【精选】北师大初中数学中考冲刺：创新、开放与探究型问题--巩固练习(基础)
北师大初中数学中考冲刺：创新、开放与探究型问题--知识讲解(基础)-精选
中考冲刺：创新、开放与探究型问题—知识讲解（基础）【中考展望】所谓开放探索型问题指的是有些数学问题的条件、结论或解决方法不确定或不唯一，需要根据题目的特点进行分析、探索，从而确定出符合要求的答案(一个、多个或所有答案)或探索出解决问题的多种方法．由于开放探究型问题对考查学生思维能力和创造能力有积极的作用，是近几年中考命题的一个热点．通常这类题目有以下几种类型：条件开放与探索，结论开放和探索，条件与结论都开放与探索及方案设计、命题组合型、问题开放型等．【方法点拨】由于开放探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．3．分类讨论法．当命题的题设和结论不唯一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．【典型例题】类型一、探究规律1．观察下列各式：222211⨯=+，333322⨯=+，444433⨯=+，555544⨯=+，…想一想，什么样的两数之积等于这两数之和？设n表示正整数，用关于n的等式表示这个规律．【思路点拨】所给各式中的两个数中，一个是分数，一个是整数，且分数的分子比分母大1，分子与整数相等，因此得出规律.【答案与解析】所给各式中的两个数中，一个是分数，一个是整数，且分数的分子比分母大1，分子与整数相等，因此得到规律：11(1)(1)n nn nn n+++=++(n为正整数)【总结升华】这个规律是否正确呢？可将等式左右两边分别化简，即能得出结论．对于“数字规律”的观察，要善于发现其中的变量与不变量，以及变量与项数之间的关系，将规律用代数式表示出来．举一反三：【变式】（2015秋•日照期中）如图，把一条绳子折成3折，用剪刀从中剪断，如果剪一刀得到4条绳子，如果剪两刀得到7条绳子，如果剪三刀得到10条绳子，…，依照这种方法把绳子剪n刀，得到的绳子的条数为（）A．n B．4n+5 C．3n+1 D．3n+4【答案】C【解析】解：设段数为x则依题意得：n=0时，x=1，n=1，x=4，n=2，x=7，n=3，x=10，…所以当n=n时，x=3n+1．故选：C．类型二、条件开放型2．如图所示，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E，F是对角线AC上的点．(1)若________________________，则△DEC≌△BFA(请你填上能使结论成立的一个条件)；(2)证明你的结论．【思路点拨】（1）已知了一边AD=BC，和一角（AD∥BC，∠DAC=∠BCA）相等．根据全等三角形的判定AAS、SAS、ASA等，只要符合这些条件的都可以．（2）按照（1）中的条件根据全等三角形的判定进行证明即可．【答案与解析】解：(1)AE＝CF；(OE＝OF；DE⊥AC，BF⊥AC；DE∥BF等等)(2)以AE＝CF为例．∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∠DCE＝∠BAF．又∵AE＝CF．∴AC －AE ＝AC －CF ．∴AF ＝CE ，∴△DEG ≌△BAF ． 【总结升华】这是一道探索条件、补充条件的开放型试题，解决这类问题的一般方法是：从结论出发，由果寻因，逆向推理，探寻出使结论成立的条件；有时也采取把可能产生结论的条件一一列出，逐个分析考察． 举一反三：【变式】如图，飞机沿水平方向（A ，B 两点所在直线）飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M 到飞行路线AB 的距离MN ．飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离（因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N 处才测飞行距离），请设计一个求距离MN 的方案，要求： （1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）； （2）用测出的数据写出求距离MN 的步骤．【答案】解：此题为开放题，答案不唯一，只要方案设计合理，可参照给分 ⑴如图，测出飞机在A 处对山顶的俯角为α，测出飞机在B 处对山顶的俯角为β，测出AB 的距离为d ，连接AM ，BM ．⑵第一步，在AMN Rt ∆中，AN MN =αtan ∴αtan MNAN =；第二步，在BMN Rt ∆中，BNMN=βtan ∴βtan MN BN =；其中BN d AN +=，解得αββαtan tan tan tan -⋅⋅=d MN ．类型三、结论开放型3．已知：如图(a)，Rt △ABC ≌Rt △ADE ，∠ABC ＝∠ADE ＝90°，试以图中标有字母的点为端点，连接两条线段，如果你所连接的两条线段满足相等、垂直或平行关系中的一种，那么请你把它写出来并证明．【思路点拨】此题需分三种情况讨论：第一种相等CD=BE ，第二种垂直AF ⊥BD ，第三种是平行DB ∥CE ．首先利用全等三角形的性质，再利用三角形全等的判定定理分别进行证明即可．【答案与解析】解：可以写出的结论有：CD＝BE，DB∥CE，AF⊥BD，AF⊥CE等．(1)如图(b)，连接CD，BE，得CD＝BE．证明：∵△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，AC＝AE．又∠CAB＝∠EAD，∴∠CAD＝∠E1AB．∴△ADC≌△ABE．∴CD＝BE．(2)如图(c)，连接DB，CE，得DB∥CE．证明：∵△ABC≌△ADE，∴AD＝AB．∴∠ADB＝∠ABD．∵∠ABC＝∠ADE，∴∠BDF＝∠FBD．由AC＝AE可得∠ACE＝∠AEC．∵∠ACB＝∠AED，∴∠FCE＝∠FEC．∵∠BDF+∠FBD＝∠FCE+∠FEC，∴∠FCE＝∠DBF．∴DB∥CE．(3)如图(d)，连接DB，AF，得AF⊥BD．∵△ABC≌△ADE，∴AD＝AB，∠ABC＝∠ADE＝90°．又∵AF＝AF，∴△ADF≌△ABF．∴∠DAF＝∠BAF．∴AF⊥BD．(4)如图(e)，连接CE、AF，得AF⊥CE．同(3)得∠DAF＝∠BAF．可得∠CAF＝∠EAF．∴AF⊥BD．【总结升华】本题考查了全等三角形的判定及性质；要对全等三角形的性质及三角形全等的判断定理进行熟练掌握、反复利用，达到举一反三． 举一反三：【变式】数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图1，正方形ABCD 的边长为12，P 为边BC 延长线上的一点，E 为DP 的中点，DP 的垂直平分线交边DC 于M ，交边AB 的延长线于N.当CP=6时，EM 与EN 的比值是多少？经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E 作直线平行于BC 交DC ，AB 分别于F ，G ，如图2，则可得：DF DEFC EP=，因为DE EP =，所以DF FC =.可求出EF 和EG 的值，进而可求得EM 与EN 的比值.(1) 请按照小明的思路写出求解过程.(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了DP MN =的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.【答案】（1）解：过E 作直线平行于BC 交DC ，AB 分别于点F ，G ，则DF DE FC EP =，EM EFEN EG=，12GF BC ==. ∵DE EP =，∴DF FC =. ∴116322EF CP ==⨯=，12315EG GF EF =+=+=. ∴31155EM EF EN EG ===. （2）证明：作MH ∥BC 交AB 于点H ，则MH CB CD ==，90MHN ∠=︒. ∵1809090DCP ∠=︒-︒=︒， ∴DCP MHN ∠=∠.∵90MNH CMN DME CDP ∠=∠=∠=︒-∠，90DPC CDP ∠=︒-∠， ∴DPC MNH ∠=∠.∴DPC MNH ∆≅∆. ∴DP MN =.类型四、动态探究型4．（2016•平南县二模）已知：在△AOB 与△COD 中，OA=OB ，OC=OD ，∠AOB=∠COD=90°．（1）如图1，点C 、D 分别在边OA 、OB 上，连结AD 、BC ，点M 为线段BC 的中点，连结OM ，则线段AD 与OM 之间的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）如图2，将图1中的△COD 绕点O 逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．连结AD 、BC ，点M 为线段BC 的中点，连结OM ．请你判断（1）中的两个结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，将图1中的△COD 绕点O 逆时针旋转到使△COD 的一边OD 恰好与△AOB 的边OA 在同一条直线上时，点C 落在OB 上，点M 为线段BC 的中点．请你判断（1）中线段AD 与OM 之间的数量关系是否发生变化，写出你的猜想，并加以证明． 【思路点拨】（1）AD 与OM 之间的数量关系为AD=2OM ，位置关系是AD ⊥OM ；（2）（1）中的两个结论仍然成立，利用中位线定理得到FC=2OM ，利用SAS 得到三角形AOD 与三角形FOC 全等，利用全等三角形的对应边相等得到FC=AD ，等量代换得到AD=2OM ；由OM 为三角形BCF 的中位线，利用中位线定理得到OM 与CF 平行，利用两直线平行同位角相等得到∠BOM=∠F ，由全等三角形的对应角相等得到∠F=∠OAD ，等量代换得到∠BOM=∠OAD ，根据∠BOM 与∠AOM 互余，得到∠OAD 与∠AOM 互余，即可确定出OM 与AD 垂直，得证；（3）（1）中线段AD与OM之间的数量关系没有发生变化，理由为：如图3所示，延长DC交AB于E，连结ME，过点E作EN⊥AD于N，由三角形COD与三角形AOB都为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到四个角为45度，进而得到三角形MCE与三角形AED为等腰直角三角形，根据EN 为直角三角形ADE斜边上的中线得到AD=2EN，再利用三个角为直角的四边形为矩形得到四边形OMEN为矩形，可得出EN=OM，等量代换得到AD=2OM．【答案与解析】解：（1）线段AD与OM之间的数量关系是AD=2OM，位置关系是AD⊥OM；（2）（1）的两个结论仍然成立，理由为：证明：如图2，延长BO到F，使FO=BO，连结CF，∵M为BC中点，O为BF中点，∴MO为△BCF的中位线，∴FC=2OM，∵∠AOB=∠AOF=∠COD=90°，∴∠AOB+∠BOD=∠AOF+∠AOC，即∠AOD=∠FOC，在△AOD和△FOC中，，∴△AOD≌△FOC（SAS），∴FC=AD，∴AD=2OM，∵MO为△BCF的中位线，∴MO∥CF，∴∠MOB=∠F，又∵△AOD ≌△FOC ， ∴∠DAO=∠F ，∵∠MOB+∠AOM=90°，∴∠DAO+∠AOM=90°，即AD ⊥OM ；（3）（1）中线段AD 与OM 之间的数量关系没有发生变化，理由为：证明：如图3，延长DC 交AB 于E ，连结ME ，过点E 作EN ⊥AD 于N ， ∵OA=OB ，OC=OD ，∠AOB=∠COD=90°， ∴∠A=∠D=∠B=∠BCE=∠DCO=45°， ∴AE=DE ，BE=CE ，∠A ED=90°， ∴DN=AN ， ∴AD=2NE ， ∵M 为BC 的中点， ∴EM ⊥BC ，∴四边形ONEM 是矩形． ∴NE=OM ， ∴AD=2OM ．故答案为：AD=2OM ；AD ⊥OM ．【总结升华】此题考查了几何变换综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，是一道多知识点探究性试题． 类型五、创新型5．认真观察图3的4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：（1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征．特征1：_________________________________________________； 特征2：_________________________________________________．（2）请在图4中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征 【思路点拨】本题主要考查轴对称图形，中心对称图形的知识点，以及学生的观察能力及空间想象能力． 【答案与解析】（1）特征1：都是轴对称图形；特征2：都是中心对称图形；特征3：这些图形的面积都等于4个单位面积等．（2）满足条件的图形有很多，只要画正确一个，就可以得满分．图4 图3图5【总结升华】本题为开放型试题，答案并不唯一，只要考生能够写出一种符合要求的情景即可，该题为考生提供了一个广阔的发挥空间，但是学生必须通过前四个图形发现其中蕴涵的规律，依照此规律来画出自己想象中的美妙图形．。
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中考冲刺：方案设计与决策型问题—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：①洗锅盛水需2分钟；②洗菜需3分钟；③准备面条及佐料需2分钟；④用锅把水烧开需7分钟；⑤用烧开的水煮面条和菜需3分钟．以上各工序除(4)外，一次只能进行一道工序，小明要将面条煮好，最少用( )A．14分钟 B．13分钟 C．12分钟 D．11分钟2．某学校组织340名师生进行长途考察活动，带有行李170件，计划租用甲、乙两种型号的汽车共10辆．经了解，甲车每辆最多能载40人和16件行李，乙车每辆最多能载30人和20件行李．请问可行的租车方案有( )A．2种 B．3种 C．4种 D．5种3．（2016•邯郸一模）如图是小李销售某种食品的总利润y元与销售量x千克的函数图象（总利润=总销售额﹣总成本）．由于目前销售不佳，小李想了两个解决方案：方案（1）是不改变食品售价，减少总成本；方案（2）是不改变总成本，提高食品售价．下面给出的四个图象中虚线表示新的销售方式中利润与销售量的函数图象，则分别反映了方案（1）（2）的图象是（）A．②，③ B．①，③ C．①，④ D．④，②二、填空题4．（2016春•乳山市期中）某足球赛一个赛季共进行了26轮比赛（即每队均需26场），其中胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在这个赛季中平局的场数比负的场数多7场，结果共得34分，则这个队在第一赛季中胜、平、负的场数依次是．5．开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本．(1)每支钢笔的价格为；每本笔记本的价格为；(2)校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有种购买方案？请你一一写出．6.“五·一”假期，梅河公司组织部分员工到A、B、C三地旅游，公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图，如图．根据统计图回答下列问题：（1）前往A 地的车票有_____张，前往C 地的车票占全部车票的________%；（2）若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配给100名员工，在看不到车票的条件下，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小王抽到去B 地车票的概率为______.三、解答题7．（2015春•高新区期末）为了实现区域教育均衡发展，我区计划对A ，B 两类学校分批进行改进，根据预算，改造一所A 类学校和两所B 类学校共需资金230万元，改造两所A 类学校和一所B 类学校共需资金205万元．（1）改造一所A 类学校和一所B 类学校所需的资金分别是多少万元？（2）我区计划今年对A 、B 两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过380万元，地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A 、B 两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元，请你通过计算求出有几种改造方案？哪种改造方案所需资金最少，最少资金为多少？8.某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，每月能卖出500个.商场想了两个方案来增加利润：方案一：提高价格，但这种商品每个售价涨价1元，销售量就减少10个；方案二：售价不变，但发资料做广告.已知这种商品每月的广告费用m (千元)与销售量倍数p 关系为p =m m 24.02+-；试通过计算，请你判断商场为赚得更大的利润应选择哪种方案？请说明你判断的理由！9.为执行中央“节能减排，美化环境，建设美丽新农村”的国策，我市某村计划建造A 、B 两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题．两种型号沼气池的占地面积、使用农户数及造价见下表： 型号 占地面积(单位:m 2/个 )使用农户数 (单位:户/个) 造价 (单位: 万元/个) A 1518 2 B 20 303 已知可供建造沼气池的占地面积不超过365m 2，该村农户共有492户．(1)满足条件的方案共有几种?写出解答过程；(2)通过计算判断，哪种建造方案最省钱．10.阅读下列材料：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形.他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点O旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG.请你参考小明的做法解决下列．．．．．．．．．．．．．．．．问题：（1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示.请将其分割后拼接成一个平行四边形.要求：在图3中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；（2）如图4，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ，请在图4中探究平行四边形MNPQ面积的大小（画图表明探究方法并直接写出结果）.【答案与解析】一、选择题1.【答案】C；【解析】洗锅盛水2分钟，用锅把水烧开7分钟，用烧开的水煮面和菜要3分钟，这样一共是12分钟.而洗菜的3分钟和准备面及佐料的2分钟可以在烧开水的过程中来做.2.【答案】C；【解析】解：设甲车a辆，则乙车（10-a）辆.根据题意：40a+30×（10-a）≥340①16a+20×（10-a）≥170②由①得40a+300-30a≥340，a≥4由②得16a+200-20a≥170，a≤7.5所以4≤a≤7.5a=4，5，6，7所以租车方案有4种.3.【答案】B；【解析】①根据函数图象可知，斜率不变，与y轴交点上移，即售价不变，总成本减少；②根据函数图象可知，斜率不变，与y轴交点下移，即售价不变，总成本增加；③根据函数图象可知，斜率变大，与y轴交点不变，即总成本不变，售价增加；④根据函数图象可知，斜率变小，与y轴交点不变，即总成本不变，售价减少．表示方案（1）的图象为①，表示方案（2）的图象为③．故选B ．二、填空题4.【答案】7、13、6；【解析】设这个队在第一赛季中胜了x 场，负了y 场，平了（y+7）场， 根据题意得：， 解得：， ∴y+6=13．故答案为：7、13、6．5.【答案】（1）3元，5元；（2）5；20，28；21，27；22，26；23，25；24，24． 【解析】（1)设每支钢笔x 元，每本笔记本y 元，依题意得：⎩⎨⎧=+=+3152183y x y x 解得：⎩⎨⎧==53y x 所以，每支钢笔3元，每本笔记本5元.(2)设买a 支钢笔，则买笔记本(48－a )本依题意得：⎩⎨⎧≥-≤-+aa a a 48200)48(53，解得：2420≤≤a ，所以，一共有５种方案即购买钢笔、笔记本的数量分别为：20，28；21，27；22，26；23，25；24，24．6.【答案】（1）30；20．（2）12．【解析】（1）考查了条形图的知识，解题的关键是识图；（2）让去B 地车票数除以车票总数即为所求的概率；三、解答题7.【答案与解析】 （1）解：设改造一所A 类学校需资金a 万元一所B 类学校需资金a 万元．，解得．答：改造一所A 类学校需资金60万元，一所B 类学校需资金85万元；（2）解：设改造x 所A 类学校，（6﹣x ）所B 类学校，依题意得，解得2≤x≤4，又因为x 是整数，∴x=2、3、4、6﹣x=4、3、2．所以共有三种方案：改造A 类学校2所，B 类学校4所；改造A 类学校3所，B 类学校3所；改造A 类学校4所，B 类学校2所．设改造方案所需资金W 万元w=60x+85（6﹣x ）=﹣25x+510．所以当x=4时，w 最小=410．答：改造A 类学校4所B 类学校2所用资金最少为410万元．8．【答案与解析】解：设涨价x 元，利润为y 元，则方案一：9000)20(10500040010)10500)(4050(22+--=++-=--+=x x x x x y∴方案一的最大利润为9000元；方案二：10125)25.2(2000900020001000500)4050(22+--=+-=-⨯-=x m m m p y∴方案二的最大利润为10125元；∴选择方案二能获得更大的利润.9．【答案与解析】解:(1)设建造A 型沼气池x 个，则建造B 型沼气池(20－x )个.依题意得:()()⎩⎨⎧≥-+≤-+492203018365202015x x x x 解得：7≤ x ≤ 9 ∵x 为整数， ∴ x = 7，8 ，9 ，∴满足条件的方案有三种.(2)设建造A 型沼气池 x 个时，总费用为y 万元，则：y =2x +3(20－x )=－x+ 60∵－1<0，∴y 随x 增大而减小，当x =9 时，y 的值最小，此时y =51(万元)∴此时方案为：建造A 型沼气池9个，建造B 型沼气池11个．解法②:由(1)知共有三种方案，其费用分别为：方案一:建造A 型沼气池7个，建造B 型沼气池13个，总费用为:7×2 + 13×3 = 53( 万元 )方案二: 建造A 型沼气池8个， 建造B 型沼气池12个，总费用为:8×2 + 12×3 = 52( 万元 )方案三: 建造A 型沼气池9个， 建造B 型沼气池11个，总费用为:9×2 + 11×3 = 51( 万元 )∴方案三最省钱.10．【答案与解析】⑴如图中平行四边形即为所求.⑵如图：平行四边形MNPQ 面积为52.。
华东师大初中数学中考冲刺：创新、开放与探究型问题--巩固练习(基础) (精选)
中考冲刺：创新、开放与探究型问题—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．若自然数n使得三个数的加法运算“n+(n+1)+(n+2)”产生进位现象，则称n为“连加进位数”．例如：2不是“连加进位数”，因为2+3+4＝9不产生进位现象；4是“连加进位数”，因为4+5+6＝15产生进位现象；51是“连加进位数”，因为51+52+63＝156产生进位现象．如果从0，1，2，…，99这100个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是( )A．0.88 B．0.89 C．0.90 D．0.912．如图，点A，B，P在⊙O上，且∠APB＝50°，若点M是⊙O上的动点，要使△ABM为等腰三角形，则所有符合条件的点M有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2016秋•永定区期中）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③个图形一共有16颗棋子，…，则第⑧个图形中棋子的颗数为（）A．226 B．181 C．141 D．106二、填空题4．（2015秋•淮安校级期中）电子跳蚤游戏盘为△ABC，AB=8，AC=9，BC=10，如果电子跳蚤开始时在BC 边上的P0点，BP0=4．第一步跳蚤跳到AC边上P1点，且CP1=CP0；第二步跳蚤从P1跳到AB边上P2点，且AP2=AP1；第三步跳蚤从P2跳回到BC边上P3点，且BP3=BP2；…跳蚤按上述规则跳下去，第2015次落点为P2016，则P3与P2016之间的距离为．5．下图为手的示意图，在各个手指间标记字母A ，B ，C ，D ，请你按图中箭头所指方向(如A →B →C →D →C →B →A →B →C →…的方式)从A 开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是________；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是________；当字母C 第2n+1次出现时(n 为正整数)，恰好数到的数是________(用含n 的代数式表示)．6. (1)如图(a)，∠ABC ＝∠DCB ，请补充一个条件：________，使△ABC ≌△DCB ．(2)如图(b)，∠1＝∠2，请补充一个条件：________，使△ABC ≌△ADE ．三、解答题7．如图所示，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，对角线AC 和BD 相交于点O ，E 是BC 边上一个动点(点E 不与B ，C 两点重合)，EF ∥BD 交AC 于点F ，EG ∥AC 交BD 于点G ．(1)求证：四边形EFOG 的周长等于2OB ；(2)请你将上述题目的条件“梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论“四边形EFOG 的周长等于2OB ”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证，不必证明．8．如图所示，平面直角坐标系内有两条直线1l ，2l ，直线1l 的解析式为213y x =-+．如果将坐标纸折叠，使直线1l 与2l 重合，此时点(-2，0)与点(0，2)也重合．(1)求直线2l 的解析式；(2)设直线1l 与2l 相交于点M ．问：是否存在这样的直线:l y x t =+，使得如果将坐标纸沿直线l 折叠，点M 恰好落在x 轴上？若存在，求出直线l 的解析式；若不存在，请说明理由．9．（2015•黄陂区校级模拟）正方形ABCD 中，将一个直角三角板的直角顶点与点A 重合，一条直角边与边BC 交于点E （点E 不与点B 和点C 重合），另一条直角边与边CD 的延长线交于点F ．（1）如图①，求证：AE=AF ；（2）如图②，此直角三角板有一个角是45°，它的斜边MN 与边CD 交于G ，且点G 是斜边MN 的中点，连接EG ，求证：EG=BE+DG ；（3）在（2）的条件下，如果=，那么点G 是否一定是边CD 的中点？请说明你的理由．10. （2016•天门）如图①，半圆O 的直径AB=6，AM 和BN 是它的两条切线，CP 与半圆O 相切于点P ，并于AM ，BN 分别相交于C ，D 两点．（1）请直接写出∠COD 的度数；（2）求AC•BD 的值；（3）如图②，连接OP 并延长交AM 于点Q ，连接DQ ，试判断△PQD 能否与△ACO 相似？若能相似，请求AC ：BD 的值；若不能相似，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1.【答案】A；【解析】不是“连加进位数”的有“0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，31，32”共有12个．∴P(取到“连加进位数”)＝100120.88 100-=．2.【答案】D；【解析】如图，①过圆点O作AB的垂线交AB和APB于M1，M2．②以B为圆心AB为半径作弧交圆O于M3．③以A为圆心，AB为半径弧作弧交圆O于M4．则M1，M2，M3，M4都满足要求．3.【答案】C；【解析】设第n个图形中棋子的颗数为a n（n为正整数），观察，发现规律：a1=1，a2=1+3+2=6，a3=1+3+5+4+3=16，…，∴a n=1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n﹣2）+…+n=n2+=n2﹣n+1，当n=8时，a8=×82﹣×8+1=141．二、填空题4.【答案】1．【解析】∵BC=10，BP0=4，知CP0=6，∴CP1=6．∵AC=9，∴AP2=AP1=3．∵AB=8，∴BP3=BP2=5．∴CP4=CP3=5，∴AP4=4．∴AP5=AP4=4，∴BP5=4．∴BP6=BP5=4．此时P6与P0重合，即经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点．2016÷6=336，即P2016与P0重合，∴P3与P2016之间的距离为P3P0=1．故答案为：1．5.【答案】B； 603； 6n+3．【解析】由题意知A→B→C→D→C→B→A→B→C→D→C→B→A→B…，每隔6个数重复一次“A→B→C→D →C→B→”，所以，当数到12时对应的字母是B；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是201×3＝603；当字母C第2n+1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是(2n+1)×3＝6n+3．6.【答案】答案不唯一．(1)如图(a)中∠A＝∠D，或AB＝DC；(2)图(b)中∠D＝∠B，或AB ACAD AE等．三、解答题7.【答案与解析】(1)证明：∵四边形ABCD是梯形，AD∥BC，AB＝CD，∴∠ABC＝∠DCB．又∵BC＝CB，AB＝DC，∴△ABC≌△DCB．∴∠1＝∠2．又∵ GE∥AC，∴∠2＝∠3．∴∠1＝∠3．∴EG＝BG．∵EG∥OC，EF∥OB，∴四边形EGOF是平行四边形．∴EG＝OF，EF＝OG．∴四边形EGOF的周长＝2(OG+GE)＝2(OG+GB)＝2OB．(2)方法1：如图乙，已知矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为BC上一个动点(点E不与B ，C 两点重合)，EF ∥BD ，交AC 于点F ，EG ∥AC 交BD 于点G ．求证：四边形EFOG 的周长等于2OB ．图略．方法2：如图丙，已知正方形ABCD 中，……其余略．8. 【答案与解析】解：(1)直线1l 与y 轴交点的坐标为(0，1)．由题意，直线1l 与2l 关于直线y x =-对称，直线2l 与x 轴交点的坐标为(-1，0)．又∵直线1l 与直线y x =-的交点为(-3，3)，∴直线2l 过点(-1，0)和(3，3)．设直线2l 的解析式为y ＝kx+b ．则有0,3 3.k b k b -+=⎧⎨-+=⎩ 解得3,23.2k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 所求直线2l 的解析式为3322y x =--． (2)∵直线l 与直线y x =-互相垂直，且点M(-3，3)在直线y x =-上，∴如果将坐标纸沿直线l 折叠，要使点M 落在x 轴上，那么点M 必须与坐标原点O 重合，此时直线l 过线段OM 的中点33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 将32x =-，32y =代入y ＝x+t ，解得t ＝3． ∴直线l 的解析式为y ＝x+3．9．【答案与解析】解：（1）如图①，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B=∠BAD=∠ADC=∠C=90°，AB=AD ．∵∠EAF=90°，∴∠EAF=∠BAD ，∴∠EAF ﹣∠EAD=∠BAD ﹣∠EAD ，∴∠BAE=∠DAF ．在△ABE 和△ADF 中，∴△ABE ≌△ADF （ASA ）∴AE=AF；（2）如图②，连接AG，∵∠MAN=90°，∠M=45°，∴∠N=∠M=45°，∴AM=AN．∵点G是斜边MN的中点，∴∠EAG=∠NAG=45°．∴∠EAB+∠DAG=45°．∵△ABE≌△ADF，∴∠BAE=∠DAF，AE=AF，∴∠DAF+∠DAG=45°，即∠GAF=45°，∴∠EAG=∠FAG．在△AGE和AGF中，，∴△AGE≌AGF（SAS），∴EG=GF．∵GF=GD+DF，∴GF=GD+BE，∴EG=BE+DG；（3）G不一定是边CD的中点．理由：设AB=6k，GF=5k，BE=x，∴CE=6k﹣x，EG=5k，CF=CD+DF=6k+x，∴CG=CF﹣GF=k+x，在Rt△ECG中，由勾股定理，得（6k﹣x）2+（k+x）2=（5k）2，解得：x1=2k，x2=3k，∴CG=4k或3k．∴点G不一定是边CD的中点．10．【答案与解析】解：（1）∠COD=90°．理由：如图①中，∵AB是直径，AM、BN是切线，∴AM⊥AB，BN⊥AB，∴AM∥BN，∵CA、CP是切线，∴∠ACO=∠OCP，同理∠ODP=∠ODB，∵∠ACD+∠BDC=180°，∴2∠OCD+2∠ODC=180°，∴∠OCD+∠ODC=90°，∴∠COD=90°．（2）如图①中，∵AB是直径，AM、BN是切线，∴∠A=∠B=90°，∴∠ACO+∠AOC=90°，∵∠COD=90°，∴∠BOD+∠AOC=90°，∴∠ACO=∠BOD，∴RT△AOC∽RT△BDO，∴=，即AC•BD=AO•BO，∵AB=6，∴AO=BO=3，∴AC•BD=9．（3）△PQD能与△ACQ相似．∵CA、CP是⊙O切线，∴AC=CP，∠1=∠2，∵DB、DP是⊙O切线，∴DB=DP，∠B=∠OPD=90°，OD=OD，∴RT△ODB≌RT△ODP，∴∠3=∠4，①如图②中，当△PQD∽△ACO时，∠5=∠1，∵∠ACO=∠BOD，即∠1=∠3，∴∠5=∠4，∴DQ=DO，∴∠PDO=∠PDQ，∴△DCQ≌△DCO，∴∠DCQ=∠2，∵∠1+∠2+∠DCQ=180°，∴∠1=60°=∠3，在RT△ACO，RT△BDO中，分别求得AC=，BD=3，∴AC：BD=1：3．②如图②中，当△PQD∽△AOC时，∠6=∠1，∵∠2=∠1，∴∠6=∠2，∴CO∥QD，∴∠1=∠CQD，∴∠6=∠CQD，∴CQ=CD，∵S△CDQ=•CD•PQ=•CQ•AB，∴PQ=AB=6，∵CO∥QD，∴=，即=，∴AC：BD=1：2。
