概率论(仅供参考)

前言
由于汤老师不给力，下面由刘老师来为你们划重点 内部使用，仅供参考，不承当任何后果。

参考： 课本 课件
第一章
该章概型和公式比较多，每个都配上了一个例题便于理解
第一节
重点：德·摩根律公式
交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA 结合律(A ∪B)∪C=A ∪(B ∪C ）
（A∩B)∩C=A∩(B∩C ）
分配律：A∩(B ∪C) = (A∩B)∪( A∩C )
A ∪(B∩C) = (A ∪B)∩(A ∪C ） 德·摩根律
A B A
B A B A B ==
第二节
频率性质
1. 样本任意一事件概率不小于0（非负性）
2. 样本事件概率和为1（规范性）
3. 如果AB 互斥 ()()()n n n f A B f A f B =+
4. 如果AB 不排斥 ()()()()n n n n f A B f A f B f A B =+-⋂
5. ()1().P A P A =-
第三节 古典概型
性质
1. 样本空间中样本点有限，既事件有限
2. 样本点概率等可能发生
3. ()==k A P A n 中所含的基本事件数基本事件总数
例题
排列组合问题（要是考应该不会太难）
几何概型
求法：
1.求出状态方程
2.根据定义域画图
3.求概率=阴影面积/总面积
第四节条件概型
公式：
()()()() (|).
()()()()
AB AB P AB P A B
B B P B
μμμΩ
μμμΩ
===
条件概率满足概率的一切性质既非法性，规范性，可加性例题
1
1
()()()()n n
i i i i i P B P BA P A P B A ====∑∑
例题 书 p25
1()(|)
(|)()(|)i i i n
i i
i P A P B A P A B P A P B A ==
∑
第五节独立性
如果AB事件独立
P AB P A P B
()()()若多事件相互独立，理论仍然成立
贝努利概型
既服从二项分布模型
抽取n次的组合次数
第二章
重点章节，几大分布都是后几章的基础
第二节 离散型随机变量及其分布律
1. 两点分布、0﹣1分布
既随机变量 X 只可能取0或1两个值，事件执行一次只有两种情况，例如抛硬币 记为 X~b （1，p ） p 表示事件的概率，样本点个数为1, 并且1-p 表示相反事件概率 2. 二项分布（应用于上章的贝努利概型）
与0-1分布类似，事件执行n 次，记为 X~b （n ，p ） p 表示事件的概率 样本点个数为n 3. 泊松分布
{}e ,
0,1,2,,!
k
P X k k k λλ-==
=⋅⋅⋅
记为 X~π(λ)，如果出题，应该会标明是泊松分布，或者给出明确的λ
二项分布X~b （n ，p ）当n 充分大，p 充分小时，对于任意固定的非负整数k ，与泊松分布概率近视相等，并且λ=nb （数学期望相等） 4. 几何分布
既抽取问题中可放回情况，该分布具有无记忆性
-1{}(1),1,2,
k P X k p p k ==-
=
5. 超几何分布
既抽取问题不放回情况
1
2{},0,1,2,
k n k N N n
N
C C P X k k C
-==
=
第三节 随机变量及其分布
随机变量分布（感觉这个知识点必考，虽然不知道会是什么题） 求事件概率公式，p51
1. 已知分布函数求分布律，并求事件概率（习题2第一题）
根据公式000{}(0)(0)P X x F x F x ==+--
求出各个点的概率，并画出分布表，求事件概率可以不会套公式，可以直接看表。

2. 已知分布律求发布函数（p52，例题）
第四节 连续型随机变量及其概率密度
连续型分布函数几何意义：为连续型概率密度函数的面积 所以两者转化与积分有关 题型：
1. 已知概率密度函数，求常数c （p55 例题）
根据公式()
()d 1F x f t t +∞
-∞
==⎰
2. 分布函数求密度函数（习题2 8题）
对分布函数求导
3. 已知密度函数求分布函数
()()d x
F x f t t
x -∞
=-∞<<+∞⎰
均匀分布
密度函数 1
,,()0,,a x b f x b a ⎧<<⎪
=-⎨⎪⎩
其他
记为 X~U （a ，b ）
分布函数
0,,(),,
1,
.x a x a F x a x b b a
x b <⎧⎪-⎪=≤<⎨-⎪≥⎪⎩
指数分布
密度函数： .e , 0,()0,x x f x λλ-⎧>⎪=⎨
⎪⎩
其他
记为 X~E (λ)
分布函数
.1e , 0,()0,x x F x λ-⎧->⎪=⎨⎪⎩
其他
经常用来描述寿命问题
正态分布（必考）（高斯分布）
密度函数：
2
2
()
2
()e,,
2
x
f x x
μ
σ
πσ
-
-
=-∞<<∞
记为X~N (μ, σ2).
