【习题 第三章 投影法和点、直线、平面的投影】
点、直线、平面的投影
3、三视图之间的度量关系 “长对正，高平齐，宽相等”
4、三视图与物体方位的关系
主视图——物体的左右和上下关系 左视图——物体的上下和前后关系 侧视图——物体的左右和前后关系
5、三视图的作图步骤 （1）作投影轴及450辅助线 （2）从主视图入手,按照“长对正、高平齐、宽相等”原则作三视图 （3）擦除投影轴、450辅助线及其它作图辅助线
正面V与水平面 H的交线——OX轴
侧面W与水平面 H的交线——OY轴
三条轴线交点为原点O
正面V与侧面W的交线——OZ轴
2、三视图的形成
三视图的组成：主视图（尽量反映物体的主要特征）、俯视图、左视图
三个视图均在一个平面上，三个视图的相对位置不能变动
画视图时，投影面的边框和投影轴不必画出
三个视图的名称不必标注
（4）检查无误后加粗轮廓
例题1：习题集P7 §2-2 点的投影
一、点的三面投影 点的三面投影均在一个平面上，均用小写字母来表示
二、点的三面投影与直角坐标的关系
V 、H、 W面相当于坐标面 投影轴OX 、 OY、 OZ相当于X 、 Y、 Z 轴 原点O相当于坐标原点O 第一分角内的点，其坐标植均为正 每一个投影均能反映点的两个坐标植 例题2：已知点A（20，10，20），求作其三面投影
（2）在另两个投影面上的投影与投影轴平行且反映实长（“实形 性”）；
3、一般位置直线的投影 一般位置直线：同时倾斜于三个投影面的直线 投影特点：（1）三个投影都倾斜于投影轴，且其与投影轴的夹角都不反映直线 对投影面的真实倾角；
（2）三面投影的长度都短于实长 ； （练习及总结） 例题6：已知水平线AB的端点A的投影，直线与V面夹角为300，AB长12mm且B在A 的右前方，求做直线AB的三面投影。 三、点与直线
《机械制图习题集》(第四版)答案
一、点、直线、平面的投影1.1 点的投影∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙第24～24页习题1.2 直线的投影∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙第25～27页习题1.3 平面的投影∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙第28～29页习题1.4 直线与平面、平面与平面相对关系∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙第30～32页习题1234题号：题号：56789101112131415题号：161718192021题号：2223242526272829303132333435363738391.5 换面法∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙第33～35页习题1.6 旋转法∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙第36～36页习题1.7 投影变换综合题∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙第37～37页习题点、直线、平面的投影题号：404142434445464748495051题号：525354555657题号：58596061621. 已知A、B、C三点的直观图，画出它们的投影图，并将各点的坐标值填入表中。
2. 已知A、B、C各点对投影面的距离，画出它们的三面投影图和直观图。
3. 已知点Ａ的坐标（40，15，0），画出其三面投影并作出点Ｂ和点Ｃ的三面投影。
（a）点B ——在点Ａ右面20mm，前面15mm，上面20mm；（b）点C ——在点Ａ左面10mm，后面15mm，上面15mm。
第三章 点、线、面的投影