中考数学冲刺：创新、开放和探究型问题(基础).doc
中考冲刺：创新、开放与探究型问题（基础）一、选择题1.若自然数n使得三个数的加法运算“n+（n+l） + （n+2）”产生进位现彖，则称n为“连加进位数”.例如：2不是“连加进位数”，因为2+3+4=9不产生进位现象；4是“连加进位数”，因为4+5+6 = 15产生进位现象；51是“连加进位数”，因为51+52+63 = 156产生进位现象.如果从0, 1, 2,…，99这100个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数” 的概率是（）A. 0.88B. 0.89C. 0.90D. 0.912.如图，点A, B, P在©0±,且ZAPB = 50°,若点M是（DO上的动点，要使△ABM为等腰三角形，则所有符合条件的点卜1有（A. 1个B. 2个C. 3个3.（2016秋•永定区期中）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③个图形一共有16颗棋子，・・・，则第⑧个图形中棋子的颗数为（）图①图②图③A. 226B. 181C. 141D. 106二、填空题4.（2015秋•淮安校级期中）电子跳虽游戏盘为AABC, AB二8, AC二9, BO10,如果电子跳蚤开始时在BC边上的P。
点,BP0=4.第一步跳蚤跳到AC边上P】点,且CP】二CP。
；第二步跳虽从Pi跳到AB边上P2点，且AP2=AP1；第三步跳蚤从P2跳回到BC边上D点，H BP3=B1\；… 跳蚤按上述规则跳下去，第2015次落点为匕恥，则心与Do®之间的距离为__________ ・P Q卩35.下图为手的示意图，在各个手指间标记字母A, B, C, D,请你按图中箭头所指方向(如A-B-C-D-C-B-A-B-C-…的方式)从A开始数连续的正整数1, 2, 3, 4,…，当数到12时，对应的字母是________ ；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是________ ；当字母C第2n+l次岀现时(n为正整数)，恰好数到的数是(用含n的代数式表示).6. (1)如图(a), ZABC=ZDCB,请补充一个条件：，使厶ABC^ADCB.(2)如图(b), Z1 = Z2,请补充一个条件：______________ ，使△ ABC^AADE.三、解答题7.如图所示，已知在梯形ABCD中，八D〃BC, AB = DC,对角线AC和BD相交于点0, E 是BC边上一个动点(点E不与B, C两点重合)，EF〃BD交AC于点F, EG〃AC交BD于点G.(1)求证:四边形EF0G的周长等于20B；(2)请你将上述题目的条件“梯形八BCD中，八D〃BC, AB=DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论“四边形EF0G的周长等于20B”仍成立，并将改编后的题目画出图形, 写出己知、求证，不必证明.2 1I i i尹=_£兀 + 18.如图所示，平面直角坐标系内有两条直线‘1, ‘2,直线‘1的解析式为 3 .如果将坐标纸折卷，使直线约与边重合，此时点(-2, 0)与点(0, 2)也重合.(1)求直线“的解析式；(2)设直线A与右相交于点M.问：是否存在这样的直线使得如果将坐标纸沿直线？折叠，点M恰好落在x轴上？若存在，求出直线2的解析式；若不存在，请说明理由.9.(2015-黄陂区校级模拟)正方形ABCD中，将一个直角三角板的直角顶点与点A重合，一条直角边与边BC交于点E (点E不与点B和点C重合)，另一条直角边与边CD的延长线交于点F.(1)如图①,求证：AE=AF；(2)如图②，此直角三角板有一个角是45。
58中考冲刺：创新、开放与探究型问题(基础).doc
中考冲刺：创新、开放与探究型问题(基础)一、选择题1．若自然数n使得三个数的加法运算“n+(n+1)+(n+2)”产生进位现象，则称n为“连加进位数”．例如：2不是“连加进位数”，因为2+3+4＝9不产生进位现象；4是“连加进位数”，因为4+5+6＝15产生进位现象；51是“连加进位数”，因为51+52+63＝156产生进位现象．如果从0，1，2，…，99这100个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是( )A．0.88 B．0.89 C．0.90 D．0.912．如图，点A，B，P在⊙O上，且∠APB＝50°，若点M是⊙O上的动点，要使△ABM 为等腰三角形，则所有符合条件的点M有( )A．1个B．2个C．3个D．4个3．（2016秋•永定区期中）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③个图形一共有16颗棋子，…，则第⑧个图形中棋子的颗数为（）A．226 B．181 C．141 D．106二、填空题4．（2015秋•淮安校级期中）电子跳蚤游戏盘为△ABC，AB=8，AC=9，BC=10，如果电子跳蚤开始时在BC边上的P0点，BP0=4．第一步跳蚤跳到AC边上P1点，且CP1=CP0；第二步跳蚤从P1跳到AB边上P2点，且AP2=AP1；第三步跳蚤从P2跳回到BC边上P3点，且BP3=BP2；…跳蚤按上述规则跳下去，第2015次落点为P2016，则P3与P2016之间的距离为______．5．下图为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B，C，D，请你按图中箭头所指方向(如A→B→C→D→C→B→A→B→C→…的方式)从A开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是________；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是________；当字母C第2n+1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是________(用含n的代数式表示)．6. (1)如图(a)，∠ABC＝∠DCB，请补充一个条件：________，使△ABC≌△DCB．(2)如图(b)，∠1＝∠2，请补充一个条件：________，使△ABC≌△ADE．三、解答题7．如图所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，对角线AC和BD相交于点O，E 是BC边上一个动点(点E不与B，C两点重合)，EF∥BD交AC于点F，EG∥AC交BD于点G．(1)求证：四边形EFOG的周长等于2OB；(2)请你将上述题目的条件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论“四边形EFOG的周长等于2OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证，不必证明．8．如图所示，平面直角坐标系内有两条直线，，直线的解析式为．如果将坐标纸折叠，使直线与重合，此时点(-2，0)与点(0，2)也重合．(1)求直线的解析式；(2)设直线与相交于点M．问：是否存在这样的直线，使得如果将坐标纸沿直线折叠，点M恰好落在x轴上？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．9．（2015•黄陂区校级模拟）正方形ABCD中，将一个直角三角板的直角顶点与点A重合，一条直角边与边BC交于点E（点E不与点B和点C重合），另一条直角边与边CD的延长线交于点F．（1）如图①，求证：AE=AF；（2）如图②，此直角三角板有一个角是45°，它的斜边MN与边CD交于G，且点G是斜边MN的中点，连接EG，求证：EG=BE+DG；（3）在（2）的条件下，如果=，那么点G是否一定是边CD的中点？请说明你的理由．10. （2016•天门）如图①，半圆O的直径AB=6，AM和BN是它的两条切线，CP与半圆O相切于点P，并于AM，BN分别相交于C，D两点．（1）请直接写出∠COD的度数；（2）求AC•BD的值；（3）如图②，连接OP并延长交AM于点Q，连接DQ，试判断△PQD能否与△ACO相似？若能相似，请求AC：BD的值；若不能相似，请说明理由．答案与解析【答案与解析】一、选择题1.【答案】A；【解析】不是“连加进位数”的有“0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，31，32”共有12个．∴P(取到“连加进位数”)＝．2.【答案】D；【解析】如图，①过圆点O作AB的垂线交和于M1，M2．②以B为圆心AB为半径作弧交圆O于M3．③以A为圆心，AB为半径弧作弧交圆O于M4．则M1，M2，M3，M4都满足要求．3.【答案】C；【解析】设第n个图形中棋子的颗数为a n（n为正整数），观察，发现规律：a1=1，a2=1+3+2=6，a3=1+3+5+4+3=16，…，∴a n=1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n﹣2）+…+n=n2+=n2﹣n+1，当n=8时，a8=×82﹣×8+1=141．二、填空题4.【答案】1．【解析】∵BC=10，BP0=4，知CP0=6，∴CP1=6．∵AC=9，∴AP2=AP1=3．∵AB=8，∴BP3=BP2=5．∴CP4=CP3=5，∴AP4=4．∴AP5=AP4=4，∴BP5=4．∴BP6=BP5=4．此时P6与P0重合，即经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点．2016÷6=336，即P2016与P0重合，∴P3与P2016之间的距离为P3P0=1．故答案为：1．5.【答案】B； 603； 6n+3．【解析】由题意知A→B→C→D→C→B→A→B→C→D→C→B→A→B…，每隔6个数重复一次“A →B→C→D→C→B→”，所以，当数到12时对应的字母是B；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是201×3＝603；当字母C第2n+1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是(2n+1)×3＝6n+3．6.【答案】答案不唯一．(1)如图(a)中∠A＝∠D，或AB＝DC；(2)图(b)中∠D＝∠B，或等．三、解答题7.【答案与解析】(1)证明：∵四边形ABCD是梯形，AD∥BC，AB＝CD，∴∠ABC＝∠DCB．又∵BC＝CB，AB＝DC，∴△ABC≌△DCB．∴∠1＝∠2．又∵ GE∥AC，∴∠2＝∠3．∴∠1＝∠3．∴EG＝BG．∵EG∥OC，EF∥OB，∴四边形EGOF是平行四边形．∴EG＝OF，EF＝OG．∴四边形EGOF的周长＝2(OG+GE)＝2(OG+GB)＝2OB．(2)方法1：如图乙，已知矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为BC上一个动点(点E不与B，C两点重合)，EF∥BD，交AC于点F，EG∥AC交BD于点G．求证：四边形EFOG的周长等于2OB．图略．方法2：如图丙，已知正方形ABCD中，……其余略．8. 【答案与解析】解：(1)直线与y轴交点的坐标为(0，1)．由题意，直线与关于直线对称，直线与x轴交点的坐标为(-1，0)．又∵直线与直线的交点为(-3，3)，∴直线过点(-1，0)和(3，3)．设直线的解析式为y＝kx+b．则有解得所求直线的解析式为．(2)∵直线与直线互相垂直，且点M(-3，3)在直线上，∴如果将坐标纸沿直线折叠，要使点M落在x轴上，那么点M必须与坐标原点O 重合，此时直线过线段OM的中点．将，代入y＝x+t，解得t＝3．∴直线l的解析式为y＝x+3．9．【答案与解析】解：（1）如图①，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠BAD=∠ADC=∠C=90°，AB=AD．∵∠EAF=90°，∴∠EAF=∠BAD，∴∠EAF﹣∠EAD=∠BAD﹣∠EAD，∴∠BAE=∠DAF．在△ABE和△ADF中，∴△ABE≌△ADF（ASA）∴AE=AF；（2）如图②，连接AG，∵∠MAN=90°，∠M=45°，∴∠N=∠M=45°，∴AM=AN．∵点G是斜边MN的中点，∴∠EAG=∠NAG=45°．∴∠EAB+∠DAG=45°．∵△ABE≌△ADF，∴∠BAE=∠DAF，AE=AF，∴∠DAF+∠DAG=45°，即∠GAF=45°，∴∠EAG=∠FAG．在△AGE和AGF中，，∴△AGE≌AGF（SAS），∴EG=GF．∵GF=GD+DF，∴GF=GD+BE，∴EG=BE+DG；（3）G不一定是边CD的中点．理由：设AB=6k，GF=5k，BE=x，∴CE=6k﹣x，EG=5k，CF=CD+DF=6k+x，∴CG=CF﹣GF=k+x，在Rt△ECG中，由勾股定理，得（6k﹣x）2+（k+x）2=（5k）2，解得：x1=2k，x2=3k，∴CG=4k或3k．∴点G不一定是边CD的中点．10.【答案与解析】解：（1）∠COD=90°．理由：如图①中，∵AB是直径，AM、BN是切线，∴AM⊥AB，BN⊥AB，∴AM∥BN，∵CA、CP是切线，∴∠ACO=∠OCP，同理∠ODP=∠ODB，∵∠ACD+∠BDC=180°，∴2∠OCD+2∠ODC=180°，∴∠OCD+∠ODC=90°，∴∠COD=90°．（2）如图①中，∵AB是直径，AM、BN是切线，∴∠A=∠B=90°，∴∠ACO+∠AOC=90°，∵∠COD=90°，∴∠BOD+∠AOC=90°，∴∠ACO=∠BOD，∴RT△AOC∽RT△BDO，∴=，即AC•BD=AO•BO，∵AB=6，∴AO=BO=3，∴AC•BD=9．（3）△PQD能与△ACQ相似．∵CA、CP是⊙O切线，∴AC=CP，∠1=∠2，∵DB、DP是⊙O切线，∴DB=DP，∠B=∠OPD=90°，OD=OD，∴RT△ODB≌RT△ODP，∴∠3=∠4，①如图②中，当△PQD∽△ACO时，∠5=∠1，∵∠ACO=∠BOD，即∠1=∠3，∴∠5=∠4，∴DQ=DO，∴∠PDO=∠PDQ，∴△DCQ≌△DCO，∴∠DCQ=∠2，∵∠1+∠2+∠DCQ=180°，∴∠1=60°=∠3，在RT△ACO，RT△BDO中，分别求得AC=，BD=3，∴AC：BD=1：3．②如图②中，当△PQD∽△AOC时，∠6=∠1，∵∠2=∠1，∴∠6=∠2，∴CO∥QD，∴∠1=∠CQD，∴∠6=∠CQD，∴CQ=CD，∵S△CDQ=•CD•PQ=•CQ•AB，∴PQ=AB=6，∵CO∥QD，∴=，即=，∴AC：BD=1：2．。
北师大版2020中考复习：创新、开放和探究型问题
中考总复习：创新、开放与探究型问题【中考展望】所谓开放探索型问题指的是有些数学问题的条件、结论或解决方法不确定或不唯一，需要根据题目的特点进行分析、探索，从而确定出符合要求的答案(一个、多个或所有答案)或探索出解决问题的多种方法．由于开放探究型问题对考查学生思维能力和创造能力有积极的作用，是近几年中考命题的一个热点．通常这类题目有以下几种类型：条件开放与探索，结论开放和探索，条件与结论都开放与探索及方案设计、命题组合型、问题开放型等．【方法点拨】由于开放探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．3．分类讨论法．当命题的题设和结论不唯一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．【典型例题】类型一、探究规律1．观察下列各式：，，，，…想一想，什么样的两数之积等于这两数之和？设n 表示正整数，用关于n 的等式表示这个规律．【思路点拨】所给各式中的两个数中，一个是分数，一个是整数，且分数的分子比分母大1，分子与整数相等，因此得出规律.【答案与解析】所给各式中的两个数中，一个是分数，一个是整数，且分数的分子比分母大1，分子与整数相等，因此得到规律：(n 为正整数) 【总结升华】这个规律是否正确呢？可将等式左右两边分别化简，即能得出结论．对于“数字规律”的观察，要善于发现其中的变量与不变量，以及变量与项数之间的关系，将规律用代数式表示出来．举一反三：【变式】一根绳子，弯曲成如图(a)所示的形状，当用剪刀像图(b)那样沿虚线a 把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图(c)那样沿虚线b(b ∥a)把绳子再剪一次时，绳子被剪为9段，当用剪刀在虚线a ，b 之间把绳子再剪(n-2)次(剪刀的方向与a 平行)，这样一共剪n 次时，绳子的段数是________ (用含n 的代数式表示)．【答案】222211⨯=+333322⨯=+444433⨯=+555544⨯=⨯11(1)(1)n nn n n n+++=++首先，在剪0次时，有1段绳子；其次，每剪一次，绳子上多出4个断口，即绳子的段数增加4段，剪n次之后绳子的段数多出4n段．故剪n次时，绳子的段数是4n+1(n为正整数)．类型二、条件开放型2．如图所示，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E，F是对角线AC上的点．(1)若________________________，则△DEC≌△BFA(请你填上能使结论成立的一个条件)；(2)证明你的结论．【思路点拨】（1）已知了一边AD=BC，和一角（AD∥BC，∠DAC=∠BCA）相等．根据全等三角形的判定AAS、SAS、ASA 等，只要符合这些条件的都可以．（2）按照（1）中的条件根据全等三角形的判定进行证明即可．【答案与解析】解：(1)AE＝CF；(OE＝OF；DE⊥AC，BF⊥AC；DE∥BF等等)(2)以AE＝CF为例．∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∠DCE＝∠BAF．又∵AE＝CF．∴AC－AE＝AC－CF．∴AF＝CE，∴△DEG≌△BAF．【总结升华】这是一道探索条件、补充条件的开放型试题，解决这类问题的一般方法是：从结论出发，由果寻因，逆向推理，探寻出使结论成立的条件；有时也采取把可能产生结论的条件一一列出，逐个分析考察．举一反三：【创新、开放与探究型问题 例1】【变式】如图，飞机沿水平方向（A ，B 两点所在直线）飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M 到飞行路线AB 的距离MN ．飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离（因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N 处才测飞行距离），请设计一个求距离MN 的方案，要求：（1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；（2）用测出的数据写出求距离MN 的步骤．【答案】解：此题为开放题，答案不唯一，只要方案设计合理，可参照给分⑴如图，测出飞机在A 处对山顶的俯角为，测出飞机在B 处对山顶的俯角为，测出AB 的距离为d ，连接AM ，BM ．⑵第一步，在中， ∴； 第二步，在中， ∴； 其中，解得．类型三、结论开放型 3．已知：如图(a)，Rt △ABC ≌Rt △ADE ，∠ABC ＝∠ADE ＝90°，试以图中标有字母的点为端点，连接两条线段，如果你所连接的两条线段满足相等、垂直或平行关系中的一种，那么请你把它写出来并证αβAMN Rt ∆AN MN =αtan αtan MN AN =BMN Rt ∆BN MN =βtan βtan MN BN =BN d AN +=αββαtan tan tan tan -⋅⋅=dMN明．【思路点拨】此题需分三种情况讨论：第一种相等CD=BE，第二种垂直AF⊥BD，第三种是平行DB∥CE．首先利用全等三角形的性质，再利用三角形全等的判定定理分别进行证明即可．【答案与解析】解：可以写出的结论有：CD＝BE，DB∥CE，AF⊥BD，AF⊥CE等．(1)如图(b)，连接CD，BE，得CD＝BE．证明：∵△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，AC＝AE．又∠CAB＝∠EAD，∴∠CAD＝∠E1AB．∴△ADC≌△ABE．∴CD＝BE．(2)如图(c)，连接DB，CE，得DB∥CE．证明：∵△ABC≌△ADE，∴AD＝AB．∴∠ADB＝∠ABD．∵∠ABC＝∠ADE，∴∠BDF＝∠FBD．由AC＝AE可得∠ACE＝∠AEC．∵∠ACB＝∠AED，∴∠FCE＝∠FEC．∵∠BDF+∠FBD＝∠FCE+∠FEC，∴∠FCE＝∠DBF．∴DB∥CE．(3)如图(d)，连接DB，AF，得AF⊥BD．∵△ABC≌△ADE，∴AD＝AB，∠ABC＝∠ADE＝90°．又∵AF＝AF，∴△ADF≌△ABF．∴∠DAF＝∠BAF．∴AF⊥BD．(4)如图(e)，连接CE、AF，得AF⊥CE．同(3)得∠DAF＝∠BAF．可得∠CAF＝∠EAF．∴AF⊥BD．【总结升华】本题考查了全等三角形的判定及性质；要对全等三角形的性质及三角形全等的判断定理进行熟练掌握、反复利用，达到举一反三．举一反三：【创新、开放与探究型问题 例2】【变式】数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图，正方形的边长为，P 为边延长线上的一点，E 为DP 的中点，DP 的垂直平分线交边DC 于M ，交边AB 的延长线于N.当CP=6时，EM 与EN 的比值是多少？经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E 作直线平行于BC 交DC ，分别于F ，G ，如图，则可得：，因为，所以.可求出和的值，进而可求得EM 与EN 的比值.(1) 请按照小明的思路写出求解过程.(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.【答案】 （1）解：过作直线平行于交，分别于点，，则，，. ∵，∴.∴，. ∴. （2）证明：作∥交于点，1ABCD 12BC AB 2DF DE FC EP=DE EP =DF FC =EF EG DP MN=E BC DC AB F G DF DE FC EP =EM EF EN EG=12GF BC ==DE EP =DF FC =116322EF CP ==⨯=12315EG GF EF =+=+=31155EM EF EN EG ===MH BC AB H则，.∵，∴.∵，，∴.∴.∴.类型四、动态探究型 4．如图所示，AB ，AC 分别是⊙O 的直径和弦，D 为劣弧上一点，DE ⊥AB 于点H ，交⊙O 于点E ，交AC 于点F ，P 为．ED 的延长线一点．(1)当△PCF 满足什么条件时，PC 与⊙O 相切？为什么？(2)点D 在劣弧的什么位置时，才能使AD 2＝DE ·DF ？为什么？ 【思路点拨】MH CB CD ==90MHN ∠=︒1809090DCP ∠=︒-︒=︒DCP MHN ∠=∠90MNH CMN DME CDP ∠=∠=∠=︒-∠90DPC CDP ∠=︒-∠DPC MNH ∠=∠DPC MNH ∆≅∆DP MN=AC AC(1)连接OC ．要使PC 与⊙O 相切，则只需∠PCO ＝90°即可．由∠OCA ＝∠OAC ，∠PFC ＝∠AFH ，即可寻找出△PCF 所要满足的条件；(2)要使AD 2＝DE ·DF ，即，也就是要使△DAF ∽△DEA ，这样问题就较容易解决了． 【答案与解析】解： (1)当PC ＝PF(或∠PCF ＝∠PFC ，或△PCF 是等边三角形)时，PC 与⊙O 相切．证明：连接OC ．∵PC ＝PF ，∴∠PCF ＝∠PFC ．∴∠PCO ＝∠PCF+∠OCA ＝∠PFC+∠OAC ＝∠AFH+∠AHF ＝90°．∴PC 与⊙O 相切．(2)当点D 是的中点时，AD 2＝DE ·DF ． 连接AE ，∵，∴∠DAF ＝∠DEA ．又∴∠ADF ＝∠EDA ．∴△DAF ∽△DEA ．∴，∴AD 2＝DE ·DF ． 【总结升华】本题是探索条件半开放题，在解决这类问题时，我们常从要获得的结论出发来探求该结论成立的条件．如第(1)小题中，若要PC 与⊙O 相切，则我们需要怎样的条件；第(2)小题也是如此．类型五、创新型AD DF DE AD=AC AD CD =AD DF DE AD=5．认真观察图3的4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：（1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征．特征1：_________________________________________________；特征2：_________________________________________________．（2）请在图4中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征【思路点拨】本题主要考查轴对称图形，中心对称图形的知识点，以及学生的观察能力及空间想象能力．【答案与解析】（1）特征1：都是轴对称图形；特征2：都是中心对称图形；特征3：这些图形的面积都等于4个单位面积等．（2）满足条件的图形有很多，只要画正确一个，就可以得满分．图5【总结升华】本题为开放型试题，答案并不唯一，只要考生能够写出一种符合要求的情景即可，该题为考生提供了一个广阔的发挥空间，但是学生必须通过前四个图形发现其中蕴涵的规律，依照此规律来画出自己想象中的美妙图形．图4中考冲刺：创新、开放与探究型问题—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．若自然数n使得三个数的加法运算“n+(n+1)+(n+2)”产生进位现象，则称n为“连加进位数”．例如：2不是“连加进位数”，因为2+3+4＝9不产生进位现象；4是“连加进位数”，因为4+5+6＝15产生进位现象；51是“连加进位数”，因为51+52+63＝156产生进位现象．如果从0，1，2，…，99这100个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是( )A．0.88 B．0.89 C．0.90 D．0.912．如图，点A，B，P在⊙O上，且∠APB＝50°，若点M是⊙O上的动点，要使△ABM为等腰三角形，则所有符合条件的点M有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图(1)中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数，类似地，称图(2)中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A．15 B．25 C．55 D．1225二、填空题4．电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC，AB＝AC＝BC＝6．如果跳蚤开始时在BC边的P0处，BP0＝2．跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1(第1次落点)处，且CP1＝CP0；第二步从P1跳到AB边的P2(第2次落点)处，且AP2＝AP1；第三步从P2跳到BC边的P3(第3次落点)处，且BP3＝BP2；…；跳蚤按照上述规则一直跳下去，第n次落点为P n(n为正整数)，则点P2009与点P2010之间的距离为__________．5．下图为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B，C，D，请你按图中箭头所指方向(如A→B→C→D →C→B→A→B→C→…的方式)从A开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是________；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是________；当字母C第2n+1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是________(用含n的代数式表示)．6. (1)如图(a)，∠ABC ＝∠DCB ，请补充一个条件：________，使△ABC ≌△DCB ．(2)如图(b)，∠1＝∠2，请补充一个条件：________，使△ABC ≌△ADE ．三、解答题7．如图所示，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，对角线AC 和BD 相交于点O ，E 是BC 边上一个动点(点E 不与B ，C 两点重合)，EF ∥BD 交AC 于点F ，EG ∥AC 交BD 于点G ．(1)求证：四边形EFOG 的周长等于2OB ；(2)请你将上述题目的条件“梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论“四边形EFOG 的周长等于2OB ”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证，不必证明．8．如图所示，平面直角坐标系内有两条直线，，直线的解析式为．如果将坐标纸折叠，使直线与重合，此时点(-2，0)与点(0，2)也重合．1l 2l 1l 213y x =-+1l 2l(1)求直线的解析式；(2)设直线与相交于点M ．问：是否存在这样的直线，使得如果将坐标纸沿直线折叠，点M 恰好落在x 轴上？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．9．解答一个问题后，将结论作为条件之一，提出与原问题有关的新问题，我们把它称为原问题的一个“逆向”问题．