2012年全国初中数学竞赛试题与答案(副题)
2012年全国初中数学竞赛试题及参考答案
—
１
＝
么
＋
ｃ 口＋ａ ｂ的 ÷一 ＋ 值为— — ． ＋
７ 甲） 图 ４ （ ．如 ，正 方 形 Ａ Ｃ 的 边 ＢＤ ，Ｅ、Ｆ分 别 是 Ａ Ｂ、Ｂ 的 Ｃ
（ Ａ）３ ／ 、２
４ 甲） （ ．小倩 和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币． 小
题均给 出了代 号为 Ａ，Ｂ，ｃ ，Ｄ的 四个选项 ，其 中有且只有 一 倩对小 玲说 ：“ 若给我 ２元 ，我 的钱数将 是你 的 ｎ倍” 你 ；小玲
个 选 项 是 正 确 的 ．请 将 正 确 选 项 的 代 号 填 入 题 后 的 括 号 里 ， 不 对小倩说 ：“ 你若给我 ｎ元 ，我的钱数将是你 的 ２倍” ．其 中 ｎ为 填 、 多填 或错 填都 得 ０分 ）
（ Ｂ）４
长为 ２
曰 Ｃ
（ Ｃ）２ ／ 、５
（ Ｄ）４５ ．
中 点 ，ＡＦ与 Ｄ Ｅ、Ｄ 分 别 交 于 点 、 Ｂ Ｎ，￣ ＡＤ ＭＮ的面积是
图２
３ ５
舞
７ 乙 ） 如 图 ５ ６０ 的半 径 为 ２ ， （ ． ， ３ ０ Ｃ 点 Ｅ在 Ｏ Ｄ． Ｄ上 ，且 ＤＣ＝Ｄ Ｅ，Ｂ Ｅ的 延 长 线 与 ６ ０ 交 于点 Ｆ ３．
（ ）Ｐ Ｂ 。
（ Ｄ）Ｐ ３
１
，
…
２ 甲） （ ．如果 正 比例 函数 Ｙ＝一（ ≠０ 与反 比例 函数 Ｙ Ⅱ ） ＝ （ ≠０ 的图象有两个交点 ，其 中一个交点 的坐标为（ ３ ２ ，那 ｂ ） 一 ，一 ） 么另一个交点的坐标为 （
（ （ ，３ Ａ） ２ ） （ Ｃ）（ ２
2012年全国初中数学联赛(浙江赛区)
2012年全国初中数学联合竞赛（浙江赛区）试题及参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知1a =，b =2c =，那么,,a b c 的大小关系是 （ ） A. a b c << B. a c b << C. b a c << D.b c a <<2.方程222334x xy y ++=的整数解(,)x y 的组数为 （ ）A ．3.B ．4.C ．5.D ．6.3．已知正方形ABCD 的边长为1，E 为BC 边的延长线上一点，CE ＝1，连接AE ，与CD 交于点F ，连接BF 并延长与线段DE 交于点G ，则BG 的长为 （ ）A ．3 B ．3 C ．3 D ．34．已知实数,a b 满足221a b +=，则44a ab b ++的最小值为 （ ）A ．18-. B ．0. C ．1. D ．98. 5．若方程22320x px p +--=的两个不相等的实数根12,x x 满足232311224()x x x x +=-+，则实数p 的所有可能的值之和为 （ ）A ．0.B ．34-. C ．1-. D ．54-. 6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数abcd （数字可重复使用），要求满足a c b d +=+.这样的四位数共有 （ ）A ．36个.B ．40个.C ．44个.D ．48个. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．已知互不相等的实数,,a b c 满足111a b c t b c a+=+=+=，则t = ． 2．使得521m⨯+是完全平方数的整数m 的个数为 ．3．在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A ＝40°，P 为AB 上一点，∠ACP ＝20°，则BCAP＝ ． 4．已知实数,,a b c满足1abc =-，4a b c ++=，22243131319a b c a a b b c c ++=------，则222a b c ++＝ ． 答案：选择题：1.C 2.B 3.D 4.B 5.B 6.C填空题：1.1± 2. 1 3.4.332第二试 （A ）一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积.解 设直角三角形的三边长分别为,,a b c （a b c ≤<），则30a b c ++=. 显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值. 由a b c ≤<及30a b c ++=得303a b c c =++<，所以10c >. 由a b c +>及30a b c ++=得302a b c c =++>，所以15c <. 又因为c 为整数，所以1114c ≤≤. 根据勾股定理可得222a b c+=，把30c a b =--代入，化简得30()4500ab a b -++=，所以22(30)(30)450235a b --==⨯⨯，因为,a b 均为整数且a b ≤，所以只可能是22305,3023,a b ⎧-=⎪⎨-=⨯⎪⎩解得5,12.a b =⎧⎨=⎩ 所以，直角三角形的斜边长13c =，三角形的外接圆的面积为1694π. 二．（本题满分25分）如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，A D ⊥OP 于点D .证明：2AD BD CD =⋅.证明：连接OA ，OB ，OC.∵OA ⊥AP ，A D ⊥OP ，∴由射影定理可得2PA PD PO =⋅，2AD PD OD =⋅. 又由切割线定理可得2PA PB PC =⋅，∴P B P C PD PO ⋅=⋅，∴D 、B 、C 、O 四点共圆，∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PB D ∽△COD ，∴PD BD CD OD=，∴2AD PD OD BD CD =⋅=⋅. 三．（本题满分25分）已知抛物线216y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.设M 3(0,)2-，若AM//BC ，求抛物线的解析式.解 易求得点P 23(3,)2b bc +，点C (0,)c .设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为(3,)b m .显然，12,x x 是一元二次方程2106x bx c -++=的两根，所以13x b =，23x b =+AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ，所以AE因为PA 为⊙D 的切线，所以PA ⊥AD ，又A E ⊥PD ，所以由射影定理可得2AE PE DE =⋅，即223()||2b c m =+⋅，又易知0m <，所以可得6m =-.又由DA ＝DC 得22DA DC =，即222(30)()m b m c+=-+-，把6m =-代入后可解得6c =-（另一解0c =舍去）.又因为AM//BC ，所以OA OMOB OC =3||2|6|-=-. 把6c =-代入解得52b =（另一解52b =-舍去）. 因此，抛物线的解析式为215662y x x =-+-.。
2012年全国初中数学竞赛试题及答案(正题、副题)
2012年全国初中数学竞赛试题（正题）题号一二三总分1～56～101112 1314得分评卷人复查人答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答；2．解答书写时不要超过装订线；3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1（甲）．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为（）．（第1（甲）题）（A）2c-a（B）2a-2b（C）-a（D）a1（乙）．如果，那么的值为（）．（A）（B）（C）2 （D）2（甲）．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y =（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（）．（A）（2，3）（B）（3，－2）（C）（－2，3）（D）（3，2）2（乙）．在平面直角坐标系中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（）．（A）10 （B）9 （C）7 （D）53（甲）．如果为给定的实数，且，那么这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（）．（A）1 （B）（C）（D）3（乙）．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．，AD = 3，BD = 5，则CD的长为（）．（第3（乙）题）（A）（B）4 （C）（D）4.54（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（）．（A）1 （B）2 （C）3 （D）44（乙）．如果关于x的方程是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（）．（A）5 （B）6 （C）7 （D）85（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为，则中最大的是（）．（A）（B）（C）（D）5（乙）．黑板上写有共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数，然后删去，并在黑板上写上数，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（）．（A）2012 （B）101 （C）100 （D）99二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是.（第6（甲）题）6（乙）. 如果a，b，c是正数，且满足，，那么的值为．7（甲）．如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积是 .