3.1.2 第2课时指数函数的图象与性质的应用 学业分层测评 含答案 高中数学苏教版必修一

学业分层测评(十五)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．函数y ＝a x －1的定义域是(－∞，0]，则实数a 的取值范围为________．
【解析】 由a x －1≥0，得a x ≥1＝a 0，因为x ∈(－∞，0]，由指数函数的性质知0<a <1.
【答案】 (0,1)
2．函数y ＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
12的值域是________．
【解析】 ∵x 2－1≥－1，∴y ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫
12－1＝2，又y >0，
∴y ∈(0,2]． 【答案】 (0,2]
3．若函数的定义域为R ，则实数a 的取值范围是
________．
【解析】 依题意，对任意x ∈R 恒成立，即x 2＋2ax －a ≥0恒成立，
∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0. 【答案】 [－1,0]
4．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝1
9，则f (x )的单调递减区间是________．
【解析】 由f (1)＝19，得a 2＝1
9， 所以a ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫
a ＝－13舍去，
即f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
13|2x －4|.
由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增， 所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减． 【答案】 [2，＋∞)
5．函数y ＝8－24－x (x ≥0)的值域是________．
【解析】 ∵x ≥0，∴4－x ∈(－∞，4]，∴24－x ∈(0,16]，∴8－24－x ∈[－8,8)．
【答案】 [－8,8)
6．已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)，若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．
【解析】 ∵e ＞1，令y ＝|x －a |，
∴y ＝|x －a |在[1，＋∞)上为增函数，函数y ＝|x －a |的图象如图，可知当a ≤1时，函数y ＝|x －a |在[1，＋∞)上为增函数．
【答案】 (－∞，1]
7．用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的3
4，要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要漂洗________次.
【解析】 设原来污垢数为1个单位，则经过第一次漂洗，存留量为原来的14；经过第二次漂洗，存留量为第一次漂洗后的14；也就是原来的
⎝ ⎛⎭⎪⎫142
；经过第三次漂洗，存留量为原来的⎝ ⎛⎭⎪⎫143；经过第四次漂洗，存留量为原来的⎝ ⎛⎭⎪⎫
144，……，
经过第x 次漂洗，存留量为原来的⎝ ⎛⎭⎪⎫14x .由题意，⎝ ⎛⎭
⎪⎫14x ≤1
100，4x ≥100,2x ≥10，
∴x ≥4，即至少漂洗4次． 【答案】 4
8．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，则不等式f (x )<－1
2的解集是________．
【解析】 当x <0时，－x >0，
f (－x )＝1－2x ＝－f (x )，
则f (x )＝2x －1.当x ＝0时，f (0)＝0， 由f (x )<－1
2，解得x <－1. 【答案】 (－∞，－1) 二、解答题 9．已知函数
(1)若a ＝－1时，求函数f (x )的单调增区间； (2)如果函数f (x )有最大值3，求实数a 的值． 【解】 (1)当a ＝－1时，
令g (x )＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7， 由于g (x )在(－2，＋∞)上递减， y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
13x 在R 上是减函数， ∴f (x )在(－2，＋∞)上是增函数， 即f (x )的单调增区间是(－2，＋∞)． (2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3， f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
13h (x )，
由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1. 因此必有⎩⎪⎨⎪
⎧
a >0，12a －16
4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为
1.
10．一个人喝了少量酒后，血液中酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时50%的速度减少．为了保障交通安全，某地交通规则规定，驾驶员血液酒精含量不得超过0.08 mg/mL ，那么喝了少量酒的驾驶员，至少要过几小时才能驾驶？(精确到1小时)
【解】 1小时后驾驶员血液中的酒精含量为0.3(1－50%)mg/mL ，…，x 小
时后其酒精含量为0.3(1－50%)x
mg/mL ，由题意知0.3(1－50%)x
≤0.08，⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
12x
≤415.采用估算法，x ＝1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝12>415，x ＝2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14＝416<415.由于⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 是
减函数，所以满足要求的x 的最小整数为2.故至少要过2小时驾驶员才能驾驶．
[能力提升]
1．若函数f (x )＝a x －1(a >0，且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a 等于________．
【解析】 由题意知a >1，∴⎩⎨⎧
a 0
－1＝0，
a 2－1＝2，
解得a ＝ 3. 【答案】
3
2．定义运算a ⊗b ＝⎩⎨⎧
b (a ≥b )，
a (a ＜
b )，
则函数f (x )＝3－x ⊗3x 的值域为________．
【解析】 由题设可得f (x )＝3－x ⊗3x
＝⎩⎨⎧
3－x (x ≥0)，3x (x ＜0)，
其图象如图实线所示，由图知函数f (x )的值域为(0,1]．
【答案】 (0,1]
3．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a >0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)＝________.
【解析】 ∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， 由f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2，①
得f (－x )＋g (－x )＝－f (x )＋g (x )＝a －x －a x ＋2，② ①＋②，得g (x )＝2，①－②，得f (x )＝a x －a －x .
又g (2)＝a ，∴a ＝2，∴f (x )＝2x －2－x ，∴f (2)＝22－2－2＝15
4. 【答案】 15
4
4．如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0且a ≠1)在[－1,1]上有最大值14，试求a 的值.
【解】 设t ＝a x ，则原函数可化为y ＝(t ＋1)2－2， 对称轴为t ＝－1.
(1)若a >1，∵x ∈[－1,1]， ∴－1<1
a ≤t ≤a .
∵t ＝a x 在[－1,1]上递增，y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1a ，a 上也递增，
∴原函数在[－1,1]上递增． 故当x ＝1时，y max ＝a 2＋2a －1.
由a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍去，∵a >1)． (2)若0<a <1，可得当x ＝－1时， y max ＝a －2＋2a －1－1＝14， 解得a ＝13或a ＝－1
5(舍去)． 综上，a ＝1
3或3.。