九年级数学上册-解一元二次方程21.2.3因式分解法学案(无答案)(新版)新人教版
九年级数学上册 21.2 一元二次方程因式分解法教案 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中九年级上
⑵什么叫做因式分解法？
⑶自学例3 （尝试用多种方法解本例中的两个方程）
⑷归纳用因式分解法的一般步骤
⑸总结学过的解一元二次方程的方法
阅读提纲，
（1）~（7）
4、组织学生自学
指导学生阅读课本P12---14课文,并回答问题。
学生自学得出结论组内交流，互助互教。
二、自学反馈
汇报或检测
先进行因式分解使
用框图表示为：
回答老师提出的问题、板演。
三、质疑精讲
1、学生质疑，师生共同解疑
提出质疑，师生共同解决
2、教师横向拓展和纵向挖掘
因式分解：二次------一次（渐次）
提公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式）
解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次。
用因式分解法解一元二次方程
教学目标
知识与技能
会用因式分解法（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程，能根据具体一元二次方程的解法，体会解决问题方法的多样性.
过程与方法
体验类比、转化、降次的数学思想方法
情感态度与价值观
理解解方程中的程序化，体会化归思想
重点
会运用因式分解法解特殊一元二次方程
难点
理解并应用因式分解法解特殊一元二次方程
教法、学法
引导、启发 自主学习、合作交流
课型
新授课
教学准备
小黑板
教学流程
教师活动
学生活动
二次备课
一、自主学习
1、知识回顾
用配方法解一元二次方程
用公式法解一元二次方程
回忆
2、出示学习目标
会用因式分解法（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程
九年级数学上册 21.2.3 因式分解法导学案 (新版)新人教版
21.2.3一元二次方程-因式分解预习案一、预习目标及范围：1.了解分解因式法解一元二次方程的概念2.会用分解因式法解某些一元二次方程范围：自学课本P12-P14，完成练习.二、预习要点分解因式的方法有那些？并用字母表示。
(1)(2)(3)三、预习检测解下列方程：（1）.（x+2）（x-4）=0()()()+=+2.421321.x x x探究案一、合作探究活动内容1：（小组合作展示）活动1：情景问题分析根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10m/s秒的速度竖直上抛，那么经过X秒物体离地高度（单位：米）为10X-4.9X 你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？（精确到0.01S）活动2：归纳总结活动2：例题精讲 (1)x(x-2)+x-2=0; 2213(2)522,44x x x x --=-+ ()(2)20,x x x -+-=解： 2:,,410,x -=解移项合并同类项得：()()210.x x -+= ()(21)210.x x +-=20,10.x x ∴-=+=或 210,210.x x ∴+=-=或122, 1.x x ∴==- 1211;.22x x ∴=-= 二、随堂检测1.用因式分解法解下列方程：2(1)0,x -=2(2)363,x x -=-2(3)41210x -=(4)3(21)42x x x +=+()()22(5)452x x -=-2.把小圆形场地的半径增加5m 得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.参考答案预习检测：（1）.（x+2）（x-4）=0解：x+2=0或x-4=0∴x 1=-2, x 2=4()()()2.421321.x x x +=+ 4x(2x+1)-3(2x+1)=0则（4x-3）（2x+1）=0∴4x-3=0，2x+1=0∴x 1=34, x 2=-12随堂检测1.（1）00x x =-=所以有或，(0x x -=提公因式，120x x ==即，（2）23(1)0x -=所以，23(21)0x x -+=提公因式得：， 23630x x -+=移项，得：， 12 1.x x ==所以（3）()()2112110x x +-= 21102110x x +=-=或121111,.22x x =-=（4）3(21)2(21)0x x x +-+=移项：， (21)(32)0x x +-=提取公因式：， 210320x x +=-=所以有：或， 1212.23x x =-=所以，（5）()()224520x x ---= ()()()()4524520x x x x -+----=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ (1)(39)0x x --=3(1)(3)0x x --=1030x x -=-=或121 3.x x ==即，2..,r 设小圆半径为根据题意得 22(5)π2πr r +=⨯22(5)2r r +=2210252r r r ++=225251025r r +=-+250(5)r =-5r -=±5r =±12550()r r =+=-舍所以小圆的半径是5+.。
人教版九年级数学上册21.2.3因式分解解一元二次方程优秀教学案例
（四）反思与评价
1.教师可以引导学生对学习过程进行反思，让学生总结经验，提高解题能力。
2.教师应采用多元化的评价方式，既注重学生的知识掌握程度，也注重学生的能力发展和情感态度。
3.教师应及时给予学生反馈，鼓励学生的优点，指导学生改进不足，激发学生的学习动力。
3.通过对一元二次方程的因式分解和解题方法的探讨，培养学生分析问题、解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生热爱数学、崇尚科学的情感，激发学生学习数学的兴趣和自信心。