29
10IM1
2)平行于V面,同时倾斜于H、W面的直线称为正平线,见 表3-2中CD线。
3)平行于W面,同时倾斜于H、V面的直线称为侧平线,见 表3-2中EF线。
30
10IM1
名称
表3-2 投影面平行线
立体图
投影图
投影特性
水
1.a'b'∥OX,a″
平
b″∥OYW
线
2.ab=AB
3
10IM1
第一节 点 的 投 影 点、线、面是构成各种形体的基本几何元
素,它们是不能脱离形体而孤立存在的,研究点、 线、面的投影规律,有助于认识形体的投影本质, 掌握形体的投影规律。
一、点的三面投影及其规律
4
10IM1
如图3-1a所示,空间点A放置在三面投影体系中,过点A分 别作垂直于H面、V面、W面的投射线,投射线与H面的交点 (即垂足点)a称为A点的水平投影(H投影);投射线与V面的交 点a'称为A点的正面投影(V投影);投射线与W面的交点a″称 为A点的侧面投影(W投影)。
图3-5 投影面上的点
18
10IM1
(2)投影轴上的点 当点的三个坐标中有两个坐标为零时,则 该点在某一投影轴上。如图3-6a所示,D点在X轴上,E点在Y轴 上,F点在Z轴上。对于D点而言,其H投影d、V投影d'都与D点 重合,并在OX轴上;其W投影d″与原点O重合。同样可得出E 、F两点的投影,如图3-6b所示。
建筑工程制图与识图
主编
第三章 点、线、面的投影 【学习目标与能力要求】
本章主要介绍立体表面点、直线、平面投 影的基本概念及其投影特性。通过学习,应该达 到以下要求:
1.掌握点的类型、投影特性和两点的相对位置,了解重
机械制图-点、直线、平面的投影
在机械制图中，特殊位置点常用于 确定物体的形状和大小，如交点、 切点等。
03 直线投影
直线在三投影面体系中的投影
正投影
直线在正投影面上的投影 与原直线平行或重合，且 长度不变。
侧投影
直线在侧投影面上的投影 与原直线垂直，且高度不 变。
水平投影
直线在水平投影面上的投 影与原直线平行，且长度 不变。
直线上的点的投影特性
点在直线上
点的投影在直线的投影上，且与 原点在同一平面内。
点在直线外
点的投影在直线的投影外，且与 原点不在同一平面内。Leabharlann 两直线的相对位置与投影特性
平行线
两直线在正投影面上的投影平行， 且高度相等。
交叉线
两直线在正投影面上的投影相交， 且高度相等。
垂直线
两直线在正投影面上的投影垂直， 且高度相等。
机械制图-点、直线、平面的投影
目 录
• 引言 • 点投影 • 直线投影 • 平面投影 • 实际应用与案例分析 • 总结与展望
01 引言
主题简介
01
机械制图是工程领域中用于表达 和交流设计思想的一种语言，而 点、直线和平面的投影是机械制 图的基础。
02
本主题将介绍点、直线和平面在 机械制图中的投影原理和方法， 帮助读者更好地理解和应用机械 制图。
投影法概述
投影法是将三维物体转换为二维图形 的方法，是机械制图中的基本技术。
投影法分为中心投影法和平行投影法 ，其中平行投影法又分为正投影法和 斜投影法。
02 点投影
点在三投影面体系中的投影
点的三面投影
一个点在三投影面体系中分别在H面、 V面和W面上投下影子，形成三个投 影点。
工程制图第三章习题答案
第三章 立体的投影
3-1 立体的投影及表面取点和线
6. 画出立体的第三投影并补全点和线的其他两投影 答案
a' c'
(b')
a" c" b"
1.取特殊点 用素线法取A
用纬圆法取B C在前、后转
向轮廓线上。
3.取一般点
14页
b ca
4.连线。
工程制图第三章习题答案
第三章 立体的投影 3-1 立体的投影及表面取点和线
QV R2
QW R1
步骤: 1.取特殊点 2.取一般点
19页
工程制图第三章习题答案
答案
续
6. 求偏交圆台和球相贯线的投影。
TV
TW
QV
QW
步骤: 1.取特殊点 2.续取一般点 3.连线
答案
两条虚线
19页
