第一轮复习02---命题及其关系、充分条件与比要条件

合集下载

高考数学一轮复习全程复习构想数学(文)【统考版】第二节命题及其关系、充分条件与必要条件(课件)

(二)教材改编 2．[选修2－1·P8习题A组T2改编]命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是( ) A．若a≤b，则a＋c≤b＋c B．若a＋c≤b＋c，则a≤b C．若a＋c>b＋c，则a>b D．若a>b，则a＋c≤b＋c
答案：A
解析：命题的否命题是将原命题的条件、结论都否定，故题中命题的否命题是 “若a≤b，则a＋c≤b＋c”．
答案：D
解析：根据四种命题的构成可知，选项A，B，C均不正确．故选D.
3．下列命题中为真命题的是( ) A．mx2＋2x－1＝0是一元二次方程 B．抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点 C.互相包含的两个集合相等 D．空集是任何集合的真子集
答案：C
解析：A是假命题，当m＝0时，mx2＋2x－1＝0不是一元二次方程；B是假命题，当a＝－2时，抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴无交点；C是真命题，即若A⊆B，B⊆A则 A＝B；D是假命题，空集是任何非空集合的真子集．
三、必练4类基础题 (一)判断正误 1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)“x－3>0”是命题．( × ) (2)一个命题非真即假．( √ ) (3)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则¬q”．( × ) (4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．( √ ) (5)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( √ ) (6) 命题 “ 若 p 不成立，则 q 不成立 ” 等价于 “ 若 q 成立，则 p 成立”．( √ )
A．逆命题
B．否命题
C．逆否命题
D．否定
答案：B
解析：“正数a的平方不等于0”即“若a是一个正数，则它的平方不等于0”，其否命题为“若a不是正数，则它的平方等于0”．故选B.

高考数学一轮复习命题及其关系、充分条件与必要条件-教学课件

四种命题的相互关系．理解充分条件与必要条件的相对性，
3．理解必要条件、充分条能借助于集合间的包含关系判断充要
件与充要条件的意义.
关系.
1．命题可以判断_真__假__的陈述句叫做命题；命题就其结构而言分为 __条__件__和_结__论___两部分；就其结果正确与否分为真__命__题__和_假__命__题_．
1．(2011 年福建)若 a∈R，则 a＝2 是(a－1)(a－2)＝0 的( A) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
2．“x>1”是“x2>x”A的() A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．若 a∈R，则“a(a－3)<0”是“关于 x 的方程 x2－ax＋a ＝0 没有实数根”的( A )
例2：①(2011 年天津)设集合 A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈ R|x<0} ，C ＝{x ∈R|x(x －2)>0} ，则“x ∈A ∪B”是“x ∈C”的
(C ) A．充分而不必要条件 C．充分必要条件
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：A∪B＝{x∈R|x<0 或 x>2}，
(4) 逆命题：若方程mx2 －x ＋n ＝0 有两个不等实数根，则 mn<0(假命题)．
否命题：若mn≥0，则方程mx2－x＋n＝0 没有两个不等实数根(假命题)．
逆否命题：若方程mx2 －x＋n＝0 没有两个不等实数根，则 mn≥0(真命题)．
原命题与其逆否命题等价，逆命题与其否命题等价，要理解命题之间的等价性，当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”．

02简易逻辑--命题及其关系、充分条件与必要条件

a b c a b c 的倾斜度为 l = max , , , min , , ，则 b c a b c a
“l = 1” 是“△ABC为等边三角形”的（为等边三角形” B 为等边三角形
）
例8: 设0 < x <
π
2 A.充分不必要条件充分不必要条件
, 则“ x sin x < 1”是“ x sin x < 1”的 B ）（
(
)(
)
重难点突破：重难点突破：
1.反证法与逆否命题：反证法与逆否命题：反证法与逆否命题例1:已知 a, b, c ∈ R, 若a + b + c < 1 已知
1 a 证明：证明： , b, c中至少有一个小于 3 2.充要条件的证明：充要条件的证明：充要条件的证明
注意找出题中的条件与结论
4.常用的正面词语和它的否定词语常用的正面词语和它的否定词语
正面词语等于小于大于是都是否定不等于不小于（大于或等于）不大于（小于或等于）不是不都是（至少有一个不是）正面词语任意的所有的至多有一个至少有一个至多有n个否定某个某些至少有两个一个也没有至少有n+1 个
“对任何x ∈ R, x − 2 + x − 4 > 3” 例3:命题命题的否定是？的否定是？
∃x ∈ R, x − 2 + x + 4 ≤ 3例4:命题“若x 命题2 Nhomakorabea2
< 1, 则 − 1 < x < 1”的逆否命题是
D
.若 A. x ≥ 1, 则x ≥ 1或x ≤ −1 若 − 1 < x < 1, 则x 2 < 1 B.

