单元二 平面力系
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第二章平面力系
第二章平面力系教学目标：掌握平面力系向一点简化的一般结果和最终结果；掌握平面任意力系的平衡方程；掌握平面特殊力系的平衡方程。
重点、难点：平面力系平衡方程求解力学问题。
学时分配：8学时。
§2-1 平面任意力系的简化一 平面任意力系向一点简化——主矢与主矩设刚体上作用有n 各力1F 、2F 、…、n F 组成的平面任意力系，如图3-2a 所示，在力系所在平面内任取点O 作为简化中心，由力的平移定理将力系中各力矢量向O 点平移，如图3-2b 所示，得到作用于简化中心O 点的平面汇交力系1F '、2F '、…、n F '，和附加平面力偶系，其矩为1M 、2M 、…、n M 。
图3-2平面汇交力系1F '、2F '、…、n F '可以合成为力的作用线通过简化中心O 的一个力RF '，此力称为原来力系的主矢，即主矢等于力系中各力的矢量和。
有∑=''''ni 1=+++=+++=1212i n n RF F F F F F F F 平面力偶系1M 、2M 、…、n M 可以合成一个力偶，其矩为o M ，此力偶矩称为原来力系的主矩，即主矩等于力系中各力矢量对简化中心的矩的代数和。
有∑=ni n o (M =M ++M +M =M 1i o 21)F结论：平面任意力系向力系所在平面内任意点简化，得到一个力和一个力偶，如图所示，此力称为原来力系的主矢，与简化中心的位置无关；此力偶矩称为原来力系的主矩，与简化中心的位置有关。
利用平面汇交力系和平面力偶系的合成方法，可求出力系的主矢和主矩。
如图所示，建立直角坐标系oxy ，主矢的大小和方向余弦为212122)F ()F (=F F =F ni yi ni xi Ry RxR ∑∑==+'+'Rn1i yiRRy R n1i xi R RxF FF F cos ,F F F F )cos ∑∑===''=⋅=''=⋅)((j F i F R R主矩的解析表达式为∑=-=ni xi i yi i o )F y F (x M 1)(R F二 平面任意力系简化结果讨论（1）当00≠='o M ,RF 时，简化为一个力偶。
第2章 平面力系
F1
80㎜
y
F2 B
x
解：如图建立坐标系，则
F1 X Y 0 100
2
F2 30 40
F3 50 0
2
Σ 80 140
A
60㎜
C
F3
FR
X Y
7 4
161 .2 N
所以
Y tg X
[例3] 已知：P=10kN, BC=AC=2m，AC与BC相互垂直。 求：在P的作用下AC、BC所受力的大小。 ①选铰链C为研究对象 ②取分离体画受力图 P B C
F1 R sin sin( 180 )
2. 任意个共点力的合成
力多边形法则：把各力矢首尾相接，形成一条有向 折线段（称为力链）。加上一封闭边，就得到一个 多边形，称为力多边形。
F2 F1 F3 F4
结论：RF F F F 1 2 3 4 即：
R F
R
即：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合 力的作用线通过各力的汇交点。
平面汇交力系合成与平衡的解析法
一、力在坐标轴上的投影 力 投影 X=Fx=Fcosa ： Y=Fy=Fsina=F cosβ 投影
2
力
2
F Fx Fy
X Fx cos F F
Y Fy cos F F
二、合力投影定理
由图可看出，各分力在x轴 和在y轴投影的和分别为：
Rx X1X2 X4 X
二、平面汇交力系平衡的条件 平面汇交力系平衡的充要条件是：
F2 F1 F3 F5 F4 R
R F 0
在上面几何法求力系的合力中，合 力为零意味着力多边形自行封闭。 所以平面汇交力系平衡的必要与充 分的几何条件是： 力多边形自行封闭
第2章 平面力系(工程力学).
Fy 0, FAy - F sin 30 0 Fx 0, FAx - F cos30 0 M A(F ) 0, M A - Fl sin 30 0
3)求解未知量 将已知条件代入以上平衡方程解得
FAx F cos30 100N cos30 86.6N FAy F sin 30 100N sin 30 50.0N M A Fl sin 30 100N 2m sin 30 100N m
链A的约束力。 解 1）选取横梁AB为研究对象，画受力图；
2）选取投影坐标轴xAy和矩心A，列平衡方程：
Fx 0, FAx - FCD cos 0
Fy 0, FAy - G1 - G2 FCD sin 0
M
A (F
)
0,
FCDl
sin
-
G1
l 2
-
G2
a
x
x1
2x
nx
x
F' F' F' F'
Ry
1y
2y
ny
F ' F F F F
y
1y
2y
ny
y
2.4
§2.1 平面任意力系的简化
主矢大小： FR' (FR'x )2 (FR'y )2 (Fx )2 (Fy )2
主矢方向： tan Fy FX
恒等于零，即 MO MO (F ) 0 。 因此，平
面汇交力系独立的平衡方程为两个投影方程，
即： Fx Fy
0 0
两个平衡方程只能解两个未知量。
3)求解未知量 将已知条件代入以上平衡方程解得
FAx F cos30 100N cos30 86.6N FAy F sin 30 100N sin 30 50.0N M A Fl sin 30 100N 2m sin 30 100N m
链A的约束力。 解 1）选取横梁AB为研究对象，画受力图；
2）选取投影坐标轴xAy和矩心A，列平衡方程：
Fx 0, FAx - FCD cos 0
Fy 0, FAy - G1 - G2 FCD sin 0
M
A (F
)
0,
FCDl
sin
-
G1
l 2
-
G2
a
x
x1
2x
nx
x
F' F' F' F'
Ry
1y
2y
ny
F ' F F F F
y
1y
2y
ny
y
2.4
§2.1 平面任意力系的简化
主矢大小： FR' (FR'x )2 (FR'y )2 (Fx )2 (Fy )2
主矢方向： tan Fy FX
恒等于零，即 MO MO (F ) 0 。 因此，平
面汇交力系独立的平衡方程为两个投影方程，
即： Fx Fy
0 0
两个平衡方程只能解两个未知量。
第二章 平面力系
第二章
平面力系
§2-1 一般概念
一.力系分类
平面力系（汇交力系、平行力系、一般力系） 空间力系
二.工程实例 在工程地质和工程建筑物中，常遇到
的一些平面力系问题，如：
铁路绗架、水坝、坝基 空间问题一般简化为平面问题处理
W1
W2
1m
§2-2 平面汇交力系的合成与分解
一、二力合成 1、几何法：已知作用在物体上的两个力，F1、F2 ，它们
5.力偶在任意坐标轴上的投影恒等于零.