工程制图第三章习题答案
例
第三章 立体的投影
3-4 两回转体的相贯线
5. 求正交圆锥和圆柱相贯线的投影。 答案
纬 圆 法 取 点
19页
工连程制线图第：三章两习题个答案椭圆
6. 求偏交圆台和球相贯线的投影。
最
步骤:
高
1.取特殊点
最
低
点 QH
所
R
在
PH
19页面 最前、最后点的位工置程在制图P第H三上章习题答案
答案
续
6. 求偏交圆台和球相贯线的投影。
c′ a′ b′
(c〞) a〞
b〞
14页
(b) a
c
工程制图第三章习题答案
第三章 立体的投影
3-1 立体的投影及表面取点和线
5. 画出立体的第三投影并补全点和线的其他两投影 答案
最全机械制图习题全集附带答案(答案)
机械识图习题集第一章制图的基本知识和技能1．图纸的幅面按尺寸大小可分为5 种，其代号分别为A0，A1，A2，A3，A4。
2．图纸格式分为留有装订边和不留装订边两种，按照标题栏的方位又可将图纸格式分为X型和Y型两种。
3．标题栏应位于图纸的右下角，一般包含以下四个区：更改区、签字区、名称及代号区、其他区，标题栏中的文字方向为水平。
4.比例是指图中图形与其实物相应要素的线性尺寸之比。
图样上标注的尺寸应是机件的最后完工尺寸尺寸，与所采用的比例无关。
5.常用比例有原值比例、放大比例和缩小比例三种；比例1：2是指实物是图形的2倍，属于缩小比例；比例2：1是指图形是实物的2倍，属于放大比例。
6.比例的选择原则是：作图时应尽量采用原则比例，需要时也可采用放大或缩小的比例。
无论采用何种比例，图样中所注的尺寸，均为机件的最后完工尺寸。
7．图样中书写的汉字、数字和字母，必须做到字体工整、笔划清除、间隔均匀、排列整齐，汉字应用长仿宋体书写，数字和字母应书写为斜体或直体。
8．字号指字体的高度，图样中常用字号有3.5,5,7,10号四种。
9．常用图线的种类有粗实线、细实线、波浪线、细虚线、细点画线、双点画线等六种。
10．图样中，机件的可见轮廓线用粗实线画出，不可见轮廓线用细虚线画出，尺寸线和尺寸界线用细实线画出，对称中心线和轴线用细点画线画出。
虚线、细实线和细点划线的图线宽度约为粗实线的一半。
11．图样上的尺寸是零件的最后完工尺寸，尺寸以mm为单位时，不需标注代号或名称。
12．标注尺寸的四要素是尺寸界线、尺寸线、箭头、尺寸数字。
13．尺寸标注中的符号：R表示半径，φ表示直径，Sφ表示球面直径，SR表示球面半径，S表示斜度，C表示锥度。
14．标注水平尺寸时，尺寸数字的字头方向应朝上；标注垂直尺寸时，尺寸数字的字头方向应朝左。
角度的尺寸数字一律按水平位置书写。
当任何图线穿过尺寸数字时都必须断开。
15．斜度是指一直线（或平面）对一直线（或平面）的倾斜程度，写成1：n 形式，用符号S 表示。
工程制图 03空间点、直线和平面的投影分析
1.15
第3章 空间点、直线和平面的投影分析 章 空间点、
3.2 空间直线的投影分析
(a) 图3.5 直线的投影
1.16
(b)
第3章 空间点、直线和平面的投影分析 章 空间点、
3.2 空间直线的投影分析
3.2.2 直线相对于投影面的位置及其投影特性
直线与投影面的相对位置有3种 投影面平行线、 直线与投影面的相对位置有 种：投影面平行线、投影面垂直线和 一般位置直线。前两种直线又统称为特殊位置直线。 一般位置直线。前两种直线又统称为特殊位置直线。 直线和它在投影平面上的正投影之间所成的锐角称为此直线对该平 面的倾角。本书约定：直线与H、 、 三投影面所成的角分别用 面的倾角。本书约定：直线与 、 V、W三投影面所成的角分别用 ，，表示 如图3.6(a)所示。当直线平行于投影面时，倾角为 °； 表示， 所示。 ，，表示，如图 所示 当直线平行于投影面时，倾角为0° 垂直于投影面时为90° 倾斜于投影面时，则倾角在0° 垂直于投影面时为 °；倾斜于投影面时，则倾角在 °和90°之 ° 间。 1. 一般位置直线 一般位置直线对投影面V、 、 均为倾斜 均为倾斜， 一般位置直线对投影面 、 H、W均为倾斜， 两端点的坐标差都不 等于零。如图3.6(a)所示的直线 ，由此可得一般位置直线的投影 所示的直线AB， 等于零。如图 所示的直线 特性。 特性。
