图论第01讲 阙夏制作(免费)
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图论课件1
论研究越来越得到这些领域的专家和学者 的重视。 图论最早的研究起源于瑞士数学家欧 拉，他在1736年成功地解决了哥尼斯堡七 桥问题，从而开创了图论的先河。
在此后的200多年时间内, 图论的研究 从萌芽阶段，逐渐发展成为数学的一个新 分支。20世纪70年代以后，由于高性能计 算机的出现，使大规模图论问题的求解成 为可能。目前，图论理论已广泛应用于运 筹学、计算机科学、电子学、信息论、控 制论、网络理论、经济管理等领域。
例如，左图为完全图，右图为完全有 向图。
1.4 顶点与顶点、顶点与边的关系 在图论中，顶点与顶点、顶点与边的
关系是通过“邻接(Adjacency)”这个概念 来表示的。 在无向图G(V,E)中，若(u,v)是图中的 一条边，则称u和v互为邻接顶点，边(u,v) 依附于u,v，或称(u,v)与u,v相关联。 在有向图G(V,E)中, 若<u,v>是图中的 一条边，则称u邻接到v，v邻接自u，(u,v) 与u,v相关联。
例如，对于右图所示 的有向图G(V,E)，V(G)= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, E(G)= {<0,1>,<1,2>,<1,4>,<1,5>, <2,4>,<3,2>,<4,1>,<4,3>,<5,6>}。 1.3 完全图 任何一对顶点都有一条边的图称为完 全图；任何一对顶点u,v都有<u,v>和<v,u> 两条有向边的图称为完全有向图。
,其
u1 u2 u3 u4 0 0 A 0 0 1 1 1 u1 0 0 0 u2 1 0 0 u3 0 1 0 u4
3) 对有向赋权图 G (V , E ) , 其邻接矩阵 A (aij ) ,
图论第01讲
如何才能在所有桥都恰巧只走一遍的前提下，回到原出发点?
A
C D
桥所连接的地区 视为点
A
C
D
B B 每一座桥视为一 条线
求从图中任一点出发，通过每条边一次，最后回到起点。
如果通奇数座桥的地方不止两个，那麽 满足要求的路线便不存在了。
如果只有两个地Biblioteka 通奇数座桥，则可从 其中一地出发可找到经过所有桥的路线。
r(3,5)=14, r(3,8)=28, r(4,5)=25.
计算Ramsey数是一个NPC问题，匈牙利 数学家厄尔多斯（Erdos）曾用下面的话比喻 计算Ramsey数的艰巨性：
某年某月某日，一伙外星强盗入侵地球， 并威胁到，若不能在一年内计算出r(5,5)，他 们便灭绝人类！面对危机，人类最好的选择 是调动地球上所有的计算机、数学家、计算 机专家，日以继夜的计算r(5,5)，以求人类免 于灭顶之灾；如果外星人威胁说要求得r(6,6)， 那我们别无选择，只能和外星人战斗到底了！
蓬勃发展：1946年，随着世界上第一台计算机 的问世，使图论的发展突飞猛进。 其后，图论在现代数学、计算机科学、工程技 术、优化管理等领域有大用而得以大力发展。
一、Konisberg七桥问题(Euler问题)
柯尼斯堡七桥问题是图论中 的著名问题。
这个问题是基于一个现实 生活中的事例：位于当时东 普鲁士柯尼斯堡(今日俄罗斯 加里宁格勒)有一条河，河中 心有两个小岛。小岛与河的 两岸有七条桥连接。如何才 能在所有桥都恰巧只走一遍 的前提下，回到原出发点？
1857年，Cayley在有机化学领域发现了 一种重要的图，称为“树”，解决了计算饱和 氢化物同分异构体的数目；
1930年，波兰数学家库拉托父斯基 (Kuratowski)证明了平面图可以画在平面上；
离散数学——图论PPT课件
第19页/共93页
• 完全图：一个（n,m）图G，其n个结点中每个结点均与其它n-1个结点相邻接，记为Kn。 • 无向完全图：m=n(n-1)/2 • 有向完全图：m=n(n-1) • 举例说明以上几种图。
第20页/共93页
定义补图
• 设图G=<V,E> ， G’=<V,E’> ，若G’’=<V,E∪E’> 是完全图，且E∩E’= 空集，则称G’是G的补图。 • 事实上，G与G’互为补图。
正则图
• 所有结点均有相同次数d的图称为d次正则图。 • 如4阶的完全图是3次正则图，是对角线相连的四边形。 • 试画出两个2次正则图。
第27页/共93页
两图同构需满足的条件
• 若两个图同构，必须满足下列条件： （1）结点个数相同 （2）边数相同 （3）次数相同的结点个数相同
• 例子
第28页/共93页
• 图是人们日常生活中常见的一种信息载体，其突出的特点是直观、形象。图论，顾 名思义是运用数学手段研究图的性质的理论，但这里的图不是平面坐标系中的函数， 而是由一些点和连接这些点的线组成的结构 。
第8页/共93页
• 在图形中，只关心点与点之间是否有连线，而不关心点具体代表哪些对象，也不关 心连线的长短曲直，这就是图的概念。
定义图的子图
• 子图：设G=<V,E> ， G’=<V’,E’> ，若V’是V的子集， E’是E的子集，则 G’是G的子图。 • 真子图：若V’是V的子集，E’是E的真子集。 • 生成子图：V’=V，E’是E的子集。 • 举例说明一个图的子图。
第18页/共93页
定义（n,m）图
• (n,m)图：由n个结点，m条边组成的图。 • 零图：m=0。即（n,0）图，有n个孤立点。 • 平凡图：n=1,m=0。即只有一个孤立点。