§2-6 平面力系的合成
一、力的平移定理 作用在物体上的力可以平移到任意点，但必须附加上
一力偶，其矩大小等于此力对新作用点之矩。
M B M B (F ) F d （2 - 10）
二、平面任意力系向已知点简化（如下图）
1、简化方法：
2、简化结果：
主矢 FR Fi 主矩 M O M O (F i) （2 - 11）
P 2 10m
BT T
W1 R
N W2
T
P2
解：可以用解析法和图解法解此题 答案：Ｔ=7500KN，N=21500KN
§2-8 平面一般力系平衡条件和方程式
一、平面任意力系的平衡条件（充要条件）
R0， M00 二、平面任意力系平衡方程式 主矢
必有 主矩
R ( F x)2( F y)20
Fx 0
主矢与简化中心无关，主矩与简化中心有关
三、平面任意力系的合成
1、力和力偶合成一个力 2、合力矩定理：
平面力系的合力，对该平面任一点之矩，等于各分力 对同一点之矩的代数和。
n
M0 R m0(Fi) i1
3、简化结果分析，四种情况有三种结果
§2-7 重心
平面力系
§2-1 一般概念
一.力系分类
平面力系（汇交力系、平行力系、一般力系） 空间力系
二.工程实例 在工程地质和工程建筑物中，常遇到
的一些平面力系问题，如：
铁路绗架、水坝、坝基 空间问题一般简化为平面问题处理
W1
W2
1m
§2-2 平面汇交力系的合成与分解
一、二力合成 1、几何法：已知作用在物体上的两个力，F1、F2 ，它们
5.力偶在任意坐标轴上的投影恒等于零.
§2-6 平面力系的合成
一、力的平移定理 作用在物体上的力可以平移到任意点，但必须附加上
一力偶，其矩大小等于此力对新作用点之矩。
M B M B (F ) F d （2 - 10）
二、平面任意力系向已知点简化（如下图）
1、简化方法：
2、简化结果：
主矢 FR Fi 主矩 M O M O (F i) （2 - 11）
P 2 10m
BT T
W1 R
N W2
T
P2
解：可以用解析法和图解法解此题 答案：Ｔ=7500KN，N=21500KN
§2-8 平面一般力系平衡条件和方程式
一、平面任意力系的平衡条件（充要条件）
R0， M00 二、平面任意力系平衡方程式 主矢
必有 主矩
R ( F x)2( F y)20
Fx 0
主矢与简化中心无关，主矩与简化中心有关
三、平面任意力系的合成
1、力和力偶合成一个力 2、合力矩定理：
平面力系的合力，对该平面任一点之矩，等于各分力 对同一点之矩的代数和。
n
M0 R m0(Fi) i1
3、简化结果分析，四种情况有三种结果
§2-7 重心
02平面力系
2 平面力系
本章提要
本章主要研究力的投影和力对点之矩的计 算、合力投影定理、合力矩定理、各种平面力 系的平衡方程及应用、考虑摩擦时物体的平衡。
所谓平面力系是指各力的作用线都在同一平面 内的力系。
在平面力系中，若各力的作用线交于一点，则 称为平面汇交力系(图2.1)； 若各力的作用线相互平行，则称为平面平行力 系(图2.2)； 若各力的作用线既不完全交于一点也不完全相 互平行，则称为平面一般力系(图2.3)。
如果已知力F在直角坐标轴上的投影Fx和Fy，则 力F的大小和方向可由下式确定
F Fx2 Fy2 Fx 力F的指向可由投影Fx和Fy的正负号来确定(见表 2.1)。
如果把力F沿x、y轴分解为两个分力F1、F2，投 影的绝对值等于分力的大小，投影的正负号指明了分 力是沿该轴的正向还是负向。
tan
图2.12
图2.13
图2.14
图2.15
2.2.2 合力矩定理
平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩，等 于力系中各分力对同一点之矩的代数和。这就是平 面汇交力系的合力矩定理。 如图2.16
图2.16
【例2.8】支架如图2.17所示，已知AB=AC=30cm, BD=15cm,F=100N,α=30°,试分别根据力矩的定义和合力 矩定理求力F对A、B、C三点的力矩。并比较计算结果。 【解】（1） 根据力矩定义计算，由式(2.6)得
R ( Fx )2 ( Fy )2
可知：欲使R=0,必须且只需
∑Fx=0
∑Fy=0
于是得平面汇交力系平衡的必要和充分的解析 条件为：力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上 的投影的代数和都等于零。式(2.5)称为平面汇交力系 的平衡方程。
【例2.3】一梯子AB自重W=100N，重心假定在梯子长度 中点C。梯子的上端A靠在光滑的墙上，下端B放置在与 水平面成40°倾角的光滑斜坡(图2.8(a))。试求梯子在自 身重力作用下平衡时，两端的约束反力。
本章提要
本章主要研究力的投影和力对点之矩的计 算、合力投影定理、合力矩定理、各种平面力 系的平衡方程及应用、考虑摩擦时物体的平衡。
所谓平面力系是指各力的作用线都在同一平面 内的力系。
在平面力系中，若各力的作用线交于一点，则 称为平面汇交力系(图2.1)； 若各力的作用线相互平行，则称为平面平行力 系(图2.2)； 若各力的作用线既不完全交于一点也不完全相 互平行，则称为平面一般力系(图2.3)。
如果已知力F在直角坐标轴上的投影Fx和Fy，则 力F的大小和方向可由下式确定
F Fx2 Fy2 Fx 力F的指向可由投影Fx和Fy的正负号来确定(见表 2.1)。
如果把力F沿x、y轴分解为两个分力F1、F2，投 影的绝对值等于分力的大小，投影的正负号指明了分 力是沿该轴的正向还是负向。
tan
图2.12
图2.13
图2.14
图2.15
2.2.2 合力矩定理
平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩，等 于力系中各分力对同一点之矩的代数和。这就是平 面汇交力系的合力矩定理。 如图2.16
图2.16
【例2.8】支架如图2.17所示，已知AB=AC=30cm, BD=15cm,F=100N,α=30°,试分别根据力矩的定义和合力 矩定理求力F对A、B、C三点的力矩。并比较计算结果。 【解】（1） 根据力矩定义计算，由式(2.6)得
R ( Fx )2 ( Fy )2
可知：欲使R=0,必须且只需
∑Fx=0
∑Fy=0
于是得平面汇交力系平衡的必要和充分的解析 条件为：力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上 的投影的代数和都等于零。式(2.5)称为平面汇交力系 的平衡方程。
【例2.3】一梯子AB自重W=100N，重心假定在梯子长度 中点C。梯子的上端A靠在光滑的墙上，下端B放置在与 水平面成40°倾角的光滑斜坡(图2.8(a))。试求梯子在自 身重力作用下平衡时，两端的约束反力。
PPT-静力学-第二章 平面力系
F3 10,0 N F.4 250 N 求：此力系的合力.