例如，原问题是“若矩形的两边长分别为3和4，求矩形的周长”，求出周长等于14后，它的一个“逆向”问题可以是“若矩形的周长为14，且一边长为3，求另一边的长”；也可以是“若矩形的周长为14，求矩形面积的最大值”，等等．(1)设，，求A 与B 的积； (2)提出(1)的一个“逆向”问题，并解答这个问题．10. 已知：在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，D 是AC 的中点，⊙O 经过A ，D ，B 三点，CB 的延长线交⊙O 于点E(如图(a))．在满足上述条件的情况下，当∠CAB 的大小变化时，图形也随着改变(如图(b))，在这个变化过程中，有些线段总保持着相等的关系．(1)观察上述图形，连接图(b)中已标明字母的某两点，得到一条新线段，证明它与线段CE 相等；2l 1l 2l :l y x t =+l l 322x x A x x =--+24x B x-=(2)在图(b)中，过点E 作⊙O 的切线，交AC 的延长线于点F ．①若CF ＝CD ，求sin ∠CAB 的值；②若，试用含n 的代数式表示sin ∠CAB(直接写出结果)．【答案与解析】一、选择题1.【答案】A ；【解析】不是“连加进位数”的有“0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，31，32”共有12个．∴P(取到“连加进位数”)＝． 2.【答案】D ；【解析】如图，①过圆点O 作AB 的垂线交和于M 1，M 2．②以B 为圆心AB 为半径作弧交圆O 于M 3．(0)CF n n CD=>100120.88100-=ABAPB③以A为圆心，AB为半径弧作弧交圆O于M4．则M1，M2，M3，M4都满足要求．3.【答案】D；二、填空题4.【答案】2．【解析】如图，按要求作出P4，P5，P6…．可发现如下规律：P0，P6，P12，P18…重合；P1，P7，P13，P19…重合；P2，P8、P14，P20…重合；P3，P9、P15，P21…重合；P4，P10，P16，P22…重合；P5，P11，P17，P23…重合．(以6为周期循环)∵2009＝334×6+5，2010＝335×6，∴P2009与P5重合；P2010与P0重合；求P2009与P2010之间距离也就是求P5与P0之间距离，△BP0P5是等边三角形．∴P0P5＝2，即P2009与P2010之间距离为2．5.【答案】B； 603； 6n+3．【解析】由题意知A→B→C→D→C→B→A→B→C→D→C→B→A→B…，每隔6个数重复一次“A→B→C →D→C→B→”，所以，当数到12时对应的字母是B；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是201×3＝603；当字母C 第2n+1次出现时(n 为正整数)，恰好数到的数是(2n+1)×3＝6n+3．6.【答案】答案不唯一．(1)如图(a)中∠A ＝∠D ，或AB ＝DC ；(2)图(b)中∠D ＝∠B ，或等．三、解答题7.【答案与解析】(1)证明：∵四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，AB ＝CD ，∴∠ABC ＝∠DCB ．又∵BC ＝CB ，AB ＝DC ，∴△ABC ≌△DCB ．∴∠1＝∠2．又∵ GE ∥AC ，∴∠2＝∠3．∴∠1＝∠3．∴EG ＝BG ．∵EG ∥OC ，EF ∥OB ，∴四边形EGOF 是平行四边形．∴EG ＝OF ，EF ＝OG ． ∴四边形EGOF 的周长＝2(OG+GE)＝2(OG+GB)＝2OB ．AB AC AD AE(2)方法1：如图乙，已知矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为BC 上一个动点(点E 不与B ，C 两点重合)，EF ∥BD ，交AC 于点F ，EG ∥AC 交BD 于点G ．求证：四边形EFOG 的周长等于2OB ．图略．方法2：如图丙，已知正方形ABCD 中，……其余略．8. 【答案与解析】解：(1)直线与y 轴交点的坐标为(0，1)．由题意，直线与关于直线对称，直线与x 轴交点的坐标为(-1，0)．又∵直线与直线的交点为(-3，3)，∴直线过点(-1，0)和(3，3)．设直线的解析式为y ＝kx+b ．则有解得 所求直线的解析式为． (2)∵直线与直线互相垂直，且点M(-3，3)在直线上，∴如果将坐标纸沿直线折叠，要使点M 落在x 轴上，那么点M 必须与坐标原点O 重合，此时直线过线段OM 的中点．1l 1l 2l y x =-2l 1l y x =-2l 2l 0,3 3.k b k b -+=⎧⎨-+=⎩3,23.2k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩2l 3322y x =--l y x =-y x =-l l 33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭将，代入y ＝x+t ，解得t ＝3． ∴直线l 的解析式为y ＝x+3．9．【答案与解析】解：(1) ． (2)“逆向”问题一： 已知，，求A ． 解答：． “逆向”问题二：已知，，求B ． 解答： ． “逆向”问题三：已知A ·B ＝2x+8，A+B ＝x+10，求(A －B)2．32x =-32y =23422x x x A B x x x -⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭22(4)428(2)(2)x x x x x x x+-==+-+28A B x =+24x B x -=22228()(28)44x x x A A B B x x x +=÷=+=--28A B x =+322x x A x x =--+3()(28)22x x B A B A x x x ⎛⎫=÷=+÷- ⎪-+⎝⎭2(4)(28)(2)(2)x x x x x +=+÷-+2(2)(2)42(4)2(4)x x x x x x x-+-=+=+解答：(A －B)2＝(A+B)2－4A ·B＝(x+10)2－4(2x+8)＝x 2+12x+68．10．【答案与解析】解：(1)连接AE ．求证：AE ＝CE ．证法一：如图(a)，连接OD ．∵∠ABC ＝90°，CB 的延长线交⊙O 于点E ，∴∠ABE ＝90°．∴AE 是⊙O 的直径．∵D 是AC 的中点，O 是AE 的中点，∴． ∵， ∴AE ＝CE ．证法二：如图(b)，连接DE ．同证法一，得AE 是⊙O 的直径． ∴∠ADE ＝90°．∵D 是AC 的中点，∴DE 是线段AC 的垂直平分线．12OD CE =12OD AE =北师大版2020中考复习：创新、开放和探究型问题21 / 21 ∴AE ＝CE ．(2)①根据题意画出图形．如图(c)，连接DE ． ∵AE 是⊙O 的直径，EF 是⊙O 的切线，∴∠ADE ＝∠AEF ＝90°．∴Rt △A 1DE ∽Rt △EDF ．∴．设AD ＝k 是(k ＞0)，则DF ＝2k ．∴．∴．在Rt △CDE 中，∵ CE 2＝CD 2+DE 2＝3k 2，∴．∵∠CAB ＝∠DEC ．∴sin ∠CAB ＝sin ∠DEC ＝．②．ADDEDE DF =2kDEDE k=DE=CE=CDCE=sin 0)CAB n ∠=>。
北师大初中数学中考冲刺：动手操作与运动变换型问题--巩固练习(基础)-精品
中考冲刺：动手操作与运动变换型问题—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90° ，AC=BC=6cm ，点P 从点A 出发，沿AB 方向以每秒2cm 的速度向终点B 运动；同时，动点Q 从点B 出发沿BC 方向以每秒1cm 的速度向终点C 运动，将△PQC 沿BC 翻折，点P 的对应点为点P ′.设Q 点运动的时间t 秒，若四边形QPCP 为菱形，则t 的值为（ ）. A. 2 B. 2 C. 22 D.32．如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，F 是弦BC 的中点，∠ABC =60°.若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着A→B→A 的方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t ＜3)，连接EF ，当△BEF 是直角三角形时，t 的值为（ ）. A. 47 B. 1 C. 47或1 D. 47或1或493. （2015•盘锦）如图，边长为1的正方形ABCD ，点M 从点A 出发以每秒1个单位长度的速度向点B 运动，点N 从点A 出发以每秒3个单位长度的速度沿A→D→C→B 的路径向点B 运动，当一个点到达点B 时，另一个点也随之停止运动，设△AMN 的面积为s ，运动时间为t 秒，则能大致反映s 与t 的函数关系的图象是（ ）.A ．B ．C ．D ．二、填空题 4．如图,已知点A （0,2）、B （23,2）、C (0,4),过点C 向右作平行于x 轴的射线,点P 是射线上的动点,连结AP ,以AP 为边在其左侧作等边△APQ ,连结PB 、BA .若四边形ABPQ 为梯形,则（1）当AB 为梯形的底时,点P 的横坐标是 ；（2）当AB 为梯形的腰时,点P 的横坐标是 .5．如图，矩形纸片ABCD，AB=2，点E在BC上，且AE=EC．若将纸片沿AE折叠，点B恰好落在AC上，则AC的长是 .6. （2016•东河区二模）如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=3．其中正确结论的是．三、解答题7．如图所示是规格为8×8的正方形网格，请在所给网格中，按下列要求操作：(1)请在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为(-2，4)，B点坐标为(-4，2)；(2)在第二象限内的格点上画一点C，使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则C点的坐标是________，△ABC的周长是________ (结果保留根号)；(3)画出△ABC以点C为旋转中心、旋转180°后的△A′B′C，连接AB′和A′B，试说出四边形ABA B''是何特殊四边形，并说明理由．8. (1)观察与发现小明将三角形纸片ABC(AB＞AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片(如图①)；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF(如图②)．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．(2)实践与运用将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE(如图③)；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG(如图④)；再展平纸片(如图⑤)．求图⑤中∠α的大小．9. 如图(1)，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，将直角三角形板DEF绕D点按逆时针方向旋转．(1)在图(1)中，DE交AB于M，DF交BC于N．①证明：DM＝ND；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的；若不发生变化，求出其面积；(2)继续旋转至如图(2)所示的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)继续旋转至如图(3)所示的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立?若成立，请写出结论，不用证明．10. （2016•绵阳）如图，以菱形ABCD对角线交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，﹣），直线DE⊥DC交AC于E，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿着A→D→C的路线向终点C匀速运动，设△PDE的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒．（1）求直线DE的解析式；（2）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）当t为何值时，∠EPD+∠DCB=90°？并求出此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】连接PP′交BC于点D，若四边形QPCP为菱形，则PP′⊥BC，CD＝12CQ=12（6-t），∴BD=6-12（6-t）=3+12t.在Rt△BPD中，PB=AB-AP=62-2t，而PB=2BD，∴62-2t=2（3+12t），解得：t=2，故选B.2.【答案】D；【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°；Rt△ABC中，BC=2，∠ABC=60°；∴AB=2BC=4cm.①当∠BFE=90°时；Rt△BEF中，∠ABC=60°，则BE=2BF=2cm；故此时AE=AB-BE=2cm；∴E点运动的距离为：2cm或6cm，故t=1s或3s；由于0≤t＜3，故t=3s不合题意，舍去；所以当∠BFE=90°时，t=1s；②当∠BEF=90°时；同①可求得BE=0.5cm，此时AE=AB-BE=3.5cm；∴E点运动的距离为：3.5cm或4.5cm，故t=1.75s 或2.25s；综上所述，当t的值为1、1.75或2.25s时，△BEF是直角三角形．故选D．3.【答案】D.【解析】（1）如图1，当点N在AD上运动时，s=AM•AN=×t×3t=t2．（2）如图2，当点N 在CD 上运动时，s=AM•AD=t×1=t ．（3）如图3，当点N 在BC 上运动时，s=AM•BN=×t×（3﹣3t ）=﹣t 2+t综上可得，能大致反映s 与t 的函数关系的图象是选项D 中的图象．故选：D ．二、填空题4.【答案】（1）332；（2）0， 32； 【解析】（1）由题意知，当AB 为梯形的底时，AB ∥PQ ，即PQ ⊥y 轴，又△APQ 为等边三角形，AC ＝2，由几何关系知，点P 的横坐标是332.（2）当AB 为梯形的腰时，当PB ∥y 轴时，满足题意，此时AQ=4，由几何关系得，点P 的横坐标是32.5.【答案】4；【解析】由折叠可知∠BAE=∠CAE ，因为AE=EC 所以∠CAE=∠ACE ，所以∠BAE=∠CAE=∠ACE ， 三角的和为90°，所以∠ACE=30°，所以AC=2AB=4.6.【答案】①②③．【解析】①正确．因为AB=AD=AF ，AG=AG ，∠B=∠AFG=90°，∴△ABG ≌△AFG ；②正确．因为：EF=DE=CD=2，设BG=FG=x ，则CG=6﹣x ．在直角△ECG 中，根据勾股定理，得（6﹣x）2+42=（x+2）2，解得x=3．所以BG=3=6﹣3=GC；③正确．因为CG=BG=GF，所以△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．又∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，∴AG∥CF；④错误．过F作FH⊥DC，∵BC⊥DH，∴FH∥GC，∴△EFH∽△EGC，∴=，EF=DE=2，GF=3，∴EG=5，∴△EFH∽△EGC，∴相似比为：==，∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=×3×4﹣×4×（×3）=≠3．故答案为：①②③．三、解答题7．【答案与解析】(1)如图所示建立平面直角坐标系．．(2)如图画出点C，C(-1，1)．△ABC的周长是22210(3)如图画出△A′B′C，四边形ABA′B′是矩形．理由：∵CA＝CA′，CB＝CB′，∴四边形ABA′B′是平行四边形.又∵CA＝CB，∴CA＝CA′＝CB＝CB′．∴AA′＝BB′．∴四边形ABA′B′是矩形．8．【答案与解析】解：(1)同意．如图所示，设AD与EF交于点G．由折叠知，AD 平分∠BAC ，所以∠BAD ＝∠CAD ．又由折叠知，∠AGE ＝∠AGF ＝90°，所以∠AEF ＝∠AFE ，所以AE ＝AF ，即△AEF 为等腰三角形．(2)由折叠知，四边形ABFE 是正方形∠AEB ＝45°，所以∠BED ＝135°．又由折叠知，∠BEG ＝∠DEG ，所以∠DEG ＝67.5°．从而∠α＝90°-67.5°＝22.5°．9．【答案与解析】解：(1)①连接DB ，利用△BMD ≌△CND 或△ADM ∽△BDN 即可证明DM ＝DN ． ②由△BMD ≌△CND 知，BMD CND S S =△△， ∴1124DBN DMB DBN DNC ABC DMBN S S S S S S =+=+==△△△△△四边形． 即在直角三角板DEF 旋转过程中，四边形DMBN 的面积始终等于14，不发生变化．(2)连接DB ，由△BMD ≌△CND 可证明DM ＝DN ，即DM ＝DN 仍然成立．(3)连接DB ．由△BMD ≌△CND ，可证明DM ＝ND 仍成立．10．【答案与解析】解：由菱形的对称性可得，C （2，0），D （0，），∴OD=，OC=2，tan ∠DCO==，∵DE ⊥DC ，∴∠EDO+∠CDO=90°，∵∠DCO+∠CD ∠=90°，∴∠EDO=∠DCO ，∵tan∠EDO=tan∠DCO=，∴，∴OE=，∴E（﹣，0），∴D（0，），∴直线DE解析式为y=2x+，（2）由（1）得E（﹣，0），∴AE=AO﹣OE=2﹣=，根据勾股定理得，DE==，∴菱形的边长为5，如图1，过点E作EF⊥AD，∴sin∠DAO=，∴EF==，当点P在AD边上运动，即0≤t＜，S=PD×EF=×（5﹣2t）×=﹣t+，如图2，点P在DC边上运动时，即＜t≤5时，S=PD×DE=×（2t﹣5）×=t﹣；∴S=，（3）设BP与AC相交于点Q，在菱形ABCD中，∠DAB=∠DCB，DE⊥DC，∴DE⊥AB，∴∠DAB+∠ADE=90°，∴∠DCB+∠ADE=90°，∴要使∠EPD+∠DCB=90°，∴∠EPD=∠ADE，当点P在AD上运动时，如图3，∵∠EPD=∠ADE，∴EF垂直平分线PD，∴AP=AD﹣2DF=AD﹣2，∴2t=5﹣，∴t=，此时AP=1，∵AP∥BC，∴△APQ∽△CBQ，∴，∴，∴，∴AQ=，∴OQ=OA﹣AQ=，在Rt△OBQ中，tan∠OQB===，当点P在DC上运动时，如图4，∵∠EPD=∠ADE，∠EDP=∠EFD=90°∴△EDP∽△EFD，∴，∴DP===，∴2t=AD﹣DP=5+，∴t=，此时CP=DC﹣DP=5﹣=，∵PC∥AB，∴△CPQ∽△ABQ，∴，∴，∴，∴CQ=，∴OQ=OC﹣CQ=2﹣=，在Rt△OBD中，tan∠OQB===1，即：当t=时，∠EPD+∠DCB=90°．此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值为．当t=时，∠EPD+∠DCB=90°．此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值为1．。
数字中考总复习：创新、开放与探究型问题--巩固练习(基础)
中考冲刺：创新、开放与探究型问题—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．若自然数n使得三个数的加法运算“n+(n+1)+(n+2)”产生进位现象，则称n为“连加进位数”．例如：2不是“连加进位数”，因为2+3+4＝9不产生进位现象；4是“连加进位数”，因为4+5+6＝15产生进位现象；51是“连加进位数”，因为51+52+63＝156产生进位现象．如果从0，1，2，…，99这100个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是( )A．0.88 B．0.89 C．0.90 D．0.912．如图，点A，B，P在⊙O上，且∠APB＝50°，若点M是⊙O上的动点，要使△ABM为等腰三角形，则所有符合条件的点M有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2016秋•永定区期中）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③个图形一共有16颗棋子，…，则第⑧个图形中棋子的颗数为（）A．226 B．181 C．141 D．106二、填空题4．（2015秋•淮安校级期中）电子跳蚤游戏盘为△ABC，AB=8，AC=9，BC=10，如果电子跳蚤开始时在BC 边上的P0点，BP0=4．第一步跳蚤跳到AC边上P1点，且CP1=CP0；第二步跳蚤从P1跳到AB边上P2点，且AP2=AP1；第三步跳蚤从P2跳回到BC边上P3点，且BP3=BP2；…跳蚤按上述规则跳下去，第2015次落点为P2016，则P3与P2016之间的距离为．5．下图为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B，C，D，请你按图中箭头所指方向(如A→B→C→D→C →B →A →B →C →…的方式)从A 开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是________；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是________；当字母C 第2n+1次出现时(n 为正整数)，恰好数到的数是________(用含n 的代数式表示)．6. (1)如图(a)，∠ABC ＝∠DCB ，请补充一个条件：________，使△ABC ≌△DCB ．(2)如图(b)，∠1＝∠2，请补充一个条件：________，使△ABC ≌△ADE ．三、解答题7．如图所示，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，对角线AC 和BD 相交于点O ，E 是BC 边上一个动点(点E 不与B ，C 两点重合)，EF ∥BD 交AC 于点F ，EG ∥AC 交BD 于点G ．(1)求证：四边形EFOG 的周长等于2OB ；(2)请你将上述题目的条件“梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论“四边形EFOG 的周长等于2OB ”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证，不必证明．8．如图所示，平面直角坐标系内有两条直线1l ，2l ，直线1l 的解析式为213y x =-+．如果将坐标纸折叠，使直线1l 与2l 重合，此时点(-2，0)与点(0，2)也重合．(1)求直线2l 的解析式；(2)设直线1l 与2l 相交于点M ．问：是否存在这样的直线:l y x t =+，使得如果将坐标纸沿直线l 折叠，点M 恰好落在x 轴上？若存在，求出直线l 的解析式；若不存在，请说明理由．9．（2015•黄陂区校级模拟）正方形ABCD 中，将一个直角三角板的直角顶点与点A 重合，一条直角边与边BC 交于点E （点E 不与点B 和点C 重合），另一条直角边与边CD 的延长线交于点F ．（1）如图①，求证：AE=AF ；（2）如图②，此直角三角板有一个角是45°，它的斜边MN 与边CD 交于G ，且点G 是斜边MN 的中点，连接EG ，求证：EG=BE+DG ；（3）在（2）的条件下，如果=，那么点G 是否一定是边CD 的中点？请说明你的理由．10. （2016•天门）如图①，半圆O 的直径AB=6，AM 和BN 是它的两条切线，CP 与半圆O 相切于点P ，并于AM ，BN 分别相交于C ，D 两点．（1）请直接写出∠COD 的度数；（2）求AC•BD 的值；（3）如图②，连接OP 并延长交AM 于点Q ，连接DQ ，试判断△PQD 能否与△ACO 相似？若能相似，请求AC ：BD 的值；若不能相似，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1.【答案】A；【解析】不是“连加进位数”的有“0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，31，32”共有12个．∴P(取到“连加进位数”)＝100120.88 100-=．2.【答案】D；【解析】如图，①过圆点O作AB的垂线交AB和APB于M1，M2．②以B为圆心AB为半径作弧交圆O于M3．③以A为圆心，AB为半径弧作弧交圆O于M4．则M1，M2，M3，M4都满足要求．3.【答案】C；【解析】设第n个图形中棋子的颗数为a n（n为正整数），观察，发现规律：a1=1，a2=1+3+2=6，a3=1+3+5+4+3=16，…，∴a n=1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n﹣2）+…+n=n2+=n2﹣n+1，当n=8时，a8=×82﹣×8+1=141．二、填空题4.【答案】1．【解析】∵BC=10，BP0=4，知CP0=6，∴CP1=6．∵AC=9，∴AP2=AP1=3．∵AB=8，∴BP3=BP2=5．∴CP4=CP3=5，∴AP4=4．∴AP5=AP4=4，∴BP5=4．∴BP6=BP5=4．此时P6与P0重合，即经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点．2016÷6=336，即P2016与P0重合，∴P3与P2016之间的距离为P3P0=1．故答案为：1．5.【答案】B； 603； 6n+3．【解析】由题意知A→B→C→D→C→B→A→B→C→D→C→B→A→B…，每隔6个数重复一次“A→B→C →D→C→B→”，所以，当数到12时对应的字母是B；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是201×3＝603；当字母C第2n+1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是(2n+1)×3＝6n+3．6.【答案】答案不唯一．(1)如图(a)中∠A＝∠D，或AB＝DC；(2)图(b)中∠D＝∠B，或AB ACAD AE等．三、解答题7.【答案与解析】(1)证明：∵四边形ABCD是梯形，AD∥BC，AB＝CD，∴∠ABC＝∠DCB．又∵BC＝CB，AB＝DC，∴△ABC≌△DCB．∴∠1＝∠2．又∵ GE∥AC，∴∠2＝∠3．∴∠1＝∠3．∴EG＝BG．∵EG∥OC，EF∥OB，∴四边形EGOF是平行四边形．∴EG＝OF，EF＝OG．∴四边形EGOF的周长＝2(OG+GE)＝2(OG+GB)＝2OB．(2)方法1：如图乙，已知矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为BC 上一个动点(点E 不与B ，C 两点重合)，EF ∥BD ，交AC 于点F ，EG ∥AC 交BD 于点G ．求证：四边形EFOG 的周长等于2OB ．图略．方法2：如图丙，已知正方形ABCD 中，……其余略．8. 【答案与解析】解：(1)直线1l 与y 轴交点的坐标为(0，1)．由题意，直线1l 与2l 关于直线y x =-对称，直线2l 与x 轴交点的坐标为(-1，0)．又∵直线1l 与直线y x =-的交点为(-3，3)，∴直线2l 过点(-1，0)和(3，3)．设直线2l 的解析式为y ＝kx+b ．则有0,3 3.k b k b -+=⎧⎨-+=⎩ 解得3,23.2k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 所求直线2l 的解析式为3322y x =--． (2)∵直线l 与直线y x =-互相垂直，且点M(-3，3)在直线y x =-上，∴如果将坐标纸沿直线l 折叠，要使点M 落在x 轴上，那么点M 必须与坐标原点O 重合，此时直线l 过线段OM 的中点33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 将32x =-，32y =代入y ＝x+t ，解得t ＝3． ∴直线l 的解析式为y ＝x+3．9．【答案与解析】解：（1）如图①，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B=∠BAD=∠ADC=∠C=90°，AB=AD ．∵∠EAF=90°，∴∠EAF=∠BAD ，∴∠EAF ﹣∠EAD=∠BAD ﹣∠EAD ，∴∠BAE=∠DAF ．在△ABE 和△ADF 中，∴△ABE≌△ADF（ASA）∴AE=AF；（2）如图②，连接AG，∵∠MAN=90°，∠M=45°，∴∠N=∠M=45°，∴AM=AN．∵点G是斜边MN的中点，∴∠EAG=∠NAG=45°．∴∠EAB+∠DAG=45°．∵△ABE≌△ADF，∴∠BAE=∠DAF，AE=AF，∴∠DAF+∠DAG=45°，即∠GAF=45°，∴∠EAG=∠FAG．在△AGE和AGF中，，∴△AGE≌AGF（SAS），∴EG=GF．∵GF=GD+DF，∴GF=GD+BE，∴EG=BE+DG；（3）G不一定是边CD的中点．理由：设AB=6k，GF=5k，BE=x，∴CE=6k﹣x，EG=5k，CF=CD+DF=6k+x，∴CG=CF﹣GF=k+x，在Rt△ECG中，由勾股定理，得（6k﹣x）2+（k+x）2=（5k）2，解得：x1=2k，x2=3k，∴CG=4k或3k．∴点G不一定是边CD的中点．10．【答案与解析】解：（1）∠COD=90°．理由：如图①中，∵AB是直径，AM、BN是切线，∴AM⊥AB，BN⊥AB，∴AM∥BN，∵CA、CP是切线，∴∠ACO=∠OCP，同理∠ODP=∠ODB，∵∠ACD+∠BDC=180°，∴2∠OCD+2∠ODC=180°，∴∠OCD+∠ODC=90°，∴∠COD=90°．（2）如图①中，∵AB是直径，AM、BN是切线，∴∠A=∠B=90°，∴∠ACO+∠AOC=90°，∵∠COD=90°，∴∠BOD+∠AOC=90°，∴∠ACO=∠BOD，∴RT△AOC∽RT△BDO，∴=，即AC•BD=AO•BO，∵AB=6，∴AO=BO=3，∴AC•BD=9．（3）△PQD能与△ACQ相似．∵CA、CP是⊙O切线，∴AC=CP，∠1=∠2，∵DB、DP是⊙O切线，∴DB=DP，∠B=∠OPD=90°，OD=OD，∴RT△ODB≌RT△ODP，∴∠3=∠4，①如图②中，当△PQD∽△ACO时，∠5=∠1，∵∠ACO=∠BOD，即∠1=∠3，∴∠5=∠4，∴DQ=DO，∴∠PDO=∠PDQ，∴△DCQ≌△DCO，∴∠DCQ=∠2，∵∠1+∠2+∠DCQ=180°，∴∠1=60°=∠3，在RT△ACO，RT△BDO中，分别求得AC=，BD=3，∴AC：BD=1：3．②如图②中，当△PQD∽△AOC时，∠6=∠1，∵∠2=∠1，∴∠6=∠2，∴CO∥QD，∴∠1=∠CQD，∴∠6=∠CQD，∴CQ=CD，∵S△CDQ=•CD•PQ=•CQ•AB，∴PQ=AB=6，∵CO∥QD，∴=，即=，∴AC：BD=1：2。
北师大初中数学中考冲刺：代几综合问题--巩固练习(基础)(精选)
