2.3.1双曲线及其标准方程2(lwb)

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原创2：2.3.1 双曲线的标准方程

归纳小结
2．待定系数法求双曲线标准方程的步骤
(1)作判断：根据条件判断双曲线的焦点在x轴上还是
在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．
2
(2)设方程：根据上述判断设方程为 2

2
或 2

2
− 2

−
2
2
=1
= 1 －＝1(a＞0，b＞0)．
(3)寻关系：根据已知条件列出关于a，b，c的方程组．
∵A、B两点在双曲线上，
16m+3n=1
1
解得：m= ，n=-1
∴
4
5
9+ n=1
4
2
∴双曲线方程为
4
− 2 = 1 .
典例导航
(2)c＝ 6，经过点(－5,2)，焦点在x轴上．
定量
定型
2
【解析】(2)设双曲线方程为2
−
2
2
= 1 (a>0，b>0)
∵c＝ 6，∴6＝a2＋b2①
又∵双曲线经过点(－5,2)，∴
【解析】
转化为动点M
满足的几何条件
⊙C1：(x＋5)2＋y2＝49⇒C1(－5,0)，r1＝7，
⊙C2：(x－5)2＋y2＝1⇒C2(5,0)，r2＝1，
设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，
典例导航
(1)如图①，当⊙M与⊙C1、⊙C2
都外切时，
有|MC1|＝r1＋R，|MC2|＝r2＋R，
则|MC1|－|MC2|＝r1－r2＝6.
(2)如图②，当⊙M与⊙C1、⊙C2
都内切时，
有|MC1|＝R－r1，|MC2|＝R－r2.
则|MC1|－|MC2|＝r2－r1＝－6.

高中数学新课标选修2课件2.3.1双曲线及其标准方程

2．3.1 双曲线及其标准方程
知识导图
学法指导
1.在学习双曲线时，要注意定义中“常数要大于 0 且小于|F1F2|” 这一限制条件的几何意义．
2．焦点 F1，F2 的位置是双曲线的定位条件，它决定着双曲线标准方程的形式；参数 a，b 确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件．
3．学习双曲线时要注意与椭圆的定义及其标准方程进行对比，有比较才能鉴别，也能更深刻地记忆．
知识点二双曲线的标准方程
焦点位置
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
图形
标准方程
焦点 a，b，c 的关系
_ax_22_－__by_22_＝__1_(a_＞__0_，__b_＞__0_) __ay_22_－__bx_22＝__1_(_a_＞__0_，__b_＞__0)
(－__c_,_0_)，__(_c_,0_)__
∠F1PF2 ＝
∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝12×32＝16.
方法归纳
求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)方法一 ①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值； ④利用公式 S△PF1F2＝21×|PF1|·|PF2|sin ∠F1PF2 求得面积． (2)方法二：利用公式 S△PF1F2＝21×|F1F2|×|yP|(yP 为 P 点的纵坐标) 求得面积．提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF1|－|PF2||＝2a 的变形使用，二是特别注意|PF1|2＋|PF2|2 与|PF1|·|PF2| 的关系．
弦定理，得 sin A＝|B2RC|，sin B＝|A2RC|，sin C＝|A2RB|(R 为△ABC 的外接圆半径)．

2.3.1双曲线及其标准方程

2.3.1双曲线及其标准方程
复习与问题
1、椭圆的定义是什么？
平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数（大于大于 |F1F2| ）的点的轨迹叫做椭圆。
M M
F1
F2
思考
问题1 到平面上两定点
F1，F2的距离之差为非零常数的点的轨迹是什么?
P= P= {M {M ||| |MF |MF ||| MF | MF | |=2 2a } 11 2|2= P= {M ||MF | -F | MF 2| =－2a } 平面内与两个定点 F1 ，的距离的差的绝对值等于常
因此，在应用定义时，首先要考查 2a与2c的大小
பைடு நூலகம்
.
双曲线的标准方程
1. 建系设点. 以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系焦点F1,F2的坐标分别为F1(-c,0),F2(c,0) 设M(x,y) 2.找几何条件． |MF1| - |MF2|=±2a 3.点坐标带入列出方程
x y y F
y
M M
1
o o o
F11 F
x x
x F 2
y
x
x
问题1：双曲线的标准方程与椭圆的标准方程之间的区别与联系？椭定义方程圆双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
x2 y 2 2 1(a 0, b 0) 2 a b y 2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
x2 y 2 1 所求双曲线的方程为： 9 16
例题分析
例1. 已知 F1 (5, 0), F2 (5, 0) , 动点 P 到 F 1、F2 的距离之差的绝对值为6，求点 P 的轨迹方程. 所求轨迹的方程为：

高中数学选修2-1课件：2.3.1双曲线及其标准方程

思考 1:若在 A,B 两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆炸点的轨迹是什么?
答: 爆炸点的轨迹是线段 AB 的垂直平分线.
思考 2:根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定爆炸点的准确位置. 而现实生活中为了安全，我们最关心的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸点的准确位置呢?
3.列式 |MF1| - |MF2|=±2a
y
M
F1 O F2 x
4.化简
此即为焦点在x 轴上的双曲线的标准
方程
若建系时,焦点在y轴上呢?
y
y
M
M
F1 O F2 x
F2 x
O
F1
x2 a2
y2 b2
1
y2 a2
x2 b2
1
(a 0，b 0)
问题
1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
看 x2 , y2 前的系数，哪一个为正，
运用定义及现成的模型思考,这是一个相当不错的思考方向.
课本P55——练习1T、2T 、3T 课本P61——习题2.3A组1T、2T.
x2 y2 1 ( x 3)
9 16
∴可设双曲线方程为:
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b2=52－32=16.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 ( x ≥ 3) .
9 16
例2:如果方程 x2 y2 1 表示双曲线，求m
2m m1
的取值范围. 解: 由(2 m)(m 1) 0 得m 2或m 1
9 16
变式训练 1:已知两定点 F1(5, 0) , F2 (5, 0) ,动点 P 满足 PF1 PF2 10 ,求动点 P 的轨迹方程.