解： 用解析法
FRx
F ix
F1
cos 30
F2
cos 60
F3
cos
45
F4
cos
45
129.3N
FRy
F iy
F1
sin
30
F2
sin
60
F3
sin
45
F4
sin
45
112.3N
FR
F2 Rx
F2 Ry
171.3N
cosθ FRx 0.7548 F
2.方向：转动方向 M O(F) F h
力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的 乘积，它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为
负.常用单位 N或 m kN m
二、合力矩定理与力矩的解析表达式
合力矩定理：平面汇交力系的合力
对平面内任一点之矩等于所有各分
力对于该点之矩的代数和。
第二章 平面力系
当力力系中各力的作用线处于同一平面时，该力系称 为平面力系。 平面汇交（共点）力系
平面平行力系 平面力偶系 平面任意力系
主要研究：力系的合成、简化与平衡，建立平衡条件 和平衡方程
§2-1 平面汇交力系
一、平面汇交力系合成的几何法－－力多边形规则
FR1 F1 F2
3
FR 2
FR1
M A F
lim x0
qo x x x
l
FR
q0
（ qo l x2dx q0 l 2
l0
3
）
合力作用线的位置为：
C
x B
xc
第二章 平面力系
FR F1 F2 Fn Fi
i 1
n
力FR对刚体的作用与原力系对该刚体的作用等效。所以 称此力为汇交力系的合力。
如力系中各力作用线均沿同一直线，则此力系为共线力系， 它是平面汇交力系的特殊情况。显然力系的合力大小和方向 取决于各分力的代数和，即 n
FR Fi
i 1
24
静力学
例题 1-5
平面力系
合力的大小：
2 Rx 2 Ry
FR F F 171.3 N
合力与轴x，y夹角的方向余弦为：
FRx cos( FR , i ) 0.754 FR
F2
y
F1
60
O
45
30
cos( FR , j )
FRy FR
45
x
F4
0.656
F3
平面力系
Fx Fx1 Fx 2 Fxn Fxi i 1 n Fy Fy1 Fy 2 Fyn Fyi i 1
n
合力矢FR的大小和方向余弦为
FR Fx2 Fy2 ( Fxi ) 2 ( Fyi ) 2
B
D
钢丝绳的另一端绕在铰车D上。 杆AB与BC铰接，并以铰链A，C 与墙连接。如两杆与滑轮的自重
4 .由力三角形图c可得：
I
F
q
FD
J
K
FB
(c)
sin 180 q FB F 750 N sin
11
静力学
例题 1-2
平面力系
水平梁AB中点C作用着力F，其大小等于2 kN，方向与梁
的轴线成60º 角，支承情况如图a 所示，试求固定铰链支座A和活动铰链支座B的约束源自。梁的自重不计。3，
机械工程基础课件 单元二 平面力系
M = F1 d=F'1 d'
F2
d
F2
F
=
d
=
F
M
F1
F1
因此，以后可用力偶的转向箭头来代替力偶。
单元二
3.力偶系的平衡条件
平面力系
力偶矩矢多边形自行闭合，即力偶系中各力偶矩
单元二
平面力系
2.1平面汇交力系的合成与平衡
1. 平面汇交力系合成的几何法——力多边形法则
F1 F1 O F2 F4 F3 FR
O
B
F2
C
F3
D
F4
E
表达式：FR = F1+ F2+ F3+ F4
单元二
（1）力多边形法则
平面力系
把各力矢首尾相接，形成一条折线（称为开口
的多边形）。加上一封闭边，就得到一个多边形， 称为力多边形。
平面力系
由力矢F的始端A和末端B向投影平面Oxy引垂线，由垂足 → ' ' A 到B 所构成的矢量A'B' ，就是力F在平面Oxy上的投影，记为 Fxy。 B F
力Fxy的大小：
A y A′ O
Fxy F cos
注意: 力在轴上的投影是一代数量。 力在平面上的投影仍是一矢量。
Fxy
B′
x
单元二
即
M O FR M O Fi
平面汇交力系
M 0 FR M 0 Fi
单元二
2.2.2 平面力偶
1.何为力偶？
平面力系
由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的 力系称为力偶，记作 F , F
单元二
1.力偶和力偶矩
理论力学精品课程第二章平面简单力系
力矩的平衡
总结词
平衡条件与状态
详细描述
力矩平衡是指物体受到的各力矩代数和为零，即合力矩为零。当物体处于力矩平衡状态 时，其将保持静止或匀速转动。在平面问题中，若物体只受到平面力的作用，则其力矩 平衡的条件是所有各力对固定点的力矩代数和为零。满足力矩平衡条件的系统称为力矩
平衡系统。
05
平面简单力系的实例分析来自实例三：吊车的受力分析
总结词
吊车的受力分析是平面简单力系中的又一实 例，涉及到重力和各个方向的力矩作用。
详细描述
吊车在工作时，通过钢索对重物施加拉力， 同时自身受到重力和地面支撑力的作用。在 平面简单力系中，我们需要考虑各个力的方 向和大小，以及力矩的作用。通过受力分析 ，可以确定吊车的稳定性和操作性能，确保
平衡方程
对于平面汇交力系，可以建立 三个平衡方程，分别表示力系 中各力的x分量和y分量之和为
零。
平衡条件的推论
如果一个平面汇交力系中的某 个力等于零，则该力系中其他 力的合力也必须等于零，才能
满足平衡条件。
03
平面平行力系
平面平行力系的概念
平面平行力系
在刚体上作用着一系列平行于某平面的力，这些力共同作 用的效果与一个单独的力作用在刚体上的效果相同，则这 一系列力称为平面平行力系。
平面平行力系的合成
平面平行力系可以等效为一个单一的力，这个等效力的大 小和方向与原力系中所有力的合力相等，方向相同。
平面平行力系的平衡
如果一个刚体受到平面平行力系的作用，并且该刚体处于 静止状态或匀速直线运动状态，则该刚体处于平衡状态。
平面平行力系的平衡条件
平衡方程
根据平衡条件，可以建立平衡方程，求解未 知量。
力的平移定理
建筑力学2平面力系
12
2.2 力对点之矩与平面力偶 2.2.1 力对点之矩—简称为：力矩 在力的作用下，物体将发生移动和转动。力 的转动效应用力矩来衡量，即力矩是衡量力转 动效应的物理量。 讨论力的转动效 应时，主要关心 力矩的大小与转 动方向。
13
1.定义 力臂—某定点O到力F的作用线的垂直距离。
矩心—该点O称为矩心。 力对点之矩—力使物体绕某点转动效应的度量。其 数值等于力的大小F与力臂d的乘积。其方向，规 定：力使物体绕矩心逆时钟方向转动时力矩为正， 反之为负。记为 MO(F)=±Fd
