部编人教版九年级数学下册《锐角三角函数(3)》导学案-新版
人教版九年级下册数学 28.1《锐角三角函数(3)》 教案
28.1 锐角三角函数第三课时(刘佳)一、教学目标1．核心素养:通过30°、45°、60°角的三角函数的学习，初步形成基本的几何直观、运算能力、推理能力.2．学习目标（1）1.1.1能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值.（2）1.1.2能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式，并能根据特殊角的三角函数值求出对应的锐角度数．（3）1.1.3知道锐角三角函数的增减性以及函数值的取值范围.3．学习重点熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数运算式．4．学习难点锐角三角函数的增减性.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1 阅读教材P66－P67，思考：30°、45°、60°角的三角函数值分别是多少？如何求得30°、45°、60°角的三角函数值？任务2 阅读教材P66－P67，思考：锐角三角函数的增减性怎样？锐角三角函数值的取值范围是什么？2．预习自测一、选择题1．tan60°的值等于( )A. 12B.33C.32D. 3答案：D解析：记忆特殊角的三角函数值.故选D.2．在△ABC 中，若21sin -A ＋(cosB －12)2＝0，则∠C 的度数是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°答案：D 解析：因为21sin -A ＋(cosB －12)2＝0，所以21sin -A ＝0，(cosB －12)2＝0， 所以=∠A 30°，=∠B 60°,所以∠C =90°.故选D.二、填空题3.计算：tan45°＋2cos45°＝___________.答案：2解析：tan45=1，cos45°=22，所以原式=2. （二）课堂设计1．知识回顾（1）锐角三角函数：在Rt △ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别记为a 、b 、c ，若∠C=90°，则c a A =sin ，cosA ＝＝b c ，tanA ＝＝a b . （2）含30°角的直角三角形的三边比为2:3:1；含45°角的直角三角形的三边比为2:1:1.（3）勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．2．问题探究问题探究一30°、45°、60 ●活动一 运用旧知，归纳结果引入：还记得我们推导正弦关系的时候所得到的结论吗？即1sin 302︒=，sin 452︒=，你能推导出sin 60︒的值以及30°、45°、60°角的其它三角函数值吗？如图，分别在含30°角和45°角的直角三角形中，设较短边长为1，利用勾股定理和三角函数定义填空：()()=︒30sin ，()()()()==︒45sin ，()()=︒60sin ; ()()=︒30cos ，()()()()==︒45cos ，()()=︒60cos ; ()()()()==︒30tan ，()()____45tan ==︒，()()____60tan ==︒. 归纳结果：（填表）记忆口诀：一二三三二一，戴上根号对半劈；两边根号三，中间竖旗杆；分清是增减，试把分母3来安．问题探究二 ●活动一 运用新知，直接计算例1. 求下列各式的值． （1）cos 260°+sin 260°． （2）cos 45sin 45︒︒-tan45°． 【知识点：特殊角的三角函数】详解：（1）cos 260°+sin 260°=221()2+=1.（2）cos 45sin 45︒︒-tan45°1=0 点拨：cos 260°表示（cos60°）2，准确记忆三角函数值是计算的关键.●活动二 巩固新知，简单应用例2. （1）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90，，，求∠A 的度数．（2）如图，已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 倍，求α．6CB A【知识点：特殊角的三角函数值；数学思想：数形结合】详解：（1）sinA=BC AB∴AB=45°. （2）tan α=AO OBα=60°. 点拨：当A 、B 为锐角时，若A B ≠，则sin sin A B ≠，cos cos A B ≠，tan tan A B ≠.所以，要想求一个锐角的大小，只需求出其三角函数值即可.问题探究三●活动一观察思考，归纳总结思考：锐角α的三角函数值是如何随α的变化而变化的呢？其函数值取值范围是什么？ 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，保持AC 不变，将∠A 逐渐增大，则c a 、c b 、ba 的值发生怎样的变化呢？它们的取值范围是什么呢？归纳结论：①若角α为锐角，则随角α的增大，正弦()αsin ______，余弦()αcos ______，正切()αtan ______.②若角α为锐角，则___<αsin <_____，_____<αcon <____，αan t >_____.3．课堂总结【知识梳理】（1）1sin 302︒=，sin 452︒=，sin 60︒=cos30︒=，cos 452︒=，1cos602︒=，tan 30︒=，tan 451︒=，tan 60︒=（2）若角α为锐角，则随角α的增大，正弦()αsin 逐渐增大，余弦()αcos 逐渐减小，正切()αtan 逐渐增大.（3）若角α为锐角，则0sin 1α<<，0cos 1α<<，tan 0α>.【重难点突破】（1）求解三角函数基本计算和锐角大小，准确记忆特殊角的三角函数值是关键.（2）在求解三角函数相关问题时，要学会运用增减性来确定三角函数的取值范围进而解题.4．随堂检测一、选择题1．在△ABC 中，∠A ＝75°，sinB ＝32，则tanC ＝( ) A.33 B. 3 C ．1 D.32答案：C解析：因为sinB ＝32，所以∠B=60°,所以∠C=45°，tanC ＝1.故选C. 【知识点：特殊角的三角函数，三角形的内角和】2．式子2cos30°－sin 45°－（1－tan60°）2的值是( )A ．0B 2． 2 D ．12- 答案：D解析：cos30°=32,sin 45°°=3,所以原式=1，故选D. 【知识点：特殊角的三角函数】3. 若三角形三个内角的比是1∶2∶3，则它们正弦值的比为（ ）A ．1B ．1∶2C ．1∶2D 2答案：C解析：因为三角形三个内角的比是1∶2∶3，所以三个角分别为30°、60°、90°，正弦值分别为：12321、、，所以正弦值的比为1 2 .故选C. 【知识点：特殊角的三角函数】二、填空题4. 在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝23，则∠A＝_________.答案：60° 解析：tanA=3，所以∠A＝60°.【知识点：特殊角的三角函数】5. 比较下列三角函数值的大小：sin40°_______ cos40°.答案：<解析：cos40°=sin50°，因为正弦函数在（0°，90°）为增函数，所以sin40°<sin50°,即sin40°<cos40°.【知识点：三角函数的增减性，互余两角的三角函数关系】。
锐角三角函数(第三课时)(导学案)-九年级数学下册同步备课系列(人教版)
28.1锐角三角函数（第三课时）导学案学习目标1.能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据三角函数值说出对应锐角度数；2.能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式；3.结合锐角三角函数概念和含特殊角的直角三角形的性质，推导特殊角的三角函数值，了解知识之间的关系，学会综合运用，认识到三角函数也属于数的运算系列，掌握由角到边和由边到角的转换.重点难点突破★知识点1：30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：核心知识一、30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：引入新课【提问】简述正弦、余弦、正切的概念？新知探究【问题一】下面两块三角尺有几个不同的锐角？【问题二】在Rt△ABC中，∠C=90，∠B=30°，求：sin30°，cos30°，tan30°.【问题三】在Rt△ABC中，∠C=90，∠A=60°，求：sin60°，cos60°，tan60°.【问题四】在Rt△ABC中，∠C=90，∠A=45°，求：sin45°，cos45°，tan45°.由此我们得出：30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：【问题五】观察特殊角的三角函数值，你发现了什么？典例分析例1如果α是锐角，푠� �=32，那么cosα的值是（）A．12B．22C．32D．33【针对训练】1.