不等式-比较两个实数的大小PPT课件
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高中数学《不等式的性质》课件
证明：因为a>b，所以a+c>b+c，
又因为c>d，所以b+c>b+d，
根据不等式的传递性得 a+c>b+d.
几个同向不等式的两边分别相加，所
得的不等式与原不等式同向。
这个性质是不等式的加法法则。
性质4：如果a>b，c>0，则ac>bc；如果 a>b，c<0，则ac<bc. （不等式的可乘性） 推论1：如果a>b>0，c>d>0，则ac>bd.
知识回顾
判断两个实数大小的依据是： a b ab 0
a b ab 0 a b ab 0
作差比较法
这既是比较大小 ( 或证明大小 ) 的基本方 法,又是推导不等式的性质的基础.
作差比较法其一般步骤是: 作差→变形→判断符号→确定大小.
新知探究
性质1：如果a>b，那么b<a；如果b<a， 那么a>b. 性质1表明，把不等式的左边和右边交 换位置，所得不等式与原不等式异向，我 们把这种性质称为不等式的对称性。
2
，求
2 , 2
的取值范围。
2
2
2
,
2
≤
2
0
例3 已知:函数
f ( x) ax2 c,
4 f (1) 1, 1 f (2) 5
求: f ( 3) 的取值范围. 解：因为f(x)=ax2－c, f (1) a c 所 f (2) 4a c 以
由－4≤a－b≤－1，得
5 5 20 ≤ ( a b) ≤ 3 3 3
又因为c>d，所以b+c>b+d，
根据不等式的传递性得 a+c>b+d.
几个同向不等式的两边分别相加，所
得的不等式与原不等式同向。
这个性质是不等式的加法法则。
性质4：如果a>b，c>0，则ac>bc；如果 a>b，c<0，则ac<bc. （不等式的可乘性） 推论1：如果a>b>0，c>d>0，则ac>bd.
知识回顾
判断两个实数大小的依据是： a b ab 0
a b ab 0 a b ab 0
作差比较法
这既是比较大小 ( 或证明大小 ) 的基本方 法,又是推导不等式的性质的基础.
作差比较法其一般步骤是: 作差→变形→判断符号→确定大小.
新知探究
性质1：如果a>b，那么b<a；如果b<a， 那么a>b. 性质1表明，把不等式的左边和右边交 换位置，所得不等式与原不等式异向，我 们把这种性质称为不等式的对称性。
2
，求
2 , 2
的取值范围。
2
2
2
,
2
≤
2
0
例3 已知:函数
f ( x) ax2 c,
4 f (1) 1, 1 f (2) 5
求: f ( 3) 的取值范围. 解：因为f(x)=ax2－c, f (1) a c 所 f (2) 4a c 以
由－4≤a－b≤－1，得
5 5 20 ≤ ( a b) ≤ 3 3 3
不等式的基本性质 课件
④ba＋ab>2.其中正确的有( B )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
7．比较大小： (x＋5)(x＋7)___＜_____(x＋6)2. 8．“a＞b”与“1a＞1b”同时成立的条件是__b_＜__0_＜__a_． 9．已知－90°<α<90°，－90°<β<90°，求 α－2β的取值范围．
(－135°，135°)
解析：(1)不成立，令 a＝5，b＝4，c＝3，d＝1， 有 a＞b，c＞d，但 a－c＜b－d，故(1)为假命题； (2)不成立，令 a＝1，b＝－1，有 a＞b，但1a＞1b， 故(2)为假命题； (3)不成立，a＞b＞0，c＜0，d＞0 时显然有ac＜bd， 故(3)为假命题； (4)不成立，|a|＞b＞0⇒|a|n＞bn，但|a|n 与 an 可能相等， 也可能互为相反数，故(4)为假命题，如 a＝－2，b＝1， n＝3 时，|a|＞b＞0，但 a3＝－8＜1＝b3.
(4)如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，且c＜ 0，那么ac＜bc.
(5)如果a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N，且n＞1)．
(6)如果 a＞b＞0，那么n a＞n b(n∈N，且 n＞1)． 练习 2：若 a＞b，则有 3＋a__＞__2＋b. 练习 3：若 a＞b＞0，则有 3a__＞__2b.
若a＞b，c＞d，且a与d都是负数． 求证：ac＜bd.
证明：因为a＞b，两边都乘以负数d，得ad＜bd. 又因c＞d，两边都乘以负数a，得ac＜ad.由不等式 的传递性，得ac＜bd.
设f(x)＝ax2＋bx，且－1≤f(－1)≤2， 2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范围．
解析：设 f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)，
不等关系与不等式_优质PPT课件
26
[解]解法一 : 设f 2 mf 1 nf 1(m, n为待定系数),
则4a 2b m a b n a b,
即4a 2b m n a n m b,
于是得
mn4 n m 2
,
解得
m
n
3 ,
1
f 2 3f 1 f 1.
又Q 1≤f 1≤2, 2≤f 1≤4,
5≤3f 1 f 1≤10,
25
【典例4】 设f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2, 2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围. [分析] 利用f(-1)与f(1)表示出a,b,然后再代入f(-2)的表
达式中,从而用f(-1)与f(1)表示f(-2),最后运用已知条件 确定f(-2)的取值范围.此题还可用线性规划求解.