• 完全图：一个（n,m）图G，其n个结点中每个结点均与其它n-1个结点相邻接，记为Kn。 • 无向完全图：m=n(n-1)/2 • 有向完全图：m=n(n-1) • 举例说明以上几种图。
第20页/共93页
定义补图
• 设图G=<V,E> ， G’=<V,E’> ，若G’’=<V,E∪E’> 是完全图，且E∩E’= 空集，则称G’是G的补图。 • 事实上，G与G’互为补图。
正则图
• 所有结点均有相同次数d的图称为d次正则图。 • 如4阶的完全图是3次正则图，是对角线相连的四边形。 • 试画出两个2次正则图。
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两图同构需满足的条件
• 若两个图同构，必须满足下列条件： （1）结点个数相同 （2）边数相同 （3）次数相同的结点个数相同
• 例子
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• 图是人们日常生活中常见的一种信息载体，其突出的特点是直观、形象。图论，顾 名思义是运用数学手段研究图的性质的理论，但这里的图不是平面坐标系中的函数， 而是由一些点和连接这些点的线组成的结构 。
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• 在图形中，只关心点与点之间是否有连线，而不关心点具体代表哪些对象，也不关 心连线的长短曲直，这就是图的概念。
定义图的子图
• 子图：设G=<V,E> ， G’=<V’,E’> ，若V’是V的子集， E’是E的子集，则 G’是G的子图。 • 真子图：若V’是V的子集，E’是E的真子集。 • 生成子图：V’=V，E’是E的子集。 • 举例说明一个图的子图。
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定义（n,m）图
• (n,m)图：由n个结点，m条边组成的图。 • 零图：m=0。即（n,0）图，有n个孤立点。 • 平凡图：n=1,m=0。即只有一个孤立点。
图论第一章课件
返回 结束
• • • •
有限图：顶点集和边集都是有限集。 无限图：顶点集或边集是无限集。 平凡图：只有一个顶点的图。 空 图：边集为空集的图。 常将 G (V (G), E(G), G ) 简记为G (V (G), E (G)) 或 G (V , E )
或 G 。 特别对简单图 G , 将Ψ G(e)=uv 简记为 e = uv 。
如：例1中五个人的朋友关系所对应的图为 G (V (G), E(G), G ), 其中 点集合——人 边集合——朋友关系
G (e1 ) x1 x5 , G (e2 ) x1 x2 , G (e3 ) x2 x5 , G (e4 ) x3 x4 , G (e5 ) x1 x4
例2 G (V (G), E(G), G ) ，其中
e3 x1 e4
x3
e1
e2
x2
e5
返回 结束
在图 G (V (G), E(G), G ) 中，若 G (e) uv ，就称 e 连接顶 点 u , v ；称 u , v 是 e 的端点； 也称 u 和 v 相邻， 同时也称 u （ 或 v ）与 e 关联。 与同一个顶点关联的若干条边称为是相邻的（如例2中 的 e1 , e5 ）；两个端点重合为一个点的边称为环（如例2中的 e3）； 关联于同一对顶点的二条或二条以上的边称为多重边(如例2中 的 e1 , e2 ) 。 若图没有环和多重边，则称该图为简单图。
拉姆瑟（F.P.Ramsey）在1930年证明了这个数 r(k,t)是存 在的，人们称之为 Ramsey数。
1847年基尔霍夫运用图论解决了电路理论中求解联立方程 的问题，引进了“树”概念。 1857年Cayley非常自然在有机化学领域发现了一种重要的 图，称为“树”，解决了计算饱和氢化物同分异构体的数目。 1936年,哥尼格的第一本图论专著问世,才使得图论成为一 门独立的数学学科.
图论PPT
W (P) =
e∈ ( P) W (P
∑W(e)
则称W 为路径P(u, v) 的权或长度(距离). 长度(距离) 则称 (P)为路径 为路径 定义2：若P0 (u, v) 是G 中连接u, v的路径 且对任 定义 ： 中连接 的路径, 的路径 意在G 中连接u, 的路径 的路径P 意在 中连接 v的路径 (u, v)都有 都有 W(P0)≤W(P), ≤ 则称P 中连接u, 的最短路. 则称 0 (u, v) 是G 中连接 v的最短路
解:
表示设备在第i 年年初的购买费, 设bi 表示设备在第 年年初的购买费 ci 表示设备使用 年后的维修费 表示设备使用i 年后的维修费, V={v1, v2, … , v6},点vi表示第 年年 表示第i 点 表示第 初购进一台新设备,虚设一个点 虚设一个点v6表 初购进一台新设备 虚设一个点 表 示第5年年底 年年底. 示第 年年底 E ={vivj | 1≤i＜j≤6}. ＜
如果E的每一条边都是无向边 则称G为 如果 的每一条边都是无向边, 则称 为无向 的每一条边都是无向边 如图1) 如果E的每一条边都是有向边 1); 的每一条边都是有向边, 图(如图1) 如果 的每一条边都是有向边 则称 G为有向图(如图2) 否则 称G为混合图 2); 为有向图(如图2) 否则, 为混合图.