已知∠A是锐角，且满足3tanA﹣3＝0，则∠A的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．无法确定2.三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（）A．cos43°＞cos16°＞sin30°B．cos16°＞sin30°＞cos43°C．cos16°＞cos43°＞sin30°D．cos43°＞sin30°＞cos16°3.在实数0、−3、푡� 45°、−1中，最大的是（）A．0B．−3C．푡� 450D．-14.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，tanA＝1，sinB＝22，你认为△ABC最确切的判断是（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．锐角三角形5.已知△ABC的∠A与∠B满足(1－tanA)2＋|sinB－32|＝0，判断△ABC的形状例2求下列各式的值：(1)cos260°+sin260°(2)푐�푠45°푠� 45°-tan45°【针对训练】1.计算sin245°+cos30°·tan60°，其结果是()A．2B．1C．52D．542.计算：（12）﹣1﹣tan60°•cos30°＝（）A．﹣12B．1C．12D．323.21+(−12)−2−2푠� 45°=______．4.计算：4푠� 30°−2푐�푠45°+푡� 60°=___________.5.计算：1）4cos30∘−3tan60∘+2sin45∘⋅cos45∘2）|﹣3|+3tan30°﹣8+2cos45°﹣（2018﹣π）06.已知α为锐角，且tanα是方程x2+2x-3=0的一个根，求2sin2α+cos2α-3tan(α+15°)的值．感受中考1．（2023·天津·中考真题）sin45°+2的值等于（）2A．1B．2C．3D．2 2．（2023·四川眉山·中考真题）计算：23−�0−1−3+3tan30°+−1223．（2023·四川内江·中考真题）计算：(−1)2023+122+3tan30°−3−�0+32−2cos60°．4．（2023·内蒙古·8−2+(�−2023)0+−122课堂小结1.通过本节课的学习，你学会了哪些知识？2.简述30°、45°、60°角的三角函数值？【参考答案】新知探究【问题一】下面两块三角尺有几个不同的锐角？30°、60°、45°【问题二】在Rt△ABC中，∠C=90，∠B=30°，求：sin30°，cos30°，tan30°.假设30°角所对的边AC=a，则AB=2a，由勾股定理得BC=퐴 2−퐴 2=3a sin30°=퐴 퐴 =�2�=12cos30°= 퐴 =3�2�=32tan30°=퐴 =�3�=33【问题三】在Rt△ABC中，∠C=90，∠A=60°，求：sin60°，cos60°，tan60°.假设30°角所对的边AC=a，则AB=2a，由勾股定理得BC=퐴 2−퐴 2=3a sin60°= 퐴 =3�2�=32cos60°=퐴 퐴 =�2�=12tan60°= 퐴 =3��=3【问题四】在Rt△ABC中，∠C=90，∠A=45°，求：sin45°，cos45°，tan45°.假设AC=BC=a，由勾股定理得AB=퐴 2+ 2=2asin45°=퐴 퐴 =�2�=22cos45°= 퐴 =�2�=22tan45°=퐴 =��=1由此我们得出：30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：【问题五】观察特殊角的三角函数值，你发现了什么？1）α为锐角，对于sinα与tanα，角度越大，函数值越大；对于cosα，角度越大，函数值越小. 2）互余的两角之间的三角函数关系：若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB，即一个锐角的正弦值等于这个角的余角的余弦值.cosA=sinB，即一个锐角的余弦值等于这个角的余角的正弦值.tanA·tanB=1，即一个锐角的正切值与这个角的余角的正切值互为倒数.典例分析例1如果α是锐角，푠� �=32，那么cosα的值是（A）A．12B．22C．32D．33【针对训练】1.已知∠A是锐角，且满足3tanA﹣3＝0，则∠A的大小为（A）A．30°B．45°C．60°D．无法确定2.三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（C）A．cos43°＞cos16°＞sin30°B．cos16°＞sin30°＞cos43°C．cos16°＞cos43°＞sin30°D．cos43°＞sin30°＞cos16°3.在实数0、−3、푡� 45°、−1中，最大的是（C）A．0B．−3C．푡� 450D．-14.在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，tanA ＝1，sinB ＝22，你认为△ABC 最确切的判断是（B ）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．锐角三角形5.已知△ABC 的∠A 与∠B 满足(1－tanA)2＋|sinB －32|＝0，判断△ABC 的形状解：∵(1－tanA)2＋|sinB －32|＝0∴tanA ＝1，sinB ＝32∴∠A ＝45°，∠B ＝60°则∠C ＝180°－45°－60°＝75°∴△ABC 是锐角三角形．例2求下列各式的值：(1)cos 260°+sin 260°(2)푐�푠45°푠� 45°-tan45°解：1）cos 260°+sin 212+32=12）푐�푠45°푠� 45°-tan45°=22÷22-1=0【针对训练】1.计算sin 245°+cos 30°·tan 60°，其结果是(A )A ．2B ．1C ．52D ．542.计算：（12）﹣1﹣tan60°•cos30°＝（C ）A ．﹣12B ．1C ．12D ．323.21+(−12)−2−2푠� 45°=___3___．4.计算：4푠� 30°−2푐�푠45°+푡� 60°=_____1+3______.5.计算：1）4cos30∘−3tan60∘+2sin45∘⋅cos45∘2）|﹣3|+3tan30°﹣8+2cos45°﹣（2018﹣π）0解：1)原式=4×32-3×3+2×22×22=1-32）原式＝3+3×33﹣22+2×22﹣1=3+1−22+2−1=3−2．6.已知α为锐角，且tanα是方程x 2+2x-3=0的一个根，求2sin 2α+cos 2α-3tan (α+15°)的值．解：解方程x 2+2x-3=0，得x 1=1，x 2=-3.∵tanα＞0，∴tanα=1，∴α=45°.∴2sin 2α+cos 2α－3tan (α+15°)=2sin 245°+cos 245°－tan60°=2（22）2+（22）2－3×3=-32感受中考1．（2023·天津·中考真题）sin 45°+22的值等于（B ）A ．1B ．2C ．3D ．22．（2023·四川眉山·中考真题）计算：23−�0−1−3+3tan 30°+−122解：原式=1−3−1+3×33+4=1−3+1+3+4=6．3．（2023·四川内江·中考真题）计算：(−1)2023+122+3tan 30°−3−�+32解：−12023+122+3tan 30°−3−�+32=−1+4+3×33−1+2−3=1+4+3−1+2−3=4．4．（2023·内蒙古·8−2+(�−2023)0+−122−2cos 60°．解：原式=8−2+1+4−2×12=22−2+1+4−1=22+2。
新人教版初中数学九年级下册第28章锐角三角函数精品导学案
C BC B C BA 斜边c对边a bCB(2)1353B A(1)34CB 课题：28．1锐角三角函数（1） 目标导航： 【学习目标】⑴: 经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。
⑵: 能根据正弦概念正确进行计算 【学习重点】理解正弦（sinA ）概念，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．【学习难点】当直角三角形的锐角固定时，，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。
