数学活动折纸与证明

合集下载

例谈数学实验问题的设计——以数学活动《折纸与证明》为例

所需数学知识或技能几何变换的性质，子软件绘图电
的能力，手操作的能力动
前小组活动的进展和碰到的困难，听取有效建议，善完活动项目并策划成果展示的形式．第四阶段（５学时）第展示完成的作品，准备回答其他同学提出的各种问题．
・
教材教法・
审。擞・（１年第２初中？７２１０期・版）
９
例谈教学雾验问题的设计
— —
以数学活动《纸与证明》例折为
２２０江苏省连云港市新海实验中学姜晓刚２０４
初中数学实验教学是指在初中阶段，据国家课程根标准、生认知水平及教学思想发展的脉络，设恰当学创的问题情境，用合理的实验手段，导学生从直观现利引象到发现、想，后给出验证及理论证明，学生亲历猜然使
要有不同的要求，通过动手实验，小组交流，同学问可以
得到相互弥补、鉴，互启发、动，成立体、互的借相拨形交
思维网络，往会产生ｌ ≥２的效果，往＋１使不同层次的
学生在数学实践活动中都有所收获．
广阔的设计空问．教师要结合学生的学情，恰如其分地
像经过什么变换设计出来的？（）国中学生罗伯特・耐特曾经利用简易的变４美加

折纸与数学简介

折纸与数学简介篇一：数学与折纸数学与折纸我们中的大多数人都有过折纸的经历，只是折叠后便收了起来．只有少数人折纸，是为了研究其间所揭示的数学思想．折纸是一项教育与娱乐两者兼备的活动．连L·卡洛尔也是一位折纸的热心者．虽然折叠纸张超越了许多文化，但日本人却把它作为一种交谊的途径，并通过普及和发展，使之成为一门称之为“折纸”的艺术．纸张折出的一些数学形体当折叠纸张的时候，很自然地会出现许多几何的概念．诸如：正方形、矩形、直角三角形、全等、对角线、中点、内接、面积、梯形、垂直平分线、毕达哥拉斯定理及其他一些几何和代数概念．下面是一些折纸的例子，它说明了上述概念的运用．Ⅰ)从一个矩形式样的纸张，作成一个正方形(下图左)．Ⅱ)由一张正方形的纸张，变成四个全等的直角三角形(上图右)．Ⅲ)找出正方形一条边的中点(下图右)．Ⅳ)在正方形的纸中内接一个正方形(下图左和中)．Ⅴ)研究纸的折痕，注意内接正方形的面积是大正方形面积的．Ⅵ)拿一个正方形纸张折叠，使折痕过正方形中心，便会构成两个全等的梯形(下图左)．Ⅶ)把一个正方形折成两半，那么折痕将成为正方形边的垂直平分线(下图右)．Ⅷ)证明毕达哥拉斯定理．如右图折叠正方形纸：c=正方形ABCD的面积．a=正方形FBIM的面积．b=正方形AFNO的面积．由全等形状相配得：正方形FBIM的面积=△ABK的面积．又 AFNO的面积=BCDAK的面积(此即正方形ABCD除△ABK外剩余部分的面积)．这样，a＋ b= c 222222Ⅸ)证明三角形内角和等于180°．取任意形状的三角形，并沿图示的点划线(横的为中位线)折叠a°＋b°＋c°＝180°——它们形成一条直线．Ⅹ)通过折切线构造抛物线．程序：——在离纸张一边一两英寸的地方，设置抛物线的焦点．如图所示的方法，将纸折20－30次．所形成的一系列折痕，便是抛物线的切线，它们整体地勾画出曲线的轮廓．篇二：探究折纸中的数学探究折纸中的数学教学目标（1）通过折纸理解垂直和平行的定义和相关性质；体会折纸中的数学思想，从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略。

2024-2025学年度第一学期苏科版初中数学八年级上册教学进度表

数学活动：有关“实数”的课题研究
小结与思考
5
14
11.25—11.29
第5章平面直角坐标系
物体位置的测定
平面直角坐标系
5
15
12.02—12.06
数学活动：确定藏宝图
小结与思考
5
16
12.09—12.13
第6章一次函数
函数
一次函数
5
17
12.16—12.20
一次函数的图像
用一次函数解决问题
5
18
12.23—12.27
一次函数与二元一次方程组
一次函数、一元一次方程组和一元一次不等式
5
19
12.30—01.03
数学活动：温度计上的一次函数
小结与思考
课题学习：关于勾股定理的研究
4
元旦
20
01.06—01.10
总复习，复习迎考
5
21
01.13—01.17
期末考试
5
小结与思考
5
8
10.14—10.18
第3章勾股定理
勾股定理
勾股定理的逆定理
5
9
10.21—10.25
勾股定理的简单应用
数学活动：探寻“勾股数”
小结与思考
5
10
10.28—11.01
期中复习，期中测试
5
11
11.04—11.08
第4章实数
平方根
立方根
5
12
11.11—11.15
实数
近似数
5
13
11.18—11.22
2024—2025学年度苏科版初中八年级数学上册教学进度表
周次