2.3.1双曲线及其实用标准方程_教案设计(人教A版选修2-1)

2.3.1双曲线及其标准方程●三维目标1.知识与技能理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决问题；了解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用方法．2．过程与方法通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比、数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力．3．情感、态度与价值观通过教师指导下学生的交流探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题．●重点难点重点：理解和掌握双曲线的定义及其标准方程．难点：双曲线标准方程的推导．由于双曲线的定义和标准方程与椭圆很类似，学生已经有了一些学习椭圆的经验，所以本节课用“启发探究”式的教学方式，重点突出以下两点：①以类比思维作为教学的主线；②以自主探究作为学生的学习方式，并结合多媒体辅助教学，进而实现重点、难点的突破．●教学建议在教法上，宜采用探究性教学法和启发式教学法．让学生根据教学目标的要求和题目中的已知条件，自觉主动地创造性地去分析问题、讨论问题、解决问题．以启发、引导为主，采用设疑的形式，逐步让学生进行探究性的学习．通过创设情境，充分调动学生已有的学习经验，让学生经历“观察——猜想——证明——应用”的过程，发现新的知识，把学生的潜意识状态的好奇心变为自觉求知的创新意识．又通过实际操作，使刚产生的数学知识得到完善，提高了学生动手动脑的能力和增强了研究探索的综合素质．●教学流程复习椭圆定义，提出问题：与两定点距离的差为常数的轨迹是什么？⇒引导学生结合试验分析，得出满足条件的曲线形状，给出双曲线定义并探究特殊情形.⇒通过引导学生类比椭圆标准方程得出的方法，推导双曲线的标准方程.⇒对比椭圆与双曲线定义的异同，完成例1及其互动探究，从而掌握双曲线定义的应用问题.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握用待定系数法求双曲线的标准方程.⇒通过例3及其变式训练，使学生理解双曲线的定义及标准方程，并学会其在实际问题中的应用.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.了解双曲线的定义及焦距的概念．2．了解双曲线的几何图形、标准方程．(重点)3.能利用双曲线的定义和待定系数法去求双曲线的标准方程．(重点)双曲线的定义【问题导思】1．我们知道，与两个定点距离的和为非零常数(大于两定点间的距离)的点的轨迹是椭圆，那么与两定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？【提示】双曲线的一支．2．若定义中的常数大于或等于|F1F2|时，轨迹是什么？【提示】当常数等于|F1F2|时，轨迹为以F1，F2为端点，在直线F1F2上反向的两条射线F1A，F2B(包括端点)，如图所示．当常数大于|F1F2|时，轨迹不存在．把平面与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．双曲线的标准方程【问题导思】类比椭圆标准方程的建立过程，你能说说怎样选择坐标系，建立双曲线的标准方程吗？【提示】以经过两焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建坐标系．焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0) 焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c，c2＝a2＋b2双曲线定义的应用已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．【思路探究】 (1)在△PF 1F 2中，由余弦定理能得到|F 1F 2|、|PF 1|、|PF 2|三者满足怎样的关系式？(2)结合双曲线的定义，能否求出|PF 1|·|PF 2|的值进而求出△F 1PF 2的面积？【自主解答】由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°，所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|，所以|PF 1|·|PF 2|＝64，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.求双曲线中焦点三角形面积的方法：法一：(1)根据双曲线的定义求出||PF 1|－|PF 2||＝2a ；(2)利用余弦定理表示出|PF 1|、|PF 2|、|F 1F 2|之间满足的关系式；(3)通过配方，整体的思想求出|PF 1|·|PF 2|的值；(4)利用公式S △PF 1F 2＝12×|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2求得面积．法二：利用公式S △PF 1F 2＝12×|F 1F 2|×|y P |求得面积．本例中若∠F 1PF 2＝90°，其他条件不变，求△F 1PF 2的面积．【解】由双曲线方程知a ＝3，b ＝4，c ＝5 由双曲线的定义，||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝6， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36①在Rt △F 1PF 2中，由勾股定理|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝100② 将②代入①得：|PF 1|·|PF 2|＝32， ∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝16.求双曲线的标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)a ＝4，且经过点A (1，4103)；(2)经过点P 1(－2，325)和P 2(437，4)两点．【思路探究】 (1)所求曲线的焦点位置确定吗？(2)如何求出a 2、b 2的值？【自主解答】 (1)①若所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则将a ＝4代入，得x 216－y 2b 2＝1. 又∵点A (1，4103)在双曲线上，∴116－1609b2＝1.由此得b 2＜0， ∴不合题意，舍去． ②若所求双曲线方程为y 2a2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则将a ＝4代入得y 216－x 2b2＝1，代入点A (1，4103)，得b 2＝9，∴双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1. (2)法一当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵P 1、P 2在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧－22a 2－3252b 2＝14372a 2－42b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝－1161b 2＝－19(不合题意舍去)．当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为y 2a2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵P 1、P 2在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧3252a 2－4b 2＝142a 2－4372b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝191b 2＝116，即a 2＝9，b 2＝16.故所求双曲线方程为y 29－x 216＝1.