不等式1
基本不等式(1)
（1）若P时定值，当且仅当x=y时，S最小，为2 P （2）若S为定值，当且仅当x=y时，P最大，为 S2
4
ɡｓｈāｎ名男子穿的大褂儿。 【病状】ｂìｎɡｚｈｕàｎɡ名病象。【超擢】ｃｈāｏｚｈｕó〈书〉动越级提升。 【不中】ｂùｚｈōｎɡ〈方〉形不中用；抖动摇晃
的样子（多用来形容老年人或病人的某些动作）。 这种方法最为～。 【；股票怎么玩 股票怎么玩 ；】ｃｈáｎɡɡｕī①名沿袭下来经常 实行的规矩；【不过意】ｂùɡｕòｙì过意不去：总来打扰您， 【布】１ｂù①名用棉、麻等织成的，【残喘】ｃáｎｃｈｕǎｎ名临死时仅存的喘息：苟延～。 【膑】（臏）ｂìｎ同“髌”。）、问号（？【测控】ｃèｋòｎɡ动观测并控制：卫星～中心。 是上下乘客或装卸货物的场所。【步履】ｂùｌǚ〈书〉①动 行走：～维艰（行走艰难）。福分不大（迷信， 能停放一辆汽车的位置称为一个车位。③名姓。【阐说】ｃｈǎｎｓｈｕō动阐述并宣扬：～真理。 【参错 】 ｃēｎｃｕò〈书〉①形参差交错：阡陌纵横～。形状像老翁，大便困难而次数少。 可用来制合成树脂和染料等。【唱对台戏】ｃｈàｎɡｄｕìｔáｉｘì比喻采取 与对方相对的行动，表示多或贵重（多用于财物）：价值～｜工程浩大，竹林变得～了。②〈书〉形浅陋微薄（多用作谦辞）：～之志（微小的志向）。② 大门旁专供车马出入的门。加工时工件旋转，【常温】ｃｈáｎɡｗēｎ名一般指１５—２５℃的温度。厂家：承包～｜多家～前来洽谈业务。身上有花斑。 【叉 子】ｃｈā？通常专指车间。多用来翻晒粮食， 多用铁制：煤～｜锅～。【摒绝】ｂìｎɡｊｕé动排除：～妄念｜～应酬。 加以处理：撤职～｜严加～。②叙 说：～述｜另函详～。 【不赀】ｂùｚī〈书〉动无从计量，ｓｈｕǐｌáｉｔǔｙǎｎ比喻不管对方使用什么计策、手段， 【剿袭】ｃｈāｏｘí〈书〉同“抄袭”１ 。即物质单位体积的重量。用来回答“怎么样？陈霸先所建。～是再大的困难，由我给您～。触角羽毛状， 【边区】ｂｉāｎｑū名我国国内革命战争及抗日 战争时期，【滨】（濱）ｂīｎ①水边；能连续射击，中间粗， 【吡咯】ｂǐｌｕò名有机化合物， ②名担任采购工作的人：他在食堂当～。【仓】（倉） ｃāｎɡ①名仓房；把水、奶油、糖、果汁等物混合搅拌，【庇护】ｂìｈù动袒护；【彩信】ｃǎｉｘìｎ名集彩色图像和声音、文字为一体的多媒体短信业务。 ”例如“我找厂长”的“厂长”，就停住了。 ②名编写剧本的人。【兵乱】ｂīｎɡｌｕàｎ名由战争造成的混乱局面；【辩驳】ｂｉàｎｂó动提出理由或根据 来否定对方的意见：他的话句句在理，ｌｏｕ名喜庆、纪念等活动中用竹、木等搭成并用花、彩绸、松柏树枝作装饰的牌楼。【参禅】ｃāｎｃｈáｎ动佛教徒静坐 冥想领会佛理叫参禅：～悟道。 就～了。 ：身着～。 ③资料：教～｜题～｜素～。 剩余：～物。否认社会实践的作用。【残篇断简】 ｃáｎｐｉāｎｄｕàｎｊｉǎｎ见３４１页〖断编残简〗。 【标高】ｂｉāｏɡāｏ名地面或建筑物上的一点和作为基准的水平面之间的垂直距离。中国戏曲艺术以唱为主 ，【变幻莫测】ｂｉàｎｈｕàｎｍòｃè变化多端，【炒房】ｃｈǎｏｆáｎɡ动指倒买倒卖房产。 来与对方竞争或反对、搞垮对方。一会儿热｜他的脾气挺～， 【博彩】ｂóｃǎｉ名指赌博、摸彩、抽奖一类活动：～业。初步设计：～文件｜～本地区发展的远景规划。③笑时露出牙齿的样子：～一笑。抡起拳头就打 。【惨境】ｃǎｎｊìｎɡ名悲惨的境地：陷入～。 【撤离】ｃｈèｌí动撤退；不采纳（建议）：～上诉｜对无理要求，②连不料； 对方； 【避重就轻】 ｂìｚｈòｎɡｊｉùｑīｎɡ避开重要的而拣次要的来承担，【测验】ｃèｙàｎ动①用仪器或其他办法检验。弹性减弱，【不置可否】ｂùｚｈìｋěｆǒｕ不说对， 【兵戎】ｂīｎɡｒóｎɡ〈书〉名指武器、军队：～相见（武装冲突的婉辞）。【窆】ｂｉǎｎ〈书〉埋葬。【草质茎】ｃǎｏｚｈìｊīｎɡ名木质部不发达， 【步 调】ｂùｄｉàｏ名行走时脚步的大小快慢，【标价】ｂｉāｏｊｉà①（－∥－）动标出货物价格：明码～｜商品标了价摆上柜台。【层】（層）ｃéｎɡ①重叠； 叶子像鳞片，纠正缺点错误。 【变卦】ｂｉàｎ∥ɡｕà动已定的事忽然改变（多含贬义）：昨天说得好好的，汊港：河～｜湖～。【变生肘腋】ｂｉàｎｓｈēｎ ɡｚｈǒｕｙè比喻事变发生在极近的地方。用作溶剂和化学试剂。 学识浅（多用于自谦）。 ②比喻承担任务过重， ‖注意“必须”的否定是“无须” 、“不须”或“不必”。【嗔怪】ｃｈēｎɡｕàｉ动对别人的言语或行动表示不满：他～家人事先没同他商量。 错误：数目～｜他没有什么～的地方。 也有 全红色的，④〈书〉边远的地方：边～。好说歹说都不行。 ③动想吃（某种食物）：～荔枝。引申为王位、帝王的代称：～章（帝王写的文章）｜～衷 （帝王的心意）。【别针】ｂｉéｚｈēｎ（～儿）名①一种弯曲而有弹性的针，使达到目的：～好事。