海南省琼海市嘉积中学2012届高三第一学期教学质量监测(三) 数学(理)

绝密★启用前2011-2012学年度第一学期高三教学质量监测（三）理科数学第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知全集{|2}x M x y ==,集合2{|lg(2)}N x y x x ==-,则M N = （ ） A 、(0,2) B 、(2,)+ C 、[0,)+ D 、(,0)(2,)-?2、直线l 与直线1y =，直线7x =分别交于,P Q 两点，PQ 中点为(1,1)M -，则直线l 的斜率是（ ） A 、13 B 、23 C 、32- D 、13-3、ABC D 的内角A 满足条件：sin cos 0A A +>且tan sin 0A A -<，则角A 的取值范围是（ ）A 、(0,)4πB 、(,)42ππC 、3(,)24ππD 、3(,)4ππ 4、等差数列{}n a 的通项公式为21n a n =+，其前n 项和为n S ，则数列{}n Sn的前10项和为（ ）A 、70B 、75C 、100D 、1205、已知命题2:,10p x R mx $? ；命题2:,10q x R x mx "?+>对，若“p q Ú”为假命题，则实数m 的取值范围是（ ） A 、2m ? B 、2m ³C 、2m ?或2m ³ D 、22m-＃6、正四棱锥S ABCD -E 为SA 中点，则异面直线BE 与SC 所成的角是（ ） A 、30°B 、45°C 、60°D 、90°70y +-与圆22:4O x y +=交于A 、B 两点，则OA OB?（ ）A 、2B 、-2C 、4D 、-48、若函数()y f x =同时具备以下三个性质：①()f x 是奇函数；②()f x 的最小正周期为p ；③在35,44p p 骣÷ç÷ç÷ç桫上()f x 为增函数，则()f x 的解析式可以是（ ）A 、()sin(2)2f x x p =-B 、()cos(2)2f x x p=+C 、()tan()4f x x p =+D 、()cos(2)2f x x p=-EBCDAS9、设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，A 是椭圆上的一点，21AF AF ^,原点O 到直线1AF 的距离为112OF ，则椭圆的离心率为（ ）A 、13 B1 CD110、在空间给出下面四个命题（其中m 、n 为不同的两条直线，a 、b 为不同的两个平面）①m ^a ，n //a Þm n ^ ②m //n ，n //a Þm //a③m //n ，n b ^，m //a Þa b ^④m n A = ，m //a ，m //b ，n //a ，n //b Þa //b 其中正确的命题个数有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个11、某企业准备投资A 、B 两个项目建设，资金来源主要靠企业自筹和银行贷款两份资金构成，具体情况如下表。

投资A 项目资金不超过160万元，B 项目不超过200万元，预计建成后，自筹资金每份获利12万元，银行贷款每份获利10万元，为获得总利润最大，那么两份资金分别投入的份数是（ ） 单位：万元项目 自筹每份资金银行贷款每份资金A 20 30 B4030A 、自筹资金4份，银行贷款2份B 、自筹资金3份，银行贷款3份C 、自筹资金2份，银行贷款4份D 、自筹资金2份，银行贷款2份12、规定m i n {,a b 表示,a b 两个数中的最小的数，min{,}aa ba b b b aì£ïï=íï<ïî，若函数()min{,}f x x x t =+的图像关于直线12x =-对称，则t 的值是（ ） A 、-1 B 、1 C 、-2 D 、2第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 13、设a 为第一象限的角，3cos 25a =-，则()tan(2)4f x pa =+= ． 14、2(ln 2)2x dx =ò．15、若函数212log 0()log ()0x x f x x x ì>ïïï=í-<ïïïî，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是 ．16、一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为 .