2016高中数学人教B版必修二平面与平面平行的判定与性质版同步练习含答案
高中数学人教B版必修二学案：第一单元 1.2.2 第3课时 平面与平面平行 Word版含答案
第3课时平面与平面平行学习目标1.掌握平面与平面的位置关系，会判断平面与平面的位置关系.2.学会用图形语言、符号语言表示平面间的位置关系.3.掌握空间中面面平行的判定定理及性质定理，并能应用这两个定理解决问题．知识点一平面与平面平行的判定思考1三角板的一条边所在平面与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？思考2三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？梳理平面平行的判定定理及推论知识点二平面与平面平行的性质观察长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的两个面：平面ABCD 及平面A 1B 1C 1D 1.思考1平面A 1B 1C 1D 1中的所有直线都平行于平面ABCD 吗？思考2过BC 的平面交平面A 1B 1C 1D 1于B 1C 1，B 1C 1与BC 是什么关系？梳理平面平行的性质定理及推论类型一平面与平面平行的判定例1如图所示，在正方体AC 1中，M ，N ，P 分别是棱C 1C ，B 1C 1，C 1D 1的中点，求证：平面MNP ∥平面A 1BD .引申探究若本例条件不变，求证：平面CB 1D 1∥平面A 1BD .反思与感悟判定平面与平面平行的四种常用方法(1)定义法：证明两个平面没有公共点，通常采用反证法．(2)利用判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．证明时应遵循先找后作的原则，即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.跟踪训练1如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.类型二面面平行性质的应用命题角度1与面面平行性质有关的计算例2如图，平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于S，且AS＝8，BS＝9，CD ＝34，求CS的长．引申探究若将本例改为：点S在平面α，β之间(如图)，其他条件不变，求CS的长．反思与感悟应用平面与平面平行性质定理的基本步骤跟踪训练2如图所示，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α，β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在平面α和平面β之间，若AB＝2，AC＝2，∠BAC＝60°，OA∶OA′＝3∶2，则△A′B′C′的面积为________．命题角度2利用面面平行证明线线平行例3如图所示，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形A′B′C′D′外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行，求证：四边形ABCD是平行四边形．反思与感悟本例充分利用了▱A′B′C′D′的平行关系及AA′，BB′，CC′，DD′间的平行关系，先得出线面平行，再得面面平行，最后由平面平行的性质定理得线线平行．跟踪训练3如图，已知E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，求证：四边形BED1F是平行四边形．类型三平行关系的综合应用例4设AB，CD为夹在两个平行平面α，β之间的线段，且直线AB，CD为异面直线，M，P 分别为AB，CD的中点．求证：MP∥平面β.反思与感悟线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示：跟踪训练4如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，使得平面D1BQ∥平面P AO?1．下列命题中正确的是()A．一个平面内两条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行B．如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行D．如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行2．在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G3．平面α∥平面β，平面γ∥平面δ，且α∩γ＝a，α∩δ＝b，β∩γ＝c，β∩δ＝d，则交线a，b，c，d的位置关系是()A．互相平行B．交于一点C．相互异面D．不能确定4．若平面α∥平面β，a⊂α，下列说法正确的是________．①a与β内任一直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内任一直线不垂直；④a与β无公共点．5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.1．常用的平面与平面平行的其他几个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．2．空间中各种平行关系相互转化关系的示意图答案精析问题导学知识点一思考1不一定．思考2平行．梳理两条相交直线两条相交直线两条直线知识点二思考1是的．思考2平行．梳理平行成比例a∥b题型探究例1证明如图，连接B1C.由已知得A1D∥B1C，且MN∥B1C，∴MN∥A1D.又∵MN⊄平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.连接B1D1，同理可证PN∥平面A1BD.又∵MN⊂平面MNP，PN⊂平面MNP，且MN∩PN＝N，∴平面MNP∥平面A1BD.引申探究证明因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，所以DD1綊BB1，所以BDD1B1为平行四边形，所以BD∥B1D1.又BD⊄平面CB1D1，B1D1⊂平面CB1D1，所以BD ∥平面CB 1D 1， 同理A 1D ∥平面CB 1D 1. 又BD ∩A 1D ＝D ，所以平面CB 1D 1∥平面A 1BD .跟踪训练1证明(1)因为G ，H 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点， 所以GH 是△A 1B 1C 1的中位线， 所以GH ∥B 1C 1.又因为B 1C 1∥BC ，所以GH ∥BC ， 所以B ，C ，H ，G 四点共面． (2)因为E ，F 分别是AB ，AC 的中点， 所以EF ∥BC . 因为EF ⊄平面BCHG ， BC ⊂平面BCHG ， 所以EF ∥平面BCHG . 因为A 1G ∥EB ，A 1G ＝EB ， 所以四边形A 1EBG 是平行四边形， 所以A 1E ∥GB . 因为A 1E ⊄平面BCHG ， GB ⊂平面BCHG ， 所以A 1E ∥平面BCHG . 因为A 1E ∩EF ＝E ， 所以平面EF A 1∥平面BCHG .例2证明设AB ，CD 共面γ，因为γ∩α＝AC ，γ∩β＝BD ，且α∥β， 所以AC ∥BD ， 所以△SAC ∽△SBD ， 所以SC SC ＋CD ＝SASB ，即SC SC ＋34＝89，所以SC ＝272. 引申探究解设AB ，CD 共面γ，γ∩α＝AC ，γ∩β＝BD . 因为α∥β，所以AC 与BD 无公共点， 所以AC ∥BD ，所以△ACS ∽△BDS ，所以AS BS ＝CSDS .设CS ＝x ，则x 34－x ＝89，所以x ＝16，即CS ＝16. 跟踪训练2439解析AA ′，BB ′相交于O ，所以AA ′，BB ′确定的平面与平面α，平面β的交线分别为AB ，A ′B ′，有AB ∥A ′B ′，且OA OA ′＝AB A ′B ′＝32，同理可得OA OA ′＝AC A ′C ′＝32，OA OA ′＝BCB ′C ′＝32，所以△ABC ，△A ′B ′C ′面积的比为9∶4，又△ABC 的面积为3， 所以△A ′B ′C ′的面积为439. 例3证明∵四边形A ′B ′C ′D ′是平行四边形， ∴A ′D ′∥B ′C ′. ∵A ′D ′⊄平面BB ′C ′C ， B ′C ′⊂平面BB ′C ′C ， ∴A ′D ′∥平面BB ′C ′C . 同理AA ′∥平面BB ′C ′C . ∵A ′D ′⊂平面AA ′D ′D ， AA ′⊂平面AA ′D ′D ， 且A ′D ′∩AA ′＝A ′，∴平面AA ′D ′D ∥平面BB ′C ′C .又∵AD ，BC 分别是平面ABCD 与平面AA ′D ′D ，平面BB ′C ′C 的交线， ∴AD ∥BC . 同理可证AB ∥CD .∴四边形ABCD 是平行四边形．跟踪训练3证明如图，连接AC ，BD ，交点为O ，连接A 1C 1，B 1D 1，交点为O 1，连接BD 1，EF ，OO 1，设OO 1的中点为M ，由正方体的性质可得四边形ACC 1A 1为矩形．又因为E，F分别为AA1，CC1的中点，所以EF过OO1的中点M，同理四边形BDD1B1为矩形，BD1过OO1的中点M，所以EF与BD1相交于点M，所以E，B，F，D1四点共面．又因为平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面EBFD1∩平面ADD1A1＝ED1，平面EBFD1∩平面BCC1B1＝BF，所以ED1∥BF.同理，EB∥D1F.所以四边形BED1F是平行四边形．例4证明如图，过点A作AE∥CD交平面β于点E，连接DE，BE.∵AE∥CD，∴AE，CD确定一个平面，设为γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝DE.又α∥β，∴AC∥DE(平面平行的性质定理)，取AE的中点N，连接NP，MN，∵M，P分别为AB，CD的中点，∴NP∥DE，MN∥BE.又NP⊄β，DE⊂β，MN⊄β，BE⊂β，∴NP∥β，MN∥β，∵NP∩MN＝N，∴平面MNP∥β.∵MP⊂平面MNP，MP⊄β，∴MP∥β.跟踪训练4解当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面P AO.∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，连接PQ，如图，易证四边形PQBA是平行四边形，∴QB∥P A.又∵AP ⊂平面APO ，QB ⊄平面APO ，∴QB ∥平面APO .∵P ，O 分别为DD 1，DB 的中点，∴D 1B ∥PO .同理可得D 1B ∥平面P AO ，又D 1B ∩QB ＝B ，∴平面D 1BQ ∥平面P AO .当堂训练1．B2.A3.A4.②④5．证明如图，作MP ∥BB 1交BC 于点P ，连接NP ，∵MP ∥BB 1，∴CM MB 1＝CP PB. ∵BD ＝B 1C ，DN ＝CM ，∴B 1M ＝BN ，∴CM MB 1＝DN NB ， ∴CP PB ＝DN NB， ∴NP ∥CD ∥AB .∵NP ⊄平面AA 1B 1B ，AB ⊂平面AA 1B 1B ，∴NP ∥平面AA 1B 1B .∵MP ∥BB 1，MP ⊄平面AA 1B 1B ，BB 1⊂平面AA 1B 1B ，∴MP ∥平面AA 1B 1B .又∵MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面AA1B1B.∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.。
高中人版B版数学必修二练习：1.2.2 第1课时 平行直线 直线与平面平行 Word版含答案
1.2.2 空间中的平行关系第一课时平行直线直线与平面平行1.下列命题正确的是( D )(A)若直线l上有无数点不在平面α内,则l∥α(B)若直线l与平面α平行,则直线l与α内任一条直线平行(C)如果两条平行线中的一条与平面α平行,则另一条也与α平行(D)若直线l与平面α平行,则直线l与平面α无公共点解析:A.直线l与α相交,l上有无数点不在平面α内,故A不正确;C.当另一条直线在平面α内时,不平行,故C不正确;B显然不正确,因为除平行外,还有异面,所以选D.2.如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD上的点,且AE∶EB=AF∶FD=1∶4,又H,G分别是BC,CD的中点,则( D )(A)BD∥平面EFGH,且四边形EFGH是矩形(B)HG∥平面ABD,且四边形EFGH是菱形(C)HE∥平面ADC,且四边形EFGH是梯形(D)EF∥平面BCD,且四边形EFGH是梯形解析:由AE∶EB=AF∶FD=1∶4知,EF BD,由H,G为BC,CD中点知HG BD,故EF∥HG且EF≠HG,所以四边形EFGH为梯形,又因为EF⊄平面BCD,HG⊂平面BCD,所以EF∥平面BCD.3.已知在三棱锥A BCD中,M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论正确的是( D )(A)MN≥(AC+BD)(B)MN≤(AC+BD)(C)MN=(AC+BD)(D)MN<(AC+BD)解析:设BC中点为P,连接MP,PN.在△MPN中,MN<MP+PN,所以MN<(AC+BD),故选D.4.已知△ABC,△DBC分别在平面α,β内,E∈AB,F∈AC,M∈DB,N∈DC,且EF∥MN,则EF与BC的位置关系是( A )(A)平行(B)相交或平行(C)平行或异面(D)平行或异面或相交解析:因为EF∥MN,EF⊄平面BCD,MN⊂平面BCD,所以EF∥平面BCD,又EF⊂平面ABC,且平面ABC∩平面BCD=BC,所以EF∥BC,故选A.5.设m,n为平面α外的两条直线,给出下面三个论断:①m∥n,②m∥α,③n∥α,以其中两个作为条件,另一个作为结论,构成一个命题,写出你认为正确的命题: .解析:由m,n为平面α外的直线,且m∥n可得:若m∥α,则n∥α,或若n∥α则m∥α.答案:①②⇒③(或①③⇒②)6.如图,四棱锥P ABCD的底面ABCD是平行四边形,E,F分别是棱AD,PC 的中点.证明:EF∥平面PAB.证明:如图,取PB的中点M,连接MF,AM.因为F为PC的中点,故MF∥BC且MF=BC.由已知有BC∥AD,BC=AD.又由于E为AD的中点,因而MF∥AE且MF=AE,故四边形AMFE为平行四边形,所以EF∥AM.又AM⊂平面PAB,而EF⊄平面PAB,所以EF∥平面PAB.7.(2017·全国Ⅰ卷)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( A )解析:如图O为正方形CDBE的两条对角线的交点,从而O为BC的中点,在△ACB中,OQ为中位线,所以OQ∥AB,OQ∩平面MNQ=Q,所以,AB与平面MNQ相交,而不是平行,故选A.8.下列四个命题:①直线a∥直线b,则a平行于经过b的任何平面;②若直线a∥平面α,那么a与α内无数条直线平行;③若直线a,b都平行于平面α,则a∥b;④若直线a∥b,a∥平面α,则b∥α.其中正确的命题个数为( A )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:①不正确,因为a有可能在经过直线b的平面内;②正确;③不正确,因为a,b可以平行、相交,也可以异面;④不正确,有可能b⊂α,故选A.9.下列四个正方体图形中,A、B为正方体的两个顶点,M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是.(写出所有符合要求的图形序号)解析:①如图a,连MN,则平面MNP扩展与正方体的各面相交得截面图MNPQ,再连接QN,则AB∥QN,所以AB∥平面MNP;②不能得出;③能,如图b.连接EC,则EC∥MP,AB∥EC,所以AB∥MP,从而可得AB∥平面MNP;④如图c,连接ND,MC,即为平面MNP扩展后的截面图,将直线AB平移到ED,则ED∥AB,而ED与平面MNP相交,即AB与平面MNP相交.答案:①③10.如图,在几何体ABCDE中,四边形ABCD是矩形,AB⊥平面BEC,BE⊥EC,AB=BE=EC=2,G,F分别是线段BE,DC的中点.求证:GF∥平面ADE.证明:如图,取AE的中点H,连接HG,HD,又G是BE的中点,所以GH∥AB,且GH=AB.又F是CD的中点,所以DF=CD.由四边形ABCD是矩形得,AB∥CD,AB=CD,所以GH∥DF,且GH=DF,从而四边形HGFD是平行四边形,所以GF∥DH.又DH⊂平面ADE,GF⊄平面ADE,所以GF∥平面ADE.11.如图,四棱锥P ABCD中,底面ABCD为矩形,E为PD的中点.(1)证明:PB∥平面AEC;(2)若平面APD∩平面PBC=直线l.证明:l∥BC.证明:(1)连接BD交AC于点O,连结EO.因为四边形ABCD为矩形,所以O为BD的中点. 又E为PD的中点,所以EO∥PB.又EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,所以PB∥平面AEC.(2)因为四边形ABCD为矩形,所以BC∥AD,又BC⊄平面APD,AD⊂平面APD,所以BC∥平面APD,又BC⊂平面PBC,平面APD∩平面PBC=l,所以l∥BC.。
人教版高中数学必修第二册8.5.3 第1课时 平面与平面平行的判定 同步练习(含答案)