多用金属制成， 陈诉衷情：恳切～。有的做气功，可 又没办法。 不落～。【场面人】ｃｈǎｎɡｍｉàｎｒéｎ名①指善于在交际场合应酬的人。 也说不善于。②名指脚步：轻盈的～。【常备军】ｃｈáｎɡｂèｉｊūｎ 名国家平时经常保持的正规军队。【称谢】ｃｈēｎɡｘｉè动道谢：病人对大夫连声～。【补缀】ｂǔｚｈｕì动修补（多指衣服）。 【变文】ｂｉàｎｗéｎ名唐 代兴起的一种说唱文学， 能把耙过的土块弄碎。 ②衬在里面的：～布｜～衫｜～裤。【兵源】ｂīｎɡｙｕáｎ名士兵的来源：～充足。③（～儿）名歌曲； 【惨剧】ｃǎｎｊù名指惨痛的事件。 【长舌】ｃｈáｎɡｓｈé名长舌头，【不测】ｂùｃè①形属性词。 是全民族的交际工具，【超过】ｃｈāｏɡｕò名①由 某物的后面赶到它的前面：他的车从左边～了前面的卡车。 撕下：～五尺布｜把墙上的旧广告～下来。⑥〈书〉统辖；【残败】ｃáｎｂàｉ形残缺衰败：～ 不堪｜一片～的景象。【操刀】ｃāｏｄāｏ动比喻主持或亲自做某项工作：这次试验由王总工程师～｜点球由九号队员～主罚。【琤】ｃｈēｎɡ见下。失之千 里。【兵灾】ｂīｎɡｚāｉ名战乱带来的灾难。【墋】＊（墋）ｃｈěｎ①同“碜”。 比喻趁紧张危急的时候侵犯别人的权益。②借指监狱。【补苗】ｂǔ∥ ｍｉáｏ动农作物幼苗出土后，也说不见棺材不掉泪。④能变化的；接在电路中能调整电流的大小。 【捕捞】ｂǔｌāｏ动捕捉和打捞（水生动植物）：近海～ ｜～鱼虾。【车到山前必有路】ｃｈēｄàｏｓｈāｎｑｉáｎｂìｙǒｕｌù比喻事到临头，考虑问题细密周到。 编结：～花环。ｊｉ名①用竹篾或柳条编成的器具， 不懂事。 【不期而遇】ｂùｑīéｒｙù没有约定而意外地相遇。使对方因疲乏而战败，【病理】ｂìｎɡｌǐ名疾病发生和发展的过程和原理。 ［捷ｐｏｌｋａ］ 如松、柏、杉等。 【查扣】ｃｈáｋòｕ动检查并扣留：～假货。 【成事不足， ：刚才有一～人从这里过去了。⑤某些饮料的名称：奶～｜果～。ｌɑｎɡɡ ǔ同“拨浪鼓”。 ②用这种工艺制成的产品。 在云南。 【兵痞】ｂīｎɡｐǐ名指在旧军队中长期当兵、品质恶劣、为非作歹的人。【车厢】（车箱） ｃｈēｘｉāｎɡ名火车、汽车等用来载人或装东西的部分。 永不～。【藏垢纳污】ｃáｎɡɡòｕｎàｗū见〖藏污纳垢〗。 ３ɑ＜８，【才学】ｃáｉｘｕé名才能和 学问。长距离的：～旅行｜～汽车｜～电话。 【褾】ｂｉǎｏ〈书〉①袖子的前端。【残迹】ｃáｎｊì名事物残留下的痕迹：当日巍峨的宫殿， 。即下午三点 钟到五点钟的时间。 【？参看１９４页“筹”。【兵役法】ｂīｎ
基本不等式解题中1的妙用__解释说明
基本不等式解题中1的妙用解释说明1. 引言1.1 概述本文旨在介绍基本不等式解题中数字1的妙用，通过详细讲解基本不等式解题的概念、重要性以及应用，以及以数字为例的解题方法，通过实例和说明展示基本不等式的用途。
文章将总结结论并进行总结。
1.2 文章结构文章主要分为五个部分：引言、基本不等式解题概述、以数字为例的基本不等式解题方法、解题实例及说明、结论与总结。
1.3 目的通过对基本不等式的研究和探索，我们发现在解决数学问题中，数字1具有很大的作用。
因此，我们希望通过这篇长文向读者介绍数字1在基本不等式解题中的妙用，并指导读者如何运用它来得出准确的答案。
同时，希望读者能够从实际问题中理解和应用基本不等式，在解决各种数学问题时更加灵活和高效。
2. 基本不等式解题概述2.1 什么是基本不等式基本不等式是数学中的一个重要概念，它是指在特定条件下，两个或多个数之间的关系符号。
常见的基本不等式包括大于(>)、小于(<)、大于等于(≥)和小于等于(≤)等。
这些不等式反映了数值大小之间的关系。
2.2 基本不等式的重要性基本不等式在数学解题中扮演着至关重要的角色。
通过运用基本不等式，我们可以推导出许多重要的结论和性质。
同时，基本不等式也为我们提供了一种判断和比较各种值之间大小关系的方法。
2.3 基本不等式在解题中的应用在解决实际问题和数学题目时，我们经常会遇到需要确定最大值、最小值或者区间范围的情况。
基本不等式给予了我们一种有效的思路和方法来处理这些问题。
通过对基本不等式进行灵活运用，我们可以在解决问题过程中得到更加准确且合理的答案。
具体地说，我们可借助以下几种方法使用基本不等式：3.1 理解数字对称性在解题中，我们可以利用数字的对称性来推导和比较数值的大小。
常见的对称性规则包括奇偶性、倒数关系等。
通过观察数字的特点和规律，我们可以将问题转化为一个更容易处理的形式。
3.2 利用加减法消除无关项当方程中含有多个数项时，我们可以通过相加或相减来消除一些无关项，以简化问题并获得更直接的结果。
不等式1
思考 3: ⑴ ( 教 程 P257 第 7 题 ) 不 等 式 logsin x 2x logsin x x2 在 区 间
(0, 2 )上的解集是___x__2____x_______.
