几何概型习题课

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古典概型与几何概型习题课

2
概率计算方法的联系
古典概型和几何概型在概率计算方法上有一定的联系。例如，几何概型中的长度型概率可以通过离散化转化为古典概型来计算。
3
应用领域的联系
古典概型和几何概型在应用领域上有一定的联系。例如，在物理学、工程学等领域中，许多问题可以通过这两种概型来描述和解决。
04
古典概型与几何概型的实际应用
05
古典概型与几何概型的习题解析
古典概型的典型习题解析
1 2
经典概型概率计算
通过实例解析，掌握古典概型概率计算的基本方法，包括基本事件总数和事件A包含的基本事件数计算。
概率公式应用
理解并掌握古典概型中常用的概率公式，如独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式。
3
常见题型解析
针对古典概型中的常见题型，如等可能事件的概率、随机变量取值概率等，进行深入解析。
随机性
在几何概型中，随机事件的发生是不确定的，即每个样本点的出现是不确定的。
几何概型的概率计算公式
概率计算公式
对于几何概型中的任意事件A，其概率P(A)可以通过以下公式计算：P(A)=构成事件A的样本点数样本空间中样本点总数=构成事件A的面积或体积样本空间的面积或体积。
概率计算公式的应用
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几何概型的典型习题解析
几何概型的概率计算
01
掌握几何概型概率计算的基本方法，包括测度类型选择和概率
计算公式。
概率与长度、面积、体积关系
02
理解概率与不同测度之间的关系，如概率与线段长度、平面图
形面积和空间立体体积等。
常见题型解析
03
针对几何概型中的常见题型，如等可能线段的长度、随机点的

必修三几何概型习题课

（2）由（1）知当且仅当2b≤a且a>0时，函数f(x)=ax2-4bx+1在区间［1,+∞
a b 8 0 依条件可知试验的全部结果所构成的区域为 a 0 b 0 构成所求事件的区域为三角形部分.
a b 8 0, 由 a b , 2
概率与统计
几何概型习题课
知识梳理
1.几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积)成正比，则这样的概率模型叫做几何概型.也就是说：事件A为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量 (长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关.满足以上条件的试验称为几何概型. 2.在几何概型中，事件A P(A)=构成事件A的区域长度（面积或体积）/试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）=μA/μΩ,其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μA表示子区域A的几何度量.
变式探究
4.有一杯2升水中含有一个细菌，有一个小杯从这杯水中取出 0.3升水，则小杯中含有这种细菌的概率是___________ 解析：P点只能在中间一段弧上运动，该弧所对的圆心角为 150°- 45°- 75°= 30°，30/150=1/5
答案：1/5
1.几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率类型.
解析: 设A={等待的时间不多于10分钟}.我们所关心的事件A恰好是打
开收音机的时刻位于［50，60］时间段内，因此由几何概型的
P（A）=（60-50）/60=1/6
即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6
点评:在本例中，等待的时间X是随机的，可以是0到60之间的任
何一刻，并且是等可能的，我们称X服从［0,60］上的均匀分布， X为［0,60］上的均匀随机数.