（第7（甲）题）（第7（乙）题）7（乙）．如图，的半径为20，是上一点.以为对角线作矩形，且.延长，与分别交于两点，则的值等于．8（甲）．如果关于x的方程x2+kx+k2－3k+= 0的两个实数根分别为，，那么的值为．8（乙）．设为整数，且1≤n≤2012. 若能被5整除，则所有的个数为 .9（甲）．2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m 的值为.9（乙）．如果正数x，y，z可以是一个三角形的三边长，那么称是三角形数．若和均为三角形数，且a≤b≤c，则的取值范围是.10（甲）．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD = DC. 分别延长BA，CD，交点为E. 作BF⊥EC，并与EC的延长线交于点F. 若AE = AO，BC = 6，则CF的长为.（第10（甲）题）10（乙．已知是偶数，且1≤≤100．若有唯一的正整数对使得成立，则这样的的个数为．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11（甲）．已知二次函数，当时，恒有；关于x的方程的两个实数根的倒数和小于．求的取值范围．11（乙）．如图，在平面直角坐标系xOy中，AO = 8，AB = AC，sin∠ABC=．CD与y轴交于点E，且S△COE = S△ADE. 已知经过B，C，E三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式.（第11（乙）题）12（甲）．如图，的直径为，过点，且与内切于点．为上的点，与交于点，且．点在上，且，BE的延长线与交于点，求证：△BOC∽△．（第12（甲）题）12（乙）．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的内心. 求证：（1）OI是△IBD的外接圆的切线；（2）AB+AD = 2BD.（第12（乙）题）13（甲）．已知整数a，b满足：a－b是素数，且ab是完全平方数. 当a≥2012时，求a的最小值.13（乙）．凸边形中最多有多少个内角等于？并说明理由14（甲）．求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且.14（乙）．将（n≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数（可以相同）使得，求的最小值2012年全国初中数学竞赛试题（正题）参考答案一、选择题1（甲）．C解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知，且，所以．1（乙）．B解：．2（甲）．D解：由题设知，，，所以.解方程组得所以另一个交点的坐标为（3，2）.注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）.2（乙）．B解：由题设x2＋y2≤2x＋2y，得0≤≤2.因为均为整数，所以有解得以上共计9对.3（甲）．D解：由题设知，，所以这四个数据的平均数为，中位数为，于是.3（乙）．B解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE.（第3（乙）题）由于AC = BC，CD = CE，∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD =∠ACE，所以△BCD≌△ACE，BD = AE.又因为，所以.在Rt△中，于是DE=，所以CD = DE = 4.4（甲）．D解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，均为非负整数. 由题设可得消去x得(2y－7)n = y+4，2n =.因为为正整数，所以2y－7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，6，11．从而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，7．4（乙）．C解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为，故方程的根为一正一负．由二次函数的图象知，当时，，所以，即. 由于都是正整数，所以，1≤q≤5；或，1≤q≤2，此时都有. 于是共有7组符合题意．5（甲）．D解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以，因此最大．5（乙）．C解：因为，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变．设经过99次操作后黑板上剩下的数为，则，解得，．二、填空题6（甲）．7＜x≤19解：前四次操作的结果分别为3x－2，3(3x－2)－2 = 9x－8，3(9x－8)－2 = 27x－26，3(27x－26)－2 = 81x－80.由已知得27x－26≤487，81x－80＞487.解得7＜x≤19.容易验证，当7＜x≤19时，≤487 ≤487，故x的取值范围是7＜x≤19．6（乙）．7解：由已知可得．7（甲）．8解：连接DF，记正方形的边长为2. 由题设易知△∽△，所以，由此得所以.（第7（甲）题）在Rt△ABF中，因为，所以，于是.由题设可知△ADE≌△BAF，所以，.于是，，.又，所以.因为，所以.7（乙）．解：如图，设的中点为，连接，则．因为，所以，．（第7（乙）题）所以.8（甲）．解：根据题意，关于x的方程有=k2－4≥0，由此得 (k－3)2≤0．又(k－3)2≥0，所以(k－3)2=0，从而k=3. 此时方程为x2+3x+=0，解得x1=x2=.故==．8（乙）．1610解：因为==.当被5除余数是1或4时，或能被5整除，则能被5整除；当被5除余数是2或3时，能被5整除，则能被5整除；当被5除余数是0时，不能被5整除.所以符合题设要求的所有的个数为．9（甲）．8解：设平局数为，胜（负）局数为，由题设知，由此得0≤b≤43.又，所以. 于是0≤≤43，87≤≤130，由此得，或.当时，；当时，，，不合题设.故．9（乙）．≤1解：由题设得所以，即.整理得，由二次函数的图象及其性质，得.又因为≤1，所以≤1.10（甲）．解：如图，连接AC，BD，OD.（第10（甲）题）由AB是⊙O的直径知∠BCA =∠BDA = 90°.依题设∠BFC = 90°，四边形ABCD是⊙O 的内接四边形，所以∠BCF =∠BAD,所以Rt△BCF∽Rt△BAD，因此.因为OD是⊙O的半径，AD = CD，所以OD垂直平分AC，OD∥BC，于是. 因此.由△∽△，知．因为，所以，BA=AD，故.10（乙）. 12解：由已知有，且为偶数，所以同为偶数，于是是4的倍数．设，则1≤≤25．（Ⅰ）若，可得，与b是正整数矛盾．（Ⅱ）若至少有两个不同的素因数，则至少有两个正整数对满足；若恰是一个素数的幂，且这个幂指数不小于3，则至少有两个正整数对满足．（Ⅲ）若是素数，或恰是一个素数的幂，且这个幂指数为2，则有唯一的正整数对满足．因为有唯一正整数对，所以m的可能值为2，3，4，5，7，9，11，13，17，19，23，25，共有12个．三、解答题11（甲）．解：因为当时，恒有，所以，即，所以．…………（5分）当时，≤；当时，≤，即≤，且≤，解得≤．…………（10分）设方程的两个实数根分别为，由一元二次方程根与系数的关系得．因为，所以，解得，或．因此．…………（20分）11（乙）．解：因为sin∠ABC=，，所以AB = 10．由勾股定理，得BO=.（第11（乙）题）易知△ABO≌△ACO，因此CO = BO = 6.于是A（0，－8），B（6，0），C（－6，0）.设点D的坐标为（m，n），由S△COE = S△ADE，得S△CDB = S△AOB. 所以，，解得n=－4.因此D为AB的中点，点D的坐标为（3，－4）.…………（10分）因此CD，AO分别为AB，BC的两条中线，点E为△A BC的重心，所以点E的坐标为.设经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为y=a（x－6）（x+6）. 将点E的坐标代入，解得a =.故经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为.…………（20分）12（甲）．证明：连接BD，因为为的直径，所以．又因为，所以△CBE是等腰三角形．（第12（甲）题）…………（5分）设与交于点，连接OM，则．又因为，所以．…………（15分）又因为分别是等腰△，等腰△的顶角，所以△BOC∽△．…………（20分）12（乙）．证明：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知（第12（乙）题）所以CI = CD．同理，CI = CB.故点C是△IBD的外心.连接OA，OC，因为I是AC的中点，且OA = OC，所以OI⊥AC，即OI⊥CI.故OI是△IBD外接圆的切线.…………（10分）（2）如图，过点I作IE⊥AD于点E，设OC与BD交于点F.由，知OC⊥BD.因为∠CBF =∠IAE，BC = CI = AI，所以Rt△BCF≌Rt△AIE，所以BF = AE.又因为I是△ABD的内心，所以AB+AD－BD = 2AE = BD.故AB+AD = 2BD．…………（20分）13（甲）．解：设a－b = m（m是素数），ab = n2（n是正整数）.因为(a+b)2－4ab = (a－b)2，所以 (2a－m)2－4n2 = m2，(2a－m+2n)(2a－m－2n) = m2.…………（5分）因为2a－m+2n与2a－m－2n都是正整数，且2a－m+2n＞2a－m－2n(m为素数)，所以2a－m+2n m 2，2a－m－2n1.解得a，.于是= a－m.…………（10分）又a≥2012，即≥2012.又因为m是素数，解得m≥89. 此时，a≥=2025.当时，，，.因此，a的最小值为2025.…………（20分）13（乙）．解：假设凸边形中有个内角等于，则不等于的内角有个．（1）若，由，得，正十二边形的12个内角都等于；…………（5分）（2）若，且≥13，由，可得，即≤11．