【导学过程】 一、自学提纲： 1、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=10m ，•求AB2、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20m ，•求BC二、合作交流：问题： 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，•在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？思考1：如果使出水口的高度为50m ，那么需要准备多长的水管？ ； 如果使出水口的高度为a m ，那么需要准备多长的水管？ ；结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值 思考2：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，∠A 对边与斜边 的比值是一个定值吗？•如果是，是多少？结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值三、教师点拨：从上面这两个问题的结论中可知，•在一个Rt △ABC 中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A 的对边与斜边的比都等于12，是一个固定值；•当∠A=45°时，∠A 当∠A 取其他一定度数的锐角时，•它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？ 探究：任意画Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′，使得∠C=∠C ′=90°， ∠A=∠A ′=a ，那么''''BC B C AB A B 与有什么关系．你能解释一下吗？结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，•∠A 的对边与斜边的比 正弦函数概念：规定：在Rt △BC 中，∠C=90，∠A 的对边记作a ，∠B 的对边记作b ，∠C 的对边记作c ．在Rt △BC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sinA= =a c． sinA ＝A a A c∠=∠的对边的斜边例如，当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°= ；当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°= ． 四、学生展示：例1 如图，在Rt △ABC 中， ∠C=90°，求sinA 和sinB 的值 随堂练习 （1）： 做课本第79页练习． 随堂练习 （2）： 1．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin α的值是﹙ ﹚A ．43B ．34C ．53D ．542．如图，在直角△ABC 中，∠C ＝90o，若AB ＝5，AC ＝4，则sinA ＝（ ）A斜边c 对边a b C B A ．35 B ．45 C ．34 D ．433． 在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，sinA=23，则边AC 的长是( )A ．13B ．3C ．43D ． 54．如图，已知点P 的坐标是（a ，b ），则sin α等于（ ）A ．a bB ．baCD 五、课堂小结：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A •的对边与斜边的比都是 ． 在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A •的 ，•记作 ， 六、作业设置：课本 第85页 习题28．1复习巩固第1题、第2题．（只做与正弦函数有关的部分） 七、自我反思：本节课我的收获: 。
人教版九年级数学下册 28.1 锐角3角函数(第1课时) 精品导学案 新人教版
CB A 锐角三角函数课题：28.1锐角三角函数（第一课时） 序号学习目标：1、知识和技能： 了解锐角的正弦的概念，并能利用概念求一个角的正弦。
2、过程和方法：经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。
能根据正弦概念正确进行计算。
3、情感、态度、价值观：认识数学的相互联系。
学习重点：理解正弦（sinA ）概念，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．学习难点：当直角三角形的锐角固定时，，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。
导学过程：一、课前导学：阅读教材P74-75页。
二、课堂导学：情境导入：• 为什么在一个Rt △ABC 中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A 的对边与斜边的比都等于12。
2、出示任务，自主学习：经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。
能根据正弦概念正确进行计算3、合作探究：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，∠A 对边与斜边的比值是一个定值吗？•如果是，是多少？结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值三、展示与反馈：1.《导学案》P80页“自主测评”2.《导学案》P81页“评价归纳随堂练习 ：1．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin α的值是﹙ ﹚A ．43B ．34C ．53D ．542．如图，在直角△ABC 中，∠C ＝90o ，若AB ＝5，AC ＝4，则sinA ＝（ ） A ．35 B ．45 C ．34 D ．433． 在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，sinA=23，则边AC 的长是( ) A ．13 B ．3 C ．43D ． 5 4．如图，已知点P 的坐标是（a ，b ），则sin α等于（ ）CB AA．ab B．ba C．2222.a bDa b a b++四、学习小结：1.锐角的正弦的概念2.能根据正弦概念正确进行计算五、达标检测：《导学案》P81页“深化拓展”课后练习：课本第85页习题28．1复习巩固第1题、第2题．（只做与正弦函数有关的部分）板书设计： 28.1锐角三角函数1、锐角三角函数。
人教版九年级数学下册《28.1锐角三角函数(3)》教案(教学设计)
人教版九年级数学下册《28.1锐角三角函数（3）》教案（教学设计）
【活动二】运用特殊角的三角函数值进行计算
例1：求下列各式的值： （1）2
2
cos 60sin 60+；
（2）cos 45
tan 45sin 45
-．
例2．（1）如图（1），在Rt △ABC 中，∠C=90， AB=6，BC=3，求∠A 的度数．
（2）如图（2）已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径 OB 的3倍，求a ．
例2：操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆
高度，小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为30度，并已知目高为1.65米．然后他很快就算出旗杆的高度了。
1.65米
10米
?
你想知道小明怎样算出的吗？
应用生活
30°
三、巩固练习、应用提高
A ：P67第1题
B ：P67第2题
通过例题，加深学生对特殊角的三角函数值的记忆和应用，提高学生的运算能力。
利用此题目（1）培养学生的逆向思维；（2）初次渗透在直角三角形中，利用边角关系求角的度数，这也是解直角三角形的一部分
在直角三角形中，利用边角关系，解决实际问题
通过习题，加深学生对特殊角的三角函数值的记忆和应用，提高学生的运算能力
2
A=，则∠
3。
锐角三角函数(第三课时)导学案
年级：九年级 班级： 学生姓名： 制作人： 不知名 编号：2023-1228.1锐角三角函数（第三课时）【学习目标】1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义；(重点)2．能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；(重点)3．能够结合30°、45°、60°的三角函数值解决简单实际问题．(难点)【预学案】1.一个直角三角形中，一个锐角的正弦是怎么定义的？ ；一个锐角的余弦是怎么定义的？ ；一个锐角的正切是怎么定义的？ .2.互余的两角之间的三角函数关系：若∠A +∠B =90°，则sin A cos B ，cos A sin B ，tan A ·tan B = .【探究案】1.两块三角尺中有几个不同的锐角？各是多少度？这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值各是多少？30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：2.求下列各式的值．（1）cos 260°+sin 260°． （2）-tan45°．3.如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AB =，BC =，求 ∠A 的度数； cos 45sin 45︒︒634．如图，AO 是圆锥的高，OB 是底面半径，AO =OB ，求的度数.【检测案】1. ，锐角的度数应是（ ）A.40°B.30°C.20°D. 10° 2. 已知∠A 为锐角，，则下列正确的是（ ） 3. 在 △ABC 中，若，则∠C = . 4. 求下列各式的值：5. 如图，在△ABC 中，∠A =30°， ，求 AB 的长度.6. 已知，△ABC 中的∠A 和∠B 满足| tan B |＋(2 sin A )2＝0，求∠A ，∠B 的度数。