中考冲刺：代几综合问题—巩固训练（基础）【巩固练习】一、选择题1.（2017•河北一模）如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰Rt△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，设点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．2.如图，在半径为1的⊙O中，直径AB把⊙O分成上、下两个半圆，点C是上半圆上一个动点（C与点A、B不重合），过点C作弦CD⊥AB，垂足为E，∠OCD的平分线交⊙O于点P，设CE=x，AP=y，下列图象中，最能刻画y与x的函数关系的图象是（）二、填空题3. 将抛物线y1＝2x2向右平移2个单位，得到抛物线ｙ２的图象如图所示，P是抛物线y2对称轴上的一个动点，直线x＝t平行于y轴，分别与直线y＝x、抛物线y2交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足的条件的t的值，则t＝．4. （2017•宝山区一模）如图，D为直角△ABC的斜边AB上一点，DE⊥AB交AC于E，如果△AED沿DE翻折，A 恰好与B 重合，联结CD 交BE 于F ，如果AC=8，tanA=，那么CF ：DF= ．三、解答题5.一个形如六边形的点阵.它的中心是一个点（算第一层）、第二层每边有两个点，第三层每边有三个点……依次类推.（1）试写出第n 层所对应的点数； （2）试写出n 层六边形点阵的总点数；（3）如果一个六边形点阵共有169个点，那么它一共有几层？6.如图，Rt △ABC 中，∠B=90°，AC=10cm ，BC=6cm ，现有两个动点P 、Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以2cm/s 的速度，沿AB 向终点B 移动；点Q 以1cm/s 的速度沿BC 向终点C 移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ ．设动点运动时间为x 秒． （1）用含x 的代数式表示BQ 、PB 的长度； （2）当x 为何值时，△PBQ 为等腰三角形；（3）是否存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于20cm 2？若存在，请求出此时x 的值；若不存在，请说明理由．7.阅读理解：对于任意正实数a 、b ，∵2()0,a b -≥20,2,a ab b a b ab ∴-+≥∴+≥a b =只有当时，等号成立。
【精编】北师大初中数学中考冲刺：创新、开放与探究型问题--巩固练习(提高)
中考冲刺：创新、开放与探究型问题—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.（2016•重庆校级二模）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有1个空心小圆圈，第②个图形中一共有6个空心小圆圈，第③个图形中一共有13个空心小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中空心圆圈的个数为（）A．61 B．63 C．76 D．782．如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交与点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；…；设P n﹣1D n﹣2的中点为D n﹣1，第n次将纸片折叠，使点A与点D n﹣1重合，折痕与AD交于点P n（n＞2），则AP6的长为（）A．512532⨯B．69352⨯C．614532⨯D．711352⨯3．下面两个多位数1248624…、6248624…，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是( ) A．495 B．497 C．501 D．503二、填空题4.（2015•合肥校级三模）如图，一个3×2的矩形（即长为3，宽为2）可以用两种不同方式分割成3或6个边长是正整数的小正方形，即：小正方形的个数最多是6个，最少是3个．（1）一个5×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是个，最少是个；（2）一个7×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数最多是个，最少是个；（3）一个（2n+1）×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数最多是个；最少是个．（n是正整数）5. 一园林设计师要使用长度为4L的材料建造如图1所示的花圃，该花圃是由四个形状、大小完全一样的扇环面组成，每个扇环面如图2所示，它是以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过O 点的两条直线段围成，为使得绿化效果最佳，还须使得扇环面积最大．(1)使图①花圃面积为最大时R －r 的值为 ，以及此时花圃面积为 ，其中R 、r 分别为大圆和小圆的半径；(2)若L ＝160 m ，r ＝10 m ，使图面积为最大时的θ值为 ．6．如图所示，已知△ABC 的面积1ABC S =△，在图(a)中，若11112AA BB CC AB BC CA ===，则11114A B C S =△； 在图(b)中，若22213AA BB CC AB BC CA ===，则222A B C 13S =△；在图(c)，若33314AA BB CC AB BC CA ===，则333716A B C S =△．…按此规律，若88819AA BB CC AB BC CA ===，则888A B C S =△________．三、解答题7．（2016•丹东模拟）已知，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与点B 、C 重合），∠BAC =90°，AB=AC ，∠DAE=90°，AD=AE ，连接CE ．（l ）如图1，当点D 在线段BC 上时，求证：①BD ⊥CE ，②CE=BC ﹣CD ；（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CE 、BC 、CD 三条线段之间的关系；（3）如图3，当点O 在线段BC 的反向延长线上时，且点A 、E 分别在直线BC 的两侧，点F 是DE 的中点，连接AF 、CF ，其他条件不变，请判断△ACF 的形状，并说明理由．8.如图(a)、(b)、(c)，在△ABC 中，分别以AB ，AC 为边，向△ABC 外作正三角形、正四边形、正五边形，BE ，CD 相交于点O ．(1)①如图(a)，求证：△ADC ≌△ABE ； ②探究：图(a)中，∠BOC ＝________； 图(b)中，∠BOC ＝________； 图(c)中，∠BOC ＝________；(2)如图(d)，已知：AB ，AD 是以AB 为边向△ABC 外所作正n 边形的一组邻边；AC ，AE 是以AC 为边向△ABC 外所作正n 边形的一组邻边．BE ，CD 的延长相交于点O ．①猜想：图(d)中，∠BOC ＝________________；(用含n 的式子表示)②根据图(d)证明你的猜想．9. 如图(a)，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°， AD＝9，BC＝12，AB＝a，在线段BC上任取一点P(P不与B，C重合)，连接DP，作射线．PE⊥DP，PE与直线AB交于点E．(1)试确定CP＝3时，点E的位置；(2)若设CP＝x(x＞0)，BE＝y(y＞0)，试写出y关于自变量x的函数关系式；(3)若在线段BC上能找到不同的两点P1，P2，使按上述作法得到的点E都与点A重合，试求出此时a的取值范围．10. 点A，B分别是两条平行线m，n上任意两点，在直线n上找一点C，使BC＝k·AB．连接AC，在直线AC上任取一点E，作∠BEF＝∠ABC，EF交直线m于点F．(1)如图(a)，当k＝1时，探究线段EF与EB的关系，并加以说明；说明：①如果你经过反复探索没有解决问题，请写出探索过程(要求至少写三步)；②在完成①之后，可以自己添加条件(添加的条件限定为∠ABC为特殊角)，在图(b)中补全图形，完成证明．(2)如图(c)，若∠ABC＝90°，k≠l，探究线段EF与EB的关系，并说明理由．【答案与解析】一、选择题1.【答案】A；【解析】∵第①个图形中空心小圆圈个数为：4×1﹣3+1×0=1个；第②个图形中空心小圆圈个数为：4×2﹣4+2×1=6个；第③个图形中空心小圆圈个数为：4×3﹣5+3×2=13个；…∴第⑦个图形中空心圆圈的个数为：4×7﹣9+7×6=61个；2.【答案】A；【解析】由题意得，AD=12BC=52，AD1=AD﹣DD1=158，AD2=25532⨯，AD3=37532⨯，AD n=21532nn+⨯，故AP1=54，AP2=1516，AP3=26532⨯…APn=12532nn-⨯，故可得AP6=512532⨯.故选A.3.【答案】A ；【解析】根据题意，当第1位数字是3时，按操作要求得到的数字是3624862486248…，从第2位数字起每隔四位数重复一次6248，因为(100-1)被4整除得24余3，所以这个多位数前100位的所有数字之间和是3+(6+2+4)+(6+2+4+8)×24＝495，答案选A ． 二、填空题4.【答案】（1）4；10；（2）5；14；（3）4n+2；n+2．【解析】 （1）一个5×2的矩形最少可分成4个正方形，最多可分成10个正方形； （2）一个7×2的矩形最少可分成5个正方形，最多可分成14个正方形；（3）第一个图形：是一个3×2的矩形，最少可分成1+2个正方形，最多可分成1×4+2个正方形； 第二个图形：是一个5×2的矩形，最少可分成2+2个正方形，最多可分成2×4+2个正方形； 第三个图形：是一个7×2的矩形，最少可分成3+2个正方形，最多可分成3×4+2个正方形； …第n 个图形：是一个（2n+1）×2的矩形，最多可分成n ×4+2=4n+2个正方形，最少可分成n+2个正方形．故答案为：（1）4；10；（2）5；14；（3）4n+2；n+2．5.【答案】（1）R －r 的值为4L ，以及此时花圃面积为24L ； （2）θ值为240π．【解析】要使花圃面积最大，则必定要求扇环面积最大． 设扇环的圆心角为θ，面积为S ，根据题意得：2()180180R rL R r θπθπ=++-()2()180R r R r πθ+=+-，∴180[2()]()L R r R r θπ--=+∴2222()360360360R r S R r θπθππθ=-=- 22180[2()]()360()L R r R r R r ππ--=-+ 1[2()]()2L R r R r =--- 21()()2R r L R r =--+-22()416L L R r ⎡⎤=---+⎢⎥⎣⎦．∵02LR r <-<，∴S 在4LR r -=时取最大值为216L ．∴花圃面积最大时R －r 的值为4L，最大面积为224164L L ⨯=．(2)∵当4LR r -=时，S 取大值，∴1604044L R r -===(m)， 40401050R r =+=+=(m)，∴180[2()]180(160240)240()60L R r R r θπππ---⨯===+．6.【答案】1927． 【解析】1111111-3=224A B C S =⨯⨯△222A B C 2111-3=333S =⨯⨯△3333171-3=4416A B C S =⨯⨯△…8888157191-3==998127A B C S =⨯⨯△2131-3=111(1)AnBnCn n nS n n n =⨯⨯-+++△三、解答题 7．【答案与解析】（1）证明：如图1中，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE ， 在△ABD 和△ACE 中，，∴△ABD ≌△ACE ，∴∠ABD=∠ACE=45°，BD=CE ， ∴∠ACB+∠ACE=90° ∴∠ECB=90°， ∴BD ⊥CE ，CE=BC ﹣CD ．（2）如图2中，结论：CE=BC+CD ，理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAD=∠CAE ， 在△ABD 和△ACE 中，，∴△ABD ≌△ACE ， ∴BD=CE ， ∴CE=BC+CD ．（3）如图3中，结论：△ACF 是等腰三角形．理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAD=∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，∴△ABD ≌△ACE ， ∴∠ABD=∠ACE ， ∵∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ACE=∠ABD=135°，∴∠DCE=90°，又∵点F是DE中点，∴AF=CF=DE，∴△ACF是等腰三角形．8．【答案与解析】(1)证法一：∵△ABD与△ACE均为等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，且∠BAD＝∠CAE＝60°．∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠DAC＝∠BAE．∴△ADC≌△ABE．证法二：∵△ABD与△ACE均为等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，且∠BAD＝∠CAE＝60°．∴△ADC可由△ABE绕着点A按顺时针方向旋转60°得到．∴△ABE≌△ADC．②120°，90°，72°．(2)①360n°．②证法一：依题意，知∠BAD和∠CAE都是正n边形的内角，AB＝AD，AE＝AC，∴∠BAD＝∠CAE＝(2)180nn-°．∴∠BAD－∠DAE＝∠CAE－∠DAE，即∠BAE＝∠DAC．∴△ABE≌△ADC．∴∠ABE＝∠ADC．∵∠ADC+∠ODA＝180°，∴∠ABO+∠ODA＝180°．∴∠ABO+∠ODA+∠DAB+∠BOC＝360°．∴∠BOC+∠DAB＝180°．∴∠BOC＝180°－∠DAB＝(2)180360 180nn n--=°°°．证法二：延长BA交CO于F，证∠BOC＝∠DAF＝180°-∠BAD．证法三：连接CE．证∠BOC＝180°－∠CAE．9．【答案与解析】解：(1)作DF⊥BC，F为垂足．当CP ＝3时，四边形ADFB 是矩形，则CF ＝3． ∴点P 与点F 重合．又∵BF ⊥FD ，∴此时点E 与点B 重合．(2)(i)当点P 在BF 上(不与B ，F 重合)时，(见图(a))∵∠EPB+∠DPF ＝90°，∠EPB+∠PEB ＝90°， ∴∠DPF ＝∠PEB ． ∴Rt △PEB ∽△ARt △DPF ．∴BE FPBP FD=． ① 又∵ BE ＝y ，BP ＝12-x ，FP ＝x-3，FD ＝a ，代入①式，得312y x x a-=- ∴1(12)(3)y x x a =--，整理， 得21(1536)(312)y x x x a=-+<< ②(ii)当点P 在CF 上（不与C ，F 重合）时，（见上图(b))同理可求得BE FPBP FD=． 由FP ＝3-x 得21(1536)(03)y x x x a=-+<<． ∴ 221(1536)(03)1(1536)(312).x x x ay x x a⎧--+<<⎪⎪=⎨⎪--+<<⎪⎩(3)解法一：当点E 与A 重合时，y ＝EB ＝a ，此时点P 在线段BF 上． 由②式得21(1536)a x x a =--+．整理得2215360x x a -++=． ③∵在线段BC 上能找到两个不同的点P 1与P 2满足条件， ∴方程③有两个不相等的正实根． ∴△＝(-15)2－4×(36+a 2)＞0． 解得2814a <． 又∵a ＞0， ∴902a <<． 解法二：当点E 与A 重合时，∵∠APD ＝90°，∴点P 在以AD 为直径的圆上．设圆心为M ，则M 为AD 的中点． ∵在线段BC 上能找到两个不同的点P 1与P 2满足条件， ∴线段BC 与⊙M 相交．即圆心M 到BC 的距离d 满足02ADd <<． ④ 又∵AD ∥BC ， ∴d ＝a ． ∴由④式得902a <<．10．【答案与解析】解：(1)EF ＝EB ．证明：如图(d)，以E 为圆心，EA 为半径画弧交直线m 于点M ，连接EM ．∴EM＝EA，∴∠EMA＝∠EAM．∵BC＝k·AB，k＝1，∴BC＝AB．∴∠CAB＝∠ACB．∵m∥n，∴∠MAC＝∠ACB，∠FAB＝∠ABC．∴∠MAC＝∠CAB．∴∠CAB＝∠EMA．∵∠BEF＝∠ABC，∴∠BEF＝∠FAB．∵∠AHF＝∠EHB，∴∠AFE＝∠ABE．∴△AEB≌△MEF．∴EF＝EB．探索思路：如上图(a)，∵BC＝k·AB，k＝1，∴BC＝AB．∴∠CAB＝∠ACB．∵m∥n，∴∠MAC＝∠ACB．添加条件：∠ABC＝90°．证明：如图(e)，在直线m上截取AM＝AB，连接ME．∵ BC＝k·AB，k＝1，∴ BC＝AB．∵∠ABC＝90°，∴∠CAB＝∠ACB＝45°．∵ m∥n，∴∠MAE＝∠ACB＝∠CAB＝45°，∠FAB＝90°．∵ AE＝AE，∴△MAE∽△BAE．∴ EM＝EB，∠AME＝∠ABE．∵∠BEF＝∠ABC＝90°，∴∠FAB+∠BEF＝180°．又∵∠ABE+∠EFA＝180°，∴∠EMF＝∠EFA．∴ EM＝EF．∴ EF＝EB．(2)EF＝1k EB．说明：如图(f)，过点E作EM⊥m，EN⊥AB，垂足为M，N．∴∠EMF＝∠ENA＝∠ENB＝90°．∵ m∥n，∠ABC＝90°，∴∠MAB＝90°．∴四边形MENA为矩形．∴ ME＝NA，∠MEN＝90°．∵∠BEF＝∠ABC＝90°．∴∠MEF＝∠NEB．∴△MEF∽△NEB．∴ME EF EN EB=，∴AN EF EN EB=在Rt△ANE和Rt△ABC中，tanEN BCBAC kAN AB∠===，∴1EF EBk=．。
【精编】北师大初中数学中考冲刺：创新、开放与探究型问题--巩固练习(基础)
中考冲刺：创新、开放与探究型问题—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．若自然数n使得三个数的加法运算“n+(n+1)+(n+2)”产生进位现象，则称n为“连加进位数”．例如：2不是“连加进位数”，因为2+3+4＝9不产生进位现象；4是“连加进位数”，因为4+5+6＝15产生进位现象；51是“连加进位数”，因为51+52+63＝156产生进位现象．如果从0，1，2，…，99这100个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是( )A．0.88 B．0.89 C．0.90 D．0.912．如图，点A，B，P在⊙O上，且∠APB＝50°，若点M是⊙O上的动点，要使△ABM为等腰三角形，则所有符合条件的点M有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2016秋•永定区期中）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③个图形一共有16颗棋子，…，则第⑧个图形中棋子的颗数为（）A．226 B．181 C．141 D．106二、填空题4．（2015秋•淮安校级期中）电子跳蚤游戏盘为△ABC，AB=8，AC=9，BC=10，如果电子跳蚤开始时在BC边上的P0点，BP0=4．第一步跳蚤跳到AC边上P1点，且CP1=CP0；第二步跳蚤从P1跳到AB边上P2点，且AP2=AP1；第三步跳蚤从P2跳回到BC边上P3点，且BP3=BP2；…跳蚤按上述规则跳下去，第2015次落点为P2016，则P3与P2016之间的距离为．5．下图为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B，C，D，请你按图中箭头所指方向(如A→B→C →D→C→B→A→B→C→…的方式)从A开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是________；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是________；当字母C第2n+1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是________(用含n的代数式表示)．6. (1)如图(a)，∠ABC＝∠DCB，请补充一个条件：________，使△ABC≌△DCB．(2)如图(b)，∠1＝∠2，请补充一个条件：________，使△ABC≌△ADE．三、解答题7．如图所示，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，对角线AC 和BD 相交于点O ，E 是BC 边上一个动点(点E 不与B ，C 两点重合)，EF ∥BD 交AC 于点F ，EG ∥AC 交BD 于点G ．(1)求证：四边形EFOG 的周长等于2OB ；(2)请你将上述题目的条件“梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论“四边形EFOG 的周长等于2OB ”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证，不必证明．8．如图所示，平面直角坐标系内有两条直线1l ，2l ，直线1l 的解析式为213y x =-+．如果将坐标纸折叠，使直线1l 与2l 重合，此时点(-2，0)与点(0，2)也重合．(1)求直线2l 的解析式；(2)设直线1l 与2l 相交于点M ．问：是否存在这样的直线:l y x t =+，使得如果将坐标纸沿直线l 折叠，点M 恰好落在x 轴上？若存在，求出直线l 的解析式；若不存在，请说明理由．9．（2015•黄陂区校级模拟）正方形ABCD 中，将一个直角三角板的直角顶点与点A 重合，一条直角边与边BC 交于点E （点E 不与点B 和点C 重合），另一条直角边与边CD 的延长线交于点F ．（1）如图①，求证：AE=AF ；（2）如图②，此直角三角板有一个角是45°，它的斜边MN 与边CD 交于G ，且点G 是斜边MN 的中点，连接EG ，求证：EG=BE+DG ；（3）在（2）的条件下，如果=，那么点G 是否一定是边CD 的中点？请说明你的理由．10. （2016•天门）如图①，半圆O 的直径AB=6，AM 和BN 是它的两条切线，CP 与半圆O 相切于点P ，并于AM ，BN 分别相交于C ，D 两点．（1）请直接写出∠COD 的度数；（2）求AC•BD 的值；（3）如图②，连接OP 并延长交AM 于点Q ，连接DQ ，试判断△PQD 能否与△ACO 相似？若能相似，请求AC ：BD 的值；若不能相似，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1.【答案】A；【解析】不是“连加进位数”的有“0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，31，32”共有12个．∴P(取到“连加进位数”)＝100120.88 100-=．2.【答案】D；【解析】如图，①过圆点O作AB的垂线交AB和APB于M1，M2．②以B为圆心AB为半径作弧交圆O于M3．③以A为圆心，AB为半径弧作弧交圆O于M4．则M1，M2，M3，M4都满足要求．3.【答案】C；【解析】设第n个图形中棋子的颗数为a n（n为正整数），观察，发现规律：a1=1，a2=1+3+2=6，a3=1+3+5+4+3=16，…，∴a n=1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n﹣2）+…+n=n2+=n2﹣n+1，当n=8时，a8=×82﹣×8+1=141．二、填空题4.【答案】1．【解析】∵BC=10，BP0=4，知CP0=6，∴CP1=6．∵AC=9，∴AP2=AP1=3．∵AB=8，∴BP3=BP2=5．∴CP4=CP3=5，∴AP4=4．∴AP5=AP4=4，∴BP5=4．∴BP6=BP5=4．此时P6与P0重合，即经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点．2016÷6=336，即P2016与P0重合，∴P3与P2016之间的距离为P3P0=1．故答案为：1．5.【答案】B； 603； 6n+3．【解析】由题意知A→B→C→D→C→B→A→B→C→D→C→B→A→B…，每隔6个数重复一次“A→B→C→D→C→B→”，所以，当数到12时对应的字母是B；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是201×3＝603；当字母C第2n+1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是(2n+1)×3＝6n+3．6.【答案】答案不唯一．(1)如图(a)中∠A ＝∠D ，或AB ＝DC ；(2)图(b)中∠D ＝∠B ，或A B A C A D A E=等．三、解答题7.【答案与解析】(1)证明：∵四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，AB ＝CD ，∴∠ABC ＝∠DCB ．又∵BC ＝CB ，AB ＝DC ，∴△ABC ≌△DCB ．∴∠1＝∠2．又∵ GE ∥AC ，∴∠2＝∠3．∴∠1＝∠3．∴EG ＝BG ．∵EG ∥OC ，EF ∥OB ，∴四边形EGOF 是平行四边形．∴EG ＝OF ，EF ＝OG ．∴四边形EGOF 的周长＝2(OG+GE)＝2(OG+GB)＝2OB ．(2)方法1：如图乙，已知矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为BC 上一个动点(点E 不与B ，C 两点重合)，EF ∥BD ，交AC 于点F ，EG ∥AC 交BD 于点G ．求证：四边形EFOG 的周长等于2OB ．图略．方法2：如图丙，已知正方形ABCD 中，……其余略．8. 【答案与解析】解：(1)直线1l 与y 轴交点的坐标为(0，1)．由题意，直线1l 与2l 关于直线y x =-对称，直线2l 与x 轴交点的坐标为(-1，0)． 又∵直线1l 与直线y x =-的交点为(-3，3)，∴直线2l 过点(-1，0)和(3，3)．设直线2l 的解析式为y ＝kx+b ．则有 0,3 3.k b k b -+=⎧⎨-+=⎩ 解得3,23.2k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 所求直线2l 的解析式为3322y x =--． (2)∵直线l 与直线y x =-互相垂直，且点M(-3，3)在直线y x =-上，∴如果将坐标纸沿直线l 折叠，要使点M 落在x 轴上，那么点M 必须与坐标原点O 重合，此时直线l 过线段OM 的中点33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭．将32x=-，32y=代入y＝x+t，解得t＝3．∴直线l的解析式为y＝x+3．9．【答案与解析】解：（1）如图①，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠BAD=∠ADC=∠C=90°，AB=AD．∵∠EAF=90°，∴∠EAF=∠BAD，∴∠EAF﹣∠EAD=∠BAD﹣∠EAD，∴∠BAE=∠DAF．在△ABE和△ADF中，∴△ABE≌△ADF（ASA）∴AE=AF；（2）如图②，连接AG，∵∠MAN=90°，∠M=45°，∴∠N=∠M=45°，∴AM=AN．∵点G是斜边MN的中点，∴∠EAG=∠NAG=45°．∴∠EAB+∠DAG=45°．∵△ABE≌△ADF，∴∠BAE=∠DAF，AE=AF，∴∠DAF+∠DAG=45°，即∠GAF=45°，∴∠EAG=∠FAG．在△AGE和AGF中，，∴△AGE≌AGF（SAS），∴EG=GF．∵GF=GD+DF，∴GF=GD+BE，∴EG=BE+DG；（3）G不一定是边CD的中点．理由：设AB=6k，GF=5k，BE=x，∴CE=6k﹣x，EG=5k，CF=CD+DF=6k+x，∴CG=CF﹣GF=k+x，在Rt△ECG中，由勾股定理，得（6k﹣x）2+（k+x）2=（5k）2，解得：x1=2k，x2=3k，∴CG=4k或3k．∴点G不一定是边CD的中点．10．【答案与解析】解：（1）∠COD=90°．理由：如图①中，∵AB是直径，AM、BN是切线，∴AM⊥AB，BN⊥AB，∴AM∥BN，∵CA、CP是切线，∴∠ACO=∠OCP，同理∠ODP=∠ODB，∵∠ACD+∠BDC=180°，∴2∠OCD+2∠ODC=180°，∴∠OCD+∠ODC=90°，∴∠COD=90°．（2）如图①中，∵AB是直径，AM、BN是切线，∴∠A=∠B=90°，∴∠ACO+∠AOC=90°，∵∠COD=90°，∴∠BOD+∠AOC=90°，∴∠ACO=∠BOD，∴RT△AOC∽RT△BDO，∴=，即AC•BD=AO•BO，∵AB=6，∴AO=BO=3，∴AC•BD=9．（3）△PQD能与△ACQ相似．∵CA、CP是⊙O切线，∴AC=CP，∠1=∠2，∵DB、DP是⊙O切线，∴DB=DP，∠B=∠OPD=90°，OD=OD，∴RT△ODB≌RT△ODP，∴∠3=∠4，①如图②中，当△PQD∽△ACO时，∠5=∠1，∵∠ACO=∠BOD，即∠1=∠3，∴∠5=∠4，∴DQ=DO，∴∠PDO=∠PDQ，∴△DCQ≌△DCO，∴∠DCQ=∠2，∵∠1+∠2+∠DCQ=180°，∴∠1=60°=∠3，在RT△ACO，RT△BDO中，分别求得AC=，BD=3，∴AC：BD=1：3．②如图②中，当△PQD∽△AOC时，∠6=∠1，∵∠2=∠1，∴∠6=∠2，∴CO∥QD，∴∠1=∠CQD，∴∠6=∠CQD，∴CQ=CD，∵S△CDQ=•CD•PQ=•CQ•AB，∴PQ=AB=6，∵CO∥QD，∴=，即=，∴AC：BD=1：2。
北师大版2020中考复习：创新、开放与探究型问题
