导数与定积分测试题
导数、定积分及应用测试-答案
《导数、定积分及应用测试》参考答案：1、（ B ） 2．（ B ） 3．（A ） 4.（ C ） 5.（ B ） 6、（ B ） 7、（ D ） 8、（C ） 9、（ B ） 10、（D ）11、解：11231001()()3f x dx ax c dx ax cx=+=+⎰⎰203ac ax c =+=+03x =∴12、a>2或a<-1； 13、-1/2 ； 14、10；15、设kx F =，则由题可得010.=k ，所以做功就是求定积分1800106..=⎰xdx 。
16题、解方程组⎩⎨⎧-==2xx y kxy 得：直线kx y =分抛物线2x x y -=的交点的横坐标为0=x 和k x -=1抛物线2x x y -=与x 轴所围成图形为面积为61|)3121()(1032102=-=-=⎰x x dx x x S 由题设得 dx kx dx x x Sk k ⎰⎰----=10102)(26)1()(3102k dx kx x x k-=--=⎰- 又61=S ，所以21)1(3=-k ，从而得：2413-=k 17题、（1）323)('2-+=bx ax x f ，依题意， 0)1(')1('=-=f f ，即⎩⎨⎧=--=-+.0323,0323b a b a解得 0,1==b a ∴x x x f 3)('3-=，∴)1)(1(333)('2-+=-=x x x x f 令0)('=x f ，得 1,1=-=x x 若),1()1,(+∞--∞∈ x ，则0)('>x f 故)(x f 在),1()1,(+∞--∞和上是增函数； 若)11(，-∈x ，则0)('<x f 故)(x f 在)1,1(-上是减函数；所以2)1(=-f 是极大值，2)1(-=f 是极小值。
（2）曲线方程为x x y 33-=，点)16,0(A 不在曲线上。
导数的概念及计算、定积分检测题
导数的概念及计算、定积分检测题（试卷满分100分，考试时间90分钟）一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知函数f (x )＝1xcos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2等于( ) A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π解析：选C 因为f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，所以f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π×(－1)＝－3π. 2.(2020·沈阳一中模拟)曲线f (x )＝2e x sin x 在点(0，f (0))处的切线方程为( ) A ．y ＝0 B ．y ＝2x C ．y ＝xD ．y ＝－2x解析：选B ∵f (x )＝2e x sin x ，∴f (0)＝0，f ′(x )＝2e x (sin x ＋cos x )，∴f ′(0)＝2，∴所求切线方程为y ＝2x .3.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t ，那么速度为零的时刻是( )A ．0秒B ．1秒末C ．2秒末D ．1秒末和2秒末解析：选D ∵s ＝13t 3－32t 2＋2t ，∴v ＝s ′(t )＝t 2－3t ＋2.令v ＝0，得t 2－3t ＋2＝0，t 1＝1或t 2＝2.4.由曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为( )A.13 B.310 C.14D.15解析：选A 由⎩⎨⎧ y ＝x 2，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以阴影部分的面积为⎠⎛0 1 (x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32－13x 3⎪⎪⎪1＝13.5.设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤－1，－12 B. [－1,0] C. [0,1]D. ⎣⎡⎦⎤12，1解析：选A 设P (x 0，y 0)，P 点处切线倾斜角为α， 则0≤tan α≤1，由f (x )＝x 2＋2x ＋3，得f ′(x )＝2x ＋2， 令0≤2x 0＋2≤1，得－1≤x 0≤－12.故选A.6.已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 021(x )＝( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x解析：选D ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ， ∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ， f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ， f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，…， ∴f n (x )的解析式以4为周期重复出现，∵2 021＝505×4＋1，∴f 2 021(x )＝f 1(x )＝sin x ＋cos x .7．已知函数f (x )＝12x 2sin x ＋x cos x ，则其导函数f ′(x )的图象大致是( )解析：选C 由f (x )＝12x 2sin x ＋x cos x ，得f ′(x )＝x sin x ＋12x 2cos x ＋cos x －x sin x＝12x 2cos x ＋cos x . 由此可知，f ′(x )是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除选项A 、B.又f ′(0)＝1，故选C.8．[数学抽象、逻辑推理]若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x (x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1x 2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞)．故选D.二、填空题（每小题5分，共25分）9．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x <0，cos x ，0≤x ≤π2，则f (x )与x 轴围成封闭图形的面积为________． 解析：S ＝⎠⎛0－1(x ＋1)d x ＋∫π20cos x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x |0－1＋sin x |π20＝12＋1＝32. 答案：3210．(2020·重庆质检)若曲线y ＝ln (x ＋a)的一条切线为y ＝e x ＋b ，其中a ，b 为正实数，则a ＋e b ＋2的取值范围为________．解析：由y ＝ln (x ＋a)，得y ′＝1x ＋a.设切点为(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a ＝e ，ln (x 0＋a )＝e x 0＋b ⇒b＝a e －2.∵b>0，∴a>2e，∴a ＋e b ＋2＝a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1时等号成立．答案：[2，＋∞)11.若一直线与曲线y ＝ln x 和曲线x 2＝ay(a>0)相切于同一点P ，则a 的值为________． 解析：设切点P(x 0，y 0)，则由y ＝ln x ，得y ′＝1x ，由x 2＝ay ，得y ′＝2ax ，则有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＝2a x 0，y 0＝ln x 0，x 2＝ay 0，解得a ＝2e .答案：2e12.如图，已知y ＝f (x )是可导函数，直线l 是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线，令g (x )＝f (x )x，则g ′(4)＝________.解析：g ′(x )＝⎣⎡⎦⎤f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2.由已知图象可知，直线l 经过点P (0,3)和Q (4,5)， 故k 1＝5－34－0＝12. 由导数的几何意义可得f ′(4)＝12，因为Q (4,5)在曲线y ＝f (x )上，所以f (4)＝5. 故g ′(4)＝4×f ′(4)－f (4)42＝4×12－542＝－316.答案：－31613．设函数F (x )＝ln x ＋a x (0<x ≤3)的图象上任意一点P (x 0，y 0)处切线的斜率k ≤12恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：由F (x )＝ln x ＋ax (0<x ≤3)，得F ′(x )＝x －a x 2(0<x ≤3 )，则有k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12在(0,3]上恒成立，所以a ≥⎝⎛⎭⎫－12x 20＋x 0max .当x 0＝1时，－12x 20＋x 0在(0,3]上取得最大值12，所以a ≥12.答案：⎣⎡⎭⎫12，＋∞三、综合题（3个题，共35分）14．（11分）已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程． 解：(1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1， 由已知令3x 2＋1＝4，解得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)． (2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，∴直线l 的斜率为－14.∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)， ∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.15.（12分）设f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝2x 2. (1)求x <0时，f (x )的表达式；(2)令g (x )＝ln x ，问是否存在x 0，使得f (x )，g (x )在x ＝x 0处的切线互相平行？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由．解：(1)当x <0时，－x >0， f (x )＝－f (－x )＝－2(－x )2＝－2x 2. ∴当x <0时，f (x )的表达式为f (x )＝－2x 2. (2)若f (x )，g (x )在x 0处的切线互相平行，则f ′(x 0)＝g ′(x 0)，当x >0时，f ′(x 0)＝4x 0＝g ′(x 0)＝1x 0，解得x 0＝±12.故存在x 0＝12满足条件．16．（12分）已知函数f (x )＝ax ＋bx (x ≠0)在x ＝2处的切线方程为3x －4y ＋4＝0.(1)求a ，b 的值；(2)求证：曲线上任一点P 处的切线l 与直线l 1：y ＝x ，直线l 2：x ＝0围成的三角形的面积为定值．16.解：(1)由f (x )＝ax ＋b x ，得f ′(x )＝a －bx 2(x ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝34，3×2－4f (2)＋4＝0.即⎩⎨⎧a －b 4＝34，5－2⎝⎛⎭⎫2a ＋b 2＝0.解得a ＝1，b ＝1.(2)证明：由(1)知f (x )＝x ＋1x，设曲线的切点为P ⎝⎛⎭⎫x 0，x 0＋1x 0，f ′(x 0)＝1－1x 20， 曲线在P 处的切线方程为y －⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0＝⎝⎛⎭⎫1－1x 20(x －x 0)． 即y ＝⎝⎛⎭⎫1－1x 20x ＋2x 0.当x ＝0时，y ＝2x 0. 即切线l 与l 2：x ＝0的交点坐标为A ⎝⎛⎭⎫0，2x 0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝⎝⎛⎭⎫1－1x 20x ＋2x 0，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 0，y ＝2x 0，即l 与l 1：y ＝x 的交点坐标为B (2x 0,2x 0)．又l 1与l 2的交点为O (0,0)，则所求的三角形的面积为S ＝12·|2x 0|·⎪⎪⎪⎪2x 0＝2. 即切线l 与l 1，l 2围成的三角形的面积为定值．。
导数与定积分
a
成的曲边梯形的面积．
3．定积分的性质 kbf(x)dx
(1)bkf(x)dx＝______a________ (k 为常数)；
a
bf1(x)dx±bf2(x)dx
(2)b[f1(x)±f2(x)]dx＝___a_________a_________；
a
所以
S＝
2(－x2＋2x＋1－
0
1)dx＝2(－ 0
x2＋2x)dx＝－x33＋x2
|20
＝－83＋4＝43.
bf(x)dx
(3)bf(x)dx＝cf(x)dx＋___c________(其中 a<c<b)．
a
a
4．微积分基本定理 一般地，如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且 F′(x)＝f(x)， 那么bf(x)dx＝___F_(_b_)_－__F_(_a_) __，这个结论叫做微积分基本定理，
（4）2 1- x dx 0
二、定积分几何意义
1、(十二15)直线y 4x与曲线y 4x3在第一象限内 围成的封闭图形的面积； 2、(四14)由直线y 0, x e, y 2x及曲线y 2 所围成
x 的封闭图形的面积.