高考数学一轮复习考点知识专题讲解2---命题及其关系、充分条件与必要条件

高考数学一轮复习考点知识专题讲解命题及其关系、充分条件与必要条件考点要求1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．知识梳理1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p常用结论充分、必要条件与对应集合之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．①若p是q的充分条件，则A⊆B；②若p是q的充分不必要条件，则A B；③若p是q的必要不充分条件，则B A；④若p是q的充要条件，则A＝B.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“x2－2x－3>0”是命题．(×)(2)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件．(√)(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(√)(4)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件．(√)教材改编题1．“a>b”是“ac2>bc2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析当a>b时，若c2＝0，则ac2＝bc2，所以a>b⇏ac2>bc2，当ac2>bc2时，c2≠0，则a>b，所以ac2>bc2⇒a>b，即“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件．2．命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是____________________________．答案两直线不平行，同位角不相等3．方程x2－ax＋a－1＝0有一正一负根的充要条件是________．答案a∈(－∞，1)解析依题意得a－1<0，∴a<1.题型一命题及其关系例1(1)(2022·玉林质检)下列四个命题为真命题的个数是()①命题“若x>1，则x2>1”的否命题；②命题“梯形不是平行四边形”的逆否命题；③命题“全等三角形面积相等”的否命题；④命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题．A．1B．2C．3D．4答案B解析 ①命题“若x >1，则x 2>1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，不正确，例如取x ＝－2.②命题“梯形不是平行四边形”是真命题，因此其逆否命题也是真命题．③命题“全等三角形面积相等”的否命题“不是全等三角形的面积不相等”是假命题． ④命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题“若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点”是真命题．综上可得真命题的个数为2.(2)能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________________．答案f (x )＝sin x ，x ∈[0,2](答案不唯一)解析设f (x )＝sin x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2上是减函数．由正弦函数图象的对称性知，当x ∈(0,2]时，f (x )>f (0)＝sin0＝0，故f (x )＝sin x 满足条件f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，但f (x )在[0,2]上不一直都是增函数．教师备选(2022·合肥模拟)设x ，y ∈R ，命题“若x 2＋y 2>2，则x 2>1或y 2>1”的否命题是()A ．若x 2＋y 2≤2，则x 2≤1或y 2≤1B ．若x 2＋y 2>2，则x 2≤1或y 2≤1C ．若x 2＋y 2≤2，则x 2≤1且y 2≤1D ．若x 2＋y 2>2，则x 2≤1且y 2≤1答案C解析根据否命题的定义可得命题“若x 2＋y 2>2，则x 2>1或y 2>1”的否命题是“若x 2＋y 2≤2，则x 2≤1且y 2≤1”．思维升华判断命题真假的策略(1)判断一个命题为真命题，需要推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．跟踪训练1(1)(2022·安顺模拟)命题“若x ，y 都是奇数，则x ＋y 是偶数”的逆否命题是()A ．若x ，y 都是偶数，则x ＋y 是奇数B ．若x ，y 都不是奇数，则x ＋y 不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x ，y 都不是奇数D ．若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是奇数答案D解析命题“若x ，y 都是奇数，则x ＋y 是偶数”的逆否命题是“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是奇数”．(2)命题p ：若m ≤a －2，则m <－1.若p 的逆否命题为真命题，则a 的取值范围是________．答案(－∞，1)解析依题意，命题p 的逆否命题为真命题，则命题p 为真命题，即“若m ≤a －2，则m <－1”为真命题，则a －2<－1，解得a <1.题型二充分、必要条件的判定例2(1)已知p ：⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1，q ：log 2x <0，则p 是q 的() A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案B 解析由⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1知x >0，所以p 对应的x 的范围为(0，＋∞)，由log 2x <0知0<x <1，所以q 对应的x 的范围为(0,1)，显然(0,1)(0，＋∞)，所以p 是q 的必要不充分条件．(2)(2021·全国甲卷)等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n .设甲：q >0，乙：{S n }是递增数列，则()A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案B解析当a 1<0，q >1时，a n ＝a 1q n －1<0，此时数列{S n }单调递减，所以甲不是乙的充分条件．当数列{S n }单调递增时，有S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝a 1q n >0，若a 1>0，则q n >0(n ∈N *)，即q >0；若a 1<0，则q n <0(n ∈N *)，不存在．所以甲是乙的必要条件．教师备选在△ABC 中，“AB 2＋BC 2＝AC 2”是“△ABC 为直角三角形”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案A解析在△ABC中，若AB2＋BC2＝AC2，则∠B＝90°，即△ABC为直角三角形，若△ABC为直角三角形，推不出∠B＝90°，所以AB2＋BC2＝AC2不一定成立，综上，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件．思维升华充分条件、必要条件的两种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．跟踪训练2(1)“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若a>2，b>2，则a＋b>4，ab>4.当a＝1，b＝5时，满足a＋b>4，ab>4，但不满足a>2，b>2，所以a＋b>4，ab>4⇏a>2，b>2，故“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的充分不必要条件．(2)(2022·成都模拟)若a，b为非零向量，则“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析因为a⊥b，所以a·b＝0，则(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2，所以“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的充分条件；反之，由(a＋b)2＝a2＋b2得a·b＝0，所以非零向量a，b垂直，“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的必要条件．故“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的充要条件．题型三充分、必要条件的应用例3已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈A是x∈B 的必要条件，求m的取值范围．解由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴A＝{x|－2≤x≤10}．由x∈A是x∈B的必要条件，知B⊆A.则⎩⎨⎧ 1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈A 是x ∈B 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]．延伸探究本例中，若把“x ∈A 是x ∈B 的必要条件”改为“x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件”，求m 的取值范围．解∵x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，∴A B ，则⎩⎨⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎨⎧ 1－m <－2，1＋m ≥10，解得m ≥9，故m 的取值范围是[9，＋∞)．教师备选(2022·泰安检测)已知p ：x ≥a ，q ：|x ＋2a |<3，且p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，－1]B ．(－∞，－1)C ．[1，＋∞) D．(1，＋∞)答案A解析因为q ：|x ＋2a |<3，所以q ：－2a －3<x <－2a ＋3，记A ＝{x |－2a －3<x <－2a ＋3}，p ：x ≥a ，记为B ＝{x |x ≥a }．因为p 是q 的必要不充分条件，所以AB ，所以a ≤－2a －3，解得a ≤－1.思维升华求参数问题的解题策略 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练3(1)使2x≥1成立的一个充分不必要条件是() A ．1<x <3B ．0<x <2C ．x <2D ．0<x ≤2答案B解析由2x≥1得0<x ≤2，依题意由选项组成的集合是(0,2]的真子集，故选B.(2)若不等式(x －a )2<1成立的充分不必要条件是1<x <2，则实数a 的取值范围是________．答案[1,2]解析由(x －a )2<1得a －1<x <a ＋1，因为1<x <2是不等式(x －a )2<1成立的充分不必要条件，所以满足⎩⎨⎧ a －1≤1，a ＋1≥2且等号不能同时取到，解得1≤a ≤2.课时精练1．(2022·韩城模拟)设p：2<x<3，q：|x－2|<1，那么p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析解不等式|x－2|<1得－1<x－2<1，解得1<x<3，因为{x|2<x<3}{x|1<x<3}，因此p是q的充分不必要条件．2．(2022·马鞍山模拟)“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆否命题是() A．若x，y∈R，x，y全不为0，则x2＋y2≠0B．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2＝0C．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2≠0D．若x，y∈R，x，y全为0，则x2＋y2≠0答案C解析根据命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”，可以写出“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆否命题是“若x，y∈R，x，y 不全为0，则x2＋y2≠0”．3．(2021·浙江)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由a·c＝b·c，得到(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件．4．已知a，b，c，d是实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析当a＝b＝c＝d＝0时，ad＝bc，但a，b，c，d不成等比数列，当a，b，c，d成等比数列时，ad＝bc，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件．5．(2022·太原模拟)下列四个命题：①“在△ABC中，若AB>AC，则∠C>∠B”的逆命题；②“若ab＝0，则a＝0”的逆否命题；③“若ac＝cb，则a＝b”的逆命题；④“若a＝b，则a2＝b2”的否命题．其中是真命题的为()A．①④B．②③C．①③D．②④答案C解析①“在△ABC中，若AB>AC，则∠C>∠B”的逆命题是“在△ABC中，若∠C>∠B，则AB>AC”，是真命题；②“若ab＝0，则a＝0”是假命题，所以其逆否命题也是假命题；③“若ac＝cb，则a＝b”的逆命题是“若a＝b，则ac＝cb”，是真命题；④“若a＝b，则a2＝b2”的否命题是“若a≠b，则a2≠b2”，是假命题．6．(2022·青岛模拟)“∀x>0，a≤x＋4x＋2”的充要条件是()A．a>2B．a≥2 C．a<2D．a≤2答案D解析因为x>0，所以x＋4x＋2＝x＋2＋4x＋2－2≥2(x＋2)×4x＋2－2＝2，当且仅当x＋2＝4x＋2，即x＝0时等号成立，因为x>0，所以x＋4x＋2>2，所以“∀x>0，a≤x＋4x＋2”的充要条件是a≤2.7．已知命题“若m－1<x<m＋1，则1<x<2”的逆命题是真命题，则m的取值范围是() A．(1,2) B．[1,2)C．(1,2] D．[1,2]答案D解析命题的逆命题“若1<x<2，则m－1<x<m＋1”成立，则⎩⎨⎧ m ＋1≥2，m －1≤1，得⎩⎨⎧ m ≥1，m ≤2，得1≤m ≤2，即实数m 的取值范围是[1,2]．8．(2022·厦门模拟)已知命题p ：x <2m ＋1，q ：x 2－5x ＋6<0，且p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为()A ．m >12B ．m ≥12C ．m >1D ．m ≥1答案D解析∵命题p ：x <2m ＋1，q ：x 2－5x ＋6<0，即2<x <3，p 是q 的必要不充分条件，∴(2,3)(－∞，2m ＋1)，∴2m ＋1≥3，解得m ≥1.实数m 的取值范围为m ≥1. 9．(2022·延边模拟)若“方程ax 2－3x ＋2＝0有两个不相等的实数根”是真命题，则a 的取值范围是________．答案a <98且a ≠0 解析由题意知⎩⎨⎧ Δ＝(－3)2－8a >0，a ≠0，解得a <98且a ≠0. 10．(2022·衡阳模拟)使得“2x >4x ”成立的一个充分条件是________．答案x<－1(答案不唯一)解析由于4x＝22x，故2x>22x等价于x>2x，解得x<0，使得“2x>4x”成立的一个充分条件只需为集合{x|x<0}的子集即可．11．直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝a2(a>0)有公共点的充要条件是________．答案a∈[1，＋∞)解析直线y＝kx＋1过定点(0,1)，依题意知点(0,1)在圆x2＋y2＝a2内部(包含边界)，∴a2≥1.又a>0，∴a≥1.12．给出下列四个命题：①命题“在△ABC中，sin B>sin C是B>C的充要条件”；②“若数列{a n}是等比数列，则a22＝a1a3”的否命题；③已知a，b是非零向量，“若a·b>0，则a与b的夹角为锐角”的逆命题；④命题“直线l与平面α垂直的充要条件是l与平面α内的两条直线垂直．”其中真命题是________．(填序号)答案①③解析对于①，在△ABC中，由正弦定理得sin B>sin C⇔b>c⇔B>C，①是真命题；②“若数列{a n}是等比数列，则a22＝a1a3”的否命题是“若数列{a n}不是等比数列，则a22≠a1a3”，取a n＝0，可知②是假命题；③已知a，b是非零向量，“若a·b>0，则a与b的夹角为锐角”的逆命题“若a与b的夹角为锐角，则a ·b >0”为真命题；④直线l 与平面α内的两条直线垂直是直线l 与平面α垂直的必要不充分条件，④是假命题．13．设集合A ＝{x |－2－a <x <a ，a >0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A .若p 和q 中有且只有一个为真命题，则实数a 的取值范围是()A ．0<a <1或a ≥2B．0<a <1或a >2C ．1<a ≤2D．1≤a ≤2答案C解析若p 和q 中有且只有一个为真命题，则有p 真q 假或p 假q 真，当p 真q 假时，则⎩⎨⎧ －2－a <1<a ≤2，a >0，解得1<a ≤2；当p 假q 真时，则⎩⎨⎧ 1≤－2－a <2<a ，a >0，无解，综上，1<a ≤2.14．若“x 2－4x ＋3<0”是“x 2－mx ＋4<0”的充分条件，则实数m 的取值范围为________．答案m ≥5解析依题意有 x 2－4x ＋3<0⇒1<x <3，x 2－mx ＋4<0⇒mx >x 2＋4，∵1<x <3，∴m >x ＋4x，设f (x )＝x ＋4x(1<x <3)，则函数f (x )在(1,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增， ∴f (1)＝5，f (2)＝4，f (3)＝133，因此函数f (x )＝x ＋4x(1<x <3)的值域为[4,5)， ∵“x 2－4x ＋3<0”是“x 2－mx ＋4<0”的充分条件，∴m ≥5.15．若“x >1”是“不等式2x >a －x 成立”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是()A ．a >3B ．a <3C ．a >4D ．a <4答案A解析若2x >a －x ，即2x ＋x >a .设f (x )＝2x ＋x ，则函数f (x )为增函数．由题意知“2x ＋x >a 成立，即f (x )>a 成立”能得到“x >1”，反之不成立．∵当x >1时，f (x )>3，∴a >3.16．已知r >0，x ，y ∈R ，p ：|x |＋|y |2≤1，q ：x 2＋y 2≤r 2，若p 是q 的必要不充分条件，则实数r 的取值范围是________．答案⎝⎛⎦⎥⎤0，255 解析画出|x |＋|y |2≤1表示的平面区域(图略)，由图可得p 对应的平面区域是一个菱形及其内部，当x >0，y >0时，可得菱形的一边所在的直线的方程为x ＋y 2＝1，即2x ＋y －2＝0.由p 是q 的必要不充分条件，可得圆x 2＋y 2＝r 2的圆心(0,0)到直线2x ＋y －2＝0的距离d ＝222＋1＝255≥r ，又r >0，所以实数r 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，255.。