F F
y
0
FAC FAC
3
解得
x
4 2 32 63.2kN 4
FT 2
2 12 2 2 FT 2
FT 1 0
0
FAB FAC FAB
1 12 2 2
解得
4 2 32 41.6kN
0
力FAC 是负值，表示该力的假 设方向与实际方向相反 ， 因此杆AC是受压班。
力的等效平移的几个性质：
1、当力平移时，力的大小、方向都不改变，但附 加力偶的矩的大小与正负一般要随指定O点的 位置的不同而不同。
2、力平移的过程是可逆的，即作用在同一平面内
的一个力和一个力偶，总可以归纳为一个和原
力大小相等的平行力。
3、力平移定理是把刚体上平面任意力系分解为一 个平面共点力系和一个平面力偶系的依据。
9
【例2-5】重W=20kN的重物被绞车匀速吊起，绞车 的绳子绕过光滑的定滑轮A,，滑轮由不计重量的 杆AB、AC支撑，A、B、C三点均为光滑铰链， 可忽略滑轮A的尺寸。求杆AB、AC所受的力。
B
4 A FBA B A FAB FAC F’AB y A x F’AC FT2 FT1
第二部分平面力系
例2-2、重G的物块悬于长L的吊索上，以水平力F将物块向右推过水平距离x处。已知G=1.2kN， l=13m，x=5m，求所需水平力F的值。
解：
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第二节 力对点之矩
一、力矩的概念
物理量Fd及其转向来度量力使物体绕转动中心O的效 应，这个量称为立F对O点之矩。简称力矩，记为
mo(F)Fd
解：
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第四节 力的平移定理
讨论力对其作用线以外一点的作用效果。 将作用于A点的力F平移到平面上任一点O，可在O点施加一对与力F等值的平衡力F′与F″，取F 与F″为一对等值、反向、不共线的平行力组成一力偶，称为附加力偶，力偶矩值等于原力F对O点 的力矩，即
mO(F)Fd
力 的平移定理：作用于刚体上的力，均可平移到刚体内任一点，但必需同时增加一个附加力偶， 其值等于原来力对该点之矩。
2、动滑动摩擦 两个相互接触的物体，存在相对滑动时，彼此之间就有阻碍滑动的力存在，此力称为动滑动摩擦
力。其大小与接触面之间的正压力成正比，即
F fN
其中f′为动滑动摩擦系数，由实验确定。
动滑动摩擦力的三要素为：
（1）大小：
F fN
（2）方向：摩擦力在两物体接触面的切线上，其指向与物体间相对滑动的方向相反。 （3）作用点：接触点或接触面上摩擦力合力的作用点。
三、关于特殊力系的平衡问题
对与平面一般力系的平衡方程在特殊力中的应用，应注意部分的平衡方程的适用性。 在平面汇交力系中，力矩平衡的表达式具有一定的条件，即矩心不能选择在力系的汇交点上，所 以在平面汇交力中，不把力矩平衡的表达式作为平衡的判据。 在平面平行力系中，应注意平行力系的方向，在与平行力系垂直的坐标轴上，力系的投影恒为零， 故该平衡方程也不能用。
第二章 平面力系
第二章平面力系第1节平面汇交力系合成与平衡的几何法若作用在物体上的力，其作用线均分布在同一平面内，则该力系称为平面力系。
若作用在同一平面内的各力作用线均汇交于一点，则该力系称为平面汇交力系。
一、合成的几何法应用力多边形法则，合力矢即是力多边形的封闭边，合力作用线通过力系的汇交点。
如图2-1-1-1所示。
图2-1-1-1若有n个力，则合力矢可以表示为F R = F 1 + F 2 +⋯+ F n = ∑ i=1 n F i二、平衡的几何法平面汇交力系平衡的充要条件是：力多边形自行封闭。
如图2-1-1-2所示。
若矢量表示即为F R =0图2-1-1-2第2节平面汇交力系合成与平衡的解析法一、力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影等于力的模乘以力与投影轴正向间夹角的余弦，如图2-2-1-1所示，它是一标量，即F x =Fcosθ; F y =Fcosβ力沿坐标轴的分力是一矢量，其合力与分力之间应满足力的平行四边形法则。
如图2-2-1-2所示。
当坐标轴为直角坐标轴时，力沿坐标轴分解的分力可以表示为F x = F x i; F y = F y i合力投影定理：合力在某轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和，即F x = ∑ i=1 n F xi ; F y = ∑ i=1 n F yi当投影轴x与y垂直时，其合力的大小与方向为F R = F x 2 + F y 2 , cos( F R ,i)= F x F R ; cos( F R ,j)= F y F R二、合成的解析法当为直角坐标轴时，可按以下方法来合成F R = F x 2 + F y 2 = ( ∑ F xi ) 2 + ( ∑ F yi ) 2cos( F R ,i)= F x F R = ∑ F xi F R ; cos( F R ,j)= F y F R = ∑ F yi F R三、平衡的解析法力系中各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零，即∑ F x =0; ∑ F y =0上式称为平面汇交力系的平衡方程。
第二章 平面力系
④解平衡方程
cos 450 = 3.16 kN 19 cos α
[例3]
已知F1＝200N，F2＝300N，F3＝100N，F4＝250N。求图示
平面汇交力系的合力。 解 根据公式可得
o o o o
Fx = Fx1 + Fx 2 + Fx 3 + Fx 4 = F1 cos30 - F2 cos60 - F3 cos45 + F4 cos45 = 129.3 N o o o o Fy = Fy1 + Fy 2 + Fy3 + Fy 4 = F1 sin 30 + F2 sin 60 - F3 sin 45 - F4 sin 45 = 112.3 N
n R =∑i F i =1
平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的
作用线通过各力的汇交点。
8
3.平面汇交力系平衡的几何条件 平面汇交力系平衡的充要 条件是合力为零，即：
n R =∑i F i =1
在上面几何法求力系的合力中，
合力为零意味着力多边形自行封闭。所 以平面汇交力系平衡的必要与充分的几 何条件是：力多边形自行封闭。 或：力系中各力的矢量和等于零。
