2.2 离散型随机变量及其分布
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2.2离散型随机变量及其概率分布
8
5
k
24
小结
离 散 型 随 机 变 量 的 分 布
二项分布 泊松分布
两点分布
两点分布
n1
二项分布
n 10, p 0.1, np
泊松分布
25
二项分布与 (0 1) 分布、泊松分布之间的 关系 .
二项分布是 (0 1) 分 布 的 推 广 , 对 于n 次 独 立重复伯努利试验 ,每 次 试 验 成 功 的 概 率 为 p, 设 , 1, 若 第 i 次 试 验 成 功 Xi ( i 1,2, , n) . 0, 若 第 i 次 试 验 失 败 它们都服从 (0 1) 分 布 并 且 相 互 独 立 , 那末 X X1 X 2 X n 服 从 二 项 分 布 , 参 数 为( n, p).
定义2 如果随机变量 X 只有两个可能取 值，其概率分布为
P{ X x1 } P , P{ X x2 } q 1 p(0 p 1, p q 1)
则称X服从 x1 , x2 处参数为p的两点分布. 特别，若X服从
x1 1, x 0 处参数为p的两点分布，即
p
k 1
5
k
1
1 a . 15
5
关于分布律的说明：
若已知一个离散型随机变量X的概率分布 X P x1 p1 x2 p2 ... ... xn ... pn ...
则可以求X所生成的任何事件的概率，特别地：
P{a X b} P{ { X xi }} pi
a xi b a xi b
26
以 n, p ( np ) 为参数的二项分布 ,当 n 时趋 于以 为参数的泊松分布 ,即
2.2 离散型随机变量及其分布
∞ k k =1
}
满足下列性质 性质: 满足下列性质:
pk ≥ 0 (k = 1,2,⋯);
概率论与数理统计 数学科学学院 徐 鑫
∑p
k =1
∞
k
常用来确定分布律中的待定参数] 常用来确定分布律中的待定参数 = 1 [常用来确定分布律中的待定参数
这两条也是非负 数列能为某随机 变量分布律的充 要条件
离散型随机变量分布列的求法 求法: 离散型随机变量分布列的求法: 利用古典概率、 利用古典概率、条件概率等计算方法及运算 性质求事件{X=x 概率; 性质求事件{X=xk}概率; 利用已知的重要分布的分布列; 利用已知的重要分布的分布列; 利用分布函数. 利用分布函数. 离散型随机变量分布列的应用 应用: 离散型随机变量分布列的应用: 确定分布列中的待定参数; 确定分布列中的待定参数; 求分布函数； 求分布函数； 求随机事件的概率. 求随机事件的概率.
概率论与数理统计 数学科学学院 徐 鑫
四、几种重要的离散型随机变量 1、(0-1)分布[两点分布] (0-1)分布 两点分布] 分布[ 定义2 定义2 设随机变量X只取0,1两值, 设随机变量X只取0,1两值,且其分布律为 0,1两值
P{X = k} = p (1 − p) (k = 0,1;0 < p < 1)
(−∞, x1 ), [ x1 , x2 ), [ x2 , x3 ) ⋯, [ xk ,+∞)
分别求出F(x)的值,即就x 分别求出F(x)的值,即就x落在上述各区间内计算 F(x)的值 {X≤x}所含可能值概率的累积和; {X≤x}所含可能值概率的累积和; 所含可能值概率的累积和 离散型随机变量X的分布函数是一个右连续的阶梯 离散型随机变量X 函数. 函数.
}
满足下列性质 性质: 满足下列性质:
pk ≥ 0 (k = 1,2,⋯);
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∑p
k =1
∞
k
常用来确定分布律中的待定参数] 常用来确定分布律中的待定参数 = 1 [常用来确定分布律中的待定参数
这两条也是非负 数列能为某随机 变量分布律的充 要条件
离散型随机变量分布列的求法 求法: 离散型随机变量分布列的求法: 利用古典概率、 利用古典概率、条件概率等计算方法及运算 性质求事件{X=x 概率; 性质求事件{X=xk}概率; 利用已知的重要分布的分布列; 利用已知的重要分布的分布列; 利用分布函数. 利用分布函数. 离散型随机变量分布列的应用 应用: 离散型随机变量分布列的应用: 确定分布列中的待定参数; 确定分布列中的待定参数; 求分布函数； 求分布函数； 求随机事件的概率. 求随机事件的概率.
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四、几种重要的离散型随机变量 1、(0-1)分布[两点分布] (0-1)分布 两点分布] 分布[ 定义2 定义2 设随机变量X只取0,1两值, 设随机变量X只取0,1两值,且其分布律为 0,1两值
P{X = k} = p (1 − p) (k = 0,1;0 < p < 1)
(−∞, x1 ), [ x1 , x2 ), [ x2 , x3 ) ⋯, [ xk ,+∞)
分别求出F(x)的值,即就x 分别求出F(x)的值,即就x落在上述各区间内计算 F(x)的值 {X≤x}所含可能值概率的累积和; {X≤x}所含可能值概率的累积和; 所含可能值概率的累积和 离散型随机变量X的分布函数是一个右连续的阶梯 离散型随机变量X 函数. 函数.