第6课时几何概型习题和答案详解

1．若在区间[0，2]中随机地取两个数，则这两个数中较大的数大于12的概率是( )A.916 B.34 C.1516 D.1532答案 C解析两个数都小于12的概率为116，所以两个数中较大的数大于12的概率是1－116＝1516.2．(2019·河南豫北名校联盟精英对抗赛)已知函数f(x)＝sinx ＋3cosx ，当x ∈[0，π]时，f(x)≥1的概率为( ) A.13 B.14 C.15 D.12 答案 D解析由f(x)＝sinx ＋3cosx ＝2sin(x ＋π3)≥1及x ∈[0，π]得x ∈[0，π2]，∴所求概率为P ＝π2π＝12. 3．(2019·河南濮阳模拟)在[－6，9]内任取一个实数m ，设f(x)＝－x 2＋mx ＋m ，则函数f(x)的图像与x 轴有公共点的概率等于( ) A.215 B.715 C.35 D.1115 答案 D解析 ∵f(x)＝－x 2＋mx ＋m 的图像与x 轴有公共点，∴Δ＝m 2＋4m>0，∴m<－4或m>0，∴在[－6，9]内取一个实数m ，函数f(x)的图像与x 轴有公共点的概率P ＝[－4－（－6）]＋（9－0）9－（－6）＝1115，故选D. 4．(2016·课标全国Ⅱ，文)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( ) A.710 B.58 C.38 D.310 答案 B解析记“至少需要等待15秒才出现绿灯”为事件A ，则P(A)＝2540＝58.5．(2019·青岛一模)如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角θ＝π6.现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是( ) A.2－32B.32C.14D.12答案 A解析易知小正方形的边长为3－1，故小正方形的面积为S 1＝(3－1)2＝4－23，大正方形的面积为S ＝2×2＝4，故飞镖落在小正方形内的概率P ＝S 1S ＝4－234＝2－32.6.(2019·河北衡水联考)2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币．如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22 mm ，面额100元．为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是( ) A.363π10 mm 2 B.363 π5 mm 2C.726π5 mm 2D.363π20mm 2 答案 A解析向硬币内投掷100次，恰有30次落在军旗内，所以可估计军旗的面积大约是S ＝30100×π×112＝363π10(mm 2)．7．(2018·山西太原五中月考)在区间(0，1)上任取两个数，则两个数之和小于65的概率是( )A.1225B.1625C.1725D.1825答案 C解析设这两个数是x ，y ，则试验所有的基本事件构成的区域即⎩⎪⎨⎪⎧0<x<1，0<y<1确定的平面区域，满足条件的事件包含的基本事件构成的区域即⎩⎪⎨⎪⎧0<x<1，0<y<1，x ＋y<65，确定的平面区域，如图所示，阴影部分的面积是1－12×(45)2＝1725，所以这两个数之和小于65的概率是1725.8．(2019·安徽淮南一模)《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则豆子落在其内切圆内的概率是( ) A.3π20 B.π20 C.3π10 D.π10答案 A解析依题意，直角三角形的斜边长为17.设内切圆半径为r ，则由等面积法，可得12×8×15＝12×(8＋15＋17)r ，解得r ＝3，向此三角形内投豆子，豆子落在其内切圆内的概率是P＝π×3212×8×15＝3π20.9．(2019·云南师大附中月考)在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中任取一点M ，则满足∠AMB>90°的概率为( ) A.π24 B.π12 C.π8 D.π6答案 A解析以AB 为直径作球，球在正方体内的区域体积为V ＝14×43π×13＝π3，正方体的体积为8，∴所求概率P ＝π38＝π24.10．(2019·九江模拟)定义：一个矩形，如果从中截取一个最大的正方形，剩下的矩形与原矩形相似，则称这样的矩形为黄金矩形，其宽与长的比为黄金比．如图，现在在黄金矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自剩下的矩形EBCF 内部的概率为( )A.3－52B.5－12 C.5－22D.2－12答案 A解析设AB ＝a ，AD ＝b ，则EB ＝a －b ，b a ＝a －b b ，整理得(b a )2＋b a －1＝0，解得ba ＝5－12(负值已舍去)．∴P ＝b （a －b ）ab ＝1－b a ＝3－52.故选A.11.(2017·课标全国Ⅰ，理)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( ) A.14 B.π8 C.12 D.π4答案 B解析由题意可知，圆中黑色部分面积与白色部分面积相等．设正方形的边长为a ，则S 正方形＝a 2，S 圆＝π(a 2)2＝π4a 2，S 黑＝π8a 2.∴p ＝S 黑S 正＝π8a 2a2＝π8，故选B. 12．公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站等待乘客，某人8：15到达该站，则他能等到公共汽车的概率为________．答案 14解析 ∵公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，故所有基本事件对应的时间总长度L Ω＝20分钟，某人8：15到达该站，记“他能等到公共汽车”为事件A ，则L A ＝5分钟，故P(A)＝520＝14.13．(2019·湖北鄂南一中模拟)在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，在直角边BC 上任取一点M ，则∠CAM<30°的概率是________．答案33解析因为点M 在直角边BC 各位置上是等可能出现的，所以测度是长度．设直角边长为a ，则所求概率为3 3aa＝33.14．若在区间[0，10]内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间[0，10]内的概率是________．答案π40解析将取出的两个数分别用x，y表示，则0≤x≤10，0≤y≤10.如图所示，当点(x，y)落在图中的阴影区域时，取出的两个数的平方和也在区间[0，10]内，故所求概率为14π×10102＝π40.15．(2019·安徽合肥一中模拟)已知关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.(1)若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．答案(1)34(2)23解析设事件A为“方程有实根”．当a≥0，b≥0时，方程有实根的充要条件为a≥b.(1)由题意知本题是一个古典概型，所有的基本事件为(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，共12个，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，∴事件A发生的概率为P ＝912＝34.(2)由题意知本题是一个几何概型．试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b ≤2}，构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，∴所求的概率是3×2－12×223×2＝23.16．甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．(1)如果甲船和乙船的停泊的时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；(2)如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．答案(1)2536(2)221288解析(1)设甲、乙两船到达时间分别为x，y，则0≤x<24，0≤y<24且y－x>4或y－x<－4.作出区域⎩⎪⎨⎪⎧0≤x<24，0≤y<24，y－x>4或y－x<－4.设“两船无须等待码头空出”为事件A，则P(A)＝2×12×20×2024×24＝2536.(2)当甲船的停泊时间为4小时，两船不需等待码头空出，则满足x－y>2或y－x>4，设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B，画出区域⎩⎪⎨⎪⎧0≤x<24，0≤y<24，y－x>4或x－y>2.P(B)＝12×20×20＋12×22×2224×24＝442576＝221288.。