当时，存在凸边形，其中的11个内角等于，其余个内角都等于，．…………（10分）（3）若，且≤≤．当时，设另一个角等于．存在凸边形，其中的个内角等于，另一个内角．由≤可得；由≥8可得，且．…………（15分）（4）若，且3≤≤7，由（3）可知≤．当时，存在凸边形，其中个内角等于，另两个内角都等于．综上，当时，的最大值为12；当≥13时，的最大值为11；当≤≤时，的最大值为；当3≤≤7时，的最大值为．…………（20分）14（甲）．解：由于都是正整数，且，所以≥1，≥2，…，≥2012．于是≤．…………（10分）当时，令，则.…………（15分）当时，其中≤≤，令，则．综上，满足条件的所有正整数n为．…………（20分）14（乙）．解：当时，把分成如下两个数组：和．在数组中，由于，所以其中不存在数，使得．在数组中，由于，所以其中不存在数，使得．所以，≥．…………（10分）下面证明当时，满足题设条件．不妨设2在第一组，若也在第一组，则结论已经成立．故不妨设在第二组. 同理可设在第一组，在第二组．此时考虑数8．如果8在第一组，我们取，此时；如果8在第二组，我们取，此时．综上，满足题设条件．所以，的最小值为．…………（20分）2012年全国初中数学竞赛试题（副题）题号一二三总分1～56～101112 1314得分评卷人复查人答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答；2．解答书写时不要超过装订线；3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1. 小王在做数学题时，发现下面有趣的结果：由上，我们可知第100行的最后一个数是（）．（A）10000 （B）10020 （C）10120 （D）102002. 如图，在3×4表格中，左上角的1×1小方格被染成黑色，则在这个表格中包含黑色小方格的矩形个数是（）．（A）11 （B）12 （C）13 （D）14（第2题）3．如果关于的方程有两个有理根，那么所有满足条件的正整数的个数是（）．（A）1 （B）2 （C）3 （D）44. 若函数y=（k2－1）x2－（k+1）x+1（k为参数）的图象与x轴没有公共点，则k的取值范围是（）．（A）k＞，或k＜－1 （B）－1＜k＜，且k≠1（C）k＞，或k≤－1 （D）k≥，或k≤－15. △ABC中，，分别为上的点，平分，BM=CM，为上一点，且，则与的大小关系为（）．（A）（B）（C）（D）无法确定二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6. 如图，正方形ABCD的面积为90．点P在AB上，；X，Y，Z三点在BD上，且，则△PZX的面积为．（第6题）7．甲、乙、丙三辆车都匀速从A地驶往B地．乙车比丙车晚5分钟出发，出发后40分钟追上丙车；甲车比乙车晚20分钟出发，出发后100分钟追上丙车，则甲车出发后分钟追上乙车．8. 设a n=（n为正整数），则a1+a2+…+a2012的值 1.（填“＞”，“＝”或“＜”）9．红、黑、白三种颜色的球各10个．把它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色的球都有，且甲、乙两个袋子中三种颜色的球数之积相等，那么共有种放法．10. △ABC中，已知，且b=4，则a+c= .三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11. 已知c≤b≤a，且，求的最小值．12. 求关于a，b，c，d的方程组的所有正整数解.13. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC，BD相交于点O．P，Q分别是AD，BC上的点，且，．求证：OP＝OQ．（第13题）14.（1）已知三个数中必有两个数的积等于第三个数的平方，求的值.（2）设为非零实数，为正整数，是否存在一列数满足首尾两项的积等于中间项的平方？（3）设为非零实数，若将一列数中的某一项删去后得到又一列数（按原来的顺序），满足首尾两项的积等于中间项的平方. 试求的所有可能的值.2012年全国初中数学竞赛试题（副题）参考答案一、选择题1．D解：第k行的最后一个数是，故第100行的最后一个数是．2. B解：这个表格中的矩形可由对角线的两个端点确定，由于包含黑色小方格，于是，对角线的一个端点确定，另一个端点有3×4=12种选择.3．B解：由于方程的两根均为有理数，所以根的判别式≥0，且为完全平方数．≥0，又2≥，所以，当时，解得；当时，解得．4. C解：当函数为二次函数时，有k2－1≠0，=(k+1)2－4(k2－1)＜0.解得k＞，或k＜－1．当函数为一次函数时，k=1，此时y=－2x+1与x轴有公共点，不符合题意．当函数为常数函数时，k=－1，此时y=1与x轴没有公共点.所以，k的取值范围是k＞，或k≤－1.5. B（第5题）解：如图，设，作BKCE，则，于是A，B，E，C四点共圆. 因为是的中点，所以，从而有，即平分.二、填空题6. 30（第6题）解：如图，连接PD，则．7．180解：设甲、乙、丙三车的速度分别为每分钟x，y，z米，由题意知，．消去z，得．设甲车出发后t分钟追上乙车，则，即，解得．8．＜解：由a n==，得a1+a2+…+a2012==＜1.9．25解：设甲袋中红、黑、白三种颜色的球数分别为，则有1≤≤9，且，（1）即，（2）于是．因此中必有一个取5．不妨设，代入（1）式，得到．此时，y可取1，2，…，8，9（相应地z取9，8，…，2，1），共9种放法．同理可得y=5，或者z=5时，也各有9种放法．但时，两种放法重复．因此共有9×3－2 = 25种放法．10. 6（第10题）解：如图，设△ABC内切圆为⊙I，半径为r，⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，连接IA，IB，IC，ID，IE，IF.由切线长定理得AF=p－a，BD=p－b，CE=p－c，其中p=(a+b+c).在Rt△AIF中，tan∠IAF=，即tan.同理，tan，tan.代入已知等式，得.因此a+c=.三、解答题11. 解：已知，又，且，所以b，c是关于x的一元二次方程的两个根.故≥0，≥0，即≥0，所以≥20．于是≤-10，≥10，从而≥≥10，故≥30，当时，等号成立．12. 解：将abc=d代入10ab+10bc+10ca=9d得10ab+10bc+10ca=9abc.因为abc≠0，所以，.不妨设a≤b≤c，则≥≥＞0.于是，＜≤，即＜≤，＜a≤.从而，a=2，或3.若a=2，则.因为＜≤，所以，＜≤，＜b≤5.从而，b=3，4，5. 相应地，可得c=15，(舍去)，5.当a=2，b=3，c=15时，d=90；当a=2，b=5，c=5时，d=50.若a=3，则.因为＜≤，所以，＜≤，＜b≤.从而，b=2（舍去），3.当b=3时，c=(舍去).因此，所有正整数解为(a，b，c，d)=(2，3，15，90)，(2，15，3，90)，(3，2，15，90)，(3，15，2，90)，(15，2，3，90)，(15，3，2，90)，(2，5，5，50)，(5，2，5，50)，(5，5，2，50).13. 证明：延长DA至，使得，则，于是△DPC∽△，故，所以PO∥．（第13题）又因为△DPO ∽△，所以．同理可得，而AB∥CD，所以，故OP＝OQ．14.解：（1）由题设可得，或，或.由，解得；由，解得；由，解得.所以满足题设要求的实数.（2）不存在.由题设（整数≥1）满足首项与末项的积是中间项的平方，则有，解得，这与矛盾.故不存在这样的数列.（3）如果删去的是1，或者是，则由（2）知，或数列均为1，1，1，即，这与题设矛盾.如果删去的是，得到的一列数为，那么，可得.如果删去的是，得到的一列数为，那么，开得.所以符合题设要求的的值为1，或.。
2012年全国初中数学联赛试题(含答案)
2012年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知1a =，b =2c =，那么,,a b c 的大小关系是 （ C ）A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D.b c a <<2．方程222334x xy y ++=的整数解(,)x y 的组数为 （ B ） A ．3. B ．4. C ．5. D ．6.3．已知正方形ABCD 的边长为1，E 为BC 边的延长线上一点，CE ＝1，连接AE ，与CD 交于点F ，连接BF 并延长与线段DE 交于点G ，则BG 的长为 （ D ）A ．3 B ．3C ．3D ．34．已知实数,a b 满足221a b +=，则44a ab b ++的最小值为 （ B ） A ．18-. B ．0. C ．1. D ．98.5．若方程22320x px p +--=的两个不相等的实数根12,x x 满足232311224()x x x x +=-+，则实数p 的所有可能的值之和为 （ B ）A ．0.B ．34-. C ．1-. D ．54-. 6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数abcd （数字可重复使用），要求满足a c b d +=+.这样的四位数共有 （ C ）A ．36个.B ．40个.C ．44个.D ．48个. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知互不相等的实数,,a b c 满足111a b c t b c a+=+=+=，则t =1±．2．使得521m⨯+是完全平方数的整数m 的个数为 1 ．3．在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A ＝40°，P 为AB 上一点，∠ACP ＝20°，则BCAP＝． 4．已知实数,,a b c 满足1abc =-，4a b c ++=，22243131319a b c a a b b c c ++=------，则222a b c ++＝332．第二试 （A ）一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积. 