高三一轮复习--2 命题及其关系、充分条件与必要条件

②“若xy＝0，则|x|＋|y|＝0”的逆命题；
③“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题．其中是真命题的有________(填写序号) 解析：①是假命题；②是真命题；③是假命题．答案：②
返回
5．若“x2－2x－3>0”是“x<a”的必要不充分条件，则a 的最大值为________．解析：解x2－2x－3>0得x>3或x<－1，由条件可知 a≤－1，故a的最大值为－1. 答案：－1
返回
你能写出上述三个命题的否定吗？解：(1)若q≤1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根． (2)若xy＝0，则x≠0且y≠0.
(3)若x2＋y2＝0，则实数x、y不全为0.
返回
[悟一法] 四种命题的关系及命题的否定： (1)掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当
一个命题直接判断它的真假不易进行时，可以转而判断
解析：(2a＋b)⊥b⇒2a· b＋|b| ＝0⇒cos〈a，b〉 a· b |b| ＝＝－ . |a||b| 2|a| ∵|a|＝|b|＝1， 1 ∴cos〈a，b〉＝－ . 2 2π ∴〈a，b〉＝ . 3
2π “a，b的夹角等于 3 ”成立的________条件． 2
答案：充要
返回
5．下列命题中所有真命题的序号是________．
)
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件解析：当φ＝π时，f(x)＝sin(x＋π)＝－sin x是奇函数；反之，若f(x)＝sin(x＋φ)是奇函数，则有φ＝kπ，k∈Z，即反之不成立．
答案：A
返回
返回
[热点分析] 充要条件、命题是中学阶段学习的重要内容之一，多以选择、填空的形式考查，常与函数、不等式、数列、

数学复习：第一章第二节命题及其关系、充分条件与必要条件

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件本节主要包括2个知识点:1。

命题及其关系;2。

充分条件与必要条件。

突破点（一）命题及其关系基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系(1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系。

考点贯通抓高考命题的“形”与“神”命题的真假判断[例1] 下列命题中为真命题的是（ )A ．若1x＝错误!,则x ＝y B ．若x 2＝1，则x ＝1C ．若x ＝y ，则x ＝错误!D ．若x <y ，则x 2<y 2[解析] 取x ＝－1，排除B ；取x ＝y ＝－1，排除C;取x ＝－2，y ＝－1，排除D.［答案] A［方法技巧] 判断命题真假的思路方法（1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构,即它的条件和结论分别是什么，把它写成“若p ，则q ”的形式，然后联系其他相关的知识,经过逻辑推理或列举反例来判定．（2）一个命题要么真，要么假，二者必居其一．当一个命题改写成“若p ，则q ”的形式之后，判断这个命题真假的方法：①若由“p ”经过逻辑推理，得出“q ”，则可判定“若p ,则q ”是真命题；②判定“若p，则q”是假命题，只需举一反例即可．四种命题的关系将条件与结论互换即得逆命题,将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．[例2] (1)命题“若a>b，则a－1〉b－1"的否命题是（）A．若a〉b，则a－1≤b－1B．若a>b,则a－1〈b－1C．若a≤b，则a－1≤b－1D．若a<b，则a－1<b－1(2）给出命题：若函数y＝f(x）是幂函数,则函数y＝f（x）的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是( ）A．3 B．2 C．1 D．0［解析］(1)根据否命题的定义可知，命题“若a〉b，则a－1〉b－1”的否命题应为“若a≤b，则a－1≤b－1"．(2)原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y＝f（x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x）是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．［答案］（1)C (2)C[方法技巧］1．写一个命题的其他三种命题时的注意事项（1）对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写为“若p,则q”形式．（2)若命题有大前提，需保留大前提．2．判断四种命题真假的方法(1)利用简单命题判断真假的方法逐一判断．（2)利用四种命题间的等价关系：当一个命题不易直接判断真假时，可转化为判断其等价命题的真假．1．[考点一]下列命题中为真命题的是( )A．mx2＋2x－1＝0是一元二次方程B．抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点C．互相包含的两个集合相等D．空集是任何集合的真子集解析：选C A中，当m＝0时，是一元一次方程，故是假命题；B中，当Δ＝4＋4a<0，即a〈－1时，抛物线与x轴无交点，故是假命题;C是真命题；D中，空集不是本身的真子集，故是假命题．2．［考点二］命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0"的逆否命题是（）A．若x≠y≠0，x，y∈R，则x2＋y2＝0B．若x＝y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0C．若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0D．若x≠0或y≠0,x，y∈R，则x2＋y2≠0解析：选D 将原命题的条件和结论否定,并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0,其否定是x≠0或y≠0.故原命题的逆否命题是“若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0"．3．［考点二]命题“若△ABC有一个内角为错误!，则△ABC的三个内角成等差数列”的逆命题( ）A．与原命题同为假命题B．与原命题的否命题同为假命题C．与原命题的逆否命题同为假命题D．与原命题同为真命题解析:选D 原命题显然为真命题，原命题的逆命题为“若△ABC的三个内角成等差数列，则△ABC有一个内角为错误!”，它是真命题．故选D.4．[考点二］有下列四个命题：①“若xy＝1，则x,y互为倒数”的逆命题;②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解"的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B"的逆否命题．其中为真命题的是________(填写所有真命题的序号）．解析：①“若xy＝1,则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y 互为倒数,则xy＝1”，显然是真命题；②“面积相等的三角形全等"的否命题是“若两个三角形面积不相等，则这两个三角形不全等”，显然是真命题；③若x2－2x＋m＝0有实数解，则Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，所以“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解"是真命题，故其逆否命题是真命题；④若A∩B＝B，则B⊆A，故原命题是假命题，所以其逆否命题是假命题．故真命题为①②③.答案：①②③突破点(二) 充分条件与必要条件1．充分条件与必要条件的概念2.Bp是q的必要条件B⊆Ap是q的充分不必要条件A Bp是q的必要不充分条件B Ap是q的充要条件A＝B考点贯通抓高考命题的“形"与“神”充分条件与必要条件的判断［例1] (1)p x y满足x＞1且y ＞1，q:实数x，y满足x＋y＞2，则p是q的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件（2）（2016·天津高考)设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y｜"的( ）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件［解析］(1)∵错误!∴x＋y＞2,即p⇒q.而当x＝0，y＝3时，有x＋y＝3＞2，但不满足x＞1且y＞1，即q⇒/ p．故p是q的充分不必要条件．(2）当x＝1，y＝－2时，x＞y,但x＞｜y|不成立；若x＞|y|，因为｜y|≥y，所以x＞y。