人教版数学九年级下册28.1《锐角三角函数》教案3
人教版数学九年级下册28.1《锐角三角函数》教案3一. 教材分析人教版数学九年级下册28.1《锐角三角函数》是本册的一个重要内容。
在此之前，学生已经学习了锐角三角形的性质，本节课将引导学生进一步探究锐角三角形的边长与角度之间的关系，为后续学习三角函数的图像和性质打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对锐角三角形有了一定的了解。
但是，对于锐角三角形的边长与角度之间的具体关系，可能还存在着一定的模糊认识。
因此，在教学过程中，需要通过具体实例，引导学生直观地感受和理解锐角三角形的边长与角度之间的关系。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解锐角三角函数的概念，掌握正弦、余弦、正切函数的定义和性质；2.过程与方法：通过实际问题，培养学生运用锐角三角函数解决问题的能力；3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。
四. 教学重难点1.重点：锐角三角函数的概念和性质；2.难点：正弦、余弦、正切函数的图像和性质。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法、合作学习法等多种教学方法，引导学生通过自主学习、合作探讨，掌握锐角三角函数的知识。
六. 教学准备1.教师准备：教材、教案、课件、教学工具等；2.学生准备：课本、笔记本、文具等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，如测量一个未知角度的三角形的边长，引发学生对锐角三角函数的思考，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（15分钟）讲解锐角三角函数的概念，引导学生通过直观的图示和实例，理解正弦、余弦、正切函数的定义和性质。
3.操练（15分钟）让学生通过自主学习和合作探讨，完成课本上的练习题，巩固所学的锐角三角函数知识。
4.巩固（10分钟）通过一些实际问题，让学生运用所学的锐角三角函数知识解决问题，加深对知识的理解和运用。
5.拓展（10分钟）引导学生思考锐角三角函数在实际生活中的应用，如建筑设计、工程测量等，培养学生的应用意识。
人教版九年级数学专题复习《锐角三角函数》学习任务单(公开课导学案)及作业设计
人教版九年级数学专题复习《锐角三角函数》学习任务单及作业设计【学习目标】1.复习梳理锐角三角函数的有关知识，巩固解直角三角形的方法；2.提高数形结合的意识、转化的意识、方程的意识，能综合利用锐角三角函数、三角形全等、勾股定理等知识解决问题；3.进一步体会锐角三角函数在解决实际问题中的应用，提高应用意识.【学习准备】准备好复习学案。
边观看边梳理。
【学习方式和环节】观看视频课学习，适时控制播放，按老师指令完成相应的复习和梳理，学习环节主要有：复习梳理锐角三角函数相关知识→运用锐角三角函数知识解决问题→反思小结。
例1：在直角三角形ABC中，若∠A＝90°，，BC＝10.求（1）tanB 的值；（2）AC 的长和 AB 的长.例 2：如图，在三角形ABC中，若∠BAC＝105°，∠B＝45°,AB＝则 AC 的长为________；△ABC 的面积为____________.例 3：已知⊙O的半径为R，BC为⊙O的弦，BC＝a（a＜2R），点A在优弧BC上.则（1）sinA 的值为____________;（2）当∠BAC＝60°时，a:R＝_______;（3）当a=时，∠BAC＝______.例 4：如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处. 已知折痕，且.则矩形 ABCD 的周长为___________.例 5 如图,在一次数学课外实践活动中,要求测教学楼的高度AB.小刚在D处用高1. 5m 的测角仪CD,测得教学楼顶端A的仰角为30°,然后向教学楼前进40m到达E处,又测得教学楼顶端A的仰角为60°.求这幢教学楼的高度AB.【作业设计】1.计算：.2.如图，在矩形 ABCD 中，DE⊥AC于E，设，AB=4，则 AD 的长为（）3.如图，某船以每小时 36 海里的速度向正东方向航行，在点 A 测得某岛 C 在北偏东 60°方向上，航行半小时后到达点 B，测得该岛在北偏东 30°方向上，已知该岛周围 16 海里内有暗礁．若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．4.已知：如图，点 C 在以 AB 为直径的⊙O 上，点 D 在 AB 的延长线上，CD是⊙O 的切线，过切点 C 作 CE⊥AB 于 E．若 CE=2，，求 AD 的长．【参考答案】1.解：原式=2. B3.解：法 1 过点 C 作 CH⊥AB，垂足为 H，在 Rt△CHB 中，∠BCH=30°，设 BH=x，则 CH=.在 Rt△ACH 中，∠CAH=30°，∴.∵AH=AB+BH，∴ 3x=18+x，解得 x=9．,∴船继续向东航行有触礁的危险．解：法 2 由题意知，∠CAB=30°，∠ABC=120°，∴∠ACB=30°．∴AB=BC=18．作 CH⊥AB 于 H，在 Rt△CBH 中，∵∠BCH=30°，.∵CH＜16，∴船继续向东航行有触礁的危险．4.解：如图，连接 OC∵CD 是⊙O 的切线，∴OC⊥DC 于 C，∴∠OCD=90°．∵在 Rt△OCD 中，。
九年级数学下册 28.1 锐角三角函数(第3课时)导学案(无
锐角三角函数【学习目标】⑴: 能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。
⑵: 能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式【学习重点】熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式【学习难点】30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程【导学过程】一、自学提纲：一个直角三角形中，一个锐角正弦是怎么定义的？一个锐角余弦是怎么定义的？一个锐角正切是怎么定义的？二、合作交流：思考：两块三角尺中有几个不同的锐角？是多少度？你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值码？．三、教师点拨：30°45°60°siaAcosAtanA例3：求下列各式的值．（1）cos260°+sin260°．（2）cos45sin45︒︒-tan45°．例4：（1）如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90，6，3，求∠A的度数．（2）如图（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 的3倍，求a ．四、学生展示：一、课本67页 第1 题 课本67页 第 2题 二、选择题．1．已知：Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=35 ，AB=15，则AC 的长是（ ）．A ．3B ．6C ．9D ．12 2．下列各式中不正确的是（ ）．A ．sin 260°+cos 260°=1 B ．sin30°+cos30°=1 C ．sin35°=cos 55° D ．tan45°>sin45° 3．计算2sin30°-2cos60°+tan 45°的结果是（ ）． A ．2 B ．3 C ．2 D ．1 4．已知∠A 为锐角，且cosA ≤12，那么（ ）A ．0°<∠A ≤60°B ．60°≤∠A<90°C ．0°<∠A ≤30°D ．30°≤∠A<90°5．在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=12 ，cosB=32，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．不能确定6．如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，BC=3，AC =4，设∠BCD=a ，则tana•的值为（ ）．A ．34B ．43C ．35D ．457．当锐角a>60°时，cosa 的值（ ）．A ．小于12B ．大于12C ．大于 3 2D ．大于18．在△ABC 中，三边之比为a ：b ：c=132，则sinA+tanA 等于（ ）．A ．32313331.3.6222B C D ++9．已知梯形ABCD 中，腰BC 长为2，梯形对角线BD 垂直平分AC ，若梯形的高是3，•则∠CAB 等于（ ）A ．30°B ．60°C ．45°D ．以上都不对10．sin 272°+sin 218°的值是（ ）． A ．1 B ．0 C ．12 D ． 3 211．若（ 3 tanA-3）2+│2cosB- 3 │=0，则△ABC （ ）．A ．是直角三角形B ．是等边三角形C ．是含有60°的任意三角形D ．是顶角为钝角的等腰三角形 三、填空题．12．设α、β均为锐角，且sin α-cos β=0，则α+β=_______．13．cos 45sin 301cos 60tan 452︒-︒︒+︒的值是_______．14．已知，等腰△ABC•的腰长为4 3 ，•底为30•°，•则底边上的高为______，•周长为______． 15．在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知tanB= 52，则cosA=________．五、课堂小结：要牢记下表： 30° 45° 60° siaA cosA tanA六、作业设置：七、自我反思：本节课我的收获: 。