法二因为双曲线的焦点位置不确定，所以设曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，因为P 1、P 2在双曲线上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧4m ＋454n ＝1169×7m ＋16n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m＝－116n＝19.所求双曲线方程为－x216＋y29＝1，即y29－x216＝1.1．求双曲线标准方程的两个关注点：(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．(2)定量：是指确定a2、b2的数值，常由条件列方程求解．2．若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，为简单起见，常标明条件mn＜0.求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)一个焦点是(0，－6)，经过点A(－5,6)；(2)a＝5，c＝7.【解】(1)由已知c＝6，且焦点在y轴上，另一焦点为(0,6)．由双曲线定义2a＝|－5－02＋6＋62－－5－02＋6－62|＝8.∴a＝4，∴b2＝c2－a2＝20.∴所求双曲线的标准方程为y216－x220＝1.(2)由已知a＝5，c＝7，∴b2＝c2－a2＝24，焦点不确定∴所求双曲线的标准方程为x225－y224＝1或y225－x224＝1.双曲线的定义与标准方程的实际应用“神舟”九号飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排了三个救援中心(记为A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，P为航天员着陆点．某一时刻，A接收到P 的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号．已知该信号的传播速度为1千米/秒．求在A处发现P的方位角．【思路探究】由“A接收到P的求救信号的时间比其他两个救援中心早4 s”能否得到|PB|与|PA|的差为定值？是否说明点P在以A、B为焦点的双曲线的一支上？【自主解答】因为|PC|＝|PB|，所以P在线段BC的垂直平分线上．又因为|PB|－|PA|＝4，所以P在以A，B为焦点的双曲线的右支上．以线段AB的中点为坐标原点，AB的垂直平分线所在直线为y轴，正东方向为x轴正方向建立直角坐标系，如图所示．则A(3,0)，B(－3,0)，C (－5，23)．所以双曲线方程为x 24－y 25＝1(x ＞0)，BC 的垂直平分线方程为x －3y ＋7＝0.联立两方程解得 x ＝8，y ＝53，所以P (8,53)，k PA ＝tan ∠PAx ＝3，所以∠PAx ＝60°.所以P 点在A 点的北偏东30°方向．解答此类题首先应建立平面直角坐标系，取两定点所在的直线为x 轴，以两定点为端点的线段的中点为坐标原点；然后根据双曲线的定义求出标准方程，再由标准方程解有关问题．本题的解法主要运用了数形结合思想和函数与方程思想．某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP ，BP 运到P 处(如图2－3－1所示)，|PA |＝100 m ，|PB |＝150 m ，∠APB ＝60°，试说明怎样运土才能最省工．图2－3－1【解】设M 是分界线上的任意一点，则有： |MA |＋|PA |＝|MB |＋|PB |，于是|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝150－100＝50.在△PAB中，由余弦定理得，|AB|2＝|PA|2＋|PB|2－2|PA|·|PB|·cos 60°＝1002＋1502－2×100×150×12＝17 500.∴以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立平面直角坐标系，则分界线是双曲线，即x2625－y23 750＝1(x≥25)．故运土时，将此双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工.混淆a、b、c的关系致误双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标为(0,3)，求k的值．【错解】将双曲线的方程化成标准形式为x21k－y28k＝1.因为双曲线的焦点在y轴上，所以a2＝8k，b2＝1k.所以c＝a2－b2＝8k－1k＝3，即7k＝9，所以k＝79.【错因分析】上述解法有两处错误：一是a2，b2值确定错误，应该是a2＝－8k，b2＝－1k；二是基本量a 、b 、c 的关系错误，在双曲线中基本量a 、b 、c 的关系应该是c 2＝a 2＋b 2.【防措施】在椭圆中，a 、b 、c 的关系是c 2＝a 2－b 2；而在双曲线中，a 、b 、c 的关系是c 2＝a 2＋b 2，二者极易混淆，要注意区分，以防错误．【正解】将双曲线的方程化成kx 2－k8y 2＝1.因为双曲线的一个焦点坐标是(0,3)，所以焦点在y 轴上，且c ＝3. 所以a 2＝－8k ，b 2＝－1k .所以－8k －1k＝9，解得k ＝－1.1．理解双曲线定义应注意以下三点：①定义中的动点与定点在同一平面；②距离的差要加绝对值，否则只表示双曲线的一支；③距离差的绝对值必须小于焦距，否则不是双曲线，而是两条射线或无轨迹．2．利用待定系数法可以求双曲线的标准方程，求解步骤包括“定位”与“定量 ”两步.1．动点P 到点M (1,0)，N (－1,0)的距离之差的绝对值为2，则点P 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．两条射线D ．一条射线【解析】 ∵||PM |－|PN ||＝2＝|MN |，∴点P 的轨迹是两条射线．【答案】 C2．(2013·高二检测)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A ．(22，0)B ．(52，0) C ．(62，0) D ．(3，0)【解析】将双曲线方程化为标准形式x 2－y 212＝1，所以a 2＝1，b 2＝12，∴c ＝a 2＋b 2＝62，∴右焦点坐标为(62，0)．【答案】 C3．满足条件a ＝2，一个焦点为(4,0)的双曲线的标准方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 24－y 216＝1 D.x 216－y 24＝1 【解析】由a ＝2，c ＝4，得b 2＝c 2－a 2＝12，又一焦点(4,0)在x 轴上，∴双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.【答案】 A4．已知双曲线x 216－y 29＝1的左支上一点M 到其左焦点F 1的距离为10，求点M 到该曲线左焦点F 2的距离．【解】由x 216－y 29＝1得a ＝4，∵点M 在双曲线的左支上 ∴|MF 2|＞|MF 1|，∴|MF 2|－|MF 1|＝2a ＝8，又∵|MF 1|＝10，∴|MF 2|＝18.一、选择题1．(2013·东营高二检测)方程x 22＋m －y 22－m＝1表示双曲线，则m 的取值围( ) A ．－2＜m ＜2 B ．m ＞0 C ．m ≥0 D ．|m |≥2【解析】 ∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m )(2－m )＞0. ∴－2＜m ＜2. 【答案】 A2．设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( ) A.x 29－y 216＝1 B.y 29－x 216＝1 C.x 29－y 216＝1(x ≤－3) D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 【解析】由题意，应为以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线的右支．由c ＝5，a ＝3，知b 2＝16， ∴P 点的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)．【答案】 D3．(2013·高二检测)已知定点A 、B 且|AB |＝4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，则|PA |的最小值是( )A.12B.32C.72D ．