高中数学必修四北师大版 2.5从力做的功到向量的数量积3 学案
最新北师大版高中数学(必修4)25《从力做的功到向量的数量积》教案
北师大版高中数学(必修4)25《从力做的功到向量的数量积》教案从力做的功到向量的数量积（第一课时）●教学目标1．通过实例，正确理解平面向量的数量积的概念，能够运用这一概念求两个向量的数量积，并能根据条件逆用等式求向量的夹角；2．掌握平面向量的数量积的5个重要性质，并能运用这些性质解决有关问题；3．通过平面向量的数量积的重要性质猜想与证明，培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力；4．通过平面向量的数量积的概念，几何意义，性质的应用，培养学生的应用意识.●教学重点平面向量的数量积概念、性质及其应用●教学难点平面向量的数量积的概念，平面向量的数量积的重要性质的理解●教学方法启发引导式启发学生在理解力的做功运算的基础上，逐步理解夹角、射影及向量的数量积等概念，并掌握向量的5个重要性质。
●教具准备多媒体辅助教学●教学过程教案设计说明（1）教学理念——以教师为主导，学生为主体教学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的，因此在教学中不断引导学生去思考，学会去学习。
本节课有较多的概念及性质，尽可能给机会让学生参与，因此在教学过程中设置种种问题或习题，引导学生去观察，分析和概括，增强学生的参与意识，教给了学生获取知识的途径，使学生真正成了教学的主体，通过这样，使学生学有所思，思有所获，产生一种成就感，提高学生的学习兴趣。
（2）教学方法——启发引导式本节课的重点是向量的数量积，围绕这个教学重点，在教学过程中始终贯彻“教师为主导、学生为主体、训练为主线、思维为主攻”，设置种种问题或习题，引导学生去观察，分析和概括，逐步领悟数学知识的本质。
（3）教学手段——多媒体辅助教学为了使所创设的问题情景自然有趣，直观，同时为了增大课程容量，更好的突出重点，突破难点，提高课堂效率，因此在教学中利用多媒体演示，既加强教师、学生、媒体三者互动，发挥学生主体作用，提高了学习效率，同时缩短教师板书时间，保证教学任务的完成。
高中数学第二章平面向量2.5从力做的功到向量的数量积教案北师大版
2.5 从力做的功到向量的数量积整体设计教学分析前面已经知道,向量的线性运算有非常明确的几何意义,因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系.既然向量可以进行加减运算,一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢?如果能,运算结果应该是什么呢?另外,距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量.图1我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系.众所周知,向量概念的引入与物理学的研究密切相关,物理学家很早就知道,如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图1),那么力F所做的功W=|F||s|cosθ.功W是一个数量,其中既涉及“长度”,也涉及“角”,而且只与向量F,s有关.熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算,从而引进向量的数量积的定义a·b=|a||b|cosθ.这是一个好定义,它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等),而且还可以用它来更加简洁地表述几何中的许多结果.向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果不是向量而是数量.三维目标1.通过经历探究过程,掌握平面向量的数量积及其几何意义,掌握平面向量数量积的重要性质及运算律.2.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,并掌握向量垂直的条件.3.通过问题的解决,培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力;培养学生的交流意识、合作精神;培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力.重点难点教学重点:平面向量数量积的定义.教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰,并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.在物理课中,我们学过功的概念,即如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力F 所做的功W可由下式计算:W=|F||s|cosθ,其中θ是F 与s 的夹角.我们知道力和位移都是向量,而功是一个标量(数量). 故从力所做的功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积的概念.思路2.前面我们已学过,任意的两个向量都可以进行加减运算,并且两个向量的和与差仍是一个向量.我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算,就自然地会想到,任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能,其运算结果是什么呢？ 推进新课 新知探究 提出问题①a ·b 的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么?②由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应的运算律,数量积是一种向量的乘法运算,它是否满足实数的乘法运算律？③我们知道,对任意a ,b ∈R ,恒有(a+b)2=a 2+2A.b+b 2,(a+b)(a-b)=a 2-b 2.对任意向量a 、b ,是否也有下面类似的结论?(1)(a +b )2=a 2+2a ·b +b 2;(2)(a +b )·(a -b )=a 2-b 2.活动:已知两个非零向量a 与b ,我们把数量|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积(或内积),记作a ·b ,即a ·b =|a ||b |cos θ(0≤θ≤π).其中θ是a 与b 的夹角,|a |cos θ(|b |cos θ)叫作向量a 在b 方向上(b 在a .方向上)的投影.如图2为两向量数量积的关系,并且可以知道向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.图2在教师与学生一起探究的活动中,应特别点拨引导学生注意:(1)两个非零向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积;(2)零向量与任一向量的数量积为0,即a ·0=0;(3)符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替;(4)当0≤θ＜2π时，cos θ＞0,从而a ·b ＞0;当2π＜θ≤π时,cos θ＜0,从而a ·b ＜0.与学生共同探究并证明数量积的运算律.已知a ,b ,c 和实数λ,则向量的数量积满足下列运算律: ①a ·b =b ·a (交换律);②(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb )(数乘结合律); ③(a +b )·c =a ·c +b ·c (分配律).特别是:(1)当a ≠0时,由a ·b =0不能推出b 一定是零向量.这是因为任一与a 垂直的非零向量b ,都有a ·b =0.(2)已知实数a 、b 、c (b ≠0),则ab =bca =c .但对向量的数量积,该推理不正确,即a ·b =b ·c 不能推出a =c .由图3很容易看出,虽然a ·b =b ·c ,但a ≠c .图3(3)对于实数a 、b 、c 有(a ·b)c=a (b·c);但对于向量a 、b 、c ,(a ·b )c =a (b ·c )不成立.这是因为(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量,而a (b ·c )表示一个与a 共线的向量,而c 与a 不一定共线,所以(a ·b )c =a (b ·c )不成立. 讨论结果①是数量,叫数量积.②数量积满足a ·b =b ·a .(交换律);(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb )(数乘结合律); (a .+b )·c =a ·c+b·c (分配律).③1°(a+b )2=(a +b )·(a +b )=a ·a +a .·b +b ·a +b ·b =a 2+2a ·b +b 2;2°(a .+b )·(a .-b )=a .·a .-a .·b +b ·a .-b ·b =a .2-b 2. 提出问题①如何理解向量的投影与数量积？它们与向量之间有什么关系？ ②能用“投影”来解释数量积的几何意义吗？活动:教师引导学生来总结投影的概念,可以结合“探究”,让学生用平面向量的数量积的定义,从数与形两个角度进行探索研究.教师给出图形并作结论性的总结,提出注意点“投影”的概念,如图4.图4定义:|b |cos θ叫作向量b 在a 方向上的投影.并引导学生思考: 1°投影也是一个数量,不是向量;2°当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ=0°时投影为|b |;当θ=180°时投影为-|b |.教师结合学生对“投影”的理解,让学生总结出向量的数量积的几何意义: 数量积a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b|Cos θ的乘积.让学生思考:这个投影值可正、可负,也可为零,所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质: 设a 、b 为两个非零向量,e 是与b 同向的单位向量. 1°e ·a =a ·e =|a |cos θ. 2°a ⊥b ⇔a ·b =0.3°当a 与b 同向时,a ·b =|a ||b |;当a 与b 反向时,a ·b =-|a ||b |. 特别地a ·a =|a |2或|a |=a a ∙.4°cos θ=||||b a ba ∙. 5°|a ·b |≤|a ||b |.上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证,教师给予必要的补充和提示,在推导过程中理解并记忆这些性质. 讨论结果:①略(见活动).②向量的数量积的几何意义为数量积a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.应用示例思路1例1 已知|a .|=3,|b |=4,且a 与b 的夹角θ=150°,求a ·b . 活动:本例是让学生熟悉向量数量积的基本概念. 解:a ·b =|a ||b |cos θ=3×4×c os150°=12×(-23)=-63. 点评:直接利用向量数量积的定义.例 2 已知平面上三点A 、B 、C 满足||=2,||=1,||=3,求AB ·BC +BC ·CA +CA ·AB 的值.活动:教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解,先分析题设然后找到所需条件.因为已知、、的长度,要求得两两之间的数量积,必须先求出两两之间的夹角.结合勾股定理可以注意到△A.BC 是直角三角形,然后可利用数形结合来求解结果. 解:由已知,||2+||2=||2,∴△ABC 是直角三角形.而且∠ACB=90°, 从而sin∠A.BC=23,sin∠BAC=21 ∴∠ABC=60°,∠BAC=30°.∴与的夹角为120°,与的夹角为90°,与的夹角为150°. 故·+·+·=2×1×c os120°+1×3c os90°+3×2c os150°=-4.点评:确定两个向量的夹角,应先平移向量,使它们的起点相同,再考察其角的大小,而不是简单地看成两条线段的夹角,如例题中与的夹角是120°,而不是60°.变式训练已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为60°,求(a +2b )·(a -3b ). 解:(a +2b )·(a -3b )=a ·a -a ·b -6b ·b=|a |2-a .·b -6|b |2=|a |2-|a ||b |cos θ-6|b |2=62-6×4×c os60°-6×42 =-72.例3 已知|a |=3,|b |=4,且a .与b 不共线,当k 为何值时,向量a +k b 与a -k b 互相垂直? 解:a +k b 与a -k b 互相垂直的条件是(a +k b )·(a -k b )=0,即a 2-k 2b 2=0.∵a 2=32=9,b 2=42=16,∴9-16k 2=0.∴k=±43 也就是说,当k=±43时,a +k b 与a .-k b 互相垂直. 点评:本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件. 变式训练(007海南三亚)设a 、b 、c 是非零向量,下列命题正确的是( ) A.(a .·b )·c =a .·(b ·c )B.|a .-b |2=|a .|2-2|a .||b |+|b |2C.若|a .|=|b |=|a .+b |,则a 与b 的夹角为60°D.若|a |=|b |=|a .-b |,则a .与b 的夹角为60°解析:设θ是a .和b 的夹角,∵|a |=|b |,∴|a -b |2=(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=2|a |2-2a ·b =|a |2. ∴cos θ=21. 又∵0≤θ≤180°,∴θ=60°. 答案:D例4 在△A.BC 中,设边BC,CA.,A.B 的长度分别为a,b,c.证明a 2=b 2+c 2-2bcCosA., b 2=c 2+a 2-2cacosB, c 2=a 2+b 2-2acosC.图5证明:如右图,设=c ,=a ,=b ,则a 2=|a |2=||2=·=(AC -AB )·(AC -AB )=(b -c )·(b -c ) =b ·b +c ·c -2b ·c=|b |2+|c |2-2|b ||c |cosA. =b 2+c 2-2bccosA.同理可证其他二式,我们把这个结果称为余弦定理,以后我们还要专门讨论它的意义.思路2 例1 已知在四边形ABCD 中,=a ,=b ,CD =c ,=d ,且a ·b =c ·d =b ·c =d ·a .,试问四边形ABCD 的形状如何？ 解:∵+BC +CD +=0, 即a +b +c +d =0, ∴a +b =-(c +d ).由上可得(a +b )2=(c +d )2,即a 2+2a ·b +b 2=c 2+2c ·d +d 2.又∵a ·b =c ·d ,故a 2+b 2=c 2+d 2.同理可得a 2+d 2=b 2+c 2.由上两式可得a 2=c 2,且b 2=d 2,即|a |=|c |,且|b |=|d |,也即A.B=CD,且BC=DA., ∴四边形A.BCD 是平行四边形. 故=-CD ,即a =-c . 又a ·b =b ·c =-a .·b ,即a ·b =０,∴a ⊥b ,即AB ⊥BC .综上所述,四边形ABCD 是矩形.点评:本题考查的是向量数量积的性质应用,利用向量的数量积解决有关垂直问题,然后结合四边形的特点进而判断四边形的形状.例2 已知a ,b 是两个非零向量,且|a |=|b |=|a +b |,求向量b 与a -b 的夹角.活动:教师引导学生利用向量减法的平行四边形法则,画出以a ,b 为邻边的 A.BCD,若AB =a ,BC =b ,则CA =a +b ,DB =a -b 由|a |-|b |=|a +b |,可知∠ABC=60°,b 与DB 所成角是150°.我们还可以利用数量积的运算,得出向量b 与a -b 的夹角,为了巩固数量积的有关知识,我们采用另外一种角度来思考问题,教师给予必要的点拨和指导,即由cos 〈b ,a .-b 〉=||||)(b a b b a b --∙作为切入点,进行求解. 解:∵|b |=|a +b |,|b |=|a .|,∴b 2=(a +b )2.∴|b |2=|a |2+2a ·b +|b |2. ∴a ·b =-21|b |2. 而b ·(a -b )=b ·a -b 2=-21|b |2-|b |2=-23|b |2,① 由(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=|b |2-2×(-21)|b |2+|b |2=3|b |2, 而|a -b |2=(a -b )2=3|b |2,∴|a -b |=3|b |.