第一轮复习--命题及其关系、充分条件与必要条件

命题及其关系、充分条件与必要条件1．了解命题的概念．2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.…知识与方法梳理一、基础知识A.命题1．命题可以判断真假的陈述句，叫做命题，注：（1）数学命题的表达形式有：语言、符号、式子等．（2）判断一个语句是否是命题，一看“陈述句”，二看“可判断真假”仅此两点．例如，①今天天气不错；②两直线平行，内错角相等；③2x+1=3；④若a=b,c=d,则a+c=b+d-以上四个句子中，①虽是陈述句，但不能判断其真假“天气不错"的标准不明确•②是陈述句，且能判断正确，因此是命题•对于③，当x=1时，为真；当x M1时，为假•这句话虽是陈述句，但无真假可言，因此不是命题④显然是命题.2•假命题、真命题真命题：可以判断为真的命题，即当题设成立时，结论一定成立，叫做真命题.假命题：可以判断为假的命题，即当题设成立时，结论不一定成立或一定不成立，叫做假命题.注:判断一个命题的真假时，如果说一个命题是真命题，那么必须证明它的正确性；而判断一个命题是假命题时，只要举出一个反例，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.延伸阅读:开句、命题函数、开句的取真集（内容不要求掌握）（1）开句、命题函数形如"2x+1=3"、“x+3>2”等单独的方程、不等式语句，都不是命题，因为它们也对也不对，即无真假可言•这些语句在数理逻辑上叫做开句•开句又叫做命题函数，意思是当变元（这里的x）取不同的个体的时候，就得到不同的命题.开句常记作P（x）、Q（y），其中变元x,y是在一定范围里变化•当x取某个个体a时,开句P（x）就变成了命题P（a）（与开句相对，有的书上把命题叫做句）•如：对于"x+3>2"而言，当x>-1时，为真；当x<-1时，为假.（2）开句的取真集对于开句，最为关心的是，哪些个体使句子为真，哪些个体使句子为假•例如，对于"x+3>2"而言，""时为真，"”时为假•使开句P（x）取真的x的范围叫做的取真集，记作{xIP（x）}•对开句来说，取真集为{xIx+3>2}={xIx>-1}•解方程，解不等式，本质上是找开句的取真集.(3)将命题函数P(x)变成命题命题函数P(x)变成命题的方法有两个.方法一：将命题函数P(x)中的x用特殊个体a代入，从而得到对特殊个体a进行判断的命题，这种命题叫做单称命题P(a).例如“张三是共产党员”，其中“张三”是被判断的个体，“是共产党员”是谓词，“是”是判断词.再如，命题函数P(x):x+3>2，对x赋值1,-3，可得到命题P(1)和P(-3)，即P(1):1+3>2，和P(-3):(-3)+3>2.当然P⑴是真命题，P(-3)是假命题.方法二：利用量词来限制个体的范围例如：命题函数P(x):x+3>2，前面添加量词"所有的"或"有"，得到命题"所有的实数x都有x+3>2"或“有实数x使x+3>2”.前者是假命题，后者是真命题.3.命题的形式若p，则q．其中p叫做命题的条件(或题设)，q叫命题的结论.注：绝大多数命题都能写成上述形式，但有些则不能，如特称命题.B•四种命题及其关系1. 四种命题及其关系(1)四种命题是指原命题、原命题的逆命题、否命题、逆否命题.(2)设原命题为：“若p，则q”，则原命题的逆命题、否命题、逆否命题分别定义如下：逆命题：条件和结论分别是原命题的结论和条件，其形式：“若q，则p”.否命题：条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，其形式：“若「p，则「q•逆否命题：条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，其形式：“若「q，则「p•．延伸阅读：偏逆命题(内容不要求掌握)当命题的条件和结论都是一个简单命题时，只要将它们进行交换就得到了原命题的逆命题.如上面例子.当命题的条件和结论不只是一个简单命题时，将命题条件和结论中的简单命题任意进行交换位置，就可以得到多个原命题的逆命题.如命题“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”，命题条件有两个：“A：垂直于弦"、“B过圆心"结论也有两个:"C:平分这条弦"、“D:平分弦所对的两条弧"•其形式即为：A A B T C A D，该命题的所有偏逆命题有：A A C TB A D:弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧；A a D TB a C：垂直于弦且平分弦所对弧的直线经过圆心并且平分这条弦；B AC T A A D:平分弦的直径垂直于这条弦并且平分弦所对的两条弧；B a D T A a C：平分弦所对的弧直径垂直平分这条弦.2. 四种命题的真假关系（1）四种命题间的三种基本关系：互逆、互否、互为逆否关系．（2）具有互逆关系的命题：原命题与其逆命题、原命题的否命题与原命题的逆否命题．具有互否关系的命题：原命题与其否命题、原命题的逆命题与原命题的逆否命题．具有互为逆否关系的命题：原命题与其逆否命题、原命题的逆命题与原命题的否命题．（3）等价命题：同真同假的两命题称为等价命题．具有互为逆否关系的两个命题等价．注：同真同假的含义：其中任何一个命题的真与假必然导致另一命题的真与假．（4）不等价关系：两命题的真假性没有关系.互逆命题、互否命题不等价.C•充分条件与必要条件记命题“若p，则q”为“q T p”，若命题“若p，则q”为真，则进一步记作“pnq”，为假时，则记作p朽q.1.基本概念（1）若p n q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．（2）若p n q，且pq，则称p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．（3）若p n q，且p U q，则称p是q的充要条件，这时，q也是p的充要条件．（4）若p北〉q，且p<H q，则称p是q的不充分不必要条件，这时，q也是p的不充分不必要条件.注：（1）在判断中，要完整地叙述条件类型.比如：“充分不必要条件”不能只说成“充分条件”．（2）叙述充要条件的等价语句：“当且仅当”、“必须且只须”、“若且仅若”等．其中，“当、必须、若”表达的是条件的充分性，而“仅当、只须、仅若”表达的是条件的必要性．2.对“充分条件”与“必要条件”的理解（1）从定义本身去理解充分条件：要使结论q成立，只要具备条件p就足够了.事实上，式子p n q已经表明，条件p成立时，结论q—定成立，就是说，要使结论q成立，只要具备条件p就足够了．必要条件：当条件q成立时，结论p不一定成立，但条件q不成立时，结论p 一定不成立.依题意，条件为q、结论为p•—方面，虽然命题"p T q"为真，但其逆命题"q T p"却未必为真，因此，当条件q成立时，结论p不一定成立.另一方面，命题"p T q"为真，从而其逆否命题"「q T「p"也真，即「q»p，据此可知，条件q不成立时，结论p—定不成立.图①中，条件p 是结论q 的.图②中，条件p 是结论q 的.图③中，条件p 是结论q 的.图④中，条件p 是结论q 的.2)利用开关电路图理解“充分条件”与“必要条件”视“开关A 的闭合”为条件p ，“灯泡B 亮”为结论q ，则条件•充分不必要条件(p 3q,p 导q ) 条件•必要不充分条件(p 工>q,p U q ) 条件•充要条件(p 3q,p U q )条件•不充分不必要条件(p 工>q,pvq )3)从集合间的包含关系理解“充分条件”与“必要条件”设条件p 对应集合A ，条件q 对应集合B ，即p :A ={x Ip(x)}，q:B ={x Iq(x)}• ① 若A 匸B ，则p 是q 的充分条件，若A u B ，则p 是q 的充分不必要条件.丰事实上，若有x e A ,T A £B ，可得x e B ，即p 3q ，二p 是q 的充分条件.若有xe A ，-A u B ，可得x e B ，p 3q 且pq ，二p 是q 的充分不必要条件.丰② 若B 匸A ，则p 是q 的必要条件，若B u A ，则p 是q 的必要不充分条件.丰事实上，若有x e A ,T A £B ，可得x e B ，即p 3q ，二q 是p 的必要条件.若有xe A ，-A u B ，可得x e B ，p 3q 且p <H q ，二p 是q 的必要不充分条件.丰③ 若A =B ，则p 与q 互为充要条件.事实上，若有x e A ，T A =B ，可得x e B ，即p 3q ，若有x e B ，T A =B ，可得x e A ，即q 3p ，二p 、q 互为充要条件. ④ 若A 乞B 且B 乞A ，则p 是q 的既不充分条件也不必要条件.事实上，若有x e A ，T A ①B ，可得x 笑B ，即p 工〉q ，同理p <H q ，p 是q 的既不充分也不必要条件.二、基本思想方法等价转化的思想 ,x —1*r 、.示例已知p :I1I <2，q:x 2—2x +1—m 2<0(m >0)，若「p 是—q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.解：由|1—号I <2得，A ={xI —2<x <10}•由x 2—2x +1—m 2<0(m >0)得，B ={xI1—m <x <1+m,m >0}.T q 3p ，二B u A •1一m >2,①② ③ ④结合数轴有<1+m<10,解得0<m<3.m>0.A.命题的判断、命题的真假判断例判断下列语句哪些是命题？若是命题，是真命题还是假命题？(1) (2) (3) (4)空集是任何集合的真子集三角函数是单调函数吗？疑问句，不是命题.空间里垂直于同一条直线的两条直线互相平行命题；假命题．命题；假命题．开句，不是命题． (7)帯(—2)2=—2.命题；假命题．点评与警示：本题利用等价转化思想，把「p 3「q 转化为q 3p ,进一步转化为B 是A 的子集，然后利用数轴列出不等关系．-题型示例(5)若X e R ，则2x 2—x +1>0；命题；真命题(T 二次三项式2x 2-X+1的判别式A =-7<0，在x e R 条件下，始终有2x 2—X+1>0).(6)若整数a 是素数，则a 是奇数；命题；假命题(T a =2时，由条件推不出结论).点评与警示：构成命题的条件有两个，一个是陈述句，另一个是能判断真假．B .命题的形式例把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假.(1)周长相等的两个三角形面积相等；(2) 偶数能被2整除；(3) 奇函数的图象关于原点对称；(4)同弧所对的圆周角不相等；(5)菱形对角线互相平分；(6) 垂直于同一条直线的两条直线互相平行；(7) 负数的立方是负数；(8)对顶角相等．解：(1)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形面积相等.假命题.(2)若一个数是偶数，则它能被2整除.真命题. (3)若一个函数是奇函数，则它的图象关于原点对称.真命题. (4)若两个圆周角是同弧所对的圆周角，则它们不相等.假命题. (5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相平分.真命题. (6)若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行.真命题. (7)若一个数是负数，则这个数的立方是负数.真命题. (8) 若两个角是对顶角，则这两个角相等.真命题.选填②C •四种命题的概念否命题：若x 半2，则X 2-3x +2工0. (2)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等. 逆否命题：若x -3x +2工0，则x 否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等. 逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角.