图论在数学建模中的应用
• • • • 第一部分 第二部分 第三部分 第四部分概念
图论中的“ 图论中的“图”并不是通常意义下的几何图 形或物体的形状图, 形或物体的形状图, 而是以一种抽象的形式来表 达一些确定的事物之间的联系的一个数学系统. 达一些确定的事物之间的联系的一个数学系统. 称为一个图, 定义1 :一个有序二元组 一个有序二元组( 定义1 :一个有序二元组(V, E ) 称为一个图, 记为G = (V, E ), 其中 的顶点集, 其元素称为顶点, ① V 称为G的顶点集, V≠φ, 其元素称为顶点, 简称点; 简称点; 的边集, 其元素称为边, ② E 称为G的边集, 其元素称为边, 它联结V 中的两个点, 如果这两个点是无序的, 中的两个点, 如果这两个点是无序的, 则称该边 为无向边, 否则, 称为有向边. 为无向边, 否则, 称为有向边.
《图论的介绍》课件
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图论的介绍
汇报人：
目录
PART One
添加目录标题
PART Three
图论的应用领域
PART Two
图论的基本概念
PART Four
图论的基本问题
PART Five
图论的算法和数据 结构
PART Six
图论的扩展知识
单击添加章节标题
图论的基本概念
图论的发展历程
18世纪末，欧拉提出“七桥问题”，开启了图论的先河
匹配问题
匹配问题定义：在图论中，匹配问 题是指在图中找到一组边，使得每 个顶点恰好有一条边。
最小匹配问题：在图中找到一组边， 使得边的数量最少。
添加标题
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最大匹配问题：在图中找到一组边， 使得边的数量最多。
完美匹配问题：在图中找到一组边， 使得每个顶点恰好有一条边，并且 边的数量最多。
图论的扩展知识
欧拉路径和欧拉回路
欧拉路径：通过图中所有边且仅通过一次的路径
欧拉回路：通过图中所有边且仅通过一次的回路
欧拉定理：一个无向图存在欧拉回路当且仅当每个顶点的度数都是偶数
应用：欧拉路径和欧拉回路在计算机科学、数学、物理等领域有广泛应用，如电路设计、网络 拓扑、图论算法等
哈密顿路径和哈密顿回路
应用
生物技术：图 论在生物工程、 生物制造和生 物能源等领域
的应用
图论的发展趋势和未来展望
应用领域：图 论在计算机科 学、物理学、 生物学等领域 的应用越来越
广泛
研究方向：图 论在算法设计、 网络优化、数 据挖掘等领域 的研究不断深
入
技术发展：图 论与机器学习、 深度学习等技 术的结合越来
图论的介绍
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图论的应用领域
PART Two
图论的基本概念
PART Four
图论的基本问题
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PART Six
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图论的基本概念
图论的发展历程
18世纪末，欧拉提出“七桥问题”，开启了图论的先河
匹配问题
匹配问题定义：在图论中，匹配问 题是指在图中找到一组边，使得每 个顶点恰好有一条边。
最小匹配问题：在图中找到一组边， 使得边的数量最少。
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最大匹配问题：在图中找到一组边， 使得边的数量最多。
完美匹配问题：在图中找到一组边， 使得每个顶点恰好有一条边，并且 边的数量最多。
图论的扩展知识
欧拉路径和欧拉回路
欧拉路径：通过图中所有边且仅通过一次的路径
欧拉回路：通过图中所有边且仅通过一次的回路
欧拉定理：一个无向图存在欧拉回路当且仅当每个顶点的度数都是偶数
应用：欧拉路径和欧拉回路在计算机科学、数学、物理等领域有广泛应用，如电路设计、网络 拓扑、图论算法等
哈密顿路径和哈密顿回路
应用
生物技术：图 论在生物工程、 生物制造和生 物能源等领域
的应用
图论的发展趋势和未来展望
应用领域：图 论在计算机科 学、物理学、 生物学等领域 的应用越来越
广泛
研究方向：图 论在算法设计、 网络优化、数 据挖掘等领域 的研究不断深
入
技术发展：图 论与机器学习、 深度学习等技 术的结合越来
集合论与图论(全套课件)
《集合论与图论》第1讲
p q r
0 0 0 0 1 1 1 1
2018/5/28
pqr
1 1 1 1 1 1 0 1
14
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
永真式(tautology)
• 永真式:在各种赋值下取值均为真(重言式) • 永假式:在各种赋值下取值均为假(矛盾式) • 可满足式：非永假式
2018/5/28
《集合论与图论》第1讲
11
命题符号化
简单命题： 联结词：
• 合取联结词： • 析取联结词： • 否定联结词： • 蕴涵联结词： • 等价联结词：
p,q,r,p1,q1,r1,…
逻辑真值：
0，1
2018/5/28
《集合论与图论》第1讲
12
真值表(truth-table)
2018/5/28
《集合论与图论》第1讲
16
常用逻辑等值式(关于与)
幂等律(idempotent laws) AAA AAA 交换律(commutative laws)
ABBA
ABBA
2018/5/28
《集合论与图论》第1讲
17
常用逻辑等值式(关于与)