几何概型例题分析及习题(含答案)

几何概型例题分析及练习题 (含答案)[例1] 甲、乙两人约定在下午4:00~5:00间在某地相见他们约好当其中一人先到后一定要等另一人15分钟，若另一人仍不到则可以离去，试求这人能相见的概率。

解：设x 为甲到达时间，y 为乙到达时间.建立坐标系，如图15||≤-y x 时可相见，即阴影部分167604560222=-=P[例2] 设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能任取一点与A 连接，求弦长超过半径2倍的概率。

解：R AC AB 2||||==. ∴ 212===⋂R R BCDP ππ圆周[例3] 将长为1的棒任意地折成三段，求三段的长度都不超过21的概率。

解：设第一段的长度为x ，第二段的长度为y ，第三段的长度为y x --1，则基本事件组所对应的几何区域可表示为 }10,10,10|),{(<+<<<<<=Ωy x y x y x ，即图中黄色区域，此区域面积为21。

事件“三段的长度都不超过21”所对应的几何区域可表示为Ω∈=),(|),{(y x y x A ，}211,21,21<--<<y x y x 即图中最中间三角形区域，此区域面积为81)21(212=⨯ 此时事件“三段的长度都不超过21”的概率为412181==P[例4] 两对讲机持有者张三、李四，为卡尔货运公司工作，他们对讲机的接收范围是25，下午3：00张三在基地正东30内部处，向基地行驶，李四在基地正北40内部处，向基地行驶，试问下午3：00，他们可以交谈的概率。

解：设y x ,为张三、李四与基地的距离]30,0[∈x ，]40,0[∈y ，以基地为原点建立坐标系.他们构成实数对),(y x ，表示区域总面积为1200，可以交谈即2522≤+y x故19225120025412ππ==P [例5] 在区间]1,1[-上任取两数b a ,，运用随机模拟方法求二次方程02=++b ax x 两根均为正数的概率。