②∵cos 〈b ,a .-b 〉=||||)(b a b b a b --∙,代入①②,得cos 〈b ,a -b 〉=-2323||3||||2-=∙b b b .又∵〈b ,a -b 〉∈［0,π］,∴〈b ,a -b 〉=65π. 点评:本题考查的是利用平面向量的数量积解决有关夹角问题,解完后教师及时引导学生对本解法进行反思、总结、体会. 变式训练设向量c =m a +n b (m,n∈R ),已知|a |=22,|c |=4,a .⊥c ,b ·c =-4,且b 与c 的夹角为120°,求m,n 的值.解:∵a ⊥c ,∴a ·c =0.又c =m a +n b ,∴c ·c =(m a +n b )·c ,即|c |2=m a ·c +n b ·c ∴|c |2=n b ·c.由已知|c |2=16,b ·c =-4, ∴16=-4n.∴n=-4. 从而c =m a -4b .∵b ·c =|b ||c |c os120°=-4, ∴|b |·4·(-21)=-4.∴|b |=2. 由c =m a -4b ,得a ·c =m a 2-4a ·b , ∴8m -4a ·b =0,即a ·b =2m.①再由c =m a -4b ,得b ·c =m a ·b -4b 2∴m a ·b -16=-4,即m a ·b =12.②联立①②，得2m 2=12,即m 2=6. ∴m=±6.故m=±6,n=-4. 例3 证明菱形的两条对角线互相垂直.图6证明:菱形ABCD 中,=(如图6), 由于AC =AD +AB ,BD =AD -AB , 可得·BD =(AD +AB )·(AD -AB ) =(AD )2-(AB )2=|AD |2-|AB |2=0,所以⊥BD ，即菱形的两条对角线互相垂直.例4 已知单位向量e 1,e 2的夹角为60°,求向量a =e 1+e 2,b =e 2-2e 1的夹角. 解:由单位向量e 1、e 2的夹角为60°,得e 1·e 2=c os60°=21, 所以a ·b =(e 1+e 2)·(e 2-2e 1) =-2e 1·e 1-e 1·e 2+e 2·e 2 =-2-21+1=-23.① 又|a |2=|e 1+e 2|2=|e 1|2+2e 1·e 2+|e 2|2=3,|b |2=|e 2-2e 1|2=4|e 1|2-4e 1·e 2+|e 2|2=3, 所以|a |=|b |=3.②由①②可得cos θ=213323||||-=⨯-=∙b a b a 又0＜θ＜π,所以θ=120°. 知能训练课本本节练习1—5. 课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识,数量积的定义、几何意义,数量积的重要性质,数量积的运算律.2.教师与学生总结本节学习的数学方法,归纳类比、定义法、数形结合等.在领悟数学思想方法的同时,鼓励学生多角度、发散性地思考问题,并鼓励学生进行一题多解. 作业课本习题2—53、5.设计感想本节的重要性是显而易见的,但本节有几个常见思维误区:不能正确理解向量夹角的定义,两个向量夹角的定义是指同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角,因此向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些常见的误区.同时利用向量的数量积不但可以解决两向量垂直问题,而且还可以解决两向量共线问题,要深刻理解两向量共线、垂直的充要条件,应用的时候才能得心应手.备课资料一、向量的向量积在物理学中,由于讨论像力矩以及物体绕轴旋转时的角速度与线速度之间的关系等这类问题的需要,就必须引进两向量乘法的另一运算——向量的向量积.定义如下: 两个向量a .与b 的向量积是一个新的向量c :(1)c 的模等于以a .及b 两个向量为边所作成的平行四边形的面积; (2)c 垂直于平行四边形所在的平面;(3)其指向使a .、b 、c 三向量成右手系——设想一个人站在c 处观看a .与b 时,a .按逆时针方向旋转一个小于180°的角而达到b ，如图8.图8向量a 与b 的向量积记作a ×b .设a 与b 两个向量的夹角为θ,则|a .×b |=|a ||b |sin θ.在上面的定义中已默认了a 、b 为非零向量,若这两个向量中至少有一个是零向量,则 a ×b =0.向量的向量积服从以下运算律: (1)a ×b =-b ×a ;(2)a ×(b +c )=a ×b +a ×c ; (3)(m a )×b =m(a ×b ). 二、备用习题1.已知a ,b ,c 是非零向量,则下列四个命题中正确的个数为( ) ①|a ·b |=|a ||b ⇔|a ∥b ②a 与b 反向⇔a ·b =-|a ||b | ③a ⊥b ⇔|a +b |=|a -b | ④|a |=|b |⇔|a ·c |=|b ·c |A..1B.2C.3D.4 2.有下列四个命题:①在△ABC 中,若AB ·＞0,则△ABC 是锐角三角形; ②在△ABC 中,若AB ·＞0,则△ABC 为钝角三角形; ③△ABC 为直角三角形的充要条件是·=0; ④△ABC 为斜三角形的充要条件是·BC ≠0.其中为真命题的是( )A..①B.②C.③D.④ 3.设|a |=8,e 为单位向量,a 与e 的夹角为60°,则a 在e 方向上的投影为( ) A..43 B.4 C.42D.8+23 4.设a ,b ,c 是任意的非零平面向量,且它们相互不共线,有下列四个命题:①(a ·b )c -(c ·a .)b =0;②|a |-|b |＜|a .-b |;③(b ·c )a -(c ·a )b 不与c 垂直;④(3a +2b )·(3a -2b )=9|a |2-4|b |2. 其中正确的是( )A.①②B.②③C.③④D.②④ 5.在△A.BC 中,设=b ,AC =c ,则22)(|)||(|c b c b ∙-等于( ) A..0 B.21S △ABC C.S △ABC D.2S △ABC 6.设i 、j 是平面直角坐标系中x 轴、y 轴方向上的单位向量,且a =(m+1)i -3j ,b =i +(m-1)j ,如果(a +b )⊥(a -b ),则实数m=_____________. 7.若向量a ,b ,c 满足a +b +c =0,且|a |=3,|b |=1,|c |=4,则a ·b +b ·c +c ·a =________________.8.设|a |=3,|b |=4,a .与b 的夹角为150°,求: (1)(a -3b )·(2a +b ); (2)|3a -4b |.9.已知|a |=2,|b |=3,a 与b 的夹角为45°,且向量λa +b 与a +λb 的夹角为锐角,求实数λ的取值范围.10.解：已知|a |=2,|b |=1,a 与b 的夹角为3π,求向量m =2a +b 与n =a -4b 的夹角的余弦值.解答:1.C2.B3.B4.D5.D6.-27.-138.(1)-30+303;(2)3144337+. 9.{λ|λ＜6851168511+->--λ或}. 10.解：由向量的数量积的定义,得a ·b =2×1×cos3π=1. ∵m =2a +b ,∴m 2=4a .2+b 2+4a .·b =4×4+1+4×1=21.∴|m |=21. 又∵n =a -4b ,∴n 2=a .2+16b 2-8a .·b =4+16-8=12. ∴|n |=23.设m 与n 的夹角为θ,则m ·n =|m ||n |cos θ.①又m ·n =2a 2-7a ·b -4b 2=2×4-7-4=-3.把m ·n =-3,|m|=21,|n |=23代入①式,得-3=21×23cos θ, ∴cos θ=-147,即向量m 与向量n 的夹角的余弦值为-147.。
北师大版高中数学高一必修4学案第二章5从力做的功到向量的数量积
从力做的功到向量的数量积预习课本P93～96，思考并完成以下问题1．向量的夹角的范围是什么？2．向量数量积的几何意义是什么？3．向量数量积有哪些性质？4．向量数量积的运算满足哪些运算律？[新知初探]1．向量的夹角(1)定义：已知非零向量a和b(如图所示)，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a和b的夹角，当θ＝0°时，向量a和b同向；当θ＝180°时，向量a和b反向．(2)垂直：如果向量a和b的夹角是90°，我们就说向量a与b垂直，记作a⊥b.规定：零向量可与任一向量垂直．[点睛]两向量的夹角的范围是[0，π]，但要注意，前提是共起点时才能指出夹角，若不满足，可先进行平移．2．向量的数量积(1)投影：若非零向量a，b的夹角为θ，则|b|cos θ叫作向量b在a方向上的投影数量(简称为投影)．(2)数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把|a||b|cos θ叫作a与b 的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.(3)数量积的特殊情况：当两个向量相等时，a·a＝|a|2.当两个向量e1，e2是单位向量时，e1·e2＝cos θ.(4)几何意义：a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的射影|b|cos θ的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的射影|a|cos θ的乘积．[点睛](1)两个向量的数量积是两个向量之间的乘法，它与以前学过的数的乘法是有区别的，在书写时只能写成a·b，而不能写成a×b或ab.(2)向量的数量积为一实数，可正、可负、可为0.这不同于数乘向量，其结果仍为向量．3．向量的数量积的性质(1)若e是单位向量，则e·a＝a·e＝|a|cos θ；(2)a⊥b⇔a·b＝0；(3)|a|＝a·a；(4)cos θ＝a·b|a||b|(|a||b|≠0)；(5)对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．4．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a (交换律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c (分配律)．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a≠0，且a·b＝a·c，则b＝c ()(2)在△ABC中，∠A＝60°，则AB与CA的夹角为60°()(3)对任意两个向量a，b，都有a·b≤|a||b| ()答案：(1)×(2)×(3)√2．下面给出的关系式中正确的个数是()①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.A．1 B．2C．3 D．4解析：选C ①②③显然正确．对于④，|a·b |＝|a ||b |·|cos θ|(设θ为a ，b 的夹角)，a·b ＝|a ||b |cos θ，故a·b ≤|a·b |，故④错误．对于⑤，(a·b )2＝(|a |·|b |cos θ)2＝a 2·b 2cos 2θ≠a 2·b 2(设θ为a ，b 的夹角)，故⑤错误．3．设向量a ，b 均为单位向量，且(a ＋b )2＝1，则a 与b 的夹角为 ( ) A. π3 B. π2 C. 2π3D. 3π4解析：选C (a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝2＋2a·b ＝1，则a·b ＝－12.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a ||b |＝－12，又θ∈[0，π]，所以θ＝2π3.4．已知向量a 和向量b 的夹角为30°，|a |＝2，|b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a·b ＝________.解析：a·b ＝|a ||b |cos 30°＝2×3×32＝3. 答案：3平面向量数量积的运算[典例] (1)已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2，求：①a ·b; ②(a ＋b )·(a －2b )．(2)如图，设正三角形ABC 的边长为2，AB ＝c ，BC ＝a ，CA ＝b ， 求a ·b ＋b ·c ＋c ·a .[解] (1)①由已知得a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4×2×cos 120°＝－4. ②(a ＋b )·(a －2b )＝a 2－a ·b －2b 2＝16－(－4)－2×4＝12.(2)∵|a |＝|b |＝|c |＝2，且a 与b ，b 与c ，c 与a 的夹角均为120°， ∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝2×2×cos 120°×3＝－3.向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算． [活学活用]1．已知向量a ，b 满足|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 上的投影是________． 解析：已知向量a ，b 的夹角θ＝60°，故b 在a 上的投影为|b |cos θ＝2cos 60°＝2×12＝1.答案：12．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE ·BD ＝________.解析：因为AE ＝AD ＋12AB ，BD ＝AD －AB ，所以AE ·BD ＝⎝⎛⎭⎫AD ＋12AB ·(AD －AB ) ＝AD 2－12AD ·AB －12AB 2＝2.答案： 2向量模的问题 [典例] 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3.求|a ＋b |，|a －b |.[解] 由题意知a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×12＝252.因为|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a·b ＝25＋25＋2×252＝75， 所以|a ＋b |＝5 3.同理因为|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2a·b ＝25， 所以|a －b |＝5. [一题多变]1．[变设问]本例的条件不变，求|3a ＋b |.解：∵a ·b ＝|a ||b |cos θ＝252，∴|3a ＋b |＝(3a ＋b )2＝9a 2＋b 2＋6a ·b ＝513.2．[变条件，变设问]本例的已知条件若改为|a |＝|b |＝5，且|3a －2b |＝5，如何求|3a ＋b |的值？ 解：因为|3a －2b |2＝9a 2－12a·b ＋4b 2 ＝9×25－12a·b ＋4×25 ＝325－12a·b ， 又因为|3a －2b |＝5，所以325－12a·b ＝25，即a·b ＝25.所以|3a ＋b |2＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝9×25＋6×25＋25＝400. 所以|3a ＋b |＝20.求向量的模的常用思路及方法(1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a 2＝|a |2，勿忘记开方．(2)a·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．(3)一些常见的等式应熟记，如(a ±b )2＝a 2±2a·b ＋b 2，(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2等．两个向量的夹角与垂直问题[典例] (1)已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________．(2)已知非零向量a ，b 满足a ＋3b 与7a －5b 互相垂直，a －4b 与7a －2b 互相垂直，求a 与b 的夹角．[解析] (1)设a 与b 的夹角为θ，依题意有：(a ＋2b )·(a －b )＝a 2＋a ·b －2b 2＝－7＋2cos θ＝－6，所以cos θ＝12，因为0≤θ≤π，故θ＝π3.[答案]π3(2)解：设a 与b 的夹角为θ.