中考总复习：创新、开放与探究型问题【中考展望】所谓开放探索型问题指的是有些数学问题的条件、结论或解决方法不确定或不唯一，需要根据题目的特点进行分析、探索，从而确定出符合要求的答案(一个、多个或所有答案)或探索出解决问题的多种方法．由于开放探究型问题对考查学生思维能力和创造能力有积极的作用，是近几年中考命题的一个热点．通常这类题目有以下几种类型：条件开放与探索，结论开放和探索，条件与结论都开放与探索及方案设计、命题组合型、问题开放型等．【方法点拨】由于开放探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．3．分类讨论法．当命题的题设和结论不唯一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．【典型例题】类型一、探究规律1．观察下列各式：，，，，…想一想，什么样的两数之积等于这两数之和？设n 表示正整数，用关于n 的等式表示这个规律．【思路点拨】所给各式中的两个数中，一个是分数，一个是整数，且分数的分子比分母大1，分子与整数相等，因此得出规律.【答案与解析】所给各式中的两个数中，一个是分数，一个是整数，且分数的分子比分母大1，分子与整数相等，因此得到规律：(n 为正整数) 【总结升华】这个规律是否正确呢？可将等式左右两边分别化简，即能得出结论．对于“数字规律”的观察，要善于发现其中的变量与不变量，以及变量与项数之间的关系，将规律用代数式表示出来．举一反三：【变式】一根绳子，弯曲成如图(a)所示的形状，当用剪刀像图(b)那样沿虚线a 把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图(c)那样沿虚线b(b ∥a)把绳子再剪一次时，绳子被剪为9段，当用剪刀在虚线a ，b 之间把绳子再剪(n-2)次(剪刀的方向与a 平行)，这样一共剪n 次时，绳子的段数是________ (用含n 的代数式表示)．【答案】222211⨯=+333322⨯=+444433⨯=+555544⨯=⨯11(1)(1)n nn n n n+++=++首先，在剪0次时，有1段绳子；其次，每剪一次，绳子上多出4个断口，即绳子的段数增加4段，剪n次之后绳子的段数多出4n段．故剪n次时，绳子的段数是4n+1(n为正整数)．类型二、条件开放型2．如图所示，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E，F是对角线AC上的点．(1)若________________________，则△DEC≌△BFA(请你填上能使结论成立的一个条件)；(2)证明你的结论．【思路点拨】（1）已知了一边AD=BC，和一角（AD∥BC，∠DAC=∠BCA）相等．根据全等三角形的判定AAS、SAS、ASA 等，只要符合这些条件的都可以．（2）按照（1）中的条件根据全等三角形的判定进行证明即可．【答案与解析】解：(1)AE＝CF；(OE＝OF；DE⊥AC，BF⊥AC；DE∥BF等等)(2)以AE＝CF为例．∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∠DCE＝∠BAF．又∵AE＝CF．∴AC－AE＝AC－CF．∴AF＝CE，∴△DEG≌△BAF．【总结升华】这是一道探索条件、补充条件的开放型试题，解决这类问题的一般方法是：从结论出发，由果寻因，逆向推理，探寻出使结论成立的条件；有时也采取把可能产生结论的条件一一列出，逐个分析考察．举一反三：【创新、开放与探究型问题 例1】【变式】如图，飞机沿水平方向（A ，B 两点所在直线）飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M 到飞行路线AB 的距离MN ．飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离（因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N 处才测飞行距离），请设计一个求距离MN 的方案，要求：（1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；（2）用测出的数据写出求距离MN 的步骤．【答案】解：此题为开放题，答案不唯一，只要方案设计合理，可参照给分⑴如图，测出飞机在A 处对山顶的俯角为，测出飞机在B 处对山顶的俯角为，测出AB 的距离为d ，连接AM ，BM ．⑵第一步，在中， ∴； 第二步，在中， ∴； 其中，解得．类型三、结论开放型 3．已知：如图(a)，Rt △ABC ≌Rt △ADE ，∠ABC ＝∠ADE ＝90°，试以图中标有字母的点为端点，连接两条线段，如果你所连接的两条线段满足相等、垂直或平行关系中的一种，那么请你把它写出来并证αβAMN Rt ∆AN MN =αtan αtan MN AN =BMN Rt ∆BN MN =βtan βtan MN BN =BN d AN +=αββαtan tan tan tan -⋅⋅=dMN明．【思路点拨】此题需分三种情况讨论：第一种相等CD=BE，第二种垂直AF⊥BD，第三种是平行DB∥CE．首先利用全等三角形的性质，再利用三角形全等的判定定理分别进行证明即可．【答案与解析】解：可以写出的结论有：CD＝BE，DB∥CE，AF⊥BD，AF⊥CE等．(1)如图(b)，连接CD，BE，得CD＝BE．证明：∵△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，AC＝AE．又∠CAB＝∠EAD，∴∠CAD＝∠E1AB．∴△ADC≌△ABE．∴CD＝BE．(2)如图(c)，连接DB，CE，得DB∥CE．证明：∵△ABC≌△ADE，∴AD＝AB．∴∠ADB＝∠ABD．∵∠ABC＝∠ADE，∴∠BDF＝∠FBD．由AC＝AE可得∠ACE＝∠AEC．∵∠ACB＝∠AED，∴∠FCE＝∠FEC．∵∠BDF+∠FBD＝∠FCE+∠FEC，∴∠FCE＝∠DBF．∴DB∥CE．(3)如图(d)，连接DB，AF，得AF⊥BD．∵△ABC≌△ADE，∴AD＝AB，∠ABC＝∠ADE＝90°．又∵AF＝AF，∴△ADF≌△ABF．∴∠DAF＝∠BAF．∴AF⊥BD．(4)如图(e)，连接CE、AF，得AF⊥CE．同(3)得∠DAF＝∠BAF．可得∠CAF＝∠EAF．∴AF⊥BD．【总结升华】本题考查了全等三角形的判定及性质；要对全等三角形的性质及三角形全等的判断定理进行熟练掌握、反复利用，达到举一反三．举一反三：【创新、开放与探究型问题 例2】【变式】数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图，正方形的边长为，P 为边延长线上的一点，E 为DP 的中点，DP 的垂直平分线交边DC 于M ，交边AB 的延长线于N.当CP=6时，EM 与EN 的比值是多少？经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E 作直线平行于BC 交DC ，分别于F ，G ，如图，则可得：，因为，所以.可求出和的值，进而可求得EM 与EN 的比值.(1) 请按照小明的思路写出求解过程.(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.【答案】 （1）解：过作直线平行于交，分别于点，，则，，. ∵，∴.∴，. ∴. （2）证明：作∥交于点，1ABCD 12BC AB 2DF DE FC EP=DE EP =DF FC =EF EG DP MN=E BC DC AB F G DF DE FC EP =EM EF EN EG=12GF BC ==DE EP =DF FC =116322EF CP ==⨯=12315EG GF EF =+=+=31155EM EF EN EG ===MH BC AB H则，.∵，∴.∵，，∴.∴.∴.类型四、动态探究型 4．如图所示，AB ，AC 分别是⊙O 的直径和弦，D 为劣弧上一点，DE ⊥AB 于点H ，交⊙O 于点E ，交AC 于点F ，P 为．ED 的延长线一点．(1)当△PCF 满足什么条件时，PC 与⊙O 相切？为什么？(2)点D 在劣弧的什么位置时，才能使AD 2＝DE ·DF ？为什么？ 【思路点拨】MH CB CD ==90MHN ∠=︒1809090DCP ∠=︒-︒=︒DCP MHN ∠=∠90MNH CMN DME CDP ∠=∠=∠=︒-∠90DPC CDP ∠=︒-∠DPC MNH ∠=∠DPC MNH ∆≅∆DP MN=AC AC(1)连接OC ．要使PC 与⊙O 相切，则只需∠PCO ＝90°即可．由∠OCA ＝∠OAC ，∠PFC ＝∠AFH ，即可寻找出△PCF 所要满足的条件；(2)要使AD 2＝DE ·DF ，即，也就是要使△DAF ∽△DEA ，这样问题就较容易解决了． 【答案与解析】解： (1)当PC ＝PF(或∠PCF ＝∠PFC ，或△PCF 是等边三角形)时，PC 与⊙O 相切．证明：连接OC ．∵PC ＝PF ，∴∠PCF ＝∠PFC ．∴∠PCO ＝∠PCF+∠OCA ＝∠PFC+∠OAC ＝∠AFH+∠AHF ＝90°．∴PC 与⊙O 相切．(2)当点D 是的中点时，AD 2＝DE ·DF ． 连接AE ，∵，∴∠DAF ＝∠DEA ．又∴∠ADF ＝∠EDA ．∴△DAF ∽△DEA ．∴，∴AD 2＝DE ·DF ． 【总结升华】本题是探索条件半开放题，在解决这类问题时，我们常从要获得的结论出发来探求该结论成立的条件．如第(1)小题中，若要PC 与⊙O 相切，则我们需要怎样的条件；第(2)小题也是如此．类型五、创新型AD DF DE AD=AC AD CD =AD DF DE AD=5．认真观察图3的4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：（1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征．特征1：_________________________________________________；特征2：_________________________________________________．（2）请在图4中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征【思路点拨】本题主要考查轴对称图形，中心对称图形的知识点，以及学生的观察能力及空间想象能力．【答案与解析】（1）特征1：都是轴对称图形；特征2：都是中心对称图形；特征3：这些图形的面积都等于4个单位面积等．（2）满足条件的图形有很多，只要画正确一个，就可以得满分．图5【总结升华】本题为开放型试题，答案并不唯一，只要考生能够写出一种符合要求的情景即可，该题为考生提供了一个广阔的发挥空间，但是学生必须通过前四个图形发现其中蕴涵的规律，依照此规律来画出自己想象中的美妙图形．图4中考冲刺：创新、开放与探究型问题—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．若自然数n使得三个数的加法运算“n+(n+1)+(n+2)”产生进位现象，则称n为“连加进位数”．例如：2不是“连加进位数”，因为2+3+4＝9不产生进位现象；4是“连加进位数”，因为4+5+6＝15产生进位现象；51是“连加进位数”，因为51+52+63＝156产生进位现象．如果从0，1，2，…，99这100个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是( )A．0.88 B．0.89 C．0.90 D．0.912．如图，点A，B，P在⊙O上，且∠APB＝50°，若点M是⊙O上的动点，要使△ABM为等腰三角形，则所有符合条件的点M有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图(1)中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数，类似地，称图(2)中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A．15 B．25 C．55 D．1225二、填空题4．电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC，AB＝AC＝BC＝6．如果跳蚤开始时在BC边的P0处，BP0＝2．跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1(第1次落点)处，且CP1＝CP0；第二步从P1跳到AB边的P2(第2次落点)处，且AP2＝AP1；第三步从P2跳到BC边的P3(第3次落点)处，且BP3＝BP2；…；跳蚤按照上述规则一直跳下去，第n次落点为P n(n为正整数)，则点P2009与点P2010之间的距离为__________．5．下图为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B，C，D，请你按图中箭头所指方向(如A→B→C→D →C→B→A→B→C→…的方式)从A开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是________；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是________；当字母C第2n+1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是________(用含n的代数式表示)．6. (1)如图(a)，∠ABC ＝∠DCB ，请补充一个条件：________，使△ABC ≌△DCB ．(2)如图(b)，∠1＝∠2，请补充一个条件：________，使△ABC ≌△ADE ．三、解答题7．如图所示，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，对角线AC 和BD 相交于点O ，E 是BC 边上一个动点(点E 不与B ，C 两点重合)，EF ∥BD 交AC 于点F ，EG ∥AC 交BD 于点G ．(1)求证：四边形EFOG 的周长等于2OB ；(2)请你将上述题目的条件“梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论“四边形EFOG 的周长等于2OB ”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证，不必证明．8．如图所示，平面直角坐标系内有两条直线，，直线的解析式为．如果将坐标纸折叠，使直线与重合，此时点(-2，0)与点(0，2)也重合．1l 2l 1l 213y x =-+1l 2l(1)求直线的解析式；(2)设直线与相交于点M ．问：是否存在这样的直线，使得如果将坐标纸沿直线折叠，点M 恰好落在x 轴上？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．9．解答一个问题后，将结论作为条件之一，提出与原问题有关的新问题，我们把它称为原问题的一个“逆向”问题．例如，原问题是“若矩形的两边长分别为3和4，求矩形的周长”，求出周长等于14后，它的一个“逆向”问题可以是“若矩形的周长为14，且一边长为3，求另一边的长”；也可以是“若矩形的周长为14，求矩形面积的最大值”，等等．(1)设，，求A 与B 的积； (2)提出(1)的一个“逆向”问题，并解答这个问题．10. 已知：在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，D 是AC 的中点，⊙O 经过A ，D ，B 三点，CB 的延长线交⊙O 于点E(如图(a))．在满足上述条件的情况下，当∠CAB 的大小变化时，图形也随着改变(如图(b))，在这个变化过程中，有些线段总保持着相等的关系．(1)观察上述图形，连接图(b)中已标明字母的某两点，得到一条新线段，证明它与线段CE 相等；2l 1l 2l :l y x t =+l l 322x x A x x =--+24x B x-=(2)在图(b)中，过点E 作⊙O 的切线，交AC 的延长线于点F ．①若CF ＝CD ，求sin ∠CAB 的值；②若，试用含n 的代数式表示sin ∠CAB(直接写出结果)．【答案与解析】一、选择题1.【答案】A ；【解析】不是“连加进位数”的有“0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，31，32”共有12个．∴P(取到“连加进位数”)＝． 2.【答案】D ；【解析】如图，①过圆点O 作AB 的垂线交和于M 1，M 2．②以B 为圆心AB 为半径作弧交圆O 于M 3．(0)CF n n CD=>100120.88100-=ABAPB③以A为圆心，AB为半径弧作弧交圆O于M4．则M1，M2，M3，M4都满足要求．3.【答案】D；二、填空题4.【答案】2．【解析】如图，按要求作出P4，P5，P6…．可发现如下规律：P0，P6，P12，P18…重合；P1，P7，P13，P19…重合；P2，P8、P14，P20…重合；P3，P9、P15，P21…重合；P4，P10，P16，P22…重合；P5，P11，P17，P23…重合．(以6为周期循环)∵2009＝334×6+5，2010＝335×6，∴P2009与P5重合；P2010与P0重合；求P2009与P2010之间距离也就是求P5与P0之间距离，△BP0P5是等边三角形．∴P0P5＝2，即P2009与P2010之间距离为2．5.【答案】B； 603； 6n+3．【解析】由题意知A→B→C→D→C→B→A→B→C→D→C→B→A→B…，每隔6个数重复一次“A→B→C →D→C→B→”，所以，当数到12时对应的字母是B；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是201×3＝603；当字母C 第2n+1次出现时(n 为正整数)，恰好数到的数是(2n+1)×3＝6n+3．6.【答案】答案不唯一．(1)如图(a)中∠A ＝∠D ，或AB ＝DC ；(2)图(b)中∠D ＝∠B ，或等．三、解答题7.【答案与解析】(1)证明：∵四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，AB ＝CD ，∴∠ABC ＝∠DCB ．又∵BC ＝CB ，AB ＝DC ，∴△ABC ≌△DCB ．∴∠1＝∠2．又∵ GE ∥AC ，∴∠2＝∠3．∴∠1＝∠3．∴EG ＝BG ．∵EG ∥OC ，EF ∥OB ，∴四边形EGOF 是平行四边形．∴EG ＝OF ，EF ＝OG ． ∴四边形EGOF 的周长＝2(OG+GE)＝2(OG+GB)＝2OB ．AB AC AD AE(2)方法1：如图乙，已知矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为BC 上一个动点(点E 不与B ，C 两点重合)，EF ∥BD ，交AC 于点F ，EG ∥AC 交BD 于点G ．求证：四边形EFOG 的周长等于2OB ．图略．方法2：如图丙，已知正方形ABCD 中，……其余略．8. 【答案与解析】解：(1)直线与y 轴交点的坐标为(0，1)．由题意，直线与关于直线对称，直线与x 轴交点的坐标为(-1，0)．又∵直线与直线的交点为(-3，3)，∴直线过点(-1，0)和(3，3)．设直线的解析式为y ＝kx+b ．则有解得 所求直线的解析式为． (2)∵直线与直线互相垂直，且点M(-3，3)在直线上，∴如果将坐标纸沿直线折叠，要使点M 落在x 轴上，那么点M 必须与坐标原点O 重合，此时直线过线段OM 的中点．1l 1l 2l y x =-2l 1l y x =-2l 2l 0,3 3.k b k b -+=⎧⎨-+=⎩3,23.2k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩2l 3322y x =--l y x =-y x =-l l 33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭将，代入y ＝x+t ，解得t ＝3． ∴直线l 的解析式为y ＝x+3．9．【答案与解析】解：(1) ． (2)“逆向”问题一： 已知，，求A ． 解答：． “逆向”问题二：已知，，求B ． 解答： ． “逆向”问题三：已知A ·B ＝2x+8，A+B ＝x+10，求(A －B)2． 32x =-32y =23422x x x A B x x x -⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭22(4)428(2)(2)x x x x x x x+-==+-+28A B x =+24x B x -=22228()(28)44x x x A A B B x x x +=÷=+=--28A B x =+322x x A x x =--+3()(28)22x x B A B A x x x ⎛⎫=÷=+÷- ⎪-+⎝⎭2(4)(28)(2)(2)x x x x x +=+÷-+2(2)(2)42(4)2(4)x x x x x x x-+-=+=+解答：(A －B)2＝(A+B)2－4A ·B＝(x+10)2－4(2x+8)＝x 2+12x+68．10．【答案与解析】解：(1)连接AE ．求证：AE ＝CE ．证法一：如图(a)，连接OD ．∵∠ABC ＝90°，CB 的延长线交⊙O 于点E ，∴∠ABE ＝90°．∴AE 是⊙O 的直径．∵D 是AC 的中点，O 是AE 的中点，∴． ∵， ∴AE ＝CE ．证法二：如图(b)，连接DE ．同证法一，得AE 是⊙O 的直径． ∴∠ADE ＝90°．∵D 是AC 的中点，∴DE 是线段AC 的垂直平分线．12OD CE =12OD AE =∴AE ＝CE ．(2)①根据题意画出图形．如图(c)，连接DE ． ∵AE 是⊙O 的直径，EF 是⊙O 的切线， ∴∠ADE ＝∠AEF ＝90°．∴Rt △A 1DE ∽Rt △EDF ．∴． 设AD ＝k 是(k ＞0)，则DF ＝2k ．∴． ∴．在Rt △CDE 中，∵ CE 2＝CD 2+DE 2＝3k 2，∴．∵∠CAB ＝∠DEC ．∴sin ∠CAB ＝sin ∠DEC ＝． ②．AD DE DE DF =2k DE DE k=DE=CE=CD CE=sin 0)CAB n ∠=>。
华东师大初中数学中考冲刺：创新、开放与探究型问题--巩固练习(基础) [精选]
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中考冲刺：创新、开放与探究型问题—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．若自然数n使得三个数的加法运算“n+(n+1)+(n+2)”产生进位现象，则称n为“连加进位数”．例如：2不是“连加进位数”，因为2+3+4＝9不产生进位现象；4是“连加进位数”，因为4+5+6＝15产生进位现象；51是“连加进位数”，因为51+52+63＝156产生进位现象．如果从0，1，2，…，99这100个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是( )A．0.88 B．0.89 C．0.90 D．0.912．如图，点A，B，P在⊙O上，且∠APB＝50°，若点M是⊙O上的动点，要使△ABM为等腰三角形，则所有符合条件的点M有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2016秋•永定区期中）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③个图形一共有16颗棋子，…，则第⑧个图形中棋子的颗数为（）A．226 B．181 C．141 D．106二、填空题4．（2015秋•淮安校级期中）电子跳蚤游戏盘为△ABC，AB=8，AC=9，BC=10，如果电子跳蚤开始时在BC 边上的P0点，BP0=4．第一步跳蚤跳到AC边上P1点，且CP1=CP0；第二步跳蚤从P1跳到AB边上P2点，且AP2=AP1；第三步跳蚤从P2跳回到BC边上P3点，且BP3=BP2；…跳蚤按上述规则跳下去，第2015次落点为P2016，则P3与P2016之间的距离为．5．下图为手的示意图，在各个手指间标记字母A ，B ，C ，D ，请你按图中箭头所指方向(如A →B →C →D →C →B →A →B →C →…的方式)从A 开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是________；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是________；当字母C 第2n+1次出现时(n 为正整数)，恰好数到的数是________(用含n 的代数式表示)．6. (1)如图(a)，∠ABC ＝∠DCB ，请补充一个条件：________，使△ABC ≌△DCB ．(2)如图(b)，∠1＝∠2，请补充一个条件：________，使△ABC ≌△ADE ．三、解答题7．如图所示，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，对角线AC 和BD 相交于点O ，E 是BC 边上一个动点(点E 不与B ，C 两点重合)，EF ∥BD 交AC 于点F ，EG ∥AC 交BD 于点G ．(1)求证：四边形EFOG 的周长等于2OB ；(2)请你将上述题目的条件“梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论“四边形EFOG 的周长等于2OB ”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证，不必证明．8．如图所示，平面直角坐标系内有两条直线1l ，2l ，直线1l 的解析式为213y x =-+．如果将坐标纸折叠，使直线1l 与2l 重合，此时点(-2，0)与点(0，2)也重合．(1)求直线2l 的解析式；(2)设直线1l 与2l 相交于点M ．问：是否存在这样的直线:l y x t =+，使得如果将坐标纸沿直线l 折叠，点M 恰好落在x 轴上？若存在，求出直线l 的解析式；若不存在，请说明理由．9．（2015•黄陂区校级模拟）正方形ABCD 中，将一个直角三角板的直角顶点与点A 重合，一条直角边与边BC 交于点E （点E 不与点B 和点C 重合），另一条直角边与边CD 的延长线交于点F ．（1）如图①，求证：AE=AF ；（2）如图②，此直角三角板有一个角是45°，它的斜边MN 与边CD 交于G ，且点G 是斜边MN 的中点，连接EG ，求证：EG=BE+DG ；（3）在（2）的条件下，如果=，那么点G 是否一定是边CD 的中点？请说明你的理由．10. （2016•天门）如图①，半圆O 的直径AB=6，AM 和BN 是它的两条切线，CP 与半圆O 相切于点P ，并于AM ，BN 分别相交于C ，D 两点．（1）请直接写出∠COD 的度数；（2）求AC•BD 的值；（3）如图②，连接OP 并延长交AM 于点Q ，连接DQ ，试判断△PQD 能否与△ACO 相似？若能相似，请求AC ：BD 的值；若不能相似，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1.【答案】A；【解析】不是“连加进位数”的有“0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，31，32”共有12个．∴P(取到“连加进位数”)＝100120.88 100-=．2.【答案】D；【解析】如图，①过圆点O作AB的垂线交AB和APB于M1，M2．②以B为圆心AB为半径作弧交圆O于M3．③以A为圆心，AB为半径弧作弧交圆O于M4．则M1，M2，M3，M4都满足要求．3.【答案】C；【解析】设第n个图形中棋子的颗数为a n（n为正整数），观察，发现规律：a1=1，a2=1+3+2=6，a3=1+3+5+4+3=16，…，∴a n=1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n﹣2）+…+n=n2+=n2﹣n+1，当n=8时，a8=×82﹣×8+1=141．二、填空题4.【答案】1．【解析】∵BC=10，BP0=4，知CP0=6，∴CP1=6．∵AC=9，∴AP2=AP1=3．∵AB=8，∴BP3=BP2=5．∴CP4=CP3=5，∴AP4=4．∴AP5=AP4=4，∴BP5=4．∴BP6=BP5=4．此时P6与P0重合，即经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点．2016÷6=336，即P2016与P0重合，∴P3与P2016之间的距离为P3P0=1．故答案为：1．5.【答案】B； 603； 6n+3．【解析】由题意知A→B→C→D→C→B→A→B→C→D→C→B→A→B…，每隔6个数重复一次“A→B→C→D →C→B→”，所以，当数到12时对应的字母是B；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是201×3＝603；当字母C第2n+1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是(2n+1)×3＝6n+3．6.【答案】答案不唯一．(1)如图(a)中∠A＝∠D，或AB＝DC；(2)图(b)中∠D＝∠B，或AB ACAD AE等．三、解答题7.【答案与解析】(1)证明：∵四边形ABCD是梯形，AD∥BC，AB＝CD，∴∠ABC＝∠DCB．又∵BC＝CB，AB＝DC，∴△ABC≌△DCB．∴∠1＝∠2．又∵ GE∥AC，∴∠2＝∠3．∴∠1＝∠3．∴EG＝BG．∵EG∥OC，EF∥OB，∴四边形EGOF是平行四边形．∴EG＝OF，EF＝OG．∴四边形EGOF的周长＝2(OG+GE)＝2(OG+GB)＝2OB．(2)方法1：如图乙，已知矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为BC上一个动点(点E不与B ，C 两点重合)，EF ∥BD ，交AC 于点F ，EG ∥AC 交BD 于点G ．求证：四边形EFOG 的周长等于2OB ．图略．方法2：如图丙，已知正方形ABCD 中，……其余略．8. 【答案与解析】解：(1)直线1l 与y 轴交点的坐标为(0，1)．由题意，直线1l 与2l 关于直线y x =-对称，直线2l 与x 轴交点的坐标为(-1，0)．又∵直线1l 与直线y x =-的交点为(-3，3)，∴直线2l 过点(-1，0)和(3，3)．设直线2l 的解析式为y ＝kx+b ．则有0,3 3.k b k b -+=⎧⎨-+=⎩ 解得3,23.2k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 所求直线2l 的解析式为3322y x =--． (2)∵直线l 与直线y x =-互相垂直，且点M(-3，3)在直线y x =-上，∴如果将坐标纸沿直线l 折叠，要使点M 落在x 轴上，那么点M 必须与坐标原点O 重合，此时直线l 过线段OM 的中点33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 将32x =-，32y =代入y ＝x+t ，解得t ＝3． ∴直线l 的解析式为y ＝x+3．9．【答案与解析】解：（1）如图①，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B=∠BAD=∠ADC=∠C=90°，AB=AD ．∵∠EAF=90°，∴∠EAF=∠BAD ，∴∠EAF ﹣∠EAD=∠BAD ﹣∠EAD ，∴∠BAE=∠DAF ．在△ABE 和△ADF 中，∴△ABE ≌△ADF （ASA ）∴AE=AF；（2）如图②，连接AG，∵∠MAN=90°，∠M=45°，∴∠N=∠M=45°，∴AM=AN．∵点G是斜边MN的中点，∴∠EAG=∠NAG=45°．∴∠EAB+∠DAG=45°．∵△ABE≌△ADF，∴∠BAE=∠DAF，AE=AF，∴∠DAF+∠DAG=45°，即∠GAF=45°，∴∠EAG=∠FAG．在△AGE和AGF中，，∴△AGE≌AGF（SAS），∴EG=GF．∵GF=GD+DF，∴GF=GD+BE，∴EG=BE+DG；（3）G不一定是边CD的中点．理由：设AB=6k，GF=5k，BE=x，∴CE=6k﹣x，EG=5k，CF=CD+DF=6k+x，∴CG=CF﹣GF=k+x，在Rt△ECG中，由勾股定理，得（6k﹣x）2+（k+x）2=（5k）2，解得：x1=2k，x2=3k，∴CG=4k或3k．∴点G不一定是边CD的中点．10．【答案与解析】解：（1）∠COD=90°．理由：如图①中，∵AB是直径，AM、BN是切线，∴AM⊥AB，BN⊥AB，∴AM∥BN，∵CA、CP是切线，∴∠ACO=∠OCP，同理∠ODP=∠ODB，∵∠ACD+∠BDC=180°，∴2∠OCD+2∠ODC=180°，∴∠OCD+∠ODC=90°，∴∠COD=90°．（2）如图①中，∵AB是直径，AM、BN是切线，∴∠A=∠B=90°，∴∠ACO+∠AOC=90°，∵∠COD=90°，∴∠BOD+∠AOC=90°，∴∠ACO=∠BOD，∴RT△AOC∽RT△BDO，∴=，即AC•BD=AO•BO，∵AB=6，∴AO=BO=3，∴AC•BD=9．（3）△PQD能与△ACQ相似．∵CA、CP是⊙O切线，∴AC=CP，∠1=∠2，∵DB、DP是⊙O切线，∴DB=DP，∠B=∠OPD=90°，OD=OD，∴RT△ODB≌RT△ODP，∴∠3=∠4，①如图②中，当△PQD∽△ACO时，∠5=∠1，∵∠ACO=∠BOD，即∠1=∠3，∴∠5=∠4，∴DQ=DO，∴∠PDO=∠PDQ，∴△DCQ≌△DCO，∴∠DCQ=∠2，∵∠1+∠2+∠DCQ=180°，∴∠1=60°=∠3，在RT△ACO，RT△BDO中，分别求得AC=，BD=3，∴AC：BD=1：3．②如图②中，当△PQD∽△AOC时，∠6=∠1，∵∠2=∠1，∴∠6=∠2，∴CO∥QD，∴∠1=∠CQD，∴∠6=∠CQD，∴CQ=CD，∵S△CDQ=•CD•PQ=•CQ•AB，∴PQ=AB=6，∵CO∥QD，∴=，即=，∴AC：BD=1：2。
北师大初中数学中考冲刺：动手操作与运动变换型问题--巩固练习(基础)