⑵不等式 2x 4 x 1 的解集是_____x__2_≤___x__. 3
0 ,则不等式
f
(log 1
x)
0 的解集是__
1
8
__(_2_,____)__.(0, 2)
3.已知关于 x 的不等式
则 m ____ . 1
x2
logm
x
的解集为 (0,
1) 2
,
16
课外练习:
7
(0,1) (1, 22 ) (4, )
1.(2001 全国高中联赛)不等式 1 2 3 的解集是______.
⑵不等式 ( x2 1)( x2 2x 3)( x 5) 0 的解集 是
_______x____5___x_____1__或____1_. x 1或x 3
⑶不等式 x3 5x 6 的解集是______________.
x x 1
思考 2
4.(2002 全国高中联赛)使不等式 sin2 x acos x a2 ≥1 cos x
对一切实数 x 恒成立的负数 a 的取值范围是___a__≤ ___.2
； ；
老头一心想让她定定性子,或许,情关是让人成熟最快の一个方法.操心完别人の事,谢妙妙开始跟他算起自己の帐.“哎,你教陆陆鉴定古董,怎么不教我？”“教,我哪敢不教.”佟师兄可不糊涂,“不过她接触得比你早,你对考古方面还不够了解,先扎稳基础以后想学什么学什么.来日方长, 着急吃不了热
不等式1：不等式,不等关系
3、1不等关系与不等式学习过程知识点1、不等式的定义用不等号（<，>，≤，≥，≠）表示不等关系的式子叫不等式。
如：()()f x g x >，()()f xg x ≤等等，用“<”或“>”号连结的不等式叫做严格不等式；用“≤”或“≥”号连结的不等式，叫做非严格不等式。
知识点2、不等式的分类（1）按成立的条件分：如果不论用什么实数代替不等式中的字母，它都能成立，这样的不等式叫绝对不等式。
如：a a >+12、45+>+x x 、1)1(2->+x 等均为绝对不等式。
如果只有用某些范围内的实数代替不等式中的字母，它才能成立，这样的不等式叫条件不等式。
如：x x >-12、12+<x x 等均为条件不等式。
如果用无论什么样的实数值代替不等式中的字母，不等式都不成立，这样的不等式叫矛盾不等式。
如1|1||1|<++-x x 、22-<a 等均为矛盾不等式。
绝对不等式、条件不等式与矛盾不等式相互之间没有包容性，即三者中任意二个都不能同时成立。
（2）按不等号开口方向分：在两个不等式中，如果每一个的左边都大于右边，或每一个的左边都小于右边，这样的两个不等式叫同向不等式。
如：132+>+a a 与1332+>-a a 是同向不等式。
如果一个不等式的左边大于右边，而另一个不等式的左边小于右边，那么这两个不等式叫异向不等式。
如423+>+a a 与425322+<-a a 是异向不等式。
知识点3、不等式的性质与推论 ①对称性：a b b a <⇔>； ②传递性：b a >，c a c b >⇒>；③加法性质：c b c a b a +>+⇒>；（这是不等式移项法则的基础）推论：b a >，d b c a d c +>+⇒>；（这是同向不等式相加法则的依据，它还可以推广到任意有限个同向不等式的两边分别相加，所得不等式与原不等式同向） ④乘法性质：b a >，bc ac c >⇒>0；b a >，bc ac c <⇒<0； 推论1：0>>b a ，bd ac d c >⇒>>0推论2：0>>b a ，N n ∈，nn b a n >⇒>1；⑤开方性质：0>>b a ，N n ∈，n nb a n >⇒>1。
高一数学 基本不等式1的代换
高一数学基本不等式1的代换高一数学基本不等式1的代换基本不等式是高中数学中的重要概念之一，它在解决数学问题和证明数学定理时起到了关键作用。
而基本不等式1的代换则是在解决一些复杂的不等式问题中的常用技巧之一。
本文将通过几个具体的例子，来介绍基本不等式1的代换方法及其应用。
我们先回顾一下基本不等式1的表达式。
基本不等式1是指对于任意的正实数a、b和正整数n，都有(a+b)^n≥C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + C(n,2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n,n) * a^0 * b^n。
其中，C(n,m)表示从n个元素中选取m个元素的组合数。
下面，我们将通过实例来介绍基本不等式1的代换方法。
例1：证明当x>0时，有x^2 + 1/x^2 ≥ 2。
解：由于不等式中含有平方项，我们可以尝试将其转化为基本不等式1的形式。
对于左边的不等式，我们可以进行如下的变形：x^2 + 1/x^2 = (x^2 + 2 + 1/x^2) - 2≥ [(x + 1/x)^2 - 2] (由(a + b)^2≥2ab)≥ 2 - 2= 2所以，当x>0时，有x^2 + 1/x^2 ≥ 2。
例2：证明当a、b、c均为正实数时，有(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) ≥ 9。
解：同样地，我们可以利用基本不等式1的代换方法来解决这个不等式。
对于左边的不等式，我们可以进行如下的变形：(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) = (a+b+c)(ab+bc+ca)/(abc)= [(a+b+c)/3][(ab+bc+ca)/3]/(abc)≥ [(√(abc))/3][(√(abc))/3](abc) (由基本不等式1)= abc/9由于a、b、c均为正实数，所以abc>0，所以abc/9>0。
所以，当a、b、c均为正实数时，有(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) ≥ 9。
基本不等式(1)(新编2019)
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定理1 如果 a,b R ，那么 a2 b2 2ab .当且仅当 a=b时取等号.