R = 0, R 2 + R 2 = 0 X Y
为平衡的充要条件，也叫平衡方程
18
[例] 已知 P=2kN 解：①研究AB杆 ②画出受力图 ③列平衡方程
求SCD , RA
∑X=0
RA·cosα-SCD· cos45°=0
∑Y=0
-P-RA·Sinα+SCD· Sin45°=0
α
由EB=BC=0.4m， EB 0.4 1 t gα = = = 解得： AB 1.2 3 P SCD = = 4.24 kN ； A = SCD R 0 cos 45 (1 - tgαα)
第二章 平面力系
F1 + F2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Fn
Rx = ∑ X k
k =1 n
n
R y = ∑ Yk
k =1
— 合力投影定理
则：
2 R = Rx2 + R y
Ry Rx cos(R , i ) = ,cos(R , j ) = R R
4、平面汇交力系的平衡方程 RX= ∑X=0 RY =∑Y =0 ∑X=0 ∑Y =0 解析条件的应用 平面汇交力系的平衡方程
X 2 = − F2 cos θ 2 Y2 = − F2 sin θ 2
cos(F , i ) =
(2) 平面汇交力系合成的解析法 求合力 R（R=Rxi+Ryj )可先求Rx，Ry。 已知： R = 则 ：
⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ Rx ⋅ i + R y ⋅ j = ⎜ ∑ X k ⎟ ⋅ i + ⎜ ∑ Yk ⎟ ⋅ j ⎝ k =1 ⎠ ⎝ k =1 ⎠
第二章 平面力系
平面力系：各力作用线位于同一平面。 平面汇交力系 平面力偶系 平面平行力系 平面任意力系
§2-1、平面汇交力系
平面汇交力系：各力作用线位于同一平面且汇交于一点。
问题举例：
FAy
Q
FA
O B
Q
A
FAx
FC
C
1、平面汇交力系合成的几何法
R123
F2
F3
R12 F2
R
F3
A3
A2 A1
r
h
A
2、合力矩定理与力矩的解析表达式 合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩 等于力系中各分力对同一点 的矩的代数和。 即 ： 若F1+F2+……+Fn=R，则： MO（R）=
考研复习—工程力学——第2章 平面力系
解：M= m1+ m2+ m3+m4 =4×(－15 N·m)= －60 N·m
负号表示合力偶为顺时针转向。
图2-10
第2章
2.3 平面任意力系的简化
2.3.1 力的平移定理
平移定理：作用在刚体上的力，可以平移至刚体内任一指定点，若不改变该力对于 刚体的作用则必须附加一力偶，其力偶矩等于原力对新作用点的矩。
Fx 0
RAx R By P 0
RAx P RBx 20 kN 10 kN 10 kN
M A (F) 0 RBy a P a F 2a 0
RBy 2F P 20 kN 20 kN 0
（2）画ACD杆及CEB杆受力图,如图(b)、图(c)所示。
(3)研究CEB杆，如图（c）所示，则有
例2-16：图所示梯子，AB一端靠在铅垂的墙壁上，另一端搁置 在水平地面上。假设梯子与墙壁间为光滑约束，而梯子与地面之间存 在摩擦。已知：摩擦因数为 ，梯子长度AB=L,梯子重力为W。求：（ 1）若梯子在倾角 的位置保持平衡，求梯子与地面之间的摩擦力 和其 余约束力；（2）为使梯子不致滑倒，求倾角α的取值范围。
2 3 Fp
Fs1
Fs 2
1 3
Fp
(拉)
2 3
Fp (压)
（3）考察节点B的平衡： Fs3 0
第2章
2.7 考虑摩擦时的平衡问题
2.7.1 工程中的摩擦问题
1、摩擦平衡问题： 工程中有一类问题摩擦力不能忽略。例如车辆的制动、螺旋连接与锁 紧装置、楔紧装置、缆索滑动和传动系统等。这类平衡问题统称为摩擦平衡问题。
Fd fFN
第2章
2.7 考虑摩擦时的平衡问题
2.7.3 摩擦角与自锁现象
负号表示合力偶为顺时针转向。
图2-10
第2章
2.3 平面任意力系的简化
2.3.1 力的平移定理
平移定理：作用在刚体上的力，可以平移至刚体内任一指定点，若不改变该力对于 刚体的作用则必须附加一力偶，其力偶矩等于原力对新作用点的矩。
Fx 0
RAx R By P 0
RAx P RBx 20 kN 10 kN 10 kN
M A (F) 0 RBy a P a F 2a 0
RBy 2F P 20 kN 20 kN 0
（2）画ACD杆及CEB杆受力图,如图(b)、图(c)所示。
(3)研究CEB杆，如图（c）所示，则有
例2-16：图所示梯子，AB一端靠在铅垂的墙壁上，另一端搁置 在水平地面上。假设梯子与墙壁间为光滑约束，而梯子与地面之间存 在摩擦。已知：摩擦因数为 ，梯子长度AB=L,梯子重力为W。求：（ 1）若梯子在倾角 的位置保持平衡，求梯子与地面之间的摩擦力 和其 余约束力；（2）为使梯子不致滑倒，求倾角α的取值范围。
2 3 Fp
Fs1
Fs 2
1 3
Fp
(拉)
2 3
Fp (压)
（3）考察节点B的平衡： Fs3 0
第2章
2.7 考虑摩擦时的平衡问题
2.7.1 工程中的摩擦问题
1、摩擦平衡问题： 工程中有一类问题摩擦力不能忽略。例如车辆的制动、螺旋连接与锁 紧装置、楔紧装置、缆索滑动和传动系统等。这类平衡问题统称为摩擦平衡问题。
Fd fFN
第2章
2.7 考虑摩擦时的平衡问题
2.7.3 摩擦角与自锁现象
理论力学第二章平面力系
RA = RC = R, AC = a
B C
M1
A 60o
M2
60o D B
Mi = 0 C
a R - M1 = 0
RC
M1 = a R
(1)
M1
A
RA
取杆CD为研究对象。因C点约束方位
B
已定 , 则D点约束反力方位亦可确定，
C
画受力图。
RD = RC = R
M1
A 60o
M2
60o D
Mi = 0
力偶的表示方法
=
=
=
=
5.平面力偶系的合成和平衡条件
已知：M1, M2 ,Mn;
任选一段距离d
M1 d
F1
M2 d
F2
M1 F1d M2 F2d
Mn d
Fn
Mn Fnd
=
=
FR F1 F2 Fn
FR F1 F2 Fn
=
=
=
M FRd F1d F2d Fnd M1 M2 Mn
n
M Mi Mi
i 1
平面力偶系平衡的充要条件 M = 0，有如下平衡方程
Mi 0
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力 偶矩的代数和等于零.
