和差倍问题(四年级)

和差倍问题和差倍问题是指已知几个数的和、差或它们的倍数关系（其中的两项），求这几个数的应用题。

包括和倍问题、差倍问题、和差问题这三类应用题，及可以转化为这三类应用题的比较复杂的倍数问题。

这几类应用题有比较相似的数量关系和解题思路，列方程来解非常简单，但四年级孩子没有学过方程法解题，需要根据数量关系逆向推理，列综合算式解答。

教学中常常采用画线段图的方法来分析各种数量间的关系，帮助孩子理解题意，寻找解题途径。

解题关键是，要在题目中确定一个数量为标准（常以最小数为标准，即1倍量），把标准量看作一份，再根据其它数量与标准量的倍数关系，找出几个数量的和、差或（和+差）、（和-差）对应的份数，通过除法计算先求出标准量，再算出其它相关数量。

涉及两个数的和差倍问题，最基本数量关系有以下3组：①和倍问题：已知大小两个数的和及它们的倍数关系，求这两个数。

和÷（倍数+1）=小数；小数×倍数=大数。

②差倍问题：已知大小两个数的差和它们的倍数关系，求这两个数。

差÷（倍数-1）=小数；小数×倍数=大数。

③和差问题：已知大小两个数的和与两个数的差，求这两个数。

（和+差）÷2=大数；（和-差）÷2=小数。

模仿训练，练习1【题目】：一个长方形的周长是36厘米，长是宽的2倍，这个长方形的面积是多少平方厘米？【解析】：先求出长方形长和宽的和：36÷2=18（厘米）；把长方形的宽看作1份，长就是2份，长和宽的和对应的就是3份，所以长方形的宽是：18÷（2+1）=6（厘米）；长是：6×2=12（厘米）；这个长方形的面积是：12×6=72（平方厘米）。

模仿训练，练习2【题目】：北京路小学的同学为幼儿园的小朋友做红花和黄花共300朵。

已知红花的朵数比黄花的2倍少30朵。

问两种花各有多少朵？【解析】：我们把黄花朵数看作一份，画出线段图如下：从线段图中可以看出，两种花的总和再添上30朵，正好对应了3份。

所以黄花朵数为：（300+30）÷（1+2）=110（朵）。

红花朵数为：300-110=190（朵）。

巩固训练，习题1【题目】：被除数、除数、商3个数的和是212。

已知商是2，被除数和除数各是多少？【解析】：由商是2，可得被除数与除数的和为：212-2=210；且被除数是除数的2倍。

把除数看着1份，两数和对应的份数是3份，除数为：210÷（2+1）=70；被除数为：70×2=140。

拓展提高，习题1【题目】：5箱苹果和5箱葡萄共重75千克，每箱苹果是每箱葡萄重量的2倍。

每箱苹果和每箱葡萄各重多少千克？【解析】：5箱苹果和5箱葡萄共重75千克，平均分成5份，1箱苹果与1箱葡萄重量和为：75÷5=15（千克）。

把1箱葡萄的重量看作一份，重量为：15÷（2+1）=5（千克）；每箱苹果重量为：5×2=10（千克）。

拓展提高，习题2【题目】：甲、乙、丙3数之和是183，乙比丙的2倍少4，甲比丙的3倍多7，求甲、乙、丙三数各是多少？【解析】：我们把丙数看作一份，画出线段图如下：假如我们给乙数添上4凑成2份，甲数减去7凑成3份，则这时候三个数的总和为：183+4-7=180，和对应的份数为：1+2+3=6。

所以，一份数即丙数为：180÷6=30；乙数为：30×2-4=56；甲数为：30×3+7=97。

模仿训练，练习2【题目】：甲厂人数比乙厂少540人，若从两厂各调走600人，乙厂人数恰好是甲厂人数的4倍，求甲厂原来有多少人？【解析】：“两厂各调走600人”，因调走人数相同，调人前后两厂的人数差没有发生变化。

把调走600人后，甲厂人数看作1份，乙厂人数看作4份，两厂人数差还是540人，此时甲厂人数为：540÷（4-1）=180（人）。

甲厂原有人数：180+600=780（人）。

巩固训练，习题1【题目】：有A、B、C三根绳子，A、C的长度之和是B的2倍。

如果把C剪去6分米，那么A的长度就是B、C长度之和的一半。

A与B相比，＿＿比＿＿长＿＿分米。

【解析】：这一题因为与A、B比较的标准不同，分别是（A+C）和（B+C）,所以A和B的长短无法直接比出。

解题的关键是制造出相同的比较标准，再通过等量代换，得出结论。

由题意可得：A+C=2B, 即：A+B+C=3B；B+C-6=2A, 即：A+B+C-6=3A。

即：3B-3A=6（分米），B-A=2(分米)。

所以：A与B相比，B比A长2分米。

巩固训练，习题2【题目】：在一个数的后面补上两个“0”，得到的新数比原来的数增加了1980。

这个数是多少？【解析】：把原来的数看作1份，原数末尾加两个“0”即扩大了100倍，得到的新数也就是100份，它们的差就是增加的1980。

拓展提高，习题1【题目】：食堂里有94千克面粉，138千克大米，每天用掉面粉和大米各9千克，几天后剩下的大米是面粉的3倍？【解析】：因每天用掉的面粉和大米数量相等，不论经过多少天，面粉和大米的数量差都不变，仍然是：138-94=44（千克）。