1
2 n.
n1 n
39
[方法与技巧] 作商法需要注意商式分母必须为正,一般 地,比较指数式的大小用作商法较简单(如a,b>0时,比较 aa•bb与ba•ab的大小).本题用作差法也比较简单,同学们不 妨一试.
glg12
a
,
35
又0 x 1, 0 x2 1 0 1 x2 1;
又0 1 x 1 x 0 1 x 1, 1 x
所以lg 1 x2
1 x
1
0, lg 1
x
0,
lg 2a
0,
可得 loga 1 x 2 loga 1 x 2 0,
即 loga 1 x loga 1 x .
视x，y∈N*.
17
类型二
不等式性质的应用
解题准备:不等式的性质就其逻辑关系而言,可分为推出关系 (充分条件)和等价关系(充要条件)两类,同向可加性和同向 可乘性可推广到两个或两个以上的不等式,同向可乘时,应 注意a>b>0,c>d>0.深刻理解不等式的性质时,把握其逻辑 关系,才能正确应用不等式性质解决有关不等式的问题.
[解]解法一 : 设f 2 mf 1 nf 1(m, n为待定系数),
则4a 2b m a b n a b,
即4a 2b m n a n m b,
于是得
mn4 n m 2
,
解得
m
n
3 ,
1
f 2 3f 1 f 1.
又Q 1≤f 1≤2, 2≤f 1≤4,
5≤3f 1 f 1≤10,
25
【典例4】 设f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2, 2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围. [分析] 利用f(-1)与f(1)表示出a,b,然后再代入f(-2)的表
达式中,从而用f(-1)与f(1)表示f(-2),最后运用已知条件 确定f(-2)的取值范围.此题还可用线性规划求解.
1
2 n.
n1 n
39
[方法与技巧] 作商法需要注意商式分母必须为正,一般 地,比较指数式的大小用作商法较简单(如a,b>0时,比较 aa•bb与ba•ab的大小).本题用作差法也比较简单,同学们不 妨一试.
glg12
a
,
35
又0 x 1, 0 x2 1 0 1 x2 1;
又0 1 x 1 x 0 1 x 1, 1 x
所以lg 1 x2
1 x
1
0, lg 1
x
0,
lg 2a
0,
可得 loga 1 x 2 loga 1 x 2 0,
即 loga 1 x loga 1 x .
视x，y∈N*.
17
类型二
不等式性质的应用
解题准备:不等式的性质就其逻辑关系而言,可分为推出关系 (充分条件)和等价关系(充要条件)两类,同向可加性和同向 可乘性可推广到两个或两个以上的不等式,同向可乘时,应 注意a>b>0,c>d>0.深刻理解不等式的性质时,把握其逻辑 关系,才能正确应用不等式性质解决有关不等式的问题.
不等式的性质一---比较两个实数大小之差比法
它也表示b-a>0
A
Bபைடு நூலகம்
a>b a-b>0
a=b a-b=0
结论:
要比较两个数的 大小,就只要比较 它们的差与0的大 小.
a<b a-b<0
1、比较两个数大小的方法： 作差比较法
步骤:作差----变形----判号-----结论
2、例题讲解
例1、比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小。
不等式的性质(一)
-----比较两个实数大小的方法之差比法
学习目标：
1.掌握两个数大小比较与两数的运算性质 的联系 2.初步掌握一些常见的变形方式 3.初步培养严密推理的意识
课题引入:
糖水里面加糖后,糖水变得更甜, 如何从数学模型的角度来解释 这个问题?
我们知道，实数与数轴上的点是一一对应 的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示 的实数比左边的点表示的实数大.例如，在 右图中，点A表示实数a, 点B表示实数b.点 B在点A右边,所以a<b
常见的变形方法： 通分，分解因式，配方
用作差法比较两个数大小的方法：
步骤:作差----变形----判号-----结论
练习A组： 1、比较(x+5)(x+7)与(x+6)2的大小。 2、如果x>0，比较( x -1)2与( x +1) 2的大小。
2 3、已知a≠0，比较(a2+ 2 a+1)(a2- a+1)与 (a2+a+1)(a2-a+1)的大小。
练习B组： 1.a 0,1 b 0, 则（） A.a ab ab2 B.ab2 ab 0 C .ab a ab2 D.ab ab2 a 2.比较下列各组数大小 (1)若a 0, 且a 1, loga (a 3 1)与loga (a 2 1) 1 1 ( 2) log1 与log1 3 2 2 3
2.1.1比较实数大小的方法
1．比较实数大小的依据． 实数集与数轴上的点集之间可以建立一一
对应关系．那些表示实数的点在数轴上有 次序地(无缝隙地)排列．数轴上的一个动点 向着数轴的正方向运动时，它所对应的实 数越来越大，由此可以得到下面两个结论：
(1) 数轴上的任意两点中，右边点对应的实
数比左边点对应的实数大； (2) 对于任意两个实数 a 和 b ，在 a ＝ b ， a>b ， a<b三种关系中，有且仅有一种关系成立．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2.1.1
比较实数大小的方法
1．含有不等号
的 式 子 叫不等式．若a，b是两实数，那么a≥b即为 a>b或a＝b ；a≤b即为 a<b或a＝b . 2．数轴上的任意两点中，右边点对应的实 数比左边点对应的实数 大 ．
“≠”“>”“<”“≥”或“≤”
3．若a，b∈R，则在a＝b，a>b，a<b三种
2．比较两个实数大小的方法．
如果a－b是正数，那么a>b；如果a>b，那
么a－b是正数． 如果a－b是负数，那么a<b；如果a<b，那 么a－b是负数． 如果a－b等于零，那么a＝ b；如果 a＝b， 那么a－b等于零．
又( 15)2－42＝－1<0， ∴2( 15－4)<0，则 3＋ 5<4.