解 设直角三角形的三边长分别为,,a b c （a b c ≤<），则30a b c ++=. 显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值. 由a b c ≤<及30a b c ++=得303a b c c =++<，所以10c >. 由a b c +>及30a b c ++=得302a b c c =++>，所以15c <. 又因为c 为整数，所以1114c ≤≤.根据勾股定理可得222a b c +=，把30c a b =--代入，化简得30()4500ab a b -++=，所以22(30)(30)450235a b --==⨯⨯，因为,a b 均为整数且a b ≤，所以只可能是22305,3023,a b ⎧-=⎪⎨-=⨯⎪⎩解得5,12.a b =⎧⎨=⎩ 所以，直角三角形的斜边长13c =，三角形的外接圆的面积为1694π. 二．（本题满分25分）如图，P A 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，AD ⊥OP 于点D .证明：2AD BD CD =⋅.证明：连接OA ，OB ，OC .∵OA ⊥AP ，AD ⊥OP ，∴由射影定理可得2PA PD PO =⋅，2AD PD OD =⋅.又由切割线定理可得2PA PB PC =⋅，∴P B P C PD PO ⋅=⋅，∴D 、B 、C 、O 四点共圆， ∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PBD ∽△COD ，∴PD BD CD OD=，∴2AD PD OD BD CD =⋅=⋅. 三．（本题满分25分）已知抛物线216y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，P A 是△ABC 的外接圆的切线.设M 3(0,)2-，若AM //BC ，求抛物线的解析式.解 易求得点P 23(3,)2b bc +，点C (0,)c .设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为(3,)b m .显然，12,x x 是一元二次方程2106x b x c -++=的两根，所以13x b c =，23x b =+AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ，所以AE.因为P A 为⊙D 的切线，所以P A ⊥AD ，又AE ⊥PD ，所以由射影定理可得2AE PE DE =⋅，即223)()||2b c m =+⋅，又易知0m <，所以可得6m =-. 又由DA ＝DC 得22DA DC =，即2222(30)()m b m c +=-+-，把6m =-代入后可解得6c =-（另一解0c =舍去）.又因为AM //BC ，所以OA OMOB OC =3||2|6|-=-. 把6c =-代入解得52b =（另一解52b =-舍去）. 因此，抛物线的解析式为215662y x x =-+-.第二试 （B ）一．（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积. 解 设直角三角形的三边长分别为,,a b c （a b c ≤<），则60a b c ++=. 显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值.由a b c ≤<及60a b c ++=得603a b c c =++<，所以20c >. 由a b c +>及60a b c ++=得602a b c c =++>，所以30c <. 又因为c 为整数，所以2129c ≤≤.根据勾股定理可得222a b c +=，把60c a b =--代入，化简得60()18000ab a b -++=，所以322(60)(60)1800235a b --==⨯⨯，因为,a b 均为整数且a b ≤，所以只可能是326025,6035,a b ⎧-=⨯⎪⎨-=⨯⎪⎩或2226025,6023,a b ⎧-=⨯⎪⎨-=⨯⎪⎩ 解得20,15,a b =⎧⎨=⎩或10,24.a b =⎧⎨=⎩当20,15a b ==时，25c =，三角形的外接圆的面积为6254π； 当10,24a b ==时，26c =，三角形的外接圆的面积为169π.二．（本题满分25分）如图，P A 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，AD ⊥OP 于点D ，△ADC 的外接圆与BC 的另一个交点为E .证明：∠BAE ＝∠ACB .证明：连接OA ，OB ，OC ，BD . ∵OA ⊥AP ，AD ⊥OP ，∴由射影定理可得2PA PD PO =⋅，2AD PD OD =⋅.又由切割线定理可得2PA PB PC =⋅，∴P B P C PD PO ⋅=⋅，∴D 、B 、C 、O 四点共圆， ∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PBD ∽△COD ， ∴PD BDCD OD =， ∴2BD CD PD OD AD ⋅=⋅=，∴BD AD AD CD=. 又∠BDA ＝∠BDP ＋90°＝∠ODC ＋90°＝∠ADC ，∴△BDA ∽△ADC ， ∴∠BAD ＝∠ACD ，∴AB 是△ADC 的外接圆的切线，∴∠BAE ＝∠ACB . 三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第二题相同. 三．（本题满分25分）已知抛物线216y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，P A 是△ABC 的外接圆的切线.将抛物线向左平移1)个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点Q ，且∠QBO ＝∠OBC .求抛物线的解析式.解 抛物线的方程即2213(3)62b y x bc =--++，所以点P 23(3,)2b b c +，点C (0,)c . 设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为(3,)b m .显然，12,x x 是一元二次方程2106x b x c -++=的两根，所以13x b =，23x b =+AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ，所以AE .因为P A 为⊙D 的切线，所以P A ⊥AD ，又AE ⊥PD ，所以由射影定理可得2AE PE DE =⋅，即223)()||2b c m =+⋅，又易知0m <，所以可得6m =-.又由DA ＝DC 得22DA DC =，即2222(30)()m b m c +=-+-，把6m =-代入后可解得6c =-（另一解0c =舍去）.将抛物线2213(3)662b y x b =--+-向左平移1)个单位后，得到的新抛物线为2213(324)662by x b=--++-.易求得两抛物线的交点为Q23(312102)2bb+-+.由∠QBO＝∠OBC可得tan∠QBO＝tan∠OBC.作QN⊥AB，垂足为N，则N(312b+-，又233(x b b=+=，所以tan∠QBO＝QNBN2310212b+=12=22111)]22==⋅.又tan∠OBC＝OCOB1(2b==⋅，所以111)](22b⋅=⋅-.解得4b=（另一解45)03b=<，舍去）.因此，抛物线的解析式为21466y x x=-+-.。
2012年全国初中数学联赛试题详解
2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知1a =，b =2c =，那么,,a b c 的大小关系是 （ C ）A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D.b c a <<解答：1a ===b ==，2c ===1显然：b a c <<2．方程222334x xy y ++=的整数解(,)x y 的组数为 （ B ） A ．3. B ．4. C ．5. D ．6. 解答：222222223232()234x xy y x xy y y x y y ++=+++=++=由0、1、2、3、4、5、6的平分别是0、1、4、9、16、25、36知唯有16+2⨯9=34故5555544444x y x y x y x y x y y y y y y +=-+=+=+=-⎧⎧⎧⎧+=±=±⎨⎨⎨⎨===-=-⎩⎩⎩⎩、，由、、、得 4444=9=1=9=1y y y y x x x x ===-=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨--⎩⎩⎩⎩、、、共4组解。
3．已知正方形ABCD 的边长为1，E 为BC 边的延长线上一点，CE ＝1，连接AE ，与CD 交于点F ，连接BF 并延长与线段DE 交于点G ，则BG 的长为 （ D ）A．3 B．3 C．3 D．3EBD解答：如图，做G H ⊥BE 于H ，易证Rt △AB E ∽Rt △GHB ，设GH=a ，则HE=a ，BH=2-a ， 由GH BH a 2-a 2==a=AB BE 123得解得，故BG=3。
4．已知实数,a b 满足221a b +=，则44a ab b ++的最小值为 （ B ）A ．18-. B ．0. C ．1. D ．98. 解答：44222222219=2=21=2()48a ab b a b a b ab a b ab ab +++-+-++--+2（） 考查以ab 整体为自变量的函数的图像为抛物线219y=2()48ab --+其对称轴为14ab = 由22222020a b ab a b ab +-≥++≥和知1122ab -≤≤ 又1111()4242-->-，故当12ab =-时，函数取最小值0。
2012年全国初中数学联合竞赛试题及解答
又 c a ( 6 2) ( 2 1) 6 ( 2 1) ，而 ( 6) ( 2 1) 3 2 2 0 .所 以 6
2 1 ，故 c a .因此 b a c .