3、(二14)定积分 1 x(2 x)dx __________ 0
a
又叫做牛顿莱布尼茨公式． 其中 F(x)叫做 f(x)的一个原函数． 为了方便，常把 F(b)－F(a)记作_F__(x_)__ba___，即abf(x)dx＝F(x)ba＝ F(b)－F(a)．
一、定积分的计算
（1）（2 x2 2x 1）dx; 1 2 (2)0 (sin x a cosx)dx 2; x2，x∈[0，1]， (3)设 f(x)＝ 1，x∈（1，e] (e 为自然对数的底数)， x e 则 0 f(x)dx 的值为________．
(必考题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(答案解析)
一、选择题1．给出下列函数：①()()2ln 1f x x x =+-；②()3cos f x x x =；③()xf x e x =+.0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰的函数是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③2．已知71()x x +展开式中，5x 的系数为a ，则62axdx =⎰（ ）A ．10B ．11C ．12D ．133．如图，由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是（ ）A ．1B ．23C ．43D ．24．已知函数()2ln 2f x mx x x =+-在定义域内存在单调递减区间，则实数m 的取值范围是（ ） A ．12m ≥B ．12m < C ．1m ≥ D ．1m < 5．3侧面与底面所成的角是45︒，则该正四棱锥的体积是（ ） A ．23B ．43C ．23D ．236．22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x ===⎰⎰⎰若 ，则s 1,s 2,s 3的大小关系为（ ）A ．s 1＜s 2＜s 3B ．s 2＜s 1＜s 3C ．s 2＜s 3＜s 1D ．s 3＜s 2＜s 17．曲线3y x =在点()1,1处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积为（ ） A ．83B ．73C ．53D ．438．已知1(1)1x f x x e ++=-+，则函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为 A ．14 B ．12C ．1D ．29．一物体在力(单位:N)的作用下沿与力相同的方向,从x=0处运动到(单位:)处,则力做的功为( )．A ．44B ．46C ．48D ．50 10．已知10(31)()0ax x b dx ，,a b ∈R ，则⋅a b 的取值范围为（ ）A ．1,9B ．1,1,9C ．1,[1,)9D ．()1,+∞11．定义{},,min ,,,a ab a b b a b ≤⎧=⎨>⎩设31()min ,f x x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则由函数()f x 的图象与x 轴、直线4x =所围成的封闭图形的面积（ ） A ．12ln 26+ B ．12ln 24+ C ．1ln 24+ D ．1ln 26+ 12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．4B ．2C ．43D ．23二、填空题13．若112lim 22n nn n n t t +-→+∞-=+ ，则实数t 的取值范围是_____________.14．曲线,,0x y e y e x ===围成的图形的面积S =______15．曲线()sin 0πy x x =≤≤与x 轴围成的封闭区域的面积为__________． 16．已知函数()323232t f x x x x t =-++在区间()0,∞+上既有极大值又有极小值，则实数t 的取值范围是__________． 17．定积分()12xx e dx +=⎰__________．18．曲线2y x =与直线230x y --=所围成的平面图形的面积为________.19．二项式33()6a x -的展开式的第二项的系数为,则的值为______．20．若，则的值是__________．三、解答题21．已知二次函数()f x 满足(0)0f =，且对任意x 恒有(1)()22f x f x x +-=+. （1）求()f x 的解析式；（2）设函数()()'()g x f x f x λ=-，其中'()f x 为()f x 的导函数.若对任意[0,1]x ∈，函数()y g x =的图象恒在x 轴上方，求实数λ的取值范围.22．为了降低能源消耗，某冷库内部要建造可供使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为4万元，又知该冷库每年的能源消耗费用c （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系()(010)25kc x x x =≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗为8万元.设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. （1）求k 的值及()f x 的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小？并求最小值. 23．已知函数()32f x x ax =+图像上一点()1,P b 的切线斜率为3-，()()()3261302t g x x x t x t -=+-++> （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）当[]1,4x ∈-时，求()f x 的值域；（Ⅲ）当[]1,4x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围. 24．计算曲线223y x x =-+与直线3y x所围图形的面积．25．在(332x x11的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为α，求1x α⎰d x26．已知()ln f x x x mx =+，2()3g x x ax =-+-（1）若函数()f x 在(1,)+∞上为单调函数，求实数m 的取值范围；（2）若当0m =时，对任意(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A【分析】利用定义判断①②中的函数为奇函数，根据奇函数和定积分的性质，判断①②；利用反证法，结合定积分的性质，判断③. 【详解】对①，()f x 的定义域为R1())))()f x x x x f x --===-=-即函数()f x 为奇函数，则0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰对②，()f x 的定义域为R33()cos()cos ()f x x x x x f x -=--=-=-，即函数()f x 为奇函数，则0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰对③，若0a ∃>，使得()0aaf x dx -=⎰成立则()2102aax x a aa a e x dx e x e e ---⎛⎫+=+- ⎪⎝==⎭⎰，解得0a =，与0a >矛盾，则③不满足 故选：A 【点睛】本题主要考查了定积分的性质以运用，属于中档题.2．D解析：D 【分析】利用二项式的通项公式求得7a =，从而求得762xdx ⎰的值.【详解】在71()x x +展开式中，得二项式的通项公式7721771rr r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令725r -=，解得1r =，所以5x 的系数为177C =，即7a =.所以7267662213axdx xdx x ===⎰⎰.故选：D 【点睛】本题主要考查二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，求定积分的值，属于中档题．3．D解析：D 【解析】由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是122201(1)(1)S x dx x dx =---⎰⎰31320111281()|()|2133333x x x x -+-=+--+ 4．B解析：B【解析】求导函数，可得()1'220f x mx x x=+->，，函数()2ln 2f x mx x x =+-在定义域内是增函数，所以()'0f x < 成立，即1220(0)mx x x+-<>恒成立，所以21211m x ⎛⎫->-- ⎪⎝⎭，所以21m ->-，所以12m < 时，函数()f x 在定义域内是增函数．故选B ．5．B解析：B 【解析】设底面边长为a ，依据题设可得棱锥的高2ah =，底面中心到顶点的距离2d =，由勾股定理可得2221()()22a a +=，解之得2a =，所以正四棱锥的体积21242323V =⨯⨯=，故应选答案B ．6．B解析：B 【解析】3221321322217ln |ln 2||,.11133x S x S x S e e e S S S ==<==<==-∴<<选B.考点：此题主要考查定积分、比较大小，考查逻辑推理能力.7．A解析：A 【解析】 试题分析：()'323x x=,所以切线方程为13(1),32y x y x -=-=-,所以切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积()2238323S x dx =-=⎰.考点：1、切线方程；2、定积分.【易错点晴】本题易错点有三个,一个是切线方程,错解为看成过()1,1的切线方程；第二个错误是看成与y 轴围成的面积,()()22320328103232333S x dx x dx =--+-=+=⎰⎰；第三个是没有将切线与x 轴的交点求出来,导致没有办法解决题目.切线的常见问题有两种,一种是已知切点求切线方程；另一种是已知切线过一点求切线方程,两种题目都需要我们认真掌握.8．A解析：A 【解析】试题分析：由1(1)1x f x x e ++=-+知()2x f x x e =-+，则()1(0)2x f x e f ''=+⇒=，而(0)1f =-，即切点坐标为()0,1-，切线斜率(0=2k f '=），则切线()():12021l y x y x --=-⇒=-，切线l 与坐标轴的交点分别为1,02⎛⎫⎪⎝⎭和()0,1-，则切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为1111224S =⋅⋅-= 考点：函数在某点处的切线9．B解析：B 【解析】由定积分的物理意义，得，即力做的功为46．考点:定积分的物理意义．10．C解析：C 【分析】本题可以先根据定积分的运算法则建立a 与b 的等量关系，然后设abt ，则312t a b，再然后根据构造法得出a 、b 为方程23102t xx t 的根，最后根据判别式即可得出结果． 【详解】112(31)()(33)ax x b dx ax abx x b dx 1223331()02222abx x ab ax bx a b =+++=+++=，即3210ab a b，设ab t ，则312t a b，a 、b 为方程23102t xx t 的根，有231402t t ，解得19t 或1t ≥， 所以1,[1,)9a b ，故选C ．【点睛】本题考查定积分的运算法则以及构造法，能否根据被积函数的解析式得出原函数的解析式是解决本题的关键，考查韦达定理的使用，是中档题．11．B解析：B 【解析】由31x x=，得1x =±，则图象的交点为(1,1)--，(1,1) ∵()31min ,f x x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭∴根据对称性可得函数()f x 的图象与x 轴、直线4x =所围成的封闭图形的面积为143401141111|ln |ln 42ln 201444x dx dx x x x +=+=+=+⎰⎰ 故选B12．D解析：D 【分析】根据三视图可得到该几何体的直观图，进而可求出该几何体的体积. 【详解】根据三视图可知该几何体为四棱锥E ABCD -，四边形ABCD 是边长为1的正方形，BE ⊥平面ABCD ，2BE =，则四棱锥E ABCD -的体积为1233ABCD V S BE =⋅=. 故选D.【点睛】本题考查了三视图，考查了四锥体的体积的计算，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.二、填空题13．【分析】利用数列的极限的运算法则转化求解即可【详解】解：当|t|≥2时可得可得t ＝﹣2当|t|＜2时可得：综上可得：实数t 的取值范围是：﹣22）故答案为﹣22）【点睛】本题考查数列的极限的运算法则的 解析：[)2,2-【分析】利用数列的极限的运算法则，转化求解即可． 【详解】解：当|t |≥2时，n+1nn n-1n 2-t lim =22+t→∞，可得2n 22()11t lim 2121n t t t→∞⨯--==⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ，可得t ＝﹣2． 当|t |＜2时，n+1nn n-1n 2-t lim =22+t→∞可得： 22()2lim 211?()2n n tt t →∞+=+ ， 综上可得：实数t 的取值范围是：[﹣2，2）． 故答案为[﹣2，2）． 【点睛】本题考查数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力．14．【解析】【分析】先求出两曲线的交点再由面积与定积分的关系利用定积分即可求解【详解】由题意令解得交点坐标为所以曲线围成的图形的面积【点睛】本题主要考查了利用定积分求解曲边形的面积其中解答中根据题设中的 解析：1【解析】 【分析】先求出两曲线,x y e y e ==的交点，再由面积与定积分的关系，利用定积分即可求解． 【详解】由题意，令x y ey e=⎧⎨=⎩，解得交点坐标为(1,)e ， 所以曲线,,0xy e y e x ===围成的图形的面积110()()|1x xS e e dx ex e =-=-=⎰．【点睛】本题主要考查了利用定积分求解曲边形的面积，其中解答中根据题设中的条件建立面积的积分表达式，利用定积分的计算准确求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．15．2【解析】与轴所围成的封闭区域的面积故答案为2解析：2 【解析】sin (0π)y x x =≤≤与x 轴所围成的封闭区域的面积ππsin d cos cos πcos020S x x x==-=-+=⎰，故答案为2.16．【解析】由题意可得在有两个不等根即在有两个不等根所以解得填解析：90,8⎛⎫⎪⎝⎭【解析】2()32f x tx x -'=+，由题意可得()0f x '=在()0,+∞有两个不等根，即2320tx x -+=在()0,+∞有两个不等根，所以302980tt ⎧>⎪⎨⎪∆=->⎩，解得908t <<，填90,8⎛⎫⎪⎝⎭ 17．e 【解析】点睛：1求曲边图形面积的方法与步骤(1)画图并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围从而确定积分的上下限；(3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和即各积分解析：e 【解析】1212120(2)()|(1)(0)x x x e dx x e e e e +=+=+-+=⎰. 点睛：1.求曲边图形面积的方法与步骤 (1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； (3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．18．【解析】试题分析：联立交点所以围成的图形为直线的左上方和曲线所围成的区域面积为考点：1定积分的应用---求曲边梯形的面积；2微积分基本定理【方法点晴】求曲边梯形的步骤：①画出草图在直角坐标系中画出直 解析：323【解析】 试题分析：联立2{230y x x y =--=,交点(1,1)A -,(9,3)B ,所以围成的图形为直线的左上方和曲线所围成的区域,面积为322332111132(23)(3)|(399)(13)333S y y dy y y y --=+-=+-=+---+=⎰.考点：1.定积分的应用---求曲边梯形的面积；2.微积分基本定理.【方法点晴】求曲边梯形的步骤：①画出草图，在直角坐标系中画出直线或曲线的大致图象；②联立方程，求出交点坐标，确定积分的上、下限；③把曲边梯形的面积表示为若干个定积分的和；④计算定积分，写出答案.由于本题中，若对x 进行定积分，2,y x y x ==±，有些麻烦，这里就转化为对y 进行定积分，要容易很多.19．或【解析】试题分析：展开后第二项系数为时时考点：1定积分；2二项式定理解析：3或73【解析】试题分析：展开后第二项系数为233122a a -=-∴=±，1a =时3121|33x -==，1a =-时 31217|33x --== 考点：1．定积分；2．二项式定理20．2【解析】试题分析：∵易得故答案为考点：定积分的计算解析：2 【解析】 试题分析：∵，易得，故答案为.考点：定积分的计算.三、解答题21．（1）()2f x x x =+；（2）{|0}λλ<【解析】分析：（1）设2()f x ax bx c =++，代入已知，由恒等式知识可求得,,a b c ； （2）由（1）得()g x ，题意说明()0<g x 在[0,1]x ∈上恒成立，由分离参数法得221x x x λ+<+，问题转化为求22([0,1])21x x x x +∈+的最小值． 详解：（1）设()()20f x ax bx c a =++≠，()00f =，0c ∴=. 