三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17、（本题满分12分）已知数列{}n a 是首项14a =，公比1q ¹的等比数列，n S 是其前n 项和，且1534,,2a a a -成等差数列．（Ⅰ）求公比q 的值；（Ⅱ）设12n n A S S S =+++ ，求n A 的值．18、（本题满分12分）如图为一建筑物的正视图，尺寸图中标出，为了做好火灾的防备工作，需要在地面上确定安装喷水枪的地点E ，经测试只有当AEBCED? （图中的q 角）时，才能使得水枪喷射能够覆盖整个建筑物，求水枪安装点E 到建筑物的距离EA 长．（注：图中,,,,A B C D E 在同一个平面内；不考虑喷水枪的高度．）19、（本题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ^底面ABCD ，且1PA AB ==,AD =点F 是PB 中点．（Ⅰ）若E 为BC 中点，证明：EF //平面PAC ； （Ⅱ）若E 是BC 边上任一点，证明：PE AF ^； （Ⅲ）若BE =，求直线PA 与平面PDE 所成角的正弦值． 20、（本题满分12分）如图在Rt ABC ∆中，三个顶点坐标分别为(1,0)A -，(1,0)B，(1,2C -，曲线E 过C 点且曲线E 上任一点P 满足PA PB +是定值．（Ⅰ）求出曲线E 的标准方程；（Ⅱ）设曲线E 与x 轴，y 轴的交点分别为D 、Q ，是否存在斜率为k 的直线l过定点与曲线E 交于不同的两点M 、N ，且向量OM ON + 与DQ 共线．若存在，求出此直线方程；若不存在，请说明理由． 21、（本题满分12分）设函数2()ln(1)f x x b x =++．（图甲）（图乙）AB CPEXOTA BCPETOF F（Ⅰ）若函数()y f x =在定义域上是单调函数，求b 的取值范围； （Ⅱ）若1b =-，证明对于任意的n N +∈，不等式33311111()123nk f k n =<++++∑ ． 四、选做题请考生在下面第22，23，24三道题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应题号涂黑. 22、（本题满分10分）选修4—1 几何证明选讲已知△ABC 内接于⊙O ，BT 为⊙O 的切线，P 为直线AB 上一点，过点P 作BC 的平行线交直线BT 于点E ，交直线AC 于点F ．（Ⅰ）如图甲，求证：当点P 在线段AB 上时，P A ⋅=⋅； （Ⅱ）如图乙，当点P 在线段AB 的延长线上时，（Ⅰ）的结论是否仍成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．23、（本题满分10分）选修4—4 坐标系与参数方程已知两点A 、B 的极坐标分别为(4,)2π，(4,)6π．（Ⅰ）求A 、B 两点间的距离；（Ⅱ）以极坐标系的极点O 为直角坐标系的原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，求直线AB 的参数方程．24、（本题满分10分）选修4—5 不等式选讲设01x <<，a =，1b x =+，11c x=-，试比较,,a b c 的大小． （要说明理由，最后结果将,,a b c 从小到大排列出来）2011—2012学年度第一学期教学质量监测（三）高三年级数学（理科）参考答案一、选择题：ADCBB CADBC CB 二、填空题：13．71- 14．3 15．),1()0,1(+∞⋃- 16．312三、解答题17．解：（I ）∵14a ，5a ，32a -成等差数列∴315242a a a -=21141242q a a q a -= ∴12=q 又1≠q ∴1-=q（II ）n n n S )1(22)1(1])1(1[4-⋅-=----⋅=])1(22[])1(22[])1(22[])1(22[321n n A -⋅-++-⋅-+-⋅-+-⋅-= ])1()1()1()1[(2232n n -++-+-+--=n n n n )1(12)1(1])1(1[)1(22--+=----⋅-⋅-=18．解：设xm EA = AE DA ⊥Rt △ABE 中x10tan =θ Rt △ACE 中x 30)tan(=+αθ Rt △ADE 中x60)2tan(=+αθ30040301013010)tan(tan 1)tan(tan )](tan[)2tan(2-=⋅-+=+⋅-++=++=+x x xx x x αθθαθθαθθαθ ∴x x x 60300402=- 30=x 答：水枪安装点E 到建筑物距离为30m .19．