4-立体的投影及平面体截切

1′(2′) ′ ′
2″ ″
●
1″ ″
●
2 1
三面共点： 三面共点： 注意： 注意： 1、要逐个截平面分析和绘制 、 、Ⅱ两点分别同 Ⅰ 截交线。 截交线。 补画棱线 时位于三个面上。 时位于三个面上。 ， 2、当平面体只有局部被截切时 、当平面体只有局部被截切时，
先假想为整体被截切， 先假想为整体被截切，求出 截交线后再取局部。 截交线后再取局部。
★ 检查 尤其注意检查截 单一平面截切平面立体 交线投影的类似性。 单一平面截切平面立体 交线投影的类似性。
例1：求四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。 求四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。
我们采用的是哪 种解题方法？ 种解题方法？
棱线法！ 棱线法！
例2：求四棱锥被截切后的水平和侧面投影。 ：求四棱锥被截切后的水平和侧面投影。
、左、右 、左、右 、前、后
Hale Waihona Puke 3.2基本体的三视图
常见的基本几何体 平面基本体 曲面基本体
平面立体： 平面立体：
由若干平面所围成的几何体。 由若干平面所围成的几何体。如：
棱柱
棱锥
平面立体侧表面的交线称为棱线 平面立体侧表面的交线称为棱线 若平面立体所有棱线互相平行，称为棱柱 棱柱。 若平面立体所有棱线互相平行，称为棱柱。 若平面立体所有棱线交于一点，称为棱锥 棱锥。 若平面立体所有棱线交于一点，称为棱锥。
s′ 3′ 2′ 1′
a′ b′ c′
s″ 3″ 1″ a″(c″) 2″
y
b″
a 1 s 2 3
c
Ⅲ Ⅱ Ⅰ
A
b
y
B
例7 求带切口三棱锥的投影
s' 4' s"
解题步骤
4"
1' a'
2' 3' b'c' c 3 y c"
3" y
1" a" y
2"
1 分析 截交线 的正面投影已知 ， 水平投影和侧 面投影未知； 面投影未知；
两个平面截切平面立体 两个平面截切平面立体
例2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。 求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
例4:求作俯视图。 4:求作俯视图。 求作俯视图
1′
正垂面
1″ 2″ 侧垂面
2′
1
●
Ⅰ
2
●
Ⅱ
例4:求作俯视图。 4:求作俯视图。 求作俯视图
1′ 1″ 2″
2′
1
Ⅰ
2
Ⅱ
三棱锥被一正垂面所截切，求截交线的投影。 例6 三棱锥被一正垂面所截切，求截交线的投影。
一、平面体表面的截交线
截交线是一个由直线组成的封闭的平 • 截交线是一个由直线组成的封闭的平 面多边形。 面多边形。 截交线的每条边是截平面与棱面的交线 截平面与棱面的交线。 • 截交线的每条边是截平面与棱面的交线。 求截交线的两种方法： ⒈ 求截交线的两种方法： 求各棱线与截平面的交点→棱线法。 ★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。 求各棱面与截平面的交线→棱面法。 ★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。 求截交线的步骤： ⒉ 求截交线的步骤： 确定截交 ★ 空间及投影分析 线的形状 ☆ 截平面与体的相对位置 ☆ 截平面与投影面的相对位置 ★ 画出截交线的投影 确定截交线 分别求出截平面与棱面的 的投影特性 交线，并连接成多边形。 交线，并连接成多边形。
b" 2
求出截交线上 的折点 Ⅰ 、 Ⅱ 、 Ⅲ、 Ⅳ ； 3 顺次地连接各 点 ， 作出截交线 ， 并且判别可见 性；
Ⅳ
a 1 4 y s
Ⅲ Ⅱ Ⅰ
2 b
整理轮廓线。 4 整理轮廓线。
例8 求带切口三棱锥的投影
解题步骤 1 分析 截交线 的正面投影已知 ， 水平投影和侧 面投影未知； 面投影未知； 2 求出截交线上 的折点 Ⅰ 、 Ⅱ 、 Ⅲ、 Ⅳ ；
a″ ″ b″ ″
的投影也可见。 的投影也可见。
a
2. 棱 锥
S
2.棱锥 2.棱锥