§2.2离散型随机变量及其分布律
解：X 的取值为 5，6，7，8，9，10．X为离散型
并且
PX
k
C4 k 1
C150
k 5， 6， ，10
则X 的分布律可写为
X 5 6 7 8 9 10
P
1
5
15
35
70
126
252
252
252
252
252
252
验证？ 分布函数？
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例2 将 1 枚硬币掷 3 次，令X：出现的正面次数与反 面次数之差．试求 X 的分布律．
解：对目标进行300次射击相当于做300重Bernoulli 试验．令：
X： 300射击中命中目标的次数．
则由题意 X ~ B300， 0.44．
由于 300 10.44 132.44，它不是整数.
因此，最可能射击的命中次数为
k0 132.44 132
其相应的概率为
PX
132
C 132 300
0.44132
把检查一只元件是否为一级品看成是一次试验, 检查 20只元件相当于做 20 重伯努利试验.
解 以 X 记 20 只元件中一级品的只数,
则 X ~ B(20, 0.2), 因此所求概率为
P{ X k} 20(0.2)k (0.8)20k , k 0,1, ,20.
k
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解 以 X 记 20 只元件中一级品的只数, 则 X ~ B(20, 0.2), 因此所求概率为
k
k!
e
0
⑵ 又由幂级数的展开式，可知
k0
k
k!
e
e
k0
k
k!
e e
1
所以是分布律.
2-2离散型随机变量及其分布律
松定理（第二章）和中心极限定理（第五章），利用这些定理
可以近似计算出它们的值．
3．泊松分布
定义 2.5 如果随机变量 X 的分布律为
P{X k} k e ， k 0,1, 2,L ， 0 ，
k!
就称 X 服从参数为 的泊松分布，记为 X ~ P() ．
【注 1】 P{X
k
k}
e
0 ， k 0,1, 2,L
一般地，在随机试验 E 中，如果样本空间 只包含两个
样本点
{1,2}，且
X
0, 1,
若 =1 , 若 =2 ,
则 X ~ B(1, p) ，其中 p P{X 1} P({2}) ．
在现实生活中，0 1两点分布有着广泛的应用．例如某产品 合格与不合格；某课程的考试及格与不及格；某事件 A 发生与 不发生等许多现象都能够刻划成 0 1两点分布．
§2 离散型随机变量及其分布律
一、离散型随机变量及其分布律的概念 定义 2.1 若随机变量 X 的取值为有限个或可列无限多个，就 称 X 为离散型随机变量．
定义 2.2 设 X 为离散型随机变量，其所有可能的取值为 x1, x2 ,L , xi ,L ，且
P{X xi} pi ， i 1, 2,L ．
的概率为 0.6 ，求该射手在 4 次射击中，命中目标次数 X 的
分布律，并问 X 取何值时的概率最大． 解 将每次射击看成一次随机试验，所需考查的试验结果只
有击中目标和没有击中目标，因此整个射击过程为 4 重的贝
努里试验．故由题意知， X ~ B(4, 0.6) ，即
P{X k} C4k 0.6k 0.44k ， k 0,1, 2,3, 4 ．
P{X
10}
2.2离散型随机变量及其分布
k k PX k C n p (1 p ) n k
k 0,1, , n,
其中0<p<1, 称X服从参数为n,p的二项分布，记为 X~b(n,p)。
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在n重贝努里试验中，假设A在每次试验中出现 的概率为p，若以X表示n次试验中A出现的次数。那 么由二项概率公式得X的分布律为：
第二节
离散型随机变量及其分布
一、离散型随机变量和概率分布 定义3：如果随机变量所有的可能取值为有限个或 可列无限多个，则称这种随机变量为离散型随机变量。 定义4：设离散型随机变量X的可能取值为xk (k=1,2, …),事件 { X x k } 发生的概率为pk ,即
P { X x k } pk
k k PX k C n p (1 p ) n k
k 0,1, , n
即X服从二项分布。 当n=1时，二项分布化为：P{X=k}=pk(1-p)1-k 即为（0－1）分布 （0－1）分布可用b(1，p)表示。
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k=0,1
k nk n p ( 1 p ) P{X = k}= C k 恰好是 [ Ｐ +(1 － Ｐ )] n 二项展开式中出现pk的那一项，这就是二项分布 名称的由来。
e 5 5 k 0.95 k! k 0
a
e5 5k 即 0.05 k a 1 k !
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查表可得
e 10 ≈0.031828<005 k! k 10
即 a 1 10， a 9
于是，这家商店只要在月底进货这种商品9件 （假定上个月没有存货），就可以95%以上的把握 保证这种商品在下个月不会脱销.