[点评]
要比较大小的两个实数中有无理数， 不能直接作差，可作它们的平方差．
比较 3＋ 7与 2 5的大小．
解：( 3＋ 7)2－(2 5)2＝(10＋2 21)－20＝2( 21－5)． ∵( 21)2－52＝21－25＝－4<0， ∴2( 21－5)<0，∴ 3＋ 7<2 5.
2.1.1 实数大小的比较
§ 2.1.1 实数大小
的比较
课题导入
在现实世界和日常生活中，既有相等关系， 又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最 短，三角形两边之和大于第三边，等等。人们 还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、 大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事 物在数量上存在的不等关系。 问题：在数学中，我们用什么来表示不等关系？
2
（2） x y 4与2 x 2 y
2 2
（3） x
3
与x x 1( x 1) 条件去掉如何？
2
（4）的大小.
1 2 （1） ， 2 3
13 27 （2） ， 8 4
例1．比较下列各组中两个实数的大小.
13 27 1 2 （1） ， （2） ， 8 2 3 4 1 2 解： （1） （1）作差 2 3 3 4 （2）变形 6 6 1 0 （3）定号 6 1 2 ∴ （4）结论 2 3
（二）比较两个式子的大小：
例1．比较x2－x与x－2的大小. 解：(x2－x)－(x－2) =x2－2x+2 =(x－1)2+1 因为(x－1)2≥0，
（1）作差
（2）变形
所以(x2－x)－(x－2)>0，
因此x2－x>x－2.
（3）定号 （4）结论
练习1：
P26
1 ，2
练习2：比较下面两式的大小： （1） x 3与3x
知识归纳：
作差法比较两实数大小的步骤：
（1）作差 （2）变形 （3）定号 （4）结论 变形的常用方法：
通分、提取公因式、配方、因式分解、 分子有理化等。
例1．比较下列各组中两个实数的大小.
13 27 1 2 （1） ， （2） ， 8 2 3 4 1 2 解： （1） （1）作差 2 3 3 4 （2）变形 6 6 1 0 （3）定号 6 1 2 ∴ （4）结论 2 3
的比较
课题导入
在现实世界和日常生活中，既有相等关系， 又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最 短，三角形两边之和大于第三边，等等。人们 还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、 大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事 物在数量上存在的不等关系。 问题：在数学中，我们用什么来表示不等关系？
2
（2） x y 4与2 x 2 y
2 2
（3） x
3
与x x 1( x 1) 条件去掉如何？
2
（4）的大小.
1 2 （1） ， 2 3
13 27 （2） ， 8 4
例1．比较下列各组中两个实数的大小.
13 27 1 2 （1） ， （2） ， 8 2 3 4 1 2 解： （1） （1）作差 2 3 3 4 （2）变形 6 6 1 0 （3）定号 6 1 2 ∴ （4）结论 2 3
（二）比较两个式子的大小：
例1．比较x2－x与x－2的大小. 解：(x2－x)－(x－2) =x2－2x+2 =(x－1)2+1 因为(x－1)2≥0，
（1）作差
（2）变形
所以(x2－x)－(x－2)>0，
因此x2－x>x－2.
（3）定号 （4）结论
练习1：
P26
1 ，2
练习2：比较下面两式的大小： （1） x 3与3x
知识归纳：
作差法比较两实数大小的步骤：
（1）作差 （2）变形 （3）定号 （4）结论 变形的常用方法：
通分、提取公因式、配方、因式分解、 分子有理化等。
例1．比较下列各组中两个实数的大小.