1、 棱锥的三面正投影图的绘制 棱锥处于图示位置时， 棱锥处于图示位置时， 其底面ABC是水平面， ABC是水平面 其底面ABC是水平面，在水 平投影上反映实形。 平投影上反映实形。侧棱面 SAC为侧垂面 为侧垂面， SAC为侧垂面，另两个侧棱 面为一般位置平面。 面为一般位置平面。 在棱锥面上取点、 2、在棱锥面上取点、取线 同样采用平面上取点法。 同样采用平面上取点法。 a′ (1)平行底面法 (1)平行底面法
3.1 体的三面投影 ——三视图 三视图
一、体的投影
体的投影， 体的投影，实质上是构成该体的所 有表面的投影总和。 有表面的投影总和。
V
二、三面投影与三视图
1.视图的概念 1.视图的概念
用正投影法绘制的物 体的投影图称为视图。 体的投影图称为视图。
宽 长
主视图 ——体的正面投影 体的正面投影 俯视图 ——体的水平投影 体的水平投影 左视图 ——体的侧面投影 体的侧面投影 三等关系
求四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。 例1: 求四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。
Ⅰ
(4′) ′ 3′ ′ 1′ ′ 2′ ′
Ⅳ
4″ ″
● ●
1″ ″
●
2″ ″
Ⅲ
Ⅱ
●
3″ ″
4 3
●
★ 空间分析 ★ 投影分析
●
1
● ●
2
交线的形状？ 交线的形状？ 截交线水平、 截交线水平、 截平面与体的 ★ 侧面投影上的 求截交线 几个棱面相交？ 几个棱面相交？ 形状？ 形状？ ★ 分析棱线的投影
2.三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正 主视左视高相等且平齐 俯视左视宽相等且对应 长对正 高平齐 宽相等
3.三视图之间的方位对应关系 3.三视图之间的方位对应关系
上 左 下 后 左 左 前 右 下 前 右 后 下 右 上 前 后 上
•主视图反映：上、下 主视图反映： 俯视图反映： •俯视图反映：前、后 •左视图反映：上、下 左视图反映：
1. 棱 柱
一、平面基本体
1. 棱柱
1、 棱柱的三面投影图的绘制 、 2、 棱柱面上取点、取线 、 棱柱面上取点、
在图示位置时，六棱柱的两 在图示位置时，六棱柱的两 底面为水平面 为水平面， 底面为水平面，在水平投影中反 点的可见性规定： 是正平面， 点的可见性规定： 是正平面， 映实形。前后两棱面是正平面 映实形。前后两棱面 ′ 由于棱柱的表面都是平 若点所在的平面的投影 其余四个棱面是铅垂面 是铅垂面， 其余四个棱面是铅垂面，它们的 a′ (b′) ′ 面，所以在棱柱的表面上取 水平投影都积聚成直线， 水平投影都积聚成直线，与六边 可见，点的投影也可见； 可见，点的投影也可见；若 取线与在平面上取点、 点、取线与在平面上取点 ， 形的边重合。 形的边重合。 平面的投影积聚成直线， 平面的投影积聚成直线、 点 取线的方法相同。 取线的方法相同。 b
Ⅳ Ⅲ Ⅱ Ⅰ
3 顺次地连接各 点 ， 作出截交线 ， 并且判别可见 性； 整理轮廓线。 4 整理轮廓线。
例10：求三棱锥被截切后的俯视图和左视图。 ：求三棱锥被截切后的俯视图和左视图。
4´ 3´ 6´ 5″≡6″ 1´ 2´≡5 ´
4″ 3″ 2″ 1″
6 4 3 1
5 2
a C s′ B s″
A
k′
(2)过锥顶法 (2)过锥顶法
k″ n′ ( n″ ) c′ a″(c″) b′ b″ c s kn b
三、棱台
特点： 特点： 底面——多边形，且对应边互相平行； 多边形，且对应边互相平行； 底面 多边形 棱线——互不平行， 互不平行， 棱线 互不平行 但延长后交于一点； 但延长后交于一点； 棱面——梯形。 梯形。 棱面 梯形
四棱台的投影如下图示
4.1 立体表面的截交线 用平面与立体相交， • 用平面与立体相交，截去体的一部分 ——截切。
• 用以截切立体的平面——截平面。 • 截平面与立体表面的交线——截交线。
截交线的性质： 截交线的性质：
是一封闭的平面多边形 封闭的平面多边形。 ⒈ 是一封闭的平面多边形。 截交线的形状取决于被截立 ⒉ 截交线的形状取决于被截立 取决于 体的形状及截平面与立体的 相对位置。 相对位置。 截交线的投影的形状 的形状取决于 截交线的投影的形状取决于 截平面与投影面的相对位置。 截平面与投影面的相对位置。 ⒊ 截交线是截平面与立体表面 共有线。 的共有线。