1.14
第3章 空间点、直线和平面的投影分析 章 空间点、
3.2 空间直线的投影分析
3.2.1 直线的表示法
如已知两点A(xA，yA，zA)和B(xB，yB，zB)的空间位置，可首先绘出该两 的空间位置， 如已知两点 和 的空间位置 点的三面投影，如图3.5(a)所示，然后将两点的同面投影相连，即可得直 所示， 点的三面投影，如图 所示 然后将两点的同面投影相连， 线的三面投影，如图3.5(b)所示。由此也可得出结论：在一般情况下， 所示。 线的三面投影，如图 所示 由此也可得出结论：在一般情况下， 直线的投影仍是直线(不变性 不变性)。 直线的投影仍是直线 不变性 。而当直线上两点为某一投影面上的重影 点时，直线即垂直于该投影面，直线在该投影面上会积聚为一点(积聚性 点时，直线即垂直于该投影面，直线在该投影面上会积聚为一点 积聚性 )。 。
建筑工程技术《第3章 投影基本知识》
第三章投影的基本知识3．1 投影的形成与分类一、投影的概念产生投影必须具备：1、光线——投影线；2、形体——只表示物体的形状和大小，而不反映物体的物理性质；3、投影面——影子所在的平面。
投影三要素：投影线；物体；投影面。
二、投影的分类投影分为两种：中心投影和平行投影。
1、中心投影法——由点光源产生放射状的光线，使形体产生投影，叫做中心投影。
2、平行投影法——当点光源向无限远处移动时，光线与光线之间的夹角逐渐变小，直至为0，这时光线与光线互相平行，使形体产生的投影，叫做平行投影。
平行投影又分为正投影和斜投影。
正投影是投影线与投影面垂直的投影。
正投影具有作图简单，度量方便的特点，被工程制图广泛应用，其缺点是直观性较差，投影图的识读较难。
标高投影是带有数字的正投影图。
投影线与投影面倾斜的投影称为斜投影，这种投影直观性较好，但视觉效果没有中心投影图逼真。
三、平行投影的特性定比性；积聚性；类似性；平行性；度量性；3 2 三面投影图一、投影面的设置三面投影的必要性。
由于三面投影图能唯一的确定形体的形状，因此，作形体投影图时，应建立三面投影体系，即水平投影面（H）、正立投影面V、和侧立投影面W。
形体在三面投影体系中的投影，称作三面投影图。
二、三面投影图的形成及展开规则1、水平投影图水平投影面用字母H表示，形体的水平投影反映形体的长度和宽度。
2、正面投影图正立投影面用字母V表示，形体的正面投影反映了形体的长度和高度，如图所示。
3、侧面投影图侧立投影面用字母W表示，形体的侧立投影反映了形体的高度和宽度。
三、三面投影图的特性作形体投影图时，形体的位置不变，展开后，同时反映形体长度的水平投影和正面投影左右对齐——长对正，同时反映形体高度的正面图和侧面图上下对齐——高平齐，同时反映形体宽度的水平投影和侧面投影前后对齐——宽相等。
“长对正、高平齐、宽相等”是形体三面投影图的规律，无论是整个物体，还是物体的局部都符合这条规律。
第三章 点、直线、平面的投影
C b
O
|YA-YB| X
a b
ab
AB
a
|YA-YB|
|YA-YB|
ab
3 求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角
Z
b b Z a
B
a X A a
b a X b a Y a YH O
O b
b YW
|XA-XB|
直线实长
直线实长
直线实长
△Z
△Y
△X
α
水平投影长
β
第三章 点、直线、平面的投影
第一节 点的投影 第二节 直线的投影 第三节 平面的投影
第三章 点、直线、平面的投影
3-1 点的投影
一、点的三面投影
二、点的投影与直角坐标的关系
三、点的投影规律
四、空间点的相对位置