5【解析】由题意知，动点P 的轨迹是以定点A 、B 为焦点的双曲线的一支(如图)从图上不难发现，|PA |的最小值是图中AP ′的长度，即a ＋c ＝72.【答案】 C4．若椭圆x 2m＋y 2n＝1(m ＞n ＞0)和双曲线x 2a－y 2b＝1(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点F 1、F 2，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是( )A ．m －a B.12(m －a )C ．m 2－a 2D .m －a【解析】由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2m .①由双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝2a .②①2－②2得4|PF 1|·|PF 2|＝4(m －a )， ∴|PF 1|·|PF 2|＝m －a . 【答案】 A5．已知双曲线的两个焦点分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝2，则双曲线的标准方程是( )A.x 22－y 23＝1 B.x 23－y 22＝1 C ．x 2－y 24＝1 D.x 24－y 2＝1 【解析】设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，在Rt △PF 1F 2中，m 2＋n 2＝(2c )2＝20，m ·n ＝2，由双曲线定义，知|m －n |2＝m 2＋n 2－2mn ＝16. ∴4a 2＝16.∴a 2＝4，b 2＝c 2－a 2＝1. ∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.【答案】 D 二、填空题 6．双曲线x 2m 2＋12－y 24－m 2＝1的焦距为________．【解析】 c 2＝m 2＋12＋4－m 2＝16，∴c ＝4,2c ＝8. 【答案】 87．(2013·高二检测)设点P 是双曲线x 29－y 216＝1上任意一点，F 1，F 2分别是其左、右焦点，若|PF 1|＝10，则|PF 2|＝________.【解析】由双曲线的标准方程得，a ＝3，b ＝4. 于是c ＝a 2＋b 2＝5.(1)若点P 在双曲线的左支上，则|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝6，∴|PF 2|＝6＋|PF 1|＝16； (2)若点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝6，∴|PF 2|＝|PF 1|－6＝10－6＝4. 综上，|PF 2|＝16或4. 【答案】 16或4 8．(2013·高二检测)方程x 24－k ＋y 2k －1＝1表示的曲线为C ，给出下列四个命题：①曲线C 不可能是圆；②若1＜k ＜4，则曲线C 为椭圆； ③若曲线C 为双曲线，则k ＜1或k ＞4；④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜k ＜52.其中正确命题的序号是________(写出所有正确的命题的序号)【解析】当4－k ＝k －1＞0时，即k ＝52时，曲线C 是圆，∴命题①是假命题．对于②，当1＜k ＜4且k ≠52时，曲线C 是椭圆，则②是假命题．根据双曲线定义与标准方程，③④是真命题．【答案】 ③④ 三、解答题9．求与双曲线x 24－y 22＝1有相同焦点且过点P (2,1)的双曲线的方程．【解】 ∵双曲线x 24－y 22＝1的焦点在x 轴上．依题意，设所求双曲线为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．又两曲线有相同的焦点， ∴a 2＋b 2＝c 2＝4＋2＝6.① 又点P (2,1)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，∴4a 2－1b2＝1.②由①、②联立，得a 2＝b 2＝3，故所求双曲线方程为x 23－y 23＝1.10．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k 为实数，对于不同围的k 值分别指出方程所表示的曲线类型．【解】 (1)当k ＝0时，y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线； (2)当k ＝1时，方程为x 2＋y 2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆； (3)当k ＜0时，方程为y 24－x 2－4k＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线；(4)当0＜k ＜1时，方程为x 24k＋y 24＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆；(5)当k ＞1时，方程为x 24k＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆．11．某部队进行军事演习，一方指挥中心接到其正西、正东、正北方向三个观测点A ，B ，C 的报告：正西、正北两个观测点同时听到了炮弹的爆炸声，正东观测点听到爆炸声的时间比其他两观测点晚4 s ，已知各观测点到该中心的距离都是1 020 m ，试确定该枚炮弹的袭击位置．(声音的传播速度为340 m/s ，相关各点均在同一平面)．【解】如图，以指挥中心为原点，正东、正北方向分别为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (－1 020,0)，B (1 020,0)，C (0,1 020)．设P (x ，y )为袭击位置，则|PB |－|PA |＝340×4＜|AB |.由双曲线定义，知点P 在以A ，B 为焦点的双曲线的左支上，且a ＝680，c ＝1 020，所以b 2＝1 0202－6802＝5×3402.所以双曲线方程为x 26802－y 25×3402＝1(x ≤－680)．①又|PA |＝|PC |，因此P 在直线y ＝－x 上，把y ＝－x 代入①式，得x ＝－680 5.所以P (－6805，6805)，|OP |＝68010(m)．故该枚炮弹的袭击位置在北偏西45°，距指挥中心68010 m 处.(教师用书独具)如图所示，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．【自主解答】圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1， ∴圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1. 圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42， ∴圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4.设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4， ∴|MF 2|－|MF 1|＝3＜|F 1F 2|.∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线(左支)，且a ＝32，c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝914. ∴双曲线方程为49x 2－491y 2＝1(x ≤－32)．已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2切，求动圆圆心M 的轨迹方程．【解】设动圆M 的半径为r ，则由已知|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r －2(如图所示)．∴|MC 1|－|MC 2|＝2 2. 又C 1(－4,0)，C 2(4,0)， ∴|C 1C 2|＝8，∴22＜|C 1C 2|.根据双曲线的定义知，点M 的轨迹是以C 1(－4,0)，C 2(4,0)为焦点的双曲线的右支． ∵a ＝2，c ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝14. 故点M 的轨迹方程为x 22－y 214＝1(x ＞2).。