正态分布密度函数性质书上p60也了解
根据公式：()
x
F x
μ
σ
-
⎛⎫
=Φ ⎪
⎝⎭
可进行查表来求分布律
根据事件概率公式可求：例如
()()()
P a X b F b F a
b a
μμ
σσ
<<=-
--
⎛⎫⎛⎫
=Φ-Φ
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭正态分布可以看出许多分布的近似分布
第五节随机变量函数的分布
1.离散型
2. 连续型
公式: ()|()|(())X Y f y h y f h y '=⋅（p67 例题）
例如：已知密度函数f x （x ），求Y=X+1的密度函数
1. 求Y=X+1 的反函数：h （y ）=Y-1
2. 套用公式()|()|(())X Y f y h y f h y '=⋅
3. |()|h y '的正负于Y=X+1单调性有关，严格单调递增为+，严格单调递减为-
第三章 多维随机变量及其分布
第一节 二维随机变量
二维变量的联合发布函数
(,){,}F x y P X x Y y =≤≤
性质：
对于固定的x ，y
(,)lim (,)0x F y F x y →-∞
-∞==
(,)lim (,)0y F x F x y →-∞
-∞==
(,)lim (,)0x y F F x y →-∞→-∞
-∞-∞==
(,)lim (,) 1.x y F F x y →+∞→+∞
+∞+∞==
公式：221221111212()()()()(,,)0,,,P x X x F x y F x y F x y F y Y y x x --+=<≤<≤≥
二维离散型随机变量
可以根据其分布规律，用表格表示
二维连续型随机变量
(,)(,)x
y
F x y f u v dvdu -∞-∞
=⎰
⎰
性质： (1)(,)0;f x y ≥
(2)(,)d d 1;f x y x y +∞+∞
-∞
-∞
=⎰
⎰
该性质用于求函数
2(,)(3)(,);F x y f x y x y
∂=∂∂
(4){(,)}(,)d d .G
P X Y G f x y x y ∈=⎰⎰ （G 为平面的一区域）
二维均匀分布
1(,)(,)0
x y G
A
f x y ⎧∈⎪=⎨
⎪⎩其他
区域公式：()
1{(,))(,)D D S D P X Y D f x y dxdy dxdy A A
∈===
⎰⎰⎰⎰
既把x或者y边缘化
二维离散型随机变量的函数的分布书p84 例题
二维连续型随机变量的函数分布
P89 例题
离散型随机变量的条件分布律
{,}{|},1,2,
{}
i j ij i j j j
P X x Y y p P X x Y y i P Y y p
=====
=
=
=
既 联合分布律的固定样本点/边缘分布的固定样本点 P90 例题
连续型随机变量的条件分布密度 求法;
1. 求出X ，Y 的边缘密度函数
2. 根据条件分布公式，求出条件密度函数
3. 求分布密度 P92页例题
第四节 相互独立的随机分布
若 X , Y 相互独立，由定义知
(,)()(),,X Y F x y F x F y x y R =∀∈，既边缘分布之积
求法：书p95例题
第五节 两个随机变量函数的分布
离散型二维随机变量的函数分布 求法：
1. 列表
2. 对应概率值合并 P97页例题
连续型二维随机变量的函数分布 没懂 P99
第四章 随机变量的数组特征
第一节 数学期望（必考）
既 样本的平均值
离散型随机变量的数学期望
1
k k
k EX x p +∞
==∑
连续型随机变量的数学期望
()EX xf x dx +∞
-∞
=⎰
考试真题 样本满足概率密度分布函数f （x ）=cx 3 0<x<1
1. 求c
2. E （x ）
解 ： 第一问 ()1f x dx +∞
-∞
=⎰
=
1
30
1cx dx =⎰
= 1/4 *c = 1
解得 c = 4
第二问 E （x ）=
()xf x dx +∞
-∞
⎰
= 1
30
4x x dx ⎰
=4/5
随机变量函数的数学期望 例如 E （3x+1）的数学期望 离散型 ：
1
(31)i
i
i x p
∞
=+∑
连续型：(31)()x f x dx +∞
-∞
+⎰
数学期望性质：.