一、点的三面投影
为了统一起见，规定空间点用大写字母表示，如A、B、C等； 水平投影用相应的小写字母表示，如a、b、c等；正面投影用 相应的小写字母加撇表示，如a′、b′、c′；侧面投影用相 应的小写字母加两撇表示，如a″、b″、c″。
b
d d c
b
a
d
A
b
a
例：判断图中两条直线是否平行。
①
a
a c c c d c b d a b a b b d c b d a c b d
AB与CD平行。
对于一般位置直线， 只要有两组同名投影互 相平行，空间两直线就 平行。
②
a
d
AB与CD不平行。
对于特殊位置直线， 只有两组同名投影互相 平行，空间直线不一定 平行。
a
X A a O bo b
工程制图 第三章 投影法及点线面投影
即： AC : CB = ac : cb
B C A a c b b c a c A B C C B b A
a
工程图学基础/机械设计制图 4. 相交二直线的投影也必然相交，交点的投影必是 其投影的交点。
F
B A E b a e f a c k d C K B D
A
b
5. 两平行直线的投影仍然互相平行，且其长度之比投 影后保持不变。
与三个投影面都倾斜
一般位置平面
工程图学基础/机械设计制图
平面对三投影面均倾斜 — 一般位置平面
V
平面相于投影面W 的位置可归纳为 几类？
H
工程图学基础/机械设计制图
一般位置平面的投影
投影特性： 三个投影都为类似形。
b c
a b a
b
c
a
c
工程图学基础/机械设计制图
V W V W
H
V
e f
a(b)
c
投影特性:
① 在其垂直的投影面上，投影有积聚性。 ② 另外两个投影反映线段实长，且垂直 于相应的投影轴。
工程图学基础/机械设计制图
3） 一般位置直线
V
b B
a
β
b b
W X
Z
b a
a
O
γ
A
a H
a b a
Y
b
Y
投影特性
三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角 并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个 投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段 的实长。
解法二： （应用定比定理）
a
●
k b
●
●
b
b k● a
k● a
土木工程制图第三章点直线和平面的投影
a c
b
dH
AB∥CD，则ab∥cd、a′b′∥c′d′、a"b"∥c"d" AB∶CD=ab∶cd=a′b′∶c′d′=a"b"∶c"d"
土木工程制图
判断方法： 若两直线的三组同面投影都平行：则两直线在空间平行。 若两一般位置直线：任意两组同面投影平行，则可判断两直线在空间平行。 若两直线同时平行于某一投影面：则需通过两直线在该投影面上的投影来判断；或者通过定比性和指向来判断。
； 3）按投影关系求得b″。
2.重影点
a ●
空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点
c●
为该投影面的重影点。
土木工程制图
a ● ● c
被挡住的投影加( )
a●c( ) A、C为哪个投影面的重影点呢？
A、C为H面的重影点
重影点
土木工程制图
H面重影点
V面重影点
W面重影点
土木工程制图
例5：已知形体的立体图及投影图，试在投影图 上标记形体上的重影点的投影，如下图所示。
土木工程制图
b′
k′ a′ X b k
a
b′
k′ a′ OX b k
a
b′
k′ a′ OX b k k1 a1 a
Z b″ k″
O
YH
a″ YW
三、两直线的相对位置关系
空间两直线的相对位置
分为
平行 相交 交叉 垂直
土木工程制图
厂房形体
1.平行两直线
土木工程制图
投影特性：
b a
A
V d
第三章 点、直线、平面的投影