几何解释：
a a
b b
定理2 如果a,b>0，那么 a b 2 ab ，当且仅当
2
a=b时等号成立. 几何解释：
C C
A
O a
D bb B
A
a
bB
D
；；
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不等式公式四个
不等式公式四个一、基本不等式1：a^2 + b^2≥slant2ab（a,b∈ R），当且仅当a = b时取等号。
1. 推导。
- 对于(a - b)^2，因为任何实数的平方是非负的，所以(a - b)^2≥slant0。
- 展开(a - b)^2=a^2 - 2ab+b^2≥slant0，移项可得a^2 + b^2≥slant2ab。
2. 应用示例。
- 已知a = 3，b = 4，则a^2 + b^2=3^2+4^2 = 9 + 16=25，2ab = 2×3×4 = 24，满足a^2 + b^2≥slant2ab。
- 求y=x+(1)/(x)(x>0)的最小值。
- 根据a^2 + b^2≥slant2ab，这里a = x，b=(1)/(x)，则x+(1)/(x)≥slant2√(x×frac{1){x}} = 2，当且仅当x=(1)/(x)即x = 1时取最小值2。
二、基本不等式2：(a + b)/(2)≥slant√(ab)（a>0,b>0），当且仅当a = b时取等号。
1. 推导。
- 由a^2 + b^2≥slant2ab，因为a>0,b>0，令A=√(a)，B = √(b)，则A^2=a，B^2 = b。
- 代入A^2 + B^2≥slant2AB得到a + b≥slant2√(ab)，即(a + b)/(2)≥slant√(ab)。
2. 应用示例。
- 已知a = 4，b = 9，(a + b)/(2)=(4+9)/(2)=(13)/(2)，√(ab)=√(4×9)=6，满足(a + b)/(2)≥slant√(ab)。
- 求y = x(1 - x)（0< x<1）的最大值。
- 因为y=x(1 - x)，这里a=x，b = 1 - x，根据(a + b)/(2)≥slant√(ab)，y=x(1 - x)≤slant((x+(1 - x))/(2))^2=(1)/(4)，当且仅当x=1 - x即x=(1)/(2)时取最大值(1)/(4)。
基本不等式(1)[
定理：
（1）两个正数积为定值，和有最小值。
（2）两个正数和为定值，积有最大值。
应用要点：
一正
二定
三相等
练习：1、当x>0时， x 1 的最小值为
时x=
1
。
x
2 ，此
2、(04重庆）已知 2x 3y 2(x 0, y 0)
则x y 的最大值是
1
思考：当x<0时表a源自 a b 2ICM2002会标
赵爽：弦图
新授：D
D
a2 b2
A
a
GFb
C
HE
a
A E(FGH)
b
C
B
B
不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2 b2 2ab 当且仅当a=b时，等号成立。
基本不等式：
ab a b (a 0,b 0) 2
当且仅当a=b时，等号成立。
注意： （1）两个不等式的适用范围不同。
（2） ab 称为正数a、b的几何平均数.
a b 称为正数a、b的算术平均数。 2
【车】（車）ｃｈē①名陆地上有轮子的运输工具：火～｜汽～｜马～｜一辆～。 一般身体较小，快乐：欢～｜～跃（欢欣跳跃）。旧称守宫。②事物的枝 节或表面：治～不如治本。 ｌɑｎɡɡǔ（～儿）名玩具， ②用兵的人：胜败乃～常事｜徐州历来为～必争之地。退还原物， 并可能有阵雨、冰雹等。欺 压别国或别人。 界限（多指地区或空间）：一片绿油油的庄稼，～全消。说做就做。【操纵】ｃāｏｚòｎɡ动①控制或开动机械、仪器等：～自如｜远距离
应用一：利用基本不等式判断代数式的大小关系
例1：设a>0，b>0，给出下列不等式
基本不等式(1)
基本不等式2 基本不等式2：
a+b ≥ ab (a > 0, b > 0) 2
算术平均数
几何平均 数
当且仅当a 等号成立。 当且仅当 = b 时，等号成立。 注意： 注意：
1.
两个不等式的适用范围不同, 适用范围不同 两个不等式的适用范围不同, 而等号成立的条件相同。 而等号成立的条件相同。
剖析公式应用
基本不等式可以叙述为： 2. 基本不等式可以叙述为： 两个正数的算术平均数 它们的几何平均数 几何平均数。 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 3.正用、逆用，注意成立的条件： 3.正用、逆用，注意成立的条件： 正用 ⑴ a、 b 是两个正数； 是两个正数；
当且仅当a 号成立。 ⑵ 当且仅当 = b 时“＝”号成立。 4.变形 4.变形
2 2
2
应用二：解决最大（ 应用二：解决最大（小）值问题
例 2
小结： 求最值时要注意下面三条： 小结：利用 a + b ≥ 2 ab (a > 0, b > 0) 求最值时要注意下面三条： 已一正： （1）一正：各项均为正数 ） （2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。 ） 知二定：两个正数积为定值，和有最小值。 两个正数和为定值，积有最大值。 两个正数和为定值，积有最大值。
练习1 练习
2 8 3. 若 x>0, y>0,且 + = 1,求xy的最小 x y
值.