人教版高中数学必修第二册8.5.3平面与平面平行第1课时平面与平面平行的判定同步练习一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.直线l∥平面α,直线m∥平面α,直线l与m相交于点P,且l与m确定的平面为β,则α与β的位置关系是()A.相交B.平行C.异面D.不确定2.设α,β是两个不重合的平面,直线m⊂α,则“m∥β”是“α∥β”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.对于两条不同的直线l1,l2,两个不重合的平面α,β,下列说法正确的是()A.若l1∥α,l2∥α,则l1∥l2B.若l1∥α,l2∥β,则α∥βC.若l1,l2是异面直线,l1⊂α,l1∥β,l2⊂β,l2∥α,则α∥βD.若l1∥l2,l1∥α,则l2∥α4.在正方体EFGH-E1F1G1H1中,下列四对平面彼此平行的是()A.平面E1FG1与平面EGH1B.平面FHG1与平面F1H1GC.平面F1H1H与平面FHE1D.平面E1HG1与平面EH1G5.如图L8-5-27,设E,F,E1,F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,CD,A1B1,C1D1的中点,则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是()图L8-5-27A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.不确定6.(多选题)α,β是两个不重合的平面,则在下列条件中,可以推出α∥β的是()A.α,β都平行于直线lB.α内的任何直线都与β平行C.l,m是α内的两条直线且l∥β,m∥βD.l,m是两条异面直线且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β7.在下列四个正方体中,P,R,Q,M,N,G,H分别为所在棱的中点,则在这四个正方体中,阴影平面与P,R,Q所在平面平行的是()ABCD图L8-5-288.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列直线或平面与平面ACD1平行的是()A.直线A1BB.直线BB1C.平面A1DC1D.平面A1BC1二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.已知平面α,β和直线a,b,c,若a∥b∥c,a⊂α,b,c⊂β,则α与β的位置关系是.10.用符号语言表述面面平行的判定定理为.11.已知a和b是异面直线,且a⊂平面α,b⊂平面β,a∥β,b∥α,则平面α与β的位置关系是.12.空间中,“△ABC的三个顶点到平面α的距离相等”是“平面α∥平面ABC”的条件.三、解答题(本大题共2小题,共20分)13.(10分)如图L8-5-29,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,E,F,G分别为PC,BD,DC 的中点.求证:平面EFG∥平面PAD.图L8-5-2914.(10分)如图L8-5-30所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点.求证:(1)B,C,H,G四点共面;(2)平面EFA1∥平面BCHG.图L8-5-3015.(5分)图L8-5-31是四棱锥的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F,G,H分别为PA,PD,PC,PB的中点,在此几何体中,给出下面四个说法:①平面EFGH∥平面ABCD;②BC∥平面PAD;③AB∥平面PCD;④平面PAD∥平面PAB.其中正确的有()图L8-5-31A.①③B.①④C.①②③D.②③16.(15分)如图L8-5-32所示,已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N,K分别AB,PC,PA的中点,平面PBC∩平面APD=l.(1)求证:MN∥平面PAD.(2)直线PB上是否存在点H,使得平面NKH∥平面ABCD?若存在,求出点H的位置,并加以证明;若不存在,请说明理由.(3)求证:l∥BC.图L8-5-32参考答案与解析1.B[解析]因为l∥α,m∥α,l∩m=P,l⊂β,m⊂β,所以β∥α.2.B[解析]由m⊂α,m∥β得不到α∥β,α,β还可能相交,充分性不成立.∵α∥β,m⊂α,∴m 和β没有公共点,∴m∥β,必要性成立.故“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件.故选B.3.C[解析]在A中,若l1∥α,l2∥α,则l1与l2相交、平行或异面,故A错误;在B中,若l1∥α,l2∥β,则α与β相交或平行,故B错误;C正确;在D中,若l1∥l2,l1∥α,则l2∥α或l2⊂α,故D 错误.故选C.4.A[解析]易知EG∥E1G1,∵EG⊄平面E1FG1,E1G1⊂平面E1FG1,∴EG∥平面E1FG1.同理H1E ∥平面E1FG1,又H1E∩EG=E,∴平面E1FG1∥平面EGH1.5.A[解析]∵E1和F1分别是A1B1和D1C1的中点,∴A1D1∥E1F1,又A1D1⊄平面BCF1E1,E1F1⊂平面BCF1E1,∴A1D1∥平面BCF1E1.∵E1和E分别是A1B1和AB的中点,∴A1E1∥BE,且A1E1=BE,∴四边形A1EBE1是平行四边形,∴A1E∥BE1,又A1E⊄平面BCF1E1,BE1⊂平面BCF1E1,∴A1E∥平面BCF1E1.∵A1E∩A1D1=A1,∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1.故选A.6.BD[解析]对于A,当α∩β=a,l∥a时,不能推出α∥β,故A不满足题意;对于B,若α内的任何直线都与β平行,则α∥β,故B满足题意;对于C,当l与m平行时,不能推出α∥β,故C不满足题意;对于D,由l,m是两条异面直线,且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β,可知α内存在两条相交直线与平面β平行,则根据面面平行的判定定理,可得α∥β,故D满足题意.故选BD.7.A[解析]由题意可知,经过P,Q,R三点的平面为如图所示的正六边形截面所在平面,记为β,可知N在平面β上,所以B,C错误;MC1与QN是相交直线,所以D不正确.因为RH∥A1C1,RH⊂β,A1C1⊄β,所以A1C1∥β.同理A1B∥β.因为A1C1∩A1B=A1,所以平面A1BC1∥β.故选A.8.AD[解析]如图,易得A1B∥D1C,因为A1B⊄平面ACD1,D1C⊂平面ACD1,所以A1B∥平面ACD1,故A正确;由直线BB1∥DD1,DD1与平面ACD1相交,得直线BB1与平面ACD1相交,故B 错误;显然平面A1DC1与平面ACD1相交,故C错误;易得AC∥A1C1,因为A1C1⊄平面ACD1,AC ⊂平面ACD1,所以A1C1∥平面ACD1,由A选项知A1B∥平面ACD1,又A1B∩A1C1=A1,所以平面A1BC1与平面ACD1平行,故D正确.故选AD.9.相交或平行[解析]若α∥β,则满足要求;若α与β相交,交线为l,b∥c∥l,a∥l,则也满足要求.10.a⊂α,b⊂α,a∩b=A,a∥β,b∥β⇒α∥β[解析]面面平行的判定定理是:如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行.用符号语言表述为a⊂α,b⊂α,a ∩b=A,a∥β,b∥β⇒α∥β.11.平行[解析]在b上任取一点O,则直线a与点O确定一个平面γ,设γ∩β=l,则l⊂β.∵a ∥β,a⊂γ,∴a∥l,又a⊂α,l⊄α,∴l∥α.∵b∥α,b∩l=O,∴α∥β.12.必要不充分[解析]当A,B,C不在平面α同侧时,A,B,C到平面α的距离也可能相等,即△ABC的三个顶点到平面α的距离相等时,平面α与平面ABC可能相交,所以充分性不成立.当平面α∥平面ABC时,A,B,C到平面α的距离必相等,所以必要性成立.13.证明:因为E,F,G分别为PC,BD,DC的中点,所以EG∥PD,FG∥BC.因为EG⊄平面PAD,PD⊂平面PAD,所以EG∥平面PAD.因为四边形ABCD是正方形,所以BC∥AD,所以FG∥AD.因为FG⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,所以FG∥平面PAD.因为EG∩FG=G,所以平面EFG∥平面PAD.14.证明:(1)∵G,H分别是A1B1,A1C1的中点,∴GH是△A1B1C1的中位线,则GH∥B1C1,又B1C1∥BC,∴GH∥BC,∴B,C,H,G四点共面.(2)∵E,F分别为AB,AC的中点,∴EF∥BC,又EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,∴EF∥平面BCHG.∵G,E分别是A1B1,AB的中点,A1B1AB,∴A1G EB,∴四边形A1EBG是平行四边形,∴A1E∥GB,又A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG,∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF=E,∴平面EFA1∥平面BCHG.15.C[解析]把平面展开图还原为四棱锥,如图所示,则EH∥AB,由直线与平面平行的判定定理,可得EH∥平面ABCD.同理可得EF∥平面ABCD.因为EF∩EH=E,所以平面EFGH∥平面ABCD.因为AB∥CD,AB⊄平面PCD,CD⊂平面PCD,∴AB∥平面PCD.同理BC∥平面PAD.显然平面PAD与平面PAB相交,它们不平行.故选C.16.解:(1)证明:取PD的中点F,连接AF,FN.在△PCD中,易得FN∥DC,FN=12DC,在平行四边形ABCD中,由题意得AM∥CD,AM=12CD,所以AM∥FN,AM=FN,所以四边形AFNM为平行四边形,则AF∥NM.因为AF⊂平面PAD,MN⊄平面PAD,所以MN∥平面PAD.(2)存在,点H为PB的中点.证明如下:因为H,N分别为PB,PC的中点,所以HN∥BC,又HN⊄平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以HN∥平面ABCD.同理KH∥平面ABCD.因为KH∩HN=H,所以平面KNH∥平面ABCD.(3)证明:因为BC∥AD,AD⊂平面PAD,BC⊄平面PAD,所以BC∥平面PAD,又平面PAD∩平面PBC=l,BC⊂平面PBC,所以BC∥l.。
人教B版数学必修2同步练习-1.2.1 平面的基本性质与推论 Word版含答案
1．下列图形中，满足αβ＝AB，aα，bβ，a∥AB，b∥AB的图形是( )．2．平面αβ＝l，点A∈α，点B∈α，且C l，但C∈β，又AB l＝R，如图，过A、B、C三点确定的平面为γ，则βγ是( )．A．直线AC B．直线BCC．直线CR D．直线AR3．下列四种叙述：①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点不共面，则其中任何三点不共线；③空间四点中有三点共线，则此四点必共面；④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面．其中正确说法的序号是( )．A．②③④B．②③C．①②③D．①③4．如果平面α和平面β有三个公共点A、B、C，则平面α和β的位置关系为( )．A．平面α和平面β只能重合B．平面α和平面β只能交于过A、B、C三点的一条直线C．如果点A、B、C不共线，则平面α和平面β重合，若A、B、C三点共线，则平面α与平面β重合或相交于直线ABD．以上说法均不正确5．两条异面直线在同一个平面内的俯视图有可能是__________________________．6．下列命题：①空间三点确定一个平面；②有3个公共点的两个平面必重合；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④等腰三角形是平面图形；⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；⑥垂直于同一直线的两直线平行；⑦一条直线和两平行线中的一条相交．也必和另一条相交．其中正确的命题是________．7．求证：三个平面两两相交得到三条交线，如果其中的两条相交于一点，那么第三条也经过这个点．8．如图所示，△ABC与△A′B′C′不在同一平面内，如果三条直线AA′、BB′、CC′两两相交．证明：三条直线AA′、BB′、CC′共点．9.正方体是常见的并且重要的多面体，对它的研究将有助于我们对立体几何一些概念的理解和掌握．如图所示，在正方体AC1中，E、F、G、H分别是所在棱的中点，请思考并回答下列问题：(1)直线EF、GH、DC能交于一点吗？(2)若E、F、G、H四点共面，怎样才能画出过四点E、F、G、H的平面与正方体的截面？(3)若正方体的棱长为a，那么(2)中的截面面积是多少？参考答案1.答案：C2.答案：C解析：由已知条件可知，Cγ，A、Bγ，所以，ABγ.而R AB，所以Rγ.又因为C、Rβ，故CR＝γβ .3.答案：B解析：四棱柱中每个面都有四个点，但这四个点中没有三点是共线的，所以①错；对于④，三点不共线但四点可以共面．4.答案：C解析：应分A、B、C三点共线与不共线两种情况讨论．5.答案：两条相交直线，如图(1)；两条平行直线，如图(2)；一个点和一条直线，如图(3)解析：要判断两异面直线在同一平面内的俯视图的情况，即判断两条异面直线在同一平面内的投影的各种情形，上图只是列举其中的一些可能情况，比如说图(1)俯视图是两条相交直线的情形．6.答案：④解析：由平面的基本性质2知，不共线的三点才能确定一个平面，所以命题①错，②中有可能出现两平面只有一条公共线(当这三个公共点共线时)．③中空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点，若为三个交点，则这三条直线共面，若只有一个交点，则可能确定一个平面或三个平面．⑤中平行四边形及梯形由平面的基本性质2的推论及平面的基本性质1可知必为平面图形，而四边形有可能是空间四边形；在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，直线BB ′⊥AB ，BB ′⊥BC ，但AB 与BC 不平行，所以⑥错；AB ∥CD ，BB ′AB ＝B ，但BB ′与CD 不相交，所以⑦错．7.解：已知：如图所示，平面α、β、γ满足αβ＝a ，βγ＝b ，γα＝c ，a b ＝A .求证：A ∈c .证明：∵a b ＝A ，∴A a ，A b ，又αβ＝a ，βγ＝b ，∴aα，b γ.∴A α，A γ.又αγ＝c ，∴A c .8.证明：∵AA ′、BB ′、CC ′两两相交，∴过AA ′、BB ′确定平面α，过BB ′、CC ′确定平面β，过AA ′、CC ′确定平面γ.设AA ′BB ′＝P ，则P AA ′，P BB ′，∴P γ，P β.又βγ＝CC ′，∴P CC ′，故三条直线AA ′、BB ′、CC ′共点．9.解：(1)如图，能交于一点．理由如下：因为E 、F 分别为棱AB 、BC 的中点，易得E 、F ∈平面ABCD 且EF 与CD 相交，设交点为P .由△EBF ≌△PCF ，可得PC ＝BE ＝12AB . 同理，GH 与CD 相交，设交点为P 1，同样可得P 1C ＝C 1G ＝12C 1D 1＝12AB . 所以P 1与P 重合，因此直线EF 、GH 、DC 能交于一点．(2)如图，延长HG 、DD 1，相交于点R ，延长FE 交DA 的延长线于Q ，则点R 、Q 是截面与侧面AD 1的公共点，连接RQ 与A 1D 1、A 1A 分别交于点M 、T ，连接GM 、TE ，可得截面与正方体各面的交线分别为EF 、FH 、HG 、GM 、MT 、TE .截面如下图的阴影部分所示．(3)截面为正六边形，其面积为226).=。
人教版高中数学必修二 平面与平面平行的判定检测题 附答案解析
A.0 个
B.1 个
C.2 个
D.3 个
5.如图,若 E,F,E1,F1 分别是长方体 ABCD-A1B1C1D1 的
棱 AB,CD,A1B1,C1D1 的中点,则平面 EFD1A1 与平面 BCF1E1 的
位置关系是(
)
A.平行
B.相交
C.异面
D.不确定
6.如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面的位置关系是
又 A1E⊂平面 EFD1A1,A1D1⊂平面 EFD1A1,A1E∩A1D1=A1,所以平面 EFD1A1∥平面 BCF1E1. 【答案】A 6.【答案】平行 7.【解析】由于平面α内任意一条直线均平行于平面β,则平面α内肯定有两条相交直线平行于 平面β,所以α∥β. 【答案】平行 8.证明在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,
2.2.2 平面与平面平行的判定
课时过关
1.在长方体 ABCD-A'B'C'D'中,下列结论正确的是(
)
A.平面 ABCD∥平面 ABB'A'
B.平面 ABCD∥平面 ADD'A'
C.平面 ABCD∥平面 CDD'C'
D.平面 ABCD∥平面 A'B'C'D'
2.已知平面α内的两条直线 a,b,a∥β,b∥β,若要得出平面α∥平面β,则直线 a,b 的位置关系是
5.如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,
①BM∥平面 DE;②CN∥平面 AF;③平面 BDM∥平面 AFN;④平面 BDE∥平面 NCF.
以上四个命题中,正确命题的序号是
.
6.如图,在三棱锥 S-ABC 中,AS=AB.过点 A 作 AF⊥SB,垂足为 F,点 E,G 分别是棱 SA,SC 的中点.