2．方程 x 2 xy 3 y 34 的整数解 ( x, y ) 的组数为（
因为 2 | ab | a b 1 ，所以
2 2
因此 a ab b 的最小值为 0，当 a
4 4
2 2 2 2 或a 时取得. ,b ,b 2 2 2 2
5．若方程 x 2 px 3 p 2 0 的两个不相等的实数根 x1 , x2 满足 x1 x1 4 ( x2 x2 ) ，
2
验证可知： b 因此， t 1 . 方法二：由 a
1 a 1 1 a 1 时 t 1； b 时 t 1 . ,c ,c 1 a a 1 a a
1 1 bc . b 可得 bc b c a b ca a b 同理可得： ca ， ab . bc ca
1
） D．
6 3
B．
5 3
C．
2 6 3
2 5 3
易知 BG：GH＝2:1，所以 BG =
2 2 5 BH 3 3
A F
D G
H
B
2 2 4
C
4
P
E
）
4．已知实数 a, b 满足 a b 1 ，则 a ab b 的最小值为 （ A． 【答】B.
1 . 8
B．0.
C．1.
D．
m 2
m 2
设 n 2k 1 （其中 k 是正整数） ，则 5 2 4k (k 1) ，即 5 2
2012年全国初中数学竞赛考题(副题)
2012年全国初中数学竞赛考题(副题)<object height=“500” align=“middle” width=“450” id=“reader”codebase=“/pub/sho ckwave/cabs/flash/swflash.cab#version=6,0,0,0” classid=“clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-44455354000 0”><param value=“window”name=“wmode”><param value=“true”name=“allowfullscreen”><paramname=“allowscriptaccess”value=“always”><paramvalue=“/static/flash/apiread er.swf?docurl=/play&amp;d ocid=5d7477100b4e767f5acfce45&amp;title=2012%E5 %B9%B4%E5%85%A8%E5%9B%BD%E5%88%9D%E4%B8%AD%E6%95%B0 %E5%AD%A6%E7%AB%9E%E8%B5%9B%E8%AF%95%E9%A2%98(%E5%8 9%AF%E9%A2%98)&amp;doctype=doc&amp;fpn=5&am p;amp;npn=5&amp;readertype=external&catal=0 &amp;cdnurl=h ttp:///play”name=“movie”><embed height=“500”align=“middle” width=“450”pluginspage=“/go/getflash player” type=“application/x-shockwave-flash” name=“reader”src=“/static/flash/apireade r .swf?docurl=/play&amp;doc id=5d7477100b4e767f5acfce45&amp;title=2012%E5%B 9%B4%E5%85%A8%E5%9B%BD%E5%88%9D%E4%B8%AD%E6%95%B0%E 5%AD%A6%E7%AB%9E%E8%B5%9B%E8%AF%95%E9%A2%98(%E5%89% AF%E9%A2%98)&amp;doctype=doc&amp;fpn=5& amp;npn=5&amp;readertype=external&catal=0&a mp;amp;cdnurl=/play” allowfullscreen=“true” wmode=“window” allowscriptaccess=“always” bgcolor=“#FFFFFF” ver=“9.0.0”></embed></object>。
2012年全国初中数学竞赛试题（副题）及参考答案
2012年全国初中数学竞赛试题（副题）及参考答案
佚名
【期刊名称】《中国数学教育（初中版）》
【年(卷),期】2012(000)005
【总页数】3页(P41-43)
【正文语种】中文
【中图分类】G4
【相关文献】
1.“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题及参考答案 [J], 冼词学;
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4."《数学周报》杯"2011年全国初中数学竞赛试题(副题)及参考答案 [J],
5."《数学周报》杯"2010年全国初中数学竞赛试题及参考答案 [J],
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【数学竞赛】2012年全国初中数学联赛试题答案
【数学竞赛】2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知1a =-，b =2c =，那么,,a b c 的大小关系是 （ C ）A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D.b c a <<2．方程222334x xy y ++=的整数解(,)x y 的组数为 （ B ） A ．3. B ．4. C ．5. D ．6.3．已知正方形ABCD 的边长为1，E 为BC 边的延长线上一点，CE ＝1，连接AE ，与CD 交于点F ，连接BF 并延长与线段DE 交于点G ，则BG 的长为 （ D ）A B C D 4．已知实数,a b 满足221a b +=，则44a ab b ++的最小值为 （ B ） A ．18-. B ．0. C ．1. D ．98. 5．若方程22320x px p +--=的两个不相等的实数根12,x x 满足232311224()x x x x +=-+，则实数p的所有可能的值之和为 （ B ）A ．0.B ．34-. C ．1-. D ．54-. 6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数abcd （数字可重复使用），要求满足a c b d +=+.这样的四位数共有 （ C ）A ．36个.B ．40个.C ．44个.D ．48个. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知互不相等的实数,,a b c 满足111a b c t b c a+=+=+=，则t =1±．2．使得521m⨯+是完全平方数的整数m 的个数为 1 ．3．在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A ＝40°，P 为AB 上一点，∠ACP ＝20°，则BCAP＝．4．已知实数,,a b c 满足1abc =-，4a b c ++=，22243131319a b c a a b b c c ++=------，则222a b c ++＝332．第二试 （A ）一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积. 解 设直角三角形的三边长分别为,,a b c （a b c ≤<），则30a b c ++=.显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值. 由a b c ≤<及30a b c ++=得303a b c c =++<，所以10c >. 由a b c +>及30a b c ++=得302a b c c =++>，所以15c <. 又因为c 为整数，所以1114c ≤≤.根据勾股定理可得222a b c +=，把30c a b =--代入，化简得30()4500ab a b -++=，所以22(30)(30)450235a b --==⨯⨯，因为,a b 均为整数且a b ≤，所以只可能是22305,3023,a b ⎧-=⎪⎨-=⨯⎪⎩解得5,12.a b =⎧⎨=⎩所以，直角三角形的斜边长13c =，三角形的外接圆的面积为1694π. 二．（本题满分25分）如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，A D ⊥OP 于点D .证明：2AD BD CD =⋅.证明：连接OA ，OB ，OC.∵OA ⊥AP ，A D ⊥OP ，∴由射影定理可得2PA PD PO =⋅，2AD PD OD =⋅.又由切割线定理可得2PA P B PC =⋅，∴PB PC PD PO ⋅=⋅，∴D 、B 、C 、O 四点共圆， ∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PB D ∽△COD ，∴PD BD CD OD=，∴2AD PD OD BD CD =⋅=⋅. 三．（本题满分25分）已知抛物线216y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.设M 3(0,)2-，若AM//BC ，求抛物线的解析式.解 易求得点P 23(3,)2b bc +，点C (0,)c .设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为(3,)b m . 显然，12,x x 是一元二次方程2106x bx c -++=的两根，所以13x b =，23x b =AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ，所以AE因为PA 为⊙D 的切线，所以PA ⊥AD ，又A E ⊥PD ，所以由射影定理可得2AE PE DE =⋅，即。
2012年全国初中数学竞赛试题及答案