侧垂线（垂直于W面，同时平行于H、V面的直线）
V
Z a b ab B W O a Ha X O YW a b Z a(b)
A X
b YH
b
Y
侧面投影积聚为一点；水平投 影及正面投影平行于OX轴，且 反映实长。
投影面垂直线的投影特性
投影面垂直线的投影特性可概括如下：
（1）直线在它所垂直的投影面上的投影积聚成一点；
c'
c
例3：已知C点在直线AB上，求作C点的水平投影。
1、用等比分割作图 2、利用侧面投影作图
a" c" b"
c c
例4：根据投影图判断C点是否在直线AB上。
求解一般位置直线的实长及倾角
根据一般位置直线的投影求解其实长及 倾角是画法几何综合习题中的常遇见的基本 问题之一，也是工程实际中经常需要解决的 问题。而用直角三角形法求解实长及倾角最 为简便、快捷。
一、直线投影的形成
连两 影 一 况 即个 ， 直 下 可点 只 线 仍 由 。的 需 ， 为 于 投作故直直 影出要线线 ，已获，的 再知得且投 将直直两影 它线线点一 们上的决般 相的投定情
V
a'
b'
B
X
A
O b a H
直线的分类
投影面垂直线 特殊位置直线
直 线
投影面平行线 一般位置直线
二、特殊位置直线
水平投影到OX轴的距 离等于侧面投影到OZ轴 的距离（宽相等）。
a
ay YH
可得出点的投影特性如下： （1）点的投影的连线垂直于相应的投影轴。
（2）点的投影到投影轴的距离，反映该点到相应的投影面的距离。
【例3-1】 已知点A的水平投影a和正面投影a′，求其 侧面投影a″ 解: 作图步骤如下
工程制图第3章答案
3．两直线交叉
交叉两直线各组同面投影不会都平行，特殊情况下可能有一两组 平行；其各组同面投影交点的连线与相应的投影轴不垂直，即不符合 点的投影规律。
重影点 反之，如果两直线的投影既不符合平行两直线的投影特性，也不 符合相交两直线的投影特性，则该两直线空间为交叉两直线。
4．两直线垂直
一般情况下，在投影图中不能确定空间两直线是否垂直， 但当直线处于特殊位置时可以直接从投影图中判断：
三、正投影的基本性质
1. 实形性
2．积聚性
∟
三、正投影的基本性质
3.类似性
4．平行性
三、正投影的基本性质
5．定比性
6．从属性
3-2 三视图的形成及其投影关系
一、 三视图的形成
1. 三投影面体系的建立
物体的一个投影不能确定空间物体的形状。
怎吗办？
建立三面投影体系
2．三视图的形成
主视图
左 视图
[例3-4] 已知点A(15,10,12)，求作点A的三面投影图。
作图步骤如下：
1.自原点O沿OX轴向左量取x=15,得点 ax 2.过ax作OX轴的垂线，在垂线上自ax向下量取y=10,得点A的水平投影a 向上量取z=12,得点A的正面投影a
3.根据点的投影规律，可由点的两个投影作出第三投影 a 。
★ 我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。
[例3-11] 求一般位置直线MN与铅垂面ABC的交点 分析： 作图：
判可见性：
[例3-12] 求铅垂线MN与一般位置平面△ABC的交点 分析： 作图：
判可见性：
⒉ 两平面相交
两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共 有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。
点直线平面投影知识点
点直线平面投影知识点投影是几何学中的一个重要概念，它描述了一个物体在某个平面上的阴影或映像。
在几何学中，我们经常需要计算点、直线或平面在一个给定平面上的投影，以便更好地研究物体的形状和位置。
本文将介绍点、直线和平面在投影过程中的一些基本知识点。
1.点的投影点的投影是指一个点在一个给定平面上的映像。
当我们将一个点垂直投影到一个平面上时，投影点与原点和投影平面上的点构成的直线相垂直。