折纸做60°,30°,15°角

教学方式：教师提示辅助线，学生独立思考，上前讲解
折30°的角还有其他的方法
问题5：其中∠MOE=∠OKE=∠EKB=30°你能利用刚学到的结论证明吗？
教学方式：学生独立思考，举手回答。
（设计意图：学生猜想命题，预设学生出现的问题并进行教学，生成新的教学资源。）
（七）变式练习，学以致用
如图(1):四边形ABCD是一张正方形纸片,E、F分别是AB,CD的中点,沿着过点D的折痕将A角翻折,使得A落在EF上的A'处(如图(2)),折痕交AE于点G,那么∠ADG等于多少度?你能证明你的结论吗?
今天老师教大家新的折特殊角的方法。
问题2：请同学们按下面的方法折出角。并思考：
（1）对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平。
①折痕EF与AB的关系是什么？
（2）再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，连接线段BN。
②翻折后⊿ABM与⊿MBN有什么关系？
教学过程
（一）创设情境，引入新课
大家玩过折纸吗？其实折纸是一种非常美妙的艺术，下面请同学们观看视频欣赏折纸艺术。折纸在折的过程里要用到很多的数学知识，比如：如何折出特殊的角度，这就需要我们通过数学知识来解决，今天老师就和同学们一起学习一下如何通过折纸，折出特殊的角度。
（二）提出问题，深度思考
问题1：在一张矩形纸片上，你能折出45°的角吗？
证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD.
∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°。
又∵AC=AC， CD=BC
∴△ACB≌△ACD(SAS)。
∴AB=AD。
∵CD=BC，∴BC= BD。
又∵BC= AB，
∴AB=BD。∴AB=AD=BD，

数学活动折纸与证明-苏科版八年级数学上册教案

数学活动折纸与证明-苏科版八年级数学上册教案一、活动简介折纸是一种常见的美术活动，但它也可以用来帮助学生学习数学。

在这个活动中，学生将学习如何通过折叠纸张来证明一个数学问题。

这个活动的主要目的是帮助学生更好地理解数学公式，并帮助他们练习语言表述、证明和思考技巧。

二、活动目标•培养学生证明数学问题的能力•帮助学生更好地理解数学公式•练习学生语言表述、证明和思考技巧三、准备材料•方格纸若干•铅笔、直尺、三角板四、活动步骤第一步：教师讲解首先，教师将示范如何用一张方格纸证明一个简单的数学问题。

