高等数学下册第八章三重积分

n
④
f(i,i,i)vi.如当各小闭区域直径中的最大值
i1
1
三重积分
趋于零时这和的极限总存在, 则称此极限为
函数 f(x, y,z)在闭区域Ω上的三重积分.
记为 f(x,y,z)dv
Ω
n
即
Ω
f(x,
y,z)dvlim
0 i1
f(i,i,i)vi
体积元素
2
三重积分
2. 三重积分存在性 (existence)
都是常数, 故
z
I 1 x3dx 1 y 4dy 2 cos zdz
0
0
0
1 11 1 4 5 20
O
y
x
14
三重积分
例 化三重积分If(x,y,z)dxdydz为三次积分,
其中积分区域为由曲面 zx22y2及 z2x2
所围成的闭区域.
解
由z z
x2 2y2 2 x2
得交线投影区域
D:x2y21
0
f同为 x, y,z的奇函数
其 8 中 3 3f是 (x, y在,z第)d一v 卦限f同部为分x的, y区,z域的.偶函数
例 设域 为x2y2z2a2,3是在第一
卦限的部分, 则
xyzdv Hale Waihona Puke Baidu0 y2z2dv 8y2z2dv
3
7
三重积分
(4) 若 关于原点对称,
则f(x,y,z)dv
0
2 f (x, y,z)dv
f为 x, y,z的奇函数
f为 x, y,z的偶函数
4
其中 4 是的关于原点对称的一半区域.
8
三重积分
二、三重积分的计算
1. 在直角坐标系下计算三重积分 在直角坐标系中, 如果用平行于坐标面的
平面的来划分 , 则 vi x j yk zl.
(vi是小长方 ).故体 直角坐标系下的体积元素为
d vd x d yd z
D
D z1(x,y)
D : y 1 ( x ) y y 2 ( x ) a , x b ,X－型
得 f (x, y,z)dv
b
dx
y2 ( x ) dy z2(x,y) f(x,y,z)dz
a
y1 ( x )
z1(x,y)
11
三重积分
f(x,y,z)dv b d x
y
2
z zx22y2
1x1 故 ： 1x2y1x2
x22y2 z2x2
O
x
y
z2x2
1
1 x 2
2 x 2
Id x d y f(x ,y ,z)d z 1 1 x 2 x 2 2 y2
15
三重积分
例 求 I 1 d x 1 x d z1 x z ( 1 y ) e ( 1 y z ) 2 d y
三重积分
一、三重积分的概念
1. 三重积分的定义 (define)
① 设f(x,y,z)是空间有界闭区域Ω上的 有界函数. 将闭区域Ω任意分成n个小闭区域
v1, v2, vn
②其在中每个v i表 v示i上第任i个取小一闭点区(域i,,i也,表i),示作它乘的积体积.
f (i,i,i) v i( i 1 ,2 ,n ) ③并,作和
0
4 f (x, y,z)dv 2
f 同为 x, y的奇函数 f 同为 x, y的偶函数
其 中 2是 在第一,五卦限部分的区域.
例 设域 为x2y2z2a2,
2是在一,五卦限部分的区域,则
xyz2dv 0 y2z2dv 4y2z2dv
2
6
三重积分
(3) 若域 关于三个坐标面都对称,
则f(x,y,z)dv
b x
zz2(x,y)
z2 S2
z1 S1
zz1(x,y)
D
(x, y)
y
yy2(x)
yy1(x)
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三重积分
先将x, y看作定,将 值f(x,y,z)只看z作 的函数, 则
F (x,y)z2(x,y)f(x,y,z)d z z1(x,y)
再计算 F(x,y)在闭区D间上的二重积分
F(x,y)d [ z2(x,y)f(x,y,z)dz]d
则称f关补于充变三量重z积的分奇对(偶称)性函质数.
(1) 若域 关于xOy坐标面对称,则f(x,y,z)dv
0
2 f (x, y,z)dv Ω1
f为 z的奇函数 f为z的偶函数
其 中 1为 在 xO 坐标y面的上半部区域.
4
三重积分
例 设域 为x2y2z2a2,1为 的 z0部分
则 x2y2zdv 0
当f(x,y,z)的三重积分存在性时, 称f(x,y,z) 在Ω上是可积的.
连续函数一定可积 3. 三重积分的几何意义
设被积函数 f(x,y,z)1,则区域V 的体积为
V 1dv
V
3
三重积分
(property)
4f .( 三x ,重y , 积z 分) 的 性f ( 质x ,y ,z 与)二(f 重( x 积,y 分, 的z ) 性 质f( 类x ,似y ,.z ))
在直角坐标系下三重积分可表为
f(x,y,z)dvf(x,y,z)dxdydz
9
三重积分
思想是 直角坐标系中将三重积分化为三次积分
投影法 (先一后二法)
如图, 闭区域 在xOy
面上的投影为闭区域D, z
S1: zz1(x,y),
S2: zz2(x,y), 过点 (x,y)D作直线, 从z1穿入 ,从z2 穿出．aO
yz2dv 2 yz2dv 0
1
或关于 关 xO 于 坐 1x关 yO标 坐 z于 x面 O 标 坐 z对 面 ,f是 标 称 对 z,的 f是 面 称 偶y的 ,f函 对 是奇数 y的 函 称奇 数函数
而得结果为零.
5
三重积分
(2) 若域 关于两个坐标面 yO,zxO都 z 对,称
则f(x,y,z)dv
(
x
)
d
y
z2(x,y) f(x,y,z)dz
a
y1 ( x )
z1(x,y)
注
这是平z行 轴于 且穿过闭 区域
内部的直线 与的 闭边 区界 域 S曲面
相交不多两点情形.
如何写出当D为Y–型闭域时, 三重积分 化为三次积分的公式
12
三重积分
同样,也可以把积分域Ω向yOz、zOx面投影.
所以,三重积分可以化为六种不同次序的三次积 分(累次积分).
00 0
z
解 e y2 的原函数不是初等函数,
1 xyz1
一定要交换积分次序.
应先x对积分
1 O 1y
1
I (1 y)dy
解题时, 要依据具体的被积函数 f(x,y,z) 和积分域Ω选取适当的三次积分进行计算.
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三重积分
例 计算三重积分 Ix3 y4co zdx sdydz,
其中V是长方体 V
V (x ,y ,z )0 x 1 ,0 y 1 ,0 z 2 .
解 由于V是长方体, 三次积分的上、下限