1. EC=0（c 为常数）
2. ().E CX C EX =
3. ().E X Y EX EY +=+
4. ().E XY EX EY =⋅
常见数学期望：
1. 二项分布X~b （n ，p ） 数学期望为 np
2. 几何分布 数学期望为1/p
3. 指数分布 X~E (λ) 数学期望为1/λ
4. 正太分布X~N (μ, σ2). 数学期望为μ
5. 泊松分布X~π(λ) 数学期望为λ
第二节 方差
对数学期望的偏差值 求法:
DX = E (X – EX )2
为标准差或者叫均方差
常用公式：
22()DX EX EX =-
真题 样本满足概率密度分布函数f （x ）=4x 3 0<x<1
3. 求D （x ）
解：
D （x ）=22
()DX EX EX =- =1
1
23320
*4(*4)x x dx x x dx -⎰⎰
=2/75
常用方差 泊松分布 X ~ π() 方差：λ
正态分布 X ~ N ( , 2) 方差 2
σ
均匀分布X~U(a, b) 方差 2
()12
b a -
指数分布 X~E (λ) 方差
21.λ
二项分布X ~ b( n , p) 方差(1)np p - 方差性质： D(aX+b ) = a 2DX D(c)=0
第三节 协方差与关系系数
协方差
对于二维随机变量（x,y ）,当x ，y 不相互独立时，xy 之间用协方差来描述其中关系
()()()2cov(,)D X Y D X D Y X Y +=++
协方差公式 ： cov(,)()()X Y E X EX Y EY =--
协方差性质：
1. cov(,)cov(,)X Y Y X = ()*E XY EX EY =-
2. cov(,)cov(,)aX bY ab X Y =
3. cov(,)cov(,)cov(,)X Y Z X Z Y Z +=+
4.
cov(,)X X DX =
5. 2
cov(,)|X Y DX DY ≤⋅
相关系数
X，y的相关系数公式：
cov(,)
()()
XY
X Y
D X D Y
ρ=
若其为0表示xy不相关
离散型求相关系数：
11
cov(,)[()][()]
i j ij
i j
X Y x E X y E Y p
∞∞
==
=--
∑∑
连续型求相关系数：cov(,)[()][()](,)d d
X Y x E X y E Y f x y x y
+∞+∞
-∞-∞
=--
⎰⎰
P137页例题
第四节 矩与协方差矩阵
矩： 对于随机变量x
(1,2,)k k EX k μ==存在， 称 μk 为 X 的 k 阶原点矩
()(2,3,)k k m E X EX k =-=存在, 称 m k 为 X 的 k 阶中心矩
下一章要用到
第五章 大数定理与中心极限定理
第一节 大数定理
切比雪夫不等式
2
2{}.P X σμεε
-≥≤
或者： 2
2{}1.P X σμεε
-<≥-
不太懂，记下公式，例题p145
大数定理
书上一箩筐看不懂的大数定理证明
就是说明了一个东西，在
n （样本基数）足够大的时候，算术平方根几乎是一个常数，无限趋近于数学期望
书上和ppt 上都没例题，基本上不要考
第二节 中心极限定理
中心极限定理
多个独立随机变量满足同一分布，并且具有相同的方差和数学期望，其极限近似与正态分布
公式：
1
11
1
()
()
n
n
n
k
k k
k k k n n
k k X
E X X
n Y n D X μ
σ
====--=
=
∑∑∑∑
例题
德莫佛-拉普拉斯定理
该定理表明, 正态分布是二项分布的极限分布
~(,),n b n p η对于充分大的
n 近似有 n~(,(1))N np np p -的状态分布 既数学期望和与方
差和
第六章 样本及抽样分布
第一节
简单随机抽样（代表性与独立性）
若总体的分布密度函数为 f (x) , 则样本的联合密度函数为
121
(,,
,)().n
n i i f x x x f x ==∏ （表示累乘）
经验分布函数
P161 例题
第二节 抽样分布
这节课逃了，没听，好烦，根本看不懂
第七章 参数估计
第一节 矩估计
参数是刻画总体某方面概率特性的数量. 例如，X ~N ( , 2),
若, 2未知, 通过构造样本的函数, 给出它们 的估计值或取值范围就是参数估计的内容
点估计，估计未知参数的值 区间估计，范围
设总体的 r 阶矩存在，记为 12()(,,
,)r
r k E X μθθθ=
样本 X1, X2,…, Xn 的 r 阶矩为1
1n r
r
i
i A X n ==∑
经典例题
例题
第二节 极大似然估计
求法 设P （x ）为概率函数
似然函数：11221
(,,
,)(;)n
n n i i P X x X x X x p x θ=====∏
对数似然函数：既在其左右加对数 然后令其为0，求极大值 例题：
第三节 估计量的评选标准
设总体服从任意分布， Ex=μ, Dx= σ2 既得样本平均值：x ， 方差为S 2
既x 为μ的无偏估计量，S 2为σ2的无偏估计量
根据性质： Ex （平均值）=μ E S 2 =σ2