13 27 1 2 （1） ， （2） ， 8 2 3 4 1 2 解： （1） （1）作差 2 3 3 4 （2）变形 6 6 1 0 （3）定号 6 1 2 ∴ （4）结论 2 3
§2-1 实数大小与不等式性质
解法二： (3x-10) - (x2+9x) = 3x-10-x2-9x =-x2-6x-10 =……
解：(x2+9x)- (3x-10) = x2+9x – 3x+10 =x2+6x+10 =(x2+6x+9)+1=(x+3)2+1≥1>0，
两式比较大小，若两式的差有很多负数，则 不好配方。这时，最好的方法是，颠倒一下，重 新求差。
性质3表明，不等式两边乘以同一个正数，不等号的方向不变，而乘以同一 个负号，不等号的方向改变。
推论1 如果a+b>c，那么a>c-b。 推论1表明，对于不等式，可以移项。 推论2 如果a>b且c>d，那么a+c>b+d。 推论2表明，两个同向不等式的两边分别相加，所得不等式与原不等式同
向。（像这样的不等式叫做同向不等式；而这样的不等式叫做异向不等 式。） 推论3 如果a>b>0，且c>d>0,那么ac>bd。 推论3表明，两个两边都是正数的同向不等式，把它们的两边分别相乘， 所得不等式与原不等式同向。 巩固知识
a b且b c a c a b且cR a c b c
新知识
性质1 如果 a b ，且 b c ，那么
a 。c
证明 a b a b 0 于是 a c (a b) (b c) 0
， bcbc0 。
。
因此 a c
例1 证明：如果a>b>0， 那么a2>b2 ， a3>b3 。 证明 如果a>b>0 ，对于a>b>0和a>b>0用推论3，得a2>b2 。 由于a2>b2 >0，因此。对于a2>b2 >0和a>b>0用推论3，得a3>b3 。 例2 服装市场按每套90元的价格购进50套服装，应缴纳的税费为销售量的，
解：(x2+9x)- (3x-10) = x2+9x – 3x+10 =x2+6x+10 =(x2+6x+9)+1=(x+3)2+1≥1>0，
两式比较大小，若两式的差有很多负数，则 不好配方。这时，最好的方法是，颠倒一下，重 新求差。
性质3表明，不等式两边乘以同一个正数，不等号的方向不变，而乘以同一 个负号，不等号的方向改变。
推论1 如果a+b>c，那么a>c-b。 推论1表明，对于不等式，可以移项。 推论2 如果a>b且c>d，那么a+c>b+d。 推论2表明，两个同向不等式的两边分别相加，所得不等式与原不等式同
向。（像这样的不等式叫做同向不等式；而这样的不等式叫做异向不等 式。） 推论3 如果a>b>0，且c>d>0,那么ac>bd。 推论3表明，两个两边都是正数的同向不等式，把它们的两边分别相乘， 所得不等式与原不等式同向。 巩固知识
a b且b c a c a b且cR a c b c
新知识
性质1 如果 a b ，且 b c ，那么
a 。c
证明 a b a b 0 于是 a c (a b) (b c) 0
， bcbc0 。
。
因此 a c
例1 证明：如果a>b>0， 那么a2>b2 ， a3>b3 。 证明 如果a>b>0 ，对于a>b>0和a>b>0用推论3，得a2>b2 。 由于a2>b2 >0，因此。对于a2>b2 >0和a>b>0用推论3，得a3>b3 。 例2 服装市场按每套90元的价格购进50套服装，应缴纳的税费为销售量的，
不等式ppt课件
不等式的应用场景
01
02
03
04
数学领域
解决各种不等关系的问题，如 最值、范围等。
物理领域
描述物理现象和规律，如力学 、电磁学等。
经济领域
描述经济变量之间的关系，如 价格、成本等。
实际生活
描述日常生活中的不等关系， 如时间、距离等。
02
不等式的类型
算术平均数与几何平均数的不等式
总结词
算术平均数与几何平均数的不等式是一种基本的不等式，它反映了平均值与方 差之间的关系。
实际应用定义
描述实际生活中两个量之 间的不等关系，如价格、 距离等。
不等式的性质
加法单调性
即同向不等式相加，不等号不 改变方向。
反身性
任何实数都大于它本身。
传递性
如果a>b，b>c，则a>c。
乘法单调性
即不等式乘以一个正数，不等 号不改变方向；乘以一个负数 ，不等号改变方向。
非空性
不等式的两边都可以取无穷大 或无穷小。
03
不等式的证明方法
利用导数证明不等式
总结词
导数是一阶导数的简称，它描述了函数在某一点的变化率， 可以用来判断函数的单调性和凹凸性，从而帮助我们证明不 等式。
详细描述
首先，我们需要找到不等式两边的函数，然后求导，通过比 较导数值的大小来判断函数的单调性，从而得出不等式的证 明结论。
利用拉格朗日中值定理证明不等式
详细描述
柯西不等式表明，对于任何实数x 和y，都有$x^2+y^2 \geq 2xy$ ，当且仅当x=y时等号成立。这 个不等式在解决一些最优化问题 时非常有用。
排序不等式
总结词
排序不等式是一种基于排序原理的不 等式，它反映了有序实数之间的差值 与乘积之间的关系。
不等式的基本性质-实数的大小
所以 2x2+1＞ x2-1.
比较两个代数式 的大小，就是比 较两个代数式的
值的大小.
B
A
b
a
x
A (B)
a (b) x
A
B
a
b
x
a ＞ b
a －b＞0
a ＝ b
a－b＝0
a ＜ b
a－b＜0
由此我们可以得出比较两个实数（或代数式）大小的 方法，即是作差法.
作差法的步骤: 作差 变形 定号(与0比较大小) 结论.
⑤ y≠4； ⑥ a – 2 ≥0中，不等式的个数是( c ).
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
2. 把下列语句用不等式表示:
(1) y是负数； y＜0
(2) x2是非负数； (3) b是非正数．
x2 ≥0
b ≤0
例1 比较下列各组中两个实数的大小:
(1) 3 和 4； 3 和-4 ；
解: (1) 因为 3 ( 4)
教材P26: 第1题 （1）（2）（3） 第2题 （1）（2）（3）（4）（5）
实数与数轴上的点是一一对应的.