2012年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分） 1.如果2a =-+11123a+++的值为（ ）．（A） （B（C ）2 （D）2. 在平面直角坐标系xO y 中，满足不等式x 2＋y 2≤2x ＋2y 的整数点坐标（x ，y ）的个数为（ ）． （A ）10 （B ）9 （C ）7 （D ）5 3. 如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒，AD = 3，BD = 5，则CD 的长为（ ）． （A ）23 （B ）4 （C ）52 （D ）4.5 4. 如果关于x 的方程20x px q p q--=（，是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（ ）．（A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 （D ） 8 5. 黑板上写有1，12，…，1100共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板写上数a b ab ++，经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ ）． （A ）2012 （B ）101 （C ）100 （D ）99 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6. 如果a ，b ，c 是正数，且满足9a b c ++=，111109a bb cc a++=+++，那么a b c b cc aa b+++++的值为 ．7. 如图，正方形ABCD 的边长为，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF与DE ，DB 分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是 . 8. 设n 为整数，且1≤n ≤2012. 若22(3)(3)n n n n -+++能被5整除，则所有n的个数为 .9. 如果正数x ，y ，z 可以是一个三角形的三边长，那么称x y z （，，）是三角形数．若a b c （，，）和111a b c（，，）均为三角形数，且a ≤b ≤c ，则ac的取值范围是 .10. 已知n 是偶数，且1≤n ≤100．若有唯一的正整数对a b （，）使得22a b n=+成立，则这样的n 的个数为 ．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11. 已知二次函数232y x m x m =++++（），当13x -<<时，恒有0y<；关于x 的方程2320x m x m ++++=（）的两个实数根的倒数和小于910-．求m 的取值范围．12. 如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，AC ，BD 是它的对角线，AC 的中点I 是△ABD 的内心. 求证：（1）OI 是△IBD 的外接圆的切线； （2）AB +AD = 2BD .13. 给定一个正整数n ，凸n 边形中最多有多少个内角等于150︒？并说明理由．14. 将2，3，…，n （n ≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a b c ，，（可以相同）使得ba c=，求n 的最小值．1-5 B B D C D6-10 7，8，-2/3,8,1211. m<-12,12. (1)弦切角定理，鸡爪定理（2）托勒密定理，鸡爪定理13. 201714.65536。
2012全国初中数学竞赛试题及答案(现只有选择题答案)
中国教育学会中学数学教学专业委员会答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1. 如果2a =-+11123a+++的值为（ ）．（A ）（B （C ）2 （D ）解：B∵213+=+a ∴1231-=+a ，12312+=++a，123121-=++a因此原式=22. 在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式x 2＋y 2≤2x ＋2y 的整数点坐标（x ，y ）的个数为（ ）．（A ）10 （B ）9 （C ）7 （D ）5 解：B解法一：y x y x 2222+≤+化为()()21122≤-+-y x因为x 、y 均为整数，因此()()01122=-+-y x 或()()11122=-+-y x 或()()21122=-+-y x分别解得⎩⎨⎧==11y x 或⎩⎨⎧==10y x ⎩⎨⎧==12y x ⎩⎨⎧==01y x ⎩⎨⎧==21y x 或⎩⎨⎧==20y x ⎩⎨⎧==22y x ⎩⎨⎧==00y x ⎩⎨⎧==02y x 所以共有9个整点解法二：y x y x 2222+≤+化为()()21122≤-+-y x 它表示以点（1,1）为圆心，2为半径的圆内， 画图可知，这个圆内有9个（0,2）、（0,1）（0,0），（1,0），（1,1），（1,2），（2,0），（2,1），（2,2）3. 如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒，AD = 3，BD = 5，则CD 的长为（ ）． （A ）23 （B ）4 （C ）52 （D ）4.5 解：4. 如果关于x 的方程20x px q p q --=（，是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（ ）．（A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 （D ） 8 解：C∵p 、q 是正整数∴042>+=∆q p ，021<-=⋅q x x∴正根为3242<++qp p 解得p q 39-<∴⎩⎨⎧==11q p ，⎩⎨⎧==21q p ，⎩⎨⎧==31q p ，⎩⎨⎧==41q p ，⎩⎨⎧==51q p ，⎩⎨⎧==12q p ，⎩⎨⎧==22q p5. 黑板上写有1，12，13，…，1100共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ ）．（A ）2012 （B ）101 （C ）100 （D ）99 解：C1)1)(1(-++=++b a ab b a∵计算结果与顺序无关∴顺次计算得：21)121)(11(=-++，31)131)(12(=-++，41)141)(13(=-++，…… 1001)11001)(199(=-++二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6. 如果a ，b ，c 是正数，且满足9a b c ++=，111109a b b c c a ++=+++，那么a b c b c c a a b+++++的值为 ． 解：7 在910111=+++++a c c b b a 两边乘以9=++c b a 得 103=++++++a c b c b a b a c 即7=+++++ac b c b a b a c7. 如图，正方形ABCD 的边长为2E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与DE ，DB 分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是 . 解：8易证△ABF ≌△DAE ，因此AF ⊥DE ∴()()351515222=+==AF DE∴323515152=⋅=AM ，()()343215222=-=DM易证△AND ∽△FNB ，且相似比为2:1∴331032==AF AN ，33531==AF FN ∴334323310=-=MN ∴83433421=⋅⋅=∆DMN S8. 设n 为整数，且1≤n ≤2012. 若22(3)(3)n n n n -+++能被5整除，则所有n 的个数为 . 解：1600()()()953332422222++=-+=+++-n n n n n n n n因此9|54+n ，所以)5(mod 14≡n ，因此25k ,15±±=或k n240252012⋯⋯=÷所以共有2012-402=1600个数9. 如果正数x ，y ，z 可以是一个三角形的三边长，那么称x y z （，，）是三角形数．若a b c （，，）和111a b c （，，）均为三角形数，且a ≤b ≤c ，则a c的取值范围是 . 解：1253≤<-ca依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧>+>+ac b c b a 111，所以a c b ->，代入（2）得ca c cb a 11111+-<+<，两边乘以a 得 c a a c a +-<1即ac a c a c -<-化简得0322<+-c ac a ，两边除以2c 得0132<+-⎪⎭⎫⎝⎛c a c a所以253253+<<-c a 另一方面：a ≤b ≤c ，所以1≤ca综合得1253≤<-ca10. 已知n 是偶数，且1≤n ≤100．若有唯一的正整数对a b （，）使得22a b n =+成立，则这样的n 的个数为 ． 解：依题意得()()b a b a b a n -+=-=22由于n 是偶数，a+b 、a-b 同奇偶，所以n 是4的倍数当1≤n ≤100时，4的倍数共有25个但是224⨯=，6412224⨯=⨯=，8416232⨯=⨯=，10420240⨯=⨯=，8612424248⨯=⨯=⨯=，14428256⨯=⨯=，10630260⨯=⨯=，16432264⨯=⨯= 12618436272⨯=⨯=⨯=，10820440280⨯=⨯=⨯=，22444288⨯=⨯= 12816624448296⨯=⨯=⨯=⨯=这些不符合要求，因此这样的n 有25-12=13个三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11. 已知二次函数232y x m x m =++++（），当13x -<<时，恒有0y <；关于x 的方程2320x m x m ++++=（）的两个实数根的倒数和小于910-．求m 的取值范围． 解：12. 如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，AC ，BD 是它的对角线，AC 的中点I 是△ABD 的内心.求证：（1）OI 是△IBD 的外接圆的切线； （2）AB +AD = 2BD .13.给定一个正整数n，凸n边形中最多有多少个内角等于150︒？并说明理由．，，（可14.将2，3，…，n（n≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a b c以相同）使得b a c=，求n的最小值．。
2012年全国初中数学 竞赛试题
2012年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案一、选择题（共6小题,每小题6分,共36分. 以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号字母填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分）1．在1,3,6,9四个数中,完全平方数、奇数、质数的个数分别是【 】 （A ）2,3,1 （B ）2,2,1 （C ）1,2,1 （D ）2,3,2 【答】A ．解.完全平方数有1,9；奇数有1,3,9；质数有3．2．已知一次函数(1)(1)y m x m =++-的图象经过一、二、三象限,则下列判断正确的是【 】（A ）1m >- （B ）1m <- （C ）1m > （D ）1m < 【答】C ．解.一次函数(1)(1)y m x m =++-的图象经过一、二、三象限,说明其图象与y 轴的交点位于y 轴的正半轴,且y 随x 的增大而增大,所以10,10.m m ->⎧⎨+>⎩解得1m >．3．如图,在⊙O 中,CD DA AB ==,给出下列三个 结论.（1）DC =AB ；（2）AO ⊥BD ；（3）当∠BDC =30° 时,∠DAB =80°．其中正确的个数是【 】（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答】D ．解.因为CD AB =,所以DC =AB ；因为AD AB =,AO 是半径,所以AO ⊥BD ；设∠DAB =x 度,则由△DAB 的内角和为180°得.2(30)180x x -︒+=︒,解得80x =︒．4. 有4张全新的扑克牌,其中黑桃、红桃各2张,它们的背面都一样,将它们洗匀后,背面朝上放到桌面上,从中任意摸出2张牌,摸出的花色不一样的概率是【 】（A ）34 （B ）23 （C ）13 （D ）21【答】B ．解.从4张牌中任意摸出2张牌有6种可能,摸出的2张牌花色不一样的有4种可能,所以摸出花色不一样的概率是3264=. 