例如，证明等腰三角形底角相等。

教师将给出一张模板，让学生在上面观察和模仿。

然后，教师将让学生用自己的语言解释这个问题，说明如何用折纸来证明这个问题。

第二步：学生实践接下来，学生将在教师的指导下，使用方格纸来证明一些不同的数学问题。

例如，证明正方形对角线相等、证明等腰直角三角形斜边长。

在学生完成这些任务后，教师将为他们提供更复杂的问题，以帮助他们进一步巩固和应用所学知识。

第三步：学生展示一旦学生完成了证明过程，教师将邀请他们向其他同学演示他们的解法。

这将帮助学生发展他们的表达能力、思考能力和解决问题的能力，同时也能让他们学习如何从他人的工作中获得启示和想法。

第四步：总结反思最后，教师将与学生一起总结本次活动所学的东西，回顾他们的成果，强调一些关键的概念和技能，并给学生一个机会提出关于这个活动的问题和建议。

五、注意事项•活动开始前，教师要准备模板，方便学生使用。

•活动过程中，教师要密切关注学生的学习进度，及时发现和纠正学生的错误。

•活动结束后，应及时与学生进行反馈和总结，鼓励他们做得好，同时指出他们需要改进的地方。

六、知识扩展活动中用到的证明方法，是数学的一种常用方法——演绎法。

演绎法又分为直接法、间接法和归纳法，活动中的证明使用的是直接法。

学生在认真理解活动中的证明方法后，可以尝试使用不同的证明方法解决其他数学问题。

初三数学活动课“折纸与证明”设计与反思

《全日制义务教育数学课程标准（修订稿）》明确提出： “ 数学教学是数学活动的教学。” “ 数学活动是学生
杂，说理要求循序渐进，并在活动中激发学生认真思考、经历数学化过程的活动。 ”相应地， “ 数学活动 ”也走进积极探索、主动发现问题，并从问题中归纳出折纸问题中了各种版本的实验教材。以苏科版义务教育课程标准实验教科书为例，各章结束时都安排 “ 数学活动 ”这一教学内蕴含的数学知识和解决折纸问题的一般方法，从而促进学容，设置的目的在于培养学生综合运用章节知识及方法解生研究性学习方式的形成，同时通过小组内学生相互协作决实际问题，培养学生的问题意识、应用意识和创新意研究，培养学生合作性学习精神。三、案例细节分析识，积累学生的活动经验，提高学生解决现实问题的能１．目标定位。（１）从教材的角度。本节内容在教材中安力。但鉴于 “ 数学活动 ” 内容设置较少、较开放，对教师图形与证明（一）、（二） ”学完后，意在突出从数学的课堂设计及组织能力都提出了挑战，现实状况是很多学排在 “ 理论的角度，即用证明的方法来说明折纸活动的合理性，校都跳过 “ 数学活动 ”教学。同时体现了本章在认知过程中想要突显的两种认知方法间笔者结合自己开设的一节市级公开课— — 苏科版九年级上第一章数学活动课《折纸与证明》，谈谈自己对数学重要的辩证关系：观察操作丰富了我们对图形的认识和感

折纸技术与数学之间的关联与推广

折纸技术与数学之间的关联与推广折纸，作为一种古老的手工艺，已经有数百年的历史。

然而，折纸不仅仅是一种娱乐活动，它与数学之间有着紧密的关联。

在数学的世界中，折纸技术被广泛应用于几何学、拓扑学和图论等领域，并且对于数学教育也起到了积极的推广作用。

首先，折纸技术在几何学中发挥着重要的作用。

通过折纸，我们可以直观地理解几何图形之间的关系。

例如，通过折纸，我们可以轻松地构造出各种几何图形，如正方形、三角形和圆形等。

同时，折纸还能帮助我们理解几何形状的性质和特点。

例如，通过折纸，我们可以证明平行线之间的夹角相等，或者证明等腰三角形的底角相等。

折纸技术使得几何学的学习更加生动有趣，激发了学生对几何学的兴趣。

其次，折纸技术在拓扑学中也有广泛的应用。

拓扑学是研究空间形状和变形的学科，而折纸正是一种能够改变空间形状的方法。

通过折纸，我们可以将一个平面图形变形成另一个平面图形，或者将一个三维立体图形变形成另一个三维立体图形。

这种变形过程可以帮助我们理解拓扑空间的性质，如连通性、紧致性和同伦等。

折纸技术使得拓扑学的抽象概念更加具体可见，有助于学生更好地理解拓扑学的原理。

此外，折纸技术在图论中也有其独特的应用。

图论是研究图形和网络的学科，而折纸可以将平面图形折叠成三维立体图形，从而将图论问题转化为几何问题。

通过折纸，我们可以解决一些经典的图论问题，如欧拉回路和哈密顿回路等。

同时，折纸还可以帮助我们理解图的着色问题。

通过折纸，我们可以将一个平面图形分割成若干个互不相交的区域，然后用不同的颜色给每个区域着色，从而实现图的着色。

折纸技术使得图论的抽象问题更加具体可行，有助于学生更好地掌握图论的基本概念和方法。

除了在学术领域的应用，折纸技术还可以在数学教育中起到积极的推广作用。

通过折纸，我们可以将抽象的数学概念变得更加具体可见，从而提高学生的学习兴趣和学习效果。

例如，在教授几何学的时候，我们可以通过折纸的方式让学生亲身体验几何图形的构造和性质，从而加深他们对几何学的理解。

数学活动折纸并撰写活动心得

数学活动折纸并撰写活动心得折纸活动总结1本学期，学校开展了丰富多彩的社团活动；首先折纸是我国一种传统的手工艺术；其次兴趣是一个人走进成功大门的钥匙！发现和培养学；现将本学期的折纸活动总结如下：；1、提高了学生的动手能力，现在学生都能自己动手折；2、学生在活动中体会到了折纸的乐趣，所以对折纸的；3、培养了学生们的互助精神；总而言之，在本学期的折纸活动中学；首先折纸是我国一种传统的手工艺术。

手工折纸富于变化，造型生动活泼可爱，宜于孩子想象和智力的开发。

实际证明，折纸是一个手脑并用的过程，既可开发孩子的智力，培养他们的注意力、观察力、想象力和理解力，又可促进其手肌肉群的灵活性和大脑的发育。

因此，我们开设了对孩子进行纸艺培养兴趣小组课程，希望通过纸艺活动，使孩子们学会简单的折纸方法，并正确掌握折纸的技能技巧，从而进一步培养他们爱动脑、爱动手、不怕困难的精神。