人教版高中数学必修第二册8.5.2 直线与平面平行 第2课时 直线与平面平行的性质 同步练习(含答案
人教版高中数学必修第二册8.5.2直线与平面平行第2课时直线与平面平行的性质同步练习一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.过平面α外的直线l作一组平面与α相交,若所得的交线分别为a,b,c,…,则这些交线的位置关系为()A.都平行B.都相交但不一定交于同一点C.都相交且一定交于同一点D.都平行或都交于同一点2.给出以下说法(其中a,b表示直线,α表示平面):①若a∥b,b⊂α,则a∥α;②若a∥α,b∥α,则a∥b;③若a∥b,b∥α,则a∥α;④若a∥α,b⊂α,则a∥b.其中正确说法的个数是()A.0B.1C.2D.33.若直线a平行于平面α,则下列说法中错误的是()A.直线a与平面α无公共点B.直线a平行于平面α内的所有直线C.平面α内有无数条直线与直线a平行D.设过直线a的平面为β,则平面α内存在直线l,满足l∥β4.如图L8-5-17,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,E为AD的中点,F为PC上一点,则当PA∥平面BEF时, =()图L8-5-17A.23B.14C.13D.125.如图L8-5-18,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AA1和BB1的中点,过EF的平面EFGH分别交BC,AD于点G,H,则GH与AB的位置关系是()图L8-5-18A.平行B.相交C.异面D.不确定6.若一条直线同时平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是()A.异面B.相交C.平行D.重合7.如图L8-5-19,E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1上的点(不与端点重合),BD1∥平面B1CE,则()图L8-5-19A.BD1∥CEB.AC1⊥BD1C.D1E=2EC1D.D1E=EC18.如图L8-5-20,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E是BC的中点,D是棱AA1上的动点,且 1=m,若AE ∥平面DB1C,则m的值为()图L8-5-20A.12B.1C.32D.2二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.若一条直线与一个平面平行,则该直线与平面内的任意一条直线的位置关系是.10.如图L8-5-21所示,a∥α,A是α另一侧的点,B,C,D∈a,线段AB,AC,AD分别交α于E,F,G,若BD=4,CF=4,AF=5,则EG=.图L8-5-2111.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,过AC作平行于对角线BD1的截面,则截面的面积为.12.如图L8-5-22,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点E是SA上一点,则当SE∶SA=时,SC∥平面EBD.图L8-5-22三、解答题(本大题共2小题,共20分)13.(10分)如图L8-5-23,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,点E是棱PC上的点(不与端点重合),平面ABE与棱PD交于点F.求证:(1)AB∥平面PCD;(2)AB∥EF.图L8-5-2314.(10分)如图L8-5-24所示,在正三棱柱ABC-A'B'C'中,D是AA'上的点,E是B'C'的中点,且A'E ∥平面DBC'.试判断点D在AA'上的位置,并给出证明.图L8-5-2415.(5分)如图L8-5-25所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,E,F分别为A1D1,AA1的中点,则过C1,E,F的截面的周长为.图L8-5-2516.(15分)如图L8-5-26,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,N,M,Q分别为PB,PD,PC的中点.(1)求证:QN∥平面PAD;(2)记平面CMN与底面ABCD的交线为l,试判断直线l与平面PBD的位置关系,并证明.图L8-5-26参考答案与解析1.D[解析]当l与α相交时,记交点为A,则易知这些交线都相交,且交点为A.当l∥α时,由直线与平面平行的性质定理知a∥l,b∥l,c∥l,…,则由基本事实4可知这些交线都平行.2.A[解析]若a∥b,b⊂α,则a∥α或a⊂α,故①错误;若a∥α,b∥α,则a,b平行、相交或异面,故②错误;若a∥b,b∥α,则a∥α或a⊂α,故③错误;若a∥α,b⊂α,则a∥b或a,b异面,故④错误.故选A.3.B[解析]由直线a平行于平面α,得直线a与平面α内的所有直线平行或异面,故B中说法错误.易知选项A,C,D中说法正确.故选B.4.D[解析]连接AC,交BE于点G,连接FG.因为PA∥平面BEF,PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面EBF=FG,所以PA∥FG,所以 = .因为AD∥BC,E为AD的中点,所以 = =12,即 =12.故选D.5.A[解析]在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1BB1,∵E,F分别为AA1,BB1的中点,∴AE BF,∴四边形ABFE为平行四边形,∴EF∥AB.∵EF⊄平面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴EF ∥平面ABCD,又EF⊂平面EFGH,平面EFGH∩平面ABCD=GH,∴EF∥GH,∴GH∥AB.故选A.6.C[解析]如图所示,设α∩β=l,a∥α,a∥β,过直线a作与α,β都相交的平面γ,记α∩γ=b,β∩γ=c,则a∥b且a∥c,∴b∥c.∵b⊂α,c⊄α,∴c∥α,又c⊂β,α∩β=l,∴c∥l,∴a∥l.故选C.7.D[解析]连接BC1,设B1C∩BC1=O,则O为BC1的中点,连接OE.∵BD1∥平面B1CE,BD1⊂平面BC1D1,平面BC1D1∩平面B1CE=OE,∴BD1∥OE.∵O为BC1的中点,∴E为C1D1的中点,故C错误,D正确.由异面直线的定义知BD1与CE是异面直线,故A错误.连接AD1,则在矩形ABC1D1中,AC1与BD1不垂直,故B错误.故选D.8.B[解析]取B1C的中点F,连接DF,EF.因为E,F分别是BC,B1C的中点,所以EF∥BB1,且EF=12BB1.因为AA1∥BB1,所以AA1∥EF,即AD∥EF,所以AD,EF确定平面ADFE.因为AE⊂平面ADFE,AE∥平面DB1C,平面DB1C∩平面ADFE=DF,所以AE∥DF,又AD∥EF,所以四边形AEFD 是平行四边形,所以AD=EF=12BB1,所以AD=12AA1,即D为AA1的中点,因此m=1.故选B.9.平行或异面10.209[解析]∵BD∥α,BD⊂平面ABD,平面α∩平面ABD=EG,∴BD∥EG,∴ = = ,∴ + = = ,∴EG= ·=5×45+4=209.11[解析]如图,连接BD,与AC交于O.设截面与DD1的交点为E,连接OE,则由BD1∥平面AEC,BD1⊂平面BD1D,平面AEC∩平面BD1D=OE,可得OE∥BD1.因为O为BD的中点,所以E为DD1的中点,所以OE=12BD1AC=2,所以截面的面积为12×2×12.1∶2[解析]连接AC,设AC与BD的交点为O,连接EO.因为四边形ABCD是平行四边形,所以点O是AC的中点.因为SC∥平面EBD,平面EBD∩平面SAC=EO,SC⊂平面SAC,所以SC ∥EO,所以点E是SA的中点,此时SE∶SA=1∶2.13.证明:(1)因为底面ABCD是菱形,所以AB∥CD,又AB⊄平面PCD,CD⊂平面PCD,所以AB∥平面PCD.(2)由(1)可知AB∥平面PCD,因为AB⊂平面ABEF,平面ABEF∩平面PCD=EF,所以AB∥EF.14.解:点D为AA'的中点.证明如下:取BC的中点F,连接AF,EF.设EF与BC'交于点O,连接DO.易知点O为EF的中点,且AA'∥EF,AA'=EF,则四边形A'EFA为平行四边形.因为A'E∥平面DBC',A'E⊂平面A'EFA,平面DBC'∩平面A'EFA=DO,所以A'E∥DO.因为点O是EF的中点,所以点D为AA'的中点.15.45+62[解析]连接BF,BC1.由题意可知EF∥平面BCC1B1,进而可知平面BCC1B1与平面EFC1的交线为BC1,则平面EFC1与平面ABB1A1的交线为BF,所以截面的周长为EF+FB+BC1+C1E=45+62.16.解:(1)证明:因为Q,N分别为PC,PB的中点,所以QN∥BC.因为底面ABCD是菱形,所以BC∥AD,所以QN∥AD.因为QN⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,所以QN∥平面PAD.(2)直线l与平面PBD平行.证明如下.因为N,M分别为PB,PD的中点,所以MN∥BD,又BD⊂平面ABCD,MN⊄平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.因为平面CMN与底面ABCD的交线为l,MN⊂平面CMN,所以MN∥l,所以BD∥l.因为BD⊂平面PBD,l⊄平面PBD,所以直线l∥平面PBD.。
2016高中数学人教B版必修二平面与平面平行的判定与性质版同步练习含答案
平面与平面平行的判定与性质一、选择题1. 与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是A.都平行.B.都相交.C.在这两个平面内.D.至少与其中一个平面平行.2. 如果两个平面分别经过两条平行线中的一条，那么这两个平面 A.平行.B.相交.C.重合.C.l,m 是平面 内的直线,且I // , m //无公共点；命题q: //二、 填空题6. 下列命题：（1）平行于同一直线的两个平面平行，（2）垂直于同一直线的两个平面平行，（3）平行于同一平面的两个平面平行， 其中正确的命题有 _______________ 个. 7. ________________________________________________________ 若,a , b 贝U a,b 的位置关系是 ___________________________________________________________ . 8. a 、b 为异面直线， a 丄平面 ,b 丄平面 ，贝U 与 的位置关系是 _____________________ . 三、 解答题9. 已知：a 、b 是两条异面直线，平面 过a 且与b 平行，平面 过b 且与a 平行.求证：平面 //平面 .人教B 版数学必修 2: 3. ,是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定 //的是A. 都垂直于平面B.内有不共线的三点到平面的距离相等同步练习（D.平行或相交.D. l, m 是两条异面直线,且均与平面平行4. （2004年辽宁卷）已知a 、卩是不同的两个平面, 直线 a，命题p : a 与bA .充分而不必要的条件 C .充要条件B •必要而不充分的条件 D .既不充分也不必要的条件 5. (2004 年全国A . 如果m ,nB . 如果m ,nC. 如果m,n // D . 如果m 〃 ,n //,m 、 ,m 、 ,下面命题中的真命题是n 是异面直线，那么n 〃 n 是异面直线，那么n 与,m 、n 共面，那么m//n,m 、n 共面，那么m 〃 n相交10. 已知：A 为平面BCD 外一点，M 、N 、G 分别是△ ABC 、△ ABD 、△ BCD 的重心. 求证：平面MNG //平面ACD .12.已知正方体 ABCD — A i B i C i D i 中，P 、Q 分别为对角线 求证PQ //平面A 1D 1DA .【课时37答案】3. D个7•平行或异面8.相交9.如图，在A 上任取一点几设*和P 确定的平面为人 ；A a// c * 又 丫 a c a , c// a a 、&异面.二 c A, 6 = P.vaf/10.如图，连结分别交ML CD 于FFH*连结PF,11.已知线段 AB 、CD 异面，CD 平面 ,AB // , M 、N 分别是线段 AC 和BD 的中点,BD 、CD 1 上的点，且 BP= QC ,c求证MN //平面y/W+由三角卷嚏心的性质*得器=黑二誓W/C平0BACD打.平面AOi.同理可证刑M平而ACD.X W.VA W=札/.平面MNGE平面A611. 连结AD ,取AD的中点P,连结MP、NP,由三角形中位线性质，得MP // CD , NP // CD •••平面MNP //平面•• MN 平面MNP, MN //平面 .5 •12.如图，过P件器丄DC干E*连结诞\则PE//BC//AD,厶甩哩“△磁…•一需二鬆•又阳 =佃■且加=CD ltt\ PD= g、；、卷二罟•：、QEfi g、：、平面平面4|£>.又PQ 匸平面PQ£、h理卅平面A X D.。
2015-2016学年高中数学人教版必修二同步练习： 2.2 2.2.3 平面与平面平行的性质(含答案)
数学·必修2(人教A版)2.2直线、平面平行的判定及其性质2.2.3平面与平面平行的性质基础达标1．已知直线a∥平面α，则a与平面α内的直线的位置关系为() A．相交B．平行C．异面或平行D．异面答案：C2．已知m，n是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列结论：①若m∥β，n∥β，且m⊂α，n⊂α，则α∥β；②若α∩β＝n，m∥n，则m∥α且m∥β；③若α∥γ，β∥γ，则α∥β；④若α∥β，且γ∩α＝m，γ∩β＝n，则m∥n.其中正确的是()A．①③B．①④C．②④D．③④解析：③④正确，对于①中，m与n相交时，α∥β，对于②中，m可以在α内或β内．答案：D3．P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC ＝()A．2∶25 B．4∶25 C．2∶5 D．4∶5解析：易知平面ABC∥平面A′B′C′，∴AC∥A′C′，BC∥B′C′，AB∥A′B′.∴△A′B′C′∽△ABC.又∵PA′∶AA′＝2∶3，∴PA′PA＝A′C′AC＝25.∴S△A′B′C′S△ABC＝425.答案：B4．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为()A．16 B．24或24 5C．14 D．20解析：当点P在α，β的同侧时，BD＝245，当点P在α，β两平面之间时，BD＝24.答案：B5．判断命题的真假(对的在括号内打“√”，错的打“×”)：(1)平行于同一直线的两直线平行．()答案：√(2)平行于同一直线的两平面平行．()答案：×(3)平行于同一平面的两直线平行．()答案：×(4)平行于同一平面的两平面平行．()答案：√6．(1)过平面外一点作该平面的平行平面只有一个，对吗？答案：对(2)过平面外一点作该平面的平行直线只有一条，对吗？答案：错(3)过平面外一条直线作该平面的平行平面一定有一个，对吗？答案：错(4)两个平面不相交就一定平行，对吗？答案：对巩固提升7．如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G是侧面对角线上的点，且BE＝CF＝AG.求证：平面EFG∥平面ABC.证明：作EP⊥BB1交于点P，连接PF，在正三棱柱ABCA1B1C1的侧面ABB1A1中，易知A1B1⊥BB1，又EP⊥BB1，∴EP∥A1B1∥AB.∴EP∥平面ABC，且BEA1B＝BPBB1.又∵BE＝CF，A1B＝CB1，∴CFCB1＝BPBB1.∴PF∥BC，则PF∥平面ABC.∵EP∩PF＝P，∴平面PEF∥平面ABC.∵EF⊂平面PEF，∴EF∥平面ABC.同理：GF∥平面ABC.∵EF∩GF＝F，∴平面EFG∥平面ABC.8．如图，已知平面α∥平面β，线段PQ，PF，QC分别交平面α于A，B，C点，交平面β于D，F，E点，PA＝9，AD＝12，DQ＝16，△ABC的面积是72，试求△DEF的面积．解析：平面α∥平面β，∴AB ∥DF ，AC ∥DE ，∴∠CAB ＝∠EDF .在△PDF 中，AB ∥DF ，DF ＝PA ＋AD PA ·AB ＝73AB ， 同理DE ＝47AC . S △DEF ＝12·DF ·DE ·sin ∠EDF ＝43S △ABC ＝96.9．如右下图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 的中点，M ，N 分别是AE ，CD 1的中点．求证：MN ∥平面ADD 1A 1.证明：如下图所示，取CD的中点K，连接MK、NK.∵M、N、K分别为AE、CD1、CD的中点，∵MK∥AD，NK∥DD1，∴MK∥平面ADD1A1，NK∥平面ADD1A.而MK与NK相交，∴平面MNK∥平面ADD1A1.∵MN⊂平面MNK，∴MN∥平面ADD1A1.。
2016高中数学人教B版必修二平面与平面垂直的性质版同步练习含答案
人教B 版 数学 必修2：平面与平面垂直的性质一、选择题1. 二面角α－l －β是直二面角，a ∈ α，b ∈β，且a 、b 与l 都是斜交，那么 ( D ) A. a 与b 可能垂直，但不可能平行． B. a 与b 可能垂直，也可能平行． 与b 不可能垂直，但可能平行． D. a 与b 不可能平行，也不可能垂直．2. 在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中,真命题是 ( B )A.若l ⊂β且α⊥β,则l ⊥α.B. 若l ⊥β且α∥β,则l ⊥α.C.若l ⊥β且α⊥β,则l ∥α.D. 若α∩β=m 且l ∥m,则l ∥α.3. 在相互垂直的两个平面中，下列命题中①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内的任意一直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；④过一个平面内的任意一点作垂直于另一个平面的直线必在第一个平面内；正确的个数是 （ C ）A ．1B ．2C ．3D ．44.下列四个命题中错误的一个是 （ D ） A ．空间存在不共面的四个点A 、B 、C 、D ，若是AB ⊥CD ，AD ⊥BC ，则AC ⊥BD ； B ．若l β，且l ⊥α，则α⊥β；C ．若α，β，γ是三个不同的平面，a 表示直线，若是α∩β=a,α⊥γ,β⊥γ，则a ⊥γ；D ．与两条异面直线都垂直的直线是这两条异面直线的公垂线5. 关于直线l ，m ，n 和平面βα,，下列命题中正确的是 （ D ） A ．若n m n m //,//,//则αα B ．若αα⊥⊥n m n m 则,,// C ．若ααα⊥⊥⊥⊂⊂l n l m l n m 则且,,,, D ．若βαβα⊥⊥则,//,m m二、填空题6. 设有不同的直线a 、b 和不同的平面a 、β、γ，给出下列三个命题： （1）若a a //，a b //，则b a //．（2）若a a //，β//a ，则β//a ． （3）若γ⊥a ，γβ⊥，则β//a ． 其中正确的个数是7. 设P 是60的二面角l αβ--内一点，,PA PB αβ⊥⊥平面平面,A,B 为垂足，4,2,PA PB ==则AB 的长为 .8. α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α、β之外的两条不同的直线，给出四个论断： ①m ⊥n ，②α⊥β，③n ⊥β，④m ⊥α，以其中三个论断作为条件，余下一个论断 作为结论，写出你以为正确的一个命题 ．9. 已知m 、n 是直线，γβα,,是平面，给出下列命题（1）若γα⊥，γβ⊥，则βα//（2）若,,βα⊥⊥n n 则βα//（3）若α内不共线三点 A ，B ，C 到β的距离都相等，则βα//（4）若,,αα⊂⊂m n 且βαββ//,//,//则m n（5）若m,n 为异面直线，且βααββα//,//,,//,则m m n n ⊂⊂. 则其中正确的是.10. 已知平面α和平面交于直线l ，P 是空间一点，PA ⊥α，垂足为A ，PB ⊥β，垂足为B ，且PA=1，PB=2，若点A 在β内的射影与点B 在α内的射影重合，则点P 到l 的距离为 . 三、解答题11. 