例把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题.(1)当x =2时，x 2一3x +2=0；(2)对顶角相等；(3)等底等高的两三角形全等；(4)两边及夹角对应相等的两三角形全等．解：(])原命题：若X =2，则X 2-3x+2=0.逆命题：若X 2-3x+2=0,则x =2.(3) 原命题：若两个三角形的对应高和底分别相等，则这两个三角形全等.逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应高和底分别相等.否命题：若两个三角形的对应高和底不都相等，则这两个三角形不全等.逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形的对应高和底不都相等.(4) 原命题：若两个三角形对应两边和夹角分别相等，则这两个三角形全等.逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应两边和夹角分别相等.否命题：若两三角形的应边两对及夹角不都相等，则这两个三角形不全等.逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形的对应两边及夹角不都相等.点评与警示：正确叙述正面术语的否定形式，如“都”的否定应为“不都”而非“都不”.D.四种命题之间的关系例写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假(1) 垂直于平面a 内无数条直线的直线l 垂直于平面a ；(2) 若q <0，则方程x 2+x +q =0有实根；(3) 若x 2+y 2=0，贝9x =y =0；(4)菱形对角线垂直且相等．解：(1)原命题：若直线/垂直于平面a 内无数条直线，则直线l 垂直于平面a •假命题.逆命题：若直线/垂直于平面a ，则直线/垂直于平面a 内无数条直线.真命题.否命题：若直线/不垂直于平面a 内无数条直线，则直线l 不垂直于平面a •真命题.逆否命题：若直线/不垂直于平面a ，则直线/不垂直于平面a 内无数条直线.假命题.(2) 逆命题：若方程x 2+x +q =0有实根，则q <0.假命题.否命题：若q >0，则方程x 2+x +q =0无实根.假命题.逆否命题：若方程x 2+x +q =0无实根，则q >0.假命题.(3) 逆叩题：若x =y =0，则x 2+y 2=0.真命题.否命题：若x 2+y 2丰0，则x,y 中至少有一个不为0•真命题.逆否命题：若x,y 中至少有一个不为0,则x 2+y 2工0.真命题.(4) 逆命题：对角线垂直且相等的四边形是菱形.假命题.（3）设l,m均为直线，a为平面，其中l w a,(4)设a e2辺丿'P e 2’2丿'（5）△ABC中，内角A,B对边的长分别为a,b m ua，p:l//a，q:l//m. q:tana<tanP.p:a>b，q:sinA>sinB.否命题：不是菱形的四边形的对角线不垂直或不相等．假命题．逆否命题：对角线不垂直或不相等的四边形不是菱形．假命题．E•利用等价命题证明例证明：若x2+y2=0，则x=y=0.分析：将"若X2+y2=0，则x=y=0"视作原命题•要证原命题为真命题，去证它的逆否命题"若x,y中至少有—个不为0,则x2+y2丰0"为真命题.证明：若x,y中至少有一个不为0，不妨设x丰0,则x2>0，二x2+y2>0,即x2+y2工0•因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题.F•充要条件的判定例指出下列各组命题中，p是q的什么条件？（1）p:a+b=2,q:直线x+y=0与圆（x一a）2+（y一b）2=2相切.2)p:lx1=x,q:x2+x>0.解：（1）充分不必要条件；（2）充分不必要条件；（3）必要不充分条件；（4）充要条件；（5）充要条件.G•由充分条件、必要条件求参数取值范围已知条件p:^+32-0，条件q:x2+x<a2-a，且「p是-q的一个充分不必要条件，则a 的取值范围是A.[-2,-1]B.{2,2}C.[-1,2]D.（-2,2】U[2,+S）解：不等式加』1<0等价于[(2x+3一1)(2’一2)'°,即1<2x<2，解得-3<x<1，•.条件p对应的取值集合2n-2[2x―2丰0,8M=[-3,2).由x2+x<a2-a，得(x+a)[x-(a-1)]<0.当-a<a-1,即a>时，解集为(-a,a-1)，这时条件q对应的取值集合N=(-a,a-1)；当-a=a-1,即a二丄时，解集为0，这时N=0；2当-a〉a-1，即a<1时，解集为N=(a-1,-a).2j是r q的充分不必要条件，•••q是p的充分不必要条件，从而条件q对应的取值集合N是条件p对应的取值集合M 的真子集.当a〉丄时，N=(-a,a-1),由N三M，得『'一仏解得丄<a<2；2[1>a-1,2当a=2时，N=0，显然有宀；当a<丄时，N=(a-1,-a),由N三M，得『<°—解得-1<a<丄•2[1>-a,2综上，a的取值范围是[-1,2]•答案：C.H•错解剖析写出命题“若a=b,c=d，则a+c=b+d"的否命题和逆否命题.否命题是：.逆否命题是：错解：否命题：已知a,b,c,d是实数，若a与b,c与d都不相等，则a+c丰b+d•逆否命题：已知a,b,c,d是实数，若a+c丰b+d,则a与b,c与d都不相等.错因分析：事件“a=b,c=d”的正确否定应为：①a与b、c与d不都相等；②a工b或c工d•正解：否命题：已知a,b,c,d 是实数，若a=b,c=d中至少有一个不成立，则a+c丰b+d•逆否命题：已知a,b,c,d是实数，若a+c丰b+d,则a=b,c=d中至少有一个不成立.M•方法规律探究四种条件的判定方法.(1)定义推断法：分别去判断p nq和q n p是否成立，然后形成结论.(2)原、逆命题推断法：原真逆假O条件为：充分不必要；原假逆真O条件为：必要不充分；原真逆真o条件条件为：充要；原假逆假o条件为：不充分不必要.(3)逆否命题判别法：判断命题r pq的真假，改为判断其逆否命题q T p的真假．(4)集合推断法：具体内容见前面.(5)传递法：即p n p n p n…n p，得p n p.123n1nJ-课堂练习一、选择题1．下列语句不是命题的有①x2-3=0;②与一条直线相交的两直线平行吗？③3+1=5；④5x-3>6•A.①③④B.①②③C.①②④D.②③④解：①开句，不是命题•②疑问句，不是命题•③陈述句，并能判断为假，是命题，假命题•④开句，不是命答案：C.2.若M,N是两个集合，则下列命题中的真命题是A.如果M匸N,那么MPlN=MB.如果MPlN=N,那么M匸NC.如果M匸N，那么MUN=MD.如果MUN=N，那么N匸M答案：A.3.有下列四个命题：①“若x+y=0，则x,y互为相反数”的逆命题；②“若a>b，则a2>b2"的逆否命题；③“若x<-3，则x2+x-6>0”的否命题；④“若a b是无理数，则a,b是无理数”的逆命题；其中真命题的个数是A.0B.1C.2D.3解：①逆命题为：x,y互为相反数，则x+y=0•真命题.②逆否命题为：若a2<b2，则a<b•假命题.③否命题为：若x>-3，则x2+x-6<0•假命题(T x2+x-6<0o-3<x<2，x>-3匕-3<x<2).④逆命题为：若a,b是无理数，则a是无理数.假命题(T a=C2)'2,b=、2时，a=2不是无理数).答案：B.二、判断题4.把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假.(1)等边三角形的三个内角相等；(2)当a>0时，函数y=ax+b的值随x值的增加而增加.解：(1)若一个三角形是等边三角形，则它的三个内角相等.真命题.(2)当a>0时，若x的值增加，则函数y=ax+b的值也增加，真命题.5.把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假.(1)矩形的对角线相等；(2)线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；(4)实数的平方是非负数.解：(1)若一个四边形式矩形，则其对角线相等.真命题.(2)若一个点在线段的垂直平分线上，则它到线段两端点距离相等.真命题.(3)若一个能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除.真命题.(4)若一个为实数，则这个数的平方为非负数.真命题.6•给出以下命题，判断p是q的什么条件？（1）p:A=B,q:sinA=sin B;（2）p:x>2且y>3,q:x+y>5;（3）p:正方形，q:菱形；（4）p:a>b,q:—<.ab解：（1）充分不必要条件；（2）充分不必要条件；（3）充分不必要条件；（4）不充分不必要条件．二、解答题7.把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的否命题与和逆否命题．（1）ac>bc n a>b;（2）当m>-丄时，mx2-x+1=0无实根.4解：（1）若ac>bc，则a>b．否命题：若ac<bc，则ca<b．逆否命题：若a<b，则ac<bc．（2）右m>-1，则方程mx i-x+1=0无实根.否命题：若m<-1，则方程mxi-x+1=0有实根.44逆否命题：若方程mxi-x+1=0有实根，则m<-丄•48.有下列四个命题：①“若x+y=0，则x,y互为相反数”的逆命题；②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；③“若x<-3，则x2+x-6>0”的否命题；④“若a b是无理数，则a,b是无理数”的逆命题；其中真命题的个数是A.0B.1C.2D.3解：①逆命题为：x,y互为相反数，则x+y=0•真命题.②逆否命题为：若a2<b2，则a<b•假命题.③否命题为：若x>-3，则x2+x-6<0•假命题（T x+x-6<0o-3<x<2,x>-3匕-3<x<2）.2,b=、2时，a”=2不是无理数）.④逆命题为：若a,b是无理数，则a是无理数.假命题（T a=C2）答案：B.9.写出下列命题“若m<0且n<0，则m+n<0"的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假.解：逆命题：若m+n<0，则m<0且n<0.假命题.否命题：若m>0或n>0，则m+n>0.假命题.逆否命题：若m+n>0，则m>0或n>0.真命题.10.求证：若一个三角形的两条边不相等，则这两条边所对的角也不相等.分析：将“若一个三角形的两条边不相等，则这两条边所对的角也不相等”视为原命题.要证原命题为真命题，去证它的逆否命题“若一个三角形两条边所对的角相等，则这两条边相等”为真命题.证明：若一个三角形两条边所对的角相等，则这两条边相等.因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题.11.证明：若a2-b2+2a-4b-3丰0，贝Va一b丰1.分析：将"若a2-b+2a-4b-3丰0,则a-b主1”视为原命题•要证原命题为真命题，去证它的逆否命题"若a-b=1，贝9a2一b2+2a一4b一3=0”为真命题.证明：若a一b=1，贝0a=b+1，二a2一b2+2a一4b一3=(b+1)2一b2+2(b+1)一4b一3=2b+1+2b+2一4b一3=0,即a2一bi+2a一4b一3=0•因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题12.已知奇函数f(x)是定义在R上的增函数，a,b e R，若f(a)+f(b)>0，求证：a+b>0.分析：将"若f(a)+f(b)>0,则a+b>0”视为原命题•要证原命题为真命题，去证它的逆否命题"若a+b<0，则f(a)+f(b)<0”为真命题•证明："若a+b<0，a<-b・T f(x)为R上的增函数，f(a)<f(-b)，又知f(x)为奇函数，二f(a)<-f(b)，即f(a)+f(b)<0•因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题.。

