一种简化动态矩阵控制的仿真研究

一种简化动态矩阵控制的仿真研究王娜王东风张德利褚明铢(华北电力大学控制科学与工程学院，河北保定，071003)摘要：针对动态矩阵控制中涉及到矩阵的求逆，计算量大的缺点提出一种简化的算法，该算法引入控制增量的期望衰减因子，使控制增量在控制时域内逐步接近于零，这样算法中的矩阵求逆简化为纯数值求逆(即取倒数)，使运算量大大减少提高计算效率的同时也减少了控制参数的调节，因此算法的实时性较强，便于微机编程实现。

文章最后，将上述算法对两个典型被控对象进行了仿真，分析了仿真的结果，说明改进的DMC算法在保证实时性以及被控对象的动态性能方面均有益处。

关键词：动态矩阵控制；预测控制；仿真中图分类号： TP 273 文献标识码：ASimulation Research of Simplified Dynamic Matrix ControlWang Na Wang Dong-feng Zhang De-li Chu Ming-zhu(Control of control science and engineering, North China Electric Power University, Baoding, 071003) Abstract: The calculation of inverse matrix control is involved in dynamic matrix control, so the computation quantity is very large. Aiming at this shortage, a decay factor is introduced to make the control increment come to zero in the control horizon. In this way, calculation of inverse matrix control is reduced to numerical inversion, the computation quantity and the control parameters are greatly reduced. The algorithm has strong real-time quality and it is convenience for programming in computer. Applying this algorithm in two representative controlled objects, simulation results show that simplified algorithm is helpful for real-time and dynamic quality.Keywords: Predictive control；Dynamic matrix control；Simulation引言动态矩阵控制(DMC)算法[1]是一种基于对象阶跃响应预测模型、滚动实施并结合反馈校正的优化控制算法，是预测控制算法之一。

DMC算法适用于渐近稳定的线性对象。

由于该算法比较简单，鲁棒性强，近年来已在冶金、石油、化工等工业过程中得到十分成功的应用。

经过多年的发展，动态矩阵控制的理论研究有了很大的进展，而且，在许多领域成功的报道也是层出不穷。

但随着工业的发展，动态矩阵控制的常规算法不能满足实际的需要，于是在算法上有了很大的发展[2][3]。

本文对动态矩阵控制(DMC)算法提出了一种简化的设计，引入控制增量的期望衰减因子，使控制增量在控制时域内逐步接近于零，这样动态矩阵控制的顺序开环控制增量的计算由M×M 维矩阵求逆简化为纯数值求逆(即取倒数)，使运算量大大减少，提高了计算效率，而且也减少了参数的调节，使得微机编程实现方便。

1.动态矩阵控制(DMC)算法动态矩阵控制利用被控对象的单位阶跃响应采样数据作为预测模型。

设被控对象的单位阶跃采样数据为{a1,a2,…}，对于渐近稳定的系统，其阶跃响应在若干个采样周期后就趋于稳态值，即a N≈a(∞)，因此可以用单位阶跃响应采样数据的前有限项描述系统的动态特性：{a1,a2,…a N}；由线性系统的叠加原理，可以得到系统输出的预测模型为：Y m(k+1)=AΔU(k)+A0U(k-1) ，（1）其中：Y m(k+1)=[y m(k+1/k),y m(k+2/k),…,y m(k+P/k)]T，ΔU(k)=[Δu(k),Δu(k+1),…,Δu(k+M-1)]T，U(k-1)=[u(k-N+1),u(k-N+2),…u(k-1)]T，A—动态矩阵；MPMPPPaaaaaaA⨯+--⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=11121ˆˆˆˆˆˆ)1(1312211ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ-⨯+----⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=NPPNNNNNNaaaaaaaaaA。

则(1)式是用过去施加于系统的控制量表示初值的预测模型输出。

由于模型误差和干扰等的影响，系统的输出预测值需要在预测模型输出的基础上用实际输出误差修正，即Y P(k+1)=Y m(k+1)+h[y(k)-y m(k)]=AΔU(k)+A0U(k-1)+h e(k) ，（2）式中：Y P(k+1)=[y P(k+1),y P(k+2),…,y P(k+P)]T，Y P(k+1)—系统输出预测矢量；e(k)=y(k)-y m(k)；h=[h1,h2,…,h p]T，h—误差修正系数。

优化下列性能指标：J P=[y P(k+1)-y r(k+1)]T Q[y P(k+1)-y r(k+1)]+ΔU T(k)λΔU(k) ，（3）其中：Y r(k+1)=[ y r(k+1), y r(k+2), …, y r(k+P)]T是参考轨迹；Q=diag(q1,q2,…,q P), P是预测时域；λ=diag(λ1,λ2,…,λM), M是控制时域；得到：ΔU(k)=(A T QA+λ)-1A T Q[Y r(k+1)-A0U(k-1)-h e(k)]，（4）即时控制增量取为：Δu(k)=d T[Y r(k+1)-A0U(k-1)-h e(k)] ，其中：d T=(1,0,…,0) (A T QA+λ)-1A T Q 为取首行运算。