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k 0,1, , n,
其中0<p<1, 称X服从参数为n,p的二项分布，记为 X~b(n,p)。
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在n重贝努里试验中，假设A在每次试验中出现 的概率为p，若以X表示n次试验中A出现的次数。那 么由二项概率公式得X的分布律为：
第二节
离散型随机变量及其分布
一、离散型随机变量和概率分布 定义3：如果随机变量所有的可能取值为有限个或 可列无限多个，则称这种随机变量为离散型随机变量。 定义4：设离散型随机变量X的可能取值为xk (k=1,2, …),事件 { X x k } 发生的概率为pk ,即
P { X x k } pk
k k PX k C n p (1 p ) n k
k 0,1, , n
即X服从二项分布。 当n=1时，二项分布化为：P{X=k}=pk(1-p)1-k 即为（0－1）分布 （0－1）分布可用b(1，p)表示。
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k=0,1
k nk n p ( 1 p ) P{X = k}= C k 恰好是 [ Ｐ +(1 － Ｐ )] n 二项展开式中出现pk的那一项，这就是二项分布 名称的由来。
e 5 5 k 0.95 k! k 0
a
e5 5k 即 0.05 k a 1 k !
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查表可得
e 10 ≈0.031828<005 k! k 10
即 a 1 10， a 9
于是，这家商店只要在月底进货这种商品9件 （假定上个月没有存货），就可以95%以上的把握 保证这种商品在下个月不会脱销.
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离散型随机变量及其分布
（0－1）分布的分布律用表格表示为：
X0 1
P 1-p p
0
易求得其分布函数为： F (x) 1 p
1
x0 0 x 1
x 1
2.二项分布（binomial distribution)： 定义：若离散型随机变量X的分布律为
PX k Cnk pkqnk k 0,1,L , n
其中0<p<1,q=1-p,则称X服从参数为n,p的二项
下面我们看一个应用的例子.
例7 为保证设备正常工作，需要配备适量的 维修人员 . 设共有300台设备，每台独立工作， 且发生故障的概率都是0.01。若在通常的情况 下，一台设备的故障可由一人来处理 ， 问至 少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生 故障时不能及时维修的概率小于0.01?
我们先对题目进行分析：
§2.2 离散型随机变量及其分布
一、离散型随机变量及其分布律
1．离散型随机变量的定义 设X为一随机变量，如X的全部可能取到的值
是有限个或可列无限多个，则称随机变量X为离 散型随机变量(discrete random variable)。
设X是一个离散型随机变量，它可能取的值 是 x1, x2 , … .为了描述随机变量 X ，我们不仅 需要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取 每个值的概率.
定义1 ：设xk(k=1,2, …)是离散型随机变 量X所取的一切可能值，称等式
P(X xk) pk, k=1,2,… …
为离散型随机变量X的概率函数或分布律， 也称概率分布.
其中 pk (k=1,2, …) 满足：
（1） pk 0,
（2） pk1
k
k=1,2, …
用这两条性质判断 一个函数是否是
X0 1
P 1-p p
0
易求得其分布函数为： F (x) 1 p
1
x0 0 x 1
x 1
2.二项分布（binomial distribution)： 定义：若离散型随机变量X的分布律为
PX k Cnk pkqnk k 0,1,L , n
其中0<p<1,q=1-p,则称X服从参数为n,p的二项
下面我们看一个应用的例子.
例7 为保证设备正常工作，需要配备适量的 维修人员 . 设共有300台设备，每台独立工作， 且发生故障的概率都是0.01。若在通常的情况 下，一台设备的故障可由一人来处理 ， 问至 少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生 故障时不能及时维修的概率小于0.01?
我们先对题目进行分析：
§2.2 离散型随机变量及其分布
一、离散型随机变量及其分布律
1．离散型随机变量的定义 设X为一随机变量，如X的全部可能取到的值
是有限个或可列无限多个，则称随机变量X为离 散型随机变量(discrete random variable)。
设X是一个离散型随机变量，它可能取的值 是 x1, x2 , … .为了描述随机变量 X ，我们不仅 需要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取 每个值的概率.
定义1 ：设xk(k=1,2, …)是离散型随机变 量X所取的一切可能值，称等式
P(X xk) pk, k=1,2,… …
为离散型随机变量X的概率函数或分布律， 也称概率分布.
其中 pk (k=1,2, …) 满足：
（1） pk 0,
（2） pk1
k
k=1,2, …
用这两条性质判断 一个函数是否是
§2.2离散型随机变量及其分布列
2．联合分布的性质
容易证明二维离散型随机变量的联合分布具有下面 的性质：
1）非负性： ， ，
2）规范性： pij 1
ij
3．边际分布（边缘分布）
定义2.3.4 设（ ）为二维离散随机变量，它 们的每一个分量 的分布称为关于（ ）的边际分
布，记为
与
若（ )的联合分布列为 P( ai ,， bj ) pij
5000k
这时如果直接计算P 5 ，计算量较大。由于n很大
，p较小，而np=5不很大 ，
可以利用 Poisson定理
P( 5)
1 P 5
1
5
5k 5 e
k0 k !Βιβλιοθήκη 查Poisson分布表得：
5
5k
5
e
0.616.
k0 k !
