1.5 平方差公式(第1课时)
1.5平方差公式课件数学北师大版七年级下册
解：(1)(5m－3n)(5m+3n) =(5m)2－(3n)2=25m2－9n2；
(2)(－2a2+5b)(－2a2－5b)=(－2a2)2－(5b)2=4a4－25b2；
(3)
+
2
=y －
－
2=y2－
+－
x2；
(4)(－3y－4x)(3y－4x)=(－4x－3y)(－4x+3y)
感悟新知
知1－讲
变化情势
应用举例
(5)增项变化
(a－b+c)(a－b－c)=(a－b)2－c2
(6)连用公式 (a+b)(a－b)(a2+b2)=(a2－b2)(a2+b2)=a4－b4
(7)增因式
(－a－b)(－a+b)(a－b)(a+b)=[(－a)2－
变化
b2](a2－b2)=(a2－b2)2
解题秘方：找出平方差公式的模型，利用平方差
公式进行计算.
感悟新知
知1－练
解：(1)10.3×9.7
=(10+0.3)×(10－0.3)
10.3 与9.7 的平均数为10
=102－0.32=100－0.09
=99.91；
(2)2 022×2 024－2 0232=(2 023－1)×(2 023+1)－2 0232
公式的特征：
1. 等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项
完全相同，另一项互为相反数.
2. 等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减
去相反项的平方.
3. 理解字母a，b 的意义，平方差公式中的a，b既可代表
北师大版七下数学1.5平方差公式教学课件(1)
n （-m）2-n2
c （a+b）2-c2
（a + b ） （ a – b ） = a2 - b2
例1、用平方差公式计算
注意
计算：（x+2y）（x-2y）
1、先把要计算的 式子与公式对照，
解：原式＝Nxo2 - （2y）2 Image
2、哪个是 a 哪个是 b
＝x2 - 4y2
例2 运用平方差公式计算： （1） （3x＋2 ）（ 3x－2 ） ； （2） （b+2a）（2a－b）; （3） （-x+2y）（-x-2y）.
解原式 （x2 y2 )( x2 y2 )（x4+y4 ）
（ x4 y）4 （x4+y4） x8 y8
灵活运用新知，解决第三层次问题
运用平方差公式计算：
（1）51×49 （2）（3x+4）（3x-4）-（2x+3）（3x-2）
a2 - b2 =（a+b）（a-b） 逆向思维训练：
（1） （ n - m ）（ n+m ）=n2-m2 （ -2x +_3_y ） （-2x-3y）=4x2-9y2 （ -5 + a ）（-5 - a ） =25-a²
多项式与多项式相乘：
先用一个多项式的每一项 乘另一个多项式的每一项 再把所得的积相加.
活动 计算下列各题，你能发现什么规律？
（1） （x＋1）（x－1） = x2 － x ＋ x － 1 = x2 － 1 （2） （m ＋ 2）（m － 2） = m2 － 2m ＋ 2m － 4 =m2 － 4 （3） （2x ＋ 1）（2x － 1）=（2x）2 － 2x ＋ 2x － 1=4x2 － 1
小结
1. 试用语言表述平方差公式 （a+b）（a−b） =a2−b两2.数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
北师大版七年级数学下册1.5.1 平方差公式 教案设计
1.5 平方差公式（1）教学目标：1.经历探索发现平方差公式的过程，发展数形结合的思想．2.会推导平方差公式并能正确运用公式进行计算．3.会用面积法推导平方差公式，并能运用公式解决生活中的实际问题．4.培养学生观察、归纳、概括等能力．教学重点与难点：重点：平方差公式的推导和应用．难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．教法与学法指导：教法：引导探讨归纳应用变通．学法：提前预习，小组合作，探讨交流，归纳总结．课前准备：教师准备：多媒体课件、纸板教具、彩色粉笔．学生准备：预习纸板教学过程：一、创设情境，导入新课【美丽的校园】师：上学期，我们作为第一届入住新校区的初一新生，很荣幸的搬入了新建设的二十九中校园，一学期过去了，大家对于我们美丽的校园还满意吗？生：满意！师：现在，学校要规划一块新草坪，规划的方案有两种，一种是建成10米乘以10米的正方形，另一种方案是把这块正方形的草坪的一边缩减3米，相邻边增加3米，把草坪改成长方形．校长说，改成长方形草坪后，不光美观，还能节约购买草皮的成本呢？你知道这是为什么吗？生（集体）：猜测讨论．师：通过本节课的学习，你将能轻松的解决这个问题，大家说，这节课要不要认真学习啊？