2.使学生认识到数学在实际生活中的重要性，提高学生运用数学知识解决实际问题的意识。
3.培养学生严谨治学、勤奋学习的良好学习习惯，树立学生的团队合作精神。
5.作业小结：教师布置相关的作业题，让学生巩固和应用所学的内容，加深对因式分解解一元二次方程的理解和掌握。教师鼓励学生在完成作业后进行自我检查和反思，及时发现和纠正自己的错误。教师对学生的作业进行及时的批改和反馈，指出学生的优点和不足，指导学生进一步提高。这些作业小结的环节有助于巩固学生所学知识，提高学生的解题能力和学习效果。
2.教师可以提供一些练习题，让学生通过讨论和合作，运用因式分解解一元二次方程的方法解决问题。
3.教师可以引导学生分享彼此的想法和解题过程，促进学生之间的交流和学习。
（四）总结归纳
1.教师可以引导学生总结因式分解解一元二次方程的基本思路和方法，让学生形成系统的知识结构。
2.教师可以强调因式分解解一元二次方程的优势和适用场景，让学生能够根据题目特点选择合适的解题方法。
本节课的教学内容主要包括：了解因式分解解一元二次方程的基本思路，掌握运用因式分解法解一元二次方程的步骤，能灵活运用因式分解法解决实际问题。在教学过程中，我将以案例的形式，引导学生参与课堂，激发学生的学习兴趣，培养学生的合作意识，提高学生的数学素养。
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思第21章21.2.3 因式分解法
21.2 解一元二次方程21.2.3 因式分解法一、教学目标【知识与技能】1.会用因式分解法（提公因式法、运用公式）解一元二次方程.2.能根据方程的具体特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性.【过程与方法】在经历探索用因式分解法解一元二次方程及依据方程特征选择恰当方法解一元二次方程的过程中,进一步锻炼学生的观察能力，分析能力和解决问题能力.【情感态度与价值观】通过因式分解法解一元二次方程的探究活动，培养学生勇于探索的良好习惯，感受数学的严谨性及教学方法的多样性.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】会用因式分解法解一元二次方程.【教学难点】理解并应用因式分解法解一元二次方程.五、课前准备课件六、教学过程（一）导入新课1.解一元二次方程的方法有哪些？（出示课件2）学生答：直接开平方法：x2=a (a≥0)，配方法：(x+m)2=n (n≥0)，公式法：x=2ba-±（b2-4ac≥0）.2. 什么叫因式分解?学生答：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解，也叫把这个多项式分解因式.3.分解因式的方法有那些?（出示课件3）学生答：（1）提取公因式法:am+bm+cm=m(a+b+c).（2）公式法:a²-b²=(a+b)(a-b), a²±2ab+b²=(a±b) ².（3）十字相乘法.教师问：下面的方程如何使解答简单呢？x2+25x=0.出示课件5：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地面的高度（单位：m）为10x-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？（精确到0.01s）教师问：你能根据题意列出方程吗？学生答：设物体经过x s 落回地面，这时它离地面的高度为0m ，即10x -4.9x 2=0.教师问：你能想出解此方程的简捷方法吗？（二）探索新知探究 因式分解法的概念学生用配方法和公式法解方程10x -4.9x 2=0.（两生板演）配方法解方程10x -4.9x 2=0. 解：2100049x x -=，22210050500494949x x ⎛⎫⎛⎫-+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2250504949x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭50504949x -=± 50504949x =±+110049，=x 20.=x公式法解方程10x -4.9x 2=0.解：24.9100x x -=，a=4.9，b=－10，c=0.b 2－4ac= (－10)2－0=100，a acb b x 242-±-=()10102 4.9--±=⨯110049，=x20. =x教师引导学生尝试找出其简洁解法为：（出示课件7）x(10-4.9x)=0. ∴x=0或10-4.9x=0, ∴x1=0,x2=10049≈2.04.这种解法是不是很简单？教师问：以上解方程的方法是如何使二次方程降为一次方程的?x(10-4.9x)=0，①x=0或10-4.9x=0,②通过学生的讨论、交流可归纳为：（出示课件8）可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解法叫做因式分解法．教师提示：（出示课件9）1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;2.关键是熟练掌握因式分解的方法;3.理论依据是“ab=0,则a=0或b=0 ”.师生共同归纳：（出示课件10）分解因式法解一元二次方程的步骤是:1.将方程右边化为等于0的形式；2.将方程左边因式分解为A×B；3.根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程；4.分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.例1 解下列方程：（出示课件11）（1）x(x-2)+x-2=0; (2)5x 2-2x-14=x 2-2x+34. 师生共同解答如下： 解：（1）因式分解，得(x-2)(x+1)=0.故有x-2=0或x+1=0.