×5-2000000×0.88×0.2%×2000-1000×1000=0.76×106（元）=76（万元）＞70（万元）．∴把保费x定为5元．解析：（1）由已知表格中的数据求得，可得线性回归方程；（2）求出保费x定为5元该手机厂商在这次活动中因销售该“手机碎屏险”产生的利润，与70万元比较得答案．本题考查回归方程的求法，考查计算能力，是中档题．20.答案：解：（1）因为点F到E的准线的距离为2，则p=2，F（1，0）由，解得a=2，b=，∴C的方程为+=1，（2）由（1）可知抛物线E的方程为y2=4x，要使直线l与抛物线E交于两点，则直线l的斜率不为0，可设l的方程为x=my+n，由可得y2-4my-4n=0，∴△=（-4m）2+16n＞0，可得m2+n＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=-4n，∴x1x2===n2，∵•=-4，∴x1x2+y1y2=-4，即n2-4n=4，解得n=2，故直线l的方程为x=my+2，∴直线l过椭圆C的右顶点（2，0），不妨设M（2，0），N（x3，y3），则-≤y3≤，且y3≠0，∴△MNF面积S=|MF|•|y3|≤故△MNF面积的最大值为．解析：（1）由题意可得由，解得a=2，b=，即可求出椭圆的方程，（2）根据韦达定理，向量的运算可得故直线l的方程为x=my+2，再表示出三角形的面积，即可求出△MNF面积的最大值．本题考查椭圆和抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，面积的运算，转化思想是关键，属于中档题．21.答案：解：（1）f′（x）=，（x∈（0，+∞））．a=e时，f′（x）=．令g（x）=e x-ex，g′（x）=e x-e，可得x=1时，函数g（x）取得极小值即最小值，g（1）=0．∴g（x）≥g（1）=0．∴x∈（0，1）时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．（2）由（1）可知：e x≥ex，∴x＞0时，ln e x≥ln ex，可得：x-ln x≥1＞0．∴当a≤e时，f（x）=-a（x-ln x）≥-e（x-ln x），令h（x）=-e（x-ln x），由（1）可知：h（x）≥h（1）=0．∴f（x）≥0，满足题意．当a＞e时，f（1）=e-a＜0，不满足题意，舍去．综上可得：a的取值范围是（-∞，e]．解析：（1）f′（x）=，（x∈（0，+∞））．a=e时，f′（x）=．令g（x）=e x-ex，利用导数研究其单调性可得g（x）≥g（1）=0．即可得出函数f（x）单调性．（2）由（1）可知：e x≥ex，可得x＞0时，ln e x≥ln ex，可得：x-ln x≥1＞0．当a≤e时，f （x）=-a（x-ln x）≥-e（x-ln x），令h（x）=-e（x-ln x），利用导数研究其单调性即可得出．当a＞e时，f（1）=e-a＜0，不满足题意，舍去．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、放缩法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.答案：解：（1）利用sin2φ+cos2φ=1消去参数φ，得C1的普通方程为（x-a）2+y2=a2（0≤x≤a），由ρ2=得ρ2+3ρ2sin2θ=4，将ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入上式并整理得C2的直角坐标方程为：+y2=1．（2）根据对称性知，A和B关于x轴对称，不妨设A（x0，y0），0≤x0≤a，y0＞0，因为|AB|=，所以y0=|AB|=，代入C2的直角坐标方程得x0=，又A（，）在C1上，所以（-a）2+=a2，解得a=1．解析：（1）利用sin2φ+cos2φ=1消去参数φ，得C1的普通方程为（x-a）2+y2=a2（0≤x≤a），由ρ2=得ρ2+3ρ2sin2θ=4，将ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入上式并整理得C2的直角坐标方程为：+y2=1（2）根据对称性知，A和B关于x轴对称，再根据|AB|可得A的纵坐标后，代入C2的直角坐标可得A的横坐标，从而可得A的坐标，再代入C1可解得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：（1）当a=2时，不等式f（x）＞2，即|x+1|-|x-2|＞2，当x≤-1时，原不等式可化为-x-1+x-2＞2，即-3＞2，此时原不等式无解；当-1＜x≤2时，原不等式可化为x+1+x-2＞2，解得＜x≤2；当x＞2时，原不等式可化为x+1-x+2＞2，解得x＞2，综上，原不等式的解集为{x|x＞}；（2）由f（x）≥2a的解集为空集得|x+1|-|x-a|≥2a的解集为空集，所以|x+1|-|x-a|＜2a恒成立，因为a＞0，所以f（x）=|x+1|-|x-a|≤|（x+1）-（x-a）|=a+1，所以当且仅当，即x≥a时，[f（x）]max=a+1，所以a+1＜2a，解得a＞1，即a的取值范围是（1，+∞）．解析：本题考查了绝对值不等式的解法，属于中档题．（1）根据零点分段法去绝对值解不等式可得；（2）由f（x）≥2a的解集为空集得|x+1|-|x-a|≥2a的解集为空集，所以|x+1|-|x-a|＜2a恒成立，再根据绝对值不等式的性质求得最大值，代入可解得．。
2020高三数学毕业班5月质量检查试题理含解析
A。 18种B。 24种C。 36种D。 48种
【答案】A
福建省厦门市2020届高三数学毕业班5月质量检查试题 理（含解析）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填在答题卡和试卷的指定位置上。
2。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效.
A。 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用参变分离,将问题转化为 与 图象之间的关系，即可得答案；
【详解】 ,
令 ，则 ，
当 ；当 ，
在 单调递增，在 单调递减,且 ,
如图所示：
恒过定点 ，且 ， ，
, ,
存在唯一整数 使得 ，
当 时,存在唯一的整数 使得命题成立，
故选：B。
【点睛】本题考查不等式解的整数根问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意利用半分离法，将问题转化为两个函数图象之间的关系问题。
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13。 的内角 ， ， 的对边分别为 , ， ， 且 ，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据正弦定理将角化成边得 ，结合 ，将边统一用 表示,再利用余弦定理，即可得答案；
2020届高三数学5月质量检测试题文含解析
x x
103 170
0.618
，解得
x
5.4
厘米.
故选：A
【点睛】本题考查了黄金分割，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.
5. 若双曲线 C : x2 y2 1的离心率 e 2, 2 ，则实数 m 的取值范围为（ ）. m3
-2-
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D.
【答案】D
【解析】
【分析】
可知函数为奇函数，通过构造函数 g x x sin x 0 x π ，可得 x sin x ，进一步可得
x2 1 sin x x ，即 f x 1，结合图象可得结果.
【详解】由
f
x
x sin x x2 1
-7-
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求得实数 a 的取值范围.
【详解】由 f x g x h x 2x1 ，
有
f
x
g
xபைடு நூலகம்
hx
g
x
hx
2 2x
，
解得 g x 2x 2x ， h x 2x 2x ， h x2 ag x 1
7. 已知数列 an 满足 an1 an 1 ，且 a1 1 ，a2 3 ，则数列an 前 6 项的和为（ ）.
A. 115
B. 118
C. 120
D. 128
【答案】C
【解析】
【分析】
由题干条件求得 2 ，得到 an1 2an 1 ，构造等比数列可得数列 an 的通项公式，再结
(详解版)福州市2020届高三理科数学5月调研卷(理数)参考答案
福州市2020届高三理科数学5月调研卷（完卷时间120分钟；满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合2{|931}A x x =-<，{|2}B y y =<，则()A B =R I ðA ．2[,2)3B ．∅C ．22(,][,2)33-∞-UD ．()22,33-【答案】C【解析】由题意得，22{|}33A x x =-<<，则22{|}33A x x x=-R 或剠ð，∴()22(,][,2)33A B =-∞-R I U ð.故选C.2．复数z 满足(12i)43i z -=+，则z =C. D.【答案】B【解析】解法一：43i (43i)(12i)211i12i (12i)(12i)5z +++-+===--+，z == B.解法二：因为(12i)43i z -=+5=，所以z = B. 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若212a a -=，549S S -=，则50a =A ．99B ．101C ．2500D ．4592⨯【答案】A【解析】依题意得，等差数列{}n a 的公差212d a a =-=，5549a S S =-=，所以5054599a a d =+=，故选A.4.棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1:2，则此棱锥的高被分成的上、下两段之比为A ．1:2B ．1:4C ．1:1)D ．1:(3-【答案】C【解析】设原棱锥的高为H ，截后小棱锥的高为h ，由于截面与底面相似，所以212h H ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴2h H =，∴:()1:(21)h H h -=-．故选C ． 5. 若5250125()211()((11))x a a x a x a x -=+-+-++-L ，则3a =A ．40B ．40-C ．80D ．80- 【答案】C【解析】因为5250125()211()((11))x a a x a x a x -=+-+-++-L ，令1x t -=，则1x t =+，所以5250125)21(t a a t a a t t +=++++L ，5(2)1t +展开式的通项为515(2)1r r r r T C t -+=，令53r -=，解得2r =，所以23335(2)80T C t t ==，所以380a =.故选C.6．随着2022年北京冬奥会的临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放.如图是2012-2018年中国雪场滑雪人数(单位:万人)与同比增长情况统计图.则下面结论中正确的是①2012-2018年，中国雪场滑雪人数逐年增加；②2013-2015年，中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加；③中国雪场2015年比2014年增加的滑雪人数和2018年比2017年增加的滑雪人数均为220万人，因此这两年的同比增长率均有提高；④2016-2018年，中国雪场滑雪人数的增长率约为23.4%. A.①②③ B.②③④ C.①② D.③④【答案】C【解析】①根据题图中的数据，可得2012-2018年，中国雪场滑雪人数逐年增加，所以①正确；②2013-2015年，中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加，所以②正确；③中国雪场2015比2014年增加的滑雪人数和2018年比2017年增加的滑雪人数均为220万人，但2015年的同比增长率比2014年提高了7%，2018年的同比增长率比2017年降低了3.3%，所以③错误；④2016-2018年，中国雪场滑雪人数增长率为19701510100%30.5%1510-⨯≈，所以④错误.7. 习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如右1图，“大衍数列”：0，2，4，8，12，…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．右2图是求大衍数列前n 项和的程序框图.执行该程序框图，输入10m =，则输出的S =A ．100B ．140C ．190D ．250【答案】C【解析】由题意得，当输入10m =时，程序的功能是计算并输出22211231222S --=++22249110222-++++L ，计算得11(8244880)(4163664100)19022S =++++++++=，选C.8.若144a =，5log 12b =，131log 9c =，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．a c b << D ．c a b << 【答案】B【解析】143422a ==<，由于551225<，所以53log 12(,2)2b =∈，131log 29c ==，所以a b c <<，故选B.9. 将函数2π()2sin(3)3f x x =+的图象向右平移12个周期后得到函数()g x 的图象，则()g x 图象的一条对称轴可以是 A ．π18x =B ．π6x = C ．7π18x = D ．11π18x =【答案】D【解析】2π()2sin(3)3f x x =+的周期为2π3，图象向右平移12个周期后得到的函数为()g x ，则π2ππ()2sin[3()]2sin(3)333g x x x =-+=-，由ππ3π32x k -=+()k ∈Z ，得π5π318k x =+()k ∈Z ,取1k =，得11π18x =，故选D.10.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，直线43200x y -+=过点F 且与C在第二象限的交点为P ，O 为原点，||||OP OF =，则C 的离心率为A ．5 B. 5 C. 53D. 54【答案】A【解析】根据直线43200x y -+=与x 轴的交点F 为(5,0)- ，可知半焦距5c =，设C 的右焦点为2F ，连接2PF ，根据2||||OF OF =且||||OP OF =可得，2PFF △为直角三角形，如图，过点O 作OA 垂直于直线43200x y -+=，垂足为A ，则易知OA 为2PFF △的中位线，又原点O 到直线43200x y -+=的距离4d =，所以2||28,PF d ==2222||||||6,PF FF PF =-=又因为2||||22,PF PF a -==所以1a =，故5ce a==.故选A. 11. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2(1)nn S a n n=+-（*n ∈N ），则22n nS n -的最小值为A ．2-B ．1-C ．23D ．3 【答案】B【解析】解法一：由条件2(1)nn S a n n=+-得2(1)n n S na n n =--，当2n …时，可得11(1)2(1)(2)n n S n a n n --=----，112(1)(1)2(1)(2)n n n n n a S S na n n n a n n --=-=----+--， 则1(1)4(1)n n n a na n a n -=----，11)(1)4(1)0n n n a n a n ------=（，得14n n a a --=，从而数列{}n a 是以1为首项，4为公差的等差数列，得2(1)422n n n S n n n -=+⨯=-，222322(2)223n nS n n n n n n n -=--=-.令32()23f x x x =-（1x …），则2()666(1)0f x x x x x '=-=-…，()f x 在[1+∞，）上单调递增，从而()(1)1f x f =-…，22n nS n -的最小值为1-，故选B.解法二：由条件2(1)n n S a n n =+-得()12(1)2n n n SS S n n n--=+-…，整理得121n n S S n n --=-，故n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项111S =，公差2d =的等差数列，所以12(1)21n S n n n =+-=-，22n S n n =-.下同解法一.12. 若关于x 的不等式()2e 10x a x x +-<解集中恰有两个正整数解，a 的取值范围为A. 241[,)3e 2eB. 391[,)4e 2eC. 391[,]4e 2e D.3294[,)4e 3e 【答案】D【解析】题意等价于关于x 的不等式2(1)e x x a x >+恰有两个正整数解.设2()e x x f x =，则(2)()e x x x f x -'=,故()f x 在(,0)-∞，(2,)+∞单调递减，(0,2)上单调递增，且x →-∞时，()f x →+∞；x →+∞时，()0f x →，作出()f x 的大致图象，如图. 设()(1)g x a x =+，()g x 恒过定点(1,0)M -，设2349(2,),(3,)e e A B ，结合图象可知需考虑AM ，BM 斜率.因为23493e 4e AM BMk k =>=，所以a 的取值范围为3294[,)4e 3e .故选D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置.13.已知向量a r 和b r 的夹角为60︒，||2a =r ，||3b =r ，则|32|a b -=r r_______________. 【答案】6【解析】2222132(32)9||4||1236361223362a b a b a b a b -=-=+-⋅=+-⨯⨯⨯=r r r r r r r r ，则326a b -=r r.14.