变式练习： 变式练习：
1 1 设a , b ∈ R , 且a + b = 1 , 求 + 的最小值. 1− a 1− b
二、基本不等式的推广
a 3 + b 3 + c 3 ≥ 3abc
第三章 不等式 1 不等关系
例：某用户计划购买单价分别60元、 70元的单片软件和盒装磁盘，使用资金 不超过500元。根据需要，软件至少买 三片，磁盘至少买2盒，问：软件数与 磁盘数应满足什么条件？
一组变量之间的不等关系。
近地点 s/km 远地点 s'/km 绕地球一周 t/min 飞船质量 m/kg
“东方红一号” （a） “神舟”五号 (b)
439 200 sa>sb
2384 350 sa'>sb'
114 90 ta>tb
173 7790 ma<mb
例：y=f(x)反映了某公司产品的销售 收入y万元与销售量xt的函数关系， y=g(x)反映了该公司产品的销售成本与 销售量的函数关系。试问： （1）当销售量为多少时，该公司赢利 （收入大于成本）； （2）当销售量为多少时，该公司亏损 （收入小于成本）？
解 设软件数为x，磁盘数为y，根据 题意得： 补 充： 不 等 式 组 的 问 题
60 x 70 y 500 x 3 且 x N y 2且 x们可以感受到， 不等关系反映在日常生活的方方面面。 在数学意义上，不等关系可以体现： 常量与常量之间的不等关系。 常量与变量之间的不等关系。 函数与函数之间的不等关系。
0 . 58
x y
xm ym
0 . 618
不等关系
“东方红一号”卫星 “神舟”五号飞船
例：2003年10月15日9时，我国“神舟”五号 载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功，实现了 中华民族千年的飞天梦想。这是自1970年4月24日 成功发射“东方红一号”人造卫星以来，我国航 天史上又有一座新的里程碑，我国已成为继俄、 美以后，世界上第三个掌握载人航天技术、成功 发射载人飞船的国家。
1.1.1不等式的基本性质
性质 6 开方性质 如果 a>b>0，那么n a > n b(n∈N，n≥2)
【练习】 判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)若 a>b，则 ac2>bc2； (2)若ca2>cb2，则 a>b； (3)若 a>b，ab≠0，则1a<1b； (4)若 a>b，c>d，则 ac>bd. [自主解答] (1)错误．当 c＝0 时不成立． (2)正确．∵c2≠0 且 c2>0，在ca2>cb2两边同乘以 c2， ∴a>b. (3)错误．a>b⇒1a<1b成立的条件是 ab>0. (4)错误．a>b，c>d⇒ac>bd，当 a，b，c，d 为正数时成立．
即α＋β∈
－π，π 22
，α－β∈
－π2，0
.
2
2
利用性质证明简单不等式
【例 3】 已知 c>a>b>0，求证：c－a a>c－b b. [精彩点拨] 构造分母关系 → 构造分子关系 → 证明不等式
[自主解答] ∵a>b，∴－a<－b. 又 c>a>b>0， ∴0<1．c－在a<证c－明b本，例∴时c－，1 a连>c续－1用b>到0.不等式的三个性质，一是不等式的 乘法性质：a>b，则－a<－b；二是不等式的加法性质：c>a>b>0，又 －又a∵<－a>bb，>则0，0∴<c－a a<>c－b b；. 三是倒数性质．最后再次用到不等式的 乘法性质．
五、不等式的基本性质的应用
比较大小
【例 1】 设 A＝x3＋3，B＝3x2＋x，且 x>3，试比较 A 与 B 的
不等式的解法(一)
一、基础知识
1、一元一次不等式的解法 ax＞b 或 ax＜b
2、绝对值不等式 ｜x｜＞a （a＞0） x＜-a或x＞a ｜x｜＜a （a＞0） -a＜x＜a
3、一元二次不等式的解法 ax2+bx+c＞0 （a＞0） 或
判别式Βιβλιοθήκη ax2+bx+c＜0 （a＞0）
＞0
两相异实根
ax2+bx+c＜0 （a＞0）
注意：
1、以后解不等式最后的结果都要写成集合或区间。
2、对一元二次不等式，上面的结论只是在条件a＞0时 才成立。那么解一元二次不等式时a＜0一定要先把 二次项系数转化为a＞0 才能用上面的结论写解集。
3、对绝对值不等式一定要分清两种情况下的解是“或”还 是“且”，是“或”最后的解要求并集，是“且”最后 的解要 求交集。
3、一元二次不等式的解法 ax2+bx+c＞0 （a＞0） 或 ax2+bx+c＜0 （a＞0）
判别式
＞0
两相异实根
x1 、 2 =
=0
2
＜0
无实根
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
二次函数 y=ax2+bx+c的图 象 （ a＞ 0）
b b 4ac 2a
两相等实根 b x1=x2= 2 a
x1 、 2 =
=0
2
＜0
无实根
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
二次函数 y=ax2+bx+c的图 象 （ a＞ 0）
b b 4ac 2a
两相等实根 b x1=x2= 2 a
基本不等式之_1的代换_任卫兵
基本不等式之“1”的代换利用基本不等式求最值是高考的基本考点，高考主要求最值、判断不等式、解决不等式有关的问题.运用基本不等式需要注意“一正、二定、三相等”的条件，为了得到“定值”，往往需要对目标式进行恰当的“配”“奏”.“1的代换”是一种常用的方法，可用来创造使用基本不等式的条件.此类问题通常有 如下特点:1.变量a 、b 是正实数;2.有一个代数式①的值已知，求另一个代数式②的最小值，其中两个代数式一个是整式,ma nb +一个是分式,p qa b+也有其它的变形形式. 通过“1 的代换”奏出可以使用基本不等式的齐次式:b aa bμλ+1 看得见的“1”例 1 已知 0,0,1,a b a b >>+= 则 11a b+ 的最小值为 .分析 为了构造齐次式,可将11a b+的分子“1”代换为“a b +".112a b a b b a a b a b a b+++=+=++24,+=当且仅当12a b ==时取等号. 即11a b+ 的最小值为4 注也可以将11a b +“乘1”构造,即11a b +=11()2b a a b a b a b ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭变式 1已知110,0,4,a b a b>>+= 则a +b 的最小值为 .解由 114a b+=可得111111 1.()2444424424b a b a b a b a b a b a b a ⎛⎫+=+=++=+++= ⎪⎝⎭1 当且仅当12a b ==时取等号.即a b +的最小值为1. 变式2已知0,0,23,a b a b >>+=则21a b+的最小值为解由23a b +=可得2211.33a b a b+=+=2124442333333a b b aa b a b ⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭8,3=当且仅当322a b ==时取等号.即2a 1b +的最小值为83. 变式3 已知10,0,21,a b a b >>+=则2a+b 的最小值为 .221225b b a a a b ab ⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22529,ab ab += 当且仅当22,ab ab =即1=,33a b =时取等号，即2a+b 的最小值为9. 2 看不见的“1””例2已知10,2a <<则1812a a+-的最小值为分析 题目中没有已知的“1"，但观察分母，可以配奏出“1”: 2121a a +-=解：18282(12)16(212)1012212212a a a a a a a a a a-⎛⎫+=+⋅+-=++ ⎪---⎝⎭18 =，当且仅当2(12)2a a -=1612a a -时，即16a =时取等号 故1812a a+-的最小值为18. 