由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋3b )·(7a －5b )＝0，(a －4b )·(7a －2b )＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧7a 2＋16a ·b －15b 2＝0， ①7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0， ②②－①得23b 2－46a ·b ＝0， ∴2a ·b ＝b 2，代入①得a 2＝b 2， ∴|a |＝|b |，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12b2|b |2＝12.∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.求向量a ，b 的夹角θ的思路(1)求向量的夹角的关键是计算a ·b 及|a ||b |，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝a ·b |a ||b |，最后借助θ∈[0，π]，求出θ值．(2)在个别含有|a |，|b |与a ·b 的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值． [活学活用]1．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝3，且(3a －2b )⊥a ，则a 与b 的夹角为 ( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：选A 由(3a －2b )⊥a ，得(3a －2b )·a ＝3|a |2－2a·b ＝0⇒a·b ＝32|a |2＝32，又a·b ＝|a |·|b |cos〈a ，b 〉，所以cos 〈a ，b 〉＝323＝32⇒〈a ，b 〉＝π6.2．已知|a |＝2，|b |＝1，向量a 与b 的夹角为45°，求使向量2a ＋λb 与λa －3b 的夹角为锐角时λ的取值范围．解：设向量2a ＋λb 与λa －3b 的夹角为θ. ∵向量2a ＋λb 与λa －3b 的夹角为锐角， ∴(2a ＋λb )·(λa －3b )|2a ＋λb ||λa －3b |＞0，即(2a ＋λb )·(λa －3b )＞0， 2λa 2＋(λ2－6)a·b －3λb 2＞0. ∵a 2＝|a |2＝2，b 2＝|b |2＝1， a·b ＝|a ||b |cos 45°＝2×1×22＝1， ∴4λ＋λ2－6－3λ＞0，即λ2＋λ－6＞0， ∴λ＜－3或λ＞2.设2a ＋λb ＝k (λa －3b )＝kλa －3kb ，则⎩⎪⎨⎪⎧2＝kλ，λ＝－3k ，∴λ2＝－6， 即此时λ不存在，向量2a ＋λb 与λa －3b 不共线．综上，向量2a ＋λb 与λa －3b 的夹角为锐角时，λ＜－3或λ＞2.层级一 学业水平达标1．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a·b ＝2，则a 与b 的夹角θ为 ( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：选C 由题意，知a·b ＝|a ||b |cos θ＝4cos θ＝2，又0≤θ≤π，所以θ＝π3.2．已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影为32，则a·b 等于 ( )A ．3 B.92 C ．2D.12解析：选B 设a 与b 的夹角为θ.∵|a |cos θ＝32，∴a·b ＝|a ||b |cos θ＝3×32＝92.3．若|a |＝4，|b |＝6，a 与b 的夹角为135°，则a ·(－b )等于 ( )A ．12B ．－12C ．12 2D ．－12 2解析：选C ∵a ·(－b )＝－a·b ＝－|a |·|b |cos 135°＝－4×6×⎝⎛⎭⎫－22＝12 2. 4．若AB ·BC ＋AB 2＝0，则△ABC 为 ( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰直角三角形解析：选A AB ·BC ＋AB ·AB ＝0， AB ·(BC ＋AB )＝0，AB ·AC ＝0， ∴AB ⊥AC ，∴∠A ＝90°. ∴△ABC 为直角三角形．5．已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13，则|b |＝ ( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．1解析：选B ∵|a ＋b |＝13， ∴(a ＋b )2＝13，即a 2＋2a·b ＋b 2＝13， 也就是|a |2＋2|a ||b |cos θ＋|b |2＝13.将θ＝120°，|a |＝3代入可得|b |2－3|b |－4＝0. 解得|b |＝4或|b |＝－1(舍去)．6．已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝13，若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝________.解析：因为a 2＝(3e 1－2e 2)2＝9－2×3×2×cos α＋4＝9，所以|a |＝3. 答案：37．如果a ，b ，a －b 的模分别为2,3，7，则a 与b 的夹角为________．解析：设a 与b 的夹角为θ，由|a －b |2＝a 2－2a·b ＋b 2，得7＝13－12cos θ，即cos θ＝12.又0≤θ≤π，故θ＝π3.答案：π38．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，则BC ·CA ＋AB ·BC ＝________. 解析：注意到BC 与CA ，AB 与BC 所成的角都是等边三角形的外角，为120°，故BC ·CA ＋AB ·BC ＝2×(2×2×cos 120°)＝－2.答案：－29．设非零向量a 和b ，它们的夹角为θ.(1)若|a |＝5，|b |＝4，θ＝150°，求a 在b 方向上的投影和a 与b 的数量积； (2)若a·b ＝9，|a |＝6，|b |＝3，求b 在a 方向上的投影和a 与b 的夹角θ. 解：(1)a 在b 方向上的投影为 |a |cos θ＝5cos 150°＝－532，a·b ＝|a ||b |cos θ＝5×4×cos 150°＝－10 3. (2)b 在a 方向上的投影为|b |cos θ＝a·b |a |＝96＝32. ∵cos θ＝a·b |a ||b |＝96×3＝12，且0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.10．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°.(1)计算|4a －2b |；(2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(ka －b )? 解：由已知，a ·b ＝4×8×⎝⎛⎭⎫－12＝－16. (1)∵(4a －2b )2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2 ＝16×16－16×(－16)＋4×64 ＝3×162， ∴|4a －2b |＝16 3. (2)若(a ＋2b )⊥(ka －b )， 则(a ＋2b )·(ka －b )＝0. ∴ka 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，即16k －16(2k －1)－2×64＝0，∴k ＝－7.层级二 应试能力达标1．(重庆高考)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4D ．π解析：选A 由(a －b )⊥(3a ＋2b )，得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a ·b －2b 2＝0.又∵|a |＝223|b |，设〈a ，b 〉＝θ，即3|a |2－|a |·|b |·cos θ－2|b |2＝0，∴83|b |2－223|b |2·cos θ－2|b |2＝0.∴cos θ＝22.又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4. 2．在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，且AC ·BD ＝0，则四边形ABCD 是 ( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．直角梯形D ．等腰梯形解析：选B ∵AB ＝DC ，即一组对边平行且相等，AC ·BD ＝0，即对角线互相垂直，∴四边形ABCD 为菱形．3．已知|a |＝1，|b |＝1，|c |＝2，a 与b 的夹角为90°，b 与c 的夹角为45°，则a·(b·c )为( ) A ．0 B ．a C ．bD ．c解析：选B a·(b·c )＝a ·(|b ||c |·cos 45°)＝a ·⎝⎛⎭⎫1×2×22＝a .故选B. 4．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP ＝2PM ，则AP ·(PB ＋PC )等于( ) A. 49 B. 43 C ．－43D ．－49解析：选A ∵AM ＝1，且AP ＝2PM ，∴|AP |＝23.如图，AP ·(PB ＋PC )＝AP ·2PM ＝AP · AP ＝(AP )2＝⎝⎛⎭⎫232＝49.5．若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是________． 解析：由|a ＋b |2＝|a －b |2知a·b ＝0. 又|a －b |2＝4|a |2， ∴|a |2－2a·b ＋|b |2＝4|a |2.∴|b|2＝3|a|2，∴|b|＝3|a|.∴cos θ＝(a＋b)·(a－b)4|a|2＝|a|2－|b|24|a|2＝－12.又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3.答案：2π36. 如图，圆O的半径为1，点A，B，C是圆O上的点，且∠AOB＝30°，AC＝2AB，则OA·BC＝________.解析：∵∠AOB＝30°，AC＝2AB，∴∠AOC＝2∠AOB＝60°.∴OA·BC＝OA·(OC－OB)＝OA·OC－OA·OB＝1×1×cos 60°－1×1×cos 30°＝1－32.答案：1－327．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a，b的夹角为60°.(1)求(2a－b)·(a＋b)；(2)若(a＋b)⊥(λa－2b)，求实数λ的值．解：(1)由题意，得a·b＝|a|·|b|cos 60°＝1×4×12＝2，∴(2a－b)·(a＋b)＝2a2＋a·b－b2＝2＋2－16＝－12.(2)∵(a＋b)⊥(λa－2b)，∴(a＋b)·(λa－2b)＝0，∴λa2＋(λ－2)a·b－2b2＝0，∴λ＋2(λ－2)－32＝0，∴λ＝12.8．已知向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且|a|＝3，|b|＝5，|c|＝7.(1)求a与b的夹角θ；(2)是否存在实数μ使μa＋b与a－2b垂直？解：(1)∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴|a＋b|＝|c|.∴(a ＋b )2＝c 2，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝c 2.∴a·b ＝c 2－a 2－b 22＝|c |2－|a |2－|b |22＝49－9－252＝152. 又∵a·b ＝|a ||b |cos θ，∴152＝3×5×cos θ. ∴cos θ＝12，θ＝60°. (2)∵(μa ＋b )⊥(a －2b )，∴(μa ＋b )·(a －2b )＝0.∴μa 2－2b 2－2μa ·b ＋a ·b ＝0.∴9μ－2×25－2μ×152＋152＝0. ∴μ＝－8512. ∴存在μ＝－8512，使得μa ＋b 与a －2b 垂直．。
高中数学必修4北师大版2.5从力做的功到向量的数量积教案
2.5从力做的功到向量的数量积 一、新旧知识连接：力做的功：||||cos W F S F S θ==u u r u r u r r r g g ， θ是F r 与S u r 的夹角 二、我能自学： ②.定义：平面向量数量积（内积）的定义，a b =r r g 并规定0r 与任何向量的数量积为0。
⋅③. 两向量所成角θ的判断，向量夹角的概念：θ范围④．讨论向量的投影（射影）向量a b r r 在上的投影⑤．讨论θ，0,,,0,222πππθθθπθθπ===<<<<得到数量积的相关性质；⑥．数量积相关运算律 。
三、巩固训练1．判断下列各题正确与否：①若a = 0，则对任一向量b ，有a •b = 0.②若a ≠ 0，则对任一非零向量b ，有a •b ≠ 0.③若a ≠ 0，a •b = 0，则b = 0.④若a •b = 0，则a 、b 至少有一个为零.⑤ 若a ≠ 0，a •b = a •c ，则b = c .⑥若a •b = a •c ，则b = c 当且仅当a ≠ 0时成立.⑦对任意向量a 、b 、c ，有(a •b ) •c ≠ a • (b •c ).⑧对任意向量a ，有a 2 = |a |2.2.2.()1(,120,32220+-==求的夹角为与3.已知b a 、都是非零向量，且b a b a 573-+与垂直， 274--与垂直，求的夹角。
4．设两个向量1e ρ、2e ρ，满足2||1=e ρ，1||2=e ρ，1e ρ、2e ρ的夹角为60°，若向量2172e e t ρρ+与向量21e t e ρρ+的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.解：421=e ρ，122=e ρ，121=⋅e e ρρ ∴ 71527)72(2)()72(222212212121++=+⋅++=+⋅+t t e t e e t e t e t e e e t ρρρρρρρρ ∴ 071522<++t t 217-<<-t 设)(722121e t e e e ρρρρ+=+λ )0(<λ 14,21472722-=-=⇒=⇒⎩⎨⎧==⇒λλλt t t t∴ -=t 214时，2172e e t ρρ+与21e t e ρρ+的夹角为π， ∴ t 的取值范围是)21,214()214,7(----Y 。
北师大版必修4 2.5 从力做的功到向量的数量积 学案