学生（充满好奇）：要！【设计意图】通过了解发生在校园内真实存在的事例，既能调动学生的研究兴趣，又能为说明平方差公式的几何意义做好铺垫．二、百花齐放，探索新知1．数形结合，探究公式师：解决校园草坪建设方案的问题之前，老师先提两个简单的问题来考一考大家，看看大家上节课的内容学习的怎么样了？有没有能力解决今天的新问题．计算：1．（x+1）（x-1） 2.（m+2）（m-2）生（集体）：算出来了…算出来了…师：好，老师请两位同学说一说计算的结果．生1：第一题的结果是：x2-1生2：第二题的结果是：m2-4师：正确的同学请举手（全体同学基本上都正确），看来大家学的真不错哦！师：下面大家继续观察上面两个算式，看看它们的结果，你有没有什么新发现？生3：我发现它们的结果是这两个数的平方的差．师：好，那么我们请这位同学把你看到的现象用粉笔描述出来．（生3 分别使用了蓝色粉笔和黄色粉笔区别表示，效果非常好）师：大家观察一下，这位同学描述的规律对不对？生（齐）：正确！师：哪位同学能再举个例子来验证一下？生4：（a+3）（a-3）=a2-3a+3a-9=a2-9（a+3）（a-3）=a2-32 = a2 -9师：结果一样吗？生（齐）：一样！师：那好，以后符合这个规律的习题，我们就可以直接进行计算，不要再用多项式的乘法这么麻烦了，还有谁再举例应用一下？生5（抢）：（5+x）（5-x）=52- x2 =25- x2生6（抢）：（y+6）（y-6）=y2-62 = y2-36师：谁用语言来描述一下这个规律？生（7）：等式的左边是两个两项式的乘积，这两个两项式中，其中一个因式是两数的和，另一个因式是这两个数的差，等式的右边等于这两个数的平方的差．师：那么我们能不能把这个规律用符号表示出来呢？师生合作：（a+b）（a-b）=a2-b2文字描述：两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差．*提示：这里a 、b 表示任意数，也可以表示任意的单项式、多项式．师：同学们真不简单，现在大家给我们总结的规律起一个名字吧．生（齐）：平方差公式！【设计意图】通过观察，让学生自然、直观的接触到平方差的概念，再通过习题简单的应用，便于学生总结出公式，理解和掌握公式．教师板书课题：1.5 平方差公式（1）师：看来大家预习的非常棒！接下来，我们通过拼图游戏，再从几何图形的角度来验证一下这个公式的正确性，下面大家拿出我们课下准备好的纸板，按要求计算阴影部分的面积．生8：第一个图形的面积：a 2-b 2 生9：第二个图形的面积：（a+b ）（a-b ）师：这两种方法算出来的阴影部分的面积相等吗？生（齐）：相等师：由此我们得到（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2，从而再次验证了平方差公式的正确性，大家对这两种证明平方差公式的方法都理解了吗？生（齐）：理解了！【设计意图】利用求图形的面积，进一步理解和验证平方差公式，培养学生数形结合的思想和一题多解的观念．2．简单应用，掌握公式师：那么接下来我们就来应用一下吧，请看例题例1利用平方差公式计算：（1）（5+6x ）（5－6x ）； （2）（x －2y ）（x +2y ）（3）（ab +8）（ab －8）；我们请3位同学到黑板上来演示，其他同学在练习本上计算，愿意来展示自己的同学请主动上台表演吧！生10：解：（5+6x ）（5－6x ） 生11：解：（x －2y ）（x +2y ）= 52－（6x ）2 = x 2－（2y ）2=25－36 x 2 = x 2－4y 2生12：解：（ab +8）（ab －8）a-b=（ab ）2－82= a 2 b 2－64师：大家看看这3位同学的表现的怎么样？生（齐）：非常好！师：下面做正确的同学请举手（大约90﹪以上），不错哦！大家感觉对于今天学习的内容掌握的怎么样了？生：都掌握了，没问题了师：*注意：对于平方差的结果，要化成最简，得数中不能保留像（2y ）2 、82 、（ab ）2 的没有运算完全的算式．【设计意图】利用简单的问题加深学生对平方差概念的理解，鼓舞学生的士气，为下一步更深入的学习和理解公式奠定基础．3．乘胜追击，深入公式师：既然大家都觉得练得不错了，那么老师对习题再升升级，检验一下大家的思考能力：例2 利用平方差公式计算：（1）（－m +n ）（－m －n ）； （2）)41(y x --)41(y x +-； 师：这两道题好做吗？在这里老师先提个小建议，请大家找出算式里面的“a ”和“b ”，然后再用公式计算．（2分钟后）谁找到了，主动站起来回答一下？生13：第一个算式里面的“a ”是“－m ”, “b ”是“n ”生14：第二个算式里面的“a ”是“x 41-”, “b ”是“y ” 师：这两位同学照的对不对？生：对．