如图，点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，1BB PM ⊥交1AA 于点M ，1BB PN ⊥交1CC 于点N .(1) 求证：MN CC ⊥1；(2) 在任意DEF ∆中有余弦定理：DFE EF DF EF DF DE ∠⋅-+=cos 2222. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.12. 三棱锥P ─ABC 中,侧面PAC 与底面ABC 垂直,PA=PB=PC 求证AB ⊥BC; PBCA13. 如图，一副三角板拼放，现沿拼接处将它们折成一个直二面角， (1)求证AB ⊥平面ACD ；(2)求平面ABD 与平面BCD 所成的角； (3)求AD 与BC 所成角的正切值．14. 已知直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，且160AA AD ,DAB =︒=∠，F 为棱BB 1的中点，M 为线段AC 1的中点.（1）求证：直线MF 1AA A 1B 1B C 1CMN P【课时41答案】5. D .7. 设平面PAB 交棱l 于点Q ，则由PA ⊥平面α，PB ⊥平面β知：l ⊥PA ，l ⊥PB ． 于是∠AQB 为二面角α－l —β的平面角，从而∠AQB=60°，故∠APB=1 20°． 在△APB 中，AB 2=PA 2 ＋PB 2—2 PA·PB cos 1 20°=28．72=AB ． 8.②、③、④ ① 或 ①、③、④ ② 9. （2）（5） 10.5 11. (1) 证：MN CC PMN CC PN CC PM CC BB CC ⊥⇒⊥∴⊥⊥⇒111111,,//平面 ；(2) 解：在斜三棱柱111C B A ABC -中，有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=，其中α为 平面B B CC 11与平面A A CC 11所组成的二面角.∴⊥,1PMN CC 平面 上述的二面角为MNP ∠,在PMN ∆中， cos 2222⇒∠⋅-+=MNP MN PN MN PN PMMNP CC MN CC PN CC MN CC PN CC PM ∠⋅⋅⋅-+=cos )()(211111222222，由于111111111,,BB PM S CC MN S CC PN S A ABB A ACC B BCC ⋅=⋅=⋅=，∴有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=. 12. 如图,取AC 中点D,连结PD 、BD. 因为PA=PC,因此PD ⊥AC, 又已知面PAC ⊥面ABC. 因此PD ⊥面ABC,D 为垂足. 因为PA=PB=PC,因此DA =DB=DC,可知AC 为ΔABC 的外接圆直径, 因此AB ⊥BC.13. (1)∵CD ⊥BC ，平面ABC ⊥平面BCD,CD ⊥平面ABC ，CD ⊥AB, 又∵AB ⊥AC,AB ⊥平面ACD ．(2)过A 作AE ⊥BC 于E ．∵平面ABC ⊥平面BCD ．∴AE ⊥平面BCD ．过E 作EF ⊥BD 于F ，连结AF ．得AF ⊥ BD ∴∠AFE确实是平面ABD 与平面BCD 所成二面角的平面DPBCA14.（Ⅰ）延长C 1F 交CB 的延长线于点N ，连结AN.因为F 是BB 1的中点，因此F 为C 1N 的中点，B 为CN 的中点.又M 是线段AC 1的中点，故MF .,ABCD AN ABCD MF 平面平面又⊂⊄.//ABCD MF 平面∴（Ⅱ）证明：连BD ，由直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1可知：⊥A A 1平面ABCD,又∵BD ⊂平面ABCD ，.1BD A A ⊥∴四边形ABCD 为菱形，.BD AC ⊥∴,,,1111A ACC A A AC A A A AC 平面又⊂=⋂ .11A ACC BD 平面⊥∴在四边形DANB 中，DA ∥BN 且DA=BN ，因此四边形DANB 为平行四边形. 故NA ∥BD ，⊥∴NA 平面ACC 1A 1. 1AFC NA 平面又⊂平面平面⊥∴1AFC ACC 1A 1.（Ⅲ）由（Ⅱ）知BD ⊥ACC 1A 1，又AC 1⊂ ACC 1A 1，∴BD ⊥AC 1，∵BD 又由BD ⊥AC 可知NA ⊥AC ，∴∠C 1AC 确实是平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的平面角或补角.在Rt △C 1AC 中，31tan 11==CA C C AC C ， 故∠C 1AC=30°.∴平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的大小为30°或150°.。
2015-2016高中数学人教B版必修2同步测试：1.2.2.3《空间中的平行关系 平面与平面平行》(含答案)
1.2.2.3《空间中的平行关系平面与平面平行》双基达标(限时20分钟)1．下列说法正确的是()．①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；②一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；④一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，则这两个平面平行．A．①③B．②④C．②③④D．③④解析由两平面平行的判定定理知③④正确．答案 D2．六棱柱的表面中，互相平行的面最多有几对()．A．2 B．3C．4 D．5解析当底面是正六边形时，共有4对面互相平行．答案 C3．在正方体EFGHE1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是()．A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G解析EG∥E1G1，EG⊄平面E1FG1，E1G1⊂平面E1FG，∴EG∥面E1FG1，同理EH1∥平面E1FG1，且EG∩EH1＝E，∴平面EGH1∥平面E1FG1.答案 A4．已知a和b是异面直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，a∥β，b∥α，则平面α与β的位置关系是________．解析在b上任取一点O，则直线a与点O确定一个平面γ，设γ∩β＝l，则l⊂β，∵a∥β，∴a与l无公共点，∴a∥l，∴l∥α.又b∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β.答案平行5．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析以ABCD为下底面还原正方体，如图：则易判定四个命题都是正确的．答案①②③④6．已知底面是平行四边形的四棱锥P ABCD，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC 上是否存在一点F，使BF∥面AEC？证明你的结论，并说出点F的位置．解如图，连接BD交AC于O点，连接OE，过B点作OE的平行线交PD于点G，过点G作GF∥CE，交PC于点F，连接BF.∵BG∥OE，BG⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，∴BG∥平面AEC.同理，GF∥平面AEC，又BG∩GF＝G.∴平面BGF∥平面AEC，∴BF∥平面AEC.∵BG∥OE，O是BD中点，∴E是GD中点．又∵PE∶ED＝2∶1，∴G是PE中点．而GF∥CE，∴F为PC中点．综上，当点F是PC中点时，BF∥平面AEC.综合提高(限时25分钟)7．a是平面α外的一条直线，过a作平面β，使β∥α，这样的β有()．A．只能作一个B．至少一个C．不存在D．至多一个解析∵a是平面α外的一条直线，∴a∥α或a与α相交．当a∥α时，β只有一个，当a与α相交时，β不存在．答案 D8．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A，B分别在平面α，β内运动时，那么所有的动点C ()．A．不共面B．当且仅当A，B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．不论A，B如何移动，都共面解析由面面平行的性质定理，点C应在过AB中点且平行于α(或β)的平面内．故选D.答案 D9．已知点S是正三角形ABC所在平面外一点，D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________．解析由D，E，F分别是SA，SB，SC的中点知EF是△SBC的中位线，∴EF∥BC.又∵BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，∴EF∥平面ABC.同理DE∥平面ABC.∵EF∩DE＝E，∴平面DEF∥平面ABC.答案平行10．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别为CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN ∥平面BDD1B1.解析如图，取B1C1的中点P，连接NP、NH、MN、HF、PF，则可证明平面NPFH∥平面BDD1B1，若MN⊂平面NPFH，则MN∥平面BDD1B1.答案M∈FH(答案不唯一，如FH∩GE＝M等)11．已知M、N分别是底面为平行四边形的四棱锥P—ABCD棱AB、PC的中点，平面CMN 与平面P AD交于PE，求证：(1)MN∥平面P AD；(2)MN∥PE.证明(1)如图，取DC中点Q，连接MQ、NQ.∵NQ是△PDC的中位线，∴NQ∥PD.∵NQ⊄平面P AD，PD⊂平面P AD，∴NQ∥平面P AD.∵M是AB中点，ABCD是平行四边形，∴MQ∥AD，MQ⊄平面P AD，AD⊂平面P AD.从而MQ∥平面P AD.∵MQ∩NQ＝Q，∴平面MNQ∥平面P AD.∵MN⊂平面MNQ，∴MN∥平面P AD.(2)∵平面MNQ∥平面P AD，平面PEC∩平面MNQ＝MN，平面PEC∩平面P AD＝PE.∴MN∥PE.12．(创新拓展)如图①，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝12AP，D为AP的中点，E、F、G分别为PC、PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，得到四棱锥P ABCD，如图②.求证：在四棱锥P ABCD中，AP∥平面EFG.证明在四棱锥P ABCD中，E，F分别为PC，PD的中点，∴EF∥CD.∵AB∥CD，∴EF∥AB.∵EF⊄平面P AB，AB⊂平面P AB，∴EF∥平面P AB.同理EG∥平面P AB.又EF∩EG＝E，∴平面EFG∥平面P AB.∵AP⊂平面P AB，AP⊄平面EFG，∴AP∥平面EFG.。
高中数学(人教版必修2)直线、平面平行的判定及其性质配套练习(有答案)
§2.2直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定一、基础过关1．直线m∥平面α，直线n∥m，则() A．n∥αB．n与α相交C．n⊂αD．n∥α或n⊂α2．棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面的位置关系是() A．平行B．相交C．平行或相交D．不相交3．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是() A．b∥αB．b与α相交C．b⊂αD．b∥α或b与α相交4．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是() A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α5. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的面中：(1)与直线AB平行的平面是______；(2)与直线AA1平行的平面是______；(3)与直线AD平行的平面是______．6．已知不重合的直线a，b和平面α.①若a∥α，b⊂α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b⊂α，则a∥α；④若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α，其中正确命题的个数是________．7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，求证：BD1∥平面AEC.8. 如图，四棱锥A—DBCE中，O为底面正方形DBCE对角线的交点，F为AE的中点．求证：AB∥平面DCF.二、能力提升9．在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝EF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是()A．平行B．相交C．在内D．不能确定10．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面() A．不存在B．只能作出一个C．能作出无数个D．以上都有可能11．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有________条．12．如图，在平行四边形ABCD中，E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，F为线段A′C的中点．求证：BF∥平面A′DE.三、探究与拓展13. 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.(用两种方法证明)答案1．D 2.B 3.D 4.D5．(1)平面A1C1和平面DC1(2)平面BC1和平面DC1(3)平面B1C和平面A1C1 6．17．证明如图，连接BD交AC于F，连接EF.因为F为正方形ABCD对角线的交点，所以F为AC、BD的中点．在三角形DD1B中，E、F分别为DD1、DB的中点，所以EF∥D1B.又EF⊂平面AEC，BD1⊄平面AEC，所以BD1∥平面AEC.8．证明连接OF，∵O为正方形DBCE对角线的交点，∴BO＝OE，又AF＝FE，∴AB∥OF，⎭⎬⎫AB⊄平面DCFOF⊂平面DCFAB∥OF⇒AB∥平面DCF.9．A10．D11．1212．证明取A′D的中点G，连接GF，GE，由条件易知FG∥CD，FG＝12CD，BE∥CD，BE＝12CD，所以FG∥BE，FG＝BE，故四边形BEGF为平行四边形，所以BF∥EG.因为EG⊂平面A′DE，BF⊄平面A′DE，所以BF∥平面A′DE.13．证明如图所示，连接AQ并延长交BC于K，连接EK.∵KB∥AD，∴DQBQ＝AQQK.∵AP＝DQ，AE＝BD，∴BQ＝PE.∴DQBQ＝APPE.∴AQQK＝APPE.∴PQ∥EK.又PQ⊄平面BCE，EK⊂平面BCE，∴PQ∥平面BCE.2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系一、基础过关1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( )A ．异面B ．平行C ．相交D ．以上都有可能2．若AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，则有( )A ．∠BAC ＝∠B ′A ′C ′ B ．∠BAC ＋∠B ′A ′C ′＝180°C ．∠BAC ＝∠B ′A ′C ′或∠BAC ＋∠B ′A ′C ′＝180°D ．∠BAC ＞∠B ′A ′C ′3．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是 ( )A ．空间四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形4．“a 、b 为异面直线”是指：①a ∩b ＝∅，且aD \∥b ；②a ⊂面α，b ⊂面β，且a ∩b ＝∅；③a ⊂面α，b ⊂面β，且α∩β＝∅；④a ⊂面α，b ⊄面α；⑤不存在面α，使a ⊂面α，b ⊂面α成立． 上述结论中，正确的是( )A ．①④⑤B ．①③④C ．②④D ．①⑤5．如果两条直线a 和b 没有公共点，那么a 与b 的位置关系是________． 6．已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中： (1)BC ′与CD ′所成的角为________； (2)AD 与BC ′所成的角为________．7．如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12F A ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？8．如图，正方体ABCD －EFGH 中，O 为侧面ADHE 的中心，求：(1)BE 与CG 所成的角； (2)FO 与BD 所成的角． 二、能力提升9.如图所示，已知三棱锥A －BCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则下列结论正确的是( )A ．MN ≥12(AC ＋BD )B ．MN ≤12(AC ＋BD )C ．MN ＝12(AC ＋BD )D ．MN <12(AC ＋BD )10．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线( )A ．12对B ．24对C ．36对D ．48对11．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB ⊥EF ；②AB 与CM 所成的角为60°； ③EF 与MN 是异面直线； ④MN ∥CD .以上结论中正确的序号为________．12．已知A 是△BCD 平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角． 三、探究与拓展13．已知三棱锥A —BCD 中，AB ＝CD ，且直线AB 与CD 成60°角，点M 、N 分别是BC 、AD 的中点，求直线AB 和MN 所成的角．答案1．D 2．C 3．B 4．D 5.平行或异面 6．(1)60° (2)45°7．(1)证明 由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)解 由BE 綊12AF ，G 为F A 中点知，BE 綊FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG . 由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ， ∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面．8．解 (1)如图，∵CG ∥BF ，∴∠EBF (或其补角)为异面直线BE 与CG 所成的角，又△BEF 中，∠EBF ＝45°，所以BE 与CG 所成的角为45°.(2)连接FH ，BD ，FO ，∵HD 綊EA ，EA 綊FB ， ∴HD 綊FB ，∴四边形HFBD 为平行四边形， ∴HF ∥BD ，∴∠HFO (或其补角)为异面直线FO 与BD 所成的角． 连接HA 、AF ，易得FH ＝HA ＝AF ， ∴△AFH 为等边三角形，又依题意知O 为AH 中点，∴∠HFO ＝30°，即FO 与BD 所成的角是30°.9．D 10．B 11．①③12．(1)证明 假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A 、B 、C 、D 在同一平面内，这与A 是△BCD 平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．(2)解 取CD 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.13．解 如图，取AC 的中点P .连接PM 、PN ，则PM ∥AB ，且PM ＝12AB ，PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN 为直线AB 与CD 所成的角(或所成角的补角)． 则∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°， 若∠MPN ＝60°，因为PM ∥AB ，所以∠PMN 是AB 与MN 所成的角(或所成角的补角)． 又因AB ＝CD ，所以PM ＝PN ，则△PMN 是等边三角形， 所以∠PMN ＝60°，即AB 与MN 所成的角为60°.若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形．所以∠PMN ＝30°， 即AB 与MN 所成的角为30°.故直线AB 和MN 所成的角为60°或30°.2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系一、基础过关1．已知直线a∥平面α，直线b⊂α，则a与b的位置关系是() A．相交B．平行C．异面D．平行或异面2．直线l与平面α不平行，则() A．l与α相交B．l⊂αC．l与α相交或l⊂αD．以上结论都不对3．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的() A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交4．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是() A．平行B．相交C．平行或相交D．AB⊂α5．直线a⊂平面α，直线b⊄平面α，则a，b的位置关系是________．6．若a、b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是________．7．平面α内有无数条直线与平面β平行，那么α∥β是否正确？说明理由．8. 如图，直线a∥平面α，a⊂β，α∩β＝b，求证：a∥b.二、能力提升9．下列命题正确的是() A．若直线a在平面α外，则直线a∥αB．若直线a与平面α有公共点，则a与α相交C．若平面α内存在直线与平面β无交点，则α∥βD．若平面α内的任意直线与平面β均无交点，则α∥β10．教室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线与直尺所在的直线() A．异面B．相交C．平行D．垂直11．若不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A、B、CD/∈α，则面ABC 与面α的位置关系为________．12. 如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论．三、探究与拓展13．正方体ABCD—A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A、Q、B1三点的截面图形的形状．答案1．D2．C3．D4．C5.平行、相交或异面6．b⊂α，b∥α或b与α相交7．解不正确．如图，设α∩β＝l，则在α内与l平行的直线可以有无数条，如a1，a2，…，a n，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，a n与平面β平行，但此时α与β不平行，α∩β＝l.8．证明∵直线a∥平面α，∴直线a与平面α无公共点．∵α∩β＝b，∴b⊂α，b⊂β.∴直线a与b无公共点．∵a⊂β，∴a∥b.9．D10.D11.平行或相交12．解由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，∵α∥β，a⊂α，b⊂β，∴a、b无公共点．又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b.∵α∥β，∴α与β无公共点，又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β.13．解由点Q在线段DD1上移动，当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图(1)所示；当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图(2)所示；图(1)图(2)当点Q不与点D，D1重合时，截面图形为等腰梯形AQRB1，如图(3)所示．图(3)2.2.2平面与平面平行的判定一、基础过关1．直线l∥平面α，直线m∥平面α，直线l与m相交于点P，且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是() A．相交B．平行C．异面D．不确定2．平面α与平面β平行的条件可以是() A．α内的一条直线与β平行B．α内的两条直线与β平行C．α内的无数条直线与β平行D．α内的两条相交直线分别与β平行3．给出下列结论，正确的有()①平行于同一条直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③过平面外两点，不能作一个平面与已知平面平行；④若a，b为异面直线，则过a与b平行的平面只有一个．A．1个B．2个C．3个D．4个4．若正n边形的两条对角线分别与面α平行，则这个正n边形所在的平面一定平行于平面α，那么n的取值可能是() A．12 B．8 C．6 D．55．已知平面α、β和直线a、b、c，且a∥b∥c，a⊂α，b、c⊂β，则α与β的关系是________．6．有下列几个命题：①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β；③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β.其中正确的有________．(填序号)7．如图所示，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，求证：AE∥平面DCF.8. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是AB、CD、A1B1、C1D1的中点．求证：平面A1EFD1∥平面BCF1E1.二、能力提升9．α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同的直线，在下列条件下，可判定α∥β的是() A．α，β都平行于直线a、bB．α内有三个不共线的点到β的距离相等C．a，b是α内两条直线，且a∥β，b∥βD．a、b是两条异面直线，且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β10. 正方体EFGH—E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G11. 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.12．已知在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．求证：(1)E、F、D、B四点共面；(2)平面AMN∥平面EFDB.三、探究与拓展13．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心．(1)求证：平面MNG∥平面ACD；(2)求S△MNG∶S△ADC.答案1．B 2．D 3．B 4.D 5．相交或平行 6．③7．证明 由于AB ∥CD ，BE ∥CF ，故平面ABE ∥平面DCF .而直线AE 在平面ABE 内，根据线面平行的定义，知AE ∥平面DCF . 8．证明 ∵E 、E 1分别是AB 、A 1B 1的中点，∴A 1E 1∥BE 且A 1E 1＝BE .∴四边形A 1EBE 1为平行四边形． ∴A 1E ∥BE 1.∵A 1E ⊄平面BCF 1E 1， BE 1⊂平面BCF 1E 1. ∴A 1E ∥平面BCF 1E 1. 同理A 1D 1∥平面BCF 1E 1， A 1E ∩A 1D 1＝A 1，∴平面A 1EFD 1∥平面BCF 1E 1. 9．D 10.A 11.M ∈线段FH12．证明 (1)∵E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 1的中点，∴EF 綊12B 1D 1，∵DD 1綊BB 1，∴四边形D 1B 1BD 是平行四边形， ∴D 1B 1∥BD . ∴EF ∥BD ，即EF 、BD 确定一个平面，故E 、F 、D 、B 四点共面． (2)∵M 、N 分别是A 1B 1、A 1D 1的中点， ∴MN ∥D 1B 1∥EF . 又MN ⊄平面EFDB ， EF ⊂平面EFDB . ∴MN ∥平面EFDB .连接NE ，则NE 綊A 1B 1綊AB . ∴四边形NEBA 是平行四边形．∴AN ∥BE .又AN ⊄平面EFDB ，BE ⊂平面EFDB .∴AN ∥平面EFDB . ∵AN 、MN 都在平面AMN 内，且AN ∩MN ＝N ， ∴平面AMN ∥平面EFDB .13．(1)证明 连接BM 、BN 、BG 并延长交AC 、AD 、CD 分别于P 、F 、H .∵M 、N 、G 分别为△ABC 、△ABD 、△BCD 的重心，则有BM MP ＝BN NF ＝BGGH ＝2.连接PF 、FH 、PH ，有MN ∥PF . 又PF ⊂平面ACD ，MN ⊄平面ACD ， ∴MN ∥平面ACD .同理MG ∥平面ACD ，MG ∩MN ＝M ， ∴平面MNG ∥平面ACD .(2)解 由(1)可知MG PH ＝BG BH ＝23，∴MG ＝23PH .又PH ＝12AD ，∴MG ＝13AD .同理NG ＝13AC ，MN ＝13CD .∴△MNG ∽△DCA ，其相似比为1∶3， ∴S △MNG ∶S △ADC ＝1∶9.2.2.3 直线与平面平行的性质一、基础过关1．a ，b 是两条异面直线，P 是空间一点，过P 作平面与a ，b 都平行，这样的平面( ) A ．只有一个 B ．至多有两个 C ．不一定有D ．有无数个2. 如图，在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误的为( )A ．AC ⊥BDB ．AC ∥截面PQMNC ．AC ＝BDD ．异面直线PM 与BD 所成的角为45°3. 如图所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱AA 1和BB 1的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于G 、H ，则HG 与AB 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行和异面4．直线a ∥平面α，α内有n 条直线交于一点，则这n 条直线中与直线a 平行的直线( ) A ．至少有一条 B ．至多有一条 C ．有且只有一条D ．没有5．设m 、n 是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m ∥n ；②m ∥α；③n ∥α.以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：______________.(用序号表示)6. 如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.7. ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH .8. 如图所示，三棱锥A —BCD 被一平面所截，截面为平行四边形EFGH .求证：CD∥平面EFGH.二、能力提升9.如图所示，平面α∩β＝l1，α∩γ＝l2，β∩γ＝l3，l1∥l2，下列说法正确的是()A．l1平行于l3，且l2平行于l3B．l1平行于l3，且l2不平行于l3C．l1不平行于l3，且l2不平行于l3D．l1不平行于l3，但l2平行于l310．如图所示，已知A、B、C、D四点不共面，且AB∥平面α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是________．10题图11题图11．如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB ＝________.12. 如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面P AD∩平面PBC＝l.(1)求证：BC∥l；(2)MN与平面P AD是否平行？试证明你的结论．三、探究与拓展13．如图所示，三棱柱ABC—A1B1C1，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.答案1．C 2．C 3．A 4．B5．①②⇒③(或①③⇒②) 6.223a7．证明 如图所示，连接AC 交BD 于O ，连接MO ，∵ABCD 是平行四边形，ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH .∴O 是AC 中点，又M 是PC 的中点， ∴AP ∥OM .根据直线和平面平行的判定定理， 则有P A ∥平面BMD .∵平面P AHG ∩平面BMD ＝GH ， 根据直线和平面平行的性质定理， 则有AP ∥GH .8．证明 ∵四边形EFGH 为平行四边形， ∴EF ∥GH .又GH ⊂平面BCD ，EF ⊄平面BCD . ∴EF ∥平面BCD .而平面ACD ∩平面BCD ＝CD ，EF ⊂平面ACD ，∴EF ∥CD . 而EF ⊂平面EFGH ，CD ⊄平面EFGH ， ∴CD ∥平面EFGH . 9．A 10.平行四边形 11．m ∶n12．(1)证明 因为BC ∥AD ，AD ⊂平面P AD ，BC ⊄平面P AD ，所以BC ∥平面P AD .又平面P AD ∩平面PBC ＝l ，BC ⊂平面PBC ，所以BC ∥l . (2)解 MN ∥平面P AD . 证明如下：如图所示，取PD 中点E . 连接EN 、AE .又∵N 为PC 中点，∴EN 綊12AB∴EN綊AM，∴四边形ENMA为平行四边形，∴AE∥MN.又∵AE⊂平面P AD，MN⊄平面P AD，∴MN∥平面P AD.13．证明连接A 1C交AC1于点E，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴E是A1C的中点，连接ED，∵A1B∥平面AC1D，平面A1BC∩平面AC1D＝ED，∴A1B∥ED，∵E是A1C的中点，∴D是BC的中点．又∵D1是B1C1的中点，∴BD1∥C1D，又∵C1D⊂平面AC1D，BD1⊄平面AC1D，∴BD1∥平面AC1D，又A1B∩BD1＝B，∴平面A1BD1∥平面AC1D.2.2.4 平面与平面平行的性质一、基础过关1．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a 的平面γ，与平面β相交，交线为直线b ，则a 、b 的位置关系是( ) A ．平行B ．相交C ．异面D ．不确定2．已知a 、b 表示直线，α、β表示平面，下列推理正确的是( )A ．α∩β＝a ，b ⊂α⇒a ∥bB ．α∩β＝a ，a ∥b ⇒b ∥α且b ∥βC ．a ∥β，b ∥β，a ⊂α，b ⊂α⇒α∥βD ．α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b3. 如图所示，P 是三角形ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段P A 、PB 、PC 于A ′、B ′、C ′，若P A ′∶AA ′＝2∶3，则S △A ′B ′C ′∶S △ABC 等于( )A ．2∶25B ．4∶25C ．2∶5D ．4∶54．α，β，γ为三个不重合的平面，a ，b ，c 为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是( )①⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b; ② ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ； ③⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β； ④ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；⑤⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c ⇒α∥a; ⑥⎭⎪⎬⎪⎫α∥γa ∥γ⇒a ∥α. A ．④⑥ B ．②③⑥ C ．②③⑤⑥ D ．②③5．分别在两个平行平面的两个三角形．(填“相似”“全等”) (1)若对应顶点的连线共点，那么这两个三角形具有______关系； (2)若对应顶点的连线互相平行，那么这两个三角形具有________关系．6．已知平面α∥β∥γ，两条直线l 、m 分别与平面α、β、γ相交于点A 、B 、C 与D 、E 、F .已知AB ＝6，DE DF ＝25，则AC ＝______.7.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是A 1C 1的中点，平面AB 1M ∥平面BC 1N ，AC ∩平面BC 1N ＝N .求证：N 为AC 的中点．8. 如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P －ABCD 中，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？并证明你的结论．二、能力提升9．设α∥β，A ∈α，B ∈β，C 是AB 的中点，当A 、B 分别在平面α、β内运动时，得到无数个AB 的中点C ，那么所有的动点C( )A ．不共面B ．当且仅当A 、B 分别在两条直线上移动时才共面C ．当且仅当A 、B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D ．不论A 、B 如何移动，都共面10．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 与α，β分别交于点A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于点B ，D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( )A ．16B ．24或245 C ．14 D ．2011．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l ，m ，使得l ∥α，l ∥β，m ∥α，m ∥β.其中可以判断两个平面α与β平行的条件有________个．12. 如图所示，平面α∥平面β，△ABC 、△A ′B ′C ′分别在α、β内，线段AA ′、BB ′、CC ′共点于O ，O 在α、β之间，若AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝90°，OA ∶OA ′＝3∶2. 求△A ′B ′C ′的面积．三、探究与拓展13．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．§2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定一、基础过关1．已知直线a∥b，平面α∥β，a⊥α，则b与β的位置关系是() A．b⊥βB．b∥βC．b⊂βD．b⊂β或b∥β2．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是() A．a⊥βB．a∥βC．a⊂βD．a⊂β或a∥β3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是() A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定5. 在正方体ABCD－A 1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是______．6. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝______.7．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB.8. 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱P A垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，P A＝AD.