其次兴趣是一个人走进成功大门的钥匙！发现和培养学生的兴趣是非常重要的，激发学生的兴趣爱好可以发展学生的潜能，调动学生的学习积极性。

风雅折纸社团，在于培养学生对手工的兴趣、爱好、增长知识、提高技能、丰富学生的课余文化生活，为今后培养手工人才起着积极推动的作用。

给爱好手工的同学一个良好的学习环境，折纸是一种材料简单、操作方便、效果显著的手工创造劳动，是深受学生喜欢的一种小工艺，它通过剪、折、粘贴、等手段，巧妙地把纸制成各种生动有趣的形象：如人物、动物、花卉等.从而培养学生认真观察的习惯和做事的条理性。

折纸活动总结21、提高了学生的动手能力，现在学生都能自己动手折一些作品，有半数同学不需要老师的指导，看着折纸书来折，还有部分同学能自己进行创作。

2、学生在活动中体会到了折纸的乐趣，所以对折纸的兴趣更浓了。

3、培养了学生们的互助精神。

折纸活动时我把学生分成六个小组，有利于不会的同学及时问，会的同学有时也主动教不会的，这样久而久之小组中的学生都已形成互帮互助的良好品质。

八年级数学上册《折纸与证明》教案、教学设计

2.邀请几名学生上台演示简单的折纸技巧，如折叠纸飞机、纸船等，让学生在实践中感受折纸的魅力。
3.提问：折纸过程中，我们是如何将一个平面图形变换成另一个平面图形的？这中间涉及到了哪些几何知识？
4.引导学生回顾已学的几何知识，为新课的学习做好铺垫。
（二）讲授新知
1.介绍折纸与几何图形的关系，引导学生了解如何通过折纸来探究几何性质。
（3）发展性评价：关注学生的个性差异，鼓励学生在原有基础上不断进步，激发学生的学习潜能。
4.教学资源：
（1）利用多媒体教学设备，展示折纸过程和几何证明动画，提高学生的直观认识。
（2）提供丰富的折纸材料，让学生在动手操作中感受数学的乐趣。
（3）借助网络资源，拓展学生的学习视野，引导学生了解折纸在现实生活中的应用。
（3）注重培养学生的创新思维，鼓励学生在折纸与证明的基础上，进行拓展性思考，提出新的问题并尝试解决。
3.教学评价：
（1）过程性评价：关注学生在课堂上的参与程度、动手操作能力、团队合作意识等方面，全面评价学生的学习过程。
（2）总结性评价：通过课后作业、单元测试等方式，检验学生对折纸与证明知识的掌握程度。
八年级数学上册《折纸与证明》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.了解折纸的基本概念，理解折纸与几何图形之间的关系，能够运用折纸技巧绘制常见的几何图形。
2.学会使用折纸证明几何定理，如等腰三角形的性质、勾股定理等，提高学生的几何推理能力。
3.能够运用折纸方法解决实际问题，如计算图形的面积、周长等，增强学生的实践操作能力。
4.培养学生勇于探索、敢于创新的精神，使学生形成积极向上的学习态度。
二、学情分析
八年级的学生已经在之前的数学学习中，掌握了基本的几何图形知识，具备了一定的空间想象力和逻辑思维能力。在此基础上，学生对折纸与证明的学习将更加深入地理解几何图形的性质和关系。然而，由于学生的个体差异，部分学生对几何证明的掌握程度可能不够扎实，需要教师在教学过程中给予关注和指导。

数学活动折纸做60°、30°、15°的角

B
3
D
N
F
C
动手实践，寻找规律
你能通过折纸的方法，折出15°的角吗？怎样折？
A
M H D
E
G
N
F
B
1 2 3
C
在图中，你能找出所有60°的角吗？ 30°的角呢？
A M
D
E
G
N
F
B
角形，怎样剪出的等边三角形才是最大的？
A M D
E
G
N
F
B
H
C
有30°的直角三角形的性质知识回顾
证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD. ∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°。又∵AC=AC， CD=BC ∴△ACB≌△ACD(SAS)。 ∴AB=AD。
A
1 ∵CD=BC，∴BC= BD。 2 1 又∵BC= AB， 2 ∴AB=BD。∴AB=AD=BD，
即△ABD是等边三角形。
B
C
D
动手实践，寻找规律
在一张矩形的纸片上，怎么折出一个 45°的角？
动手实践，寻找规律
在一张矩形的纸片上，怎么折出一个 45°的角？
动手实践，寻找规律
你能通过折纸的方法，折出30°的角吗？怎样折？
证明折法，反思提高
证明：连接AN ∵四边形AEFD与四边形BEFC关于EF对称 ∴AN=BN ∵△ABM与△NBM关于BM轴对称 M A ∴AB=NB，∠1=∠2 ∴AB=AN=NB ∴∠ABN=60° ∴∠1=∠2=30° G ∵四边形ABCD是矩形 E ∴∠ABC=90° ∴∠3=90°－60°=30° ∴∠1=∠2=∠3=30° 1 2
么它所对的直角边等于斜边的一半。”反过来怎么表述？