师：好，下面请这两位同学到黑板上来把这两道题计算完整．生15：（－m+n ）（－m －n ）=（－m ）2－（n ）2 =m 2－ n 2生16：)41(y x --)41(y x +-=（x 41-）2－y 2=x12－y 2 生（梁森）：老师，我有一个发现，我发现我们找的“a ”是相同的数，“b”是相反的数．师：噢？！我们班的数学大王有了新发现，大家发现这个规律了吗？生：真的，还真有这样的特点啊，梁森就是聪明．师：大家为梁森同学鼓掌！我国有“两弹 一星”元勋钱学森，我们班有数学大王梁森，老师有个提议，我们把梁森同学的这个新发现命名为生（集体鼓掌）：好！师：有了“梁森定律”的发现，我们做题就变得轻松多了．以后我们大家在碰到两项式乘两项式的时候，如果这两项中有一组相同的项和另一组相反的项，我们就可以应用平方差公式进行计算了．但是老师还有一个问题需要大家进一步的明确，找出了相同的项和相反的项，最后的结果是用谁的平方减去谁的平方呢？生（齐）：相同的项的平方减去相反的项的平方．师：下面请大家观察图片，通过图片，更直观的理解平方差公式（看上图），看明白了吗？生（齐）：明白了．【设计意图】通过增加例题的难度引导学生深入的探究公式，从而总结出更加简便有效的应用平方差公式的方法．三、综合应用，延伸拓展师：考验你的时候到了，下面老师出一道难度等级为5星的题，大家有没有信心做出来？生（集体）：（摩拳擦掌，跃跃欲试）能，出吧．师：小组合作探究：计算（-a-b）（a-b）（2分钟后）谁来回答这个问题？生（巩恒）：老师，我代表我们小组来回答这个问题，在这道题中，为了便于观察，我们小组采取的方法是，交换了括号内两项的位置，交换后（-a-b）（a-b）=（-b -a）（-b +a）（学生到黑板板书），这样我们就可以很轻松的找出相同的项是“-b”，相反的项是“a”，根据“梁森定律”，用相同的项的平方减去相反的项的平方，最后的结果是：（-a-b）（a-b）=（-b -a）（-b +a）=（－b）2－ a2 = b2－a2师：同学们，这位同学讲解的好不好？生（集体鼓掌）：好！师：大家说“梁森定律”的作用体现在什么地方呢？生（争先恐后）：应用“梁森定律”，可以很方便的辨别能否用平方差公式进行多乘多的运算．师：good!那我们通过练习来应用一下这个新方法吧．下列式子可用平方差公式计算吗? 为什么? 如果能够，怎样计算?(1) (a+b)(a−b) （能）(2) (a−b)(b−a) （不能）(3) (a+2b)(2b+a) （不能）(4) (a−b)(a+b) （能）(5) (2x+y)(y−2x) （能）师：你是怎么辨别出来的？生（齐）：通过找相同项和相反项．师：你们太有才了！生（集体）：笑师：下面大家在练习本上把上面的5道题计算出来，看谁算得又对又快．（让同学们把答案落实到本子上，避免出现“笔下误”，同时老师通过巡视，发现并指出学生可能出现的错误）【设计意图】通过例题，巩固刚才学习的新规律，再通过相关练习的训练，达到巩固和强化平方差公式应用的目的．四、感悟课堂，直抒胸臆师：同学们，通过今天的学习，你掌握了哪些知识，谁来总结一下？生17：我们通过多种方法学习了平方差公式；生18：我印象最深的是通过找相同项和相反项来应用平方差公式；生19：我感觉平方差公式简化了多乘多的运算，是人类智慧的体现；生20：我觉得这节课过得轻松愉快；生21：我认为还有很多的困难在等待着我们去克服；【设计意图】及时完美的总结是一节课精华的体现，让学生从他们的视角去总结一节课的所得所感，更能发现学生对知识接受和理解的程度．好的老师，要善于倾听，适时点拨，让学生在轻松愉快中实现对知识的梦想．五、实战演练，各尽其能【我当老师】1.下列各式的计算是否正确？如不正确，应怎样改正？1) (x+4)(x-4)=x2-4; （）2) (a+2b)(a-2b)=a2-4b; （）3) (-2y+3)(2y+3)=4y2–9. （）（通过纠错，发现问题，避免自己在做题中出现类似的错误）【小试牛刀】2.计算下列习题，看谁做的又快又准确，并注意观察习题的结构特点．（1）(x+2y)(x-2y) （2）(2a-b)(b+2a)（3）(4a+3b)(4a-3b) （4）(-3m+2n)(3m+2n)（5）（a+b）（-b+a）（6）（-a-b）（a-b）（应用公式，巩固本节课的劳动成果，老师通过巡视找出同学们的易错点）【思维拓展】运用平方差公式计算：（平方差公式的灵活应用）（1）（a+2b+2c）（a+2b-2c）（2）（a-b）（a+b）（a2+b2）（有点难度哦，小组之间讨论讨论吧，集体的智慧是无穷的）【实际应用】同学们，下面我们回过头来解决上课前我们提出的建设草坪的问题：问题回顾：一块边长为10米的正方形的Array草坪．把这块草坪的一边减少3米，相邻的另一边增加3米，整改前后的草坪的面积变化了吗?