几何概型练习苏教版必修

第8课时7.3.3 几何概型(3)
分层训练
1、如图，某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为（）
A ．
2
π B ．1π
C ．23
D ．13
2、现有100ml 的蒸馏水，假定里面有一个细菌，现从中抽取20ml 的蒸馏水，则抽到细菌的概率为（）
A ．1100
B ．120
C ．110
D ．15
3、一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为早晨5:00至6：00和下午4：30至5：30，则该船在一昼夜内可以进港的概率是__________
4、一只蚂蚁在三边长分别为3，4，5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为（） A.43 B.21 C.31 D.3
2 5、若过正三角形ABC 的顶点A 任作一条直线L ，则L 与线段BC 相交的概率为_______
拓展延伸
6、往一边长为6厘米的正方形桌面上随机地扔一半径为1厘米的质地均匀的小圆片,求圆片在桌面上与桌面四周无交点的概率.
7、从(0,1)中随机地取两个数,求两数平方和小于14
的概率.
本节学习疑点：
7.3.3 几何概型(3)
1、A
2、D
3、1/12
4、B
5、1/3
6、94
6422==P 7、 1/2
8、设两数分别为,x y ,则 22140101x y x y ⎧+<⎪⎪<<⎨⎪<<⎪⎩,211()42116P ππ⋅⋅==。

高二数学3.3.1几何概型练习新人教A版必修3

) ，故所求概率为
4π 1
＝
π .
4
S
6．在面积 S 为△ ABC的边 AB上任取一点 P，则△ PBC的面积大于 4的概率是 (
)
1
1
A.
B.
4
2
3
2
C.
D.
4
3
[ 答案 ] C
1 [ 解析 ] 如图，设点 C 到边 AB的距离为 h，则 S ＝ △ABC | AB| · h，S△PBC
2
1
1
1
184 23 P( A) ＝ 600＝ 75≈0.31.
[ 点评 ] 解决此类题的关键：
(1) 根据题意确定是与面积 ( 体积 ) 有关的几何概型； (2) 找出或构造出对应的几何图形，求出面积 ( 体积 ) ．
能力提升
一、选择题
1．在腰长为 2 的等腰直角三角形内任取一点，则该点到此三角形的直角顶点的距离小于
1
的概率为 ( )
π
π
π
A. 16 B. 8 C. 4
π D. 2
[ 答案 ] B
[ 解析 ] 该点到此三角形的直角顶点的距离小于
1πຫໍສະໝຸດ 为半径的 4圆内，所以所求的概率为 8 .
1，则此点落在以直角顶点为圆心， 1
2．一只蚂蚁在边长分别为小于 1 的地方的概率为 (
3,4,5 的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都不 )
1
1
1
A. B.
C.
D.
3
6
2
4
[ 答案 ] B
[ 解析 ] 体积型几何概型问题．
VA1－ABC 1
P＝
VABC－D
＝ A1B1C1D1

几何概型习题课

7.（1）x和y取值都是区间[1,4]中的整数，任取一个x的值和一个y的值，求 “ x – y ≥1 ”的概率。
y 4 3 2 1
作直线 x - y=1
古典概型
P=3/8
-1
1
2
3
4
x
（2）x和y取值都是区间[1,4]中的实数，任取一个x的值和一个y的值，求 “ x – y ≥1 ”的概率。
2
(2)由(1)知当且仅当 2b≤a 且 a＞0 时，函数 f(x)＝ax2－4bx＋1 在区间[1，＋∞)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为
a＋b－8≤0 {(a，b)|a＞0 }， b＞0
构成所求事件的区域为三角形区域． a＋b－8＝0 16 8 由 a 得交点坐标为 ( ， )， 3 3 b＝ 2 1 8 × 8× 2 3 1 ∴所求事件的概率为 P＝＝ . 1 3 ×8×8 2
1 A. 3
2 B. 3
1 C. 9
2 D. 9
题组四：与面积有关的几何概型（重点）
4、设在区间[0，2]中随机地取两个数，求下列事件的概率.
15 (1)两个数中较大的大于1/2；16 (2)两数之和大于3/4. 119 128
练习:分别在区间[1,6]和[2,4]内任取一实数，依次记为m和n，则 m n
正解射线 CD 在∠ACB 内是均匀分布的，故∠ACB＝90° 可看成试验的所有结果构成的区域，在线段 AB 上取一点 E，使 AE＝AC，则∠ACE＝67.5° 可看成所求事件构成的区域，所以满足条件的概率为 67.5° 3 ＝ . 90° 4
知能层层练 1． (2011· 福州质检)在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的上半圆(图中阴影部分)中的概率是( )