人教版数学九年级下册28.1《锐角三角函数》教学设计3
人教版数学九年级下册28.1《锐角三角函数》教学设计3一. 教材分析人教版数学九年级下册28.1《锐角三角函数》是本节课的主要内容。
这部分内容是在学生已经掌握了锐角的定义、直角、钝角的概念以及三角函数的定义的基础上进行讲解的。
本节课的主要目的是让学生了解并掌握锐角三角函数的概念、性质和应用，为后续学习更高级的三角函数知识打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对锐角、直角、钝角等概念有一定的了解。
但是，对于锐角三角函数的定义、性质和应用，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生从实际问题中抽象出锐角三角函数的概念，并通过大量的例子来帮助学生理解和掌握其性质和应用。
三. 教学目标1.了解锐角三角函数的定义、性质和应用。
2.能够运用锐角三角函数解决一些实际问题。
3.培养学生的抽象思维能力和数学应用能力。
四. 教学重难点1.锐角三角函数的定义和性质。
2.锐角三角函数在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中抽象出锐角三角函数的概念。
2.通过大量的例子，帮助学生理解和掌握锐角三角函数的性质和应用。
3.采用小组合作学习的方式，让学生在讨论中加深对知识的理解。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生抽象出锐角三角函数的概念。
2.准备大量的例子，用于讲解和巩固锐角三角函数的性质和应用。
3.准备小组讨论的问题和任务。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际问题，引导学生从实际问题中抽象出锐角三角函数的概念。
2.呈现（15分钟）讲解锐角三角函数的定义、性质和应用，通过大量的例子来帮助学生理解和掌握。
3.操练（15分钟）让学生独立完成一些练习题，巩固对锐角三角函数的理解。
4.巩固（10分钟）让学生分小组讨论，共同解决一些有关锐角三角函数的应用问题。
5.拓展（10分钟）引导学生思考锐角三角函数在实际生活中的应用，提出一些拓展问题。
人教版9年级下册数学 特殊角的锐角三角函数(导学案)
28.1 锐角三角函数第3课时特殊角的锐角三角函数一、新课导入1.课题导入情景：出示一副三角尺，老师手中的两块三角尺中有几个不同的锐角？问题：分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值.本节课我们学习30°，45°，60°角的三角函数值.（板书课题）2.学习目标（1）推导并熟记30°，45°，60°角的三角函数值.（2）能运用30°，45°，60°角的三角函数值进行简单的计算.（3）能由30°，45°，60°角的三角函数值求对应的锐角.（4）会运用计算器求锐角三角函数的三角函数值和由三角函数值求锐角.3.学习重、难点重点：推导并熟记30°，45°，60°角的三角函数值.难点：相关运算.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P65探究~P66例3上面的内容.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：完成探究提纲.②通过计算，得到30°，45°,60°角的正弦值、余弦值、正切值如下表：③观察上表，sin30°，sin45°，sin60°的值有什么规律？cos30°，cos45°，cos60°呢？tan30°，tan45°，tan60°呢？2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：明了学生能否推导30°，45°，60°角的三角函数值.②差异指导：根据学情进行针对性指导.（2）生助生：小组内相互交流、研讨、纠正错误.4.强化：特殊角的三角函数值的推导和记忆以及30°，45°，60°角的正弦值、余弦值、正切值的变化规律.1.自学指导（1）自学内容：教材P66例3~P67练习上面的内容.（2）自学时间：10分钟.（3）自学方法：先自主学习，再同桌之间讨论交流，互相纠错.（4）自学参考提纲：①含30°，45°，60°角的三角函数值的计算题的解题要点是什么？熟练掌握特殊锐角的三角函数值.②求直角三角形中某锐角的解题要点是什么？先求该锐角的正弦值或余弦值或正切值，然后根据特殊锐角的三角函数值求该锐角的度数.③求下列各式的值： 1-2sin30°cos30°;=1-2×12×2=.3tan30°-tan45°+2sin60°;=3-1+2= (cos230°+sin230°)×tan60°.=[）2+（12）2]×3 =错误!未指定书签。
人教版九年级数学下册第二十八章锐角三角函数第3课时教案
人教版九年级数学下册第二十八章锐角三角函数第3课时教案教学目标：知识与技能：1、使学生了解一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系．2、使学生了解同一个锐角正弦与余弦之间的关系3、使学生了解正切与正弦、余弦的关系4、使学生了解三角函数值随锐角的变化而变化的情况过程与方法：1．通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．2．锐角正弦、余弦和正切与正弦、余弦之间的关系，了解锐角三角函数的内涵。
情感态度与价值观：引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯，让学生通过独立思考，自主探究和合作交流进一步体会旋转的数学内涵，获得知识，体验成功，享受学习乐趣．重难点、关键：1．重点：三个锐角三角函数间几个简单关系．2．难点：能独立根据三角函数的定义推导出三个锐角三角函数间几个简单关系． 教学过程：一、复习旧知、引入新课【复习】叫学生结合直角三角形说出正弦、余弦、正切的定义二、探索新知、分类应用【活动一】锐角三角函数间几个简单关系讨论：1、从定义可以看出sin A 与cos B 有什么关系？sin B 与cos A 呢？满足这种关系的A ∠与B ∠又是什么关系呢？2、利用定义及勾股定理你还能发现sin A 与cos A 的关系吗？3、再试试看tan A 与sin A 和cos A 存在特殊关系吗？经过教师引导学生探索之后总结出如下几种关系：结论：（1）若90A B ∠+∠= 那么sin A =cos B 或sin B =cos A（2）22sin cos 1A A +=（3）sin tan cos A A A= 4、在正弦中它的值随锐角的增大而增大还是随锐角的增大而减少？为什么？余弦呢？正切呢？通过一番讨论后得出：结论：（1）锐角的正弦值随角度的增加(或减小)而增加(或减小)；（2）锐角的余弦值随角度的增加(或减小)而减小(或增加)；（3）锐角的正切值随角度的增加(或减小)而增加(或减小)。
《锐角三角函数》 导学案
《锐角三角函数》导学案一、学习目标1、理解锐角三角函数的定义，能够准确说出正弦、余弦、正切的概念。
2、掌握锐角三角函数的求值方法，会利用已知条件求出锐角的三角函数值。
3、能够运用锐角三角函数解决与直角三角形相关的实际问题。
二、学习重难点1、重点（1）锐角三角函数的概念，包括正弦、余弦、正切的定义。
（2）特殊锐角（30°、45°、60°）的三角函数值及其应用。
2、难点（1）理解锐角三角函数的本质，以及如何在直角三角形中准确地表示出三角函数值。
（2）运用锐角三角函数解决实际问题时，如何将实际问题转化为数学模型。
三、知识回顾1、直角三角形的性质（1）直角三角形的两个锐角互余。
（2）直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和（勾股定理）。
2、相似三角形的性质（1）对应角相等，对应边成比例。
（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
四、新课导入在生活中，我们常常会遇到需要测量高度、距离等问题，比如测量大树的高度、河流的宽度等。
而这些问题往往可以通过直角三角形的知识来解决。
今天，我们就来学习一种新的数学工具——锐角三角函数，它将帮助我们更方便、更准确地解决这类问题。
五、知识讲解1、锐角三角函数的定义在直角三角形中，如果一个锐角的对边与斜边的比值是一个固定值，那么这个比值就叫做这个锐角的正弦，记作 sinA。
即 sinA ＝对边／斜边。