∴x 1=2,x 2=-1;（2）原方程整理为4x 2-1=0.因式分解，得(2x+1)(2x-1)=0.∴2x+1=0或2x-1=0.∴x 1=-12,x 2=12. 想一想 以上两个方程可以用配方法或公式法来解决吗？如果可以，请比较它们与因式分解法的优缺点.学生思考后，教师总结如下：（出示课件12）一.因式分解法简记歌诀：右化零，左分解；两因式，各求解.二.选择解一元二次方程的技巧：1.开平方法、配方法适用于能化为完全平方形式的方程.2.因式分解法适用于能化为两个因式之和等于0的形式的方程.3.配方法、公式法适用于所有一元二次方程.出示课件13：解下列方程：2222221 +=0; (2) -=0; (3) 3-6=-3;(4) 4-121=0; (5) 3(2+1)=4+2; (6) (-4)=(5-2).（）x x x x x x x x x x x 学生自主思考并解答.（六生板演）解：⑴因式分解，得x(x+1)=0.于是得x=0或x+1=0，x 1=0,x 2=－1.⑵因式分解，得x （x）=0于是得x=0或x-2=0x1=0,x2=2.⑶将方程化为x2－2x+1 = 0. 因式分解，得(x－1)(x－1)=0.于是得x－1=0或x－1=0，x1=x2=1.⑷因式分解，得(2x+11)(2x－11)=0.于是得2x+11=0或2x-11=0，x1=-5.5,x2=5.5.⑸将方程化为6x2－x－2=0. 因式分解，得(3x－2)(2x+1)=0. 于是得3x－2=0或2x+1 = 0，x1=23，x2=12.⑹将方程化为(x－4)2－(5－2x)2=0.因式分解，得(x－4－5+2x)(x－4+5－2x)=0.(3x－9)(1－x)=0.于是得3x－9=0或1-x=0，x1=3，x2=1.出示课件16：用适当方法解下列方程：−x)2；(2)x2－6x－19＝0；(3)3x2＝4x＋1;(4)y2－15＝2y；(5)5x(x－3)－(x－3)(x＋1)＝0；(6)4(3x＋1)2＝25(x－2)2.教师提示：根据方程的结构特征，灵活选择恰当的方法来求解.四种方法的选择顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法．师生共同解答如下.（出示课件17,18,19）解：(1)(1－x)2＝3，∴(x－1)2＝3，x－1∴x1＝1x2＝1.(2)移项，得x2－6x＝19.配方，得x2－6x＋(－3)2＝19＋(－3)2.∴(x－3)2＝28.∴x－3＝±.∴x1＝3＋，x2＝3－.(3)移项，得3x2－4x－1＝0.∵a＝3，b＝－4，c＝－1，∴x＝−（−4）±√（−4）2−4×3×（−1）2×3＝2±73.∴x1＝2＋73，x2＝2－73.(4)移项，得y2－2y－15＝0.把方程左边因式分解，得(y－5)(y＋3)＝0. ∴y－5＝0或y＋3＝0.∴y1＝5，y2＝－3.(5)将方程左边因式分解，得(x－3)[5x－(x＋1)]＝0. ∴(x－3)(4x－1)＝0.∴x－3＝0或4x－1＝0.∴x1＝3，x2＝1 4 .6)移项，得4(3x＋1)2－25(x－2)2＝0.∴[2(3x＋1)]2－[5(x－2)]2＝0.∴[2(3x＋1)＋5(x－2)]·[2(3x＋1)－5(x－2)]＝0. ∴(11x－8)(x＋12)＝0.∴11x－8＝0或x＋12＝0.∴x1＝811，x2＝－12.出示课件20,21：用适当的方法解下列方程：(1)x2－41＝0；(2) 5(3x＋2)2＝3x(3x＋2)．学生自主思考并解答.解：(1)∵x2－14＝0，∴x2＝14，即x＝±14.∴x1＝12，x2＝－12.⑵原方程可变形为5(3x＋2)2－3x(3x＋2)＝0，∴(3x＋2)(15x＋10－3x)＝0.∴3x＋2＝0或12x＋10＝0.∴x1＝－23，x2＝－56.（三）课堂练习（出示课件22-30）1.已知x=2是关于x的一元二次方程kx²+（k²﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为．2. 解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．3.解下列方程：（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12.4.小华在解一元二次方程x2－x＝0 时，只得出一个根x＝1，则被漏掉的一个根是（）A．x＝4 B．x＝3C．x＝2 D．x＝05.我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法．请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程．①x2－3x＋1＝0；②(x－1)2＝3；③x2－3x＝0；④x2－2x＝4.我选择______________________.6.解方程：(x2＋3)2－4(x2＋3)＝0.参考答案：1.-32.解：2（x﹣3）=3x（x﹣3），移项得2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0，因式分解得（x﹣3）（2﹣3x）=0，x﹣3=0或2﹣3x=0，解得：x1=3,x2=32．3.解：⑴x2+2x+2=0，(x+1)2=-1.此方程无解.⑵x2-4x-12=0，(x-2)2=16.x1=6,x2=-2.4.D5.解：答案不唯一．若选择①，①适合公式法，x2－3x＋1＝0，∵a＝1，b＝－3，c＝1，∴b2－4ac＝9－4＝5＞0.∴x＝3±5 2.∴x1＝3＋52，x2＝3－52.若选择②，②适合直接开平方法，∵(x－1)2＝3，x－1＝±3，∴x1＝1＋3，x2＝1－ 3. 若选择③，③适合因式分解法，x2－3x＝0，因式分解，得x(x－3)＝0.解得x1＝0，x2＝3.若选择④，④适合配方法，x2－2x＝4，x2－2x＋1＝4＋1＝5，即(x－1)2＝5.开方，得x－1＝± 5.∴x1＝1＋5，x2＝1－ 5.5.提示：把(x2＋3)看作一个整体来提公因式，再利用平方差公式，因式分解.解：设x2＋3＝y，则原方程化为y2－4y＝0.分解因式，得y(y－4)＝0，解得y＝0，或y＝4.①当y＝0 时，x2＋3＝0，原方程无解；②当y＝4 时，x2＋3＝4，即x2＝1.解得x＝±1.所以原方程的解为x1＝1，x2＝－1.（四）课堂小结1.用因式分解法解一元二次方程有哪些优缺点？需注意哪些细节问题？2.通过本节课的学习，你还有哪些收获和体会?⑴公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）.⑵方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法.（五）课前预习预习下节课（21.2.4）的相关内容。