教学案例：数学活动课《折纸与证明》

A FB CE D 数学活动课《折纸与证明》活动目标：1、通过折纸活动，使学生经历动手操作的过程，体会数学与生活的联系；2、进一步激发学生对数学证明的兴趣，感受证明的必要性，感受合情推理和演绎推理相辅相成的关系。

3、进一步发展合乎逻辑的思考和有条理表达的能力。

4、培养学生的合作交流的精神。

活动重点：探究研究问题的方法，如操作、猜想、证明等。

活动难点：说明操作活动合理性的证明过程。

活动用具：长方形纸片若干、剪刀，刻度尺、量角器。

设计意图：新课程标准对过程性目标有明确的定位：“过程本身就是一个课程目标，即首先必须让学生在数学学习活动中去经历探究物体与图形的形状的大小、位置关系变换等过程；经历提出问题、收集、整理、描述和分析数据，作出决策及自我评价的过程；经历观察、猜想、证明等数学活动过程…”。

而折纸问题具有可操作性和趣味性，可帮助学生建构三角形、四边形、全等形等方面的知识，有助于培养学生的动手能力和空间观念。

学生经历了操作、证明的过程，会进一步激发其对数学证明的兴趣，感受证明的必要性，感知合情推理和演绎推理相辅相成的关系，同时经历了克服困难和取得成功的过程，更能增进应用数学的自信心。

活动过程：一、创设情境：同学们一定会用纸片折叠小船、小猴等，其实你还会解释折纸过程中的每一个操作活动的合理性，因为你学会了证明。

下面请同学们展示自已最拿手的折纸作品。

请几个折得好的学生展示自已的作品。

二、操作探究：活动一如图示，将矩形纸片ABCD 沿虚线EF 折叠，使点A 落在点G 上，点D 落在点H 上；然后再沿虚线GH 折叠，使B 落在点E 上，点C 落在点F 上；叠完后，剪一个直径在BC 上的半圆，再展开，则展开后的图形为（）说明：让学生体验到动手操作的乐趣，直观形象。

活动二分组讨论：你能用手中的纸片折一个尽量大的正方形吗？然后请代表展示自已的做法，并说明理由。

展示：用一张长方形纸片折一个正方形。

如图，（1）折叠长方形，使点A 落在边DC 的点E 处，得折痕DF ；（2）沿EF 折叠得四边形AFED 。

初三数学活动课“折纸与证明”设计与反思论文

初三数学活动课“折纸与证明”设计与反思【摘要】笔者结合自己开设的一节市级公开课《折纸与证明》数学活动课设计过程，重点从目标制定和活动设计两个方面结合教材、学情进行重点分析，努力对“如何开展数学活动的有效设计？”展开深入思考，意在引发大家重视“数学活动”，增强对“数学活动课有效性及策略”的研究。

笔者结合自己开课的效果，在优化目标、优化活动设计、优化互动生成、多媒体合理使用等方面进行了反思，希望对数学活动的设计提供借鉴。

【关键词】数学活动课教学设计反思《全日制义务教育数学课程标准（修订稿）》明确提出：“数学教学是数学活动的教学。

”“数学活动是学生经历数学化过程的活动。

”相应地，“数学活动”也走进了各种版本的实验教材。

以苏科版义务教育课程标准实验教科书为例，各章结束时都安排“数学活动”这一教学内容，设置的目的在于培养学生综合运用章节知识及方法解决实际问题，培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生解决现实问题的能力。

但鉴于“数学活动”内容设置较少、较开放，对教师的课堂设计及组织能力都提出了挑战，现实状况是很多学校都跳过“数学活动”教学。

笔者结合自己开设的一节市级公开课——苏科版九年级上第一章数学活动课《折纸与证明》，谈谈自己对数学活动课的设计和反思。

一、案例实施背景2009—2010学年度第一学期第五周，南京市初三数学中心组研讨活动在第十三中学红山校区开展，笔者选择苏科版九年级（上）第一章数学活动《折纸与证明》开设公开课，通过对本节开放型课型的活动展示，笔者希望抛砖引玉，激发大家更深层次思考。