求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD.二、能力提升9. 如图所示，P A⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为()A．4 B．3 C．2 D．110．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中() A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直11．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．12. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证：B1O⊥平面P AC.三、探究与拓展13．已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2，A、B两点在α内的射影之间距离为3，求直线AB和平面α所成的角．答案1．A 2.D 3．C 4．B 5．(1)45° (2)30° (3)90° 6．90°7．证明 在平面B 1BCC 1中， ∵E 、F 分别是B 1C 1、B 1B 的中点， ∴△BB 1E ≌△CBF ， ∴∠B 1BE ＝∠BCF ，∴∠BCF ＋∠EBC ＝90°，∴CF ⊥BE ， 又AB ⊥平面B 1BCC 1，CF ⊂平面B 1BCC 1， ∴AB ⊥CF ，又AB ∩BE ＝B ， ∴CF ⊥平面EAB .8．证明 (1)∵P A ⊥底面ABCD ， ∴CD ⊥P A .又矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，且AD ∩P A ＝A ，∴CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥PD .(2)取PD 的中点G ，连接AG ，FG .又∵G 、F 分别是PD 、PC 的中点，∴GF 綊12CD ，∴GF 綊AE ，∴四边形AEFG 是平行四边形，∴AG ∥EF . ∵P A ＝AD ，G 是PD 的中点， ∴AG ⊥PD ，∴EF ⊥PD ， ∵CD ⊥平面P AD ，AG ⊂平面P AD . ∴CD ⊥AG .∴EF ⊥CD .∵PD ∩CD ＝D ，∴EF ⊥平面PCD . 9．A 10．B 11．∠A 1C 1B 1＝90°12．证明 连接AB 1，CB 1，设AB ＝1.∴AB 1＝CB 1＝2，∵AO ＝CO ，∴B 1O ⊥AC .连接PB1.∵OB21＝OB2＋BB21＝32，PB21＝PD21＋B1D21＝94，OP2＝PD2＋DO2＝34，∴OB21＋OP2＝PB21.∴B1O⊥PO，又∵PO∩AC＝O，∴B1O⊥平面P AC.13．解(1)如图①，当A、B位于平面α同侧时，由点A、B分别向平面α作垂线，垂足分别为A1、B1，则AA1＝1，BB1＝2，B1A1＝ 3.过点A作AH⊥BB1于H，则AB和α所成角即为∠HAB.而tan∠BAH＝2－13＝33.∴∠BAH＝30°.(2)如图②，当A、B位于平面α异侧时，经A、B分别作AA1⊥α于A1，BB1⊥α于B1，AB∩α＝C，则A1B1为AB在平面α上的射影，∠BCB1或∠ACA1为AB与平面α所成的角．∵△BCB1∽△ACA1，∴BB1AA1＝B1CCA1＝2，∴B1C＝2CA1，而B1C＋CA1＝3，∴B1C＝233.∴tan∠BCB1＝BB1B1C＝2233＝3，∴∠BCB1＝60°.综合(1)、(2)可知：AB与平面α所成的角为30°或60°.2.3.2平面与平面垂直的判定一、基础过关1．过两点与一个已知平面垂直的平面() A．有且只有一个B．有无数个C．一个或无数个D．可能不存在2．不能肯定两个平面一定垂直的情况是() A．两个平面相交，所成二面角是直二面角B．一个平面经过另一个平面的一条垂线C．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线D．平面α内的直线a与平面β内的直线b是垂直的3．设有直线m、n和平面α、β，则下列结论中正确的是()①若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β；②若m⊥n，α∩β＝m，n⊂α，则α⊥β；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.A．①②B．①③C．②③D．①②③4．设l是直线，α，β是两个不同的平面，下列结论中正确的是() A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β5．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP 所成的二面角的度数是________．6．如图所示，已知P A⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．7．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.求证：平面EFG⊥平面PDC.8. 如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，P A⊥底面ABCD，P A＝ 3.(1)证明：平面PBE⊥平面P AB；(2)求二面角A—BE—P的大小．二、能力提升9．在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，把菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝32，则二面角B －AC －D 的余弦值为( )A.13B.12C.223D.32 10．在正四面体P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )A ．BC ∥面PDFB ．DF ⊥面P AEC ．面PDF ⊥面ABCD ．面P AE ⊥面ABC11．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C . 求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .12．如图，在三棱锥P —ABC 中，P A ⊥底面ABC ，P A ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点D 、E 分别在棱PB 、PC 上，且DE ∥BC .(1)求证：BC ⊥平面P AC .(2)是否存在点E 使得二面角A —DE —P 为直二面角？并说明理由． 三、探究与拓展13．如图所示，三棱锥P —ABC 中，D 是AC 的中点，P A ＝PB ＝PC ＝5，AC ＝22，AB ＝2，BC ＝ 6.(1)求证：PD ⊥平面ABC ； (2)求二面角P —AB —C 的正切值．答案1．C 2.D 3.B 4.B5．45°6．57．证明因为MA⊥平面ABCD，PD∥MA，所以PD⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC.因为四边形ABCD为正方形，所以BC⊥DC.又PD∩DC＝D，所以BC⊥平面PDC.在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，所以GF∥BC，所以GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PDC.8．(1)证明如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.又AB∥CD，所以BE⊥AB.又因为P A⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以P A⊥BE.而P A∩AB＝A，因此BE⊥平面P AB.又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面P AB.(2)解由(1)知，BE⊥平面P AB，PB⊂平面P AB，所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．＝3，则∠PBA＝60°.在Rt△P AB中，tan∠PBA＝P AAB故二面角A—BE—P的大小是60°.9．B 10．C11．证明(1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知EF∥BC.因为EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC.所以EF∥平面ABC.(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1.又A1D⊂平面A1B1C1，故CC1⊥A1D.又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.12．(1)证明∵P A⊥底面ABC，∴P A⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.又∵AC∩P A＝A，∴BC⊥平面P AC.(2)解∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面P AC，∴DE⊥平面P AC.又∵AE⊂平面P AC，PE⊂平面P AC，∴DE⊥AE，DE⊥PE.∴∠AEP 为二面角A —DE —P 的平面角． ∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥AC ， ∴∠P AC ＝90°.∴在棱PC 上存在一点E ， 使得AE ⊥PC .这时∠AEP ＝90°，故存在点E ，使得二面角A —DE —P 为直二面角． 13．(1)证明 连接BD ，∵D 是AC 的中点，P A ＝PC ＝5， ∴PD ⊥AC .∵AC ＝22，AB ＝2，BC ＝6， ∴AB 2＋BC 2＝AC 2.∴∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC .∴BD ＝12AC ＝2＝AD .∵PD 2＝P A 2－AD 2＝3，PB ＝5， ∴PD 2＋BD 2＝PB 2.∴PD ⊥BD . ∵AC ∩BD ＝D ，∴PD ⊥平面ABC .(2)解 取AB 的中点E ，连接DE 、PE ，由E 为AB 的中点知DE ∥BC ， ∵AB ⊥BC ，∴AB ⊥DE . ∵PD ⊥平面ABC ，∴PD ⊥AB .又AB ⊥DE ，DE ∩PD ＝D ，∴AB ⊥平面PDE ，∴PE ⊥AB . ∴∠PED 是二面角P —AB —C 的平面角．在△PED 中，DE ＝12BC ＝62，PD ＝3，∠PDE ＝90°，∴tan ∠PED ＝PDDE ＝ 2.∴二面角P —AB —C 的正切值为 2.2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质一、基础过关1．已知两个平面互相垂直，那么下列说法中正确的个数是( )①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；②一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； ③过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线，垂足必落在交线上； ④过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面． A ．4B ．3C ．2D ．1 2．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( ) A ．相交B ．平行C ．异面D ．相交或平行3．若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )①⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ② ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ； ③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n; ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α. A ．1 B ．2C ．3D ．4 4．在△ABC 所在的平面α外有一点P ，且P A ＝PB ＝PC ，则P 在α内的射影是△ABC 的( )A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心5. 如图所示，AF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，且AF ＝DE ，AD ＝6，则EF ＝________.6．若α⊥β，α∩β＝AB ，a ∥α，a ⊥AB ，则a 与β的关系为________． 7. 如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，平面P AB ⊥平面PBC .求证：BC ⊥AB .8. 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 上一点，N 是A 1C 的中点，MN ⊥平面A 1DC . 求证：(1)MN ∥AD 1； (2)M 是AB 的中点．二、能力提升9. 如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A ′、B ′，则AB ∶A ′B ′等于( )A ．2∶1B ．3∶1C ．3∶2D ．4∶310．设α－l －β是直二面角，直线a ⊂α，直线b ⊂β，a ，b 与l 都不垂直，那么( )A ．a 与b 可能垂直，但不可能平行B ．a 与b 可能垂直，也可能平行C ．a 与b 不可能垂直，但可能平行D ．a 与b 不可能垂直，也不可能平行11．直线a 和b 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的两个不同平面内，使a ∥b 成立的条件是________．(只填序号)①a 和b 垂直于正方体的同一个面； ②a 和b 在正方体两个相对的面内，且共面； ③a 和b 平行于同一条棱；④a 和b 在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直． 12．如图所示，在多面体P —ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，△P AD 是等边三角形，已知BD ＝2AD ＝8，AB ＝2DC ＝4 5. (1)设M 是PC 上的一点， 求证：平面MBD ⊥平面P AD ； (2)求四棱锥P —ABCD 的体积． 三、探究与拓展13．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD . (1)证明：DC 1⊥BC ；(2)求二面角A 1－BD －C 1的大小．答案1．B 2.B 3．C 4．C 5．6 6．a ⊥β7．证明 在平面P AB 内，作AD ⊥PB 于D . ∵平面P AB ⊥平面PBC ， 且平面P AB ∩平面PBC ＝PB . ∴AD ⊥平面PBC . 又BC ⊂平面PBC ， ∴AD ⊥BC .又∵P A ⊥平面ABC ， BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC ，∴BC ⊥平面P AB . 又AB ⊂平面P AB ， ∴BC ⊥AB .8．证明 (1)∵ADD 1A 1为正方形， ∴AD 1⊥A 1D .又∵CD ⊥平面ADD 1A 1， ∴CD ⊥AD 1. ∵A 1D ∩CD ＝D ， ∴AD 1⊥平面A 1DC . 又∵MN ⊥平面A 1DC ， ∴MN ∥AD 1.(2)连接ON ，在△A 1DC 中， A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC .∴ON 綊12CD 綊12AB ，∴ON ∥AM . 又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形， ∴ON ＝AM . ∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ，∴M 是AB 的中点． 9．A 10．C 11．①②③12．(1)证明 在△ABD 中，∵AD ＝4，BD ＝8，AB ＝45， ∴AD 2＋BD 2＝AB 2.∴AD ⊥BD .又∵面P AD ⊥面ABCD ，面P AD ∩面ABCD ＝AD ，BD ⊂面ABCD ，∴BD ⊥面P AD ，又BD ⊂面BDM ， ∴面MBD ⊥面P AD . (2)解 过P 作PO ⊥AD ， ∵面P AD ⊥面ABCD ， ∴PO ⊥面ABCD ，即PO 为四棱锥P —ABCD 的高． 又△P AD 是边长为4的等边三角形， ∴PO ＝2 3.在底面四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2DC ，∴四边形ABCD 为梯形．在Rt △ADB 中，斜边AB 边上的高为4×845＝855，此即为梯形的高． ∴S 四边形ABCD ＝25＋452×855＝24. ∴V P —ABCD ＝13×24×23＝16 3.13．(1)证明 由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D 为AA 1的中点，故DC ＝DC 1.又AC ＝12AA 1，可得DC 21＋DC 2＝CC 21，所以DC 1⊥DC .而DC 1⊥BD ，CD ∩BD ＝D ，所以DC 1⊥平面BCD .因为BC ⊂平面BCD ，所以DC 1⊥BC .(2)解 DC 1⊥BC ，CC 1⊥BC ⇒BC ⊥平面ACC 1A 1⇒BC ⊥AC ，取A 1B 1的中点O ，过点O 作OH ⊥BD 于点H ，连接C 1O ，C 1H ，A 1C 1＝B 1C 1⇒C 1O ⊥A 1B 1，面A 1B 1C 1⊥面A 1BD ⇒C 1O ⊥面A 1BD ，又∵DB ⊂面A 1DB ，∴C 1O ⊥BD ，又∵OH ⊥BD ，∴BD ⊥面C 1OH ，C 1H ⊂面C 1OH ，∴BD ⊥C 1H ，得点H 与点D 重合，且∠C 1DO 是二面角A 1－BD －C 的平面角，设AC ＝a ，则C 1O ＝22a ，C 1D ＝2a ＝2C 1O ⇒∠C 1DO ＝30°，故二面角A 1－BD －C 1的大小为30°.章末检测一、选择题1．下列推理错误的是() A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A∈l，l⊂α⇒A∈α2．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于() A．30°B．45°C．60°D．90°3．下列命题正确的是() A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行4．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF，GH交于一点P，则() A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P一定在直线AC或BD上D．P既不在直线AC上，也不在直线BD上5．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是() A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④6．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是() A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥βD．AC⊥β7．如图(1)所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，如图(2)所示，那么，在四面体S－EFG中必有()。
【高中教育】人教B版高中数学必修二1.2.2第3课时平面与平面平行课时作业及解析.doc