§5 从力做的功到向量的数量积Q 情景引入ing jing yin ru水上飞机用绳索拉着人进行的水上运动，会让人感觉自己在水上漂动，异常轻松刺激．要用物理原理来分析的话，这说明飞机的拉力对人做了功．这种现象在现实生活中还有很多，在数学中两个向量也有类似的运算应用．那么它们遵循什么规律呢？请看本节学习的内容．X 新知导学in zhi dao xue1．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫作向量a 与b 的__夹角__，并规定夹角的范围是__0°≤θ≤180°__.当__θ＝0°__时，a 与b 同向；当__θ＝180°__时，a 与b 反向；当__θ＝90°__时，a 与b 垂直，记作a ⊥b .规定：零向量可与任一向量__垂直__ . 2．向量的数量积(或内积) (1)定义：__|a ||b |cos θ__叫作向量a 和b 的数量积，记作a ·b ，即__a ·b __＝__|a ||b |cos θ__. (2)几何意义：a 与b 的数量积等于a 的长度|a |与b 在a 方向上的射影__|b |cos θ__的乘积，或b 的长度|b |与a 在b 方向上的射影__|a |cos θ__的乘积．3．向量数量积的性质由向量数量积的定义和几何意义，我们可得到如下性质： (1)若e 是单位向量，则e ·a ＝__a ·e __＝__|a |cos θ__.(2)若a ⊥b ，则__a ·b ＝0__；反之，若__a ·b ＝0__，则a ⊥b .通常记作a ⊥b ⇔__a ·b ＝0__. (3)|a |＝__a ·a __. (4)cos θ＝__a ·b|a |·|b |__(|a |·|b |≠0)． (5)对任意两个向量a ，b ，有|a ·b |≤|a |·|b |. 当且仅当__a ∥b __时等号成立． 4．向量数量积的运算律给定向量a ，b ，c 和实数λ，有以下结果： a ·b ＝__b ·a __；(λa )·b ＝__λ(a ·b )__＝__a ·(λb )__； a ·(b ＋c )＝__a ·b ＋a ·c __.Y 预习自测u xi zi ce1．若|a |＝3，|b |＝4，a ，b 的夹角为135°，则a ·b ＝( B ) A ．－32 B ．－62 C ．62D ．12 [解析] ∵a ·b ＝|a ||b |cos 135°＝3×4×(－22)＝－6 2. 2．已知向量|a |＝10，|b |＝12，且a ·b ＝－60，则向量a 与b 的夹角为( B ) A ．60° B ．120° C ．135°D ．150°[解析] 设a 与b 的夹角为θ， 则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－6010×12＝－12，∴θ＝120°.3．已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝( D ) A ．－32a 2B ．－34a 2C ．34a 2D ．32a 2[解析] BD →·CD →＝BD →·BA →＝(BA →＋BC →)·BA →＝(BA →)2＋BC →·BA →＝|BA →|2＋|BC →|·|BA →|cos ∠ABC ＝a 2＋a 2×cos 60°＝32a 2.故选D ．4．已知|a |＝3，|b |＝5，a ·b ＝12，则a 在b 方向上的射影为__125__.[解析] 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝123×5＝45，而a 在b 方向上的射影为|a |cosθ＝3×45＝125.H 互动探究解疑 u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨向量数量积的定义及几何意义典例1 已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°.(1)求a ·b ；(2)求a 在b 上的射影．[思路分析] 已知向量a ，b 的模及其夹角，求a ·b 及a 在b 上的射影，解答本题只需依据数量积的定义及其几何意义求解即可．[解析] (1)a ·b ＝|a ||b |·cos θ＝5×4×cos 120°＝－10； (2)a 在b 上的射影为|a |·cos θ＝a ·b |b |＝－104＝－52.『规律总结』 (1)数量积的符号同夹角的关系： ①若a ·b >0⇔θ为锐角或零角；②若a ·b ＝0⇔θ＝π2或a 与b 至少有一个为0；③若a ·b <0⇔θ为钝角或平角． (2)求平面向量数量积的方法①若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a ·b ＝|a ||b |cos θ.②若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影，可利用数量积的几何意义求a ·b . 〔跟踪练习1〕(1)在题设不变的情况下，求b 在a 上的射影； (2)把“a 与b 的夹角θ＝120°”换成“a ∥b ”，求a ·b . [解析] (1)b 在a 上的射影为|b |cos θ＝a ·b |a |＝－105＝－2；(2)∵a ∥b ，∴a 与b 的夹角θ＝0°或180°. 当θ＝0°时，a ·b ＝ |a ||b |cos 0°＝20.当θ＝180°时，a ·b ＝|a ||b |cos 180°＝－20. 命题方向2 ⇨平面向量的数量积的运算律典例2 已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为120°，试求：(1)a ·b ；(2)(a ＋b )·(a －b )； (3)(2a －b )·(a ＋3b )．[思路分析] 根据数量积、模、夹角的定义，逐一进行计算即可． [解析] (1)a ·b ＝|a |·|b |cos 120°＝2×3×(－12)＝－3.(2)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－a ·b ＋a ·b －b 2＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝4－9＝－5.(3)(2a －b )·(a ＋3b )＝2a 2＋6a ·b －a ·b －3b 2＝2|a |2＋5a ·b －3|b |2＝2×4－5×3－3×9＝－34.『规律总结』 求向量的数量积的两个关键点求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角．若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简．〔跟踪练习2〕已知|a |＝3，|b |＝4，θ＝120°(θ为a 与b 的夹角)，试求：(1)a ·b ；(2)(a ＋b )·(a －b )；(3)(a ＋b )·(a ＋b )；(4)(a －2b )·(3a ＋b )．[分析] 将所给问题转化为数量积，并代入公式a·b ＝|a |·|b |cos θ求． [解析] (1)原式＝|a |·|b |·cos θ＝12×cos 120°＝－6； (2)原式＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝9－16＝－7；(3)原式＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2＋|b |2＋2|a |·|b |·cos θ＝9＋16＋2×(－6)＝13. (4)原式＝3a 2－5a ·b －2b 2＝3|a |2－2|b |2－5·|a |·|b |·cos θ＝27－32－5×(－6)＝25. 命题方向3 ⇨向量的夹角典例3 已知a ，b 是两个非零向量，且|a |＝|b |＝|a －b |.求a 与a ＋b 的夹角．[思路分析] 根据题中所给等式求出向量a 与a ＋b 的夹角公式中涉及的所有量，代入公式求解即可．[解析] ∵|a |＝|a －b |， ∴|a |2＝|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2. 又|a |＝|b |，∴a ·b ＝12|a |2，又|a ＋b |＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3|a |，设a 与a ＋b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·(a ＋b )|a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b|a ||a ＋b |＝|a |2＋12|a |2|a |·3|a |＝32，又θ∈[0，π]，∴θ＝π6，即a 与a ＋b 的夹角为π6.『规律总结』 向量夹角公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |的计算中涉及了向量运算和数量运算，计算时要区别进行的是向量运算还是数量运算．从而保证计算结果准确无误．〔跟踪练习3〕若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( C )C ．120°D ．150°[解析] ∵(2a ＋b )·b ＝0，∴2a ·b ＋b 2＝0. ∴2|a |·|b |cos θ＋|b |2＝0.又∵|a |＝|b |，∴cos θ＝－12，即θ＝120°，选C 项．命题方向4 ⇨求向量的模典例4 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |、|a －b |.[解析] 解法一：由数量积公式|a |＝a 2求解． 因为a 2＝|a |2＝25，b 2＝|b |2＝25， a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×cos π3＝252，所以|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝25＋25＋25＝5 3.同样可求|a －b |＝(a －b )2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝25＋25－25＝5.解法二：由向量线性运算的几何意义求作菱形ABCD ，使AB ＝AD ＝5， ∠DAB ＝π3，设AB →＝a ，AD →＝b ，如图所示，则|a －b |＝|BD →|＝|AB →|＝5，|a ＋b |＝|AC →|＝2|AE →|＝2×32×5＝5 3.『规律总结』 (1)利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：①a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a ， ②|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2.由关系式a 2＝|a |2，可使向量的长度与向量的数量积互相转化．因此欲求|a ＋b |，可求(a ＋b )·(a ＋b )，将此式展开．(2)利用向量线性运算的几何意义就转化到求平面几何中长度的计算上来了． 〔跟踪练习4〕已知|a |＝2，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则|a －b |的值为( B ) A ．4B ．27[解析] ∵a ·(b －a )＝2， ∴a ·b －a 2＝2.∴a ·b ＝2＋a 2＝2＋|a |2＝2＋22＝6. ∵|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2 ＝|a |2－2a ·b ＋|b |2 ＝22－2×6＋62＝28， ∴|a －b |＝27. X 学科核心素养ue ke he xin su yang用向量数量积解决垂直问题典例5 已知a ，b 是非零向量，θ为a ，b 的夹角，当|a ＋t b |(t ∈R )取最小值时，(1)求t 的值；(2)已知a 与b 共线且同向，求证：b ⊥(a ＋t b )．[思路分析] (1)将a ＋t b 的模表示为t 的函数，问题转化为求函数的最值问题；(2) 要证b ⊥(a ＋t b )，只需证b ·(a ＋t b )＝0.[解析] (1)令m ＝|a ＋t b |，则m 2＝|a |2＋2a ·t b ＋t 2|b |2＝t 2|b |2＋2t |a ||b |cos θ＋|a |2＝|b |2⎝⎛⎭⎫t ＋|a ||b |cos θ2＋|a |2sin 2θ， 所以当t ＝－|a ||b |cos θ时，|a ＋t b |有最小值|a |sin θ.(2)证明：因为a 与b 共线且方向相同，故cos θ＝1， 所以t ＝－|a ||b |.故b ·(a ＋t b )＝a·b ＋t |b |2＝|a ||b |－|a ||b |＝0， 所以b ⊥(a ＋t b )．『规律总结』 本题是一道平面向量与函数交汇的题，旨在考查平面向量的模、向量垂直及二次函数的最值等知识．(1)中求解时利用向量数量积的运算，将a ＋t b 的模的平方表示为t 的二次函数，借助于二次函数有最小值时，求t 的值；(2)中只需证出b ·(a ＋t b )＝0，求解时利用a 与b 共线且同向的条件，确定t 的值．本题主要考查转化与化归的思想方法．〔跟踪练习5〕已知|a |＝5，|b |＝4，且a 与b 的夹角为120°，则当k 为何值时，向量k a－b 与a ＋2b 垂直？[分析] 利用c ⊥d ⇔c ·d ＝0，构造关于k 的方程组求解． [解析] ∵(k a －b )⊥(a ＋2b )， ∴(k a －b )·(a ＋2b )＝0， k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0.∴k ×52＋(2k －1)×5×4×cos 120°－2×42＝0， ∴k ＝225.即k 为225时，向量k a －b 与向量a ＋2b 垂直．Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi未认清向量的夹角典例6 △ABC 的三边长均为1，且BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，求a·b ＋b·c ＋c·a的值．[错解] ∵△ABC 的三边长均为1，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°. 又|a |＝|b |＝|c |＝1，∴a·b ＝|a ||b |cos C ＝cos 60°＝12.同理b·c ＝c·a ＝12，∴原式＝32.[辨析] 错误的原因在于认为a 与b 的夹角为∠C .其实两向量的夹角应为平面上同一起点的两条有向线段所夹的角，夹角范围是[0°，180°]，故涉及向量夹角的问题时，一要弄清是哪个角，二要注意角的范围的限制．[正解] ∵△ABC 的三边长均为1，∴∠C ＝60°，∴a 与b 的夹角为180°－∠C ＝120°，∴a·b ＝|a ||b |cos 120°＝1×1×(－12)＝－12.同理b·c ＝c·a ＝－12，∴原式＝－32.『规律总结』 在用向量求三角形内角或进行数量积运算时，特别注意三角形内角不一定是两向量夹角．〔跟踪练习6〕若向量a ＋b ＋c ＝0，且|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，求a ·b ＋b ·c ＋c ·a 的值． [思路分析] 先由已知条件分析出a ，b ，c 的位置关系，找准它们之间的夹角，再用数量积的定义计算．也可用整体处理法解决．[解析] 方法一：由已知得|c |＝|a |＋|b |，c ＝－a －b ，可知向量a 与b 同向，而向量c 与它们反向，所以有a ·b ＋b ·c ＋c ·a＝3cos 0°＋4cos 180°＋12cos 180° ＝3－4－12＝－13. 方法二：∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )， ∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a＝(a ＋b ＋c )2－(a 2＋b 2＋c 2)2＝0－(32＋12＋42)2＝－13.K 课堂达标验收e tan g da biao yan shou1．若a ·c ＝b ·c (c ≠0)，则( D ) A ．a ＝b B ．a ≠b C ．|a |＝|b |D ．a 在c 方向上的投影与b 在c 方向上的投影必相等 [解析] 设a 与c 的夹角为θ1，b 与c 的夹角为θ2， ∵a ·c ＝b ·c ，∴|a ||c |cos θ1＝|b |·c |cos θ2， 即|a |cos θ1＝|b |cos θ2，故选D ． 2．下列命题正确的是( D ) A ．|a ·b |＝|a ||b | B ．a ·b ≠0⇔|a |＋|b |≠0 C ．a ·b ＝0⇔|a ||b |＝0D ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c[解析] 选项D 是分配律，正确，A 、B 、C 不正确．3．(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( B )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6[解析] 由(a －b )⊥b ，可得(a －b )·b ＝0，∴a ·b ＝b 2.∵|a |＝2|b |，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝b 22b 2＝12.∵0≤〈a ，b 〉≤π，∴a 与b 的夹角为π3.故选B ．。
高中数学第二章平面向量2.5从力做的功到向量的数量积导学案北师大版必修4
