泰安第一中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学试题及答案(理)

山东省泰安第一中学2014-2015学年高二下学期期中考试（理）第I 卷（共50分）一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中只有一个是符合要求的）。

1.若复数(a 2-3a +2)+(a-2)i 是纯虚数，则实数a 的值为 （ ） A.1B.2C.1或2D.-12.用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A ．243 B ．252 C ．261 D ．2793．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确4.设'()f x 是函数()f x 的导函数，将()y f x =和'()y f x =的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是 （ ）A B C D5. 证明),(21214131211+∈>-+++++N n nn 假设n=k 时成立，当n=k+1时，左端增加的项数是 ( ) A.1项 B.1-k 项 C. k 项 D.k 2项 6.下列命题中①复数a ＋bi 与c ＋di 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d ②任何复数都不能比较大小 ③若z 1＝z 2，则z 1＝z 2 ④若|z 1|＝|z 2|，则z 1＝z 2或z 1＝z 2。

错误的命题的个数是（ ）A 1B 2C 3D 47.函数()ln f x x x =的大致图像为（ ）8. 下列计算错误的是( )A ．⎰-=ππsin xdxB ．321=⎰dx x C ．⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdxxdxD ．⎰-=ππ0sin 2xdx9. 已知函数1()ln 1f x x x=+-，且0()0f x =,若00(1,),(,)a x b x ∈∈+∞，则 A ．()0,()0f a f b << B ．()0,()0f a f b >>C ．()0,()0f a f b ><D ．()0,()0f a f b <>10. 观察下列的规律：112,,121,123,,321,1234,,,4321………则第93个是A ．18 B ．213 C ．87 D ．114第Ⅱ卷（共100分）二．填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．设函数θθθtan 2cos 33sin )(23++=x x x f ，其中]125,0[πθ∈，则导数)1(/f 的取值范围是 。

12.已知在等差数列}{n a 中，30103021201211a a a a a a ++=+++，则在等比数列}{n b 中，类似的结论为13. 定义运算a b ad bc c d=-，若复数23ix i -=+ ，431i xi y i x i-=++,则y= . 14.已知函数)(x f 在R 上满足88)2(2)(2-+--=x x x f x f ，则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程是15．设i a R +∈，i x R +∈，12,,i n =，且222121n a a a ++=，222121n x x x ++=，则1212,,,nna a a x x x 的值中，现给出以下结论，其中你认为正确的是 ． ①都大于1 ②都小于1 ③至少有一个不大于1 ④至多有一个不小于1 ⑤至少有一个不小于1。

三．解答题（共75分） 16．(12分)计算： （1）求x e xx x y -+-=2cos 2sin 的导数。

（2）=-⎰13-24dx x17.（12分）已知z 是复数，z ＋2i 、z 2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．18. 在平面内，可以用面积法证明下面的结论：从三角形内部任意一点，向各边引垂线，其长度分别为p a ，p b ，p c ，且相应各边上的高分别为h a ，h b ，h c ，则有p a h a ＋p b h b ＋p c h c＝1.请你运用类比的方法将此结论推广到四面体中并证明你的结论． 19．（12分）已知函数x x x x f 101162-++=)ln()(． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点，求b 的取值范围．20.（13分）已知函数2()(2ln ),(0)f x x a x a x =-+->。

（1）讨论()f x 的单调性.（2）若)(x f 在区间（1，2）上单调递减，求实数a 的取值范围。

21．（14分）在数列{}{}n n b a ,中，,21=a 41=b 且1,,+n n n a b a 成等差数列，11,,++n n n b a b 成等比数列()*N n ∈．(1)求432,,a a a 及432,,b b b ，由此猜测{}{}n n b a ,的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论；(2)证明： 1251112211<++++++n n b a b a b a答案一．选择题: ABCDD CADDB二．填空题: 11.]2,2[ 12.303032110201211b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ 13.5-14.12-=x y 15.③⑤ 三．解答题：16．(12分)计算：（1）求x e xx x y -+-=2cos 2sin 的导数。

