概率论(仅供参考)

前言由于汤老师不给力，下面由刘老师来为你们划重点 内部使用，仅供参考，不承当任何后果。

参考： 课本 课件第一章该章概型和公式比较多，每个都配上了一个例题便于理解第一节重点：德·摩根律公式交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA 结合律(A ∪B)∪C=A ∪(B ∪C ）（A∩B)∩C=A∩(B∩C ）分配律：A∩(B ∪C) = (A∩B)∪( A∩C )A ∪(B∩C) = (A ∪B)∩(A ∪C ） 德·摩根律A B AB A B A B ==第二节频率性质1. 样本任意一事件概率不小于0（非负性）2. 样本事件概率和为1（规范性）3. 如果AB 互斥 ()()()n n n f A B f A f B =+4. 如果AB 不排斥 ()()()()n n n n f A B f A f B f A B =+-⋂5. ()1().P A P A =-第三节 古典概型性质1. 样本空间中样本点有限，既事件有限2. 样本点概率等可能发生3. ()==k A P A n 中所含的基本事件数基本事件总数例题排列组合问题（要是考应该不会太难）几何概型求法：1.求出状态方程2.根据定义域画图3.求概率=阴影面积/总面积第四节条件概型公式：()()()() (|).()()()()AB AB P AB P A BB B P BμμμΩμμμΩ===条件概率满足概率的一切性质既非法性，规范性，可加性例题11()()()()n ni i i i i P B P BA P A P B A ====∑∑例题 书 p251()(|)(|)()(|)i i i ni ii P A P B A P A B P A P B A ==∑第五节独立性如果AB事件独立P AB P A P B()()()若多事件相互独立，理论仍然成立贝努利概型既服从二项分布模型抽取n次的组合次数第二章重点章节，几大分布都是后几章的基础第二节 离散型随机变量及其分布律1. 两点分布、0﹣1分布既随机变量 X 只可能取0或1两个值，事件执行一次只有两种情况，例如抛硬币 记为 X~b （1，p ） p 表示事件的概率，样本点个数为1, 并且1-p 表示相反事件概率 2. 二项分布（应用于上章的贝努利概型）与0-1分布类似，事件执行n 次，记为 X~b （n ，p ） p 表示事件的概率 样本点个数为n 3. 泊松分布{}e ,0,1,2,,!kP X k k k λλ-===⋅⋅⋅记为 X~π(λ)，如果出题，应该会标明是泊松分布，或者给出明确的λ二项分布X~b （n ，p ）当n 充分大，p 充分小时，对于任意固定的非负整数k ，与泊松分布概率近视相等，并且λ=nb （数学期望相等） 4. 几何分布既抽取问题中可放回情况，该分布具有无记忆性-1{}(1),1,2,k P X k p p k ==-=5. 超几何分布既抽取问题不放回情况12{},0,1,2,k n k N N nNC C P X k k C-===第三节 随机变量及其分布随机变量分布（感觉这个知识点必考，虽然不知道会是什么题） 求事件概率公式，p511. 已知分布函数求分布律，并求事件概率（习题2第一题）根据公式000{}(0)(0)P X x F x F x ==+--求出各个点的概率，并画出分布表，求事件概率可以不会套公式，可以直接看表。

2. 已知分布律求发布函数（p52，例题）第四节 连续型随机变量及其概率密度连续型分布函数几何意义：为连续型概率密度函数的面积 所以两者转化与积分有关 题型：1. 已知概率密度函数，求常数c （p55 例题）根据公式()()d 1F x f t t +∞-∞==⎰2. 分布函数求密度函数（习题2 8题）对分布函数求导3. 已知密度函数求分布函数()()d xF x f t tx -∞=-∞<<+∞⎰均匀分布密度函数 1,,()0,,a x b f x b a ⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其他记为 X~U （a ，b ）分布函数0,,(),,1,.x a x a F x a x b b ax b <⎧⎪-⎪=≤<⎨-⎪≥⎪⎩指数分布密度函数： .e , 0,()0,x x f x λλ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他记为 X~E (λ)分布函数.1e , 0,()0,x x F x λ-⎧->⎪=⎨⎪⎩其他经常用来描述寿命问题正态分布（必考）（高斯分布）密度函数：22()2()e,,2xf x xμσπσ--=-∞<<∞记为X~N (μ, σ2).