21.2.3因式分解法(教案)-2023-2024学年九年级上册数学(教案)人教版
-熟练运用平方差和完全平方公式。学生需要通过大量练习来记忆和掌握这两个公式，并能够迅速应用到具体的因式分解问题中；
-因式分解过程中的细节处理。例如，分解到哪一步可以停止，如何处理余下的多项式，以及如何验证分解的正确性。
举例：难点在于如何指导学生在面对如2x^2 + 5xy + 2y^2这样的多项式时，能够正确识别出公因式2x和2y，进而分解为2x(x + \frac{5}{2}y) + 2y^2，再进一步分解为2(x + y)(x + \frac{1}{2}y)。同时，需要强调在运用平方差和完全平方公式时的注意事项，如符号的处理和中间步骤的计算。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“因式分解在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调提公因式法和平方差、完全平方公式这两个重点。对于难点部分，如公因式的识别和正确运用公式，我会通过举例和步骤分解来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与因式分解相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过实际操作，学生可以直观地理解因式分解的基本原理。
五、教学反思
在今天的因式分解法教学中，我发现学生们对于提取公因式这一部分掌握得相对较好，他们能够较快地识别出多项式中的公因式。然而，当涉及到平方差和完全平方公式的运用时，明显感到有些学生还不够熟练。这让我意识到，在接下来的教学中，需要加强对这些公式的训练和解释。
人教版九年级数学上册(教案)：21.2.3因式分解法解一元二次方程
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“因式分解法解一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
在实践活动环节，我发现学生们的参与度很高，他们积极讨论、操作实验，展示自己的成果。这说明实践活动对于提高学生的学习兴趣和动手能力是非常有帮助的。但同时，我也观察到有些小组在讨论过程中出现了分歧，可能是因为我没有提前给他们明确的指导。为了提高小组讨论的效率，我计划在下次活动中提前给出一些讨论的方向和建议。
关于学生小组讨论环节，我觉得整体效果还是不错的，学生们能够积极发表自己的观点，进行交流。但在引导与启发方面，我觉得自己做得还不够，有时候学生的讨论陷入了僵局，我没有及时给出有效的建议。在今后的教学中，我要加强对学生的引导，提高他们的思考和分析能力。
最后，在总结回顾环节，我觉得学生对这节课的知识点掌握得还不错，但仍有一些疑问。我会在课后及时解答这些问题，确保学生能够真正理解并运用所学知识。
其次，在新课讲授环节，我尝试用生动的语言和具体的案例来解释因式分解法解一元二次方程的概念和应用，从学生的反馈来看，这种方法效果还不错。但我也注意到，有些学生对判别式的理解还不够深入，可能是我讲解得不够细致，导致他们在实际操作时出现问题。针对这个问题，我打算在下一节课中增加一些判别式的练习题，帮助学生更好地掌握这一知识点。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调因式分解的步骤和判别式的应用这两个重点。对于难点部分，我会通过具体的例题和图示来帮助大家理解。
九年级数学上册21.2.3解一元二次方程因式分解法教案2(新版)新人教版
1、
2、
……
板书设计
21.2.3因式分解法
(第2课时)
一、一元二次方程的四种解法（1）、直接开平方
法、（2）、配方法（3）、公式法（4）、因式分解法
一元二次方程的四种解法的特点。
参考书目及
推荐资料
教学反思
备注：教学设计的标题为宋体4号，正文为宋体小4号，单倍行距。课件版本为2003的
教师巡视、指导，并选取四名学生上台书写解答过程教师根据巡视学生的解答后再点评。
师生共同总结
操作投影，将题目显示，．教师根据巡视学生的解答后再点评并分析可能出现的问题并组织学生讨论。
师生共同总结：方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法。
教学重点
灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.
教学难点
灵活应用各种方法解一元二次方程.
学情分析
本课是在学习了一元二次方程四种解法的基础上，进一步学习能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的具体解法，体会解决问题方法的多样性．．
学法指导
自主探究,合作互帮的学习方法
教 学 过 程
预测（可能出现的问题）
补救措施
修改意见
创设问题情境，引入新课
复习与回顾
1、课前练习
(1)2x2－4x＋2 = 0
(2)3x(x+2)=5(x+2)
(3)x2－4 = 0
(4)(3x＋1)2－5 = 0
你学过一元二次方程的哪些解法?你能说出每一种解法的特点吗?