证明（I ）E 为BC 中点，F 为PB 中点∴EF ∥CP CP ⊂平面PAC ，⊄EF 平面PAC ∴EF ∥平面PAC（II ）∵PA ⊥平面ABCD ∴PA ⊥BC又AB ⊥BCA BA PA =⋂ ∴BC ⊥平面PAB BC ⊥AF 又PA=AB ，F 为PB 中点，∴PB ⊥AFB BC PB =⋂，AF ⊥平面PBC ∴AF ⊥PE（III ）分别以直线AD 、DB 、DP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系P(0,0,1) )0,0,3(D B(0,1,0)， )0,1,33(E)1,0,3(-=PD )0,1,332(-=DE 设平面PDE 的一个法向量为),,(z y x n⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅03320300y x z x DE n PD n 令x =1得平面PDE 和一个法向量)3,332,1(=m 又)1,0,0(AP AP 与平面PDE 所成角为θ43)3()332(113sin 22=++⋅==θ PA 与平面PDE 所成角正弦值为43.20．解：（I ）由题设得2,22==AB AC 22322=+=AB AC BC 又PB PA +是定值 ∴AB PB PA >=+=+2222223 由椭圆定义，点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆.2,222==a a 1,22==c c1222=-=c a b椭圆E 方程 1222=+y x （II ）由已知条件l 方程为2+=kx y⎪⎩⎪⎨⎧=++=12222y x kx y 消去y 整理得 0224)21(22=+++kx x kl 与椭圆有2个不同交点的条件为△0)21(8)24(22>+-=k k解得22-<k 或22>k 若l 与椭圆交于),(),(2211y x 、N y x M2212124k k x x +-=+ 22121212222)(k x x k y y +=++=+ ),(2121y y x x ON OM ++=+椭圆与x 轴，y 轴交点)0,2(D ，)1,0(Q ，)1,2(-=DQON OM +与DQ 共线 ∴)(22121y y x x +-=+22212222124k k k +⋅-=+-解得22=k ),22()22,(22+∞⋃--∞∉=k ∴不存在符合题设条件的直线l.21．（I ）解：)1(12212)(2->+++=++='x x bx x x b x x f 要使)(x f 在),1(+∞-上为单调函数只须在),1(+∞-上0)(≥'x f 或0)(≤'x f 恒成立，若0222≥++b x x ，21)21(22++-≥x b 在),1(+∞-上21)21(22++-=x t 有最大值21∴只须21≥b 则0)(≥'x f 若0222≤++b x x ，21)21(22++-=x b 在),1(+∞-上21)21(22++-=x t 无最小值故满足0)(≤'x f 的b 不存在. 由上得出当21≥b 时，)(x f 在),1(+∞-上为单调函数. （II ）1-=b 时，)1ln()(2+-=x x x f设323)1ln()()(x x x x x f x g -+-=-=1)1(33112)(232+-+-=-+-='x x x x x x x g当0≥x 时0)(<'x g ∴函数)(x g 在),0(+∞上为减函数0)0(=g ∴当),0(+∞∈x 时，0)0()(=<g x g 32)1ln(x x x <+-恒成立 3)(x x f <+∈N k ∴),0(1+∞∈k∴k x 1=时，31)1(kk f < ∴3331131211)1(k k f nk ++++<∑= 四、选做题22．（I ）证明：EB 为⊙O 切线，∴∠C=∠ABEEF ∥BC ∴∠AFP=∠C∠AFP=∠ABE 又∠APF=∠EPB△APF ∽△EPBPBPFPE PA =即PF PE PB PA ⋅=⋅ （II ）当点P 在线段AB 延线上时，结论PF PE PB PA ⋅=⋅仍成立∵EB 为⊙O 切线，∴∠ABT=∠ACB 又BC ∥EF ∴∠F=∠ACB=∠ABT 又∠ABT=∠PBE ∴△PBE ∽△PFA PBPFPE PA = 即PF PE PB PA ⋅=⋅ 23．（解答略）（I ）4=AB（II ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=2423t y t x (t 为参数) （参数方程不唯一，只要考生能求出满足过A 、B 两点的任一参数形式方程都给满分）24．（解答略）c b a <<。