正态分布密度函数性质书上p60也了解根据公式：()xF xμσ-⎛⎫=Φ ⎪⎝⎭可进行查表来求分布律根据事件概率公式可求：例如()()()P a X b F b F ab aμμσσ<<=---⎛⎫⎛⎫=Φ-Φ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭正态分布可以看出许多分布的近似分布第五节随机变量函数的分布1.离散型2. 连续型公式: ()|()|(())X Y f y h y f h y '=⋅（p67 例题）例如：已知密度函数f x （x ），求Y=X+1的密度函数1. 求Y=X+1 的反函数：h （y ）=Y-12. 套用公式()|()|(())X Y f y h y f h y '=⋅3. |()|h y '的正负于Y=X+1单调性有关，严格单调递增为+，严格单调递减为-第三章 多维随机变量及其分布第一节 二维随机变量二维变量的联合发布函数(,){,}F x y P X x Y y =≤≤性质：对于固定的x ，y(,)lim (,)0x F y F x y →-∞-∞==(,)lim (,)0y F x F x y →-∞-∞==(,)lim (,)0x y F F x y →-∞→-∞-∞-∞==(,)lim (,) 1.x y F F x y →+∞→+∞+∞+∞==公式：221221111212()()()()(,,)0,,,P x X x F x y F x y F x y F y Y y x x --+=<≤<≤≥二维离散型随机变量可以根据其分布规律，用表格表示二维连续型随机变量(,)(,)xyF x y f u v dvdu -∞-∞=⎰⎰性质： (1)(,)0;f x y ≥(2)(,)d d 1;f x y x y +∞+∞-∞-∞=⎰⎰该性质用于求函数2(,)(3)(,);F x y f x y x y∂=∂∂(4){(,)}(,)d d .GP X Y G f x y x y ∈=⎰⎰ （G 为平面的一区域）二维均匀分布1(,)(,)0x y GAf x y ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其他区域公式：()1{(,))(,)D D S D P X Y D f x y dxdy dxdy A A∈===⎰⎰⎰⎰既把x或者y边缘化二维离散型随机变量的函数的分布书p84 例题二维连续型随机变量的函数分布P89 例题离散型随机变量的条件分布律{,}{|},1,2,{}i j ij i j j jP X x Y y p P X x Y y i P Y y p========既 联合分布律的固定样本点/边缘分布的固定样本点 P90 例题连续型随机变量的条件分布密度 求法;1. 求出X ，Y 的边缘密度函数2. 根据条件分布公式，求出条件密度函数3. 求分布密度 P92页例题第四节 相互独立的随机分布若 X , Y 相互独立，由定义知(,)()(),,X Y F x y F x F y x y R =∀∈，既边缘分布之积求法：书p95例题第五节 两个随机变量函数的分布离散型二维随机变量的函数分布 求法：1. 列表2. 对应概率值合并 P97页例题连续型二维随机变量的函数分布 没懂 P99第四章 随机变量的数组特征第一节 数学期望（必考）既 样本的平均值离散型随机变量的数学期望1k kk EX x p +∞==∑连续型随机变量的数学期望()EX xf x dx +∞-∞=⎰考试真题 样本满足概率密度分布函数f （x ）=cx 3 0<x<11. 求c2. E （x ）解 ： 第一问 ()1f x dx +∞-∞=⎰=1301cx dx =⎰= 1/4 *c = 1解得 c = 4第二问 E （x ）=()xf x dx +∞-∞⎰= 1304x x dx ⎰=4/5随机变量函数的数学期望 例如 E （3x+1）的数学期望 离散型 ：1(31)iii x p∞=+∑连续型：(31)()x f x dx +∞-∞+⎰数学期望性质：.1. EC=0（c 为常数）2. ().E CX C EX =3. ().E X Y EX EY +=+4. ().E XY EX EY =⋅常见数学期望：1. 二项分布X~b （n ，p ） 数学期望为 np2. 几何分布 数学期望为1/p3. 指数分布 X~E (λ) 数学期望为1/λ4. 正太分布X~N (μ, σ2). 数学期望为μ5. 