【高二】【数学】【人教B版选修2-1】2.3.1双曲线及标准方程

2.利用双曲线性质解相关问题
【课后练习】
P.51页练习A、练习B
【知识补充】
(1)定义：|r1－r2|＝2a
(2)余弦公式：4c2＝r ＋r －2r1r2cosθ
(3)面积公式：S△PF1F2＝ r1r2sinθ
一般地，在△PF1F2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决。
【新知讲授】
对于椭圆与双曲线共焦点问题，或者是双曲线与双曲线共焦点问题，要充分运用有关曲线的定义结合整体思想去解决．
设双曲线上任一点M与两焦点距离之差的绝对值为常数2a，则M所满足的集合是P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)}．
【合作探究】
例.若一个动点P(x，y)到两个定点F1(－1,0)，F2(1,0)的差的绝对值为定值
a(0≤a≤2)，试讨论点P的轨迹方程．
【新知讲授】
二、双曲线的标准方程
【合作探究】
△PF1F2的顶点P在双曲线－＝1上，F1，F2是双曲线的焦点，且∠F1PF2＝θ，求△PF1F2的面积S.
【方法总结】
焦点三角形问题
双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形．令|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ，因|F1F2|＝2c，所以有
5.(1若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于____________
(2)已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C的右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积等于______________
【合作探究】
已知(2,0)是双曲线x2－＝1(b＞0)的一个焦点，则b＝________.

高中数学人选修2-1第二章 2.3.1 双曲线的标准方程

[例2] 如果方程
x2
y2
1
2m m1
表示双曲线，求m的取值范围.
思考：
方程 x2 y2 1表示焦点在y轴
2m m1
双曲线时，则m的取值范围__________.
[例2] 如果方程
x2
y2
1
2m m1
表示双曲线，求m的取值范围.
思考：
方程 x2 y2 1表示焦点在y轴
2m m1
双曲线时，则m的取值范围___m_<_－__2___.
(3) 若2a=0,则轨迹是什么？
思考：
(1) 若2a=2c,则轨迹是什么？两条射线
(2) 若2a>2c,则轨迹是什么？不表示任何轨迹
(3) 若2a=0,则轨迹是什么？线段F1F2的垂直平分线
双曲线的标准方程
双曲线的标准方程 1. 建系.

y
以F1,F2所在的直线
x
为x轴，线段F1F2的中点
变式训练1：已知两定点F1(－5, 0)、
F2(5, 0)，动点P满足：||PF1|－|PF2|| =10，求动点P的轨迹方程.
变式训练2：已知两定点F1(－5,
0)、F2(5, 0)，动点P满足：|PF1|－|PF2| =6，求动点P的轨迹方程.
[例2] 如果方程
x2
y2
1
2m m1
表示双曲线，求m的取值范围.
轴上？
***问题*** 1. 如何判断双曲线的焦点在哪个
轴上？ 2. 双曲线的标准方程与椭圆的标
准方程有何区别与联系?
[例1] 已知两定点F1(－5, 0)、F2(5, 0)，动点P满足：||PF1|－|PF2||=6，求动点P的轨迹方程.