椭圆2222: 1 (0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为12,F F，焦距为，点E 在C 上，12EF EF ⊥，直线1EF 的斜率为bc （c 为半焦距），则C 的方程为_______________. 【答案】22163x y += 【解析】解法一：由题意知12π2F EF ∠=，c =.设12,tan ,sin ,cos b b c EF F c a a θθθθ∠=∴=∴==，16||c EF a a ∴==，2||EF ，因为12||||2EF EF a +=，即62a a =.又223a b =+，解得a b =，C 的方程为22163x y +=. 解法二：∵1EF bk c=，1(,0)F c -，∴E 为椭圆的上顶点.又12EF EF ⊥，∴145F EO ∠=︒，故b c ==2226a b c =+=，C 的方程为22163x y +=.15．已知点(,)P x y 满足1,,4,x y x x y ⎧⎪⎨⎪+⎩………过点P 的直线与圆2214x y +=相交于A ，B 两点，则||AB 的最小值为_______________. 【答案】4【解析】不等式组1,,4,x y x x y ⎧⎪⎨⎪+⎩………所表示的平面区域为CDE △及其内部(如图)，其中(1,3)C ，(2,2)D ，(1,1)E ，且点C ，D ，E 均在圆2214x y +=的内部，故要使||AB 最小，则AB OC ⊥，因为||10OC =，所以||214104AB =⨯-=.16.已知三棱锥A BCD -的棱长均为6，其内有n 个小球，球1O 与三棱锥A BCD -的四个面都相切，球2O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1O 都相切，如此类推，…，球n O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1n O -都相切（2n …，且n *∈N ），则球1O 的体积等于__________，球n O 的表面积等于__________．（本题第一空2分，第二空3分） 【答案】6π，164n -π． 【解析】如图，AO 是三棱锥A BCD -的高，O 是BCD △的外心，因为三棱锥A BCD -的棱长均为6，则3623OB =⨯=，226(23)26AO =-=. 求解三棱锥A BCD -的内切球体积，这边提供两种方法.解法一：设内切球半径为1r ，根据体积相等，得2136263A BCD V -=⨯⨯⨯三棱锥，同时2113643A BCD V r -=⨯⨯⨯⨯三棱锥，从而1426r =，16r =，所以球1O 的体积1331446633O V r =π=π()=π.解法二：显然1O 是三棱锥A BCD -的外接球和内切球的球心，1O 在AO 上，设外接球半径为R ，内切球半径为1r ，则由22211O B OO BO =+得222(23)(26)R R =+-，36R =，所以1136626r AO AO AO R =-=-=-=，所以1331446633O V r =π=π()=π. 过AO 中点作与底面BCD 平行的平面与三条棱,,AB AC AD 交于点111,,B C D ，则平面111B C D 与球1O 相切，由题意球2O 是三棱锥111A B C D -的内切球，注意到三棱锥111A B C D -的棱长是三棱锥A BCD -棱长的12，所以有其内切球半径2112r r =，同理，球n O 的半径为n r ，则{}n r 是公比为12的等比数列，所以1116()2n n r r -=⨯=，所以2216644()4n n n S r -π=π=π⨯=.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）如图，已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ,b ,c ,且sin ()sin sin a A c a C b B +-=，点D 是AC 的中点，DE AC ⊥，DE 交AB 于点E ，且2BC =，DE =（1）求B ；（2）求ABC △的面积.【解析】（1）()sin sin sin a A c a C b B +-=Q ，由sin sin sin a b cA B C==得222a c ac b +-=， ················································ 2分 由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==， ····················································· 4分 0180B ︒<<︒Q ，60B ∴=︒. ·············································· 6分 （2）连接CE ，如右图，D 是AC 的中点，DE AC ⊥，AE ∴sin DE CE AE A ∴===， ············································· 7分 在BCE △中，由正弦定理得sin sin sin2CE BC BC B BEC A ==∠，22sin cos A A=，cos A ∴， ·············································· 8分 0180A ︒<<︒Q ，45A ∴=︒， ·································································· 9分 75ACB ∴∠=︒，30BCE ACB ACE ∴∠=∠-∠=︒，90BEC ∠=︒，CE AE ∴==1AB AE BE =+=， ············································· 11分1·2ABC S AB CE ∴=△. ································································· 12分 18.（本小题满分12分） 如图，在五面体ABCDEF 中，AB CD EF ∥∥，AB BC ⊥，228CD CE EF ===，120BCE ∠=︒，DF =（1）证明：EF ⊥平面BCE ；（2）若8BC =，AB EF =，求二面角E AD F --的余弦值．【解析】（1）证明：因为AB EF ∥，AB BC ⊥，所以EF BC ⊥．··················································································· 1分 取CD 中点为G ，连接FG ，所以142CG DG CD ===，因为CD EF ∥，4EF =，所以CG EF ∥且CG EF =，所以四边形CEFG 为平行四边形，所以CE GF ∥，且4CE GF ==. ··················· 3分 因为DF =222DG GF DF +=，所以DG GF ⊥，所以CD CE ⊥， ···························································· 4分 因为CD EF ∥，所以EF CE ⊥．因为BC CE C =I ，所以EF ⊥平面BCE ． ················································ 5分 （2）由（1）知，EF ⊥平面BCE ，因为CD EF ∥，所以CD ⊥平面BCE ．故以点C 为坐标原点，分别以CB u u u r 、CDu u u r的方向为x 轴、 z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -所以(8,0,4),(8,0,0),(((0,0,8),A B E F D --所以(8,0,4),(4)AD AE =-=--u u u r u u u r， 设平面ADE 的法向量为111(,,)n x y z =r，则00AD n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r ， ···················································································· 7分 所以111118401040x z x z -+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，取11x =，则n =r， ··································································· 8分设平面ADF 的法向量为222(,,)m x y z =u r ，因为(AF =-u u u r，所以00AD n AF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r， ················································································· 9分 所以2222840100x z x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取21x =，则m =u r ， ································································ 10分所以14cos ,n m +<=r u r， ························· 11分所以二面角E AD F --． ··············································· 12分 19.（本小题满分12分）已知抛物线C 的顶点为(0,0)O ，焦点F 为(0,1). （1）求C 的方程；（2）过点F 作直线交C 于A ，B 两点，若直线AO ，BO 分别交直线:2l y x =-于M ，N 两点，求||MN 的最小值．【解析】（1）由已知可设C 的方程为22(0x py p =>），则12p=,得2p =， 所以C 的方程是24x y =. ········································································· 2分（2）设211(,)4x A x ，222(,)4x B x ，所以14AO x k =，24BO x k =,所以直线AO 的方程是：14x y x =,由142x y xy x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，184M x x ∴=-， 同理由242x y xy x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，284N x x =-， ····························································· 4分 所以1212121288|||||44164()M N x x MN x x x x x x x x ---=---++，①······ 5分 设:1AB y kx =+，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩得2440x kx --=，12124,4x x k x x ∴+==-，12||x x ∴-，代入①得||MN == ······································ 7分设43,0k t t -=≠，则34tk +=， 当0t >时，||MN == ······················ 9分当0t <时，4|||5MN ===，当253t =-时，||MN ，此时43k =-； ······························· 11分综上，||MN . ······························································· 12分 20.（本小题满分12分）已知函数()12sin f x x x =+-（0x >）.（1）求()f x 的单调区间；（2）证明：2()e x f x ->.【解析】（1）()12cos f x x '=-， ··································································· 1分由()0f x '>得1cos 2x <，解得π5π2π2π33k x k +<<+（k ∈N ）， 由()0f x '<得1cos 2x >，解得π03x <<或5π7π2π2π33k x k +<<+（k ∈N ）4分 所以()f x 的单调递增区间为π5π(2π2π)33k k ++，（k ∈N ）； ()f x 的单调递减区间为π(0,)3和5π7π(2π,2π)33k k ++（k ∈N ）. ················ 5分 （2）要证当0x >时，2()e x f x ->，即证当0x >时，2()(12sin )e 1x g x x x =+->， ············································ 6分 222()2(12sin )e (12cos )e (324sin 2cos )e x x x g x x x x x x x '=+-+-=+--， ····· 7分令()sin h x x x =-，则()1cos 0h x x '=-…，()h x 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)0h x h >=，即sin x x >， ······························································ 8分 所以324sin 2cos 32sin 4sin 2cos 32(sin cos )x x x x x x x x +-->+--=-+π3)04x =-+>， ································· 10分 所以()0g x '>，()g x 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)1g x g >=， ··················· 11分 故当0x >时，2()e x f x ->. ···································································· 12分21.（本小题满分12分）某医药开发公司实验室有*()n n ∈N 瓶溶液，现需要把含有细菌R 的溶液检验出来，有如下两种方案：方案一：逐瓶检验，则需检验n 次；方案二：混合检验，将n 瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌R ，则n 瓶溶液全部不含有细菌R ；若检验结果含有细菌R ，就要对这n 瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为1n +.（1）若5n =，其中2瓶中含有细菌R ，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R 的概率；（2）现对该n 瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌R 的概率均为(01)P P 剟. 若采用方案一，需检验的总次数为ξ，若采用方案二，需检验的总次数为η.(i)若ξ与η的期望相等.试求P 关于n 的函数解析式()P f n =；(ii)若141e P -=-，且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望.求n 的最大值.参考数据：ln20.69≈，ln3 1.10≈，ln5 1.61≈，ln7 1.95≈.【解析】（1）记事件为A 为“恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R ”，事件B 为“第三次含有细菌R 且前2次中有一次含有细菌R ”，事件C 为“前三次均不含有细菌R ”，则A B C =U ，且事件,B C 互斥， 所以111322333355113()()()51010A A A A P A P B P C A A =+=+=+=. ···································· 4分 （2）（i ）()E n ξ=，η的取值为1,1n +，(1)(1),(1)1(1)n n P P P n P ηη==-=+=--， ··············································· 6分所以()(1)(1)1(1)1(1)n n n E P n P n n P η⎡⎤=-++--=+--⎣⎦，由()()E E ξη=得1(1)nn n n P =+--，所以1*(1)1()n P n n =-∈N ； ···················· 8分 (ii)141e P -=-,所以4()1en E n n η-=+-⋅，所以4(1)e n n n n -+-⋅<， ···················· 9分 所以ln 04n n ->，设()ln (0)4x f x x x =->，114()44x f x x x-'=-=， 当(0,4)x ∈时，()0f x '>，()f x 在(0,4)上单调递增；当(4,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 在(4,)+∞上单调递减， ·························· 11分 又(8)ln823ln 2230.6920f =-=-≈⨯->，999(9)ln92ln32 1.100444f =-=-≈⨯-<， 所以n 的最大值为8. ··········································································· 12分（二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22.（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2,x m t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+. （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程； （2）设P 为C 上的点，PQ l ⊥，垂足为Q ，若||PQ 的最小值为2，求m 的值.