泊松分布X~π(λ) 数学期望为λ第二节 方差对数学期望的偏差值 求法:DX = E (X – EX )2为标准差或者叫均方差常用公式：22()DX EX EX =-真题 样本满足概率密度分布函数f （x ）=4x 3 0<x<13. 求D （x ）解：D （x ）=22()DX EX EX =- =1123320*4(*4)x x dx x x dx -⎰⎰=2/75常用方差 泊松分布 X ~ π() 方差：λ正态分布 X ~ N ( , 2) 方差 2σ均匀分布X~U(a, b) 方差 2()12b a -指数分布 X~E (λ) 方差21.λ二项分布X ~ b( n , p) 方差(1)np p - 方差性质： D(aX+b ) = a 2DX D(c)=0第三节 协方差与关系系数协方差对于二维随机变量（x,y ）,当x ，y 不相互独立时，xy 之间用协方差来描述其中关系()()()2cov(,)D X Y D X D Y X Y +=++协方差公式 ： cov(,)()()X Y E X EX Y EY =--协方差性质：1. cov(,)cov(,)X Y Y X = ()*E XY EX EY =-2. cov(,)cov(,)aX bY ab X Y =3. cov(,)cov(,)cov(,)X Y Z X Z Y Z +=+4.cov(,)X X DX =5. 2cov(,)|X Y DX DY ≤⋅相关系数X，y的相关系数公式：cov(,)()()XYX YD X D Yρ=若其为0表示xy不相关离散型求相关系数：11cov(,)[()][()]i j iji jX Y x E X y E Y p∞∞===--∑∑连续型求相关系数：cov(,)[()][()](,)d dX Y x E X y E Y f x y x y+∞+∞-∞-∞=--⎰⎰P137页例题第四节 矩与协方差矩阵矩： 对于随机变量x(1,2,)k k EX k μ==存在， 称 μk 为 X 的 k 阶原点矩()(2,3,)k k m E X EX k =-=存在, 称 m k 为 X 的 k 阶中心矩下一章要用到第五章 大数定理与中心极限定理第一节 大数定理切比雪夫不等式22{}.P X σμεε-≥≤或者： 22{}1.P X σμεε-<≥-不太懂，记下公式，例题p145大数定理书上一箩筐看不懂的大数定理证明就是说明了一个东西，在n （样本基数）足够大的时候，算术平方根几乎是一个常数，无限趋近于数学期望书上和ppt 上都没例题，基本上不要考第二节 中心极限定理中心极限定理多个独立随机变量满足同一分布，并且具有相同的方差和数学期望，其极限近似与正态分布公式：1111()()nnnkk kk k k n nk k XE X Xn Y n D X μσ====--==∑∑∑∑例题德莫佛-拉普拉斯定理该定理表明, 正态分布是二项分布的极限分布~(,),n b n p η对于充分大的n 近似有 n~(,(1))N np np p -的状态分布 既数学期望和与方差和第六章 样本及抽样分布第一节简单随机抽样（代表性与独立性）若总体的分布密度函数为 f (x) , 则样本的联合密度函数为121(,,,)().nn i i f x x x f x ==∏ （表示累乘）经验分布函数P161 例题第二节 抽样分布这节课逃了，没听，好烦，根本看不懂第七章 参数估计第一节 矩估计参数是刻画总体某方面概率特性的数量. 例如，X ~N ( , 2),若, 2未知, 通过构造样本的函数, 给出它们 的估计值或取值范围就是参数估计的内容点估计，估计未知参数的值 区间估计，范围设总体的 r 阶矩存在，记为 12()(,,,)rr k E X μθθθ=样本 X1, X2,…, Xn 的 r 阶矩为11n rrii A X n ==∑经典例题例题第二节 极大似然估计求法 设P （x ）为概率函数似然函数：11221(,,,)(;)nn n i i P X x X x X x p x θ=====∏对数似然函数：既在其左右加对数 然后令其为0，求极大值 例题：第三节 估计量的评选标准设总体服从任意分布， Ex=μ, Dx= σ2 既得样本平均值：x ， 方差为S 2既x 为μ的无偏估计量，S 2为σ2的无偏估计量根据性质： Ex （平均值）=μ E S 2 =σ2Dx （平均值）=Dx / n第四节 区间估计置信度：1α- 置信区间求法 求出α，根据置信度 查正态分布表求出u /2α计算公式：2200,X u X u n n αα⎛-+ ⎪⎝⎭ 如果0σ 未知，用方差S 来代替，然后查t 表22(1),(1)X t n X t n n n αα⎛--+- ⎪⎝⎭第八章 假设检验看书考点（必考）P111 7题X 0 1 2 3Y12求1.