第一章 张量2012

2 f 2 f 2 f 2 f , 2 , 2 , f , ij 2 x1 x2 x3 x1 x2
(i, j 1,2,3)
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约定：
在该约定 下，上述简写表达式后的说明 (i 1,2,3) 或 (i, j 1,2,3)在以后的 写法中将被略去。
i, j, k , 英文字母下标表示三维指标，取值1，2，3.
第一章 张量基础知识
1.1 基本概念 1.2 张量表示 1.3 Kronecker delta符号 1.4 Permutation Symbol置换符号 1.5 指标记法及运算 1.6 张量的定义 1.7 张量的分量 1.8 梯度、矢量的散度和旋度
1
1.1 基本概念
1. 标量：只有大小、没有方向性的物理量，与坐标系选 择无关。用字母表示，如温度T、时间t、密度 等。标量 无下标。
可表示为
ij
（i=1,2,3; j=1,2,3）
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应变张量： x , y , z , xy , yx , yz , zy , zx , xz
11, 22 , 33 , 12 , 21, 23 , 32 , 31, 13
ij (i, j 1,2,3)
R3 C3 E3
规定： 出现双重指标但不求和时，在指标下方加划 线 以示区别，或用文字说明（如i不求和）。 18
又如，方程
111 2 22 3 33
2 1 2 2 2 3
用指标法表示，可写成
i i i i i i i i i i i
ai a1 a2 a3 ai， i xi x1 x2 x3
ij, j
i1 i 2 i 3 x j x1 x2 x3 ij
*若重复出现的标号不求和，应特别声明
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1.2.3 自由指标
一个表达式中如果出现非重复的标号或一个方程每项中出现非 重复的的指标，称为自由指标。对于自由指标可以从最小数取 到最大数。 例如
ai bi xi
是违约的，求和时要保留求和号
a b x
i 1
n
i i i
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S a1 x1 a2 x2 an xn ai xi a j x j ak xk
i 1 j1 k 1 n n n
显然，指标 i, j, k 与求和无关，可用任意字母代替。
为简化表达式，引入Einstein求和约定：
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*1、自由指标仅表示为轮流取值，因此也可以换标，但必 须整个表达式换标 ；
xi aij x j
xk akj xj
x aji xi j
*2若重复出现的标号不求和的表示：
R1 C1E1
R2 C2 E2
Ri Ci Ei Ci Ei
这里 i 相当于一个自由指 标，而 i 只是在数值上等 于 i，并不与 i 求和。
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从数学上说，可引入 e1 e2 en 个基矢。
n 阶基， n阶基中有3n
与
n
阶基相关连的量称为
称张量）。
n 阶张量。
n n 0 时为标量； 1 时为矢量；n 2 时为二阶张量（简
故矢量可称为一阶张量，标量为零阶张量。标量由1个分 量组成，矢量由3个分量组成，二阶张量由9个分量组成； 三阶张量由27个分量组成，n阶张量由3n个分量组成。
……
C33 A3k B3k A31B31 A32 B32 A33 B33
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1.3 Kronecker delta符号
在卡氏直角坐标系下，Kronecker delta 符号定义为：
1, i j （kronecher delta） i j 0, i j
其中 i，j 为自由指标，取遍1，2，3；因此， ij 可确 定一单位矩阵：
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1.2 张量表示
1.2.1.下标记号法——张量的最简洁的一种表示方法 点的坐标(x,y,z) （矢径） x1 , x2 , x3 xi (i 1,2,3) 点的位移(u,v,w) 点的速度 v x , v y , v z
u1 , u2 , u3 ui (i 1,2,3) v1 , v2 , v3 vi (i 1,2,3)
ij ij i1 i1 i 2 i 2 i 3 i 3
1111 1212 1313 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33
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含偏导数项的下标记号表示法：
i 不参与求和，只在数值上等于 i *3由
ai bi ai ci不能得出
.