2.动态矩阵控制(DMC)的改进算法M对应于矩阵(A T QA+λ)的维数，在计算动态控制系数d i时，必须对该矩阵求逆，因此，减小M有利于控制系数的计算。

特别当M＝1时，矩阵求逆退化为求倒数，计算量将显著减小。

然而如对象的动态较为复杂，则取M＝1不能得到好的动态响应[4]。

在这种情况下，必须在兼顾计算量的同时适当加大M。

为使系统具有满意的动态特性的同时计算量减少引入期望衰减因子使矩阵求逆转化为数值求逆，减少计算量及调节参数。

DMC算法的“滚动优化”策略是：在每一个时刻k，要确定从该时刻起的M个控制增量Δu(k),Δu(k+1),…,Δu(k+M-1)使被控对象在其作用下未来P个时刻的输出预测值尽可能接近给定的期望值，(4)式给出了这M个控制增量的最优值，但并不把它们都当作应实现的解，而是取其中的即时控制增量Δu(k)构成实际控制u(k)=u(k-1)+Δu(k)作用于对象。

到下一个时刻又提出类似的优化问题求出Δu(k+1)。

因此我们希望控制增量Δu(k+i), (i=0,1,2,…,M-1)在M步以内逐步趋于0，即M步之后不再调节，基于这一思想，引入控制增量的期望衰减因子，提出了简化算法设计方案[5][6]。

为了使Δu(k+i)以指数形式趋于0，可取控制增量Δu(k+i)=αiΔu(k)，其中i=0,1,2,…,M-1，期望衰减因子α∈(0,1)为常数，则k,k+1,…,k+M-1时刻的控制增量变为：ΔU(k)=[1,α,α2,…αM-1]TΔu(k)=AαΔu(k)，（5）其中：Aα=[1,α,α2,…αM-1]T由此可得实际输出误差修正后的预测模型输出为：Y P(k+1)= AΔU(k)+A0U(k-1)+h e(k)= A uΔu(k)+A0U(k-1)+h e(k) ，（6）其中：A u=A﹒Aα将新的预测输出(6)式代替(2)式重新代入性能指标(3)式可得Δu(k)= (A u T QA u+AαTλAαT)-1A u T Q[Y r(k+1)-A0U(k-1)-h e(k)]，（7）u(k)=u(k-1)+Δu(k)，（8）比较式（7）与式（4），在式（4）中有M*M 维的求逆运算(A T QA+λ)-1，在式（7）中，由于A u=A﹒Aα是一列向量，所以(A u T QA u+AαTλAαT)-1只是纯数值求逆，即倒数，其计算量大为减少，运算速度大大提高。

3.仿真研究3.1 二阶系统仿真取被控对象为大惯性环节，设被控对象传递函数为：2)182(994.2)(+=ssG分别采用简化动态矩阵控制（SDMC）算法与一般动态矩阵控制（CDMC）算法进行仿真研究,图中虚线为简化算法，实线为一般算法，并给出了调节参数q，λ，P，M, α相应的取值。

02004006008001000t/soutput图1 一般算法：q=0.1,λ=100, P=100,M=5简化算法：q =0.1,λ=100,P=100, M=5,α＝0.1 Fig.1 common algorithm : q=0.1,λ=100, P=100,M=5 Simple algorithm : q =0.1,λ=100,P=100, M=5,α＝0.10.511.522.5t/soutput图2 一般算法：q =1, λ=1, P =100, M =5 简化算法：q =1, λ=1 ,P =100, M =5, α＝0.1 Fig.2 common algorithm : q =1, λ=1, P =100, M =5 Simple algorithm : q =1, λ=1 ,P =100, M =5, α＝0.10200400600800100000.511.5t/so u t p u t02004006008001000-50513t/so u t p u t图3 一般算法：q =50, λ=0.1, P =100, M=5 简化算法：q =50, λ=0.1, P =100,M =5, α＝0.1 Fig.3 common algorithm : q =50, λ=0.1, P =100, M=5 Simple algorithm : q =50, λ=0.1, P =100,M =5, α＝0.13.2 高阶系统仿真取被控对象为高阶次环节， 设被控对象传递函数为：1s.421119.145.215062545.20)(2+⋅++=s ss G分别采用简化动态矩阵控制（SDMC ）算法与一般动态矩阵控制（CDMC ）算法进行仿真研究 ,图中虚线为简化算法，实线为一般算法，并给出了调节参数q ，λ，P ，M , α 相应的取值。