2.5 从力做功到向量数量积问题导学1．向量数量积定义及几何意义活动与探究1|a|＝5，|b|＝4，a与b夹角θ＝120°．(1)求a·b；(2)求a在b上射影．迁移与应用(1)在题设不变情况下，求b在a上射影；(2)把“a与b夹角θ＝120°〞换成“a∥b〞，求a·b．(1)数量积符号同夹角关系：①假设a·b＞0⇔θ为锐角或零角；②假设a·b＝0⇔θ＝π2或a与b至少有一个为0；③假设a·b＜0⇔θ为钝角或平角．(2)求平面向量数量积方法①假设向量模及其夹角，那么直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ．②假设一向量模及另一向量在该向量上射影，可利用数量积几何意义求a·b．2．平面向量数量积运算活动与探究2|a|＝4，|b|＝5，且a与b夹角为60°，求①a·b；②(a＋b)2；③(a－b)2；④a2－b2；⑤(2a＋3b)·(3a－2b)．迁移与应用1．假设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b夹角为45°，那么a·a＋a·b＝__________．2．向量a与b夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(2a ＋b)＝__________．向量数量积运算中要注意问题：(1)两向量数量积是数量，不是向量，注意区分其运算性质与数乘向量、实数与实数乘积差异．(2)向量数量积与代数式运算三个相近公式． (a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2；(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2； (a －b )2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2．(3)向量数量积表示中“·〞，既不能省略，也不能写成“×〞． 3．求向量模 活动与探究3(1)向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，那么|2a －b |＝( )．A ．0B ．2 2C ．4D ．8(2)|a |＝|b |＝5，向量a 与b 夹角为π3，求|a ＋b |，|a ＋2b |．迁移与应用平面向量a ，b ，|a|＝1，|b|＝2，a ⊥(a －2b )，求|3a ＋b|，|a －2b|．求向量模常见思路及方法：(1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系要灵活应用a 2＝|a |2，勿忘记开方．(2)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2，此性质可用来求向量模，可以实现实数运算与向量运算相互转化．4．求向量夹角问题 活动与探究4|a|＝1，a·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12，求：(1)a 与b 夹角；(2)a －b 与a ＋b 夹角余弦值． 迁移与应用1．假设向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a·(a ＋b )＝1，那么向量a ，b 夹角大小为__________．2．非零向量a ，b 满足|a|＝|b|＝|a ＋b|． 求：(1)a 与a ＋b 夹角； (2)a 与a －b 夹角． 向量夹角求法：(1)求向量夹角要利用公式cos θ＝a·b|a||b|，通常分别要求a·b 与|a|·|b|值．(2)对于不方便单独求出a·b与|a|·|b|值问题，可寻求两者关系，转化条件解方程(组)．(3)要注意向量夹角取值范围为[0，π]，涉及到具体几何图形问题要注意向量方向，区分几何图形内角与向量夹角关系．5．解决有关垂直问题活动与探究5a⊥b，且|a|＝2，|b|＝1，假设对两个不同时为零实数k，t，使得a＋(t－3)b与－k a＋t b垂直，试求k最小值．迁移与应用a，b是两个非零向量，假设a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，试求a与b夹角θ．向量垂直应用(1)理论依据：a⊥b⇔a·b＝0．(2)利用向量垂直求参数取值，通常是由向量垂直，转化为数量积为0，再利用方程或函数思想来求解．当堂检测1．假设|a|＝5，|b|＝6，〈a，b〉＝60°，那么a·b＝( )．A．15 B．15 3 C．15 2 D．102．|a|＝4，|b|＝3，a·b＝－6，那么a与b夹角为( )．A．150° B．120° C．60°D．30°3．两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，那么下面结论正确是( )．A．a∥b B．a⊥bC．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b4．假设|a|＝1，|b|＝2，a与b夹角为60°，那么|a＋3b|＝__________．5．两个非零向量a，b，夹角θ＝120°，且(a－3b)⊥(7a＋5b)，问是否存在实数λ，满足(a－4b)⊥(λa－b)课前预习导学 【预习导引】1．(1)夹角 (2)[0°，180°] (3)垂直 (4)同向 反向 垂直a ⊥b预习交流1 120° 120°2．(1)|a ||b |cos θ a·b |a ||b |cos θ (2)|b |cos θ |a |cos θ (3)F·s预习交流2 提示：无关．由向量射影定义知，a 在b 方向上射影为|a |cos θ，其中θ为a ，b 夹角，所以a 在b 方向上射影只与|a |与a ，b 夹角有关．预习交流3 C 解析：m ·n ＝|m ||n |cos 135°＝4×6×⎝⎛⎭⎪⎪⎫－22＝－12 2.3．(2)|e 1||e 2|cos θ cos θ (3)a ·e |a |cos θ (4)a ·b＝0 (5)|a | (6)a ·b|a ||b | (7)≤ 等号预习交流4 (1)120° (2)74．(1)a ·b ＝b·a (2)a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c (3)λ(a·b ) a ·(λb )预习交流5 (1)提示：假设a ，b ，c 为实数，当b ≠0时，ab ＝bc ⇒a ＝c ，但对于向量数量积，该推理不正确，即a·b ＝b·cDa ＝c .由下列图很容易看出，虽然a·b ＝b·c ，但a≠c .(2)提示：对实数a ，b ，c 而言，(ab )c ＝a (bc )；但对向量a ，b ，c 而言，(a·b )c ＝a (b·c )未必成立，这是因为(a·b )c 表示一个与c 共线向量，而a (b·c )表示一个与a 共线向量，而c 与a 不一定共线，所以(a·b )c ＝a (b·c )未必成立．课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 解：(1)a·b ＝|a||b|·cos θ＝5×4×cos 120°＝－10；(2)a 在b 上射影为|a |·co s θ＝a·b |b|＝－104＝－52.迁移与应用 解：(1)b 在a 上射影为|b |cos θ＝a·b |a|＝－105＝－2；(2)∵a ∥b ，∴a 与b 夹角θ＝0°或180°. 当θ＝0°时，a·b ＝|a||b|cos 0°＝20.当θ＝180°时，a·b ＝|a||b|cos 180°＝－20.活动与探究2 解：①a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝4×5×12＝10；②(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝16＋20＋25＝61； ③(a －b )2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝16－20＋25＝21； ④a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝16－25＝－9；⑤(2a ＋3b )·(3a －2b )＝6|a |2＋5|a ||b |cos 60°－6|b |2＝6×16＋5×4×5×12－6×25＝－4.迁移与应用 1．1＋22 解析：a ·a ＋a ·b ＝1＋1×1×cos45°＝1＋22.2．0 解析：b ·(2a ＋b )＝2a ·b ＋b 2＝2|a ||b |cos 120°＋|b |2＝2×4×4×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＋42＝－16＋16＝0. 活动与探究3 (1)B 解析：|2a －b |＝2a －b2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4－4×0＋4＝2 2.(2)解：因为a 2＝|a |2＝25，b 2＝|b |2＝25，a·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×cos π3＝252，所以|a ＋b |＝a ＋b 2＝a 2＋b 2＋2a·b＝25＋25＋25＝5 3.|a ＋2b |＝a ＋2b2＝a 2＋4a·b ＋4b 2＝25＋4×252＋4×25＝175＝57.迁移与应用 解：∵a ⊥(a －2b )， ∴a·(a －2b )＝0， ∴a 2－2a·b ＝0，∴a·b ＝12.|3a ＋b |＝3a ＋b2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝9×1＋6×12＋4＝4.|a －2b |＝a －2b2＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝12－4×12＋4×22＝15.活动与探究4 解：(1)∵(a －b )·(a ＋b )＝|a |2－|b |2＝12，又|a |＝1，∴|b |2＝12，∴|b |＝22.设a 与b 夹角为θ，那么cos θ＝a ·b|a ||b |＝121×22＝22，∴θ＝45°.∴a 与b 夹角为45°.(2)|a －b |＝a －b2＝a 2－2a ·b ＋b 2 ＝1－2×12＋12＝22，|a ＋b |＝a ＋b2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝1＋2×12＋12＝102.设a －b 与a ＋b 夹角为φ，那么cos φ＝a －b ·a ＋b|a －b ||a ＋b |＝1222×102＝55. ∴a －b 与a ＋b 夹角余弦值为55.迁移与应用 1．135° 解析：设夹角为θ，∵a ·(a ＋b )＝1，∴|a |2＋a·b ＝1，即2＋2×1×cos θ＝1， ∴cos θ＝－22，∴a ，b 夹角为135°.2．解：如下图，在平面内取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，以OA→，OB →为邻边作平行四边形OACB ，使|OA →|＝|OB →|， 所以四边形OACB 为菱形，OC 平分∠AOB ，这时OC →＝a ＋b ，BA→＝a －b .(1)由于|a|＝|b|＝|a ＋b|，即|OA→|＝|AC →|＝|OC →|， 所以∠AOC ＝60°，即a 与a ＋b 夹角为60°. (2)∵∠AOC ＝60°， ∴∠AOB ＝120°.又|OA→|＝|OB →|， ∴∠OAB ＝30°，即a 与a －b 夹角为30°. 活动与探究5 解：∵a ⊥b ， ∴a·b ＝0.又a ＋(t －3)b 与－k a ＋t b 垂直，∴[a ＋(t －3)b ]·(－k a ＋t b )＝0.∴－k a 2＋t a·b ＋(t －3)(－k )a·b ＋(t －3)t b 2＝0， ∴－4k ＋(t －3)t ＝0.∴k ＝14(t 2－3t )＝14⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t －322－916(t ≠0)． ∴当t ＝32时，k 取最小值－916.迁移与应用 解：由条件知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3b ·7a －5b ＝0，a －4b ·7a －2b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 2＋16a ·b －15b 2＝0，7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0.①②由①－②得46a ·b －23b 2＝0，即2a ·b ＝b 2，代入①式得a 2＝b 2，∴|a |＝|b |.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12b 2b 2＝12.∴θ＝60°. 【当堂检测】1．A 2．B 3．B 4．43 5．解：由(a －3b )⊥(7a ＋5b )， 得(a －3b )·(7a ＋5b )＝0.即7|a |2－15|b |2－16a ·b ＝0，①由(a －4b )⊥(λa －b )，得(a －4b )·(λa －b )＝0， 即λ|a |2＋4|b |2－(1＋4λ)a ·b ＝0.②又a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－12|a ||b |，③把③代入①得|a |＝|b |， 再代入②得 ⎝⎛⎭⎪⎪⎫λ＋4＋1＋4λ2|a |2＝0. ∵|a |＞0，∴λ＋4＋1＋4λ2＝0，即λ＝－32.故存在实数λ＝－32，使(a －4b )⊥(λa －b )．。
高中数学 2.5《从力做的功到向量的数量积》教案设计 北师大版必修4-北师大版高二必修4数学教案
从力做的功到向量的数量积●教学目标1．通过实例，正确理解平面向量的数量积的概念，能够运用这一概念求两个向量的数量积，并能根据条件逆用等式求向量的夹角；2．掌握平面向量的数量积的5个重要性质，并能运用这些性质解决有关问题；3．通过平面向量的数量积的重要性质猜想与证明，培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力；4．通过平面向量的数量积的概念，几何意义，性质的应用，培养学生的应用意识. ●教学重点平面向量的数量积概念、性质及其应用●教学难点平面向量的数量积的概念，平面向量的数量积的重要性质的理解●教学方法启发引导式启发学生在理解力的做功运算的基础上，逐步理解夹角、射影及向量的数量积等概念，并掌握向量的5个重要性质。
●教具准备多媒体辅助教学●教学过程AB AC 与（2）AB C 与B （3）AC C 与B 的夹角。
）射影的概念cos b θ叫作向量b 在a 方向上的射影。
并提问：射影是向量还是数量？给出如下六个图形，让学生指出b 在a 方向上的射影，并判断其正负。
、两向量数量积的定义：cos a b a b a b θ•=与是非零向量,，0a •=规定:0。
提醒学生注意：a b •不能写成a b ⨯或ab 的形式。
提问学生：两个向量的和与差是向量还是数量？向量的数量积呢？若是数量，其正负如何确定？ cos a b a b θ•=>0另外，通过对特殊的情况的讨论，养学生严谨的学习态度。
直接给出向理数量积的定义，通过提问，比较向量和与差的运算，理解向量的数量积是数量而不是向量，其和由向量的夹abB1B Aa θbB1B AOaθB (B AO ABAOBcos a b =cos a b a b θ•==0 a b a b •= 时，a b a b •=-两个向量数量积的几何意义：b 与a 的数量积等于a a 与b 在a 的方向上的投影cos b θ的乘积或b b 与a 在b 的方向上的投影cos a θ向量数量积的物理意义：F 与其作用下物体位移的数量积•F s 、向量数量积的性质练习二，请完成下列练习，并通过观察，看看自己能8a =，e 为单位向量，当它们的夹角为时a 在e 方向上的投影及a e e a ••、 性质为：已知2a =，，a 与b 的交角为90θ=︒，则a b •= 性质为：1a =，，a 、b 共线，则a b •= 性质为：）已知3m =，4n =，且6m n •=，则m 与n 的性质为：因此，平面向量数量积的5个性质为：(1),cos •=•=是单位向量e a e e a a θ900a b a b =︒⇒⊥⇒•=就比较容易理解了。
高中数学北师大版必修4学案2.5 从力做的功到向量的数量积 Word版含解析
§从力做的功到向量的数量积．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．(重点)．体会平面向量的数量积与向量射影的关系．．能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的)几何问题．(难点[基础·初探]教材整理向量的夹角及数量积阅读教材～内容，完成下列问题．．向量的夹角()射影θ叫作向量在方向上的投影数量(也叫投影)．()数量积已知两个非零向量与，我们把θ叫作与的数量积(或内积)，记作·，即·＝θ，其中θ是与的夹角．()规定零向量与任一向量的数量积为.()几何意义与的数量积等于的长度与在方向上射影θ的乘积，或的长度与在方向上射影θ的乘积．()性质①若是单位向量，则·＝·＝θ.②若⊥，则·＝；反之，若·＝，则⊥，通常记作⊥⇔·＝.③＝＝.④θ＝(≠)．⑤对任意两个向量，，有·≤，当且仅当∥时等号成立．()运算律已知向量，，与实数λ，则：①交换律：·＝·；②结合律：(λ)·＝λ(·)＝·(λ)；③分配律：·(＋)＝·＋·.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()两向量的数量积仍是一个向量．( )()若·＝，则＝或＝.( )()设与的夹角为θ，则θ>⇔·>.( )()对于任意向量，，总有(·)＝·.( )()＝.( )【解析】()×.两向量的数量积是一个数量．()×.∵·＝θ＝，∴＝或＝或θ＝.()√.()×.由数量积定义知，错；()×＝θ)＝θ).【答案】()×()×()√()×()×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：。
数学北师大版高中必修4从力所做的功到向量的数量积《必修4》导学案