思考题1
刚体上A、B、C、D四点组成一个平行四边形，如在其 四个顶点作用有四个力，此四力沿四个边恰好组成封闭 的力多边形，如图所示。此刚体是否平衡？
F1 F2
y FR′
O
j
MO
Oi
x
Fn F1 F1 F2 F2
Fn Fn
y
F1′ M1
B C
M1
A 60o
M2
60o D B
Mi = 0 C
a R - M1 = 0
RC
M1 = a R
(1)
M1
A
RA
取杆CD为研究对象。因C点约束方位
B
已定 , 则D点约束反力方位亦可确定，
C
画受力图。
RD = RC = R
M1
A 60o
M2
60o D
Mi = 0
力偶的表示方法
=
=
=
=
5.平面力偶系的合成和平衡条件
已知：M1, M2 ,Mn;
任选一段距离d
M1 d
F1
M2 d
F2
M1 F1d M2 F2d
Mn d
Fn
Mn Fnd
=
=
FR F1 F2 Fn
FR F1 F2 Fn
=
=
=
M FRd F1d F2d Fnd M1 M2 Mn
n
M Mi Mi
i 1
平面力偶系平衡的充要条件 M = 0，有如下平衡方程
Mi 0
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力 偶矩的代数和等于零.
思考题1
刚体上A、B、C、D四点组成一个平行四边形，如在其 四个顶点作用有四个力，此四力沿四个边恰好组成封闭 的力多边形，如图所示。此刚体是否平衡？
F1 F2
y FR′
O
j
MO
Oi
x
Fn F1 F1 F2 F2
Fn Fn
y
F1′ M1
理论物理第二章平面力系
平面汇交力系和平行力系
平面力系可分为平面汇交力系和平行 力系。
平面力系的合成
力的平行四边形法则
两个力合成时，以表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，合力 方向沿两力夹角的对角线，因为两个力的合力方向只有一个。
力的三角形法则
求三个共点力的合力时，可将这三个力边画出来首尾顺次连接，合 力方向沿其多边形的封闭边。
定滑行。
平面力系在工程中的应用
桥梁设计
桥梁的支撑结构受到的力可以视为平面力系，通过合理设 计桥梁的结构和材料，可以确保桥梁的稳定性和安全性。
建筑结构
建筑物的支撑结构受到的力可以视为平面力系，通过合理 设计建筑物的结构和材料，可以确保建筑物的稳定性和安 全性。
机械设计
机械设备中的各种机构受到的力可以视为平面力系，通过 合理设计机械设备的机构和材料，可以确保机械设备的稳 定性和安全性。
02
平面力矩与平面力矩的平衡
平面力矩的概念
01
02
03
平面力矩
是力和力臂的乘积，表示 力对物体转动效果的量度。
力臂
是力和转动轴之间的垂直 距离。
转动效果
描述力使物体绕某点转动 的程度。
平面力矩的计算
力臂计算
根据力的作用点和转动轴 的位置，计算力臂的大小。
力矩计算
根据力和力臂的大小，计 算平面力矩。
03
平面力系的向心力和离心力
向心力的概念和计算
向心力
物体做圆周运动时，受到指向圆 心的合力，这个力就是向心力。
向心力的计算
向心力的大小等于物体质量与速 度平方和圆半径的乘积，即 F=mv^2/r。
离心力与向心力的关系
离心现象
当物体受到的向心力小于物体需要的向心力时，物体将做离心运 动。
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水平线成60°角，不计杆的重量， 已知F=60N,求A,C两点的约束力。
A
F B
D
项目二
简易压榨机如图 示，求水平压榨力
A
C
D
31
项目三
已知：P, a , 求：A、B两点的支座反力？
32
项目一
边长为a的直角弯杆
ABC的A段与固定铰链支座联接，
C段与杆CD用销钉联接，而CD与
水平线成60°角，不计杆的重量， 已知F=60N,求A,C两点的约束力。
§1-4 平面力偶系
一、力对点的矩 平面内力F对刚体产生绕O的转动效 应的度量-力对点之矩
记作
M O ( F ) F d
+
说明：① M O ( F )是代数量。
力臂
-
② F↑,d↑转动效应明显。
M O ( F ) =0。 当F=0或d=0时，
矩心
Mo（F）
③ M O ( F )是影响转动的独立因素。 ④单位Nm，工程单位kgm。 ⑤ M O ( F ) =2⊿AOB=Fd ,2倍⊿形面积。
④解方程求出未知数
七、注意问题
④ 灵活使用合力矩定理。
力偶在坐标轴上投影不存在； 力偶矩M =常数，它与坐标轴与取矩点的选择无关。
39
40
（因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和） 固定端（插入端）约束 在工程中常见的
雨搭
车刀
26
固定端（插入端）约束
说明
①认为Fi这群力在同一
平面内;
② 将Fi向A点简化得一 力和一力偶;
③RA方向不定可用正交
分力YA, XA表示; ④ YA, XA, MA为固定端 约束反力; ⑤ YA, XA限制物体平动,
3
力在平面坐标轴上的投影
X=Fx=F· cos ： Y=Fy=F· sin=F · cos
F Fx Fy
X Fx cos F F
2
2
Y Fy cos F F
4
（二）合力投影定理
由图可看出，各分力在x轴和在y 轴投影的和分别为：
即：
Rx X 1 X 2 X 4 X
又∵
14
[例] 已知：如图 F、Q、l, 求：mO ( F ) 和 mo (Q ) 解：①用力对点的矩法
l mO ( F ) F d F sin
mo (Q ) Ql
②应用合力矩定理
mO ( F ) Fx l Fy l ctg
mo (Q ) Ql
15
四、力偶
平面汇交力系的平衡方程
mA ( F ) 0 成为恒等式
A B 连线不平行于力线
X 0 0
38
Y
平面力偶系的平衡方程
mi 0
六、解题步骤与技巧 解题步骤 解题技巧
投影轴； ① 选研究对象 ① 选坐标轴最好是未知力 ② 画受力图（受力分析） ② 取矩点最好选在未知力的交叉点上； ③ 选坐标、取矩点、列 ③ 充分发挥二力杆的直观性； 平衡方程。
R' ( X ) 2 ( Y ) 2 0
M O mO ( Fi ) 0
29
一般力系的平衡方程
①一矩式
一般形式
X
0 Y 0
mO ( Fi ) 0
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
30
项目一
边长为a的直角弯杆
C B
60°
ABC的A段与固定铰链支座联接，
C段与杆CD用销钉联接，而CD与
3.6
7
（三）汇交力系平衡条件的解析法
FR
F F F
2 2 x y z
2
合力FR为0，必定有根式中的三项同时为0
F
F
x
y
0
0
空间汇交力系 的平衡方程
平面汇交力 系的平衡方 程
8
平面汇交力系有
F
x
0
F
y
0
[例] 已知 P=2kN, 求SCD ,RA 解：①研究AB杆
为该力系的汇交点
F3
O 30° F2 F1
[例] 固定在墙内的螺钉上作用有三
个力，如图示，大小分别为F1=3kN,
F2=4kN, F3=5kN, 求三力的合力.