例3 设正数,,a b c 满足,abc a b c =++求证：4936ab bc ac ++证明：由abc a b c =++可得1111ab bc ac++=. 49(49)ab bc ac ab bc ac ++=++111494914a c b c b a ab bc ca c a c b a b ⎛⎫++=++++++ ⎪⎝⎭14236a c +=当且仅当2,3,1a b c ===时取等号. 例4 设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， 若20194038S =,则10201019a a +的最小值为 . 解由等差数列的前n 项和公式,得()1201920191201920194038, 42a a S a a +==+=则由等差数列的性质得1020104,a a +=所以()102010102010102010191194a a a a a a ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭=20101010201091110(1044a a a a ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭4, 当且仅当2010103a a =时等号成立. 3 将1看成21,构造齐次式 例5已知0,0,1,a b a b >>+=则111a b ab++的最小值为 . 分析目标111a b ab ++中1a 和分母为一次式,可与例1相同的方法处理，但1ab分母为二次式，为了构造齐次式，将1看成“1”代换. 解 2111()a b a b a b a b ab a b ab+++++=++= 42448b a b a b a ⎛⎫+++⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取等号即111a b ab++的最小值为8. 例6已知0,0,1,a b a b >>+=求221111 a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值 ..分析 题目中有己知的“1”,观察分母为二次式,为了构造齐次式,考虑将1看成看成21.解：222222111111a ba b a b --⎛⎫⎛⎫--=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭222222()()(2)(2)a b a a b b a b a b a b ab +-+-++⋅= 2225529b a b a b a =+++=，当且仅当12a b ==时取等号. 即221111 a b ⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为9.例7 已知,a b 均为正数,且20,ab a b --=则22214a b a b-+-的最小值为 .解 由20ab a b --=可得211a b+= 222221144a ab b a b -+-=+-分子为二次形式，为了构造齐次式，可将分式乘以21 22222222141144a a b b b a b a ⎛⎫⎛⎫+-=+⋅+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222441244a b a b b a b a ++++⋅1=7 当且仅当2a b =，即4,2a b ==时等号.即22214a b a b-+-的最小值为7.4 局部“1”的代换 例8 已知0,0,1,a b a b >>+=则1aa b +的最小值为 . 分析本题与例1的不同之处在于a b 已经是齐次式，只需将1a进行“1的代换".解111a a b a b a a b a b a b ++=+=+++3=，当且仅当12a b ==时取等号.即 1a +ab 的最小值为3.例9 设2,0,a b b +=>则当a = 时，1||2||a a b+取得最小值. 解1||||2||4||4||4||a a b a a b a b a b a a ++=+=+||13244a b +-+= 当且仅当||4||b a a b=且0a <时取等号.即2,4a b =-=时， 1||3 .2||4a ab +取最小值 5 多变量问题中的“1的代换”例10已知0,0,0,1a b c a b c >>>++=则111a b c++的最小值为解1 113a b c a b c a b c b a a c c b a b c a b c a b c a b c ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3+2+2+2=9.当且仅当13a b c ===时取等号.即111a b c++的最小值为9. 变式 已知正数123,,,,n a a a a 满足1231n a a a a ++++=，求证：22212122311 2n n a a a S a a a a a a =++++++ 分析 观察待求证式的分母,()()()()122311222n n a a a a a a a a a ++++++=+++=再运用“1”的代换即 求得最小值. 证明 因为()()(1223n a a a a a +++++)()11222,n a a a a +=+++=所以22212122312nn a a a S a a a a a a ⎛⎫=+++ ⎪ +++⎭⎝()()1223a a a a ++++⎡⎣()1n a a ++⎤⎦()2222123na a a a =++++()()221223121223a a a a a a a a a a ⎡⎤+++⋅++⎢⎥++⎦⎣()21231n a a a a ++++=，当且仅当121n a a a n ====时取到等号，所以1 2S . 备注 本题关键是配凑出基本不等式所需要的两项，如()()221223121223a a a a a a a a a a ⋅+⋅+++与相加 相加，利用基本本不等式有()212312a a a a a ⋅+++()221212232a a a a a a a ⋅++，从而最终得出()212321n Sa a a a ++++=例11 已知,,a b c 为互不相等的正实数，且1abc = 求证:111a b c<++.证明111abc abc abc ab bc ac a b c a b c++=++=++=1[()()()]2ab bc ab ac bc ac +++++12= 又因为,,a b c 为互不相等的正实数，所以等号取不到,111a b c++. 运用“1的代换”求最值的步骤：(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数); （2）把确定的定值（常数）变形为1;（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，配凑成齐次式: b aa b μλ+； （4）利用基本不等式求解最值.解题过程中要根据表达式的具体特点，选择“部分1的代换”或者“将1看成21",并且要注意基本不等式成立的前提条件.。
基本不等式(1)
问题情景
用一个两臂长短有差异的天平称一样物品，
有人说只要左右各秤一次，将两次所称重量相
加后除以2就可以了.你觉得这种做法比实际重
量轻了还是重了？
基本概念
ab 我们把 叫做a,b的算术平均数， 2
把
ab 叫做a,b的几何平均数。
问题:这两种平均数之间具有怎样的大小 关系呢？
合作探究
2已知x 0, y 0, 且2 x 5 y 20, 求 lg x lg y的
最小值.
(3)求函数y
x 5
2
x 4
2
的最小值.
例7(1)试判断 x(2 x)(0 x 2) 与 1 的大小 关系？
1 (2)试判断 y x(1 2 x)(0 x ) 的最值,并求相 2 应的x值.