于是()()()()22111f x f x a x b x ax bx +-=+++--222ax a b x =++=+.解得1a =，1b =.所以()2f x x x =+. （2）由已知得()()221g x x x x λ=+-+ 0>在[]0,1x ∈上恒成立. 即221x x x λ+<+在[]0,1x ∈上恒成立. 令()221x x h x x +=+，[]0,1x ∈ 可得()()()()()22222212221'02121x x x x x h x x x +-+++==>++. ∴函数()h x 在[]0,1单调递增，∴ ()()min 00h x h ==.∴ λ的取值范围是{|0}λλ<.点睛：本题考查用导数研究不等式恒成立问题，不等式恒成立问题通常伴随着考查转化与化归思想，例如常用分离参数法化为()()g h x λ≤，这样只要求得()h x 的最小值min ()h x ，然后再解min ()()g h x λ≤，即得λ范围．22．（1）800()4(010)25f x x x x =+≤≤+；（2）当隔热层修建7.5cm 厚时，总费用最小，最小费用70万元.【解析】试题分析：（I ）根据c （0）=8计算k ，从而得出f （x ）的解析式；（II ）利用基本不等式得出f （x ）的最小值及等号成立的条件．试题（1）当0x =时，()085k c ==，∴40k =. 由题意知，()4020425f x x x ⨯=++，即()()800401025f x x x x =+≤≤+. （2）∵()()800401025f x x x x =+≤≤+∴()()21600'425f x x -=++，令()'0f x =，即()242516000x +-=， ∴7.5x =. 当[)0,7.5x ∈时，()'0f x <，当(]7.5,10x ∈时，()'0f x >，当7.5x =时，()f x 取得最小值. ()min 80047.57027.55f x =⨯+=⨯+. 所以，当隔热层修建7.5cm 厚时，总费用最小，最小费用70万元. 23．(Ⅰ)3a=-,2b =-；(Ⅱ)[]4,16-；(Ⅲ)124t ≤≤ 【解析】试题分析：(Ⅰ)由导函数研究原函数切线的方法得到关于实数a,b 的方程组，求解方程组可得3a =-,2b =-；(Ⅱ)将不等式恒成立的问题分类讨论可得实数t的取值范围是124t ≤≤+ 试题（Ⅰ）()232f x x ax '=+ ∴()1323f a =+=-' ∴3a =- ∴()323f x x x =-因为()113f b =-= ∴2b =- （Ⅱ）由（Ⅰ）得()323f x x x =- ∴()236f x x x '=- 令()0f x '= 解得120,2x x ==()()()()14,00,24,416f f f f -=-==-=∴()f x 的值域是[]4,16- （Ⅲ）因为[]1,4x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立∴()22160tx t x -++≥在[]1,4上恒成立，令()()2216h x tx t x =-++ 对称轴为1t x t +=因为0t >∴11t x t+=> ∴()21441240t t t t +⎧<⎪⎨⎪∆=+-≤⎩或()()144168160t t h t t +⎧≥⎪⎨⎪=-++≥⎩ 解得：t的取值范围为124t ≤≤+ 24．92． 【解析】【详解】试题分析：利用定积分计算曲线所围成面积，先画出图象，再找到图象交点的横坐标，然后写出定积分式子，注意被积函数为上方的图象对应的函数减图象在下方的函数． 试题由23{23y x y x x =+=-+解得03x x ==及．从而所求图形的面积332200[(3)(23)](3)S x x x dx x x dx =+--+=-+⎰⎰3230139=|322x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭． 考点：定积分． 25．67 【分析】 先求()332x x -11展开式的通项公式，其中有2项有理项，确定概率1α6=，根据定积分的计算法则，先求出被积函数x α的原函数，再分别将积分上下限代入求差，即可求出结果.【详解】解：T r ＋1＝11r C ·(3x )11－r ·()32x -r ＝11r C ·311－r ·(－2)r ·，r ＝0,1，…，11，共12项其中只有第4项和第10项是有理项，故所求概率为21α126==. 111716600066=|=77x dx x dx x α∴=⎰⎰ 【点睛】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项式展开式的特定项问题、考查古典概型的概率公式，考查定积分的计算.解题关键是熟练应用二项式展开式的通项公式，找出符合条件的项数.26．（1）1m ≤-；（2）4a ≤.【解析】试题分析：(1)求导，利用导数对t 的范围进行分类讨论求最值.(2)本小题实质是22ln 3x x x ax ≥-+-在()0,x ∈+∞上恒成立，进一步转化为3 2ln a x x x ≤++在()0,x ∈+∞上恒成立,然后构造函数()32ln (0)h x x x x x=++>利用导数研究h(x)的最小值即可.注意不要忽略x>0的条件,导致求导数的方程时产生增根. 试题（1）()f x 定义域为()0,+∞，()()ln 1f x x m '=++，因为()f x 在()1,+∞上为单调函数，则方程()ln 10x m ++=在()1,+∞上无实根. 故10m +≥，则1m ≤-.（2）22ln 3x x x ax ≥-+-，则32ln a x x x ≤++，对一切()0,x ∈+∞恒成立. 设()32ln (0)h x x x x x =++>，则()()()231'x x h x x +-=， 当()()()0,1,'0,x h x h x ∈<单调递减，当()()()1,,'0,x h x h x ∈+∞>单调递增.()h x 在()0,+∞上，有唯一极小值()1h ，即为最小值.所以()()min 14h x h ==，因为对任意()()()0,,2x f x g x ∈+∞≥恒成成立，故4a ≤.点睛：利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min≥a 即可；f(x)≤a 恒成立，只需f(x)max≤a 即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.。
导数定积分经典题型
1. 曲线1e x y x -=在点()1,1处切线的斜率等于（ ）.A ．2eB ．eC ．2D ．1 2.若函数()(),f x g x 满足()()1d =01f x g x x -⎰，则称()(),f x g x 为区间[]1,1-上的一组正交函数，给出三组函数： ①()()11sin,cos 22f x xg x x ==；②()()1,1f x x g x x =+=-；③()()2,f x x g x x ==. 其中为区间[]1,1-的正交函数的组数是（ ）.A.0B.1C.2D.3 3.已知函数()()sin f x x ϕ=-，且()230d 0f x x π=⎰则函数()f x 的图像的一条对称轴是（ ）.A.6x 5π=B.12x 7π=C.3x π=D.6x π= 4. 当[]2,1x ∈-时，不等式32430ax x x -++…恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）. A ．[]5,3-- B ．96,8⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[]6,2--D ．[]4,3-- 5. 已知函数()21f x x =-+,()kx x g =.若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（ ）.A.102⎛⎫ ⎪⎝⎭， B.112⎛⎫ ⎪⎝⎭，C.()1,2D.()2+∞， 6.若()()122d f x x f x x =+⎰，则()1d f x x =⎰（ ）.A.1-B.13-C.13D.17.直线x y 4=与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）. A.22 B.24 C.2 D.4 8. 定积分()12e d 0xx x +⎰的值为（ ）. A.e 2+ B.e 1+ C.e D.e 1-9.已知函数()3231f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是（ ）.A. ()2,+∞B. ()1,+∞C. (),2-∞-D. (),1-∞-10.设曲线()ln 1y ax x =-+在点()0,0处的切线方程为2y x =，则a =（ ）.A.0B.1C.2D. 3 11.设函数()x f x mπ=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ）. A.()(),66,-∞-+∞ B.()(),44,-∞-+∞ C.()(),22,-∞-+∞ D.()(),11,-∞-+∞一. 填空题1.曲线5e 2x y -=+在点()0,3处的切线方程为 .2.在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2by ax x=+（,a b 为常数）过点()2,5P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b +的值是 ．3.若曲线e x y -=上点P 处的切线平行于直线210x y ++=，则点P 的坐标是 .4.正方形的四个顶点()1,1A --，()1,1B -，()1,1C ，()1,1D -，分别在抛物线2y x =-和2y x =上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD5.以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[],M M -.例如，当()31x x ϕ=，()2sin x x ϕ=时，()1x A ϕ∈，()2x B ϕ∈.现有如下命题：①设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A ∈”的充要条件是“b ∀∈R ，a D ∃∈，()f a b =”； ②函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值；③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()g x B ∈，则()()f x g x B +∉； ④若函数()()2ln 21xf x a x x =+++()2,x a >-∈R 有最大值，则()f x B ∈. 其中的真命题有 .（写出所有真命题的序号）22x三.解答题1.设函数()()2311f x a x x x =++--，其中0a >.（1）讨论()f x 在其定义域上的单调性；（2）当[]0,1x ∈时，求()f x 取得最大值和最小值时的x 的值. 2.已知函数()πcos sin ,0,2f x x x x x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦， （1）求证：()0f x …； （2）若sin x a b x <<在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值. 3.（2014 大纲理 22）（本小题满分12分）函数()()()ln 11axf x x a x a=+->+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设()111,ln 1n n a a a +==+，求证：23+22n a n n <+…. 4. 已知函数()e xf x ax =-（a 为常数）的图像与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为1-. （1）求a 的值及函数()f x 的极值； （2）证明：当0>x 时，2e xx <；（3）证明：对任意给定的正数c ，总存在0x ，使得当()∞+∈，0x x ，恒有2e xx c <.5.设函数()f x =2k <-，（1）求函数()f x 的定义域D ；（用区间表示） （2）讨论()f x 在区间D 上的单调性；（3）若6k <-，求D 上满足条件()()1f x f >的x 的集合. 6．π为圆周率，e=2.71828为自然对数的底数.（1）求函数()ln xf x x=的单调区间； （2）求3e πe π3e ,3,e ,π,3,π这6个数中的最大数与最小数；（3）将3e πe π3e ,3,e ,π,3,π这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.7.已知常数0a >，函数()()2ln 12xf x ax x =+-+. （1）讨论()f x 在区间()0,+∞上的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，且()()120f x f x +>，求a 的取值范围. 8.已知函数()e e xxf x -=+，其中e 是自然对数的底数．（1）证明：()f x 是R 上的偶函数； （2）若关于x 的不等式()e1xmf x m -+-…在()0,+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）已知正数a 满足：存在[)01,x ∈+∞，使得()()30003f x a x x <-+成立．试比较1e a -与e 1a -的大小，并证明你的结论． 9. 已知函数()0sin xf x x=()0x >，设()n f x 为()1n f x -的导数，*n ∈N ． （1）求122222f f πππ⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值； （2）证明：对任意的*n ∈N ，等式124442n n nf f -πππ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭都成立． 10. 已知函数()(212f x x bx bx =++-()b ∈R .（1）当4b =时，求()f x 的极值；（2）若()f x 在区间10,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，求b 的取值范围.11. 已知函数()()()()8cos 2sin 13f x x x x x =-π+-+，()()()23πcos 41sin ln 3x g x x x x ⎛⎫=--+- ⎪π⎝⎭.证明：（1）存在唯一00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00f x =； （2）存在唯一1,2x π⎛⎫∈π⎪⎝⎭，使()10g x =，且对（1）中的01x x +<π. 12. 设函数()2e 2ln x f x k x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（k 为常数，e 2.71828=是自然对数的底数）（1）当0k …时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在()0,2内存在两个极值点，求k 的取值范围.13.设函数()()()()ln 1,,0f x x g x xf x x '=+=…，其中()f x '是()f x 的导函数. （1）()()()()()11,n n g x g x g x g g x +==，n +∈N ，求()n g x 的表达式； （2）若()()f x ag x …恒成立，求实数a 的取值范围； （3）设n +∈N ，比较()()()12g g g n +++与()n f n -的大小，并加以证明.。
导数与定积分(一)：高考数学一轮复习基础必刷题