F1x 0, F1y 3kN F2 x 4kN, F2 y 0
F3 x 5cos 30 4.33kN, F3 y 5sin 30 2.5kN
力对物体可以产生 移动效应--取决于力的大小、方向 转动效应--取决于力矩的大小、方向
作用在汽车方向盘和电机转子上的两个力
16
力偶—作用在刚体上的大小相等、方向相反且不共线的力 组成的力系称为力偶
F d F’
力所在的平面—力偶作用面
二力作用线之间的距离—力偶臂
力偶对物体的转动效应用力偶矩度量。 它等于力偶中的力的大小与两个力之间的距离（力偶臂）的 乘积，记为 ，简记为
② 合力偶（主矩） R ' 0,M O 0;
③ 平衡
R ' 0,M O 0;
mO ( R ) mO ( Fi )
i 1
37
n
合力矩定理
平面一般力系的平衡方程 三、 平面平行力系的平衡方程 X 0 成为恒等式 一矩式 二矩式 Y 0 m A ( F ) 0
m A ( F ) 0 m B ( F ) 0
B
C
60°
D
解:
Fx 0, F FA sin 45 FC cos 60 0 Fy 0, FA cos 45 FC sin 60 0
A
y
x
代入已知量求解得
FC 43.92N, FA 53.79N
33
项目二
解：
简易压榨机如图 示，求水平压榨力
A
F B
先选取销钉B作为研究对 象，画受力图；再选定 坐标系Bxy, 列平衡方程
②画出受力图
③列平衡方程
X 0 Y 0
RAcos SCD cos450 0 P RA sin SCD sin450 0
由EB=BC=0.4m，
④解平衡方程
EB 0.4 1 t g AB 1.2 3 解得： 0 P cos 45 SCD 4.24 kN ； R A SCD 3.16 kN 0 0 sin 45 cos45 tg cos 9
由 mA ( Fi ) 0
P2a N B 3a 0, N B
X 0 Y 0
XA 0
2P 3
YB N B P 0,
Y A
P 3
36
本章小结：
一、力线平移定理是力系简化的理论基础
力 力+力偶
二、平面一般力系的合成结果
① 合力（主矢） R ' 0,M O 0;或R ' 0,M O 0;
M F , F '
17
力偶矩是代数量。取逆时针转向为正，反之为负。
M F d
力偶对点的矩
M O F M O F ' ... Fd
力偶对任一点之矩等于力偶矩而与矩心位置无关。 · 综上所述，力偶对物体的作用效应，决定于 （1）力偶矩大小； （2）力偶在其作用面（称力偶作用面）内的转向。
18
平面力偶系的平衡条件
平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的和等于零。
即
M
i 1
n
i
0
讨
论
怎样确定B、C二处的约束力
19
[例]
在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直
径的孔,每个钻头的力偶矩为 m1 m2 m3 m4 15Nm 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力? 解: 各力偶的合力偶距为
F
对新作用点B的矩。
[证 ] 力 F
力系 F , F , F
力F 力偶（F，F ）
22
F
B d A
F’
B
F
d
A
F”
F=F’=F”
F’
M
B d
F
A
M=MB(F)
M=Fd
F”
23
§3-2 平面一般力系向一点简化
F1 A1 O A2 F2 An F1
’ A1 F1 M1 MO An 2 M
Fn F2
F2’
A2
n
Fn’
Fn
O
Mo
FR
24
一般力系（任意力系）向一点简化汇交力系+力偶系 （未知力系） （已知力系） 汇交力系 力 ， R'(主矢) ，(作用在简化中心) 力 偶 系 力偶 ，MO (主矩) ， (作用在该平面上)
25
大小： M O mO ( Fi )
主矩MO （转动效应） 方向： 方向规定 + — 简化中心： (与简化中心有关)
MA为限制转动。
27
二、
平面一般力系的平衡条件与平衡方程
平面一般力系简化的结果
一 般力系
汇交力系
合 力 FR=Fi
力 偶 系
合 力 偶 MO= MO ( Fi )
28
R ' 0 为力平衡条件 由于 M o 0 为力偶平衡条件
所以平面任意力系平衡的充要条件为： 力系的主矢 R '和主矩 MO 都等于零，即：
20
§1-5
平面任意力系
平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点
又不相互平行的力系叫平面任意力系。
[例]
力系向一点简化：把未知力系（平面任意力系）变成已知 力系（平面汇交力系和平面力偶系）
A
F B
D
项目二
简易压榨机如图 示，求水平压榨力
A
C
D
31
项目三
已知：P, a , 求：A、B两点的支座反力？
32
项目一
边长为a的直角弯杆
ABC的A段与固定铰链支座联接，
C段与杆CD用销钉联接，而CD与
水平线成60°角，不计杆的重量， 已知F=60N,求A,C两点的约束力。
§1-4 平面力偶系
一、力对点的矩 平面内力F对刚体产生绕O的转动效 应的度量-力对点之矩
记作
M O ( F ) F d
+
说明：① M O ( F )是代数量。
力臂
-
② F↑,d↑转动效应明显。
M O ( F ) =0。 当F=0或d=0时，
矩心
Mo（F）
③ M O ( F )是影响转动的独立因素。 ④单位Nm，工程单位kgm。 ⑤ M O ( F ) =2⊿AOB=Fd ,2倍⊿形面积。
④解方程求出未知数
七、注意问题
④ 灵活使用合力矩定理。
力偶在坐标轴上投影不存在； 力偶矩M =常数，它与坐标轴与取矩点的选择无关。
39
40
（因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和） 固定端（插入端）约束 在工程中常见的
雨搭
车刀
26
固定端（插入端）约束
说明
①认为Fi这群力在同一
平面内;
② 将Fi向A点简化得一 力和一力偶;
③RA方向不定可用正交
分力YA, XA表示; ④ YA, XA, MA为固定端 约束反力; ⑤ YA, XA限制物体平动,
3
力在平面坐标轴上的投影
X=Fx=F· cos ： Y=Fy=F· sin=F · cos
F Fx Fy
X Fx cos F F
2
2
Y Fy cos F F
4
（二）合力投影定理
由图可看出，各分力在x轴和在y 轴投影的和分别为：
即：
Rx X 1 X 2 X 4 X
又∵
14
[例] 已知：如图 F、Q、l, 求：mO ( F ) 和 mo (Q ) 解：①用力对点的矩法
l mO ( F ) F d F sin
mo (Q ) Ql
②应用合力矩定理
mO ( F ) Fx l Fy l ctg