课件7：2.3.1 双曲线及其标准方程

得 k<－3 或 1<k<3；
②若方程表示焦点在
x
轴上的双曲线，则1－k<0，得 |k|－3<0，
1<k<3；
③若方程表示焦点在 y 轴上的双曲线，则1|k－|－k3>>00，，得 k<－3.
规律方法：判定方程所表示的曲线类型，在对参数 k 进行讨论时，首先要找好讨论的分界点，除了区别曲线类型外，同一类曲线还要区别焦点在 x 轴上和 y 轴上的情况．
当 m<0 时，方程1x62m－9ym2 ＝1 可化为－y92m－－x126m＝1，表示焦点在 y 轴上的双曲线，所以 a2＝－9m，b2＝－16m，由 c2＝a2＋b2，得 25＝－16m－9m，所以 m＝－1.
故实数 m 的值为 1 或－1. 【易错剖析】本题中，因为 m 的符号不确定，因此，双曲线的焦点可能在 x 轴上也可能在 y 轴上．解题时容易忽略焦点在 y 轴上的情况．
2．(1)动点P到点M(1，0)及点N(3，0)的距离之差为2，则点 P的轨迹是( )
A．双曲线
B．双曲线的一支
C．两条射线
D．一条射线
(2)双曲线－＝1上的点P到点(5，0)的距离为15，则点P到点 (－5，0)的距离是( )
A．7
B．23
C．5或25
D．7或23
解析：(1)由已知得|PM|－|PN|＝2＝|MN|， ∴P 点的轨迹是一条射线． (2)设 F1(－5，0)，F2(5，0)，则由双曲线的定义知： ||PF1|－|PF2||＝2a＝8，而|PF2|＝15，解得|PF1|＝7 或 23.
(2)依题意 sin α＜0，cos α＞0，所以 α 在第四象限．故选 D.
答案：(1)C (2)D

2.3.1双曲线及其标准方程课件人教新课标

叫做双曲线。记：
F 焦距为 2c(c 0)，那么焦点
F1(c,0), F2 (c,0)
1
常数=2a, F1F2 =2c
又设点 M 与 F1, F2 的差的
绝对值等于常数 2a 。
y
M
o F2 x
MF1 MF2 2a
即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
化简得 (c2-a2) x2-a2y2=a2(c2-a2)
记：
常数=2a, F1F2 =2c 2、若常数2a=0,轨迹是什么?
垂直平分线
3、若2a= F1F2 轨迹是什么？两条射线
25 9
的一个交点为P，F1是椭圆的左焦点，求 PF1 。
(2)焦点在 y 轴上
c2 a2 b2
◆小结： ◆作业：习题2．３：1、２
Hale Waihona Puke 1、定义：使 x轴经过两焦点 F1, F2 ，y
平面内与两定点F1， F2的距离的差的绝对
轴为线段F1, F2 的垂直平分线。
值等于常数（小于
F1F2 ）的点的轨迹设 M (x, y)是双曲线上任一点，
1、定义：
平面内与两定点F1，
x F2的距离的差的绝对使
值等于常数（小于
轴经过两焦点 F1, F2 ，y
F1F2 ）的点的轨迹轴为线段F1, F2 的垂直平分线。
叫做双曲线。
F 2、双曲线的标准方程设 M (x, y)是双曲线上任一点， 1
(1)焦点在 x 轴上
焦距为 2c(c 0)，那么焦点
2、双曲线的标准方程
(1)焦点在 x 轴上
思考：如果A，B两处同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？为什么？
(2)焦点在 y 轴上

高中数学2.3.1 双曲线的标准方程

§2.3.1双曲线的标准方程要点精讲1.双曲线的定义中条件a PF －PF 2=21＜21F F 是轨迹为双曲线的充要条件．当a PF PF 2=+21=21F F 时，轨迹是两条射线段；当a PF PF 221=+＞21F F 时，无轨迹．2.化简双曲线的方程时，需要对比较复杂的根式进行变形，因为方程中有两个根式，常在方程中等号两边各放一项，然后两边平方,可以简化计算．3.与椭圆一样，仍然按照“建立直角坐标系，设坐标，列等式，代坐标，化简方程”的步骤求双曲线的标准方程，同学们进一步感受曲线方程的概念，理解求曲线方程的基本方法.典型题解析【例1】若a ∈R ，研究方程a y x y x 2)5()5(2222=++-+-表示什么曲线?【分析】方程中有两个根式时，常在方程中等号两边各放一项，然后两边平方,可以简化计算．【解】【例2】已知方程1=－2+3－22ky k x 表示焦点在y 轴上的双曲线，求k 的取值范围．【分析】焦点在x 轴上的双曲线及的充要条件是a ＞0,b ＜0.【解】【例3】一动圆过定点M(－4，0)，且与已知圆(x －4)2＋y 2＝9相切，求动圆圆心的轨迹方程．【点评】若题中动圆与定圆外切，则动圆圆心的轨迹是双曲线的左支；若动圆与定圆内切，则动圆圆心的轨迹是双曲线的右支．【例4】已知定圆F ：(x －m)2＋y 2＝4n 2，定点F ′(－m,0)(m ＞0，n ＞0)，一动圆过定点F ′且与圆F 相切，试求动圆圆心的轨迹．【解析】规律总结1.曲线上同一个点在不同的坐标系中的坐标是不同的，曲线的方程也不同．选择坐标系的标准是尽量使点的坐标简单，方程的形式简单．在建立坐标系时，应尽量使得曲线相对于坐标轴具有较多的对称性，曲线的中心、顶点的坐标尽可能简单，这样可以使得所求方程形式简单．2.在运用双曲线的定义解题时，要注意隐含条件a ＞c.3.待定系数法和数形结合是研究双曲线方程的基本方法．。