分析：原方案（正方形草坪）：10×10=100(m2)整改后（长方形草坪）：（10+3）×（10-3）=102 -32=91(m2)改成长方形后，草坪的面积变小了，当然节约购买草皮的成本了．（利用所学知识解决生活中的实际问题，让同学体会生活中处处有数学）【设计意图】由浅入深，由简到繁，逐步深入，各个击破，通过不同层次的习题设置，让更多的同学学到更深入的知识，提升他们的信心和勇气．六、分层作业，各显所长必做题：习题1.9 第1题．选做题：习题1.9 第2题．【设计意图】必做题是本节课的基础题，要求全体学生掌握的；选做题为综合性题，题量很小，但要求的能力较强，喜欢的同学可以选做，上交后让老师对其解题思路提出合理化建议，分层作业的主要目的是因材施教，让不同层次的学生实现他们同样的梦想．板书设计：1.5 平方差公式（1）1.复习回顾：2.规律总结：3.平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2例1：4.数形结合，理解公式例2：5.找相同项相反项理解公式拓展训练：达标检测：教学反思：这节课我尝试用三种方法逐层深入的给同学们讲解和应用平方差公式，第一种是让孩子们直接感受公式，直接应用公式进行计算，初步了解平方差公式的用法；接着通过例题增加一点习题的难度，进而引导学生找出两个相乘的二项式中的“a”和“b”，更深一步的理解平方差公式的应用；最关键的是第三步，通过老师进一步的引导，让学生观察到“a”和“b”的特点，即“a”是两项式中的相同项，“b”是两项式中的相反项，进而得出平方差公式是用相同项的平方减去相反项的平方，最终让学生彻底的理解和掌握了平方差公式．总体来讲，当学生们在老师的带领下，一步一步笑到最后的时候，我本人感到非常的欣慰，因为这节课没有让学生感到枯燥和乏味，反而是在欢声笑语中度过的，从而我也感到了备好一节课对学生包括对我自己的重要性．市优案的评选，让我获益多多，通过做市优案和应用市优案，我收获了很多教学的方法和技巧，它完善了我们的教学，体现了教学相长和老师们的经验共享，它对我们的教学有着积极和长远的影响．。
北师大版七年级数学下册《1.5 平方差公式》教案
北师大版七年级数学下册《1.5 平方差公式》教案一. 教材分析北师大版七年级数学下册《1.5 平方差公式》这一节主要让学生掌握平方差公式的推导过程以及应用。
平方差公式是初中数学中的一个重要公式，它不仅可以帮助学生解决一些实际问题，而且也是学习更高阶数学的基础。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了有理数的乘法，对因式分解也有一定的了解。
但他们在解决实际问题时，往往不能灵活运用平方差公式。
因此，在教学过程中，我需要引导学生将已知的知识与平方差公式联系起来，提高他们解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解平方差公式的推导过程，掌握平方差公式，并能灵活运用解决实际问题。
2.过程与方法：通过合作交流，培养学生归纳总结的能力，提高学生解决问题的策略。
3.情感态度价值观：激发学生学习数学的兴趣，感受数学在生活中的应用。
四. 教学重难点1.重点：平方差公式的推导过程和应用。
2.难点：如何引导学生将实际问题与平方差公式联系起来，提高解决问题的能力。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作交流法和实例分析法，引导学生主动探究，发现规律，提高解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关例题和练习题，以便进行课堂练习。
2.准备多媒体教学设备，以便进行课件展示。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，如停车场的设计、购物优惠等，让学生感受数学在生活中的应用。
引导学生思考如何用数学公式来解决这些问题。
2.呈现（10分钟）通过PPT展示平方差公式的推导过程，让学生观察、思考并总结出公式。
在这个过程中，引导学生发现平方差公式的规律，理解其含义。
3.操练（10分钟）让学生分组进行讨论，每组选一个实际问题，运用平方差公式进行解决。
教师在这个过程中提供必要的指导，帮助学生克服困难。
4.巩固（10分钟）教师挑选一些典型例题，让学生独立解答。
解答过程中，教师注意引导学生运用平方差公式，检查他们的理解程度。
5.拓展（10分钟）让学生思考一些与平方差公式相关的拓展问题，如：如何求解一个关于平方差的一元二次方程？如何判断一个多项式是否可以分解为平方差的形式？6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，使学生明确平方差公式的推导过程和应用。