mo (Q ) Ql
15
四、力偶
平面汇交力系的平衡方程
mA ( F ) 0 成为恒等式
A B 连线不平行于力线
X 0 0
38
Y
平面力偶系的平衡方程
mi 0
六、解题步骤与技巧 解题步骤 解题技巧
投影轴； ① 选研究对象 ① 选坐标轴最好是未知力 ② 画受力图（受力分析） ② 取矩点最好选在未知力的交叉点上； ③ 选坐标、取矩点、列 ③ 充分发挥二力杆的直观性； 平衡方程。
R' ( X ) 2 ( Y ) 2 0
M O mO ( Fi ) 0
29
一般力系的平衡方程
①一矩式
一般形式
X
0 Y 0
mO ( Fi ) 0
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
30
项目一
边长为a的直角弯杆
C B
60°
ABC的A段与固定铰链支座联接，
C段与杆CD用销钉联接，而CD与
3.6
7
（三）汇交力系平衡条件的解析法
FR
F F F
2 2 x y z
2
合力FR为0，必定有根式中的三项同时为0
F
F
x
y
0
0
空间汇交力系 的平衡方程
平面汇交力 系的平衡方 程
8
平面汇交力系有
F
x
0
F
y
0
[例] 已知 P=2kN, 求SCD ,RA 解：①研究AB杆
为该力系的汇交点
F3
O 30° F2 F1
[例] 固定在墙内的螺钉上作用有三
个力，如图示，大小分别为F1=3kN,
F2=4kN, F3=5kN, 求三力的合力.
F1x 0, F1y 3kN F2 x 4kN, F2 y 0
F3 x 5cos 30 4.33kN, F3 y 5sin 30 2.5kN
力对物体可以产生 移动效应--取决于力的大小、方向 转动效应--取决于力矩的大小、方向
作用在汽车方向盘和电机转子上的两个力
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力偶—作用在刚体上的大小相等、方向相反且不共线的力 组成的力系称为力偶
F d F’
力所在的平面—力偶作用面
二力作用线之间的距离—力偶臂
力偶对物体的转动效应用力偶矩度量。 它等于力偶中的力的大小与两个力之间的距离（力偶臂）的 乘积，记为 ，简记为
② 合力偶（主矩） R ' 0,M O 0;
③ 平衡
R ' 0,M O 0;
mO ( R ) mO ( Fi )
i 1
37
n
合力矩定理
平面一般力系的平衡方程 三、 平面平行力系的平衡方程 X 0 成为恒等式 一矩式 二矩式 Y 0 m A ( F ) 0
m A ( F ) 0 m B ( F ) 0
B
C
60°
D
解:
Fx 0, F FA sin 45 FC cos 60 0 Fy 0, FA cos 45 FC sin 60 0
A
y
x
代入已知量求解得
FC 43.92N, FA 53.79N
33
项目二
解：
简易压榨机如图 示，求水平压榨力
A
F B
先选取销钉B作为研究对 象，画受力图；再选定 坐标系Bxy, 列平衡方程
②画出受力图
③列平衡方程
X 0 Y 0
RAcos SCD cos450 0 P RA sin SCD sin450 0
由EB=BC=0.4m，
④解平衡方程
EB 0.4 1 t g AB 1.2 3 解得： 0 P cos 45 SCD 4.24 kN ； R A SCD 3.16 kN 0 0 sin 45 cos45 tg cos 9
由 mA ( Fi ) 0
P2a N B 3a 0, N B
X 0 Y 0
XA 0
2P 3
YB N B P 0,
Y A
P 3
36
本章小结：
一、力线平移定理是力系简化的理论基础
力 力+力偶
二、平面一般力系的合成结果
① 合力（主矢） R ' 0,M O 0;或R ' 0,M O 0;
M F , F '
17
力偶矩是代数量。取逆时针转向为正，反之为负。
M F d
力偶对点的矩
M O F M O F ' ... Fd
力偶对任一点之矩等于力偶矩而与矩心位置无关。 · 综上所述，力偶对物体的作用效应，决定于 （1）力偶矩大小； （2）力偶在其作用面（称力偶作用面）内的转向。
18
平面力偶系的平衡条件
平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的和等于零。
即
M
i 1
n
i
0
讨
论
怎样确定B、C二处的约束力
19
[例]
在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直
径的孔,每个钻头的力偶矩为 m1 m2 m3 m4 15Nm 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力? 解: 各力偶的合力偶距为
F
对新作用点B的矩。
[证 ] 力 F
力系 F , F , F
力F 力偶（F，F ）
22
F
B d A
F’
B
F
d
A
F”
F=F’=F”
F’
M
B d
F
A
M=MB(F)
M=Fd
F”
23
§3-2 平面一般力系向一点简化
F1 A1 O A2 F2 An F1
’ A1 F1 M1 MO An 2 M
Fn F2
F2’
A2
n
Fn’
Fn
O
Mo
FR
24
一般力系（任意力系）向一点简化汇交力系+力偶系 （未知力系） （已知力系） 汇交力系 力 ， R'(主矢) ，(作用在简化中心) 力 偶 系 力偶 ，MO (主矩) ， (作用在该平面上)
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大小： M O mO ( Fi )
主矩MO （转动效应） 方向： 方向规定 + — 简化中心： (与简化中心有关)
MA为限制转动。
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二、
平面一般力系的平衡条件与平衡方程
平面一般力系简化的结果
一 般力系
汇交力系
合 力 FR=Fi
力 偶 系
合 力 偶 MO= MO ( Fi )
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R ' 0 为力平衡条件 由于 M o 0 为力偶平衡条件
所以平面任意力系平衡的充要条件为： 力系的主矢 R '和主矩 MO 都等于零，即：
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§1-5
平面任意力系
平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点
又不相互平行的力系叫平面任意力系。
[例]
力系向一点简化：把未知力系（平面任意力系）变成已知 力系（平面汇交力系和平面力偶系）