（2）=-⎰13-24dx x（1） 解：11sin cos22x x y x x e y x e --'=-+∴=-- (2) 解：原式=212232(4)(4)x dx x dx ----+-⎰⎰=34/317. 已知z 是复数，z ＋2i 、z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围． 解 设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.∵z 2－i＝x －2i 2－i＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ，由题意得x ＝4.∴z ＝4－2i. ∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎨⎧12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0，得2<a <6，∴实数a 的取值范围是(2,6)．18. 在平面内，可以用面积法证明下面的结论：从三角形内部任意一点，向各边引垂线，其长度分别为p a ，p b ，p c ，且相应各边上的高分别为h a ，h b ，h c ，则有p a h a ＋p b h b ＋p ch c＝1.请你运用类比的方法将此结论推广到四面体中并证明你的结论． 解类比：从四面体内部任意一点向各面引垂线，其长度分别为p a ，p b ，p c ，p d ，且相应各面上的高分别为h a ，h b ，h c ，h d .则有p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p d h d＝1. 证明如下：p a h a ＝13S △BCD ·p a13S △BCD ·h a ＝V P —BCD V A —BCD， 同理有p b h b ＝V P —CDA V B —CDA ，p c h c ＝V P —BDA V C —BDA ，p d h d ＝V P —ABCV D —ABC，V P —BCD ＋V P —CDA ＋V P —BDA ＋V P —ABC ＝V A —BCD ， ∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p d h d＝V P —BCD ＋V P —CDA ＋V P —BDA ＋V P —ABC V A —BCD＝1.19．（12分）已知函数x x x x f 101162-++=)ln()(． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点，求b 的取值范围．19．（1）2()16ln(1)10f x x x x =++-，(1,)x ∈-+∞ 2162862(1)(3)'()210111x x x x f x x xx x -+--=+-==+++令'()0f x =，得1x =，3x =．'()f x 和()f x 随x()f x 的增区间是(1,1)-(3,)+∞(1,3)（2）由（1）知，()f x 在(1,1)-上单调递增，在(3,)+∞上单调递增，在(1,3)上单调递减．∴()(1)16ln 29f x f ==-极大，()(3)32ln 221f x f ==-极小．又1x +→-时，()f x →-∞； x →+∞时，()f x →+∞；可据此画出函数()y f x =的草图（图略），由图可知， 当直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点时，b 的取值范围为(32ln 221,16ln 29)--20. （13分）已知函数2()(2ln ),(0)f x x a x a x =-+->。

（1）讨论()f x 的单调性.（2）若)(x f 在区间（1，2）上单调递减，求实数a 的取值范围。

20.解：（1）()f x 的定义域是(0,+∞),22222()1.a x ax f x x x x-+'=+-= 设2()2g x x ax =-+,二次方程()0g x =的判别式28a ∆=-.① 当280a ∆=-<，即0a <<0x >都有()0f x '>,此时()f x 在(0,)+∞上是增函数。

② 当280a ∆=-=,即a =x =()0f x '=,对其余的0x >都有()0f x '>,此时()f x 在(0,)+∞上也是增函数。

③ 当280a ∆=->，即a >方程()0g x =有两个不同的实根1x =2x =,由()0f x '>，得，)+∞由0<')(x f得(22a a此时()f x在上单调递增,在是上单调递减,在()2a +∞上单调递增. （2）解：22222()1.a x ax f x x x x -+'=+-=依题意0)(≤'x f （等零的点是孤立的）即022≤+-ax x 在（1，2）上恒成立令2)(2+-=ax x x g 。

则有⎩⎨⎧≤≤0201)()(g g 解得3a ≥满足题意的实数a 的取值范围为[3,+∞）.21．（14分）在数列{}{}n n b a ,中，,21=a 41=b 且1,,+n n n a b a 成等差数列，11,,++n n n b a b 成等比数列()*N n ∈．(1)求432,,a a a 及432,,b b b ，由此猜测{}{}n n b a ,的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论；(2)证明： 1251112211<++++++n n b a b a b a21．（1）12++=n n n a a b ，121++=n n n b b a 得,9,622==b a 123=a ，163=b ，204=a ，254=b ，于是猜测)1(+=n n a n ，2)1(+=n b n 下面用数学归纳法证明①当1=n 时，结论显然成立②假设k n =时，结论成立。