平方差公式(一)
思考
算一算：看谁做的又快又准确！ (1) (2) (3) (4)
x 1x 1 x 2 12 x 2 1 2 2 2 m 2m 2 m 2 m 4 2x 12x 1 2 x 2 12 4 x 2 1 x 5 y x 5 y x 2 5 y 2 x2 25y 2
新课 思考： 1、观察算式结构，你发现了什么规律？ 2、计算结果后，你又发现了什么规律？
新课 平方差公式 两数和与这两数差的积等于它们的平方差. 互为相反数 (a+b)(a-b) ＝ a2-b2 相同 左边 请注意： 右边
公式中的a，b既可代表单项式，还可代表具体的数
或多项式。
例题 例1 利用平方差公式计算： （1）( 5+ 6x) ( 5-6x)； （2）( x-2y) ( x+2y)； （3）(- m+n) (-m-n)
例题 例2 利用平方差公式计算： 1 1 （ 1） ( x y )( x y ) ； 4 4 （2）( ab + 8 ) ( ab - 8 )．
例题 解：
1 1 1 2 1 2 2 2 ( x y )( x y ) ( x ) y x y （ 1） 4 4 4 16 （2）( ab + 8 ) ( ab - 8 )= (ab)2- 64 = a2b2- 64 ．
x 2x 2 x 2 4 2 3a 2 3a 2 4 9a
小结 通过本节课的内容，你有哪些收获？
1.试用语言表述平方差公式 (a+b)(a−b)=a2−b2
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
2.应用平方差公式 时要注意一些什么？
运用平方差公式时，要紧扣公式的特征， 找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后应用 公式；
2024北师大版数学七年级下册1.5.1《平方差公式》教案1
2024北师大版数学七年级下册1.5.1《平方差公式》教案1一. 教材分析《平方差公式》是北师大版数学七年级下册第1章第5节的内容，本节课主要让学生掌握平方差公式的推导过程和应用。
平方差公式是初中学历阶段非常重要的一个公式，它不仅在数学计算中有着广泛的应用，而且为学生以后学习更高深的数学知识打下基础。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的代数基础，对因式分解、有理数运算等概念有一定的了解。
但学生在学习新知识时，往往还依赖于死记硬背，对于公式的推导和证明过程缺乏理解。
因此，在教学过程中，需要引导学生主动探索，理解平方差公式的推导过程，提高学生的逻辑思维能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握平方差公式的推导过程，理解并熟练运用平方差公式进行计算。
2.过程与方法目标：通过合作交流、探究学习，培养学生的团队协作能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力。
四. 教学重难点1.教学重点：平方差公式的推导过程和运用。
2.教学难点：平方差公式的灵活运用，以及理解公式背后的数学思想。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作交流法、探究学习法等，引导学生主动探索，提高学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
六. 教学准备1.教具准备：多媒体课件、黑板、粉笔。
2.学具准备：笔记本、笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示生活中的一些实际问题，引导学生思考如何用数学知识解决这些问题。
例如，一块正方形的土地，如果每边减少3米，新的土地面积是多少？让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）引导学生列出正方形土地面积的计算公式，然后展示平方差公式的推导过程。
通过示例，让学生理解平方差公式的含义，并学会如何运用。
3.操练（10分钟）让学生独立完成一些关于平方差公式的练习题，巩固所学知识。
教师及时给予解答和指导，帮助学生掌握平方差公式的运用。
平方差公式(一)
想一想
(a−b)(−a−b)=？你是怎样做的？
例2
随堂练习
利用平方差公式计算：
（1） (-a+2)(-a+2) （2）(3a+2b)(3a－2b) （3）(5m－n)(－5m－n) （4）(a+b)(a－b)(a2+b2)
活动探究验证公式
a
b 图1-3
如图1-3，边长为a的大正方形中有一个边长为b 的小正方形.