【解析】（1）因为C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+，即222sin 4ρρθ+=，则2224x y +=，化简得22142x y +=，所以C 的直角坐标方程为22142x y +=. ···························· 3分 l 参数方程消去参数t ，得l的普通方程为0x m -=. ····························· 5分 （2）设(2cos )P θθ，由点到直线的距离公式得π|)|||m PQ θ+-== ····································· 7分 由题意知0m ≠，当0m >时，min ||2PQ ==，得m =， ···························· 8分当0m <时，min ||2PQ ==，得m =- ························· 9分所以m =m =-. ··················································· 10分23.（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲已知,,a b c 为正数，且满足1abc =.证明：（1）222111a b c a b c ++++…； （2）1111222a b c+++++…. 证明：证法一、（1）由条件1abc =得222222*********()()a b c a b c a b c bc ca ab++-++=++-++ 222222222222a b b c c a a bc b ca c a a b c b +---+=， ··················· 2分 由二元基本不等式可得222222a b c a c a b +…，222222a b b c b ac +…，222222b c c a b c a +…，（等号成立当且仅当1a b c ===），将上述三个不等式相加，从而2222222222220a b b c c a a bc a b ca c ab b c+---+…， ················································ 4分 得证222111a b c a b c++++…. ··································································· 5分 （2）由条件1abc =得111431()222(2)(2)(2)(2)(2)(2)ab bc ca abc ab bc ca a b c a b c a b c +++-++--++==+++++++++， ············· 8分由三元基本不等式得3ab bc ca ++=…（等号成立当且仅当1a b c ===）， 从而得证1111222a b c+++++…. ··························································· 10分 证法二、（1）因为,,a b c 为正数，且满足1abc =， 欲证222111a b c a b c ++++…，只需证222abc abc abc a b c a b c ++++…， 即证bc ca ab a b c a b c ++++…. ··································································· 1分因为2bc ca c a b +?，（当且仅当a b =时取等号） ···························· 2分2ca ab a b c +=?，（当且仅当b c =时取等号）2bc ab b a c +=?，（当且仅当c a =时取等号） ····························· 3分 将上述三个不等式相加，得222bc ca ca ab bc ab c a b a b b c a c+++++++…，（当且仅当1a b c===时取等号）··········································································4分即bc ca aba b ca b c++++…成立，所以原不等式成立. ··············································································5分（2）略，同证法一.。
2020届高三5月质量检测数学理科试卷(解析版)
2020年高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|√2x−4≤2}，则B∩（∁U A）＝（）A．[2，3]B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．（3，4]D．[3，4]2．已知复数z=a2−i+1（i为虚数单位，a∈R）为纯虚数，则实数a＝（）A．52B．−52C．0D．23．已知函数f（x）={e x，x＜14−mx，x≥1，若f（m）＝1，则实数m的值是（）A．0B．√3C．0或√3D．0或√3或−√3 4．若l，m，n是三条不相同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（）A．若l∥m，m∥α，则l∥αB．若α⊥β，n⊥α，m∥n，则m∥βC．若α⊥β，l⊥α，m∥β，则l∥m D．若l⊥α，l∥n，n⊥β，则α∥β5．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长六尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”如图是解决此问题的一个程序框图，其中a为松长、b为竹长，则菱形框与矩形框处应依次填（）A ．a ＜b ？；a ＝a +a2 B ．a ＜b ？；a ＝a +2aC ．a ≥b ？；a ＝a +a2D ．a ≥b ？；a ＝a +2a6．在等比数列{a n }中，已知a 1a 3＝4，a 9＝256，则a 8＝（ ） A ．128或﹣128B ．128C ．64或﹣64D ．647．2020年新型肺炎疫情期间，山东省某市派遣包含甲，乙两人的12名医护人员支援湖北省黄冈市，现将这12人平均分成两组，分别分配到黄冈市区定点医院和黄冈市英山县医院，则甲、乙不在同一组的概率为（ ）A ．511B ．611C ．12D ．238．函数f （x ）=5(x 2−cosx)e x +e−x 的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．9．直线l ：x ﹣y +√2=0将圆O ：x 2+y 2＝4分成的两部分的面积之比为（ ） A ．（4π−√3）：（8π+√3） B ．（4π﹣3√3）：（8π+3√3） C ．（2π﹣2√3）：（10π+2√3）D ．（2π﹣3√3）：（10π+3√3）10．设无穷等差数列{a n }的各项都为正数，且其前n 项和为S n ，若S 2017＝2017，则下列判断错误的是（ ） A ．a 1009＝1B ．a 1010≥1C ．S 2016＞2016D ．S 2019≥201911．函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的图象如图所示，先将函数f （x ）图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，再将所得函数的图象向左平移7π2个单位长度，得到函数g （x ）的图象，则下列结论 正确的是（ ）A ．函数g （x ）是奇函数B ．函数g （x ）在区间[﹣2π，0]上单调递增C ．函数g （x ）图象关于（3π，0）对称D ．函数g （x ）图象关于直线x ＝﹣3π对称12．定义在[0，+∞）上的函数f （x ）满足：f （x ）+f '（x ）=√x ex ，f(12)=√12e ．其中f '（x ）表示f （x ）的导函数，若存在正数a ，使得f(x 2−x 4)≥1a +a 8e成立，则实数x 的取值范围是（ ） A ．[﹣1，2] B ．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） C ．[﹣1，0]∪[1，2]D ．[﹣2，﹣1]∪[1，2]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →=（﹣2，1），b →=（4，3），c →=（﹣1，λ），若（a →+b →）∥c →，则λ＝ ． 14．二项式(1x −3x 2)6的展开式中的常数项是 ．（用数字作答） 15．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC ＝120°且AB ＝AC ＝3，BB 1＝4，则此三棱柱外接球的表面积为 ．16．已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，且椭圆C 与双曲线C '：2x 2a −y 2=1共焦点，若椭圆C 与双曲线C '的一个交点M 满足|MF 1|•|MF 2|＝2，则△MF 1F 2的面积是 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos(B+C)cosC=a 2b+c．（1）求角A 的大小；（2）若a =4√3，b =4√2，求△ABC 的面积．18．现有一种水上闯关游戏，共设有3个关口，如果在规定的时间内闯过了这3个关口，那么闯关成功，否则闯关失败，结束游戏．假定小张、小王、小李闯过任何一个关口的概率分别为23，12，12，且各关口能否顺利闯过相互独立．（1）求小张、小王、小李分别闯关成功的概率；（2）记小张、小王、小李三人中闯关成功的人数为X ，求X 的分布列及数学期望． 19．如图，四边形ABCD 为正方形，PA ∥CE ，AB ＝CE =12PA ，PA ⊥平面ABCD ． （1）证明：PE ⊥平面DBE ；（2）求二面角B ﹣PD ﹣E 的正弦值的大小．20．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点P （2，0）的直线l 交抛物线C 于A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2）两点．（1）当x 1+x 2＝8时，求直线l 的方程；（2）若过点P （2，0）且垂直于直线l 的直线l '与抛物线C 交于M ，N 两点，记△ABF 与△MNF 的面积分别为S 1与S 2，求S 1S 2的最小值．21．已知函数g （x ）＝e x ﹣ax 2﹣ax ，h （x ）＝e x ﹣2x ﹣lnx ．其中e 为自然对数的底数． （1）若f （x ）＝h （x ）﹣g （x ）． ①讨论f （x ）的单调性；②若函数f （x ）有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．（2）已知a ＞0，函数g （x ）恰有两个不同的极值点x 1，x 2，证明：x 1+x 2＜ln(4a 2)．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．以平面直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系，已知过点A （﹣1，﹣2）且斜率为1的直线l 1与曲线C ：{x =3+4cosα，y =4+4sinα（α是参数）交于P ，Q 两点，与直线l 2：ρcos θ+2ρsin θ+4＝0交于点N ． （1）求曲线C 的普通方程与直线l 2的直角坐标方程；（2）若PQ 的中点为M ，比较|PQ |与|MN |的大小关系，并说明理由． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝3|x ﹣2|﹣3．（1）求不等式13[f(x)+3]＞|x +1|的解集；（2）若关于x 的不等式f （x ）≥mx +m 恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |﹣2＜x ＜3}，B ＝{x |√2x −4≤2}，则B ∩（∁U A ）＝（ ） A ．[2，3] B ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） C ．（3，4]D ．[3，4]【分析】求出集合B ，∁U A ，由此能求出B ∩（∁U A ）． 解：∵全集U ＝R ，集合A ＝{x |﹣2＜x ＜3}， B ＝{x |√2x −4≤2}＝{x |2≤x ≤4}， ∴∁U A ＝{x |x ≤﹣2或x ≥3}， ∴B ∩（∁U A ）＝{x |3≤x ≤4}， 故选：D ．2．已知复数z =a2−i +1（i 为虚数单位，a ∈R ）为纯虚数，则实数a ＝（ ） A ．52B ．−52C ．0D ．2【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0，且虚部不为0列式求解． 解：∵z =a2−i +1=a(2+i)(2−i)(2+i)+1=2a+55+a5i 为纯虚数， ∴{2a+55=0a 5≠0，解得a =−52．故选：B ．3．已知函数f（x）={e x，x＜14−mx，x≥1，若f（m）＝1，则实数m的值是（）A．0B．√3C．0或√3D．0或√3或−√3【分析】讨论字母m的范围，求出f（m）的表达式，列出方程求出符合条件的m值．解：因为函数f（x）={e x，x＜14−mx，x≥1，当m＜1时，有f（m）＝e m，e m＝1解得m＝0满足条件；当m≥1时，有f（m）＝4﹣m2，∴4﹣m2＝1解得m=√3（−√3舍）总之，m=√3或0；故选：C．4．若l，m，n是三条不相同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（）A．若l∥m，m∥α，则l∥αB．若α⊥β，n⊥α，m∥n，则m∥βC．若α⊥β，l⊥α，m∥β，则l∥m D．若l⊥α，l∥n，n⊥β，则α∥β【分析】对于A，l∥α或l⊂α；对于B，m∥β或m⊂β；对于C，l与m相交、平行或异面；对于D，由面面垂直的判定定理得α∥β．解：对于A，若l∥m，m∥α，则l∥α或l⊂α，故A错误；对于B，若α⊥β，n⊥α，m∥n，则m∥β或m⊂β，故B错误；对于C，若α⊥β，l⊥α，m∥β，则l与m相交、平行或异面，故C错误；对于D，若l⊥α，l∥n，n⊥β，则由面面垂直的判定定理得α∥β，故D正确．故选：D．5．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长六尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”如图是解决此问题的一个程序框图，其中a为松长、b为竹长，则菱形框与矩形框处应依次填（）A．a＜b？；a＝a+a2B．a＜b？；a＝a+2aC．a≥b？；a＝a+a2D．a≥b？；a＝a+2a【分析】由程序框图模拟程序的运行，结合题意即可得解．解：竹逾松长，意为竹子比松高，即a＜b，但这是一个含当型循环结构的程序框图，当不满足条件时，退出循环，故菱形框中条件应为a≥b？，松日自半，则表示松每日增加一半，即矩形框应填a＝a+a 2．故选：C．6．在等比数列{a n}中，已知a1a3＝4，a9＝256，则a8＝（）A ．128或﹣128B ．128C ．64或﹣64D ．64【分析】由已知结合等比数列的性质可求a 2，然后结合等比数列的通项公式即可求解． 解：由等比数列的性质可得，a 1a 3=a 22=4， ∴a 2＝2或﹣2，∵a 9＝256，当a 2＝2时，q 7＝128即q ＝2，则a 8＝128， 当a 2＝﹣2时，q 7＝﹣128即q ＝﹣2，则a 8＝﹣128， 故选：A ．7．2020年新型肺炎疫情期间，山东省某市派遣包含甲，乙两人的12名医护人员支援湖北省黄冈市，现将这12人平均分成两组，分别分配到黄冈市区定点医院和黄冈市英山县医院，则甲、乙不在同一组的概率为（ ）A ．511B ．611C ．12D ．23【分析】设“甲、乙不在同一组”为事件M ，12名医护人员平均分配到两所医院的基本事件总数为n =C 126=924，甲、乙在同一组包含的基本事件个数m =2C 104=420，由此能求出甲、乙不在同一组的概率．解：设“甲、乙不在同一组”为事件M ，12名医护人员平均分配到两所医院的基本事件总数为n =C 126=924， 甲、乙在同一组包含的基本事件个数m =2C 104=420， ∴甲、乙不在同一组的概率P ＝1−mn =1−420924=611． 故选：B ．8．函数f （x ）=5(x 2−cosx)e x +e−x 的大致图象是（ ）A．B．C．D．【分析】直接利用函数的奇偶性及特殊点的函数值，运用排除法得解．解：函数的定义域为R，且f(−x)=5[(−x)2−cos(−x)]e−x+e x =5(x2−cosx)e x+e−x=f(x)，∴函数f（x）为偶函数，故排除B选项；又f(0)=−52，故排除C选项；当|x|＞1时，x2＞cos x，故当|x|＞1时，f（x）＞0，故排除D选项．故选：A．9．直线l：x﹣y+√2=0将圆O：x2+y2＝4分成的两部分的面积之比为（）A．（4π−√3）：（8π+√3）B．（4π﹣3√3）：（8π+3√3）C．（2π﹣2√3）：（10π+2√3）D．（2π﹣3√3）：（10π+3√3）【分析】根据题意，设直线l与圆O：x2+y2＝4交于点M、N，过点O作OP⊥MN，垂足为点P，求出|OP|的值，结合直线与圆的位置关系可得∠MON=2π3以及|MN|＝2√3；进而计算可得S△MON和S扇形OMN的值，据此可得直线l将圆O分成的两部分的面积，计算即可得答案．解：根据题意，设直线l与圆O：x2+y2＝4交于点M、N，过点O作OP⊥MN，垂足为点P，则点O到直线l的距离|OP|=|√2|1+1=1，又由圆O ：x 2+y 2＝4的半径|OM |＝r ＝2，则∠MOP =π3，则∠MON =2π3； 同时|MP |=√|OM|2−|OP|2=√4−1=√3，则|MN |＝2√3， 且S △MON =12×|OP |×|MN |=√3， 则S 扇形OMN =12×2π3×r 2=4π3， 则劣弧对应的弓形的面积S 1=4π3−√3，另一部分的面积S 2＝πr 2﹣S 1＝4π﹣（4π3−√3）=8π3+√3， 故两部分的面积之比S 1S 2=4π3−√38π3+√3=√38π+3√3=（4π﹣3√3）：（8π+3√3）；故选：B ．