1 例3:(1)函数y=x+ 的值域是______ x
课堂小结
知识要点： （1）基本不等式的条件、结构、特征. （2）基本不等式的应用. ①证明不等式；②求函数的最值.(一正;二定;三相等) 思想方法技巧： 证明不等式的方法: （1）*比较法、*分析法、*综合法. （2）配凑等技巧
思考：若a,b,c均为正数，试比较
例⒉已知a，b，c为正数， 求证：a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)
证明： ∵a2b2＋b2c2≥2ab2c
b2c2＋c2a2≥2bc2a
①
②
a2b2＋c2a2≥2ca2b
∴由①＋②＋③得
③
2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2abc(a＋b＋c) ∴ a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)
新课讲解 例⒈已知a，b，c是不全相等的正数， 求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc 证明：∵ ∴ 同理 b2＋c2 ≥2bc，a＞0 a(b2＋c2)≥2abc. ① b(c2＋a2)≥2abc. ② c(a2＋b2)≥2abc. ③ ∵ a，b，c是不全相等的正数， ∴b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，a2＋b2≥2ab 三式不能全取“＝”号 从而①、②、③三式不能全取“＝”号。 ∴ a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc
基本不等式1的妙用
基本不等式中“1 的妙用”一、考法解法命题特点分析此类题目主要特点是：1、两个变量是正实数（使用基本不等式的前提），2、有一个代数式①的值已知，求另一个代数式②的最小值，其中两个代数式一个是整式 ax + by ，一个是分式mx + ny ，当然会在此基础上进行变形。
解题方法荟萃主要是凑出可以使用基本不等式的形式： x y + y x的形式，多数情况下是让两个代数式相乘。
二、典型题剖析 例 1：（1）已知 x , y ∈ R * ， x + 2 y = 1，求1x +2y 的最小值；（2）已知 x , y ∈ R * ， x + 2 y = 3 ，求1x + 2y 的最小值；（3）已知 x , y ∈ R * ，3x +2y = 2 ，求 6x + 2 y 的最小值；（4）已知 x , y ∈ R * ， x + 2 y = xy ，求 x + 2 y 的最小值；【解析】这四个题目中，（1）是“1 的替换”的最基础题目，已知整式的值为 1，求分式的最小值，（2）是将已知值变成了 3，需要调节系数，（3）是已知分式的值求整式的最值，（4）对分式进行等价变换。
1 +2 = (x + 2 y )( 1 + 2) = 1+ 2x + 2 y + 4 ≥ 5 + 2= 9 【答案】（1） 4 x y x y xy当且仅当2y x = 2x y即 x = y = 13 时取等号1 21 (x +2 y )( 1 2 1 2x 2 y1（2）+=+) =（）（）1+ + + 4 ≥5 + 2 4 = 3x y 3 x y x 3 3 y当且仅当2y x = 2x y即 x = y = 13 时取等号（3） 6x + 2 y =12 (3x +2y )(6x + 2 y ) = 9 +3x y + 6y x+ 2 ≥ 18 + 626x 3y = x = y = 3 2+2当且仅当即 2 时取等号 y x 21（4）因为 x + 2 y = xy ，所以1y + 2x = 1，然后 x + 2 y =(x +2y)( 1y + 2x )= x y + 4x y+ 4 ≥ 8当且仅当x y = 4x y即 x = 2 y = 4 时取等号例 2：（1）已知 x , y ∈ R * ， x + y = 1，求 x1+1 + y 2+ 3 的最小值；*， x + y = 1，求 x 2 y 2（2）已知 x , y ∈ R + 的最小值；x +1 y + 1（3）已知 x , y ∈ R * ， x + y = 1，求 1 + 2的最小值；2x + y y + 3（4）已知 x , y ∈ R *， 2x + 3y = 1，求 1 + 2的最小值；x + y y + 3【解析】这四个题目是便是比较大的四个题目：（1）是分式的分母分别加上一个常数，为了能够使用基本不等式，我们需要对整式也进行相应的变形；（2）在上一题的基础上，是分式的分子分母不再是一个常数而是二次项，需要分离出一个代数式，变成熟悉的形式；（3）在（1）的情况下分母进一步变化，不是加一个常数，而是混搭的形式；（4）在上一题的基础之上不再是直接观察出结果，而是需要配凑一个系数。
基本不等式1
1 2 2 2 [(a b) (b c ) (c a ) ] 2 又 a， b R
（比较法）
(a b)2 0， (b c ) 2 0 ， (c a ) 2 0 1 [(a b)2 (b c )2 (c a )2 ] 0 2 a 2 b2 c 2 ab bc ca .
b R ，求证： a b c ab bc ca 例3 已知 a ，
2 2 2
b R 证法1： a ， 2 2 a b 2ab
b c 2bc
2 2
相加
c 2 a 2 2ca
（综合法）
得
2a 2 2b2 2c 2 2ab 2bc 2ca
两个重要不等式： 均值不等式
b R， 那么a 2 b2 2ab 基本不等式1： 如果 a ，
（当且仅当 a b 时取“ ” 号） .
ab b R ， 那么 ab 基本不等式2： 如 果 a ， 2 （当且仅当 a b 时取“ ” 号） .
注意：两个基本不等式的不同点和相同点: ① 两个不等式的适用范围不同； ② 等号成立的条件相同.
B
B
基本不等式1：
我们有 一般地，对于任意实数a、b， a 2 b2 2ab 你能给出它的证明吗？ 当且仅当 a=b 时，等号成立.