同理，如果一个锐角的邻边与斜边的比值是一个固定值，那么这个比值就叫做这个锐角的余弦，记作 cosA。
即 cosA ＝邻边／斜边。
如果一个锐角的对边与邻边的比值是一个固定值，那么这个比值就叫做这个锐角的正切，记作 tanA。
即 tanA ＝对边／邻边。
例如，在直角三角形 ABC 中，∠C ＝ 90°，∠A 为锐角，BC 为∠A 的对边，AC 为∠A 的邻边，AB 为斜边。
则 sinA ＝ BC ／ AB，cosA ＝ AC ／ AB，tanA ＝ BC ／ AC。
九年级数学下册28.1锐角三角函数(3)导学案
A CB c ba 第三课时 第28章 锐角三角函数——特殊角三角函数值一、学习目标(1) 能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数(2) 能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式二、归纳总结在Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A、∠B、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则：①正弦：ABBC c a A A 或斜对sin =∠=边边的 ②余弦：ABAC c b A A 或斜邻cos =∠=边边的 ③正切：AC BC b a A A A 或邻对tan =∠∠=边的边的例题1：求下列各式的值．（1） cos 260°+sin 260° （2）cos 45sin 45︒︒-tan45° 解：原式=222123⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 解：原式= ==练习：求下列各式的值（1） ︒-︒•︒60sin 30cos 30sin 2 （2） ︒•︒-30cos 30sin 21（3） ︒+︒-︒60sin 245tan 30tan 3 （4）︒+︒+︒30tan 160sin 160cos242223B A B C 例题2：如图（1），在Rt △ABC 中，∠C=90，6，3A 的度数 如图（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 3倍，求a ．解：（1）===63sin AB BC A ； 所以︒=∠_____A（2）==OB AO αtan ； 所以︒=∠_____α练习：如下图，在Rt △ABC 中，∠C=90，请你根据图中给出的条件求出∠A 的度数A 组练习：1、计算（1）︒+︒60tan 30cos 2 （2）︒+︒45cos 45sin 22（3）2245sin +︒ （4）︒︒+︒30cos 60tan 45cos 212、如下图，在Rt △ABC 中，∠C=90，请你根据图中给出的条件求出∠A 的度数3、填空（1）21sin =α,则︒=∠_____α （2）21)50sin(=-︒α，则︒=∠_____α （3）212sin =α，则︒=∠_____α （4）23)90cos(=-︒α，则︒=∠_____α （5）33tan =α，则︒=∠_____α4、在Rt △ABC 中，∠C=90，7=BC ，21=AC ，求A ∠，B ∠的度数B 组题：1、已知︒•︒=60tan 30tan m ，则m 的值等于（ ）A ．21 B ．23 C ．1 D ．不确定 2、已知：Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=35，AB=15，则AC 的长是（ ）． A ．3 B ．6 C ．9 D ．123、下列各式中不正确的是（ ）A ．sin 260°+cos 260°=1B ．sin30°+cos30°=1C ．sin35°=cos55° D ．tan45°>sin45°4、计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（ ）．A ．2B D ．15、已知∠A 为锐角，且cosA ≤12，那么（ ） A ．0°<∠A ≤60°B ．60°≤∠A<90° C ．0°<∠A ≤30°D ．30°≤∠A<90°6、如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，BC=3，AC=4，设∠BCD=α，则tan α的值为（ ）A ．34B ．43C ．35D ．457、已知梯形ABCD 中，腰BC 长为2，梯形对角线BD 垂直平分AC 3，•则∠CAB 等于（ ）A ．30°B ．60°C ．45°D ．以上都不对10．sin 272°+sin 218°的值是（ ）．A ．1B ．0C ．12D ． 32。
九年级数学下册 28.1 锐角三角函数(第3课时)学案 新人教版(2021学年)
高中数学学习材料唐玲出品2.2分层抽样与系统抽样[读教材·填要点]1．分层抽样的概念将总体按其属性特征分成若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本．这种抽样方法通常叫作分层抽样，有时也称为类型抽样．2．系统抽样的概念系统抽样是将总体的个体进行编号，按照简单随机抽样抽取第一个样本，然后按相同的间隔(称为抽样距)抽取其他样本．系统抽样又叫等距抽样或机械抽样．[小问题·大思维]1．分层抽样时为什么要将总体分成互不重叠的层？提示：在总体中由于个体之间存在着明显的差异，为了使抽取的样本更合理，更具有代表性，所以将总体分成互不重叠的层，而后独立地抽取一定数量的个体．2．系统抽样的第二步中，当Nn不是整数时，从总体中剔除一些个体采用的方法是什么？影响系统抽样的公平性吗？提示：剔除一些个体可以用简单随机抽样抽取，不影响系统抽样的公平性．[研一题][例1]某企业共有3 200名职工，其中青、中、老年职工的比例为3∶5∶2.若从所有职工中抽取一个容量为400的样本，则采用哪种抽样方法更合理？青、中、老年职工应分别抽取多少人？每人被抽到的可能性相同吗？[自主解答] 因为总体由差异明显的三部分(青、中、老年)组成，所以采用分层抽样的方法更合理．因为青、中、老年职工的比例是3∶5∶2，所以应分别抽取：青年职工400×310＝120(人)；中年职工400×510＝200(人)； 老年职工400×210＝80(人)． 由样本容量为400，总体容量为3 200可知，抽样比是4003 200＝18，所以每人被抽到的可能性相同，均为18. [悟一法]分层抽样的步骤：(1)根据已经掌握的信息，将总体分成互不重叠的层；(2)根据总体中的个体数N 和样本容量n 计算抽样比 k ＝n N； (3)确定第i 层应该抽取的个体数目n i ＝N i ×k (N i 为第i 层所包含的个体数)，使得各n i 之和为n ；(4)在各层中，按步骤(3)中确定的数目在各层中随机地抽取个体，合在一起得到容量为n 的样本．[通一类]1．某城市有210家百货商店，其中大型商店20家，中型商店40家，小型商店150家．为了掌握各商店的营业情况，计划抽取一个容量为21的样本，按照分层抽样方法抽取时，各种百货商店分别要抽取多少家？写出抽样过程．解：第一步：样本容量与总体容量的比为21210＝110；第二步：确定各种商店要抽取的数目：大型商店：20×110＝2(家)，中型商店：40×110＝4(家)，小型商店：150×110＝15(家)；第三步：采用简单随机抽样在各层中分别抽取大型商店2家，中型商店4家，小型商店15家，综合每层抽样即得样本.[研一题][例2] 相关部门对某食品厂生产的303盒月饼进行质量检验，需要从中抽取10盒，请用系统抽样法完成对此样本的抽取．[自主解答] 第一步 将303盒月饼用随机的方式编号．第二步 从总体中剔除3盒月饼，将剩下的300盒月饼重新编号(分别为000,001，…，299)，并分成10段．第三步 在第一段中用简单随机抽样抽取起始号码l .第四步 将编号为l ，l ＋30，l ＋2×30，…，l ＋9×30的个体取出，组成样本．[悟一法]1．当总体容量能被样本容量整除时，分段间隔k ＝N n；当用系统抽样抽取样本时，通常是将起始数s 加上间隔k 得到第2个个体编号(s ＋k )，再加k 得到第3个个体编号(s ＋2k )，依次进行下去，直到获得整个样本．2．当总体容量不能被样本容量整除时，可以先从总体中随机剔除几个个体，但要注意的是剔除过程必须是随机的，也就是总体中的每个个体被剔除的机会均等，剔除几个个体后使总体中剩余的个体能被样本容量整除，然后再按系统抽样方法抽取样本．[通一类]2．为了了解某地区今年高一学生期末考试数学学科的成绩，拟从参加考试的15 000名学生的数学成绩中抽取容量为150的样本．请用系统抽样写出抽取过程．解析：(1)对全体学生的数学成绩进行编号：1,2,3，…，15 000.(2)分段：由于样本容量与总体容量的比是1∶100，所以我们将总体平均分为150个部分，其中每一部分包含100个个体．(3)在第一部分即1号到100号用简单随机抽样抽取一个号码，比如是56.(4)以56作为起始数，然后依次抽取156,256,356，…，14 956，这样就得到容量为150的一个样本.[研一题][例3] 选择恰当的抽样方法，并写出抽样过程．