(实用)古典概型与几何概型习题课课件

角形的概率.
解：设A=“3段长度能构成三角形”，x，y 分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为l－x－y，试验的全部结果可构成集合
Ω={(x，y)| 0<x<l，0<y<l，0<x+y<l}，
要使3段长度能构成三角形，当且仅当任意两段长度之和大于第3段长度。即x+y>l－x－y (x+y)> ；
3.求古典概型概率的步骤：
• （1）判断是否为等可能性事件； • （2）计算所有基本事件的总结果数n． • （3）计算事件A所包含的结果数m． • （4）计算P(A)=m/n
4.用几何概型解简单试验问题的方法
• • • • • 1、适当选择观察角度，把问题转化为几何概型求解； 2、把基本事件转化为与之对应的区域D； 3、把随机事件A转化为与之对应的区域d； 4、利用几何概型概率公式计算。注意：要注意基本事件是等可能的。
例2、从含有两件正品a,b和一件次品c的3件产品中每次任取一件,取出后不放回,连续取两次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率. 2/3 变式：将上题“取出后不放回”改为“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率. 4/9
C
例4、甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率．分析：按照约定，两人在6点到7点之间任何时刻到达会面地点是等可能的，因此是一个几何概型，设甲、乙二人到达的时间为 x，y，则|x－y|≤15是能够会面的先决条件
解：以x和y分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，(x,y)可以看成平面中的点.实验的全部结果所构成的区域为 Ω={(x,y)|0≤x≤60，0≤y≤60},这是一个正方形区域，面积为SΩ=60×60.事件A表示两人能够会面，所构成的区域为 A={(x,y)|x-y|≤15,0≤x≤60，0≤y≤60}，即图中的阴影部分，面积为SA=602-452.这是一个几何概型，所以

几何概型经典练习及解答

几何概型1．几何概率模型定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；2．几何概型的概率公式P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ； 3．几何概型的特点1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．4．几何概型和古典概型的区别与联系联系：两种概率模型的思路是相同的，同属于“比例解法”，并且都是在随机事件“等可能”的前提下；区别：古典概型中试验的基本事件的个数是有限的，而几何概型中试验的基本事件的个数是无限的，在具体问题的求解中要严格区别．5．计算几何概型的概率的步骤1）判断是否是几何概率，尤其是判断等可能性；2）计算基本事件空间与事件A 所含的基本事件对应的区域的几何度量（长度、面积或体积）；3）代入公式计算．1．下列概率模型中，几何概型的个数为（ C ）注：①不是几何概型①从区间[10,10]-内任取出一个数，求取到1的概率；②从区间[10,10]-内任取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；③从区间[10,10]-内任取出一个数，求取到大于1而小于2的数的概率；④向一个边长为4cm 的正方形ABCD 内投一点P ，求点P 离中心不超过1cm 的概率．A ．1B ． 2C ． 3D ．42．某公共汽车站每隔5min 有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，则一个乘客候车时间不超过3min 的概率为（ C ）A ．51 B ． 52 C ． 53 D ．54 3．在棱长为3的正方体内任取一点，则这个点到各面的距离大于1的概率为（ C ） A ．13 B ．19 C ．127 D ．344．在面积为S 的ABC ∆的边AB 上任取一点P ，则PBC ∆的面积大于4S 的概率是（ C ） A ．14 B ．12 C ． 34 D ．235．在区间[1,1]-上随机取一个数x ，cos 2x π的值介于0到12之间的概率为（ A ） A ．13 B ．2π C ．12 D ．23 6．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ A ）A ．π21- B ．π121- C ．π2 D ．π1 7．在区间[1-，2]上随机取一个数x ，则||x ≤1的概率是．328．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为．）（161431613+= 9．分别计算下列三个小题的概率：①设p 在[0,5]上随机地取值，求方程21042p x px +++=有实根的概率． ②在[1,1]-上任取两个实数,a b ，求二次方程2220x ax b ++=有两个非负实根的概率．③在区间[0,1]上任取三个实数,,x y z ，事件222{(,,)|1}A x y z x y z =++<．（1）构造出此随机事件A 对应的几何图形；（2）利用此图形求事件A 的概率．答案：①35 ；②14 ；③6π．。