于是，
P 5 1 0.616 0.384
例2.2.7 由该商店过去的销售记录知道，某中商品 每月销售数可以用参数的Poisson分布来描述，为了 以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少 应进某种商品多少件？
布列中，要计算b(k;n,p)= Cnk p k q nk ，当n和k
都比较大时，计算量比较大。
若此时np 不太大（即p较小），那么由Poisson定理
就有
b(k;n;p) k e
k!
其中 np
k
而要计算
e
有Poisson分布表可查.
k!
例2.2.6. 已知某中疾病的发病率为1/1000，某单位共
P( k) Cnk pk qnk
k 1, 2,L , n
显然，（1） pk 0 k 1, 2,L , n
n
n
（2） pk
2.2(离散型随机变量)
分布的概率值来近似．
2.2.2 常用离散型分布
泊松定理于1837年由法国数学家泊松引入！
泊松资料
Siméon Poisson
Born: 21 June 1781 in Pithiviers, France
Died: 25 April 1840 in Sceaux (near Paris),
France
B2, B3, TRUE)
▪ 计算例2-8中的概率
【实验2.2】用Excel验证二项分布与泊松分布的关 系．
实验准备：
函数POISSON的使用格式：POISSON(x, mean, cumulative)
功能：返回泊松分布的概率值．其中x为事件数， mean为期望值，cumulative为一逻辑值，确定所 返回的概率形式．如果cumulative为TRUE，函数 POISSON返回泊松累积概率；如果为FALSE，则 返回泊松概率函数值．
2.2.2 常用离散型分布
【例2.7】某种铸件的砂眼（缺陷）数服从参数为 的泊松分布，试求该铸件至多有一个砂眼（合格 品）的概率和至少有2个砂眼（不合格品）的概 率．
解：以X表示铸件的砂眼数，由题意知X～ P(0.5)，则该种铸件上至多有1个砂眼的概率为
P{ X 1} 0.50 e0.5 0.51 e0.5 0.91
pk =
, k = 0，1，…，n
定义2.5 如果C随nk机pk变(1 量pX)n的k 分布律是
，k = 0，1，…，n
则称PX{服X 从 k二} 项C分nk p布k (，1 记p为)nXk ～ B(n，p)．
2.2.2 常用离散型分布
二项分布与(0 1) 分布的关系.
二 项 分 布 是(0 1) 分 布 的 推 广, 对 于 n 重 伯 努 利
2.2.2 常用离散型分布
泊松定理于1837年由法国数学家泊松引入！
泊松资料
Siméon Poisson
Born: 21 June 1781 in Pithiviers, France
Died: 25 April 1840 in Sceaux (near Paris),
France
B2, B3, TRUE)
▪ 计算例2-8中的概率
【实验2.2】用Excel验证二项分布与泊松分布的关 系．
实验准备：
函数POISSON的使用格式：POISSON(x, mean, cumulative)
功能：返回泊松分布的概率值．其中x为事件数， mean为期望值，cumulative为一逻辑值，确定所 返回的概率形式．如果cumulative为TRUE，函数 POISSON返回泊松累积概率；如果为FALSE，则 返回泊松概率函数值．
2.2.2 常用离散型分布
【例2.7】某种铸件的砂眼（缺陷）数服从参数为 的泊松分布，试求该铸件至多有一个砂眼（合格 品）的概率和至少有2个砂眼（不合格品）的概 率．
解：以X表示铸件的砂眼数，由题意知X～ P(0.5)，则该种铸件上至多有1个砂眼的概率为
P{ X 1} 0.50 e0.5 0.51 e0.5 0.91
pk =
, k = 0，1，…，n
定义2.5 如果C随nk机pk变(1 量pX)n的k 分布律是
，k = 0，1，…，n
则称PX{服X 从 k二} 项C分nk p布k (，1 记p为)nXk ～ B(n，p)．
2.2.2 常用离散型分布
二项分布与(0 1) 分布的关系.
二 项 分 布 是(0 1) 分 布 的 推 广, 对 于 n 重 伯 努 利
2.2离散型随机变量及其分布
例1
从中任取3 从中任取 个球 取到的白球数X是一个随机变量 取到的白球数 是一个随机变量 X可能取的值是 0,1,2 可能取的值是
C 1 取每个值的概率为 P(X=0)= = C 10 3 且 CC 6 ∑P( X = i) = 1 P(X= )= 1 = i=1 C 10 1 2 这样，我们就掌握了X这个 这样，我们就掌握了 这个 C3C2 3 P(X=2)= 3 = 随机变量取值的概率规律. 随机变量取值的概率规律 C5 10
P( X =1) = p,0 < p <1 P( X = 0) =1 p = q
或 P(X＝k)＝pk(1－p)1－k, (0<p<1;k＝0,1) ＝ ＝ － － ＝ 1)
2. 二项分布
每次试验中， 设将试验独立重复进行n次，每次试验中， 事件A发生的概率均为p，则称这n次试验为 n重贝努里试验. 重贝努里试验. 表示n重贝努里试验中事件 用X表示 重贝努里试验中事件 （成功） 表示 重贝努里试验中事件A（成功） 出现的次数， 出现的次数，则
P(X=k)=C (0.8) (0.2) , k = 0,1,2,3 把观察一个灯泡的使用
时数看作一次试验, 时数看作一次试验 P(X ≤ =P(X=0)+P(X=1) 1)
k 3 k
3k
“使用到 使用到1000小时已坏” 小时已坏” 使用到 小时已坏 视为“成功” 每次试验, 视为“成功 每次试验 )3+3(0.8)(0.2)2 ”.每次试验 =(0.2 “成功”的概率为 成功” 成功 的概率为0.8
例5 解: 当 当
X p
0 1 2 1 1 1 3 6 2
，求 F(x).