(1)有30个篮球，其中，甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，现抽取10个作样品；(2)有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，现取出3个作样品；(3)有甲厂生产的300个篮球，抽取10个作样品；(4)有甲厂生产的300个篮球，从中抽取30个作样品．[自主解答] (1)因总体是由差异明显的几部分构成，可采用分层抽样的方法抽取．第一步 确定抽取个数．因为1030＝13，所以甲厂生产的应抽取21×13＝7(个)，乙厂生产的应抽取9×13＝3(个)； 第二步 用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个，乙厂生产的篮球3个．这些篮球便组成了我们要抽取的样本．(2)总体容量较小，用抽签法．第一步 将30个篮球编号，编号为00,01， (29)第二步将以上30个编号分别写在一张小纸条上，揉成小球，制成号签；第三步把号签放入一个不透明的袋子中，充分搅匀；第四步从袋子中逐个抽取3个号签，并记录上面的号码；第五步找出与所得号码对应的篮球．(3)总体容量较大，样本容量较小，适宜用随机数法．第一步将300个篮球用随机方式编号，编号为001,002， (300)第二步在随机数表中随机的确定一个数作为开始，如第3行第5列的数“3”开始．任选一个方向作为读数方向，比如向右读；第三步从数“3”开始向右读，每次读三位，凡不在001～300中的数跳过去不读，遇到已经读过的数也跳过去不读，便可依次得到241,242,232,283,039,101,158,272,266,166这10个号码，这就是所要抽取的10个样本个体的号码．(4)总体容量较大，样本容量也较大，适宜用系统抽样法．第一步将300个篮球用随机方式编号，编号为000,001,002，…，299，并分成30段；第二步在第一段000,001,002，…，009这十个编号中用简单随机抽样抽出一个(如002)作为起始号码；第三步将编号为002,012,022，…，292的个体抽出，组成样本．[悟一法]1．三种抽样的适用范围不同，各自的特点也不同，但各种方法间又有密切联系．在应用时要根据实际情况选取合适的方法．2．三种抽样中每个个体被抽到的可能性都是相同的．[通一类]3．某社区有700户家庭，其中高收入家庭225户，中等收入家庭400户，低收入家庭75户．为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，记作①；某中学高二年级有12名篮球运动员，要从中选出3人调查投篮命中率情况，记作②；从某厂生产的802辆轿车中抽取40辆测试某项性能，记作③.为完成上述三项抽样，则应采取的抽样方法是()A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B．①分层抽样，②简单随机抽样，③系统抽样C．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样解析：对于①，总体由高收入家庭、中等收入家庭和低收入家庭差异明显的三部分组成，而所调查的指标与收入情况密切相关，所以应采用分层抽样；对于②，总体中的个体数较少，而且所调查内容对12名调查对象是平等的，应采用简单随机抽样；对于③，总体中的个体数较多，且个体之间差异不明显，样本中个体数也较多，应采用系统抽样．答案：B一个单位有职工160人，其中有业务人员112人，管理人员16人，后勤服务人员32人，为了了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定业务人员、管理人员、后勤服务人员各抽取的人数是多少？[解] 法一：三部分所含个体数之比为112∶16∶32＝7∶1∶2，设三部分各抽个体数为7x ，x,2x ，则由7x ＋x ＋2x ＝20得x ＝2.故业务人员、管理人员、后勤服务人员抽取的个体数分别为14,2和4.法二：由160÷20＝8，所以可在各层人员中按8∶1的比例抽取，又因为112÷8＝14,16÷8＝2,32÷8＝4，所以业务人员14人，管理人员2人，后勤服务人员4人．法三：因为共有职工160人，所抽取的人数为20，所以样本容量与总体容量之比为20160＝18， 则业务人员应抽取112×18＝14人，管理人员应抽16×18＝2人，后勤服务人员应抽32×18＝4人．1．简单随机抽样、系统抽样、分层抽样之间的共同点是( )A ．都是从总体中逐个抽取B ．将总体分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取C ．抽样过程中每个个体被抽取的机会相同D ．将总体分成几层，分层进行抽取解析：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是：在抽样过程中每个个体被抽取的概率是相同的．答案：C2．某市场想通过检查发票及销售记录的2%来快速估计每月的销量总额．采取如下方法：从某本发票的存根中随机抽一张，如15号，然后按顺序往后将65号， 115号，165号，…抽出，发票上的销售额组成一个调查样本．这种抽取样本的方法是( )A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．其他的抽样方法解析：上述抽样方法是将发票平均分成若干组，每组50张．从第一组中抽取15号，以后各组抽取15＋50n (n ∈N *)号，符合系统抽样的特点．答案：C3．某校高三年级有男生500人，女生400人．为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查，这种抽样方法是( )A ．简单随机抽样法B ．抽签法C ．随机数表法D ．分层抽样法解析：样本由差异明显的几部分组成，抽取的比例由每层个体占总体的比例确定，即为分层抽样法．答案：D4．将一个总体分为A 、B 、C 三层，其个体数之比为5∶3∶2，若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C 中抽取的个体数为________．解析：25＋3＋2×100＝20. 答案：205．将参加数学夏令营的100名同学编号为001,002，…，100.现采用系统抽样方法抽取一个容量为25的样本，且第一段中随机抽得的号码为004，则在046至078号中，被抽中的人数为________．解析：抽样距为4，第一个号码为004，故001～100中是4的整数倍的数被抽出，在046至078号中有048,052,056,060,064,068,072,076，共8个．答案：86．某中学有教职工300人，分为教学人员、管理人员、后勤服务人员三部分，其组成比例为8∶1∶1.现用分层抽样从中抽取容量为20的样本，请写出抽样的过程．解：抽样过程如下：(1)确定抽样比20300＝115； (2)确定各层抽样数目为300×81015＝16， 300×11015＝2，300×11015＝2； (3)用系统抽样法从教学人员中抽取16人，用简单随机抽样法分别从管理人员和后勤服务人员中各抽取2人；(4)将上述各层所抽的个体合在一起即为所要抽取的样本．一、选择题1．某牛奶生产线上每隔30分钟抽取一袋进行检验，该抽样方法记为①；从某中学的30名数学爱好者中抽取3人了解学业负担情况，该抽样方法记为②.那么() A．①是系统抽样，②是简单随机抽样B．①是简单随机抽样，②是简单随机抽样C．①是简单随机抽样，②是系统抽样D．①是系统抽样，②是系统抽样解析：对于①，因为每隔30分钟抽取一袋，是等间距抽样，故①为系统抽样；对于②，总体数量少，样本容量也小，故②为简单随机抽样．答案：A2．(2012·四川高考)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为()A．101 B．808C．1 212 D．2 012解析：依题意得知，甲社区驾驶员的人数占总人数的1212＋21＋25＋43＝12101，因此有96N＝12101，解得N＝808.答案：B3．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是() A．12,24,15,9 B．9,12,12,7C．8,15,12,5 D．8,16,10,6解析：由题意，各种职称的人数比为160∶320∶200∶120＝4∶8∶5∶3，所以抽取的具有高、中、初级职称的人数和其他人员的人数分别为40×420＝8,40×820＝16,40×520＝10,40×320＝6.答案：D4．下列抽样中不是系统抽样的是()A．从标有1～15号的15个球中，任选3个作为样本．将15个球按从小号到大号排序，随机选i0号作为起始号码，以后选i0＋5，i0＋10(超过15则从1再数起)号入样B．工厂生产的产品，在用传送带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽取一件产品进行检验C．进行某一市场调查时，规定在商场门口随机抽取一个人进行询问调查，直到调查到事先规定的调查人数为止D．在报告厅对与会听众进行调查，通知每排(每排人数相等)座位号为14的听众留下来座谈解析：分析各选项中抽样的特点，与系统抽样的概念、特点进行比较．A、D显然是系统抽样．B项中，传送带的速度是恒定的，实际上是将某一段时间内生产的产品分成一组，且可以认为这些产品已经排好，又总在某一位置抽取样品，这正好符合系统抽样的概念．