bi ci
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例题：
e Aije j i
表示
i 为自由指标，j 为哑标
如下3个方程：
e1 A11e1 A12e2 A13e3 e A21e1 A22e2 A23e3 2 e A31e1 A32e2 A33e3 3
应力（张量）： x , y , z , xy , yx , yz , zy , zx , xz
11 , 22 , 33 , 12 , 21 , 23 , 32 , 31 , 13
ij (i, j 1,2,3)
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x xy xz 应力张量 yx y yz zx zy z
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ij, j fi 0
表示如下3个方程：
i 为自由指标，j 为哑标
11 12 13 x xy xz f1 0 x y z f x 0 x2 x3 x1 y yz 21 22 23 等价为 yx fy 0 f2 0 y z x2 x3 x x1 zy z 31 32 33 zx fz 0 f3 0 y z x x1 x2 x3
n阶张量可表示为
ai1i2i3 ...in (i1 1,2,3;i2 1,2,3; ;in 1,2,3)
ai1i2i3 ...in
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1.2.2 Einstein求和约定
关于下标的约定可以总结为以下三条规则：
1. 如果在一个方程或表达式的一项中，一种下标只出现一次， 则称之为自由指标，这种自由指标在表达式或方程的每一 项中必须只出现一次。 2. 如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标正好出现两 次，则称之为哑标，它表示从1到3求和。哑标在其他任何 项中可以刚好出现两次，也可以不出现。 3. 如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标出现的次数 多于两次，则是错误的。
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Cij Aik Bjk
i ，j为自由指标，k 为哑标
表示9个方程： C11 A1k B1k A11B11 A12 B12 A13 B13
C12 A1k B2k A11B21 A12 B22 A13 B23 C13 A1k B3k A11B31 A12 B32 A13 B33 C21 A2k B1k A21B11 A22 B12 A23 B13
a b x
i 1
n
i i i
*3、同项中出现两对（或多对）不同哑标表示多重求和
S aij xi xj
S aij xi x j
i 1 j1 3 3
展开式（9项）
S a11 x1 x1 a12 x1 x2 a13 x1 x3 a21 x2 x1 a22 x2 x2 a23 x2 x3 a31 x1 x1 a32 x1 x2 a33 x1 x3
r 2. 矢量：有大小，又有方向性的物理量。 如矢径 （或黑
u 、力 F 等。矢量可用一个方向来确定。 体）、位移
r r1e1 r2 e2 r3 e3 ri ei
3
x3
其中 向量、基矢），r1、r2、r3为r在坐标轴的 投影（分量），都有一个下标。 x1
11 12 22 21 31 32
13 1 0 0 0 1 0 23 33 0 0 1
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卡式坐标系的基向量的点积
ij 符号的性质： ei e j ij
① 对称性
1 ei e j 0
xi aij x j
指标 i 在方程的各项中只出现一次，称之为自由指标。
一个自由指标每次可取整数1,2, 3, …, n，与哑标一样， 无 特别说明总取n=3。于是，上式表示3个方程的缩写：
x1 a11 x1 a12 x2 a13 x3 x2 a21 x1 a22 x2 a23 x3 x3 a31 x1 a32 x2 a33 x3
e1 e2 e1e2
每个分量用一个标量 （具有两个下标）与两 个并在一起基矢量（并 矢）表示，称为二阶张 量。
xye1 e 2
xz e1 e 3
xx e1 e1
3 3 11 e1e1 12 e1e2 ...... 33 e3 e3 ij ei e j i 1 j 1
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S aijk xi x j xk aijk xi x j xk
i 1 j1 k 1
3
3
3
三重求和（27项）
n 表示空间的维数，以后无特别说明，我们总取n=3。 例题： ai xi
a1 x1 a2 x2 a3 x3
ii 11 22 33
每逢某个指标在一项中重复一次，就表示对该指标求和， 指标取遍正数1，2，…，n。这样重复的指标称为哑标。
于是
S ai xi a j x j ak xk