活动探究验证公式
a
b 图1-3
（1）请表示图1-3中阴影部分的面积
活动探究验证公式
a
a
b 图1-3
b
图1-4
（2）小颖将阴影部分拼成了一个长方形， 如图1-4，这个长方形的长和宽分别是多 少？你能表示出它的面积吗？
活动探究验证公式
a
a
b 图1-3
b
图1-4
（3）比较（1）（2）的结果，你能验证 平方差公式吗？
• 3、应用平方差公式的注意事项： • • • 1）注意平方差公式的适用范围 2）字母a、b可以是数，也可以是整式 3）注意计算过程中的符号和括号
练一练
试判断下列各式是否正确，若不正确，请改 正。
例1
利用平方差公式计算： （1）(5+6x)(5－
（3）(－m+n)(－m－n)
（2）(1+3a)(1－3a)
（3）(x+5y)(x－5y)
（4）(2y+z)(2y－z)
观察以上算式及其运算结果， 平方差公式： 你有什么发现？ (a+b)(a−b)＝a2−b2 再举两例验证你的发现。 两数和与这两数差的积，等于它们 的平方差。
要点归纳
1、平方差公式： (a+b)(a－b)=a2－b2 2、公式的结构特点： （1）左边是两个二项式的乘积，即两数和 与这两数差的积；在这两个二项式中有一 项（a）完全相同，另一项（b和-b）互为 相反数。 （2）右边是两数的平方差。 （3）公式中的a和b可以是具体数，也可以 时单项式和多项式。
2024年北师大版七下数学1.5平方差公式第1课时平方差公式的认识教学设计
2024年北师大版七下数学1.5平方差公式第1课时平方差公式的认识教学设计一. 教材分析平方差公式是初中数学中的重要内容，对于学生来说，掌握平方差公式对于理解和掌握后续的代数知识有着重要的意义。
本节课的内容是在学生已经掌握了有理数的乘法、平方的知识基础上进行讲解的，通过平方差公式的学习，使学生能够掌握两个数的平方差可以表示为它们的和与差的乘积的两倍，并能够运用平方差公式解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数的乘法、平方的知识，对于新的知识有一定的接受能力。
但部分学生在理解上可能还存在一定的困难，因此，在教学过程中，需要关注这部分学生的学习情况，引导他们理解和掌握平方差公式。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握平方差公式，能够运用平方差公式解决实际问题。
2.过程与方法：通过小组合作、探究的学习方式，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们积极思考、勇于探索的精神。
四. 教学重难点1.重点：平方差公式的理解和运用。
2.难点：理解平方差公式的推导过程和背后的数学思想。
五. 教学方法采用问题驱动法、小组合作学习法、引导发现法等，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材。
2.准备平方差公式的推导过程的动画或视频。
3.准备一些实际问题，用于引导学生运用平方差公式解决。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用问题驱动法，引导学生回顾有理数的乘法和平方的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）利用课件呈现平方差公式，引导学生观察和思考，引导学生发现平方差公式的规律。
3.操练（10分钟）利用平方差公式的推导过程的动画或视频，引导学生直观地理解平方差公式的推导过程，使学生能够理解和掌握平方差公式。
4.巩固（10分钟）设计一些练习题，让学生运用平方差公式进行计算，巩固所学知识。
1.5平方差公式++平方差公式的认识+课件+2023—2024学年北师大版数学七年级下册
= − − + +
= − + ，
当 = ， = 时，原式= − × + × × = −.
夯基提升
1.下列各式中能用平方差公式计算的是
( C )
A．6
B．−6
C．5
A ) .
D．−5
6.已知两个正方形的边长之和是10 cm，它们的面积之差是40 cm2 ，则这两
个正方形的边长之差为( B ) .
A．5 cm
B．4 cm
C．3 cm
D．2 cm
7.先化简，再求值：
2x + y 2x − y − 3 2x 2 − xy + y 2 ，其中x = 2，y = 1.
7.(2022春·揭阳七年级校考) a + 3 a2 + 9 a − 3 的计算结果是(
A．a4 + 81
B．−a4 − 81
C．a4 − 81
C )
D．81 − a4
8.为了应用平方差公式计算 a − b + c a + b − c ，必须先适当变形，下列
变形中，正确的是( D )
A．[ a + c − b] [ a − c + b]
B．4x 2 − 9y 2
C．4x 2 − 12xy + 9y 2
D．9y 2 − 4x 2
8.(2022春·河源七年级期末)化简
1 2
A．− a
4
− b2
1 2
B．− a
4
+
1
a
2
b2
−b
1
1.5平方差公式(第一课时)课件 2023-2024学年北师大版数学七年级
ZYT
典例精析
例1 用平方差公式进行计算：
(1) 103×97;
(2)118×122
解: (1) 103×97
(2)118×122
=(100+3)(100-3) =(120-2)(120+2)
=1002-32
=1202-22
=9991
=14396
通过合理变形， 利用平方差公 式，可以简化 运算.
探究新知
方法总结
应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： (1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全 相同，另一项互为相反数； (2)右边是相同项的平方减去相反项的平方； (3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．
ZYT
巩固练习
利用平方差公式计算： (1)(3x－5)(3x＋5)； (2)(－2a－b)(b－2a)； (3)(－7m＋8n)(－8n－7m)． 解：(1)原式=(3x)2-52=9x2-25；
解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为 a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16.∵a2＞a2 －16，∴李大妈吃亏了．
ZYT
中考真题
（郴州）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小 正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长 方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解 释下列哪个等式（ B ） A．x2﹣2x+1＝（x-1）2 B．x2-1＝（x+1）（x-1） C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．x2-x＝x（x-1）
=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1) =4n×2 =8n 因为8n是8的倍数，所以结论成立.