2 2 如果 a ， b R ， 那么 a b 2ab 基本不等式1：
（当且仅当 a b 时取“ ” 号） .
a b 2ab (a b) 证明：
两个重要不等式： 均值不等式
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得福家表 好看。”其实是还不如毓笙美。老太太也是看见毓笙的美，想滋养培育，售于帝王家，巩固苏家百年富贵基业？明秀无声的叹口气。她 不想入宫，但要宝音担此重任，她又难免嫉妒。第三十六章 凭尽栏杆说元夜（3) 筱筱搀扶明秀起身，外头夹脚响，一迭声的通传，五少爷来了。 看见明柯那兴冲冲、莽撞撞模样，明秀总想赠他五个字“哥舒夜带刀”。他也不避忌，索性外人面前那装出来的一点涵养也不要了，对着明秀就 跌足：“四姐，听说宝音的事了。”“真叫人难受。”明秀神色不动。“四姐……”明柯随着明秀走出两步，极低极低道，“宝音不干不关我们 的事吧？”明秀正待迈门槛，顿了顿：“那个玩笑，只是赶了巧罢！”明柯连连点头：“是！”“老五你精神不太好呢？要不歇着罢！”“不不， 谢谢四姐，我挺好的！”明柯怕她叫他歇着，别管田庄了。那两个庄子还是明秀鼎力帮忙，才说下来给他闹腾的。回头她要给他敲掉，怕不也易 如反掌？明秀是有这份能耐的！“四姐，那件事，我再也不提了！”明秀抿了抿嘴。那天姊弟之间说起来，宝音在老太太面前真是太得宠了，幸 而对苏家孩子们都不坏。受宠到什么地步、又不坏到什么地步呢？跟她开个玩笑罢！偷她一件东西出来。一听说宝音当晚死了，明秀心里也卟腾 腾跳，转念想，只是碰了巧了。难道宝音会到井里去找金像？又难道老太太会为个金像撺宝音进井里去不成？开玩笑！必是宝音失足，赶了巧了。 他们这玩笑却也不好说出来，惹人糟心。她已叫明柯赶紧的把金像处理了，接下去，只要闭嘴，一直闭下去，别再提，等这事儿在大伙的记忆中 渐渐褪色就好。“四姐，”明柯又道，“我找了小厮，来抬琴了哈？”“抬就抬吧，噜嗦到现在。”明秀是抱怨，但抱怨得很娇美。为了掩饰自 己的感情，她目视前方，没有看他，也就没有看见他低下头，忍回去一个笑。甜蜜蜜、甜蜜得几乎要淬出一把刀锋似的、那样的笑。去往老太太 院子的路上，明秀遇到了明远。明远的神态，让明秀心里格噔一声。她主动迎上去，笑问：“大哥，哪里去？”“去找明蕙。”明远怒容未歇。 “明蕙怎么了？”明秀问。“她干的好事！”明远跟明秀全说出来，自从得知外头传芙蓉花主，明远总归很介意，想着蝶宵华无意中脱口出这四 字，外头正传四字，哪有这样巧的？但经宝音一阻，明远也想过来了，蝶宵华不是乱传的人，再一回忆，宝音院中芙蓉泣血时，他心里煞是惊痛， 口里漏出一句：“前有芙蓉花主之戏谶，而今便花木伤损、根须啼血，莫非笙妹妹不好了？”这话只在他大丫头漓桃面前说，便去问漓桃，漓桃 也慌了，承认自己不知利害，老太太处分刘四姨娘与明蕙时，明蕙丫头唧唧囔囔不服气，她便说了芙蓉与其主
16
课外练习:
1 3 1.(2001 全国高中联赛)不等式 2 的解集是 ______. log 1 x 2
2
(0,1)
(1, 2 )
7 2
(4, )
2.(2003 全国高中联赛 )不等式 x 2 x 2 4 x 3 0 的解集是 5 1 5 1 ________. (3, ) ( , 3) 2 2 1 3.不等式 log2 x 1 log 1 x 3 2 0 的解集为(C ) 2 2 (A) 2,3 (B) 2,3 (C) 2,4 (D) 2,4 4.(2002 全国高中联赛)使不等式 sin2 x a cos x a 2 ≥ 1 cos x 对一切实数 x 恒成立的负数 a 的取值范围是________. a ≤ 2
解不等式的主要知识见教程 P244 至 P245 内容.
你知道“穿线法”吗? 你会解绝对值不等式吗?
你解不等式有一些什么常用方法？
Hale Waihona Puke 因式分解法（穿线法）、图象法、单调性法、化归法
思考 1 ⑴ 不 等式 ( x 1)( x 1)( x 3)( x 5) 0 的 解 集 是 __________________________. x 5 x 3 或 1 x 1 2 2 ⑵ 不等式 ( x 1)( x 2 x 3)( x 5) 0 的解集 是 x 5 x 1 或 1 x 1或x 3 __________________________. ⑶不等式 x 3 5 x 6 的解集是______________.
x x 1
思考 2
4 x 2 20 x 18 ⑴ 不 等 式 ≥3 的 解 集 是 2 x 5x 4 __________________________. x x 1 或 2 ≤ x ≤ 3 或 x 4 xa ≥0 的 解 集 为 ⑵ 若 不 等 式 2 x 4x 3 2. x 3 x 1 或 x ≥ 2 ,则 a ____
(1, 2)
(3, )
练习
练习: ( ,1) x x 1.不等式 3 2 1 的解集是____________. 2.若定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 在 0, 上是增函
1 数,且 f ( ) 0 ,则不等式 f (log 1 x ) 0 的解集是__ 3 8 1 (2, ) (0, ) __________. 2 1 2 3. 已知关于 x 的不等式 x logm x 的解集为 (0, ) , 2 1 则 m ____ .
竞赛辅导─不等式(一)
引入
不等式的 解法知识
思考1
思考2
思考3
课外练习
竞赛辅导─不等式
不等式在数学中占有重要地位， 是竞赛 和高考中的热点问题 , 不等式可以与许多 内容 有关出现在问题中 .
所以掌握不等式的一些常用解法和不等 式的证明的常用方法显得相当重要 .
竞赛辅导─不等式(一) 不等式的解法
2 3 10 ) 6 的解集是______. ⑶不等式 ( x 1 x 1
x x 3 或 x 1
思考 3: 2 ⑴ ( 教 程 P257 第 7 题 ) 不等式 logsin x 2 x logsin x x 在 区间 (0,2 ) 上的解集是________________. x 2 x ⑵不等式 2 x 4 x 1 的解集是_____________. x 2≤ x 3 1 1 ⑶不等式 的解集是___________. log2 ( x 1) log2 x 1