结合律(associative laws) (AB)CA(BC) (AB)CA(BC) 分配律(distributive laws)
2018/5/28
《集合论与图论》第1讲
6
内容介绍
• 《集合论与图论》
• 第二部分 图论
• 第7章 • 第8章 • 第9章 • 第10章 • 第11章 • 第12章 • 第13章 • 第14章 图 欧拉图与哈密顿图 树 图的矩阵表示 平面图 图的着色 支配、覆盖、独立、匹配 带权图
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永真式(tautology)
• 永真式:在各种赋值下取值均为真(重言式) • 永假式:在各种赋值下取值均为假(矛盾式) • 可满足式：非永假式
2018/5/28
《集合论与图论》第1讲
11
命题符号化
简单命题： 联结词：
• 合取联结词： • 析取联结词： • 否定联结词： • 蕴涵联结词： • 等价联结词：
p,q,r,p1,q1,r1,…
逻辑真值：
0，1
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《集合论与图论》第1讲
12
真值表(truth-table)
2018/5/28
《集合论与图论》第1讲
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常用逻辑等值式(关于与)
幂等律(idempotent laws) AAA AAA 交换律(commutative laws)
ABBA
ABBA
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《集合论与图论》第1讲
17
常用逻辑等值式(关于与)
结合律(associative laws) (AB)CA(BC) (AB)CA(BC) 分配律(distributive laws)
2018/5/28
《集合论与图论》第1讲
6
内容介绍
• 《集合论与图论》
• 第二部分 图论
• 第7章 • 第8章 • 第9章 • 第10章 • 第11章 • 第12章 • 第13章 • 第14章 图 欧拉图与哈密顿图 树 图的矩阵表示 平面图 图的着色 支配、覆盖、独立、匹配 带权图
图论基础
第一讲图论基础知识自从1736年欧拉（L.Euler）利用图论的思想解决了哥尼斯堡（Konigsberg）七桥问题以来，图论经历了漫长的发展道路。
在很长一段时期内，图论被当成是数学家的智力游戏，解决一些著名的难题。
如迷宫问题、匿门博奕问题、棋盘上马的路线问题、四色问题和哈密顿环球旅行问题等，曾经吸引了众多的学者。
图论中许多的概论和定理的建立都与解决这些问题有关。
1847年克希霍夫（Kirchhoff）第一次把图论用于电路网络的拓扑分析，开创了图论面向实际应用的成功先例。
此后，随着实际的需要和科学技术的发展，在近半个世纪内，图论得到了迅猛的发展，已经成了数学领域中最繁茂的分支学科之一。
尤其在电子计算机问世后，图论的应用范围更加广泛，在解决运筹学、信息论、控制论、网络理论、博奕论、化学、社会科学、经济学、建筑学、心理学、语言学和计算机科学中的问题时，扮演着越来越重要的角色，受到工程界和数学界的特别重视，成为解决许多实际问题的基本工具之一。
图论研究的课题和包含的内容十分广泛，专门著作很多，很难在一本教科书中概括它的全貌。
作为离散数学的一个重要内容，本书主要围绕与计算机科学有关的图论知识介绍一些基本的图论概论、定理和研究内容，同时也介绍一些与实际应用有关的基本图类和算法，为应用、研究和进一步学习提供基础。
第1章无向图和有向图学习要求：仔细领会和掌握图论的基本概论、术语和符号，对于图论研究的一些最基本的课题，如道路问题、连通性问题和着色的问题等，应掌握主要的定理内容和证明方法以及基本的构造方法，以便为下一章研究提供理论工具。
学习本章要用到集合和线性代数矩阵运算的知识，特别是集合数和矩阵秩的概念。
§4-1-1 图的基本概念图是用于描述现实世界中离散客体之间关系的有用工具。
在集合论中采用过以图形来表示二元关系的办法，在那里，用点来代表客体，用一条由点a指向点b的有向线段来代表客体a和b之间的二元关系aRb，这样，集合上的二元关系就可以用点的集合V和有向线的集合E构成的二元组（V，E）来描述。
图论中的圈与块(共79张PPT)精选
程序代码
PROCEDURE DFS(v);
begin
inc(sign); dfn[v] := sign; //给v按照访问顺序的先后标号为sign
lowlink[v] := sign; //给lowlink[v]赋初始值
for 寻找一个v的相邻(xiānɡ lín)节点u
if 边uv没有被标记过 then
1：询问某两个点之间的min(u,v)
2：删除一条边
你的任务是对于每个询问，输出min(u,v)的值。 (WC2006)
2024/2/27
5
第五页，共79页。
水管局长(2)
数据范围约定 结点个数N≤1000 图中的边数M≤100000 询问(xúnwèn)次数Q≤100000 删边次数D≤5000
32
第三十二页，共79页。
关键(guānjiàn)网线(2)
朴素算法： 枚举每条边，删除它，然后判断是否有独立
出来的连通区域内没有A属性或者(huòzhě)没 有B属性。复杂度O(M2) 当然，这个复杂度太大了！
2024/2/27
33
第三十三页，共79页。
关键(guānjiàn)网线(3)
a
b
2024/2/27
27
第二十七页，共79页。
嗅探器(2)
数据范围(fànwéi)约定 结点个数N≤100 边数M≤N*(N-1)/2
2024/2/27
28
第二十八页，共79页。