二、灵活应用四种方法解一元二次方程
操作投影，将题目显示，．教师根据巡视学生的解答
人教版九年级数学上册《一元二次方程》导学案：21.2.3因式分解法
人教版九年级数学上册《一元二次方程》导学案21.2.3 因式分解法【学习目标】1.会用因式分解法解一元二次方程，体会“降次”化归的思想方法；2.通过因式分解法解一元二次方程的学习，树立转化的思想.【知识梳理】 用因式分解法来解一元二次方程必须要先化成ab=0的形式. 那么a=0 或 b=0(a 、b 为因式)。
用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）方程右边化为 。
（2）将方程左边分解成两个 的乘积。
（3） 至少 个 因式为零，得到两个一元一次方程。
（4） 两个 一元一次方程的解 就是原方程的解。
【典型例题】知识点 因式分解法解一元二次方程1.解方程()()153152-=-x x x 的最适当的方法是 （ ）A.直接开平方法B.配方法C.公式法D.因式分解法2.已知方程(x-2)(3x+1)=0，则x-2的值为（ ） A.37- B.0 C.-2 D.37-或0 3.用因式分解法解下列方程．（1）062=-x x （2）2（x ﹣3）2＝x 2﹣9（3）()()x x -=-52532 （4）()01222=-+x x【巩固训练】1.已知方程4x 2-3x=0，下列说法正确的是（ ）A.只有一个根x=43B.只有一个根x=0C.有两个根x 1=0,x 2=43 D.有两个根x 1=0,x 2=-43 2.如果(x-1)(x+2)=0，那么以下结论正确的是（ ）A.x=1或x=-2B.必须x=1C.x=2或x=-1D.必须x=1且x=-2 3.已知实数x 满足（x 2﹣x ）2﹣4（x 2﹣x ）﹣12＝0，则代数式x 2﹣x +1的值是（ ）A ．7B ．﹣1C ．7或﹣1D ．﹣5或34.下列方程适合用因式分解法的是（ ）A.210x x ++=B.0132=+-x xC.2230x x ++=D.2(1)1x x -=-5.已知方程20x px q ++=的两根分别为3和4-，则q px x +-2可分解为（ ）A ．()()34x x -+ B. ()()34x x +- C. ()()34x x ++ D. ()()34x x --6.若三角形三边的长均能使代数式29180x x -+=的值为零，则此三角形的周长是（ ）A ．9或18B ．12或15C ．9或15或18D ．9或12或15或187.若实数a 、b 满足（4a+4b ）（4a+4b ﹣2）﹣8＝0，则a+b ＝8.用因式分解法解下列方程：(１) 2x = ； (２)()2331x x +=+（3）02222=+-x x (４)()()229241x x -=+。
九年级数学上册 21.2 解一元二次方程学案(无答案)新人教版(2021年整理)
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21。
2。
1一元二次方程的解法-配方法第1课时 直接开平方法（一）学习目标1。
了解形如()()20x h k k +=≥的一元二次方程的解法——直接开平方法,能够熟练而准确的运用开平方法求一元二次方程的解2．通过根据平方根的意义解形如x 2=n 的方程，知识迁移到解形如(m x+ n ）2=p （p ≥0）的方程，体会由未知向已知转化的思想方法．（二）学习重点运用开平方法解形如(m x+ n ）2=p （p ≥0)的方程．（三）学习难点通过根据平方根的意义解形如x 2=n 的方程，知识迁移到形如（x+m ）2=n （n ≥0)的方程，理解一元二次方程“降次"──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．（四）课前预习 1.方程x 2﹣9=0的解是（ ）A ．x=3B ．x=9C ．x=±3D ．x=±92。
如果x=﹣3是一元二次方程ax 2=c 的一个根，那么该方程的另一个根是（ ）A ．3B ．﹣3C ．0D ．13。
方程（1﹣x ）2=2的根是（ ）A ．﹣1,3B ．1,﹣3C ．,D ．， 4.方程5y 2﹣3=y 2+3的实数根的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5.方程x 2=2的解是 ．（五）疑惑摘要：预习之后，你还有哪些没有弄清的问题，请记下来，课堂上我们共同探讨．1、典型例题例1．解方程：（1）2x2﹣8=0；（2）（2x﹣3）2=25．例2．若关于x的一元二次方程x2﹣k=0有实数根，则（)A．k＜0 B．k＞0 C．k≥0 D．k≤0例3．长沙市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．课后作业一、选择题1.下列方程能用直接开平方法求解的是（ )A。
九年级数学上册21-2-3因式分解法学案(新版)新人教版
因式分解法1. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程．2. 能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．重点：用因式分解法解一元二次方程．难点：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．(2分钟)将下列各题因式分解：(1)am ＋bm ＋cm ＝(__a ＋b ＋c__)m ；(2)a 2－b 2＝__(a ＋b)(a －b)__；(3)a 2±2ab ＋b 2＝__(a±b)2__．一、自学指导．(8分钟)问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m /s 的速度竖直上抛，那么经过x s 物体离地的高度(单位：m )为10x －4.9x 2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？