从力所做的功到向量的数量积《必修4》导学案高一年级数学备课组张菊莲 2011.11.18[课程学习目标]1．理解平面向量数量积运算的含义及其几何意义、物理意义。
2．了解向量的夹角、向量垂直、向量射影等概念，体会平面向量数量积与向量射影的关系。
3．能够运用向量数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题。
[重点]平面向量数量积定义及运算性质。
理解“投影”的计算公式。
[难点]对向量数量积概念的理解。
[创设情境，揭示课题] 在物理学中，一个物体受到力的作用，如果说在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功。
如图，若小车在力的作用下，产生的位移，那么所做的功W是多少？和是什么量？W是什么量？和向量有什么关系？1.力做的功：W = ||•||cosθ，θ是与S的夹角。
问：一般的向量和，如何定义这种运算？读记教材交流：（自主预习不看不讲）问题1：向量和的夹角是如何定义的？向量和夹角的范围是什么？何时向量和垂直？（注：规定零向量与任一向量垂直）问题2：向量和的数量积如何定义的？零向量与任一向量的数量积是多少？思考：向量的数量积和前面学习的三种向量运算有何区别？问题3：在方向上的投影是如何定义的？在方向上的投影呢？∙的几何意义是什么？注意：①射影也是一个数量，不是向量。
②当θ为锐角时射影为正值；∙0当θ为钝角时射影为负值；∙0当θ为直角时射影为0；∙=0，反之，∙=0时，θ为直角或a与b中至少有一个为0。
当θ = 0︒时射影为 ||；∙=||||0当θ = 180︒时射影为-||；∙= —||||0问题4.由向量数量积的几何意义你能得到两个向量的数量积哪些的性质？问题5.实数运算中乘法有哪些运算律？（1.交换律2.结合律：3.分配律）向量的数量积满足哪些运算定律？思考：1.如果∙=∙，能否推出=？为什么？2. （∙）∙=∙（∙）是否成立？为什么？（由练习课本P95，T3验证）3．)a-= ，(2b(2ba+= ，)(-+= 。
北师大版必修4 2.5 从力做的功到向量的数量积 学案
从力做的功到向量的数量积,1．力做的功一个物体在F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功为W ＝|F ||s |cos θ，其中θ 是F 与s 的夹角．2．两个向量的夹角定义已知两个非零向量a 和b ，如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫作向量a 与b 的夹角范围 0°≤θ≤180°垂直 当θ＝90°时，称向量a 与b 互相垂直，记作a ⊥ B ．规定零向量可与任一向量垂直特例当θ＝0°时，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向3.定义已知两个向量a 和b ，它们的夹角为θ，把|a ||b |·cos θ叫作a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos__θ．特别规定：零向量与任一向量的数量积均为0射影|a |cos__θ(|b |cos θ)叫作向量a 在b 方向上(向量b 在a 方向上)的射影几何 意义 a 与b 的数量积等于a 的长度|a |与b 在a 方向上射影|b |cos θ的乘积，或b 的长度|b |与a 在b 方向上射影|a |cos__θ的乘积物理 意义力对物体做功，就是力F 与其作用下物体的位移s 的数量积F ·s4.(1)若e 是单位向量，则e ·a ＝a ·e ＝|a |cos__θ．(2)若a ⊥b ，则a ·b ＝0；反之，若a ·b ＝0，则a ⊥b .通常记作a ⊥b ⇔a ·b ＝0．(a ，b 为非零向量)(3)a 、b 同向⇔a ·b ＝|a ||b |；a 、b 反向⇔a ·b ＝－|a |·|b |；特别地a ·a ＝a 2或|a |＝a ·a .(4)cos θ＝a ·b|a ||b |(|a ||b |≠0)．(5)对任意两个向量a ，b ，有|a ·b |≤|a ||b |.当且仅当a ∥b 时等号成立． 5．向量数量积的运算定律 已知向量a ，b ，c 与实数λ，则交换律 a ·b ＝b ·a 结合律 (λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb ) 分配律a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2.(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2等等．1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量的数量积的运算结果是一个向量．( ) (2)若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0.( ) (3)若a·b ＝b·c ，则一定有a ＝c .( ) 解析：(1)错误．向量的数量积是一个数． (2)错误．向量a 与b 可能垂直．(3)错误．向量b 与向量a ，c 可能垂直，所以a 与c 不一定相等． 答案：(1)× (2)× (3)×2．已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A ．－4 B ．4 C ．－2D ．2解析：选A.向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝a ·b |b |＝－123＝－4，故选A. 3．已知a ，b 的夹角为θ，|a |＝2，|b |＝3 2. (1)若θ＝135°，则a ·b ＝________； (2)若a ⊥b ，则a ·b ＝________. 答案：(1)－6 (2)04．已知△ABC 中，BC ＝4，AC ＝8，C ＝60°，则BC →·CA →＝________．解析：画图可知向量BC →与CA →的夹角为角C 的补角，故BC →·CA →＝|BC →|×|CA →|cos(π－C )＝4×8×⎝⎛⎭⎫－12＝－16.答案：－161．对数量积概念的三点说明(1)从定义上看：两向量的数量积是一个数量，而不是向量，其数值可正、可负、可为零，其决定因素为两向量的夹角．(2)从运算上看：两向量a ，b 的数量积称作内积，写成a·b ，其中“·”是一种运算符号，不同于实数的乘法符号，不可省略．(3)两向量的数量积有明确的物理和几何意义，学习时注意掌握． 2．理解数量积的几何意义要关注的三点(1)a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影是不同的．(2)b 在a 方向上的投影为|b |cos θ(θ是a 与b 的夹角)，也可以写成a·b |a |.(3)投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零． 3．数量积性质的作用性质(2)是利用向量法研究垂直问题的依据；性质(3)可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化；性质(4)可用来求两个向量的夹角，它的实质是平面向量数量积的逆用；性质(5)反映了两个数量的大小关系，是向量中很重要的一个不等式，用它可研究几何问题中的某些不等关系，证明不等式或用来求有关函数的最值．但要特别注意该不等式中“＝”成立的条件．4．向量数量积与实数积运算律的比较实数a ，b ，c 向量a ，b ，c a ≠0，a ·b ＝0⇒b ＝0 a ≠0，a ·b ＝0⇒/ b ＝0a·b ＝b·c(b ≠0)⇒a ＝c a·b ＝b·c (b ≠0)⇒/ a ＝c|a·b|＝|a|·|b| |a·b|≤|a|·|b| 满足乘法结合律不满足乘法结合律向量数量积的运算(1)已知向量a ，b 满足|a|＝1，a·b ＝－1，则a·(2a －b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．0(2)如图，在▱ABCD 中，|AB →|＝4，|AD →|＝3，∠DAB ＝60°，求：①AD →·BC →；②AB →·DA →.【解】 (1)选B.因为|a |＝1，a ·b ＝－1，所以a ·(2a －b )＝2|a |2－a ·b ＝2×12－(－1)＝3，故选B.(2)①因为AD →∥BC →，且方向相同， 所以AD →与BC →的夹角是0°，所以AD →·BC →＝|AD →||BC →|·cos 0°＝3×3×1＝9. ②因为AB →与AD →的夹角为60°， 所以AB →与DA →的夹角为120°， 所以AB →·DA →＝|AB →||DA →|·cos 120° ＝4×3×⎝⎛⎭⎫－12＝－6.求向量数量积的方法及注意事项(1)方法：分别求出向量a 与向量b 的模及向量a 与向量b 夹角的余弦值，然后根据数量积的定义求解．(2)注意事项：①要牢记数量积的运算公式；②要注意确定两个向量的夹角；③对于平行向量要注意两向量是同向还是反向．(3)求形如(m a ＋n b )·(p a ＋q b )的数量积，可以先展开，再求a 2、b 2、a ·b .1.(1)在Rt △ABC 中，C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →等于( )A ．－16B ．－8C ．8D ．16(2)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝________． 解析：(1)AB →·AC →＝(CB →－CA →)·(－CA →)＝－CB →·CA →＋CA →2＝16. (2)因为b ·c ＝0，所以b ·[t a ＋(1－t )b ]＝0， 即t a ·b ＋(1－t )·b 2＝0，又因为|a |＝|b |＝1，a ，b 的夹角为60°，所以12t ＋1－t ＝0，所以t ＝2.答案：(1)D (2)2向量模的问题(1)已知向量a 与b 的夹角为45°，且|a |＝1，|2a ＋b |＝10，则|b |＝________． (2)设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，|a |＝1，则|b |＝________． 【解析】 (1)因为|2a ＋b |＝10， 所以(2a ＋b )2＝10， 所以4a 2＋4a ·b ＋b 2＝10，又因为向量a 与b 的夹角为45°且|a |＝1， 所以4|a |2＋4|a ||b |cos 45°＋|b |2＝10， 故4×12＋4×1×|b |×22＋|b |2＝10， 整理得|b |2＋22|b |－6＝0， 解得|b |＝2或|b |＝－32(舍去)． (2)因为a ＋b ＋c ＝0， 所以c ＝－(a ＋b )． 因为(a －b )⊥c ， 所以c ·(a －b )＝0， 所以－(a ＋b )·(a －b )＝0， 所以a 2－b 2＝0， 所以|b |＝|a |＝1. 【答案】 (1)2 (2)1本例(2)中，加上条件a ⊥b ，其他条件不变，求|c |.解：由已知可得c ＝－(a ＋b )， 而(a －b )⊥c ，有(a －b )·[－(a ＋b )]＝0， 所以a 2－b 2＝0，又|a |＝1，得|b |＝1，而a ⊥b ， 所以c 2＝[－(a ＋b )]2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝2，即|c |＝ 2.求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a 2＝|a |2，勿忘记开方．(2)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．(3)一些常见的等式应熟记，如(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2，(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2等．2.(1)平面向量a 与b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝( )A.3 B ．2 3 C ．4D ．12(2)已知同一平面上的向量a ，b ，c 两两所成的角相等，并且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，求|a ＋b ＋c |.解：(1)选B.|a ＋2b |＝（a ＋2b ）2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝|a |2＋4|a ||b |cos 60°＋4|b |2 ＝4＋4×2×1×12＋4＝2 3.(2)①当向量a ，b ，c 共线且同向时，所成的角均为0°， 所以|a ＋b ＋c |＝|a |＋|b |＋|c |＝6；②当向量a ，b ，c 不共线时，易知a ，b ，c 皆为非零向量． 设a ，b ，c 所成的角均为θ， 则3θ＝360°，即θ＝120°，所以a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－1. 同理b ·c ＝－3，c ·a ＝－32，由|a ＋b ＋c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2c ·a ＝3，故|a＋b＋c|＝ 3.综上所述，|a＋b＋c|＝6或 3.向量的夹角与垂直(1)已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π3 B.π2 C.2π3D.5π6(2)已知非零向量a ，b 满足|a |＝1，且(a －b )·(a ＋b )＝12.①求|b |；②当a ·b ＝12时，求向量a 与b 的夹角θ的值．【解】 (1)选C.设a ，b 的夹角为θ， 因为 a ⊥(2a ＋b )，所以 a ·(2a ＋b )＝0， 所以 2|a |2＋a ·b ＝0， 即2|a |2＋|a ||b |cos θ＝0.因为 |b |＝4|a |，所以 2|a |2＋4|a |2cos θ＝0， 所以 cos θ＝－12，所以θ＝23π.(2)①因为(a －b )·(a ＋b )＝12，即a 2－b 2＝12，所以|b |2＝|a |2－12＝1－12＝12，故|b |＝22. ②因为cos θ＝a ·b |a ||b |＝22，又0°≤θ≤180°，所以θ＝45°.求向量夹角的基本步骤及注意事项(1)步骤(2)注意事项在个别含有|a |，|b |与a ·b 的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值．3.已知|a |＝2|b |＝2，且向量a 在向量b 方向上的投影为－1.(1)求a 与b 的夹角θ； (2)求(a －2b )·b ；(3)当λ为何值时，向量λa ＋b 与向量a －3b 互相垂直？ 解：(1)因为|a |＝2|b |＝2， 所以|a |＝2，|b |＝1.又a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝－1， 所以a ·b ＝|a ||b |cos θ＝－1， 所以cos θ＝－12，所以θ＝2π3.(2)(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝－1－2＝－3. (3)因为λa ＋b 与a －3b 互相垂直，所以(λa ＋b )·(a －3b )＝λa 2－3λa ·b ＋b ·a －3b 2＝0， 所以4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，所以λ＝47.易错警示因数量积转化不等价致误设两个向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1与e 2的夹角为π3，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，则实数t 的取值范围为________．[解析] 由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，得(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，即2t e 21＋2t 2e 1·e 2＋7e 1·e 2＋7t e 22<0，因为|e 1|＝2，|e 2|＝1，且e 1与e 2的夹角为π3，化简即得：2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t <－12.当夹角为π时，2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0，可求得⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，7＝λt ，λ<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－14，t ＝－142.