F(x) = P(X ≤ x)
概率论§2.1 随机变量-§2.2离散型随机变量
0, w = (b1 , b2 ), (b1 , b3 ), (b2 , b3 ) 1, w = (a1 , b1 ), (a1 , b2 ), (a1 , b3 ) X = X (w ) = (a2 , b1 ), (a2 , b2 ), (a2 , b3 ) 2, w = (a1 , a2 )
18
分布函数的性质
(1) F(x)是x的不减函数 ，即
x1 x2 , F ( x1 ) F ( x2 )
(2)
F ( ) = lim F ( x ) = 0
x
F ( ) = lim F ( x ) = 1
x
理解：当x→+时,{X≤x}愈来愈趋于必然事件. (3)右连续性: 对任意实数 x0 ,
P ( X x ) = 1 P ( X x ) = 1 F ( x );
21
例1 设F1 ( x )与F2 ( x )分别为随机变量X 1与X 2
的分布函数，为了使 ( x ) = aF1 ( x ) bF2 ( x ) F
是某一随机变量的分布函数，则下列各组值 中应取（A）
3 2 ( A) a = , b = 5 5
连续型随机变量
如：“电视机的使用寿命”，实际中常遇到 的 24 “测量误差”等。
§2.2 离散型随机变量及其分布
定义 如果随机变量X 只取有限个或可列无限 多个不同可能值，则称X 为离散型随机变量. 例如, 抛一枚硬币，X 可取0,1有限个值。 可知X为一个离散型随机变量。 例如，电话交换台一天内接到的电话个数
F ( x0 0) = lim F ( x ) = F ( x0 )
x x0
19
如果一个函数满足上述三条性质，则一 定是某个随机变量 X 的分布函数。也就是说， 性质(1)-(3)是判别一个函数是否是某个随机 变量的分布函数的充分必要条件。
概率论与数理统计2.2
X P
x1
p1
x2 L xk L
p2 L pk L
1
概率论与数理统计
或
X~
x1 x2 L xk L p1 p2 L pk L
非负性 归一性
用这两条性质判断 一个函数是否是 概率分布
2
分布律的性质
① ②
pk ≥ 0, k =1,2,L
∑ pk =1
k=1
∞
概率论与数理统计
2.2.2 离散型随机变量及分布函数
0
5000
= 0.9934.
本例 启示
小概率事件虽不易发生， 小概率事件虽不易发生，但重复次数 多了，就成大概率事件. 多了，就成大概率事件.
17
概率论与数理统计
由此可见日常生活中“提高警惕 由此可见日常生活中“提高警惕, 防火 防盗”的重要性. 防盗”的重要性 由于时间无限, 自然界发生地震、 由于时间无限 自然界发生地震、海 空难、泥石流等都是必然的， 啸、空难、泥石流等都是必然的，早晚的 事，不用奇怪，不用惊慌. 不用奇怪，不用惊慌 同样, 人生中发生车祸、失恋、 同样 人生中发生车祸、失恋、患绝 症、考试不及格、炒股大亏损等都是正常 考试不及格、 现象, 大可不必怨天尤人, 现象 大可不必怨天尤人 更不要想不开而 对自己和家人造成伤害. 对自己和家人造成伤害
在上例中, 例2 在上例中 分别用分布律与分布函数计算
P(1 ≤ X ≤ 3) .
解 P(1≤ X ≤ 3) = P( X =1) + P( X = 2) + P( X = 3) 或
= 0.6(0.4 + 0.4 + 0.4 ) = 0.3744
2 3
P(1≤ X ≤ 3) = F(3) − F(1− 0) = 0.9744 − 0.6
2.2离散型随机变量及其概率分布
a P X k , k 1,2,, N , N
试确定常数a.
解 由离散型随机变量分布列的性质（2）规范性，
a a P{ X k} N N N 1 k 1 k 1
N
N
a 1
旧书（56页1题）
1. 判断下面各数列是否为随机变量的分布列，并说明理由．
易于验证：
1) P{ X k}
k
k!
e 0, k 0,1,2,, 非负性
2)
P{ X k}
k 0 k 0
k
k!
e
k
规范性
e
k!
k 0
e e
1
例6：某商店根据过去的销售记录,总结出某种商品每 月的销售量可以用参数为 5 的泊松分布来描述,求： (1)下个月该商店销售2件此种商品的概率是多少？
的概率为：
记为
k n k n k
X ~ B(n, p).源自P X k C p (1 p)
(k 0,1 n)
练习：某射手每次射击时命中10环的概率为 p, 现 进行 4 次独立射击，求 恰有 k 次命中10环的概率。
解：用X 表示 4 次射击后, 命中10环的次数, 则
X 的概率分布为
参数为 np 1 的泊松分布近似计算，得
1 解 因为 500 个错字随机分布在 500 页书上，所以错字出现在每一页的概率都是 ． 500 1 )， 设 X 表示在给定的某一页上出现错字的个数，则 X ~ B(500 , 500
1, X ( ) 0,
X
反面, 正面.