高中数学 1.2.2 第3课时平面与平面平行课时作业新人教B版必修2一、选择题1．两个平面平行的条件是( )A．一个平面内一条直线平行于另一个平面B．一个平面内两条直线平行于另一个平面C．一个平面内的无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面[答案] D[解析] 如图，平面β内可以有无数条直线与平面α平行，而平面α与平面β相交．2．若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，那么a、b的位置关系是( ) A．无公共点B．平行C．既不平行也不相交D．相交[答案] A[解析] ∵平面α∥平面β，∴α与β没有公共点，又∵a⊂α，b⊂β，∴a与b无公共点．3．a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出六个命题．①⎭⎬⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b; ②⎭⎬⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ；③⎭⎬⎫α∥c β∥c ⇒α∥β； ④⎭⎬⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；⑤⎭⎬⎫α∥c a ∥c ⇒α∥a; ⑥⎭⎬⎫a ∥γα∥γ⇒α∥a . 其中正确的命题是( ) A ．①②③ B ．①④⑤ C ．①④ D ．①③④[答案] C[解析] ①平行公理；②两直线同时平行于一平面，这两直线可相交，平行或异面；③两平面同时平行于一直线，这两个平面相交或平行；④面面平行传递性；⑤一直线和一平面同时平行于另一直线，这条直线和平面平行或直线在平面内；⑥一直线和一平面同时平行于另一平面，这条直线和平面可能平行也可能在平面内，故①、④正确．4．可以作为平面α∥平面β的条件的是( ) A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β B ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α [答案] D[解析] a ∥β，则β中存在a ′∥a ，则面α内存在b ′，使b ∥b ′，且a ′与b 相交，a 与b ′相交，∴α∥β.故选D.二、填空题5．若两直线a 、b 相交，且a ∥平面α，则b 与α的位置关系是________． [答案] 相交或平行[解析] 以如图所示的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1为模型．A 1B 1∩A 1D 1＝A 1，A 1B 1∥平面ABCD ，A 1D 1∥平面ABCD ； A 1B 1∩A 1A ＝A 1，A 1B 1∥平面ABCD ， A 1A ∩平面ABCD ＝A ， 故b 与α相交或平行． 6．有下列几个命题：①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；②α∩γ＝a ，α∩β＝b ，且a ∥b (α、β、γ分别表示平面，a 、b 表示直线)，则γ∥β；③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β.其中正确的有________．(填序号) [答案] ③[解析] ①不正确，当两平面相交时，在一个平面两侧分别有无数点满足条件；②不正确，当平面β与γ相交时也可满足条件；③正确，满足平面平行的判定定理；④不正确，当两平面相交时，也可满足条件．三、解答题7.如图，已知在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，M 为PC 的中点，在DM 上任取一点G ，过G 和AP 作平面PAHG 交平面DMB 于GH ，求证：AP ∥GH .[解析] 连接AC交BD于O点，在△PAC中，因为M、O分别为PC、AC的中点，所以OM∥PA，因为OM⊂平面MBD，PA⊄平面MBD，所以PA∥平面MBD，又因为平面PAHG∩平面MBD＝GH，PA⊂平面PAHG，所以PA∥GH.8．(2015·山东商河弘德中学高一月考)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是AB、CD、A1B1、C1D1的中点．求证：平面A1EFD1∥平面BCF1E1.[解析] ∵E、F分别是AB、CD的中点，∴EF∥BC，又∵E1、F1分别是A1B1、C1D1的中点，∴A1E1綊BE，∴四边形A1EBE1是平行四边形，∴A1E∥BE1，又A1E∩EF＝E，BE1∩BC＝B，A 1E⊂平面A1EFD1，EF⊂平面A1EFD1，BE1⊂平面BCF1E1，BC⊂平面BCF1E1，∴平面A1EFD1∥平面BCF1E1.一、选择题1．若平面α∥β，直线a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( ) A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条直线与a平行C．存在无数条直线与a平行D．存在惟一一条与a平行的直线[答案] D[解析] ∵α∥β，B∈β，∴B∉α.∵a⊂α，∴B、a可确定平面γ且γ∩α＝a，γ与β交过点B的直线，∴a∥b.∵a、B在同一平面γ内，∴b惟一，即存在惟一一条与a平行的直线．2．已知a是一条直线，过a作平面β，使β∥平面α，这样的β( ) A．只能作一个B．至少有一个C．不存在D．至多有一个[答案] D[解析] 本题考查线面平行的性质．∵a是一条直线，∴a∥α或a与α相交或在平面α内．当a∥α时，β只有一个；当a与α相交或在平面α内时，β不存在，故选D.二、填空题3．已知α∥β，O是两平面外一点，过O作三条直线和平面α交于不在同一直线上的A、B、C三点，和平面β交于A′、B′、C′三点，则△ABC与△A′B′C′的关系是________，若AB＝a，A′B′＝b，B′C′＝c，则BC的长是________．[答案] 相似ac b[解析] 已知α∥β，则AB∥A′B′，BC∥B′C′，AC∥A′C′，∴△ABC与△A′B′C′相似，则两三角形的对应边成比例，即ABA′B′＝BC B′C′＝ACA′C′，∴有a b ＝BC c ，∴BC ＝acb. 4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、CD 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足________________时，有MN ∥平面B 1BDD 1.[答案] M 在线段FH 上移动 [解析] 此时HN ∥BD ，MH ∥DD 1，∴平面MNH ∥平面BDD 1B 1， ∴MN ∥平面B 1BDD 1. 三、解答题5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，设M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、C 1D 1、B 1C 1的中点，如图所示．(1)求证：E 、F 、B 、D 四点共面； (2)求证：平面AMN ∥平面EFBD .[解析] (1)分别连接BD 、ED 、FB ，由正方体性质知，B 1D 1∥BD .∵E 、F 分别是C 1D 1和B 1C 1的中点， ∴EF 綊12B 1D 1，EF 綊12BD .∴E 、F 、B 、D 四点共面．(2)连接A 1C 1交MN 于P 点，交EF 于点Q ，分别连接PA 、QO .∵M 、N 分别为A 1B 1、A 1D 1的中点，∴MN ∥EF ，EF ⊂面EFBD ，∴MN ∥面EFBD . ∵PQ 綊AO ，∴四边形PAOQ 为平行四边形， ∴PA ∥QO .而QO ⊂面EFBD ，∵PA ∥面EFBD ，且PA ∩MN ＝P ，PA 、MN ⊂面AMN ， ∴平面AMN ∥面EFBD .6．已知平面α∥平面β，P 是α、β外一点，过点P 的直线m 与α、β分别交于A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于B 、D .若PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，求BD 的长．[解析] 因为点P 的位置不确定，应分以下三种情况讨论． (1)当点P 在α上方时，如图， ∵PA ∩PB ＝P ，β∩平面PCD ＝CD ，α∩平面PCD ＝AB ，又α∥β， ∴AB ∥CD .∴PA PC ＝PB PD. 又PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8， ∴PC ＝PA ＋AC ＝15. ∴PB ＝6×815＝165. ∴BD ＝PD －PB ＝8－165＝245. (2)当点P 在α、β中间时，如图， ∵α∥β，∴AB ∥DC ．∴△PAB ∽△PCD .∴PAPC＝PBPD.∵AC＝9，PA＝6，∴PC＝3.又PD＝8，∴PB＝PA×PDPC＝6×83＝16.∴BD＝8＋16＝24.(3)当点P在β下方时，由PA<AC知不可能．∴BD的长为245或24.7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点．问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ与平面PAO平行？[解析] 如图，设平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，点M在AA1上，由于平面D1BQ∩平面BCC1B1＝BQ，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，由面面平行的性质定理可得BQ∥D1M.假设平面D1BQ∥平面PAO，由平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，平面PAO∩平面ADD1A1＝AP，可得AP∥D1M，所以BQ∥D1M∥AP.因为P为DD1的中点，所以M为AA1的中点，所以Q为CC1的中点．故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.。
2016-2017学年高中数学人教B版必修2学业测评：1.2.2.2 平面与平面平行 含解析
学业分层测评(建议用时：45分钟）[学业达标］一、选择题1．若直线l不平行于平面α，且l⊄α,则（）A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交【解析】直线l不平行于平面α，且l⊄α，所以l与α相交,故选B。
【答案】B2．已知m，n是两条直线,α，β是两个平面．有以下说法：①m,n相交且都在平面α,β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β,则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α,n∥β，m∥n，则α∥β.其中正确的个数是（)A．0 B．1C．2 D．3【解析】把符号语言转换为文字语言或图形语言．可知①是面面平行的判定定理；②③中平面α、β还有可能相交，所以选B.【答案】B3．平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为( ）A．平行B．相交C．平行或相交D．可能重合【解析】若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行，若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交．【答案】C4．如果AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是（）A．平行B．相交C．AC在此平面内D．平行或相交【解析】把这三条线段放在正方体内如图,显然AC∥EF，AC⊄平面EFG。
EF⊂平面EFG，故AC∥平面EFG.故选A。
【答案】A5．以下四个命题：①三个平面最多可以把空间分成八部分;②若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交"与“α与β相交"等价；③若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈l；④若n条直线中任意两条共面,则它们共面．其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①③【解析】对于①，正确；对于②，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b；对于③，正确；对于④,反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面,故④错．所以正确的是①③。
人教版高中数学必修第二册8.5.2 直线与平面平行 第1课时 直线与平面平行的判定 同步练习(含答案
人教版高中数学必修第二册8.5.2直线与平面平行第1课时直线与平面平行的判定同步练习一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.下列说法中正确的是()A.若直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥αB.若直线a在平面α外,则a∥αC.若直线a∥b,b⊂α,则a∥αD.若直线a∥b,b⊂α,那么直线a平行于α内的无数条直线2.直线a,b为异面直线,则过直线a与直线b平行的平面()A.有且只有一个B.有无数个C.有且只有一个或不存在D.不存在3.如图L8-5-7所示,在三棱锥A-BCD中,E,F,G分别是BD,DC,CA的中点,设过这三点的平面为α,则在6条直线AB,AC,AD,BC,CD,DB中,与平面α平行的有()图L8-5-7A.0条B.1条C.2条D.3条4.如图L8-5-8,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与平面AB1C平行的直线是()图L8-5-8A.DD1B.A1D1C.C1D1D.A1D5.在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD上的点,且AE∶EB=AF∶FD=1∶4,H,G分别为BC,CD的中点,则()A.BD∥平面EFGH且四边形EFGH为矩形B.EF∥平面BCD且四边形EFGH为梯形C.HG∥平面ABD且四边形EFGH为菱形D.HE∥平面ADC且四边形EFGH为平行四边形6.将一个正方体纸盒沿着几条棱剪开,得到如图L8-5-9所示的展开图,则在原正方体中()图L8-5-9A.AB∥CDB.AB∥平面CDC.CD∥GHD.AB∥GH7.如图L8-5-10,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,且该平行六面体的各棱长均相等,给出下列说法:①A1M∥D1P;②A1M∥B1Q;③A1M∥平面DCC1D1;④A1M∥平面D1PQB1.其中正确说法的个数为()图L8-5-10A.1B.2C.3D.48.如图L8-5-11,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BC1,BD的中点,则至少过正方体3个顶点的平面中与EF平行的平面个数为()图L8-5-11A.2B.3C.4D.5二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.已知l,m是两条直线,α是一个平面,若要得到“l∥α”,则需要在条件“m⊂α,l∥m”中另外添加的一个条件是.10.如图L8-5-12,在三棱锥S-ABC中,G为△ABC的重心,E在棱SA上,且AE=2ES,则EG与平面SBC的位置关系为.图L8-5-1211.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊂平面α,CD⊄平面α,则直线CD与平面α内的直线的位置关系是.12.已知直线a,b和平面α,若a∥b,且直线b在平面α内,则a与α的位置关系是.三、解答题(本大题共2小题,共20分)13.(10分)如图L8-5-13,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为棱AB,BC的中点.求证:AC∥平面B1DE.图L8-5-1314.(10分)如图L8-5-14,在圆锥中,S为顶点,AB,CD为底面圆的两条直径,AB∩CD=O,且AB⊥CD,SO=OB=2,P为SB的中点.(1)求证:SA∥平面PCD;(2)求圆锥的表面积和体积.图L8-5-1415.(5分)如图L8-5-15,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为AA1的中点,点P在侧面BCC1B1上运动,当点P满足条件时,A1P∥平面BCD.(答案不唯一,填一个满足题意的条件即可)图L8-5-1516.(15分)如图L8-5-16,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,F是AB的中点,E是PD的中点.(1)证明:PB∥平面AEC;(2)在PC上求一点G,使FG∥平面AEC,并证明你的结论.图L8-5-16参考答案与解析1.D[解析]直线l⊂α时也可以满足条件,但l不平行于α,所以选项A中说法错误;直线在平面外包括直线与平面平行和直线与平面相交两种情况,所以选项B中说法错误;选项C中缺少a⊄α这一条件,故不能得到a∥α,所以选项C中说法错误;选项D中说法正确.2.A[解析]在直线a上任取一点A,则过点A与直线b平行的直线有且只有一条,设为b',∵a∩b'=A,∴直线a与直线b'确定一个平面α,平面α为过直线a与直线b平行的平面,可知它是唯一的.3.C[解析]取AD的中点H,连接EH,则EH∥AB,因为EH与平面α相交,所以AB与平面α相交.由题意知直线AC,DB,DC均与平面α相交.在△BCD中,由已知得EF∥BC,因为EF⊂α,BC⊄α,所以BC∥α.同理AD∥α.所以在题中的6条直线中,与平面α平行的有2条.4.D[解析]易知A1B1∥DC,A1B1=DC,∴四边形A1B1CD是平行四边形,∴A1D∥B1C.∵A1D⊄平面AB1C,B1C⊂平面AB1C,∴A1D∥平面AB1C.故选D.5.B[解析]因为AE∶EB=AF∶FD=1∶4,所以EF∥BD,EF=15BD,又BD⊂平面BCD,EF⊄平面BCD,所以EF∥平面BCD.因为H,G分别为BC,CD的中点,所以HG∥BD,HG=12BD.则EF∥HG,EF ≠HG,所以四边形EFGH为梯形,故选B.6.C[解析]原正方体如图所示,由图可得,AB与CD相交,A错误;AB与平面CD相交,B错误;CD∥GH,C正确;AB与GH是异面直线,D错误.7.C[解析]连接PM,因为M,P分别为AB,CD的中点,所以PM∥AD且PM=AD,由题意知AD∥A1D1且AD=A1D1,所以PM∥A1D1且PM=A1D1,所以四边形PMA1D1为平行四边形,所以A1M∥D1P,故①正确;显然A1M与B1Q为异面直线,故②错误;由①知A1M∥D1P,因为D1P ⊂平面DCC1D1,D1P⊂平面D1PQB1,A1M⊄平面DCC1D1,A1M⊄平面D1PQB1,所以A1M∥平面DCC1D1,A1M∥平面D1PQB1,故③④正确.8.D[解析]连接C1D,AB1,∵E,F分别是BC1,BD的中点,∴EF∥C1D∥AB1,则至少过正方体3个顶点的平面中与EF平行的有平面CC1D1D,平面ABB1A1,平面A1C1D,平面ADC1B1,平面AB1D1,共5个,故选D.9.l⊄α[解析]∵l,m是两条直线,α是一个平面,m⊂α,l∥m,∴l⊂α或l∥α.若要得到“l∥α”,则需要在条件“m⊂α,l∥m”中另外添加的一个条件是“l⊄α”.10.平行[解析]连接AG并延长,交BC于点M,连接SM,则AG=2GM,又AE=2ES,所以EG∥SM.因为EG⊄平面SBC,SM⊂平面SBC,所以EG∥平面SBC.11.平行或异面[解析]∵AB∥CD,AB⊂平面α,CD⊄平面α,∴CD∥平面α,∴直线CD与平面α内的直线没有公共点,则直线CD与平面α内的直线的位置关系是平行或异面.12.a∥α或a⊂α[解析]若a∥b,且直线b在平面α内,则a与α的位置关系是a∥α或a⊂α.13.证明:在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DE∥AC,又DE⊂平面B1DE,AC⊄平面B1DE,所以AC∥平面B1DE.14.解:(1)证明:连接PO.∵P,O分别为SB,AB的中点,∴PO∥SA,又PO⊂平面PCD,SA⊄平面PCD,∴SA∥平面PCD.(2)∵SO=2,OB=2,SO为圆锥的高,OB为圆锥底面圆的半径,∴圆锥的体积V=13π×22×2=8π3.∵SB= 2+ 2=22,∴圆锥的表面积S=π×2×(2+22)=(4+42)π.15.P是CC1的中点[解析]当P是CC1的中点时,易得A1D∥PC,A1D=PC,所以四边形A1DCP 为平行四边形,所以A1P∥DC.因为A1P⊄平面BCD,DC⊂平面BCD,所以A1P∥平面BCD. 16.解:(1)证明:连接BD,设BD与AC的交点为O,连接EO.因为四边形ABCD为矩形,所以O为BD的中点,又E为PD的中点,所以EO∥PB.因为EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,所以PB∥平面AEC.(2)当G为PC的中点时,FG∥平面AEC.证明如下:连接GE,因为E为PD的中点,G为PC的中点,所以GE∥CD且GE=12CD.因为F为AB的中点,且四边形ABCD为矩形,所以FA=12CD且FA∥CD,所以FA∥GE且FA=GE,所以四边形AFGE为平行四边形,所以FG∥AE.因为FG⊄平面AEC,AE⊂平面AEC,所以FG∥平面AEC.。