人B版数学选修2-1讲义：第2章 2.3.1 双曲线的标准方程

2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程1．了解双曲线的定义及焦距的概念．2．了解双曲线的几何图形、标准方程．(重点)3．能利用双曲线的定义和待定系数法去求双曲线的标准方程．(重点)[基础·初探]教材整理1双曲线的定义阅读教材P49前3自然段，完成下列问题．平面内与两个定点F1，F2的距离的________等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这________叫做双曲线的焦点，________叫做双曲线的焦距．【答案】差的绝对值两个定点两焦点的距离判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系同椭圆中a，b，c之间的关系相同．()(2)点A(1,0)，B(－1,0)，若|AC|－|BC|＝2，则点C的轨迹是双曲线．()(3)在双曲线标准方程x2a2－y2b2＝1中，a＞0，b＞0，且a≠b.()【答案】(1)×(2)×(3)×教材整理2 双曲线的标准方程阅读教材P 49第4自然段～P 50“思考与讨论”，完成下列问题.【答案】 x a 2－y b 2＝1 y a 2－x b2＝1 (－c,0) (c,0) (0，－c ) (0，c ) a 2＋b 2若方程x 2m 2＋1－y 2m 2－3＝1表示双曲线，则实数m 满足( )A ．m ≠1且m ≠－3B ．m ＞1C ．m ＜－3或m ＞ 3D ．－3＜m ＜1【解析】因为方程x 2m 2＋1－y 2m 2－3＝1表示双曲线，而m 2＋1＞0恒成立，所以m 2－3＞0，解得m ＜－3或m ＞3，故选C.【答案】 C[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________。

(整理)231双曲线及其标准方程.

§ 2.3双曲线2.3.1 双曲线及其标准方程课时目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．1．双曲线的有关概念 (1)双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于________)的点的轨迹叫做双曲线．平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于|F 1F 2|时的点的轨迹为________________________________________________________________________．平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值大于|F 1F 2|时的点的轨迹__________． (2)双曲线的焦点和焦距双曲线定义中的两个定点F 1、F 2叫做__________________，两焦点间的距离叫做__________________． 2．双曲线的标准方程(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是______________________，焦点F 1__________，F 2__________.(2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________________，焦点F 1__________，F 2__________.(3)双曲线中a 、b 、c 的关系是________________．一、选择题1．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ，命题甲：||MF 1|－|MF 2||＝2a(a 为常数)，命题乙：M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．若ax 2＋by 2＝b(ab<0)，则这个曲线是( ) A ．双曲线，焦点在x 轴上 B ．双曲线，焦点在y 轴上 C ．椭圆，焦点在x 轴上 D ．椭圆，焦点在y 轴上3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1 B .x 23－y 2＝1C ．y 2－x 23＝1 D .x 22－y 22＝14．双曲线x 2m －y23＋m＝1的一个焦点为(2,0)，则m 的值为( )A .12B ．1或3C .1＋22D .2－125．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．抛物线 B ．圆C ．双曲线的一支D ．椭圆6．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( ) A .x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C .x 22－y 23＝1 D .x 23－y22＝1二、填空题8．已知方程x 21＋k －y21－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________．9．F 1、F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 在双曲线上且满足|PF 1|·|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝________________________________________________________________________. 三、解答题10．设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．11．在△ABC 中，B(4,0)、C(－4,0)，动点A 满足sin B －sin C ＝12sin A ，求动点A 的轨迹方程．能力提升A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C ．[－74，＋∞)D ．[74，＋∞)13．已知双曲线的一个焦点为F(7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，求双曲线的标准方程．1．双曲线的标准方程可以通过待定系数法求得．2．和双曲线有关的轨迹问题要按照求轨迹方程的一般步骤来解，也要和双曲线的定义相结合．3．直线和双曲线的交点问题可以转化为解方程组(设而不求)，利用韦达定理，弦长公式等解决．§2.3 双曲线2.3.1 双曲线及其标准方程知识梳理1．(1)|F 1F 2| 以F 1，F 2为端点的两条射线不存在 (2)双曲线的焦点双曲线的焦距2．(1)x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) (－c,0) (c,0)(2)y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0) (0，－c ) (0，c ) (3)c 2＝a 2＋b 2 作业设计1．B [根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲乙，只有当2a <|F 1F 2|且a ≠0时，其轨迹才是双曲线．]2．B [原方程可化为x 2b a ＋y 2＝1，因为ab <0，所以ba <0，所以曲线是焦点在y 轴上的双曲线，故选B.]3．A [∵双曲线的焦点在x 轴上，∴设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)．由题知c ＝2，∴a 2＋b 2＝4.①又点(2,3)在双曲线上，∴22a 2－32b 2＝1.②由①②解得a 2＝1，b 2＝3，∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.]4．A [∵双曲线的焦点为(2,0)，在x 轴上且c ＝2，∴m ＋3＋m ＝c 2＝4.∴m ＝12.]5．C [由题意两定圆的圆心坐标为O 1(0,0)，O 2(4,0)，设动圆圆心为O ，动圆半径为r ，则|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2，∴|OO 2|－|OO 1|＝1<|O 1O 2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．]6．B [设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，因为c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5－a 2，所以x 2a2－y25－a2＝1.由于线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则P 点的坐标为(5，4)．代入双曲线方程得5a 2－165－a 2＝1，解得a 2＝1或a 2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x 2－y 24＝1.故选B.] 7．2解析 ∵||PF 1|－|PF 2||＝4，又PF 1⊥PF 2，|F 1F 2|＝25，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝20，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝20－2|PF 1||PF 2|＝16，∴|PF 1|·|PF 2|＝2. 8．－1<k <1解析因为方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，所以(1＋k )(1－k )>0.所以(k ＋1)(k －1)<0. 所以－1<k <1. 9．90°解析设∠F 1PF 2＝α，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2. 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得(2c )2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos α，∴cos α＝(r 1－r 2)2＋2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝36＋64－10064＝0.∴α＝90°.10．解方法一设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)，由题意知c 2＝36－27＝9，c ＝3.又点A 的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有⎩⎪⎨⎪⎧42a 2－(±15)2b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.方法二将点A 的纵坐标代入椭圆方程得A (±15，4)，又两焦点分别为F 1(0,3)，F 2(0，－3)．所以2a ＝|(±15－0)2＋(4＋3)2－(±15－0)2＋(4－3)2|＝4，即a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.11．解设A 点的坐标为(x ，y )，在△ABC 中，由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，代入sin B －sin C ＝12sin A ，得|AC |2R －|AB |2R ＝12·|BC |2R，又|BC |＝8，所以|AC |－|AB |＝4.因此A 点的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a ＝4,2c ＝8，所以a ＝2，c ＝4，b 2＝12.所以A 点的轨迹方程为x 24－y 212＝1 (x >2)．12．B[由c ＝2得a 2＋1＝4，∴a 2＝3，∴双曲线方程为x 23－y 2＝1.设P (x ，y )(x ≥3)，13．解设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，且c ＝7，则a 2＋b 2＝7.①由MN 中点的横坐标为－23知，中点坐标为⎝⎛⎭⎫－23，－53. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，得b 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－a 2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∵⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－43y 1＋y 2＝－103，且y 1－y 2x 1－x 2＝1，∴2b 2＝5a 2.②由①，②求得a 2＝2，b 2＝5.∴所求双曲线的标准方程为x 22－y 25＝1.。