(精确到0.01s )设物体经过x s 落回地面，这时它离地面的高度为0，即10x －4.9x 2＝0， ①思考：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①？分析：方程①的右边为0，左边可以因式分解得：x(10－4.9x)＝0，于是得x ＝0或10－4.9x ＝0，②∴x 1＝__0__，x 2≈2.04．上述解中，x 2≈2.04表示物体约在2.04 s 时落回地面，而x 1＝0表示物体被上抛离开地面的时刻，即0 s 时物体被抛出，此刻物体的高度是0 m .点拨精讲： (1)对于一元二次方程，先将方程右边化为0，然后对方程左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次式分别等于零，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．(2)如果a·b＝0，那么a ＝0或b ＝0，这是因式分解法的根据．如：如果(x ＋1)(x －1)＝0，那么__x ＋1＝0或__x －1＝0__，即__x ＝－1__或__x ＝1．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)1．说出下列方程的根：(1)x(x －8)＝0； (2)(3x ＋1)(2x －5)＝0.解：(1)x 1＝0，x 2＝8； (2)x 1＝－13，x 2＝52. 2．用因式分解法解下列方程： (1)x 2－4x ＝0; (2)4x 2－49＝0；(3)5x 2－20x ＋20＝0.解：(1)x 1＝0，x 2＝4; (2)x 1＝72，x 2＝－72； (3)x 1＝x 2＝2.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．用因式分解法解下列方程： (1)5x 2－4x ＝0； (2)3x(2x ＋1)＝4x ＋2；(3)(x ＋5)2＝3x ＋15.解：(1)x 1＝0，x 2＝45；(2)x 1＝23，x 2＝－12； (3)x 1＝－5，x 2＝－2.点拨精讲：用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0，另一边可以分解因式．2．用因式分解法解下列方程：(1)4x 2－144＝0；(2)(2x －1)2＝(3－x)2；(3)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋34； (4)3x 2－12x ＝－12.解：(1)x 1＝6，x 2＝－6；(2)x 1＝43，x 2＝－2； (3)x 1＝12，x 2＝－12； (4)x 1＝x 2＝2.点拨精讲：注意本例中的方程可以试用多种方法．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．用因式分解法解下列方程：(1)x 2＋x ＝0; (2)x 2－23x ＝0；(3)3x 2－6x ＝－3; (4)4x 2－121＝0；(5)(x －4)2＝(5－2x)2解：(1)x 1＝0，x 2＝－1；(2)x 1＝0，x 2＝23；(3)x 1＝x 2＝1；(4)x 1＝112，x 2＝－112； (5)x 1＝3，x 2＝1.点拨精讲：因式分解法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程右边化为__0__；(2)将方程左边分解成两个一次因式的__乘积__；(3)令每个因式分别为__0__，得到两个一元一次方程；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．2．把小圆形场地的半径增加5 m 得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径． 解：设小圆形场地的半径为x m .则可列方程2πx 2＝π(x ＋5)2.解得x 1＝5＋52，x 2＝5－52(舍去)．答：小圆形场地的半径为(5＋52) m .(学生总结本堂课的收获与困惑)．(2分钟)1．用因式分解法解方程的根据由ab ＝0得 a ＝0或b ＝0，即“二次降为一次”．2．正确的因式分解是解题的关键．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)。
人教版九年级数学上册优秀教学案例：21.2.3因式分解法解一元二次方程
3.教师要对学生进行全面的评价，关注他们的知识掌握程度、合作意识、问题解决能力等方面的发展。如：“你在本次学习中表现出了很强的团队合作精神，值得表扬！”
四、教学内容与过程
（一）导入新课
2.设计小组讨论题目，引导学生在合作中发现问题、解决问题。例如：“你们小组能找出因式分解法解一元二次方程的步骤吗？”
3.鼓励小组成员之间互相评价、互相学习，培养他们的团队协作精神。如在讨论结束后，让小组成员分享自己的心得体会，互相借鉴。
（四）反思与评价
1.教师要引导学生对自己的学习过程进行反思，总结因式分解法解一元二次方程的步骤和技巧。例如：“你在解方程过程中遇到了哪些困难？是如何克服的？”
3.创设问题链，让学生在解决问题的过程中体会到因式分解法解一元二次方程的优势。例如，先让学生解决一个简单的一元二次方程，然后逐步增加难度，引导他们发现因式分解法的应用价值。
（三）小组合作
1.合理划分学习小组，确保每个小组成员都能在合作中发挥自己的特长。如将善于思考的学生与善于表达的学生搭配在一起，形成互补。
3.培养学生勇于挑战、不怕困难的意志品质，让他们在克服困难中感受到数学的价值。