所以所求实数t 的范围是⎝⎛⎭⎫－7，－142∪⎝⎛⎭⎫－142，－12.[答案] ⎝⎛⎭⎫－7，－142∪⎝⎛⎭⎫－142，－12.(1)解答本题常会出现错误的答案为⎝⎛⎭⎫－7，－12.原因是不理解数量积的符号与向量夹角的关系，不等式“(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0”与“向量夹角为钝角”并不等价，其中还包含了共线且反向的情况．(2)注意问题转换的等价性数量积的符号同向量夹角的关系如下：对于非零向量a 和b 及其夹角θ，①a ·b ＝0⇔a ⊥b ；②a ·b >0⇔θ为锐角或零角；③a ·b <0⇔θ为钝角或平角．如本例应排除向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2共线且反向的特殊情形后才等价.1．若四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，()AB →－DB →·AB →＝0，则该四边形是( )A ．菱形B ．矩形C ．直角梯形D ．正方形解析：选B.由AB →＋CD →＝0知，AB →＝DC →，所以AB 綊CD ，所以四边形ABCD 是平行四边形．因为(AB →－DB →)·AB →＝(AB →＋BD →)·AB →＝AD →·AB →＝0，所以AD ⊥AB ，所以四边形ABCD 是矩形，故选B.2．等边三角形ABC 的边长为1，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →等于( ) A ．0 B ．1 C ．－12D ．－32解析：选D .由已知|AB →|＝|BC →|＝|CA →|＝1，所以AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝cos 120°＋cos 120°＋cos 120°＝－32.3．已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________．解析：设a ，b 的夹角为θ，由(a ＋2b )·(a －b )＝－6，得a 2＋a ·b －2b 2＝－6，又|a |＝1，|b |＝2，所以a ·b ＝1，所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝12，又因为0°≤θ≤180°，所以θ＝60°.答案：60°4．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |. 解：(1)由(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， 得4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61.将|a |＝4，|b |＝3代入上式求得a ·b ＝－6， 所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12.又θ∈[0，π]，所以θ＝2π3.(2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13， 所以|a ＋b |＝13., [A 基础达标]1．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，则a 与b 的夹角θ为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：选C.因为a ·b ＝|a ||b |cos θ， 所以1×4cos θ＝2，即cos θ＝12.又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.2．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模是( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．12 解析：选C.(a ＋2b )·(a －3b )＝a 2－a ·b －6b 2＝|a |2－|a |·|b |cos 60°－6|b |2 ＝|a |2－2|a |－96＝－72. 所以|a |2－2|a |－24＝0.解得|a |＝6或|a |＝－4(舍去)．故选C.3．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则实数λ的值为( ) A ．－32B.32 C ．±32D ．1解析：选B.因为3a ＋2b 与λa －b 垂直， 所以(3a ＋2b )·(λa －b )＝0， 即3λ|a |2＋(2λ－3)a ·b －2|b |2＝0. 因为a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3， 所以a ·b ＝0，|a |2＝4，|b |2＝9， 所以12λ－18＝0，即λ＝32.4．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝3BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →＝( )A ．2 3 B.32C.33D. 3解析：选D.设|BD →|＝x ，则|BC →|＝3x ， AC →·AD →＝(AB →＋BC →)·AD →＝BC →·AD → ＝|BC →|·|AD →|cos ∠ADB ＝3x ·1·1x＝ 3.5．若向量a ，b ，c 均为单位向量，且a ⊥b ，则|a －b －c |的最小值为( ) A.2－1 B ．1 C.2＋1D. 2解析：选A.因为a ，b ，c 均为单位向量，且a ⊥b ，所以a ·b ＝0， 所以|a －b |＝（a －b ）2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝2，所以|a －b －c |≥|a －b |－|c | ＝2－1.6．若四边形ABCD 是边长为1的菱形，∠BAD ＝60°，则|DC →＋BC →|＝________．解析：因为四边形ABCD 是边长为1的菱形，∠BAD ＝60°，所以∠DCB ＝60°，所以|DC →＋BC →|2＝|DC →|2＋|BC →|2＋2DC →·BC →＝12＋12＋2×1×1 cos ∠DCB ＝3，所以|DC →＋BC →|＝ 3. 答案： 37．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝1，B ＝30°，则向量AB →在向量AC →上的投影等于________． 解析：因为等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝1，B ＝30°，所以∠BAC ＝120°，因此向量AB →在向量AC →上的投影为|AB →|cos 120°＝－12.答案：－128．已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝________．解析：由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－(3a ＋λb )，即49c 2＝9a 2＋λ2b 2＋6λa ·b ，而a ，b ，c 为单位向量，则a 2＝b 2＝c 2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.答案：－8或59．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2， 求(1)|a ＋b |；(2)|3a －4b |.解：由已知得a·b ＝4×2×cos 120°＝－4， a 2＝|a |2＝16，b 2＝|b |2＝4.(1)因为|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝16＋2×(－4)＋4＝12， 所以|a ＋b |＝2 3.(2)因为|3a －4b |2＝(3a －4b )2 ＝9a 2－24a·b ＋16b 2＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304， 所以|3a －4b |＝419.10．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，|3a －b |＝ 5. (1)求|a ＋3b |的值；(2)求3a －b 与a ＋3b 夹角的正弦值． 解：(1)由|3a －b |＝5得(3a －b )2＝5， 所以9a 2－6a ·b ＋b 2＝5. 因为a 2＝|a |2＝1，b 2＝|b |2＝1， 所以9－6a ·b ＋1＝5， 所以a ·b ＝56.所以(a ＋3b )2＝a 2＋6a ·b ＋9b 2＝1＋6×56＋9×1＝15.所以|a ＋3b |＝15.(2)设3a －b 与a ＋3b 的夹角为θ.因为(3a －b )·(a ＋3b )＝3a 2＋8a ·b －3b 2＝3×1＋8×56－3×1＝203.所以cos θ＝（3a －b ）·（a ＋3b ）|3a －b ||a ＋3b |＝2035×15＝439.因为0°≤θ≤180°，所以sin θ＝1－cos 2θ＝1－⎝⎛⎭⎫4392＝339. 所以3a －b 与a ＋3b 夹角的正弦值为339. [B 能力提升]11．如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥DC .若|AB →|＝a ，|AD →|＝b ，则AC →·BD →＝( )A ．a 2－b 2B ．b 2－a 2C ．a 2＋b 2D ．a ·b解析：选 B.因为AD →⊥DC →，所以AC →在AD →方向上的投影为|AC →|·cos ∠CAD ＝|AD →|，又AB →⊥BC →，所以AC →在AB →方向上的投影为|AC →|·cos ∠CAB ＝|AB →|.所以AC →·BD →＝AC →·(AD →－AB →)＝AC →·AD →－AC →·AB →＝|AD →||AD →|－|AB →||AB →|＝b 2－a 2.12．设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x ，y ∈R .若e 1，e 2的夹角为π6，则|x ||b |的最大值等于________．解析：根据题意，得⎝⎛⎭⎫|x ||b |2＝x2（x e 1＋y e 2）2＝x 2（x e 1）2＋（y e 2）2＋2xy e 1·e 2 ＝x 2x 2＋y 2＋2xy cos π6＝x 2x 2＋y 2＋3xy＝11＋⎝⎛⎭⎫y x 2＋3y x ＝1⎝⎛⎭⎫y x ＋322＋14. 因为⎝⎛⎭⎫y x ＋322＋14≥14，所以0<⎝⎛⎭⎫|x ||b |2≤4，所以0<|x ||b |≤2.故|x ||b |的最大值为2.答案：213．设向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝1，且a 与b 具有关系|k a ＋b |＝3|a －k b |(k >0)． (1)a 与b 能垂直吗？(2)若a 与b 的夹角为60°，求k 的值． 解：(1)因为|k a ＋b |＝3|a －k b |， 所以(k a ＋b )2＝3(a －k b )2， 且|a |＝|b |＝1，即k 2＋1＋2k a ·b ＝3(1＋k 2－2k a ·b )， 所以a ·b ＝k 2＋14k .因为k 2＋1≠0，所以a ·b ≠0，即a 与b 不垂直．(2)因为a 与b 的夹角为60°，且|a |＝|b |＝1， 所以a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝12.所以k 2＋14k ＝12.所以k ＝1.14．(选做题)在四边形ABCD 中，已知AB ＝9，BC ＝6，CP →＝2PD →. (1)若四边形ABCD 是矩形，求AP →·BP →的值；(2)若四边形ABCD 是平行四边形，且AP →·BP →＝6，求AB →与AD →夹角的余弦值． 解：(1)因为四边形ABCD 是矩形，所以AD →·DC →＝0， 由CP →＝2PD →，得DP →＝13DC →，CP →＝23CD →＝－23DC →.所以AP →·BP →＝(AD →＋DP →)·(BC →＋CP →) ＝⎝⎛⎭⎫AD →＋13DC →·⎝⎛⎭⎫AD →－23DC → ＝AD →2－13AD →·DC →－29DC →2＝36－29×81＝18.(2)由题意，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋13DC →＝AD →＋13AB →，BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋23CD →＝AD →－23AB →，所以AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋13AB →·⎝⎛⎭⎫AD →－23AB → ＝AD →2－13AB →·AD →－29AB →2＝36－13AB →·AD →－18＝18－13AB →·AD →.又AP →·BP →＝6，所以18－13AB →·AD →＝6，所以AB →·AD →＝36. 又AB →·AD →＝|AB →|·|AD →|cos θ ＝9×6×cos θ＝54cos θ， 所以54cos θ＝36，即cos θ＝23.所以AB →与AD →夹角的余弦值为23.。
2019-2020年高中数学《从力做的功到向量的数量积》教案北师大版必修4
2019-2020年高中数学 《从力做的功到向量的数量积》教案北师大版必修4一、教学目标：1. 知识与技能（1） 通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义 .（2） 体会平面向量的数量积与向量投影的关系•（3 ）掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系•2. 过程与方法教材利用同学们熟悉的物理知识（“做功”）得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何 意义•为了帮助学生理解和巩固相应的知识，教材设置了 4个例题；通过讲解例题，培养学生逻辑思维能力3. 情感态度价值观通过本节内容的学习，使同学们认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联 系；让学生进一步领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积，有 助于激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神 二. 教学重、难点重点：向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；运算律 难点：运算律的理解 三. 学法与教学用具学法：（1）自主性学习+探究式学习法：（2）反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距 教学用具：电脑、投影机. 四. 教学设想【探究新知】（学生阅读教材 P 107—108，师生共同讨论） 思考：请同学们回忆物理学中做功的含义，问对 般的向量a 和b ,如何定义这种运算？1. 力做的功： W = | F | ?| s |cos是F 与s 的夹角2. 定义：平面向量数量积（内积）的定义，并规定0与任何向量的数量积为由于两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别；因此强调注意的几个问题：① 两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos 的符号所决定。
② 两个向量的数量积称为内积，写成a ?b ；今后要学到两个向量的外积a xb ,而ab 是两个数量的积，书写时要严格区分。
③ 在实数中，若 a 0,且a ?b =0,则b =0；但是在数量积中，若 a 0,且a ?b =0,不能推出b =0。
整理北师大版高中数学必修425《从力做的功到向量的数量积》教案
从力做的功到向量的数目积（第一课时）●教课目的1．经过实例，正确理解平面向量的数目积的看法，能够运用这一看法求两个向量的数量积，并能依据条件逆用等式求向量的夹角；2．掌握平面向量的数目积的5个重要性质，并能运用这些性质解决相关问题；3．经过平面向量的数目积的重要性质猜想与证明，培育学生的探究精神和谨慎的科学态度以及实质着手能力；4．经过平面向量的数目积的看法，几何意义，性质的应用，培育学生的应意图识.●教课要点平面向量的数目积看法、性质及其应用●教课难点平面向量的数目积的看法，平面向量的数目积的重要性质的理解●教课方法启迪指引式启迪学生在理解力的做功运算的基础上，逐渐理解夹角、射影及向量的数目积等看法，并掌握向量的5个重要性质。