嗅探器(3)
朴素算法： 枚举每个点，删除它，然后(ránhòu)判断a和
b是否连通，时间复杂度O(NM) 如果数据范围扩大，该算法就失败了！
8
第八页，共79页。
水管局长(5)
图论课件第1章资料
所以，两图不同构。
例 指出4个顶点的非同构的所有简单图。
分析：四个顶点的简单图最少边数为0，最多边数为6，所以 可按边数进行枚举。
解
(a)
(b)
(c)
(d) (f)
(e) (g)
三、完全图，偶图，补图
定义 任意两点均相邻的简单图称为完全图，在同构意义 下，n 阶完全图只有一个，记为Kn。
例 K2, K3, K4分别为如下图所示。
定理 非负整数组(d1, d2,….,dn)是图的度序列的充分必要条件 是：∑di 为偶数。
证明 必要性由握手定理立即得到。
如果∑di为偶数，则数组中为奇数的数字个数必为偶数。
按照如下方式作图G: 若di为偶数，则在与之对应的点作di /2 个环；对于剩下的偶数个奇数，两两配对后分别在每配对 点间先连一条边，然后在每个顶点画(dj -1)/2个环。
两图同构，记为G1≌G2。
例
≌
注：(1) 两个同构的图均有相同的结构，没有本质上的差 异, 差异只是顶点和边的名称不同。
(2) 图同构的几个必要条件：①顶点数相同；②边数相同； ③度数相等的顶点个数相同。
(3) 在图的图形表示中我们可以不给图的点和边标上符号，称 这样的图为非标定（号）图，否则称为标定（号）图。非标 定图实际上是代表一类相互同构的图。不误解时我们也不严 格区分标定图与非标定图。
研究现状 (1)彻底解决了；(2)解决得不好；(3)没有解决。
定理 设有非负整数组Π= (d1, d2,…, dn)满足
n 1 d1 d2 L dn且 di 2m，
则Π是可图序列的充分必要条件是：
1 (d2 1, d3 1,K , dd11 1, dd12 ,K , dn )
例 指出4个顶点的非同构的所有简单图。
分析：四个顶点的简单图最少边数为0，最多边数为6，所以 可按边数进行枚举。
解
(a)
(b)
(c)
(d) (f)
(e) (g)
三、完全图，偶图，补图
定义 任意两点均相邻的简单图称为完全图，在同构意义 下，n 阶完全图只有一个，记为Kn。
例 K2, K3, K4分别为如下图所示。
定理 非负整数组(d1, d2,….,dn)是图的度序列的充分必要条件 是：∑di 为偶数。
证明 必要性由握手定理立即得到。
如果∑di为偶数，则数组中为奇数的数字个数必为偶数。
按照如下方式作图G: 若di为偶数，则在与之对应的点作di /2 个环；对于剩下的偶数个奇数，两两配对后分别在每配对 点间先连一条边，然后在每个顶点画(dj -1)/2个环。
两图同构，记为G1≌G2。
例
≌
注：(1) 两个同构的图均有相同的结构，没有本质上的差 异, 差异只是顶点和边的名称不同。
(2) 图同构的几个必要条件：①顶点数相同；②边数相同； ③度数相等的顶点个数相同。
(3) 在图的图形表示中我们可以不给图的点和边标上符号，称 这样的图为非标定（号）图，否则称为标定（号）图。非标 定图实际上是代表一类相互同构的图。不误解时我们也不严 格区分标定图与非标定图。
研究现状 (1)彻底解决了；(2)解决得不好；(3)没有解决。
定理 设有非负整数组Π= (d1, d2,…, dn)满足
n 1 d1 d2 L dn且 di 2m，
则Π是可图序列的充分必要条件是：
1 (d2 1, d3 1,K , dd11 1, dd12 ,K , dn )
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v1 e1 e3 v2 e4 v4 e5 e2 v3 v2 a4 v4 a1 a3 v1 a2 v3 a5
5、混和图： 图G内部分边是有方向的，另一部分边是没 有方向的；
混和图
7、对于图G=(V,E)，顶点数用n=|V|表示，边
数用m=|E|表示。
(1)若n和m都是有限的—有限图;
(2)若n或m是无限的—无限图。
1 0 0 1 0 0 0
0 0 1 0 1 0 1
0 0 1 1 0 0 0
0×0＋1×0＋0×0＋0×1＋1×1＋0×0＋0×0＝1
＝
1 0 0 1 1 0 0
0 0 0 2 1 1 0
0 0 1 0 2 0 1
1 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 2 0 0
1 0 1 3 0 1 0
0 0 0 1 1 1 0
ail alj 0 当且仅当 ail alj 1
表示从 v i 出发两步到达 v j 的路径数目 同理
(k aij ) 表示从 v i 出发k步到达v j 的路径数目
若要追问这一路径是什么？ 途经哪几个点？ (k 只要回溯 aij ) 是如何形成即可求得
(3 a17) ，我们来看一下它的形成过程： 例如
1
3
1
3
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2
4
2
4
2
4
14、对任意的简单图G，图G’与G有相同的顶 点集V，若u和v在G’中相邻，则在G不相邻， 反之亦然。则称G’是G的补图。
思考：G＋G’有什么特点？
15、定义：
(1)对于无向图G=(V,E) Inc(vi) ≌{ek|ek=(vi,vj)∈ E} 表示以vi为顶点的边(即与vi相关联)的集合; Adj(vi) ≌ {ek|ek=(vi,vj)∈ E} 表示与vi相邻接的顶点集合。
5、混和图： 图G内部分边是有方向的，另一部分边是没 有方向的；
混和图
7、对于图G=(V,E)，顶点数用n=|V|表示，边
数用m=|E|表示。
