第7章 树5

0 1 4 0 41 A 2 2 C S
例：1、电文是{CAS;C} 电文是{CAS;C}
pa -1 -1 4 4 -1 -1 -1 pa 6 5 4 4 5 6 -1
19
0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 4 5 6
哈夫曼树在编码问题中的应用
编码：在电报通讯中，需要把文字转换为的二进制位0 编码：在电报通讯中，需要把文字转换为的二进制位0、1组
编码。 成的代码串，才能发送出去，这称为编码。电报接收方收到 成的代码串，才能发送出去，这称为编码 一系列0 组成的代码串后，再把它们还原成文字， 一系列0、1组成的代码串后，再把它们还原成文字，这过程 称为译码 译码。 称为译码。 不等长编码 等长编码
WPL= WPL= ∑（各叶子结点的权值*根到叶子结点的结结长结） 各叶子结点的权值*根到叶子结点的结结长结）
n
记作： wpl =
∑w
k =1
k k
l
其中： w k — 权值 —
l k — 结点到根的结结长结 —
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例： 有4个结点，权值分别为 7，5，2，4，构造有4个叶子结 个结点， 构造有4 点的二叉树（空心二叉树） 点的二叉树（空心二叉树）
电文总长：3*14=42 电文总长：3*14=42
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要求:为了译码的唯一性， 要求:为了译码的唯一性，要求任何一个字符的编码
都不是另一个编码的前缀，这种编码称为前缀码。 都不是另一个编码的前缀，这种编码称为前缀码。
利用Huffman树 不仅能构造出前缀码， 利用Huffman树，不仅能构造出前缀码，而且能使电文 编码的总长最短。 编码的总长最短。
9
二叉树的带权路径长度： 二叉树的带权路径长度：二叉树中各个叶子结点的 路径长度与相应权值的乘积之和
等级 Y a<80 Y Y a<60 N 0.05 D E a<70 N C N a<90 N A Y B C E D A B E D C B A 分数段 0~59 60~69 70~79 80~89 90~100 比例 0.05 0.15 0.40 0.30 0.10
p1=2,p2=3 w1=2,w2=4
p1=1p2=4 w1=5,w2=6
0 1 2 3 4 5 6
lc wei -1 7 -1 5 -1 2 -1 4 6 2 -1 -1 -1 -1 lc -1 -1 -1 -1 2 1 0
p1=0,p2=5 w1=7,w2=11
rc -1 -1 -1 -1 3 -1 -1 (2) wei rc -1 7 -1 5 -1 2 -1 4 4 6 11 4 18 5 (4)
第七章
树
练 习（讲评） 讲评）
1、画出下图所示的森林经转换后所对应的二叉树。 、画出下图所示的森林经转换后所对应的二叉树。
A
F
J
B
C
D
G
E
H
I
2
答案： 答案：
A F C D H I G J
B E
3
2、将下图所示的二叉树转换成相应的森林。 将下图所示的二叉树转换成相应的森林。
A B D G E H F C
4
答案： 答案：
A C B D E G H F
5
最优二叉树——哈夫曼树 最优二叉树——哈夫曼树
1.问题的引入 1.问题的引入
全校学生的成绩由百分制转换成五等分制 全校学生的成绩由百分制转换成五等分制，在 学生的成绩由百分制转换成五等分制， 五个等次以上的分布不均匀，分布规律如下表： 五个等次以上的分布不均匀，分布规律如下表：
若编码是“0”，则向左走；若编码是“1”，则向右走， 则向左走；若编码是“ 则向右走， 若编码是“ 一旦到达叶子结点，则译出一个字符；再重新从根出发， 一旦到达叶子结点，则译出一个字符；再重新从根出发， 直到电文结束 0 0 61 3 3 T ; 14 1 8 T: ; : A: C: S: 00 01 10 110 111
怎样找出总比较次数最少的算法？ 怎样找出总比较次数最少的算法？
8
哈夫曼树的基本概念
结结： 结结：从树中一个结点到另一个结点之间的分支 构成这两个结点间的~ 构成这两个结点间的~ 结结长结： 结结长结：结结上的分支数 二叉树的结结长结： 二叉树的结结长结：从树根到所有叶子结点的结 结长结之和
A B C E G D F
百分制分数 范围 分布情况% 分布情况% 0 ～ 59 5 60 ～ 69 15 70 ～ 79 40 80 ～ 89 30 90 ～ 100 10
现有10000 个数据 现有 10000个数据 。 下 图分别 列出两种判定转 个数据。 图分别列出两种判定转 化过程： 化过程： 6
等级
E
D
C
B
A
分数段 0~59 Y E Y D Y C Y B a<60 N a<70 N a<80 N a<90 N A E Y
例： 要传输的电文为：CAST;CAT;AST;A 要传输的电文为：
字符 C A S T ； 编码 000 001 010 011 100 编码 00 01 10 11 100 2*2+2*4+2*2 2*2+2*4+2*2 +2*3+3*3 +2*3+3*3=31 字符 C A S T ； 字符 C A S T ； 编码 110 10 111 00 01 3*2+2*4+3*2 3*2+2*4+3*2 +2*3+2*3 +2*3+2*3=32