4.引导学生认识到数学与生活的紧密联系，提高他们的数学素养，培养他们的应用意识。
在教学过程中，我将关注每一个学生的成长和发展，充分尊重他们的个性差异，给予有针对性的指导。通过设置不同难度的教学任务，让每个学生都能在课堂上找到自己的位置，充分展示自己的才华。同时，我将注重培养学生的团队协作精神，让他们在合作中发现问题、解决问题，共同进步。
（二）讲授新知
1.因式分解法的基本概念：讲解因式分解法的定义、意义和作用，让学生明白因式分解法解一元二次方程的基本思路。
人教版九年级数学上册21.2.3用因式分解法解一元二次方程教学设计
2.分步教学，循序渐进：
（1）复习一元二次方程的基本概念，判别式的含义和计算方法。
（2）引入因式分解法，讲解其基本原理和步骤，让学生在实践中逐步掌握。
（3）通过典型例题，引导学生运用因式分解法求解一元二次方程，总结解题规律。
（1）讲解十字相乘法，通过实例让学生掌握该方法的应用。
（2）讲解提公因式法，引导学生学会提取公因式，简化计算。
（3）总结因式分解法的各种方法，让学生明确各自适用的情况。
（三）学生小组讨论
1.教学内容：让学生在小组内讨论因式分解法的应用，解决实际问题。
教学过程：
（1）分组讨论：将学生分成若干小组，每组选出一个组长，负责组织讨论。
3.团队合作能力：组织学生进行小组讨论、交流心得，培养学生相互学习、共同进步的团队合作精神。
4.创新能力：鼓励学生尝试不同的解题方法，培养学生的创新意识和能力。
（三）情感态度与价值观
1.热爱数学，认识到数学在生活中的重要作用，增强学习数学的兴趣和自信心。
2.养成良好的学习习惯，严谨、细致、勤奋，勇于面对困难和挑战。
采取多元化评价方式，关注学生的成长过程，及时给予鼓励和指导。将学生的课堂表现、作业完成情况、小组讨论成果等纳入评价体系，全面评估学生的学习效果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学内容：通过一个实际问题，引出一元二次方程，激发学生的学习兴趣。
教学过程：
（1）呈现问题：小明家有一块长方形菜地，长比宽多2米，面积为20平方米，求这块菜地的长和宽。
5.总结反思，提升能力：
在课堂小结环节，让学生回顾本节课所学内容，总结因式分解法求解一元二次方程的步骤和技巧。同时，鼓励学生进行自我反思，发现自己的不足，不断提升学习能力。
九年级数学上册21.2.3解一元二次方程因式分解法教案1(新版)新人教版
课 题
21.2.3因式分解法(第1课时)
课时
1学时
课 型
新授课
修改意见
教学目标
1、了解因式分解法的解题步骤；
2、能用因式分解法解一元二次方程。
3、使学生知道因式分解法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度．
4、在探究因式分解法解方程的过程中体会转化、降次的数学思想．．
在学生交流的过程中，教师注重对上述方程的多种解法的讨论，
在学生解决问题的基础上，对比配方法、公式法、因式分解法引导学生作以下归纳：
配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．配方法、公式法适用于所有的一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程
教师巡视、指导，并选取用投影仪展示两名学生的解答过程。
因式分解法解一元二次方程的步骤是:
将方程左边因式分解，右边等于0;
根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程.
分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
1、.x2=a(a≥0)
(x+m)2=n(n≥0)
（1）提取公因式法:am+bm+cm=m(a+b+c).
学生练习（学生可以用不同的方法解）叫四个学生进行板演，其余的同学独立解决，然后针对板演的情况让学生讨论、分析可能出现的问题．
学生先独立思考、独立解题后再交流。
学生先独立思考、独立解题后再交流。
学生基本能够回答这几个问题。
公式法因式分解可能有些学生把完全平方公式忘记了，需要教师提醒。
学生大部分能用这两种方法解这个方程。
新人教版九年级数学上册21.2.3因式分解法导学案
新人教版九年级数学上册21.2.3因式分解法导学案
学习目标：(1)掌握用因式分解法解一元二次方程．
(2) 使学生知道分解因式法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度．
学习重点：用因式分解法解一元二次方程．
学习难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.
一.复习导学： 1、用适当的方法因式分解.并说明用的是何种方法.
(1) x x 632- (2) 2(3)5(3)x x x ---
(3) 1-362a (4) 3632+-x x
二.学习研讨
例 解方程 ：（1）x x 632-=0 （2）012142
=-x
像这样先因式分解使方程化为两个一次式的______等于 的形式，再
使这两个一次式分别等于__，从而实现___ ___，这种解法叫做因式分解法.
练习：因式分解法解下列方程：
(1) (5)50x x x -+-= (2) 2288x x -=-
简记：
(3) 22(4)(52)x x -=- （4）2213102244x x x x --
=-+
三、课堂小结：
1.用因式分解法解一元二次方程要先使方程一边为两个一次因式
相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.
2. 解一元二次方程的基本思路是__ ___ __,方法有 ___________________________________________________________.