(1)若n和m都是有限的—有限图;
(2)若n或m是无限的—无限图。
1 0 0 1 0 0 0
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0×0＋1×0＋0×0＋0×1＋1×1＋0×0＋0×0＝1
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ail alj 0 当且仅当 ail alj 1
表示从 v i 出发两步到达 v j 的路径数目 同理
(k aij ) 表示从 v i 出发k步到达v j 的路径数目
若要追问这一路径是什么？ 途经哪几个点？ (k 只要回溯 aij ) 是如何形成即可求得
(3 a17) ，我们来看一下它的形成过程： 例如
1
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1
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14、对任意的简单图G，图G’与G有相同的顶 点集V，若u和v在G’中相邻，则在G不相邻， 反之亦然。则称G’是G的补图。
思考：G＋G’有什么特点？
15、定义：
(1)对于无向图G=(V,E) Inc(vi) ≌{ek|ek=(vi,vj)∈ E} 表示以vi为顶点的边(即与vi相关联)的集合; Adj(vi) ≌ {ek|ek=(vi,vj)∈ E} 表示与vi相邻接的顶点集合。
图论课件(一)、子图的相关概念共31页文档
图论课件(一)、子图的相关概念
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
图论课件(一)、子图的相关概念
1、路与连通性的相关概念
(1)、图中的途径 G的一条途径（或通道或通路）是指一个有限非空序列w= v0
e1 v1 e2 v2…ek vk，它的项交替地为顶点和边，使得 1 i k ，
ei的端点是vi-1和vi. 途径中边数称为途径的长度；v0,vk分别称为途径的起点与终点，
其余顶点称为途径的内部点。
G的子图，记为 H G
当 H G, H G 时，称H是G的真子图，记为
H G
3
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
2、点与边的导出子图
(1) 图G的顶点导出子图
定义2 如果 V V (G) ，则以 V 为顶点集，
以两个端点均在 V 中的边集组成的图，称为 图G的点导出子图。记为：G[V ]
19
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(6)、图的直径
连通图G的直径定义为：
d (G) max d (u, v) u, v V (G)
如果G不连通，图G的直径定义为 d (G) 例6 证明：在n阶连通图中 (1) 至少有n-1条边； (2) 如果边数大于n-1，则至少有一条闭迹； (3) 如果恰有n-1条边，则至少有一个奇度点。 证明: (1) 若G中没有1度顶点，由握手定理：
Saad Y, Schultz M H. Topological properties of hypercubes [J]. IEEE
Trans. Comput . 1988, 37(7) : 867--872
图论讲稿
图论讲稿
2020年7月13日星期一
图论模型基础知识
1. 图论的基本概念 2. 最短路问题及算法 3. 最小生成树问题及算法 4. 哈密尔顿图 5. 欧拉图
1.图论的基本概念
1) 图的概念 2) 赋权图与子图 3) 图的矩阵表示 4) 图的顶点度 5) 路和连通
1) 图的概念
定义 一个图G是指一个二元组(V(G),E(G))，其中
替i，并转2).
，则用 i+1 代
Dijkstra算法: 求G中从顶点u0到其余顶点的最短路.
1) 置
，对 ，
，
且
. 2) 对每个
，用
代替 ，计算
，并把达到这个最小值的
一个顶点记为 ，置
3) 若
，则停止；若
替i，并转2).
，则用 i+1 代
Dijkstra算法: 求G中从顶点u0到其余顶点的最短路.
可化为最短路问题的多阶段决策问题
选址问题--中心问题
S(v1)=10, S(v2)=7, S(v3)=6, S(v4)=8.5, S(v5)=7, S(v6)=7, S(v7)=8.5
S(v3)=6,故应将消防站设在v3处。
选址问题--重心问题
3．最小生成树及算法
1) 树的定义与树的特征
定义 若图
的每一条边e 都赋以
一个实数w(e)，称w(e)为边e的权，G 连同边上的权 称为赋权图.
定义 设 1) 若
2) 若 ，
和
是两个图.
,称 是 勇于的开一始，个才能子找图到成,记
，则称 功是的路的生成子图.
3) 若
，且 ，以 为顶点集，以两端点
均在 中的边的全体为边集的图 的子图，称
2020年7月13日星期一
图论模型基础知识
1. 图论的基本概念 2. 最短路问题及算法 3. 最小生成树问题及算法 4. 哈密尔顿图 5. 欧拉图
1.图论的基本概念
1) 图的概念 2) 赋权图与子图 3) 图的矩阵表示 4) 图的顶点度 5) 路和连通
1) 图的概念
定义 一个图G是指一个二元组(V(G),E(G))，其中
替i，并转2).
，则用 i+1 代
Dijkstra算法: 求G中从顶点u0到其余顶点的最短路.
1) 置
，对 ，
，
且
. 2) 对每个
，用
代替 ，计算
，并把达到这个最小值的
一个顶点记为 ，置
3) 若
，则停止；若
替i，并转2).
，则用 i+1 代
Dijkstra算法: 求G中从顶点u0到其余顶点的最短路.