5．在平面直角坐标系中,点A 的坐标是(1,0),点B 的坐标是(3,3)--,点C 是y 轴上一动点,要使△A B C 为等腰三角形,则符合要求的点C 的位置共第3题图O DCBA有【 】（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个 【答】D ．解.由题意可求出AB =5,如图,以点A 为圆心AB 的长为半径画弧,交y 轴于C 1和C 2,利用勾股定理可求出OC 1=OC 2=225126-=,可得)62,0(),62,0(21-C C , 以点B 为圆心BA 的长为半径画弧,交y 轴于点C 3和C 4, 可得34(0,1),(0,7)C C -,AB 的中垂线交y 轴于点C 5,利用 三角形相似或一次函数的知识可求出)617,0(5-C ． 6．已知二次函数221y x bx =++（b 为常数）,当b 取不同的值时,其图象构成一个“抛物线系”,图中的实线型抛物线分别是b 取三个不同的值时二次函数的图象,它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线）,这条抛物线的解析式是【 】（A ）221y x =-+ （B ）2112y x =-+ （C ）241y x =-+ （D ）2114y x =-+【答】A ．解.221y x bx =++的顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--88,42b b ,设4b x -=,882b y -=,由4b x -=得x b 4-=,所以222218)4(888x x b y -=--=-=． 二、填空题（共6小题,每小题6分,共36分）7．若2=-n m ,则124222-+-n mn m 的值为 ． 【答】7．解.71221)(212422222=-⨯=--=-+-n m n mn m ．8．方程112(1)(2)(2)(3)3x x x x +=++++的解是 ．【答】120,4x x ==-．yxO 第6题图xyOABC 1C 2C 3C 4C 5 第5题图解.11(1)(2)(2)(3)x x x x +++++11111223x x x x =-+-++++11213(1)(3)x x x x =-=++++. ∴22(1)(3)3x x =++,解得 120,4x x ==-.9．如图,在平面直角坐标系中,点B 的坐标是（1,0）, 若点A 的坐标为（a ,b ）,将线段BA 绕点B 顺时针旋转 90°得到线段BA ',则点A '的坐标是 ． 【答】(1,1)b a +-+．解.分别过点A 、A '作x 轴的垂线,垂足分别 为C 、D ．显然Rt △ABC ≌Rt △B A 'D ． 由于点A 的坐标是(,)a b ,所以OD OB BD =+1OB AC b =+=+,1A D BC a '==-,所以点的A '坐标是(1,1)b a +-+．10．如图,矩形ABCD 中,AD =2,AB =3,AM =1,DE 是以点A 为圆心2为半径的41圆弧,NB 是以点M 为圆心2为半径的41圆弧,【答】2．解.连接MN ,显然将扇形AED 向右平移 可与扇形MBN 重合,图中阴影部分的面积等于 矩形AMND 的面积,等于221=⨯．11．已知α、β是方程2210x x +-=的两根,则3510αβ++的值为 ．【答】2-．解.∵α是方程2210x x +-=的根,∴212αα=-．∴ 322(12)22(12)52αααααααααα=⋅=-=-=--=-, 又 ∵2,αβ+=-M第10题图E 第9题图∴ 3510(52)5105()8αβαβαβ++=-++=++=5(2)82⨯-+=-．12．现有145颗棒棒糖,分给若干小朋友,不管怎样分,都至少有1个小朋友分到5颗或5颗以上,这些小朋友的人数最多有 个． 【答】36．解.利用抽屉原理分析,设最多有x 个小朋友,这相当于x 个抽屉,问题变为把145颗糖放进x 个抽屉,至少有1个抽屉放了5颗或5颗以上,则41x +≤145,解得x ≤36,所以小朋友的人数最多有36个．三、解答题（第13题15分,第14题15分,第15题18分,共48分）13．王亮的爷爷今年（2012年）80周岁了,今年王亮的年龄恰好是他出生年份的各位数字之和,问王亮今年可能是多少周岁？解.设王亮出生年份的十位数字为x ,个位数字为y （x 、y 均为0 ~ 9的整数）．∵王亮的爷爷今年80周岁了,∴王亮出生年份可能在2000年后,也可能是2000年前．故应分两种情况. …………………2分（1）若王亮出生年份为2000年后,则王亮的出生年份为200010x y ++,依题意,得2012(200010)20x y x y -++=+++,整理,得 1011,2xy -=x 、y 均为0 ~ 9的整数,∴0.x = 此时 5.y =∴王亮的出生年份是2005年,今年7周岁．…………………8分（2）若王亮出生年份在2000年前,则王亮的出生年份为190010x y ++,依题意,得2012(190010)19x y x y -++=+++,整理,得 111022x y =-,故x 为偶数,又1021110211,09,22x xy --=≤≤ ∴ 779,11x ≤≤ ∴ 8.x = 此时7.y = ∴王亮的出生年份是1987年,今年25周岁． …………………14分 综上,王亮今年可能是7周岁,也可能是25周岁．……………15分14．如图,在平面直角坐标系中,直角梯形OABC 的顶点A 、B 的坐标分别是(5,0)、(3,2),点D 在线段OA 上,BD =BA , 点Q 是线段BD 上一个动点,点P 的坐标是(0,3),设直线PQ 的解析式为y kx b =+．（1）求k 的取值范围；（2）当k 为取值范围内的最大整数时,若抛物线25y ax ax =-的顶点在直线PQ 、OA 、AB 、BC 围成的四边形内部,求a 的取值范围．解.（1）直线y kx b =+经过P (0,3),∴ 3b =．∵B (3,2),A (5,0),BD =BA ,∴ 点D 的坐标是(1,0), ∴ BD 的解析式是1y x =-, 1 3.x ≤≤依题意,得 1,3.y x y kx =-⎧⎨=+⎩,∴4,1x k =-∴ 41 3.1k -≤≤解得13.3k --≤≤……………………………………………7分 （2） 13,3k --≤≤且k 为最大整数,∴1k =-.则直线PQ 的解析式为3y x =-+.……………………………………………9分又因为抛物线25y ax ax =-的顶点坐标是525,24a ⎛⎫-⎪⎝⎭,对称轴为52x =．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=.25,3x x y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.21,25y x 即直线PQ 与对称轴为52x =的交点坐标为51(,)22,∴125224a <-<．解得 822525a -<<-．……………………………………15分 15. 如图,扇形O M N 的半径为1,圆心角是90°．点B 是MN 上一动点,BA ⊥OM 于点A ,BC ⊥ON 于点C ,点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点,GF 与CE 相交于点P ,DE 与AG 相交于点Q ．（1）求证.四边形EPGQ 是平行四边形；（2）探索当OA 的长为何值时,四边形EPGQ 是矩形；（3）连结PQ ,试说明223PQ OA +是定值．解.（1）证明.如图①, ∵∠AOC =90°,BA ⊥OM ,BC ⊥ON , ∴四边形OABC 是矩形． ∴OC AB OC AB =,//． ∵E 、G 分别是AB 、CO 的中点, ∴.,//GC AE GC AE =∴四边形AECG 为平行四边形.∴.//AG CE ……………………………4分 连接OB , ∵点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点, ∴ GF ∥OB ,DE ∥OB , ∴ PG ∥EQ ,∴四边形EPGQ 是平行四边形．………………………………………………6分A BCO D EFGPQ M N图①（2）如图②,当∠CED =90°时,□EPGQ 是矩形． 此时 ∠AED +∠CEB =90°．又∵∠DAE =∠EBC =90°,∴∠AED =∠BCE ．∴△AED ∽△BCE ．………………………………8分 ∴AD AEBE BC=． 设OA =x ,AB =y ,则2x ∶2y =2y ∶x ,得222y x =．…10分又 222OA AB OB +=,即2221x y +=．∴2221x x +=,解得x =∴当OA的长为3时,四边形EPGQ 是矩形．………………………………12分 （3）如图③,连结GE 交PQ 于O ',则.,E O G O Q O P O '=''='．过点P 作OC 的平行线分别交BC 、GE 于点B '、A '．由△PCF ∽△PEG 得,2,1PG PE GE PF PC FC === ∴ PA '=23A B ''=13AB , GA '=13GE =13OA ,∴ 1126A O GE GA OA '''=-=． 在Rt △PA O ''中,222PO PA A O ''''=+,即 2224936PQ AB OA =+, 又 221AB OA +=, ∴ 22133PQ AB =+,∴ 2222143()33OA PQ OA AB +=++=．……………………………………18分A BCOD E F GP QMN 图②B'N MA'QP O'G F E D C B A O 图③。
2012全国中学生数学竞赛
1、竖式计算。
170×2.05=8.84÷1.7= 21÷1.4= 12.5+0.25=2、竖式计算。
（得数保留两位小数）42.3×0.78 1.43×0.67 5.87÷1.9 7.9÷0.353、解方程。
5X+7=42 16+8X=40 4X—3×9=292(X—2.6)=8 5(X+1.5)=17.5 (X—3)÷2=7.55.4X+X=12.8 X—0.36X=16 3.6X—X=3.254、简算。
3.8+4.29+2.71+6.2 12.5—0.78—3.22 12.8×99+12.81.25×3.2×2.5 12.6×101—12.6 38.5÷2.5÷0.46.7×10.1 6.5×101 4.85×981.2×2.5+0.8×2.5 28×17.5—28×7.5 4.8×12.55、递等式计算。
7.8+3.2÷2.5 5.83×2＋4.27 0.75×18÷0.159.2－1.2÷0.6 (2.4×5.5＋17.3)÷6.1 3.64÷0.35＋0.65七，解决问题（30分，每小题5分）1、王老师买了36支铅笔，48本练习本奖励给一些进步的学生，刚刚派完，没有剩余，一个有多少个进步的学生？2、一个正方体玻璃鱼缸，从里面量，2 dm，,高15cm，倒入5.5升的水，水溢出了多少立方分米？3、一个正方体玻璃杯，棱长8cm,在里面装入320毫升水，把一个苹果放入水中（苹果被水完全浸没）。
水面上升的2cm，这个苹果的体积是多少立厘米？5、一个长方体鱼缸，长1.2米，宽0.4米，高0.8米。
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2012年全国初中数学竞赛试题（副题）
答题时注意：
1．用圆珠笔或钢笔作答；
2．解答书写时不要超过装订线；
3．草稿纸不上交.