我们可以使用垂直投影的概念来计算点的投影坐标。
2.直线的投影直线的投影是指一个直线在一个给定平面上的映像。
当直线与投影平面垂直时，其投影为一条线段，两者之间的关系是平行的。
当直线与投影平面不垂直时，其投影为一个线段或线段的集合，我们可以使用投影法来计算直线的投影。
3.平面的投影平面的投影是指一个平面在一个给定平面上的映像。
我们可以使用平行投影或透视投影来计算平面的投影。
平行投影时，平面的投影与原平面平行，透视投影时，平面的投影会根据视点的位置而有所变化。
4.投影的性质投影的性质是指投影过程中的一些重要特点。
首先，投影不改变物体之间的相对位置关系，即在投影平面上两个点的距离与它们在原物体上的距离相等。
其次，正交投影保持直线的直线性质，即投影线段仍然是直线。
最后，平行投影保持平面的平面性质，即投影平面上的点仍然在同一个平面上。
综上所述，点、直线和平面的投影是几何学中的基本概念。
了解投影的计算方法和性质可以帮助我们更好地理解物体的形状和位置。
通过使用适当的数学方法和工具，我们可以计算出物体在给定平面上的投影，从而更好地分析和描述几何问题。
这些投影知识不仅在几何学中有重要应用，还在计算机图形学、建筑设计、工程制图等领域中发挥着重要作用。
直线和平面的投影
H 铅垂线
投影特性
V
在所垂直的投影面上的投
W
影积聚成一点
另外二投影分别平行相应
H
的投影轴且反映实长
侧垂W线
投影面垂直线平行于另两 个投影面
2、各种位置平面的投影
铅垂面 一 垂
投影面垂直面
正垂面 侧垂面
投直 影于 面某
特 殊
位
投影面平行面
水平面 正平面
一平 投行 影于
置 平 面
侧平面 面 某
一般位置平面
投影图
投 影 （1）水平投影反映实形 特 性 （2）正面投影积聚为直线，且//ＯＸ轴；侧面投影积
聚为直线，且//OYw轴。
侧平面（// Ｗ面 ⊥V H 面 ）
V
c
B
b
b
b
b
W
a
a
a
A
a
c
c
a
bC
c
a
Hc
b
c （1）侧平面投影反映真形。 （2）正面投影//OZ，水平投影//OYH，分别积聚成直线。
投影 特性
立体图
投影图
（1）水平投影积聚成直线
倾角 和
（2）正面投影和侧面投影不反映实形,缩小的类似形.
侧垂面（⊥Ｗ面，倾斜Ｈ、Ｖ面）
V
S B
b
b
b W a
c
c
a
c
C
a
A
H
b c
.
投影 特性
a （1）侧面投影积聚成直线。 （2）水平和正面投影不反映实形，是缩小了的类似形。
投影面垂直面的投影特性：
投影面垂直线
铅垂线： H面 正垂线： V面 侧垂线： W面
点,直线,平面的投影教案
点,直线,平面的投影教案一、教学目标1. 掌握点、直线、平面的投影定义及特点；2. 能够运用正交投影法画出点、直线、平面的投影；3. 能够解决一些实际问题，如平行线的投影、平面内的投影等；4. 培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 点的投影2. 直线的投影3. 平面的投影三、教学过程（一）点的投影1. 张贴轴测图，解释投影的意义；2. 引导学生回忆正交投影法，明确点的投影定义，并通过练习巩固学生的理解；3. 通过问题演示，如悬吊物体、光源角度变化等，让学生理解不同情况下的点的投影形态。
（二）直线的投影1. 回顾直线的定义及性质，引入直线的投影；2. 通过直线在平面和空间内的运动，引出平行于坐标面的直线和斜直线投影的相关知识；3. 通过演示和练习，让学生熟练掌握画出不同形态直线投影的方法，并了解直线投影与其在空间中的位置关系。
（三）平面的投影1. 教师引导学生回忆平面的定义及特点，并解释平面投影的概念；2. 通过拆解平面投影成直线投影的方法，让学生理解平面投影的基本形态；3. 运用练习和案例，如墙面的投影、倾斜物体的投影等，帮助学生理解平面投影的应用。
四、教学方法1. 讲授结合实验，激发学生的学习兴趣；2. 课堂演示，让学生更好地理解结论；3. 学生自主合作，发掘问题本质，深入理解知识。
