平面向量及其加减运算(教师版)
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【知识结构】 【要点点拨】 一.平面向量 1.有向线段 规定了方向的线段叫做有向线段。
2.向量
既有大小又有方向的量叫做向量。
向量的大小也叫做向量的长度。(或向量的模) 3.向量的表示
(1)向量可以用有向线段直观表示 ①有向线段的长度表示向量的长度; ②有向线段的方向表示向量的方向。 (2)常见的表示方法
①向量AB u u u r
,长度记为AB u u u r ;
②向量a r 、b r 、c r ,长度记为a r 、b r 、c r
。
4.相等的向量
方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量。 5.相反的向量
方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反的向量。 6.平行向量
方向相同或相反的两个向量叫做平行向量。
例1:判断下列语句是否正确:
(1)用有向线段表示向量时,起点不同但“同向且等长”的有向线段表示相等的向量。
(2)表示两个向量的有向线段具有同一起点,那么当两个向量不相等时,两个有向线段的终点有可能相
同。
(3)向量AB u u u r 与向量BA uu u r
是同一个向量。
(4)相等向量一定是平行向量。 (5)互为相反的向量不一定是平行向量。 (6)平行向量一定是相等向量或互为相反的向量。
解:(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)×
例2:在梯形ABCD 中,//AD BC ,AB CD ,//DE AB ,点E 在BC 上,如果把图中线段都画成有向
平面向量的减法
平面向量的加法
平面向量的概念平面向量
线段,那么在这些有向线段表示的向量中,指出(用符号表示)。
(1)所有与AB u u u r
相等的向量。
(2)所有与AB u u u r
互为相反的向量。 (3)所有与AD u u u r
平行的向量。
解:(1)DE AB =u u u r u u u r ; (2)与AB u u u r 互为相反的向量:BA uu u r 、ED u u u r
; (3)所有与AD u u u r 平行的向量为:DA u u u r ,BE uuu r ,EB uu u r ,EC uuu
r ,CE u u u r ,BC uuu r ,CB u u u r 。
二.平面向量的加法 1.向量的加法
求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法。 2.零向量
长度为零的向量叫做零向量,记作0r 。规定0r 的方向可以是任意的(或者说不确定);00=r
。 因此,两个相反向量的和向量是零向量,即:()0a a +-=r r r 。
对于任意向量,都有0a a +=r r r ,0a a +=r r r
。 3.向量的加法满足交换律:a b b a +=+r r r r
。
4.向量的加法满足结合律:()()a b c a b c ++=++r r r r r u u r
。
5.向量加法的三角形法则
求不平行的两个向量的和向量时,只要把第二个向量与第一个向量首尾相接,那么以
第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量。 6.向量加法的多边形法则
几个向量相加,可把这几个向量首尾顺次相接,那么以第一个向量的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的向量,就是这几个向量的和向量。
例1 如图,已知向量a r 与b r ,求作a b +r r
。
略
例2 计算:(1)AB BC +u u u r u u u r AC u u u r ;OE EF +u u u r u u u r OF u u u r
. (2)AE FC EF ++=u u u r u u u r u u u r AC u u u r
。
(3)AB BC CD DE EF ++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r AF u u u r
。
三、平面向量的减法 1.向量的减法
已知两个向量的和及其中一个向量,求另一个向量的运算叫做向量的减法。
减去一个向量等于加上这个向量的相反向量,即:()a b a b -=+-r r r r
。 2.向量减法的三角形法则
在平面内取一点,以这个点为公共起点作出这两个向量,那么它们的差向量是以减向
量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量。
3.向量加法的平行四边形法则
如果a r ,b r
是两个不平行的向量,那么求它们的和向量时,可以在平面内任取一点为
公共起点作两个向量与a r ,b r
相等,以这两个向量为邻边作平行四边形,然后以所取的公共起点为起点,作这个平行四边形的对角线向量,则这一对角线向量就是a r ,b r
的和向量,
这个法则叫做向量加法的平行四边形法则。
4.另外一个对角线向量,即是a r ,b r
的差向量,这个差向量与被减向量共终点。
例1 如图,在图中画出向量AB AC -u u u r u u u r
。
略
例2 计算:AB CB CD ED -+-u u u r u u u r u u u r u u u r AE u u u r
。
例3 如图,多边形ABCDEF 是正六边形,设AB a =u u u r r
a r 和
b r 表示向量OA u u u r ,OC u u u r
,OE uuu r
。
解:OA b =-u u u r r ; OC a =u u u r r ; OE b a =-u u u r r r
。
巩固练习 一、填空题
1.已知下列各量:体积、人口数量、风速、重力、用水量、拉力,其中向量有 风速、重力、拉力 .
2.已知向量a r 与向量b r 是互为相反的向量,如果a kb =r r
,那么k = -1 .
3.如果a r 与b r 互为相反的向量,则a b +r r 0r
.
4.已知平行四边形ABCD 中,向量AC u u u r ,DA u u u r ,BD u u u r 的和为 AD u u u r
(或BC uuu r ) .
5.如右图,梯形ABCD 中,//AB DC ,点E 在AB 上,//EC AD ,则
6.在ABCD Y 中,若AD a =u u u r r ,AB b =u u u r r ,则DB u u u r
b a -r r (用a r 和b r 表示)。
7.如图,四边形OACB 是平行四边形,AB 、OC 是对角线。如果OA a =u u u r r ,OB b =u u u r r ,那么OC uuu r = a b +r r
,
AB uuu r
= b a -r r 。
二、选择题
1.下列句子正确的是( A )
A.向量是描述“两个点得分相对位置差”的量
C
O
F
E
D
C
B
A
E
D C B A O
C
B
A