中考冲刺：动手操作与运动变换型问题—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90° ，AC=BC=6cm ，点P 从点A 出发，沿AB 方向以每秒2cm 的速度向终点B 运动；同时，动点Q 从点B 出发沿BC 方向以每秒1cm 的速度向终点C 运动，将△PQC 沿BC 翻折，点P 的对应点为点P ′.设Q 点运动的时间t 秒，若四边形QPCP 为菱形，则t 的值为（ ）. A. 2 B. 2 C. 22 D.32．如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，F 是弦BC 的中点，∠ABC =60°.若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着A→B→A 的方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t ＜3)，连接EF ，当△BEF 是直角三角形时，t 的值为（ ）. A. 47 B. 1 C. 47或1 D. 47或1或493. （2015•盘锦）如图，边长为1的正方形ABCD ，点M 从点A 出发以每秒1个单位长度的速度向点B 运动，点N 从点A 出发以每秒3个单位长度的速度沿A→D→C→B 的路径向点B 运动，当一个点到达点B 时，另一个点也随之停止运动，设△AMN 的面积为s ，运动时间为t 秒，则能大致反映s 与t 的函数关系的图象是（ ）.A ．B ．C ．D ．二、填空题 4．如图,已知点A （0,2）、B （23,2）、C (0,4),过点C 向右作平行于x 轴的射线,点P 是射线上的动点,连结AP ,以AP 为边在其左侧作等边△APQ ,连结PB 、BA .若四边形ABPQ 为梯形,则（1）当AB 为梯形的底时,点P 的横坐标是 ；（2）当AB 为梯形的腰时,点P 的横坐标是 .5．如图，矩形纸片ABCD，AB=2，点E在BC上，且AE=EC．若将纸片沿AE折叠，点B恰好落在AC上，则AC的长是 .6. （2016•东河区二模）如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=3．其中正确结论的是．三、解答题7．如图所示是规格为8×8的正方形网格，请在所给网格中，按下列要求操作：(1)请在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为(-2，4)，B点坐标为(-4，2)；(2)在第二象限内的格点上画一点C，使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则C点的坐标是________，△ABC的周长是________ (结果保留根号)；(3)画出△ABC以点C为旋转中心、旋转180°后的△A′B′C，连接AB′和A′B，试说出四边形ABA B''是何特殊四边形，并说明理由．8. (1)观察与发现小明将三角形纸片ABC(AB＞AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片(如图①)；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF(如图②)．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．(2)实践与运用将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE(如图③)；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG(如图④)；再展平纸片(如图⑤)．求图⑤中∠α的大小．9. 如图(1)，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，将直角三角形板DEF绕D点按逆时针方向旋转．(1)在图(1)中，DE交AB于M，DF交BC于N．①证明：DM＝ND；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的；若不发生变化，求出其面积；(2)继续旋转至如图(2)所示的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)继续旋转至如图(3)所示的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立?若成立，请写出结论，不用证明．10. （2016•绵阳）如图，以菱形ABCD对角线交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，﹣），直线DE⊥DC交AC于E，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿着A→D→C的路线向终点C匀速运动，设△PDE的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒．（1）求直线DE的解析式；（2）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）当t为何值时，∠EPD+∠DCB=90°？并求出此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】连接PP′交BC于点D，若四边形QPCP为菱形，则PP′⊥BC，CD＝12CQ=12（6-t），∴BD=6-12（6-t）=3+12t.在Rt△BPD中，PB=AB-AP=62-2t，而PB=2BD，∴62-2t=2（3+12t），解得：t=2，故选B.2.【答案】D；【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°；Rt△ABC中，BC=2，∠ABC=60°；∴AB=2BC=4cm.①当∠BFE=90°时；Rt△BEF中，∠ABC=60°，则BE=2BF=2cm；故此时AE=AB-BE=2cm；∴E点运动的距离为：2cm或6cm，故t=1s或3s；由于0≤t＜3，故t=3s不合题意，舍去；所以当∠BFE=90°时，t=1s；②当∠BEF=90°时；同①可求得BE=0.5cm，此时AE=AB-BE=3.5cm；∴E点运动的距离为：3.5cm或4.5cm，故t=1.75s 或2.25s；综上所述，当t的值为1、1.75或2.25s时，△BEF是直角三角形．故选D．3.【答案】D.【解析】（1）如图1，当点N在AD上运动时，s=AM•AN=×t×3t=t2．（2）如图2，当点N 在CD 上运动时， s=AM•AD=t×1=t ．（3）如图3，当点N 在BC 上运动时， s=AM•BN=×t×（3﹣3t ）=﹣t 2+t综上可得，能大致反映s 与t 的函数关系的图象是选项D 中的图象．故选：D ．二、填空题4.【答案】（1）332；（2）0， 32； 【解析】（1）由题意知，当AB 为梯形的底时，AB ∥PQ ，即PQ ⊥y 轴，又△APQ 为等边三角形，AC ＝2，由几何关系知，点P 的横坐标是332.（2）当AB 为梯形的腰时，当PB ∥y 轴时，满足题意，此时AQ=4，由几何关系得，点P 的横坐标是32.5.【答案】4；【解析】由折叠可知∠BAE=∠CAE，因为AE=EC所以∠CAE=∠ACE，所以∠BAE=∠CAE=∠ACE，三角的和为90°，所以∠ACE=30°，所以AC=2AB=4.6.【答案】①②③．【解析】①正确．因为AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，∴△ABG≌△AFG；②正确．因为：EF=DE=CD=2，设BG=FG=x，则CG=6﹣x．在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6﹣x）2+42=（x+2）2，解得x=3．所以BG=3=6﹣3=GC；③正确．因为CG=BG=GF，所以△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．又∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，∴AG∥CF；④错误．过F作FH⊥DC，∵BC⊥DH，∴FH∥GC，∴△EFH∽△EGC，∴=，EF=DE=2，GF=3，∴EG=5，∴△EFH∽△EGC，∴相似比为：==，∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=×3×4﹣×4×（×3）=≠3．故答案为：①②③．三、解答题7．【答案与解析】(1)如图所示建立平面直角坐标系．(2)如图画出点C ，C(-1，1)．△ABC 的周长是22210+．(3)如图画出△A ′B ′C ，四边形ABA ′B ′是矩形．理由：∵CA ＝CA ′，CB ＝CB ′，∴四边形ABA ′B ′是平行四边形.又∵CA ＝CB ，∴CA ＝CA ′＝CB ＝CB ′．∴AA ′＝BB ′．∴四边形ABA ′B ′是矩形．8．【答案与解析】解：(1)同意．如图所示，设AD 与EF 交于点G ．由折叠知，AD 平分∠BAC ，所以∠BAD ＝∠CAD ．又由折叠知，∠AGE ＝∠AGF ＝90°，所以∠AEF ＝∠AFE ，所以AE ＝AF ，即△AEF 为等腰三角形．(2)由折叠知，四边形ABFE 是正方形∠AEB ＝45°，所以∠BED ＝135°．又由折叠知，∠BEG ＝∠DEG ，所以∠DEG ＝67.5°．从而∠α＝90°-67.5°＝22.5°．9．【答案与解析】解：(1)①连接DB ，利用△BMD ≌△CND 或△ADM ∽△BDN 即可证明DM ＝DN ． ②由△BMD ≌△CND 知，BMD CND S S =△△， ∴1124DBN DMB DBN DNC ABC DMBN S S S S S S =+=+==△△△△△四边形．即在直角三角板DEF旋转过程中，四边形DMBN的面积始终等于14，不发生变化．(2)连接DB，由△BMD≌△CND可证明DM＝DN，即DM＝DN仍然成立．(3)连接DB．由△BMD≌△CND，可证明DM＝ND仍成立．10．【答案与解析】解：由菱形的对称性可得，C（2，0），D（0，），∴OD=，OC=2，tan∠DCO==，∵DE⊥DC，∴∠EDO+∠CDO=90°，∵∠DCO+∠CD∠=90°，∴∠EDO=∠DCO，∵tan∠EDO=tan∠DCO=，∴，∴OE=，∴E（﹣，0），∴D（0，），∴直线DE解析式为y=2x+，（2）由（1）得E（﹣，0），∴AE=AO﹣OE=2﹣=，根据勾股定理得，DE==，∴菱形的边长为5，如图1，过点E作EF⊥AD，∴sin∠DAO=，∴EF==，当点P在AD边上运动，即0≤t＜，S=PD×EF=×（5﹣2t）×=﹣t+，如图2，点P在DC边上运动时，即＜t≤5时，S=PD×DE=×（2t﹣5）×=t﹣；∴S=，（3）设BP与AC相交于点Q，在菱形ABCD中，∠DAB=∠DCB，DE⊥DC，∴DE⊥AB，∴∠DAB+∠ADE=90°，∴∠DCB+∠ADE=90°，∴要使∠EPD+∠DCB=90°，∴∠EPD=∠ADE，当点P在AD上运动时，如图3，∵∠EPD=∠ADE，∴EF垂直平分线PD，∴AP=AD﹣2DF=AD﹣2，∴2t=5﹣，∴t=，此时AP=1，∵AP∥BC，∴△APQ∽△CBQ，∴，∴，∴，∴AQ=，∴OQ=OA﹣AQ=，在Rt△OBQ中，tan∠OQB===，当点P在DC上运动时，如图4，∵∠EPD=∠ADE，∠EDP=∠EFD=90°∴△EDP∽△EFD，∴，∴DP===，∴2t=AD﹣DP=5+，∴t=，此时CP=DC﹣DP=5﹣=，∵PC∥AB，∴△CPQ∽△ABQ，∴，∴，∴，∴CQ=，∴OQ=OC﹣CQ=2﹣=，在Rt△OBD中，tan∠OQB===1，即：当t=时，∠EPD+∠DCB=90°．此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值为．当t=时，∠EPD+∠DCB=90°．此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值为1．。
中考数学冲刺复习专题训练3创新开放与探究型问题
创新、开放与探究型问题例1.如图，飞机沿水平方向（A，B 两点所在直线）飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN．飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离（因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离），请设计一个求距离MN的方案，要求：（1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；（2）用测出的数据写出求距离MN 的步骤．例2.数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图1，正方形ABCD的边长为12，P为边BC延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边DC于M，交边AB的延长线于N.当CP=6时，EM与EN的比值是多少？经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E作直线平行于BC交DC，AB分别于F，G，如图2，则可得：DF DEFC EP=，因为DE EP=，所以DF FC=.可求出EF和EG的值，进而可求得EM与EN的比值.(1) 请按照小明的思路写出求解过程.(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了DP MN=的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.例3.如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1,AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD 上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K ，得到△MNK ．（1）若∠1=70°，求∠MNK 的度数．（2）△MNK 的面积能否小于12？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由．（3）如何折叠能够使△MNK 的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值．（备用图）例4. 如图，点D ，E 在△ABC 的边BC 上，连接AD ，AE. ①AB＝AC ；②AD＝AE ；③BD＝CE.以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①.（1）以上三个命题是真命题的为（直接作答） ；（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）.例5．在△ABC 中，∠B=∠C=30°.请你设计两种不同的分法，将△ABC 分割成四个小三角形，使得其中两个是全等．．三角形，而另外两个是相似．．但不全等．．．的直角三角形．请画出分割线段，并在两个全等三角形中E D C BA标出一对相等的内角的度数（画图工具不限，不要求证明，不要求写出画法）．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图1，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，Ð1=30°，Ð2=50°，则Ð3的度数为A．80°B．50°C．30°D．20°【答案】D【解析】试题分析：根据平行线的性质，得∠4=∠2=50°，再根据三角形的外角的性质∠3=∠4-∠1=50°-30°=20°．故答案选D．考点：平行线的性质;三角形的外角的性质．2．已知线段AB=8cm，点C是直线AB上一点，BC=2cm，若M是AB的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度为（）A．5cm B．5cm或3cm C．7cm或3cm D．7cm【答案】B【解析】（1）如图1，当点C在点A和点B之间时，∵点M是AB的中点，点N是BC的中点，AB=8cm，BC=2cm，∴MB=12AB=4cm，BN=12BC=1cm，∴MN=MB-BN=3cm；（2）如图2，当点C在点B的右侧时，∵点M是AB的中点，点N是BC的中点，AB=8cm，BC=2cm，∴MB=12AB=4cm ，BN=12BC=1cm ， ∴MN=MB+BN=5cm.综上所述，线段MN 的长度为5cm 或3cm.故选B.点睛：解本题时，由于题目中告诉的是点C 在直线AB 上，因此根据题目中所告诉的AB 和BC 的大小关系要分点C 在线段AB 上和点C 在线段AB 的延长线上两种情况分析解答，不要忽略了其中任何一种. 3．已知二次函数y ＝ax 1+bx+c+1的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc ＞0；②b 1﹣4ac ＝0；③a ＞1；④ax 1+bx+c ＝﹣1的根为x 1＝x 1＝﹣1；⑤若点B （﹣14，y 1）、C （﹣12，y 1）为函数图象上的两点，则y 1＞y 1．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．3C ．4D ．5【答案】D 【解析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】解：①由抛物线的对称轴可知：02b a-<， ∴0ab >，由抛物线与y 轴的交点可知：22c +>，∴0c >，∴0abc >，故①正确；②抛物线与x 轴只有一个交点，∴0∆=，∴240b ac -=，故②正确；③令1x =-，∴20y a b c =-++=，∵12b a -=-， ∴2b a =，∴220a a c -++=，∴2a c =+，∵22c +>，∴2a >，故③正确；④由图象可知：令0y =，即202ax bx c =+++的解为121x x ==-,∴22ax bx c ++=-的根为121x x ==-，故④正确；⑤∵11124-<-<-， ∴12y y >，故⑤正确；故选D ．【点睛】考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用数形结合的思想.4．如图，四个有理数在数轴上的对应点M ，P ，N ，Q ，若点M ，N 表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（ ）A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q 【答案】C【解析】试题分析：∵点M ，N 表示的有理数互为相反数，∴原点的位置大约在O 点，∴绝对值最小的数的点是P 点，故选C ．考点：有理数大小比较．5．若函数2m y x +=的图象在其象限内y 的值随x 值的增大而增大，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞﹣2B ．m ＜﹣2C ．m ＞2D ．m ＜2【答案】B【解析】根据反比例函数的性质，可得m+1＜0，从而得出m的取值范围．【详解】∵函数2myx+=的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，∴m+1＜0，解得m＜-1．故选B．6．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（）A．75°B．60°C．55°D．45°【答案】B【解析】由正方形的性质和等边三角形的性质得出∠BAE＝150°，AB＝AE，由等腰三角形的性质和内角和定理得出∠ABE＝∠AEB＝15°，再运用三角形的外角性质即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°，∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝60°，AD＝AE，∴∠BAE＝90°+60°＝150°，AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝12（180°﹣150°）＝15°，∴∠BFC＝∠BAF+∠ABE＝45°+15°＝60°；故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．7．已知代数式x+2y的值是5，则代数式2x+4y+1的值是（）A．6 B．7 C．11 D．12【答案】C【解析】根据题意得出x+2y=5，将所求式子前两项提取2变形后，把x+2y=5代入计算即可求出值．【详解】∵x+2y=5，∴2x+4y=10，则2x+4y+1=10+1=1．故选C．【点睛】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，是一道基本题型．8．下列长度的三条线段能组成三角形的是A．2，3，5 B．7，4，2C．3，4，8 D．3，3，4【答案】D【解析】试题解析：A．∵3+2=5，∴2，3，5不能组成三角形，故A错误；B．∵4+2＜7，∴7，4，2不能组成三角形，故B错误；C．∵4+3＜8，∴3，4，8不能组成三角形，故C错误；D．∵3+3＞4，∴3，3，4能组成三角形，故D正确；故选D．9．如图，在△ABC中，点D在BC上，DE∥AC，DF∥AB，下列四个判断中不正确的是( )A．四边形AEDF是平行四边形B．若∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形C．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是矩形D．若AD⊥BC且AB＝AC，则四边形AEDF是菱形【答案】C【解析】A选项，∵在△ABC中，点D在BC上，DE∥AC，DF∥AB，∴DE∥AF，DF∥AE，∴四边形AEDF是平行四边形；即A正确；B选项，∵四边形AEDF是平行四边形，∠BAC=90°，∴四边形AEDF是矩形；即B正确；C选项，因为添加条件“AD平分∠BAC”结合四边形AEDF是平行四边形只能证明四边形AEDF是菱形，而不能证明四边形AEDF是矩形；所以C错误；D选项，因为由添加的条件“AB=AC，AD⊥BC”可证明AD平分∠BAC，从而可通过证∠EAD=∠CAD=∠EDA证得AE=DE，结合四边形AEDF是平行四边形即可得到四边形AEDF是菱形，所以D正确.故选C.10．下列事件中，属于必然事件的是（）A．三角形的外心到三边的距离相等B．某射击运动员射击一次，命中靶心C．任意画一个三角形，其内角和是180°D．抛一枚硬币，落地后正面朝上【答案】C【解析】分析：必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断．详解：A、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，三角形的内心到三边的距离相等，是不可能事件，故本选项不符合题意；B、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；C、三角形的内角和是180°，是必然事件，故本选项符合题意；D、抛一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故本选项不符合题意；故选C．点睛：解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．二、填空题（本题包括8个小题）11____．【答案】1【详解】解：∵12=21，，故答案为：1．【点睛】12．如图所示是一组有规律的图案，第l个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n （n 是正整数）个图案中的基础图形个数为_______ （用含n 的式子表示）．【答案】3n+1【解析】试题分析：由图可知每个图案一次增加3个基本图形，第一个图案有4个基本图形，则第n 个图案的基础图形有4+3(n-1)=3n+1个考点：规律型13．如图，平行于x 轴的直线AC 分别交抛物线y 1=x 2（x≥0）与y 2=23x （x≥0）于B 、C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1于点D ，直线DE ∥AC ，交y 2于点E ，则DE AB=______．【答案】33【解析】首先设点B 的横坐标，由点B 在抛物线y 1=x 2（x≥0）上，得出点B 的坐标，再由平行，得出A 和C 的坐标，然后由CD 平行于y 轴，得出D 的坐标，再由DE ∥AC ，得出E 的坐标，即可得出DE 和AB ，进而得解.【详解】设点B 的横坐标为a ，则()2,B a a ∵平行于x 轴的直线AC∴()()220,,3,A a C a a 又∵CD 平行于y 轴∴()23,3D a a 又∵DE ∥AC ∴()23,3E a a ∴(33,DE a AB a ==∴DE AB=33【点睛】此题主要考查抛物线中的坐标求解，关键是利用平行的性质.14．如图（1），在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD上，这时折痕与边AD和BC分别交于点E、点F．然后再展开铺平，以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”．如图（2），在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，当“折痕△BEF”面积最大时，点E的坐标为_________________________．【答案】（32，2）．【解析】解：如图，当点B与点D重合时，△BEF面积最大，设BE=DE=x，则AE=4-x，在RT△ABE中，∵EA2+AB2=BE2，∴（4-x）2+22=x2，∴x=52，∴BE=ED=52，AE=AD-ED=32，∴点E坐标（32，2）．故答案为：（32，2）．【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），利用数形结合思想解题是关键．15．如图，矩形ABCD中，BC＝6，CD＝3，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD则阴影部分的面积为____（结果保留π）【答案】94π．【解析】如图，连接OE，利用切线的性质得OD=3，OE⊥BC，易得四边形OECD为正方形，先利用扇形面积公式，利用S正方形OECD-S扇形EOD计算由弧DE、线段EC、CD所围成的面积，然后利用三角形的面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部分的面积．【详解】连接OE，如图，∵以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，∴OD＝CD＝3，OE⊥BC，∴四边形OECD为正方形，∴由弧DE、线段EC、CD所围成的面积＝S正方形OECD﹣S扇形EOD＝32﹣2903360π⋅⋅994π=-，∴阴影部分的面积199369244ππ⎛⎫=⨯⨯--=⎪⎝⎭，故答案为94π．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了矩形的性质和扇形的面积公式．16．如图，从直径为4cm的圆形纸片中，剪出一个圆心角为90°的扇形OAB，且点O、A、B在圆周上，把它围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是_____cm．【答案】2 2【解析】设圆锥的底面圆的半径为r，由于∠AOB＝90°得到AB为圆形纸片的直径，则OB＝2222AB=cm，根据弧长公式计算出扇形OAB的弧AB的长，然后根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长进行计算．【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为r，连结AB，如图，∵扇形OAB的圆心角为90°，∴∠AOB＝90°，∴AB为圆形纸片的直径，∴AB＝4cm，∴OB＝2222AB=cm，∴扇形OAB的弧AB的长＝90222180π⋅⋅=π，∴2πr＝2π，∴r＝22（cm）．故答案为22．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了圆周角定理和弧长公式．17．如图是利用直尺和三角板过已知直线l外一点P作直线l的平行线的方法，其理由是__________．【答案】同位角相等，两直线平行．【解析】试题解析：利用三角板中两个60°相等，可判定平行考点:平行线的判定18．比较大小：4 17（填入“＞”或“＜”号）【答案】＞【解析】试题解析：∵16＜17∴4＜17．考点：实数的大小比较．【详解】请在此输入详解！三、解答题（本题包括8个小题）19．4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？【答案】（1）14；（2）12；（3）x=1．【解析】（1）用不合格品的数量除以总量即可求得抽到不合格品的概率；（2）利用独立事件同时发生的概率等于两个独立事件单独发生的概率的积即可计算；（3）根据频率估计出概率，利用概率公式列式计算即可求得x的值.【详解】解：（1）∵4件同型号的产品中，有1件不合格品，∴P（不合格品）=14；（2）共有12种情况，抽到的都是合格品的情况有6种，P（抽到的都是合格品）=612=12；（3）∵大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，∴抽到合格品的概率等于0.95，∴34xx++=0.95，解得：x=1．【点睛】本题考查利用频率估计概率；概率公式；列表法与树状图法．20．如图，△ABC三个定点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣3，2）．请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第三象限内画出△A2B2C2，并求出S△A1B1C1：S△A2B2C2的值．【答案】（1）见解析；（2）图见解析；1 4 .【解析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可．（2）连接A1O并延长至A2，使A2O=2A1O，连接B1O并延长至B2，使B2O=2B1O，连接C1O并延长至C2，使C2O=2C1O，然后顺次连接即可，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．【详解】解：（1）△A1B1C1如图所示．（2）△A2B2C2如图所示．∵△A1B1C1放大为原来的2倍得到△A2B2C2，∴△A1B1C1∽△A2B2C2，且相似比为12．∴S△A1B1C1：S△A2B2C2=（12）2=14．21．某电器超市销售每台进价分别为200元，170元的A，B两种型号的电风扇，表中是近两周的销售情况：销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周3台5台1800元第二周4台10台3100元(进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本)求A，B两种型号的电风扇的销售单价．若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，则A种型号的电风扇最多能采购多少台？在(2)的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．【答案】(1) A，B两种型号电风扇的销售单价分别为250元/台、210元/台；(2) A种型号的电风扇最多能采购10台；(3) 在(2)的条件下超市不能实现利润为1400元的目标．【解析】（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号5台B型号的电扇收入1800元，4台A型号10台B型号的电扇收入3100元，列方程组求解；（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30-a）台，根据金额不多余5400元，列不等式求解；（3）设利润为1400元，列方程求出a的值为20，不符合（2）的条件，可知不能实现目标．【详解】(1)设A，B两种型号电风扇的销售单价分别为x元/台、y元/台．依题意，得3518004103100x yx y+=⎧⎨+=⎩解得250210xy=⎧⎨=⎩答：A，B两种型号电风扇的销售单价分别为250元/台、210元/台．(2)设采购A种型号的电风扇a台，则采购B种型号的电风扇(30－a)台．依题意，得200a＋170(30－a)≤5400，解得a≤10.答：A种型号的电风扇最多能采购10台．(3)依题意，有(250－200)a＋(210－170)(30－a)＝1400，解得a＝20.∵a≤10，∴在(2)的条件下超市不能实现利润为1400元的目标．【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．22．