一轮复习第二节命题及其关系、充分条件与必要条件

两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性
第 1 页共 4页第 2页共4页
【使用说明和学法指导】1.依据导学案，认真阅读选修1-1教材的基础知识；思考并自主探究问题，深化对教材内容的理解，找出自己的疑惑和需要讨论的问题，用红笔做好标记。

2.通过预习，A、B层同学能够全部掌握基本知识并能应用，完成学案中所有题目，C层同学注重理解性质，可以尝试完成拓展提升题目.
命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是(
．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
第 3 页共 4页第 4页共4页。

高考一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第2讲命题及其关系充分条件与必要条件

第二讲命题及其关系、充分条件与必要条件知识梳理·双基自测知识点一命题及四种命题之间的关系1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①若两个命题互为逆否命题，则它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．知识点二充分条件与必要条件若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且qpp是q的必要不充分条件pq且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分又不必要条件pq且qp重要结论1．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A B，则p是q的必要不充分条件；(6)若A B且AB，则p是q的既不充分也不必要条件．2．充分条件与必要条件的两个特征：(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．(2)传递性：若p 是q 的充分(必要)条件，q 是r 的充分(必要)条件，则p 是r 的充分(必要)条件，即“p ⇒q 且q ⇒r ”⇒“p ⇒r ”(“p ⇐q 且q ⇐r ”⇒“p ⇐r ”)．注意：不能将“若p ，则q”与“p ⇒q ”混为一谈，只有“若p ，则q”为真命题时，才有“p ⇒q ”，即“p ⇒q ”⇔“若p ，则q”为真命题．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)语句x 2－3x ＋2＝0是命题．( × )(2)命题“三角形的内角和是180°”的否命题是“三角形的内角和不是180°”．( × ) (3)已知集合A ，B ，则A∪B＝A∩B 的充要条件是A ＝B ．( √ ) (4)“α＝β”是“tan α＝tan β”的充分不必要条件．( × ) (5)“若p 不成立，则q 不成立”等价于“若q 成立，则p 成立”．( √ )[解析] (4)当α＝β＝π2时，tan α、tan β都无意义．因此不能推出tan α＝tan β，当tan α＝tan β时，α＝β＋k π，k∈Z，不一定α＝β，因此是既不充分也不必要条件．题组二走进教材2．(选修2－1P 8T3改编)下列命题是真命题的是( A ) A ．矩形的对角线相等 B ．若a>b ，c>d ，则ac>bd C ．若整数a 是素数，则a 是奇数 D ．命题“若x 2>0，则x>1”的逆否命题3．(选修2－1P 10T4改编)x 2－3x ＋2≠0是x≠1的充分不必要条件． [解析] x ＝1是x 2－3x ＋2＝0的充分不必要条件．题组三走向高考4．(2020·天津，2，5分)设a∈R，则“a>1”是“a 2>a ”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 易知a>1⇒a 2>a ，而a 2>a ⇒a<0或a>1，所以“a>1”是“a 2>a ”的充分不必要条件． 5．(2015·山东，5分)设m∈R，命题“若m>0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( D ) A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m>0 B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m≤0 C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m>0 D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m≤0 [解析] 由原命题和逆否命题的关系可知D 正确．6．(2018·北京，5分)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是f(x)＝sin_x(答案不唯一)．[解析]这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，且函数f(x)在[0，2]上不是增函数即可．如f(x)＝sin x，答案不唯一．考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点一命题及其关系——自主练透例1 (1)(2021·新高考八省联考)关于x的方程x2＋ax＋b＝0，有下列四个命题：甲：x＝1是该方程的根；乙：x＝3是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是( A )A．甲B．乙C．丙D．丁(2)(2021·长春模拟)已知命题α：如果x<3，那么x<5，命题β：如果x≥3，那么x≥5，则命题α是命题β的( A )A．否命题B．逆命题C．逆否命题D．否定形式(3)(多选题)下列命题为真命题的是( CD )A．“若a2<b2，则a<b”的否命题B．“全等三角形面积相等”的逆命题C．“若a>1，则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题D．“若3x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题(4)命题“若a＋b＝0，则a，b中最多有一个大于零”的否定形式为若a＋b＝0，则a，b都大于零，否命题为若a＋b≠0，则a，b都大于零．[解析](1)若乙、丙、丁正确，显然x1＝－1，x2＝3，两根异号，x1＋x2＝2，故甲错，因此选A．(2)命题α：如果x<3，那么x<5，命题β：如果x≥3，那么x≥5，则命题α是命题β的否命题．(3)对于A ，否命题为“若a 2≥b 2，则a≥b”，为假命题；对于B ，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于C ，当a>1时，Δ＝－12a<0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故C 正确；对于D ，原命题正确，因此该命题的逆否命题也正确，D 正确．故选C 、D ．(4)否定形式：若a ＋b ＝0，则a ，b 都大于零．否命题：若a ＋b ≠0，则a ，b 都大于零．名师点拨 MING SHI DIAN BO(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p ，则q”的形式，应先改写成“若p ，则q”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变．(2)判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例． (3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．考点二充分必要条件考向1 充分条件与必要条件的判断——师生共研方法1：定义法判断例2 ( 2020·北京，9，4分)已知α，β∈R，则“存在k∈Z 使得α＝k π＋(－1)kβ”是“sinα＝sin β”的( C )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)充分性：已知存在k∈Z 使得α＝k π＋(－1)kβ，(ⅰ)若k 为奇数，则k ＝2n ＋1，n∈Z，此时α＝(2n ＋1)π－β，n∈Z，sin α＝sin(2n π＋π－β)＝sin(π－β)＝sin β；(ⅱ)若k 为偶数，则k ＝2n ，n∈Z，此时α＝2n π＋β，n∈Z，sin α＝sin(2n π＋β)＝sin β. 由(ⅰ)(ⅱ)知，充分性成立．(2)必要性：若sin α＝sin β成立，则角α与β的终边重合或角α与β的终边关于y 轴对称，即α＝β＋2m π或α＋β＝2m π＋π，m∈Z，即存在k∈Z 使得α＝k π＋(－1)kβ，必要性也成立，故选C ．方法2：集合法判断例3 (2020·天津一中高三月考)设x∈R，则“|x－1|<4”是“x －52－x >0”的( B )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 解绝对值不等式可得－4<x －1<4，即－3<x<5，将分式不等式变形可得x －5x －2<0，解得2<x<5，因为(2，5)(－3，5)，所以“|x－1|<4”是“x －52－x >0”的必要而不充分条件．方法3 等价转化法判断例4 (1)给定两个条件p ，q ，若¬ p 是q 的必要不充分条件，则p 是¬q 的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)“已知命题p ：cos α≠12，命题q ：α≠π3”，则命题p 是命题q 的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)因为¬ p 是q 的必要不充分条件，则q ⇒¬ p ，但¬pq ，其逆否命题为p ⇒¬q ，但¬qp ，所以p 是¬q 的充分不必要条件．