P
B
－4 －3 －2 －1 0
A 1 2 3 4 5x
点 A 表示实数 3，点 B 表示实数－2 ,点 A 在点 B 右边， 那么3 ＞ －2 .
当点 P 在不同的位置时，分别比较点P对应的实数与
一一对应的.
－4 －3 －2 －1 0
＝3+4 ＝7 ＞0， 所以 : 3 ＞ 4
(2) -
a ＞ b a －b＞0
a ＝ b
a－b＝0
a ＜ b a－b＜0
解: (2) 因为
( 3)
比较两个代数式 的大小，就是比 较两个代数式的
值的大小.
B
A
b
a
x
A (B)
a (b) x
A
B
a
b
x
a ＞ b
a －b＞0
a ＝ b
a－b＝0
a ＜ b
a－b＜0
由此我们可以得出比较两个实数（或代数式）大小的 方法，即是作差法.
作差法的步骤: 作差 变形 定号(与0比较大小) 结论.
⑤ y≠4； ⑥ a – 2 ≥0中，不等式的个数是( c ).
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
2. 把下列语句用不等式表示:
(1) y是负数； y＜0
(2) x2是非负数； (3) b是非正数．
x2 ≥0
b ≤0
例1 比较下列各组中两个实数的大小:
(1) 3 和 4； 3 和-4 ；
解: (1) 因为 3 ( 4)
教材P26: 第1题 （1）（2）（3） 第2题 （1）（2）（3）（4）（5）
实数与数轴上的点是一一对应的.
P
B
－4 －3 －2 －1 0
A 1 2 3 4 5x
点 A 表示实数 3，点 B 表示实数－2 ,点 A 在点 B 右边， 那么3 ＞ －2 .
当点 P 在不同的位置时，分别比较点P对应的实数与
一一对应的.
－4 －3 －2 －1 0
＝3+4 ＝7 ＞0， 所以 : 3 ＞ 4
(2) -
a ＞ b a －b＞0
a ＝ b
a－b＝0
a ＜ b a－b＜0
解: (2) 因为
( 3)
不等式基本性质及解法PPT课件
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(2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法 ①|ax＋b|≤c⇔ －c≤ax＋b≤c ； ②|ax＋b|≥c⇔ ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c.
.
3. 不 等 式 1<|x ＋ 1|<3 的 解 集 为 {x| － 4<x< － 2 或 0<x<2} .
.
|x＋1|>1 【 解 析 】 原 不 等 式 ⇔ |x＋1|<3 ⇔ x＋1<－1或x＋1>1 －3<x＋1<3 ⇔0<x<2 或－4<x<－2. 故 原 不 等 式 的 解 集 为 {x| － 4<x< － 2 或 0<x<2}．
.
(3)可加性：如果 a>b，那么 a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果 a>b，c>0，那么 ac>bc ；如果 a>b，c<0， 那么 ac<bc . (5)乘方：如果 a>b>0，那么 an > bn(n∈N，n>1)． (6)开方：如果 a>b>0，那么n a > n b(n∈N，n>1)． 3．绝对值三角不等式 (1)性质 1：|a＋b|≤ |a|＋|b| . (2)性质 2：|a|－|b|≤ |a＋b| . 性质 3：|a|－|b| ≤|a－b|≤ |a|＋|b| .
.
• P30例4 、p31练习
.
例题1 求下列不等式组的解集:
x 2,
(1
)
x
4,
x 6 .
x 4,
R
(2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法 ①|ax＋b|≤c⇔ －c≤ax＋b≤c ； ②|ax＋b|≥c⇔ ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c.
.
3. 不 等 式 1<|x ＋ 1|<3 的 解 集 为 {x| － 4<x< － 2 或 0<x<2} .
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|x＋1|>1 【 解 析 】 原 不 等 式 ⇔ |x＋1|<3 ⇔ x＋1<－1或x＋1>1 －3<x＋1<3 ⇔0<x<2 或－4<x<－2. 故 原 不 等 式 的 解 集 为 {x| － 4<x< － 2 或 0<x<2}．
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(3)可加性：如果 a>b，那么 a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果 a>b，c>0，那么 ac>bc ；如果 a>b，c<0， 那么 ac<bc . (5)乘方：如果 a>b>0，那么 an > bn(n∈N，n>1)． (6)开方：如果 a>b>0，那么n a > n b(n∈N，n>1)． 3．绝对值三角不等式 (1)性质 1：|a＋b|≤ |a|＋|b| . (2)性质 2：|a|－|b|≤ |a＋b| . 性质 3：|a|－|b| ≤|a－b|≤ |a|＋|b| .
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• P30例4 、p31练习
.
例题1 求下列不等式组的解集:
x 2,
(1
)
x
4,
x 6 .
x 4,
等式性质与不等式性质ppt课件
3．不加性
可乘性
性质内容
a>b⇔ b<a a>b，b>c⇒ a>c a>b⇔ a＋c>b＋c
a>b⇒ c>0
ac>bc
a>b⇒ c<0
ac<bc
特别提醒 ⇔ ⇒ ⇔
注意 c 的符号
同向可加性 同向同正可乘性
可乘方性 可开方性
a>b⇒ c>d
a＋c>b＋d
a>b>0⇒ ac>bd>0 c>d>0
> ba∈R，b>0， ＝ ba∈R，b>0， < ba∈R，b>0.