导数与定积分（一）：高考数学一轮复习基础必刷题姓名：___________��班级：___________��学号：___________一、单选题1．已知991001101,,ln100100a b e c -===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b<<D ．b a c<<2．曲线sin y x =，[0,2]x πÎ与x 轴所围成的面积是（）A ．0B ．2C ．4D ．π3．已知某商品的进价为4元，通过多日的市场调查，该商品的市场销量y （件）与商品售价x （元）的关系为e x y -=，则当此商品的利润最大时，该商品的售价x （元）为（）A ．5B ．6C ．7D ．84．21232x dx x -+=+⎰（）A ．22ln +B ．32ln -C ．62ln -D ．64ln -5．数列{}n a 为等差数列，且2020202204a a x π+=⎰，则()2021201920212023a a a a ++=（）A ．1B ．3C ．6D ．126．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图像的特征，如函数2()af x x x=+（a R ∈）的图像不．可能．．是（）A ．B ．C ．D ．7．设函数()()211ln 2f x x a x a x =-++有两个零点，则实数a 的取值范围为（）A ．()1,0-B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()0,1D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭8．已知21232m x dx =-⎰，则4()(2)m m x y x y ++-中33x y 的系数为（）A ．80-B ．40-C ．40D ．80二、填空题9．211x dx x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰＝________．10．若211(2)3ln 2mx dx x+=+⎰，则实数m 的值为____________.11．设R a ∈，若不等式ln xa x>在()1,x ∈+∞上恒成立，则a 的取值范围是______.三、解答题12．已知函数21(log )f x x x=-（1）求()f x 的表达式；（2）不等式2(2)()0t f t mf t +≥对于[1,2]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围．13．求由曲线2y x=与直线3x y +=所围图形的面积．14．已知函数3()2f x x ax b =++在2x =-处取得极值．（1）求实数a 的值；（2）若函数()y f x =在[0,4]内有零点，求实数b 的取值范围．15．已知函数()ln f x ax x x =+的图像在e x =（e 为自然对数的底数）处取得极值.(1)求实数a 的值；(2)若不等式()(1)f x k x >+在[e,)+∞恒成立，求k 的取值范围.参考答案：1．C 【解析】【分析】利用两个重要的不等式1x e x ≥+，ln 1≤-x x 说明大小即可【详解】先用导数证明这两个重要的不等式①1x e x ≥+，当且仅当0x =时取“=”()1x y e x =-+'1x y e =-()',0,0x y ∈-∞<，函数递减，()'0,,0x y ∈+∞>函数递增故0x =时函数取得最小值为0故1x e x ≥+，当且仅当0x =时取“=”②ln 1≤-x x ，当且仅当1x =时取“=”()ln 1y x x =--'11y x=-()'0,1,0x y ∈>，函数递增，()'1,,0x y ∈+∞<函数递减，故1x =时函数取得最大值为0，故ln 1≤-x x ，当且仅当1x =时取“=”故991009911100100e->-+=1011011ln 1100100100c =<-=故选：C 2．C 【解析】根据积分的几何意义化为求20sin (sin )S xdx x dx πππ=+-⎰⎰可得结果.【详解】曲线sin y x =，[0,2]x πÎ与x 轴所围成的面积20sin (sin )S xdx x dx πππ=+-⎰⎰20cos cos x xπππ=-+(cos cos 0)cos 2cos πππ=--+-(11)1(1)=---+--4=.故选：C 【点睛】结论点睛：由上下两条连续曲线2()y f x =与1()y f x =及两条直线x a =与x b =()b a >所围成的平面图形的面积为[]21()()baS f x f x dx =-⎰.3．A 【解析】【分析】根据题意求出利润函数的表达式，结合导数的性质进行求解即可.【详解】根据题意可得利润函数()()4e xf x x -=-，()e x f x -'=()()4e 5e x x x x ----=-，当5x >时，0,()f f x '<单调递减，当05x <<时，0,()f f x '>单调递增，所以当5x =时，函数()f x 取最大值，故选：A ．4．D 【解析】先求出不定积分，再代入上下限来求定积分.【详解】由题，2211231d 2d 22x x x x x --+⎛⎫=- ⎪++⎝⎭⎰⎰21[2ln(2)]x x -=-+(4ln 4)(2ln1)6ln 4=----=-.故选：D 【点睛】本题考查定积分的运算，属于基础题.【解析】【分析】根据定积分的几何意义求20202022a a +，再应用等差中项的性质求目标式的值.【详解】∵0x ⎰表示半径为2的四分之一圆面积(处于第一象限)，∴20202022044a a x π+==⎰，又{}n a 为等差数列，∴20212020202224a a a =+=，则()220212019202120232021312a a a a a ++==.故选：D.6．A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性，分类0a =，0a <和0a >三种情况分类讨论，结合选项，即可求解.【详解】由题意，函数2()()af x x a R x=+∈的定义域为(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞关于原点对称，且()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，图象关于原点对称，当0a =时，函数2()f x x =且(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，图象如选项B 中的图象；当0a <时，若0x >时，函数2()a f x x x =+，可得322()0x af x x-'=>，函数()f x 在区间(0,)+∞单调递增，此时选项C 符合题意；当0a >时，若0x >时，可得2()a f x x x =+，则3222()2a x af x x x x -'=-=，令()0f x '=，解得x =当x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以选项D 符合题意.故选：A.【解析】【分析】求出导函数()()()1x x a f x x--'=，分a 的符号，以及a 与1的大小关系讨论函数的单调性，从而分析其零点情况，得出答案.【详解】由()()211ln 2f x x a x a x =-++()0x >，则()()()()11x x a a f x x a x x--'=-++=，①0a <时，()f x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，0x →时，()f x →+∞，x →+∞时，()f x →+∞，所以，要使函数()f x 有2个零点，则()10f <，所以有102a -<<，②0a =时，()212f x x x =-在()0,∞+上只有1个零点，不符合题意，③01a <<时，()f x 在()0,a 上递增，在(),1a 上递减，在()1,+∞上递增，因为()21ln 02f a a a a a =--+<，所以()f x 在()0,∞+上不可能有2个零点，不符合题意，④1a =时，()f x 在()0,∞+上递增，不可能有2个零点，不符合题意，⑤1a >时，()f x 在()0,1上递增，在()1,a 上递减，在(),a +∞上递增，因为()1102f a =--<，所以()f x 在()0,∞+不可能有2个零点，综上，1,02a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，方程()f x 有两个零点.故选：B ．8．C 【解析】【分析】先计算积分得到m =1，利用二项式展开式对33x y 的构成进行分类，求出33x y 的系数.【详解】32232222213321122322(32)2(32)2[(3)|]2[(3)|]1m x dx x dx x dx x x x x =-=-+-=-+-=⎰⎰⎰，则45()(2)()(2)m m x y x y x y x y ++-=+-，5(2)x y -的通项公式555155(2)()(1)2r r r r r r r r r T C x y C x y ---+=⋅⋅-=-⋅⋅⋅⋅，则两个通项公式为5615(1)2r r r r r r x T C x y --+⋅=-⋅⋅⋅⋅，当3r =时3335440C x y -⋅⋅=-，55115(1)2r r r r r r y T C x y --++⋅=-⋅⋅⋅⋅，当2r =时2335880C x y ⋅⋅=，则33x y ⋅的系数为408040-+=.故选：C.【点睛】方法点睛：在与二项式定理有关的问题中，主要表现为一项式和三项式转化为二项式来求解；若干个二项式积的某项系数问题转化为乘法分配律问题.9．3ln 2+2【解析】【分析】直接利用微积分基本原理求211x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰的值.【详解】根据题意得211x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰=221113ln |ln 22(0)ln 2222x x +=+-+=+.故答案为3ln2+2【点睛】本题主要考查微积分基本原理求定积分，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.10．1【解析】【分析】先求12mx x+的原函数()F x ,再令(2)(1)3ln 2F F -=+即可.【详解】易得12mx x+的原函数2()ln F x x mx =+,所以211(2)(2)(1)3ln 2mx dx F F x +=-=+⎰,即ln 243ln 2m m +-=+,故1m =故答案为1【点睛】本题主要考查定积分的基本运算,属于基础题型.11．1e>a 【解析】【分析】构造ln ()xf x x=，利用导数求其最大值，结合已知不等式恒成立，即可确定a 的范围.【详解】令ln ()xf x x=，则21ln ()x f x x -'=且()1,x ∈+∞，若()0f x '>得：1e x <<；若()0f x '<得：e x >；所以()f x 在(1,e)上递增，在(e,)+∞上递减，故1()(e)ef x f ≤=，要使ln xa x >在()1,x ∈+∞上恒成立，即1e>a .故答案为：1e>a .12．（1）；（2）．【解析】【详解】试题分析：（1）令，利用换元法进行求解；（2）分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题．试题解析：（1）令，则，则，即；（2）22112(2)(222t t tt tm o -+-≥即1112(2)(2(20222t tt t t t tm +-+-≥1[1,2],202t tt ∈-> 2(21)t m ∴≥-+所以对于上恒成立；因为，即，所以考点：1．函数的解析式；2．不等式恒成立问题．13．32ln 22-．【解析】【分析】联立方程组，求得积分上限和下限，结合微积分基本定理，即可求解.【详解】由方程组32x y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1x =或2x =，由定积分的几何意义，可得面积为2221123=[(3)](32ln )|2ln 222x S x dx x x x --=--=-⎰.14．（1）6a =-；（2）1616b - ．【解析】【分析】（1）由题意可得(2)1220f a -=+='，从而可求出a 的值；（2）先对函数求导，求得函数的单调区间，从而可由函数的变化情况可知，要函数()y f x =在[0,4]内有零点，只要函数在[0,4]内的最大值大于等于零，最小值小于等于零，然后解不等式组可得答案【详解】解：（1）23()32,()2f x x a f x x ax b =+=++'在2x =-处取得极值，∴(2)1220f a -=+='，∴6a =-．经验证6a =-时，()f x 在2x =-处取得极值．（2）由（1）知32()12,()3123(2)(2)f x x x b f x x x x =-+=-=-+'，∴()y f x =极值点为2，2-．将x ，()f x ，()'f x 在[0,4]内的取值列表如下：x0(0,2)2(2,4)4()'f x /-0+/()f x b极小值16b -16b +由此可得，()y f x =在[0,4]内有零点，只需max min ()160,()160,f x b f x b =+⎧⎨=-⎩∴1616b -．15．(1)2a =-(2)ee 1k <-+【解析】【分析】（1）由(e)0f '=求得a 的值.（2）由()(1)f x k x >+分离常数k ，通过构造函数法，结合导数求得k 的取值范围.(1)因为()ln f x ax x x =+，所以()ln 1f x a x '=++，因为函数()ln f x ax x x =+的图像在点e x =处取得极值，所以(e)20f a '=+=，2a ∴=-，经检验，符合题意，所以2a =-；(2)由（1）知，()2ln f x x x x =-+，所以()1f x k x <+在[e,)+∞恒成立，即2ln 1x x x k x -+<+对任意e x ≥恒成立.令2ln ()1x x xg x x -+=+，则2ln 1()(1)x x g x x +-'=+.设()ln 1(e)h x x x x =+-≥，易得()h x 是增函数，所以min ()(e)e 0h x h ==>，所以2ln 1()0(1)x x g x x +-'=>+，所以函数()g x 在[e,)+∞上为增函数，答案第9页，共9页则min e ()(e)e 1g x g ==-+，所以e e 1k <-+.。
导数及定积分的应用小测试
选修2-2定积分测试姓名 学号 班级 考试时间为50分钟，满分110分，填空每个5分，7、8题每题10分，9题20分1、计算下列定积分的值（1）120(23)x x dx -=⎰ （2） 0sin cos x x dx π-⎰（）= （3）3221(2)x dx x -⎰= （4） dx e e x x ⎰-+10)( = （5）44cos 2___________xdx ππ-=⎰ （6） =+-⎰-dx bx ax x )(sinm311 （7）1201x dx -=⎰ （8）=-⎰dx x x 3122 2、 如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置8cm 处，则克服弹力所做的功为 .3、 一物体沿直线以2v 2--=t t t ）（（t 的单位：s,v 的单位：m/s ）的速度运动，则物体在0—4s 内所走过的位移为 ，路程为 .4、已知函数1)2cos 2(sin2cos sin )(23+++-=x x x x x f ，则函数)(x f 在[]ππ，-上的最小值为 5、设函数0),()().0()(00102≤=≠+=⎰x x f dx x f a c ax x f 且若，则=0x .6、已知函数=-'=)4(,cos sin )3()(ππf x x f x f 则 7、 求792+=-=x y x y 与围成图形的面积。
8、求由曲线142222++-=+-=x x y x x y 与所围成的图形的面积.9、在R 上定义运算⊗：bc b q c p q p 4))((31+---=⊗(b,c 为常数)，记)()()(.,2)(,2)(21221x f x f x f R x b x x f c x x f ⊗=∈-=-=令.若函数)(x f 在x=1处有极值34-. （1）确定b,c 的值. （2）求曲线y=)(x f 在x=0处的切线与坐标轴围成图形的面积.（3）若对于任意的的范围成立，求都有a ax x f x 3)(]10,0(-≤∈.。
十年高考真题分类汇编 数学 专题 导数与定积分
8.(2016·四川·理 T9)设直线 l 1,l 2 分别是函数 f(x)={lnx ,x > 1十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题 04 导数与定积分1.(2019·全国 2·T 文 T10)曲线 y=2sin x+cos x 在点(π,-1)处的切线方程为()A.x-y-π-1=0B.2x-y-2π-1=0C.2x+y-2π+1=0D.x+y-π+1=02.(2019·全国 3·T 理 T6 文 T7)已知曲线 y=ae x +xln x 在点(1,ae)处的切线方程为 y=2x+b,则 ()A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e -1,b=1D.a=e -1,b=-13.(2018·全国 1·理 T5 文 T6)设函数 f(x)=x 3+(a-1)x 2+ax,若 f(x)为奇函数,则曲线 y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x4.(2017·全国 2·理 T11)若 x=-2 是函数 f(x)=(x 2+ax-1)e x-1 的极值点,则 f(x)的极小值为()A.-1B.-2e -3C.5e -3D.15.(2017·浙江·T7)函数 y=f(x)的导函数 y=f'(x)的图象如图所示,则函数 y=f(x)的图象可能是 ()6.(2016·山东·理 T10)若函数 y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称 y=f(x)具有 T 性质.下列函数中具有 T 性质的是()A.y=sin xB.y=ln xC.y=e xD.y=x 37.(2016·全国 1·文 T12)若函数 f(x)=x-1sin 2x+asin x 在(-∞,+∞)单调递增,则 a 的取值范围是( )3A.[-1,1]C.[- 1 , 1]3 3B.[-1, 1]3D.[-1,- 1]3-lnx ,0 < x < 1, 图象上点 P 1,P 2 处的切线,l 1 与 l 2 垂直相交于点 P,且 l 1,l 2 分别与 y 轴相交于点 A,B,则△PAB 的面积的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+∞)D.(1,+∞)m 29.(2015·全国 2·理 T12)设函数 f'(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当 x>0 时,xf'(x)-f(x)<0,则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)10.(2015·全国 1·理 T12)设函数 f(x)=e x (2x-1)-ax+a,其中 a<1,若存在唯一的整数 x 0 使得 f(x 0)<0,则 a的取值范围是( )A.[- 3 ,1)2eC.[ 3 , 3)2e 4B.[- 3 , 3)2e 4D.[ 3 ,1)2e11.(2014·全国 1·理 T11 文 T12)已知函数 f(x)=ax 3-3x 2+1,若 f(x)存在唯一的零点 x 0,且 x 0>0,则 a 的取值范围是( )A.(2,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,-2)D.(-∞,-1)12.(2014·江西,理 8)若 f(x)=x 2+2∫1 f(x)dx,则∫1 f(x)dx=()A.