五、教学评价1. 学生们能够理解点、直线、平面投影的概念及其特点；2. 学生们能够通过正交投影法绘制点、直线、平面投影；3. 学生们能够解决实际问题，如平行线的投影、平面内的投影等；4. 学生们空间想象能力和解决问题的能力得到提升。
六、教学反思教学中，教师应更加注重学生的实践操作，提高学生对于知识点的掌握和理解。
更多的案例分析可以帮助学生更好地掌握运用知识解决实际问题的能力。
第3章 点线面的投影 《工程图学及计算机绘图(第3版)》教学课件
a
c′ 题解： a′(b′)
d′
X
o
20 30
b c(d)
a
[例5] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之 右8毫米，求点A的投影。
a
a
9
8 a
5
3.2 直线的投影
直线的投影
直线与H、V、W面的倾角分别用、、表示。
直线对投影面的相对位置 一、特殊位置直线 1.直线平行于一个投影面 (1) 水平线 (2) 正平线 (3) 侧平线 2.直线垂直于一个投影面 (1) 铅垂线 (2) 正垂线 (3) 侧垂线 3.从属于投影面的直线
3.点的三面投影
a
A a
V
Z
பைடு நூலகம்
a
a
O
X
O
点A的水平投影 ——a 点A的正面投影 ——a 点A的侧面投影 ——a
a
H
YH
W
a
YW
3.点的三面投影
Z
V
a
az
y
x
a
X
ax A
z
OW
a
ay
Y
1. aaz = aay =Aa = xA 2. aax = aaz =Aa =yA
3. aax =aa y = Aa=zA
S A B
a(b)
2.点的二面投影
过A作垂直于V、 H面的投射线A a´、 Aa，分别与H面交 于a，与V面交于a´， a、 a´即为点A的 两面投影。
V X
V a'
A
O a H
2.点的二面投影
V V
a´
a´
A
ax
X
ax
X O
O
工程制图第3章答案
投 射 方 向
90°
2. 特性
中心投影法
物体位置改 变，投影大 小也改变。
投 影 特 性
●
投射中心、物体、投影面三者之间的相 对距离对投影的大小有影响。 用于建筑图样中的透视图绘制。
● 度量性较差。 ●
平行投影法
物体位置改 变，投影大 小不改变。
投 影 特 性
● ● ●
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 度量性较好。 工程图样多数采用正投影法绘制。
a a ⊥OX；
⊥OZ；
水平投影到X轴的距离等于侧面投影到Z轴的距离，即
a ax = aaz
[例3-3] 根据点A和B的两个投影求第三个投影。 （二求三）
求法：
a:
长对正 宽相等
:
高平齐 宽相等
二、点的投影与空间直角坐标的关系
空间点A到W面的距离，等于点A的x坐标；即： 空间点A到V面的距离，等于点A的y坐标；即： 空间点A到H面的距离，等于点A的z坐标；即：
[例3-12] 求铅垂线MN与一般位置平面△ABC的交点
分析： 作图：
判可见性：
⒉ 两平面相交
两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共 有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。
要讨论的问题：
● 求两平面的交线。 ● 判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别可见性。
解决问题的方法:
若相交两平面之一为投影面垂直面或投影面平行 面时，则可利用该平面有积聚性的投影，在有积聚性 的投影图上直接求得交线，再根据交线是两平面的共 有线，求出另外的投影。
平 面 投 影 图
应 用 举 例
2． 投影面平行面
正平面
轴 测 投 影 图 平 面 投 影 图