2．等式的性质 性质 1 对称性：如果 a＝b，那么 b＝a； 性质 2 传递性：如果 a＝b，b＝c 那么 a＝c； 性质 3 可加(减)性：如果 a＝b，那么 a±c＝b±c； 性质 4 可乘性：如果 a＝b，那么 ac＝bc； 性质 5 可除性：如果 a＝b，c≠0，那么ac＝bc.
【例 2】 (1)对于任意非零实数 a，b，且 a>b，又 c∈R，则( D )
A．lg(a－b)>0
B．ac2<bc2
C.1a<1b
11 D． 3 a< 3 b
(2)(多选)若 a>0>b>－a，c<d<0，则下列命题成立的是( BCD )
A．ad>bc
B.ad＋bc<0
C．a－c>b－d
D．a(d－c)>b(d－c)
2．若 M＝(x－3)2，N＝(x－2)(x－4)，则有( A )
A．M>N
B．M≥N
C．M<N
实数大小及不等式的基本性质PPT课件
.
３.教学重难点
• 教学重点： 比较两个实数的大小 ， 归 结为判断它们差的符号.
• 教学难点： 理解实数的运算性质与实数 大小顺序之间的关系.
设
这一节课核心内容是比较两个实数大
计 小，其理论依据是实数的大小顺序与实数
意
的运算性质之间的关系，而将实数的大小 顺序转化为实数的运算性质，这是学生不
图 容易理解的知识 ．
.
• 学生情况分析
在初中学生就已经了解不等式，并学了一元 一次不等式的解法及一元一次不等式组的解 法；到了高一，又学习了一元二次不等式， 简单的分式不等式及含绝对值不等式的解法； 由此学生初步掌握了不等式的一些基本知识， 而且具备了一定的逻辑思维能力.进入高二， 对学生的理性思维能力的培养，数形结合的 思想及自主探究学习能力都有较高的要求.
2.合作交 流
将全班学生分成五个小组，第一个小组讨 论到公园玩的人数为3人的情况，第二个小组讨 论去公园玩的人数为4人的情况，依次类推，第 五个小组讨论到公园玩的人数为7人的情况.
设
让学生进行小组合作活动，培养学生
计 合作交流的团队精神. 在老师的指导下，让
意 学生有目的去研究问题，培养学生探究问题，
设 计 意
在教学中，不仅要让学生从生活实际中感受到数学 知识的应用，同时要使学生从感性认识上升到理性
图 认识.达到由实践到理论,再由理论指导实践的目的.
.
4.范例启迪
例1 比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a －4)的大小.
分析：要比较这两个代数式的大小，可转
化为判断它们差的正负，而(a＋3)(a－5)－(a＋ 2)(a－4)=-7﹤０则有(a＋3)(a－5)﹤(a＋2)(a－ 4).
中职数学课实数的大小课件PPT
所以a²b>ab².
2.1不等式的性质
课后提升
7
一、判断大小：
8
8 4
，
9
5
2
.
3
二、1.设a,b是两个不相等的实数,比较2ab-a²与b²的大小.
2.（选做题）证明:如果不考虑班牌的形状，1.2m的彩带最大
能做出多大面积的班牌？
谢谢观看
a b a b 0
a b a b 0
a b a b 0
要比较两个实数（或代数式）的大小，可以转化为比较
它们的差与0的大小．这种比较大小的方法称为作差比较法．
2.1不等式的性质 —实数的大小
情境导入 探索新知
5
2
例1 比较 7 与
−
2
3
=
二、通分
三、定号
15
21
1
21
5 2
所以
．
7 3
四、结论
−
14
21
=
>0
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
2.1不等式的性质 —实数的大小
情境导入 探索新知
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
试一试：比较下列各组实数的大小．
练习
>
<
>
2.1不等式的性质 —实数的大小
情境导入 探索新知
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
例2 比较 ( x+1)(x+2) 与 3x 1 的大小．
解 因为 ( x+1)(x+2) (3x 1) ( x 2 3x 2) (3x 1) x 2 3 0
所以 ( x+1)(x+2) 3x 1
2.1不等式的性质
课后提升
7
一、判断大小：
8
8 4
，
9
5
2
.
3
二、1.设a,b是两个不相等的实数,比较2ab-a²与b²的大小.
2.（选做题）证明:如果不考虑班牌的形状，1.2m的彩带最大
能做出多大面积的班牌？
谢谢观看
a b a b 0
a b a b 0
a b a b 0
要比较两个实数（或代数式）的大小，可以转化为比较
它们的差与0的大小．这种比较大小的方法称为作差比较法．
2.1不等式的性质 —实数的大小
情境导入 探索新知
5
2
例1 比较 7 与
−
2
3
=
二、通分
三、定号
15
21
1
21
5 2
所以
．
7 3
四、结论
−
14
21
=
>0
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
2.1不等式的性质 —实数的大小
情境导入 探索新知
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
试一试：比较下列各组实数的大小．
练习
>
<
>
2.1不等式的性质 —实数的大小
情境导入 探索新知
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
例2 比较 ( x+1)(x+2) 与 3x 1 的大小．
解 因为 ( x+1)(x+2) (3x 1) ( x 2 3x 2) (3x 1) x 2 3 0
所以 ( x+1)(x+2) 3x 1
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b2 +a
与 a+b 的大小
3.放假了，大家结伴到公园玩，发现
2.数轴上右边的 例 2 已知 x≠0,比较 实数比左边的实数大，(x2+1)2 与 x4+x2+1 的大 如下面数轴上点A所 小.