古典概型与几何概型习题课

或体积。因此，概率计算公式可以简化为与几何量有关的比例。
03
概率计算公式的注意事项
在应用概率计算公式时，需要确保基本事件的总数不为零，并且有利于
事件A的基本事件数不为零。
几何概型的性质
概率的规范性
对于任何事件A，有$0 leq P(A) leq 1$。
互斥事件的概率
如果事件A和B是互斥的，则$P(A cup B) = P(A) + P(B)$。
在日常生活中的应用
决策制定
在日常生活中，我们经常面临各种选择和决策。古典概型和几何概型可以帮助我们分析不同选择的风险和收益，从而做出更明智的决策。
概率推理
在日常生活和工作中，我们经常需要进行概率推理，如预测事件发生的可能性、评估信息的可信度等。古典概型和几何概型为我们提供了进行概率推理的工具。
数据分析
在、发现数据之间的关联和规律，以及预测未来的趋势。
05 习题及解析
基础习题
解析
这是一个典型的古典概型问题，可以通过列举法计算基本事件总数和满足条件的基
本事件个数，然后求得概率。
题目
一个袋子中有5个红球和3个白球，从中随机取出3个球，求取出球的颜
区别
古典概型适用于离散型随机试验，其基本事件空间是有限的或者可数无限的。
古典概型中，概率的计算公式为$P(A) = frac{m}{n}$，其中$m$是事件A包含的基本事件个数，$n$是基本事件总数。
几何概型适用于连续型随机试验，其基本事件空间是无限不可数的。
几何概型中，概率的计算公式为$P(A) = frac{S_{A}}{S_{U}}$，其中$S_{A}$ 是事件A对应的几何图形面积或体积， $S_{U}$是样本空间对应的几何图形面积或体积。

10[1].09.15高二数学(理)《几何概型+习题课》(实用)精品文档41页

三角形内角分别为∠A、 ∠B、 ∠C.
设∠A＝x， ∠B＝y，则 A
00

x y

,
0 (x y)
B
C
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制作 06
2010年下学期
思考：在一个圆上任取三点A、B、C, 求能构
成锐角三角形的概率.
解：在一个圆上任取三点A、B、C，构成的
三角形内角分别为∠A、 ∠B、 ∠C.
2010年下学期
回顾小结
1.几何概型的特点 2.古典概型与几何概型的区别. 3.几何概型的概率公式. 4.求几何概型概率的基本步骤 5.几何概型的四种类型
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制作 06
2010年下学期
拓展延伸
“抛阶砖”是国外游乐场的典型游戏之一。参与者只须将手上的“金币”(设“金币” 的直径为 r)抛向离身边若干距离的阶砖平面上，抛出的“金币”若恰好落在任何一个阶砖(边长为a的正方形)的范围内(不与阶砖相连的线重叠)，便可获奖.
随堂练习
1.在区间[0,10]中任意取一个数，则它与4
之和大于10的概率是( 2 )
5
2.若过正三角形ABC的顶点A任作一条直
线L，则L与线段BC相交的概率为( )
3.在正方形ABCD内随机取一点P，
则：∠APB ＞ 90°的概率是(
)
∠APB = 90°的概率是(
)
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制作 06
随堂练习
1.在区间[0,10]中任意取一个数，则它与4
之和大于10的概率是( )
2.若过正三角形ABC的顶点A任作一条直
线L，则L与线段BC相交的概率为( )
3.在正方形ABCD内随机取一点P，