(2) ¬p ：cos α＝12，¬q ：α＝π3，显然¬q ⇒¬p ，¬p ¬q ，∴¬q 是¬p 的充分不必要条件，从而p 是q 的充分不必要条件，故选A ．另解：若cos α≠12，则α≠2kπ±π3(k∈Z)，则α也必然不等于π3，故p ⇒q ；若α≠π3，但α＝－π3时，依然有cos α＝12，故q p.所以p 是q 的充分不必要条件．故选A ．名师点拨 MING SHI DIAN BO有关充要条件的判断常用的方法(1)根据定义判断：①弄清条件p 和结论q 分别是什么；②尝试p ⇒q ，q ⇒p.若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件；若q ⇒p ，则p 是q 的必要条件；若p ⇒q ，qp ，则p 是q 的充分不必要条件；若pq ，q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件；若p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件．(2)利用集合判断记法 A ＝{x|p(x)}，B ＝{x|q(x)} 关系 ABBAA ＝BAB 且BA结论p 是q 的充分不必要条件p 是q 的必要不充分条件p 是q 的充要条件p 是q 的既不充分也不必要条件断¬q 是¬p 的什么条件．〔变式训练1〕(1)指出下列各组中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．①非空集合A ，B 中，p ：x∈(A∪B)，q ：x∈B；②已知x ，y∈R，p ：(x －1)2＋(y －2)2＝0，q ：(x －1)(y －2)＝0； ③在△ABC 中，p ：A ＝B ，q ：sin A ＝sin B ； ④对于实数x ，y ，p ：x ＋y≠8，q ：x≠2或y≠6.(2)(2020·天津部分区期末)设x∈R，则“x 2－2x<0”是“|x－1|<2”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)①显然x∈(A∪B)不一定有x∈B，但x∈B 一定有x∈(A∪B)，所以p 是q 的必要不充分条件．②条件p ：x ＝1且y ＝2，条件q ：x ＝1或y ＝2，所以p ⇒q 但qp ，故p 是q 的充分不必要条件． ③在△ABC 中，A ＝B ⇒sin A ＝sin B ；反之，若sin A ＝sin B ，因为A 与B 不可能互补(三角形三个内角之和为180°)，所以只有A ＝B ，故p 是q 的充要条件．④易知¬p ：x ＋y ＝8，¬q ：x ＝2且y ＝6，显然¬q ⇒¬p ，但¬p ¬q ，所以¬q 是¬p 的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p 是q 的充分不必要条件．(2)解不等式x 2－2x<0得0<x<2，解不等式|x －1|<2得－1<x<3，所以“x 2－2x<0”是“|x－1|<2”的充分不必要条件．故选A ．考向2 充要条件的应用——多维探究角度1 充要条件的探究例 5 (多选题)下列函数中，满足“x 1＋x 2＝0”是“f(x 1)＋f(x 2)＝0”的充要条件的是( BC )A ．f(x)＝tan xB ．f(x)＝3x －3－xC ．f(x)＝x 3D ．f(x)＝log 3|x|[解析] 因为f(x)＝tan x 是奇函数，所以x 1＋x 2＝0⇒f(x 1)＋f(x 2)＝0，但f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝0时，π4＋3π4≠0，不符合要求，所以A 不符合题意；因为f(x)＝3x －3－x 和f(x)＝x 3均为单调递增的奇函数，所以满足“x 1＋x 2＝0”是“f(x 1)＋f(x 2)＝0”的充要条件，符合题意；对于选项D ，由f(x)＝log 3|x|的图象易知不符合题意，故选BC ．注：满足条件的函数是奇函数且单调．角度2 利用充要条件求参数的值或取值范围例6 已知P ＝{x|x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x|1－m ≤x ≤1＋m}．若x ∈P 是x∈S 的必要条件，则m 的取值范围是[0，3]．[解析] 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x≤10，所以P ＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P 是x∈S 的必要条件，知S ⊆P.则⎩⎪⎨⎪⎧1－m≤1＋m ，1－m≥－2，1＋m≤10，所以0≤m≤3. 所以当0≤m≤3时，x∈P 是x∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0，3]．[引申1]若本例将条件“若x∈P 是x∈S 的必要条件”改为“若x∈P 是x∈S 的必要不充分条件”，则m 的取值范围是[0，3]．[解析] 解法一：由(1)若x∈P 是x∈S 的必要条件，则0≤m ≤3，当m ＝0时，S ＝{1}，不充分；当m ＝3时，S ＝{x|－2≤x≤4}也不充分，故m 的取值范围为[0，3]．解法二：若x∈P 是x∈S 的必要且充分条件，则P ＝S ，即⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10⇒m 无解，∴m 的取值范围是[0，3]．[引申2]若本例将条件“若x∈P 是x∈S 的必要条件”变为“若非P 是非S 的必要不充分条件”，其他条件不变，则m 的取值范围是[9，＋∞)．[解析] 由(1)知P ＝{x|－2≤x≤10)， ∵非P 是非S 的必要不充分条件， ∴S 是P 的必要不充分条件，∴P ⇒S 且SP. ∴[－2，10] [1－m ，1＋m]．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m≤－2，1＋m>10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m<－2，1＋m≥10. ∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．名师点拨 MING SHI DIAN BO充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)一定要注意端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．(3)注意区别以下两种不同说法：①p 是q 的充分不必要条件，是指p ⇒q 但qp ；②p 的充分不必要条件是q ，是指q ⇒p 但pq.(4)注意下列条件的等价转化：①p 是q 的什么条件等价于¬q 是¬p 的什么条件，②p 是¬q 的什么条件等价于q 是¬ p 的什么条件．〔变式训练2〕(1)(角度1)(多选题)(2020·江西赣州十四县市高三上期中改编)角A ，B 是△ABC 的两个内角．下列四个条件下，“A>B”的充要条件是( ABD )A ．sin A>sinB B ．cos A<cos BC ．tan A>tan BD ．cos 2A<cos 2B(2)(角度2)(2021·山东省实验中学高三诊断)已知p ：x≥k，q ：(x ＋1)(2－x)<0.如果p 是q 的充分不必要条件，那么实数k 的取值范围是( B )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1][解析] (1)当A>B 时，根据“大边对大角”可知，a>b ，由于a sin A ＝bsin B ，所以sin A>sin B ，则A 是“A>B”的充要条件；由于0<B<A<π，余弦函数y ＝cos x 在区间(0，π)内单调递减，所以cos A<cosB ，则B 是“A>B”的充要条件；当A>B 时，若A 为钝角，B 为锐角，则tan A<0<tan B ，则C 不是“A>B”的充要条件；当cos 2A<cos 2B ，即1－sin 2A<1－sin 2B ，所以sin 2A>sin 2B ，所以D 是“A>B”的充要条件；故选A 、B 、D ．(2)由q ：(x ＋1)(2－x)<0，可知q ：x<－1或x>2.因为p 是q 的充分不必要条件，所以x≥k ⇒x<－1或x>2，即[k ，＋∞)是(－∞，－1)∪(2，＋∞)的真子集，故k>2.故选B ．名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG抽象命题间充要条件的判定例7 已知p 是r 的充分不必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，现有下列命题：①r 是q 的充要条件；②p 是q 的充分不必要条件；③r 是q 的必要不充分条件；④¬p 是¬s 的必要不充分条件；⑤r 是s 的充分不必要条件，则正确命题的序号是( B )A ．①④⑤B ．①②④C ．②③⑤D ．②④⑤[分析] 本题涉及命题较多，关系复杂，因此采用“图解法”．[解析] 由题意得p，显然q ⇒r 且r ⇒s ⇒q ，即q ⇔r ，①正确；p ⇒r ⇒s ⇒q 且qp ，②正确；r⇔q ，③错误；由p ⇒s 知¬ s ⇒¬ p ，但sp ，∴¬ p ¬ s ，④正确；r ⇔s ，⑤错误．故选B ．名师点拨 MING SHI DIAN BO命题较多、关系复杂时，画出各命题间关系图求解，简洁直观，一目了然．〔变式训练3〕若p 是r 的必要不充分条件，q 是r 的充分条件，则p 是q 的必要不充分条件． [解析] 由题意可知q ⇒rp ，∴p 是q 的必要不充分条件．。

