《数学分析》 第十六章 多元函数的极限与连续 2

§2
二元函数的极限
二元函数的极限的概念
设 函 数 z = f ( x, y) 的 定 义 域 为 D, P0 ( x 0 , y 0 ) 是其聚点 , 如果对于任意给定的 是其聚点, 正数 ε , 总存在正数δ , 使得对于适合不等式 0 <| PP0 |= ( x x 0 ) 2 + ( y y 0 ) 2 < δ 的 一 切 成立, 点,都有| f ( x , y ) A |< ε 成立,则称 A 为函数 z = f ( x , y ) 当 x → x 0 , y → y 0 时的极限, 时的极限, 记为 lim f ( x , y ) = A 定义 1 (或 f ( x , y ) → A ( ρ → 0)这里 ρ =| PP0 |).
2 2
y 的定义域是______________. 的定义域是______________ ______________. y 7, 的定义域是_______________ _______________. 7 ,函数 z = arcsin 的定义域是_______________. x y2 + 2x 8, 的间断点是________________ ________________. 8 ,函数 z = 2 的间断点是________________. y 2x
x y x2 + y2
2
sin( x 2 y ) 1 ≤ x x →0→ 0, ∴ lim x 2 + y 2 = 0. x →0 2 y →0
x3 y 不存在. 例4 证明 lim 6 2 不存在. x →0 x + y y →0
证
3 取 y = kx ,
x3 y x 3 kx 3 k lim 6 , 2 = lim 6 2 6 = 2 x →0 x + y x →0 x + k x 1+ k 3 y→ 0
( x , y )→ ( x 0 , y 0 )
lim
f ( x, y) = A?
思考题解答
不能. 不能
x3 y2 例 f ( x , y ) = 2ห้องสมุดไป่ตู้4 2 , ( x , y ) → ( 0, 0 ) (x + y )
取 y = kx , 但是
x3 k 2 x2 → f ( x , kx ) = 2 4 4 2 x→ 0 0 ( x +k x )
3
3
x y x y 图形, lim 6 不存在. 不存在 观察 z = 6 2 x →0 x + y 2 x +y y →0
3
3
x y x y 图形, lim 6 不存在. 不存在 观察 z = 6 2 x →0 x + y 2 x +y y →0
3
3
x y x y 图形, lim 6 不存在. 不存在 观察 z = 6 2 x →0 x + y 2 x +y y →0
2
≥ y; 7,{( x , y ) x > 0, x ≤ y ≤ x} ∪ {( x , y ) x < 0, x ≤ y ≤ x}; 8, ( x , y ) y 2 2 x = 0 . 1 2, 3, 二,1, ; 2 ,0; 3, + ∞ . 4
2
{ 6,{( x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0, x { }
2 2
1 0 证 ( x + y ) sin 2 2 x +y 1 2 2 2 2 = x + y sin 2 2 ≤ x + y x +y ε > 0, δ = ε ,
2 2
当 0 < ( x 0 ) 2 + ( y 0 ) 2 < δ 时,
1 ( x + y ) sin 2 0 <ε 2 x +y
}
}
x y x y 图形, lim 6 不存在. 不存在 观察 z = 6 2 x →0 x + y 2 x +y y →0
3
3
x y x y 图形, lim 6 不存在. 不存在 观察 z = 6 2 x →0 x + y 2 x +y y →0
3
3
x y x y 图形, lim 6 不存在. 不存在 观察 z = 6 2 x →0 x + y 2 x +y y →0
利用点函数的形式有n 元函数的极限
定 义 2 设 n 元 函 数 f (P ) 的 定 义 域 为 点 集 D , P0 是其聚点,如果对于任意给定的正数ε , 是其聚点, 总存在正数δ ,使得对于适合不等式 0 <| PP0 |< δ 的 一 切 点 P ∈ D , 都 有 | f ( P ) A |< ε 成立,则称 A 为n 元函数 f (P ) 成立, 时的极限, 当 P → P0 时的极限,记为 lim f ( P ) = A .