公园门口贴着一张票价优惠方案，其中 方案一是有一人买全票，则其余可享受 五折优惠；方案二是按团体购票，一概 优惠 20 元.如果公园门票为 50 元每人，
二、教学方法
• 教法设计
按照弗莱维尔的认识理论，在教学过程 中让学生在教师创设的问题情境中不断自我 调节，自我控制，自我意识，主动去探求解 决问题的方法.本节课采用的教学方法是探究 式教学法.
同时将“以老师为中心”转变为“以学 生为主体，老师为主导”的学习模式,在老师 的指导下激发学生的思维，让学生发现问题、 探究问题、解决问题，培养学生的学习能力， 为学生终身学习奠定良好基础.
设
让学生进行小组合作活动，培养学生
计 合作交流的团队精神. 在老师的指导下，让
意 学生有目的去研究问题，培养学生探究问题，
图 分析问题的能力．
三、教学过程
2.合作交流
各组选出一名同学将讨论结果填在表中相应位置
人数 方案一 方案二 两种方案差价 方案一与二总价大小比较
3 100
90
100-90=10>0
例1 比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4) 的大小.
分析：要比较这两个代数式的大小，可转化为判断 它们差的正负，而(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)=-7﹤０则有 (a＋3)(a－5)﹤(a＋2)(a－4).
设 由于学生刚接触比较两个实数的大小，设置本例让学生体会比
计 意 图
较两个实数的大小可转化为判断它们差的正负，而且这两个代 数式作差后结果是-7，与0的大小关系一目了然.
意 图
能力、情感态度及价值观等多方面能得到进一步发展， 并结合弗洛姆的目标分析法.
一、教材分析
３.教学重难点
• 教学重点： 比较两个实数的大小 ， 归 结为判断它们差的符号.
• 教学难点： 理解实数的运算性质与实数 大小顺序之间的关系.
设
这一节课核心内容是比较两个实数大
计 小，其理论依据是实数的大小顺序与实数
意 号. 设置例 3 主要是培养学生分类讨论的数学思想,养成严谨
图 周密思考问题的习惯.
三、教学过程
5.体验练习
12..比 已较 知(ax>2+01，)2b与>0x,且4+xa2≠+1b的，大比小较．abab22 ++bab2a2与 a+b 的大小．
3.放假了，大家结伴到公园玩，发现公园门口贴着一张票价优 惠方案，其中方案一是有一人买全票，则其余人可享受五折优惠； 方案二是按团体购票，一概优惠 20 元.如果公园门票为 50 元每人， 采用哪一种优惠方案会更省钱？
意
的运算性质之间的关系，而将实数的大小 顺序转化、教学方法
• 学生情况分析
在初中学生就已经了解不等式，并学了一元 一次不等式的解法及一元一次不等式组的解 法；到了高一，又学习了一元二次不等式， 简单的分式不等式及含绝对值不等式的解法； 由此学生初步掌握了不等式的一些基本知识， 而且具备了一定的逻辑思维能力.进入高二， 对学生的理性思维能力的培养，数形结合的 思想及自主探究学习能力都有较高的要求.
五、设计体会
我在整个教学过程中，始终注重的是学生的参 与意识，注重学生对待学习的态度是否积极； 注重引导学生从数学的角度去思考问题.课堂上， 尽量留给学生更多的空间，更多的展示自己的 机会，让学生在充满情感的、和谐的课堂氛围 中，体验成功的乐趣，从而树立了学好数学的 信心.
蕲春一中 邵海建
重庆遇罕见蝗灾
于是，人们又把狼“请”了回来。狼还是吃
鹿，为了避免让狼捉到，狼一来鹿就跑，在这 种相互竞争中，鹿的数目不但没有减少，反而 更强壮了。
自然界就是这样的奇妙，狼成了鹿的医生了。
问题 为什么动物的数量不能无限增长呢？
生物与生物之间是相互依赖的，相 互制约的关系。
草
兔
问题1 兔子为什么要吃草
问题2 草（植物）中的营养物质从哪而来
设 计
让学生在探究中进行体验练习，在体验中获
意 得知识，突出以学生为主体的教学意图．
图
三、教学过程
3.归纳总结
1.由此可见，要比较两个实数的大小，只 要考察它们差与零的大小就可以.
2.数轴上右边的实数比左边的实数大，如 下面数轴上点A所对应的实数a点B所对应 的实数b，即a>b.
设计意图
通过多媒体的演示，激发学 生的学习兴趣，让学生进一 步理解实数的大小顺序与实 数的运算性质之间的关系， 并培养学生数形结合的思想.