可化为最短路问题的多阶段决策问题
选址问题--中心问题
S(v1)=10, S(v2)=7, S(v3)=6, S(v4)=8.5, S(v5)=7, S(v6)=7, S(v7)=8.5
S(v3)=6,故应将消防站设在v3处。
选址问题--重心问题
3．最小生成树及算法
1) 树的定义与树的特征
定义 若图
的每一条边e 都赋以
一个实数w(e)，称w(e)为边e的权，G 连同边上的权 称为赋权图.
定义 设 1) 若
2) 若 ，
和
是两个图.
,称 是 勇于的开一始，个才能子找图到成,记
，则称 功是的路的生成子图.
3) 若
，且 ，以 为顶点集，以两端点
均在 中的边的全体为边集的图 的子图，称
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本课程所介绍的内容包括：
• • • • • 图论的发展历程和经典问题； 图的基本概念； 有关树和图的算法； 网络流问题； 匹配问题、色数问题；
图论及其应用
第一章 图的基本概念 第二章 树 第三章 图的算法
第六章 网络流图问题 第七章 匹配理论、色数问题及其他
参考书籍
《图论》 王树禾著 科学出版社 2004
>>
六、妖怪（snark graph）
妖怪图每个点都关联着3条边，用4种颜 色可以把每条边涂上颜色，使得有公共端点 的边异色，而用3种颜色办不到，切断任意3 条边不会使它断裂成2个有边的图。
单星妖怪
双星妖怪
七、过河问题
参看课本p7~p11。
由此可见
图论中蕴含着强有力的思想、漂亮的图 形和巧妙的理论，即使是非常困难尚未解决 的问题，它的表述也可以是非常平易的。图 论是最接近百姓生活、最容易阐述的一门数 学分支，具有实质性的难度又有简朴的外表 是很多图论问题的特点之一。
练习思考题
1、试证明9人中必有3个人相互认识或4个人相 互不认识，两者必居其一。
莱昂哈德· 欧拉(Leonhard Euler，1707.4.5~1783.9.18) 瑞士的数学家和物理学家。他被称为历史上最伟大的两位 数学家之一（另一位是卡尔· 弗里德里克· 高斯）。欧拉出 生于瑞士，在那里受教育。他是一位数学神童。作为数学 教授，他先后任教于圣彼得堡(1727-1741)和柏林，尔后 再返圣彼得堡(1766)。 欧拉的一生很虔诚。然而，那个广泛流传的传说却不 是真的。传说中说到，欧拉在叶卡捷琳娜二世的宫廷里， 挑战德尼· 狄德罗：“先生，(a+b)n/n = x；所以上帝存在， 这是回答！” 欧拉的离世也很特别：据说当时正是下午茶时间， 正在逗孙儿玩的时候，被一块蛋糕卡在喉头窒息而死。 欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数 的表达式的人，例如：y = F(x) (函数的定义由莱布尼兹在 1694年给出)。他是把微积分应用于物理学的先驱者之一。 欧拉是有史以来最多产的数学家，他的全集共计75卷。欧 拉实际上支配了18世纪的数学，对于当时新发明的微积分， 他推导出了很多结果。在他生命的最后7年中，欧拉的双 目完全失明，尽管如此，他还是以惊人的速度产出了生平 一半的著作。 小行星欧拉2002是为了纪念欧拉而命名的。
二、哈密顿回路问题到货郎问题
1856年，哈密顿（Hamilton）提出了所谓环 球旅行问题： 在正12面体上的20个顶点分别表示20个城市， 注意！！ 两点间的连线表示城市间的道路。要求旅行者从 不是所有图都能 某个城市出发，到达各个城市一次且仅一次，最 找到这样的路线！ 后返回出发城市。
两个问题： （1）经过每个顶点一次且仅一次； （2）代价最小的Hamilton回路。 (目前无有效的方法求解)
两者相似，但在难度上不是同一级别的问题。
三、四色问题
四色问题是世界近代三大数学 难题之一。 四色问题的内容是：任何一张 地图只用四种颜色就能使具有共 同边界的国家着上不同的颜色。 它的提出来自英国。1852年， 毕业于伦敦大学的弗南西斯· 格思 里(Guthrie)发现了一种有趣的现 象：“看来，每幅地图都可以用 四种颜色着色，使得有共同边界 的国家都被着上不同的颜色。” 这个现象能不能从数学上加以严 格证明呢？
不少数学家都尝试去解析这个事例。而 这些解析，最后发展成为了数学中的图论。
莱昂哈德· 欧拉(Leonhard Euler)在1736 年圆满地解决了这一问题，证明这种方法并 不存在。他在圣彼得堡科学院发表了图论史 上第一篇重要文献。欧拉把实际的问题抽象 简化为平面上的点与线组合，每一座桥视为 一条线，桥所连接的地区视为点。这样若从 某点出发后最后再回到这点，则这一点的线 数必须是偶数。
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明 基本上是按照肯普的想法在进行。后来美国数学家 富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用 四 色 着 色 。 1950 年 ， 有 人 从 22 国 推 进 到 35 国 。 1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四 种颜色着色；随后又推进到了50国。
vq
而5个人的人群，可能出现既没有3个人彼此不 认识，也没有3个人相互认识，如下图：
v1
v2
v3
实线表示相互认识 虚线表示相互不认识
v4
v5
所以r(3,3)≥6
>>
自Ramsey在1928年提出了Ramsey数与 相关理论70多年以来，至今求得的Ramsey 数仅仅9个，它们是： r(3,3)=6, r(3,6)=18, r(3,9)=36, r(3,4)=9, r(3,7)=23, r(4,4)=18, r(3,5)=14, r(3,8)=28, r(4,5)=25.