-1B.-13C.13D.113.(2014·全国 2·理 T8)设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a=()A.0B.1C.2D.314.(2014·全国 2·文 T11)若函数 f(x)=kx-ln x 在区间(1,+∞)单调递增,则 k 的取值范围是()A.(-∞,-2]B.(-∞,-1]C.[2,+∞)D.[1,+∞)15.(2014·全国 2·理 T12)设函数 f(x)=√3sin πx .若存在 f(x)的极值点 x 0 满足x 0+[f(x 0)]2<m 2,则 m 的取值范围是( )A.(-∞,-6)∪(6,+∞)B.(-∞,-4)∪(4,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)16.(2014·湖北·理 T6)若函数 f(x),g(x)满足∫1f(x)g(x)dx=0,则称 f(x),g(x)为区间[-1,1]上的一组-1正交函数.给出三组函数:①f(x)=sin 1x,g(x)=cos 1x;22②f(x)=x+1,g(x)=x -1;3B.2C.83D.16√25 B.4③f(x)=x,g(x)=x 2.其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是()A.0B.1C.2D.317.(2014·山东,理 6)直线 y=4x 与曲线 y=x 3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A.2√2B.4√2C.2D.418.(2013·北京,理 7)直线 l 过抛物线 C:x 2=4y 的焦点且与 y 轴垂直,则 l 与 C所围成的图形的面积等于() A.4319.(2013·全国 2·理 T10 文 T11)已知函数 f(x)=x 3+ax 2+bx+c,下列结论中错误的是()A.∃x 0∈R,f(x 0)=0B.函数 y=f(x)的图象是中心对称图形C.若 x 0 是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(-∞,x 0)单调递减D.若 x 0 是 f(x)的极值点,则 f'(x 0)=020.(2013·湖北,理 7)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度 v(t)=7-3t+ 25 (t 的单1+t位:s,v 的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是()A.1+25ln 5C.4+25ln 5B.8+25ln 113D.4+50ln 221.(2012·湖北·理 T3)已知二次函数 y=f(x)的图象如图所示,则它与 x 轴所围图形的面积为()A.2π3C.32D.π222.(2011·全国,理 9)由曲线 y=√x ,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为()A.10B.4C.16D.63323.(2010·全国,理 3)曲线 y= x 在点(-1,-1)处的切线方程为()x+2A.y=2x+1B.y=2x-1C.y=-2x-3D.y=-2x-224.(2010·全国·文 T4)曲线 y=x 3-2x+1 在点(1,0)处的切线方程为()A.y=x-1B.y=-x+1C.y=2x-2D.y=-2x+225.(2019·全国1·T13)曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为.26.(2019·天津·文T11)曲线y=cos x-x在点(0,1)处的切线方程为.227.(2019·江苏,11)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是.28.(2018·天津·文T10)已知函数f(x)=e x ln x,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(1)的值为.29.(2018·全国2·理T13)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为.30.(2018·全国2·文T13)曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线方程为.31.(2018·全国3,理14)直线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=.32.(2018·江苏·T11)若函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为.33.(2017·全国1,文14)曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为.34.(2017·天津,文10)已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为.35.(2017·山东·理T15)若函数e x f(x)(e=2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为.①f(x)=2-x②f(x)=3-x③f(x)=x3④f(x)=x2+236.(2017·江苏·T11)已知函数f(x)=x3-2x+e x-1,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数ae x的取值范围是.37.(2016·全国2·理T16)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=.38.(2015·全国1·文T14)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a=.39.(2015·全国2·文T16)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=.40.(2015·陕西·理T15)设曲线y=e x在点(0,1)处的切线与曲线y=1(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐x标为.41.(2015·天津,理11)曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为______________.42.(2015·陕西·理T16)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大, 42时,证明f(x)+g(x)2-x≥0;(3)设xn 为函数u(x)=f(x)-1在区间2nπ+π,2nπ+π内的零点,其中n∈N,证明2nπ+π-xn<sinx0-cosx0流量的比值为.43.(2012·上海·理T13)已知函数y=f(x)的图象是折线段ABC,其中A(0,0),B(1,5),C(1,0).函数2y=xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为________________.44.(2012·全国·文T13)曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为.45.(2012·山东·理T15)设a>0.若曲线y=√x与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a2,则a=.46.(2019·全国3·文T20)已知函数f(x)=2x3-ax2+2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当0<a<3时,记f(x)在区间[0,1]的最大值为M,最小值为m,求M-m的取值范围.47.(2019·浙江·T22)已知实数a≠0,设函数f(x)=aln x+√1+x,x>0.(1)当a=-3时,求函数f(x)的单调区间;4(2)对任意x∈1,+∞均有f(x)≤√x,求a的取值范围.e22a注:e=2.71828…为自然对数的底数.48.(2019·全国2,文21,12分,难度)已知函数f(x)=(x-1)ln x-x-1.证明:(1)f(x)存在唯一的极值点;(2)f(x)=0有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.49.(2019·江苏,19,16分,难度)设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,c∈R,f'(x)为f(x)的导函数.(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值;(2)若a≠b,b=c,且f(x)和f'(x)的零点均在集合{-3,1,3}中,求f(x)的极小值;(3)若a=0,0<b≤1,c=1,且f(x)的极大值为M,求证:M≤4.2750.(2019·全国3·理T20)已知函数f(x)=2x3-ax2+b.(1)讨论f(x)的单调性;(2)是否存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,说明理由.51.(2019·天津·理T20)设函数f(x)=e x cos x,g(x)为f(x)的导函数.(1)求f(x)的单调区间;(2)当x∈πππ42252.(2019·全国1·理T20)已知函数f(x)=sin x-ln(1+x),f'(x)为f(x)的导数.证明:e-2nπ.(3)证明当 a≥e e 时,存在直线 l,使 l 是曲线 y=f(x)的切线,也是曲线 y=g(x)的切线.(1)f'(x)在区间(-1,π)存在唯一极大值点;2(2)f(x)有且仅有 2 个零点.53.(2019·全国 1·文 T20)已知函数 f(x)=2sin x-xcos x-x,f'(x)为 f(x)的导数.(1)证明:f'(x)在区间(0,π)存在唯一零点;(2)若 x∈[0,π]时,f(x)≥ax,求 a 的取值范围.54.(2019·全国 2·理 T20)已知函数 f(x)=ln x-x+1.x -1(1)讨论 f(x)的单调性,并证明 f(x)有且仅有两个零点;(2)设 x 0 是 f(x)的一个零点,证明曲线 y=ln x 在点 A(x 0,ln x 0)处的切线也是曲线 y=e x 的切线.55.(2019·天津·文 T20)设函数 f(x)=ln x-a(x-1)e x ,其中 a∈R.(1)若 a≤0,讨论 f(x)的单调性;(2)若 0<a<1,e①证明 f(x)恰有两个零点;②设 x 0 为 f(x)的极值点,x 1 为 f(x)的零点,且 x 1>x 0,证明 3x 0-x 1>2.56.(2018·全国 2·理 T21)已知函数 f(x)=e x -ax 2.(1)若 a=1,证明:当 x≥0 时,f(x)≥1;(2)若 f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求 a.57.(2018·全国 2·文 T21 度)已知函数 f(x)=1x 3-a(x 2+x+1).3(1)若 a=3,求 f(x)的单调区间;(2)证明:f(x)只有一个零点.58.(2018·天津·理 T20)已知函数 f(x)=a x ,g(x)=log a x,其中 a>1.(1)求函数 h(x)=f(x)-xln a 的单调区间;(2)若曲线 y=f(x)在点(x 1,f(x 1))处的切线与曲线 y=g(x)在点(x 2,g(x 2))处的切线平行,证明 x 1+g(x 2)=-2lnlna ;159.(2018·天津·文 T20)设函数 f(x)=(x-t 1)(x-t 2)(x-t 3),其中 t 1,t 2,t 3∈R,且 t 1,t 2,t 3 是公差为 d 的等差数列.(1)若 t 2=0,d=1,求曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)若 d=3,求 f(x)的极值;(3)已知函数 f(x)=-x 2be +a,g(x)= .对任意 a>0,判断是否存在 b>0,使函数 f(x)与 g(x)在区间(0,+∞)内存在(2)若 f(x)存在两个极值点 x 1,x 2,证明:f (x 1)-f (x 2)<a-2. 65.(2018·全国 3,文 21,12 分,难度)已知函数 f(x)=ax +x -1.(3)若曲线 y=f(x)与直线 y=-(x-t 2)-6 √3有三个互异的公共点,求 d 的取值范围.60.(2018·北京·理 T18 文 T19)设函数 f(x)=[ax 2-(4a+1)x+4a+3]e x .(1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与 x 轴平行,求 a;(2)若 f(x)在 x=2 处取得极小值,求 a 的取值范围.61.(2018·江苏·T19)记 f'(x),g'(x)分别为函数 f(x),g(x)的导函数.若存在 x 0∈R,满足 f(x 0)=g(x 0),且f'(x 0)=g'(x 0),则称 x 0 为函数 f(x)与 g(x)的一个“S 点”. (1)证明:函数 f(x)=x 与 g(x)=x 2+2x-2 不存在“S 点”;(2)若函数 f(x)=ax 2-1 与 g(x)=ln x 存在“S 点”,求实数 a 的值;xx“S 点”,并说明理由.62.(2018·全国 1·理 T21)已知函数 f(x)=1-x+aln x.x(1)讨论 f(x)的单调性;x 1-x 263.(2018·全国 1·文 T21)已知函数 f(x)=ae x -ln x-1.(1)设 x=2 是 f(x)的极值点,求 a,并求 f(x)的单调区间;(2)证明:当 a≥ 时,f(x)≥0.64.(2018·全国 3·理 T21)已知函数 f(x)=(2+x+ax 2)ln(1+x)-2x.(1)若 a=0,证明:当-1<x<0 时,f(x)<0;当 x>0 时,f(x)>0;(2)若 x=0 是 f(x)的极大值点,求 a.2 e x(1)求曲线 y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程;(2)证明:当 a≥1 时,f(x)+e≥0.66.(2018·浙江·T22)已知函数 f(x)=√x -ln x.(1)若 f(x)在 x=x 1,x 2(x 1≠x 2)处导数相等,证明:f(x 1)+f(x 2)>8-8ln 2;(2)若 a≤3-4ln 2,证明:对于任意 k>0,直线 y=kx+a 与曲线 y=f(x)有唯一公共点.67.(2018·江苏·T17)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆 O 的一段圆弧 MPN(P 为此圆弧的中点)和线段 MN 构成.已知圆 O 的半径为 40 米,点 P 到 MN 的距离为 50 米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形 ABCD,大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP,要求 A,B 均在线段 MN 上,C,D 均在圆弧上.设OC 与 MN 所成的角为 θ .2 2n11q q1(1)用 θ 分别表示矩形 ABCD 和△CDP 的面积,并确定 sin θ 的取值范围;(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4∶3.求当 θ 为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.68.(2017·全国 3·理 T21)已知函数 f(x)=x-1-aln x.(1)若 f(x)≥0,求 a 的值;(2)设 m 为整数,且对于任意正整数 n,(1 + 1) (1 + 2 ) … (1 + 2 )<m,求 m 的最小值.69.(2017·全国 2·文 T21)设函数 f(x)=(1-x 2)e x .(1)讨论 f(x)的单调性;(2)当 x≥0 时,f(x)≤ax+1,求 a 的取值范围.70.(2017·天津·文 T19)设 a,b∈R,|a|≤1.已知函数 f(x)=x 3-6x 2-3a(a-4)x+b,g(x)=e x f(x).(1)求 f(x)的单调区间;(2)已知函数 y=g(x)和 y=e x 的图象在公共点(x 0,y 0)处有相同的切线,①求证:f(x)在 x=x 0 处的导数等于 0;②若关于 x 的不等式 g(x)≤e x 在区间[x 0-1,x 0+1]上恒成立,求 b 的取值范围. 71.(2017·全国 3·文 T21)已知函数 f(x)=ln x+ax 2+(2a+1)x.(1)讨论 f(x)的单调性;(2)当 a<0 时,证明 f(x)≤- 3 -2.4a72.(2017·天津·理 T20)设 a∈Z,已知定义在 R 上的函数 f(x)=2x 4+3x 3-3x 2-6x+a 在区间(1,2)内有一个零点x 0,g(x)为 f(x)的导函数.(1)求 g(x)的单调区间;(2)设 m∈[1,x 0)∪(x 0,2],函数 h(x)=g(x)(m-x 0)-f(m),求证:h(m)h(x 0)<0;(3)求证:存在大于 0 的常数 A,使得对于任意的正整数 p,q,且p ∈[1,x 0)∪(x 0,2],满足|p -x 0| ≥ Aq 4.73.(2017·全国 1·理 T21)已知函数 f(x)=ae 2x +(a-2)e x -x.(1)讨论 f(x)的单调性;(2)若 f(x)有两个零点,求 a 的取值范围.(2)证明:当 a∈[0,1)时,函数 g(x)=e -ax -a (x>0)有最小值.设 g(x)的最小值为 h(a),求函数 h(a)的值域.(3)设 a>0,函数 g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于 .1．．． 74.(2017·全国 1·文 T21)已知函数 f(x)=e x (e x -a)-a 2x.(1)讨论 f(x)的单调性;(2)若 f(x)≥0,求 a 的取值范围.75.