设
体验练习1是课本例2的变式题，主要是训练学生严谨思
计 考问题的习惯．通过体验练习2主要是让学生在解题过程中去寻
意 求作差法的解题步骤．体验练习3是本节设置情境中所提出的问
图 题，主要是培养学生的建模能力．
三、教学过程
6.课堂小结
1.实数的大小顺序与实数的运算性质之间的关系
2比较两个实数的大小，其具体解题步骤为： 第一步：作差 第二步：变形 第三步：定号
对应的实数a点B所对 应的实数b即a>b
采用哪一种优惠方案会更省钱？
课堂小结
3.实数的大小顺 序与实数的运算性质
1.实数的大小顺序与实数的运算 性质之间的关系
之间的关系：
例 3 若 a≠－1,试比较
1 a+1
与 1-a 的大小
关系的左边反映的是实数 的大小顺序，右边反映的 是实数的运算性质
2比较两个实数的大小，其具体 解题步骤为：
三、教学过程
4.范例启迪
例 3 若 a≠－1,试比较a+11 与 1-a 的大小.
分析：由于a+11 －（1-a）=aa+21，比较a+11
与 1-a 的大小转化为判断aa+21的正负，此时要分
三种情况讨论：①a=0；②a>-1 且 a≠0；③a<-1.
设 计
由于例 3 作差后所得的结果是aa+21，需要讨论才能定出差的符
第一步：作差 第二步：变形 第三步：定号
五、设计体会
根据最新的教学理念：让学生通过交流、合作、 讨论的方式，积极探索，改进学习方法，提高 学习质量，逐步形成正确地数学价值观．本着 这一基本理念，在本课的教学中，我严格遵循 由感性到理性，由具体到抽象的认知过程，从 而让学生在积极的探究中学到知识.在重视课本 例题的基础上，适当对题目进行延伸，充分发 挥例题的启迪作用.
2001年夏，重庆壁山县古老城遭受了 罕见的蝗虫灾害，铺天盖地的蝗虫像 收割机一样把当地近千亩的农作物和 果树林吞食得面目全非，眼看数年心 血就要化为泡影。
重 庆 遇 罕 见 蝗 灾
请你帮助
古老城人可以怎样消灭 蝗虫，控制蝗灾？
古老城紧急呼救
请支援我们 20万只青蛙，2 万只麻雀和5000条蛇。
在生态系统中，各种生物的数量和 所占的比例总是维持在相对稳定的 状态，这种现象就叫生态平衡。
如果食物链或食物网中某一环节出 了问题，就会使整个生态失衡。
❖疑问：
❖ 在自然生态系统中，各种 动物的数量能不能无限的 增长？为什么？
“狼医生的故事”
北美驯鹿是可爱的动物，它们在广阔的 草原上生活。可是，它们经常受到狼的威 胁。于是，人们为保护驯鹿，捕杀草原上 的狼，驯鹿的家族繁盛起来。
疑问1 为什么古老城选择了用
自然方法处理蝗灾？
第三章 动物在生物圈中的作用
第一节 动物在自然界中的作用
疑问2 古老城中的青蛙、麻雀
和蛇都哪儿去了？
当地农民说：“青蛙和蛇对付蝗 虫很管用，可现在青蛙和蛇都让 人吃光了。”
麻雀啄食和糟蹋农作物，曾被 列为主要害鸟。20世纪50～60 年代，我国开展了一场轰轰烈 烈的“剿灭麻雀”的全民运动。
“成果”：
仅一天，上海就消灭麻雀194432只！ 据不完全报道：从3月到11月上旬， 8个月的时间中全国捕杀麻雀19.6亿 只！
通过以上资料的分析，你认为人类能否 随意灭杀某种动物吗？为什么？ 人为的破坏动物的种类和数量，会导致 整个生态系统失去平衡
从而可以看出 动物在自然界有什么作用？
维持生态平衡
教学过程
设 合 归 范 体 课课 置 作 纳 例 验 堂外 情 交 总 启 练 小作 境 流 结 迪 习 结业
三、教学过程
1.设置情境
放假了，大家结
伴到公园玩，发现公 园门口贴着一张票价 优惠方案，其中方案 一是有一人买全票， 则其余人可享受五折 优惠；方案二是按团 体购票，一概优惠20 元.如果公园门票为50 元每人，采用哪一种 优惠方案会更省钱？
三、教学过程
3.归纳总结
实数的大小顺序与实数的运算性质之间的关系：
左边反映的是实数的大小顺序，右边反映的是 实数的运算性质．
设 计 意
在教学中，不仅要让学生从生活实际中感受到数学 知识的应用，同时要使学生从感性认识上升到理性
图 认识.达到由实践到理论,再由理论指导实践的目的.
三、教学过程
4.范例启迪
设
计 通过小结，指导学生明确本节内容的重点，掌握比较两个 意 实数大小的方法.
图
三、教学过程
7.课后作业
课本第8页习题6.1 1、2、3
设 计 意
布置课后作业，巩固所学知识，熟练掌握比较两个实数大小的方 法．
图
四、板书设计
比较两个实数大小
设置情景
归纳总结
范例启迪
体验练习
放假了，大家结伴到公
园玩，发现公园门口贴着一张 票价优惠方案，其中方案一是 有一人买全票，则其余可享受 五折优惠；方案二是按团体购 票，一概优惠20元.如果公园 门票为50元每人，采用哪一种 优惠方案会更省钱？