1
2.2离散型随机变量及其分布律
1. (01)分布 其分布律为: X 0 1
P 1 p
p
称X服从(01)分布或两点分布 记为 X～ B(1, p)
13
2.二项分布
在n重贝努里试验中,设每次试验事 件A发生的概率为p
令X是n次试验中事件A发生的次数
则 X为一离散型随机变量
P ( X k ) C p (1 p)
k n k n k
2.2 离散型随机变
量及其分布律
一、离散型随机变量 二、常见离散型分布
1
一天内接到的电话个数（可以一一罗列） 从某一学校随机选一学生，测量他的身高 （不可以一一罗列）
定义1: 如果随机变量X只能取有限个 或可列无限多个不同可能值,则称X 为 离散型随机变量
2
一、离散型随机变量
定义：设离散型随机变量X所有可能取 的值为x1, x2,…, xi ,…, X取可能值xi的概 率pi ,即P(X=xi)=pi (i=1,2,…),则称该式为 离散型随机变量X的分布律或概率分布 分布律也常用下列形式表示: X x1 x2 … xi … 性质: (1) pi≥0, i=1,2,… (2)
k n k e k n k
k!
( np)
21
泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，
当n很大，p很小时，二项分布就可近似地 看成是参数=np的泊松分布
22
例.用步枪向某一目标射击,每次击中目标
的概率为0.001,今射击6000次,试求至少有 两弹击中目标的概率.(泊松定理)
24
4.几何分布： X ~ G(p)
PX k q
k 1
p
k 1， 2，
(其中p 0, q 0, p q 1)
P 1 p
p
称X服从(01)分布或两点分布 记为 X～ B(1, p)
13
2.二项分布
在n重贝努里试验中,设每次试验事 件A发生的概率为p
令X是n次试验中事件A发生的次数
则 X为一离散型随机变量
P ( X k ) C p (1 p)
k n k n k
2.2 离散型随机变
量及其分布律
一、离散型随机变量 二、常见离散型分布
1
一天内接到的电话个数（可以一一罗列） 从某一学校随机选一学生，测量他的身高 （不可以一一罗列）
定义1: 如果随机变量X只能取有限个 或可列无限多个不同可能值,则称X 为 离散型随机变量
2
一、离散型随机变量
定义：设离散型随机变量X所有可能取 的值为x1, x2,…, xi ,…, X取可能值xi的概 率pi ,即P(X=xi)=pi (i=1,2,…),则称该式为 离散型随机变量X的分布律或概率分布 分布律也常用下列形式表示: X x1 x2 … xi … 性质: (1) pi≥0, i=1,2,… (2)
k n k e k n k
k!
( np)
21
泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，
当n很大，p很小时，二项分布就可近似地 看成是参数=np的泊松分布
22
例.用步枪向某一目标射击,每次击中目标
的概率为0.001,今射击6000次,试求至少有 两弹击中目标的概率.(泊松定理)
24
4.几何分布： X ~ G(p)
PX k q
k 1
p
k 1， 2，
(其中p 0, q 0, p q 1)
2.2 离散型随机变量的概率分布
xk S
xk S
概率统计（ZYH）
离散型随机变量的概率分布完全由 分布律 反映：
概率统计（ZYH）
例1 袋中有2个白球和3个黑球，每次从袋中任 取1个球，直至取得白球为止，若每次取出的黑球 不再放回去，求取球次数X 的分布律．
解 因为每次取出的黑球不再放回去，所以X 的所有可能取值是1, 2, 3, 4．故由古典概型易知
例6 已知每枚地对空导弹击中来犯敌机的概率为 96﹪,问至少需要发射多少枚导弹才能保证有99.9﹪ 的把握击中敌机？
解 将导弹的每次发射看成一次 试验, 设共发射n次, 击中的次数为X, 则X~B(n,0.96). 故击中敌机的概率为
P{X 1} 1 P{X 0} 1 0.960(1 0.96)n 1 0.04n 因此，要保证有99.9﹪的把握击中敌机, n就应满足
概率统计（ZYH）
2) 二项分布
伯努利资料
将试验E重复进行n次, 若各次试验的结果互不 影响, 即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它 各次试验的结果, 则称这n次试验是相互独立的.
设试验E只有两个可能结果：事件A或者发生, 或者不发生. 将试验E重复独立地进行n次,则称这 一串重复独立试验为n重伯努利（Bernoulli）试验. 简称伯努利试验.
k0
故称该分布为二项分布. 记为 X ~ B(n, p).