Dx （平均值）=Dx / n
第四节 区间估计
置信度：1α- 置信区间求法 求出α，根据置信度 查正态分布表求出u /2α
计算公式：2200,X u X u n n αα⎛
-+ ⎪⎝
⎭ 如果0σ 未知，用方差S 来代替，然后查t 表
22
(1),(1)X t n X t n n n αα⎛
--+- ⎪⎝
⎭
第八章 假设检验
看书
考点（必考）
P111 7题
X 0 1 2 3
Y
1
2
求1.在Y=1的情况下，X的分布律=2的条件下，Y的分布规律
P143 21题
X -2 -1 1 2
Y
1 0 0
4 0 0
证明 XY 不相关 也不独立
求出边缘分布规律
X 边缘分布：
X -2 -1 1 2
Px
求得Ex = -2*+（-1）* + +=0
Y 的边缘分布
Y 1 4
Py
Ey = +4* =
有E （yx ） = + -2 +2 = 0
有根据相关系数 cov （x,y ）=E （xy ）-E(x)*E （y ）=0
既可以证明，XY 不相关
又 111{2,1}0{2}{1}428
P X Y P X P =-==≠=-==⨯= 可以怎么XY 不独立
P153 3题
每袋茶的期望值为100g ，标准差为10g ，一盒有200袋茶，求一盒茶重的概率
以i X (i =1,2,…,200)表示一袋茶叶的净重, 由已知100i EX =,210i DX =.记X 为一盒茶叶
的净重, 则200
1i i X X ==∑,因各袋茶叶的净重可以认为相互独立, 即随机变量i X (i =1,2, (200)
相互独立, 从而有
200120010020000i i EX EX ===⨯=∑,200
120010020000i i DX DX ===⨯=∑,
由独立同分布中心极限定理知,X 近似服从正态分布(20000,20000)N , 由此知
{}{
}2050012050011(3.536)10.99980.0002P X P X >=-≤≈-Φ=-Φ=-=.
P171 2题 给出一组样本，求平均值，和方差
平均值 ：全部相加/样本个数
方差： （所有的（（样本个体-平均值）的平方））/样本个数
P208 2题
一批零件抽取8个 长度如下
服从正态分布，求平均值和方差的矩估计值，然后求其小于的概率 由矩法估计知：X =μ
ˆ，∑=-==n i i n X X n S 1
222)(1ˆσ . 从而μ和2σ的矩估计值分别是： 1
ˆ(53.00153.00353.00153.00553.00052.99853.00253.006)8
x μ==+++++++ 53.002=
2
222222111ˆ()[(0.001)0.001(0.001)0.003(0.002)88i i x x σ∞==-=-++-++-∑ 222(0.004)00.004]+-++=
由此知零件长度X 服从的分布为：)000006.0,002.53(N . 故
5300408207939Ρ{X .}Φ)Φ(.).>===.
P214 例题
每袋大米标准重量为100kg ，重量服从正态分布，标准差为，随机取9袋大米为
问大米机是否正常
解： 首先标准差已经知道，并且由题可知，服从标准重量，大米机就工作正常 所以，提出两个对立的假设
H 0： u=u 0 H 1： u ！=u 0
根据公式 x u =
解出 |u| = >(查表得到)，既拒绝H 0，大米机工作不正常
P237 2题
正常人脉搏72/min ，铅中毒的患者中有10个人脉搏如下
54 67 68 78 70 66 67 70 65 69
为正态分布，在a=下，铅中毒与正常患者的脉搏有没有显著的区别
本题是在未知方差2σ的条件下，检验总体均值μ=72, 取检验统计量为
X T
=
检验假设可设为
00:72H μμ==, 1:72H μ≠.
在0H 为真时, 检验统计量~(1)T t n -, 由已知数据计算可得：67.4x =, 5.93s =, 代入检验统计量, 得统计量的观测值为
4.6 2.45
1.88
x t -====-, 又0.05σ=, 查t -分布表得0.025(9) 2.262t =, 由此知
0.0252.447 2.262(9)t t =>=.
故拒绝0H ，即铅中毒者与正常人的脉搏有显著差异.
设x~B （50，p ），平均数=30，
求p 的矩估计p1（填空题）
该分布满足二项分布，E （x ）=np=50*p
有因为E （x ）的矩估计值我为30
从而p 的矩估计值为 p=30/50 = 3/5
样本满足概率密度分布函数f （x ）=cx 3 0<x<1
1. 求c
2. E （x ）
3. D （x ）
解 ：１．根据概率密度函数定义
()1f x dx +∞
-∞=⎰
1301cx dx =⎰ = 1/4 *c = 1 ｃ＝４ ２．E （x ）＝1404x dx ⎰
=1404x dx ⎰
=4/5 3 . D （x ） = E （x 2）-E （x ）2
=11233200*4(*4)x x dx x x dx -⎰⎰
= 2/75
参考文献：。