10．设无穷等差数列{a n }的各项都为正数，且其前n 项和为S n ，若S 2017＝2017，则下列判断错误的是（ ） A ．a 1009＝1B ．a 1010≥1C ．S 2016＞2016D ．S 2019≥2019【分析】由S 2017＝2017=2017(a 1+a 2017)2=2017a 1009，可得a 1009．由无穷等差数列{a n }的各项都为正数，可得公差d ≥0．进而判断出结论．解：S 2017＝2017=2017(a 1+a 2017)2=2017a 1009，∴a 1009＝1．∵无穷等差数列{a n }的各项都为正数，∴公差d ≥0．∴a 1010≥1． S 2016=2016(a 1+a 2016)21008（a 1009+a 1008）≤1008×2＝2016，S 2019＝S 2017+a 2018+a 2019≥2017+2＝2019， 综上可得：只有C 错误． 故选：C ．11．函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的图象如图所示，先将函数f （x ）图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，再将所得函数的图象向左平移7π2个单位长度，得到函数g （x ）的图象，则下列结论 正确的是（ ）A ．函数g （x ）是奇函数B ．函数g （x ）在区间[﹣2π，0]上单调递增C ．函数g （x ）图象关于（3π，0）对称D ．函数g （x ）图象关于直线x ＝﹣3π对称【分析】首先利用函数的图象求出函数的关系式，进一步利用函数的图象的伸缩变换和平移变换的应用求出函数g （x ）的关系式，最后利用函数的性质的应用求出结果．解：根据T =4×(7π12−π3)=π，所以ω=2ππ=2，由于函数的图象过（7π12，−1），所以2×7π12+φ=2kπ+3π2，由于|φ|＜π2，解得φ=π3， 故f （x ）＝sin （2x +π3），先将函数f （x ）图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，再将所得函数的图象向左平移7π2个单位长度，得到g （x ）＝sin[13×(x +7π2)+π3]=−cos 13x ．①故函数g （x ）为偶函数，故错误．②令13x ∈[2kπ，2kπ+π]，所以x ∈[6k π，3π+6k π]，故[﹣2π，0]⊄[6k π，3π+6k π]，故错误． ③令13x =π2+kπ（k ∈Z ），解得x =3π2+3kπ（k ∈Z ），所以函数的对称中心为（3π2+3kπ，0）（k ∈Z ），故错误④令13x =kπ解得x ＝3k π，当k ＝﹣1时，x ＝﹣3π，故正确． 故选：D ．12．定义在[0，+∞）上的函数f （x ）满足：f （x ）+f '（x ）=√xex ，f(12)=√12e．其中f '（x ）表示f （x ）的导函数，若存在正数a ，使得f(x 2−x 4)≥1a +a 8e成立，则实数x 的取值范围是（ ） A ．[﹣1，2] B ．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） C ．[﹣1，0]∪[1，2]D ．[﹣2，﹣1]∪[1，2]【分析】由已知可得[e x f （x ）]′=√x ，结合其结构特点考虑构造函数g （x ）＝e x f （x ），结合导数可判断相应函数的单调性，结合单调性即可求解不等式．解：由f （x ）+f '（x ）=√xex ，可得，e x [f(x)+f′(x)]=√x ，即[e x f （x ）]′=√x ，令g （x ）＝e x f （x ），则f （x ）=g(x)e x，且g′(x)=√x ， 故f′(x)=√x−g(x)e x， 令h （x ）=√x −g(x)，x ＞0，则h′(x)=2x， 当x ∈(0，12)时，h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增，当x ∈(12，+∞)时，h ′（x ）＜0，h （x ）单调递减，故h （x ）max ＝h （12）＝0，则f ′（x ）≤0，故f （x ）在（0，+∞）上单调递减，因为1a+a 8e≥√12e，当且仅当1a=a 8e即a ＝2√2e 时取等号，由题意f(x 2−x 4)≥√12e=f （12），因为f （x ）在[0，+∞）上单调递减，则0≤x 2−x 4≤12，解可得，﹣1≤x ≤0或1≤x ≤2， 故选：C ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →=（﹣2，1），b →=（4，3），c →=（﹣1，λ），若（a →+b →）∥c →，则λ＝ ﹣2 ．【分析】根据题意，用坐标表示出a →+b →，根据两直线平行的坐标表示列式子计算即可得答案．解：由题，a→+b→=(2，4)，c→=(−1，λ)，∵（a→+b→）∥c→，∴2λ＝﹣4，λ＝﹣2．故答案为：﹣2．14．二项式(1x−3x2)6的展开式中的常数项是−1352．（用数字作答）【分析】先求出其通项公式，再令x的指数为0即可求解．解：因为二项式(1x−3x2)6的展开式得通项为：T r+1=∁6r•（1x）6﹣r•(−3x2)r=（−32）r•∁6r•x2r﹣6；令2r﹣6＝0得r＝3；故二项式(1x−3x2)6的展开式中的常数项是：（−32）3•∁63=−1352．故答案为：−135 2．15．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝120°且AB＝AC＝3，BB1＝4，则此三棱柱外接球的表面积为52π．【分析】由题意可知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝3，∠BAC＝120°，AA1＝4，底面ABC的小圆半径为2，连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，即可求出三棱柱的外接球的表面积．解：由题意可知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝120°，AA 1＝4， ∴底面小圆ABC 的半径r 满足：2r =3sin30°=6，即r ＝3， 连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，外接球的半径为：R =√32+22=√13∴三棱柱的外接球的表面积为：4π•R 2＝52π； 故答案为：52π．16．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，且椭圆C 与双曲线C '：2x 2a 2−y 2=1共焦点，若椭圆C 与双曲线C '的一个交点M 满足|MF 1|•|MF 2|＝2，则△MF 1F 2的面积是 1 ．【分析】先将双曲线的方程化成标准形式，再由椭圆和双曲线的定义可得{|MF 1|+|MF 2|=2a |MF 1|−|MF 2|=2⋅√22a =√2a，解得{|MF 1|=2+√22a|MF 2|=2−√22a，再代入|MF 1|•|MF 2|＝2，即可解得a 的值，从而得|MF 1|、|MF 2|和|F 1F 2|的长，由勾股定理可知，△MF 1F 2是直角三角形，因此S △MF 1F 2=12⋅|MF 1|⋅|MF 2|．解：将双曲线C '：2x 2a −y 2=1化成标准形式为x 2a 22−y 2=1，不妨设点M 在双曲线的右支上，则根据椭圆和双曲线的定义，有{|MF 1|+|MF 2|=2a |MF 1|−|MF 2|=2⋅√22a =√2a，解得{|MF 1|=2+√22a|MF 2|=2−√22a． ∵|MF 1|•|MF 2|＝2， ∴2+√22a ⋅2−√22a =2，解得a ＝2或﹣2（舍负）， ∴|MF 1|=2+√2，|MF 2|=2−√2，双曲线的焦距|F 1F 2|=2√a 22+1=2√3．显然有|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2，∴△MF1F2是直角三角形，∴S△MF1F2=12⋅|MF1|⋅|MF2|=12×(2+√2)×(2−√2)=1．故答案为：1．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cos(B+C)cosC=a2b+c．（1）求角A的大小；（2）若a=4√3，b=4√2，求△ABC的面积．【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cos A，进而可求A；（2）由已知结合余弦定理可求c，然后结合三角形的面积公式即可求解．解：（1）∵cos(B+C)cosC=a2b+c=−cosAcosC，由正弦定理可得，sinA2sinB+sinC =−cosAcosC，所以2sin B cos A+sin C cos A＝﹣sin A cos C，所以2sin B cos A+sin C cos A+sin A cos C＝0，即2sin B cos A+sin（C+A）＝0，所以2sin B cos A+sin B＝0，因为sin B≠0，故cos A=−1 2，因为A 为三角形的内角，故A =2π3， （2）∵a =4√3，b =4√2，由余弦定理可得，48=32+c 2−2×4√2c ×(−12)， 解可得c =2√6−2√2，∴S △ABC =12bcsinA =12×4√2×(2√6−2√2)×√32=12﹣4√318．现有一种水上闯关游戏，共设有3个关口，如果在规定的时间内闯过了这3个关口，那么闯关成功，否则闯关失败，结束游戏．假定小张、小王、小李闯过任何一个关口的概率分别为23，12，12，且各关口能否顺利闯过相互独立．（1）求小张、小王、小李分别闯关成功的概率；（2）记小张、小王、小李三人中闯关成功的人数为X ，求X 的分布列及数学期望． 【分析】（1）记小张、小王、小李闯关成功的事件分别为：A ，B ，C ，求出概率． （2）易知X 的所有可能取值为：0，1，2，3；求出概率，得到随机变量的分布列，然后求解期望即可．解：（1）记小张、小王、小李闯关成功的事件分别为：A ，B ，C ，则P （A ）=(23)3=827；P （B ）=(12)3=18；P （C ）=(12)3=18；（2）易知X 的所有可能取值为：0，1，2，3；P （X ＝0）=1927×78×78=9311728；P （X ＝1）=827×78×78+1927×18×78+1927×78×18=6581728； P （X ＝2）=827×18×78+827×78×18+1927×18×18=1311728， P （X ＝3）=827×18×18=81728．所有随机变量的分布列为：X0123P93117286581728131172881728故E（X）＝0×9311728+1×6581728+2×1311728+3×81728=59108．19．如图，四边形ABCD为正方形，PA∥CE，AB＝CE=12PA，PA⊥平面ABCD．（1）证明：PE⊥平面DBE；（2）求二面角B﹣PD﹣E的正弦值的大小．【分析】（1）连结AC，推导出BD⊥AC，PA⊥BD，PA⊥AD，从而BD⊥平面APEC，进而BD⊥PE，推导出PE⊥DE，由此能证明PE⊥平面DBE．（2）以A为原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣PD﹣E的正弦值．【解答】（1）证明：连结AC，∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，PA⊥AD，∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面APEC，∵PE⊂平面APEC，∴BD⊥PE，设AB＝1，则AD＝1，PA＝2，∴PD=√5，同理解得DE=√2，要梯形PACE中，解得PE=√3，∴PE2+DE2＝PD2，∴PE⊥DE，∵BD ∩DE ＝D ，∴PE ⊥平面DBE ．（2）解：以A 为原点，AD ，AB ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 令AB ＝1，则CE ＝，AP ＝2，∴P （0，0，2），E （1，1，1），D （1，0，0），B （0，1，0），EP →=（﹣1，﹣1，1），DP →=（﹣1，0，2），BP →=（0，﹣1，2），BD →=（1，﹣1，0），设平面DPE 的法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅EP →=−x −y +z =0n →⋅DP →=−x +2z =0，取z ＝1，得n →=（2，﹣1，1），设平面BPD 的法向量m →=（a ，b ，c ），则{m →⋅BD →=a −b =0m →⋅DP →=−a +2c =0，取c ＝1，得m →=（2，2，1），设二面角B ﹣PD ﹣E 的平面角为θ，则cos θ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√66，∴二面角B ﹣PD ﹣E 的正弦值sin θ=1−(66)2=√306．20．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线l交抛物线C于A（x1，y1）和B（x2，y2）两点．（1）当x1+x2＝8时，求直线l的方程；（2）若过点P（2，0）且垂直于直线l的直线l'与抛物线C交于M，N两点，记△ABF 与△MNF的面积分别为S1与S2，求S1S2的最小值．【分析】（1）判断直线l的斜率一定不为0，可设直线l的方程为x＝my+2，联立抛物线的方程，运用韦达定理和直线方程，化简整理，解方程可得m，进而得到所求直线方程；（2）设直线l的方程为x＝my+2，联立抛物线的方程，运用韦达定理和三角形的面积公式，可得S1，同理可得S2，化简整理，由基本不等式，可得S1S2的最小值．解：（1）直线l过定点P（2，0），在x轴上，且直线l与抛物线相交，则斜率一定不为0，可设直线l的方程为x＝my+2，联立抛物线的方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣8＝0，可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣8，所以x1+x2＝my1+2+my2+2＝m（y1+y2）+4＝4m2+4，因为x1+x2＝8，所以4m2+4＝8，解得m＝±1，所以直线l的方程为x﹣y﹣2＝0或x+y﹣2＝0；（2）设直线l的方程为x＝my+2，联立抛物线的方程可得y2﹣4my﹣8＝0，可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣8，则S1=12|PF|•|y1﹣y2|=12√(y1+y2)2−4y1y2=12√16m2+32=2√m2+2，因为直线MN与直线l垂直，且当m＝0时，直线l的方程为x＝2，此时直线l'的方程为x＝0，但此时直线l'与抛物线C没有两个交点，所以不符题意，所以m≠0，所以直线l的斜率为1m ，因此直线MN的斜率为﹣m（m≠0），由点斜式方程可得直线l'的方程为y﹣0＝﹣m（x ﹣2），即mx+y﹣2m＝0，联立抛物线的方程y2＝4x，消去y，可得m2x2﹣（4m2+4）x+4m2＝0，设M（x3，y3），N（x4，y4），可得x3+x4=4m 2+4m2，x3x4＝4，则y3﹣y4＝m（2﹣x3）﹣m（2﹣x4）＝﹣m（x3﹣x4），因此|y3﹣y4|＝|m|•|x3﹣x4|＝|m|•√(x3+x4)2−4x3x4=|m|•√(4m2+4m2)2−4×4= |m|m2√(4+4m2)2−16m2=1|m|√16+32m2，所以S2=12|PF|•|y3﹣y4|=12×1×1|m|√16+32m2=2|m|√2m2+1，所以S1S2＝2√m2+2•2 |m|√2m2+1=4√(m2+2)(2m2+1)m2=4√5+2m2+2m2≥4√5+2√2m2⋅2m2=4√5+2×2=12，当且仅当2m2=2m2即m＝±1时等号恒成立，所以S1S2的最小值为12．21．已知函数g（x）＝e x﹣ax2﹣ax，h（x）＝e x﹣2x﹣lnx．其中e为自然对数的底数．（1）若f（x）＝h（x）﹣g（x）．①讨论f（x）的单调性；②若函数f（x）有两个不同的零点，求实数a的取值范围．（2）已知a＞0，函数g（x）恰有两个不同的极值点x1，x2，证明：x1+x2＜ln(4a2)．【分析】（1）①求出f（x）并求导，解关于导函数的不等式即可得到单调区间；②显然a＞0，分析可知只需f（x）的最小值小于0即可满足条件，进而得解；（2）依题意，将所证不等式转化为证明(x1−x2)ex1−x22＞e x1−x2−1，再通过换元构造新函数即可得证．解：（1）f （x ）＝h （x ）﹣g （x ）＝e x ﹣2x ﹣lnx ﹣e x +ax 2+ax ＝ax 2+（a ﹣2）x ﹣lnx （x ＞0），①f′(x)=2ax +(a −2)−1x =2ax 2+(a−2)x−1x =(2x+1)(ax−1)x（x ＞0）， （i ）当a ≤0时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）在（0，+∞）上递减；（ii ）当a ＞0时，令f ′（x ）＞0，解得x ＞1a ；令f ′（x ）＜0，解得0＜x ＜1a ，∴函数f （x ）在(0，1a )递减，在(1a ，+∞)递增；综上，当a ≤0时，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递减；当a ＞0时，函数f （x ）在(0，1a )上单调递减，在(1a ，+∞)上单调递增；②由①知，若a ≤0，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递减，不可能有两个不同的零点，故a ＞0；且当x →0时，f （x ）→+∞；当x →+∞时，f （x ）→+∞；故要使函数f （x ）有两个不同的零点，只需f(x)min =f(1a )=a ⋅(1a )2+a−2a −ln 1a ＜0，即lna −1a+1＜0， 又函数y =lnx −1x +1在（0，+∞）上为增函数，且ln1−11+1=0，故lna −1a+1＜0的解集为（0，1）．