四.当堂反馈：
解方程（1）x x =2 （2） ()2
221x x --
（3）24)12(+=+x x x （4）0121232=+-x
五.教（学）后反思：
简记：。
秋九年级数学上册 21.2.3 因式分解法教案 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中九年级上册数学
因式分解法教学目标知识技能1.了解因式分解的概念.2.会利用因式分解法解某些简单数字系数的一元二次方程.数学思考与问题解决1.经历探索因式分解法解一元二次方程的过程，发展学生合情合理的推理能力.2.体验解决问题的方法的多样性，灵活选择解方程的方法.情感态度1.学会和他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.2.积极探索不同的解法，并和同伴交流，勇于发表自己的观点，从交流中发现最优方法，在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的自信心.重点难点重点应用因式分解法解一元二次方程.难点将方程化为一般形式后，对方程左侧二次三项式进行因式分解.活动1 复习引入问题(学生活动)街下列方程.(1)022=+x x (用配方法)，(2)0632=+x x (用公式法).(3)要使一块矩形场地的长比宽多3m ，并且面积为282m ，场地的长和宽应各是多少？(4)如何设未知数并根据题目的等量关系列出方程？(5)所列方程和以前我们学习的方程2962=++x x 有何联系和区别？(6)你能由方程2962=++x x 的解法联想到怎样解方程02832=-+x x 吗？活动2 实验发现思考：(1)0)12(=+x x ，(2)0)2(3=+x x .问题：(1)你能观察出这两题的特点吗？(2)你知道方程的解吗？说说你的理由.因式分解的理论依据是：两个因式的积等于零，那么这两个因式的值就至少有一个等于零。
即： 若0=ab ，则00==b a 或.由上述过程我们知道：当方程的一边能够分解成两个一次因式的乘积而另一边等于0时，即可解之.这种方法叫做因式分解法.(3)因式分解法解一元二次方程的步骤：①移项，使方程的右边为零；②将方程的分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解都是原方程的解.活动3 用因式分解法解决问题教材第14页例3.补充例题 解方程(1)x x 832=，(2)123)4(2-=-x x . 分析：(1)移项提取公因式x ；(2)等号右侧移项到左侧得123+-x ，提取因式3-，即)4(3--x ，再提取公因式4-x ，便可达到分解因式的目的，一边为两个一次因式的乘积，另一边为0的形式.解：(1)移项，得0832=-x x ，因式分解，得0)83(=-x x ，于是，得0830=-=x x ，或， 01=x ，382=x (2) 移项，得0123)4(2=+--x x ，0)4(3)4(2=---x x因式分解，得0)34)(4(=---x x整理，得0)7)(4(=--x x于是，得04=-x 或07=-x41=x ，72=x活动4 巩固练习1.三角形两边长分别为2和4，第三边长是方程0862=+-x x 的解，则这个三角形的周长是( ) 10 C 0)1(3)1(4=+-+x x x ，可把其化为两个一元一次方程、求解.0)2)(1(=-+x x 的根是( )A.1-=xB.2=xC.2121-==x x ， D.2121=-=x x ， 4.解下列方程：(1)01032=--x x ；(2)5)1)(3(=-+x x .活动5 课堂小结与布置作业小结：(1)用因式分解法，即用提取公因式法、平方差公式、完全平方公式等解一元二次方程.(2)三种方法(配方法、公式法、因式分解法)的联系与区别：联系：①降次，它们的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次.②公式法是由配方法推导而得到的.③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程.区别：①配方法要先配方，再开方求根.②公式法直接利用公式求根.③因式分解法要使方程一边为两个一次因式的相乘，另一边为0，再分别使每个一次因式等于0. 布置作业：教材第17页习题21.2第6题.。
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21.2.3 因式分解法
学习目标：
1．会用因式分解法（提公因式法、公式法）法解某些简单的数字系数的一元二次方程。
2．能根据具体的一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性。
重点、难点
1、重点：应用分解因式法解一元二次方程
2、难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.
【课前预习】阅读教材P38 — 40 , 完成课前预习
1：知识准备
将下列各题因式分解
am+bm+cm= ; a2-b2= ; a2±2ab+b2=
因式分解的方法：
解下列方程．
（1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法）
2：探究
仔细观察方程特征,除配方法或公式法,你能找到其它的解法吗？
3、归纳：
（1）对于一元二次方程,先因式分解使方程化为__________ _______的形式,再使
_________________________,从而实现_____ ____________,这种解法叫做
__________________。
（2）如果,那么或,这是因式分解法的根据。
如：如果,那么或_______,即或________。
练习1、用因式分解法解下列方程：
(1) x2-4x=0 (2) 4x2-49=0 (3) 5x2-10x+20=0
【课堂活动】
活动1：预习反馈
活动2：典型例题
活动3：随堂训练
1、用因式分解法解下列方程
（1）x2+x=0 （2）x2-2x=0
（3）3x2-6x=-3 （4）4x2-121=0
（5）3x(2x+1)=4x+2 （6）(x-4)2=(5-2x)2
2、把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径。
活动4：课堂小结
因式分解法解一元二次方程的一般步骤
（1）将方程右边化为
（2）将方程左边分解成两个一次因式的
（3）令每个因式分别为 ,得两个一元一次方程
（4）解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解
【课后巩固】
1．方程的根是
2．方程的根是________________
3．方程2x（x-2）=3（x-2）的解是_________
4．方程（x-1）（x-2）=0的两根为x1、x2,且x1>x2,则x1-2x2的值等于___ 5．若（2x+3y）2+2（2x+3y）+4=0,则2x+3y的值为_________．
6．已知y=x2-6x+9,当x=______时,y的值为0；当x=_____时,y的值等于9．7．方程x（x+1）（x-2）=0的根是（）
A．-1,2 B．1,-2 C．0,-1,2 D．0,1,2
8．若关于x的一元二次方程的根分别为-5,7,则该方程可以为（）
A．（x+5）（x-7）=0 B．（x-5）（x+7）=0
C．（x+5）（x+7）=0 D．（x-5）（x-7）=0
9．方程（x+4）（x-5）=1的根为（）
A．x=-4 B．x=5 C．x1=-4,x2=5 D．以上结论都不对
10、用因式分解法解下列方程：
(1) 3x(x-1)=2(x-1) (2)x2+x（x-5）=0。