3
3
x y x y 图形, lim 6 不存在. 不存在 观察 z = 6 2 x →0 x + y 2 x +y y →0
3
3
x y x y 图形, lim 6 不存在. 不存在 观察 z = 6 2 x →0 x + y 2 x +y y →0
3
3
x y x y 图形, lim 6 不存在. 不存在 观察 z = 6 2 x →0 x + y 2 x +y y →0
3
3
x y x y 图形, lim 6 不存在. 不存在 观察 z = 6 2 x →0 x + y 2 x +y y →0
3
3
x y x y 图形, lim 6 不存在. 不存在 观察 z = 6 2 x →0 x + y 2 x +y y →0
3
3
x y x y 图形, lim 6 不存在. 不存在 观察 z = 6 2 x →0 x + y 2 x +y y →0
P → P0
小结
多元函数的定义 多元函数极限的概念
(注意趋近方式的任意性) 注意趋近方式的任意性) 任意性
多元函数连续的概念 闭区域上连续函数的性质
思考题
若点 ( x , y ) 沿着无数多条平面曲线趋向于 点( x0 , y0 ) 时,函数 f ( x , y ) 都趋向于 A,能否 , 断定
6, 6 ,函数 z =
x
二,求下列各极限: 求下列各极限: 2 xy + 4 1 ,lim ; x→0 xy y→0 2 ,lim
sin xy ; x →0 x y→0
1 cos( x 2 + y 2 ) 3 ,lim . x→0 ( x 2 + y 2 ) x 2 y 2 y→0
x +y xy + 1 1 四,证明极限 lim 不存在 . x→0 x+ y y→0
f ( x , y ) 不存在 不存在.
1 y6 y2 2 f ( y , y) = 4 4 2 → . 4 (y +y )
( x , y )→ ( 0 , 0 )
lim
原因为若取x = y 2 ,
练习 题
填空题: 一 , 填空题:
x ____. 1 , 若 f ( x , y ) = x + y xy tan ,则 f ( tx , ty ) =____. y x2 + y2 2, 若 f ( x, y) = , 则 f ( 2,3) = __________; __________; ______ 2 xy y ________________. f (1, ) = ________________. x x2 + y2 y ________. ( y > 0) , 则 f ( x ) = ________. 3, 若 f ( ) = x y y _________. 4 , 若 f ( x + y , ) = x 2 y 2 , 则 f ( x , y ) = _________. x 4x y2 的定义域是__________ __________. 函数 z = 的定义域是__________. 2 2 ln(1 x y )
3
3
�
y = kx
其值随k的不同而变化, 其值随 的不同而变化, 的不同而变化 故极限不存在. 故极限不存在.
x y x y 图形, lim 6 不存在. 不存在 观察 z = 6 2 x →0 x + y 2 x +y y →0
3
3
播放
确定极限不存在的方法: 确定极限不存在的方法: 不存在的方法
(1)令 P ( x , y ) 沿 y = kx 趋向于 P0 ( x 0 , y 0 ) ,若 )
x →0 y→0 2 2
三,证明:lim 证明:
xy
= 0.
练习题答案
13 1, 2, 一 , 1, t f ( x , y ) ; 2, , f ( x , y ) ; 12 1 + x2 2 1 y 3, 4, 3, ; 4, x ; x 1+ y 5, ( x , y ) 0 < x 2 + y 2 < 1, y 2 ≤ 4 x ;
2 2
原结论成立. 原结论成立.
sin( x 2 y ) . 例3 求极限 lim 2 2 x→0 x + y y→0
解
sin( x 2 y ) lim 2 x →0 x + y 2 y →0
sin( x 2 y ) x 2 y , = lim 2 2 2 x →0 x y x +y y→ 0
sin( x 2 y ) u = x 2 y sin u lim lim = 1, 其中 x →0 2 u→ 0 x y u y →0