故实数a 的取值范围为（0，1）；（2）证明：g ′（x ）＝e x ﹣2ax ﹣a ，依题意，{e x 1−2ax 1−a =0e x 2−2ax 2−a =0，两式相减得，2a =e x 1−e x 2x 1−x 2(x 1＜x 2)， 要证x 1+x 2＜ln(4a 2)，即证x 1+x 22＜ln2a ，即证e x 1+x 22＜e x 1−e x 2x 1−x 2，两边同除以e x 2，即证(x 1−x 2)ex 1−x 22＞e x 1−x 2−1， 令t ＝x 1﹣x 2（t ＜0），即证te t 2−e t +1＞0，令h(t)=te t 2−e t +1(t ＜0)，则h′(t)=−e t 2[e t 2−(t 2+1)]， 令p(t)=e t 2−(t 2+1)，则p′(t)=12(e t 2−1)， 当t ＜0时，p ′（t ）＜0，p （t ）在（﹣∞，0）上递减，∴p （t ）＞p （0）＝0，∴h ′（t ）＜0，∴h （t ）在（﹣∞，0）上递减，∴h （t ）＞h （0）＝0，即te t 2−e t +1＞0，故x 1+x 2＜ln(4a 2)．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．以平面直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系，已知过点A （﹣1，﹣2）且斜率为1的直线l 1与曲线C ：{x =3+4cosα，y =4+4sinα（α是参数）交于P ，Q 两点，与直线l 2：ρcos θ+2ρsin θ+4＝0交于点N ．（1）求曲线C 的普通方程与直线l 2的直角坐标方程；（2）若PQ 的中点为M ，比较|PQ |与|MN |的大小关系，并说明理由．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用和弦长公式的应用求出|MN |和|PQ |的长，进一步比较出结果．解：（1）曲线C ：{x =3+4cosα，y =4+4sinα（α是参数）转换为直角坐标方程为（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝16．直线l 2：ρcos θ+2ρsin θ+4＝0根据{x =ρcosθy =ρsinθ转换为直角坐标方程为x +2y +4＝0．（2）已知过点A （﹣1，﹣2）且斜率为1的直线l 1的直角坐标方程为x ﹣y ﹣1＝0．所以{x −y −1=0(x −3)2+(y −4)2=16，整理得x 2﹣8x +9＝0， 设点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），所以中点M （x 1+x 22，y 1+y 22），根据一元二次方程根和系数关系式的应用，解得x 1+x 2＝8，x 1x 2＝9，整理得：M （4，3）．联立{x +2y +4=0x −y −1=0，解得{x =−23y =−53，即N （−23，−53）， 所以|MN |=√(−23−4)2+(−53−3)2=14√23． 根据弦长公式：|PQ |=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+12⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√14．由于14√23−2√14=2√2(√499−√7)＜0，所以|PQ |＞|MN |．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝3|x ﹣2|﹣3．（1）求不等式13[f(x)+3]＞|x +1|的解集； （2）若关于x 的不等式f （x ）≥mx +m 恒成立，求实数m 的取值范围．【分析】（1）不等式13[f(x)+3]＞|x +1|化为|x ﹣2|＞|x +1|，去掉绝对值求出x 的取值范围；（2）画出函数f （x ）与函数y ＝mx +m 的图象，结合图象求出满足条件时m 的取值范围．解：（1）由函数f （x ）＝3|x ﹣2|﹣3，则不等式13[f(x)+3]＞|x +1|可化为13[3|x ﹣2|﹣3+3]＞|x +1|，得|x ﹣2|＞|x +1|，等价于（x ﹣2）2＞（x +1）2，整理得6x ＜3，解得x ＜12，所以所求不等式的解集为（﹣∞，12）；（2）函数f （x ）＝3|x ﹣2|﹣3={3x −9，x ≥23−3x ，x ＜2； 画出函数f （x ）={3x −9，x ≥23−3x ，x ＜2与函数y ＝mx +m 的图象，如图所示；由图象知函数y ＝f （x ）图象的最低点N （2，﹣3），函数y ＝mx +m 可化为y ＝m （x +1），其图象恒过点M （﹣1，0），又直线MN的斜率为−3−02−(−1)=−1，．直线y＝m（x+1）以M（﹣1，0）为中心，在直线l和MN之间转动时（含边界）满足条件；否则不满足条件；所以﹣3≤m≤﹣1，即不等式f（x）≥mx+m恒成立时，实数m的取值范围是[﹣3，﹣1]．。
福建省龙岩市高三数学毕业班5月教学质量检查试题理
福建省龙岩市高三数学毕业班5月教学质量检查试题理数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题） 全卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项：1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上． 2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”． 第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合{}1,2M =，{}2,3N =，{}|,,b N P x x a b a M ==+∈∈，P 中元素个数为A ．2B ．3C ．4D ．52．已知复数z 满足(43)25i z +=(i 是虚数单位)，则z 的虚部为A ．3-B ．3C ．35-D ．353．若双曲线22221(,0)x y a b a b -=>的渐近线方程为2y x =±，则其离心率为AB．2 C ．2 D．54．已知向量(1,1),(2,),a b x ==若a b +与a b -平行，则实数x 的值是 A ．－2 B ．0C ．2D ．15．如图给出的是计算1111124620142016+++++的值的程序框图，其中判断框内应填入的是 A ．2014?i ≤B ．2016?i ≤C ．2018?i ≤D ．2020?i ≤6．某班有34位同学，座位号记为01,02,…34，用下面的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活动的五位同学的座号．选取方法是从随机数表第一行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个志愿者的座号是49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06A ．23B ．09C ．02D ．167．等比数列{}n a 的各项均为正数，且299a a ⋅=，则3132310log log log a aa+++＝（第5题图）A ．12B ．10C ．8D ．2＋3log 58．已知,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题为真命题的序号是 ①若,,//,//l m l m ααββ⊂⊂，则//αβ； ②若,//,l l m αβαβ⊂=，则//l m ；③若//,//l ααβ,则//l β；④若,//,//l l m ααβ⊥，则m β⊥． A ．①④ B ．①③ C ．②④ D ．②③9．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2220a b c ab +--=．若ABC ∆的面积，则ab 的最小值为A ．24B ．12C ．6D ．410．若对任意的正实数t ，函数33()()(ln )3f x x t x t ax =-+--在R 上都是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1(,]2-∞ B ． (,]2-∞ C ．(-∞D ． (,2]-∞第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上.11．二项式8(2x +展开式中的常数项为 ． 12．已知圆22:680C x y y +-+=，若直线y kx =与圆C 相切，且切点在第二象限，则实数k = ．13．若不等式组2,0,360.y x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为M ，不等式y x ≥表示的平面区域为N ．现随机向区域M 内撒下一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为 ．14．已知函数())4f x x π=+，有下列四个结论：①函数()f x 在区间3[,]88ππ-上是增函数：②点3(,0)8π是函数()f x 图象的一个对称中心；③函数()f x的图象可以由函数2y x =的图象向左平移4π得到；④若[0,]2x π∈，则函数()f x的值域为. 则所有正确结论的序号是 ． 15．计算1211222(12)n n n n n n C C n C n --+⋅++⋅=+，可以采用以下方法：构造恒等式01222222(12)n n nnn n n n C C x C x C x x ++++=+，两边对x 求导，得1221122222(12)n n n n n n n C C x n C x n x --+⋅++⋅=+， 在上式中令1x =，得12111222(12)3n n n n n n n C C n C n n ---+⋅++⋅=+=⋅，类比上述计算方法，计算12222332222322n nn n n n C C C n C ++++=．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分13分）甲、乙、丙三人参加某次招聘会，若甲应聘成功的概率为49，乙、丙应聘成功的概率均为(03)3tt <<，且三人是否应聘成功是相互独立的． （Ⅰ）若甲、乙、丙都应聘成功的概率是1681，求t 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设ξ表示甲、乙两人中被聘用的人数，求ξ的数学期望． 17．（本小题满分13分）已知函数222(sin cos )1()cos sin x x f x x x +-=-，方程()f x =(0,)+∞上的解按从小到大的顺序排成数列{}n a (*)n N ∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设23(41)(32)nn a b n n =--，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S 的表达式．18．（本小题满分13分）如图1，直角梯形ABCD 中，//,90AB CD ABC ∠=︒,42==AB CD ，2=BC ．//AE BC 交CD 于点E ，点G ,H 分别在线段DA ,DE 上，且//GH AE . 将图1中的AED ∆沿AE 翻折，使平面ADE ⊥平面ABCE （如图2所示），连结BD 、CD ，AC 、BE . （Ⅰ）求证：平面⊥DAC 平面DEB ；（Ⅱ）当三棱锥GHE B -的体积最大时，求直线BG 与平面BCD 所成角的正弦值．19．（本小题满分13分）已知动圆Q 过定点(2,0)A 且与y 轴截得的弦MN 的长为4． （Ⅰ）求动圆圆心Q 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）已知点(2,1)P -，动直线l 和坐标轴不垂直，且与轨迹C 相交于B A ,两点，试问：在x 轴上是否存在一定点G ，使直线l 过点G ，且使得直线PA ,PG ，PB 的斜率依次成等差数列？若存在，请求出定点G 的坐标；否则，请说明理由． 20．（本小题满分14分）已知函数()(sin cos )x f x e x x a =++，2()(10)xg x a a e =-+（a R ∈且a 为常数）．（Ⅰ）若曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线过点(1,2)，求实数a 的值；（Ⅱ）若存在实数1x ，2[0,]x π∈，使得221()()13g x f x e π<+-成立，求实数a 的取值范围；HEGDCBA图1 图2（第18题图）AB CGEHD（Ⅲ）判断函数222(1)()1()1(1)(10)b e g x x lnx b a a e x x ϕ+=-++>-+在(0,)+∞上的零点个数，并说明理由．21．（本小题满分14分） 本题设有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． （1）已知线性变换1T 是按逆时针方向旋转90︒的旋转变换，其对应的矩阵为M ，线性变换2T ：'2'3x x y y =⎧⎨=⎩对应的矩阵为N ．（Ⅰ）写出矩阵M 、N ；（Ⅱ）若直线l 在矩阵NM 对应的变换作用下得到方程为y x =的直线，求直线l 的方程．（2）已知曲线C 的方程为22145x y +=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos()4πρθ-=．（Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知M 是曲线C 上任意一点，求点M 到直线l 距离的最小值． （3）已知函数()|2|3f x x =--． （Ⅰ）若()0f x <，求x 的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求()g x =的最大值．龙岩市2015年高中毕业班教学质量检查 数学（理科）参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则． 二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分． 1-5 BAACB 6-10 DBCDA二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分．11．7 12．- 13．34 14．①② 15．22(21)3n n n -+三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题意41693381t t ⨯⨯=, …………………………………………3分所以2t =. ……………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得乙应聘成功的概率均为23, …………………………7分ξ的可能取值为0,1,2 ………………………………………8分428(2)9327P ξ==⋅=， 415214(1)939327P ξ==⋅+⋅=，515(0)9327P ξ==⋅=， ……………………………………………………12分所以81453010210272727279E ξ=⨯+⨯+⨯==. ……………………………13分17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）222(sin cos )12sin cos sin 2()tan 2cos sin cos 2cos 2x x x x x f x x x x x x +-====-, …………2分由()f x =0x >得2,3x k ππ=+∴()26k x k Z ππ=+∈ ………4分方程()f x =(0,)+∞的解从小到大依次排列构成首项为6π，公差为2π的等差数列∴(32)(1)626n n a n πππ-=+-=. ………………6分（Ⅱ）23(32)(41)(32)62(21)(21)n n b n n n n ππ-=⋅=---+ …………………8分111()42121n n π=--+， ……………………………………………10分 111111(1)()()(1)4335212142142n n S n n n n πππ⎡⎤=-+-++-=-=⎢⎥-+++⎣⎦.………………………13分18.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵CD AB //，︒=∠90ABC ，42==AB CD 又BC AE //交CD 于点E .∴四边形ABCE 是边长为2的正方形 ………………………1分 ∴BE AC ⊥，AE DE ⊥. 又∵平面ADE ABCE ⊥平面 平面ADEABCE AE =平面∴DE ABCE ⊥平面 ………………………3分 ∵AC ABCE ⊂平面，∴DE AC ⊥ ……………………4分 又E BE DE =∴AC DBE ⊥平面 ………………………5分 ∵AC DAC ⊂平面∴平面DAC DEB ⊥平面 ………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知DE ABCE ⊥平面，EC AE ⊥以E 为原点，ED EC EA ,,的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系. ………………………7分 则)0,0,2(A ，)0,2,2(B ，(0,2,0)C ，)2,0,0(D 设x EH =，则x DH GH -==2（20<<x ）∵CE AB //，∴DAE AB 面⊥ …………………8分∴2)]2(21[3131⨯-=⋅=∆-x x AB S V GHE GHE B]1)1([31)2(3122+--=+-=x x x ………………………9分∵20<<x ，∴1=x 时，三棱锥GHE B -体积最大，此时，H 为ED 中点. ∵AE GH //，∴G 也是AD 的中点，∴)1,0,1(G ，)1,2,1(--=.…10分 设),,(z y x =是面BCD 的法向量.则⎪⎩⎪⎨⎧=-=-⋅=⋅=-=-⋅=⋅022)2,2,0(),,(02)0,0,2(),,(z y z y x x z y x令1=y ，得)1,1,0(=n ………………………11分 设BG 与面BCD 所成角为θ则||sin 6||||BG n BG n θ⋅===∴BG 与平面BCD 所成角的正弦值为6.………………………13分19.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设(,)Q x y = …………2分 整理得24y x =，所以动圆圆心Q 的轨迹C 的方程是24y x =. ………4分（Ⅱ）设存在符合题意的定点G .