●教具准备多媒体协助教课●教课过程教课环节教课程序教课假想创建情境新课引入探究问题经过前方的学习，我们知道两个向量能够进行加减法运创建问题情境，激发算，两个向量之间能进行乘法运算吗？找找物理学中有学生的学习欲念和要没有两个向量之间的相关乘法运算？求。
在物理学中，力F对物体做的功为W|F||s|cos，经过对力做功的剖析功W能够当作是向量F、s的某种运算相关，而这个运引出两个向量的夹算结果的正负与这两个向量的夹角相关。
进而引出两个角，过渡比较自然。
向量的夹角的看法。
1、给出两个向量的夹角的看法，并让学生经过察看发现经过发问，让学生在两个向量的起点时，有向线段所夹的角才为两个向量的思虑问题的过程中，夹角。
并让学生议论两个向量的夹角的范围不要忽视对特别的情0180，要修业生解说为何在这个范围。
进一况的议论。
培育学生步发问学生，假如夹角0、90及180时，两向量谨慎的学习态度。
的地点关系怎样？师生互动2、练习：在ABC中已知A=45°，B=50°，C=85°求以下向量的夹角：1）AB与AC（2）AB与BC（3）AC与BC的夹角。
3、（1）射影的看法bcos叫作向量b在a方向上的射影。
北师大版数学高一从力做的功到向量的数量积学案
北师大版必修四第二章第五节从力做的功到向量的数量积课标聚焦：1.理解平面向量数量积运算的含义及其几何意义；2.体会平面向量数量积运算与向量投影的关系；3. 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律.基础强化1. 判断下列说法的正误，并说明理由.(1) 在ABC ∆中，若0AB BC ⋅<，则ABC ∆是锐角三角形.(2) 在ABC ∆中，若0AB BC ⋅>，则ABC ∆是钝角三角形.(3) ABC ∆为直角三角形，则必有0AB BC ⋅=.2. 在平面直角坐标系中，向量||4AB =，AB 与x 轴正方向的夹角为120，则AB 在x轴、y 轴上的射影分别为（ ）A. 2,B. 2,--C. 2,-D. 2,- 3. 已知向量a b 、满足0a b ⋅=，||1,||2a b ==，则|2|a b -=（ ）A. 0B.C. 4D. 84. 设两个向量a 与b 的夹角为θ，a b ⨯为向量a 、b 的“外积”，其长度为||||||sin a b a b θ⨯=，已知||1a =，||5b =，4a b ⋅=-，则||a b ⨯=（ ）A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知向量a 、b 满足：||1a =，||2b =，||2a b -=，则||a b +=（ ）A. 1B.C.D.6. 已知向量a 、b 的夹角为60，且||3a =，||4b =，则2(23)a b -=(2)(3)a b a b -⋅+= .7. 已知(1,1)a =，且a 与2a b +的方向相同，则a b ⋅取值范围是 .8. 已知||2||0a b =≠，且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅=有实根，则a 与b 夹角的取值范围是 .9. 已知||2a =，||1b =，a 与b 的夹角为60，则2m a b =+与4n a b =-的夹角θ的余弦值为 .10. 设两个向量1e ，2e 满足1||2e =，2||1e =，1e 与2e 夹角为3π，若向量1227te e +与12e te +的夹角为钝角，则实数t 的取值范围是 .能力提升1. 已知,a b 都是非零向量，且3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，求a 与b 的夹角.2. 设向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，()a b c -⊥，a b ⊥，若||1a =，求222||||||a b c ++的值3．已知1e 、2e 是夹角为60°的两个单位向量，1232a e e =-，1223b e e =-(1)求a b ⋅; (2)求a b +与a b -的夹角4.设0||2a <≤，函数2()cos ||sin ||f x x a x b =--最大值为0，最小值为4-，且a b 与的夹角为45，求||a b +答案基础强化1. (1) 错 (2) 对 (3) 错2. C3. B4. C5. D6. 108,35-7. (1,)-+∞ 8. ,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 9. 14- 10. 141(7,)(,)222---- 能力提升1. 60θ=，提示：由已知得：22a b =2. 43. (1) 112a b ⋅= (2) 2π4. ||22a b +=+。
数学北师大版高中必修4从力所做的功到向量的数量积《必修4》导学案
从力所做的功到向量的数量积《必修4》导学案高一年级数学备课组张菊莲 2011.11.18[课程学习目标]1．理解平面向量数量积运算的含义及其几何意义、物理意义。
2．了解向量的夹角、向量垂直、向量射影等概念，体会平面向量数量积与向量射影的关系。
3．能够运用向量数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题。
[重点]平面向量数量积定义及运算性质。
理解“投影”的计算公式。
[难点]对向量数量积概念的理解。
[创设情境，揭示课题] 在物理学中，一个物体受到力的作用，如果说在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功。
如图，若小车在力F的作用下，产生的位移S，那么F所做的功W是多少？F和S是什么量？W是什么量？和向量有什么关系？1.力做的功：W = |F|•|S|cosθ，θ是F 与S的夹角。
问：一般的向量a和b，如何定义这种运算？读记教材交流：（自主预习不看不讲）问题1：向量a和b的夹角是如何定义的？向量a和b夹角的范围是什么？何时向量a和b垂直？（注：规定零向量与任一向量垂直）问题2：向量a和b的数量积如何定义的？零向量与任一向量的数量积是多少？思考：向量的数量积和前面学习的三种向量运算有何区别？问题3：a在b方向上的投影是如何定义的？b在a方向上的投影呢？a∙b的几何意义是什么？注意：①射影也是一个数量，不是向量。
②当θ为锐角时射影为正值；a∙b0当θ为钝角时射影为负值；a∙b0当θ为直角时射影为0；a∙b=0，反之，a∙b=0时，θ为直角或a与b中至少有一个为0。
当θ = 0︒时射影为 |b|；a∙b=|a||b|0当θ = 180︒时射影为-|b|；a∙b= —|a||b|0问题4.由向量数量积的几何意义你能得到两个向量的数量积哪些的性质？问题5.实数运算中乘法有哪些运算律？（1.交换律2.结合律：3.分配律）向量的数量积满足哪些运算定律？思考：1.如果a∙b=a∙c，能否推出b=c？为什么？2. （a∙b）c∙=a∙（b c∙）是否成立？为什么？（由练习课本P95，T3验证）3．)a-= ，(2b(2ba+= ，)(-+= 。
北师大版高中必修45从力做的功到向量的数量积课程设计
北师大版高中必修45从力做功到向量的数量积课程设计课程背景高中物理教学中，力学部分是学生比较综合的运用知识点的一个部分。
其中，力做功是一个较难理解的概念，而向量的数量积是一个比较抽象的理论概念。
因此，本课程旨在通过综合学生在高中阶段所学的知识和实际例子，使学生更好地理解这两个概念，并通过多种不同的方式巩固学习，提高学生的物理素养和数学能力。
教学目标1.理解力做功的定义和概念，掌握计算功的方法。
2.掌握向量的概念，理解向量数量积的定义和意义。
3.能够运用力做功和向量的数量积知识解决物理和实际问题。
4.培养学生的探究精神和实验精神，提高学生的物理素养和数学运算能力。
教学内容第一节：力做功的概念和计算方法1.力做功的基本概念。
2.力做功的计算公式，力和位移的夹角，功的单位。
3.应用力做功的知识解决相关物理问题。
第二节：向量的概念和数量积的定义1.向量的概念及性质。
2.向量的数量积的定义及目的。
3.向量的数量积的计算公式，向量投影和模长。
第三节：向量的数量积的应用1.向量的数量积在物理学中的应用。
2.向量的数量积在实际问题中的应用。
3.基于向量的数量积的实验设计。
教学方法1.整合多种教学方法，包括讲解、实验、案例分析和课堂讨论等，使学生可以更全面地理解课程知识。
2.设计实验环节，培养学生实验精神和探究精神，学生在实验中探索问题，提高学生的学习兴趣和主动性。
3.引导学生独立思考和表达意见，培养学生的逻辑思维、创造力和综合能力。
学生评价1.设计课后作业以巩固学生的知识和能力。
2.设计练习题以检验学生对课程知识的掌握情况。
3.每节课之后设计小测验以帮助教师监控学生对课程知识的掌握程度。
4.以小组报告的形式展示学生的实验设计和探究结果。
教学资源1.北师大版高中物理教材 4、5册。
2.物理实验教材和实验器材。
3.全球物理学网络资源。
结语本课程旨在通过综合学生在高中阶段所学的知识点和实际例子，加深学生对力做功和向量的数量积的理解，培养学生的实验精神和探究精神，在提高学生的物理素养和数学运算能力的同时，激发学生学习兴趣和好奇心。
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课题 2.5 从力做的功到向量的数量积
学习目标
1.知识与技能
（1）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义.几何意义.
（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系.
（3）掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用.
（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
2.过程与方法
教材利用同学们熟悉的物理知识（“做功”）得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何意义.为了帮助学生理解和巩固相应的知识，教材设置了4个例题；通过讲解例题，培养学生逻辑思维能力.
3.情感、态度与价值观
通过本节内容的学习，使同学们认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系；让学生进一步领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积，有助
于激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.
学习重点：向量数量积的含义及其物理意义、几何意义，运算律.
学习难点：运算律的理解
学习方法：以讲学稿为依托的多媒体辅助教学方式.
学习过程
一、课前预习指导：仔细阅读课本91----93页内容，完成以下预习检测
平面向量数量积
(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量________ 叫
做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ．
(2)规定：零向量与任一向量的数量积为__.
二、新课学习
问题探究一平面向量数量积的含义
已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角，θ∈[0，π]．
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
1 向量的数量积是一个数量，而不再是向量．对于两个非零向量a与 b.当
______________时，a·b>0；当_________时，a·b＝0，即a⊥b；当θ∈
⎝
⎛
⎦
⎥
⎤
π
2
，π，a·b<0.
2 我们把|a|cos θ叫做向量a在b方向上的射影，|b|cos θ叫做向量b在a方向上的射影，其中θ为向量a与b的夹角．由数量积的定义a·b＝|a||b|cos θ可得：|a|cos θ＝_______；|b|cos θ＝_____.例如，|a|＝1，|b|＝1，a与b的夹角θ＝120°，则a在b方向上的射影为________，b在a方向上的射影为____. 问题探究二向量数量积的运算律
已知向量a，b，c和实数λ，向量的数量积满足下列运算律：
①a·b＝b·a(交换律)；②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c (分配律)．
1 请你证明a·b＝b·a.
2 证明(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(提示：分λ＝0，λ>0，λ<0三种情况讨论)
3 下面是证明分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c的过程，请你补充完整．
证明：当a＋b与向量c夹角为直角时，
如图(1)所示，向量a＋b在向量c方向上的射影
|a＋b|cos〈a＋b，c〉＝___；向量a在向量c方向上的射影为|a|cos〈a，c〉＝OA1，向量b在c方向上的射影为|b|cos〈b，c〉＝OB1，易知OA1与OB1互为相反数，即OA1＋OB1＝0.以|a|cos〈a，c〉＋|b|cos〈b，c〉＝|a＋b|cos〈a＋b，c〉．两边乘以|c|得：______________＋______________＝|a＋b||c|cos〈a＋b，c〉，∴a·c＋b·c＝(a＋b)·c，即(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
当a＋b与向量c夹角为锐角时，如图(2)所示，向量a＋b在向量c方向上的射影为|a＋b|cos〈a＋b，c〉＝______；向量a在向量c方向上的射影为|a|cos〈a，c〉＝_____，向量b在c方向上的射影为|b|cos〈b，c〉＝______，
（3）
∵OC1＝OA1＋A1C1，A1C1＝OB1，∴_____＝______＋_____，∴____________________＝_______________＋_________________．两边同乘以|c|得：|a＋b||c|cos〈a＋b，c〉＝|a||c|cos〈a，c〉＋|b||c|cos〈b，c〉，即(a＋b)·c＝a·c＋b·c.当a＋b与向量c夹角为钝角时，如图(3)所示，同理可证得(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
问题4 某同学由实数乘法的三条性质：①ab＝0⇒a＝0或b＝0；②ab＝bc，b≠0⇒a ＝c；③(ab)c＝a(bc)；类比得到向量数量积的三条结论：①a·b＝0⇒a＝0或b＝0；
②a·b＝b·c，b≠0⇒a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)，这三条结论成立吗？请简要说明．
问题探究三平面向量数量积的性质
根据向量数量积的定义，补充完整数量积的性质．
设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．(1)当〈a，b〉＝0时，a·b＝________；
当〈a，b〉＝π时，a·b＝________；当〈a，b〉＝π
2
时，a·b＝__；(2)a·a＝_____
或|a|＝a·a＝a2；(3)cos θ＝_________；(4)|a·b|_____|a||b|;(5)(a＋b)2＝________________；(6)(a－b)2＝________________；(7)(a＋b)·(a－b)＝_________. 例1 已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积．
例2 已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为π
3
，求|a＋b|，|a－b|.
例3 设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m＋n与b＝2n－3m的
夹角．
三、当堂检测
1．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为60°，那么向量a－4b的模为
( ) A．2 B．2 3 C．6 D．12
2．已知|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)与a垂直，则a与b的夹角是 ( )
A．60° B．30° C．135° D．45°
3．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，则a·a＋a·b＝________.
四、课堂小结
五、课后作业
六．板书设计
七．教（学）后反思。