北师大版七年级下册1.5平方差公式课件(1)
例题讲授
例1 利用平方差公式计算：
(1) (5+6x)(5-6x)； (2) (x-2y)(x+2y);
(3) (-m+n)(-m-n).
a
平方
解: (1) (5+6x)(5-6x) = 52 -( 6x)2
平方
b
= 25 - 36x2 ;
(3) (-m+n)(-m-n )
= ( -m)2 - n2
1、等式左边的两个多项式有什么特点？ 2、等式右边的多项式有什么规律？
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
( “ b )( “ -b ) “2 -b2
符号
((21))验(1(+x (23a：a )()+(x-12) 3-
(3)
bx yb)
b
(4 )
2 z)
x2-22 ; 2 (3a)2 ; ;
(2) (ab+8)(ab-8)
= (ab)2 - 82
= a2b2 - 64
题后反思： 公式中的 a和b 可以是数，也可以是整式 .
利用平方差公式计算：
（1）(-mn+3)(-mn -3) =(-mn)2 -32 = m2n2 -9
（2）(x- y)(x+ y)
（3）(-2a+3b)(-2a -3b) =(-2a)2 - (3b)2 = 4a2 - 9b2
（1） (a+2)(a -2) = a2 -22
= a2 -4
（2）(-4k+3)(-4k-3) =(-4k)2 -32
= 16k2 -9
（3）(3a+2b)(3a -2b) = （3a）2 -(2b)2 = 9a2 -4b2
1.5平方差公式课件
多项式．
(4)平方差公式可以逆用，即a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
知1－讲
例1 〈义乌〉如图①，从边长为a的正方形纸片中剪去 一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开， 把剪成的两张纸片拼成如图②的等腰梯形．
(1)设图①中阴影部分面积为S1，图②中阴影部分面积 为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；
第一章 整式ห้องสมุดไป่ตู้乘除
1.5 平方差公式
1 课堂讲授 平方差公式的特征
平方差公式
2 课时流程 利用平方差公式简便计算
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
复习回顾： 上一节课中我们学习了哪些整式的乘法运算？ 它们的运算法则是什么？
知识点 1 平方差公式的特征
计算下列各题：
(1) (x+2) (x－2)；(2) (1+3a) (1－3a )； (3) (x+5y) (x－5y)；(4)(2y+z) (2y－z) .
(2)118×122
=(100+3) (100－3) =(120－2) (100+2)
=1002－32
=1202－22
=9 991 ；
=14 396 .
知3－讲
知3－讲
例6 运用平方差公式计算：
(1) 2 014×2 016－2 0152；(2) 1.03×0.97；
2
(3) 40
×39 1
.
3
3
C．是多项式
D．是单项式或多项式
3 下列计算能运用平方差公式的是( )
A．(m＋n)(－m－n)
B．(2x＋3)(3x－2)
C．(5a2－b2c)(bc2＋5a2)
1.5平方差公式-平方差公式的认识(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与平方差公式相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过实际计算，演示平方差公式的应用。
举例解释：
以计算9² - 7²为例，重点强调先识别出9和7是3²和√7的平方，然后应用平方差公式(a² - b² = (a+b)(a-b))，得到(9+7)(9-7)，简化计算过程。
2.教学难点
-难点内容：平方差公式的理解、记忆和灵活运用。
-难点突破：
-理解难点：学生可能会对平方差公式的推导过程感到困惑，尤其是符号的变换和公式的形成。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现学生们对平方差公式的理解程度有所不同。有些学生能够迅速掌握公式，并在解决问题时灵活运用；而另一些学生则在理解公式和应用方面遇到了一些困难。这让我意识到，在今后的教学中，需要针对不同水平的学生进行更有针对性的教学。
在导入新课环节，通过提问日常生活中可能遇到的平方差问题，成功引起了学生的兴趣。但在新课讲授过程中，我发现有些学生对公式推导过程的理解不够深入。因此，我决定在接下来的课程中，增加一些直观的图形或实物演示，帮助学生更好地理解平方差公式的来源。
-突破方法：使用实物、图形或动画辅助教学，帮助学生直观理解式的来源。
-记忆难点：学生可能难以记住公式结构，导致应用时出错。
-突破方法：设计记忆口诀或教学游戏，如“差平方，加减乘，括号来帮忙”。
-灵活运用难点：学生在面对实际问题时，可能不知道如何应用平方差公式。
-突破方法：提供多样化的问题情境，让学生在不同情境中练习使用公式，如计算、分解因式、证明等。
平方差公式
想一想