设直线的方程为(0x ny m n =+≠且)n R ∈，则(,0)G m . …………5分将x m ny =+代入24y x =，整理得2440y ny m --=.由题意得216160n m ∆=+>，即20n m +>. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124y y n+=，124y y m⋅=-，11112211114(1)2824PA y y y k y x y ---===+++，2224(1)8PB y k y -=+， 1122PG k m m ==---+， 由题意得2PA PB PGk k k +=，即20PA PB PG k k k +-=,所以1222122(1)2(1)10882y y y y m --++=+++， ……………………7分即221212*********(2)()16(2)()2[()2](2)()320m y y y y m y y y y y y m y y m +++++++--+-=……………9分 把124y y n+=，124y y m⋅=-代入上式，整理得(2)(2)(2)m n m m -=+-， ………11分又因为n R ∈，所以(2)(2)020m m m +-=⎧⎨-=⎩，解得2m =所以存在符合题意的定点G ，且点G 的坐标为(2,0). …………………13分 20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）()(sin cos )(cos sin )x x f x e x x e x x '=++-=2cos x e x ，又曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线过点(1,2),得(0)f '=(0)201f --， …3分即21a =-，解得1a =- …………………………………………4分（Ⅱ）存在实数1x ，2[0,]x π∈，使得221()()13g x f x e π<+-成立，即2min ()()13g x f x e π<+-max ………………………………5分由（Ⅰ）知()2cos 0xf x e x '==在x [0,]π∈上的解为2x π=，函数()f x 在0,)2π（ 上递增，在(,2ππ）上递减2max ()()2f x f e aππ==+ …………………………………7分又2100a a -+>恒成立，2()(10)x g x a a e =-+在[0,]π上递增，2()(0)10g x g a a ==-+min ， ……………………………8分故2221013a a e a e ππ-+<++-，得2230a a --<，所以实数a 的取值范围是(1,3)- ………………………………9分（Ⅲ）由222(1)()1()1ln 0(10)b e g x x x a a xe x ϕ+=-++=-+ (0)x >得22(1)e 11ln 0x b e x xe x +-++=，化为22(1)e 1ln xb e x x x e +=--， ……10分令()1ln h x x x x =--，则()2ln h x x '=--由()2ln 0h x x '=--=，得2x e -=，故()h x 在21(0,)e 上递增，在21(,)e +∞上递减，2211()()1h x h e e ==+max . …………………………………………12分再令222(1)e 1()(1)x xb e t x b e e e +==+，因为1b >，所以函数21()(1)xt x b e e =+在(0,)+∞上递增，0222111()t(0)(1)(1)1t x b e b e e e >=+=+>+. …………………………13分知max ()()t x h x >，由此判断函数()x ϕ在(0,)+∞上没有零点，故()x ϕ零点个数为0. ………………14分21.（本小题满分14分）解：（1）（Ⅰ）0110M -⎛⎫= ⎪⎝⎭， ……………………………2分 2003N ⎛⎫= ⎪⎝⎭. ……………………………3分（Ⅱ）0230NM -⎛⎫= ⎪⎝⎭, ……………………………………4分 由02'30'x x y y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得2'3'y x x y -=⎧⎨=⎩, ……………………………5分 由题意得''y x =得32x y =-，所以直线l 的方程为320x y +=. ……7分（2）（Ⅰ）由cos()4πρθ-=得40x y +-=， ………………2分 ∴直线l 的直角坐标方程为40x y +-=. ………………………3分（Ⅱ）设(2cos )M θθ，M 到l 的距离为d ,则d ===其中2cos ,sin 33ϕϕ==, ………………………5分 当cos()1θϕ-=时，d有最小值2,∴M 到直线l的距离的最小值为2. ……………7分（3）（Ⅰ）由()02332315f x x x x <⇔-<⇔-<-<⇔-<<， ………2分 所以x 的取值范围是(1,5)-. ……………………………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()g x =,由柯西不等式22222(34]++≥………………5分所以()g x ≤=.当且仅当=即25x =-时，()g x取最大值 ……7分。
福建省龙岩市2020届高三数学5月月考试题 理(含解析)
福建省龙岩市2020届高三数学5月月考试题理（含解析）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先化简集合A和B,再求得解.【详解】由题得A={x|x≥1}，B={x|x＞}，所以.故选：B【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】先化简复数，再判断它对应的点所处的象限得解.【详解】由题得，所以复数对应的点为（），故选：A【点睛】本题主要考查复数的运算和几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.以下是人数相同的四个班级某次考试成绩的频率分布直方图，其中方差最小的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出每一个班级的方差即得解.【详解】对于选项A,，所以方差；对于选项B, ,所以方差；对于选项C, ,所以方差；对于选项D, ,所以方差.故选：B【点睛】本题主要考查期望和方差计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.的展开式中的系数为（）A. 80B. 120C. 240D. 320 【答案】B【解析】【分析】先求出的展开式中和的系数，相加即得解.【详解】设的通项为，令5-r=2,则r=3,的系数为令5-r=3，则r=2,的系数所以展开式中的系数为40+80=120.故选：B【点睛】本题主要考查二项式的展开式的系数问题的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.数列满足，且，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用已知结合递推公式求解.【详解】n=1时，n=2时，n=3时，n=4时，故选：B【点睛】本题主要考查利用递推公式求数列的项，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.已知点在圆上，点在抛物线上，则的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】抛物线的焦点为F(2,0),先求出|AB|≥|BF|-|AF|=|BF|-1,即得|AB|≥x+1，即得的最小值. 【详解】由题得圆的圆心为（2,0），半径为1.设抛物线的焦点为F(2,0),刚好是圆的圆心，由题得|AB|≥|BF|-|AF|=|BF|-1,设点B的坐标为(x,y),所以|AB|≥x-(-2)-1=x+1,因为x≥0，所以|AB|≥1，所以|AB|的最小值为1.故选：A【点睛】本题主要考查抛物线和圆的几何性质，考查两点间距离的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.某网店为增加其商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用万元与销售利润万元的统计数据如下表：由表中数据，得回归直线：.现有以下三个结论：①；②；③过点.则正确的结论个数为（）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】D【解析】【分析】求出样本中心点和得解.【详解】由题得，所以回归方程经过点，所以③是正确的；，所以所以.所以①②正确.故选：D【点睛】本题主要考查回归直线方程的求法，考查回归方程的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.若且，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】对a分两种情况结合充分必要条件的定义分析推理得解.【详解】当a＞1时，因为，所以x>y,但是不能推出|x|>|y|,所以不能推出，所以此时“”是“”的非充分条件；当0＜a＜1时，理由同上，所以此时“”是“”的非充分条件；综上，“”是“”的非充分条件；当a＞1时，因为，所以|x|＞|y|,但是不能推出x＞y,所以不能推出,所以此时“”是“”的非必要条件；当0＜a＜1时，理由同上，所以此时“”是“”非必要条件；综上“”是“”的非必要条件；故选：D【点睛】本题主要考查指数函数和对数函数的单调性，考查充分条件必要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.下图是古希腊数学家阿基米德用平衡法求球的体积所用的图形.此图由正方形、半径为的圆及等腰直角三角形构成，其中圆内切于正方形，等腰三角形的直角顶点与的中点重合，斜边在直线上.已知为的中点，现将该图形绕直线旋转一周，则阴影部分旋转后形成的几何体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】把阴影部分旋转后形成的几何体体积分成三个部分来求即得解.【详解】左上方的阴影部分旋转后形成的几何体体积等于半球的体积减去一个三棱锥的体积，所以；右上方的阴影部分旋转后形成的几何体体积等于圆柱的体积减去半个球的体积，所以；右下方的阴影部分旋转后形成的几何体体积等于圆台的体积减去一个圆柱的体积，所以.故阴影部分旋转后形成的几何体积为.故选：C【点睛】本题主要考查组合体和旋转体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.若函数在区间内恰有两个极值点，且，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出函数图像如图所示，再结合数形结合分析得解【详解】作出函数图像如图所示，因为，所以由图得当是A的横坐标，是B的横坐标时，函数满足，在之间只有一个极值点，但是只要x 的范围向左右扩展一点，则有两个极值点，所以.当是O的横坐标，是C的横坐标时，函数满足，在之间有两个极值点，所以.所以.故选：D【点睛】本题主要考查正弦型函数的图像和性质，考查函数的极值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.已知三棱柱中，平面，，，点在棱上运动，记，且的面积为，则的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据已知得到，再求出.再研究公垂线DE的最小值和取得最小值时的位置确定函数的图像得解.【详解】因为，cos,由勾股定理得BC=.如图一所示，不妨设则,过点D作DE⊥,垂足为E.所以.所以的面积取决于DE的大小.当DE是两异面直线的公垂线段时，DE最短，面积最小.如图二所示，DE是公垂线段，四边形DEF是矩形，，因为EF||, 由射影定理得所以.所以面积取最小值时，D点偏靠近,不是在中点，不具有对称性.故选：B【点睛】本题主要考查异面直线的距离和学生的空间想象分析能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.已知函数，对于，都有，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先分析得到函数f(x)在[0,2]上单调递增，再转化得到0≤≤1恒成立，分析解答两个不等式恒成立问题即得解.【详解】由题得当时，,所以，所以函数f(x)在[0,2]上单调递增，因为f(1)=4+cosπ=3，所以f(1),所以≤1，因为≤1且0≤≤2所以0≤≤1.当≤1时，所以，当x=0时，显然成立.当0＜x≤2时，，所以g(x)在（1,2）单调递增，在（0,1）单调递减，所以，所以.当≥0时，，当x=0时，显然成立.当0＜x≤2时，，令，所以k(x)在（0，2）单调递增，所以k(x)>k(0)=0,所以函数所以函数h(x)在（0,2]上单调递增，所以h(x)最大值=h(2)=.所以.综上得.故选：B【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，满足，，则______．【答案】1【解析】【分析】直接利用数量积运算律化简即得解.【详解】因为，所以.故答案为：1【点睛】本题主要考查数量积的运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.已知，且，则__________．【答案】【解析】【分析】先求出sinx，再求得解.【详解】因为，且，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查同角的平方关系和和角的正弦的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.已知正方形的四个顶点都在双曲线的渐近线上，则的离心率为__________．【答案】【解析】【分析】根据已知得到以双曲线的两条渐近线恰好是正方形的两条对角线，所以，再化简求双曲线的离心率得解.【详解】设双曲线的方程为，所以双曲线的两条渐近线恰好是正方形的两条对角线，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线的离心率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.在中，，，为中点，且，则面积的最大值等于__________．【答案】【解析】【分析】作图，设∠ABC=,AD=BD=x,则,由正弦定理得再求出，再求面积的最大值.【详解】如图所示，设∠ABC=,AD=BD=x,则,在△ACD中，由正弦定理得,在△BCD中，∠DCB=,由正弦定理得所以,当时，,与已知矛盾，所以.所以所以.因为，所以.由题得.故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形面积的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.已知等差数列为递增数列，且，是方程的两根.数列的前项和为，且满足.（1）求，的通项公式；（2）设数列的前项和为，且，求.【答案】（1），；（2.【解析】【分析】（1）由题得，再求出等差数列的通项，利用项和公式求的通项公式；（2）由题得，再利用分组求和得.【详解】（1）因为方程的两根为和，且数列为递增数列，所以.设数列的公差为，则，所以，所以.当时，由，解得；当时，因为，所以，以上两式相减得，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，所以.（2）由（1）得，，设数列的前项和为，数列的前项和为，所以，所以，所以.【点睛】本题主要考查等差数列的通项的求法，考查项和公式求数列的通项，考查分组求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.如图，在三棱锥中，为等边三角形，，面积是面积的两倍，点在侧棱上.（1）若，证明：平面平面；（2）若二面角的大小为，且为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先证明AD⊥平面BCM，再证明平面平面；（2）先分析得到，以O为原点，以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：因为，所以，所以．取BC中点O，连结DO,AO，所以DO⊥BC，AO⊥BC，因为，所以B C⊥平面AOD，所以BC⊥AD，又因为BM⊥AD，，所以AD⊥平面BCM，所以平面ACD⊥平面BCM．（2）由（1）知，是二面角D-BC-A的平面角，所以，过作交延长线于G，因为BC⊥平面AOD，平面AOD，所以，因为，所以平面．如图，以O为原点，以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，设，则，又因为，所以，在中，，所以，，所以，所以，，设是平面DCA法向量，则即取，因为点是线段的中点，所以，所以，设直线BM与平面DCA所成角的大小为，则，所以直线BM与平面CDA所成角的正弦值为．【点睛】本题主要考查空间线面垂直关系的证明，考查线面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.今年3月5日，国务院总理李克强作的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”.教育部日前公布的《教育部2020年部门预算》中透露，2020年教育部拟抽检博士学位论文约6000篇，预算为800万元.国务院学位委员会、教育部2020年印发的《博士硕士学位论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学位论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含2位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”.有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学位论文，将再送2位同行专家进得复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”.设每篇学位论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为，且各篇学位论文是否被评议为“不合格”相互独立.