计算Ramsey数是一个NPC问题，匈牙利 数学家厄尔多斯（Erdos）曾用下面的话比喻 计算Ramsey数的艰巨性： 某年某月某日，一伙外星强盗入侵地球， 并威胁到，若不能在一年内计算出r(5,5)，他 们便灭绝人类！面对危机，人类最好的选择 是调动地球上所有的计算机、数学家、计算 机专家，日以继夜的计算r(5,5)，以求人类免 于灭顶之灾；如果外星人威胁说要求得r(6,6)， 那我们别无选择，只能和外星人战斗到底了！
1928年， 英国数学家Ramsey提出了 Ramsey数与相关理论，直观的讲，就是：
任意6个人在一起，6人中要不是有3个人 彼此相互认识，就必然有3个人相互不认识； 即两种情况至少存在一种。 记作：r(3,3)=6 推广：r(p,q)是任给出的人群中必有p人 彼此认识或有q人彼此不相识的最小值。
鸽巢原理
图论
Graphic Theory
阙夏制作
自我介绍
阙(quē)夏
自2001年开始讲授《算法与数据结构》课程 2005年开始讲授《图论》课程 quexia@
课程简介
《图论》是计算机科学与技术专业、信息 安全专业的选修课程。 通过本课程的学习，使学生对图论的 历史背景、研究内容、相关技术及其发展 有一个较为全面地了解，从而将所学知识 和技术运用于实际应用领域奠定基础。
里程碑：1936年，匈牙利数学家寇尼希 (D.Konig)发表名著《有限图和无限图理论》， 使得图论成为一门独立的数学学科； 蓬勃发展：1946年，随着世界上第一台计算机 的问世，使图论的发展突飞猛进。 其后，图论在现代数学、计算机科学、工程技 术、优化管理等领域有大用而得以大力发展。
一、Konisberg七桥问题(Euler问题)
货郎问题（Traveling Salesman Problem） 一个货郎到各村去卖货，要求每个村子 至少去一次，最后返回出发点，为其设计一 种销售路线，使总耗时最短。
求解方法：把路线全排列，求其中最小的。 这类问题称为NPC问题。
哈密顿回路和七桥问题的区别
Hamilton回路： 侧重顶点（一次行遍顶） ； 七桥问题： 侧重边（一次行遍桥/边） 。
1976年6月，美国伊利诺大学哈肯与阿佩尔在 两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了 100亿判断，终于完成了四色定理的证明，轰动了 世界。 然而，真正数学上的严格证明仍然没有得到！ 数学家仍为此努力，并由此产生了多个不同的图本P13～P14
五、Ramsey问题
数学模型
求解算法（算法）
用大量数据验证
测试
编程实现
什么是图论？
图论是离散数学的分支： 图(graph)： 是一个离散集和某些两元素子集的集合。 数学形象是：纸上画几个顶点，把其中一些点 用曲线段或直线连起来。图显示的是点与点 之间的二元关系。
图论的分支很多，例如： 图论 算法图论 极值图论 网络图论 模糊图论 代数图论 随机图论 超图论
有n+1只鸽子进入n个笼子，那么必然有至少 两只鸽子在同一个笼子中。
Ramsey问题的证明
证：设6个人分别用v1,v2,v3,v4,v5,v6表示。 任取一点vi，它与其他5点联线中，至少有 3条同为实线或3条同为虚线：
vi vi
或
vj vp vq vp vj
证毕。
实线表示相互认识 虚线表示相互不认识
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向 伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世 界数学界关注的问题。 1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯 普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布 证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决 了。
1890年，在牛津大学就读的年仅29岁的赫伍德 以自己的精确计算指出了肯普在证明上的漏洞。不久， 泰勒的证明也被人们否定了。后来，人们开始认识到， 这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲 美的难题。
柯尼斯堡七桥问题是图论中 的著名问题。
这个问题是基于一个现实 生活中的事例：位于当时东 普鲁士柯尼斯堡(今日俄罗斯 加里宁格勒)有一条河，河中 心有两个小岛。小岛与河的 两岸有七条桥连接。如何才 能在所有桥都恰巧只走一遍 的前提下，回到原出发点？
如何才能在所有桥都恰巧只走一遍的前提下，回到原出发点?
《集合论与图论》 耿素云著 北京大学出版社 1998
《离散数学引论》 王树禾著 中国科学技术大学出版社
第一章 图的基本概念
§1 §2 §3 §4 §5 §6 引论 图的概念 道路和回路 图的矩阵表示法 中国邮路问题 平面图
§1
引论
图论——计算机问题求解的描述工具。
抽象 求解
实际问题
莱昂哈德· 欧拉
弗兰克· 拉姆赛(Frank Ramsey 1904～1930)， 英国剑桥的数学家、哲学家、经济学家。 是20世纪最显赫的两大经济学家之一约翰· 梅纳 德· 凯恩斯的得意弟子。 1928年，拉姆赛在伦敦数学会宣读了一篇数学 奇文，提出了Ramsey数的计算和相关理论。科学 界一致认为， Ramsey理论是离散数学中最漂亮的 成就。 1930年， Ramsey因腹部手术并发症不幸逝世， 年仅26岁。但他关于Ramsey数的遗产却永泽数学 界。