如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D．求证：BE＝CF ；当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．【答案】（1）证明见解析（22【解析】（1）先由旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，得出△ACF≌△ABE，从而得出BE=CF；（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以22BD=BE﹣DE求解．【详解】（1）∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，在△ACF和△ABE中，AC ABCAF BAEAF AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACF≌△ABE∴BE=CF.（2）∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，∴∠AEB=∠ABE=45°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴BE=2AC=2，∴BD=BE﹣DE=21-．考点：1．旋转的性质；2．勾股定理；3．菱形的性质．23．全面两孩政策实施后，甲，乙两个家庭有了各自的规划.假定生男生女的概率相同，回答下列问题：甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是；乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率.【答案】（1）12；（2）34【解析】（1）根据可能性只有男孩或女孩，直接得到其概率；（2）列出所有的可能性，然后确定至少有一个女孩的可能性，然后可求概率.【详解】解：（1）（1）第二个孩子是女孩的概率=12；故答案为12；（2）画树状图为：共有4种等可能的结果数，其中至少有一个孩子是女孩的结果数为3，所以至少有一个孩子是女孩的概率=3 4 .【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．24．有一水果店，从批发市场按4元/千克的价格购进10吨苹果，为了保鲜放在冷藏室里，但每天仍有一些苹果变质，平均每天有50千克变质丢弃，且每存放一天需要各种费用300元，据预测，每天每千克价格上涨0.1元．设x 天后每千克苹果的价格为p 元，写出p 与x 的函数关系式；若存放x 天后将苹果一次性售出，设销售总金额为y 元，求出y 与x 的函数关系式；该水果店将这批水果存放多少天后一次性售出，可以获得最大利润，最大利润为多少？【答案】()1?0.14p x =+；()22580040000y x x =-++；(3)该水果店将这批水果存放50天后一次性售出，可以获得最大利润，最大利润为12500元．【解析】（1）根据按每千克4元的市场价收购了这种苹果10000千克，此后每天每千克苹果价格会上涨0.1元，进而得出x 天后每千克苹果的价格为p 元与x 的函数关系； （2）根据每千克售价乘以销量等于销售总金额，求出即可； （3）利用总售价-成本-费用=利润，进而求出即可. 【详解】()1根据题意知，0.14p x =+；()()()220.141000050580040000y x x x x =+-=-++． ()3300410000w y x =--⨯25500x x =-+25(50)12500x =--+∴当50x =时，最大利润12500元，答：该水果店将这批水果存放50天后一次性售出，可以获得最大利润，最大利润为12500元． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出w 与x 的函数关系是解题关键.25．如图，有四张背面相同的卡片A 、B 、C 、D ，卡片的正面分别印有正三角形、平行四边形、圆、正五边形（这些卡片除图案不同外，其余均相同）．把这四张卡片背面向上洗匀后，进行下列操作：若任意抽取其中一张卡片，抽到的卡片既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是 ；若任意抽出一张不放回，然后再从余下的抽出一张．请用树状图或列表表示摸出的两张卡片所有可能的结果，求抽出的两张卡片的图形是中心对称图形的概率．【答案】（1）14；（2）16. 【解析】（1）既是中心对称图形又是轴对称图形只有圆一个图形，然后根据概率的意义解答即可； （2）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．【详解】（1）∵正三角形、平行四边形、圆、正五边形中只有圆既是中心对称图形又是轴对称图形， ∴抽到的卡片既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是14； （2）根据题意画出树状图如下：一共有12种情况，抽出的两张卡片的图形是中心对称图形的是B 、C 共有2种情况， 所以，P （抽出的两张卡片的图形是中心对称图形）21126=． 【点睛】本题考查了列表法和树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．26．如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，过点C 的直线MN ∥AB ，D 为AB 边上一点，过点D 作DE ⊥BC ，交直线MN 于E ，垂足为F ，连接CD 、BE.求证：CE=AD ；当D 在AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形？说明理由；若D 为AB 中点，则当A ∠=______时，四边形BECD 是正方形.【答案】（1）详见解析；(2)菱形；（3）当∠A=45°，四边形BECD 是正方形． 【解析】(1)先求出四边形ADEC 是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可； (2)求出四边形BECD 是平行四边形，求出CD=BD ，根据菱形的判定推出即可； (3)求出∠CDB=90°，再根据正方形的判定推出即可． 【详解】(1)∵DE ⊥BC ， ∴∠DFP=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DFB=∠ACB，∴DE//AC，∵MN//AB，∴四边形ADEC为平行四边形，∴CE=AD；(2)菱形，理由如下：在直角三角形ABC中，∵D为AB中点，∴BD=AD，∵CE=AD，∴BD=CE，∴MN//AB，∴BECD是平行四边形，∵∠ACB=90°，D是AB中点，∴BD=CD，（斜边中线等于斜边一半）∴四边形BECD是菱形；(3)若D为AB中点，则当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由：∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠ABC=45°，∵四边形BECD是菱形，∴DC=DB，∴∠DBC=∠DCB=45°，∴∠CDB=90°，∵四边形BECD是菱形，∴四边形BECD是正方形，故答案为45°.【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定、正方形的判定，直角三角形斜边中线的性质等，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有看到的棱都应表现在俯视图中．【详解】从上往下看，该几何体的俯视图与选项D所示视图一致．故选D．【点睛】本题考查了简单组合体三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．2．如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，则EF的长为()A．4 B．.5 C．6 D．8【答案】C【解析】解:∵AD∥BE∥CF，根据平行线分线段成比例定理可得AB DEBC EF=,即123EF =，解得EF=6，故选C.3．某校举行运动会，从商场购买一定数量的笔袋和笔记本作为奖品．若每个笔袋的价格比每个笔记本的价格多3元，且用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同．设每个笔记本的价格为x元，则下列所列方程正确的是（）A．2003503x x=-B．2003503x x=+C．2003503x x=+D．2003503x x=-【答案】B【解析】试题分析：设每个笔记本的价格为x元，根据“用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同”这一等量关系列出方程即可．考点：由实际问题抽象出分式方程4．下列二次根式中，最简二次根式的是（）A．15B．0.5C．5D．50【答案】C【解析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【详解】A、15=55，被开方数含分母，不是最简二次根式；故A选项错误；B、0.5=22，被开方数为小数，不是最简二次根式；故B选项错误；C、5，是最简二次根式；故C选项正确；D．50=52，被开方数，含能开得尽方的因数或因式，故D选项错误；故选C．考点：最简二次根式．5．为了锻炼学生身体素质，训练定向越野技能，某校在一公园内举行定向越野挑战赛．路线图如图1所示，点E为矩形ABCD边AD的中点，在矩形ABCD的四个顶点处都有定位仪，可监测运动员的越野进程，其中一位运动员P从点B出发，沿着B﹣E﹣D的路线匀速行进，到达点D．设运动员P的运动时间为t，到监测点的距离为y．现有y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这一信息的来源是（）A．监测点A B．监测点B C．监测点C D．监测点D【答案】C【解析】试题解析：A、由监测点A监测P时，函数值y随t的增大先减少再增大．故选项A错误；B、由监测点B监测P时，函数值y随t的增大而增大，故选项B错误；C、由监测点C监测P时，函数值y随t的增大先减小再增大，然后再减小，选项C正确；D、由监测点D监测P时，函数值y随t的增大而减小，选项D错误．故选C．6．把不等式组24030xx-≥⎧⎨->⎩的解集表示在数轴上，正确的是()A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】分别求出各个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分并在数轴上表示出来即可．【详解】2x40 30x-≥⎧⎨-⎩①＞②由①，得x≥2，由②，得x＜1，所以不等式组的解集是：2≤x＜1．不等式组的解集在数轴上表示为：．故选A．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．7．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是()．A．(x＋1)(x－1)＝x2－1B．x2－2x＋1＝x(x－2)＋1C．a2－b2＝(a＋b)(a－b)D．mx＋my＋nx＋ny＝m(x＋y)＋n(x＋y)【答案】C【解析】因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此进行解答即可.【详解】解：A、B、D三个选项均不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，故都不是因式分解，只有C选项符合因式分解的定义，故选择C.【点睛】本题考查了因式分解的定义，牢记定义是解题关键.8．9的值是()A．±3 B．3 C．9 D．81【答案】C【解析】试题解析：∵93∴9的值是3故选C.9．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC=62°，则∠DFE的度数为（）A．31°B．28°C．62°D．56°【答案】D【解析】先利用互余计算出∠FDB=28°，再根据平行线的性质得∠CBD=∠FDB=28°，接着根据折叠的性质得∠FBD=∠CBD=28°，然后利用三角形外角性质计算∠DFE的度数．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∠ADC=90°，∵∠FDB=90°-∠BDC=90°-62°=28°，∵AD∥BC，∴∠CBD=∠FDB=28°，∵矩形ABCD沿对角线BD折叠，∴∠FBD=∠CBD=28°，∴∠DFE=∠FBD+∠FDB=28°+28°=56°．故选D．【点睛】。
中考数学冲刺复习专题训练3创新开放与探究型问题
创新、开放与探究型问题例1.如图，飞机沿水平方向（A，B 两点所在直线）飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN．飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离（因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离），请设计一个求距离MN的方案，要求：（1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；（2）用测出的数据写出求距离MN 的步骤．例2.数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图1，正方形ABCD的边长为12，P为边BC延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边DC于M，交边AB的延长线于N.当CP=6时，EM与EN的比值是多少？经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E作直线平行于BC交DC，AB分别于F，G，如图2，则可得：DF DEFC EP=，因为DE EP=，所以DF FC=.可求出EF和EG的值，进而可求得EM与EN的比值.(1) 请按照小明的思路写出求解过程.(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了DP MN=的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.例3.如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1,AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD 上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K ，得到△MNK ．（1）若∠1=70°，求∠MNK 的度数．（2）△MNK 的面积能否小于12？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由．（3）如何折叠能够使△MNK 的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值．（备用图）例4. 如图，点D ，E 在△ABC 的边BC 上，连接AD ，AE. ①AB＝AC ；②AD＝AE ；③BD＝CE.以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①.（1）以上三个命题是真命题的为（直接作答） ；（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）.例5．在△ABC 中，∠B=∠C=30°.请你设计两种不同的分法，将△ABC 分割成四个小三角形，使得其中两个是全等．．三角形，而另外两个是相似．．但不全等．．．的直角三角形．请画出分割线段，并在两个全等三角形中E D C BA标出一对相等的内角的度数（画图工具不限，不要求证明，不要求写出画法）．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长度为（ ）A ．3B ．2C ．23D ．()123+ 【答案】C 【解析】过O 作OC ⊥AB ，交圆O 于点D ，连接OA ，由垂径定理得到C 为AB 的中点，再由折叠得到CD=OC ，求出OC 的长，在直角三角形AOC 中，利用勾股定理求出AC 的长，即可确定出AB 的长．【详解】过O 作OC ⊥AB ，交圆O 于点D ，连接OA ，由折叠得到CD=OC=12OD=1cm ， 在Rt △AOC 中，根据勾股定理得：AC 2+OC 2=OA 2，即AC 2+1=4，解得：3，则3．故选C ．【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，以及翻折的性质，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．2．如果关于x 的分式方程1311a x x x --=++有负数解，且关于y 的不等式组2()43412a y y y y ---⎧⎪⎨+<+⎪⎩无解，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）A ．﹣2B ．0C ．1D ．3【答案】B【解析】解关于y 的不等式组2()43412a y y y y ---⎧⎪⎨+<+⎪⎩，结合解集无解，确定a 的范围，再由分式方程1311a x x x --=++有负数解，且a 为整数，即可确定符合条件的所有整数a 的值，最后求所有符合条件的值之和即可．【详解】由关于y 的不等式组2()43412a y y y y ---⎧⎪⎨+<+⎪⎩，可整理得242y a y +⎧⎨<-⎩ ∵该不等式组解集无解，∴2a+4≥﹣2即a≥﹣3又∵1311a x x x --=++得x ＝42a - 而关于x 的分式方程1311a x x x --=++有负数解 ∴a ﹣4＜1∴a ＜4于是﹣3≤a ＜4，且a 为整数∴a ＝﹣3、﹣2、﹣1、1、1、2、3则符合条件的所有整数a 的和为1．故选B ．【点睛】本题考查的是解分式方程与解不等式组，求各种特殊解的前提都是先求出整个解集，再在解集中求特殊解，了解求特殊解的方法是解决本题的关键．3．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系p ＝at 2+bt+c （a ，b ，c 是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（ ）A．4.25分钟B．4.00分钟C．3.75分钟D．3.50分钟【答案】C【解析】根据题目数据求出函数解析式，根据二次函数的性质可得．【详解】根据题意,将(3,0.7)、(4,0.8)、(5,0.5)代入p=at2+bt+c，得：930.7 1640.8 2550.5a b ca b ca b c++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得：a=−0.2,b=1.5,c=−2，即p=−0.2t2+1.5t−2，当t=−1.5-0.22⨯=3.75时，p取得最大值，故选C.【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握性质是解题的关键.4．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC＝4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（）A．13 B．15 C．17 D．19【答案】B【解析】∵DE垂直平分AC，∴AD=CD，AC=2EC=8，∵C△ABC=AC+BC+AB=23，∴AB+BC=23-8=15，∴C△ABD=AB+AD+BD=AB+DC+BD=AB+BC=15.故选B.5．已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（）A．10 B．14 C．10或14 D．8或10【答案】B【解析】试题分析：∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，∴22﹣4m+3m=0，m=4，∴x2﹣8x+12=0，解得x1=2，x2=1．①当1是腰时，2是底边，此时周长=1+1+2=2；②当1是底边时，2是腰，2+2＜1，不能构成三角形．所以它的周长是2．考点：解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．6．如图，小颖为测量学校旗杆AB的高度，她在E处放置一块镜子，然后退到C处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B．已知小颖的眼睛D离地面的高度CD＝1.5m，她离镜子的水平距离CE＝0.5m，镜子E离旗杆的底部A处的距离AE＝2m，且A、C、E三点在同一水平直线上，则旗杆AB的高度为（）A．4.5m B．4.8m C．5.5m D．6 m【答案】D【解析】根据题意得出△ABE∽△CDE，进而利用相似三角形的性质得出答案．【详解】解：由题意可得：AE＝2m，CE＝0.5m，DC＝1.5m，∵△ABC∽△EDC，∴，即，解得：AB＝6，故选：D．【点睛】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，根据题意得出△ABE∽△CDE是解答此题的关键．7．在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同.其中的一名学生想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的( )A ．众数B ．方差C ．平均数D ．中位数 【答案】D【解析】根据中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）的意义，9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．【详解】由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少.故本题选：D.【点睛】本题考查了统计量的选择，熟练掌握众数，方差，平均数，中位数的概念是解题的关键.8．某种品牌手机经过二、三月份再次降价，每部售价由1000元降到810元，则平均每月降价的百分率为（ ）A ．20%B ．11%C ．10%D ．9.5% 【答案】C【解析】设二，三月份平均每月降价的百分率为x ，则二月份为1000(1)x -，三月份为21000(1)x -，然后再依据第三个月售价为1，列出方程求解即可.【详解】解：设二，三月份平均每月降价的百分率为x ．根据题意，得21000(1)x -=1．解得10.1x =，2 1.9x =-（不合题意，舍去）．答：二，三月份平均每月降价的百分率为10%【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关于降价百分比的问题：若原数是a ，每次降价的百分率为a ，则第一次降价后为a （1-x ）；第二次降价后后为a （1-x ）2,即：原数x （1-降价的百分率）2=后两次数. 9．如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O 为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB 缩小后得到线段CD ，则点C 的坐标为（ ）A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1) 【答案】A【解析】根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是13，根据已知数据可以求出点C的坐标．【详解】由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是13，∴OD DC OB AB，又OB=6，AB=3，∴OD=2，CD=1，∴点C的坐标为：（2，1），故选A．【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．10．在数轴上标注了四段范围，如图，则表示8的点落在（）A．段①B．段②C．段③D．段④【答案】C【解析】试题分析：1．21=2．32；1．31=3．19；1．5=3．44；1．91=4．5．∵ 3．44＜4＜4．5，∴1．5＜4＜1．91，∴1．481．9，8故选C考点：实数与数轴的关系二、填空题（本题包括8个小题）11．若a，b互为相反数，则a2﹣b2=_____．【答案】1【解析】直接利用平方差公式分解因式进而结合相反数的定义分析得出答案．【详解】∵a ，b 互为相反数，∴a+b=1，∴a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ）=1，故答案为1．【点睛】本题考查了公式法分解因式以及相反数的定义，正确分解因式是解题关键．12．在△ABC 中，若∠A ，∠B 满足|cosA －12|＋(sinB －2)2＝0，则∠C ＝_________． 【答案】75°【解析】根据绝对值及偶次方的非负性，可得出cosA 及sinB 的值，从而得出∠A 及∠B 的度数，利用三角形的内角和定理可得出∠C 的度数．【详解】∵|cosA －12|＋(sinB )2＝0，∴cosA=12，， ∴∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°-∠A-∠B=75°，故答案为：75°. 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值及非负数的性质，解答本题的关键是得出cosA 及sinB 的值，另外要求我们熟练掌握一些特殊角的三角函数值．13n 的最小值为___【答案】1，则1n 是完全平方数，满足条件的最小正整数n 为1．是整数，∴是整数，即1n 是完全平方数；∴n 的最小正整数值为1．故答案为：1．【点睛】主要考查了二次根式的定义，关键是根据乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数进行解答．14．若a m=2，a n=3，则a m + 2n =______．【答案】18【解析】运用幂的乘方和积的乘方的运算法则求解即可.【详解】解：∵a m=2，a n=3，∴a3m+2n=（a m）3×（a n）2=23×32=1．故答案为1．【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方，掌握运算法则是解答本题的关键．15．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点OAC的中点，点D在A射线BO上，连接OE，EC，若AB＝4，则OE的最小值为_____．【答案】1【解析】根据等边三角形的性质可得OC＝12AC，∠ABD＝30°，根据“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得∠ACE＝30°＝∠ABD，当OE⊥EC时，OE的长度最小，根据直角三角形的性质可求OE的最小值．【详解】解：∵△ABC的等边三角形，点O是AC的中点，∴OC＝12AC，∠ABD＝30°∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴∠ACE＝30°＝∠ABD当OE⊥EC时，OE的长度最小，∵∠OEC＝90°，∠ACE＝30°∴OE最小值＝12OC＝14AB＝1，故答案为1 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． 16．如图，为保护门源百里油菜花海，由“芬芳浴”游客中心A 处修建通往百米观景长廊BC 的两条栈道AB ，AC ．若∠B=56°，∠C=45°，则游客中心A 到观景长廊BC 的距离AD 的长约为_____米．（sin56°≈0.8，tan56°≈1.5）【答案】60【解析】根据题意和图形可以分别表示出AD 和CD 的长，从而可以求得AD 的长，本题得以解决．【详解】∵∠B=56°，∠C=45°，∠ADB=∠ADC=90°，BC=BD+CD=100米， ∴BD=tan 56AD ︒，CD=tan 45AD ︒， ∴tan 56AD ︒+tan 45AD ︒=100， 解得，AD≈60 考点：解直角三角形的应用．17．长、宽分别为a 、b 的矩形，它的周长为14，面积为10，则a 2b+ab 2的值为_____．【答案】1．【解析】由周长和面积可分别求得a+b 和ab 的值，再利用因式分解把所求代数式可化为ab （a+b ），代入可求得答案【详解】∵长、宽分别为a 、b 的矩形，它的周长为14，面积为10，∴a+b=142=7，ab=10， ∴a 2b+ab 2=ab （a+b ）=10×7=1，故答案为：1．【点睛】本题主要考查因式分解的应用，把所求代数式化为ab （a+b ）是解题的关键．18．一元二次方程x 2=3x 的解是：________．【答案】x 1=0，x 2=1【解析】先移项，然后利用因式分解法求解．【详解】x 2=1xx 2-1x=0，x(x-1)=0，x=0或x-1=0，∴x1=0，x2=1．故答案为：x1=0，x2=1【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解三、解答题（本题包括8个小题）19．某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案？【答案】（1）甲，乙两种玩具分别是15元/件，1元/件；（2）共有四种方案．【解析】（1）设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x）元/件，根据已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同可列方程求解．（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48﹣y）件，根据甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，可列出不等式组求解．【详解】解：设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x）元/件，x=15，经检验x=15是原方程的解．∴40﹣x=1．甲，乙两种玩具分别是15元/件，1元/件；（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48﹣y）件，，解得20≤y＜2．因为y是整数，甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，∴y取20，21，22，23，共有4种方案．考点：分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．20．某报社为了解市民对“社会主义核心价值观”的知晓程度，采取随机抽样的方式进行问卷调查，调查结果分为“A.非常了解”、“B.了解”、“C.基本了解”三个等级，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．这次调查的市民人数为________人，m＝________，n＝________；补全条形统计图；若该市约有市民100000人，请你根据抽样调查的结果，估计该市大约有多少人对“社会主义核心价值观”达到“A.非常了解”的程度．【答案】(1)500，12，32；(2)补图见解析；(3)该市大约有32000人对“社会主义核心价值观”达到“A.非常了解”的程度．【解析】（1）根据项目B的人数以及百分比，即可得到这次调查的市民人数，据此可得项目A，C的百分比；（2）根据对“社会主义核心价值观”达到“A．非常了解”的人数为：32%×500=160，补全条形统计图；（3）根据全市总人数乘以A项目所占百分比，即可得到该市对“社会主义核心价值观”达到“A非常了解”的程度的人数．