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1. 小王在做数学题时，发现下面有趣的结果：
由上，我们可知第100行的最后一个数是（）．
（A）10000 （B）10020 （C）10120 （D）10200
2. 如图，在3×4表格中，左上角的1×1小方格被染成黑色，则在这个表格中包含黑色小方格的矩形个数是（）．
（A）11 （B）12 （C）13 （D）14
3．如果关于的方程有两个有理根，那么所有满足条件的正整数的个数是（）．
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
4. 若函数y=（k2－1）x2－（k+1）x+1（k为参数）的图象与x轴没有公共
点，则k的取值范围是（）．
（A）k＞，或k＜－1 （B）－1＜k＜，且k≠1
（C）k＞，或k≤－1 （D）k≥，或k≤－1
5. △ABC中，，分别为上的点，平分，BM=CM，
为上一点，且，则与的大小关系为（）．（A）（B）
（C）（D）无法确定
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6. 如图，正方形ABCD的面积为90．点P在AB上，；X，Y，Z三点在BD上，且，则△PZX的面积为．
（第6题）
7．甲、乙、丙三辆车都匀速从A地驶往B地．乙车比丙车晚5分钟出发，出发后40分钟追上丙车；甲车比乙车晚20分钟出发，出发后100分钟追上丙车，则甲车出发后分钟追上乙车．
8. 设a n=（n为正整数），则a1+a2+…+a2012的值 1.
（填“＞”，“＝”或“＜”）
9．红、黑、白三种颜色的球各10个．把它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色的球都有，且甲、乙两个袋子中三种颜色的球数之积相等，那么共有种放法．
10. △ABC中，已知，且b=4，则a+c= .
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11. 已知c≤b≤a，且，求的最小值．
12. 求关于a，b，c，d的方程组
的所有正整数解.
13. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC，BD相交于点O．P，Q分别是AD，BC上的点，且，．求证：OP＝OQ．
（第13题）
14.（1）已知三个数中必有两个数的积等于第三个数的平方，求的值.
（2）设为非零实数，为正整数，是否存在一列数
满足首尾两项的积等于中间项的平方？
（3）设为非零实数，若将一列数
中的某一项删去后得到又一列数（按原来的顺序），满足首尾两项的积等于中间项的平方. 试求的所有可能的值.
2012年全国初中数学竞赛试题（副题）参考答案
一、选择题
1．D
解：第k行的最后一个数是，故第100行的最后一个数是．
2. B
解：这个表格中的矩形可由对角线的两个端点确定，由于包含黑色小方格，于是，对角线的一个端点确定，另一个端点有3×4=12种选择.
3．B
解：由于方程的两根均为有理数，所以根的判别式≥0，且为完全平方数．
≥0，又2≥，所以，
当时，解得；
当时，解得．
4. C
解：当函数为二次函数时，有
k2－1≠0，
=(k+1)2－4(k2－1)＜0.
解得k＞，或k＜－1．
当函数为一次函数时，k=1，此时y=－2x+1与x轴有公共点，不符合题意．
当函数为常数函数时，k=－1，此时y=1与x轴没有公共点.
所以，k的取值范围是k＞，或k≤－1.
5. B
（第5题）
解：如图，设，作BKCE，则
，
于是A，B，E，C四点共圆. 因为是的中点，所以，从而有
，
即平分
二、填空题
6. 30
（第6题）
解：如图，连接PD，则
．7．180
解：设甲、乙、丙三车的速度分别为每分钟x，y，z米，由题意知
，．
消去z，得．
设甲车出发后t分钟追上乙车，则，即
，
解得．
8．＜
解：由a n==，得
a1+a2+…+a2012=
=＜1.
9．25
解：设甲袋中红、黑、白三种颜色的球数分别为，则有
1≤≤9，
且
，
（1）即，
（2）于是．因此中必有一个取5．不妨设，代入（1）式，得到
．
此时，y可取1，2，…，8，9（相应地z取9，8，…，2，1），共9种放法．同理可得y=5，或者z=5时，也各有9种放法．但时，两种放法重复．因此共有
9×3－2 = 25种放法．
10. 6
（第10题）
解：如图，设△ABC内切圆为⊙I，半径为r，⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，连接IA，IB，IC，ID，IE，IF.
由切线长定理得
AF=p－a，BD=p－b，CE=p－c，其中p=(a+b+c).
在Rt△AIF中，tan∠IAF=，即
tan.
同理，tan，tan
代入已知等式，得
.
因此a+c=.
三、解答题
11. 解：已知，又，且，所以b，c是关于x的一元二次方程
的两个根.
故≥0，
≥0，
即≥0，
所以≥20．
于是≤-10，≥10，从而≥≥10，故
≥30，
当时，等号成立．
12. 解：将abc=d代入10ab+10bc+10ca=9d得
10ab+10bc+10ca=9abc
因为abc≠0，所以，.
不妨设a≤b≤c，则
≥≥＞0.
于是，＜≤，
即＜≤，
＜a≤.
从而，a=2，或3.
若a=2，则.
因为＜≤，所以，＜≤，＜b≤5.
从而，b=3，4，5. 相应地，可得c=15，(舍去)，5.
当a=2，b=3，c=15时，d=90；
当a=2，b=5，c=5时，d=50.
若a=3，则.
因为＜≤，所以，＜≤，＜b≤.
从而，b=2（舍去），3.
当b=3时，c=(舍去).
因此，所有正整数解为
(a，b，c，d)=(2，3，15，90)，(2，15，3，90)，(3，2，15，90)，
(3，15，2，90)，(15，2，3，90)，(15，3，2，90)，
(2，5，5，50)，(5，2，5，50)，(5，5，2，50).
13. 证明：延长DA至，使得，则，于是△DPC∽△，
故
，
所以PO∥．
（第13题）
又因为△DPO ∽△，所以
．
同理可得，
而AB∥CD，所以，故OP＝OQ．
14.解：（1）由题设可得，或，或
.
由，解得；
由，解得；
由，解得.
所以满足题设要求的实数.
（2）不存在.
由题设（整数≥1）满足首项与末项的积是中间项的平方，则有
，
解得，这与矛盾.
故不存在这样的数列.
（3）如果删去的是1，或者是，则由（2）知，
或数列均为1，1，1，即，这与题设矛盾.
如果删去的是，得到的一列数为，那么，可得.
如果删去的是，得到的一列数为，那么
，开得.
所以符合题设要求的的值为1，或.。