17届高二理科数学下期半期考试试卷答案

成都七中2015-2016学年下期
2017届半期考试数学（理科）试卷(参考答案)
一．选择题CBABDADACDBA 二、填空题
13.()
2,32- 14.4
1-
=y 15.
332或5
5
2 16. ①④ 三.解答题
17.解：（1）共有36个不同的基本事件，列举如下： （1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）， （2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6）， （3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6）， （4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6）， （5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6）， （6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）. ……2分
（2）组成事件“向上的点数之差为3”的基本事件有（1，4），（2，5），（3，6），（6，3），（5，2），（4，1）共6种。

∴向上的点数之差为3的概率为
6
1
366=.……6分 （3）组成事件“向上的点数之积为6”的基本事件有（2，3），（3，2），（1，6），（6，1）共4种。

∴向上的点数之积为6的概率为
9
1
364=……10分
18.解：（1）由322=a ，得3=a ，又c =∴2222=-=a c b ,
∴双曲线C 的方程为
12
3
2
2
=-
y x .……4分
（2）设直线l 的方程为),(),,(,22211y x B y x A m x y +=.
由⎪
⎩⎪⎨⎧=-+=12322
2y x m x y ，得0)2(3121022=+++m mx x , ∴0)10(242>-=∆m ，得10>m .……6分
∴弦长410)
10(2452=-=
m AB ，解得3
210
±
=m , ∴直线l 的方程为3210
2+
=x y 或3
210
2-=x y .……10分 19.解：（1）设⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛020,6
y y P , 则36)4(101
5264212002
01+-=+-=y y y d ,
当40=y 时,6.3)(min 1=d ，此时3
86
2
0=
=
y x , ∴当⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛4,38P 时,6.3)(min 1=d .……6分
（2）设抛物线的焦点为F ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,23F ，且PF d =2,
∴PF d d d +=+121,
它的最小值为点F 到直线l 的距离1.65262
9
=+.
∴()1.6min 21=+d d .……12分
20.解法一：把每枚圆珠笔标上号码，一等品分别记作A ，B ，C ，D ，二等品分别记作E ，F.
依次不放回从盒子中取出2枚圆珠笔，得到的两个标记分别记为x 和y ，则（x ，y ）表示一次抽取的结果，即基本事件。

由于是随机抽取，所以抽取到任何
事件的概率相等.
用M 表示“抽取的2枚圆珠笔中有二等品”，M 1表示“仅第一次抽取的是二等品”，M 2表示“仅第二次抽取的是二等品”，M 3表示“两次抽取的都是二等品”.
M 1和M 2中的基本事件个数都为8，M 3中的基本事件为2，全部基本事件的总数为30.
（1）由于M 1与M 2是互斥事件，记21M M N =. ∴恰有一枚一等品的概率12888
()()().303015
P N P A P A =+=
+=……6分 （2）由于M 1，M 2和M 3是互斥事件，且321M M M M =. ∴5
3302308308)()()()(321=++=
++=M P M P M P M P .……12分 解法二：（1）恰有一枚一等品的概率158
2
6
1
2141==C C C P .……6分 （2）有二等品的概率53
2
6
221
2142=+=C C C C P . 或53
321126
242=-=-=C C P .……6分
21.解：（1）设抛物线C 的方程为22(0)x py p =>，
由点M （2，1）在抛物线C 上，得4=2p ，则p=2. ∴抛物线C 的方程为y x 42=.……2分
（2）设该等边三角形OPQ 的顶点P 、Q 在抛物线上，且),(p p y x P ，),(Q Q y x Q ，
则p p y x 42
=，Q Q y x 42=，
由OQ OP =，得2
222Q
Q p p y x y x +=+，即()(4)0p Q p Q y y y y -++=. 又0>p y ，0>Q y ，则Q p y y =，Q p x x =，即线段PQ 关于y 轴对称.
……4分
∴︒=∠30poy ，p p x y 3=，代入p p
y x 42
=，得34=p x .
∴该等边三角形边长为38，348=∆POQ S .……7分
（3）设),(11y x A ，),(22y x B ，则1214y x =，22
24y x =，
∴22
1212121212121111
11144(2)(2)2,222216
x x y y k k x x x x x x ----=
⋅=⋅=++=----- ∴12122()36x x x x =-+-
①
又)(4
1414112122
1221
212x x x x x x x x y y k AB +=--=--=
,
∴直线AB 方程为:)(4
12
11x x x x y y -+=-.
代入①，化简得：12
9(2)4
x x y x +-=
+， 所以直线AB 恒过定点（2,9-）. ……12分
22.解：（1）设椭圆C 为22
221y x a b
+=(0)a b >>，
∵椭圆C
过点1
(,2
P
，且一个焦点为(0,,
∴22223,31
1,
4a b a
b ⎧=+⎪
⎨+=⎪⎩解得2
24,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴椭圆C 的标准方程为2
214
y x +=.……3分
（2）(Ⅰ)当l x ⊥轴时，设:l x m =，
代人椭圆得y =±
∵2(1)MN m ==-，解得1m =（舍去）,或3
5
m =-,
∴直线l 方程为3
5
x =-.……4分
当l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y kx m =+.
由2214
y kx m y x =+⎧⎪
⎨+
=⎪⎩得222(4)240k x kmx m +++-=.
222244(4)(4)0k m k m ∆=-+->,得224k m +>.
设11(,)M x y ，22(,)N x y ，线段MN 的中点为00(,)Q x y .
则12224km x x k +=-+，212
2
44m x x k -=+，所以024km x k =-+，00244m
y kx m k =+=+. 由AM AN =，得AQ MN ⊥,则1AQ k k ⋅=-，化简得234km k =+（*）.
由AM AN ⊥得1212(1)(1)0AM AN x x y y =--+=
, ∴1212(1)(1)()()0x x kx m kx m --+++=, 化简得221212(1)(1)()10k x x km x x m ++-+++=.
∴222
22
(1)(4)2(1)1044
k m km km m k k +---++=++, 化简得225230m km k +-=，解得m k =-或3
5
m k =.
当m k =-时，（*）式不成立.
当3
5
m k =时，代入（*）式，得25k =
，k =∴直线l
的方程为y =
y =……7分 综上所述，直线l
0y ++=,
0y -=,或35
x =-. ……8分
（Ⅱ）当直线l 与x 轴不垂直时,由（Ⅰ）知，AM AN ⊥时,m k =-或3
5
m k =.
当m k =-时，直线l 为(1)y k x =-过点(1,0)A ，矛盾，故舍去.
当35m k =时，直线l 为3()5
y k x =+，
当l x ⊥轴时，直线l 的方程为3
5
x =-，
∴直线l 过定点3
(,0)5
Q -.……10分
设直线l 方程为3
5x my =-，代入椭圆C ：2214
y x +=，
化简得221616
()04525
m y my +--
=， 则1226514m
y y m +=-+，122162514
y y m =-+，……11分
∴121825MAN
S y y ∆=⋅⋅-=
令214t m =
+，则14t ≥，且21
4
m t =-，
∴MAN S ∆==1()4t ≥，
∴当14t =
，即0m =，直线l 的方程为35x =-时，max 64
()25
MAN S ∆=. 所以MAN S ∆的最大值为64
25
.……14分。