几何概型典型例题ppt课件

则△PBC 的面积不小于 S 的概率是（） 3
A． 2 B． 1 C． 3 D． 1
3
3
4
4
经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
面积型概率（建系法）
1. 甲乙两人相约晚上7点到8点之间见面，约定谁先到达约定地点就等对方20分钟，等待超过20分钟则离开。求甲乙两人约会成功的概率。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
长度型概率
1.在长为 1 的线段 AB 上取一点 C，则 AC 之间的
距离小于 1 的概率为 2
A． 1 4
C． 3 4
B． 1 2
D． 7 8
[0，2] 任取的一个整数，求上述方程有实根的概率．（Ⅱ）若 a 是从区间[0，3] 任取的一个实数， b 是从区间
[0，2] 任取的一个实数，求上述方程有实根的概率．
经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
面积型概率（建系法）
3.设有关于 x 的一元二次方程 x2 2ax b2 0 ．（Ⅰ）若 a 是从区间[0，3] 任取的一个整数， b 是从区间
面积型概率上半圆(圆
中阴影部分)中的概率是( )
经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用

BFD古典几何概型习题课

第36页，共39页。
四、知能训练
1.公共汽车在0～5分钟内随机地到达车站，求汽车在1～3分钟之间到达的概率。
分析：将0～5分钟这段时间看作是一段长度为5个单位长度的线段，则1～3分钟是这一线段中的2个单位长度。解：设“汽车在1～3分钟之间到达”为事件A，则
所以“汽车在1～3分钟之间到达”的概率为
.
（“甲3）未22由0中（”1210和）“知乙，中甲”、两乙种各情抽况一，张故奖共券有，3共×有2=260种种基抽本法事，件只，有∴乙P中3=奖的事.件包含
（4）由（1）可知，总的基本事件数为5，中奖的基本事件数为2，故P4= .
63
20 10
2
5
第9页，共39页。
5、袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，计算下列事件的概率： (1)三次颜色各不相同; (2)三次颜色不全相同; (3)三次取出的球无红色或无黄色.
• 取得的0.1升水可视作构成事件的区域，1升水可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比” 公式计算其概率
第22页，共39页。
第23页，共39页。
第24页，共39页。
（六）几何概型的应用
第25页，共39页。
第26页，共39页。
第27页，共39页。
例3：假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上 6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?
（2）如下图所示，上述10个基本事件的可能性相同，且只有3个基本事件是摸到2只白球（记为事件A），
第6页，共39页。
即(1,2),(1,3),(2,3),故P(A) 3 10

古典概型与几何概型习题课(实用)共19页

数a1,b
1
（２）进行平移变换 a=a1+1
01 2
x
（３）数出落在阴影内的点数Ｍ，用
几何概型公式计算阴影部分的面积．
巩固练习
1.(07广东)在一个袋子中装有分别标有１，２，３，４，５的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同。现从中取出两个小球，则取出的小球标注的数字之和为３或６
的概率是 0.3
END
1/2 变式１：在半径为１的圆内任取一点，以该点为中点作弦，则其长度超过该圆内接正三角形的边
长 3 的概率是多少？ 1/4
弦产生的方式不同，其概率也可能不同
变式２：Ａ为圆周上一定点，在圆周上等可2 能的
任取一点与Ａ连结，求弦长超过半径的倍的概率是多少？ 1/2
灵犀一点
注：
（1）几何概型：基本事件无限个，事件发生等可能。
古典概型与几何概型习题课(实用)
时间反复无常，鼓着翅膀飞逝
古典概型与几何概型 ------习题课
例1、从含有两件正品a,b和一件次品c的3件产品中每次任取一件,取出后不放回,连续取两次, 求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。2/3
变式１：将上题“取出后不放回”改为“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率4。/9
（2）几何概型常用的测度：长度、面积、体积。
（3）几何概型的解题方法：数形结合。如：一维、长度常和数轴结合，二维、面积常和坐标系结合。
例3、甲乙两艘船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头, 它们在一昼夜内到达的时间是等可能的,如果甲船的停泊时间是4小时,乙船的停泊时间是2小时,求它们中一艘船停泊时必须等待一段时间的概率. 67/288
（1）求合唱团学生参加活动的人均次数；２．３