我们把几天后剩下的面粉重量看作1份，大米重量也就是3份，则几天后剩下面粉：44÷（3-1）=22（千克）。

用掉的面粉总量除以每天用面粉数量，可以得出所求的天数：（94-22）÷9=8（天）。

拓展提高，习题2【题目】：有A、B、C三辆车，C车装的货物是B车的一半，B车比A车少160千克，A车装的是C 车的4倍，A、B、C三辆车共装货物多少千克？【解析】：根据题中的三个条件，C车装的货物最少，我们把C车装的货物看作一份，画出线段图如下：从图中可以看出B车货物就是2份，A车货物就是4份，B车比A车少的160千克对应的份数是2。

所以1份数即C车装货物为：160÷（4-2）=80（千克）。

三辆车共装货物：80×（1+2+4）=560（千克）。

巩固训练，习题1【题目】：小王和小张共买了20本书，如果小王给小张6本书，那么小王就比小张少2本书。

问小王、小张各买了多少本书？【解析】：我们以小王给小张6本书之后，剩下的本数作为标准，画出线段图如下：解法一：先求出小王现有本数。

小王给小张6本书之后，两人书的总本数不变。

以小王现有本数为较小数，小张现有本数为较大数，两数和为20，两数差为2，则小王现有数：（20-2）÷2=9（本）。

解法二：直接先求小张买书本数。

小张增加6本之后比小王现有本数多2本，则小张买书本数比小王现有本数少（6-2=）4本，所以小张买书本数比小王买书本数少（4+6=）10本。

所以小张买书本数为：（20-10）÷2=5（本）；小王买书：20-5=5（本）。

第一种解法思路比较简单。

巩固训练，习题2【题目】：四（1）班投票选举班长，小明得到的选票比小华多14张，小华得到的选票比小玲多8张。

如果这3人共得选票54张，那么他们各得选票多少张？【解析】：小玲得到选票最少，我们以小玲得到选票张数为标准，画出线段图如下：可以先求出小玲获票张数，再求出另外两个人的获票张数。

观察线段图，把小玲获票张数看作1份，把小华获票张数去掉8张，把小明获票张数去掉（8+14）张，都凑成1份，总张数减少为：54-8-（8+14）=24（张）。

所以小玲获票张数为：24÷3=8（张）；小华获票张数为：8+8=16（张）；小明获票张数为：：16+14=30（张）。

这题也可以把小华获票张数或小明获票张数作为标准，先求出来，再求出另外两个人的获票张数。

拓展提高，习题1【题目】：一位少年短跑选手，顺风跑90米用了10秒钟。

在同样的风速下，逆风跑70米也用了10秒钟。

问在无风的时候他跑80米要用多少秒？【解析】：解题之前要明确一点：如果我们以无风时少年跑步速度为标准，在同样的风速下，顺风跑步速度高出标准的米数，与逆风跑步速度低于标准的米数是相等的，相当与风速。

所以无风速度就是顺风速度和逆风速度的平均数。

解法一：先求出无风时少年速度：（90÷10+70÷10）÷2=8（米）。

再求出无风的时候该少年跑80米需要的时间：80÷8=10（秒）。

解法二：以10秒跑步路程为标准，该少年无风时10秒跑步路程为：（90+70）÷2=80（米）。

所以，在无风的时候该跑80米要用10秒。

第二种解法解答这一题比较简便，但不宜推广，第一种解法是基本解法。

拓展提高，习题2【题目】：如下图，4个一样大的长方形和1个小正方形拼成了1个大正方形。

大正方形的面积是64平方分米，小正方形的面积是4平方分米，问长方形的宽是几分米？对64和4分解因数：64=8×8；4=2×2。

所以，大正方形的边长为8，即长方形长与宽的和为8；小正方形的边长为2，即长方形长和宽的差为2。

所以，长方形的宽为：（8-2）÷2=3（分米）。

模仿训练，练习1【题目】：姐姐做自然练习比妹妹做算术练习多用48分钟，比妹妹做英语练习多用42分钟，妹妹做算术、英语两门练习共用了44分钟，那么妹妹做英语练习用了多少分钟？【解析】：“姐姐做自然练习比妹妹做算术练习多用48分钟，比妹妹做英语练习多用42分钟”，由此可以推出妹妹做算术练习比做英语练习少用时间：48-42=6（分钟）。

所以妹妹做英语练习的时间为：（44+6）÷2=25（分钟）。

模仿训练，练习2【题目】：用中国象棋的车、马、炮分别表示不同的自然数。

如果，车÷马=2，炮÷车=4，炮-马=56，那么“车+马+炮”等于多少？【解析】：车、马、炮表示的三个数中，马表示的数最小，我们以马表示的数作为标准，画出线段图如下：把马表示的数看作1份，车表示的数就是2份，炮表示的数就是4个2份，所以，马表示的数为：56÷（2×4-1）=8。

“车+马+炮”等于：8×（1+2+2×4）=88。

巩固训练，习题2【题目】：两组学生参加义务劳动，甲组学生人数是乙组的3倍，而乙组的学生人数比甲组的3倍少40人，求参加义务劳动的学生共有多少人？【解析】：把乙组学生人数看作1份，画出线段图如下：甲组学生人数是乙组学生人数的3倍，则甲组学生人数的3倍就是乙组人数的（3×3=）9倍。

所以，乙组人数为：40÷（9-1）=5（人）；参加义务劳动的学生共有：5×（1+3）=20（人）。

拓展提高，习题1某镇上有东西两个公交车站，东站有客车84辆，西站有客车56辆，每天从东站到西站有7辆车，从西站到东站有11辆车，几天后，东站车辆是西站的4倍？【解析】：“每天从东站到西站有7辆车，从西站到东站有11辆车”，则每天东站增加（11-7=）4辆车，西站减少4辆车，但两站车辆总数不变为：84+56=140（辆）。