【详解】试题分析：试题解析：（1）280÷56%=500人，60÷500=12%，1﹣56%﹣12%=32%，（2）对“社会主义核心价值观”达到“A．非常了解”的人数为：32%×500=160，补全条形统计图如下：（3）100000×32%=32000（人），答：该市大约有32000人对“社会主义核心价值观”达到“A ．非常了解”的程度．21．2019年8月．山西龙城将迎来全国第二届青年运动会，盛会将至，整个城市已经进入了全力准备的状态．太职学院足球场作为一个重要比赛场馆．占地面积约24300平方米．总建筑面积4790平方米，设有2476个座位，整体建筑简洁大方，独具特色．2018年3月15日该场馆如期开工，某施工队负责安装该场馆所有座位，在安装完476个座位后，采用新技术，效率比原来提升了25%．结来比原计划提前4天完成安装任务．求原计划每天安装多少个座位．【答案】原计划每天安装100个座位．【解析】根据题意先设原计划每天安装x 个座位，列出方程再求解.【详解】解：设原计划每天安装x 个座位，采用新技术后每天安装()125%x +个座位， 由题意得：()247647624764764125%x x---=+． 解得：100x =．经检验：100x =是原方程的解．答：原计划每天安装100个座位．【点睛】此题重点考查学生对分式方程的实际应用，掌握分式方程的解法是解题的关键.22．如图，△ABC 内接于⊙O ，过点C 作BC 的垂线交⊙O 于D ，点E 在BC 的延长线上，且∠DEC ＝∠BAC ．求证：DE 是⊙O 的切线；若AC ∥DE ，当AB ＝8，CE ＝2时，求⊙O 直径的长．【答案】（1）见解析；（2）⊙O 直径的长是5【解析】（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊥DE，即可得出结论；（2）先判断出AC⊥BD，进而求出BC=AB=8，进而判断出△BDC∽△BED，求出BD，即可得出结论．【详解】证明：（1）连接BD，交AC于F，∵DC⊥BE，∴∠BCD＝∠DCE＝90°，∴BD是⊙O的直径，∴∠DEC+∠CDE＝90°，∵∠DEC＝∠BAC，∴∠BAC+∠CDE＝90°，∵弧BC=弧BC，∴∠BAC＝∠BDC，∴∠BDC+∠CDE＝90°，∴BD⊥DE，∴DE是⊙O切线；解：（2）∵AC∥DE，BD⊥DE，∴BD⊥AC．∵BD是⊙O直径，∴AF＝CF，∴AB＝BC＝8，∵BD⊥DE，DC⊥BE，∴∠BCD＝∠BDE＝90°，∠DBC＝∠EBD，∴△BDC∽△BED，∴BDBE＝BCBD，∴BD2＝BC•BE＝8×10＝80，∴BD ＝45．即⊙O 直径的长是45．【点睛】此题主要考查圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，第二问中求出BC=8是解本题的关键．23．如图二次函数的图象与x 轴交于点()30A -,和()10B ,两点，与y 轴交于点()0,3C ，点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象经过B 、D求二次函数的解析式；写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围；若直线BD 与y 轴的交点为E 点，连结AD 、AE ，求ADE ∆的面积；【答案】（1）()()31y x x =-+-；（2）2x <-或1x >；（3）1.【解析】（1）直接将已知点代入函数解析式求出即可；（2）利用函数图象结合交点坐标得出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围；（3）分别得出EO ，AB 的长，进而得出面积．【详解】（1）∵二次函数与x 轴的交点为()30A -,和()10B , ∴设二次函数的解析式为：()()31y a x x =+-∵()0,3C 在抛物线上，∴3=a(0+3)(0-1)，解得a=-1，所以解析式为：()()31y x x =-+-；（2）()()31y x x =-+-=−x 2−2x ＋3，∴二次函数的对称轴为直线1x =-；∵点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点；()0,3C∴()2,3D -；∴使一次函数大于二次函数的x 的取值范围为2x <-或1x >；（3）设直线BD ：y ＝mx ＋n ，代入B （1，0），D （−2，3）得023m n m n ⎧⎨-⎩＋＝＋＝， 解得：11m n -⎧⎨⎩＝＝， 故直线BD 的解析式为：y ＝−x ＋1，把x ＝0代入()()31y x x =-+-得，y=3，所以E （0，1），∴OE ＝1，又∵AB ＝1，∴S △ADE ＝12×1×3−12×1×1＝1． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，利用数形结合得出是解题关键．24．如图，在ABC ∆中，点F 是BC 的中点，点E 是线段AB 的延长线上的一动点，连接EF ，过点C 作AB 的平行线CD ，与线段EF 的延长线交于点D ，连接CE 、BD .求证：四边形DBEC 是平行四边形.若120ABC ∠=︒，4AB BC ==，则在点E的运动过程中：①当BE =______时，四边形BECD 是矩形；②当BE =______时，四边形BECD 是菱形.【答案】 (1)、证明过程见解析；(2)、①、2；②、1．【解析】(1)、首先证明△BEF 和△DCF 全等，从而得出DC=BE ，结合DC 和AB 平行得出平行四边形；(2)、①、根据矩形得出∠CEB=90°，结合∠ABC=120°得出∠CBE=60°，根据直角三角形的性质得出答案；②、根据菱形的性质以及∠ABC=120°得出△CBE 是等边三角形，从而得出答案．【详解】(1)、证明：∵AB ∥CD ，∴∠CDF=∠FEB ，∠DCF=∠EBF ，∵点F 是BC 的中点， ∴BF=CF ，在△DCF 和△EBF 中，∠CDF=∠FEB ，∠DCF=∠EBF ，FC=BF ，∴△EBF ≌△DCF （AAS ）， ∴DC=BE ， ∴四边形BECD 是平行四边形；(2)、①BE=2；∵当四边形BECD 是矩形时，∠CEB=90°，∵∠ABC=120°，∴∠CBE=60°；∴∠ECB=30°，∴BE=12BC=2， ②BE=1，∵四边形BECD 是菱形时，BE=EC ，∵∠ABC=120°，∴∠CBE=60°，∴△CBE 是等边三角形，∴BE=BC=1．【点睛】本题主要考查的是平行四边形的性质以及矩形、菱形的判定定理，属于中等难度的题型．理解平行四边形的判定定理以及矩形和菱形的性质是解决这个问题的关键．25．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BA ＝BC ，BD 平分∠ABC ．求证：四边形ABCD 是菱形；过点D 作DE ⊥BD ，交BC 的延长线于点E ，若BC ＝5，BD ＝8，求四边形ABED 的周长．【答案】（1）详见解析；（2）1.【解析】（1）根据平行线的性质得到∠ADB ＝∠CBD ，根据角平分线定义得到∠ABD ＝∠CBD ，等量代换得到∠ADB ＝∠ABD ，根据等腰三角形的判定定理得到AD ＝AB ，根据菱形的判定即可得到结论；（2）由垂直的定义得到∠BDE＝90°，等量代换得到∠CDE＝∠E，根据等腰三角形的判定得到CD＝CE ＝BC，根据勾股定理得到DE＝22-＝6，于是得到结论．BE BD【详解】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AD＝AB，∵BA＝BC，∴AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵BA＝BC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵DE⊥BD，∴∠BDE＝90°，∴∠DBC+∠E＝∠BDC+∠CDE＝90°，∵CB＝CD，∴∠DBC＝∠BDC，∴∠CDE＝∠E，∴CD＝CE＝BC，∴BE＝2BC＝10，∵BD＝8，∴DE22-6，BE BD∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝BC＝5，∴四边形ABED的周长＝AD+AB+BE+DE＝1．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线定义，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．26．观察规律并填空.21133(1)2224-=⨯=221113242(1)(1)2322333--=⨯⨯⨯=2221111324355(1)(1)(1)2342233448---=⨯⨯⨯⨯⨯= ⋯⋯2222211111(1)(1)(1)(1)(1)2345n -----=______（用含n 的代数式表示，n 是正整数，且 n ≥ 2） 【答案】12n n + 【解析】由前面算式可以看出：算式的左边利用平方差公式因式分解，中间的数字互为倒数，乘积为1，只剩下两端的（1﹣12）和（1+1n ）相乘得出结果． 【详解】2222211111111112345n -----（）（）（）（）（） =1111111111111111223344n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯⨯-⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =132431...22334n n+⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =12n n+． 故答案为：12n n+． 【点睛】本题考查了算式的运算规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，解决问题．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．下列函数中，y随着x的增大而减小的是（）A．y=3x B．y=﹣3x C．3yx=D．3yx=-【答案】B【解析】试题分析：A、y=3x，y随着x的增大而增大，故此选项错误；B、y=﹣3x，y随着x的增大而减小，正确；C、3yx=，每个象限内，y随着x的增大而减小，故此选项错误；D、3yx=-，每个象限内，y随着x的增大而增大，故此选项错误；故选B．考点：反比例函数的性质；正比例函数的性质．2．据统计，某住宅楼30户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数依次是：27，30，29，25，26，28，29，那么这组数据的中位数和众数分别是（）A．25和30 B．25和29 C．28和30 D．28和29【答案】D【解析】根据中位数和众数的定义进行求解即可得答案.【详解】对这组数据重新排列顺序得，25，26，27，28，29，29，30，处于最中间是数是28，∴这组数据的中位数是28，在这组数据中，29出现的次数最多，∴这组数据的众数是29，故选D．【点睛】本题考查了中位数和众数的概念，熟练掌握众数和中位数的概念是解题的关键.一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，一组数据按从小到大（或从大到小）排序后，位于最中间的数（或中间两数的平均数）是这组数据的中位数.3．如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，若BG=△CEF的面积是（）A．22B．2C．32D．42【答案】A【解析】解：∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE；又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BEA=∠DAE=∠BAE，∴AB=BE=6，∵BG⊥AE，垂足为G，∴AE=2AG．在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=6，BG=42，∴AG=22AB BG-=2，∴AE=2AG=4；∴S△ABE=12AE•BG=1442822⨯⨯=．∵BE=6，BC=AD=9，∴CE=BC﹣BE=9﹣6=3，∴BE：CE=6：3=2：1，∵AB∥FC，∴△ABE∽△FCE，∴S△ABE：S△CEF=（BE：CE）2=4：1，则S△CEF=14S△ABE=22．故选A．本题考查1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质，综合性较强，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．4．要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划7天，每天安排4场比赛.设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（）A．1(1)282x x-=B．1(1)282x x+=C．(1)28x x-=D．(1)28x x+=【答案】A【解析】根据应用题的题目条件建立方程即可.【详解】解：由题可得：1(1)47 2x x-=⨯即：1(1)28 2x x-=故答案是：A.【点睛】本题主要考察一元二次方程的应用题，正确理解题意是解题的关键.5．等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是（）A．正比例函数B．一次函数C．反比例函数D．二次函数【答案】B【解析】根据一次函数的定义，可得答案．【详解】设等腰三角形的底角为y，顶角为x，由题意，得x+2y=180，所以，y=﹣12x+90°，即等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是一次函数关系，故选B．【点睛】本题考查了实际问题与一次函数，根据题意正确列出函数关系式是解题的关键.6．如图，BD为⊙O的直径，点A为弧BDC的中点，∠ABD＝35°，则∠DBC＝（）A．20°B．35°C．15°D．45°【解析】根据∠ABD＝35°就可以求出AD的度数，再根据180BD︒=，可以求出AB,因此就可以求得ABC∠的度数，从而求得∠DBC【详解】解：∵∠ABD＝35°，∴的度数都是70°，∵BD为直径，∴的度数是180°﹣70°＝110°，∵点A为弧BDC的中点，∴的度数也是110°，∴的度数是110°+110°﹣180°＝40°，∴∠DBC＝＝20°，故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形性质、圆周角定理，主要考查学生的推理能力．7．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为（）A．2-2B．32C3-1D．1【答案】C【解析】延长BC′交AB′于D，根据等边三角形的性质可得BD⊥AB′，利用勾股定理列式求出AB，然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出BD、C′D，然后根据BC′=BD-C′D计算即可得解. 【详解】解：延长BC′交AB′于D，连接BB＇，如图，在Rt △AC′B′中，2，∵BC′垂直平分AB′，∴C′D=12AB=1， ∵BD 为等边三角形△ABB′的高，∴33 ∴BC′=BD -3．故本题选择C.【点睛】熟练掌握勾股定理以及由旋转60°得到△ABB′是等边三角形是解本题的关键.8．下列计算或化简正确的是（ ）A ．234265=B 842C ．2(3)3-=-D 2733=【答案】D【解析】解：A ．不是同类二次根式，不能合并，故A 错误；B 822=，故B 错误；C ．2(3)3-=，故C 错误；D 27327393=÷=，正确．故选D ．9．若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x+m ＝0没有实数根，则实数m 的取值是( )A ．m ＜1B ．m ＞﹣1C ．m ＞1D ．m ＜﹣1 【答案】C【解析】试题解析：关于x的一元二次方程2x2x m0-+=没有实数根，()224241440b ac m m∆=-=--⨯⨯=-<，解得： 1.m>故选C．10．下列叙述，错误的是( )A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线相等的四边形是矩形【答案】D【解析】根据正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定和矩形的判定定理对选项逐一进行分析，即可判断出答案．【详解】A. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确，不符合题意；B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确，不符合题意；C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，不符合题意；D. 对角线相等的平行四边形是矩形，故D选项错误，符合题意，故选D.【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定和矩形的判定等，熟练掌握相关判定定理是解答此类问题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）11．如图所示，点A1、A2、A3在x轴上，且OA1=A1A2=A2A3，分别过点A1、A2、A3作y轴的平行线，与反比例函数y=kx（x＞0）的图象分别交于点B1、B2、B3，分别过点B1、B2、B3作x轴的平行线，分别与y轴交于点C1、C2、C3，连接OB1、OB2、OB3，若图中三个阴影部分的面积之和为499，则k= ．。
中考数学冲刺复习专题训练3创、开放与探究型问题试题
创新、开放与探究型问题例1.如图，飞机沿程度方向〔A ，B 两点所在直线〕飞行，前方有一座高山，为了防止飞机飞行过低，就必须测量山顶M 到飞行道路AB 的间隔 MN ．飞机可以测量的数据有俯角和飞行间隔 〔因平安因素，飞机不能飞到山顶的正上方N 处才测飞行间隔 〕，请设计一个求间隔 MN 的方案，要求：〔1〕指出需要测量的数据〔用字母表示，并在图中标出〕；〔2〕用测出的数据写出求间隔 MN 的步骤．例 2.数学课上，李教师出示了这样一道题目：如图1，正方形ABCD 的边长为12，P 为边BC 延长线上的一点，E为DP 的中点，DP 的垂直平分线交边DC 于M ，交边AB 的延长线于N.当CP=6时，EM 与EN 的比值是多少？经过考虑，小明展示了一种正确的解题思路：过E 作直线平行于BC 交DC ，AB 分别于F ，G ，如图2，那么可得：DF DE FC EP=，因为DE EP =，所以DF FC =.可求出EF 和EG 的值，进而可求得EM 与EN 的比值.(1) 请按照小明的思路写出求解过程.(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了DP MN=的结论.你认为小东的这个结论正确吗？假如正确，请给予证明；假如不正确，请说明理由.例3.如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1,AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．〔1〕假设∠1=70°，求∠MNK的度数．〔2〕△MNK的面积能否小于12？假设能，求出此时∠1的度数；假设不能，试说明理由．〔3〕如何折叠可以使△MNK的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值．〔备用图〕例4. 如图，点D ，E 在△ABC 的边BC 上，连接AD ，AE. ①AB＝AC ；②AD＝AE ；③BD＝CE.以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①.〔1〕以上三个命题是真命题的为〔直接答题〕 ；〔2〕请选择一个真命题进展证明〔先写出所选命题，然后证明〕.例5．在△ABC 中，∠B=∠C=30°.请你设计两种不同的分E D C BA法，将△ABC分割成四个小三角形，使得其中两个是全等．．但不全等．．．的直角三角．．三角形，而另外两个是相似形．请画出分割线段，并在两个全等三角形中标出一对相等的内角的度数〔画图工具不限，不要求证明，不要求写出画法〕．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
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中考冲刺：创新、开放与探究型问题—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．若自然数n使得三个数的加法运算“n+(n+1)+(n+2)”产生进位现象，则称n为“连加进位数”．例如：2不是“连加进位数”，因为2+3+4＝9不产生进位现象；4是“连加进位数”，因为4+5+6＝15产生进位现象；51是“连加进位数”，因为51+52+63＝156产生进位现象．如果从0，1，2，…，99这100个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是( )A．0.88 B．0.89 C．0.90 D．0.912．如图，点A，B，P在⊙O上，且∠APB＝50°，若点M是⊙O上的动点，要使△ABM为等腰三角形，则所有符合条件的点M有( )A．1个B．2个C．3个D．4个3．（2016秋•永定区期中）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③个图形一共有16颗棋子，…，则第⑧个图形中棋子的颗数为（）A．226 B．181 C．141 D．106二、填空题4．（2015秋•淮安校级期中）电子跳蚤游戏盘为△ABC，AB=8，AC=9，BC=10，如果电子跳蚤开始时在BC边上的P0点，BP0=4．第一步跳蚤跳到AC边上P1点，且CP1=CP0；第二步跳蚤从P1跳到AB边上P2点，且AP2=AP1；第三步跳蚤从P2跳回到BC边上P3点，且BP3=BP2；…跳蚤按上述规则跳下去，第2015次落点为P2016，则P3与P2016之间的距离为．5．下图为手的示意图，在各个手指间标记字母A ，B ，C ，D ，请你按图中箭头所指方向(如A →B →C →D →C →B →A →B →C →…的方式)从A 开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是________；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是________；当字母C 第2n+1次出现时(n 为正整数)，恰好数到的数是________(用含n 的代数式表示)．6. (1)如图(a)，∠ABC ＝∠DCB ，请补充一个条件：________，使△ABC ≌△DCB ．(2)如图(b)，∠1＝∠2，请补充一个条件：________，使△ABC ≌△ADE ．三、解答题7．如图所示，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，对角线AC 和BD 相交于点O ，E 是BC 边上一个动点(点E 不与B ，C 两点重合)，EF ∥BD 交AC 于点F ，EG ∥AC 交BD 于点G ．(1)求证：四边形EFOG 的周长等于2OB ；(2)请你将上述题目的条件“梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论“四边形EFOG 的周长等于2OB ”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证，不必证明．8．如图所示，平面直角坐标系内有两条直线1l ，2l ，直线1l 的解析式为213y x =-+．如果将坐标纸折叠，使直线1l 与2l 重合，此时点(-2，0)与点(0，2)也重合．(1)求直线2l 的解析式； (2)设直线1l 与2l 相交于点M ．问：是否存在这样的直线:l y x t =+，使得如果将坐标纸沿直线l 折叠，点M 恰好落在x 轴上？若存在，求出直线l 的解析式；若不存在，请说明理由．9．（2015•黄陂区校级模拟）正方形ABCD 中，将一个直角三角板的直角顶点与点A 重合，一条直角边与边BC 交于点E （点E 不与点B 和点C 重合），另一条直角边与边CD 的延长线交于点F ．（1）如图①，求证：AE=AF ；（2）如图②，此直角三角板有一个角是45°，它的斜边MN 与边CD 交于G ，且点G 是斜边MN 的中点，连接EG ，求证：EG=BE+DG ；（3）在（2）的条件下，如果=，那么点G 是否一定是边CD 的中点？请说明你的理由．10. （2016•天门）如图①，半圆O 的直径AB=6，AM 和BN 是它的两条切线，CP 与半圆O 相切于点P ，并于AM ，BN 分别相交于C ，D 两点．（1）请直接写出∠COD 的度数；（2）求AC•BD 的值；（3）如图②，连接OP 并延长交AM 于点Q ，连接DQ ，试判断△PQD 能否与△ACO 相似？若能相似，请求AC ：BD 的值；若不能相似，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1.【答案】A；【解析】不是“连加进位数”的有“0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，31，32”共有12个．∴P(取到“连加进位数”)＝100120.88 100-=．2.【答案】D；【解析】如图，①过圆点O作AB的垂线交AB和APB于M1，M2．②以B为圆心AB为半径作弧交圆O于M3．③以A为圆心，AB为半径弧作弧交圆O于M4．则M1，M2，M3，M4都满足要求．3.【答案】C；【解析】设第n个图形中棋子的颗数为a n（n为正整数），观察，发现规律：a1=1，a2=1+3+2=6，a3=1+3+5+4+3=16，…，∴a n=1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n﹣2）+…+n=n2+=n2﹣n+1，当n=8时，a8=×82﹣×8+1=141．二、填空题4.【答案】1．【解析】∵BC=10，BP0=4，知CP0=6，∴CP1=6．∵AC=9，∴AP2=AP1=3．∵AB=8，∴BP3=BP2=5．∴CP4=CP3=5，∴AP4=4．∴AP5=AP4=4，∴BP5=4．∴BP6=BP5=4．此时P6与P0重合，即经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点．2016÷6=336，即P2016与P0重合，∴P3与P2016之间的距离为P3P0=1．故答案为：1．5.【答案】B；603；6n+3．【解析】由题意知A→B→C→D→C→B→A→B→C→D→C→B→A→B…，每隔6个数重复一次“A→B →C→D→C→B→”，所以，当数到12时对应的字母是B；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是201×3＝603；当字母C第2n+1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是(2n+1)×3＝6n+3．6.【答案】答案不唯一．(1)如图(a)中∠A＝∠D，或AB＝DC；(2)图(b)中∠D＝∠B，或AB ACAD AE等．三、解答题7.【答案与解析】(1)证明：∵四边形ABCD是梯形，AD∥BC，AB＝CD，∴∠ABC＝∠DCB．又∵BC＝CB，AB＝DC，∴△ABC≌△DCB．∴∠1＝∠2．又∵GE∥AC，∴∠2＝∠3．∴∠1＝∠3．∴EG＝BG．∵EG∥OC，EF∥OB，∴四边形EGOF是平行四边形．∴EG＝OF，EF＝OG．∴四边形EGOF的周长＝2(OG+GE)＝2(OG+GB)＝2OB．(2)方法1：如图乙，已知矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为BC上一个动点(点E不与B，C 两点重合)，EF ∥BD ，交AC 于点F ，EG ∥AC 交BD 于点G ．求证：四边形EFOG 的周长等于2OB ．图略．方法2：如图丙，已知正方形ABCD 中，……其余略．8. 【答案与解析】解：(1)直线1l 与y 轴交点的坐标为(0，1)．由题意，直线1l 与2l 关于直线y x =-对称，直线2l 与x 轴交点的坐标为(-1，0)．又∵直线1l 与直线y x =-的交点为(-3，3)，∴直线2l 过点(-1，0)和(3，3)．设直线2l 的解析式为y ＝kx+b ．则有0,3 3.k b k b -+=⎧⎨-+=⎩ 解得3,23.2k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 所求直线2l 的解析式为3322y x =--． (2)∵直线l 与直线y x =-互相垂直，且点M(-3，3)在直线y x =-上，∴如果将坐标纸沿直线l 折叠，要使点M 落在x 轴上，那么点M 必须与坐标原点O 重合，此时直线l 过线段OM 的中点33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 将32x =-，32y =代入y ＝x+t ，解得t ＝3． ∴直线l 的解析式为y ＝x+3．9．【答案与解析】解：（1）如图①，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B=∠BAD=∠ADC=∠C=90°，AB=AD ．∵∠EAF=90°，∴∠EAF=∠BAD，∴∠EAF﹣∠EAD=∠BAD﹣∠EAD，∴∠BAE=∠DAF．在△ABE 和△ADF 中，∴△ABE≌△ADF（ASA ）∴AE=AF；（2）如图②，连接AG ，∵∠MAN=90°，∠M=45°，∴∠N=∠M=45°，∴AM=AN．∵点G 是斜边MN 的中点，∴∠EAG=∠NAG=45°．∴∠EAB+∠DAG=45°．∵△ABE≌△ADF，∴∠BAE=∠DAF，AE=AF，∴∠DAF+∠DAG=45°，即∠GAF=45°，∴∠EAG=∠FAG．在△AGE和AGF中，，∴△AGE≌AGF（SAS），∴EG=GF．∵GF=GD+DF，∴GF=GD+BE，∴EG=BE+DG；（3）G不一定是边CD的中点．理由：设AB=6k，GF=5k，BE=x，∴CE=6k﹣x，EG=5k，CF=CD+DF=6k+x，∴CG=CF﹣GF=k+x，在Rt△ECG中，由勾股定理，得（6k﹣x）2+（k+x）2=（5k）2，解得：x1=2k，x2=3k，∴CG=4k或3k．∴点G不一定是边CD的中点．10．【答案与解析】解：（1）∠COD=90°．理由：如图①中，∵AB是直径，AM、BN是切线，∴AM⊥AB，BN⊥AB，∴AM∥BN，∵CA、CP是切线，∴∠ACO=∠OCP，同理∠ODP=∠ODB，∵∠ACD+∠BDC=180°，∴2∠OCD+2∠ODC=180°，∴∠OCD+∠ODC=90°，∴∠COD=90°．（2）如图①中，∵AB是直径，AM、BN是切线，∴∠A=∠B=90°，∴∠ACO+∠AOC=90°，∵∠COD=90°，∴∠BOD+∠AOC=90°，∴∠ACO=∠BOD，∴RT△AOC∽RT△BDO，∴=，即AC•BD=AO•BO，∵AB=6，∴AO=BO=3，∴AC•BD=9．（3）△PQD能与△ACQ相似．∵CA、CP是⊙O切线，∴AC=CP，∠1=∠2，∵DB、DP是⊙O切线，∴DB=DP，∠B=∠OPD=90°，OD=OD，∴RT△ODB≌RT△ODP，∴∠3=∠4，①如图②中，当△PQD∽△ACO时，∠5=∠1，∵∠ACO=∠BOD，即∠1=∠3，∴∠5=∠4，∴DQ=DO，∴∠PDO=∠PDQ，∴△DCQ≌△DCO，∴∠DCQ=∠2，∵∠1+∠2+∠DCQ=180°，∴∠1=60°=∠3，在RT△ACO，RT△BDO中，分别求得AC=，BD=3，∴AC：BD=1：3．②如图②中，当△PQD∽△AOC时，∠6=∠1，∵∠2=∠1，∴∠6=∠2，∴CO∥QD，∴∠1=∠CQD，∴∠6=∠CQD，∴CQ=CD，∵S△CDQ=•CD•PQ=•CQ•AB，∴PQ=AB=6，∵CO∥QD，∴=，即=，∴AC：BD=1：2。