高考一轮数学文科：第2讲-命题及其关系、充分条件与必要条件ppt课件

[答案] [－3，0]
[解析] 由题意可知，ax2－2ax－3≤0 恒成立．当 a＝0 时，－3≤0 成立；当 a≠0 时，得aΔ<＝0，4a2＋12a≤0，解得－3≤a<0.故－3≤a≤0.
课前双基巩固
对点演练
7．已知 p 是 r 的充分不必要条件，s 是 r 的必要条件，q 是 s 的必要条件，那么 p 是 q 成立的______________条件．
[解析] D ∵逆否命题是将原命题的条件与结论互
换并分别否定，∴命题 “若 m>0，则方程 x2＋x －m＝0 有实根”的逆否命题是“若方程 x2＋x－m ＝0 没有实根，则 m≤0”．
真题在线
π 2．[2015·福建卷] “对任意 x∈（0， 2 ），ksin xcos x<x”是“k<1”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
例 1 (1)已知 a，b，c∈R，命题“若 a＋b＋c＝3，则 a2 ＋b2＋c2≥3”的否命题是( ) A．若 a＋b＋c≠3，则 a2＋b2＋c2<3 B．若 a＋b＋c＝3，则 a2＋b2＋c2<3 C．若 a＋b＋c≠3，则 a2＋b2＋c2≥3 D．若 a2＋b2＋c2≥3，则 a＋b＋c＝3 (2)[2016·安徽示范高中二联] 原命题为“△ABC 中，若 cos A<0，则△ABC 为钝角三角形”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( ) A．真，真，真 B．假，假，真 C．真，真，假 D．真，假，假
真题在线
证明：(1)( a＋ b)2＝a＋b＋2 ab，( c＋ d)2＝c＋d＋2 cd，由题设 a＋b＝c＋d，ab>cd，得( a＋ b)2>( c＋ d)2，因此 a＋ b> c＋ d. (2)(i)若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，即 (a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd. 因为 a＋b＝c＋d，所以 ab>cd. 由(1)得 a＋ b> c＋ d. (ii)若 a＋ b> c＋ d，则( a＋ b)2>( c＋ d)2，即 a＋b＋2 ab>c＋d＋2 cd. 因为 a＋b＝c＋d，所以 ab>cd. 于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2. 因此|a－b|<|c－d|. 综上， a＋ b> c＋ d是|a－b|<|c－d|的充要条件．

高考第一轮复习第二讲命题及其关系、充分条件与必要条件

第一章
集合与常用逻辑用语
判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？ (1)空集是任何集合的子集； (2)若整数a是素数，则a是奇数；
(3)指数函数是增函数吗？
(4)若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行； (5)x＞15.
第一章
集合与常用逻辑用语
【答案】 (1)是命题，真命题； (2)是命题，假命题；
【分析】 (1)用集合的观点考察问题，先写出綈p和綈q，然后，由綈q⇒綈p，但綈p 綈q来求m的取值范围；
(2)将綈p是綈q的必要不充分条件转化为p是q的充分不必要条件再求解．
第一章
集合与常用逻辑用语
【解析】法一由x2－2x＋1－m2≤0，得1－m≤x≤1＋m， ∴綈q：A＝{x|x＞1＋m或x＜1－m，m＞0}．由|1－ |≤2，得－2≤x≤10，
故p是q的充分不必要条件．
第一章
集合与常用逻辑用语
(2)若|x|＝x，则x2＋x＝x2＋|x|≥0成立．反之，若x2＋x≥0，即x(x＋1)≥0，则x≥0或x≤－1. 当x≤－1时，|x|＝－x≠x，因此，p是q的充分不必要条件．
第一章
集合与常用逻辑用语 l∥m，但l∥m⇒l∥α，， )时，
(3) 设 l ， m 均为直线， α 为平面，其中 l⊄α ， m⊂α ， p ： l∥α，q：l∥m；
(4)设α∈ ，
p：α＜β，q：tan α＜tan β.
第一章
集合与常用逻辑用语
【分析】 (1)先分清命题的条件与结论； (2)分析由前者能否推出后者，由后者能否推出前者，也可利用反例来推证．【解析】 (1)若a＋b＝2，圆心(a，b)到直线x＋y＝0的距离 d＝＝＝ r，所以直线与圆相切，反之，若直线与圆相切，则|a＋b|＝2，∴a＋b＝±2，

高三一轮复习_第一章_第二节_命题及其关系、充分条件与必要条件

d是实数，若a＋c＝b＋d，则a与b，c与d都相等”，假．
否命题“已知a，b，c，d是实数，若a与b，c与d不都相等，则a＋c≠b＋d”，假．
逆否命题“已知a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a与
b，c与d不都相等”，真．
解：(1)命题的否定：
若x2－5x－14＝0，则x≠7且x≠－2.假命题． (2)命题的否定：已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c≠b＋d，假命题．保持例题条件不变，试写出它们的否定，并
m>0 由 2 Δ ＝ 4 m ＋ 1 －4mm＋3<0 m>0 ⇒ m>1
⇒m>1.
故⑤正确．
答案： ②③⑤
5．已知P：x＋y≠2011；Q：x≠2000且y≠11，则P是Q的
________条件．
解析： P ¿ Q且Q ¿ P ∴P是Q的既不充分也不必要条件．答案：既不充分也不必要
(2)|x－1|<2的解集是A＝{x|－1<x<3}，x2－x－6<0的解
集是B＝{x|－2<x<3}，
∵A B，所以p是q的充分不必要条件． (3)因为命题“若xy≠0则x≠0或y≠0”的逆否命题是“若x ＝0且y＝0则xy＝0”显然是真命题，所以p⇒q；又因为命题“若x≠0或y≠0则xy≠0”的逆否命题是“若xy
否命题为假命题．答案：B
1 1 3．“x>2”是“x< ”的 2 A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件
(
)
D．既不充分也不必要条件
1 1 1 1 解析：x>2⇒x< ，但x< ¿ x>2. 2 2 1 1 ∴“x>2”是“x< ”的充分不必要条件． 2

高三第一轮总复习课件：第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件

• No.2 角度关键词：方法突破 • 建立命题p，q相应的集合：p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么从集合的观点看， • ①若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p 是q的充分不必要条件； • ②若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p 是q的必要不充分条件；
(两等号不同时成立)，得m≥6.
所以实数m的取值范围是m≥6. 解法二：设f(x)＝x2－4x＋4－m2(m>0)，若p是q成立的充分不必要条件， m>0 则有f(－2)≤0， f(8)≤0
(两等号不同时成立)，解得m≥6.
所以实数m的取值范围是m≥6.
• 【选题·热考秀】 • [2012·山东高考]设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝ ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在 R上是增函数”的( ) • A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 • C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
数m的取值范围．
• [审题视点] (1)先求出两命题的解集，即将命题化为最简． • (2)再利用命题间的关系列出关于m的不等式或不等式组，得出结论．
[解]
解法一：由q：x2－2x＋1－m2≤0，得1－
m≤x≤1＋m，所以綈q：A＝{x|x>1＋m或x<1－m，m>0}．
x－1 由|1－ 3 |≤2，解得－2≤x≤10，所以綈p：B＝{x|x>10或x<－2}．
• (1)定义法： • ①分清条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论； • ②找推式：判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假； • ③下结论：根据推式及定义下结论. • (2)等价转化法：,条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断.

第一轮复习讲义知识点二命题及其关系、充分条件与必要条件

命题及其关系、充分条件与必要条件考点知识梳理一、命题的概念1、命题的概念：在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句．．．．．．．．叫做命题．其中判断为真的语句叫．．．．．．．．__________，判断为假的语句叫．．．．．．．．__________。

2、命题的判断及命题真假的判定。

3、命题的形式：__________。

例1：给出以下五个结论：（1）经过点A(1x ，1y )， B(2x ，2y )两点的直线方程为：121y y y y --＝121x x x x --；（2）以A(1x ，1y )， B(2x ，2y )两点为直径的两个端点的圆的方程为：(x －1x )(x －2x )＋(y －1y )(y －2y )＝0；（3）平面上到两个定点F 1，F 2的距离的和为常数2a 的点的轨迹是椭圆；（4）平面上到两个定点F 1，F 2的距离的差为常数2a (2a ＜︱F 1F 2︱)的点的轨迹是双曲线；（5）平面上到定点F 和到定直线l 的距离相等的点的轨迹是抛物线。

其中正确的结论有（）A ：4个B ：3个C ：2个D ：1个【解析】：D （2）正确变式练习1：下列命题中是真命题的是（）A ：若︱a ︱≠︱b ︱，则a ≠－bB ：y ＝cos 2x 的最小正周期为2πC ：若M ∩N ＝M ，则M ⊆ND ：在△ABC 中，若·＞0，则B 为锐角【解析】：C变式练习2：设α、β、γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，给出下列四个结论：（1）若α⊥β，l ⊥β，则l ∥α；（2）若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β；（3）若在直线l 上有两个点到α的距离相等，则l ∥α；（4）若α⊥β，γ∥α，则γ⊥β。

其中正确命题的序号是（） A ：（1）（2） B ：（1）（4） C ：（2）（4） D ：（3）（4）【解析】：C二、四种命题及其关系1、四种命题的形式：原命题：___________ 逆命题：___________ 否命题：___________ 逆否命题：___________2、四种命题及相互关系（如右图）3、四种命题的真假关系（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。