河南省开封市2013届高三第二次质量检测数学(理)试题

河南开封市2013届高三第二次模拟考试
数学（理）试题
本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第（22）—（24）题为选考题，其他题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的
姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，
非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卷面清洁，不折叠，不破掼。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题
号涂黑。

参考公式：
样本数据n x x x ,,,21 的标准差；
x x x x x x x n
s n 其中],)()()[(1
22221-+-+-=
为样本平均数； 柱体体积公式：为底面面积其中S Sh V ,=、h 为高；
锥体体积公式：h S Sh V ,,3
1
为底面面积其中=
为高； 球的表面积、体积公式：,3
4
,432R V R S ππ==其中R 为球的半径。

第I 卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。

1．复数34a i
z R i +=
∈+，则实数a 的值是 A ．34- B ．3
4
C ．
4
3
D ．—
43
2．若集合A={0，1}，B= {-1，a 2），则“a=l ”是“A ∩B={1}”的
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 3．若执行如图所示的框图，输入1231,2,3,2x x x x ====，
则输出的数S 等于
A ．2
3 B ．1
C ．1
3
D ．
12
4．从10位同学中选6位参加一项活动，其中有2位同学不能同时参加，
则选取的方法种数有 A ．84 B ．98 C ．112 D ．140 5．已知等差数列{}n a 的公差为2，若134,,a a a 成等比数列，则a 2= A ． -4 B ．-6 C ．-8 D ．-10
6．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是 A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 7．下列四个判断： ①2
,10x R x x ∃∈-+≤；
②已知随机变量X 服从正态分布N （3，2σ）， P （X ≤6）=0．72，则P （X ≤0）=0．28;
③已知21()n
x x
+
的展开式的各项系数和为32， 则展开式中x 项的系数为20；
④
1
1e
dx x
>⎰
⎰
其中正确的个数有： A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个
8．已知双曲线22221(1,0)x y a b a b
-=>>的焦距为2c ，若点（-1，0）与点（1，0）到直线1
x y a b -=的距离之和为S ，且S ≥
4
5
c ，则离心率e 的取值范围是
A
． B
． C
． D
．
9
．函数1
2,4
1
()),3),7),2
(2),4
x x f x a f b f c f x
f x x ⎧->⎪====⎨⎪+≤⎩记则
A ． a>b>c
B ．b<a<c
C ．a<c<b
D ．a>c>b
10．△ABC 中，∠A=60°，角A 的平分线AD 将BC 分成BD 、DC 两段，若向量
1()3
AD AB AC R λλ=+∈
，则角C=
A ．
6
π
B ．
4
π
C ．
2
π
D ．
3
π
11．已知三棱锥O —ABC ，A 、B 、C 三点均在球心为0的球表面上，AB=BC=1，∠ABC=120°，
三棱锥O —ABC ，则球O 的表面积是
A ．64π
B ．16π
C ．
32
3
π D ．544π
12．定义在R 上的函数()f x 满足f （1）=1，且对任意x ∈R 都有1
()2
f x '<
，则不等式22
1
()2
x f x +>的解集为 A ．（1,2） B ．（0，1） C ．（1,+∞） D ．（-1，1）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都
必须做答，第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题．每小题5分．
13．已知椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的离心率e =，其中一个顶点坐标为（0，2），则椭
圆的方程为 。

14．已知函数2()log (2)f x x =-，若实数m ，n 满足()(2)3,f m f n m n +=+则的最小值是
____． 15．若不等式组||||2
2(1)
x y y k x +≤⎧⎨
+≤+⎩表示平面三角形区域，则实数k 的取值范围是 。

16．若二次函数()y f x =的图象经过点（0，10），导函数()25,f x x '=-当
*(,1](),()x n n n N f x ∈+∈时是整数的个数记为n a ，则n a =
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤 17．（本小题满分12分）
已知函数21
()cos cos (0)2
f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π （I ） 求ω值及f （x ）的单调递增区间；
（II ）
（Ⅱ）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知
1,()2A a b f ===
，求角C 的大小． 18．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，已知AB=BC=1，CC 1=2，AC 1与平面BCC 1B 1所成角为30°，AB ⊥平面BB 1C 1C 。

（I ）求证：BC ⊥AC 1；
（Ⅱ）求二面角C —AC 1—B 1的余弦值．
19．某苗木公司要为一小区种植三棵景观树，有甲、乙两种方案．
甲方案：若第一年种植后全部成活，小区全额付款8千元；若第一年成活率不足1
2
，终止合作，小区不付任何款项；若成活率超过
1
2
，但没有全成活，第二年公司将对没有成活的树补种，若补种的树全部成活，小区付款8千元，否则终止合作，小区付给公司2千元．
乙方案：只种树不保证成活，每棵树小区付给公司1．3千元．苗木公司种植每棵树的成本为1千元，这种树的成活率为
23
． （I ）若实行甲方案，求小区给苗木公司付款的概率； （Ⅱ）公司从获得更大利润考虑，应选择那种方案。

20．（本小题满分12分）
已知点112212(,),(,)(0)A x y B x y x x ≠是抛物线2
2(0)y px p =>上的两个动点，O
是坐标原点，0.OA OB ⋅=
（I ）
试判断直线AB 是否过定点？若过，求定点的坐标；
（II ） （Ⅱ）当弦AB 的中点到直线20x y -=
时，求抛物线方程．
21．（本小题满分12分）
已知函数2
()(22)ln (1).m f x m x mx m x
+=-++-≥- （I ）讨论f （x ）的单调性；
（II ）设225(1)(),2113(1)
22
x x x x g x m x ⎧--≥⎪
==⎨-<⎪⎩当时，若对任意1(0,2)x ∈，存在
212[,1](),()()x k k k N f x g x ∈+∈<使，求实数k 的最小值。

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，在△ABC 中，∠C 为钝角，点E 、H 是边AB 上的点，点K 、M 分别是边AC 和BC 上的点，且AH =AC ，EB=BC ，AE=AK ，BH=BM ． （I ）求证：E 、H 、M 、K 四点共圆；
（Ⅱ）若KE - EH ，CE=3，求线段KM 的长．
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知极点与坐标原点重合，极轴与x 轴非负半轴重合，两个坐标系单位长度相同，己知直线
l ：1cos (1sin x t t y t α
α=-+⎧⎨=+⎩
为参数），曲线C 的极坐标方程：4cos ρθ=．
（I ）若直线l 的斜率为-1，求直线l 与曲线C 交点的极坐标；
（Ⅱ）设曲线C 与直线l 相交于A 、B
两点，且||AB =，求直线l 的参数方程．
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数()||2||(0).f x x x a a =+-> （I ）当a=l 时，解不等式()4f x ≤；
（Ⅱ）若不等式f （x ）≥4对一切x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围。