(a−b)(−a−b)=？你是怎样做的？
=(-b)² -a² =b² -a²
计算 1、 (5m－n)(－5m－n)
2、 (a+b)(a－b)(a2+b2)
总结经验
从例题1和练习1中，你认为运用公式解决问题时应 注意什么？ （1）在运用平方差公式之前，一定要看是否具备公式 的结构特征； （2）一定要找准哪个数或式相当于公式中的a，哪个 数或式相当于公式中的b； （3）总结规律：相同项的平方减去符号相反项的平方
总结经验
从例题1和练习1中，你认为运用公式解决问题时应 注意什么？ （4）公式中的字母a ,b 可以是具体的数、单项式、多 项式等； （5）不能忘记写公式中的“平方”．
作 业
2
2
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。
平方差公式
(a b)(a b) a b
2
2
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。 平方差公式的 特点： 1.等号左边的两个多项式中，有一项 完全相同，另一项为符号相反的项。 2.右边是相同项的平方减去符号相反 的项的平方。 3.公式中的a和b可以是具体的数， 也可以是单项式或多项式。
练一练
判断下面计算是否正确
1 2 1 1 （1） x 1 ( x 1) x 1 （ ×） 2 2 2
（2）(3x－y)(－3x+y)=9x2－y2 （ × ） （3）(m+n)(－m－n)=m2－n2 ×) （
例1
解 （1）(5+6x)(5－6x) =5²- (6x)²=25-36x² ：
（4）(2y+z)(2y－z) =4y² -z² (2y)2 z 2
相乘的两个多项式有什么共同点？ 它们的结果又 有什么特点？ (a+b)(a-b)= a² -b²
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4．运用乘法公式计算：
(1)23a－b23a＋b＝ 49a2－b2
；
(2)[2018·丽水]x－1x＋1＝ x2－1 .
5．计算：(1)(2x2＋3y)(2x2－3y)；
(2)(2x－y)(－2x－y)；
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解：(1)原式＝(－2x)2－12y2 ＝4x2－14y2； (2)原式＝(－4a)2－b2 ＝16a2－b2； (3)原式＝(y2－4)(y2＋4) ＝(y2)2－42 ＝y4－16.
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解：(1)(x－2y)(2y＋x)＝x2－4y2； (2)(3m－2n)(－3m－2n)＝4n2－9m2； (3)(5ab－3xy)(－3xy－5ab)＝9x2y2－25a2b2； (4)(2x－3y)(3y＋2x)－(4y－3x)(3x＋4y) ＝4x2－9y2－16y2＋9x2 ＝13x2－25y2.
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A．(x－y)(－x＋y)
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作 业
1、P21随堂练习 2、P21习题1、2.
（2）(ab+8)(ab－8)
练一练
利用平方差公式计算：
1 1 (x y )(x y ) （ 1） 3 3
（2）(－mn+3)(－mn－3)
想一想
(a−b)(−a−b)=？你是怎样做的？
计算 1、 (5m－n)(－5m－n) 2、 (a+b)(a－b)(a2+b2)
自我检测
利用平方差公式计算：
第一章
整式的乘除
5 平方差公式（第1课时）
深圳市福田区黄埔学校
知识回顾
1、多项式乘多项式法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式 的每一项乘另一个多项式的每一项，再 把所得的积相加 2、两项式乘以两项式，结果可能是两项吗？ 请你举例说明。
探究规律
计算下列各题：
（1）(x+2)(x－2) x 2 4
（2）(1+3a)(1－3a) 1 9a 2
2 2 x 25 y （3）(x+5y)(x－5y)
（4）(2y+z)(2y－z) 4y 2 z 2
观察以上算式及其运算结果， 平方差公式： 2−b2 (a+b)(a−b) ＝ a 你有什么发现？
平方差公式右边就是 符号相同的项的平方减去符号相反的项的平方
例
利用平方差公式计算： （1）(5+6x)(5－6x) （2）(x－2y)(x+2y)
（3）(－m+n)(－m－n)
练一练
利用平方差公式计算：
（1） (x+2)(x－2)
（2）(3x+2y)(3x－2y)
例2
利用平方差公式计算：
1 1 ( x y )( x y ) （ 1） 4 4
（1）(－x－1)(1－x)
（2）(0.3x+2y)(0.3x－2y)
1 1 1 2 （3） (x )(x )(x ) 2 2 4
练一练
判断下面计算是否正确
1 1 1 2 ( x 1)( x 1) x 1 （ 1） （× ） 2 2 2
（2）(3x－y)(－3x+y)=9x2－y2 （×） （3）(m+n)(－m－n)=m2－n2 （×)