(2017·全国 2·理 T21)已知函数 f(x)=ax 2-ax-xln x,且 f(x)≥0.(1)求 a;(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点 x 0,且 e -2<f(x 0)<2-2.76.(2017·山东·理 T20)已知函数 f(x)=x 2+2cos x,g(x)=e x (cos x-sin x+2x-2),其中 e≈2.718 28…是自然对数的底数.(1)求曲线 y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程.(2)令 h(x)=g(x)-af(x)(a∈R),讨论 h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.77.(2017·江苏·T20)已知函数 f(x)=x 3+ax 2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数 f'(x)的极值点是 f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求 b 关于 a 的函数关系式,并写出定义域;(2)证明:b 2>3a;(3)若 f(x),f'(x)这两个函数的所有极值之和不小于-7,求 a 的取值范围.278.(2017·北京·理 T19)已知函数 f(x)=e x cos x-x.(1)求曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求函数 f(x)在区间[0, π]上的最大值和最小值.279.(2017·浙江·T20)已知函数 f(x)=(x-√2x -1)e -x (x ≥ 1).2(1)求 f(x)的导函数;(2)求 f(x)在区间[1 , + ∞)上的取值范围.280.(2016·全国 2·理 T21)(1)讨论函数 f(x)= x -2 e x 的单调性,并证明当 x>0 时,(x-2)e x +x+2>0;x+2xx 281.(2016·天津,理 20,12 分,难度)设函数 f(x)=(x-1)3-ax-b,x∈R,其中 a,b∈R.(1)求 f(x)的单调区间;(2)若 f(x)存在极值点 x 0,且 f(x 1)=f(x 0),其中 x 1≠x 0,求证:x 1+2x 0=3;482.(2016·全国 2·文 T20)已知函数 f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).(1)当 a=4 时,求曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)若当 x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求 a 的取值范围.83.(2016·四川·文 T21)设函数 f(x)=ax 2-a-ln x,g(x)=1 − e 其中 a∈R,e=2.718…为自然对数的底数.xe x(1)讨论 f(x)的单调性;(2)证明:当 x>1 时,g(x)>0;(3)确定 a 的所有可能取值,使得 f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立.84.(2016·全国 3·理 T21)设函数 f(x)=αcos 2x+(α-1)(cos x+1),其中 α>0,记|f(x)|的最大值为 A.(1)求 f'(x);(2)求 A;(3)证明|f'(x)|≤2A.85.(2016·全国 3·文 T21)设函数 f(x)=ln x-x+1.(1)讨论 f(x)的单调性;(2)证明当 x∈(1,+∞)时,1<x -1<x;lnx(3)设 c>1,证明当 x∈(0,1)时,1+(c-1)x>c x .86.(2016·全国 1,理 21,12 分,难度)已知函数 f(x)=(x-2)e x +a(x-1)2 有两个零点.(1)求 a 的取值范围;(2)设 x 1,x 2 是 f(x)的两个零点,证明:x 1+x 2<2.87.(2016·全国 1·文 T21)已知函数 f(x)=(x-2)e x +a(x-1)2.(1)讨论 f(x)的单调性;(2)若 f(x)有两个零点,求 a 的取值范围.88.(2016·北京·理 T18)设函数 f(x)=xe a-x +bx,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y=(e-1)x+4.(1)求 a,b 的值;(2)求 f(x)的单调区间.89.(2016·山东·文 T20)设 f(x)=xln x-ax 2+(2a-1)x,a∈R.(1)令 g(x)=f'(x),求 g(x)的单调区间;(2)已知 f(x)在 x=1 处取得极大值.求实数 a 的取值范围.90.(2015·山东·理 T21)设函数 f(x)=ln(x+1)+a(x 2-x),其中 a∈R.(1)讨论函数 f(x)极值点的个数,并说明理由;97.(2015·北京·文 T19)设函数x f(x)= -kln x,k a (1)当 b= +1 时,求函数 f(x)在[-1,1]上的最小值 g(a)的表达式; a (2)若∀x>0,f(x)≥0 成立,求 a 的取值范围.91.(2015·全国 2·文 T21)已知函数 f(x)=ln x+a(1-x).(1)讨论 f(x)的单调性;(2)当 f(x)有最大值,且最大值大于 2a-2 时,求 a 的取值范围.92.(2015·全国 2·理 T21)设函数 f(x)=e mx +x 2-mx.(1)证明:f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增;(2)若对于任意 x 1,x 2∈[-1,1],都有|f(x 1)-f(x 2)|≤e -1,求 m 的取值范围.93.(2015·全国 1·文 T21)设函数 f(x)=e 2x -aln x.(1)讨论 f(x)的导函数 f'(x)零点的个数;(2)证明:当 a>0 时,f(x)≥2a+aln 2.a94.(2015·天津·理 T20)已知函数 f(x)=nx-x n ,x∈R,其中 n∈N *,且 n≥2.(1)讨论 f(x)的单调性;(2)设曲线 y=f(x)与 x 轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P 处的切线方程为 y=g(x),求证:对于任意的正实数 x,都有 f(x)≤g(x);(3)若关于 x 的方程 f(x)=a(a 为实数)有两个正实数根 x 1,x 2,求证:|x 2-x 1|<1-n +2.95.(2015·全国 1·理 T21)已知函数 f(x)=x 3+ax+1,g(x)=-lnx. 4(1)当 a 为何值时,x 轴为曲线 y=f(x)的切线;(2)用 min{m,n}表示 m,n 中的最小值,设函数 h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),讨论 h(x)零点的个数.96.(2015·江苏·理 T19)已知函数 f(x)=x 3+ax 2+b(a,b∈R).(1)试讨论 f(x)的单调性;(2)若 b=c-a(实数 c 是与 a 无关的常数),当函数 f(x)有三个不同的零点时,a 的取值范围恰好是(-∞,-3)∪(1, 3) ∪ (3 , + ∞),求 c 的值. 2 22 2 (1)求 f(x)的单调区间和极值;(2)证明:若 f(x)存在零点,则 f(x)在区间(1,√e ]上仅有一个零点.98.(2015·浙江·文 T20)设函数 f(x)=x 2+ax+b(a,b∈R).2 4(2)已知函数 f(x)在[-1,1]上存在零点,0≤b -2a≤1.求 b 的取值范围.x 102.(2014·全国 1 ·理 T21) 设函数 f(x)=ae ln x+be x , 曲线 y=f(x) 在点 (1,f(1)) 处的切线方程为 a 99.(2014·全国 2·文 T21)已知函数 f(x)=x 3-3x 2+ax+2,曲线 y=f(x)在点(0,2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为-2.(1)求 a;(2)证明:当 k<1 时,曲线 y=f(x)与直线 y=kx-2 只有一个交点.100.(2014·全国 2·理 T21)已知函数 f(x)=e x -e -x -2x.(1)讨论 f(x)的单调性;(2)设 g(x)=f(2x)-4bf(x),当 x>0 时,g(x)>0,求 b 的最大值;(3)已知 1.414 2<√2<1.414 3,估计 ln 2 的近似值(精确到 0.001).101.(2014·全国 1·文 T21)设函数 f(x)=aln x+1-a x 2-bx(a≠1),曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为 20.(1)求 b;(2)若存在 x 0≥1,使得 f(x 0)<a -1,求 a 的取值范围.x -1y=e(x-1)+2.(1)求 a,b;(2)证明:f(x)>1.103.(2013·全国 2·理 T21)已知函数 f(x)=e x -ln(x+m).(1)设 x=0 是 f(x)的极值点,求 m,并讨论 f(x)的单调性;(2)当 m≤2 时,证明 f(x)>0.104.(2013·全国 2·文 T21)已知函数 f(x)=x 2e -x .(1)求 f(x)的极小值和极大值;(2)当曲线 y=f(x)的切线 l 的斜率为负数时,求 l 在 x 轴上截距的取值范围.105.(2013·重庆·文 T20)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为 r米,高为 h 米,体积为 V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为 100 元/平方米,底面的建造成本为 160 元/平方米,该蓄水池的总建造成本为 12000π 元(π 为圆周率).(1)将 V 表示成 r 的函数 V(r),并求该函数的定义域;(2)讨论函数 V(r)的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大.106.(2013·全国 1·理 T21)设函数 f(x)=x 2+ax+b,g(x)=e x (cx+d).若曲线 y=f(x)和曲线 y=g(x)都过点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y=4x+2.(1)求a,b,c,d的值;(2)若x≥-2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.107.(2013·全国1·文T20)已知函数f(x)=e x(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.(1)求a,b的值;(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.108.(2012·全国·理T21)已知函数f(x)满足f(x)=f'(1)e x-1-f(0)x+1x2.2(1)求f(x)的解析式及单调区间;(2)若f(x)≥1x2+ax+b,求(a+1)b的最大值.2109.(2012·全国·文T21)设函数f(x)=e x-ax-2.(1)求f(x)的单调区间;(2)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k)f'(x)+x+1>0,求k的最大值.110.(2012·全国·文T21)设函数f(x)=e x-ax-2.(1)求f(x)的单调区间;(2)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k)f'(x)+x+1>0,求k的最大值.111.(2011·山东·理T21)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为80π立方米,且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表3面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元.设该容器的建造费用为y千元.(1)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域;(2)求该容器的建造费用最小时的r.112.(2011·全国·理T21)已知函数f(x)=alnx+b,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.x+1x(1)求a,b的值;(2)如果当x>0,且x≠1时,f(x)>lnx+k,求k的取值范围.x-1x113.(2011·全国·文T21)已知函数f(x)=(1)若a=>,求f(x)的单调区间;x+1+,曲线b alnxx(1)求a,b的值;(2)证明:当x>0,且x≠1时,f(x)>lnx.x-1114.(2010·全国·理T21)设函数f(x)=e x-1-x-ax2.(1)若a=0,求f(x)的单调区间;(2)若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围.115.(2010·全国·文T21)设函数f(x)=x(e x-1)-ax2.12(2)若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围.y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.。
第二章 第九节 导数概念及其运算、定积分
[课时作业·巩固练习] 实战演练 夯基提能[A 组 基础保分练]1．若函数y ＝x m 的导函数为y ′＝6x 5，则m ＝( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：因为y ＝x m ，所以y ′＝mx m －1，与y ′＝6x 5相比较，可得m ＝6. 答案：C2．(2020·青岛模拟)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 018(x )＝( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x解析：∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，…，∴f n (x )的解析式以4为周期重复出现，∵2 018＝4×504＋2，∴f 2 018(x )＝f 2(x )＝－sin x ＋cos x ，故选C.答案：C3．曲线f (x )＝x 2＋a x ＋1在点(1，f (1))处切线的倾斜角为3π4，则实数a ＝( )A ．1B ．－1C ．7D ．－7解析：f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2＝x 2＋2x －a(x ＋1)2，又∵f ′(1)＝tan 3π4＝－1，∴a ＝7.答案：C4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2f ′(e)x ＋ln x ，则f ′(e)＝( ) A.1e B ．e C ．－1eD ．－e解析：由f (x )＝2f ′(e)x ＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，则f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ⇒f ′(e)＝－1e.故选C.答案：C5．定积分⎠⎛1(2x＋e x)d x的值为()A．e＋2 B．e＋1C．e D．e－1解析：⎠⎛1(2x＋e x)d x＝(x2＋e x)|10＝(1＋e)－(0＋e0)＝e，因此选C.答案：C6．(2020·合肥模拟)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝()A．－1 B．0C．2 D．4解析：由题意，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，结合图象可知其切点为(3,1)，将其代入直线方程得k＝－13，所以f′(3)＝－13，且g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，所以g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0.答案：B7．(2020·威海质检)已知函数f(x)＝x ln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为()A．x＋y－1＝0 B．x－y－1＝0C．x＋y＋1＝0 D．x－y＋1＝0解析：设直线l的方程为y＝kx－1，直线l与f(x)的图象的切点为(x0，y0)，则⎩⎪⎨⎪⎧kx0－1＝y0，x0ln x0＝y0，ln x0＋1＝k，解得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝1，y0＝0，k＝1.所以直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.答案：B8．若曲线f(x)＝x sin x＋1在x＝π2处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a＝________.解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，所以f ′⎝⎛⎭⎫π2＝1，即函数f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线的斜率是1.因为直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率是－a2，所以⎝⎛⎭⎫－a 2×1＝－1，解得a ＝2. 答案：29．(2020·金华十校联考)若函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围为________．