高中数学必修二 8 5 3 平面与平面平行(第2课时)平面与平面平行的性质 练习(含答案)
8.5.3 平面与平面平行第2课时 平面与平面平行的性质一、选择题1．,,a b αβαβ//////，则a 与b 位置关系是 ( )A ．平行B ．异面C ．相交D ．平行或异面或相交【答案】D【解析】结合图(1)，(2)，(3)所示的情况，可得a 与b 的关系分别是平行、异面或相交．选D ．2．两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线的位置关系是（ ）A ．两两相互平行B ．两两相交于一点C ．两两相交但不一定交于同一点D ．两两相互平行或交于同一点【答案】A【解析】根据题意，作图如下：//αβ，m αγ=，n βγ=，根据平面平行的性质可得，如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.∴//m n .同理可得其它几条交线相互平行，故两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线两两平行.故选A.3．如图，在多面体ABC DEFG -中，平面//ABC 平面,//DEFG EF DG ，且,2AB DE DG EF ==，则 ( )A ．//BF 平面ACGDB ．//CF 平面ABEDC ．//BC FGD ．平面//ABED 平面CGF【答案】A 【解析】如图所示，取DG 的中点M ，连AM 、FM ，．则由已知条件易证得四边形DEFM 是平行四边形，∴//DE FM 且DE FM =．∵平面ABC ∥平面DEFG ，平面ABC ∩平面ADEB ＝AB ，平面DEFG ∩平面ADEB ＝DE ，∴AB ∥DE ，∴AB ∥FM ．又AB ＝DE ，∴AB ＝FM ，∴四边形ABFM 是平行四边形，∴BF ∥AM ．又BF ⊄平面ACGD ，AM ⊂平面ACGD ，∴BF ∥平面ACGD ．选A ．4．如图所示，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，点E 在11A B 上，且11B E =，记图中阴影平面为平面α，且平面α平面1BC E .若平面α平面111AA B B A F =，则AF 的长为（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．3【答案】A 【解析】因为平面α平面1BC E ，且平面α平面111AA B B A F =，平面1BC E 平面11AA B B BE =，所以1∥A F BE . 又1∥A E BF ，所以四边形1A EBF 是平行四边形，在棱长为3正方体1111ABCD A B C D -中，且11B E =，所以12A E BF ==，所以1AF=.故选A5.（多选题）已知直线a ，两个不重合的平面,αβ.若α//β，a α⊂，则下列四个结论中正确的是（ ）A.a 与β内的所有直线平行；B.a 与β内的无数条直线平行；C.a 与β内任何一条直线都不垂直；D.a 与β没有公共点.A ．①②B ．②④C ．②③D ．③④ 【答案】BD【解析】由面面平行的性质知A 错误；由面面平行的性质知B 正确； α与β内的直线可能异面垂直，故C 错；由面面平行的定义知D 正确.故选：BD.6．（多选题）已知平面//α平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 与α，β分别交于A ，C 两点，过点P 的直线n 与α，β分别交于B ，D 两点，且6PA =，8PD =，9AC =，则BD 的长为（ ）A ．16B ．24C ．14D ．245 【答案】B D【解析】因为//αβ，所以//AB CD .若P 在,αβ的同侧时，则有15,=+=PC PA AC 因为PA PB PC PD =，所以16,5=PB 所以245=-=BD PD PB ； 若点P 在,αβ之间时，则有3,=-=PC AC PA 因为,PA PB PC PD=所以16,=PB 所以24=+=BD PB PD . 综上，245BD =或24BD =. 故选：BD二、填空题7．如图，过正方体1111ABCD A B C D -的顶点1B 、1D 与棱AB 的中点P 的平面与底面ABCD 所在平面的交线记为l ，则l 与11B D 的位置关系为_________.【答案】11//l B D【解析】如图所示，连接1D P 、1B P ，在正方体1111ABCD A B C D -中，平面//ABCD 平面1111D C B A ，且平面11B D P平面111111A B C D B D =，平面11B D P 平面ABCD l =，所以11//l B D . 故答案为：11//l B D .8．如图所示，P 是ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段PA PB PC ，，于A B C '''，，，若:2:3PA AA ''=，则A B C ABC S S '''∆∆=________.【答案】425【解析】由图知，∵平面α∥平面ABC ，平面PAB 平面α=A 'B '，平面PAB 平面ABC=AB ， 得A 'B '∥AB ；同理得B 'C '∥BC ，A 'C '∥AC.从而ABC A B C '''∆∆.∵PA '：AA '＝2：3，即PA '：PA ＝2：5，∴A 'B '：AB ＝2：5，由于相似三角形得到面积比为相似比的平方，所以S △A′B′C′：S △ABC ＝4：25． 故答案为425．9．如图，平面α平面β∥平面γ，两条异面直线,l m 分别与平面,,αβγ相交于点,,A B C 和点,,D E F ，已知2AB =cm ，3BC cm =，4DE cm =，则EF =_______.【答案】6cm【解析】如图所示，连接AF 交平面β于点G ，连接,,,CF BG EG AD .因为AC AF A ⋂=，所以直线AC 和AF 确定一个平面AFC ，则平面AFC BG β⋂=，平面AFC CF γ⋂=.又//βγ，所以//BG CF . 所以AB AG BC GF =.同理可证DE AG EF GF=， 所以AB DE BC EF =，所以243EF =， 所以6EF =cm.故答案为6cm10. 已知直线a //平面α，平面α//平面β，则直线a 与平面β的位置关系为________ 或 。
高中数学必修2单元配套练习试题2.2.4平面与平面平行的性质及参考答案解析
2.2.4平面与平面平行的性质姓名:___________班级:______________________1.若两个平面与第三个平面相交,有两条交线且两条交线互相平行,则这两个平面( )A.有公共点B.没有公共点C.平行D.平行或相交2.一正方体木块如图所示,点P 在平面A′C′内,经过P 和棱BC 将木料锯开,锯开的面必须平整,有N 种锯法,则N 为( )A.0B.1C.2D.无数3.下列命题中不正确的是( )A.平面α∥平面β,一条直线a 平行于平面α,则a 一定平行于平面βB.平面α∥平面β,则α内的任意一条直线都平行于平面βC.一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面,那么该三角形所在的平面与这个平面平行D.分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线4.在长方体1111ABCD A B C D -中,若经过D 1B 的平面分别交AA 1和CC 1于点E,F,则四边形D 1EBF 的形状是( )A.矩形B.菱形C.平行四边形D.正方形5.如图所示,在三棱台111A B C ABC -中,点D 在A 1B 1上,且AA 1∥BD,点M 是△A 1B 1C 1内的一个动点,且有平面BDM ∥平面A 1C,则动点M 的轨迹是 ( )A.平面B.直线C.线段,但只含1个端点D.圆6.已知a,b 表示直线,α,β,γ表示平面,则下列推理正确的是( )A.α∩β＝a,b ⊂α⇒a ∥bB.α∩β＝a,a∥b ⇒b∥α且b∥βC.a∥β,b∥β,a ⊂α,b ⊂α⇒α∥βD.α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b ⇒a∥b7.如图,P 是△ABC 所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC 于点A′,B′,C′,若14A B C ABC S S '''∆∆=,则PA AA''＝( )A.43B.12C.34D.1 8.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3,点E 在A 1B 1上,且B 1E ＝1,平面α∥平面BC 1E(平面α是图中阴影平面),若平面α∩平面AA 1B 1B ＝A 1F,则AF 的长为 ( )A.1B.1.5C.2D.39.如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH 为截面,则四边形EFGH 的形状为________.10.已知平面α∥β∥γ,两条直线l,m 分别与平面α,β,γ相交于点A,B,C 和D,E,F,已知AB ＝6,25DE DF =,则AC ＝________. 11.如图,棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,M 是棱AA 1的中点,过C,M,D 1作正方体的截面,则截面的面积是________.上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ与平面PAO平行？13.如图,四棱柱ABCD－A1B1C1D1中,BC∥AD,平面A1DCE与B1B交于点E.证明:EC∥A1D.14.在正方体ABCD－A1B1C1D1中,如图.(1)求证:平面AB1D1∥平面C1BD;(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E,F,并证明:A1E＝EF＝FC.参考答案【答案】D【解析】当两个相交平面或平行平面与第三个平面相交时,交线都可能平行.故选D 考点:面面平行的性质.【答案】B【解析】在平面A′C′上过P 作EF ∥B′C′,则EF ∥BC,∴沿EF 、BC 所确定的平面锯开即可.由于此平面唯一确定,∴只有一种方法,故选B.考点:面面平行的性质应用.【答案】A【解析】对于A,直线a 可能与β平行,也可能在β内,故A 不正确;三角形的两条边必相交,这两条相交边所在直线平行于一个平面,那么三角形所在的平面与这个平面平行,所以C 正确;依据平面与平面平行的性质定理可知B,D 正确,故选A.考点:面面平行的判定及性质.【答案】C【解析】如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,平面ABB 1A 1∥平面CDD 1C 1,过D 1B 的平面BED 1F 与平面ABB 1A 1交于直线BE,与平面CDD 1C 1交于直线D 1F.由面面平行的性质定理知BE ∥D 1F.同理,BF ∥D 1E.所以四边形D 1EBF 为平行四边形.考点:面面平行的性质.【答案】C【解析】因为平面BDM ∥平面A 1C,平面BDM∩平面A 1B 1C 1＝DM,平面A 1C∩平面A 1B 1C 1＝A 1C 1,所以DM ∥A 1C 1,过D 作DE 1∥A 1C 1交B 1C 1于点E 1,则点M 的轨迹是线段DE 1(不包括D 点). 考点:面面平行的性质的应用.【答案】D【解析】选项A 中,α∩β＝a,b ⊂α,则a,b 可能平行也可能相交,故A 不正确;选项B 中,α∩β＝a,a∥b ,则可能b∥α且b∥β,也可能b 在平面α或β内,故B 不正确; 选项C 中,a∥β,b∥β,a ⊂α,b ⊂α,根据面面平行的判定定理,再加上条件a∩b＝A,才能得出α∥β,故C 不正确;选项D 为面面平行性质定理的符号语言,故选D.考点:线线平行,线面平行的判定,面面平行的判定及性质.【答案】D【解析】由平面α∥平面ABC,得AB∥A′B′,BC∥B′C′,AC∥A′C′,由等角定理得∠ABC ＝∠A′B′C′,∠BCA ＝∠B′C′A′,∠CAB ＝∠C′A′B′,从而△ABC∽△A′B′C′,△PAB∽△PA′B′,2214A B C ABC S A B PA S AB PA '''∆∆'''⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以12PA PA '=,1PA AA '=',故选D. 考点:面面平行的性质定理的运用.【答案】A【解析】因为平面α∥平面BC 1E,平面α∩平面AA 1B 1B ＝A 1F,平面BC 1E∩平面AA 1B 1B ＝BE,所以A 1F∥BE.又A 1E∥BF ,所以A 1EBF 是平行四边形,所以A 1E ＝BF ＝2,所以AF ＝1.考点:面面平行的性质的应用.【答案】平行四边形【解析】∵平面ABFE∥平面CDHG,平面EFGH∩平面ABFE ＝EF,平面EFGH∩平面CDHG ＝HG,∴EF∥HG.同理,EH∥FG ,∴四边形EFGH 是平行四边形.考点:面面平行的性质定理的运用.【答案】15【解析】α∥β∥γ,根据面面平行的性质定理可知ADBE CF ,∴AB DE BC EF =. 由25DE DF =,得23AB DE BC EF ==,又AB ＝6,∴BC＝9,∴AC＝AB ＋BC ＝15. 考点:面面平行的性质定理的运用. 【答案】92 【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中,因为平面MCD 1∩平面DCC 1D 1＝CD 1,所以平面MCD 1∩平面ABB 1A 1＝MN,且MN∥CD 1,所以N 为AB 的中点(如图),所以该截面为等腰梯形MNC 1D 1;因为正方体的棱长为2,所以MN ,CD 1＝1所以等腰梯形MNCD 1的高MH =所以截面面积为19222⨯⨯=.考点:面面平行的性质定理的运用.12.略【解析】如图,设平面D 1BQ∩平面ADD 1A 1＝D 1M,点M 在AA 1上,由于平面D 1BQ∩平面BCC 1B 1＝BQ,平面ADD 1A 1∥平面BCC 1B 1,所以由面面平行的性质定理可得BQ∥D 1M.因为平面D 1BQ∥平面PAO,平面D 1BQ∩平面ADD 1A 1＝D 1M,平面PAO∩平面ADD 1A 1＝AP,所以AP∥D 1M,所以BQ∥AP.因为P 为DD 1的中点,所以Q 为CC 1的中点.故当Q 为CC 1的中点时,平面D 1BQ∥平面PAO.考点:面面平行的性质定理.13.略【解析】证明:因为BE∥AA1,AA1⊂平面AA1D,BE⊄平面AA1D,所以BE∥平面AA1D.因为BC∥AD,AD⊂平面AA1D,BC⊄平面AA1D,所以BC∥平面AA1D.又BE∩BC＝B,BE⊂平面BCE,BC⊂平面BCE,所以平面BCE∥平面ADA1.又平面A1DCE∩平面BCE＝EC,平面A1DCE∩平面A1AD＝A1D,所以EC∥A1D.考点:面面平行的判定及性质.14.略【解析】证明:(1)因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中,AD//=B1C1,所以四边形AB1C1D是平行四边形,所以AB1∥C1D.又因为C1D⊂平面C1BD,AB1⊄平面C1BD,所以AB1∥平面C1BD.同理,B1D1∥平面C1BD.又因为AB1∩B1D1＝B1,AB1⊂平面AB1D1,B1D1⊂平面AB1D1,所以平面AB1D1∥平面C1BD.(2)如图,设A1C1与B1D1交于点O1,连接AO1,与A1C交于点E.因为AO1⊂平面AB1D1,所以点E也在平面AB1D1内,所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点.连接AC交BD于O,连接C1O与A1C交于点F,则点F就是A1C与平面C1BD的交点.下面证明A1E＝EF＝FC.因为平面A1C1CA∩平面AB1D1＝EO1,平面A1C1CA∩平面C1BD＝C1F,平面AB1D1∥平面C1BD,所以EO1∥C1F.在△A1C1F中,O1是A1C1的中点,所以E是A1F的中点,即A1E＝EF.同理,CF＝FE,所以A1E＝EF＝FC.考点:面面平行的判定及性质.。
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人教B 版 数学 必修2：
平面与平面平行的判定与性质 同步练习
一、选择题
1. 与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是 ( )
A.都平行．
B. 都相交．
C.在这两个平面内．
D.至少与其中一个平面平行．
2. 如果两个平面分别经过两条平行线中的一条，那么这两个平面 ( )
A.平行．
B.相交．
C.重合．
D.平行或相交．
3. ,αβ是两个不重合的平面,在下列条件中, 可判定α∥β的是 ( )
A.,αβ都垂直于平面γ
B.α内有不共线的三点到平面β的距离相等
C.,l m 是平面α内的直线, 且l ∥β, m ∥β
D.,l m 是两条异面直线, 且均与平面,αβ平行
4. (2004年辽宁卷)已知α、β是不同的两个平面，直线βα⊂⊂b a 直线,，命题b
a p 与:无公共点；命题βα//:q . 则q p 是的 ( )
A ．充分而不必要的条件
B ．必要而不充分的条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要的条件
5. (2004年全国)对于直线m 、n 和平面α，下面命题中的真命题是 （ ）
A ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α//n
B ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α与n 相交
C ．如果m n m ,//,αα⊂、n 共面，那么n m //
D ．如果m n m ,//,//αα、n 共面，那么n m //
二、填空题
6. 下列命题：(1)平行于同一直线的两个平面平行， (2)垂直于同一直线的两个平面 平行，(3)平行于同一平面的两个平面平行， 其中正确的命题有 个．
7.若α∥β,α⊂a ,β⊂b 则a ,b 的位置关系是 .
8. a 、b 为异面直线，a ⊥平面α，b ⊥平面β，则α与β的位置关系是 .
三、解答题
9. 已知：a 、b 是两条异面直线，平面α过a 且与b 平行，平面β过b 且与a 平行．求证：平面α∥平面β.
10.已知：A为平面BCD外一点，M、N 、G分别是△ABC、△ABD、△BCD的重心．求证：平面MNG∥平面ACD．
11.已知线段AB、CD异面，CD⊂平面α，AB∥α，M、N分别是线段AC和BD的中点，求证MN∥平面α.
12.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q分别为对角线BD、CD 1上的点，且BP= QC，求证PQ∥平面A1D1DA .
【课时37答案】
1.D
2.D
3. D
4.B
5.C
6.2个
7.平行或异面
8. 相交
9.
10.
11.连结AD，取AD的中点P，连结MP、NP，由三角形中位线性质，得MP∥CD，NP∥CD ∴平面MNP∥平面α, ∵MN⊂平面MNP, MN∥平面α．
12.。