29 15 7
29 15 7 8
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Huffman算法实现 Huffman算法实现
一棵有n个叶子结点的Huffman树有（ 一棵有n个叶子结点的Huffman树有（ 2n-1 ）个结点， Huffman树有 个结点， 为什么？ 为什么？ 采用顺序存储结构——一维结构数组 采用顺序存储结构——一维结构数组 结点类型定义
2 4 7 5
7 5 2 7 5 2 4 WPL=7*1+5*2+2*3+4*3=35 4
WPL=4*2+7*3+5*3+2*1 =46
WPL=7*2+5*2+2*2+4*2=36
Hale Waihona Puke 12从上图可见： 从上图可见：权值越大的叶子结点离根结点越近 的二叉树是带权路径最短的二叉树。 的二叉树是带权路径最短的二叉树。
Huffman编码：根据字符出现频率构造 编码
Huffman树，然后将树中结点引向其左孩子的分支 树 标“0”，引向其右孩子的分支标“1”；每个字符 ” 引向其右孩子的分支标“ ” 的编码即为从根到每个叶子的路径上得到的0、 序 的编码即为从根到每个叶子的路径上得到的 、1序 列。
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例： 要传输的电文为：CAST;CAT;AST;A 要传输的电文为： 字符集 D={C,A,S,T, ; } 字符出现频率 w={2 ,4, 2, 3, 3}
60~69 70~79 80~89 90~100
5%
15% 40% 30%
Y Y a<60 N D a<70 N C
10%
a<80 N a<90 N A Y B
问题：哪一种的比较算法较好？ 问题：哪一种的比较算法较好？
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若按照上图(1)的判定过程进行转换，则有 若按照上图 的判定过程进行转换，则有80%的数据至 的判定过程进行转换 的数据至 少要进行3次比较才能得出结果 完成10000个数据转换 次比较才能得出结果。 少要进行 次比较才能得出结果。完成 个数据转换 总比较次数： 的总比较次数： k= 10000*（1*5%+2*15%+3*40%+4*(30%+10%)） （ ） = 31500次。 次 若按照上图(2)的判定过程进行转换，则有20%的数据需 若按照上图 的判定过程进行转换，则有 的判定过程进行转换 的数据需 要进行3次比较才能得出结果 而有80%的数据至多仅需 次比较才能得出结果， 要进行 次比较才能得出结果，而有 的数据至多仅需 要进行2次比较就可得出结果 完成10000个数据转换的 次比较就可得出结果。 要进行 次比较就可得出结果。完成 个数据转换的 总比较次数： 总比较次数： k= 10000*（2*（10%+30%+40%）+3*（5%+15%）） （ （ ） （ ）） = 22000次 次
8 14 23 11 8 5 3 15 3 7 19 8 11 5 8 3 23 11 8 5 42 19 8 3 29 14 8 23 11 5 42 19 8 3 100 58 29 14 58
29 14 23 11 8 5 29 14 23 15 7
29 15 7 8
29 23 19 11 5 8 3 14
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0 0 61 3 3 T ;
1 0 1 4 0 41 A 2 2 C S 8
T: ; : A: C: S :
00 01 10 110 111
特征： 特征： 哈夫曼编码可以使总长度最短； 哈夫曼编码可以使总长度最短； 无二义性
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译码：从Huffman树根开始，从待译码电文中逐位取码。 树根开始， 译码： Huffman树根开始 从待译码电文中逐位取码。
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3.构造Huffman树的方法 3.构造Huffman树的方法——Huffman算法 构造Huffman树的方法——Huffman Huffman算法
构造Huffman树步骤 构造Huffman树步骤
根据给定的n个权值{w1,w2,……wn}，构造n 根据给定的n个权值{w1,w2,……wn}，构造n棵只 有根结点的二叉树， 有根结点的二叉树，由n棵二叉树构成森林 F={ T1，T2，……Tn }； T1，T2， }； 在森林F中选取两棵根结点 权值最小的二叉树作 在森林F中选取两棵根结点的权值最小的二叉树作 根结点的 左右子树，构造一棵新的二叉树， 左右子树，构造一棵新的二叉树，置新二叉树根 结点权值为其左右子树根结点权值之和。 结点权值为其左右子树根结点权值之和。 在森林中删除这两棵树，同时将新得到的二叉树 在森林中删除这两棵树， 加入森林中 重复上述两步，直到只含一棵树为止，这棵树即 重复上述两步，直到只含一棵树为止， 哈夫曼树