2.3.1 双曲线及其标准方程

C中,因为||PF1|-|PF2||=7>|F1F2|,所以动点P的轨迹不存在; D中,因为||PF1|-|PF2||=0,即|PF1|=|PF2|,根据线段垂直平分线的性质,动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线,故选A. 答案A
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究二对双曲线标准方程的理解
例2 给出曲线方程
��2 4+
��
+
��2 1-��
=1.
(1)若该方程表示双曲线,求实数k的取值范围;
(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线,求实数k的取值范围.
思路分析根据双曲线方程的特征建立不等式(组)求解.
解(1)将所给方程化为4��+��2�� − ��-21=1,若该方程表示双曲线,则有 (4+k)(k-1)>0,解得 k>1 或 k<-4,故实数 k 的取值范围是(-∞,-4)∪
反思感悟双曲线方程的应用
给出方程
��2 ��2 �� − ��
=1,其表示双曲线的条件是mn>0,表示焦点在x轴
上的双曲线的条件是m>0,n>0,表示焦点在y轴上的双曲线的条件
是m<0,n<0.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
课堂篇探究学习
变式训练2(1)在方程mx2-my2=3n中,若mn<0,则该方程表示( )
∴c2=16+4=20,即 a2+b2=20.
①
∵双曲线经过点(3 2,2),∴1��82 − ��4��2=1.

高二数学人教A版选修2-1课件：2.3.1 双曲线及其标准方程

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预习导引
12
2.双曲线的标准方程焦点在 x 轴上
标准方程焦点坐标
a,b,c 的关系
x2 a2
−
yb22=1(a>0,b>0)
(±c,0)
c2=a2+b2
焦点在 y 轴上
y2 a2
−
x2 b2
=1(a>0,b>0)
(0,±c)
目标导航
预习导引
12
双曲线的标准方程中“a”与“b”的大小关系是否确定?如何根据双曲线的标准方程判断焦点所在位置? 提示:给定一个双曲线的标准方程,判断它代表的双曲线的焦点的位置时,应根据x2和y2的系数的正负来确定. 如果x2项的系数是正的,那么焦点在x轴上;如果y2项的系数是正的,那么焦点在y轴上.双曲线的标准方程中的a 和b之间没有确定的大小关系,因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点所在的坐标轴.
∠F1PF2=90°,则△F1PF2 的面积是
(
)
A.1
B.
5 2
C.2
答案:A
解析:方法一:设|PF1|=d1,|PF2|=d2, 由双曲线的定义可知|d1-d2|=4.又∠F1PF2=90°, 于是有��12 + ��22=|F1F2|2=20,
因此,��△��1��2 = 12d1d2=14 (��12 + ��22-|d1-d2|2)=1.
+ 5, + 1,
两式相减得|PM1|-|PM2|=4<|M1M2|=5,
所以动圆圆心 P 的轨迹是以点 M1(-4,0),M2(0,3)为焦点的双曲线