（1）记一篇抽检的学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为，求；（2）若拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的评审费用为1500元；除评审费外，其它费用总计为100万元.现以此方案实施，且抽检论文为6000篇，问是否会超过预算？并说明理由.【答案】（1）；（2）若以此方案实施，不会超过预算.【解析】【分析】(1)先求出一篇学位论文初评被认定为“存在问题学位论文”的概率，再求出一篇学位论文复评被认定为“存在问题学位论文”的概率，再把它们相加即得解；（2）先求出，再求出其最大值，比较最大值和预算的大小即得解.【详解】（1）因为一篇学位论文初评被认定为“存在问题学位论文”的概率为，一篇学位论文复评被认定为“存在问题学位论文”的概率为，所以一篇学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为.（2）设每篇学位论文的评审费为元，则的可能取值为900，1500.，，所以.令,.当时，，单调递增,当时，，在单调递减,所以的最大值为.所以实施此方案，最高费用为（万元）.综上，若以此方案实施，不会超过预算.【点睛】本题主要考查互斥事件的概率和独立重复试验的概率的求法，考查随机变量的期望的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.双曲线：的左右顶点分别为，，动直线垂直的实轴，且交于不同的两点，直线与直线的交点为.（1）求点的轨迹的方程；（2）过点作的两条互相垂直的弦，，证明：过两弦，中点的直线恒过定点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】(1) 设则且，再求出直线的方程为，直线的方程为，再消去即得点的轨迹的方程；（2）先求出D的中点，的中点，再证明过两弦，中点的直线恒过定点.【详解】（1）因为，设则且①，因为动直线交双曲线于不同的两点，所以且，因为直线的方程为②，直线的方程为③，②③得，把①代入上式得，化简得，所以点的轨迹的方程为.（2）依题意得直线与直线斜率均存在且不为0，设直线的方程为，则直线的方程为，联立得，则，设，，，所以的中点，同理的中点，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，整理得，所以直线恒过定点，即过两弦中点的直线恒过定点.【点睛】本题主要考查动点轨迹方程的求法，考查椭圆中的定点问题，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.21.已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）当时，记的最小值为，证明：.【答案】（1）当时，在单调递增；当时，在上单调递减，在单调递增；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）对a分两种情况讨论，利用导数求函数的单调区间；（2）由（1）知，，再构造函数，，求得取得最大值小于即得证.【详解】（1）因为的定义域为，又，所以当时，，在单调递增．当时，若时，，在单调递减；若时，，在单调递增．综上，当时，在单调递增；当时，在上单调递减，在单调递增．（2）当时，由（1）知，，令，，则，令，，则，所以在单调递减，又，，所以存在，使得，且，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以当时，取得最大值，因为，令，，则在单调递减，所以，所以，因此当时，，即．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值和证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.选修4-4：坐标系与参数方程22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数，且，）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）若与的交点为，且，求.【答案】（1）,；（2）1.【解析】【分析】（1）对于曲线的参数方程利用三角恒等式消参，对于曲线，直接利用极坐标和直角坐标互化的公式化简得解；（2）先求出，再根据点A在上，求出a的值.【详解】（1）利用消去参数，得的普通方程为.由得，将代入上式并整理得的直角坐标方程为.（2）根据对称性知，和关于轴对称，不妨设，，，因为，所以，代入的直角坐标方程得，又在上，所以，解得a=1.【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.选修4-5：不等式选讲23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为空集，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用零点分类讨论法求不等式的解集；（2）由题得|x+1|-|x-a|＜2a恒成立，再求出，解不等式a+1＜2a得解.【详解】（1）当a=2时，不等式，即|x+1|-|x-2|＞2，当时，原不等式可化为-x-1+x-2＞2，即-3＞2，此时原不等式无解；当时，原不等式可化为x+1+x-2＞2，解得，所以；当x＞2时，原不等式可化为x+1-x+2＞2，即3＞2，此时原不等式恒成立，所以x＞2；综上，原不等式的解集为.（2）由的解集为空集得的解集为空集，所以|x+1|-|x-a|＜2a恒成立.因为，所以，所以当且仅当即时，，所以a+1＜2a，解得a＞1，即的取值范围为.【点睛】本题主要考查零点分类讨论法解绝对值不等式，考查绝对值不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
福建省龙岩市2020届高三数学5月教学质量检查(漳州三模)试题 文(含解析)
福建省龙岩市2020届高三数学5月教学质量检查（漳州三模）试题 文（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合}1|{≥=x x A ，{|230}B x x =->，则A B =U （ ）A. [0,)+∞B. [1,)+∞C. 3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D. 30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】 【分析】一元不等式化简集合B ，然后直接利用并集运算得答案． 【详解】{|230}B x x =->=}23|{>x x ，则A B =U [1,)+∞ 故选：B【点睛】本题考查并集其运算，考查了不等式的解法，是基础题．2.在复平面内，复数22ii+-对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】先化简复数，再判断它对应的点所处的象限得解.【详解】由题得22(2)342(2)(2)5i i iz i i i +++===--+， 所以复数对应的点为（3455，）， 故选：A【点睛】本题主要考查复数的运算和几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.双曲线221510x y -=的渐近线方程为（ ）A. x y 21±= B. 2y x =±C. x y 2±=D. 2y x =±【答案】C 【解析】 【分析】在双曲线的标准方程中，利用渐近线方程的概念直接求解．【详解】双曲线221510x y -=的渐近线方程为：220510x y -=， 整理，得y 2＝2x 2， 解得x y 2±= 故选：C ．【点睛】本题考查双曲线的渐近线的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质．4.在等差数列{}n a 中，157913100a a a a a ++++=，6212a a -=，则1a =（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】先由题意求出207=a ，设等差数列{}n a 的公差为d ，求出公差，进而可求出结果. 【详解】因为157913100a a a a a ++++=， 所以75100a =，即207=a ， 设等差数列{}n a 的公差为d ，又6212a a -=，所以412d =，故3d =，所以17620182a a d =-=-= 故选B ．【点睛】本题主要考查等差数列的基本量的计算，熟记等差数列的通项公式即可，属于基础题型.5.如图是某学校研究性课题《什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类》向题的统计图（每个受访者都只能在问卷的5个活动中选择一个），以下结论错误的是（ ）A. 回答该问卷的总人数不可能是100个B. 回答该问卷的受访者中，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多C. 回答该问卷的受访者中，选择“学校团委会宣传”的人数最少D. 回答该问卷的受访者中，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8个 【答案】D 【解析】 【分析】先对图表数据分析处理，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．【详解】对于选项A ，若回答该问卷的总人数不可能是100个，则选择③④⑤的同学人数不为整数，故A 正确，对于选项B ，由统计图可知，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多，故B 正确， 对于选项C ，由统计图可知，选择“学校团委会宣传”的人数最少，故C 正确，对于选项D ，由统计图可知，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8%，故D 错误， 故选：D ．【点睛】本题考查了对图表数据的分析处理能力及简单的合情推理，属中档题．6.若1a >，则“y x a a >”是“log log a a x y >”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】先找出y x a a >及log log a a x y >的等价条件，然后根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【详解】由a>1,得y x a a > 等价为x>y; log log a a x y >等价为x>y>0 故“y x a a > ”是“log log a a x y >”的必要不充分条件 故选：A【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，指对函数的单调性，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．7.如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗实线和粗虚线画出了某几何体的三视图，图中的曲线为半圆弧或圆，则该几何体的体积是（ ）A. 253πB. 343πC. 433πD. 25π 【答案】C 【解析】 【分析】先由三视图确定该几何体的形状，再由体积公式求解，即可得出结果.【详解】由三视图可知：该几何体下部为半球，上部为大圆柱挖去了一个小圆柱.且半球的半径为2，大圆柱的底面圆半径为2，高为3，小圆柱的底面圆半径为1，高为3， 故该几何体的体积为322144322313233ππππ⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=. 故选C ．【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体、以及几何体的体积，熟记体积公式即可，属于常考题型.8.已知函数21()sin cos 2f x x x x =+，则下列结论正确的是（ ） A. ()f x 的最大值为1B. ()f x 的最小正周期为2πC. ()y f x =的图像关于直线3x π=对称D. ()y f x =的图像关于点7,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简得f(x)的解析式，再利用三角函数函数性质考查各选项即可．【详解】函数21()sin cos 2f x x x x =++=1cos 212222x x -++= sin （2x 6π-）+1 对于A ：根据f （x ）＝sin （2x 6π-）+1可知最大值为2；则A 不对； 对于B ：f （x ）＝sin （2x 6π-）+1，T ＝π则B 不对； 对于C ：令2x 6π-=,223k k x k Z p p pp +\=+?，，故图像关于直线3x π=对称则C 正确； 对于D ：令2x 6π-=,212k k x k Z p p p \=+?，，故()y f x =的图像关于点⎪⎭⎫⎝⎛1,127π对称则D 不对． 故选：C ．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．9.若正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为3，1AB =，则直线1AB与1CD 所成的角为（ ） A. 30o B. 45oC. 60oD. 90o【答案】C 【解析】 【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB 1与CD 1所成的角．【详解】∵正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积为3，AB ＝1，∴AA 13=，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 则A （1，0，0），B 1（1，1，3），C （0，1，0），D 1（0，0，3），1AB =u u u r（0，1，3），1CD =u u u u r （0，﹣1，3）， 设直线AB 1与CD 1所成的角为θ，则cosθ11111244AB CD AB CD ⋅===⋅⋅u u u r u u u u ru u u r u u uu r ，又0︒<θ90︒≤ ∴θ＝60°，∴直线AB 1与CD 1所成的角为60°． 故选：C ．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查空间想象能力，是中档题．10.已知函数112,1()2,1x x x f x x --⎧≥=⎨<⎩，若()2(22)2f x f x x -≥-+，则实数x 的取值范围是（ ）A. ]1,2[-B. [1,)+∞C. RD.(,2][1,)-∞-+∞U【答案】D 【解析】 【分析】由函数112,1()2,1x x x f x x --⎧≥=⎨<⎩，的表达式即可判断f （x ）是关于x=1对称的函数，利用单调性可得x 的不等式求解即可．【详解】由题画出函数112,1()2,1x x x f x x --⎧≥=⎨<⎩的图像如图所示，故222121x xx --?+- ，即2231x x x -?+ ，解得x 的取值范围是(,2][1,)-∞-+∞U故选：D【点睛】本题考查函数的对称性和单调性，考查绝对值不等式的解法，考查计算能力是基础题11.如图，《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院.该作品简介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝桠不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上.甲、乙、丙、丁四人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作，四人每人模仿一个动作.若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”的概率是（ ）A.34B.712C.12D.512【答案】B 【解析】 【分析】依题意，基本事件的总数为44A =24，设事件A 表示甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”，则事件A 包含133A ⨯+2222A ⨯⨯=14个基本事件，故P （A ）可求．【详解】依题意，基本事件的总数为44A =24，设事件A 表示甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”， ①若甲模仿“扶”，则A 包含133A ⨯=6个基本事件；②若甲模仿“捡”或“顶”则A 包含2222A ⨯⨯=8个基本事件，综上A 包含6+8＝14个基本事件， 所以P （A ）1472412==， 故选：B ．【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，分类讨论的思想，属于基础题．12.若直线y =a 分别与直线y =2x -3，曲线y =e x -x （x ≥0）交于点A ，B ，则|AB |的最小值为（ ） A. 63ln3- B. 33ln32-C. eD. 0.5e【答案】B【解析】 【分析】设A （x 1，a ），B （x 2，a ），建立方程关系用x 1表示x 2，则|AB |＝x 1﹣x 2，构造函数求函数的导数，研究函数的最值即可． 【详解】作出两个曲线的图象如图， 设A （x 1，a ），B （x 2，a ），则x 1＞x 2，则2x 1﹣3＝e 2x -2x ，即x 112=（e 2x -2x +3）， 则|AB |＝12x x -12=（e 2x -2x +3）2x -12=（﹣32x +e 2x +3），设f （x ）12=（e x﹣3x +3），x ≥0，函数的导数f ′（x ）12=（﹣3+e x），由f ′（x ）＞0得x ＞ln 3，f （x ）为增函数， 由f ′（x ）＜0得0≤x ＜ln 3，f （x ）减函数，即当x ＝ln 3时，f （x ）取得最小值，最小值为f （ln3）12=（3+3﹣3ln3）＝332-ln3， 故选：B ．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，设出坐标，利用两点间的距离公式，构造函数，求函数的导数，利用导数求函数的最值是解决本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.