用矩阵表示即得分布矩阵:
0 1 k n
X ~ qn
Cn1 pqn1
C
k n
pkqnk
pn
特别地: 二项分布 n 1 0-1分布
应用与背景： n重伯努利试验的概率分布就是二项分布
概率统计（ZYH）
二项分布的图形
概率统计（ZYH）
2.2离散型随机变量及其分布律
2. 等可能分布
如果随机变量 X 的分布律为
X
pk
a1 1 n
a2 an 1 1 n n
其中 (ai a j ), ( i j ) , 则称 X 服从等可能分布.
例 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 X,
则有
X
pk
1 1 6
2 1 6
3 1 6
4 1 6
5 1 6
6 1 6
3. 贝努里(伯努利)试验和二项分布
C C P( X 2) 0.00618 C
1 2 95 5 3 100
例9 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数 . 把观察一个灯泡的使用 k 3k P( X k )C (0时数看作一次试验 .8) (0.2) , k , 0,1,2,3 “使用到1000小时已坏” P{X 1} =P{X=0}+ P{X=1} 视为事件 A .每次试验, 2 0.8 出现的概率为 =(0.2)3A +3(0.8)(0.2)
k e
,
k 0,1,2, ,
X ~ P( ).
泊松分布是常见的。 例如
地震 火山爆发 特大洪水
商场接待的顾客数 电话呼唤次数 交通事故次数
n k n k p ( 1 p ) 二项分布与泊松分布的关系 k 历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于 1837年由法国数学家泊松引入的 .
k 0,1,, n
称这样的分布为二项分布.记为 X ~ b( n, p).
二项分布
n1
两点分布
显然, 若X~B(n,p), 则 P{X=k} 表示在n次独立重复试验中A恰好发生k次的概率; P{X≤k} 表示A发生的次数不超过k次的概率;
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P3 P(AB)P(A)P(B)
P 7 (0.4)3(0.6)4(0.4) 7 (0.4)4(0.6)4 3 3 3
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例4 某车间有9台独立工作的车床，在任一时刻用电的概率 都是0.3,求: (1)同一时刻用电的车床数X的概率分布； (2)同一时刻至少有一台车床用电的概率; (3)同一时刻最多有一台车床用电的概率.
ⅱ)如果k0=(n+1)p是整数，则k0和k0-1都是b(n,p)的最可能数； 当k≤k0-1时，概率Pk随k增大而递增；当k≥ k0时，它随k增大而 递减；当k＝ k0和k＝ k0-1时，Pk达到最大值。
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例2 设有一大批产品 其次品率为0002 今从这批产品中 随机地抽查100件 试求所得次品件数的概率分布律 解 以X记所抽查的100件产品中次品的件数 则X的可能 取值是0 1 2 100 X的概率分布律为
解 (1)即P{保险公司亏本}=P{X>15}
k C2500 0.002k 0.9982500k k 16 2500
n很大，p很小,我们可以使用近似公式,此时λ=np=5
则
5k e5 P{ X 15} 0.000069 k! k 16
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例5 在保险公司里有2500名同一年龄和同社会阶层的人参 加了人寿保险，在一年中每个人死亡的概率为0.002,每个参加 保险的人在1月1日须交12元保险费,而在死亡时家属可从保险 公司里领取2000元赔偿金.求: (1)保险公司亏本的概率; (2)保险公司获利分别不少于10000元，20000元的概率.
P{X x } p
k
kI a , b
k
更一般地，对于任意集合B
kI B
P{X x } p P{ X B}
k
kI B
k
IB={k:xk∈B}
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二、几种常用的概率分布
1、0－1分布(两点分布) 定义3 设随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律是 P{ X=k }=pk(1-p)1-k， k=0，1 (0<p<1)（2） 则称X服从(0－1)分布或两点分布。 其分布律也可写成： X pk 0 1-p 1 p
P{ X=xk }=pk
k=1，2，…
（1）
称pk为离散型随机变量X的概率分布律，简称为分布律或概率 分布。分布律有时也用表格的形式来表示： X pk
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x1 p1
x2 p2
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… …
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xn pn
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… …
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例1 设有一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯， 每盏信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通行，以X表示汽车 首次停下时，它已通过的信号灯的盏数（设各信号灯的工作 是相互独立的）。求X的分布律。 解 设每盏信号灯禁止汽车通过的概率为p，则X的分布律为： X 0 1 2 3 4
(3) P{ X 1} P{ X 0} P{ X 1}
1 (0.7)9 C9 0.3 (0.7)8 0.1960
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3λ>0是一常数，n是任意正整数， 设npn=λ，则对于任一固定的非负整数k，有
k! 定义6 设随机变量X的全部可能取值为非负整数，且 k e P{ X=k } ＝ k=0，1，2，…， k! λ>0， 则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X~P(λ) 历史上，泊松分布是作为二项分布的近似引入的.实际问
则称X服从参数为p的几何分布,记为X~G(p )。
背景: 独立重复试验中首次成功所需试验次数的概率
例7 已知患色盲者占0.25%,试求: (1)为发现一例患色盲者至少要检查25的概率; (2)为使发现患色盲者的概率不小于0.9,至少要对多少人的 辨色力进行检查? 解:设X为发现一例患色盲者所需要检查的人数,则 X~G(0.0025), p P{ X k} p(1 p) k 1 , k 1,2,3,...