解析：函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，即f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解，又f ′(x )＝1x ＋a ，即1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，即a ＝2－1x 在(0，＋∞)上有解，因为x ＞0，所以2－1x＜2，所以实数a 的取值范围是(－∞，2)．答案：(－∞，2)[B 组 能力提升练]1．(2020·安徽示范高中高三测试)设函数f (x )＝x ln x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－x －1B ．y ＝x ＋1C ．y ＝－x ＋1D ．y ＝x －1解析：∵f ′(x )＝ln x ＋1，∴f ′(1)＝1，∴曲线y ＝f (x )在点(1,0)处的切线方程为y ＝x －1，故选D.答案：D2．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1 C.32D. 3解析：由题意知＝32－(－32)＝ 3. 答案：D3．(2020·福建五校第二次联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln (－x ＋1)，x ＜0，x 2＋3x ，x ≥0，若f (x )－(m ＋2)x ≥0，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[－2,1]C ．[0,3]D ．[3，＋∞)解析：令g (x )＝x 2＋3x (x ≥0)，所以g ′(x )＝2x ＋3，所以g ′(0)＝3，所以函数g (x )的图象在原点处的切线方程为y ＝3x ，故函数f (x )的图象在原点处的一条切线方程为y ＝3x .如图所示，先画出函数f (x )的图象以及切线y ＝3x ，再让直线y ＝(m ＋2)x 绕原点旋转，分析可知，为满足f (x )－(m ＋2)x ≥0，即f (x )≥(m ＋2)x ，则0≤m ＋2≤3，解得－2≤m ≤1.故选B.答案：B4．(2020·成都市摸底测试)已知函数f (x )＝x sin x ，其导函数为f ′(x )，则f ′⎝⎛⎭⎫π2的值为________．解析：由已知，得f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，所以f ′⎝⎛⎭⎫π2＝sin π2＋π2cos π2＝1. 答案：15．(2020·洛阳统考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，e x，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为________．解析：由题意知所求面积为⎠⎛-10 (x ＋1)d x ＋⎠⎛01e x d x ＝(⎪⎪⎪⎪12x 2＋x )0－1＋e x 10＝－(12－1)＋(e －1)＝e －12.答案：e －126．已知函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值；(2)当a ＝1时，若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )相切，求直线l 的方程．解析：(1)f ′(x )＝1－ae x ，因为曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，所以f ′(1)＝1－ae＝0，解得a ＝e.(2)当a＝1时，f(x)＝x－1＋1e x，f′(x)＝1－1e x.设切点为(x0，y0)，∵f(x0)＝x0－1＋1e x0＝kx0－1，①f′(x0)＝1－1e x0＝k，②①＋②得x0＝kx0－1＋k，即(k－1)(x0＋1)＝0.若k＝1，则②式无解，∴x0＝－1，k＝1－e.∴直线l的方程为y＝(1－e)x－1.7．已知函数f(x)＝e x(x2－2x＋a)(其中a∈R，a为常数，e为自然对数的底数)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设曲线y＝f(x)在(a，f(a))处的切线为l，当a∈[1,3]时，求直线l在y轴上截距的取值范围．解析：(1)f′(x)＝e x(x2－2x＋a)＋e x(2x－2)＝e x(x2＋a－2)，当a≥2时，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上单调递增；当a＜2时，f′(x)≥0⇔x2≥2－a⇔x≤－2－a或x≥2－a，函数f(x)在区间(－∞，－2－a]，[2－a，＋∞)上单调递增，在区间(－2－a，2－a)上单调递减．(2)f(a)＝e a(a2－a)，f′(a)＝e a(a2＋a－2)，所以直线l的方程为y－e a(a2－a)＝e a(a2＋a－2)(x－a)．令x＝0，得直线l在y轴上的截距为e a(－a3＋a)，记g(a)＝e a(－a3＋a)(1≤a≤3)，则g′(a)＝e a(－a3－3a2＋a＋1)，记h(a)＝－a3－3a2＋a＋1(1≤a≤3)，则h′(a)＝－3a2－6a＋1＜0(1≤a≤3)，所以h(a)在[1,3]上单调递减，所以h(a)≤h(1)＝－2＜0，所以g′(a)＜0，即g(a)在区间[1,3]上单调递减，所以g(3)≤g(a)≤g(1)，即直线l在y轴上截距的取值范围是[－24e3,0]．。
十年高考真题——导数,定积分,微积分
专题三 导数及其应用第七讲 导数的几何意义、定积分与微积分基本定理2019年1.（2019全国Ⅰ理13）曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________．2.（2019全国Ⅲ理6）已知曲线e ln x y a x x =+在点1e a （，）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==−， B ．a=e ，b =1C ．1e 1ab −=，D ．1e a −= ，1b =−2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)设函数32()(1)f x x a x ax =+−+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =−B ．y x =−C ．2y x =D ．y x =2．(2016年四川)设直线1l ,2l 分别是函数()f x = ln ,01,ln ,1,x x x x −<< >图象上点1P ，2P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0,+∞)D ．(1,+∞)3．（2016年山东）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是 A ．sin y x =B ．ln y x =C ．x y e =D ．3y x =4．(2015福建)若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =−，其导函数()f x ′满足()1f x k ′>> ，则下列结论中一定错误的是A ．11()f kk <B ．11()1f k k >−C ．11()11f k k <−− D ．1()11kf k k >−− 5．（2014新课标Ⅰ）设曲线ln(1)y ax x =−+在点(0,0)处的切线方程为2y x =，则a = A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．（2014山东）直线x y 4=与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为A ．22B ．24C ．2D ．4 7．（2013江西）若22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x ===∫∫∫则123,,S S S 的大小关系为A ．123S S S <<B ．213S S S <<C ．231S S S <<D ．321S S S << 8．（2012福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为A ．14 B ．15C ．16 D ．179．（2011新课标）由曲线y =，直线2y x =−及y 轴所围成的图形的面积为A ．103 B ．4 C ．163D ．6 10．（2011福建）1(2)x e x dx +∫等于A ．1B ．1e −C ．eD ．1e + 11．（2010湖南）421dx x∫等于 A ．2ln 2− B ．2ln 2 C ．ln 2− D ．ln 2 12．（2010新课标）曲线3y 21x x =−+在点(1,0)处的切线方程为A ．1y x =−B ．1y x =−+C ．22y x =−D ．22y x =−+ 13．（2010辽宁）已知点P 在曲线y=41xe +上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是A ．[0,4π) B ．[,)42ππC ．3(,]24ππD ．3[,)4ππ二、填空题14．(2018全国卷Ⅱ)曲线2ln(1)+yx 在点(0,0)处的切线方程为__________．15．(2018全国卷Ⅲ)曲线(1)x y ax e =+在点(0,1)处的切线的斜率为2−，则a =____． 16．(2016年全国Ⅱ)若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ．17．(2016年全国Ⅲ) 已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =−+，则曲线()y f x =，在点(1,3)−处的切线方程是_________．18．（2015湖南）2(1)x dx −∫= ．19．（2015陕西）设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为 ．20．（2015福建）如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4，函数()2f x x =，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ．（第15题） （第17题）21．（2014广东）曲线25+=−x e y 在点)3,0(处的切线方程为 ．22．（2014福建）如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______．23．（2014江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xbax y +=2(a ，b 为常数)过点)5,2(−P ，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是 ． 24．（2014安徽）若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：)(i 直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C ．下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3y x = ②直线1:−=x l 在点()0,1−P 处“切过”曲线C ：2)1(+=x y ③直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin = ④直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan = ⑤直线1:−=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y ln =．25．（2013江西）若曲线1y x α=+（R α∈）在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α= ． 26．(2013湖南)若209,Tx dx T =∫则常数的值为 ．27．（2013福建）当,1x R x ∈<时，有如下表达式:211.......1n x x x x+++++=− 两边同时积分得：1111122222200011.......1ndx xdx x dx x dx dx x+++++=−∫∫∫∫∫从而得到如下等式：23111111111()()...()...ln 2.2223212n n +×+×+×++×+=+ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：122311111111()()()2223212n n n n n n C C C C n +×+×+×+⋅⋅⋅+×+= ．28．（2012江西）计算定积分121(sin )x x dx −+=∫___________．29．（2012山东）设0>a ，若曲线x y =与直线0,==y a x 所围成封闭图形的面积为2a ，则=a ． 30．（2012新课标）曲线(3ln 1)yx x +在点(1,1)处的切线方程为________．31．（2011陕西）设2lg 0()30ax x f x x t dt x >= + ∫ ，若((1))1f f =，则a = ．32．（2010新课标）设()y f x =为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0()1f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算积分1()f x dx ∫，先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数12,,N x x x …和12,,N y y y …，由此得到N 个点(,)(1,2,)i i x y i N =…,，再数出其中满足()(1,2,)i i y f x i N ≤=…,的点数1N ，那么由随机模拟方案可得积分1()f x dx ∫的近似值为 ．33．（2010江苏）函数2y x =(0x >)的图像在点2(,)k k a a 处的切线与x 轴交点的横坐标为1k a +，其中*k N ∈，若116a =，则135a a a ++= ．三、解答题34．（2017北京）已知函数()cos x f x e x x =−．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值．35．(2016年北京)设函数()a x f x xe bx −=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =−+，（I ）求a ，b 的值； （II ）求()f x 的单调区间.36．（2015重庆）设函数23()()e xx ax f x a R +=∈． （Ⅰ）若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 在[3,)+∞上为减函数，求a 的取值范围． 37．（2015新课标Ⅰ）已知函数31()4f x x ax =++，()ln g x x =−． （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）用min {},m n 表示m ，n 中的最小值，设函数{}()min (),()h x f x g x =(0)x >，讨论()h x 零点的个数．38．(2014新课标Ⅰ)设函数1()ln x xbe f x ae x x−=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为(1)2y e x =−+． (Ⅰ)求,a b ；（Ⅱ）证明：()1f x >．39．（2013新课标Ⅱ）已知函数()()ln xf x e x m =−+ (Ι)设0x =是()f x 的极值点，求m ,并讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）当2m ≤时，证明()0f x >．40．（2012辽宁）设()()()=ln +1+,,,f x x ax b a b R a b ∈为常数，曲线()=y f x 与直线3=2y x 在()0,0点相切． （1）求,a b 的值；（2）证明：当0<<2x 时，()9<+6xf x x ． 41．（2010福建）（1）已知函数3()=f x x x −，其图象记为曲线C ．（i ）求函数()f x 的单调区间；（ii ）证明：若对于任意非零实数1x ，曲线C 与其在点111(,())P x f x 处的切线交于另一点222(,())P x f x ，曲线C 与其在点222(,())P x f x 处的切线交于另一点333(,())P x f x ，线段1223,PP P P 与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为1,2S S ，则12S S 为定值； （2）对于一般的三次函数32()g x ax bx cx d +++(0)a ≠，请给出类似于（1）（ii ）的正确命题，并予以证明．。
导数定积分复习
分
S V (t )dt y ' (t )dt y (b) y (a)
a a
2、几何意义及物理意义 例题10：智力报 P40 7，16，18
注意：1.“过某点的切线”与“在某点处的切线”不同 2.已知切点求切线则求导后直接代入 3. 切点不知，则设切点 ( x0 , y0 ) ，用 x0 表示 切线方程，再代其他条件
例题2：（1）智力报 P40 6 （2）《导数》练习卷 选择9，填空1，2
三、单调性与单调区间问题
1、求函数单调区间（注意：也可用表格法格式） （1）.确定函数f(x)的定义域. （2）.求出函数的导数. （3）.解不等式f ′(x)>0,得函数单增区间; 解不等式f′(x)<0,得函数单减区间.