向量a ρ，b ρ满足1a b •=-r r ，(2)3a a b •-=r r r ，则a r =______．【答案】1 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算，直接计算即可得出结果.【详解】因为向量a ρ，b ρ满足1a b •=-r r ，(2)3a a b •-=r r r ，所以222213a a b a -•=+=r r r r ，因此1a =r故答案为1．【点睛】本题主要考查已知向量数量积求向量的模，熟记运算法则即可，属于基础题型.14.若,x y 满足约束条件204010x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值是_____．【答案】11 【解析】 【分析】画出可行域，平移直线2z x y =+得最大值即可 【详解】画出不等式所表示的可行域，如图阴影所示： 当直线2z x y =+平移过A 时，z 最大，联立140x x y =⎧⎨-+=⎩得A （1,5）故z 的最大值为1+2×5=11 故答案为11【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想，准确计算是关键，是基础题15.若数列{}n a 满足11a =，112nn n a a +--=，则n a =_____．【答案】22-+n n【解析】 【分析】根据112nn n a a +--=，用累加法求解，即可得出结果. 【详解】因为数列{}n a 满足11a =，112nn n a a +--=，所以12112a a -=+，23212a a -=+， 34312a a -=+，……1112n n n a a ---=+，以上各式相加得123111(222...2)n n a a n --=-+++++， 所以22nn a n =+-.【点睛】本题主要考查求数列的通项公式，熟记累加法即可，属于常考题型.16.已知点F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点，直线)0(>=k kx y 与C 相交于,M N 两点（其中M 在第一象限），若||MN =，|||FM FN ≤，则C 的离心率的最大值是____．1- 【解析】 【分析】设右焦点为F ',连接M ,F NF '',由椭圆对称性得四边形FM F N '为矩形，结合椭圆定义及勾股定理得a,c 不等式求解即可【详解】设右焦点为F ',连接M ,F NF '',由椭圆对称性知四边形FM F N '为平行四边形，又||MN ==2c=FF '，故FM F N '为矩形，|||FM FN ≤='|F M ，'||||2FM F M a+=，即2a F M M'-≤',∴F M ≥'又222(2a )4F M F M c -+='',故11【点睛】本题考查椭圆的几何性质，椭圆定义的应用，转化化归思想，利用定义转化为矩形是关键，是中档题三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin cos sin cos b A C c A B +=. （1）求sin A ；（2）若23=a ，4b =，求c .【答案】(1) sin A = (2) 1c = 【解析】 【分析】（1）由正弦定理，得sin sin cos sin sin cos B A C C A B +=，进而sin()B C +=则A 可求；（2）解法一：由余弦定理得c 的方程求解即可；解法二：正弦定理得sin sin 6b A B a ==，进而得sin sin[π()]C A B =-+1)24=，再利用正弦定理得c 即可【详解】（1）因为sin cos sin cos b A C c A B +=，所以由正弦定理，得sin sin cos sin sin cos B A C C A B +=因为sin 0A ≠，所以sin cos sin cos 4B C C B +=，所以sin()B C +=，所以sin(π)4A -=，所以sin A =．（2）解法一：因为V ABC 为锐角三角形，所以A 为锐角，因为sin A =，所以1cos 4A =． 因为23=a ，4b =，由余弦定理得(22214244c c =+-⨯⨯⨯，所以2220c c --=，所以1c =. 解法二：因为V ABC 为锐角三角形，所以A ，B 为锐角， 因为23=a ，4b =，所以由正弦定理得4sin sin 6b A B a ⨯===，所以cos B =因为sin A =，所以1cos 4A =． 所以sin sin[π()]C AB =-+sin()sin cos cos sin A B A B A B =+=+1)24=，由正弦定理得sin 1sin a Cc A==. 【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，两角和的正弦公式，考查公式的运用，是中档题18.如图，菱形ABCD 中，2AB =，ο60=∠DAB ，M 是AD 的中点，以BM 为折痕，将ABM ∆折起，使点A 到达点1A 的位置，且平面1A BM ⊥平面BCDM ，（1）求证：1A M BD ⊥；（2）若K 为1A C 的中点，求四面体1M A BK -的体积．【答案】（1）见解析（2）3． 【解析】 【分析】（1）先在左图中证明AD BM ⊥，再结合右图，根据面面垂直的性质定理，证明1A M ⊥平面BCDM ，进而可得出结论；（2）先计算出1A BCM V -，再由题意得到11111122M A BK K MA B C MA B A BCM V V V V ----===，即可得出结果．【详解】（1）证明：在左图中，∵四边形ABCD 是菱形，ο60=∠DAB ，M 是AD 的中点，∴AD BM ⊥，故在右图中，1A M BM ⊥， ∵平面1A BM ⊥平面BCDM ，平面1A BM I 平面BCDM BM =，∴1A M ⊥平面BCDM ， 又BD ⊂平面BCDM ， 所以1A M BD ⊥.（2）解：在左图中，∵四边形ABCD 是菱形，AD BM ⊥，AD BC ∥，∴BC BM ⊥，且BM 在右图中，连接CM，则1111121332A BCM BCM V S A M -∆=•=⨯⨯=∵K 为1A C 的中点，∴11111122M A BK K MA B C MA B A BCM V V V V ----====． 【点睛】本题主要考查面面垂直的性质，以及求几何体的体积，熟记面面垂直的性质定理、以及锥体的体积公式即可，属于常考题型.19.某手机厂商在销售200万台某型号手机时开展“手机碎屏险”活动、活动规则如下：用户购买该型号手机时可选购“手机碎屏险”，保费为x 元，若在购机后一年内发生碎屏可免费更换一次屏幕．该手机厂商将在这200万台该型号手机全部销售完毕一年后，在购买碎屏险且购机后一年内未发生碎屏的用户中随机抽取1000名，每名用户赠送1000元的红包，为了合理确定保费x 的值，该手机厂商进行了问卷调查，统计后得到下表（其中y 表示保费为x 元时愿意购买该“手机碎屏险”的用户比例）；（1）根据上面的数据求出y 关于x 的回归直线方程；（2）通过大数据分析，在使用该型号手机的用户中，购机后一年内发生碎屏的比例为0.2%．已知更换一次该型号手机屏幕的费用为2000元，若该手机厂商要求在这次活动中因销售该“手机碎屏险”产生的利润不少于70万元，能否把保费x 定为5元？参考公式：回归方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计分别为1122ˆni ii nii x y nxybxnx==-=-∑∑，x b y aˆˆ-=， 参考数据：表中x 的5个值从左到右分别记为12345,,,,x x x x x ，相应的y 值分别记为12345,,,,y y y y y ，经计算有51()()19.2i i i x x y y =--=-∑，其中5115i i x x ==∑，5115i i y y ==∑．【答案】（1）0.01920.976y x =-+；（2）能 【解析】 【分析】（1）由已知表格中的数据求得ˆˆ,ba ，进而可得线性回归方程； （2）求出保费x 定为5元时，该手机厂商在这次活动中，因销售该“手机碎屏险”产生的利润，与70万元比较，即可得出结果.【详解】解：（1）由已知得300.4x y ==，，()51()19.2iii x x yy =--=-∑，521()1000i i x x =-=∑，所以55121()ˆ0.0192()()iii ii bx y y x x x ==---==-∑∑，ˆˆ0.976a y bx=-=， y 关于x 的回归直线方程为0.01920.976y x =-+；（2）能把保费x 定为5元．理由如下：若保费x 定为5元，则估计0.019250.9760.88y =-⨯+=． 估计该手机厂商在这次活动中因销售该“手机碎屏险”产生的利润为620000000.88520000000.880.2%2000100010000.7610⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯=⨯元76=（万元）70>（万元）. ∴把保费x 定为5元．【点睛】本题主要考查线性回归方程，熟记最小二乘法求ˆˆ,ba 即可，属于常考题型.20.已知离心率为12的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点与抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点F 重合，且点F 到E 的准线的距离为2.（1）求C 的方程；（2）若直线l 与C 交于,M N 两点，与E 交于,A B 两点，且4-=⋅（O 为坐标原点），求MNF ∆面积的最大值.【答案】(1) 13422=+y x(2) max ()MNF S =△ 【解析】 【分析】(1)先求P,再列a,b,c 的方程组求解即可（2）设l 的方程为n my x += ，与抛物线联立将4OA OB =-u u u r u u u r g 坐标化代入韦达定理解得n=2，利用31||||22MNF S MF y =△≤即可求解； 【详解】（1）因为点x 到E 的准线的距离为2，所以2p =，(1,0)F ，由2221,1,2,c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以C 的方程为13422=+y x（2）解法一.由（1）知抛物线E 的方程为24y x =.要使直线l 与抛物线E 交于两点，则直线l 的斜率不为0，可设l 的方程为n my x +=，由2,4,x my n y x =+⎧⎨=⎩得0442=--n my y 所以2(4)160m n ∆=-+>，得20m n +>.设()()1122,,,A x y B x y 则12124,4,y y m y y n +=⎧⎨=-⎩所以22222121212()16441616y y y y n x x n =⋅===，因为4OA OB =-u u u r u u u rg ，所以12124x x y y +=-， 所以244n n -=-，所以2n =， 所以直线l 的方程为2x my =+，所以直线l 过椭圆C 的右顶点(2,0)，不妨设)0,2(M 33(,)N x y，3y 3y ≠0，所以31||||2MNF S MF y =△当且仅当3y =max ()MNF S =△【点睛】本题考查椭圆方程，考查直线过定点问题，考查面积问题，考查基本不等式求最值，注意计算的准确，是中档题21.已知函数()(ln )xe f x a x x x=--.（1）若a e =，求()f x 的单调区间； （2）若()0f x ≥，求a 的取值范围.【答案】(1) ()f x 的单调递减区间是()0,1，单调递增区间是()1,+∞．(2) (],e -∞ 【解析】 【分析】（1）当e a =时，()()()21e e x x x f x x --'=，判断其正负号则单调性可求；（2）法一：由（1）得exe x ≥进而ln 10x x -≥＞，放缩不等式为当e ≤a 时，e e ()(ln )e(ln )x xf x a x x x x x x =----≥，构造函数求解即可；法二：分离a 问题转化为mine (ln )xa x x x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭≤，求最值即可求解【详解】（1）函数()f x 定义域为()0,+∞，()()()21x x e ax f x x --'=．当e a =时，()()()21e e x x x f x x --'=，令()xg x e ex =-，则()e e x g x '=-，因为()g x '在(),-∞+∞上单调递增，且()10g '=， 所以当1x <时，()0g x '<；当1>x 时，()0g x '>； 所以()g x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增． 所以()()10g x g ≥=，即0x e ex -≥，仅当1x =时取等号. 所以当01x <<时，()0f x '<；当1>x 时，()0f x '>； 所以()f x 的单调递减区间是()0,1，单调递增区间是()1,+∞． （2）解法一. 由（1）知ex e x ≥，所以当0x >时，lne ln(e )xx ≥，得ln 10x x -≥＞，当e ≤a 时，e e ()(ln )e(ln )x x f x a x x x x x x=----≥，令e()e(ln )x h x x x x=--，由（1）知，()(1)0h x h =≥，所以()0f x ≥，满足题意. 当e a >时，(1)e 0f a =-<，不满足题意. 所以a 的取值范围是(],e -∞. 解法二：由（1）知ex e x ≥，所以当0x >时，lne ln(e )xx ≥，得ln 10x x -≥＞，由e ()(ln )0x f x a x x x =--≥，得e (ln )x a x x x -≤， 问题转化为mine (ln )xa x x x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭≤，令e ()(ln )x h x x x x =-，则22e (1)(1ln )()(ln )x x x x h x x x x ---'=-，因为e 0x >，1ln 0x x --≥（仅当1x =时取等号），22(ln )0x x x ->，所以当01x <<时，()0h x '<；当1>x 时，()0h x '>； 所以()h x 的单调递减区间是()0,1，单调递增区间是()1,+∞， 所以min ()(1)h x h e ==， 所以a 的取值范围是(],e -∞.【点睛】本题考查导数与函数的单调性，导数与函数最值，不等式恒成立问题，考查转化化归能力，是中档题22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x a a y a ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数，且0.5 1.5πϕπ≤≤，0a >），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22413sin ρθ=+， （1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 的交点为,A B ，且AB =a . 【答案】（1）222()(0)x a y a x a -+=≤≤，2214x y +=（2）1a =．【解析】 【分析】（1）利用22sin cos 1φφ+=消去参数ϕ，即可得出1C 的普通方程；由极坐标与直角坐标的互化，可得出2C 的直角坐标方程；（2）根据对称性知，,A B 关于x 轴对称，再由AB =A 的坐标，代入1C 方程，即可得出结果.【详解】解：（1）利用22sin cos 1φφ+=消去参数ϕ，得1C 的普通方程为222()(0)x a y a x a -+=≤≤；由22413sin ρθ=+得2223sin 4ρρθ+=，所以2C 的直角坐标方程为：2214x y +=；（2）根据对称性知，,A B 关于x 轴对称，不妨设00(,)A x y ，000,0x a y ≤≤>，因为AB =，所以012y AB ==， 代入2C 的直角坐标方程得023x =，又2(,33A 在1C 上，所以2228()39a a -+=，解得1a =． 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，以及极坐标与直角坐标的互化，熟记公式即可，属于常考题型.23.函数()1(0)f x x x a a =+-->．（1）当2a =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若不等式a x f 2)(≥的解集为空集，求a 的取值范围．【答案】（1）32x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭（2）(1,)+∞ 【解析】【分析】（1）由2a =得122x x +-->，分1-≤x ，21≤<-x ，2x >三种情况讨论，即可得出结果；（2）先由a x f 2)(≥的解集为空集，得12x x a a +--<恒成立，再由绝对值不等式的性质求出1x x a +--的最大值，即可得出结果.【详解】解：（1）当2a =时，不等式()2f x >，即122x x +-->，当1-≤x 时，原不等式可化为122x x --+->，即32->，显然不成立，此时原不等式无解；当21≤<-x 时，原不等式可化为122x x ++->，解得322x <≤； 当2x >时，原不等式可化为122x x +-+>，即32>，显然成立，即2x >满足题意；综上，原不等式的解集为32x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭； （2）由a x f 2)(≥的解集为空集，得12x x a a +--≥的解集为空集， 所以12x x a a +--<恒成立，因为0a >，所以()1(1)()1f x x x a x x a a =+--≤+--=+， 所以当且仅当(1)()01x x a x x a +-≥⎧⎨+≥-⎩，即x a ≥时，max ()1f x a =+， 所以12a a +<，解得1a >，即a 的取值范围是(1,)+∞．【点睛】本题主要考查含绝对值不等式，熟记分类讨论的方法以及含绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.。