西安铁一中分校数学旋转几何综合中考真题汇编[解析版]

西安铁一中分校数学旋转几何综合中考真题汇编[解析版]

一、初三数学旋转易错题压轴题（难）

1．如图，四边形ABCD为正方形，△AEF为等腰直角三角形，∠AEF＝90°，连接FC，G 为FC的中点，连接GD，ED．

（1）如图①，E在AB上，直接写出ED，GD的数量关系．

（2）将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转，其它条件不变，如图②，（1）中的结论是否成立？说明理由．

（3）若AB＝5，AE＝1，将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转一周，当E，F，C三点共线时，直接写出ED的长．

【答案】（1）DE＝2DG；（2）成立，理由见解析；（3）DE的长为42或32．【解析】

【分析】

（1）根据题意结论：DE=2DG，如图1中，连接EG，延长EG交BC的延长线于M，连接DM，证明△CMG≌△FEG（AAS），推出EF=CM，GM=GE，再证明△DCM≌△DAE （SAS）即可解决问题；

（2）如图2中，结论成立．连接EG，延长EG到M，使得GM=GE，连接CM，DM，延长EF交CD于R，其证明方法类似；

（3）由题意分两种情形：①如图3-1中，当E，F，C共线时．②如图3-3中，当E，F，C 共线时，分别求解即可．

【详解】

解：（1）结论：DE＝2DG．

理由：如图1中，连接EG，延长EG交BC的延长线于M，连接DM．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝CD，∠B＝∠ADC＝∠DAE＝∠DCB＝∠DCM＝90°，

∵∠AEF＝∠B＝90°，

∴EF∥CM，

∴∠CMG＝∠FEG，

∵∠CGM＝∠EGF，GC＝GF，

∴△CMG≌△FEG（AAS），

∴EF＝CM，GM＝GE，

∵AE＝EF，

∴AE＝CM，

∴△DCM≌△DAE（SAS），

∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM，

∴∠EDM＝∠ADC＝90°，

∴DG⊥EM，DG＝GE＝GM，

∴△EGD是等腰直角三角形，

∴DE＝2DG．

（2）如图2中，结论成立．

理由：连接EG，延长EG到M，使得GM＝GE，连接CM，DM，延长EF交CD于R．

∵EG＝GM，FG＝GC，∠EGF＝∠CGM，

∴△CGM≌△FGE（SAS），

∴CM＝EF，∠CMG＝∠GEF，

∴CM∥ER，

∴∠DCM＝∠ERC，

∵∠AER+∠ADR＝180°，

∴∠EAD+∠ERD＝180°，

∵∠ERD+∠ERC＝180°，

∴∠DCM＝∠EAD，

∵AE＝EF，

∴AE＝CM，

∴△DAE≌△DCM（SAS），

∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM，

∴∠EDM＝∠ADC＝90°，

∵EG＝GM，

∴DG＝EG＝GM，

∴△EDG是等腰直角三角形，

∴DE ＝2DG ．

（3）①如图3﹣1中，当E ，F ，C 共线时，

在Rt △ADC 中，AC ＝22AD CD +＝2255+＝52，

在Rt △AEC 中，EC ＝22A AE C -＝22(52)1-＝7，

∴CF ＝CE ﹣EF ＝6，

∴CG ＝

12

CF ＝3， ∵∠DGC ＝90°， ∴DG ＝22CD CG -＝2253-＝4，

∴DE ＝2DG ＝42．

②如图3﹣3中，当E ，F ，C 共线时，同法可得DE ＝32．

综上所述，DE 的长为2或2．

【点睛】

本题属于四边形综合题，考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

2．已知如图1，在ABC 中，90ABC ∠=︒，BC AB =，点D 在AC 上，DF AC ⊥交BC 于F ，点E 是AF 的中点．

（1）写出线段ED 与线段EB 的关系并证明；

（2）如图2，将CDF 绕点C 逆时针旋转()

090a α︒<<︒，其它条件不变，线段ED 与线段EB 的关系是否变化，写出你的结论并证明；

（3）将CDF 绕点C 逆时针旋转一周，如果6BC =，32CF =，直接写出线段CE 的范围．

【答案】（1）ED EB =，DE BE ⊥，证明见解析；（2）结论不变，理由见解析；（3）最大值22=

最小值322

=． 【解析】

【分析】

（1）在Rt △ADF 中，可得DE=AE=EF ，在Rt △ABF 中，可得BE=EF=EA ，得证ED=EB ；然后利用等腰三角形的性质以及四边形ADFB 的内角和为180°，可推导得出∠DEB=90°； （2）如下图，先证四边形MFBA 是平行四边形，再证△DCB ≌△DFM ，从而推导出△DMB 是等腰直角三角形，最后得出结论；

（3）如下图，当点F 在AC 上时，CE 有最大值；当点F 在AC 延长线上时，CE 有最小值．

【详解】

（1）∵DF ⊥AC ，点E 是AF 的中点

∴DE=AE=EF ，∠EDF=∠DFE

∵∠ABC=90°，点E 是AF 的中点

∴BE=AE=EF ，∠EFB=∠EBF

∴DE=EB

∵AB=BC ，

∴∠DAB=45°

∴在四边形ABFD 中，∠DFB=360°－90°－45°－90°=135°

∠DEB=∠DEF+∠FEB=180°－2∠EFD+180°－2∠EFB=360°－2(∠EFD+∠EFB)

=360°－2×135°=90°

∴DE ⊥EB

（2）如下图，延长BE 至点M 处，使得ME=EB ，连接MA 、ME 、MF 、MD 、FB 、DB ，延长MF 交CB 于点H