选项C因事先不知道总体的个数，而且抽样时不能保证每个个体等可能入样，因此它不是系统抽样．答案：C5．某学校有职工140人，其中教师91人，教辅行政人员28人，总务后勤人员21人．为了了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本．以下的抽样方法中，依次为简单随机抽样、系统抽样、分层抽样顺序的是()方法1：将140人从1～140编号，然后制作出编号1～140的形状、大小相同的号签，并将号签放入同一箱子里均匀搅拌，然后从中抽取20个号签，编号与号签相同的20个人被选出；方法2：将140人分成20组，每组7人，并将每组7人按1～7编号，在第一组采用抽签法抽出k号(1≤k≤7)，其余各组k号也被抽出，20个人被选出；方法3：按20∶140＝1∶7的比例，从教师中抽出13人，从教辅行政人员中抽出4人，从总务后勤人员中抽出3人．从各类人员中抽取所需人员时，均采用随机数法，可抽到20人．A．方法2，方法1，方法3B．方法2，方法3，方法1C．方法1，方法2，方法3D．方法3，方法1，方法2解析：结合简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的定义判断．答案：C二、填空题6．(2012·浙江高考)某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为________．解析：由分层抽样得，此样本中男生人数为560×280560＋420＝160. 答案：1607．(2013·日照高一检测)某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按1100的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为________．解析：若设高三学生数为x ，则高一学生数为x 2，高二学生数为x 2＋300，所以有x ＋x 2＋x 2＋300＝3 500，解得x ＝1 600.故高一学生数为800，因此应抽取高一学生数为800100＝8. 答案：88．(2013·中山高一检测)一个总体中有100个个体，随机编号为0、1、2、…、99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1、2、3、…、10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m ＋k 的个位数字相同．若m ＝6，则在第7组中抽取的号码是________．解析：第k 组的号码为(k －1)10，(k －1)10＋1，…，(k －1)·10＋9，当m ＝6、k ＝7时，第k 组抽取的号码m ＋k 的个位数字为3，所以(7－1)×10＋3＝63.答案：63三、解答题9．为了调查某路口一个月的车流量情况，交警采用系统抽样的方法，样本距为7，从每周中随机抽取一天，他正好抽取的是星期日，经过调查后做出报告．你认为交警这样的抽样方法有什么问题？应当怎样改进？如果是调查一年的车流量情况呢？解：交警所统计的数据以及由此所推断出来的结论，只能代表星期日的交通流量．由于星期日是休息时间，很多人不上班，不能代表其他几天的情况．改进方法可以将所要调查的时间段的每一天先随机地编号，再用系统抽样方法来抽样，或者使用简单随机抽样来抽样亦可．如果是调查一年的交通流量，使用简单随机抽样法显然已不合适，比较简单可行的方法是把样本距改为8.10．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的14，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同的年龄层的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取容量为200的样本．试求：(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；(2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．解：(1)设登山组人数为x ，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a ，b ，c ，则有x ·40%＋3xb 4x＝47.5%， x ·10%＋3xc 4x＝10%. 解得b ＝50%，c ＝10%.故a ＝1－50%－10%＝40%.即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%、50%、10%.(2)游泳组中，抽取的青年人人数为200×34×40%＝60； 抽取的中年人人数为200×34×50%＝75； 抽取的老年人人数为200×34×10%＝15.。
【九年级】九年级数学下册2813锐角三角函数教案新版新人教版
【关键字】九年级锐角三角函数课题28.1.3锐角三角函数（第三课时）授课类型新授课标依据知道30°，45°，60°角的三角函数值教学目标知识与技能1.探索并熟记特殊角30°、45°、60°的三角函数值；2.熟练运用特殊角的函数值进行计算和应用；3.通过对新知的学习，进一步提升探究新知的能力。
过程与方法情感态度与价值观教学重点难点教学重点熟记特殊角30°、45°、60°的三角函数值教学难点熟练运用特殊角的函数值进行计算和应用教学过师生活动设计意图程设计一、特殊角的三角函数值得探索：（小组合作完成）1、sin30°= coc30°= tan30°=2、sin45°= coc45°= t an45°=3、sin60°= coc60°= tan60°=二、归纳整理表格三角函数锐角α正弦sinα余弦cosα正切tanα300450600三、例题讲解例：计算:(1)sin300+cos450;(2) sin2600+cos2600-tan450.四、当堂训练及检测1.课本67页练习题（10分钟）2.检测题：请在6分钟内完成以下三小题 1 计算:(1)sin300+cos450;(2) sin2600+cos2600-tan450.2请在6分钟内完成以下三小题：（3）：已知2cos A－1=0,求∠A五、课堂小结谈谈这节课的收获1.300,450,600角的三角函数值2.三角函数值的计算与应用六、作业：1、课本69页第3题通过方法点拨，加深学生对所学知识的理解，掌握解决相关问题的基本方法。
学生回顾所学知识，总结梳理。
分层设计不同难度的作业，让不同的学生在数学上得到不同发展，进一步反馈教学，内化知识。
2、学案第3节巩固训练部分。
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28.1锐角三角函数（3）——特殊角的三角函数值
【学习目标】
1、能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。
2、能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式。
一、旧知回顾
一个直角三角形中，
一个锐角正弦是怎么定义的？
一个锐角余弦是怎么定义的？
一个锐角正切是怎么定义的？
二、新知学习
思考：
两块三角尺中有几个不同的锐角？
是多少度？
你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值码？
教师点拨：
归纳结果
学生展示
例3：求下列各式的值．
（1）cos260°+sin260°．（2）cos45
sin45
︒
︒
－tan45°．
例4：（1）如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90°，A的度数．
（2）如图（2），已知AO是圆锥的高，OB是底面半径，，求a的度数．
课本67页练习题1、2
三、知识梳理
要牢记下表：
【当堂检测】
1．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=3
5，AB=15，则AC的长是（）．
A．3 B．6 C．9 D．12
2．下列各式中不正确的是（）．
A．sin260°+cos260°=1 B．sin30°+cos30°=1
C．sin35°=cos55°D．tan45°>sin45°
3．计算2sin30°－2cos60°+tan45°的结果是（）．
A．2 B C D．1
4．如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BC=3，AC=4，设∠BCD=a，则tana 的值为（）．
A．3
4B．
4
3C．
3
5D．
4
5
5．已知梯形ABCD中，腰BC长为2，梯形对角线BD垂直平分AC 则∠CAB等于（）
A．30°B．60°C．45°D．以上都不对
6．sin272°+sin218°的值是（）．
A．1 B．0 C．1
2D．
3
2
7．已知，等腰△ABC的腰长为4 3 ，底为30°，则底边上的高为______，周长为______．
8．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知tanB=5
2，则cosA=________．
作业设置：
习题28.1复习巩固第3题。