开课班级是笔者所教的班级，班级中数学优秀生、中等生居多，后进生较少。

二、案例主题分析与设计本节课是苏科版义务教育课程标准实验教科书九年级数学（上册）第一章图形与证明（二）的最后一课，教材将本节课的内容安排在图形与证明（一）、（二）学完后，既说明本节课的折纸活动是前两章知识的综合应用，又说明证明的过程是操作活动的理论依据，从而进一步让学生认识到证明的必要性，感受合情推理和演绎推理相辅相成的关系。

第18章数学活动：折纸做60°、30°、15°的角

折纸做60°、30°、15°的角
五、变式练习学以致用
(2)如图①:四边形ABCD是一张正方形纸片,E、F分别是AB,CD的中点,沿着过点D的折痕将A角翻折,使得A落在EF上(如图②),折痕交AE于点G,那么∠ADG等于多少度?
B
CB
C
E
F
EA
F
G
A
①
D
A
②
D
折纸做60°、30°、15°的角
F
E
O F
B
C
B
C
B
C
折纸做60°、30°、15°的角
四、引发猜想理论验证
A
R
D
O
问题6 你能说出以上操作的依据吗？
E
12
F
证明：连接AO.
3
B
C
∵四边形AEFD与四边形BEFC关于EF对称
∴AO=BO
∵△ABR与△OBR关于BR轴对称
∴AB=OB，∠1=∠2
∴AB=AO=OB
∴∠ABO=60°
六、畅谈感悟反思成长
问题12 通过这一节课的学习，你有哪些收获？
折纸做60°、30°、15°的角
七、布置作业拓展延伸
1、尝试折叠并写出证明过程.
A
D
O
M
N
E
F
P
Q
B
R
C
2、通过折纸，如何折到75°的角.
30° 30°
折纸做60°、30°、15°的角
三、动手操作实验探究
在矩形中寻找线段间的2倍关系
A
D
E
F
B
C
AB=2AE=2BE DC=2DF=2CF
折纸做60°、30°、15°的角

苏科版八年级上册数学 2.6数学活动折纸与证明教案

《折纸与证明》——与三角形相关的问题教学目标：知识技能：通过折纸活动，在操作、交流中，巩固轴对称图形的相关知识；数学思考：在动手操作过程中，获得数学活动的经验，经历“思考、操作、观察、猜想、验证”等过程，培养推理能力以及分析问题、解决问题的能力；问题解决：在解决“三角形边与角关系”时，获得分析问题和解决问题的基本方法，并体验解决问题方法的多样性；在解决“特殊三角形”问题时，获得解决问题的一般方法，体会化归的数学思想. 情感态度：通过活动，感受折纸的魅力，体会生活中处处存在着数学，感受数学的奇妙.通过生生交流、师生对话，培养有条理的表达能力以及合作交流能力.教学重点：经历折纸过程，探究折纸前后图形全等（边、角相等），并利用该性质解决三角形相关的问题，提高学生动手操作能力以及解决问题的能力.教学难点：运用所学知识利用折纸得到特殊三角形并证明.准备材料：三角形、正方形、长方形、平行四边形纸片若干张教学思路：在学生已有的知识、经验基础上，感悟利用折纸可以为证明一些问题提供思路，同时也可以利用折纸折出特殊三角形，为我们解决一些问题提供方法，也是一些折纸创作的基础。