k 25
k 25
(1 p) 24 (0.9975) 24 0.94
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例7 已知患色盲者占0.25%,试求: (1)为发现一例患色盲者至少要检查25的概率; (2)为使发现患色盲者的概率不小于0.9,至少要对多少人的 辨色力进行检查? 解 (2)设至少要对n个人的辨色力进行检查,则
解 (2) P{保险公司获利不少于10000元}
P{30000 2000 X 10000} P{ X 10}
k 0 10 k C2500 0.002k 0.9982500k
5k e5 1 0.986305 k! k 11
类似得 P{保险公司获利不少于20000元}
5k e5 1 0.615961 k! k 6
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例6 商店的历史销售记录表明，某种商品每月的销售量服 从参数为λ=10的泊松分布。为了以95%以上的概率保证该商 品不脱销，问商店在月底至少应进该商品多少件？ 解： 设商店每月销售某种商品X件，月底的进货量为n件， 由题意X~P（10），则 n k
k
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例7 已知患色盲者占0.25%,试求: (1)为发现一例患色盲者至少要检查25的概率; (2)为使发现患色盲者的概率不小于0.9,至少要对多少人的 辨色力进行检查? 解 (1) P{ X 25} p(1 p)k 1
p(1 p)24 (1 p)k 25
由查表知
14
10 10 k ! e 0.95 k 0
10k 10 k ! e 0.9166 0.95, k 0 15 10k 10 k ! e 0.9513 0.95 k 0
故n=15
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4、几何分布* 定义7 设随机变量X可能取值是1,2,3，…它的分布律是 P{ X=k }=p(1-p)k-1， k=1,2,3,… (0<p<1)
P( X k ) 100(0.002)k (0.998)100k (k1 2 100) k
提示 这是不放回抽样 但因元件总数很大 所抽查的元件数与 元件总数之比甚小 故可当作放回抽样处理 即抽查100件产 品可看作每次抽查一件的100重贝努里试验
题中服从泊松分布的随机变量也是比较常见的.如:一段时间内 到达某公园的游客人数，一页书上的印刷错误，电话交换台 在一天中收到的呼唤次数,一定容积内的细菌数,放射物质发出 的粒子数等等,都服从泊松分布.
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limC p n(1 pn ) n
k n k
nk
＝
k e
§2.2 离散型随机变量地概率分布
一、离散型随机变量的概率分布 二、几种常用的离散型分布
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一、离散型随机变量的概率分布律
定义1 如果随机变量X的所有可能取到的值是有限个或可 列无限个，这种随机变量X叫做离散型随机变 量。
定义2 设离散型随机变量X所有可能取的值为xk(k=12，…)， X取各个可能值的概率，即事件{X=xk}的概率为
m 2) C n p m q n m ( p q) n 1 m 0 n
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（3）*二项分布的最可能数和概率最大值 定义5 如果二项分布B(n,p)中P k0＝P{X＝k0}＝
max P {X＝k}＝ max k 0k n
0k n
Pk
则称k0为二项分布b(n,p)的最可能数，此时P k0是概率的最大值。 定理1 ⅰ)如果(n+1)p不是整数，则k0=[(n+1)p]是二项分布 b(n,p)的唯一最可能数，当k≤k0时，概率Pk随k增大而增大；当 k≥ k0时，它随k增大而递减；当k＝ k0时，Pk达到最大值。
P{ X n} 0.9
P{ X n} p(1 p)k 1
k 1 n
1
k n1
p(1 p)k 1 1 (1 p)
n
0.9
∴至少要检查920人
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lg 0.10 n 919.8827 lg 0.9975
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例8 某人进行独立射击 每次的命中率为025 射击进行 到命中目标为止 试求所需的射击次数不多于3次的概率 解 以X表示所需的射击次数 则X服从参数为025的几何 分布 按题意所求概率为 P(X3) P(X1)P(X2)P(X3) 025(1025)025(1025)2025 0578
P{ X m} C nm p m q n m
m＝0，1，…，n （3）
其中0<p<1,q=1-p，因分布律中的每一项正是二项式展开式中 的项，称随机变量服从参数为p的二项分布，记为X~B(n,p)． 当n=1时，二项分布就是参数为p的（0—1）分布．
容易证明： 1) P{ X m} 0, m 0,1,..., n
背景: 如果一个随机试验的样本空间只有两个结果Ω={e1,e2}, 则在Ω上我们总能定义一个服从0-1分布的随机变量
1, X 0,
首页
e e1 e e2
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来描述试验结果.
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2、二项分布 定义4 在n重贝努利试验中，设每次试验事件发生的概率， 则事件发生的次数是一个随机变量，它的分布律为