sin x cos x ; cos x sin x;
x x x x a a ln a ; e e ;
log a x
1 1 ( a 0, a 1); ln x x ln a x f ( g ( x )) g ( x ) u v uv u uv uv uv; 2 v v
f ( g ( x))
(u v ) u v;
例题1：智力报P39 第17题
1 y 1 2x y log 2 (3 x 1) x y 1 x x y xe
二、与切线有关的问题
曲线在某点的切线方程
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ). （用切点横坐标表示）
五、最值问题
1、利用导数求闭区间 a, b 函数的最值
⑴ 求 y＝f(x)在(a，b)内的极值点；
⑵ 将 y＝f(x)的极值点的函数值与 f(a)，f(b)比较，其中 最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．(采用表格 法)
(必考题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．一物体作变速直线运动，其v t -曲线如图所示，则该物体在1s~6s 2间的运动路程为（ ）m ．A ．1B ．43C ．494D ．22．已知是i 虚数单位，复数()1a i z a R i -=∈-，若01||(sin )z x dx ππ=-⎰，则a =（ ）A ．±1B ．1C ．1-D ．12±3．曲线x y e =在点（0，1）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．3 4．如图，设D 是途中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数1(0)y x x=>图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E 的面积为（ ）A ．ln 2B ．1ln 2-C ．2ln 2-D ．1ln 2+ 5．一物体在力(单位:N)的作用下沿与力相同的方向,从x=0处运动到(单位:)处,则力做的功为( )．A ．44B ．46C ．48D ．50 6．若在R 上可导,,则( )A ．B ．C ．D ．7．图中阴影部分的面积用定积分表示为（ ）A ．12d xx ⎰B ．()121d xx -⎰C ．()1021d xx +⎰D ．()112d xx -⎰8．已知幂函数a y x =图像的一部分如下图，且过点(2,4)P ，则图中阴影部分的面积等于（ ）A ．163B ．83C ．43D ．239．一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力单位：N ，位移单位：m)作用力下，沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 直线运动到x ＝10 m 处做的功是( )． A ．925 JB ．850 JC ．825 JD ．800 J10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．4B ．2C ．43D ．2311．定积分()22xex dx +⎰的值为（ ）A ．1B ．2eC ．23e +D ．24e +12．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′π()6，则f π()3-与f π()3的大小关系是( ) A ．f π()3-＝f π()3B ．f π()3-＞f π()3 C ．f π()3-＜f π()3D ．不确定二、填空题13．232319x x dx -⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎰____________________. 14．已知曲线与直线所围图形的面积______.15．定积分211dx x⎰的值等于________. 16．由曲线2y x=，直线y =2x ，x =2所围成的封闭的图形面积为______． 17．由曲线x y e x =+与直线0,1,0x x y ===所围成图形的面积等于________． 18．曲线2yx 与直线2y x =所围成的封闭图形的面积为_______________.19．函数3y x x =-的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积等于_______．20．从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点M （x ，y ），则点M 取自阴影部分的概率为__．三、解答题21．求曲线y x =2y x =-及y 轴围成的封闭图形的面积.22．已知函数()221y f x x x ==-++和()1y g x x ==-，求：由()y f x =和()y g x =围成区域的面积.23．已知曲线C ：322321y x x x =--+，点1(,0)2P ，求过P 的切线l 与C 围成的图形的面积.24．设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+． （1）求()y f x =的表达式；（2）若直线(01)x t t =-<<把()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．25．在曲线2(0)y x x =≥上某一点A 处作一切线与曲线及坐标轴所围成图形的面积为112， 试求：（1）点A 的坐标； （2）过切点A 的切线方程. 26．计算由直线4,y x =-曲线y =x 轴所围图形的面积S 。
高二数学导数和定积分习题(含答案)
高二数学导数习题一：选择题1. 已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42. 曲线1323+-=x x y 在点（1，－1）处的切线方程为 （ ）A ．43-=x yB ．23+-=x yC ．34+-=x yD ．54-=x y3. 函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．44. 已知函数)(,31)(x f x x f 则处的导数为在=的解析式可能为 （ ）A ．)1(3)1()(2-+-=x x x fB ．)1(2)(-=x x fC ．2)1(2)(-=x x fD ．1)(-=x x f5. 函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）56. 函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( )（Ａ）(2,)+∞（Ｂ）(,2)-∞（Ｃ）(,0)-∞（Ｄ）(0,2)7. 若函数()c bx x x f ++=2的图象的顶点在第四象限，则函数()x f '的图象是（ ）8. 函数231()23f x x x =-在区间[0,6]上的最大值是（ ） x y o A xy o D x y o C x y o BA ．323B ．163C ．12D ．9二：填空题1. ()f x '是31()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是 。
2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+= 。
3. 曲线3x y =在点()1,1处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为__________。
4. 已知曲线31433y x =+，则过点(2,4)P “改为在点(2,4)P ”的切线方程是______________5. 已知()()n fx 是对函数()f x 连续进行n 次求导，若65()f x x x =+，对于任意x R ∈，都有()()n f x =0，则n 的最少值为 。
导数应用与定积分测试题及答案
导数应用与定积分测试题Ⅰ卷（选择题，共60分）一. 选择题（每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()lim h f x h f x h h→+--的值为（ ）A ．'0()f x B ．'02()f x C ．'02()f x - D ．02．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件 3．函数323922yx x x x 有（ ）A ．极大值5，极小值27-B ．极大值5，极小值11-C ．极大值5，无极小值D ．极小值27-，无极大值 4．函数x xy ln =的最大值为（ ） A ．1-e B ．e C ．2e D ．3105．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的 取值范围是（ ）A ．),3[]3,(+∞--∞B ．]3,3[-C ．),3()3,(+∞--∞D ．)3,3(-6. 设2(0)()2(0)xx x f x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则11()f x dx -⎰的值是 （ ） （A ）121x dx -⎰（B ）112xdx -⎰ （C ） 01212xx dx dx -+⎰⎰ （D ）01212xdx x dx -+⎰⎰7. 由曲线y = sinx ，y = cosx 和直线x = 0, x = 2π所围成的平面图形的面积，用定积分表示为（ ） A ．⎰-π)sin (cos dx x x B. ⎰-40)sin (cos πdx x x +⎰-ππ4)cos (sin dx x xC.⎰-π)cos (sin dx x xx D. ⎰-40)cos (sin πdx x x +⎰-ππ4)sin (cos dx x x8.（2008宁夏、海南）由直线12x =，2x =，曲线1y x=及x 轴所围图形的面积为 （ ）A154 B 174 C 1ln 22D 2ln 2 9.已知()f x 为偶函数且6()8f x dx =⎰，则66()f x dx -=⎰ ( )A 0B 4C 8D 1610.(2007临沂质检)一质点运动时速度与时间的关系为2()2v t t t =-+,质点作直线运动,则此物体在时间[]1,2内的位移为 ( )A176 B 143 C 136 D 11611.设2112log M xdx =⎰，2113log N xdx =⎰，则 （ ）A ．M N >B ．M N <C ．||||M N <D ．||||M N = 12.1(1ln )ex dx +⎰＝（ ）A ．2e B ．2e C ．e D ．1e -Ⅱ卷（非选择题，共90分）二. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡上）13．函数3()45f x x x =++的图像在1x =处的切线在x 轴上的截距为________________ 14.(2007惠州调研)定积分131(2)x x dx --⎰=__________________.15.(2007.广州测试)已知0t >,若(21)6tx dx -=⎰,则t =_________________.16.（2008山东）设函数2()(0)f x ax c a =+≠，若1000()(),0 1.f x dx f x x =≤≤⎰则0x 的值为＿＿＿＿.三. 解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（12分）计算下列定积分（1）222cos xdx ππ-⎰（2）34|2|x dx -+⎰ （3）1211e dx x +-⎰18. （12分）若2()(0)f x ax bx c a =++≠，且(1)4f =，'(1)1f =，11()36f x dx =⎰，求()f x .19．（12分）求函数543()551f x x x x =+++在区间[]4,1-上的最大值与最小值。
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解：（1）
由题意，
解得， .经检验，符合题意.
(2)由（1）知， 得，
f’(x)
+
0
—
0
+
f(x)
极大
极小
又
由上表知，f(x)在区间[-2,2]上，有
19.（12分）
解：由题意，不等式f(x)-m<0恒成立，即f(x)<m恒成立，即f(x)max<m
的定义域为（-1，+∞）
且 解得，
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
B
D
A
C
B
D
A
C
A
D
A
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.____________________ 14. ________________________
15.______________________ 16.________________________
（2）求函数f(x)在区间[-2.2]上的最大值与最小值.
19. (12分)已知 .
(1)若当 时，不等式 恒成立，数m的取值围；
(2)若关于x的方程 在区间[0,2]上恰有两个相异的实数根，数a的取值围.
20. (12分)一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10km/h时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以多大的速度航行时，能使每千米的费用总和最少？
3.函数 在 处的导数等于（）
A. 1 B.2 C.2 D.4
4.函数 的单调递减区间是（）
A. B. C. D.
5.若 ( )
A. 9 B.-3 C. 3 D. -3或3
6.已知函数 ，则函数 （）
A.在 处取得极小值B.在 处取得极大值
C.在 处取得极小值D.在 处取得极大值
7.函数f(x)在其定义域可导， 的图象如右图所示，则导函数 的图象为()
8.若函数 在区间[-2,-1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为（）
A.-5 B.7 C.10 D.-19
9．已知 在(1,2)存在单调递增区间，则 的取值围是（）
A. B. C. D.
10. （）
A. B. C. D.
11.已知函数 在 上单调增函数，则 的取值围是（）
A. B. C. D.
三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.(10分)
解：由已知， 的定义域为 ，且
解得，
x
(0,1)
1
(1,2)
2
(2,+∞)
f＇(x)
－
0
+
0
－
f(x)
极小值
极大值
（1） f(x)的单调增区间为（1,2），单调减区间为（0,1）和（2，+∞）
（2）由上表知，
16.已知函数 既存在极大值也存在极小值，则实数m的取值围是___________
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)若函数 .
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)的极值．
18. (12分)已知函数 在 与 处取得极值.
(1)求函数f(x)的解析式；
所以，函数f(x)在 和 上单调递增，在 上单调递减；
综上所述，
当 时，函数f(x)在(0,2)上单调递增，在(2,+∞)上单调递减；
当 时，函数f(x)在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，f(x)在（0，+∞）上单调递增.
当 时，函数f(x)在 和 上单调递增，在 上单调递减.
（2）当 时， ，依题意得 时，
又 ，所以， ，即 ，
所以 在(0，+∞)恒成立.从而， 在(0，+∞)上单调递增.
所以，在(0，+∞)上， ，所以，
22.（12分）
解：（1）函数 的定义域为（0，+∞）
当a=0时，
函数f(x)在(0,2)上单调递增，在(2,+∞)上单调递减；
当a≠0时， 得，
当a<0时，有：
x
f’(x)
+
0
—
f(x)
（1）在区间 上，有：
x
f’(x)
_
0
+
f(x)
极小
又 ，即
由上表可知， ,∴
（2）设 ，
，令 ，得 ，
0
（0，1）
1
（1，2）
2
－
0
＋
1
↘
极小值
↗
方程 可化为 ，若 在[0，2]上有两个相异实根，
则 ，故所求 的取值围是
20.（12分）学与测原题：1.4生活中的优化问题----活学活用2
提示：设速度为x km/h,则每千米的总费用
高二理科数学导数与定积分测试题
（日期：2015年3月19日时间：120分钟）
1、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）
1. =（）
A. 1 B. C. D.
2.曲线 的一条切线平行于直线 ，则切点P0的坐标为()
A．(0，－1)或(1,0)B．(1,0)或(－1，－4)
C．(－1，－4)或(0，－2)D．(1,0)或(2,8)
极大
函数f(x)在(0,2)上单调递增，在(2,+∞)上单调递减；
时， 得， ，则： 在（0，+∞）上恒成立.
所以，f(x)在（0，+∞）上单调递增.
当 时，则：
f’(x)
+
0
—
0
+
f(x)
极大
极小
所以，函数f(x)在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，则：
f’(x)
+
0
—
0
+
f(x)
极大
极小
得
x
f’(x)
_
0
+
f(x)
极小
由上表知，当x=20时， 有最小值.
即当轮船以20km/h的速度行驶时，每千米的费用总和最少.
21.（12分）
解：（1） 的定义域为R, 得
x
f’(x)
_
0
+f(x)源自极小所以，f(x)的单调减区间为 ，单调增区间为
极小值 ，无极大值
（2）设 则
由（1）知， ，所以由（1）中表格知， ，
由（1）知，当 时， 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，解得 ，故
当 时， ，
因为 时， ，所以 ，
所以 ，满足条件，
综上所述， 的取值围是 ．
21. (12分)设a为实数，函数 .
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)当 且 时，求证： .
22.(12分)设 已知函数 .
（1）求 的单调区间；
（2）设 ，若对任意的 均存在 使得 ，求a的取值围.
2015年3月18日高二（理科）数学测试题答案
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）
12.已知定义在实数集R上的函数 满足 且 的导数 在R上恒有 ，则不等式 的解集为（）
A. B. C. D.
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.曲线 在点(-1,-1)处的切线方程为___________
14. ________
15.由曲线 和直线 ， 所围成平面图形的面积为______