数学：：《反证法》课件(北师大版选修2-2)

归谬包括推出的结果与已知定义、公
理、定理、公式矛盾，或与已知条件、 临时假设矛盾，以及自相矛盾等各种 情形.
14
作业：课本 P15 习题1-3： （3）、（4）
五、教后反思：
15
北师大版高中数学选修2-2 第一章《推理与证明》
§3
反证法
1
一、教学目标：结合已经学过的数学实例， 了解间接证明的一种基本方法──反证法； 了解反证法的思考过程与特点。 二、教学重点：了解反证法的思考过程与 特点。 教学难点：正确理解、运用反证法。 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
2
复习
综合法特点： 由因导果
由已知 结论
分析法特点： 执果索因
即： 由结果
倒推
找条件
3
思考？
A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都 撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？
分析: 假设C没有撒谎, 则C真; 那么A假且B假; 由A假, 知B真. 这与B假矛盾. 则C必定是在撒谎.
由假设
推出矛盾.
2
2
2
2
•解题反思： 本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类？
12
练习： 课本 P 练习1. 14
归纳总结：
1.哪些命题适宜用反证法加以证明？
•笼统地说，正面证明繁琐或困难时宜用反证法； •具体地讲，当所证命题的结论为否定形式或 含有“至多”、“至少”等不确定词， 此外，“存在性”、“唯一性”问题.
13
2.归谬是“反证法”的核心步骤，归谬 得到的逻辑矛盾，常见的类型有哪些？
11
例5、 求证： 2 是无理数。
证：假设 2是 有 理 数 ，
则 存 在 互 质 的 整 数 m， n使 得
∴ m =
2n
2
∴ m = 2n n

2
2 =
m
2
，
∴ m 是 偶 数 ， 从 而 m必 是 偶 数 ， 故 设 m = 2k（ k ∈ N ）
从 而 有 4k = 2n ， 即 n = 2k 2 ∴ n 也 是 偶 数 ， 这 与 m， n互 质 矛 盾 ！ 所 以 假 设 不 成 立 ， 2是 有 理 数 成 立 。
2 2 2 2
，即 a 2 是奇数。所以，2不能整除 a 2 。这与 已知“2能整除”相矛盾。于是，“2不能整除a” 这个假设错误，故2能整除a.
7
ห้องสมุดไป่ตู้
例2、在同一平面内，两条直线a，b都和直线c 垂直。求证：a与b平行。
证明：假设命题的结论不成立，即“直线a与b 相交”。设直线a，b的交点为M，a，c的交点 0 为P，b，c的交点为Q，如图所示，则PMQ 。 0
这样 △ MPQ 的内角和
PMQ 90
0
PMQ MPQ PQM
0
。 这与定理“三角形的内角和等于 0 180 ”相矛盾，这说明假设是错误的。 所以直线a与b不相交，即a与b平行。
8
90
0
180
解题反思： •证明以上题时，你是怎么想到反证法的？ •反设时应注意什么？ •反证法中归谬是核心步骤，本题中得到的逻 辑矛盾归属哪一类？
(1)直接证明比较困难; (2)直接证明需分成很多类,而对立命题分类较少; （3)结论有“至少”,“至多”,“有无穷多个”之类字样 （4）结论为 “唯一”之类的命题；
6
例1、已知a是整数，2能整除 a
2
，求证：
2能整除a. 证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整 除a”。 因为a是整数，故a是奇数，a可表示为2m+1（ m为整数），则 a ( 2 m 1) 4 m 4 m 1 2 ( 2 m 2 m ) 1
不 妨 设 其 中 的 两 根 分 别 为 x 1， x 2 且 x 1 ≠ x 2
则 ax1 = b， ax 2 = b ∴ ax1 = ax 2
∴ ax1 - ax 2 = 0 ∴ a （ x 1 - x 2）= 0
∵ x 1 ≠ x 2， x 1 - x 2 ≠ 0
∴ a = 0 与 已 知 a ≠ 0矛 盾 , 故假设不成立，结论成立。
9
例3.已知四面体S－ABC中，SA⊥底面ABC， △ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上的射影． 求证：H不可能是△SBC的垂心．
S D
H A C
B
•解题反思：
证明该问题的关键是哪一步？
本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类？
10
例4、 已知a≠0，
证明：关于x的方程ax=b有且只有一个根。
证 ： 假 设 方 程 ax + b = 0(a ≠ 0)至 少 存 在 两 个 根 ，
那么假设“C没有撒谎”不成立; 推翻假设.
原命题成立.
4
反证法：
①假设原命题不成立，
反证法的基本步骤：
②经过正确的推理,得出矛盾，
③因此说明假设错误, ④从而证明原命题成立, 这样的的证明方法叫反证法
得出矛盾的方法：
四步
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
5
应用反证法的情形：