教学过程以“发现问题——思考问题——尝试解决问题——交流分享——解决问题”的模式有序进行.教学过程一、问题情境请欣赏一段视频几张彩色的纸，折出一个多彩世界；几张长纸条，折出了变化多端，这就是折纸的魅力！我们运用数学知识使折纸更美妙，同时我们也感受着折纸带给数学的思考.下面我们就一起来尝试用折纸解决与三角形相关的问题，初步感受折纸魅力！【设计目的】以生动活泼的视频引入，激发学生学习的积极性，活跃课堂氛围，引出主题.二、探究活动（一）探究活动一：三角形1、复习回顾利用折纸的方法找出该三角形的一条高，一条垂直平分线，一条角平分线，并在纸上画出；【学生活动】操作，并与同伴交流方法.【教师活动】点评学生的操作，并小结方法.小结：数学知识：轴对称（翻折）；操作关键：构造相等的边、相等的角.【设计目的】通过复习回顾，获得折纸活动的数学知识，即轴对称知识，也获得折纸活动的操作关键，即构造相等的边、相等的角；为后续的探究活动奠定基础.我们在学习等腰三角形的性质里，通过折纸说明了“等边对等角”，那如果这两边不等呢？这两边所对的角有怎样的关系？我们一起尝试探究.2、拓展探究：三角形中的边角关系如图，△ABC中，AB＞AC. 猜想∠C＞∠B.并借助折纸证明.请折一折，并与同伴交流自己的操作过程与证明思路.【师生交流，总结】三种方法：（与复习回顾相呼应）：（1）沿着垂直平分线折叠，构造与∠B相等的∠ECD，利用叠合法比较，∠ECD＞∠ACB；（2）沿着角平分线折叠，构造与∠C相等的∠AC’D，利用三角形外角性质比较，∠AC’D＞∠ABC；（3）沿着高折叠，构造与∠C相等的∠AC’D，利用三角形外角性质比较，∠AC’D＞∠ABC.EA B C'AC'DAB C（1）（2）（3）操作关键：通过翻折，构造相等的角.证得结论：在三角形中，“大边对大角”、“小边对小角”由此，通过折纸可以为我们证明一些命题提供一些思路与方法.【设计目的】由等腰三角形的性质“等边对等角”，猜测三角形中大边的对角与小边的对角之间的关系，并运用折纸进行证明.学生通过自主探究、合作交流，获得多种解决问题的方法，并获得解决问题中操作的关键步骤.（二）探究活动二：特殊三角形1、等腰三角形现在给大家一张长方形纸，你能通过折纸、裁剪得到哪些特殊三角形？动手试一试. 等腰三角形（合作交流）【师生操作、交流】（1）常用方法（等腰直角三角形）方法：利用角平分线找45°，利用等角对等边得到等腰三角形.（也获得了45°的方法）方法引申：通过对折，找到重合的两边（等腰）①如图，沿EF对折纸片，使点B落在B’处，连接BB’，则△EBB’，△ABB’为等腰三角形.①②③②如图，将纸片沿EF折叠，A落在A’处，点B落在B’处，BF与AD交于点P，除了△ABB’与△BB’E外，你能说明△EFP是等腰三角形吗？（请同学们思考后与同伴交流，多种方法：全等、基本模型、面积法全等：AB’=CD，∠B’=∠D，∠APB’=∠CPD，则△APB’≌△CPD；基本模型：由翻折得∠ACB=∠ACB’，由平行得∠DAC=∠ACB，则∠ACB’=∠DAC.面积法：S△APC=½AP﹡CD=½CP﹡AB’,AB’=CD,则AP=CP.）③如图，将纸片沿EF折叠，A落在A’处，点B落在B’处，BF与AD交于点P，除了△ABB’与△BB’E外，你能说明△EFP是等腰三角形吗？（2）利用垂直平分线的性质（利用“等角对等边”，“两边相等的三角形是等腰三角形”）如图将纸片沿着EF折叠，使点B落在直线BC上，记为B’，剪下△MNF，展开，则△MNN’为等腰三角形.【小结】“有两边相等的三角形是等腰三角形”，“有两角相等的三角形是等腰三角形”得到所需的等腰三角形.确定等边→等腰三角形；确定等角→等腰三角形2、等边三角形（1）给定一张正方形，请通过折叠、裁剪的方法得到等边三角形.【师生交流】利用“三边相等的三角形是等边三角形”折叠得到垂直平分线，构造等腰三角形，即一组相等的边，现只需得到另一组相等的边即可，因此①CD不折，直接连接CH即可；②将BC翻折，使点C落到H处，连接BH、CH即可。

2023-2024学年江苏省泰州市姜堰区八年级(上)期末数学试卷+答案解析

2023-2024学年江苏省泰州市姜堰区八年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.新能源汽车是我国经济发展的重要产业之一.下列新能源车标中，不是轴对称图形的是( )A. 蔚来汽车B. 理想汽车C. 小鹏汽车D. 哪吒汽车2.下列实数中，其中是无理数的是( )A. B. C. D. 53.如图，工人师傅常用“卡钳”这种工具测定工件内槽的宽．卡钳由两根钢条、组成，O为、的中点．只要量出的长度，由三角形全等就可以知道工件内槽AB的长度．那么判定≌的理由是( )A. SASB. ASAC. SSSD. AAS4.在平面直角坐标系中，点一定在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5.如图，有一长方体容器，，，，一只蚂蚁沿长方体的表面，从点A爬到点的最短爬行路程是( )A. 8B. 9C. 10D. 116.关于一次函数，下列说法中正确的是( )A. 该函数的图象一定不经过第四象限B. 当时，若x的取值增加1，则y的值也增加1C. 该函数的图象向右平移1个单位后一定经过坐标原点D. 若该函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积是1，则二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