在Y=1的情况下，X的分布律=2的条件下，Y的分布规律P143 21题X -2 -1 1 2Y1 0 04 0 0证明 XY 不相关 也不独立求出边缘分布规律X 边缘分布：X -2 -1 1 2Px求得Ex = -2*+（-1）* + +=0Y 的边缘分布Y 1 4PyEy = +4* =有E （yx ） = + -2 +2 = 0有根据相关系数 cov （x,y ）=E （xy ）-E(x)*E （y ）=0既可以证明，XY 不相关又 111{2,1}0{2}{1}428P X Y P X P =-==≠=-==⨯= 可以怎么XY 不独立P153 3题每袋茶的期望值为100g ，标准差为10g ，一盒有200袋茶，求一盒茶重的概率以i X (i =1,2,…,200)表示一袋茶叶的净重, 由已知100i EX =,210i DX =.记X 为一盒茶叶的净重, 则2001i i X X ==∑,因各袋茶叶的净重可以认为相互独立, 即随机变量i X (i =1,2, (200)相互独立, 从而有200120010020000i i EX EX ===⨯=∑,200120010020000i i DX DX ===⨯=∑,由独立同分布中心极限定理知,X 近似服从正态分布(20000,20000)N , 由此知{}{}2050012050011(3.536)10.99980.0002P X P X >=-≤≈-Φ=-Φ=-=.P171 2题 给出一组样本，求平均值，和方差平均值 ：全部相加/样本个数方差： （所有的（（样本个体-平均值）的平方））/样本个数P208 2题一批零件抽取8个 长度如下服从正态分布，求平均值和方差的矩估计值，然后求其小于的概率 由矩法估计知：X =μˆ，∑=-==n i i n X X n S 1222)(1ˆσ . 从而μ和2σ的矩估计值分别是： 1ˆ(53.00153.00353.00153.00553.00052.99853.00253.006)8x μ==+++++++ 53.002=2222222111ˆ()[(0.001)0.001(0.001)0.003(0.002)88i i x x σ∞==-=-++-++-∑ 222(0.004)00.004]+-++=由此知零件长度X 服从的分布为：)000006.0,002.53(N . 故5300408207939Ρ{X .}Φ)Φ(.).>===.P214 例题每袋大米标准重量为100kg ，重量服从正态分布，标准差为，随机取9袋大米为问大米机是否正常解： 首先标准差已经知道，并且由题可知，服从标准重量，大米机就工作正常 所以，提出两个对立的假设H 0： u=u 0 H 1： u ！=u 0根据公式 x u =解出 |u| = >(查表得到)，既拒绝H 0，大米机工作不正常P237 2题正常人脉搏72/min ，铅中毒的患者中有10个人脉搏如下54 67 68 78 70 66 67 70 65 69为正态分布，在a=下，铅中毒与正常患者的脉搏有没有显著的区别本题是在未知方差2σ的条件下，检验总体均值μ=72, 取检验统计量为X T=检验假设可设为00:72H μμ==, 1:72H μ≠.在0H 为真时, 检验统计量~(1)T t n -, 由已知数据计算可得：67.4x =, 5.93s =, 代入检验统计量, 得统计量的观测值为4.6 2.451.88x t -====-, 又0.05σ=, 查t -分布表得0.025(9) 2.262t =, 由此知0.0252.447 2.262(9)t t =>=.故拒绝0H ，即铅中毒者与正常人的脉搏有显著差异.设x~B （50，p ），平均数=30，求p 的矩估计p1（填空题）该分布满足二项分布，E （x ）=np=50*p有因为E （x ）的矩估计值我为30从而p 的矩估计值为 p=30/50 = 3/5样本满足概率密度分布函数f （x ）=cx 3 0<x<11. 求c2. E （x ）3. D （x ）解 ：１．根据概率密度函数定义()1f x dx +∞-∞=⎰1301cx dx =⎰ = 1/4 *c = 1 ｃ＝４ ２．E （x ）＝1404x dx ⎰=1404x dx ⎰=4/5 3 . D （x ） = E （x 2）-E （x ）2=11233200*4(*4)x x dx x x dx -⎰⎰= 2/75参考文献：。