7.9的平方根是______.8.地球上七大洲的总面积约为，用四舍五入法，将精确到用科学记数法表示为______9.如图，点B、E在CF上，且≌若，，则CE的长为______.10.如图，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，，AE：：1，则点B到点E的距离是______.11.若点在一次函数的图象上，则代数式的值等于______.12.如图，在中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，且，，则四边形AEDF的周长为______.13.在平面直角坐标系中，点、，现将线段AB平移后得到线段若点与点A重合，则点的坐标是______.14.如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解为______.15.勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣年希腊发行了以勾股定理为背景的邮票.如图，在中，，，分别以AB，AC，BC为边向外作正方形ABIH，正方形ACFG，正方形BCDE，并按如图所示作长方形KLNP，延长BC交NL于点M，反向延长BC交PK于点J，则长方形KLMJ的面积为______.16.如图，在平面直角坐标系xOy中，点、，点C在x轴的负半轴上，连接AB，若，BD是的高，则点D的坐标是______.三、解答题：本题共10小题，共102分。

第十八章平行四边形数学活动1折纸做60°,30°,15°的角

八、作业布置
1、完成活动一其它的证明过程（至少两种以上）。 2、自学活动二：折黄金矩形。
对折可以平分一个角，还可以把一个角分成 2n 等份，同时通过角的和差得到相关的度数.
二、动手折一折
问题2. 动手试一试，用一张矩形纸片，你能否折出30° 的角呢？
三、动手操作实验探究
追问你折出30°的角准确吗？动手用量角器量一量问题2 你能找出不准确的原因吗？
M D
A
折叠后点A的位置
B
C
四、验证猜想
问题4 你能证明你的猜想吗？
证明：连接AN. ∵四边形AEFD与四边形BEFC关于EF对称 ∴AN=BN ∵△ABM与△NBM关于BM对称 ∴AB=NB，∠1=∠2 ∴AB=AN=NB ∴∠ABN=60° ∴∠1=∠2=30° ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠ABC=90° ∴∠3=90°-60°=30° ∴∠1=∠2=∠3=30°.
追问你还有其他证明方法吗？
五、发散思维
问题5 还有其它的折法吗？
A
D
A
D
A
D
O（B）
O
M
N
M
N
M
N
E
F
E
F
E
F
P
Q
Q
P
Q
B
C
C
B
R
R
C
六、变式练习学以致用
问题6 看一看，找一找：在图中，你能找出所有的30°角吗？ 60°的角呢？
还有其它度数的角吗？
A
M
EH
N
D
△MNH为等边三角形
F
还有120°和150°的角
同学们玩过折纸吗?都折过些什么？

数学活动课《折纸与证明》

数学活动折纸与证明【学习重、难点】重点：经历操作、证明的过程，探究解决折纸问题的方法并会解决折纸问题难点：探究解决折纸问题的思路学习过程：活动一：(1) 用一张长方形纸片折正方形，并探究操作的合理性。

FB(2) 用一张长方形纸片折等腰三角形，并探究操作的合理性。

活动二：（1）用一张正方形纸片折矩形。

（2）用一张正方形纸片折等腰三角形，并探究操作的合理性。

（3）用一张正方形纸片折等边三角形，并探究操作的合理性。

活动三：(1)用一张等边三角形纸片折菱形，并探究操作的合理性。

(2)用一张等腰三角形纸片折菱形，并探究操作的合理性。

)观察与发现：小明将三角形纸片ABC(AB>AC)沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD ，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为EF ，展平纸片后得到AEF △（如图②）．再分别沿DE 、DF 折叠展平纸片后得四边形A EDF （如图③）。

试判断四边形AEDF 是什么四边形？，并证明你的结论。

活动四：用两张长方形纸条纸片拼菱形，并探究操作的合理性。

活动四：用一张长方形纸片折正五边形，并探究操作的合理性。

折叠问题方法归纳： NF EBC A B E CD FG C 'D 'A C D B图① A C D B 图②F E ACD B图③F E课堂小结：通过本节课的活动，你有哪些收获？达标检测1、如图，将ABC △中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻折，使点A 落在边上，记作A ′.则下列说法正确的是 ( ) (A) DE 垂直平分线段A A ′ (B) AD=AE(C) A A ′垂直平分线段DE (D) A A ′平分∠BAC2、将一矩形纸片按如图方式折叠，BC 、BD 为折痕，折叠后B E B A ''与与在同一条直线上，则∠CBD 的度数（） A. 大于90° B.等于90° C. 小于90° D.不能确定5、如图，将ABC △沿DE 折叠，使点A 与BC 边的中点F 重合，下列结论中：①EF AB∥且12EF AB =；②BAF CAF ∠=∠； ③12ADFE S AF DE = 四边形；④2BDF FEC BAC ∠+∠=∠，正确的个数是（）（A ）A ．1B ．2C ．3A E BD C A 'E '第5题图春蕾杯教学反思———5.4折纸与证明今年的春蕾杯的课题是九年级的一节活动课《折纸与证明》，这节课极具挑战性，对于活动课该怎么上，作为年轻老师的我是一头雾水，没有一点头绪。